E QUAÇÕES D IFERENCIAIS COM A PLICAÇÕES EM M ODELAGEM — Prova 4 — 7/1/2016 — Maluhy&Co. — página (local 12, global #56)
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM APLICAÇÕES EM MODELAGEM
Nos problemas 45 e 46, a figura representa o gráfico de uma solução implícita G(x, y) = 0 da equação diferencial dy/dx = f (x, y). Em cada caso, a relação G(x, y) = 0 define implicitamente várias soluções da ED. Reproduza cuidadosamente cada figura em uma folha. Use lápis coloridos para marcar segmentos, ou partes, em cada gráfico que correspondam a gráficos de soluções. Tenha em mente que uma solução φ deve ser uma função diferenciável. Use a curva integral para estimar o intervalo de definição I de cada solução φ. 45.
FIGURA 1.1.6 Gráfico para o Problema 45.
46.
FIGURA 1.1.7 Gráfico para o Problema 46.
47. Os gráficos dos membros da família a um parâmetro x3 + y3 = 3cxy são chamados fólios de Descartes. Observe que essa família é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dy y(y3 − 2x3 ) . = dx x(2y3 − x3 ) 48. O gráfico na Figura 1.1.7 é um membro da família de fólios do Problema 47 correspondente a c = 1. Discuta como a equação diferencial no Problema 47 pode ajudá-lo a encontrar pontos no gráfico de x3 +y3 = 3xy para os quais a reta tangente é vertical. Como o conhecimento de onde uma reta tangente é vertical pode ajudá-lo a determinar um intervalo I de definição de uma solução φ de ED? Leve a termo suas ideias e compare com suas estimativas dos intervalos no Problema 46. 49. No Exemplo 5, o maior intervalo I no qual as soluções explícitas y = φ1 (x) e y = φ2 (x) são definidas é o intervalo aberto (−5, 5). Por que o intervalo I não pode ser definido como o intervalo fechado [−5, 5]?
50. No Problema 21, uma família de soluções com um único parâmetro da ED P′ = P(1 − P) é dada. Alguma das curvas das soluções passa pelo ponto (0, 3)? Alguma das curvas das soluções passa pelo ponto (0, 1)? 51. Discuta e ilustre com exemplos como resolver equações diferenciais da forma dy/dx = f (x) e d2 y/dx2 = f (x). 52. A equação diferencial x(y′ )2 − 4y′ − 12x3 = 0 tem a forma geral dada em (4). Determine se a equação pode ser colocada na forma normal dy/dx = f (x, y). 53. A forma normal (5) de uma equação diferencial de ordem n será equivalente a (4) todas as vezes que ambas tiverem exatamente as mesmas soluções. Construa uma equação diferencial de primeira ordem na qual F(x, y, y′ ) = 0 não seja equivalente à forma normal dy/dx = f (x, y). 54. Ache uma equação diferencial linear de segunda ordem F(x, y, y′ , y′′ ) = 0 para a qual y = c1 x + c2 x2 seja uma família a dois parâmetros de soluções. Assegure-se de que sua equação não contenha os parâmetros arbitrários c1 e c2 . Informações qualitativas sobre a solução de uma equação diferencial podem ser frequentemente obtidas na própria equação. Antes de trabalhar nos problemas 55 a 58, relembre o significado geométrico das derivadas dy/dx e d2 y/dx2 . 2
55. Considere a equação diferencial dy/dx = e−x . a) Explique por que a solução da ED necessariamente é uma função crescente em qualquer intervalo do eixo x. b) Quais são os limites lim dy/dx e lim dy/dx? x→−∞ x→∞ O que isto implica a respeito da curva da solução quando x → ±∞? c) Determine um intervalo no qual a solução y = φ(x) tem concavidade para baixo e um intervalo no qual a curva tem concavidade para cima.
d) Esboce o gráfico da solução y = φ(x) da equação diferencial na qual a forma é sugerida nas partes (a) a (c). 56. Considere a equação diferencial dy/dx = 5 − y.
a) Através de inspeção ou pelo método sugerido nos problemas 33-36, encontre uma solução da ED constante.
b) Usando apenas a equação diferencial, encontre intervalos no eixo y em que uma solução não constante y = φ(x) é crescente. Encontre intervalos no eixo y em que y = φ(x) é decrescente.