E QUAÇÕES D IFERENCIAIS COM A PLICAÇÕES EM M ODELAGEM — Prova 4 — 7/1/2016 — Maluhy&Co. — página (local 4, global #48)
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM APLICAÇÕES EM MODELAGEM
onde f é uma função contínua de valores reais, é conhecida por forma normal de (4). Assim, quando servir aos nossos propósitos, usaremos a forma normal dy = f (x, y) e dx
d2 y = f (x, y, y′ ) dx2
para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira e segunda ordem. Por exemplo, a forma normal da equação de primeira ordem 4xy′ + y = x é y′ = (x − y)/4x; a forma normal da equação de segunda ordem y′′ − y′ + 6y = 0 é y′′ = y′ − 6y. Veja (iv) nas “Observações”, no fim desta seção. CLASSIFICAÇÃO POR LINEARIDADE
Dizemos que uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é linear se F for linear em y, y′ , . . . , y(n−1) . Isso significa que uma EDO de n-ésima ordem é linear quando (4) for an (x)y(n) + an−1 (x)y(n−1) + · · · + a1 (x)y′ + a0 (x)y − g(x) = 0 ou dn−1 y dn y dy (6) an (x) n + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x) dx dx dx Dois casos especiais observados de (6) são a equação diferencial linear de primeira e segunda ordem a1 (x)
dy + a0 (x)y = g(x) dx
e a2 (x)
d2 y dy + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). 2 dx dx
(7)
Da equação (6), em seu lado esquerdo, podemos, no caso da adição de EDOs lineares, observar duas propriedades: • A variável dependente y e todas as suas derivadas y′ , y′′ , ...yn são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é um. • Os coeficientes a0 , a1 , . . . , an de y, y′ , . . . , y(n) dependem quando muito da variável independente x. Uma equação diferencial ordinária não linear é simplesmente uma que não é linear. Funções não lineares da ′ variável dependente ou de suas derivadas, como sen y ou ey , não podem aparecer em uma equação linear. EXEMPLO 2
EDOs linear e não linear
(a) As equações (y − x)dx + 4xydy = 0,
y′′ − 2y′ + y = 0,
x3
d3 y dy + x − 5y = e x dx dx3
são, respectivamente, equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira ordem. Acabamos de demonstrar que a primeira equação é linear na variável y escrevendo-a na forma alternativa 4xy′ + y = x. (b) As equações
são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira, segunda e quarta ordem, respectivamente.
SOLUÇÕES
Conforme afirmado anteriormente, uma das metas deste curso é resolver ou encontrar soluções para equações diferenciais. Na definição a seguir vamos considerar o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária. DEFINIÇÃO 1.1.2
Solução de uma EDO
Toda função φ, definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas contínuas em I, as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo.