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Física para cientistas e engenheiros
Prevenção de Armadilhas 1.4
Período
Dois tipos de frequência Identificamos dois tipos de frequência para um oscilador harmônico simples: f, chamada simplesmente frequência, é medida em hertz, e w, a frequência angular, é medida em radianos por segundo. Saiba com certeza qual frequência está sendo discutida ou solicitada em um problema. As equações 1.11 e 1.12 mostram a relação entre as duas frequências.
Frequência
T=
2p m = 2p w k
(1.13)
f =
1 1 = T 2p
(1.14)
k m
Isto é, o período e a frequência dependem somente da massa da partícula e da constante de força da mola, e não de parâmetros do movimento, tais como A ou f. Como poderíamos esperar, a frequência é maior para uma mola mais rígida (maior valor de k), e diminui com o aumento da massa da partícula. Podemos obter a velocidade e a aceleração2 de uma partícula submetida a movimento harmônico simples a partir das equações 1.7 e 1.8:
Velocidade de uma partícula em movimento harmônico simples
Aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples
v=
dx = -w A sen (w t + f) dt
(1.15)
a=
d2 x = -w 2 A cos(w t + f) dt2
(1.16)
A partir da Equação 1.15, vemos que, como as funções seno e cosseno oscilam entre ± 1, os valores extremos da velocidade v são ±wA. Do mesmo modo, a Equação 1.16 mostra que os valores extremos da aceleração a são ±w2 A. Portanto, os valores máximos dos módulos da velocidade e aceleração são: Módulos máximos de velocidade e aceleração em movimento harmônico simples
vmáx = w A =
k A m
(1.17)
amáx = w 2 A =
k A m
(1.18)
A Figura 1.5a plota a posição versus tempo para um valor arbitrário da constante de fase. As curvas de velocidade-tempo e aceleração-tempo associadas são ilustradas nas figuras 1.5b e 1.5c, respectivamente. Elas mostram que a fase da velocidade difere da fase de posição por p/2 rad, ou 90°. Ou seja, quando x é um máximo ou um mínimo, a velocidade é zero. Do mesmo modo, quando x é zero, a velocidade é máxima. Além disso, perceba que a fase de aceleração difere da posição por p radianos, ou 180°. Por exemplo, quando x é máximo, a tem módulo máximo na direção oposta.
x
T
xi
A
t
a v
vi
vmáx
t
b a
a máx
t
c
Figura 1.5 Representação gráfica
Teste Rápido 1.4 Um corpo de massa m é pendurado de uma mola e posto
a oscilar. O período da oscilação é medido e registrado como T. O corpo de massa m é removido e substituído por outro de massa 2m. Quando este é posto a oscilar, qual é o período do movimento? (a) 2T (b) 2 T (c) T (d) T/ 2 (e) T/2
A Equação 1.6 descreve o movimento harmônico simples de uma partícula em geral. Vejamos agora como avaliar as constantes do movimento. A frequência angular w é avaliada usando a Equação 1.9. As constantes A e f são avaliadas a partir das condições iniciais, isto é, o estado do oscilador em t = 0. Suponha que um bloco seja posto em movimento puxando-o do equilíbrio por uma distância A e liberando-o do repouso em t = 0, como na Figura 1.6. Necessitamos então que as soluções para x(t) e v(t) (equações 1.6 e 1.15) obedeçam às condições iniciais de x(0) = A e v(0) = 0: x(0) = A cos f = A v(0) = –wA sen f = 0
do movimento harmônico simples. (a) Posição versus tempo. (b) Velocidade versus tempo. (c) Aceleração versus tempo. Note que em qualquer instante especificado a velocidade está 90° fora de fase com a posição, e a aceleração está 180° fora de fase com a posição.
x= 0
A m
t= 0 xi = A vi = 0
Figura 1.6 Um sistema bloco-mola que inicia seu movimento a partir do repouso com o bloco em x = A em t = 0.
2
Como o movimento de um oscilador harmônico simples ocorre em uma dimensão, denotamos a velocidade como v e a aceleração como a, com a direção indicada por um sinal positivo ou negativo, como no Capítulo 2 do Volume 1 desta coleção.
Livro Fisica volume 2.indb 6
18/08/2017 11:16:36