transformación trigonométrica

Trigonometría

Trigonometría

Transformación trigonométrica

Contenido

Ejercicios

Introducción

a) Transformación de suma a producto de senos y cosenos

1. En el grafico mostrado determine el valor del ángulo α

Si dos ondas de sonido de la misma amplitud se encuentran en un determinado punto se produce un fenómeno físico llamado Interferencia de Ondas, que puede ser constructiva (Diferencia de fase es δ = 0 ) es decir la amplitud de la onda resultante será el doble que la inicial o destructiva (Diferencia de fase es δ = π ) es decir la amplitud de la onda resultante será nula o se reducirá considerablemente

x+y x−y )cos( ) 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos( )cos( ) 2 2

A

senx + seny = 2 sen(

sen 40 + sen20

x−y x+y )cos( ) 2 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sen( )sen( ) 2 2 senx − seny = 2sen(

Cuando se trata de escuchar música, los auriculares de buena calidad son unos de los mejores accesorios para la experiencia musical posible. Hoy en día, a los amantes de la música que normalmente no quieren renunciar a la calidad de la música que escuchan. Utilizan una tecnología tecnologías aplicadas en el auricular avanzado que es la cancelación de ruido. ¿Cómo hacer la “cancelación de ruido”?

Los Auriculares con cancelación activa de ruido tienen una estructura que crea una barrera que bloquea las ondas sonoras externas; en realidad crear sus propias ondas de sonido que imitan el ruido de entrada en todos los aspectos.

B

cos 2 5x + cos 2 7x = n 3. En la siguiente identidad, determine A + B

sen( A + B ) = senAcos B + cos AsenB...( i )

sen6x + sen 4x + sen2x = Asen(Bx ) sen4 x csc x

sen( A − B ) = senAcos B − cos AsenB...( ii ) De ( i ) + ( ii ) : sen( A + B ) + sen( A − B ) = 2senAcos B

4. Simplifique la siguiente expresión

Haciendo cambio de variable A+B = x x+y x−y ;B = A = A−B = y 2 2 x+y x−y ∴ sen( x ) + sen( y ) = 2sen( )cos( ) 2 2

E=

40 + 20 40 − 20 )cos( ) 2 2

→ sen( 40 ) + sen( 20 ) = 2sen( 30 )cos( 10 )

sen( 40 ) + sen( 20 ) = 2sen(

Existen casos en que las ondas se superponen, generando nuevas ondas que son aprovechados en la electrónica para poder transmitir señales de voz (Baja frecuencia) combinadas con señales de altas frecuencias (Microondas) que tienen la propiedad de viajar largas distancias sin perder sustancialmente su energía, siendo esta técnica la utilizada para la comunicación mediante los celulares.

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80 + 20 80 − 20 )cos( ) 2 2 → cos( 80 ) + cos( 20 ) = 2 cos( 50 )cos( 30 )

cos( 80 ) + cos( 20 ) = 2 cos(

sen2x(cos 8x + cos 4x ) =n cos 6x 6. (UNI2010-I) Si A, B y C son ángulos agudos de un triángulo, calcule el valor de la siguiente expresión

E=

sen2 A + sen2B + sen2C senAsenBsenC

7. (UNI2009-I) Dado el sistema 4π  x + y = 3  sec x + sec y = 1

Las ondas de sonido suben y bajan con una frecuencia y una altura determinadas. Si a esas ondas se le superpone un grupo similar de ondas que bajen donde las otras suben y viceversa, el sonido se "cancela". A este fenómeno se le conoce como interferencia destructiva. El resultado: el usuario puede centrarse en los sonidos que él quiere oír.

Página 1

cos 5x + 2 cos 3x + 3 cos x cos 3x + 2 cos x

5. Determine ( sen2x + cos 2x )2 ; si se cumple:

Ejem.

C

2. Determine cos 12x cos 2x; si se cumple:

Comprobamos las identidades mediante ángulos compuestos según

α cos 40 + cos 20

El valor de cos( x + y ) es

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Trigonometría

Trigonometría

Resolución

4.

7.

1.

cos 5x + 2 cos 3x + 3 cos x E= cos 3x + 2 cos x Reagrupamos y transformamos:

4π x+y = ....( i ) 3 sec x + sec y = 1...( ii )

Del gráfico tomando tan α sen40 + sen20 cos 40 + cos 20 Transfomamos de suma a producto

tan α =

2sen30 cos 10 2 cos 30 cos 10 tan α = tan 30 → α = 30 tan α =

2. cos 2 5 x + cos 2 7x = n

2 cos 2 5x + 2 cos 2 7 x = 2n 1 + cos 10 x + 1 + cos 14 x = 2n cos 14 x + cos 10x = 2n − 2 Aplicamos transformación 2 cos 12x cos 2x = 2n − 2 ∴ cos 12x cos 2x = n − 1 3. sen6x + sen 4x + sen2x = Asen(Bx ) sen 4x csc x Agrupamos convenientemente y transformamos

sen6x + sen 2x + sen 4 x = Asen(Bx ) sen 4x csc x 2sen4 x cos 2x + sen 4 x = Asen(Bx ) sen4 x csc x sen 4 x( 2 cos 2x + 1) = Asen(Bx ) sen 4 x csc x senx( 2 cos 2x + 1) = Asen(Bx ) sen3x = Asen(Bx ) → A+B = 4

cos 5x + cos x + 2 cos 3x + 2 cos x cos 3x + 2 cos x 2 cos 3x cos 2x + 2(cos 3x + cos x ) E= cos 3x + 2 cos x 2 cos 3x cos 2x + 2( 2 cos 2x cos x ) E= cos 3x + 2 cos x 2 cos 2x(cos 3x + 2 cos x ) E= cos 3x + 2 cos x E = 2 cos 2x E=

De( ii ) 1 1 + =1 cos x cos y 2(cos x + cos y ) = 2 cos x cos y x+y x −y 2( 2 cos cos ) = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 2 2π x−y 4π 4 cos cos = cos + cos( x − y ) 3 2 3 x−y 1 −2 cos = − + cos( x − y ) 2 2 1 x−y x−y −2 cos = − + ( 2 cos 2 − 1) 2 2 2

5. sen2x(cos 8x + cos 4x ) =n cos 6x sen2x( 2 cos 6x cos 2x ) =n cos 6x 2sen2x cos 2x = n

2 senx cos y = sen( x + y ) + sen( x − y ) 2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 senxseny = cos( x − y ) − cos( x + y )

Ejercicios 1. Simplifique la siguiente expresión

E=

x−y x−y + 2 cos −3 = 0 2 2 Resolviendo la ecuación

sen4x = n...( i ) Nos preguntan

E =(

( sen 2x + cos 2x ) = 1 + sen 4 x...( ii ) ( i )en( ii ) : ( sen 2x + cos 2x )2 = 1 + n

sen4 x + sen2x )sen5x + cos 8x cos x

3. Calcule el valor de

3 cos 20 − cos 10 sen 40

4 cos 2

E=

x −y 1 x−y = → = 60 2 2 2 Nos preguntan

4. Calcule el valor de la siguiente expresión

→ cos

2

2sen3x cos x − sen4 x 2 cos 2x cos x − cos 3x

2. Simplifique la expresión

Ordenando en una ecuación cuadratica

cos( x − y ) = −

1 2

E = (sen10 + cos 10 )(sen20 + cos 20 ) − cos 10

5. (UNI2010-II) Calcule el valor de:

6.

sen2A + sen2B + sen2C ...( i ) senAsenBsenC De A + B + C = 180

E=

E=

Sea N = sen2 A + sen2B + sen2C

1 − 2sen70 2sen10

6. (UNI2010-I) En un triángulo ABC se cumple a = sen27 ;c = cos 26 ;

N = 2sen( A + B )cos( A − B ) + 2senC cosC 180 −C

7 400 Calcule el área aproximada de la región limitada por la región ABC m∡( A + C ) = 153 30′; sen1 =

N = 2senC(cos( A − B ) + cosC ) N = 2senC(cos( A − B ) − cos( A + B )) N = 4senAsenBsenC....(ii ) ( ii )en(i ) :

7. (UNI2002-I) Simplifique la siguiente expresión

4senAsenBsenC E= senAsenBsenC E=4 17 may. 11

b) Transformación de producto a suma de senos y cosenos

E = cos 6x + cos 4 x + cos 2x − Página 3

17 may. 11

sen7x 2senx Página 4

Trigonometría

8. (UNI2006-II) Dado las ecuaciones sen( x − 45 )sen( x + 45 ) = p 

cos( x − 60 )cos( x + 60 ) = q

Calcule el valor de p + q Resolución 1.

2sen3x cos x − sen4 x 2 cos 2x cos x − cos 3x sen4 x + sen2x − sen 4x E= cos 3x + cos x − cos 3x sen2x 2senx cos x E= = cos x cos x E = 2senx E=

2.

sen 4 x + sen2x )sen5x + cos 8x cos x 2sen 3x cos x E =( )sen5x + cos 8x cos x E = 2sen5xsen3x + cos 8x E = cos 2x − cos 8x + cos 8x E = cos 2x E =(

4.

E = (sen10 + cos 10 )(sen20 + cos 20 ) − cos 10

Mediante Identidad de compuestos E = 2sen( 10 + 45 ) 2sen( 20 + 45 ) − cos 10 Reduciendo E = 2sen65 sen55 − cos 10 Transformamos E = cos 10 − cos 120 − cos 10 1 ∴E = 2

327 5 8000

7.

E = cos 6x + cos 4 x + cos 2x −

1 E= − 2sen70 2sen10 1 − 2( 2sen70 sen10 ) E= 2sen10 1 − 2(cos 60 − cos 80 ) E= 2sen10 1 − ( 1 − 2 cos 80 ) E= 2sen10 2 cos 80 E= =1 2sen10

E=

E=

sen7x 2senx

2senx cos 6x + 2senx cos 4 x + 2senx cos 2x − sen7x 2senx

sen7x + sen( −5x ) + sen5x + sen( −3x ) + sen3x + sen( − x ) − sen 7x 2senx

Simplificando E=

sen( − x ) 1 =− 2senx 2

8.

6.

2sen( x − 45 )sen( x + 45 ) = 2p...( i ) 2 cos( x − 60 )cos( x + 60 ) = 2q...( ii )

B

Transformamos (i) y (ii) 26 30′

E=

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1 Area = (sen27 )(cos 26 )(sen26 30′ ) 2 1 Area = ( 2sen27 cos 26 )(sen26 30′ ) 4 1 Area = (sen53 + sen1 )(sen26 30′ ) 4 1 4 7 5 Area = ( + )( ) 4 5 400 5 Area =

5.

3.

3 cos 20 − cos 10 sen 40 3 2( )cos 20 − cos 10 2 E= sen 40

2 cos 30 cos 20 − cos 10 E= sen 40 cos 50 + cos 10 − cos 10 E= sen 40

cos 50 E= =1 sen 40

Trigonometría

b = cos 26

A

cos( −90 ) − cos( 2x ) = 2p

a = sen27

cos( 2x ) + cos( −120 ) = 2q Sumando las expresiones cos( −90 ) + cos( −120 ) = 2p + 2q 1 ∴p + q = − 4

C

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