Subiecte concurs euclid etapa finala 2013

CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013

Clasa a XI-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect.

Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.

SUBIECTUL I ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Fie f : a, b  R o funcţie continuă. Să se arate că există u, v  a, b, astfel încât 1 ba

1

1

1

x

y

z

f x 

f y 

f z 

 f u   f v  , x, y , z  a, b .

(10p) b) Să se construiască o funcţie f :  0,1  R cu proprietatea că, u, v   0,1 există x, y, z   0,1 , astfel încât

1 x

1 y

1 z

f  x

f  y

f z

 f u   f  v  .

Selectată de Gabriel Vrânceanu SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţia f :  0,1  R , derivabilă cu f (0)  f (1)  0 şi cu proprietatea că există a   0,1 cu f (a )  1 . Să se arate că există trei puncte pe graficul funcţiei f astfel încât tangentele la grafic în aceste trei puncte să formeze un triunghi dreptunghic isoscel.

Vasile Pop SUBIECTUL III ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră n  Ν , n  3 şi notăm cu M mulţimea matricelor din  n  Ν  care au toate





elementele diferite între ele şi luate din mulţimea 1,2,3,....., n 2 .

(10p) a)

Să se arate că în mulţimea M există matricea A, astfel încât rang  A   2 .

(10p) b)

Să se arate că în mulţimea M există matricea B, astfel încât det  B   0 .

(10p) c)

Să se arate că în mulţimea M există matricea C, astfel încât rang  C   n  1 .

Sorin Rădulescu şi Ion Savu

SUBIECTUL IV ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţia f : R  R cu proprietatea lui Darboux si funcţia g : R  R , cu proprietatea că g 1  x  nu contine interval , x  R . Să se arate că, dacă funcţia g  f este continuă pe R , atunci funcţia f este continuă pe R .

Ion Savu Clasa a XI-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1