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Matemática Aplicada a Administração e Economia
Raízes de Equações Polinomiais Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma an x n an 1x n 1 a0 0 onde n é um inteiro não negativo e a0, a1, . . . , an são números reais com an 0. Por exemplo, a equação 2x 5 8x 3 6x 2 3x 1 0 é uma equação polinomial de grau 5 em x. As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satisfazem a referida equação*. Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação polinomial é fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equação polinomial x 3 3x 2 2x 0 pode ser reescrita na forma
x1x2 3x 2 2 0
ou
x1x 12 1x 2 2 0
Como o produto de dois números reais pode ser igual a zero se, e apenas se, um (ou ambos) dos fatores for igual a zero, temos x 0
x 1 0
ou
x 2 0
onde vemos que as raízes desejadas são x 0, 1 e 2.
A Fórmula Quadrática Geralmente, encontrar as raízes de uma equação polinomial não é uma tarefa fácil. Mas as raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) são encontradas por fatoração ou utilizando-se as seguintes fórmulas quadráticas.
Fórmula Quadrática
As soluções para a equação ax 2 bx c 0 (a 0) são dadas por x
b 2b 2 4ac 2a
Observação Caso você use a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática, primeiro verifique se a equação se encontra na forma canônica ax 2 bx c 0.
EXEMPLO 11 Resolva as seguintes equações quadráticas: a. 2x2 5x 12 0
b. x2 3x 8
Solução
A equação está na forma padrão (canônica), com a 2, b 5 e c 12. Usando a fórmula quadrática, encontramos 5 252 412 2 1 12 2 b 2b 2 4ac 2a 212 2 5 1121 5 11 4 4
x
*Neste livro, consideraremos apenas as raízes reais de uma equação.