Preliminares matemáticos e análise de erros
P P
S XE ExemplO 3
39
1 2 Use o terceiro polinômio de Taylor, em h = 0, para mostrar que cos h + } h = 1 1 O (h4). 2
Solução No Exemplo 3(b) da Seção 1.1, descobrimos que esse polinômio é cos h
1
1 4 h cos ˜(h), 24
1 2 h 2
para algum número j˜(h) entre zero e h. Consequentemente, 1 1 cos h + h 2 = 1 + h 4 cos ξ˜ (h). 2 24
Portanto, 1 cos h + h 2 2
1 4 1 cos ξ˜ (h) h 4 ≤ h , 24 24
−1 =
de modo que, quando h r 0, h 1 }12 h 2 converge para seu limite, 1, tão rapidamente quanto h 4 converge para 0. Ou seja, 1 cos h + h 2 = 1 + O(h 4 ). 2
n
EXERCÍCIOS 1.3 1. Use a aritmética de truncamento, com três algarismos, para calcular as seguintes somas. Para cada parte, qual método é mais preciso e por quê? a. b.
10 2 i=1 (1/i ) 10 3 i=1 (1/i )
primeiro por primeiro por
1 1 1 1
+ +
1 4 1 8
+ ··· + +
1 27
1 100
e então por
+ ··· +
1 1.000
1 100
+
e então por
1 + · · · + 11 . 81 1 1 + 729 + ··· 1.000
+ 11 .
∞
2. O número e é definido por e 5 ∑ n50(1/n!), em que n! 5 n(n − 1) · · · 2 · 1 para n 0 e 0! 5 1. Use a aritmética de truncamento, com quatro algarismos, para calcular as seguintes aproximações de e e determine os erros absoluto e relativo.
a. e c. e
5
∑
n 0 10
∑
n 0
1 n!
b. e
1 n!
d. e
5
∑ (5
1
j)!
j 0 10
∑ (10 1
j 0
j)!
3. A série de Maclaurin para a função arco-tangente converge para 21 , x # 1 e é determinada por arctg x
lim Pn(x) n
∞
n
n
∑ ( 1)i ∞
lim
i 1
1
x2i 1 . 2i 1
a. Use o fato de que tg π/4 5 1 para determinar o número n de termos da série que precisam ser somados para garantir que u4Pn(1) 2 πu , 1023. b. A linguagem de programação C11 exige que o valor de π seja conhecido com precisão de 10210. Quantos termos da série seriam necessários somar para obter essa ordem de precisão?
Analise.indb 39
15/12/2015 08:40:11