CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013
Clasa a VI-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Un pătrat cu latura 9 este împărţit în 81 de pătrate mici cu latura 1. Orice drum între 2 vârfuri ale unor pătrate se poate face numai pe laturi. Distanţa între două vârfuri este egală cu lungimea celui mai scurt drum dintre ele. (10p) a) Câte vârfuri au cele 81 de pătrate mici? (un vârf se numără o singură dată) (10p) b) Să se arate că există 4 vârfuri ale unor pătrate mici cu proprietatea că distanţa de la orice vârf al unui pătrat mic la unul dintre cele 4 alese să fie cel mult 4. (10p) c) Să se arate că nu există 3 vârfuri ale unor pătrate mici cu proprietatea că distanţa de la orice vârf al unui pătrat mic la unul dintre cele 4 alese să fie cel mult 4. SUBIECTUL II ( 10p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) Să se arate că în mulţimea An 1 81 n n N există o infinitate de puteri ale lui 10. Vasile Pop SUBIECTUL III ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 8 pătrăţele din carton cu laturile de lungimi 1, 2, 3, ..., respectiv 8. (10p) a) Să se arate că pot împărţi cele 8 pătrăţele în două grupe astfel încât suma perimetrelor pătrăţelelor din prima grupă să fie egală cu suma perimetrelor pătrăţelelor din a doua grupă. (10p) b) Să se arate că pot împărţi cele 8 pătrăţele în două grupe astfel încât suma ariilor pătrăţelelor din prima grupă să fie egală cu suma ariilor pătrăţelelor din a doua grupă. ( aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale) SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Scrieţi cinci numere naturale cu proprietatea că oricare două nu sunt prime între ele şi oricare trei au cel mai mare divizor comun egal cu 1. (10p) b) Să se arate că, oricum am avea zece numere naturale consecutive, există printre ele unul care să fie prim cu oricare din celelalte nouă numere. (10p) c) Să se arate că, dacă avem cinci numere naturale diferite, cu proprietatea că oricare două nu sunt prime între ele şi oricare trei sunt prime între ele, atunci produsul lor va avea cel puţin 10 divizori primi diferiţi în descompunerea lui. Test conceput de LAVINIA SAVU, CONSTANTIN BĂRĂSCU, DUMITRU DOBRE şi ROZICA ŞTEFAN
Clasa a VI-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1