E QUAÇÕES D IFERENCIAIS COM A PLICAÇÕES EM M ODELAGEM — Prova 4 — 7/1/2016 — Maluhy&Co. — página (local 11, global #55)
✐
✐
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
23. 24.
d2 y dy − 4 + 4y = 0; 2 dx dx
y = c1 e2x + c2 xe2x
Rx 2 dy 2 2 + 2xy = 1; y = e−x 0 et dt + c1 e−x dx
Nos problemas 37 e 38, observe que o par de funções dado é uma solução do sistema de equações diferenciais dado no intervalo (−∞, ∞). 37.
25. Verifique que a função definida por partes −x2 , x < 0 y= x2 , x ≥ 0
não é uma solução da equação diferencial no intervalo (−5, 5).
Nos problemas 27-30 encontre os valores de m de forma que a função y = emx seja a solução da equação diferencial dada. 27. y′ + 2y = 0 28. 5y = 2y ′
29. y′′ − 5y′ + 6y = 0 30. 2y + 7y − 4y = 0 ′′
′
Nos problemas 31 e 32 encontre os valores de m de forma que a função y = xm seja solução da equação diferencial dada. 31. xy + 2y = 0 ′′
′
32. x2 y′′ − 7xy′ + 15y = 0 Nos problemas 33-36, use o conceito de que y = c, −∞ < x < ∞ é uma função constante se e somente se y′ = 0 para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes. 33. 3xy′ + 5y = 10 34. y + 4y + 6y = 10 ′′
′
35. (y − 1)y′ = 1 36. y′ = y2 + 2y − 3
dx = x + 3y dt dy = 5x + 3y; dt x = e−2t + 3e6t ,
é a solução de xy′ − 2y = 0 no intervalo (−∞, ∞).
√ 26. No Exemplo 5, vimos que y = φ1 (x) = 25 − x2 √ e y = φ2 (x) = − 25 − x2 são soluções da equação diferencial dy/dx = −x/y no intervalo (−5, 5). Explique por que a função definida por partes √ √25 − x2 , −5 < x < 0 y= − 25 − x2 , 0 ≤ x < 5
• 11
y = −e−2t + 5e6t 38.
d2 x = 4y + et dt2 d2 y = 4x − et ; dt2 x = cos 2t + sen 2t + 51 et , y = − cos 2t − sen 2t − 15 et
PROBLEMAS PARA DISCUSSÃO
39. Construa uma equação diferencial para a qual não haja nenhuma solução real. 40. Construa uma equação diferencial que você acredite ter somente a solução trivial y = 0. Explique seu raciocínio. 41. Que função você conhece do cálculo que é igual à sua derivada? Cuja derivada primeira seja k vezes ela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de primeira ordem com uma solução. 42. Que função ou funções você conhece do cálculo cuja derivada segunda seja igual a ela mesma? Cuja derivada segunda seja o negativo dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de segunda ordem com uma solução. 43. Dado que y = sen x é uma solução explícita da p dy equação de primeira ordem dx = 1 − y2 , encontre o intervalo I da definição. [Dica: I não é o intervalo (−∞, ∞).] 44. Discuta por que é intuitivo supor que a equação diferencial linear y′′ +2y′ +4y = 5 sen t tem uma solução da forma y = A sen t + B cos t, em que A e B são constantes. Em seguida, encontre as constantes A e B para as quais y = A sen t + B cos t é uma solução particular da ED.