No primeiro caso a fun¸c˜ao f tem exactamente uma raiz, no segundo caso, a fun¸c˜ao f tem trˆes raizes e no terceiro a fun¸c˜ao f tem uma infinidade de raizes em ]a, b[. A “justifica¸c˜ao” ing´enua deste facto ´e simples: se o gr´afico n˜ao apresenta rupturas e se os pontos (a, f (a)), (b, f (b)) est˜ao em semiplanos distintos determinados pelo eixo 0x, ent˜ao necessariamente o gr´afico ter´a pelo menos um ponto (x, f (x)) nesse eixo, o que corresponder´a `a situa¸c˜ao f (x) = 0.2 Por outro lado, ´e tamb´em claro que uma fun¸c˜ao para a qual uma das hip´oteses n˜ao se verifica, n˜ao tem de possuir raizes em ´ o caso de x2 em [1, 2], e ´e o caso ]a, b[. E
4
1
3
de 2
-1
0
x−1 f (x) = 1 x
1
1
1
se − 1 x < 0 se 0 x 1.
no intervalo [−1, 1]. O que falha num caso e noutro?
2
Este teorema tem uma importˆancia central na teoria das fun¸c˜oes reais. Na verdade, ´e um poderoso ustens´ılio para demonstrar a existˆencia de raizes de uma equa¸c˜ao f (x) = 0 onde f ´e fun¸c˜ao cont´ınua. E at´e veremos que o teorema permite determinar aproxima¸c˜oes de uma raiz com erro arbitrariamente pequeno! EXEMPLO 2.1.1. Consideremos a equa¸c˜ao do 3o grau
3
x3 + x + 1 = 0.
2
(2.1)
Como a fun¸c˜ao f (x) = x3 + x + 1 ´e cont´ınua (´e um polin´omio!) e temos f (−1) = −1 < 0,
f (0) = 1 > 0
ent˜ao o teorema garante que (2.1) tem uma raiz c entre −1 e 0.
1
-1
1
-1
2 N˜ ao faremos aqui uma demonstra¸c˜ao do teorema. Poder´ıamos fazˆe-la com base no teorema da sucess˜ao mon´ otona (11, Facto 2.8.1). No entanto, algumas ideias fundamentais da demonstra¸c˜ao est˜ao descritas, com vista a outro fim, nos exemplos 2.1.1 e 2.1.2.
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