14
Física para cientistas e engenheiros
Uma partícula está no ponto P em t = 0.
Em um instante t mais tarde, as coordenadas x dos pontos P e Q são iguais e dadas pela Equação 1.23.
A componente x da velocidade de P é igual à velocidade de Q.
A componente x da aceleração de P é igual à aceleração de Q.
y
y
y
y →
v
ω P A φ O
P
y
t =0
A θ
x
O
x
Q
b
P →
a
x
O
vx
Q
x
O
c
ax Q
x
a = ω2 A
v =ω A
θ = ωt + φ a
ax
P vx
d
Figura 1.14 Relação entre os movimentos circular uniforme de um ponto P e harmônico simples de um ponto Q. Uma partícula em P se move em um círculo de raio A com velocidade angular constante w.
Essa expressão é a mesma que a Equação 1.6 e mostra que o ponto Q se move com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Portanto, o movimento de um corpo descrito pelo modelo de análise de uma partícula em um movimento harmônico simples ao longo de uma linha reta pode ser representado pela projeção de um corpo que pode ser modelado como uma partícula em movimento circular uniforme ao longo do diâmetro de um círculo de referência. Essa interpretação geométrica mostra que o intervalo de tempo para uma revolução completa do ponto P em um círculo de referência é igual ao período de movimento T para o movimento harmônico simples entre x = ± A. Então, a velocidade angular w de P é a mesma que a frequência angular w do movimento harmônico simples ao longo do eixo x (pois usamos o mesmo símbolo). A constante de fase f para o movimento harmônico simples corresponde ao ângulo inicial que OP forma com o eixo x. O raio A do círculo de referência é igual à amplitude do movimento harmônico simples. Como a relação entre as velocidades linear e angular para o movimento circular é v = rw (ver Equação 10.10 do Volume 1 desta coleção), a partícula se movendo em um círculo de referência de raio A tem velocidade de módulo wA. A partir da geometria na Figura 1.14c, vemos que a componente x dessa velocidade é – wA sen(wt + f). Por definição, o ponto Q tem uma velocidade Lâmpada dada por dx/dt. Diferenciando a Equação 1.23 com relação ao tempo, descobrimos que a velocidade de Q é a mesma que a componente x da velocidade de P. A aceleração de P em um círculo de referência é direcionada radialmente para dentro na direção de O, e tem módulo v2 /A = w2 A. A partir da geometria na Figura Bola Plataforma giratória 1.14d, vemos que a componente x dessa velocidade é –w2 A cos(wt + f). Esse valor também é a aceleração do ponto projetado Q ao longo do eixo x, como você pode verificar 0,50 m tomando a segunda derivada da Equação 1.23.
Teste Rápido 1.5 A Figura 1.15 mostra a posição de um corpo em movimento
circular uniforme em t = 0. Uma luz ilumina de cima e projeta, a sombra do corpo em uma tela abaixo do movimento circular. Quais são os valores corretos para a amplitude e a constante de fase (relativa a um eixo x para a direita) do movimento harmônico simples da sombra? (a) 0,50 m e 0, (b) 1,00 m e 0, (c) 0,50 m e p, (d) 1,00 m e p.
E xemplo 1.4
Tela
Figura 1.15 (Teste Rápido 1.5) Um corpo se move em movimento circular, provocando uma sombra na tela abaixo. Sua posição em um instante de tempo é mostrada.
Movimento circular com velocidade angular constante
MA
A bola na Figura 1.13 gira em sentido anti-horário em um círculo de raio 3,00 m com velocidade angular constante de 8,00 rad/s. Em t = 0, sua sombra tem uma coordenada x de 2,00 m e está se movendo para a direita. (A) Determine a coordenada x da sombra como uma função de tempo em unidades SI.
Livro Fisica volume 2.indb 14
18/08/2017 11:16:48