Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC
1
Autores:
Miguel Martínez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marín
Ejercicios Resueltos
(ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los estudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para buscar, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi…cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.
1.1
Problema 1.
i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R: f (x) =
0 si x si 0
x
0
x
Solución: i) Calculo de los coe…cientes de Fourier. " # 0 R R R 1 1 f (x)dx + f (x)dx = a0 = 2 f (x)dx = 2 0 h 2i x 1 = 4 a0 = 2 2 0 R R an = 1 f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx
1 2
0
Usando hel método de integración i hpor partes sentiene: i cos(nx) 1 x cos(nx) 1 1 an = + n2 = 0 0 + ( n1) 2 n n2 0
an =
( 1)n 1 n2
=
0
2 n2
para n par para n impar
así: a2n = 0 8n a2n 1 = (2n 21)2 8 n: R R bn = 1 f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx 0 h i x cos(nx) sin(nx) ) 1 = + n2 = cos(n n n 0 luego el coe…ciente es: n+1 bn = ( 1)n
1
R 0
xdx