E QUAÇÕES D IFERENCIAIS COM A PLICAÇÕES EM M ODELAGEM — Prova 4 — 7/1/2016 — Maluhy&Co. — página (local 35, global #79)
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
19. Dado que y = x − 2/x é uma solução da ED xy′ + y = 2x, encontre x0 e o maior intervalo I para o qual y(x) é uma solução do PVI de primeira ordem xy′ + y = 2x, y(x0 ) = 1. 20. Suponha que y(x) denote a solução do PVI de primeira ordem y′ = x2 + y2 , y(1) = −1 e que y(x) possuía pelo menos uma segunda derivada em x = 1, nas proximidades de x = 1. Use a ED para determinar se y(x) é crescente ou decrescente e se o gráfico y(x) tem concavidade para cima ou para baixo. 21. Uma equação diferencial pode ter mais de uma família de soluções.
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31. y(0) = 0, y′ (0) = 0 32. y(0) = 1, y′ (0) = −3 33. y(1) = 4, y′ (1) = −2 34. y(−1) = 0, y′ (−1) = 1 35. O gráfico de uma solução do problema de valor inicial de segunda ordem d2 y/dx2 = f (x, y, y′ ), y(2) = y0 , y′ (2) = y1 é dado na Figura 1.R.1. Use o gráfico para estimar os valores de y0 e y1 .
a) Plote diferentes membros das famílias y = φ1 (x) = x2 + c1 e y = φ2 (x) = −x2 + c2 .
b) Verifique que y = φ1 (x) e y = φ2 (x) são duas soluções da equação diferencial não linear de primeira ordem (y′ )2 = 4x2 . c) Construa uma função definida por partes que seja uma solução da ED não linear do item (b), mas não seja um membro da outra família de soluções do item (a). 22. Qual é a inclinação da reta tangente ao gráfico da √ solução de y′ = 6 y + 5x3 que passa por (−1, 4)? Nos problemas 23-26, verifique que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. Dê um intervalo de definição I para cada solução. 23. y′′ + y = 2 cos x − 2 sen x;
y = x sen x + x cos x
24. y′′ + y = sec x; y = x sen x + (cos x) ln(cos x) 25. x2 y′′ + xy′ + y = 0; y = sen(ln x) 26. x2 y′′ + xy′ + y = sec(ln x); y = cos(ln x) ln(cos(ln x)) + (ln x) sen(ln x) Nos problemas 27-30 verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. dy 27. x dx +y=
28.
dy 2 dx
1 ; y2
+1=
x3 y3 = x3 + 1
1 ; y2
(x − 5)2 + y2 = 1
29. y′′ = 2y(y′ )3 ; y3 + 3y = 1 − 3x 30. (1 − xy)y = y ; y = e ′
2
xy
Nos Problemas 31-34, y = c1 e3x + c2 e−x − 2x é uma família de dois parâmetros da ED de segunda ordem y′′ − 2y′ − 3y = 6x + 4. Encontre uma solução para o PVI de segunda ordem consistindo desta equação diferencial e as condições iniciais dadas.
FIGURA 1.R.1 Gráfico para o Problema 35.
36. Um tanque com a forma de um cilindro circular reto com raio de 2 pés e altura de 10 pés está na vertical sobre uma das bases. Se o tanque estiver inicialmente cheio de água e ela vaza por um buraco circular em sua base inferior com raio de 12 pol, determine a equação diferencial para a altura h da água em um instante t > 0. Ignore o atrito e a contração da água no buraco. 37. O número de camundongos campestres em um certo pasto é dado pela função 200 − 10t, em que t é dado pelo número de anos. Determine a equação diferencial que governa uma população de corujas que se alimentam dos camundongos se a taxa de crescimento da população de corujas é proporcional à diferença entre o número de corujas em um dado instante t e o número de camundongos no mesmo instante t > 0. 38. Suponha que dA/dt = −0,0004332A(t) represente um modelo matemático para a desintegração radioativa do rádio-226, em que A(t) é a quantidade de rádio (medida em gramas) restantes em um dado instante t (medido em anos). Quanto da amostra de rádio resta em um dado instante t quando a amostra está sofrendo desintegração a uma taxa de 0,002 g/ano?