1
Statistikk
MÅL
BEGREPER
I dette emnet skal du få lære om . sentralmålene gjennomsnitt, median og typetall . spredningsmålet variasjonsbredde . kritisk vurdering av statistiske data . avlesing og tolking av statistiske fremstillinger
. . . . . . .
Statistikk Sentralmål Spredningsmål Data og datasett Gjennomsnitt og median Typetall Variasjonsbredde
Hvor møter dere statistiske fremstillinger i hverdagen?
Data og datasett Statistikk handler om innsamling, avlesning og tolkning av data. Data er informasjon om en eller flere hendelser eller observasjoner, uttrykt med tall. En samling av data kaller vi et datasett. Det kan være en liste, en tabell eller en fil med store eller små mengder data. Vi er omgitt av mye statistisk informasjon. Det er nødvendig å kunne vurdere måten dataene blir presentert på. Vi må alltid være bevisste på hvem som står bak datainnsamlingen, og i hvilken hensikt dataene blir presentert. Vi må stille spørsmål om presentasjonen gir et «best mulig» bilde av datagrunnlaget, og om den gir et «riktig» bilde av virkeligheten.
Hva mener vi med uttrykkene: . Gir det «beste» bildet av datagrunnlaget
8
.
Gir et «riktig» bilde av virkeligheten
.
Kan gi et «feil» bilde av virkeligheten
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Sentralmål og spredningsmål Sentralmål er noe vi bruker når vi vil finne en typisk eller representativ verdi for en datamengde. Sentralmålene sier noe om hvor tyngdepunktet av observasjonene i en datamengde ligger. De mest brukte sentralmålene er gjennomsnitt, median og typetall.
Gjennomsnittet er et uttrykk for middelverdien i et datasett. Gjennomsnittsverdien finner vi når vi summerer alle dataene og dividerer summen med antallet observasjoner som er gjort. Medianen er den midterste observasjonen i et datasett. Når vi skal finne medianen, sorterer vi først dataene i stigende rekkefølge. Den midterste observasjonen i denne tallrekka er medianen. Hvis det er to observasjoner i midten, er medianen gjennomsnittsverdien av disse to. Typetallet er den observasjonen som forekommer flest ganger. Vi sier at den har høyest frekvens. Det kan også finnes flere, eller ingen, typetall i et datasett. Et typetall kan også være noe annet enn et tall, for eksempel blodtype eller navn.
Hvor høye kan seks barn være hvis gjennomsnittshøyden er 150 cm? Hva er variasjonsbredden da?
1 STATISTIKK
9
Et spredningsmål sier noe om hvor stor spredning eller variasjon det er i observasjonsverdiene. Et vanlig spredningsmål er variasjonsbredde. Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste observasjonsverdien i et datasett. Når vi skal finne variasjonsbredden, subtraherer vi den laveste verdien fra den høyeste.
HUSK Variasjonsbredden er alltid positiv. Hvis den laveste verdien er –5, og den høyeste verdien er +5, kan vi illustrere variasjonsbredden ved hjelp av en tallinje slik: –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
10
Vi må alltid vurdere hvilket sentralmål som gir oss «best» informasjon om datasettet. De ulike sentralmålene kan gi et feil bilde hvis det er få observasjoner, hvis resultatene er skjevt fordelt, eller hvis variasjonsbredden er for stor. Det er derfor viktig å vurdere hvilket sentralmål som er det beste å bruke. Det er ikke noen faste regler for hvilket sentralmål som gir det «beste» bildet av et datasett, men her er noen punkter som kan gi deg tips om hva du bør vurdere å bruke: . Vurder å bruke gjennomsnitt hvis variasjonsbredden er liten. Vurder å bruke median eller typetall hvis variasjonsbredden er stor. . Vurder å bruke typetall hvis det er mange like observasjoner. . Vurder å bruke medianen hvis det er mange målinger i sentrum. .
10
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
EKSEMPEL 1.1 Hanna har målt utetemperaturen i påskeferien fra mandag til mandag. Hun målte temperaturen klokka 12.00 og skrev måledataene inn i en tabell. Dag
Man
Tirs
Ons
Tor
Fre
Lør
Søn
Man
°C
–8,0
–4,0
–8,0
0,0
1,0
–2,0
3,0
2,0
a) b) c) d)
Hvor stor er variasjonsbredden til datasettet? Regn ut gjennomsnittstemperaturen til datasettet. Finn medianen og typetallet til datasettet. Hvilket sentralmål gir det «dårligste» bildet av målingene for hele perioden? e) Hvilket sentralmål gir det «beste» bildet av målingene for hele perioden? Løsning
Utregning med kalkulator a) Variasjonsbredden er differansen mellom høyeste verdi (3,0 °C) og laveste verdi ( 8,0° C). 3,0 ð 8,0Þ ¼ 3,0 þ 8,0 ¼ 11,0 Variasjonsbredden er 11,0 °C. b)
8,0
4,0
8,0 þ 0,0 þ 1,0 8
2,0 þ 3,0 þ 2,0
Gjennomsnittstemperaturen er –2,0°C:
12
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
¼
16,0 ¼ 8
2,0
c) Vi sorterer dataene i stigende rekkefølge. –8,0
–8,0
–4,0
0,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
Det er to tall i midten, og vi finner gjennomsnittet av de to. 2,0 þ 0,0 ¼ 2
2,0 ¼ 2
1,0
Medianen er
1,0 °C:
Vi ser at observasjonen –8,0 °C forekommer flest ganger. Typetallet er derfor –8,0 °C. d) Typetallet gir det dårligste bildet av målingene for perioden fordi de fleste målingene er høyere enn –8 °C. e) Medianen og gjennomsnittet ligger nær hverandre. Men her vil kanskje medianen være det beste sentralmålet siden variasjonsbredden er stor og det er kun åtte målinger. Utregning med regneark Resultat: A 1
Dag
2
°C
B
C
D
E
F
G
H
I
Mandag
Tirsdag
Onsdag
Torsdag
Fredag
Lørdag
Søndag
Mandag
–8,0
–4,0
–8,0
–0,0
1,0
–2,0
3,0
2,0
3 4
a) Variasjonsbredde
11,0
5
b) Gjennomsnitt
–2,0
6
c) Median
–1,0
7
Typetall
–8,0
Formelvisning: A 1
Dag
2
°C
B
C
D
E
F
G
H
I
Mandag
Tirsdag
Onsdag
Torsdag
Fredag
Lørdag
Søndag
Mandag
–8,0
–4,0
–8,0
–0,0
1,0
–2,0
3,0
2,0
3 4
a) Variasjonsbredde
=MAKSA(B2:I2)-MIN(B2:I2)
5
b) Gjennomsnitt
=GJENNOMSNITT(B2:I2)
6
c) Median
=MEDIAN(B2:I2)
7
Typetall
=MODUS(B2:I2)
1 STATISTIKK
13
OPPGAVER 1.1
1.2
Bestem variasjonsbredden til datasettene. a) 12 m 24 m 54 m 32 m b) 3 °C 4° C 2 °C 5 °C
0 °C
Bestem gjennomsnittet, medianen og typetallet til datasettene. a) 3 3 3 4 4 b) 12 24 12 14 32 23 a) 3,5 b) 152
4,4 120
5,5 144
3,8 120
3,7 128
5,0 104
5,7
3,9
3,9
a) 0,10 0,11 0,10 0,01 0,10 0,01 0,11 0,10 0,10 b) 0,1 0,05 0,7 0,11 0,08 0,1 1.3
På Høyden skole er det åtte matematikklærere. Aldersfordelingen er 40 år 60 år 22 år 65 år 24 år 25 år 69 år 65 år a) Regn ut variasjonsbredden i datasettet. b) Bestem typetallet og medianen. c) Hvilket av de to sentralmålene gir det «dårligste bildet» av datasettet? a) Regn ut gjennomsnittsalderen. b) Bestem medianen. c) Hvilket av de to sentralmålene mener du gir det «beste bildet» av datasettet? a) Hvilket sentralmål gir det «dårligste bildet» av datasettet? b) Skolen tilsetter én matematikklærer til. Da blir gjennomsnittsalderen for matematikklærerne 46 år. Hvor gammel er den nye læreren?
I et datasett er verdien til de tre sentralmålene gjennomsnitt, median og typetall like store. Hvilke observasjoner kan datasettet inneholde?
14
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.4
Bestem gjennomsnittsverdien, medianen og typetallet til datasettene. a) 1 L 1 L 2 L 4 L b) 12 km 15 km 7 km 16 km 16 km c) 200 g 300 g 100 g 300 g 75 g 300 g d) Hvilket sentralmål gir det beste bildet av hvor «sentrum» i hvert av datasettene ligger? Begrunn svaret.
1.5
Tabellen viser gjennomsnittstemperaturer i grader celsius på Svalbard. År
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
2018
°C
–4,0
–4,3
–4,3
–1,7
–4,0
–4,1
–2,0
–2,1
–0,1
–1,8
a) Hva er variasjonsbredden for hele perioden? b) Hva kan du si om utviklingen mellom 2000 og 2008? a) Hva blir gjennomsnittstemperaturen for hele perioden? b) Hva kan du si om utviklingen fra 2008 til 2018? a) Hva kan du si om utviklingen fra 2000 til 2008 og 2010 til 2018? b) Undersøk på Statistisk sentralbyrå eller Meteorologisk institutt hvordan gjennomsnittstemperaturen har utviklet seg fra 1960 til i dag.
Forklar hvorfor variasjonsbredden til to negative tall er positiv.
1.6
Tabellen viser brutto årslønn til ti ansatte lite firma. Blant de ti ansatte er det to sjefer. Ansatt 1
620 000 kr
Ansatt 2
580 000 kr
Ansatt 3
420 000 kr
Ansatt 4
3 800 000 kr
Ansatt 5
580 000 kr
Ansatt 6
580 000 kr
Ansatt 7
580 000 kr
Ansatt 8
3 200 000 kr
Ansatt 9
620 000 kr
Ansatt 10
680 000 kr
a) Finn gjennomsnittet, medianen og typetallet til datasettet. b) Finn variasjonsbredden. c) Forklar hvorfor gjennomsnitt ikke er et godt sentralmål å bruke i dette datasettet.
Hva kan være årsaken til at det kan være store forskjeller mellom verdiene til gjennomsnittet, medianen og typetallet til et datasett?
16
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.7
En butikk vil kartlegge hvor fornøyde kundene er. En undersøkelse blir gjennomført i tre ulike grupper, og dataene blir samlet i hvert sitt datasett. Hver gruppe består av ti tilfeldige kunder. De skal gi poeng fra 0 til 6. 0 er dårligst, og 6 er best. Svarene fordeler seg slik: Datasett A: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 Datasett B: 0, 6, 0, 6, 0, 6, 0, 6, 0, 6 Datasett C: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5 a) Hva blir gjennomsnittet i hvert av de tre datasettene? b) Hvilket sentralmål gir det beste bildet for hvert av de tre datasettene? c) Hvilket sentralmål bør du vurdere å bruke for å få det «beste» bildet av svarene i datasett A, B og C til sammen?
1.8
På et kyllingslakteri blir kyllingene slaktet når de er mellom 28 og 32 dager gamle. Tabellen under viser data for femten kyllinger. Alder i dager
28
20
28
22
30
38
27
20
29
29
27
30
32
Vekt i kilogram
1,2
0,6
1,3
1,2
1,4
1,6
0,6
1,4
1,4
1,5
0,9
1,1
0,6
a) Bestem gjennomsnitt, median og typetall for vekten i dette datasettet. b) Hva blir variasjonsbredden i datasettet? c) Hvilket sentralmål bør du ikke bruke hvis du vil få det «beste» bildet av datasettet?
1 STATISTIKK
17
I hvilke situasjoner bruker vi ulike diagrammer?
Lage ulike diagrammer Statistiske data presenteres gjerne i form av tabeller eller diagrammer. Diagrammer gjør det ofte enklere å få oversikt når vi skal lese av, tolke og analysere dataene. Det digitale verktøyet regneark er et viktig hjelpemiddel når vi skal arbeide med og presentere statistiske data. Når vi skal sette oss inn i den informasjonen et datasett gir i form av et diagram, må vi se på hvordan diagrammet blir presentert. De to diagrammene på neste side viser resultater fra en liten undersøkelse om drikke i en klasse. Diagrammene viser de samme dataene, men presenterer dataene på ulike måter.
18
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Fordeling drikke
Antall
Antall
12 10 8 6 4 2 Vann
Brus
Jus
Energidrikk
Vann
Brus
Jus
Energidrikk
Beskriv forskjeller og likheter i de to diagrammene ovenfor. Når tror du det kan være smart å bruke det ene eller det andre diagrammet?
Linjediagram Linjediagram eller kurvediagram bruker vi når vi vil vise utvikling eller endring av data over tid. I et linjediagram viser vi tidsenheter på førsteaksen og observasjonen på andreaksen. Hvis datasettet har liten variasjonsbredde, kan vi vurdere å la andreaksen begynne et annet sted enn null. Da vil forskjellen mellom dataene komme tydeligere fram. De to diagrammene under viser den samme temperaturutviklingen for den samme perioden. Temperatur 14 12 10 8 6 4 2 0
2015 2016 2017 2018 2019 2020
Temperatur 11,8 11,6 11,4 11,2 11,0 10,8 10,6 10,4
2015 2016 2017 2018 2019 2020
Beskriv forskjeller og likheter i de to diagrammene ovenfor.
1 STATISTIKK
19
EKSEMPEL 1.2 Tabellen under viser antall covid-19 testede i en kommune under koronapandemien i 2020. Dag
Antall testede
Mandag
36
Tirsdag
37
Onsdag
39
Torsdag
38
Fredag
39
Lørdag
38
Søndag
40
Mandag
41
Tirsdag
44
a) Presenter dataene i et linjediagram der andreaksen begynner på 0. b) Presenter dataene i et linjediagram der andreaksen begynner på 36 c) Beskriv forskjellen på de to diagrammene.
20
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Løsning
a) Vi bruker et regneark og fremstiller fordelingen i et linjediagram slik: Antall testede 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Man
Tir
Ons
Tor
Fre
Lør
Søn
Man
Tir
b) Vi bruker et regneark og fremstiller fordelingen i et linjediagram slik: Antall testede 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36
Man
Tir
Ons
Tor
Fre
Lør
Søn
Man
Tir
c) En får inntrykk av at antall testede øker mye ved å bruke det diagrammet som ikke starter på null på andreaksen. På det andre diagrammet ser ikke økningen så stor ut.
1 STATISTIKK
21
OPPGAVER 1.9
Tabellen viser hvor mye 1 euro kostet per år i gjennomsnitt i norske kroner mellom 2011 og 2019. År
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018 2019
Pris for 1 euro i norske kroner
7,79
7,47
7,81
8,35
8,95
9,29
9,33
9,60
a) Fremstill prisen på euro i et linjediagram hvor andreaksen starter på 7 kr. b) Hvor mye mer kostet 1 euro i 2018 enn i 2012? c) Undersøk den videre utviklingen av prisen på 1 euro og utvid diagrammet med de nye dataene. d) Gjør et overslag og finn ut hva prisen på 1 euro vil være i 2030 hvis utviklingen fortsetter. 1.10 Folkehelseinstituttet i Norge registrerer antall innleggelser på norske sykehus som er smittet av covid-19. Registreringene for uke 10 til 18 i 2020 ser du i tabellen under. Uke
Antall innleggelser
10
2
11
43
12
162
13
266
14
198
15
91
16
66
17
40
18
16
a) Fremstill utviklingen i et linjediagram. b) Hvor mange ble totalt innlagt på sykehus i perioden? c) Hva blir gjennomsnittet per uke for perioden?
22
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
9,85
1.11 Tabellen viser Norges årlige utslipp av klimagassen karbondioksid fra 1990 til 2018. Utslippet er målt i 100 000 tonn CO2 -ekvivalenter. En CO2 -ekvivalent er et mål for gassens effekt på den globale oppvarmingen. År
1990
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
CO2
499
490
568
571
644
564
593
662
a) Fremstill utslippet av karbondioksid i et linjediagram. b) I hvilken fireårsperiode var økningen størst? a) Fremstill utslippet av karbondioksid i et linjediagram og la andreaksen begynne på 400. b) I hvilken fireårsperiode var økningen minst? a) Fremstill utslippet av karbondioksid i et passende linjediagram. b) Hva skjer med linjediagrammet dersom du endrer startpunktet til andreaksen? Hvilke konsekvenser kan dette ha for tolkningen av diagrammet?
Hva oppnår vi ved å la andreaksen i et linjediagram ikke begynne på null?
1 STATISTIKK
23
Stolpediagram Stolpediagram, søylediagram og kolonnediagram er samme type diagram. Disse diagrammene viser de enkelte observasjonene på førsteaksen. Frekvensen (antallet) av den enkelte observasjonen vises på andreaksen. Legg merke til at observasjonene også kan være tall, slik som «Poeng» i det første diagrammet under. Antall elever
Antall elever 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
Poeng
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Katt
Hund
Kjæledyr
Beskriv forskjeller og likheter i de to diagrammene ovenfor.
24
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
EKSEMPEL 1.3 Frekvenstabellen viser den skjermtiden elevene i klasse 9A hadde i løpet av en dag. Skjermtid i timer
Antall elever
1
2
2
4
3
10
4
8
5
1
a) Vis dataene i et stolpediagram. b) Hvor mange prosent av elevene hadde en skjermtid på 3 timer? Løsning
a) Vi bruker et regneark og fremstiller fordelingen i et stolpediagram slik: Skjermtid i klasse 9A
Antall elever 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
Skjermtid
b) Det er totalt 25 elever i klassen. 10 40 10 av 25 ¼ ¼ ¼ 40 % 25 100
1 STATISTIKK
25
OPPGAVER 1.12 Klassen til Jørgen laget en oversikt over hvilke skonummer elevene brukte. Resultatet ser du i dette stolpediagrammet. Antall elever 8 7 6 5 4 3 2 1 0
35 36 37 38 39 40 41 42 43
44 45
Skonummer
a) Hvor mange elever hadde skonummer 42? b) Hvor mange elever hadde skonummer mindre enn 40? c) Hva blir variasjonsbredden? a) Hvor mange elever hadde skonummer større enn 40? b) Hvor mange var med i undersøkelsen? c) Hva blir medianstørrelsen? a) Hva blir gjennomsnittsstørrelsen? b) Hvor mange elever hadde skonummer mindre enn 40? c) Hvor mange prosent av elevene i klassen hadde skostørrelse 42?
26
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.13 Tabellen viser antall frøprøver i frøhvelvet på Svalbard. År
2008
Antall frøprøver
2010
2012
2014
2016
2018
320 000 603 000 775 000 850 000 881 000 984 000
a) Datasettet skal fremstilles i et stolpediagram. Hvilken enhet bør det være på andreaksen, og bør andreaksen starte på null? Begrunn svaret. b) Tegn stolpediagrammet. c) Hvor mange flere frøprøver var det i 2018 enn i 2008? 1.14 Tabellen viser Norges utslipp av klimagassen metan i 1000 tonn CO2 -ekvivalenter. Dataene er fra tidsrommet 1990 til 2018. En CO2 -ekvivalent er et mål for gassens effekt på den globale oppvarmingen. År
1990
Metan (CH4 )
6 050 6 280 6 100 5 860 5 440 5 410 5 110 4 920
a) b) c) d)
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
Fremstill dataene ovenfor i et stolpediagram. Finn gjennomsnitt og typetall. Hva er variasjonsbredden for perioden? Hvor stor er nedgangen fra 1990 til 2018 i antall tonn og i prosent?
1 STATISTIKK
27
1.15 Tabellen viser antall covid-19-smittede i Norge i perioden fram til 1. august 2020 fordelt på ulike aldersgrupper. Aldersgruppe per 20 år
Antall kvinner
Antall menn
0–19
405
410
20–39
1717
1670
40–59
1680
1794
60–79
735
866
80+
304
202
a) Fremstill antall covid-19-smittede kvinner i et stolpediagram. b) Hvor mange kvinner ble smittet totalt i perioden? c) Hvor mange kvinner og menn ble smittet totalt i perioden? a) Fremstill antall smittede kvinner og menn i et stolpediagram. b) Hvor mange flere menn enn kvinner ble smittet totalt i perioden? c) Hvor mange prosent flere kvinner over 79 år enn menn over 79 år ble smittet? a) Fremstill antall smittede kvinner og menn i et stolpediagram. La andreaksen starte på 200. b) Hvor mange prosent flere menn enn kvinner ble smittet totalt i perioden? c) Fremstill datasettet ovenfor i et linjediagram.
28
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Sektordiagram Sektordiagram brukes når vi vil vise hvor mye hver enkelt observasjon utgjør av helheten i et datasett. Hver observasjon kan uttrykkes som en prosentdel og vises som en sirkelsektor. Summen av de ulike sektorene utgjør en hel sirkel. Det vil si at 100 % ¼ 360°.
Alle observasjoner 100 %
En enkelt observasjon (prosentdel)
Sammenhengen mellom antall grader og antall prosent til delen ser du her: 0%
10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %
0°
36°
72°
108° 144° 180° 216° 252° 288° 324° 360°
Lag en formel som viser sammenhengen mellom antall prosent og antall grader i et sektordiagram.
30
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
EKSEMPEL 1.4 Denne tabellen viser fordelingen av CO2 -utslipp i Norge. Utslippene er fra ulike virksomheter i samfunnet i 2017 og er oppgitt i prosent av totalutslippet. Fremstill fordelingen i et sektordiagram. CO2 -utslipp fra
Prosentandel
Utvinning av olje og gass
32 %
Industri
26 %
Transport
35 %
Byggebransjen
2%
Andre virksomheter
5%
Løsning
Vi bruker et regneark og fremstiller fordelingen i et sektordiagram slik: Fordelingen av CO2-utslipp i Norge
Norge
Utvinning olje og gass, 32 % Industri, 26 % Transport, 35 % Bygg, 2 % Andre sektorer, 5 %
Lag en egen undersøkelse der du samler inn ulike data, eller finn et datasett pü nettet. Presenter dataene for en medelev eller for klassen ved hjelp av et diagram.
1 STATISTIKK
31
OPPGAVER 1.16 Herman og Lotte har vært på fisketur. Her ser du hvor mye de fikk av hvert fiskeslag. Hvor mange prosent av fangsten var a) torsk og sei b) makrell c) Hele fangsten var på 200 kg. Hvor mange kilogram fikk de av hvert fiskeslag?
Flyndre 10 % Torsk 34 %
1.17 Tabellene viser noen resultater fra Medietilsynets undersøkelse blant 3400 barn og unge mellom 9 og 18 år om deres spillvaner. Tabell: Er du enig eller uenig i dette? Jeg bruker mye tid på gaming. Svar
Antall i prosent
Enig
39 %
Verken enig eller uenig
30 %
Uenig
28 %
Vet ikke
3%
Tabell: Er du enig eller uenig i dette? Jeg bruker mye penger på gaming. Svar
Antall i prosent
Enig
17 %
Verken enig eller uenig
23 %
Uenig
56 %
Vet ikke
4%
a) Fremstill fordelingen av dataene i tabell 1 i et sektordiagram. b) Fremstill fordelingen av dataene i tabell 2 i et sektordiagram. c) Omtrent hvor mange barn og unge synes de bruker mye penger på gaming når antall spurte var 3400?
32
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Sei 26 %
Makrell ?
1.18 En husholdning er personer som bor sammen eller alene i en bolig. Det er omkring 2 500 000 husholdninger i Norge. Diagrammet viser en oversikt over ulike typer husholdninger i Norge. Type husholdninger Andre Én forelder med barn
Aleneboende Par uten barn
Par med barn
a) Omtrent hvor mange prosent av husholdningene er «par uten barn»? b) Omtrent hvor mange husholdninger er «par uten barn»? c) Bruk sektordiagrammet og finn den omtrentlige fordelingen i prosent til de fem husholdningstypene i diagrammet. d) Gjør om prosentandelene i c) til antall husholdningstyper.
34
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.19 Datatabellen viser fordelingen av noen typer vilt som ble påkjørt av bil eller tog i 2018. Type vilt
Antall dyr
Elg
1504
Hjort
1038
Rådyr
6234
a) Hvor mange dyr ble påkjørt totalt? b) Bruk et regneark og fremstill fordelingen av dataene i et sektordiagram. a) Fremstill fordelingen av dataene i et sektordiagram. b) Hvor mange prosent av de påkjørte dyrene var rådyr? a) Fremstill fordelingen av dataene i et sektordiagram. b) Finn hvor stor prosentandel av de påkjørte dyrene som var elg og hjort?
1 STATISTIKK
35
Hva er forskjellen på å lese av og tolke et diagram?
Å lese av og tolke diagram Når vi skal vurdere diagrammer som er laget på grunnlag av et datasett, bør vi blant annet være oppmerksomme på: . Hvem som presenterer dataene .
Hvorfor dataene blir presentert
.
Om datamengden er stor eller liten
.
Hvilken inndeling som er brukt på aksene
Diagrammet på neste side viser resultatet av en undersøkelse fra Medietilsynet i 2018. Diagrammet viser prosentandelen av gutter og jenter som har sendt eller lagt ut tekst, bilder eller videoer som de har angret på etterpå. I undersøkelsen deltok det omkring 4800 barn og unge mellom 9 og 18 år.
36
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Prosentandel av gutter og jenter som har sendt eller lagt ut tekst, bilder eller videoer som de har angret på etterpå. 60 51
50 40 31
30 19
20
14
13 14
10
23
25
27
39
35
6
35
36 35 29
27
19
8
6 9 år
10 år 11 år 12 år 13 år 14 år 15 år 16 år Gutt
17år
18 år
Jente
Avlesning av diagrammet kan gi oss svar på spørsmål som disse: . Hvilken aldersgruppe har den høyeste prosentandelen? . I hvilke aldersgrupper svarer prosentandelen jenter og gutter likt? . Hvordan er utviklingen av svarene for barn og unge i undersøkelsen? . Er det forskjell på utviklingen av svarene i diagrammet blant jenter og gutter?
Jobb sammen og vurder disse påstandene om diagrammet. Begrunn vurderingene deres. . Er kilden som presenterer diagrammet, pålitelig? .
Hva er årsaken til at dataene blir presentert?
.
Er deltagelsen stor nok til å representere alle i samme aldersgruppe?
1 STATISTIKK
37
I 2018 stilte Medietilsynet dette spørsmålet til en gruppe ungdommer: Mange bloggere og youtubere får betalt for å snakke om produkter på nettet. Hva synes du om dette? Diagrammet viser prosentandel av gutter og jenter som svarte «Jeg bryr meg ikke» på dette spørsmålet: Prosent 70
65
65 60
56
55 50
51
45 40
39
45
23 9–11 år
12–14 år
35 30 25 20
Gutt
15–18 år
Jente
Jobb sammen om disse spørsmålene til diagrammet. Husk å begrunne argumentene deres. . Hvor mange prosent av de spurte svarte «Jeg bryr meg ikke» i aldersgruppen 15–16 år? . Beskriv likheter og ulikheter mellom de to grafene.
38
.
Beskriv utviklingen fra aldersgruppen 9–11 år til 15–16 år.
.
Hvordan tror du at svarprosenten vil være for aldersgruppene 17–18 år og 19–20 år?
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
EKSEMPEL 1.5 De to diagrammene viser den samme utviklingen av prisen for en moped i løpet av fem måneder. Diagram 1
Diagram 2
Kroner
Kroner
10 000
10 000
9650
5000
9300 Jan
Feb
Mar
Apr
Mai
0 Jan
Feb
Mar
Apr
Mai
a) Vurder påstanden: Diagram 1 viser at prisen faller kraftig. b) Vurder påstanden: Diagram 2 viser bare en liten nedgang i prisen. c) Omtrent hvor stort er prisfallet i kroner? d) Hvilket diagram gir det «beste» bilde av utviklingen? Begrunn svaret. Løsning
a) Slik som grafen fremstilles, synker prisen kraftig. Påstanden er riktig. b) Slik grafen fremstilles, viser den kun en liten nedgang i prisen. Påstanden er riktig. c) Nedgangen er på omkring 600 kroner. d) Begge grafene er riktige, men en nedgang på 6 % er ikke kraftig. Derfor gir kanskje diagram 2 det beste bildet av utviklingen.
1 STATISTIKK
39
OPPGAVER 1.20 Sammenlign de to stolpediagrammene, som begge viser antall nye abonnenter til tre teleselskaper. Antall solgte abonnement
Antall solgte abonnement
7000
7100 7000 6900 6800 6700 6600 6500 6400 6300 6200 6100
6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
Tele 3
Telesør Teleøst
Tele 3
Telesør Teleøst
a) Hva er forskjellen på de to diagrammene? b) Hvilket av diagrammene gir det «beste» bildet av hvilket teleselskap som har fått flest nye abonnenter? Begrunn svaret. 1.21 Se på de to diagrammene når du svarer på oppgavene. Lemenbestanden kraftig redusert Høy
Høy
Middel
Middel
Lav
Lav
jan. jul. jan. jul. jan. jul. 2016 2017 2018
a) b) c) d)
40
Variasjonen i lemenbestanden
2010 12 14 16 18 2020 11 13 15 17 19
Beskriv utviklingen i diagram 1. Beskriv utviklingen i diagram 2. Er de to overskriftene til diagrammene riktige? Se på verdiene på førsteaksen og forklar hvorfor grafene har ulik form.
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.22 På Mølla skole går det 400 elever. En dag utførte to elever hver sin spørreundersøkelse. Etter undersøkelsene presenterte begge elevene hvert sitt diagram for å vise resultatene av undersøkelsen. Diagram 1 Er du fornøyd med mattilbudet på skolen?
Diagram 2 Er du fornøyd med mattilbudet på skolen?
Antall elever
Antall elever
5
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
4 3 2 1 Ja
Nei
Ja
Nei
a) Hvilke slutninger kan du trekke fra de to undersøkelsene? b) Hva er forskjellen på de to undersøkelsene? c) Hvilket diagram viser det «beste» bildet av hva alle elevene på skolen synes?
1 STATISTIKK
41
De to pyramidediagrammene viser sammenhengen mellom kjønnene fordelt på ulike aldersgrupper i Norge og Russland (2019). Befolkningspyramide, Norge 2019 Menn
Alder
Kvinner
100+ 95–99 90–94 85–90 80–84 75–79 70–74 65–69 60–64 55–59 50–54 45–49 40–44 35–39 30–34 25–29 20–24 15–19 10–14 5–9 0–4
3%
2%
1%
0% 0%
1%
2%
3%
Befolkningspyramide, Russland 2019 Menn
Alder
Kvinner
100+ 95–99 90–94 85–90 80–84 75–79 70–74 65–69 60–64 55–59 50–54 45–49 40–44 35–39 30–34 25–29 20–24 15–19 10–14 5–9 0–4
4% .
3%
2%
1%
0% 0%
1%
2%
3%
4%
Hvilke konklusjoner kan du trekke ut ifra diagrammene?
Drøft hva som kan være årsaken til at befolkningspyramidene er forskjellige. . Gå inn på nettstedet fn.no/land og se på befolkningspyramidene for andre land. Diskuterer hvorfor diagrammene til dels er veldig forskjellige eller like. .
42
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.23 Tabellen viser antall moskus på Dovrefjell fra 2008 til 2013. År
Antall
2008
190
2009
205
2010
226
2011
275
2012
280
Lag et linjediagram som gir inntrykk av a) «stor» økning av antallet moskus mellom 2008 og 2012. b) «liten» økning av antallet moskus mellom 2008 og 2012. 1.24 Dette diagrammet ble brukt av det politiske partiet Venstre under overskriften «Klimautslippene går ned med Venstre i regjering». Utslipp i mill. tonn 55 000 54 500 54 000 53 500 53 000
Rødgrønn regjering
Blågrønn regjering
52 500 52 000 51 500 51 000 2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
Etter at Venstre presenterte dette diagrammet i 2019, fikk de en del kritikk. Hva kan være årsaken til denne kritikken?
1 STATISTIKK
43
1.25 Diagrammet viser prosentandel av gutter og jenter som tror bloggere og youtubere snakker om produkter på nett på grunn av pengene de tjener. Jeg tror bloggere og youtubere snakker om produkter på grunn av penger Prosentandel 61
57
56
54
41
40
42 39
31
21
50 45
38
39
36
26
47
46
46
57
53
50
51
54
40 37
37
32 28 9 år
10 år 11 år 12 år 13 år 14 år 15 år 16 år Gutt
Jente
17år
18 år Alder
Beskriv endringene i svarene ungdommene gir. 1.26 Tabellen viser antall monarksommerfugler i flukt fra Canada og USA for overvintring i Mexico i perioden 2010 til 2014. År
Antall i millioner
2010
235
2011
230
2012
225
2013
222
2014
215
Bruk et regneark og lag to ulike linjediagrammer. Et som viser stor nedgang, og et som viser en liten nedgang i antall sommerfugler.
44
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1.27 Datagrafikken er en måte å vise fordelingen av de 169 plassene på Stortinget etter valget i 2017.
a) Hvor mange stortingsplasser fikk Senterpartiet? b) Hvor mange flere stortingsplasser fikk Fremskrittspartiet (FrP) enn Senterpartiet (Sp)? a) Hvor mange prosent av stortingsplassene fikk Venstre? b) Lag et sektordiagram av alle dataene. a) Høyre og FrP fikk til sammen 77 plasser. Hvor mange prosent av plassene fikk hvert parti? b) Lag to ulike diagramtyper som presenterer alle dataene.
1.28 Datagrafikken viser folketallet i Norge i 2017 fordelt på alder. a) Omtrent hvor mange ble det født i Norge i 2017? b) Hva blir summen av fødselsoverskuddet og nettoinnflytningen? c) Hvilken aldersgruppe er størst i Norge? d) Hvor mange prosent av gifte par skiller seg? e) Hva slags diagramtype mener du dette er? Begrunn svaret.
Se på illustrasjonen ovenfor og skriv en sammenhengende tekst som har med all informasjonen som er gitt. Sammenlign din tekst med en annens tekst og undersøk punktene: . Hadde dere med den samme informasjonen?
46
.
Fokuserte dere på de samme områdene/dataene?
.
Diskuter fordelen med å presentere store mengder data slik det er gjort i illustrasjonen.
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
UNDERVEISVURDERING 1 1
a) Regn ut gjennomsnittet av observasjonene: 14, 16, 10, 24, 20 b) Etter en matematikkprøve får du vite følgende informasjon: . 20 elever gjennomførte .
Gjennomsnittskarakteren ble 3,75
.
Ingen elever fikk karakteren 1
.
tre elever fikk karakteren 2
.
fem elever fikk karakteren 3
.
fire eleverfikk karakteren 5
én elev fikk karakteren 6 Hvor mange fikk karakteren 4? .
2
Finn medianen til tallene. a) 30, 25, 30, 23 b) –4,5, 0,5, –1,5, 4,5, –2,5, –1,5
3
Finn typetallet til a) tallene: 4, 4, 3, 2, 6, 4, 3 b) blodtypene: A, B, AB, 0, 0, A, B, AB, A
4
Finn variasjonsbredden til a) høydene: 1,74 m, 1,62 cm og 1,81 cm b) målingene: –3,4 m, –2,4 m, –5,4 m og 0,4 m
1 STATISTIKK
47
5
Tabellen viser gjennomsnittstemperaturer dag og natt i Oslo. Måned
Dag
Natt
Januar
0
–5
Februar
0
–5
Mars
6
–2
April
11
2
Mai
16
7
Juni
21
11
Juli
23
14
August
21
12
September
17
8
Oktober
10
4
November
5
0
Desember
1
–4
a) Regn ut gjennomsnittstemperaturen for hele året på dagtid. b) Regn ut mediantemperaturen for hele året på dagtid. c) Hvilket sentralmål gir det beste inntrykket av været på dagtid i Oslo? 6
Tabellen viser folketallet og forventet folketall i Norge for noen utvalgte år. År
Folketall
1800
900 000
1900
2 200 000
2000
4 500 000
2100
6 500 000
Statistisk sentralbyrå anslår folketallet i 2100 i Norge til å være mellom 3,5 og 10,5 millioner. 6,5 millioner er et middelestimat. Vis dataene i tabellen i et linjediagram.
48
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
1 STATISTIKK
49
7
I Norge var det i 2017 omkring 28 000 mennesker som hadde diabetes 1, og omkring 216 000 som hadde diabetes 2. Fremstill antall diabetikere i Norge i et stolpediagram.
8
Tabellen viser fordelingen av fiskefangsten i Norge i 2016 i antall tonn. Fiskeslag
Antall tonn
Makrell
211 000
Sild
352 000
Torsk
409 000
Sei
153 000
Blåkveite
17 000
Uer
25 000
Andre fiskeslag
668 000
Fremstill fordelingen av fiskefangsten i et sektordiagram. 9
Hvilket av diagrammene kan vise Lotte som hopper med et hoppetau? Høyde i meter
Høyde i meter
Tid Høyde i meter
Høyde i meter
Tid
50
Tid
Tid
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Diagrammet viser utslipp av klimagassen CO2 og utviklingen av jordas gjennomsnittstemperatur fra 1851 til 2019. Temperaturendring (°C)
CO2-innhold (ppm) 420
0,8 Temperaturendring CO2-innhold
0,6
390
0,4 0,2
360
0,0
330
–0,2 300
–0,4
270
20 20
0 20 0
0 19 8
0 19 6
0 19 4
19 20
0 19 0
0 18 8
0
–0,6
18 6
10
a) Hva kan du si om gjennomsnittstemperaturen i perioden 1851 til 1920? b) Hva kan du si om gjennomsnittstemperaturen etter 1970? c) Omtrent i hvilket år var gjennomsnittstemperaturen lavest? d) Omtrent i hvilket år begynner jorda å bli varmere enn normalen 0 °C? e) Gjør et overslag og finn den globale gjennomsnittstemperaturøkningen fra 1851 til 2019. f) Med omtrent hvor mange prosent har CO2 -innholdet i atmosfæren økt fra omkring 1960 til 2019?
1 STATISTIKK
51
Tverrfaglig oppgave 1 FNs bærekraftsmål består av 17 hovedmål og gjelder for alle land i verden. Målene skal hjelpe oss med å gjøre verden til et bedre sted for alle mennesker som lever nå uten å ødelegge for dem som kommer senere. Det kaller vi bærekraftig utvikling.
Mål 5:
Oppnå likestilling og styrke jenters og kvinners stilling.
Mye av verdens fattigdom og urettferdighet er tett knyttet til diskriminerende lover og sosiale normer som fører til at kvinner får dårligere skolegang, dårligere betalt og færre muligheter til bestemme over eget liv. Diagrammet under viser lønnsforskjeller mellom menn og kvinner innenfor samme yrke i noen land. Lønnsforskjellene er i virkeligheten enda større da kvinner ofte har yrker som gir lavere lønn, og som menn ikke så ofte velger eller har. Hvor mye mindre kvinner tjener i forhold til en mann i gjennomsnitt Prosent mindre enn menn 60 50 40
Sørkorea
30
Japan
20
USA Australia Colombia Norge
10 1973
1980
1990
2000
2010
2016
Omtrent hvor mye tjente en kvinne i Sør-Korea i 2016 hvis en mann tjente 400 000 kr? . Beskriv utviklingen i lønnsforskjeller i Norge, USA og Columbia. .
.
52
Hvor mye tjente en kvinne i de seks landene ovenfor i 2016 hvis en mann tjente 1000 kr?
MATEMATIKK 9 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM
Diagrammene nedenfor viser noen av forskjellene i dagens Norge (2018). I gjennomsnitt tjente en kvinne 42 170 kr per måned, noe som utgjorde 87,1 % av en manns månedslønn. I Norge var det 1 430 503 menn og 1 266 949 kvinner som var lønnsmottakere (2018). Diagrammene viser fordeling av kvinner og menn i ulike områder. Kjønnsfordeling i offentlig sektor
Kjønnsfordeling i privat sektor
29,9 %
35,3 %
36,6 % 70,1 %
.
Kjønnsfordeling blant ledere
63,4 %
64,7 %
Hvor mye tjente en mann i gjennomsnitt i Norge i 2018?
Hvor mange lønnsmottakere var det til sammen i Norge, og hvor mange prosent av Norges befolkning var lønnsmottakere når det var 5 295 619 innbyggere i 2018? . Bruk informasjonen og diagrammene til å finne antall menn og kvinner innenfor de ulike områdene. .
Finn mer informasjon på internett når du skal svare på de neste spørsmålene. Gode sider å oppsøke kan være hjemmesidene til NORAD, UNESCO, UNEGI eller FN. . Finn ut hvor det er færrest jenter som går på skolen. .
Finnes det land hvor det er flere jenter som går på skolen enn gutter?
.
Hvor mange kvinner er det blant verdens 400 rikeste?
.
Hvor mange kvinnelige presidenter finnes det i verden i forhold til mannlige?
.
Lag egne spørsmål og oppgaver ut i fra informasjonen dere finner. Presenter disse for medelever eller for klassen.
1 STATISTIKK TVERRFAGLIG OPPGAVE
53