Mati y sus mateaventuras

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MAITE ABELLEIRA Y CATERINA GALAFASSI

Mati y sus mateaventuras CLARA GRIMA RUÍZ Y RAQUEL GARCIA ULLDEMOLINS

Contenido El mago de 2 ............................................ 3 Con 3 esquinitas de nada… ..................... 16 11 para la gloria ...................................... 28 19 metros de hilo ................................... 38 Un año: 23 historias ................................ 58 26 sandías en el camino a Almería .......... 66 Una fiesta con 28 invitados .................... 81 29 de Agosto........................................ 104 Habitación 35 ...................................... 119 Yo quiero tener 42 Amigos ................... 132

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El mago de 2

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―Ya, ya, lo tengo. ―¿Sí? ¡Dime, dime! ―Y tus besos nos gustan más que comer tortellinis -respondió Ven. ―No se dice tortellinis, ya te lo he explicado, tortellini es plural. ―Ah, es verdad, mejor, sin ‘s’ queda mejor. ―Pero tortellini ya lo usamos el año pasado- se quejó un poco abatido Sal, mientras subía sus gafotas arrugando la nariz. ―Jo, es verdad… ¿Le hacemos un dibujo con flores? ¿Con muchas flores? Le encantan las flores.

Gauss miraba atentamente con sus ojitos marrones a sus dos amiguitos, pareciera que tratara de ayudarlos en su empeño. Sal alargó su mano y le acarició el lomo. ―Pero ¿qué les pasa a estos chicos? ―Hola, Mati ―dijo Sal sin levantar la vista de Gauss. ―Hola, Mati ―dijo Ven―. No nos sale el poema de la abuela. ―¿Estáis haciendo un poema? ―Sí ―siguió contando el pequeño―, esta tarde vamos al cumple de la abuela y queríamos hacerle un poema, como el año pasado…

―Le gustó tanto ―continuó Sal― que hasta lloró de la alegría. ―No me extraña, sois dos nietos muy lindos ¿Y qué os pasa este año? ―Que no encontramos nada que rime con Trini ―se quejó Sal

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―Bueno, sí, tortellinis, tortellini ―rectificó hábilmente Ven―, pero ya lo usamos el año pasado. ―Dejadme pensar… ―dijo la pelirroja con aire teatral―… Ya está, ya lo tengo. ―¿El qué? ―dijeron al unísono Sal y Ven. ―Os enseñaré un truco de magia y esta tarde, en la merienda, le hacéis una actuación de magia a vuestra abuela Trini como regalo de cumpleaños. ―¡Mola, mola! ―gritaron los dos ―¿Cuántos años cumple la abuela? ―60 ―respondieron al unísono ―Muy bien ―continuó ella―. Pensad un número del 1 al 60, entre vosotros, pero no me lo digáis.

Sal y Ven se abrazaron por el cuello, ocultando sus caritas de Mati y cuchichearon hasta acordar cuál sería el número elegido. Eligieron el 42 por ser el número de su casa. ―Ya ―dijeron.

Mati entonces les dio estas seis tarjetas repletas de números:

―Tomad. Revisad en cuáles de estas tarjetas está vuestro número y las colocáis hacia arriba. Poned boca abajo las tarjetas que no tengan vuestro número.

Los dos niños revisaron con curiosidad cada tarjeta, mirando de cuando en cuando a Mati por el rabillo del ojo, para asegurarse de que no estaba haciendo trampas. Al final de la revisión, habían dejado boca arriba estas tarjetas:

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-Dejadme pensar un rato… que vosotros sois dos y muy listos… -Mati creaba expectación mientras miraba las tres tarjetas. ―¿Podría ser el…42? –dijo al cabo de unos segundos Los dos pequeños se quedaron sin palabras, Gauss ladró (aún no se sabe muy bien por qué, igual pasó una mosca en ese preciso instante) ―Mati, ¡eres mágica de verdad! ―balbuceó Sal. ―¿Nos puedes conseguir un autógrafo de Messi? ―Ven estaba hasta pálido. ―Bueno, bueno, no es exactamente magia, son matemáticas, la Magia del 2, os contaré el truco y no, me temo que no tengo el poder de conseguir lo de Messi.

Mati puso las tres tarjetas elegidas por ellos en la mesa y fue señalando una a una. ―Fijaos en las cuatro esquinas de esta tarjeta ―les pidió.

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―¿Cuál es el más pequeño de los cuatro números de las esquinas? ―les preguntó. ―El 2 ―contestaron. ―¿Y en esta otra?

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―El 8 es el más pequeño ―dijo Ven, con cierto aire ufano. ―Muy bien, el 8, que es 2×2×2, ó 23 que se dice, 2 elevado a 3 ―continuó Mati―, ya tenemos 2 y 8 que suman 10. ¿Y en la última de las tres? ¿Cuál es el número más pequeño de las esquinas?

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―El 32 ―dijeron ambos. ―32 que es 2×2×2×2×2, ó 25 que se dice, 2 elevado a 5. Teníamos 10 más 32, ya está 42, el número que habíais pensado los 2. ―¡Toma! ¡Cómo mola, Mati! ―Ven seguía alucinando con el truco y Sal seguía aún un poco reticente. ―Otra vez, Mati, por favor ―pidió nuestro gafotas. ―¿Lo has pensado ya? ―Sí ―Elige las tarjetas que lo tienen.

Después de la revisión, Sal dijo que no estaba en ninguna. ―Eso no puede ser, cariño. ¿Qué número pensaste? ―El 100, para ver si funciona siempre o sólo con los años de la abuela. ―No, para poder elegir números hasta el 100 necesitamos 1 tarjeta más. ―Jo, no entiendo nada, Mati ―se quejó Sal.

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―Con estas tarjetas sólo podemos hacerlo hasta 63. Hemos hecho las tarjetas del 1, 2, 4, 8, 16 y 32, (es decir, del 20, 21, 22, 23, 24 y 25 ), que sumadas todas llegan hasta el 63. Para hacer número mayores que 63, necesitaríamos la tarjeta del 64 (26) donde pondríamos los números correspondientes entre 64 y 127. ―Mati, es un lío… ¿Cuáles son los números correspondientes? ―suplicó nuestro gafotas.

Mati sacó su pizarra y les anunció que les iba a explicar las matemáticas que había dentro de esta magia. ―¿Nos lo cuentas, porfi? ―Mirad, elegid un número cualquiera. ―Ya ―dijo Ven. ―¿Cuál es? ―preguntó la pelirroja. ―Ja, no te lo diré, adivínalo ―dijo muy digno Ven. ―Pero si es para explicarte en qué tarjetas está y por qué. ―Ah, entonces, vale, el 43. ―Vamos a dividir por 2, ¿cuánto nos da? ―21, pero sobra 1 ―respondió rápido Sal. ―Volvemos a dividir por 2 ―pidió Mati. ―10 y sobra 1 ―dijo Sal. ―Dividimos de nuevo y… ―5 y te sobra 0 ―dijo Ven, orgulloso ―Seguimos dividiendo por 2 … ―2 y sobra 1. ―Y dividimos por 2 y tenemos… ―1 y sobra 0 ―respondieron los 2.

Mati había estado escribiendo en su pizarra y tenía esto:

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―Ahora ―les dijo― nos fijaremos en el último resultado, 1, y en lo que nos ha ido sobrando, los restos, fijaos…

―Y ―siguió explicando Mati― los escribimos de abajo a arriba, así 43 será representado por 101011. Ahora fijaos, lo ponemos en esta tabla:

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Mati continuó diciendo: ―Eso significa que 43 aparecerá en las tarjetas que tengan un 1 en su correspondiente casilla, es decir, el 43 estará en la tarjeta del 32, del 8, del 2 y del 1, que suman, exactamente 43. ―¡Yo quiero hacerlo!¡Por favor, Mati, por favor! ―dijo Sal, arrugando su naricilla como hacía con mamá para convencerla―. ¡Con el 25!

Mati le cedió la tiza y él escribió:

―Así que 25 será… ―pensaba Sal― 11001.

Sal se dispuso a ponerlo en una tabla como Mati pero bufó: ―Lo sabía, Mati, no funciona ¡Sólo tengo 5 números y son 6 tarjetas! ―Ah, se me olvidó contaros, si salen menos de 6, le ponéis tantos ceros delante como sean necesarios. ―Entonces el 25 es ¿011001? ―Muy bien, Sal, ¿en qué tarjetas estará?

El niño hizo su tabla:

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―En la del 16, la del 8 y la del 1, ¡cómo mola! ¡16+8+1 es 25! ―Ey, yo quiero ―pidió Ven ―Venga, le animó Mati Le dio su tiza y Ven escribió:

―Así que 13 sale 1101… ―mascullaba Ven―. Le pongo 2 ceros delante para tener 6 números… ¡001101! Hago la tabla Con una sonrisa de oreja a oreja, Ven hizo su tabla:

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―¡¡Toma, toma, toma!! En la del 8, la del 4 y la del 1, 8+4+1 es ¡13!

Mati disfrutaba viéndolos sonreír y haciendo cuentas y tablas en la pizarra, les dio un beso suave en el pelo a cada uno y desapareció sin que nadie, excepto Gauss, se diera cuenta. Ya volvería en otro momento a recoger su utillaje.

Aquella tarde, el espectáculo de los dos hermanos en casa de los abuelos comenzaba con ellos, muy artistas, diciendo al unísono: “Feliz cumpleaños, querida abuela Trini.

Hoy te regalamos la magia de los hermanos Houdini.”.

FIN Pues bien. La escritura que hemos hecho de 43, 25 y 13 usando 0 y 1, no sólo es útil para hacer trucos de magia.

Se trata del Sistema Binario de numeración en el que todos los números se representan utilizando sólo 0 y 1, y que se usa mucho en Informática, entre otras

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muchas cosas, para programar los juegos que tanto nos gustan de la DS, la Wii, la Xbox, etc…

Te propongo un ret Trata de encontrar en la siguiente tabla las expresiones binarias de los números del 1 al 10. Éstos se pueden encontrar de arriba abajo, de abajo a arriba, de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Para ello primero debes escribir del 1 al 10 en binario, por ejemplo, para escribir 9, vamos dividiendo 9 entre 2, hasta llegar a 1, y luego nos quedamos con el 1 final y todos los restos obtenidos, de abajo hacia arriba:

Por lo tanto, 9= 1 0 0 1 Una vez tengas escrito los números del 1 al 10 en binario, puedes empezar la sopa.

Si te quedas con más ganas de “sopa”, en ésta puedes encontrar hasta el 30.

Y ahora ya puedes entender este chiste:

“Sólo hay 10 tipos de personas en el mundo: los que saben binario y los que no” Hasta pronto.

Mati P.S: Si haces tus tarjetas y no te sale el truco, una de dos: o sumaste mal las esquinas más pequeñas o bien tu compañero no revisó bien en todas las tarjetas.

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Con 3 esquinitas de nada…

Clara Grima Ruíz y Raquel Garcia Ulldemolins | 11 junio 2011

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—¡Pásamela, Elio!

—No puedo. Ven me la quiere quitar.

—Nunca podrás esquivar a Lionel Ven…¡soy un megaclack!

Mientras Sal, Ven y Elio (su primito) disputan en la arena de la playa su particular partido del siglo de esta semana, Gauss los observa con el ceño fruncido, como si de un entrenador jugándose la copa más grande y brillante de la historia del fútbol se tratase.

—¡Gol, gol, gol, gooooooooolazo! -grita Ven mientras corre lateralmente moviendo alternativamente sus manitas, arriba y abajo, con las yemas de los dedos de cada mano juntas.

Gauss se rasca con la pata, ¿tiene dudas?

—¡¡No es gol, Ven!! ¡¡Ha sido poste!! ¿Ves que has tirado la chancla de papá?

Y es que nuestros futbolistas usan las chanclas de sus padres para delimitar las porterías en la arena. Pero Ven seguía celebrando su tanto, ahora andando como Krabby, uno de sus Pokemon favoritos.

—Y además, mira dónde está el balón, lejísimo… —dijo Elio con voz preocupada.

Efectivamente, el balón, tras el potente lanzamiento de Ven Messi, había llegado a los pies de la torreta del vigilante de la playa, que no, no era el del coche fantástico. Cuando los tres primos llegaron junto a la pelota, el más pequeño de ellos, Elio, con los ojos como platos, exclamó: —¡Wala! ¡Qué alto! Debe ser muy valiente para subir ahí.

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—¡Bah! No es tan alto —contestó Ven—. La Giralda es más alta y yo he subido hasta arriba –remató con aire presumido.

—Hombre, claro, Ven, la Giralda mide 90 metros y esto… no sé, pero menos de 20 metros, seguro. -dijo el gafotas que por un momento había olvidado el falso gol de Ven y trataba de adivinar cuánto podía medir aquella torre.

—¿Le pedimos la cinta métrica al abuelo? -propuso Elio -Es muy larga, muy larga.

—Sí, claro, Elio —protestó Ven—, y ¿cómo subimos a medirla? ¿con un gorrocóptero? Ya te digo…

—No, pero podemos subir por las escaleras y dejar caer hacia abajo la cinta — dijo Elio.

—A mí me da yuyu subir —intervino Sal—. Además, estoy seguro de que nos iban a regañar…

Los tres estaban absortos mirando hacia arriba de la torre del vigilante.

—¿Qué buscáis, pequeños? —preguntó una voz conocida a sus espaldas.

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—¡Hola Mati! —dijeron los tres a la vez.

Gauss se había acercado, le encantaba Mati y le gustaba escuchar lo que contaba.

—Mati, ¿cuánto crees que mide la torre del vigilante?

—Uy, yo soy malísima para ese tipo de estimaciones, pero si tenéis curiosidad lo podemos calcular.

—¿Tienes una cinta métrica? —preguntó Elio con una sonrisa de oreja a oreja.

—Sí, tengo cinta métrica.

—¿Y tienes gorrocópteros como Doraemon? —preguntó Ven—, ¿o tendremos que subir las escaleras?

—No, no tengo gorroc… ésos, eso no existe, sólo en nuestra fantasía, pero sí tengo Trigonometría.

—¿Trigo qué? —se extrañó Sal. —Nuestra mamá no puede comer trigo —se apresuró a decir Ven, con cierto aire tristón—, sólo toma lasaña el día de mi cumpleaños, porque es mi comida favorita.

—Vaya… Pues sí, trigonometría es una palabra un poco rara, tenéis razón.

Pero significa, más o menos, medir triángulos y se utiliza para muchas cosas.

—¡Para medir triángulos de las pizzas!

—Claro que sí, Elio, para los triángulos de las pizzas y para saber cuánto mide de alto esa torre del vigilante de la playa.

—Pero esta torre no es un triángulo, Mati…

—Ya lo sé, Sal, ¿queréis que os explique cómo se puede calcular la altura?

—¡Sí! —dijeron los 3 primos a la vez.

—A ver, a ver… Queridos ayudantes, necesito un palito pequeño o algo similar…

—Un momento —dijo Ven y salió corriendo hacía donde estaban su familia.

Volvió enseguida con el bastón de clavar la sombrilla en la arena.

—¡Genial! —dijo la pelirroja—. Ahora lo clavaremos en la arena, muy derechito, para que forme un ángulo recto con el suelo.

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—Ya estamos con los angulitos… —resopló Ven. —Pero en este caso es muy fácil, Ven. Un ángulo recto es el que forman el larguero y el poste en una esquina de la portería:

—Ah, vale —asintió sonriendo Ven a la explicación de Mati —¡como el córner!

—Ya está —dijo contento e ilusionado Elio que había ayudado a Sal a clavar el bastón en la arena, con mucha formalidad y profesionalidad.

—Vamos a medir la altura del bastón clavado en la arena.

Les dio una cinta métrica a los chicos que se pusieron con mucho interés a hacer su tarea.

—Un metro —dijo al fin Sal.

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—Ahora, tenéis que medir la sombra del bastón.

—150 centímetros, Mati.

—Pues ya sólo nos falta medir la sombra de la torre -les indicó Mati.

Desarrollaron la cinta métrica pero sólo tenía 3 metros.

—No podremos medirla… —se lamentó Elio.

—Sí, basta con poner una marca en la arena y volver a medir, ¿no?

—¡Claro, Ven! —contestó Sal mirando a su hermano pequeño con admiración y sintiéndose él mismo orgulloso de todo lo que había enseñado ya.

Pues la sombra medía tanto como 5 cintas métricas.

—5×3=15 —concluyó Ven. —15 metros, Mati —dijo Elio.

—Como hemos medido las sombras a la misma hora, podemos considerar que los rayos del sol sobre el bastón y la torre forman el mismo ángulo.

—Esto significa que estos dos triángulos son semejantes, porque tienen iguales todos los ángulos.

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—Uno no lo sabemos, el de la sombra con el rayo… —dijo con un poco de recelo Sal —Y no hace falta, porque los ángulos de un triángulo siempre suman lo mismo, 180º. Los dos tienen un ángulo recto con el suelo, el del sol es igual, por lo tanto el otro también debe ser el mismo.

—Entonces, por ser semejantes tenemos:

y por eso

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—¡Wow! ¡Cómo mola, cómo mola! —decía Ven llevándose la mano derecha a la frente en señal de asombro absoluto.

Elio seguía con la boca abierta y Sal seguía con el ceño fruncido pensando algo, hasta que finalmente preguntó a su amiga —Entonces, si sabes cuánto mide de alto también podrías calcular hasta dónde llegaría la sombra de la torre, ¿no?

—Claro que sí, mira:

—¡Qué chulo es todo esto, Mati! Me encanta.

—Ya te dije que los triángulos eran muy “apañaos”, a mí me encantan.

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—Y con 3 esquinitas de nada… —seguía asombrado nuestro gafotas.

—¿Podemos dejar un poco los triángulos y seguir con el partido? —preguntó Ven que se sentía engrandecido con el tanto obtenido antes de toda esta trigonometría.

—Claro que sí, cielo —dijo Mati—, pero que sepas que en el fútbol también se usan los triángulos.

—No estoy seguro —contestó Ven con los labios en horizontal.

—¿Los jugadores no triangulan?

—¡Toma! ¡Es verdad!

—Además, si quieres, te enseño un truco para encontrar el mejor punto para lanzar a la portería desde la banda.

—¿En serio?

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—Claro, mira a estas posiciones, 1, 2 y 3, en la banda y dime cuál es la mejor para lanzar a la portería.

Después de mirar con detenimiento los gráficos, Ven eligió la 1.

—¿Por qué ésa, cielo?

—Porque está más cerca.

—Pero tiene menos ángulo para disparar entre los palos, mira:

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—Ah, entonces… la 2 —dijo Ven victorioso.

—Efectivamente, para conseguir mayor amplitud de ángulo de lanzamiento, tienes que ponerte de tal forma que el círculo que pasa por tu posición y los dos postes sea tangente a la banda, sólo toque en un punto, el de tu posición.

Es decir, de todos los posibles círculos que pasan por los dos postes, elegir el único que toque a la banda en un sólo punto y colocarte ahí. Fíjate en el siguiente dibujo:

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Ven se quedó muy serio pensando durante unos minutos, con la mirada perdida hacia arriba y hacia la izquierda…

—Mati, no creo que los futbolistas lo hagan así, ¿eh? -dijo prudentemente para no molestar a su amiga.

—Puede que no, cielo, pero deberían —le contestó ella con una sonrisa y un guiño.

—Ven, vamos a jugar ya, ¿no? —suplicó Elio.

Los 3 niños salieron corriendo mientras ella los miraba desde lejos sonriendo.

En ese momento bajó el vigilante, llegaba su relevo, e invitó a Mati a una limonada a cambio de que le explicara lo que le estaba explicando a los niños.

—¡¡¿¿Pero qué estás haciendo Ven??!! ¡¡Saca ya!! —gritó Sal impaciente.

—Espera, espeeeeeeera… que tengo que dibujar mentalmente un círculo…FIN

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11 para la gloria

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—Ven Messi corre por la banda…Sal Ronaldo no puede detenerlo….y ¡gol! ¡Golaaaaaazooooo de Veeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeen!

—¡No, no vale! ¡Es alta! El larguero era hasta aquí —Sal señalaba con su dedito la marca en la valla del jardín, de puntillas sobre sus botas de fútbol.

Gauss se acurrucó en el suelo temiendo que le pidieran su opinión.

—¡Gol, gol, gol, golaaaaaaaaaazo de Ven! ¡Sí! —el pequeño seguía su celebración alrededor de la mascota.

—¡Que no vale, Ven, que es alta! Tramposo…

—¿Alquien quiere un trozo de pastel para merendar?

Mati acababa de aparecer en el jardín con una bandeja en la mano que despedía un delicioso aroma azucarado.

—Hola, Mati —el gafotas sonrió mientras seguía mirando de reojo a Ven que intentaba, sin éxito, que Gauss se uniese a su baile ritual de goleador.

—¡Hola, Mati! —gritó finalmente el pequeño —¿Has visto que golazo?

—¡Que no es gol, pesado!

—Bueno, chicos, vamos a merendar y lo discutimos, ¿vale? He preparado una tarta —concluyó la pelirroja.

—¡Qué tarta más graciosa, Mati! ¡Es π! —en la cara de Sal volvió a lucir su sonrisa.

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—Sí, es π. ¿Te gusta, Ven? —¡Toma! ¡Qué chula! Claro que me gusta. ¿Por qué la has hecho así?

—Bah, una tontería que se me ocurrió, como π en inglés suena como pastel, pensé voy a hacer un “π pie” para mis dos matemáticos favoritos.

—¿Tú no quieres, Mati? —preguntó el gafotas.

—Yo voy a tomar una manzana, que el primer pastel no me quedó muy bonito y me lo zampé —contestó Mati mientras les guiñaba un ojo —Además, os propongo un reto. ¿Cómo se divide este pastel, que no tiene simetrías, en dos trozos de forma que los dos quedéis satisfechos?

—Partiéndolo por la mitad, Mati —contestó Sal alegremente.

—¿Cómo calculas la mitad si no hay simetrías?

Sal se quedó muy serio mirando el pastel.

—Bueno —intervino Ven —Mientras Sal lo piensa, voy a seguir entrenando que yo, en realidad, quiero ser futbolista no matemático.

—¿Y por qué no las dos cosas, Ven? —preguntó Mati —El fútbol no está reñido con las matemáticas.

—Claro, Mati tiene razón, ¿recuerdas cuando nos enseñó a buscar el mejor ángulo para lanzar a portería?

— Ya, pero es que si quiero ser un gran futbolista, no voy a tener tiempo para estudiar muchas ‘mates’.

—¿Quién te contó eso, Ven? —preguntó Mati —¿Te suena el nombre de Juan Mata?

—Toma, claro —contestó el pequeño con autosuficiencia —es un jugador de la selección…

—Y del Chelsea —terminó la frase Sal. —Pues, además de ser un buen futbolista, es un buen estudiante y le gustan mucho las matemáticas. Tanto que ha sido uno de los elegidos por la Real Sociedad Matemática Española para plantear un desafío matemático en El País, con motivo de la celebración del centenario de la misma…

Ante la cara arrugada de los niños, Mati terminó diciendo: — Venga, os voy a contar el problema que propuso Mata…

—¡Toma, toma, toma! ‘Mata’ se parece a ‘Mati’ —soltó Ven con alegría.

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—¡Mati, Mata y las matemáticas” —Sal guiñó un ojo a Mati.

—¿Os lo cuento?

—¡Sí! —gritaron al unísono los dos hermanos.

—A ver, vosotros dos vais a ser los porteros de dos equipos distintos de fútbol.

—¡Yo quiero ser delantero!

—Calla, Ven, deja a Mati, que es sólo un acertijo.

—Claro, Ven, Sal tiene razón. Pues bien, ahora tenemos 20 jugadores puestos en fila y vosotros, por turnos, deberéis elegir un futbolista cada uno, pero sólo de entre los dos que ocupan las esquinas. El único dato que conocemos de cada uno de los 20 futbolistas es el número de goles que marcó en la temporada anterior. Se trata de conseguir el equipo con más goles de la temporada anterior, ¿me explico?

—Más o menos… —contestó Ven —Vamos a pensarlo con 8 jugadores, 4 para cada uno, que parece más fácil.

Mirad chicos, así están colocados los jugadores, numerados del 1 al 8, el

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número de la camiseta indica el número de goles que marcaron la temporada pasada.

—Empieza Ven, que es el más pequeño. ¿Cómo lo harías para que al final tus 4 jugadores sumen más goles que los 4 que elija Sal? ¿Cuál escogerías?

—Toma, el de la esquina con más goles, claro.

—O sea, que elegirías el 1

—¿Y tu, Sal, cuál escogerías?

—¡El 2, claro! Es el máximo goleador…

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La cara de Ven se encogió un poco.

—Me pido el 8 —dijo rápidamente Ven

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—Pues yo el 7 —respondió el gafotas

—¡Ajá, quiero el 6!

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Con esa técnica, de elegir siempre la esquina de mayor valor, acabaron con el siguiente reparto. Los futbolistas de la izquierda eran del equipo de Ven, el primero que empezó a elegir.

—Buen, Ven, has perdido —dijo la gafotas —y eso que el que empieza en este juego, siempre tiene una estrategia ganadora…

—¿Cómo? —preguntó Ven cabizbajo.

— Vamos a sumar los goles de todos los futbolistas en posiciones pares.

— Son 54 —dijo alegremente Sal —Y ahora los de los impares.

—Sale 44, Mati —apuntó Ven.

—Pues bien, la estrategia del primero, es elegir siempre un jugador en la posición par, dejando siempre en las esquinas jugadores de posición impar para el contrincante. Veréis, si Ven toma el jugador número 8…

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—Sal sólo puede elegir entre el 1 y el 7, dos impares

—Dejando de nuevo a uno de los pares en una de las esquinas, y así hasta el final.

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—¡He ganado, he ganado! —gritó Ven con los ojos cerrados y levantando las manos.

—¿Y si hay un número impar de jugadores, Mati? —preguntó Sal mirando de reojo al exaltado de su hermano.

—En ese caso, no habría estrategia ganadora.

—¡Oé, oé, oé! —Ven seguía su danza, a su aire.

—Bueno, ¿y sobre el pastel? ¿Cómo lo partimos para que nadie se enfade?

—Midiendo el área… —empezó a decir el gafotas.

—Pero eso es muy complicado para hacerlo en una fiesta, ¿no? —le respondió Mati.

—Entonces, ¿cómo? —Ven el futbolista matemático dejó de danzar.

—Pues muy fácil. Uno de los dos parte el pastel en 2 trozos y el otro elige primero. Así, no hay reclamación posible —la pelirroja les guiñó un ojo.

—Ah, ¡claro! —Sal no pudo contener el grito de admiración —¡qué buena idea!

—Pues ya sirve de poco…—dijo Ven con penita —Mirad a Gauss…

FIN

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19 metros de hilo

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—Si se llega a romper el hilo… ¡qué miedo, Sal! —Bueno, Ven, es una leyenda mitológica, no es verdad.

—Ya, pero si se llega a romper el hilo…

—Bueno, no pasa nada. Si Teseo consigue derrotar al Minotauro, no tiene tanta prisa por salir.

—Claro, qué fácil lo ves todo, gafotas ¿Y si no consigue salir nunca del laberinto? ¿Y si tiene hambre? ¿Y si se hace de noche?

—Tarde o temprano saldría del laberinto…creo.

—Nunca más entraré en un laberinto, Sal.

— Pero, ¿qué les pasa a estos chicos que están tan serios? —Mati acababa de entrar.

—Hola, Mati —dijo Sal aún preocupado.

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—Hola, Mati. Estamos leyendo la leyenda de Teseo y el laberinto y nos da mucho yuyu.

—¿Yuyu, Ven? Pero si es sólo eso, una leyenda. ¿Por qué te va a dar yuyu? contestó la pelirroja.

—Porque si se le rompe el hilo que le dio Ariadna, nunca saldrá del laberinto — contestó el pequeño Ven. —En ese caso, os enseñaré alguna técnica más segura para salir siempre, y que no penda de un hilo —dijo Mati a la vez que les guiñaba un ojo.

Los niños se sentaron rápidamente en el suelo. Comenzaba la diversión.

—¿Sabéis? Cuando yo era pequeña —empezó a contarles Mati —en las fiestas de mi pueblo, una de mis atracciones favoritas era el laberinto de espejos.

—Con espejos, ¡cómo mola! —interrumpió el pequeño Ven. —Sí, pero mareaba aún más. Bueno, pues para no perderme dentro del laberinto, lo que hacía es entrar con una mano, por ejemplo la izquierda, pegada a la pared y no separarla nunca durante el recorrido. Así siempre salía, porque la entrada y la salida, si es diferente, siempre están en esa parte del muro del laberinto.

—¿Y si no funciona, Mati? —preguntó el gafotas.

—Siempre funciona, Sal ¿Queréis que lo veamos con un ejemplo?

—¡Sí! —contestaron al unísono.

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—Vamos a hacerlo en este laberinto. Entramos con la mano izquierda pegada a la pared, y con este marcador amarillo, vamos a ir dibujando el recorrido.

—El truco consiste en no despegar nunca la mano izquierda de la pared —les dijo la gafotas.

—Uy, yo no me fío… —Ven seguía con su carita de asustado.

—¿Me dejas el marcador, por favor, Mati? —preguntó Sal. —Claro que sí, toma.

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Sal cogió el marcador amarillo y continuó dibujando la ruta dentro del laberinto como si llevase su mano izquierda siempre pegada a la pared.

—Sal, ¿me dejas un poco a mí?

—Toma, un poco cada uno, ¿vale?

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Los dos hermanos se pusieron manos a la obra hasta completar el recorrido dentro del laberinto propuesto por Mati.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Y sin hilo ni nada! —los ojos de Ven se encendieron de alegría y tranquilidad.

—Pero este método no le hubiera servido a Teseo en el laberinto de Dédalo — dijo el gafotas muy serio.

—¿Por qué no, Sal? —preguntó su hermano, reprimiendo un poco su alegría.

—Porque no visita todas las estancias del laberinto ¿Qué pasa si el Minotauro está en esta sala de aquí? —Sal pintó una cruz roja sobre el plano del laberinto.

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—Teseo no habría encontrado a la bestia y no habría podido derrotarlo, Ven. —Toma, pues es verdad… Da igual, seguro que el Minotauro sí que encontraría al pobre Teseo…—La carita de Ven volvió a perder color.

—Sal tiene razón —intervino Mati —Este método sólo nos asegura poder hacer un recorrido por el laberinto sabiendo que encontraremos la salida, sin necesidad de hilo. Pero no asegura, en ningún caso, que pasemos por todas las salas o estancias del laberinto. Habrá que pensar otro método, ¿no os parece?

—Por favor, Mati, ¿nos lo cuentas?

—Con mucho gusto —respondió la pelirroja a la vez que hacía una cómica reverencia.

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Ven abrazó fuertemente a Gauss, más de lo que le hubiese gustado a su mascota.

—Para ello vamos a entrar en el laberinto…

—Tú siempre con nosotros, ¿verdad, Mati?

—Claro, Ven, vamos los cuatro juntos. Como os decía vamos a entrar en el laberinto con unos rotuladores para ir dejando marcas, como una especie de hilo de Ariadna, pero que no se puede romper.

—¡Mucho mejor!

—Calla, Ven, no interrumpas a Mati…

—En realidad, lo que vamos a hacer es usar un técnica, conocida como búsqueda en profundidad. Podemos imaginar que en cada sala ponemos un punto, y pintamos, mentalmente, una línea uniendo entre sí a aquellos puntos que corresponden a salas que están unidas entre sí, que se puede pasar de

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una a otra. Lo que haremos es una búsqueda en profundidad en ese dibujo…

—No lo entiendo, Mati —reconoció Ven. —Ni yo —añadió su hermano.

—Bueno, os cuento el método y ya veréis qué sencillito es. Comenzamos en la sala de entrada. En cada sala nueva que visitemos vamos a pintar un círculo amarillo, para indicar que ya hemos estado ahí…

—Mejor ponemos un gomet amarillo, ¿no?

—Bueno, como quieras, Ven —Mati le alborotó el pelo al pequeño —Y pondremos una flecha amarilla que indicara hacia donde vamos a movernos, y una flecha verde indicando de dónde hemos venido, ¿me explico?

—¡Perfectamente! —contestó Sal ávido por conocer lo que Mati estaba a punto de explicarles.

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—Empezamos en la sala de entrada, pintamos un punto amarillo…

—O ponemos un gomet amarillo… —interrumpió el pequeño.

—Y elegimos una sala hacia la que movernos. Si tenemos más de una elección posible, vamos a escoger siempre, por ejemplo, la que esté más a la derecha, como en esta figura.

—Cuando llegamos a la siguiente sala, hacemos lo mismo. Círculo amarillo, flecha verde indicando desde donde venimos y flecha amarilla indicando hacia

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donde vamos, lo mรกs a la derecha que podamos.

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—Y otra vez hacemos lo mismo en la siguiente sala…

— ¿Qué hacemos en la siguiente sala, Mati? No podemos seguir por ningún lado —preguntó Ven. —Cuando eso ocurra, bien porque no hay más que un camino de salida de esa sala, o bien porque la única posibilidad es pasar a una sala ya visitada, que tendrá su círculo amarillo, pintamos un círculo morado en esa sala y, después

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de haberla visitado, volvemos a la sala de la que veníamos.

—¿Qué hacemos ahora, Mati? —preguntó Sal. —Desde este punto amarillo, ¿podemos ir a otra sala que no sea la morada y que no sea amarilla tampoco?

—¡Sí! —contestó Ven —a la que está más abajo.

—Muy bien, vamos para allá y pintamos nuestro círculos y nuestras flechitas — dijo la pelirroja.

—¿Puedo pintarlo yo, Mati? —preguntó Sal.

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—Claro,cielo.

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—¡Ahora yo, Mati! ¡Que la que viene es otra morada! —El pequeño Ven estaba emocionado.

—Muy bien, Ven —dijo Mati orgullosa — Entonces volvemos al amarillo del que veníamos y vemos si podemos ir a otro lado.

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—¡Sí!Hacia la derecha —contestó el gafotas.

—Bueno, bueno, bueno…Parece que mis chicos van a encontrar al Minotauro…

—No digas eso,Mati, que me asusto…

—Ops, perdona, Ven. Os dejo seguir a vosotros…

Al cabo de unos minutos, Sal preguntó:

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—¿Vamosbien,Mati?

—¿Bien, dices? ¡Lo estáis haciendo genial!

—¡Somos unos cracks! —dijo Ven con vehemencia.

—Vamos a terminarlo, Ven, que nos queda poco.

Los niños siguieron dibujando en el laberinto como Mati les había explicado, colocando un círculo amarillo en cada nueva sala, una flecha verde indicando de qué sala venían y otra amarilla indicando hacía dónde se iban a mover.

Cuando no había posibilidad de moverse a otra sala que no hubiese sido ya visitada, cambiaban el círculo amarillo por uno morado y se iban a la siguiente según la dirección de la flecha verde.

—¡Ya está, Mati! —gritó el pequeño.

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—¡Perfecto, mis Teseos! No os habéis dejado ni una sala sin mirar —dijo Mati orgullosa.

—Pero es un poco lío, ¿no crees? —protestó el pequeño.

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—Vamos a dibujar una línea que siga el recorrido que habéis hecho para ver si lo veis mejor.

—¡Toma, toma, toma! ¡Qué chulo, Mati! ¡Me encanta! —Ven saltaba alrededor de Mati y su hermano.

—Sí, la verdad es que me gusta mucho a mí también, Mati —reconoció Sal satisfecho.

—Este método sí que asegura que Teseo encontrará el Minotauro, cosa que el uso del hilo de su amada Ariadna no podía asegurar.

—Pobre, Minotauro…—dijo Ven con pena —Todos estaban contra él, a lo mejor no era tan malo, a lo mejor sólo atacaba a los que entraban porque él también estaba asustado…

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—No te pongas así de triste, Ven, es una leyenda —dijo su hermano mientras le pasaba un brazo sobre los hombros.

—Efectivamente. Sal tiene razón, Ven, es sólo una leyenda. ¿Sabéis qué? Se me apetece de pronto pasear por un laberinto, ¿nos vamos al jardín del Alcázar?

—¡Sí! Con nuestro método, no nos perderemos y veremos todo el laberinto — contestó el gafotas muy contento.

—Sí, claro, pero como vamos a pintar en los arbustos, no se pueden pegar los gomets…—respondió Ven preocupado —Yo me voy a llevar el hilo por si acaso… Por cierto, ¿habéis visto la madeja que me dio la abuela para jugar a los indios?

FIN “—¿Lo creerás, Ariadna? —dijo Teseo —El minotauro apenas se defendió.”

J.L.Borges

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Un a単o: 23 historias

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—¡¡Eso no vale!! Tú lanzas el coche más lejos porque eres mayor… —Ven estaba un poco harto de que su hermano le ganara en las competiciones de llegar más lejos en el pasillo con los coches.

— Yo estoy tirando con la misma fuerza que tú… Lo que pasa es que mi coche es mejor — Sal siempre picando al pequeño.

— Pues un día lanzaré el coche hasta el infinito… — respondió Ven con ese brillo en los ojos como viviendo ya la hazaña.

— ¡Halaaaaaaa! eso es imposible…

— Chicos, mirad quienes son nuestros primeros invitados — dijo Mati tratando de desviar la conversación —¡Fis! ¡Scru! —dijeron los lanzadores de coches.

Acababa de entrar su amigo Fis que siempre traía aparatos chulos y divertidos.

Y por supuesto detrás de él llegó Scru, su gato. Fis siempre iba con su gato a todos lados porque decía que cuando no lo veía no sabía muy bien ni dónde estaba ni cómo estaba…Locuras de Fis. Scru se paseó por ahí con la cola bien estirada, olisqueó a los chavales que le acariciaron la cabeza para saludarlo, miró de reojo a Gauss que agitaba la cola como un loco y luego, como siempre, decidió ir a pensar a su cojín favorito.

— ¿Qué hacíais enanos? —preguntó Fis. — Ven quiere lanzar su coche hasta el infinito, ¿a qué no se puede? — Sal buscaba el apoyo de Fis para dejar zanjada esta discusión.

— Pues nunca lo he pensado… —A Fis siempre le parecían sorprender las preguntas de los chavales — Supongo que si lo empujas todo el rato podrías llegar al infinito. Pero luego hay que volver y el infinito está muy lejos.

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— Pero es que no vale empujarlo más allá de esta línea… —Ven estaba empezando a considerar que nunca podría ganar en la competición de lanzamiento de coches.

De repente Fis dio un salto y salió corriendo… Gauss se fue detrás de él porque no podía aguantar la curiosidad. Scru ni abrió los ojos, a saber lo que estaba pensando. Fis volvió al pasillo con un aparato entre las manos… como un carril con muchos agujeritos en su superficie y unos coches que se ponían sobre el carril con una carita sonriente en su centro.

— Vamos a ver si sería posible llegar al infinito sin empujar todo el rato.

Sal enchufó el aparato y Ven notó que salía aire por los agujeritos.

— ¡Que guay Fis! —Los chavales estaban entusiasmados.

Fis empezó a girar unas ruedas que tenía carril ese tan raro y los extremos empezaron a levantarse como un puente levadizo.

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— Ven coge un coche de estos y ponlo a una altura, la que tu quieras —le propuso Fis al pequeño —Sal tu tienes que marcar el punto donde está la carita y medir con una regla desde ahí hasta el suelo.

Sonó el timbre y Mati desapareció dejando a los tres muchachos con su experimento. Los niños muy concentrados seguían las instrucciones. Ven mantenía el coche en el carril sujetándolo con dos dedos y Sal dijo: —23 centímetros, Fis. — Muy bien. Ven, ahora tienes que soltar el coche sin empujarlo. Sólo suéltalo.

Y tú Sal tienes que ponerte en el otro extremo y marcar donde llega la carita sonriente.

Ven, más concentrado que un neurocirujano, soltó el coche y Sal marcó el punto donde había llegado la carita sonriente del coche en el otro extremo del carril.

— ¡¡Fis, son 23 centímetros también!!

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Fis giró la rueda del extremo de la derecha y abrió el ángulo un poco más…

— Volvamos a hacerlo —retó a los chicos.

Sal y Ven tomaron posiciones. Ven puso la carita sonriente del coche en la marca anterior a 23 centímetros en el lado de la izquierda. Sal esperando en el otro lado. Y… — ¡23 centímetros otra vez! —dijo Sal excitado.

— Pero ahora ha recorrido más trozo Fis—los ojillos de Ven brillaban con emoción.

— Sí, eso parece… pero ha llegado a la misma altura que antes.

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Estuvieron repitiendo el juego bajando cada vez más el lado de la derecha. hasta que al final estuvo completamente plano.

— Una vez más…—dijo Fis. En esta ocasión el coche siguió sobre el carril hasta que este se terminó y cayó al suelo.

— Se ha caído… —dijo Ven un poco desanimado.

Fis, sonriendo, les dijo: — ¿Pero qué pasaría si estuviéramos en el espacio y tuviéramos un carril infinito?

— El coche no pararía nunca, intentaría llegar a subir hasta la altura que los hemos dejado caer pero como no podría seguiría corriendo por el carril para siempre —dijo Sal satisfecho de su conclusión.

— ¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Se podría llegar al infinito sin empujar al coche nunca — dijo Ven revolcándose por el suelo lo que hizo que Scru se despertara y se sintiera curioso por el motivo de tanta diversión. Así que se acercó olisqueó el carril y los coches tirados por el suelo y se sentó a mirar qué estaba pasando allí.

— Eso es… —Fis estaba encantado y siguió explicando — Esto que hemos hecho aquí lo ideó un señor llamado Galileo Galilei1 hace muchos años y demostró que no hay que aplicar fuerzas para mantener un cuerpo en 1

http://www.biografiasyvidas.com/monografia/galileo/

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movimiento rectilíneo respecto a un observador. En este caso el observador somos nosotros. Esto lo llaman el Principio de inercia2. Fijaos que cuando el coche desciende por el lado de la izquierda gana velocidad y cuando sube por la derecha pierde velocidad hasta llegar a la misma altura de la que había salido. En el trozo plano la velocidad se mantiene constante todo el rato.

— ¿Has oído Sal? Somos observadores… —dijo Ven emocionado.

Sal estaba concentrado en lo que pasaba por su cabeza, seguro que intentando encontrar para qué podría servir todo esto. Fis le revolvió el pelo.

—Es alucinante, Fis —terminó aceptando el gafotas.

—¿Sabéis? Este experimento llevó a Galileo a determinar que el movimiento rectilíneo y uniforme no necesitaba de fuerza alguna para mantenerse —les explicó su amigo Fis — Posteriormente, Newton3 tomó este principio y construyó la teoría física conocida como mecánica clásica basada en el concepto de fuerzas.

—Yo tengo mucha fuerza, Fis —dijo Ven doblando su brazo en ángulo recto y mostrando su bíceps.

—¡Jajajaja! No lo dudo —le contestó éste —Pero lo que más me gusta de ti no es tu fuerza sino tu curiosidad y tu desparpajo. Y cambiando de tema, enanos, tengo que llevar a Scru al veterinario, últimamente está que no está —continuó Fis. El gato, por supuesto, no estaba nada de acuerdo con eso y puso cara de enfado —¿Me acompañaréis?

—¿Hoy? —preguntó Sal extrañado —Hoy es nuestra fiesta de aniversario…

—¡Sí! —intervino el pequeño —¡Y van a venir muchos invitados!

—Ya, ya lo sé, chicos —Fis les guiñó un ojo —He venido a la fiesta. Al veterinario iremos mañana por la tarde, después del entrenamiento.

—¡Ah, vale! Entonces, sí —respondió Sal. —Y llevaremos a Gauss —añadió Ven con sonrisa pícara —Que le gusta mucho la chica de la recepción.

—Pero, bueno, ¿venís al salón o qué? —era Mati la que venía a buscarlos — Ya han llegado todos los invitados. Vamos, Gauss, llegaron Sheldon y Penny.

—¿Han venido Elio, Ot y Ula? —Ven estaba saltando sobre sus pies.

—Claro, están todos —respondió la pelirroja.

—Vamos, enanos —dijo Fis y añadió con voz misteriosa —Otro día hablaremos de la Fuerza.

— ¿Como en la Guerra de las Galaxias? —preguntó Ven extasiado.

2 3

http://cuentos-cuanticos.com/2012/05/18/si-no-lo-tocas/ http://www.biografiasyvidas.com/monografia/newton/

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Fis se echó a reír.

— Mejor, como en el Universo de verdad.

—¡Toma, toma, tooooooooma! —el pequeño adoraba a Fis y no dudaba en mostrarlo.

—¡Ven, está aquí Mister Green! —se escuchó la voz de un Sal alegre y dicharachero desde el salón.

—¡¡¡Voy!!! —dijo Ven corriendo hacia el salón donde se celebraba la fiesta — ¡¡No empecéis sin mí!!

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26 sandĂ­as en el camino a AlmerĂ­a

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Clara Grima Ruíz y Raquel Garcia Ulldemolins | 30 junio 2012 —¡Toma! Yo quiero ésta, es gordísima…

—Pero, ¡Ven! —dijo su primo Jose —¡Ésa casi no cabe en el maletero!

—Ven no se cansa nunca de comer sandía —añadió Sal divertido.

—Es que la playa me abre el apetito —respondió Ven —Me lo ha dicho mamá.

Volvían de pasar el día en la playa de Mónsul con Mati y Gauss. Ella había parado el coche para comprar una sandía a un señor que las vendía en la carretera.

—Es increíble que no se caigan rodando, ¿verdad? —preguntó Jose a sus primos.

—Supongo que como no son esferas perfectas… —empezó a decir Sal —no podrán rodar, ¿no?

—¿Qué? ¿Ya habéis elegido la sandía que nos llevaremos? —se acercó Mati a preguntarles —¿O le preguntamos mejor al señor que sabrá cuál es más jugosa?

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—¿Por qué no se caen, Mati? —le preguntó Jose —¿Porque no son esferas perfectas?

—No, si lo fueran, tampoco se caerían —respondió la pelirroja —Además este señor las tiene apiladas de la mejor forma posible, como le gustaría a Kepler4.

—¿Kepler es el frutero de tu barrio, Mati? —preguntó el pequeño Ven. —No, no, cielo —dijo ella sonriendo —Johannes Kepler era una famoso astrónomo y matemático alemán, según mucha gente, una de las piezas fundamentales en la revolución científica del siglo XVII. —¿Y le gustaban mucho las sandías? —insistía Ven. —Pues no lo sé —respondió Mati —Pero sí que le gustaba mucho mirar al cielo como a vosotros y a Mister Green. De hecho, fue él el que enunció las leyes que describían el movimiento de los planetas alrededor del Sol y hasta se atrevió a ¡diseñar un telescopio!

—Qué tío… —mascullaba Jose.

—¿Y qué tiene que ver todo esto con las sandías, Mati? —seguía insistiendo Ven. —¿Kepler era amigo de Galileo, Mati? —preguntó Sal. —Bueeeeeno… —respondió ésta —amigos, amigos, no diría yo. Parece que a Galileo no llegaron a gustarle mucho los trabajos de Kepler, creo que le molaban más los de Copérnico...

—¿Que qué tiene que ver un telescopio con una sandía? —el pobre Ven se estaba desesperando.

—Huy, es cierto, cielo —dijo Mati acariciando el pelo del pequeño con dulzura —Pues para entender qué tiene que ver Kepler con las sandías, os contaré una historia de caballeros y batallas navales.

Los tres niños se sentaron junto a la montaña de sandías, Gauss se acurrucó junto a Jose. El frutero les dio un trozo de sandía a cada uno que comían con ganas porque venían acalorados.

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Disponible desde: https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

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—Hace mucho tiempo —comenzó a contarles Mati —en el siglo XVI, un barco inglés que se llamaba El Tigre navegaba camino de América. El jefe de la expedición era un caballero inglés Sir Walter Raleigh5.

—Seguro que era muy valiente… —interrumpió Jose.

—Sí, eso dicen —corroboró Mati —Muy valiente y ¡muy guapo! Dicen que la reina Isabel I se fijó en él cuando a l ir a cruzar ella por un sitio donde había mucho barro, Wlalter Raleigh, todavía no era Sir, se quitó la capa que llevaba y la puso en el suelo para que la reina no se manchara los pies.

—Qué guarro… —dijo de nuevo Jose.

—Bueno, parece que a la reina le gustó el gesto y lo nombró caballero —

terminó de decir Mati.

—Jo, qué suertudo… —insistía el primo de Sal y Ven. —Lo cierto, Jose, es que esto último no está tan claro, hay quien dice que fue leyenda aumentada por los rumores —continuó Mati —Otras fuentes apuntan a

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Disponible desde : https://es.wikipedia.org/wiki/Walter_Raleigh

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que la reina lo nombró caballero por unos trabajitos que Raleigh hizo en Irlanda para que no se rebelaran contra la reina…

—Vamos, Mati, a las sandías… —Ven estaba poniéndose nervioso.

—A las sandías —dijo ella —En el mismo barco, viajaba Thomas Harriot, un matemático que trabajaba para Sir Walter Raleigh, también astrónomo. Pues bien, dicen que Raleigh le preguntó a Harriot por qué siempre apilaban las balas así…

— .También le propuso a Harriot que calculara cuántas balas podía tener la pirámide, en función de su base…

—¿Cuántas? —preguntó Sal. —¿Lo intentamos calcular? —propuso Mati.

—¡Vale! —dijo Jose.

—Y seguimos sin hablar de las sandías… —masculló Ven. —Bueno, Ven —dijo la pelirroja —Puedes pensar en sandías en lugar de balas de cañón, ¿quieres?

—No, venga…con balas de cañón… —dijo el pequeño.

—Vamos a calcular entre todos cuántas balas habrá en una pirámide base cuadrada, de lado 4 —propuso Mati —en la primera capa habrá…

—¡16 sandías! —se apresuró a decir Jose.

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—Ponemos la segunda capa… —decía Mati.

—¡9 sandías! —gritó Ven.

—¡En la tercera 4, Mati! —dio Jose.

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—Y por último, 1 en la última capa —concluyó Mati —Ya podemos sumar

—Y fijaos qué curioso —les advirtió a los niños —Podemos obtener una fórmula para calcular el número de balas…

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—O de sandías.. —apuntó Ven. —Eso, o de sandías, que hay en cualquier pirámide de base cuadrada.

—Así que si tenemos una pirámide con una base cuadrada de lado 6, tendrá…

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—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijo Jose.

—No me imites, Jose… —protestó con una sonrisilla Ven al que en el fondo le había gustado que su primo lo imitara.

—¿Lo hacemos con las pirámides de bases triangulares? —preguntó Mati —¡Sí! —contestaron los tres niños a la vez.

—Vamos a contar las balas que tienen las pirámides más pequeñitas — empezó a decir la gafotas —a ver si deducimos una fórmula que me permita calcular el número de balas en cualquier pirámide de base triangular, como las estamos construyendo, poniendo cada esfera en el hueco que queda entre las cuatro que están justamente debajo.

Los niños empezaron a pintar en la pizarra de Mati las pirámides de base triangular de lados 2, 3 y 4, y a contar las balas que las componían.

—Muy bien, chicos —les animó —Ahora la de lado 5.

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—Ahora vamos a fijarnos en los números que hemos ido obteniendo para ver si podemos deducir una fórmula que nos sirva para calcular cuántas balas o sandías hay en un pirámide de base triangular, conociendo sólo cuántas balas hay en el lado del triángulo de la base —les propuso Mati —Llamaremos PT2 al número de balas en la pirámide triangular de lado 2 en la base, PT3 al correspondiente en la de base 3 y, en general, PTN al que indica el número de balas en la pirámide de base triangular con N balas en el lado de la base.

Fijaos lo que sale…

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—¿Y ahora qué, Mati? —preguntó Jose ansioso.

—Pues que podemos ver una fórmula para PTN —dio ésta —Puesto que cada pirámide es igual a la anterior, más una base de lado N que tiene (1+2+3+…+N) balas.

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—Pero vosotros ya sabéis cuál es la fórmula para calcular (1+2+3+…+N), ¿verdad? —les preguntó Mati.

—¡Sí! —gritó el gafotas —Y la descubrió Gauss. Es N por N+1 partido por 2.

Gauss ladró orgulloso, le encantaba oír su nombre cuando se trataban temas tan importantes…

—Pues con ésa fórmula y con la que hemos visto antes para la suma de los cuadrados, de puede deducir lo siguiente:

—Así —continuó la gafotas —Si queremos calcular cuántas balas habrá en una pirámide de base triangular de lado 12 balas en la base…

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—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —dijeron al unísono Jose y Ven. —Pues sí, mola mucho —continuó Mati —Tanto que Harriot se quedó pensando sobre el tema y como además le gustaba estudiar sobre átomos y tal, se hizo preguntas bastante más complicadas como, por ejemplo, ¿cuál es la forma óptima de apilar esferas para aprovechar al máximo el espacio?

—¿Cuál es? —preguntó ansioso Sal. —Ahora es cuando entra nuestro amigo Kepler en escena —Mati guiñó un ojo —Porque Harriot le escribió a Kepler hablando sobre estos problemas y claro, Kepler que era muy curioso, se puso a trabajar sobre el asunto y…

—¿¿Y?? —preguntó Sal con impaciencia.

—Pues que Kepler conjeturó que la mejor forma de empaquetar esferas era precisamente, así, como apilan las frutas los fruteros —dijo Mati —Poniendo las esferas en cada capa de forma que éstas se apoyen en el hueco que forman las cuatros esferas que están debajo de ellas.

—¿Y era verdad, Mati? —preguntó de nuevo el gafotas.

—Pues sí, era verdad —respondió ella —Pero no se ha demostrado hasta 2005.

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—Yo ya había nacido, Mati —gritó Ven —Pobre Kepler, nunca supo que se había demostrado…

—¿Quién lo demostró, Mati? —preguntó Jose.

—Pues otro Thomas, Thomas Hales, un matemático norteamericano — contestó Mati.

—Qué crack… —apuntó jose —¿Está muerto? —preguntó Ven con carita de pena.

—No, es un hombre joven aún, Ven, no te preocupes —lo tranquilizó ella.

—¿Y por qué tardaron tantos años en demostrar esto? —preguntó Sal muy serio.

—En matemáticas, a veces, las preguntas aparentemente más simples pueden tener una solución muy complicada —concluyó la gafotas.

—O sea que los fruteros son expertos en matemáticas, ¿no, Mati? —preguntó Ven con la cara absolutamente manchada de sandía.

—Eso es, Ven —dijo ella con una sonrisa —Aunque el que parece que se entiende bien con las esperas es nuestro Gauss…

FIN

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Pues sí, la historia sobre la conjetura de Kepler tiene todos los ingredientes necesarios para ser una gran aventura. Hace poco tiempo, estaba tomando café con mi amigo Daniel y me sugirió que se la contase a mis chicos. Así que pensé, ¡qué buena idea, Dani!

Ésta es una versión resumida y sin entrar mucho en los detalles más técnicos del camino recorrido desde Kepler hasta la demostración de Hales, pero si os interesa entrar en detalle, os recomiendo esta entrada de mi amigo Daniel en su blog “La aventura de la ciencia“.

La demostración de Hales requiere el uso de computadores para unos cálculos muy complicados y suscitó alguna polémica entre matemáticos por ello. Alguno incluso se atrevió a criticarla sin informarse demasiado como nos explica Francisco Santos en esta carta al director de El País.

Volveremos otro día a jugar con esferas, hasta entonces, ¡Feliz fin de semana!

MATI

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Una fiesta con 28 invitados

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—Tú serás el encargado de preparar las bolsas de caramelos, Ot —sentenció Sal. — ¡Mola! —respondió Ot. —Eso no puede ser, Sal —protestó Germán —Porque entonces Ula no podrá ayudar en nada para la fiesta.

—No pasa nada — añadió Jose —Como es tan pequeña, puede jugar mientras los demás preparamos la fiesta.

—Yo me quedo jugando con ella para que no se aburra, ¿verdad Ula? — propuso Elio —¿Quieres que te enseñe a dibujar un unicornio?

—De eso nada —intervino Ven —Hay 7 tareas que hacer y 7 niños. Si uno no ayuda, una de las tareas se quedará sin hacer…; Además, ¡no puedes dejar a Ula sin tarea! ¡Llorará y llorará!

—No somos 7, somos 8, Ven —dijo el pequeño Gonzalo y añadió —¡Ya sé contar!

—¿Estás insinuando que yo haga algo? —protestó Ven —Es mi cumpleaños, ¡yo soy el jefe!

Ula contemplaba la escena sin mucha pasión, estaba arreglando los pliegues de su precioso tutú. Aquella mañana nuestros amigos Sal y Ven estaban muy bien acompañados, estaban Elio, Ot, Ula, Germán, Gonzalo y Jose. Por la tarde celebrarían la fiesta de cumpleaños de Ven y los habían invitado a pasar el día en casa para jugar y para ayudar a organizar las actividades del cumpleaños.

—¿Puedes ayudar a mamá con la tarta, Ula? —preguntó el gafotas dulcemente a la pequeña bailarina.

—No, de eso nada —interrumpió de nuevo Gonzalo —Eso me lo he pedido yo.

—Tú puedes hacer otra cosa Gonzalo —respondió Jose.

—Sí, claro —añadió Elio —Si quieres que Gonzalo escriba las pistas del tesoro… ¡si no sabe escribir!

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—Pero bueno… —Mati acababa de entrar —cuánto niño guapo por esta casa…

—¡Mati! —gritaron todos los niños a la vez, Gauss respiró tranquilo. Siempre que la pelirroja llegaba se acababan estas acaloradas discusiones.

—Hola Mati —dijo Sal —Estamos intentando asignar las tareas para preparar la fiesta de cumpleaños de Ven. Pero tenemos un lío…

—Pero ¿cómo lo estáis organizando? —preguntó la gafotas.

—Mira —continuó hablando el gafotas —en esta tabla, he ido apuntando, como en el juego de los barquitos, qué tarea quería hacer cada uno. Hay 7 tareas: llenar los globos de agua, pintar los huevos de colores para la carrera con cuchara, rellenar bolsas con caramelos, ayudar a mamá con la tarta, poner galletas en los platos, escribir las pistas para el tesoro escondido y hacer las tarjetas binarias para la magia.

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—Ajá, muy bien chicos —dijo Mati —¿Y qué es lo que pasa?

—Que o nos sobran tareas —contestó Ven —O nos faltan niños…

—¿Por qué no lo hacéis dibujando el grafo? —propuso Mati.

—¿Qué es un grafo ? —preguntó Gemán.

—Es un dibujito —respondió Ven —Con unos puntos, que se llaman vértices y unas líneas que unen a algunos de esos puntos, que se llaman aristas ¿Verdad, Mati?

—Eso es —confirmó Mati —Vamos a pintar un vértice por cada niño y otro por cada tarea. Y uniremos cada niño con las tareas que ha pedido hacer, ¿os parece?

—¡Mola! —gritaron a la vez Ot y Gonzalo.

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—Qué bonito te ha quedado ese grafo Mati…

—Gracias, Jose —dijo Mati —Lo que vosotros queréis hacer es lo que se llama en Teoría de Grafos, un emparejamiento, es decir, elegir de ese grafo un conjunto de aristas que emparejen a cada niño con una tarea diferente. Es más, lo que queréis hacer se llama emparejamiento completo, porque no queréis que ningún niño se quede de brazos cruzados, ¿verdad?

—Verdad —contestó Gemán.

—Bueno, yo no voy a hacer nada —añadió Ven —Es mi fiesta de cumpleaños y ….

—Y no estás en el grafo, Ven —interrumpió Elio —No te va a tocar nada.

—¿Se podrá hacer Mati? —preguntó el gafotas —¿Se podrá hacer el emparejamiento completo?

—Vamos a verlo Sal —anunció la pelirroja —Y lo vamos a ver de la siguiente manera: me iréis diciendo una asignación de tareas como queráis, siempre asignando a cada niño una de las que él se ha pedido; si lo conseguimos de entrada, estupendo y nos ponemos a trabajar. Si no conseguimos el emparejamiento completo, os enseñaré un método que nos permitirá asignar

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una pareja más si es posible, así hasta llegar al emparejamiento completo; si en algún momento no es posible añadir una pareja más y no tenemos el completo, sabremos que es imposible conseguirlo ¿Qué os parece?

—¡Bien! —gritó Ula como si se hubiese enterado perfectamente de todo. Los demás sonrieron como aquellos ministros ante el traje nuevo del emperador…

—Yo quiero pintar los huevos de colores Mati —dijo inmeditamente Ot. —Vale —dijo ella —Vamos a pintar de amarillo la arista que une a Ot con los huevos para indicar que esa pareja ya la tenemos asignada.

—Qué morro… —murmuró Germán para añadir después sonriendo—Bueno, no pasa nada.

—¿Puedo escribir yo las pistas del tesoro que ya sé escribir con minúsculas?

—preguntó Elio poniéndose de puntillas para parecer más mayor.

—Muy bien —aceptó Mati —Pintamos de amarillo la arista que une a Elio con las pistas.

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—¡Mati, Mati! —se escuchó la vocecita de Gonzalo —¡Ponme a mí para ayudar a adornar la tarta con chuches!

—Ahora, de amarillo la arista que une a gonzalo con la tarta.

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—Yo soy muy bueno llenando globos de agua… —dejó caer Jose — Mis primos de Almería siempre quieren que yo se los llene…

—Entendido —dijo Mati —En amarillo la arista que une a Jose con los globos…

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—¿Me puedes asignar a mí los caramelos Mati? —pidió Sal —Me gustaría poner una sorpresita en cada bolsita…

—¿Qué, qué? —preguntó Ula curiosona.

—Ula, ¡es una sorpresita! —intervino Ven y Ula retorció un poco su boquita.

—De acuerdo —intervino la pelirroja —Ponemos en amarillo la arista que une a Sal con los caramelos que aún estaban libres…

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— Ya no podemos seguir —anunció Mati —Porque sólo quedan sin tareas Ula y Germán, pero las tareas que ellos han pedido ya están asignadas a otros.

—¡Jo no jugo! (¡No juego!) —gritó espontáneamente Ula. —No te enfades Ula —la consoló Germán —Tú y yo jugaremos con Pepita, ¿vale?

—No, no, no —intervino Ven —Tienen que trabajar todos, es mi fiesta…

—Tranquilos todos —dijo Mati —Os voy a enseñar un método para mejorar la asignación de tareas si se puede, ¿vale?

Los niños asintieron todos callados, Gauss resopló viendo cómo se calmaba por momentos la tormenta.

—¿Os acordáis de cómo se coloreaban los vértices de un grafo6? —les preguntó la gafotas.

—Sí —respondió rápidamente Ven —Se colorean los vértices pero no pueden estar unidos vértices del mismo color. Y sólo se necesitan 4 colores como máximo, ¿verdad Mati?

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Disponible en: http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1052/dame-4-colores-y-pintare-elmundo

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—Si el grafo es plano, Ven —corrigió Sal —pero éste tiene muchos cruces…

—Huy —interrumpió Mati inmediatamente —No, no hace falta estudiar si el grafo es plano o no, es más fácil, mucho más fácil. Pero Sal, el hecho de que un grafo esté dibujado con muchos cruces no significa que no sea plano. A lo mejor sólo hay que dibujar el mismo grafo de otra forma. Mira, os pongo un ejemplo sencillito.

Mati dibujó dos grafos en su pizarra

—Estos dos grafos son el mismo —les dijo —Sólo que están dibujados de diferente forma. Como en el dibujo de la derecha no se cruzan las aristas, decimos que el grafo es plano, que se puede dibujar sin cruces —Mati continuó —Nuestro grafo también es plano…

—Sí, hombre… —bufó Jose.

—Sí, lo es —ratificó Mati —Os dejo que penséis cómo dibujarlo plano, sin cruces, pero mañana después de la fiesta.

—¡Mola! —se alegró Ot. —Como os decía —continuó la pelirroja —Vamos a colorear los vértices de nuestro grafo de tareas, ¿cuántos colores necesitaremos?

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—Cuatro —dijo Germán con sonrisa pícara —Se te ha escapado que es plano y como los planos necesitan cuatro colores…

—Cómo máximo, Germán —puntualizó Sal —como máximo.

—Efectivamente —añadió Mati —Como mucho serán cuatro colores, pero vamos a fijarnos un poco en este grafo.

Todos los niños arrugaron la nariz y el ceño y se pusieron a mirar fijamente la pizarra de Mati. Gauss también.

—Fijaos —empezó a decir Mati —Todos los vértices correspondientes a los niños pueden ser del mismo color, ¿verdad?

Los niños relajaron sus caritas y se giraron a mirar todos a Mati. Bueno, todos no, Gonzalo seguía con su expresión de concentrado, no quería despistarse…

—¡Toma, claro! —dijo Ven enseguida —Porque ningún niño está unido con ningún niño, las aristas siempre unen a un niño con una tarea.

—¡Rojo, por favor, Mati! —pidió Elio.

—Muy bien —dio ella —Los vértices correspondientes a los nombres de los niños los pintamos en rojo.

—¡Ya está! —gritó Sal saliendo de su ensimismamiento y asustando a Gauss —Todas las tareas también pueden tener el mismo color porque ninguna tarea se une con ninguna tarea ¡Sólo se necesitan dos colores, Mati!

—Las tareas en azul, por favor, Mati —pidió Ot poniendo caritas.

—Muy bien chicos —Mati sonreía feliz —Efectivamente, sólo se necesitan dos colores para colorear los vértices de nuestro grafo. Vamos a pintarlos en rojo y azul como han pedido Elio y Ot.

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—A estos grafos en los que podemos colorear los vértices con sólo 2 colores se les llama grafo bipartitos. En éstos, los vértices están agrupados en 2 conjuntos separados, el rojo y el azul en nuestro caso, cuyos elementos no se relacionan entre ellos —les explicó la pelirroja —Ahora vamos a organizar un baile…

—-Jo sóc la millor ballarina del món (Yo soy la mejor bailarina del mundo) — gritó nuestra Ula y dio una vuelta de puntillas dejando a todos adorar su maravilloso tutú.

—¿Un baile ahora, Mati? —se quejó Ven y añadió murmurando —Ya verás, al final no nos dará tiempo a organizarlo todo…

—Sí, Ven, un baile —respondió Mati —Pero este baile servirá para la asignación de tareas y eso permitirá una mejor organización y, por lo tanto, nos dará tiempo a todo.

—¡Venga, el baile! —pidió Elio.

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—Os cuento —empezó la gafotas —Vamos a suponer que las aristas del grafo nos indica con que puntos azules querrían bailar cada uno de los puntos rojos, y vamos a tratar de emparejarlos todos. Nos fijamos en un punto rojo que no esté emparejado…

—El de la mejor bailarina del mundo… —dijo Ot sonriendo pícaro, Ula arrugó toda su carita.

—Eso es, nos fijamos en Ula —dijo Mati —Ula sólo quería bailar con Caramelos y le pregunta: ¿Quieres bailar Caramelos?. Los pintamos aquí al lado unidos con línea blanca como está en el grafo.

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—Pero Caramelos responde: No puedo, yo bailaré con Sal —continuó Mati — Pintamos a Sal unido a Caramelos con una línea amarilla, igual que está en nuestro grafo.

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—Entonces nuestro punto rojo, Ula —siguió —Pregunta a Sal si no le importa cambiar de pareja, eligiendo a otra de las que él había elegido. Y Sal dice: Bueno, preguntaré a los otras 3 que había elegido, a ver si queda alguno libre y Sal le pregunta a Globos, Magia y Tarta.

—Primero le pregunta a Globos —Mati tenía a todos pendiente de su baile — Pero Globos le dice que ya está emparejado con Jose.

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—Entonces, —dijo —le pregunta a Magia y ¡tachán! Magia está libre.

—¡Bien! —gritó Ula de pronto.

—Fijaos en el dibujo que tenemos a la derecha de nuestro grafo —señaló Mati —tenemos un camino, que empieza en Ula y termina en Magia, donde los colores de las aristas se van alternando entre blanco y amarillo, que empieza y termina con aristas blancas. Es lo que llamamos una camino alternado. Pues bien, si existe camino alternado, que empieza y termina en aristas blancas (sin emparejar), se puede mejorar el emparejamiento.

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—¿Cómo? —preguntó Sal impaciente.

—Muy fácilmente —respondió Mati —Vamos a intercambiar los colores amarillo y blanco en las aristas.

—Ahora hacemos esos cambios de color en nuestro grafo…

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—¡Ya tengo tarea! —gritó Ula alegremente y volvió a girar de puntillas.

—Es verdad, Mati —dijo Jose —Hemos emparejado a uno más…

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven. —Sí —dijo Gonzalo y añadió con penita —Ya sólo falta tarea para mi hermano…

—Eso es —afirmó Mati —Vamos a intentar buscar un camino alternado empezando ahora con Germán que es el único punto rojo que no tiene pareja.

Germán le preguntará a los dos que él había elegido en principio: Huevos y Caramelos.

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—Pero Caramelos —siguió la gafotas —le dice que él está emparejado con Ot…

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—Germán le pregunta a Ot si le importa cambiar de pareja —continuó —Pero Ot le responde que su otra alternativa era Caramelos que ya está emparejado con Ula. Y ella no puede cambiar de pareja porque sólo había elegido a Caramelos.

—¿Qué pasa ahora Mati? —preguntó Germán angustiado.

—Pues que no existe el camino alternado —aceptó ésta con tristeza —y no podemos mejorar el emparejamiento, era el mejor que se podía conseguir, a éstos les llamamos emparejamientos máximos.

—¿No podemos emparejarlos a todos? —era Ven el que se angustiaba ahora.

—No —confirmó Mati —Para este grafo bipartito no existe emparejamiento completo, cualquier emparejamiento dejará a un niño sin tarea.

Los niños se quedaron todos muy serios mirando la pizarra de Mati que continuó: —Mirad, vamos a quedarnos con el grafo correspondiente sólo a las peticiones de Gemán, Ot y Ula.

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—Cómo véis —les dijo —tenemos 3 niños que han pedido sólo 2 tareas distintas, eso hace imposible el emparejamiento completo.

—Es verdad… —dijo Jose.

—Para que exista el emparejamiento completo —les contó —cualquier subconjunto de personas del primer grupo debe elegir como mínimo el mismo número de tareas del segundo grupo, es la conocida condición de Hall.

—Lo sabía… —dijo Ven con resignación —No podremos prepararlo todo…

—Que sí, Ven —le respondió Germán mientras le rodeaba con su brazo —Yo me encargo de decorar las galletas, que me gusta mucho.

—¿En serio? —preguntó Ven con los ojos brillantes —No lo habías pedido.

—Se me olvidó —Germán guiñó un ojo a Ven. —En ese caso —intervino Mati —gracias a la teoría de grafos y a Germán tenemos resuelto nuestro problema.

—¡Todos a sus puestos! —gritó Sal —¡a trabajar!

—¡Sí! —gritaron los demás.

—¿Cuántos niños vienen Ven? —preguntó Mati.

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—28.

—¿¿28?? —repitió Mati asombrada.

—Sí, ya sabes —trató de explicar Ven —Es verano y muchos están de vacaciones…

FIN7

7

Este cuento puede leerlo desde la web: http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1518/unafiesta-con-28-invitados

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29 de Agosto

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Clara Grima Ruíz y Raquel Garcia Ulldemolins | 15 septiembre 2012 —A lo mejor nos encontramos un día por Madrid…

—¿En serio, Sal? —preguntó Verónica ilusionada —¿Vais a ir a Madrid?

—Sí —contestó el pequeño Ven con un hilillo de voz —Mati nos ha dicho que nos va a llevar a ver el Museo del Prado…

—Para ver Las Meninas, claro… —dijo Verónica.

—Sí —confirmó el gafotas —Y también un relieve que le gusta mucho a Mati, Las Ciencias Matemáticas, creo que se llama.

—Eso —añadió Ven —Es que se parece un poco a nuestra Mati, porque las Matemáticas están representadas con una figura de mujer y hay algunos niños a su alrededor como nosotros…y hasta tiene un perrito, como nuestro Gauss.

De pronto los tres niños se quedaron callados. Sal se miraba las sandalias como si nunca antes las hubiese visto, Ven apretaba fuerte los labios para que no le temblase la barbilla, Verónica miraba al mar como si esperase encontrar algún día más de vacaciones, Gauss… Gauss estaba más triste que ninguno de los niños. Nuestros tres amigos habían pasado unos días muy emocionantes desde que conocieron a Verónica una mañana en la playa, era la chica más divertida que jamás habían conocido y tiraba unos puñados de arena impresionantes a pesar de su mano pequeñita. Era la última tarde que estaban juntos porque ella volvía con su familia a Madrid.

—¿Jugamos a algo? —preguntó la niña.

—Me duele un poco la tripa —se excusó Sal arrugando su nariz para subir sus gafotas.

—Si fuésemos piratas nos podríamos escapar en nuestro barco y no volver al cole —dijo Ven con sonrisa pícara.

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—Guau —los ojos de Verónica brillaron de repente —Podríamos ir a América, y ver las ruinas del imperio maya…

—Huy, no —interrumpió Ven —Ésos me dan mucho yuyu con lo del fin del mundo y tal…

—¡Eso son tonterías, Ven! —replicó Sal —No estás siendo nada científico.

—¿Creéis que podríamos llegar nadando hasta el horizonte? —preguntó Verónica que parecía absorta en sus pensamientos aventureros y no escuchaba la discusión entre los hermanos, mientras Gauss la miraba embobado.

—Verónica —dijo Sal muy serio —Nunca se puede llegar hasta el horizonte, el horizonte se mueve…

—¡Qué guapos estáis mirando al mar! Me recordáis una canción de Jorge Sepúlveda…

—Hola, Mati —dijeron los tres al unísono.

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—Mati —preguntó Verónica inmediatamente —¿tú crees que se puede llegar al horizonte nadando?

—Que no, Verónica —protestó sin mucho interés Sal —que el horizonte se mueve, no se puede alcanzar…

—En eso tiene razón, Sal —dijo Mati —Pero si que podemos, si os apetece, calcular la distancia desde aquí hasta el horizonte que vemos desde aquí.

—¡Toma! —se animó Ven —¡Venga!

—¡Sí, sí, sí! —a la nueva amiga de Sal y Ven le apasionaban las mates.

—¿Os acordáis del Teorema de Pitágoras? —les preguntó la pelirroja.

—Claro —respondió el pequeño —Nos lo explicaste cuando nos enseñaste las coordenadas cartesianas

—¿Ése es el de los catetos? —preguntó divertida Verónica.

—Efectivamente —corroboró Mati —En un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo con una ángulo recto…

—Como el de la esquina de una portería… —añadío Ven.

—Eso es —continuó la gafotas —Pues en un triángulo rectángulo, si llamamos catetos a los lados que forman el ángulo recto e hipotenusa al lado que falta, el teorema de Pitágoras nos asegura que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

—¡Ya, ya! —gritó Verónica —¡Cateto al cuadrado más cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado!

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—Muy bien —la felicitó Mati.

—¿Quieres ser matemática, Verónica? —preguntó Sal curioso.

—No, quiero ser médica, pero me encantan las mates.

—¿Seguimos? —preguntó Ven con impaciencia.

—Sí, seguimos —dijo Mati —Vamos a fijarnos en el siguiente esquema.

Pintamos los radios de la Tierra, uno el que nos uniría a nosotros con el centro de la misma, y otro a un punto del horizonte. En verde dibujamos nuestra altura sobre el nivel del mar, y en amarillo la distancia hasta ese punto del horizonte.

Pues bien, lo importante es darse cuenta de que la línea amarilla y el radio de la Tierra correspondiente en el punto del horizonte forman un ángulo recto.

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—¿Cómo lo sabes, Mati? —preguntó Sal impaciente.

—Pues porque la línea amarilla es tangente a la circunferencia en ese punto y eso sólo es posible si el ángulo que forma con el radio en dicho punto es un ángulo recto.

—Vale, es recto, ¿y ahora qué? —Verónica estaba impaciente por conocer la distancia al horizonte.

—Pues, que tenemos un triángulo rectángulo —respondió Mati —y podemos usar el teorema de nuestro amigo Pitágoras. Vamos a fijarnos sólo en el triángulo. Como medida del radio de la Tierra tomamos el valor medio de su radio, 6371 kilómetros…

—¡Hala! —interrumpió Ven.

—…y suponemos que estamos a una altura de 10 metros sobre el nivel del mar porque estamos en el paseo marítimo —terminó de decir la gafotas.

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—¡Claro! ¡Si conocemos dos lados del triángulo rectángulo, podemos conocer el tercero, como nos explicaste aquella vez!

—Efectivamente, Sal —dijo la pelirroja orgullosa — Como queremos conocer la longitud del cateto b, lo despejamos de la fórmula de Pitágoras.

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—Ahora sólo tenemos que sustituir a y h por su valor para tener el valor de b — les dijo.

—Pero, Mati —observó Sal —Lo que nos da es el valor de b al cuadrado…

—Bueno —contestó ésta —sólo tendremos que calcular la raíz cuadrada de 127420100…

—Yo no sé hacer eso —dijo Verónica con penita.

—Pero Mati te puede enseñar —respondió Ven con entusiasmo — A nosotros nos enseñó un método muy sencillo para hacerlo, ¿verdad, Mati?

—Claro que se lo enseñaremos a Verónica —dijo Mati —pero después, ahora vamos a usar la calculadora para poder darnos un baño antes del almuerzo.

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—¡Toma, toma, toma! ¡Más de 11 kilómetros! —Ven estaba entusiamado —¡Tú no puedes nadar eso, Verónica!

—¡Ni tú! —contestó la niña un poco enfurruñada.

—No, ni yo —dijo Ven —No te enfades que es nuestro último día…

Un silencio se apoderó de la escena y la cara de los niños se ensombreció.

Gauss agachó su morro.

—¿Y sabéis qué? —trató de animarlos Mati —¿Veis aquel mástil de un barco a lo lejos?

Los tres niños asintieron con sus cabecitas.

—¿Queréis saber a qué distancia está es barco?

—¿¿Cómo?? —preguntó el gafotas intrigado.

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—Lo vais a saber enseguida… —anunció Mati con voz misteriosa — Tendríamos que saber cuánto mide el mástil… Pero si mide 10 metros que es exactamente nuestra altura sobre el nivel del mar, y os fijáis en el siguiente dibujo…

—¡Toma, toma, toma! —gritó Verónica saltando sobre la punta de sus pies —El doble de distancia que desde aquí al horizonte, ¿no, Mati?

—Eso es —corroboró ella.

—Más de 22 kilómetros… —murmuró Sal pensativo.

—Aproximadamente —Mati le alborotó el pelo y sal se sonrojó, posiblemente quería parecer más mayor delante de su amiguita.

—¿Y si no mide 10 metros el mástil? —preguntó Ven desconfiado.

—En ese caso, mira —dijo Mati mientras dibujaba un nuevo esquema en la pizarra.

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—Como conocemos la distancia desde nosotros hasta el horizonte —les contó —sólo queda calcular la distancia desde el punto en el horizonte hasta el mástil, pero eso lo podemos resolver de nuevo usando el teorema de Pitágoras en el triángulo naranja.

—Es maravilloso, Mati —Sal estaba alucinando con lo que les contaba Mati.

—Ojalá fuera nuestro barco —dio de pronto Verónica con los ojos brillantes — Yo sería la capitana y podríamos ir a América.

—¿Sin mayores? —preguntó Ven un poco angustiado.

—¡Sin mayores! —respondió ella con gesto firme y decidido —Iríamos a ver las ruinas mayas…

—¡Yo voy contigo! —dijo inmediatamente Sal pero cuando Verónica se volvió hacía él para mirarlo, éste le preguntó, un pelín sofocado, a Mati —¿A qué distancia más o menos está América, Mati?

—Podríamos decir que a unos 6000 kilómetros… —le contestó.

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—¡Hala! 6000 kilómetros en barco… —Ven estaba un poco nervioso —y sin mayores… Yo no voy, me quedo cuidando de Gauss.

—Sí, es un largo viaje para hacerlo vosotros solos —corroboró la gafotas — pero os hago una pregunta, ¿hasta que altura tendríamos que subir en globo para poder divisar América desde aquí?

Los niños se quedaron pensando muy serios…

—No me digas, Mati —dijo Sal —¿otra vez el teorema de Pitágoras?

—¡Ajá! —respondió ella guiñando un ojo mientras hacía un nuevo dibujo en su pizarra.

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—Pues nada, chicos —les animó Mati —ya sólo necesitamos hacer las cuentas…

Los tres niños se pusieron manos a la obra con la ayuda (muy poquita ¿eh?) de Mati.

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—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —Ven se abrazó con fuerzas a Verónica de la emoción. Sal también, posiblemente también emocionado —Más de 2300 kilómetros…

—Aproximadamente, sí —dijo Mati —Si subimos a esa altura y las condiciones meteorológicas lo permitiesen, podríamos ver América.

—Pero eso es altísimo… —Ven se venía abajo de nuevo.

—Sí, es verdad —añadió Verónica —Será mejor que vayamos en un avión…

—¿Se lo pedimos a nuestras familias para el verano que viene? —dijo Sal alegre.

—El verano que viene… —respondió la niña con los ojos húmedos.

—Ya veremos qué hacemos el verano que viene —interrumpió Mati —Ahora yo os propongo un juego: al primero que llegue corriendo al quiosco, le invito a un helado.

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—¿Y a los otros dos? —preguntó Ven.

—También —respondió la pelirroja con un guiño y los tres niños salieron corriendo mientras Gauss se quedaba allí, pensativo…

FIN

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Habitaci贸n 35

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Seguro que es la 35, Sal? —Seguro, Ven, confía en mí.

—Es que hay tantas puertas… —dijo Ven —Éste sí que parece el hotel de los líos…

—Qué exagerado eres, Ven, todos los hoteles tienen un montón de puertas.

—¿Habéis encontrado nuestra habitación? —preguntó Mati que se unía al grupo de turistas.

—Sí, aquí está, la 35 —respondió el gafotas.

—Hay tantas puertas que me mareo… —añadió Ven muy teatrero, Sal resopló con cansancio.

—Me has recordado un acertijo que tiene que ver con puertas de un hotel — anunció Mati —Si queréis os lo cuento.

—¡Sí! —dijeron los hermanos al unísono, Gauss gruñó porque sabía que durante un rato nadie le haría caso.

—Érase una vez un botones de un hotel que se volvió un poco majareta — empezó a contarles Mati —Una mañana se fue a un pasillo del hotel, en el que había 10 puertas, numeradas del 1 al 10, y las abrió todas.

—¡Qué loco! —dijo Ven sonriendo.

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—Calla, Ven —le pidió su hermano.

—Cuanto tuvo las 10 puertas abiertas —continuó la pelirroja —decidió cerrar todas la habitaciones que tenían un número par.

—¿Por qué? —preguntó el pequeño.

—Porque estaba majareta —respondió ella —Después, se fijó en las puertas cuyos números eran múltiplos de 3 y cerró las que estaban abiertas y abrió las que estaban cerradas.

— Es decir —mascullaba el gafotas —Cerró la 3 que estaba abierta, abrió la 6 que estaba cerrada porque es par, y cerró la 9 que estaba abierta.

—Eso es —confirmó ella —Después cambió de estado las puertas de las habitaciones que eran múltiplo de 4, es decir, las que estaban abiertas las cerró y las que estaban cerradas las abrió.

—O sea que abrió la 4 y la 8 que estaban cerradas, ¿no, Mati? —preguntó Ven. —Efectivamente, cielo —respondió Mati y continuó —Luego hizo lo mismo con las puestas múltiplos de 5, después con las que eran múltiplos de 6, después de 7 y así, hasta que en la última vuelta solo modificó las puertas múltiplos de 10…

—O sea, solo la 10 —intervino Sal. —Eso es —dijo ella —Ahora viene la pregunta…

—¿Qué le pasaba al botones? —interrumpió Ven con una sonrisa pícara.

—¡Jajajajajajajajajaja! No, Ven —le contestó Mati —La pregunta es ¿qué puertas estarán abiertas al final?

Los niños se quedaron un rato muy serios pensando… Gauss también puso cara de interesante.

—La 1 se queda abierta seguro… —decía Ven —porque el botones solo pasa una vez, la primera.

—La 2 se queda cerrada —añadió Sal —porque cuando pasa la segunda vez la cierra y ya no vuelve a pasar…

—Podemos ir rellenando en una tabla —les propuso Mati —el estado de las puertas después de cada vuelta que daba el botones. Pintamos de verde la puerta que está abierta y de rojo la que esté cerrada. En la primera vuelta, el botones abre todas las puertas

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—En la segunda vuelta —continuó la pelirroja —Cierra las puertas pares, o sea, las que son múltiplos de 2.

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—Ahora tiene que cerrar las 3 y la 9 —dijo Sal —y abrir la 6, porque son las 3 habitaciones múltiplos de 3.

—Ajá —confirmó ella.

—Y ahora —continuó Ven —es cuando tiene que abrir la 4 y la 8.

—Muy bien, Ven —dijo Mati

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Al cabo de un rato, los niños tenían la tabla completa.

—¡La 1, la 4 y la 9! —gritó Ven de repente —Ésas son las que quedan abiertas.

—Efectivamente —dijo Mati —¿Y qué tienen de especial esos 3 números que no tienen los demás?

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Otra vez los dos hermanos se quedaron pensativos, Ven miraba de reojo a Sal confiando en que su hermano encontrara la respuesta.

—¿Que son 1, 2 y 3 al cuadrado, Mati? —dijo el gafotas al cabo de un rato.

—Pero, bueno —se sorprendió ésta —¡Eso es! ¡Qué chicos más listos!

—¡Toma, toma, toma! —dijo Ven —¡Mi hermano mola todo!

— Y ¿sabéis qué? —les dijo Mati —si lo hacemos con 100 puertas el resultado es el mismo: las únicas puertas que quedarán abiertas son aquellas cuyo número sea un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

—¿Por qué, Mati? —preguntó Sal enseguida.

—Vamos a pensar cuántas veces cambia el botones el estado de una puerta — les dijo —Si el número es primo (sus únicos divisores son el 1 y él mismo), por ejemplo el 5, el carcelero solo pasa dos veces. En la vuelta 1 y en la vuelta 5, o sea la abre, y después la cierra.

—¡Toma, claro! —dijo Ven. —O sea que los números primos quedarán cerrados al final —continuó Mati — El resto de las puertas, serán modificadas tantas veces como divisores tenga.

Por ejemplo, el 6 tiene 4 divisores, 1, 2, 3, 6. Como el número de divisores es par, el botones pasará un número par de veces, y se quedará cerrada.

—Claro —pensaba Sal en voz alta —Abierta, cerrada, abierta, cerrada.

—En general —dijo Mati —Si el número de divisores de un número es par, esa puerta estará cerrada al final, ¿verdad?

Los niños asintieron con la cabeza.

—Pues bien —les dijo —solo los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores.

—¿Por qué? —insistió Sal —Cualquier número natural mayor que 1 se puede expresar como producto de sus factores primos, de forma única, salvo el orden, claro —empezó a contar Mati.

—No entiendo —admitió Ven torciendo la boquita.

—Por ejemplo, si piensas en 18 —dijo ella —se puede escribir como

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—También se puede escribir como 6 por 3, Mati —dijo Sal. —Sí, pero 6 no es primo, porque tiene 4 divisores: el 1, el 2, el 3 y el 6 — contestó Mati —Y los números primos solo tienen 2 divisores, el 1 y ellos mismos.

—Entonces, vale —afirmó Ven con cara de interesante —Porque 2 y 3 son bastante primos….

—Ahora vamos a contar cuántos divisores distintos tiene 18 —les propuso la pelirroja.

—1, 2, 3, 6, 9, y 18 —dijo el gafotas.

—Efectivamente, Sal —corroboró ella —que se forman con todos los posibles productos de un número de la lista {1,2} y un número de la lista {1,3, 32}

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—¡Toma! Es verdad… —exclamó el pequeño.

—Por lo tanto —continuó nuestra amiga —sabemos que 18 tiene 6 divisores, el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto {1,2}, esto es, 2, por el número de elementos del conjunto {1,3, 3 2}, esto es, 3.

—Ajá… —asintió el gafotas esperando impaciente el desenlace de esta historia.

—Pues ahora pensemos en un número cualquiera, le llamamos n, y pensemos que al descomponerlo en producto de factores primos tenemos que n es igual a a i x b j —les dijo —Vamos a contar cuántos divisores distintos tiene n. En un conjunto ponemos {1, a, a 2, a 3,…, ai}, que tiene i+1 elementos, y en el otro {1, b, b 2, b 3,…, bj}, que tiene j+1 elementos. Por lo tanto, n tendrá (i+1) x (j+1) divisores.

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—Resumiendo un poco para que no nos perdamos —siguió Mati —queremos saber qué puertas quedarán abiertas después de que el botones majareta pase abriendo y cerrando. Sabemos que el botones cambia tantas veces la puerta como divisores tenga el número de la habitación y que se quedará abierta sólo si tiene un número impar de divisores, ¿no?

Los niños asintieron con la cabeza, Mati continuó: —Ahora sabemos que el número de divisores de un número que se descomponga en factores primos como a i x b j es (i+1) x (j+1). Para que este número sea impar, deben ser impares (i+1) y (j+1).

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—Pero si (i+1) y (j+1) son impares —continuó la gafotas —tenemos que tanto i como j son pares, o sea, que i es de la forma 2k y j será de la forma 2m.

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—Pues ya lo tenemos, n debe ser el cuadrado de un número, concretamente si i es de la forma 2k y j de la forma 2m, entonces n es igual a a 2k x b 2m y por tanto n es el cuadrado de a k x b m.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven. —Con esto podemos saber el resultado para 1000 puertas —dijo el gafotas —o para 10000, o para 100000…

—¡O para infinitas! —exclamó Ven. —¿Un hotel con infinitas habitaciones, Ven? —preguntó Sal mirando de reojo a su hermano.

—No creas, Sal —intervino Mati —Otro día os hablaré de un hotel como ése.

—Pero en ese hotel infinito no podremos jugar a esto, ¿no? —dijo Ven divertido —Necesitaríamos un botones demasiado majareta…

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FIN Efectivamente, solo los cuadrados de números naturales tienen un número impar de divisores. En nuestra mateaventura solo lo hemos visto para números de la forma a i x b j, pero, evidentemente, esta misma prueba se puede adaptar para números naturales con cualquier descomposición en números primos.

Hasta muy pronto.

MATI

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Yo quiero tener 42 Amigos

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—¿Cuántos amigos llevas ya, Sal? —Llevo 17 —respondió el gafotas.

—¿Diecisiete? —exclamó Ven muy acalorado —¡No puede ser! No puedes tener más amigos que yo porque tus amigos son mis amigos, y entonces también son amigos de mis amigos…

—Bueno, Ven —interrumpió Sal —, pero si están en mi lista, no pueden estar en la tuya…

—Pero si están en tu lista parece que tú tienes más amigos que yo —siguió protestando el pequeño —, y de eso, nada, ¡tenemos que tener el mismo número de amigos!

—Pero, bueno —Mati acababa de llegar —, eso casi nunca es así, Ven. —Hola, Mati —la saludó Sal —. Estamos haciendo una lista de amigos para regalarles nuestro libro.

—¿Qué es lo que nunca es así, Mati? —preguntó Ven curioso.

—Hola, chicos —dijo esta —. Lo de que tus amigos tengan tantos amigos como tú.

—No entiendo —dijo Ven torciendo la boca.

~ 133 ~

—Según la paradoja de la amistad —continuó ella —es probable que tus amigos tengan más amigos que tú…

—Sí, claro —la interrumpió Ven un poco enfadado.

—¿Qué es la paradoja de la amistad, Mati? —preguntó Sal. —La paradoja de la amistad —les contó —es una propiedad de la Teoría de Grafos…

—¿Grafos como los de Könisberg8? —dijo el pequeño.

—Sí, grafos como los que usó Euler para resolver el problema de los puentes de Könisberg —dijo Mati —. Pues esta propiedad viene a decir que es muy probable que nuestros amigos tengan más amigos de los que tenemos nosotros…

—Pero, vamos a ver —interrumpió Ven —, ¡eso es imposible!

—Mirad, —propuso Mati —vamos a hacer una cosa. Suponed que un conjunto de niños lo representamos con este grafo.

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~ 134 ~

—Los niños son los vértices (los puntitos) —continuó —y si dos niños son amigos, los unimos por una arista (una línea). Como podéis ver hay algunos que son amigos de muchos y otros de muy pocos o de uno solamente.

—-Pobres, ¿por qué no los quiere nadie? —preguntó Ven con cara muy preocupada.

—No, Ven no te preocupes —lo tranquilizó ella —, igual es que los que tienen pocos amigos es que acaban de llegar a esa ciudad o, incluso, que son de otra ciudad. Pensad que si representamos la clase de Ot (que está en Barcelona) y a vosotros, en vuestro caso solo conocéis a Ot. —Ah, claro… —aceptó el pequeño.

— Ahora vamos a contar cuántos amigos tiene cada uno —les propuso —.

Escribimos una tabla con 3 columnas, en la primera ponemos la letra que representa cada niño; en la segunda cuántos amigos tiene y también las letras que representan a cada uno de sus amigo. Junto a cada letra, entre paréntesis, escribimos cuántos amigos tiene cada uno de ellos. En la tercera columna, escribimos la media de amigos de sus amigos.

—Uff, qué complicado… —de nuevo, era Ven el que intervenía mientras miraba a la gafotas con el ceño fruncido.

—Pero, Ven —le dijo su hermano —, Mati nos enseñó a calcular la media9, ¿no lo recuerdas?

—Además, ya verás, Ven, —le dijo Mati —no es tan complicado. Mira: escribimos la primera fila y verás como es más simple de lo que parece.

—Para el vértice A —les contó —, miramos en el grafo y vemos que tiene 2 amigos…

—¡*B* y H! —gritó Ven. 9

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—Tenemos además que B tiene 3 amigos (los que ponemos entre paréntesis) y que H tiene 7 —añadió la pelirroja.

—Ajá, ahor alo veo claro… —dijo el pequeño teatrero.

—Para finalizar —continuó ella —, en la última columna hemos escrito la media entre los 3 amigos de B y los 7 de H que es…

—¡¡5!! —gritaron los dos hermanos al unísono. Hasta Gauss dio un ladrido que sonó casi como 5.

—Muy bien chicos, os veo muy despiertos y tú también Gauss— dijo la pelirroja mientras acariciaba la nuca de la mascota.

—Por favor, Mati —solicitó el pequeño —,déjame que acabe yo la tabla, que ya sabes que me encantan esas cosas.

—Claro que sí, cielo —le respondió.

Con la ayuda de Sal, al cabo de un rato, Ven había completado perfectamente la tabla con los datos correspondientes a cada vértice:

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—Ahora vamos a observar —les propuso —en cuántas filas el vértice correspondiente (a esa fila) tiene más amigos que la media de amigos de sus amigos.

Los niños miraron durante un rato la pizarrra, Gauss también, sus cosas, ya sabéis…

—Solo en dos: para G y para H —dijo con seguridad Sal. —Efectivamente, Sal —confirmó ella — Así que podemos decir que, en este grupo, hay 11 niños que tienen menos amigos que sus amigos y solo 2 que

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tienen más. Es más, si calculamos la media de amigos en todo el grupo (la media del primera dato de la segunda columna), sale 2,5, mientras que la media de amigos de los amigos (en la tercera columna) es de 4,2.

—Es extraño… —dijo Ven pensativo.

—¿Y eso ocurre siempre, Mati? —preguntó el gafotas con cara pensativa.

—Sí, siempre y cuando tengamos una variación en el número de amigos de cada cual dentro del grupo —respondió ella — Esto es: que no todos tengan el mismo número de amigos. Esto es lo que se conoce como la paradoja de la amistad: “en promedio, la gente tiene menos amigos que sus amigos”. Pero lo curioso es que esta paradoja se ha utilizado para cuestiones muy prácticas. Ya contamos alguna para el control de enfermedades10..

—Sí, es cierto —dijo Ven, con carita compungida —, pero te tengo que confesar algo, Mati: no lo entendí muy bien…

—Pero si estaba muy claro —respondió Sal, haciéndose el interesante.

—¡Ah!, ¿sí? Venga explícalo tú, listorro —replicó el pequeño al que le solían molestar ese tipo de intervenciones de su hermano.

—Pues… Esto… —dudó el gafotas.

—¡Ja! ¿Ves? Tú tampoco te has enterado.

—Bueno, bueno, bueno —medió Mati—, ya sabéis que no me gustan estas discusiones. Voy a tratar de daros un ejemplo: me contasteis que hace tiempo en vuestro cole hubo piojos.

—Sí, mamá se puso muy pesada todos los días mirándonos la cabeza sin parar —respondió Sal, al que la intervención de Mati había salvado en una discusión sin salida con su hermano.

—Es normal, esas cosas es mejor atajarlas pronto —dijo Mati —, pero conviene saber cuándo van a aparecer para no desatar la alarma entre los padres y evitar que estén todo el día mirando las cabezas sin parar.

—Y eso, ¿cómo puede hacerse? —preguntó de nuevo Sal.

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—Para tratar de predecir este tipo de cosas, en ciencia lo que se suele hacer es probar con una muestra —respondió la pelirroja.

—¿Una muestra? —esta vez el que intervino con cara extrañada fue Ven. —Sí, si en vuestro cole hay unos 450 niños —les dijo —, podemos escoger un 10% al azar que nos sirvan de muestra —¡45!

—Muy bien, Ven —dijo ella —. Examinamos esos 45 cada cierto tiempo y no pedimos la intervención de los padres hasta que alguno de ellos no tengan “visitantes extraños”. Pero hay una estrategia mejor: escogemos 45 al azar…

—Eso es lo mismo que antes.

—Espera Ven, no te precipites —lo calmó Mati —. Como decía: escogemos 45 niños al azar y ahora les pedimos que cada uno escriba el nombre de un amigo y en vez de examinar a los 45 escogidos inicialmente, nos dedicaremos a examinar periódicamente a los amigos señalados.

—Y, ¿qué ganamos con ello? —preguntó Sal. —Ya verás —anunció la pelirroja co voz misteriosa —: ya sabemos que los piojos se transmiten por cercanía, así que si un niño tiene “visitantes” es fácil que se los pase a sus amigos. Pero sabemos por la paradoja de la amistad que la media de amigos de los 45 escogidos al azar está por debajo de la media de amigos de sus amigos. Entonces, cuando les pedimos que escriban cada uno el nombre de un amigo, estamos escogiendo una muestra que tiene, de media, más amigos y, por tanto, nos permitirá controlar mejor qué está ocurriendo.

—¡Ah! ¡Qué interesante! —dijo Sal pensativamente.—¿Verdad que sí, Sal? — le preguntó ella.

—Y, ¿no podrías poner otro ejemplo? Que me están entrando picores de tanto hablar de piojos —repuso Ven. —Es verdad cielo, a mi también me pasa. Se pueden poner muchos ejemplos.

Pero digamos que esta propiedad de los grafos está relacionada con otras muchas de estadística y que hay que tener en cuenta o para obtener mejores resultados y conseguir una muestra más representativa “más buena”, como en

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el ejemplo de los…, bichitos que acabamos de contar —dijo Mati mirando de reojo a Ven .

—Más buena ¿por qué? —preguntó este.

—Porque observa que si escogemos 45 niños al azar, eso es una muestra del colegio, mientras que si a estos 45 niños les pedimos que escriban el nombre de un amigo a cada uno, lo que estamos consiguiendo es una muestra entre los más populares del colegio y por ello, al tener más amigos, están más expuestos. Pero, también podemos usar este tipo de muestra para otras cosas.

Por ejemplo, Ven, tú estás interesadísimo en los cromos de futbolistas ¿verdad?

—Sí, claro, pero todos en el colegio lo están —dijo el pequeño.

—Pues —continuó la pelirroja —podemos usar la paradoja de la amistad para completar mejor un álbum.

—¿Sí? —preguntó Ven con los ojos como platos.

—Sí, supongo que cuando tienes cromos repetidos intentas cambiarlos y lo primero que haces es probar entre tus amigos, ¿no? —dijo ella.

—Sí —repuso el pequeño que ya empezaba a vislumbrar que su “táctica” no era la más adecuada.

—Pero eso tiene el problema de que siempre intentas cambiar tus cromos entre los mismos —siguió Mati —. Mejor sería si en el recreo te acercas a unos cuantos niños al azar y tratas de cambiar cromos con ellos y aún mejor si te acercas a esos niños al azar y les pides que te acerquen a uno de sus amigos, porque así estarás buscando a los más populares que, al tener más contactos, tienen más posibilidades de haber conseguido ese cromo que te falta y que es tan deseado por ti.

—¡Toma, toma, toma! ¡Me encanta la paradoja de la amistad! —exclamó Ven.

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—Pero hay que tener cuidado —intervino Mati —, porque, a veces las muestras por esta misma razón, nos pueden engañar y dar resultados que nos alejen de la realidad. Ya pusimos un par de ejemplos el otro día11..

—Sí, contabas algo de un gimnasio —dijo Sal.

—Eso es: cuando alguien lleva un tiempo en un gimnasio se puede desmoralizar porque ve que la mayoría de la gente lo hace mejor y se puede llegar a pensar que a los otros le aprovecha mejor —les contó Mati —. Pero hemos de pensar que, si miramos a nuestro alrededor en el momento que estamos en el gimnasio, estamos extrayendo una muestra de la gente que está apuntada al gimnasio y esa muestra está, como dicen los estadísticos, sesgada.

—Ses…, ¿qué? —Preguntó Ven. —Sesgada —repitió la gafotas —, lo que quiere decir que no representa bien a todos los que están apuntados al gimnasio, ya que los que vemos en cada momento son los que están en el gimnasio y es fácil que veamos más a menudo a aquellos que pasan muchas horas allí y que, por tanto, estén en muy buena forma.

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—Toma, claro… —aceptó finalmente Ven. —Y ahora —dijo Mati cambiando el tono —, ¿queréis que os eche una mano con vuestra lista de amigos?

—Yo ya casi tengo la mía… —respondió Sal. —Yo tengo muy pocos aún, Mati —añadió Ven con penita —. Solo tengo apuntados 14.

—Pero, Ven —dijo la pelirroja —-, 14 libros ya son muchos libros… ¿¿cuántos amigos quieres tener??

—42 —contestó el pequeño sin inmutarse.

—¿¿*42*?? —exclamaron a la vez Sal y Mati.

—Naturalmente —respondió el aludido sin apenas inmutarse —, el sentido de la vida, el universo y todo lo demás12 Mati y Sal soltaron una carcajada con la ocurrencia de Ven. Gauss recordó que había tomado más galletas de la cuenta esa semana…

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https://es.wikipedia.org/wiki/El_sentido_de_la_vida,_el_universo_y_todo_lo_dem%C3%A1s

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