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Preliminares matemáticos e análise de erros
Definição 1.17 Suponha que E0 . 0 denote um erro introduzido em algum estágio dos cálculos e En represente o módulo do erro após n operações subsequentes. Se En < CnE0, onde C é uma constante independente de n, então o crescimento do erro é dito linear. • Se En < C nE0, para algum C . 1, então o crescimento do erro é exponencial. n O crescimento linear do erro é normalmente inevitável e, quando C e E0 são pequenos, os resultados são geralmente aceitáveis. O crescimento exponencial do erro deve ser evitado, visto que o termo Cn se torna grande mesmo para valores de n relativamente pequenos. Isso leva a imprecisões inaceitáveis, independentemente do tamanho de E0. Consequentemente, um algoritmo que exiba um crescimento linear de erro é estável e um algoritmo que apresente um crescimento de erro exponencial é instável. (Veja a Figura 1.10.)
•
En
Crescimento de erro exponencial instável E n 5 C nE 0
Crescimento de erro linear estável E n 5 CnE 0 E0
Figura 1.10 Ilustração
1
2
3
4
5
6
7
8
c 1!
1 n 3@
n
Para quaisquer constantes c1 e c2 ,
pn
n
c23 , (1.4)
é uma solução da equação recursiva pn
10 p 3 n
1
pn 2,
para n
2, 3, . . .
Isto pode ser visto observando que 10 10 pn−1 − pn−2 = c1 3 3
Analise.indb 35
1 3
n−1
+ c2 3n−1 − c1
n−2
1 3
+ c2 3n−2
1 3
n−2
= c1
10 1 10 · − 1 + c2 3n−2 ·3−1 3 3 3
1 3
n−2
= c1
1 9
+ c2 3n−2 (9) = c1
1 3
n
+ c 2 3n = p n .
15/12/2015 08:40:07