Sinus_1T-2020-blaibok

Oldervoll | Svorstøl | Vestergaard Gustafsson | Osnes | Jacobsen | Pedersen

Sinus MATEMATIKK

STUDIEFORBEREDENDE VG1 BOKMÅL

T

Foto og grafikk: Bildene er fargemanipulert.

Omslagsfoto: Unsplash/Jimmy Chang Kapittel 1: Unsplash/Emilie Christensen Kapittel 2: Adobe Stock/Zoran Kapittel 3: Adobe Stock/Ewan Arnolda Kapittel 4: Adobe Stock/Andrey_A Kapittel 5: Adobe Stock/Olena Kapittel 6: Unsplash/Autumn Studio Kapittel 7: Unsplash/Stéphane Mingot Oppgavedel: Adobe Stock/araho Side 17: iStock/tulpahn Side 23: DigitalVision Vectors/Erhui1979 Side 240: Adobe Stock/Moodboard Side 273: iStock/Rallef Side 327: iStock/Farbai

© Cappelen Damm AS, Oslo 2020 Sinus 1T følger læreplan (LK20) i teoretisk matematikk fellesfag 1T fra 2020, for vg1 studieforberedende utdanningsprogram.

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Kilde for alle eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet.

Alle disse oppgavene er merket med årstall. De er gjengitt med tillatelse.

Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktører: Grete Maus og Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2020 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2020 Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-64652-3 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2020. Boka Sinus 1T er skrevet for faget 1T i den videregående skolen. Boka legger vekt på tradisjonell matematikk og legger opp til grundig forståelse av faget, blant annet ved at eleven ser på matematiske problemer fra flere synsvinkler. I teoridelen har hvert kapittel og delkapittel og hver oppgavesekvens økende vanskegrad. Et sammendrag av regler og metoder samt en kapitteltest står bakerst i hvert kapittel.

Boka inneholder mange diskusjonsoppgaver der elevene lærer å kommunisere idéer, drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger. Dybdelæring og utforskende matematikk er sentralt i læreplanene fra 2020. Til boka hører det mange utforskningsark med opplegg som er best egnet for arbeid i grupper med tre til fire elever. I teoridelen står en introduksjon til arkene. De ligger på nettstedet vårt sammen med en grundig lærerveiledning. Arkene gir utfordringer for elever på alle nivåer, vekker faglig nysgjerrighet og lar elevene oppdage ny og spennende kunnskap. Iblant kan arbeidet med arket erstatte en gjennomgang av teorien i boka. Elever og klasser har nok ikke tid til å gjøre alle arkene.

Men noe slikt arbeid må alle gjøre for å oppfylle kravene i læreplanen.

Boka inneholder grundige forklaringer på bruk av GeoGebra som grafisk verktøy og som CAS-verktøy. I tillegg lærer elevene å bruke programmeringsspråket Python. Til verket hører også et eget nettsted: sinus.cdu.no. Her finner vi tilleggsstoff med blant annet løsninger av oppgavene i teoridelen.

Oppgavedelen av boka delt i tre deler: «Øv mer», «Uten hjelpemidler» og «Med hjelpemidler». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. De to andre delene inneholder både eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for alle elever. Oppgavene er merket, slik at læreren vet hvilke oppgaver som elevene kan løse når de er ferdig med et delkapittel. Helt til slutt i boka finner vi fasit og stikkordregister. coSinus 1T er et digitalt læremiddel som er et supplement til Sinus 1T. Teoridelen er utvidet med blant annet animasjoner. Når elevene løser oppgaver, får de nyttige tilbakemeldinger hvis de gjør feil. Her er også videoer for omvendt undervisning.

Læreren finner dessuten verktøy for å følge med framdriften til elevene.

I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer.

Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Birte Vestergaard Einar Gustafsson – Egil Reidar Osnes – Robin Bjørnetun Jacobsen – Terje Pedersen

3

s

Innhold

s

4

1

Formler og likninger

......................................................

6

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variabler og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likninger og identiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

To lineære likninger med to ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne likningen for ei linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafisk avlesing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9 13 18 24 31 36 42 46 52

2

Faktorisering

...............................................................

56

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Heltallsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fullstendig kvadrat-metoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 61 64 68 72 75 79

3

Andregradslikninger

......................................................

82

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andregradsfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafisk løsning av andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratrøtter og røtter av høyere orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Faktorisering ved hjelp av nullpunktene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 88 95 101 106 111 117 120 123

4

Tredjegradslikninger og ulikheter

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Lineære ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Resten ved en polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Faktorisering av polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likninger og ulikheter av tredje grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rasjonale ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

127 133 139 143 148 154 160 164 169 173

5

Modeller og funksjoner

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynomregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potensfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rasjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Vekstfart og derivasjon

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Noen derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Numerisk likningsløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 234 238 240 244 248 253 261 268

7

Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ubestemte trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag og kapitteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Formler og likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Tredjegradslikninger og ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Modeller og funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310 311 330 338 356 372 403 426

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

177 181 184 189 195 202 209 217 226

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

273 280 286 290 294 298 302 306

Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Fasit – oppgavedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

5

s

FORMLER OG LIKNINGER Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • formulere og løse problemer ved hjelp av ulike problemløsningsstrategier og digitale verktøy • identifisere variable størrelser i ulike situasjoner, sette opp formler og utforske disse ved hjelp av digitale verktøy • utforske strategier for å løse likninger, likningssystemer og ulikheter og argumentere for egne tenkemåter • forklare forskjellen på en identitet, en likning, et algebraisk uttrykk og en funksjon • lese, hente ut og vurdere matematikk i relevante tekster knyttet til tverrfaglige temaer og presentere relevante beregninger og analyser av resultatene

UTFORSK – MAGISKE K VADRATER Kolonne

Tegn et kvadrat med 3 rader og 3 kolonner. Sett inn tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i rutene slik at summen av tallene i hver rad er det samme som summen av tallene i hver kolonne, og dessuten i hver diagonal.

Hvert tall skal brukes akkurat ĂŠn gang.

Diagonal Rad

Hvor mange magiske kvadrater klarer du ĂĽ lage?

1.1 Regnerekkefølge Sett dere i smĂĽ grupper og diskuter hvordan dere vil regne ut disse uttrykkene: a) 4 ˜ 3 2

b) 2 4 ˜ 3

c) 2 ˜ 32

d) 2 ˜ 3

e) 5 22

f) 22 5

g) 52

h) 5

2

2

Hva er hensikten med parenteser i slike regnestykker?

Nür vi skal regne ut et uttrykk, mü vi alltid gjøre det i denne rekkefølgen:

1 2 3 4

Regn først ut parentesene.

Regn deretter ut potensene.

Utfør sü multiplikasjonene og divisjonene.

Utfør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Vi viser nĂĽ med et eksempel hvordan vi gĂĽr fram.

EKSEMPEL Regn ut 2 ˜ 3 1 6 2 4 4 ˜ 23.

LĂ˜SNING:

2 ˜ 3 1 6 2 4 4 ˜ 23 ◀ 1. Parenteser 2 ˜ 4 8 4 4 ˜ 23

â—€ 2. Potenser

2 ˜ 4 8 4 4 ˜ 8

â—€ 3. Multiplikasjoner og divisjoner

8 2 32 22

â—€ 4. Addisjoner og subtraksjoner

â–˛ 7

s

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ˜ 23. Det er ikke det samme som 83. NĂĽr vi skriver 4 ˜ 23, skal bare 2-tallet opphøyes i tredje potens, slik at 4 ˜ 23 4 ˜ 8 32 Hvis vi vil at 4-tallet ogsĂĽ skal opphøyes i tredje potens, mĂĽ vi sette en parentes og skrive

4 ˜ 2 3

83 512

Nür vi skriver 32, skal bare tallet 3 opphøyes i andre potens, ikke tallet 3.

Dermed er 32 9 2

Hvis vi vil opphøye tallet –3 i andre potens, mü vi skrive 3 .

3 2

9

PĂĽ gode lommeregnere kan vi regne ut 2 ˜ 3 1 6 2 4 4 ˜ 23 uten ĂĽ dele opp uttrykket. Vi taster inn hele uttrykket pĂĽ ĂŠn gang. Prøv ĂĽ fĂĽ det til pĂĽ din lommeregner. Vi kan ogsĂĽ bruke GeoGebra CAS. Da gĂĽr vi fram slik: øverst i høyre hjørne og velger Vis .

Vi ĂĽpner GeoGebra, klikker pĂĽ Der merker vi av for CAS. Der skriver vi uttrykket slik det stĂĽr. Som delingstegn bruker vi tegnet ‘/’ pĂĽ tastaturet. For ĂĽ fĂĽ fram multiplikasjonstegnet, bruker vi tegnet ‘ ’. Vi trykker ‘Alt 3’ for ĂĽ fĂĽ fram eksponenten 3 i 23. Svaret kommer fram nĂĽr vi trykker pĂĽ .

Legg merke til at GeoGebra ikke skiller mellom delingstegn og brøkstrek. ? 1.10

Regn ut bĂĽde med og uten digitalt hjelpemiddel. a) c) e) g)

s

8

4 ˜ 22 5 32 22 32 2 ˜ 2

3 2 5 ˜ 3 6

b) d) f) h)

1 | FORMLER OG LIKNINGER

2

4 ˜ 2

5 3 2 2 2 2 3 22 3 2 4 ˜ 5 23

1.11

Regn ut bĂĽde med og uten digitalt hjelpemiddel. b) 3 ˜ 4 12 2 ˜ 32 a) 2 ˜ 7 5 2 2 c) 8 4 3

d) 24 3 ˜ 17 32 3 ˜ 42 2 ˜ 52

1.12

Regn ut uten digitalt hjelpemiddel.

2 6 b) 26 2

a) 2 ˜ 2 ˜ 2 2

3 3 5 5 c) 4 ˜ 3 2 3 ˜ 2 3

d) 4 ˜ 22 3 3 ˜ 23 32

I GeoGebra CAS kan vi regne ut alle slike talluttrykk. Hvis vi skal regne ut 2 ˜ 32 1 2

4

i CAS, fĂĽr vi fram eksponenten 2 i 32 ved trykke ‘Alt 2’ eller ‘^’ etterfulgt av 2.

4 Eksponenten 4 i 2 fĂĽr vi fram pĂĽ tilsvarende mĂĽte.

? 1.13

Løs oppgave 1.12 i CAS.

1.2 Variabler og parenteser Forklar uten ĂĽ bruke regneregler for parenteser hvorfor 7 3 2 er lik 7 3 2 og hvorfor 2 ˜ 3 2 er lik 2 ˜ 3 2 ˜ 2.

En variabel er et tall med ukjent verdi. NĂĽr vi skal arrangere en fotballkamp, vet vi ikke hvor mange som kommer for ĂĽ se pĂĽ. Vi kan la x vĂŚre antallet. Da er x en variabel. Hvis billettene koster 100 kr, gir uttrykket 100x inntektene i kroner.

Uttrykket 2x 4x bestĂĽr av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: 2x 4x 6x

9

s

I uttrykket 4a2 2a 1 a2 3a 1 er det seks ledd. Leddene 4a2 og a2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi sorterer leddene slik at ledd av samme type stür samlet, og trekker sammen: 4a2 2a 1 a2 3a 1 4a2 a2 2a 3a 1 1 3a2 5a Nür vi regner med bokstavuttrykk, für vi bruk for ü løse opp parenteser. Nür vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Da bruker vi disse reglene:

Nür vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, mü vi skifte fortegn pü alle leddene inne i parentesen.

En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten ĂĽ endre noe fortegn inne i parentesen.

EKSEMPEL Trekk sammen. a) a 2 3a b 2a 2 3a 3b b) 2x x 2 2x 2y 2x 2 3y

LĂ˜SNING:

a)

a 2 3a b 2a 2 3a 3b a 2 2a 2 3a 3a b 3b 3a2 4b

b)

2x x 2 2x 2y 2x 2 3y 2x x 2 2x 2y 2x 2 3y

x 2 2x 2 2x 2x 2y 3y

x 2 y

â–˛ ? 1.20

Trekk sammen. a) 2x 5y 3x 7y 1 c) 2x 2 x y 2 2x 2y 2

s

10

1 | FORMLER OG LIKNINGER

b) a 2 2a 3 a 2 3a 1 d) 2xy xy 2 x 2y 2xy 2 yx

1.21

Løs opp parentesene og trekk sammen. b) a 2b a b

a) 5x y 2x y

2 2 c) x 2x 1 x 2x 1

d) 2a2 a 3 a2 a 3

NĂĽr vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene:

NĂĽr vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, mĂĽ vi multiplisere tallet med hvert ledd som stĂĽr inne i parentesen.

Nür vi skal multiplisere to parentesuttrykk, mü vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL Regn ut. a) 2 3x 4

b) 3 x 4 2 2x 5

c) x 1 2x 1 2x 1 x 1

LĂ˜SNING:

a)

2 3x 4 2 ˜ 3x 2 ˜ 4 6x 8

b) Denne oppgaven kan vi løse pü to müter. En müte er først ü gange tallene uten fortegn inn i parentesene og beholde parentesene: 3 x 4 2 2x 5 3x 12 4x 10 3x 12 4x 10 x 2 Vi kan ogsü gange tallene med fortegn med tallene i parentesen slik: 3 x 4 2 2x 5 3 x 4 2 2x 5 3x 12 4x 10 x 2 Nür vi bruker denne metoden, tar vi vanligvis ikke med den første mellomregningen. Vi fører utregningen slik: 3 x 4 2 2x 5 3x 12 4x 10 x 2 c) Her multipliserer vi først parentesene og beholder parentesene om produktet:

x 1 2x 1 2x 1 x 1 2x 2 x 2x 1 2x 2 2x x 1

2x 2 x 2x 1 2x 2 2x x 1 2x

â–˛ 11

s

? 1.22

Regn ut. a) 2 x 4

c) 3 2x 1 2 3x 1

b) 2 t 3

d) 5 x 2 3x 2 5 x 2 1

1.23

Trekk sammen. a) 2 2a b 3 2a 3b

c) x 1 2x 3

b) 2a ab b 2 2b a 2 ab

d) 3t 2 2t 1

1.24

Trekk sammen. a) 2x 1 x 3 x 1 x 4

b) x 3 4x 1 2x 1 2x 3

3 d) t 3 8t 4

4

c) 2 x 1 2x 3

Nür skal multiplisere tall, kan vi gjøre det i den rekkefølgen vi vil.

1

§x

2¡

Finn den enkleste mĂĽten ĂĽ regne ut 6 ˜ 7 ˜ og 6 ˜ 2x 1 ˜ ¨ ¸ uten 2 Š 2 3š hjelpemiddel.

NĂĽr vi skal regne ut 6 ˜ 2x 1 ˜ §¨ ¡¸, mĂĽ vi ikke multiplisere begge Š 2 3š parentesene med 6. x

2

I CAS kan vi regne ut alle slike algebraiske uttrykk. Her har vi regnet ut x 2 6 ˜ 2x 1 ˜ §¨ ¡¸: Š2

3š

Som brøkstrek bruker vi tegnet ‘/’ pĂĽ tastaturet. Vi bruker piltastene for ĂĽ flytte markøren mellom telleren og nevneren og for ĂĽ komme ut av brøken.

IÂ dette uttrykket trenger vi ikke ĂĽ skrive gangetegnene. ? 1.25

Løs oppgave 1.24 i CAS.

s

12

1 | FORMLER OG LIKNINGER

UTFORSK – GJET T PÅ ET TALL

Hver av dere velger et tall, legger 10 til tallet og ganger sĂĽ svaret med 3.

Trekk deretter fra det tallet dere valgte. Gi det svaret du nü har til lÌreren, og be lÌreren finne ut hvilket tall du valgte.

Ta utgangspunkt i regnestykket ditt og bruk algebra for ü forklare hvordan lÌreren gjør dette.

1.3 Likninger og identiteter For hvilke verdier for x er 3 x 2 18?

For hvilke verdier for x er 3 x 2 x 2 x 3 ? Ă… løse likningen 3x 12 er det samme som ĂĽ finne den verdien for variabelen x som er slik at 3x blir 12. Vi ser at løsningen er x 4 fordi 3 ˜ 4 12, og at ingen andre verdier for x kan passe. Vi kan føre løsningen slik: 3x 12 x 4 At likningen 2x 1 7 har løsningen x 3, ser vi umiddelbart, for 2 ˜ 3 1 7, og ingen andre verdier passer. Vi kan gjerne løse likningen slik: 2x 1 7 x 3 NĂĽr vi skal løse mer kompliserte likninger, trenger vi de regnereglene vi lĂŚrte pĂĽ ungdomsskolen:

Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet pĂĽ begge sidene av likhetstegnet.

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet pĂĽ begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

Vi kan flytte et ledd over pĂĽ den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn pĂĽ leddet.

13

s

Nür vi har løst en likning, kan vi sette prøve pü svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene har samme verdi.

EKSEMPEL Løs likningen og sett prøve pü svaret.

7x 2 3x 10 LĂ˜SNING:

7x 2 3x 10 7x 3x 10 2 4x 12 x 3 Vi setter prøve pü svaret ved ü sette inn x 3 pü begge sidene i likningen.

Venstre side: Høyre side:

7x 2 7 ˜ 3 2 19 3x 10 3 ˜ 3 10 19

Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.

â–˛ ? 1.30

Løs likningene og sett prøve pü svaret. a) 3x 1 x 2 b) 2x 2 2x 2

c) 2x 2 3x 7

1.31

Løs likningene. a) 12x 13 9x 7

b) 7x 11 2x 3

c) 0,02x 0,7 0,03x 0,2

Nür vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte vÌre lurt ü bruke denne framgangsmüten: 1 Løs opp parenteser.

2 Multipliser med fellesnevneren pü begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker.

3 Trekk sammen leddene pĂĽ begge sidene av likhetstegnet.

4 Samle alle leddene med den ukjente pü venstre side og alle andre ledd pü høyre side.

5 Trekk sammen leddene pĂĽ begge sidene av likhetstegnet.

6 Finn løsningen ved ü dividere med tallet som stür foran den ukjente.

En slik punktvis framgangsmĂĽte kaller vi algoritme.

s

14

1 | FORMLER OG LIKNINGER

EKSEMPEL Løs likningen.

1 2x x 4 §¨ 1 ¡¸ 2 Š 3 š

1 x x 1

6 3

LĂ˜SNING:

1 1 2x x x 4 §¨ 1 ¡¸ x 1

6 2 Š 3 š 3 2x x x 1 x 2 1 | ˜6 ◀ Fellesnevneren er 6.

2 3 3 3 6 x 2 1 2 x 1 x 3 2x 2 ˜ 6 ˜ 6 ˜ 6 ˜ 6 2 ˜ 6 ˜ 6 1˜ 6 2 3 3 3 6 1

1

1

1

1

3x 12 4 x 6 2 x 2 x x 6 3x 2 4 x 4 x 1

â–˛ ? 1.32

Løs likningene. a) 3x x 2

2x 1 3x 9

x §x 1¡ §x ¡ ¨ ¸ x 2 ¨ 1¸ 2 Š 3 2š Š4 š 1 § 1¡ 1§ 1¡ §x 1¡ c) ˜ ¨ 3x ¸ ¨ 2 x ¸ 2 ˜ ¨ ¸ 2š 2 Š 3š 3Š Š 3 6š b)

I CAS kan vi løse alle slike likninger. Da skriver vi likningen i CAS. Nür vi skal skrive

2x , kan det vÌre lurt ü skrive brøkstreken først og sü flytte 3

markøren mellom telleren og nevneren ved hjelp av piltastene. Nür vi trykker pü

, für vi fram løsningen pü denne müten:

Nür vi skal løse en likning, trykker vi blir likningen forenklet og ikke løst.

og ikke pĂĽ

. NĂĽr vi trykker pĂĽ

,

15

s

? 1.33

Løs oppgave 1.32 i CAS. Hvis to uttrykk gir likt svar for alle verdier for variabelen x, sier vi at uttrykkene er identiske. Nür vi bruker regnereglene i kapittel 1.2, für vi identiske uttrykk. Uttrykkene 3 2x 1 og 6x 3 er identiske. Begge uttrykkene gir samme svar uansett hvilke x-verdier vi setter i uttrykkene.

I likningen 3 2x 1 6x 3 er alle verdier for x en løsning. En slik likning kaller vi en identitet.

Hvordan kan vi finne ut om en likning er en identitet?

EKSEMPEL Undersøk om likningen er en identitet. a) 2 3x 1 5 3 2x 1

b) 4 3x 1 2 2 5x 1 4 LĂ˜SNING:

a) Vi omformer hver side av likningen.

2 3x 1 5 3 2x 1

6x 2 5 6x 3 6x 3 6x 3 NĂĽ har vi fĂĽtt det samme uttrykket pĂĽ hver side av likhetstegnet, og alle verdier for x passer da i likningen.

Dette er en identitet. b)

4 3x 1 2 2 5x 1 4 12x 4 2 10x 2 4 12x 2 10x 2 2x 4 x 2 Bare ĂŠn verdi for x passer.

Dette er ikke en identitet.

â–˛

s

16

1 | FORMLER OG LIKNINGER

UTFORSK – LAG ET REGNEST YKKE AV TEKSTEN

Lotta Husum har en gürd og holder sauer og høner.

En dag teller hun at dyrene pü gürden til sammen har 40 øyne og 64 bein.

Hvor mange sauer og hvor mange høner har hun da? ? 1.34

Er likningen en identitet? a) 2 4x 1 8x 2 b) 3 2x 1 2x 3 3x 1 2x c) 5 2x 2 2 x 2 3 3x 2 x d) 3 2x 1 x 5 x 2 2 x 3

Til nü har vi løst ferdig oppstilte likninger. Noen ganger har vi oppgaver som ikke inneholder noen variabel, men som vi likevel kan løse ved hjelp av en likning. Da velger vi selv en variabel.

EKSEMPEL Anne, Berit og Cathrine har til sammen 1450 kr. Berit har 50 kr mer enn Anne. Cathrine har dobbelt sĂĽ mye som Anne.

Hvor mye penger har hver av dem?

LĂ˜SNING:

Her er det lurt ü sette kronebeløpet til Anne som en variabel x, for da kan vi enkelt finne uttrykk for beløpene til de to andre. Kronebeløpet til Berit blir x 50 og beløpet til Cathrine blir 2x. Til sammen skal dette bli 1450. x x 50 2 x 1450 4 x 1400 1400 x 4 x 350 Anne har 350 kr, Berit har 400 kr og Cathrine har 700 kr.

â–˛

17

s

? 1.35

a) Anne, Berit og Cathrine er 42 ĂĽr til sammen. Berit er dobbelt sĂĽ gammel som Anne. Cathrine er 2 ĂĽr eldre enn Berit.

Hvor gamle er hver av jentene? b) Abel, Bjarne, Cato og David er 36 ĂĽr til sammen. Bjarne er 2 ĂĽr yngre enn 2 Abel. Cato er dobbelt sĂĽ gammel som Bjarne. Alderen til David er av 7 summen av alderen til Bjarne og Cato.

Hvor gamle er hver av guttene? c) Adam er 10 ĂĽr eldre enn Xeres. Om 4 ĂĽr er Adam dobbelt sĂĽ gammel som Xeres. Hvor gammel er Xeres?

1.36

Faren til Xeres og Yasep ba dem velge ett felles tall.

SĂĽ sa han til Xeres: Legg 2 til tallet og gang deretter svaret med 3. Legg 4 til det tallet du nĂĽ har og gang sĂĽ svaret med 2.

Til Yasep sa han: Legg 1 til tallet dere valgte og gang svaret med 2. Legg sĂĽ 1 til det tallet du nĂĽ har og gang svaret med 3. Til slutt legger du til tallet 11.

Xeres og Yasep gjorde som faren sa, og de ble veldig forundret da de begge fikk samme svar.

Forklar hvorfor svarene ble like.

1.4 To lineĂŚre likninger med to ukjente Hva mener vi med et likningssett?

Hvordan løste dere likningssett pü ungdomsskolen?

Hvordan kan vi kontrollere at en løsning av et likningssett er riktig?

En likning av typen ax by c der a, b og c er tall, kaller vi en lineĂŚr likning. Likningen 5x 2y 4 er et eksempel pĂĽ en lineĂŚr likning. Likningen 5x 2 2y 4 er derimot ikke lineĂŚr, for den inneholder x 2 og ikke bare x.

Nü skal vi løse to lineÌre likninger med to ukjente. Her er et eksempel pü et slikt likningssett: 5x 2y 4 x y 5

s

18

1 | FORMLER OG LIKNINGER

Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som ü finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig.

NĂĽr vi skal løse likningssettet 5x 2y 4 x y 5 ved regning, kan vi bruke innsettingsmetoden. Da finner vi først et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi ĂĽ finne et uttrykk for x fra likning nr. 2 fordi det gir et enkelt uttrykk. x y 5 x 5 y Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i likning nr. 1: 5x 2y 4 5 ˜ 5 y 2y 4 25 5y 2y 4 7y 4 25 7y 21 y 3 Til slutt finner vi x ved ĂĽ sette inn i uttrykket x 5 y. x 5 y 5 3 2 Løsningen blir x 2 og y 3.

At dette er riktig, ser vi nür vi setter løsningen inn i de to likningene.

5x 2y 5 ˜ 2 2 ˜ 3 10 6 4 x y 2 3 5 Løsningen stemmer.

EKSEMPEL Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden.

2x y 8 3x 4y 1

19

s

LĂ˜SNING:

Her velger vi ü finne et uttrykk for y fra likning nr. 1 da det gir et uttrykk uten brøker.

2x y 8 y 2x 8 ◀ Multipliser alle leddene med –1. y 2x 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i likning nr. 2.

3x 4y 1 3x 4 ˜ 2x 8 1 3x 8x 32 1 11x 33 x 3 Vi finner y ved ĂĽ sette x 3 inn i uttrykket for y. y 2x 8 2 ˜ 3 8 6 8 2 Løsningen er x 3 og y 2.

â–˛ ? 1.40

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden. x 2y 4 2x y 3 1.41

Bruk innsettingsmetoden og løs likningssettene. b) 3x 4 y 1 a) x 2 y 5 x y 2 6 x y 7 c) x 2 y 4 3x y 3

d) x 2 y 2 1 x y 1 2

Nü skal vi løse likningssettet 5x 2 y x y

4 5

ved hjelp av addisjonsmetoden. Her ganger vi da den andre likningen med 2.

Det gir likningssettet øverst pü neste side.

s

20

1 | FORMLER OG LIKNINGER

5x 2y 4 2x 2y 10 Ettersom 5x 2y 4 og 2x 2y 10, mĂĽ

5x 2y 2x 2y

4 10

5x 2y 2x 2y 14 7x 14 x 2 Her ser vi hvorfor vi ganget den andre likningen med 2. Det var for at y-leddene skulle forsvinne da vi la sammen likningene. Til vanlig fører vi den siste utregningen slik: 5x 2y 4 2x 2y 10 7x 14 x 2 I raden under streken har vi summert de to radene over streken. Nü setter vi inn x 2 i en av likningene for ü finne y. x y 5 2 y 5 y 3 Løsningen er x 2 og y 3.

EKSEMPEL Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden. b) 7x 3 y 1 1 a) x 2 y 9 2x 3 y 13 3x 2 y 8 LĂ˜SNING:

a) Her kan vi gange den første likningen med 2. x 2 y 9 _ ˜ 2

2x 3 y 13 2x 4 y 18 2x 3 y 13 y 5 y 5 21

s

NĂĽ setter vi inn y 5 i den første likningen. x 2y 9 x 2˜5 9 x 10 9 x 1 Løsningen er x

1 og y

5

b) Her kan vi gange den første likningen med 2 og den andre med 3.

7 x 3 y 11 | ˜2 3 x 2 y 8 | ˜3 14 x 6 y 22 9 x 6 y 24 23x x 2

46

Til slutt setter vi x 2 inn i den andre likningen.

3x 2 y 8 3˜2 2y 8 6 2y 8 2y 2 y 1 Løsningen er x

2 og y 1

â–˛ ? 1.42

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden. x 2 y 2x y

4 3

1.43

Bruk addisjonsmetoden og løs likningssettene. b) 3x 4 y 1 c) 3x 4 y a) x 2 y 5 x y 2 6 x y 7 4x 3 y

s

22

1 | FORMLER OG LIKNINGER

6 8

I GeoGebra CAS kan vi løse likningssett. Her viser vi framgangsmüten ved ü løse likningssettet 5x 2y 5 x y 5 Først skriver vi først inn de to likningene i hver sin rad.

Deretter markerer de to radene. Da holder vi inne venstre musetast og drar og fĂĽr svaret pĂĽ musepekeren over de to radene. Til slutt trykker vi pĂĽ denne mĂĽten:

Løsningen er x 2 og y 3 ? 1.44

Løs likningssettene i CAS. b) x 2 y 2 a) 2 x y 1 1 3 x y 2 x y 2 2 d) 0,1x y 2,4 c) x 2 y 7 0,4 x y 3,4 5 2x 7 2 UTFORSK – KRYPTOGRAMMER

Her ser du et kryptogram: EN ˜ EN TRE I et kryptogram er sifrene fra 0 til 9 erstattet med hver sin bokstav.

Hvilke sifre mĂĽ E, N, T og R vĂŚre for at regnestykket skal bli riktig?

23

s

1.5 Formler En formel gir oss verdien av en variabel ved hjelp av verdien av en eller flere andre variabler. Volumet V av ei kule er gitt ved

V

4 3 Sr 3

r

I denne formelen finner vi verdien for V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kaller vi den uavhengige variabelen, og V kaller vi den avhengige variabelen. Vi velger verdier for den uavhengige variabelen og regner ut verdien for den avhengige variabelen. Formelen ovenfor inneholder også konstanten S | 3,14.

Noen ganger trenger vi verdier for to variabler for å regne ut den tredje.

Volumet V av en sylinder er gitt ved

V Sr2h

h

r

Her må vi kjenne både radien r og høyden h for å kunne finne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variabler og én avhengig.

I de fleste formlene vi skal arbeidet med i denne boka, er det én uavhengig variabel og én avhengig.

EKSEMPEL Vanja har nettopp fylt opp tanken på skuteren sin med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen b 6 0,2x a) Hvor mye bensin er det på tanken når hun har kjørt 15 mil? b) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? c) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom?

s

24

1 | FORMLER OG LIKNINGER

LĂ˜SNING:

a) NĂĽr hun har kjørt 15 mil, er x 15. Antallet liter bensin er da b 6 0,2x 6 0,2 ˜ 15 6 3 3 Det er 3 liter bensin igjen pĂĽ tanken. b) NĂĽr det er 2 liter bensin igjen pĂĽ tanken, er b 2. Det gir denne likningen: b 2 6 0,2 x 2 0,2 x 2 6 0,2 x 4 0,2 x 4 0,2 0,2 4 x 0,2 x 20 Hun har kjørt 20 mil. c) Tanken er tom nĂĽr det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b 0 6 0,2 x 0 0,2 x 0 6 0,2 x 6 0,2 x 6 0, 2 0,2 6 x 0,2 x 30 Hun kan kjøre 30 mil.

â–˛ ? 1.50

Skuteren til Vanja har gütt 5000 km. Om x uker regner hun med at antallet kilometer skuteren har gütt, er gitt ved U 100x 5000 a) Hvor langt har skuteren gütt om 12 uker? b) Nür har skuteren gütt 6500 km? c) Hvor mye regner Vanja med ü kjøre per uke?

25

s

1.51

Vanja har kjørt med skuteren sin til ei venninne. Så begynner hun på hjemveien. Etter t minutter er avstanden s hjemmefra målt i kilometer gitt ved s 35 0,7t a) b) c) d)

Hvor langt hjemmefra er Vanja etter 20 minutter?

Hvor lang tid går det før hun er 14 km hjemmefra?

Hvor lang tid bruker hun hjem?

Hvor langt er det til venninna?

1.52

Vanja kjøper en skuter som koster 24 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V i kroner av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. c) Hvor lang tid går det før verdien av mopeden er halvert?

1.53

Vanja har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden per år. I tillegg regner hun med at det går 2 kr per mil til bensin. a) Finn en formel for utgiftene U i kroner når hun kjører x mil per år. b) Finn utgiftene når hun et år kjører 2000 km. c) Hvor langt har hun kjørt når utgiftene er 4700 kr?

Ved hjelp av en formel kan vi lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger.

EKSEMPEL Bjarne er på sydenferie og har 10 000 kr med seg og bruker 800 kr per dag.

Etter x dager er beløpet B i kroner Bjarne har igjen gitt ved B 10 000 800x a) Finn en formel for x. b) Når har han 6000 kr igjen? c) Når er Bjarne blakk?

s

26

1 | FORMLER OG LIKNINGER

LĂ˜SNING:

a) Leddet med x flytter vi over pü venstre side og flytter alt annet pü høyre side.

B 10 000 800 x 800 x 10 000 B 800 x 10 000 B 800 800 10 000 B x 800 b) Vi setter B 6000 og fĂĽr x

10 000 B 800

10 000 6000 800

4000 800

5

Bjarne har 6000 kr igjen etter 5 dager. c) Bjarne er blakk nĂĽr B 0. x

10 000 B 800

10 000 0 800

10 000 12, 5 800

Bjarne er blakk i løpet av den 13. dagen.

â–˛ ? 1.54

Hvis Vanja kjører x mil med skuteren pü ett ür, er utgiftene i kroner gitt ved U 3x 3500 a) Finn en formel for x uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til ü finne hvor mange mil hun kan kjøre for 5000 kr.

Hva blir utgiftene per mil da?

1.55

Vanja har kjørt med skuteren sin til ei venninne. Hun begynner pü hjemveien. Etter t minutter er avstanden s hjemmefra mült i kilometer gitt ved s 35 0,7t a) Finn en formel for tida t. b) Bruk formelen til ü finne ut hvor lang tid hun har kjørt nür det er 14 km igjen hjem. c) Bruk formelen til ü finne ut hvor lang tid hun bruker hjem.

27

s

EKSEMPEL Rotorbladene på vindturbinene på Storheia vindpark på Fosen i Trøndelag er 58,5 m lange.

58,5 m

a) Finn arealet A av den sirkelen som rotorbladene lager når de roterer.

Effekten P målt i kilowatt (kW) til en turbin er 3

P k vindstyrke arealet når vindstyrken er målt i meter per sekund (m/s) og arealet er det fra oppgave a målt i kvadratmeter. Tallet k er avhengig av lufttettheten og virkningsgraden til turbinen. Her setter vi k 0,0003, som er en ganske realistisk verdi. b) Finn effekten av en turbin på Storheia når vindstyrken er 5 m/s (lett bris).

Når vi skal finne energien målt i kilowattimer (kWh), bruker vi formelen energi = effekt tid c) La oss tenke oss at turbinen går i 300 døgn på ett år, og at vindstyrken hele tida er 5 m/s.

Hvor mye energi gir da én turbin i løpet at ett år? d) En norsk husstand bruker i gjennomsnitt 20 000 kWh per år.

Hvor mange husstander kan få strøm fra én turbin på Storheia? e) På Storheia er det 80 slike turbiner.

Hvor mange husstander kan få strømmen sin fra Storheia vindpark?

LØSNING:

a) Arealet A er gitt ved formelen A Sr2 der r er radien. Den er her 58,5 m. Arealet er A S 58,5 m 2 10 751 m2

s

28

1 | FORMLER OG LIKNINGER

b) La v være vindstyrken i meter per sekund. Da er effekten i kilowatt gitt ved formelen P 0,0003 v3 A 0,0003 53 10 751 403 Effekten er 403 kW. c) Antallet timer t i 300 døgn er t 300 24 h 7200 h Energien E er E P t 403 kW 7200 h 2 901 600 kWh d) Når hver husstand bruker 20 000 kWh, blir antallet husstander 2 901 600 145 20 000 145 husstander kan få strømmen sin fra én turbin. e) Fra 80 turbiner blir antallet husstander 80 145 11 600

▲ ? 1.56

Her bruker vi tallene fra eksempelet foran.

En elbil bruker i gjennomsnitt 3000 kWh per år. a) Hvor mange elbiler kan få all strømmen sin fra én turbin på Storheia? b) Hvor mange elbiler kan få strømmen sin fra vindparken på Storheia?

1.57

Her bruker vi formler og tall fra eksempelet foran. Vi tenker oss nå at vindstyrken er 10 m/s (frisk bris) i stedet for 5 m/s. a) Hvor mange husstander kan da får strømmen sin fra vindparken på Storheia? b) Hvor mange elbiler kan da kjøre på strøm fra Storheia?

29

s

1.58

Her bruker vi formler og tall fra eksempelet foran.

På havet er det aktuelt å bygge vindmøller som er mye større enn dem på land. Utenfor New York skal et norsk firma bygge vindturbiner som er 250 m høye. De er da ca. 3 ganger så høye som vindmøllene på Storheia. Vi tenker oss at rotorbladene er 3 ganger lengre enn dem på Storheia, og at vindstyrken er 5 m/s som i eksempelet foran. Vi regner også med at en amerikansk husstand bruker like mye strøm som en norsk. a) Hvor mange husstander kan da får strømmen sin fra én vindturbin utenfor New York? b) Hvor mange husstander kan få strømmen sin fra de 70 vindturbinene som de skal bygge?

Nå skal vi lage et program i Python som vi kan bruke i eksempelet om vindkraft på Storheia. Vi kan lage dette programmet: <>

Kodeeditor

from math import pi radius = 58.5 vindstyrke = 5 areal = pi*radius**2 effekt = 0.0003*areal*vindstyrke**3 print("Arealet er", round(areal), "kvadratmeter.") print("Effekten er", round(effekt), "kW.")

I den første linja henter vi en verdi for S fra matematikkbiblioteket i Python.

Legg merke til hvordan vi skriver potenser. Når vi skal regne ut radius 2, skriver vi ‘radius**2’. Uttrykket ‘round(areal)’ runder arealet til nærmeste heltall. Hvis vi vil ha svaret med 2 desimaler, skriver vi ‘round(areal, 2)’. Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet: Resultat:

Arealet er 10751 kvadratmeter.

Effekten er 403 kW.

I dette programmet har vi skrevet inn radien og vindstyrken i koden. Vi kan også lage programmet slik at vi kan velge verdiene for radien og vindstyrken når vi kjører programmet. Men alt vi leser inn når vi kjører programmet, blir tolket som en tekst som programmet ikke kan regne med. Vi må gjøre teksten om til et tall før vi kan begynne å regne. Uttrykket ‘float(svar)’ gjør teksten svar om til et desimaltall. Programmet kan nå se slik ut:

s

30

1 | FORMLER OG LIKNINGER

<>

Kodeeditor

from math import pi svar = input("Hvor lange er rotorbladene i meter?") radius = float(svar) svar = input("Hva er vindstyrken i meter per sekund?") vindstyrke = float(svar) areal = pi*radius**2 effekt = 0.0003*areal*vindstyrke**3 print("Arealet er", round(areal), "kvadratmeter.") print("Effekten er", round(effekt), "kW.")

Nür vi nü kjører programmet, kan vi fü dette resultatet: Resultat:

Hvor lange er rotorbladene i meter? 58.5 Hva er vindstyrken i meter per sekund? 5 Arealet er 10751 kvadratmeter.

Effekten er 403 kW.

? 1.59

a) Utvid programmet ovenfor slik at vi für løst hele oppgaven i eksempelet. b) Utvid programmet slik at det kan løse oppgave 1.55, 1.56 og 1.57.

1.6 Rette linjer Finn ut hva dere vet om rette linjer fra ungdomsskolen.

Ei linje har likningen y 2x 1. Hvis vi skal finne ut om punktet A 3, 7

ligger pĂĽ linja, setter vi inn x 3 og y 7 i likningen og ser om tallene passer. y 2x 1 7 2 Â&#x2DC; 3 1 7 7

31

s

Siden tallene passer i likningen, ligger punktet A 3, 7 pĂĽ linja. Punktet B 5, 9 ligger ikke pĂĽ linja, for x 5 og y 9 passer ikke i likningen. y 2x 1 9 2 Â&#x2DC; 5 1 9 11 Et punkt ligger pĂĽ ei linje med likningen y ax b hvis og bare hvis koordinatene til punktet passer i likningen.

NĂĽr vi kjenner likningen for ei linje, kan vi finne koordinatene til hvor mange punkter vi vil pĂĽ linja. Vi velger verdier for x og regner ut y.

Vi ser pĂĽ linja med likningen y 2x 1. Hvis vi velger x 0, blir y 2 Â&#x2DC; 0 1 1. Punktet 0, 1 ligger linja. Med x 2, blir y 2 Â&#x2DC; 2 1 5.

Punktet 2, 5 ligger pĂĽ linja.

Vanligvis samler vi utregningene i en slik tabell: x

0

2

y

1

5

NĂĽr vi har to punkter pĂĽ linja, kan vi tegne den. y 10

y = 2x + 1

9

B(5, 9)

8 7

A(3, 7)

6 5

(2, 5)

4 3 2 1 (0, 1) 1

x 2

3

4

5

6

7

Her har vi ogsĂĽ tegnet de to punktene A 3, 7 og B 5, 9 og ser at A ligger pĂĽ linja, og at B ikke ligger pĂĽ linja.

s

32

1 | FORMLER OG LIKNINGER

? 1.60

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y 2x 1 b) y x 4 c) y 2x 2 Er noen av linjene parallelle?

1.61

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet.

3 a) y 2x 3 b) y 2x 1 c) y x 1 2 Krysser noen av linjene y-aksen i det samme punktet?

NĂĽ ser vi mer pĂĽ linja y 2x 1. Tallet 1 kaller vi konstantleddet. y 7

y = 2x + 1

6

2

5 4

Stigningstallet

1

3 2 Konstantleddet

1

2

Stigningstallet

1

x 1

2

3

4

5

6

7

Linja skjĂŚrer y-aksen i y 1, som er lik konstantleddet i likningen. Det kan vi regne ut ved ĂĽ sette x 0: y 2 Â&#x2DC; 0 1 1 Hvis tar utgangspunkt i skjĂŚringspunktet med y-aksen og gĂĽr 1 enhet mot høyre, mĂĽ vi 2 enheter opp for ĂĽ komme til linja. Se trekanten nederst til venstre pĂĽ figuren. Tallet 2 gjenkjenner vi som tallet foran x i likningen y 2x 1. Vi kaller det stigningstallet til linja.

Nü tar vi utgangspunkt i et annet punkt pü linja og gür 1 enhet til høyre. Hvor langt er det da opp til linja? Se trekanten øverst til høyre pü figuren. De to trekantene er formlike og like store (kongruente). Da mü avstanden opp til linja vÌre like store i begge trekantene. Avstanden opp til linja er dermed 2, som er stigningstallet til linja.

Nü ser vi pü linja med likningen y 2x 3. Først lager vi tabell og tegner linja. x

0

2

y

3

â&#x20AC;&#x201C;1

33

s

y y = â&#x20AC;&#x201C;2 x + 3 5 4 Konstantleddet

3

1 Stigningstallet

â&#x20AC;&#x201C;2

2 1 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

213 â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;2

4

5

6

7

8

Stigningstallet

â&#x20AC;&#x201C;3

Hvis vi tar utgangspunkt i et punkt pĂĽ denne linja og flytter oss 1 enhet mot høyre, mĂĽ vi 2 enheter ned for ĂĽ møte linja. y minker med 2 enheter nĂĽr x øker med 1 enhet. Vi sier ogsĂĽ at y øker med â&#x20AC;&#x201C;2 enheter. Tallet â&#x20AC;&#x201C;2 er stigningstallet til linja y 2x 3. OgsĂĽ her stĂĽr stigningstallet foran x i likningen.

Tankegangen ovenfor kan vi gjennomføre for ei vilkürlig linje y ax b. y

Den rette linja

y = ax + b

y ax b a

skjÌrer y-aksen i y b. Nür x øker med Ên enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b er konstantleddet.

b

Stigningstallet

1 Konstantleddet x

Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Hvis stigningstallet a 0, er linja horisontal. Linja y 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som y 0 Â&#x2DC; x 3. Til venstre nedenfor har vi tegnet den linja. y

y

4

4

y=3

3 2

2

1 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x=2

3

x 1

2 3

4

1 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2 3

4

Likningen x 2 kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik 2. Det blir ei linje som er parallell med y-aksen slik som vist til høyre ovenfor.

s

34

1 | FORMLER OG LIKNINGER

Ei horisontal linje har likningen y b. Linja gĂĽr gjennom tallet b pĂĽ y-aksen.

Ei vertikal linje har likningen x k. Linja gĂĽr gjennom tallet k pĂĽ x-aksen.

I stedet for ĂĽ bruke tabell nĂĽr vi skal tegne ei rett linje, kan vi utnytte konstantleddet og stigningstallet.

EKSEMPEL Bruk stigningstallet og konstantleddet til ĂĽ tegne linjene 3 a) y x 2 b) y 3x 4 2 LĂ&#x2DC;SNING:

3 2

a) I likningen y x 2 er konstantleddet 2. Linja gĂĽr derfor gjennom 3 2

punktet y 2 pĂĽ y-aksen. Linja har stigningstallet = 1,5. Hver gang x 3 2

øker med Ên enhet, øker y med enheter. Nür vi skal tegne linja, markerer vi først punktet y 2 pü y-aksen. Vi gür sü ut fra dette punktet 3 2

og gür Ên enhet til høyre parallelt med x-aksen. Deretter gür vi = 1,5 enheter oppover for ü finne det neste punktet pü linja.

Fra et punkt pü linja kan vi i stedet gü 2 enheter mot høyre og deretter 3 enheter opp for ü finne et annet punkt pü linja.

NĂĽ har vi to punkter pĂĽ linja og kan tegne linja som vist til venstre nedenfor. y

y

5 4

3 y= 2x+2

3 2

5 1 4 3

1,5

2

1

1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

1

x 1

2 3

4

5

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

y =Â â&#x20AC;&#x201C;3x + 4

1

2 3

4

x 5

b) Linja y 3x 4 gür gjennom punktet y 4 pü andreaksen. Nür vi gür en enhet til høyre fra dette punktet, mü vi gü 3 enheter nedover for ü finne et nytt punkt pü grafen. Nür vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor.

â&#x2013;˛ 35

s

? 1.62

Utnytt konstantleddet og stigningstallet til ĂĽ tegne linjene. a) y 2x 1 b) y 2x 2 1 3 d) y x 1 c) y x 2 2 1.63

a) Tegn linjene y 1, x 1, x 3 og y x 2 i det samme koordinatsystemet. b) Finn arealet av omrĂĽdet som er avgrenset av de fire linjene.

1.64

a) Tegn linjene y x 2, y 2x 2 og x 3 i det samme koordinatsystemet. b) Finn arealet av omrĂĽdet som er avgrenset av de tre linjene.

1.7 Ă&#x2026; finne likningen for ei linje BĂĽde stigningstallet og likningen for ei linje kan vi finne grafisk. Da tegner vi linja i et koordinatsystem og leser av stigningstallet og skjĂŚringspunktet med andreaksen. Vi kan ogsĂĽ finne likningen digitalt.

EKSEMPEL Ei linje gĂĽr gjennom punktene 1, 2 og 3, 10 . a) Finn likningen for linja grafisk. b) Finn likningen digitalt.

LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi markerer de to punktene i et koordinatsystem og trekker linja gjennom punktene. SkjĂŚringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b 4. y (3, 10)

10 9 8 7 6 4 3 (â&#x20AC;&#x201C;1, 2)

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

s

36

2 1

Stigningstall

2

5 1

Konstantledd x 1

2

3

4

1 | FORMLER OG LIKNINGER

5

For ü finne stigningstallet a velger vi et punkt pü linja og gür 1 enhet mot høyre ut fra punktet. Da mü vi gü 2 enheter opp for ü komme til linja. Det gir stigningstallet a 2.

Likningen for linja blir y

2x 4

b) Vi üpner GeoGebra, klikker pü øverst i høyre hjørne og velger Der merker vi av for algebrafelt og grafikkfelt.

Vis .

Deretter skriver vi 1, 2 i algebrafeltet. Da für punktet automatisk navnet A. Punktet blir ogsü tegnet i grafikkfeltet. Deretter skriver vi 3, 10 i algebrafeltet og für fram punktet B 3, 10 .

I algebrafeltet skriver vi nĂĽ Linje A, B som vist her:

For ĂĽ fĂĽ fram likningen kunne vi ogsĂĽ ha trykt pĂĽ pĂĽ de to punktene i grafikkfeltet.

og deretter klikket

Likningen er ikke slik vi pleier ü skrive den. Hvis vi vil ha likningen pü formen y ax b, høyreklikker vi pü likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet:

Likningen er y

2x 4

â&#x2013;˛

37

s

? 1.70

I dette koordinatsystemet har vi tegnet fire rette linjer.

Finn likningene for linjene grafisk. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

x 1

2

3

4

5

–2 –3 –4 –5

1.71

Ei linje går gjennom punktene 1, 1 og 3, 3 .

Finn likningen for linja uten og med hjelpemiddel.

Nå skal vi finne stigningstallet til ei linje ved regning.

Ei linje går gjennom punktene 2, 1 og 5, 7 , som vist her: y 8 (5, 7)

7 6 5 4 3

6y a

2 1 –1

–1

1

(2, 1) 1

6x 2

3

4

x 5

6

Vi går fra punktet 2, 1 til punktet 5, 7 . Da øker x fra 2 til 5. Vi bruker symbolet Δx (‘delta x’) om en endring i x-verdi. Økningen i x-verdi er da Δx 5 2 3

s

38

1 | FORMLER OG LIKNINGER

Økningen i y-verdi Δy er Δy 7 1 6 Stigningstallet a forteller hvor langt det er opp til linja når x øker med 1 enhet. På figuren på forrige side er det to formlike trekanter. Det gir 'y 'x 'y 'x

a 1 a

6 3

2

Stigningstallet er 2.

Denne tankegangen kan vi gjennomføre for alle skrå linjer som går gjennom to punkter, x1, y1 og x2, y2 . y (x2, y2)

6y a (x1, y1) 1

6x

x

Formlike trekanter gir a 1 a

'y 'x 'y 'x

y2 y1 x2 x1

Ei rett linje som går gjennom to punkter x1, y1 og x2, y2 , har stigningstallet a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

39

s

EKSEMPEL Finn stigningstallet til ei linje som gĂĽr gjennom punktene 1, 3 og 5, 9 .

LĂ&#x2DC;SNING:

Stigningstallet er a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

9 3 5 1

6 4

3 2

â&#x2013;˛ ? 1.72

Finn stigningstallet til linja som gĂĽr gjennom punktene 1, 1 og 4, 7 .

1.73

Finn stigningstallet til linja gjennom disse punktene: a) 2, 7 og 4, 1

b) 1, 2 og 3, 4

c) 3, 2 og 6, 5

d) 4, 1 og 2, 10

Linja gjennom punktene 2, 1 og 5, 7 har stigningstallet a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

7 1 5 2

6 3

2

NĂĽ skal vi finne likningen for denne linja ved regning. Ettersom linja har stigningstallet 2, mĂĽ likningen vĂŚre y 2x b Punktet 2, 1 ligger pĂĽ denne linja. Fra kapittel 1.6 vet vi at da mĂĽ koordinatene til punktet passe inn i likningen. Vi setter x 2 og y 1 inn i likningen.

1 2 Â&#x2DC; 2 b 1 4 b b 3 Likningen for linja er y 2x 3 Vi hadde fĂĽtt det samme svaret hvis vi hadde brukt punktet 5, 7 i stedet for 2, 1 . Prøv!

s

40

1 | FORMLER OG LIKNINGER

EKSEMPEL Ei linje gĂĽr gjennom punktene 1, 5 og 3, 3 . a) Finn stigningtallet til linja. b) Finn likningen for linja ved regning.

LĂ&#x2DC;SNING:

a) Stigningtallet er a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

3 5 3 ( 1)

8 4

2

b) NĂĽr stigningstallet er 2, mĂĽ likningen vĂŚre y 2x b Punktet 1, 5 ligger pĂĽ linja. Da mĂĽ x 1 og y 5 passe i likningen.

5 2 Â&#x2DC; 1 b 5 2 b b 3 Likningen er y

2 x 3

â&#x2013;˛ ? 1.74

a) Finn likningen for ei linje som gĂĽr gjennom 2, 1 og har stigningstallet 3. b) Finn likningen for ei linje som gĂĽr gjennom 1, 5 og har stigningstallet â&#x2C6;&#x2019;3.

1.75

Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel. b) 2, 1 og 2, 1 1

a) 1, 5 og 4, 3

c) 0, 5 og 4, 7

d) 2, 4 og 2, 1

1.76

Ei linje l gĂĽr gjennom punktene 2, 5 og 4, 3 . a) Finn likningen for linja l. b) Ei linje m er parallell med linja l og gĂĽr gjennom punktet 3, 1 .

Finn likningen for linja m.

41

s

1.8 Digital graftegning Vi kan bruke digitale hjelpemidler til ĂĽ tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi bruker GeoGebra 6 til slik tegning.

Vi skal nü tegne linja y 1,5x 2 øverst i høyre ved hjelp av GeoGebra. Vi üpner programmet, klikker pü hjørne og velger Vis . Der merker vi av for algebrafelt og grafikkfelt. Hvis og vi ikke für fram koordinataksene eller rutenettet, üpner vi menyen for ü fü fram aksene, og pü for ü fü fram rutenettet. klikker pü Nü skriver vi inn likningen for linja i algebrafeltet. Bruk desimalpunktum og ikke desimalkomma!

NĂĽr vi trykker Enter, gir GeoGebra linja navnet f pĂĽ denne mĂĽten:

Linja er nĂĽ tegnet i grafikkfeltet.

5 4 3 2 1

â&#x20AC;&#x201C;4

â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

0

1

2

â&#x20AC;&#x201C;1

f

Du fĂĽr sikkert et helt annet utsnitt og helt andre tall pĂĽ aksene enn det vi har fĂĽtt. Hvis vi klikker inne i grafikkfeltet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte pĂĽ koordinatsystemet. Vi kan zoome ved hjelp av to fingrer pĂĽ styreplata eller ved hjelp av hjulet pĂĽ musa.

s

42

1 | FORMLER OG LIKNINGER

Hvis vi vil endre pĂĽ en av aksene, klikker vi pĂĽ , plasserer musepekeren pĂĽ aksen og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og fĂĽ den slik vi vil.

Nü skal vi sette navn pü aksene. Da klikker vi i grafikkfeltet og høyreklikker deretter. Nü klikker vi pü Grafikkfelt og velger fanen xAkse. Deretter skriver vi inn navnet x pü x-aksen.

Navn pĂĽ aksen: x

Deretter velger vi fanen yAkse og skriver y som navn pü aksen. Nü kan det vÌre lurt ü lagre dette, slik at vi slipper ü gjøre det hver gang. Da üpner vi menyen , trykker pü Innstillinger og pü Lagre innstillinger . , klikker pü linja og Hvis vi vil endre fargen pü linja, üpner vi menyen . Vi kan ogsü trykke pü og velge hvilken type linje vil ha, deretter pü og hvor tykk den skal vÌre. Til slutt trykker vi pü AA og velger Verdi. Da für vi skrevet likningen for linja ved siden av linja, og ikke navnet f. Nü kan vi fü fram dette resultatet: 5

y = 1.5x + 2

y

4

3

2

1

x â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

0

1

2

3

4

? 1.80

Tegn linjene digitalt. a) y 3x 1 b) y 2x 7 c) y 3,7x 2,4 2 1 d) y x 3 3 Noen ganger kan det vĂŚre vanskelig ĂĽ finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte stĂĽr det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi mĂĽ selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan vi gĂĽ fram som i dette eksempelet.

43

s

EKSEMPEL Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y 60 0,55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil.

LØSNING:

Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen i algebrafeltet og får dette: ◀ Husk å bruke punktum og ikke komma!

Men ennå kommer det sikkert ikke fram noen graf i koordinatsystemet.

Grunnen er at vi ikke har de riktige verdiene på aksene. Da klikker vi først i grafikkfeltet, holder inne venstre musetast og drar i koordinatsystemet slik at og drar i origo kommer i nederst til venstre. Deretter trykker vi på x-aksen slik at vi får fram tallene fra 0 til 100. Deretter drar vi i y-aksen slik at linja vises i hele området fra x 0 til x 100.

Nå høyreklikker vi inne i grafikkfeltet og velger Grafikkfelt . I fanen xAkse gir vi x-aksen navnet ‘x (mil)’. Deretter gir vi y-aksen navnet ‘y (liter)’. Det gir denne grafen: y (liter) 60 0

y = 60 - 0.55x

50

40

30

20

10

x (mil) 0

20

40

60

80

100

▲

s

44

1 | FORMLER OG LIKNINGER

? 1.81

Tante Maggi har 10 000 kr i et skrin pü kjøkkenet. Hun sparer fra nü av 1500 kr per müned og legger pengene i skrinet. Etter x müneder er beløpet y i kroner gitt ved y 1500x 10 000 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 münedene.

1.82

For en familie er strømutgiftene i kroner per ür gitt ved y 0,84x 1200 der x er tallet pü kilowattimer.

Tegn linja digitalt nĂĽr x er mellom 0 og 30Â 000.

1.83

a) Tegn linja digitalt nĂĽr y 2x 10 og x er mellom â&#x2C6;&#x2019;10 og 10. b) Tegn linja digitalt nĂĽr y 0,05x 10 og x er mellom 0 og 20. c) Tegn linja digitalt nĂĽr y 0,02x 1000 og x er mellom 0 og 100 000.

1.84

Vi fyller varm drikke med temperaturen 90 qC pĂĽ ei termosflaske.

Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t nĂĽr t er mellom 0 og 10.

UTFORSK â&#x20AC;&#x201C; ORTOGONALITET

To linjer som stĂĽr vinkelrett pĂĽ hverandre, kaller vi ortogonale. Tegn et koordinatsystem, og trekk opp to rette linjer som stĂĽr vinkelrett pĂĽ hverandre.

Finn stigningstallet til de to linjene. Hva ser du?

45

s

1.9 Grafisk avlesing Fredrik studerer i Trondheim og skal hjem til Oslo. Han kjører med farten 70 km/h. Etter x timer er avstanden y til Oslo i kilometer gitt ved y 515 70x Grafen nedenfor viser hvor langt Fredrik har igjen når han har kjørt x timer. km y 600 500 400 300 200 100

x 1

2

3

4

5

5,5

6

7

8 h

Når vi skal finne ut hvor langt Fredrik har igjen etter 3 timer, tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen, går rett opp til grafen og så inn på y-aksen. Vi ser at Fredrik har 300 km igjen etter 3 timer.

Fredrik kjører om Hamar. Det er da 130 km igjen til Oslo. Når passerer han Hamar?

Nå tar vi utgangspunkt i tallet 130 på y-aksen, går horisontalt bort til linja og så ned på x-aksen. Da finner vi ut at Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer.

Slike grafiske løsninger som vi nå har gjort, gir vanligvis ikke eksakt riktige svar. Men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med unøyaktige modeller, trenger vi ikke eksakte svar.

Vi kan også løse likningssett grafisk.

Vanja er på Oppdal og skal kjøre til Oslo med skuteren sin. Hun begynner på turen samtidig med at Fredrik kjører fra Trondheim, og hun kjører samme veien som Fredrik. Vanja kjører med farten 40 km/h. Etter x timer er avstanden hennes fra Oslo målt i kilometer gitt ved y 395 40x Når tar Fredrik igjen Vanja, og hvor langt fra Oslo er de da?

s

46

1 | FORMLER OG LIKNINGER

For ĂĽ finne ut det tegner vi begge linjene y 515 70x og y 395 40x i det samme koordinatsystemet og finner skjĂŚringspunktet pĂĽ denne mĂĽten: km y 600 500

Fredrik

400 300 230 200 Vanja

100

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 h

Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. Da er de 230 km fra Oslo.

Ovenfor hadde vi to uttrykk for y. Nür likningene ikke er ordnet slik, mü vi selv finne uttrykk for y før vi kan tegne linjene.

EKSEMPEL Løs likningssettet grafisk.

5x 2y 4 x y 5 LĂ&#x2DC;SNING:

Først finner vi et uttrykk for y fra den første likningen.

5x 2 y 4 2 y 5x 4 | Â&#x2DC; 1

2y y

5x 4 | Â&#x2DC;

1 2

5 x 4 2

Den andre likningen gir x y 5 y x 5 Vi har nĂĽ omformet hver av de to likningene til en likning av typen y ax b, som vi gjenkjenner som likningen for rette linjer. Her har vi tegnet de to linjene i et koordinatsystem.

47

s

y 7

y = 52 x â&#x20AC;&#x201C; 2

6 5 4 3 2

y = â&#x20AC;&#x201C;x + 5

1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2

3

4

5

6

7

â&#x20AC;&#x201C;2

Vi skal finne punktene som ligger pü begge linjene. SkjÌringspunktet gir løsningen. Løsningen er x

2 og y

3

â&#x2013;˛ ? 1.90

Løs likningssettet grafisk uten digitalt hjelpemiddel. x 2y 4 2x y 3 1.91

Nür vi bruker drosje, begynner taksameteret pü et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi püslaget. Det setter vi her til 50 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp pü taksameteret. Dette tillegget regner vi her om til en kilometerpris. Vi setter den til 30 kr. a) Hva mü vi betale for en drosjetur pü 12 km? b) Forklar at drosjeutgiftene, U i kroner, etter x km kan skrives U 30x 50 c) Tegn linja i oppgave b digitalt nür x er mellom 0 og 30. d) Finn av denne linja hva en drosjetur pü 20 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 500 kr?

Et annet firma setter püslaget til 80 kr og kilometertaksten til 25 kr. f) Sett opp en formel for prisen P i kroner nür kjørelengden i kilometer er x. g) Finn grafisk hvor langt vi mü kjøre for at de to firmaene skal ta samme pris.

s

48

1 | FORMLER OG LIKNINGER

I GeoGebra kan vi kan løse likninger og likningssett grafisk.

Fredrik er på vei fra Trondheim til Oslo. Etter x timer er avstanden til Oslo i kilometer gitt ved formelen y 515 70x Vi skal finne ut når Fredrik er på Hamar. Da er det 130 km igjen.

I algebrafeltet skriver vi inn uttrykkene y 515 70x og y 130. Det gir dette resultatet:

Nå tilpasser vi aksene, setter navn på dem og får fram linjene som vist nedenfor.

GeoGebra har kalt linjene f og g. For å finne skjæringspunktet kan vi da skrive Skjæring f, g i algebrafeltet som vist her:

Vi kunne også ha åpnet rullegardinmenyen under A , valgt Skjæring og klikket på de to linjene. I grafikkfeltet finner mellom to objekt skjæringspunktet og navnet A. Hvis vi i stedet vil ha koordinatene, klikker vi på punktet, åpner menyen , klikker på AA og velger Verdi. y (km) 500

400

300

200

y = 130

(5.5, 130)

100

y = 515 - 70x x (timer) 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer.

49

s

Nür vi skal løse likningssett i GeoGebra, trenger vi ikke ordne likningene først. Vi skriver likningene slik de er.

EKSEMPEL Løs likningssettet ved hjelp av en graftegner.

5x 2y 4 x y 5 LĂ&#x2DC;SNING:

Vi skriver først de to likningene i algebrafeltet i GeoGebra. Deretter bruker og klikker pü de to linjene. vi SkjÌring mellom to objekt

I grafikkfeltet endrer vi fra Navn til Verdi bĂĽde for linjene og for punktet.

FramgangsmĂĽten er forklart pĂĽ forrige side. Det gir dette resultatet: y 5

x+y=5

4

(2, 3)

3

2

1

5x - 2y = 4 0

1

2

x 3

4

5

6

Løsningen er x

2 og y

3

â&#x2013;˛

s

50

1 | FORMLER OG LIKNINGER

? 1.92

Løs likningssettene grafisk i GeoGebra. b) 3x 4 y 1 a) x 2 y 5 x y 2 6 x y 7 c) x 2 y 4 3x y 3

d) x 2 y 2 1 x y 1 2

1.93

Vanja betaler 3500 kr i üret i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per ür er gitt ved U 0,50x 3500 nür hun kjører x kilometer per ür. b) Tegn linja i oppgave a digitalt nür x er mellom 0 og 5000. c) Bruk grafen til ü finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr.

1.94

Et firma skal produsere en bestemt vare. Kostnaden ved ĂĽ produsere varen kan deles i to deler. Den faste kostnaden er pĂĽ 15Â 000 kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av en enhet. Utgiftene ved ĂĽ produsere en enhet er her 250 kr. a) Hvor mye koster det i alt ĂĽ produsere 150 enheter? b) Finn et uttrykk for totalkostnaden K i kroner nĂĽr det blir produsert x enheter. c) Framstill kostnaden K grafisk. Velg x mellom 0 og 200. d) Firmaet selger denne varen for 400 kr per stk. Forklar at inntekten I er gitt ved I 400x. e) Framstill I grafisk i det samme koordinatsystemet. f) Finn av kurven hvor mange enheter firmaet mĂĽ selge for at inntektene av salget skal dekke utgiftene. g) Bruk kurvene til ĂĽ finne ut hvor stort overskudd firmaet hadde da det solgte 150 enheter.

Nü har vi lÌrt mange müter ü løse likninger og likningssett pü, büde med og uten hjelpemiddel.

Gjør rede for metodene og finn fordeler og ulemper med hver metode.

Fins det situasjoner der vi bare kan bruke ĂŠn av metodene?

51

s

SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1. Regn ut parentesene.

2. Regn ut potensene.

3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Å løse opp parenteser Når vi løser opp en parentes med minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn.

En parentes med plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall med et uttrykk i en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd i parentesen.

Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

Identitet I en identitet har høyre og venstre side av likhetstegnet samme verdi for alle verdier av variabelen.

Likning Når vi løser en likning, finner vi den eller de verdiene for variabelen som gjør at uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet blir like.

Regneregler for likninger Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet.

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.

Innsettingsmetoden Når vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med innsettingsmetoden, finner vi et uttrykk for x eller y fra en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent, som vi da løser.

s

52

1 | FORMLER OG LIKNINGER

Addisjonsmetoden Nür vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med addisjonsmetoden, multipliserer vi om nødvendig likningene med hvert sitt tall slik at en av variablene forsvinner nür vi legger sammen likningene.

Grafisk løsning av lineÌre likningssett Nür vi skal løse to likninger med to ukjente x og y grafisk, finner vi y uttrykt med x i begge likningene. Dette gir likningen for to rette linjer som vi tegner i et koordinatsystem. Løsningen finner vi ved ü lese av koordinatene til skjÌringspunktet.

Rette linjer Et punkt ligger pü ei linje med likningen y ax b hvis og bare hvis koordinatene til punktet passer i likningen. Linja skjÌrer y-aksen i punktet y b. Nür x øker med Ên enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b er konstantleddet.

y y = ax + b a b

Stigningstallet

1 Konstantleddet x

Stigningstallet til ei linje Ei rett linje som gĂĽr gjennom to punkter x1, y1 og x2, y2 , har stigningstallet a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

Ă&#x2026; finne likningen for ei linje NĂĽr vi skal finne likningen for ei rett linje som gĂĽr gjennom to punkter x1, y1 og x2, y2 , finner vi først stigningstallet a. Deretter finner vi konstantleddet b ved ĂĽ sette inn i likningen koordinatene til ett av de to punktene.

53

s

KAPITTELTEST KAPITTEL 1 UTEN HJELPEMIDLER OPPGAVE 1

OPPGAVE 5

Løs likningene ved regning. a) 4 x 2 5 3x x 3

3 1 b) x 1 x 1 2 2 2 1 1 1§1 ¡ c) x 2 x 1

¨ 4x ¸ 2 3 3Š 2 š

Finn a uttrykt ved de andre størrelsene i formelen.

OPPGAVE 2

Løs likningen 2 x 2

1 5 x 4 2

bĂĽde grafisk og ved regning.

OPPGAVE 3

Lise og Henrik er foreldrene til Grete. Til sammen er familien 108Â ĂĽr. Lise er fire ĂĽr yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre ganger sĂĽ gammel som Grete.

Hvor gamle er de enkelte familiemedlemmene?

OPPGAVE 4

Løs likningssettet ved regning pü to müter: ved ü bruke innsettingsmetoden, og ved ü bruke addisjonsmetoden.

3x 2y 22 4x 3y 1

s

54

1 | FORMLER OG LIKNINGER

A

a b h 2

OPPGAVE 6

Ei rett linje gĂĽr gjennom punktene 0, â&#x20AC;&#x201C;2 og 2, 1 .

Finn stigningstallet og konstantleddet til linja.

OPPGAVE 7

a) Tegn i et koordinatsystem linja gitt ved likningen y

5 x 5 2

b) Finn likningen for linja som er parallell med linja i oppgave a, og som gĂĽr gjennom punktet 3, 2 .

Tegn linja inn i det samme koordinatsystemet som i oppgave a. c) Ei tredje linje gĂĽr gjennom punktene 2, 4 og 3, 1 .

Finn likningen for denne linja.

Tegn linja i koordinatsystemet. d) Finn skjĂŚringspunktet mellom linjene i oppgave b og c bĂĽde grafisk og ved regning.

MED HJELPEMIDLER OPPGAVE 8

a) Løs likningssettet ved regning, i CAS og grafisk med digitalt hjelpemiddel. x y 24 2 3 x y 373 3 4 b) Ved en videregüende skole 1 1 opplyste av jentene og av 3

4

guttene at de hadde snust, mens 373 av elevene svarte at de aldri hadde snust. PĂĽ skolen var det 24Â flere jenter enn gutter.

Vis at likningssettet i oppgave a kan brukes til ĂĽ finne hvor mange gutter og jenter det er pĂĽ skolen.

OPPGAVE 9

a) Lag et program i Python som regner ut hypotenusen i en rettvinklet trekant nĂĽr lengdene av katetene er gitt. b) Lag et program i Python som regner ut lengden av en katet nĂĽr bĂĽde lengden av hypotenusen og lengden av den andre kateten er gitt.

Hint: Hvis vi skal finne kvadratrota av et tall i Python, mĂĽ vi ha med denne setningen i programmet: ÂŤfrom math import sqrtÂť. NĂĽr vi deretter skal finne kvadratrota av tallet a, skriver vi sqrt(a).

OPPGAVE 10

En møbelfabrikk produserer 720 reoler av en bestemt type reol. Ved nyttür bestemmer de seg for ü slutte ü produsere denne typen reol.

Møbelfabrikken trapper gradvis ned produksjonen, slik at de for hver müned produserer 60 reoler fÌrre enn müneden før. Slik fortsetter de til de ikke lenger produserer reoler. a) Hvor mange reoler produserer møbelfabrikken etter 1 müned, etter 2 müneder og etter 3 müneder? b) Hvor lang tid tar det før det er slutt pü produksjonen? c) Kall antall produserte reoler i müned nr. x for R. Lag en formel for R uttrykt ved x. d) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom R og x. e) Finn grafisk hvor mange reoler det produseres etter 8 müneder. f) Finn grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før produksjonen er halvert. g) Finn en formel for x uttrykt ved R. Etter 10 müneder für fabrikken en stor ordre. De øker produksjonen jevnt slik at de hele tida produserer 80 flere reoler enn müneden før.

Fabrikken avslutter produksjonen nür de produserer 600 reoler i müneden. h) Hvor lang tid tar det før de kan avslutte produksjonen? i) Kall antall produserte reoler i müned nr. x for R. Tegn digitalt i det samme koordinatsystemet som ovenfor ei linje som gir sammenhengen mellom x og R. j) Lag en ny formel for R uttrykt ved x.

55

s

OPPGAVER Tips for å bli bedre i matematikk: • Øv! Hvis du øver, blir du god – og det blir gøy.

• Lær av dine feil. Alle gjør feil, men forskning viser at å arbeide systematisk med å utforske feil er et godt utgangpunkt for å lære mer og bedre.

• Vurder svarene dine. Tenk alltid over om svaret du kom frem til er rimelig.

• Si fra når du ikke forstår. Spør lærere, medelever eller andre hvis du står fast.

• Hjelp og forklar andre. Når du både kan forklare hvordan du kan løse en oppgave og hvorfor du kan gjøre det slik, vet du at du har god kontroll på stoffet.

1

Formler og likninger Ă&#x2DC;V MER

1.121

1.1 REGNEREKKEFĂ&#x2DC;LGE

1.110

Regn ut. a) 3 Â&#x2DC; 4 5 c) 6 Â&#x2DC; 5 4 3 Â&#x2DC; 2

b) 5 3 Â&#x2DC; 4 d) 4 12 6 Â&#x2DC; 2 3

Trekk sammen uten ĂĽ bruke hjelpemiddel. a) 3 1 x 2 x 1

b) 4 2x 3 3 x 2

c) a 2 b b a 3

d) ab 1 2b 2a b2 b

1.111

1.122

Regn ut. a) 2 3 2 3 4 2 2 3

b) 3 2 5 5 2 1 2 4 5

c) 2 3 4 6 2 1

Trekk sammen uten ĂĽ bruke hjelpemiddel. a) 2 a b 3a 4b 3 b a

b) a 2a 3 3a 2a 3 a

c) b a 3b a b a b ab

1.112

Regn ut uten ĂĽ bruke hjelpemiddel.

Løs deretter oppgaven i CAS. a) 6 Â&#x2DC; 22 b) 32 2 Â&#x2DC; 32 c) 2 Â&#x2DC; 3 2 Â&#x2DC; 52 d) 32 3 Â&#x2DC; 23 1.113

Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og ĂŠn parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11 1.2 VARIABLER OG PARENTESER

1.120

Trekk sammen uten ĂĽ bruke hjelpemiddel. a) 2x 3x 5y 3y 4x b) 2a 3b 3a 2b a

c) 5x 2y 3x 4y

d) 6a 2b 5a 3b

1.123

Multipliser ut og trekk sammen uten ü bruke hjelpemiddel. Løs deretter oppgaven i CAS. 2 a) a 3b a 3

3 3§1 ¡§ 4 ¡ b) ¨ a b ¸ ¨ a b ¸ 4Š3 3 šŠ š 1.124

I denne oppgaven er bare tallene 2, 3 og 4 brukt.

Finn x, y og z nĂĽr x x y z x z 21 1.125

Hvilke faktorer kan stĂĽ i de ĂĽpne rutene? Â&#x2DC; y x

Â&#x2DC; y x x2 y2

311

s

1.3 LIKNINGER OG IDENTITETER

1.135

1.130

I en klasse kan elevene velge mellom spansk, fransk og tysk. Halvparten av elevene velger spansk, en femtedel velger fransk, og resten av elevene velger tysk. Det er 9 elever som velger tysk.

Hvor mange elever er det i klassen?

Løs likningene uten hjelpemiddel og sett prøve pü svaret. a) 0,3x 1,7x 3,6 0,2x b) 1,5x 0,2 1,3x 0,6 c) 0,6 2 0,2x 0,3 0,1x 2,5

1.136

1.131

Løs likningene uten hjelpemiddel.

2 1 a) t 7 t 0 3 2 §1 ¡ b) 2 ¨ t ¸ 2t Š2 š 4 ¡ § c) 2 ¨ 1 s ¸ s 5 š Š

1 3 7 5

1.132

Løs likningene uten hjelpemiddel. a) 2x 2 3 1 x 5 x 1 3 1 b) t t 3

2 2 6 1 3 c) s 1 1 s 0 5 10 d)

2 § 1¡ s ¨s ¸ 3 Š 3š

1 § 1¡ 1 ¨s ¸ 2 Š 2š 3

Eli-Trine gir leksehjelp hver torsdag.

En müned ga hun leksehjelp fire ganger, og summen av datoene for de fire torsdagene var 58.

Finn datoen for den siste søndagen denne müneden.

1.137 1 3

Kjeld har ei flaske som rommer L. 3 4

Flaska er fylt med vann. Kjeld heller 1

ut noe av det slik at det er igjen L vann 5 i flaska.

Hvor mye vann blir helt ut?

1.138

En stein veier 3 kg pluss halvparten av vekten sin.

Hvor mye veier steinen?

1.133

Løs likningene uten hjelpemiddel og deretter i CAS. 1 1 1 a) x 1 1 x = x + x 1

2 3 6 b) 1

x 1§1 ¡ 1§ x ¡ ¨ 3x ¸ = ¨ 1 ¸ 2 3Š2 š 2Š 2 š

1.134

Er likningen en identitet? a) 3 5x 1 15x 3 b) 5 x 1 2 3x 4 4x 3 c) 2 3x 4 4 x 2 2 x 5

s

312

1 | FORMLER OG LIKNINGER

1.4 TO LINEĂ&#x2020;RE LIKNINGER MEDÂ TOÂ UKJENTE

1.140

Løs likningssettene pü to müter. Ved ü bruke innsettingsmetoden og ved ü bruke addisjonsmetoden. a) x y 5 b) 2x 3y 21 2x 3y 5 3x 2y 1 c) 6x 2y 11 d) 6x 3y 8 x 2 0 2x 3y 4

1.141

1.145

Løs likningssettene büde ved regning og i CAS. a) 2x 3y 5 b) 3s 4t 2 3x y 2 2s 3t 7 1 1 11 c) x y 3 5 15 1 2 13 x y 3 12 4

Gudbrand I. Lia har katter og høner. Til sammen har dyrene 12 hoder og 30 bein.

Hvor mange katter og hvor mange høner har Gudbrand?

1.142

Kari og Ola er til sammen 62 ĂĽr. Om to ĂĽr er Ola akkurat dobbelt sĂĽ gammel som Kari.

Hvor gamle er de i dag?

1.143

2 kg epler og 3 kg appelsiner koster til sammen 111 kr. 3 kg epler og 1 kg appelsiner koster til sammen 93 kr.

Hvor mye koster 1 kg epler, og hvor mye koster 1 kg appelsiner?

1.144

En videregüende skole har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 12 kr, og en kopp kaffe koster 15 kr.

En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 774 kr pü automaten.

Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen?

1.146

Vibeke og Viktor bor 150 km fra hverandre. De skal møtes et sted pü veien mellom der de bor. Vibeke regner med at hun kan kjøre hele strekningen pü 3 timer med skuteren sin. Hun kjører hjemmefra kl. 12.00. Viktor trenger 5 timer pü ü kjøre 150 km. Han kjører hjemmefra kl. 13.00.

Hvor langt ligger møtestedet fra der Vibeke bor?

1.5 FORMLER

1.150

En familie tar opp et lĂĽn pĂĽ 650Â 000 kr.

Etter t ĂĽr er lĂĽnet i kroner redusert til U 650 000 25 000 Â&#x2DC; t a) Hvor stort er lĂĽnet etter 5 ĂĽr? b) Hvor mange ĂĽr tar det før lĂĽnet er halvert? c) Hvor lang tid tar det før lĂĽnet er nedbetalt?

1.151

For bølger med frekvensen f og bølgelengden Îť er bølgefarten v gitt ved v f Â&#x2DC; Îť Menneskeøret er normalt i stand til ĂĽ oppfatte svingninger mellom ca. 20 Hz og 20 000 Hz som lyd. Vi setter lydfarten til 340 m/s.

Hva er den korteste og den lengste bølgelengden øret kan oppfatte?

313

s

1.152

Ved å finne brystmålet og kroppslengden til en hest kan vi med god tilnærming regne ut hvor tung hesten er. Dersom kroppslengden er k centimeter og brystmålet er b centimeter, finner vi vekta v i kilogram ved hjelp av formelen v

b2 k 11 880

Brystmål Kropps lengde

a) En hest har brystmålet 180 cm og kroppslengden 160 cm.

Finn vekta. b) 1) Finn en formel for k uttrykt ved v og b.

2) En hest veier 475 kg og har brystmålet 185 cm.

Finn kroppslengden. c) 1) Finn en formel for b uttrykt ved v og k.

2) En hest veier 452 kg og har kroppslengden 162 cm.

Finn brystmålet.

1.153

Vi fyller varm drikke på ei tekanne.

Kanna holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i kanna T 90 1,6x

s

314

1 | FORMLER OG LIKNINGER

a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 20 minutter? c) Når er temperaturen i kanna 42 °C? d) Finn en formel for x uttrykt ved T. e) Når er temperaturen i kanna 66 °C? 1.154

I denne oppgaven ser vi bort fra renter. a) Kjersti har spart 6000 kr og fortsetter å spare 600 kr hver måned.

1) Hvor mye har hun spart etter 9 måneder?

2) Finn en formel for beløpet S i kroner som hun har spart etter x måneder. b) Frank har 16 800 kr og bruker 700 kr hver måned.

1) Hvor mye har han igjen etter 9 måneder?

2) Finn en formel for beløpet B i kroner som han har igjen etter x måneder.

1.155

Arealet A av en trekant med grunnlinje med lengde g og høyde h er A

gh 2

a) Finn arealet av en trekant med grunnlinje 2,4 dm og høyde 3,0 dm. b) Finn en formel for grunnlinja g. c) Høyden i en trekant er 18 cm, og arealet er 126 cm2.

Finn grunnlinja i trekanten. d) Finn en formel for høyden h.

1.156

1.158

NĂĽr vi skal veksle til en fremmed valuta, gjelder formelen

Sammenhengen mellom temperatur mĂĽlt i fahrenheitgrader F og i celsiusgrader C er gitt ved

N E Â&#x2DC; U der N er beløpet i norske kroner, E er enhetskursen, og U er beløpet i utenlandsk valuta. Med enhetskurs mener vi hvor mye det koster ĂĽ kjøpe en enhet av den fremmede valutaen. a) Ellen skal kjøpe 250 britiske pund til enhetskurs 11,00.

Hvor mye mü Ellen betale i norske kroner? b) Finn en formel for U uttrykt ved N og E. c) Arne vil kjøpe britiske pund for 30 800 kr.

Hvor mange pund fĂĽr han?

1.157

PĂĽ side 29 brukte vi formelen for effekten P til en vindturbin gitt ved P 0,0003 Â&#x2DC; v3 Â&#x2DC; A der v er vindstyrken mĂĽlt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager nĂĽr de roterer. a) Finn en formel for effekten uttrykt ved lengden r i meter av rotorbladene pĂĽ vindturbinen. b) GĂĽ ut fra at vindstyrken dobles.

Hvor mange ganger større blir effekten da? c) Finn en formel for arealet A uttrykt ved P og v.

F

9 C 32 5

Lag et program i Python som regner om fra celsiusgrader til fahrenheitgrader.

Programmet skal skrive svaret med 1Â desimal.

1.6 RETTE LINJER

1.160

Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y 3x b) y 3x 4 c) y 3x 1 d) y 3x 3 Hvordan gĂĽr linjene i forhold til hverandre?

1.161

Lag tabell og tegn de tre rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y x 2 b) y 2x 5 c) y x 4 Hvilket punkt gĂĽr alle tre linjene gjennom?

1.162

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet.

1 a) y x 1 b) y 3x 6 2 3 5 1 c) y x d) y x 4 2 2 4

315

s

1.163

1.7 Ă&#x2026; FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

Bruk stigningstallet og konstantleddet til ĂĽ tegne linjene. a) y 2 x 6 b) y 2 x 4 1 5 7 c) y x 1 d) y x 4 2 2

1.170

Finn likningene for linjene grafisk. y 5 4

1.164

3

Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene.

2 1 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

y 5

b)

3

2

3

4

5

6

7

â&#x20AC;&#x201C;3 a)

â&#x20AC;&#x201C;5

1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;4

2

â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

x

â&#x20AC;&#x201C;2

4 a)

c)

x 1

2

3

4

5

Finn likningene for linjene grafisk.

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3

1.171

y

c)

5 4 3 2 1

b) â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5

1.165

a) Tegn de to linjene

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5

y x 3 og

a) b) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c)

y 2x 3 i det samme koordinatsystemet. b) Bestem likningen for ei ny linje som er parallell med x-aksen slik at arealet av omrüdet som er avgrenset av de tre linjene, blir 12. Oppgaven har to løsninger.

s

316

1 | FORMLER OG LIKNINGER

1.172

Ei rett linje gür gjennom punktene 0, 2

og 4, 0 .

Finn likningen for linja grafisk.

1.173

Regn ut stigningstallet til den rette linja som gĂĽr gjennom disse punktene: a) â&#x20AC;&#x201C;5, 1 og 1, â&#x20AC;&#x201C;5 b) 0, 3 og 3, 6

c) 6, 3 og 4, 1

d) 7, 2 og â&#x20AC;&#x201C;3, 7

1.174

1.8 DIGITAL GRAFTEGNING

Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel.

Tegn deretter linjene og kontroller at likningen stemmer. a) 1, 1 og 3, 5

b) â&#x20AC;&#x201C;3, 2 og 0, 1

c) 3, â&#x20AC;&#x201C;4 og â&#x20AC;&#x201C;3, 5

1¡ §1 1¡ § d) ¨ , ¸ og ¨ 2, ¸ 3š Š2 3š Š

1.180

1.175

Løs oppgaven uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje gür gjennom punktene 1, 4 og 3, 0 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje gür gjennom punktet 2, 1 og har stigningstallet 4.

Finn likningen for linja. c) Ei rett linje skjÌrer x-aksen i punktet 2, 0 og y-aksen i punktet 0, 2 .

Finn likningen for linja.

1.176

Løs oppgaven uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje gür gjennom punktene 2, 3 og 4, 9 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje gĂĽr gjennom punktet 1, 3 og har stigningstallet â&#x20AC;&#x201C;3.

Finn likningen for linja. c) Ei annen linje er parallell med linja i oppgave b og skjĂŚrer x-aksen i x 2.

Finn likningen for linja.

1.177

Likningen for ei linje er gitt ved y 2x 4 Finn likningen for ei annen linje som har konstantledd 4 og er parallell med den første linja.

Tegn linjene digitalt. a) y 5x 4 b) y x 3 1 c) y 3,8x 2,5 d) y x 5 5 1.181

En familie leier ei hytte til 950 kr per døgn. I tillegg mü de betale 350 kr for vask av hytta. Etter x døgn mü de betale y kr, og beløpet er gitt ved y 950x 350 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de mü betale for ü leie hytta fra ett døgn og ei uke fram i tid.

1.182

Geir, Guri og Guro er pü tur. Pü campingplassen der de bor, koster det 60 kr per time ü leie en robüt. I tillegg mü de betale 25 kr per person for ü leie redningsvest. a) Forklar at for t timer mü de betale y kroner i leie, der y 60t 75. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de mü betale i leie for inntil 8 timer.

1.183

a) Cecilie er pü kanotur. Først padler hun en halv time med farten 3 km/h.

Forklar at etter t minutter har Cecilie padlet y kilometer, der y 0,05t. b) Sü øker Cecilie farten, slik at hun den neste timen har farten 6 km/h.

Sett opp en formel som viser hvor mange kilometer y hun nĂĽ padler pĂĽ t minutter. c) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mange kilometer y Cecilie har padlet etter t minutter fra hun begynte pĂĽ kanoturen.

317

s

1.184

1.193

Ingvild liker ü spille minigolf, og i fritidsklubben Kølla har de dette tilbudet:

Bensintanken pĂĽ bilen til Lise tar 60Â liter.

Ved langkjøring forbrenner motoren 0,75 liter per mil. Lise fyller tanken helt full og legger ut pü en lang biltur. a) Forklar at etter x mil er det y liter bensin igjen pü tanken, der

x 30 kr per enkeltspill per person x Klippekort, 12 spill for 240 kr a) Finn en formel som viser hvor mye Ingvild mü betale for x spill nür hun ikke kjøper klippekort. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye Ingvild mü betale for inntil 12 spill nür hun ikke har klippekort. c) Tegn digitalt en kurve som viser den billigste løsningen for Ingvild for inntil 12 spill.

y 60 0,75x b) Tegn linja i oppgave a digitalt. c) Bruk grafen til ü finne ut hvor mange liter bensin det er igjen etter 50 mil. d) Bruk grafen til ü finne ut hvor mange mil Lise har kjørt nür det er igjen 30 liter bensin.

1.9 GRAFISK AVLESING

1.190

Løs likningssettene grafisk büde med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 2x 5y 1 b) 4x y 2 x 2y 4 x 4y 7 1.191

Løs likningene grafisk büde med og uten hjelpemiddel.

1 a) x 3 x 7 3 1 2 b) x 4 x 2 3 3 1.192

Løs likningssettet x 5y 23 x y 1 a) b) c) d)

s

318

ved regning grafisk uten digitalt hjelpemiddel grafisk med digitalt hjelpemiddel digitalt uten ĂĽ tegne grafer 1 | FORMLER OG LIKNINGER

1.194

Simen skal ta bilsertifikat. Kjøreskolen Tut og kjør tar 600 kr per time, og i tillegg mü Simen betale 14 000 kr for trafikalt grunnkurs, førstehjelpskurs, glattkjøring osv. a) Finn en formel som viser hvor store de totale utgiftene y i kroner blir nür Simen har x kjøretimer. b) Tegn linja i oppgave a digitalt nür x er mellom 0 og 40. c) Simen hüper at han skal klare seg med 15 kjøretimer.

Finn av linja i oppgave b hvor mye Simen regner med at førerkortet vil koste. d) Det viste seg at utgiftene til førerkort kom pü 30 800 kr.

Bruk grafen til ü finne ut hvor mange kjøretimer Simen hadde.

1.195

1.197

Hans har 24Â 000 kr og bruker 1200 kr hver mĂĽned. Grete har 8000 kr og sparer 800 kr hver mĂĽned. a) Hvor mye har Hans igjen av pengene sine etter x mĂĽneder?

Hvor mye penger har Grete etter x müneder? b) Finn grafisk med digitalt hjelpemiddel nür Hans og Grete har like mye penger.

Hvor mye har de da?

Petter selger abonnementer til mobiltelefoner. Han kan nü velge mellom to ulike lønnstilbud: I) ei fast münedslønn pü 16 000 kr pluss 25 kr for hvert nytt abonnement han selger II) ei fast münedslønn pü 14 000 kr pluss 50 kr for hvert nytt abonnement han selger a) Sett opp formler for münedslønna y i kroner nür Petter selger x abonnementer. b) Finn grafisk hvor mange abonnementer han mü selge for at lønnstilbudene skal vÌre like gode.

Hva er lønna da?

1.196

Ola kjører pü en motorvei i 78 km/h.

Kari kjører i 90 km/h pü den samme veien. Ved et mülepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet?

2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Forklar at t minutter etter at Kari har passert mülepunktet, har de kjørt s km fra mülepunktet, der Kari: s 1,5t Ola: s 12 1,3t c) Finn grafisk uten digitalt hjelpemiddel nür Kari tar igjen Ola. Hvor langt fra mülepunktet er de da?

1.198

En familie skal pĂĽ langtur med bilen.

De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B 60 0,8x a) Hvor mange liter rommer bensintanken? b) Tegn ei linje digitalt som gir sammenhengen mellom x og B nür x er mellom 0 og 75. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 20 mil. d) Finn grafisk og ved regning hvor langt familien har kjørt nür tanken er halvfull. e) Finn en formel for x uttrykt ved B. f) Hvor mange mil kan de kjøre før de seinest mü fylle tanken igjen?

319

s

UTEN HJELPEMIDLER

1.205

Er likningen en identitet?

1.200

3 x 2

Regn ut. a) 32 2 3 2 32 2

b) 4 3 52 3 5 1

c) 23 4 3 2 1 2

d) 1 2 1 1 3 24

1.206

Therese begynner ü lese ei bok. Første 1 dagen leser hun av alle sidene i boka.

8

Den neste dagen leser hun dobbelt sü mange sider som den første. Den tredje dagen leser hun 25 sider, og da er det igjen 110 sider.

Hvor mange sider er boka pĂĽ?

1.201

Regn ut. a) 6 23 22 3 32 1

§1 1 1¡ b) 2 ¨ ¸ Š2 3 4š c) x2 5 x 1 2 x x2 x 3 x

1.202

Multipliser ut og trekk sammen. a) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1

b) 2 x 2 x 2

c) 3 x 2 x 3 5 x 1 x 2

d) 2 x 1 x 1 x 2

1.203

Regn ut. a) 3 Â&#x2DC; 14 8 32 Â&#x2DC; 5 6

b) 3 a2 a 1 a a 3

â&#x2013;˛ 1.2

1.204

Løs likningene ved regning.

1 x a) x 2

1 2 4 1 1 5 b) x 1 x 2

2 3 6 c)

s

320

1§ 1¡ 1§ 1¡ ¨x ¸ ¨x ¸ 3Š 2š 2Š 3š

1 4x 8 x 2 0 2

1§1 ¡ ¨ x 3¸ 3Š 2 š

1 | FORMLER OG LIKNINGER

1.207

I en brøk er nevneren 6 større enn telleren.

Hvis vi legger 8 til nevneren, blir 1 verdien av brøken .

3

Hvilken brøk er dette?

1.208

Diofantos var en gresk matematiker som levde pü 200-tallet. Han var en av de første som brukte algebrasymboler.

Det meste man vet om Diofantosâ&#x20AC;&#x2122; liv, kommer fra en algebraisk gĂĽte fra rundt 500 e.Kr. GĂĽten er slik: Diofantosâ&#x20AC;&#x2122; ungdomstid varte en sjettedel av hans liv. Han fikk skjegg etter ytterligere en tolvtedel av livet sitt. Etter en syvendedel til av livet sitt giftet han seg. Fem ĂĽr etter dette fikk han og hans kone en sønn. Sønnen levde nøyaktig halvparten sĂĽ lenge som sin far, og Diofantos døde fire ĂĽr etter sin sønn.

Hvor mange ĂĽr levde Diofantos? â&#x2013;˛ 1.3

1.209

1.213

Løs likningssettet ved regning.

Formelen for volumet av ei sirkulĂŚr kjegle er

x 2y 2 x 4y 8 1.210

Løs likningssettet ved regning. x 3y 1 0 2x y 5 0 1.211

3 barn og 2 voksne betaler til sammen 168 kr for bussbilletter. En voksenbillett koster dobbelt sĂĽ mye som en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett? â&#x2013;˛ 1.4

V

der V er volumet, r er radien og h er høyden. a) Finn h uttrykt ved de andre størrelsene. b) Finn r uttrykt ved de andre størrelsene.

1.214

En naturfaglÌrer holder en ball som hun sü slipper. Ballen faller fritt uten luftmotstand. Etter t sekunder har ballen falt h meter. Vi kan finne høyden ved formelen h

1.212

a) Løs likningssettet ved regning. y 2x 4 y x 5 b) Hans kjøper 3,0 kg pÌrer og 1,0 kg bananer og betaler 84 kr. I den samme forretningen kjøper Grete 2,0 kg pÌrer og 3,5 kg bananer.

For dette betaler hun 124 kr.

Finn prisen pĂĽ ett kilogram pĂŚrer og prisen pĂĽ ett kilogram bananer i denne forretningen.

Sr 2 Â&#x2DC; h 3

1 Â&#x2DC; g Â&#x2DC;t2 2

der g er tyngdeakselerasjonen.

Finn t uttrykt ved hjelp av h og g.

1.215

Diameteren i en kuleformet vanndrĂĽpe er 2,1 mm. Etter t sekunder har fordampingen gjort at diameteren d mĂĽlt i millimeter er d 2,1 0,01 Â&#x2DC; t a) Finn diameteren etter 60 s. b) Finn en formel for t uttrykt ved d. c) Hvor lang tid tar det for vanndrĂĽpen ĂĽ fordampe helt?

1.216

Arealet av et trapes er gitt ved formelen

a b

Â&#x2DC;h 2 Uttrykk h ved hjelp av A, a og b.

A

321

s

1.217

1.220

Jeppe har drukket alkohol og har en promille pü 1,8. Han regner med at promillen avtar med 0,15 per time. a) Hvor høy promille har Jeppe i kroppen etter 6 timer? b) Finn en formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timer. c) Finn en formel for x uttrykt ved P. d) Hvor lang tid har det gütt nür promillen er 0,3? e) Nür er alkoholen helt ute av kroppen hans?

Ei rett linje har stigningstall 3. Linja 1 skjĂŚrer x-aksen for x .

3

Bestem likningen for linja.

1.221

a) Ei rett linje gĂĽr gjennom punktene 1, 3 og 1, 1 .

Finn likningen for linja. b) Vis at linja gür gjennom punktet 4, 2 . c) Undersøk om linja gür gjennom punktet 3, 6 .

1.218

1.222

Undersøk om arealene av de to blü omrüdene er like store.

a) Ei rett linje gĂĽr gjennom punktene 0, 3 og 1, 1 .

Finn likningen for linja. b) Ei rett linje gĂĽr gjennom punktet 2, 3 og har stigningstallet 2.

Finn likningen for linja. c) Ei rett linje er parallell med ei annen linje gitt ved 4x 2y 3. Linja gĂĽr dessuten gjennom punktet 1, 1 .

Finn likningen for linja.

1.223

â&#x2013;˛ 1.5

Vi har gitt likningssettet 1.219

Finn likningen for linjene pĂĽ figuren. y 4 3

1.224

2

Løs likningen

1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2 3

4 5

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;5

s

322

7 7

Løs likningssettet büde grafisk og ved regning.

5

â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

3x y 2 x 3 y

1 | FORMLER OG LIKNINGER

1 5 x 4 2

2x 2

1) grafisk 2) ved regning

1.225

1.230 (Eksamen V-2019)

I koordinatsystemet nedenfor er det tegnet et linjestykke AB.

I Norge müler vi temperatur i grader celsius (°C). I USA müles temperatur i grader fahrenheit (°F). I tabellen nedenfor ser du sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.

y 2 B

1 â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;1

1

x 2 3

4

5

6

A

7

Ei rett linje l gür gjennom punktene C 3, 4 og D 7, 2

Gjør beregninger og avgjør om linja l er parallell med linjestykket AB. 1.226

a) Løs likningssystemet büde grafisk og ved regning.

2x y 5 4x y 7

Grader celsius (°C)

50

30

0

10

Grader fahrenheit (°F)

58

22

32

50

a) Tegn et koordinatsystem med grader celsius langs x-aksen og grader fahrenheit langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen som punkter i koordinatsystemet, og tegn ei rett linje som gĂĽr gjennom punktene.

b) Løs likningen grafisk.

1 2x 4 3 x 3 â&#x2013;˛ 1.9

1.227 (Eksamen V-2016)

Løs likningssystemet.

5x 2 y 2x y 9 1.228 (Eksamen H-2017)

Løs likningen grafisk.

1 x 1 9 2x 2 1.229 (Eksamen V-2018)

Løs likningssystemet.

5x 2 y 4 3x 4 y 6

°C

°F

Tenk deg at du har Ên gradestokk som viser grader celsius, og Ên som viser grader fahrenheit. b) Hvor kaldt mü det vÌre for at de to gradestokkene skal vise samme verdi? c) Bestem en formel som viser sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit. d) Bruk formelen du fant i oppgave c, til ü vise at 100 °C er det samme som 212 °F.

323

s

MED HJELPEMIDLER 1.300

Tenk pĂĽ et tall. Legg til 5.

Gang svaret med 2. Trekk fra 4.

Del pĂĽ 2. Trekk fra tallet du tenkte pĂĽ. a) Hvilket tall fĂĽr du? b) Begynn med et negativt tall.

Hvilket svar für du nü? c) Begynn med en brøk.

Hvilket svar fĂĽr du nĂĽ? d) Kall det tallet du tenker pĂĽ, for x, og bevis at du alltid vil fĂĽ det samme svaret til slutt.

1.301

Tenk pĂĽ et tosifret tall.

Finn tverrsummen av tallet.

(Tverrsummen av 71 er 7 + 1 = 8.)

Trekk tverrsummen fra det tallet du tenkte pĂĽ.

GĂĽ til nettsiden http://is.gd/tankeleser Finn symbolet bak det tallet du har regnet deg fram til.

Trykk pĂĽ ÂŤkrystallkulaÂť.

Gjenta forsøket noen ganger.

Vis ved hjelp av matematikk hvordan denne ÂŤtankelesingenÂť fungerer.

1.304

I 1938 oppdaget fysikeren Frank Benford at mange forskjellige lister med tallstørrelser begynte med sifferet 1 langt oftere enn med de andre sifrene. Blant annet gjaldt dette lister med lengder pü elver, fysiske konstanter m.m.

Ifølge Benfords lov vil ca. 30 % av tallene i slike lister begynne med sifferet 1, mens mindre enn 5 % av tallene begynner med sifferet 9. b) De første fibonaccitallene er 1, 1, 2, 3 og 5 Det neste fibonaccitallet finner vi ved ü addere de to siste tallene vi er kommet fram til.

Bruk et regneark og lag ei liste over de 50 første fibonaccitallene.

Hvor stor andel av disse tallene begynner med sifferet 1? c) Lag ei liste over de 50 tallene vi fĂĽr ved ĂĽ regne ut 2n nĂĽr n er 1, 2, 3 â&#x20AC;Ś. 50 Hvor stor andel av disse tallene begynner med sifferet 1? â&#x2013;˛ 1.1

1.302

Bruk gangetegn sammen med plusstegn eller minustegn og sett sammen tallet 17 ved ĂĽ bruke tallene 3, 4 og 5.

Det kan gjøres pü to müter.

Bruk tallene 5, 6 og 7 sammen med eventuelle plusstegn, minustegn, multiplikasjonstegn og parenteser pĂĽ en slik mĂĽte at svaret blir a) 37 b) 77 c) 12

324

t og a er ensifrede tall.

Bestem t og a slik at likheten nedenfor stemmer.

2 157 t

2

1.303

s

1.305

1 | FORMLER OG LIKNINGER

10a976

Løs oppgaven ved ĂĽ bruke CAS og prøv med ulike tallverdier for t. â&#x2013;˛ 1.2

1.306

1.308

Vi setter a 3. Da kan vi for eksempel skrive tallet 10 som

Vi vet at

a 2 2 6 a 1 3a 2 a 3

a) Trekk sammen uttrykket ovenfor. b) Sett a 3 inn i det forenklede uttrykket og regn ut svaret. c) Sett a 3 inn i det opprinnelige uttrykket og regn ut svaret. d) Lag tilsvarende uttrykk som i eksempelet ovenfor for tallene 11, 12, 13, 14 og 15 nĂĽr a 3. Lag egne uttrykk som er passe utfordrende ĂĽ regne ut. Hvert uttrykk skal inneholde minst to parenteser og minst ĂŠn potens. Kontroller utregningene med et digitalt hjelpemiddel.

1.307

Gjør utregningene i punktene nedenfor. â&#x20AC;˘ Tenk pĂĽ et tall. â&#x20AC;˘ Legg til 4. â&#x20AC;˘ Doble svaret. â&#x20AC;˘ Trekk fra 6. â&#x20AC;˘ Halver svaret. â&#x20AC;˘ Trekk fra 1. a) Hvilket svar fĂĽr du? Prøv med minst to ulike tall. b) La x vĂŚre det tallet du tenker pĂĽ, og forklar at alle utregningene til sammen svarer til uttrykket

x 4 Â&#x2DC; 2 6 1 2

c) Vis ved hjelp av algebra at nür du gjør utregningene i punktene ovenfor, für du til slutt alltid det tallet du tenkte pü.

2 2 2 Â&#x2DC; 2 4 I denne oppgaven skal vi finne flere slike tallpar av x og y som passer i likningen x y x Â&#x2DC; y. Med litt prøving og feiling kan vi dessuten finne at 3

3 2

3Â&#x2DC;

3 2

9 2

Men prøving og feiling er en lite effektiv metode. Derfor skal vi nĂĽ bruke algebra slik at jakten pĂĽ passende tallpar blir enklere. a) Omform likningen x y x Â&#x2DC; y slik at du fĂĽr y uttrykt ved x. b) Velg fritt tre heltallsverdier for x og lag tre nye tallpar som passer i likningen x y x Â&#x2DC; y.

1.309

Da Martin døde, etterlot han halvparten av formuen sin til Martine. 4000 kr gikk til undulaten, og halvparten av resten skulle hesten ha. Halvparten av resten fikk hunden. De resterende 6000 kr gikk til et veldedig formül.

Hvor stor var formuen til Martin?

1.310

Marita har en kurv med jordbÌr. Først spiser hun halvparten av bÌrene, og sü tar hun to til. Deretter spiser søsteren halvparten av resten og sü to bÌr til. Slik fortsetter det med de to brødrene hennes. Til slutt ligger det bare ett bÌr igjen i kurven.

Hvor mange jordbĂŚr var det i kurven fra begynnelsen av?

325

s

1.311

1.313

Lars, Gurine og Ola er hyttenaboer, og en dag henter de vann fra en felles tank.

Det er x liter vann i tanken. a) Lars tar halvparten av vannet pluss en halv liter. x 1 Forklar at Lars tar §¨ ¡¸ liter vann,

Finn Skogen selger ved. En dag har en kunde betalt i alt 420 kr for 4 sekker bjørkeved og 2 sekker granved. En annen kunde har betalt i alt 405 kr for 3 sekker bjørkeved og 3 sekker granved.

Hvor mye koster 1 sekk med bjørkeved og 1 sekk med granved til sammen?

Š2 2š x 1 og at det er igjen §¨ ¡¸ liter vann. Š2 2š

b) Gurine tar halvparten av det vannet som nü er igjen, pluss en halv liter. x 1 Forklar at Gurine tar §¨ ¡¸ liter

Š4 4š x 3 vann, og at det er igjen §¨ ¡¸ liter Š4 4š

vann. c) Ola tar halvparten av det vannet som nü er igjen, pluss en halv liter. x 1 Forklar at Ola tar §¨ ¡¸ liter vann. Š8

8š

d) Etter at alle tre har tatt det vannet de skal ha, er det 4 liter vann igjen i tanken.

Forklar at §x 1¡ §x 1¡ §x 1¡ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Š2 2š Š 4 4š Š8 8š

x 4

Bestem x.

1.312

Hver av de to diagonalene pĂĽ figuren har den samme summen som kolonnen i midten.

Hvilket uttrykk skal det stĂĽ i rute A, og hvilket uttrykk skal det stĂĽ i rute B? A

2x â&#x20AC;&#x201C; 7

B

3(y â&#x20AC;&#x201C; x) x â&#x20AC;&#x201C; 2y

4(x â&#x20AC;&#x201C; y + 2)

2y â&#x20AC;&#x201C; x

â&#x2013;˛ 1.3

s

326

1 | FORMLER OG LIKNINGER

1.314

DrosjenÌringen bruker det de kaller parallelltakst. Kunden betaler da en pris som büde er avhengig av hvor langt drosjen kjører, og hvor lang tid turen tar. Prisen for en tur som er pü 8 km og varer i 13 minutter, blir kalt jamførprisen. Den skal gjøre det lettere for kundene ü sammenlikne priser fra konkurrerende drosjeselskaper. a) Firmaet Trygg Taxi tar 45 kr i starttakst, 14 kr per km og 6 kr per minutt for en tur pü dagtid.

Hva blir jamførprisen her?

Kristin er drosjesjüfør i Trygg Taxi og vurderer to ulike ruter for ü komme fra holdeplassen til dit kunden ønsker.

Rute A er pü 5 km og tar som regel 7 minutter. Rute B er pü 3 km, men pü grunn av mye trafikk regner hun med ü mütte bruke 9 minutter pü den ruta. b) Hvilken rute er billigst for kunden hvis tidene Kristin har beregnet, stemmer?

Firmaet Kvikk Taxi har en jamførpris pü dagtid pü 248 kr. Startprisen er pü 48 kr.

En tur pĂĽ 10 km som tar 15 minutter, koster 288 kr. c) Hva er prisen per kilometer og prisen per minutt hos Kvikk Taxi?

1.315

1.318

a) Løs likningssettet büde ved regning og i CAS.

Ekstra lett lettmelk inneholder 0,7 % fett. Lettmelk inneholder 1,5 % fett.

Helmelk inneholder 3,9 % fett. En dag er kjøleskapet til Eldbjørg tomt for lettmelk, men hun har büde ekstra lett lettmelk og helmelk. Hun bestemmer seg for ü lage 1L lettmelk ved ü blande ekstra lett lettmelk med helmelk.

Eldbjørg setter opp dette likningssettet:

x 2y 3 4x 5y 6 b) Løs likningssettene i CAS. 1) 7x 8y 9 2) 13x 14y 15 10x 11y 12 16x 17y 18 c) Sammenlikn svarene i likningssettene i oppgave a og b. Hva finner du?

Finn ogsü ut hvordan likningssettene er bygd opp. d) Prøv ü stille opp det generelle likningssettet som oppgavene i a og b passer til, og løs deretter likningssettet. Løs oppgaven ved büde ü bruke innsettingsmetoden og CAS. 1.316

Pelle Pirat har tre sekker med mynter, A, B og C, som han ønsker ü veie. Vekta hans viser bare vekter pü over 100 kg.

Sekk A og B veier til sammen 124 kg.

Sekk A og C veier til sammen 118 kg.

Sekk B og C veier til sammen 130 kg.

Hvor mye veier hver av sekkene?

a) Forklar hva hver av likningene beskriver. b) Løs likningssettet i CAS. Hvor mye melk av hver sort skal Eldbjørg blande?

1.319

Det fins et spesielt femsifret tall abcde som er slik at det sekssifrede tallet abcde1 er tre ganger større enn det sekssifrede tallet 1abcde.

Hva er det femsifrede tallet abcde? â&#x2013;˛ 1.4

1.320

1.317

Det stĂĽr 115 stoler i aulaen pĂĽ Stokken videregĂĽende skole. Noen stoler har 3Â bein, mens andre har 4 bein. Under en 1 3

forestilling var av de trebeinte stolene 1 4

x y 1 0,007x 0,039y 0,015 Â&#x2DC; 1

og av de firbeinte stolene ledige.

I alt var det da 573 bein i aulaen, medregnet bĂĽde stolbeina og menneskebeina.

Hvor mange mennesker satt da i aulaen?

Skriket fra en dvergflaggermus har en toppfrekvens pü ca. 55 000 Hz. Med toppfrekvens mener vi den frekvensen som har sterkest lyd (høyest lydstyrke).

Vi setter lydfarten til 340 m/s.

Hvor stor er bølgelengden? Bruk bølgeformelen i oppgave 1.151.

327

s

1.321

Tone har kjøpt ny, miljøvennlig bil.

Bensintanken rommer 45 liter. Tone skal ut på langtur og fyller tanken helt full med bensin. Etter x mil er antallet liter bensin som er igjen på tanken B 45 0,45x a) Hvor stort er bensinforbruket per mil? b) Regn ut hvor langt Tone har kjørt når det er igjen 36 liter på tanken. c) Når må Tone seinest fylle på bensin igjen? d) Vis at vi kan uttrykke x ved x 100

20 B 9

e) Hvor langt har Tone kjørt når det er igjen 27 liter bensin?

1.322

Effekten P til en vindturbin er gitt ved P 0,0003 v 3 A der v er vindstyrken målt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager når de roterer.

Gå ut fra at turbinen går i 300 døgn på ett år, og at vindstyrken hele tida er 5 m/s.

Lengden på rotorbladene er 58,5 m.

I eksempelet på side 29 og 30 regnet vi ut at dette gir en energi på 2 901 600 kWh. 1 liter tørr, god ved kan gi energi som tilsvarer 1,3 kWh. a) Hvor mange liter ved tilsvarer energien vi får fra vindturbinen? b) En vedstabel på 4 m × 1 m × 60 cm kaller vi en favn ved.

Hvor mange favner ved tilsvarer energien som vindturbinen da gir?

s

328

1 | FORMLER OG LIKNINGER

c) Hvor mange sekker ved på 60 L tilsvarer denne energien? d) Svar på denne oppgaven ved bare å studere formelen for effekten.

Hva skjer med effekten til vindturbinen hvis vindstyrken dobles samtidig som lengden på rotorbladene halveres?

1.323

Den amerikanske astronomen Edwin Hubble målte farten v til en del galakser og avstanden r fra oss til galaksene. Han oppdaget at andre galakser beveger seg raskere bort fra oss jo lenger unna de er.

Dette beskrives i Hubbles lov gitt ved v H r der H blir kalt hubblekonstanten.

Hvis vi forutsetter at ekspansjonsfarten har vært konstant, gir likningen r v t oss tida t for hvor lenge universets ekspansjon har vart.

Sett H 23

km/s million lysår

a) Vis at 1 lysår 9,46 1012 km. b) Vis at 1 t H c) Regn ut universets alder. Gi svaret i milliarder år.

1.324

Volumet av ei kule er gitt ved V

4 3 Sr 3

Lag et program i Python som regner ut volumet av ei kule. Svaret skal skrives med 2 desimaler.

1.325

Løs likningssettet 3x y 2x 8 y a) b) c) d)

8 2

ved regning grafisk uten digitalt hjelpemiddel grafisk med digitalt hjelpemiddel digitalt uten ĂĽ tegne grafer

a) Hva er temperaturen etter 7,5Â minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom T og t.

Velg t mellom 0 og 20. c) Finn grafisk og ved regning nür temperaturen i vannet er 79 °C. d) Finn en formel for t uttrykt ved T. e) Hvor lenge gür det før vannet koker?

1.326

1.328

Hanne skal ta sertifikat for bil. Hun har fütt opplyst at utgiftene til de obligatoriske kursene og kjøringene kommer pü 18 400 kr. En kjøretime koster 600 kr. a) Finn en formel for utgiftene y i kroner nür hun bruker x kjøretimer. b) Tegn ei linje digitalt som viser sammenhengen mellom x og y nür x er mellom 0 og 40. c) Hvor mange kjøretimer har hun hatt nür utgiftene til sammen er 29 200 kr?

Berit fyller varm te med temperaturen 92 °C pü ei tekanne, mens Lars samtidig fyller varm kaffe med temperaturen 86 °C pü ei kaffekanne. Temperaturen i tekanna synker med 1,2 grader per minutt, mens temperaturen i kaffekanna synker med 0,8 grader per minutt. a) Hva er temperaturen T i tekanna etter x minutter? b) Hva er temperaturen K i kaffekanna etter x minutter? c) 1) Tegn ei rett linje som viser sammenhengen mellom T og x nür x er mellom 0 og 30.

2) Tegn i det samme koordinatsystemet ei rett linje som viser sammenhengen mellom K og x. d) Finn grafisk og ved regning nĂĽr temperaturen er den samme i tekanna og i kaffekanna. â&#x2013;˛ 1.9

1.327

Pü en komfyr stür det en kjele med vann. Temperaturen i vannet er 16 °C. Vannet i kjelen für en jevn tilførsel av varme, og etter t minutter er temperaturen T mült i celsiusgrader i vannet T 16 4,2t

1.329 (Eksamen V-2017)

To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kroner for billetter til en kinoforestilling. En voksenbillett koster 40 kroner mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

329

s

FASIT TEORIDEL 1.10 a) 16 e) 9

b) 16 f) 1

c) 4 g) 0

d) 4 h) 1

1.11 a) 6

b) 42

c) 13

d) 6

1.35 a) Anne er 8 ĂĽr, Berit 16 ĂĽr og Cathrine 18 ĂĽr. b) Abel 9 ĂĽr, Bjarne 7 ĂĽr, Cato 14Â ĂĽr og David 6 ĂĽr. c) Adam er 16 ĂĽr og Xeres er 6Â ĂĽr.

d) 7

1.40 x 2 og y 1

1

1.12 a) 8

b) 0

c) 7

1.20 a) 5x 2y 1 b) 2a 2 a 2 c) 2x 2 x y 2 d) xy xy 2 x 2y 1.21 a) 7x c) 4x

b) 2a b d) a2

1.22 a) 2x 8 c) 1

b) 2t 6 d) 15x 5

1.23 a) 2a 7b c) 2x 2 x 3

b) 0 d) 6t 2 t 2

1.24 a) 3x 2 1 b) 15x c) 4x 2 2x 6 d) 6t 2 15t 9 1.30 a) x 23 H.s. v.s. 72 b) x 1 H.s. v.s. 0 c) x 1 H.s. v.s. 4 1.31 a) x 2 c) x 10

b) x 14 9

1.32 a) x 4 c) x 0

b) x 15 2

1.33 a) x 4 c) x 0

b) x 15 2

1.34 a) Ja c) Ja

b) Nei d) Nei

1.41 a) x b) x c) x d) x

3 og y 1 1 og y 1 2 og y 3 2 og y 0

1.42 x 2 og y 1 1.43 a) x 3 og y 1 b) x 1 og y 1 c) x 2 og y 0

1.55 a) t 350, 7 s

b) 30 minutter

c) 50 minutter 1.56 a) 967

b) 77Â 376

1.57 a) 92 888

b) 619Â 258

1.58 a) 1306

b) 91Â 440

1.60 Linjene i a og c er parallelle.

1.61 Linjene i b og c krysser i y 1.

1.63 b) 6 1.64 b) 27 2

1.44 a) x 1 og y 1 b) x 2 og y 43

1.70 y x 2, y 2x 2, y x 2 og y 23 x 2

c) x 12 og y 23

1.71 y 2x 3

3

5

10

d) x 2 og y 2,6 1.50 a) 6200 km b) Om 15 uker c) 100 km 1.51 a) 21 km b) 30 minutter c) 50 minutter d) 35 km 1.52 a) V 24 000 300t b) 16Â 800 kr c) 3 ĂĽr og 4 md 1.53 a) U 2x 4200 b) 4600 kr c) 2500 km 1.54 a) x U 33500

1.72 a 2 1.73 a) a 3

b) a 12

c) a 13

d) a 2

1.74 a) y 3x 5

b) y 3x 2

3

1.75 a) y x 6 b) y 3x 5 c) y 3x 5 d) x 2 1.76 a) y x 7

b) y x 4

1.84 a) y 90 3t

b) 500 mil, 10 kr per mil

445

1.90 x 2 og y 1 1.91 a) 410 kr e) 15 km g) 6 km 1.92 a) x b) x c) x d) x

d) 650 kr f) P 25x 80

3 og y 1 1 og y 1 2 og y 3 2 og y 0

Oppgave 10 a) 660 reoler, 600 reoler, 540Â reoler b) 12 md. c) R 720 60x e) 240 reoler f) 6 md.

720 R g) x 60 h) 6Â md. j) R 80x 680

2 2.10 a) 2

b)

3

1.93 c) 3000 km

2.11 a) 19

b)

1.94 a) 52 500 kr b) K 250x 15 000 f) 100 g) 7500 kr

e)

f)

Kapitteltest 1 Oppgave 1 a) x 8 c) x 1

b) x 3

Oppgave 2 x 2, y 2 Oppgave 3 Lise er 44 ĂĽr, Henrik er 48 ĂĽr, og Grete er 16 ĂĽr.

36 5 4

3 5

c)

1 27 36 5

c)

6 7

d)

3 16

2.12 a) 54

b)

11 30

c) 1

2.13 a) a

b)

1 a

c)

2.14 a) 4

b)

5xy 6

c) 6

2.15 a) x 2

b)

c)

d)

4 x 8 6x

f) a 7 2 49 a 2 14a

g) x 13 2

2

13x x 2 169 4

h) y 3 y 3 y4 9

i) 3x 12

2

3x 9x 2 14

2.24 a) 899 b) 361 c) 441 d) 896 e) 1575 f) 9991

7 9

2.25 a) 1

d)

41 12

d)

17 40

2.30 a) To ledd. Ikke faktorisert b) Tre ledd. Ikke faktorisert c) Ett ledd. Faktorisert d) Ett ledd. Faktorisert

d)

3 5

13 6x

a 7 6 1 6

b) 1

2.31 a) 3 x 2

b) x 2x 3

c) 2y 2 y 2

d) 2x x 2 2x 3

2.32 a) 2x y 2 2

b) 5xy y 2

c) ab ab 3a 1

d) 3x x 2y 3

Oppgave 4 x 4, y 5

2.20 a) x 2 2x 1 b) x 2 8x 16 c) t 2 10t 25 d) t 2 9 e) y 2 16

2.33 a) x 3 x 3

b) t 4 t 4

Oppgave 5 a 2A b h

2.21 a) t 2 14

d) 2 x 2 x 2

Oppgave 6 Stigningstall: 3 , konstantledd: 2 2

Oppgave 7 b) y 25 x 11 c) y x 2 2 d) 1, 3

Oppgave 8 a) x 276, y 252

b) x 2 x 14

c) 4x 2 25 d) 9x 2 12x 4 2 e) 25x 10x 1 2.22 a) 2x 2 c) 8x 33

b) 12x d) 2t 2 3t 20

2.23 a) 3 b 2 9 6b b 2

1 1 c) 2 x 2 y

b) 2x 12 y

2

2

d)

4 x 2 2x 2 2xy 14 y 2 1 2 1 x 2 xy 14 y 2 4

3 3x 2 3 3x 2 3 9 x 4

e) x 3 3 2 x 6 6x 3 9

446

c) 2

c) x 12 x 12

2.34 a) 2x 3 2x 3

b) Kan ikke faktoriseres c) 3x 1 3x 1

d) 3x 2x 5 2x 5

2.35 Se fasit 2.32 og 2.34 2.40 a) x 1 x 2

b) x 1 x 5

c) x 3 x 1

d) x 1 x 1 x 1 2

FASIT OPPGAVEDEL 1.134 a) Ja

1 1.110 a) 17

b) 17

c) 32

d) 5

1.111 a) 10

b) 16

c) 23

1.112 a) 24

b) 9

c) 56

1.113 a) F.eks. 3 5 4 6 b) F.eks. 4 5 3 6 c) F.eks. 5 4 3 6 1.120 a) 3x 2y c) 2x 6y

1.122 a) 2a 3b c) a2 4b2

c) Nei

c) 1) b

b) 0

1.140 a) x 2 og y 3 b) x 3 og y 5 c) x 2 og y 12 12  og y

53

1.141 a) x 1 og y 1 b) s 2 og t 1 c) x 1 og y 2

1.123 a) 23 a2 2a 2ab 6b

1.142 Kari er 20 ĂĽr, og Ola er 42 ĂĽr.

b) 1 a2 3 ab 3 b2 3 4 4

1.143 1 kg epler: 24 kr 1 kg appelsiner: 21 kr

1.124 x 4, y 2, z 3

1.144 Te: 32 kopper Kaffe: 26 kopper

1.125 y og x 1.130 a) x 2 c) x 5

1.145 3 katter og 9 høner

b) x 4

1.146 112,5 km

1.131 a) t 3

b) t 16

1.132 a) x 1 c) s 1

b) t 6 d) s 12

1.133 a) x 2

b) x 94

c) s 1

11 880 Â&#x2DC; v k

2) 182Â cm

1.153 a) 90 qC

b) 58 qC

c) Etter 30 min

d) x 901, T 6

e) Etter 15 min

1.138 6 kg

d) x

2) 165Â cm

b

d) 33 1.137 1 L 20

b) 11x 18 d) 3ab

1.152 a) 436 kg Â&#x2DC;v b) 1) k 11 880 2

1.135 30 elever 1.136 Den 28. i mĂĽneden

b) 6a 5b d) a 5b

1.121 a) 5 5x c) 2a 2ab 3b

b) Nei

1.150 a) 525 000 kr b) 13 ür c) 26 ür 1.151 Kortest bølgelengde: 1,7 cm Lengst bølgelengde: 17 m

1.154 a) 1) 2) b) 1) 2)

11Â 400Â kr S 6000 600x 10Â 500 kr B 16Â 800 700x

1.155 a) 3,6 dm2

b) g 2A h

c) 14 cm

d) h 2A g

1.156 a) 2750 kr c) 2800 pund

b) U NE

1.157 a) P 0,0003 Â&#x2DC; v 3 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; r 2 b) 8 ganger større P 0, 0003v 3

c) A

1.160 Linjene er parallelle.

1.161 1, 3

1.164 a) Stigningstall 1, konstantledd 3 b) Stigningstall 2, konstantledd 2 c) Stigningstall 2, konstantledd 4 1.165 b) y 3, y 5 1.170 a) y 2x b) y 12 x 2 c) y 13 x 3

455

1.171 a) y 3 b) y 14 x

c) x 2

1.172 y 12 x 2 1.173 a) 1

b) 1 c) 1 d) 12

1.174 a) y 2x 1 c) y

23 x 12

1.175 a) y x 3 c) y x 2

b) y 13 x 1 d) y

13

b) y 4x 7

1.176 a) y 3x 3 b) y 3x c) y 3x 6

1.196 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km c) Etter 1 time, 90 km

1.213 h 3V2 og r 1.214 t 2h g

1.197 a) I) y 25x 16Â 000 II) y 50x 14Â 000 b) 80, 18Â 000Â kr

1.215 a) 1,5 mm d b) t 20,1, 01 210 100d

1.198 a) 60 L

c) 44 L

d) 37,5 km

e) x 600, 8B

c) 3,5 min 1.216 2A h a b

f) 75 mil 1.200 a) 23

b) 27

c) 4

1.201 a) 0

b)

11 12

c) 5

d) 23 1.217 a) 0,9 promille b) P 1,8 0,15x P c) x 1,08,15

1.177 y 2x 4

1.202 a) 4x 2 c) 8 2x 2

b) 2x 8 d) 2x 3 4x 2 2x 4

1.183 b) y 0,10t

1.203 a) 9

b) 2a 2 3

1.184 a) y 30x

1.204 a) x 8

1.190 a) x 2 og y 1 b) x 1 og y 2

1.205 Ja

1.191 a) x 6

b) x 2

1.192 x 3 og y 4 1.193 c) 22,5 liter

2

b) x 4

1.206 216 sider 1.207 7 13

d) 40 mil

1.194 a) y 600x 14Â 000 c) 23Â 000 kr d) 28 timer 1.195 a) Hans: 24Â 000 1200 x Grete: 8000 800 x b) Etter 8 mĂĽneder, 14Â 400Â kr

1.208 84 ür 1.209 x 4 og y 1 1.210 x 2 og y 1 1.211 Barnebillett: 24 kr Voksenbillett: 48 kr 1.212 a) x 3 og y 2 b) PÌrer: 20 kr per kg Bananer: 24 kr per kg

456

3V SÂ&#x2DC;h

Sr

d) 10 timer e) Etter 12 timer 1.218 OmrĂĽdene er like store.

1.219 y x 3, y

c) x 2

3 x 2 2

1.220 y 3x 1 1.221 a) y x 2 c) Linja gür ikke gjennom punktet 3, 6

1.222 a) y 2x 3 b) y 2x 7 c) y 2x 3 1.223 x 2 og y 1 1.224 x 2 1.225 Er parallell 1.226 a) x 1, y 3 1.227 x 2, y 5

b) x 3

1.314 a) 235 kr b) Rute B er billigst (B:141 kr, A: 157 kr). c) 12 kr per km og 8 kr per min

1.228 x 4 1.229 x 2, y 3 1.230 b) 40Â qC 40Â qF c) y 1,8x 32 1.300 a) 3

b) 3

1.315 a) x 1, y 2 b) 1) x 1, y 2 2) x 1, y 2 d) Hint: ax a 1 y a 2 a 3 x a 4 y a 5

c) 3

1.328 a) T 92 1,2x d) Etter 15 min

1.329 Barnebillett: 88Â kr Voksenbillett: 128Â kr

2 2.110 a) 1

b)

b) 1

1.302 4 Â&#x2DC; 5 3 eller 3 Â&#x2DC; 4 5

1.316 A: 56 kg, B: 68 kg, C: 62 kg

2.111 a) 37

1.303 a) 5 Â&#x2DC; 6 7 og 6 Â&#x2DC; 7 5 b) 7 5 6

c) 6 7 5

1.317 82 personer

2.113

1.319 42Â 857

1.305 t 5 og a 4 1.306 a) a2 a 4

b) 10

1.320 6,2 mm 1.321 a) 0,45 liter per mil b) 20 mil c) Ved 100 mil e) 40 mil

1.308 a) y x x 1 b) For eksempel: x 4 og y 43 , x 5 og y 5 , x 6 og y

c) 10

4 6 5

1.309 56 000 kr 1.310 76 jordbÌr 1.311 d) x 39 1.312 Rute A: 7x 6y 1 Rute B: 5x 2y 1 1.313 1 sekk bjørkeved: 75 kr 1 sekk granved: 60 kr

1.322 a) 2Â 232Â 000 L b) 930 favner c) 37 200 e) Effekten dobles.

1.323 c) Ca. 13 milliarder ĂĽr 4,113 Â&#x2DC; 1017Â s

1.325 x 3 og y 1 1.326 a) y 600 x 18 400 c) 18 timer 1.327 a) 47,5 qC d) t

T4 16 ,2

36

4 5

c)

6 5

d)

2 5

1 10

1.318 b) x 0,75, y 0,25, 0,75 L lettmelk og 0,25 L helmelk

1.304 a) 16 av 50 (32 %) b) 15 av 50 (30 %)

b) K 86 0,8x

c) 15 min

2.114 4 5

2.115 a) 2x 5

b)

c)

d)

4x 20 x 6x

7 x2 2x 3x 1 5x

2.116 a) 5 y 8

b)

2.117 a) 6xy 2

b) b

12

c)

d)

9x 2 6

2.118 a) a

b)

c)

d)

x 2 y2 4 5y 2y

c)

a 1 2ab

2a 5

b 1 x2 x2

4b 1 3b

2.120 a) x 2 20x 100 b) x 2 49 c) x 2 16x 64 d) 4x 2 1 2.121 a) 10x 50 c) 3t 2 1

b) 12x d) t 2 18t 35

2.122 a) 4x 2 4x 1 c) 9a 2 12a 4

b) 9y 2 12y 4 d) 1 t 2

e) Etter 20 min

457