E QUAÇÕES D IFERENCIAIS COM A PLICAÇÕES EM M ODELAGEM — Prova 4 — 7/1/2016 — Maluhy&Co. — página (local 16, global #60)
✐
✐
16 •
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM APLICAÇÕES EM MODELAGEM
Observe que, nos exemplos 1 e 3, a frase “uma solução” é usada no lugar de “a solução” do problema. O artigo indefinido “uma” é deliberadamente usado para sugerir a possibilidade de que possa haver outras soluções. Até agora não foi demonstrado que há uma única solução para cada problema. O exemplo seguinte apresenta um problema de valor inicial com duas soluções. EXEMPLO 4
Um PVI pode ter várias soluções 1 4 Cada uma das funções y = 0 e y = 16 x satisfaz a equação diferencial dy/dx = xy1/2 e a condição inicial y(0) = 0; portanto, o problema de valor inicial
dy = xy1/2 , dx FIGURA 1.2.5 Duas curvas de soluções do mesmo PVI no Exemplo 4.
y(0) = 0
tem pelo menos duas soluções. Conforme ilustrado na Figura 1.2.5, os gráficos das duas funções passam pelo mesmo ponto (0, 0).
Dentro dos limites seguros de um curso formal de equações diferenciais, podemos ficar moderadamente confiantes de que a maior parte das equações diferenciais terá soluções e que as soluções do problema de valor inicial serão provavelmente únicas. A vida real, porém, não é tão idílica. Portanto, é desejável saber, antes de tentar resolver um problema de valor inicial, se há uma solução e, quando houver, se é a única solução do problema. Uma vez que estudaremos equações diferenciais de primeira ordem nos dois capítulos seguintes, vamos enunciar aqui, sem demonstração, um teorema simples, que dá condições suficientes para garantir a existência e a unicidade de uma solução do problema de valor inicial de primeira ordem da forma apresentada em (2). No Capítulo 4 abordaremos a questão da existência e unicidade de um problema de valor inicial de segunda ordem. TEOREMA 1.2.1
Existência de uma única solução
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contém o ponto (x0 , y0 ). Se f (x, y) e ∂ f /∂y são contínuas em R, então existe algum intervalo I0 : x0 − h < x < x0 + h, h > 0, contido em a ≤ x ≤ b, e uma única função y(x), definida em I0 , que é uma solução do problema de valor inicial (2). O resultado precedente é um dos teoremas de existência e unicidade mais populares de equações lineares de primeira ordem, pois os critérios de continuidade de f (x, y) e ∂ f /∂y são relativamente fáceis de ser verificados. A geometria do Teorema 1.2.1 está ilustrada na Figura 1.2.6.
FIGURA 1.2.6 Região R retangular.
EXEMPLO 5
Revisão do Exemplo 4
Vimos no Exemplo 4 que a equação diferencial dy/dx = xy1/2 tem pelo menos duas soluções cujos gráficos passam por (0, 0). Uma análise das funções ∂f x f (x, y) = xy1/2 e = 1/2 ∂y 2y