I bimestre álgebra 1ero secundaria

ÁLGEBRA

ÍNDICE Pá g.

Cap. 1

Historia del Álgebra - Números Enteros .............................................................................

5

Cap. 2

Adición y Sustracción de Números Enteros .........................................................................

17

Cap. 3

Adición y Sustracción de Monomios ...................................................................................

25

Cap. 4

Adición y Sustracción de Polinomios ..................................................................................

31

Cap. 5

Multiplicación de Números Enteros ....................................................................................

37

Cap. 6

División de Números Enteros ............................................................................................

41

Cap. 7

Potencia con Números Enteros .........................................................................................

51

Cap. 8

Repaso ..........................................................................................................................

59

Cap. 9

Potencia de Exponente Entero ..........................................................................................

65

Cap. 10

Multiplicación Algebraica ..................................................................................................

71

Cap. 11

Valor Numérico ...............................................................................................................

77

Cap. 12

Gráficas lineales ..............................................................................................................

83

Cap. 13

Gráficas de Polinomios Cuadráticos ...................................................................................

91

Cap. 14

Productos Notables I ........................................................................................................

99

Cap. 15

Productos Notables II ....................................................................................................... 105

Cap. 16

Repaso .......................................................................................................................... 111

ÁLGEBRA  2010 - TRILCE Departamento de Publicaciones Lima - Perú TRCO1SLIAL1B-10.pmd

1er año de secundaria

Cap. 17

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita................................................................... 119

Cap. 18

Planteo de Ecuaciones I ................................................................................................... 125

Cap. 19

Planteo de Ecuaciones II .................................................................................................. 131

Cap. 20

Sistema de Ecuaciones I .................................................................................................. 135

Cap. 21

Sistema de Ecuaciones II ................................................................................................. 141

Cap. 22

Sistema de Ecuaciones III ................................................................................................ 147

Cap. 23

Planteo de Sistema de Ecuaciones .................................................................................... 153

Cap. 24

Repaso........................................................................................................................... 157

Cap. 25

Polinomios con Coeficientes Fraccionarios y Valores Numéricos Fraccionarios........................ 163

Cap. 26

Ecuaciones con Números Fraccionarios.............................................................................. 173

Cap. 27

Problemas de texto con Ecuaciones Fraccionarias ............................................................... 181

Cap. 28

Manejo de Fórmulas ........................................................................................................ 191

Cap. 29

Inecuaciones de Primer Grado .......................................................................................... 197

Cap. 30

Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado........................................................................ 205

Cap. 31

Repaso........................................................................................................................... 215

1

Historia del álgebra Números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Síntesis Histórica del Álgebra 1. Una Aclaración Necesaria.

Para ocuparnos de la evolución algebraica es necesario tener una idea clara y precisa de lo que es el álgebra. Por que si vamos a incluir dentro del álgebra cualquier problema que resolviéramos ahora por procedimientos algebraicos, diríamos que su origen se pierde más allá del siglo XVIII AC. Si vamos a considerar como Álgebra el primer esfuerzo sería por tratar de encontrar un lenguaje y un simbolismo algebraico aunque muy imperfectos; todavía diríamos que su origen está alrededor del siglo III D.C. Pero, el álgebra como generalización de la Aritmética – tal como lo consideraba Newton - ya como sistema orgánico de expresión simbólica y de gran perfección operatoria; sólo podemos encontrarla recién en las cercanías del siglo XVII D.C. 2. ALJUARIZMI. (Siglo IX) Dio a la incógnita el nombre de ‘‘XAI’’, cuyo significado en árabe es «cosa» con el tiempo en vez de la palabra ‘‘XAI’’, se uso abreviadamente su inicial ‘‘X’’. Para representar a la incógnita la cual se consagró a través de los siglos.

3. El Origen de la Palabra Álgebra.

El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro ‘‘Al' Djabr W' Al Mukabala’’ que quiere decir ‘‘transposición y reducción de términos semejantes’’. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente ‘‘Al' djabr’’ o sea Álgebra, a la Teoría de las Ecuaciones.

Nota: Aljuarizmi se le considera padre del Álgebra 4. Aportes griegos Diofanto llego a resolver perfectamente los sistemas de ecuaciones que tienen más ecuaciones que incógnitas y consideraba solamente las soluciones positivas, aún cuando no ignoraba la existencia de soluciones negativas, tuvo verdadera predilección por las ecuaciones indeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas, la Organización Educativa TRILCE

simplificación y la generalización que al álgebra le hacían falta para emprender su vuelo incontenible, la organización de la teoría de las ecuaciones plasmada por primera vez al Álgebra en un libro, el libro se llamó Aritméticas .

Números Enteros 1. Conexión con la Historia Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos ( - ) para designar la resta; de hecho, los signos "+" y "-" estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

5

Historia del álgebra - números enteros En la matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

2. Positivos que no Alcanzan Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear números y formó el conjunto de los números naturales: N = {1, 2, 3, 4 .......} Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareció el 0, y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales: No = {0, 1, 2, 3, 4 ...} Contando con estos conjuntos numéricos, resolvió operaciones: agregó, quitó, dividió, multiplicó. Sin embargo, se le presentaron otros problemas:

b) Las fechas referidas a la Era Cristiana: El año -450 significa el año 450 antes de Cristo y el año +180 significa el año 180 después de Cristo.

Positivos y Negativos en la línea del tiempo. a) Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas.

SENTIDO NEGATIVO 450 Antes

SENTIDO POSITIVO Nacimiento de Cristo

Eladio ha ganado 1800 soles se escribe: +1800 soles.

Pedro ha gastado 4600 soles se escribe: - 4600 soles.

POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL DEBE Y EN EL HABER. Debe () Ganancia de Eladio

¿Cómo indicar temperaturas bajo 0 ? ¿Cómo diferenciar altura y profundidades de la Tierra? ¿Cómo expresar que quedó debiendo algo? a) Si un día oímos decir que la temperatura en Puno es de cuatro grados, nos quedará la duda de si se trata de cuatro grados bajo cero o sobre cero.

+180 Después

Gasto de Pedro

Haber (+) + 1800

 4600

Hay magnitudes que varían en dos sentidos. Por convenio diremos que uno es positivo y el otro negativo.

Para expresar cuatro grados sobre cero se escribe +4° y bajo cero - 4°.

6

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Los números negativos son menores que cero.

Se escriben precedidos por el signo menos ( - ) e indican:

Los números positivos son mayores que cero.

Se escriben precedidos por el signo más ( + ) e indican:       

      

Hacia la derecha.

Hacia delante.

Al norte del Ecuador.

Tiempo posterior al despegue.

Sobre el nivel del mar.

Temperatura sobre cero.

Tengo dinero.

Hacia la izquierda.

Hacia atrás.

Al sur del Ecuador.

Tiempo anterior al despegue.

Bajo el nivel del mar.

Temperatura bajo cero.

Debo dinero.

Para expresar las cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo ( + ).

Para expresar las cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos ( - ).

3. Conjunto de los Números Enteros Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo «+» si está hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De ésta forma obtenemos dos conjuntos:

ZZ -  Conjunto de números negativos.

ZZ+ Conjunto de números positivos.

-

+

-

0 +1 +2 +3 +4 +5

+ -5 -4 -3 -2 -1 0

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros.

ZZ = {.....-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, .....}

-

+ -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

Organización Educativa TRILCE

+4

7

Historia del álgebra - números enteros 4. Valor Absoluto de un Número Entero Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, también se le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras.

El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5.

El valor absoluto de –6 es 6, y se escribe |–6| = 6.

El valor absoluto de

0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

5. El Opuesto de un número entero.

El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de +8 es –8 El opuesto de –15 es + 15 -49 y +49 son números opuestos.

NOTA: Definimos el opuesto de "n" como op(n) = -n 6. Relación de Orden en Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros.

Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha.

Analicemos los siguientes ejemplos: • Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que:

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1 +2

+4 +5 +6 +7 +8

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7.

En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.

• En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos:

+

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda:

8

+4 +5 +6 +7 +8

+5 > +2 > 0 > -1 > -3

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA CONCLUSIONES ÚTILES Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos servirán : p

a

* * * *

r

a

o

r

d

e

n

a

r

n

ú

m

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i b

u

j

a

r

l a

r

e

c

t

a

n

u

m

é

r

i c

a

Todo número entero positivo es mayor que 0.

Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

Todo número entero negativo es menor que 0.

Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Ejemplos: a) +7 > +2 d) –45 > –72

b) +87 > +54 e) +51 > 0

c) –5 > –9 f) 0 > –6

 Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9, +300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9.

Entonces decimos: +300 > +40 > +9 Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su valor es mayor, porque está más a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario; mientras más lejos de 0 esté un número, su valor es menor, porque está más a la izquierda en la recta numérica.

Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valor absoluto mayor, le sigue -40 y luego -9.

-300 < -40 < -9

ANTECESOR

Y

SUCESOR

Otra característica que presenta un conjunto numérico ordenado es que cada número tiene antecesor y sucesor.

Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el que está inmediatamente a su derecha. Observa:

Número

-

Antecesor 8 7 6 5 4 3 2 Antecesor

Sucesor Número

Organización Educativa TRILCE

+

Sucesor 1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Antecesor

Sucesor Número

9

Historia del álgebra - números enteros

Test de Aprendizaje Efectuar los siguientes ejercicios 1.

|+7| =

2.

|-8| =

3.

|0| =

4.

|-15| =

5.

|20| =

6.

op (+3) =

7.

op (-5) =

8.

op (op (-20)) =

9.

op (op (5)) =

10. |op (-100)| =

10

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Practiquemos Nivel I 1. ¿Cuál es el número entero que separa los números positivos de los negativos?

2. ¿Cuál es el número opuesto a –20?

3. ¿Cuál es el opuesto de 30?

4. Si ‘‘x’’ es un número entero; ¿qué valor puede tomar ‘‘x’’ de modo que: 2 < x < 4?

5. Responde las siguientes preguntas: a) Si: 32 grados sobre cero son representados por +32º C. ¿Cómo se representa 5º bajo cero? b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos. ¿Cómo se representa 9 puntos perdidos? c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros, se representa por +5000 nuevos soles. ¿Cómo se representa un retiro de S/. 600?

6. Expresa con números enteros: a) Un submarino se encuentra 85m bajo el nivel del mar.

9. Representa en una recta numérica los siguientes números: +4 ; –6 ; –5 ; –7 ; +1 ; 0 ; –13 ; +8 ; +6 ; –11 a) ¿Cuál es el número más cercano a – 3? b) ¿Qué número esta más alejado de –3?

10.Ordena los siguientes números de mayor a menor.

–6 ; +8 ; –4 ; +12 ; 0 ; –1 ; +15 ; –100 ; +23 ; –16 Nivel II 11. Completa: a) |+4| = |–4| = b) |–8| = | c) op(+7) = d) op(–15) = 12.Si "x" es un número entero, que valores puede tomar "x". (donde "<" es el signo de "menor que") a) –2<x<+3

b) Richard tiene una ganancia de S/. 3219.

b) 2<op(x)<6

c) El año 1243 antes de cristo.

c) |x|<+4

7. Contesta las siguientes preguntas: a) Si: 12m bajo el nivel son indicados por –12m. ¿Cómo se puede indicar 35m sobre el nivel del mar? b) Si: 25m a la izquierda son indicados por –25m. ¿Cómo pueden indicarse 45m a la derecha? c) Si: 3 pisos abajo son indicados por –3 pisos. ¿Cómo puede indicarse 5 pisos para arriba?

8. Representar en una recta numérica los siguientes números: +4 ; –7 ; +9 ; –5 ; +11 ; –6 ; 8 ; –15 ; +6 ; –2 a) ¿Cuál es el número más próximo al origen? b) ¿Qué número esta más alejado del origen?

Organización Educativa TRILCE

|=

d) 2<|x|<4 13.Comenzando desde el sótano de un edificio; un ascensor sube 5 pisos; después 3 más y, a continuación, baja 7 pisos. ¿Dónde se encuentra al final del recorrido?

14.Un avión parte desde un punto situado a 120 Km al oeste de su base y vuela hacia un punto situado a 140 Km al este de su base. ¿Cuántos kilómetros recorrió?

15.Si la temperatura desciende 8 °C cada día; después de 4 días la temperatura es: 16.Un atleta comienza a correr desde el inicio 50m; al final de la carrera retrocede 15m, luego de detenerse inicia un recorrido de 20m, contrario al anterior. ¿A cuántos metros de donde inicio la carrera se encuentra finalmente?

17.Comenzando con 4 °C bajo cero; la temperatura se eleva a 9 °C; después desciende 11 °C y; finalmente, se eleva 7 °C. Hallar la temperatura final.

11

Historia del álgebra - números enteros 18.En el gráfico, cada división corresponde a 7 grados.

De 8 a 9

D e 9 a 10

De 10 a 11

De 11 a 12

-4 2 º

De 13 a 14

De 14 a 15

De 15 a 16

19.Del gráfico anterior, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora se registra? b) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora se registra?

8

20.Del gráfico de la pregunta ‘‘18’’ responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la temperatura en cada una de las horas señaladas?

a) ¿Cuál es el mayor aumento de temperatura? ¿Entre que horas se registra?

b) Completa la tabla con la variación de temperatura.

b) ¿Cuál es el menor aumento de temperatura? ¿Entre que horas se registra?

Autoevaluaciòn 1. Si el campeonato descentralizado de fútbol se realizase con 24 equipos, ¿cuántos partidos se jugaría en el torneo si todos juegan contra todos? ¿Cuál sería la duración, si cada semana se juegan 12 partidos? a) 276 y 23 d) 275 y 23

b) 275 y 24 e) 277 y 27

c) 277 y 25

2. Al termino de una reunión hubieron 28 estrechadas de manos. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortés con cada uno de los demás, dar el número de los participantes. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

3. Una pelota de jebe se deja caer de 24 metros de altura y cada vez que rebota se eleva la mitad de su altura anterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta quedar teóricamente estático?

12

a) 48 d) 56

b) 72 e) 80

c) 64

4. Se ha pagado una deuda de S/. 1 650 con billetes de S/. 20 y de S/. 50. ¿Con cuántos billetes de S/. 50 se pago, si estos son 12 más que los otros? a) 27 d) 30

b) 26 e) 29

c) 28

5. Un señor tiene S/. 200 000 y su hijo S/. 75 000, cada uno de ellos ahorra anualmente S/. 4 000. ¿Dentro de cuántos años la fortuna del señor será el doble de la de su hijo? a) 12 años d) 13,5

b) 12,5 e) 14

c) 13

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Tarea domiciliaria Nivel I 1. De la siguiente lectura, realiza una línea de tiempo de los principales personajes y acontecimientos que encuentre.

Un poco de Historia En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición".

No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (Suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como el padre del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquiriendo finalmente su sentido actual de procedimiento sistemático de cálculo. En cuánto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

Organización Educativa TRILCE

13

Historia del álgebra - números enteros

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponenciales positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d'Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

En 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés Francois Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representa las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las Matemáticas fue el descubrimiento de la Geometría Analítica que contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones.

En el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estilo.

Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la Aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números c

o

m

p

l

e

j

o

s

s

o

n

d

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a

f

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a

a + bi (i  1) , las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk:

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.W. Gibbs encontró en el Álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir: "Investigación sobre las leyes del pensamiento" (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el Álgebra moderna -también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas la ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

14

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 2. Expresa como números enteros.

3.

Nivel II

a) 340 km al norte b) Arquímedes nació en el año 287 antes de Cristo. c) El ascensor está en la planta 5 del sótano.

11.Si Carmen recorre 15 km cada hora. Hace 4 horas estaba:

a) ¿Cuál es el opuesto de 54?

12.Si Pedro hace depósitos de S/. 4 cada semana, al cabo de 4 semanas tendrá depositado:

Rpta: _________________________________ b)

¿

C

u

á

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l

o

p

u

e

s

t

o

d

e

24?

Rpta: _________________________________ 4. Si: ‘‘x’’ es un número entero, que valor puede tomar ‘‘x’’ de modo que: 3 < x < 1.

Rpta: _________________________________ 5. Responda las siguientes preguntas: a) Si 40 grados sobre cero son representados por +40ºC, ¿cómo se representa 8° bajo cero? b) Si 50 puntos ganados se representa por +50 puntos, ¿cómo se representa 18 puntos perdidos? c) Si Elenita deposita +3500 en su cuenta de ahorros; se representa por 3500 dólares. ¿Cómo se representará un retiro de $ 1520?

6. Expresa con números enteros.

Rpta: _________________________________

Rpta: _________________________________ 13.Comenzando el 6 °C sobre cero; la temperatura se eleva 3 °C después desciende 9 °C y finalmente se eleva a 7 °C. Hallar la temperatura final.

14.Un avión parte de un punto situado a 250 km al este de su base; vuela hacia el oeste hasta a un punto situado 320 km al de su base. ¿Qué distancia ha recorrido?

En el gráfico; las barras representan los movimientos (depósitos o retiros) de la cuenta de ahorros del Sr. Valladares en la segunda quincena de Marzo.

+3600 +3000 +2400 +1800

a) Un avión vuela a 140 m sobre el nivel del mar. b) Ricardo hace un retiro de $7000. c) El año 1320 después de Cristo.

7. Contesta las siguientes preguntas: a) Si 24m sobre el nivel del mar son indicados por +24m, ¿cómo se puede indicar 15m bajo el nivel del mar? b) Si 52m a la derecha son indicados por +52m, ¿cómo puede indicarse 35m a la izquierda? c) Si 12 pisos arriba son indicados por +12 pasos, ¿cómo puede indicarse 4 pisos abajo?

8. Representa en la recta numérica los siguientes números: +16; +3; 12; 2; +2; 0; +14; 4 a) ¿Cuál de ellos esta más próximo a +10? b) ¿Cuál de ellos esta más alejado de +10?

9. Ordena los siguientes números de menor a mayor: a) +4; 6; 5; 8; +1; 0; 13 b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12 10.Ordenar los siguientes números de mayor a menor: a) 7; +3; 0; 8; +2; 1; 5 b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12 Organización Educativa TRILCE

-1800 -2400 -3000

15.¿Cuál es el depósito o retiro de cada uno de los días señalados?

16.¿Cuál es el mayor depósito? ¿en qué día se hizo?

17. ¿Cuál es el mayor retiro? ¿con saldo a favor o en contra?

18.¿Cómo finaliza el mes? ¿con saldo a favor o en contra?

Expresa en la tabla de situación de las amigas antes y después de cobrar su sueldo.

Daniela, Carla y Jazmin, trabajan en el Colegio Trilce.

Cada una cobra S/. 1000 al mes.

15

Historia del álgebra - números enteros I. El 30 de marzo a Jazmin se le acabó el dinero del sueldo y necesitaba comprar medicinas para su hijo.

Pidió entonces un vale de S/. 80.

II. Daniela ahorro durante Febrero S/. 120.

III. Carla luego llego a fin de mes sin ahorrar, ni pedir prestado.

IV. El 31 de marzo las tres cobraron su sueldo.

Observa la tabla de beneficios (en millones de soles) de una empresa durante 6 meses. Grafica la tabla y contesta.

Importe en S/.

Antes de Cobrar Después de Cobrar Daniela Carla Jazmin

A continuación responda las siguientes preguntas: 19.¿Cuál de ellas esta en mejor situación económica? ¿cuánto tiene?

20.¿Cuál de ellas esta en peor situación económica? ¿cuánto tiene?

MES

BENEFICIOS

Enero

+12

Febrero

-7

Marzo

+4

a) |5| + |5| = _______________________________

Abril

-12

b) |17| + |29| = ____________________________

Mayo

+8

Junio

-3

Nivel III 21.Calcular:

c) |op(+8)| + |+3| = ___________________________ d) |53|  |29| = ____________________________ 22.Definimos: Min(a;b) = menor de los números entre "a" y "b". op(a) = opuesto de "a".

Calcular:

23.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayor variación en los beneficios? ¿de cuánto fue?

24.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayor disminución en los beneficios? ¿de cuánto fue?

25.Aproxima las siguientes temperaturas a: ...; -20ºC; -10ºC; 0ºC; +10-C; +20ºC; ...

a) |Min (3;5)| = __________________________ b) |Min (18;op (+13))|= ____________________ c) |op (Min (7;4))|= ______________________ d) op|Min (18;32)|= ______________________

16

Temperatura

Aproximación

Temperatura

+33° C

-27° C

+48° C

-7° C

+22° C

-34° C

+16° C

-18° C

+8° C

-39° C

Aproximación

Primer Año de Secundaria

2

Adición y sustracción de números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

1. Representación Geométrica de un número entero.

Todo número distinto de cero se puede representar por una ‘‘flecha’’ que parte del cero y llega al punto correspondiente a dicho número.

Ejm: +4;

3º CASO: Para sumar un número positivo y un número negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número que tenga mayor valor absoluto. (+5) + (-3) = +2

5

?

-5

+5

+

- -6

-5

-4

-3

-2

0

-1

+1

+2

+ 

-  -6

+4 +5 +6

-5

2. Procedimiento para sumar dos números enteros: 1° CASO : Para sumar dos números positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo más (+). (+3) + (+5) = + 8

0 +1 +2

(+257) + (+495) = ____________________________ 2° CASO : Para sumar dos números negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (-).

(-4) + (-2) = -6 -4 + 

-  -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+4

+5

(-76) + (-58) = _______________________________ (-246) + (-349) = _____________________________

Organización Educativa TRILCE

+2

+4

+5

+6

-6 +

- -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 +1 +2

+4

(-61) + (+85) = __________________ (+42) + (-71) = __________________

7 = +7 ; 18 = +18 Observación:

+4 +5 +6 +7 +8

(+23) + (+49) = _____________________________

-2

+1

?

+2

+ -1

0

-1

Nota: Un número sin signo es un número positivo

- -3 -2

-2

(-6) + (+2) = -4

+5

+3

-3

-4

Nota: Si el número es positivo, la flecha se dirige hacia la derecha; pero si el número es negativo, la flecha se dirige hacia la izquierda.

-4

-3

+4

a) Para sumar tres o más números positivos, se usa el primer caso. (+5) + (+32) + (+27) = +64 (+18) + (+9) + (+45) = +72 b) Para sumar tres o más números negativos, se usa el segundo caso.

(-3) + (-2) + (-7) + (-4) = -16 (-24) + (-18) + (-57) = -99 c) Para sumar tres o más números de signos distintos, primero se suman los números positivos, luego los números negativos y finalmente los dos resultados.

(-14) + (+8) + (-15) + (21) + (-2) + (+12) = +10 (+8) + (+21) + (+12) = +41 (-14) + (–15) + (–2) = -31 (+41) + (-31) = +10

17

Adi ci ón y sustr acci ón de número s entero s d) La suma de un número y su opuesto es cero.

(Cero no tiene signo). (+8) + (-8) = 0 (-15) + (+15) = 0 3. Axiomas de la Adición de Números Enteros 1° Axioma de Clausura. La suma de dos números enteros es otro número entero.

Si: a  ZZ y b ZZ  (a+b)ZZ 2° Propiedad Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado.

Si: a  ZZ y b  ZZ  a + b = b + a

Ejemplo:

(14) + (+6) = (+6) + (14) –8

=

8

Si: a  ZZ , b  ZZ y c  ZZ

Ejemplo : [(+8) + (4)] + (+16) = (+8) + [(4) + (+16)]

+20

=

(+12)

+20

4º Axioma del Elemento Neutro: En ZZ el elemento neutro es el cero (0), que al sumarse con cualquier número entero, resulta el mismo número.

0  ZZ ,

a  ZZ



a - b = a + (-b) (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11 5. Escritura Simplificada. (+4) + (-8) = 4 - 8 = -4 (-3) + (-5) = -3 - 5 = -8 (-12) - (-15) + (-13) = -12 + 15 - 13 = -10 (-16) + (+13) + (-3) + (+8) = -16 + 13 - 3 + 8 = 21 - 19 =2 6. Operaciones Combinadas de adición y sustracción.

Para resolver una suma algebraica debemos aplicar correctamente las reglas prácticas que rigen la supresión de signos de colección: 1° Todo signo de colección precedido por un signo ‘‘+’’ puede ser suprimido, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada cual con su propio signo.

entonces: a + (b + c) = (a + b) + c

(+8) +

Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

La adición y la sustracción en ZZ son consideradas como una única operación llamada suma algebraica.

3° Axioma Asociativa. La forma como se agrupen los sumandos no altera el resultado.

(+4) + (+16)

4. Sustracción de Números Enteros.

a+0=0+a=a

(+15) + 0 = +15 (-23) + 0 = -23

7 + (-5 - 9 + 3) = 7 - 5 - 9 + 3 14 + (-5 - 8) + (-2 + 5 + 1) = 14 - 5 - 8 - 2 +5 + 1 2° Todo signo de colección precedido por un signo ’’-’’ puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los números contenidos en su interior con su signo cambiado.

Nota: Signos de colección usuales: ( ); [ ]; { }. (+14) - [(+18) - (+3) + (-15)] = 14 - [18 - 3 - 15] = 14 - 18 + 3 + 15 = 14

5º Axioma del Elemento Opuesto: Todo número tiene un opuesto que sumado con dicho número resulta cero. a  ZZ ,

(-a)  ZZ  a + (-a) = 0

(+13) + (-13) = 0 (-24) + (+24) = 0

18

Primer Año de Secundaria

ร LGEBRA

Test de Aprendizaje Calcular 1.

(+13) + (+12) =

2.

(+15) + (-3) =

3.

(-20) + (+8) =

4.

(-10) + (-5) =

5.

(-3) + (+10) =

6.

-3 + 8 =

7.

+4 + 5 =

8.

2 - 10 =

9.

-9 - 15 =

10. -12 + 3 =

Organizaciรณn Educativa TRILCE

19

Adi ci ón y sustr acci ón de número s entero s

Practiquemos Nivel I

7. Calcula las siguientes operaciones:

1. Representa con una ‘‘flecha’’ cada uno de los siguientes números. a) +5 c) –5

b) –3 d) +8

b) (–3) + (–5) d) (–9) + (+6)

a) 40 + 25 + 5 –17 – 8 = _______________________ b) – (–15) + (–7) – 5 + (–3) = ______________________ c) –9 – (–5) + (–11) – (–12) + 5 – (–7) = _____________

3. Calcular: a) c) e) g)

b) –(4 – 2 + 3) + 5– 12 – (–5 + 3 – 4) = ______________ 8. Efectúa las siguientes operaciones:

2. Calcula y representa en una recta numérica: a) (+3) + (+5) c) (+7) + (–4)

a) –3 + 9 – (5 – 14 + 7) = _______________________

9. Restar:

123 + 254 (–27) + (–54) (+59) + (–35) (–48) + (+25)

b) d) f) h)

2415 + 1324 –234 – 342 748 – 563 –287 + 95

a) (–23) de (–12) = _____________________________ b) (+34) de (+9) = ____________________________ c) (+12) de (–17) = ____________________________

4. Calcular: a) (+25) + (+13 + (+42)) = _____________________ b) (–46) + (–24) + (–18) = _____________________ c) –81 + 153 – 76 = ___________________________ d) 746 – 256 + 601 – 972 = _____________________ 5. Escribe en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y el axioma utilizado. a) (–5) + 14 = b) [(–2) +

+ (–5) ..................................... ] + 5 = (–2) + [4 +

]

....................................................................... c) 16 + d) (–54) +

= 0 ............................................... = (–54) ....................................

6. Empleando números enteros, calcular las sumas siguientes: a) 30Kg ganados + 13Kg perdidos. _________________________________________ b) 19Kg perdidos + 5Kg ganados. _________________________________________

10.Si: A = (+8) + (–5) – (+7) y B = (–4) – (–6) – (+8) + (–17).

Hallar: A + B Nivel II 11.Si: A = – (–9) + (–3) – (–2) – (+13) B = + (–12) – [+3 – (+7) + (–2)] Calcular: A – B 12.Restar: A = 2 – [– 4 – (–3 – 5 - (–2) – 11)] + 7 De: B = 12 + [ 5 + (7 – (+2) – 4)] – 8 13.Calcular: A + B – C ; si se sabe que: A = 13 – 9 – 5 + 11 B = –7 – {5 – [–8 + (–1 + 3 – 5) – 10]} C = – (–2 + 6) – (–9 + 4) 14.Dadas las expresiones: A = 4 – {2 – [3 – (–1 + 4)] – (1 – 5)} B = [2 – (–1) + (1–9) – 25] – [1 – (–4 + 9)] Hallar el valor de: B – A. 15.Si: A = {(–30) + (–100) – (–5)} – (+8 – 9) B = – (–16 + 2 – 5) – {+5 – (–6 – 9)} Calcular: A – B – [–A – (–A – B)]

c) 10° C de aumento + 19° C de descenso. _________________________________________

20

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 16.Elenita camina 11 pasos a la izquierda de un punto "A"; luego 17 pasos a la derecha y posteriormente 7 a la izquierda. ¿A dónde llega?. Representa en la recta numérica el problema si el punto "A" coincide con cero y cada paso mide una unidad.

17. Encuentra el término que falta: a)

– 8 = –3

c) –8 –

b)

=3

–6=4

d) 9 –

18.Plantea los siguientes problemas y resuélvelos: a) ¿Qué número debe restarse a – 8 para que la diferencia sea 8? b) ¿Cuál es el minuendo si el sustraendo es –8 y la diferencia es 6?

19.Un submarino desciende 245m respecto a un punto "A" de la playa y luego asciende 148m. Encuentra la posición del submarino respecto al punto inicial.

= –6

Autoevaluaciòn 1. Calcular el valor de "A" en: A = 19 + 99 + 21 + 98 + 23 + 97 + ... + 60 a) 7 700 d) 4 160

b) 6 500 e) 5 500

c) 4 950

4. ¿Cuántos cuadrados como máximo se cuentan en un tablero de ajedrez? a) 68 d) 102

b) 65 e) 204

c) 63

5. Se define:

2. Encuentra el valor de: 13

x-2

 (4n  5)

= 4x + 1

n1

Hallar el valor de "a", si: a) 237 d) 267

b) 247 e) 277

c) 257

a

3. Los términos de una sustracción suman 1120. Si el doble de la diferencia es 5 veces el sustraendo, ¿cuál es el valor del menor de los términos? a) 160 d) 210

b) 180 e) 220

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

= 77 c) 6

c) 190

Organización Educativa TRILCE

21

Adi ci ón y sustr acci ón de número s entero s

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Representa con una flecha cada uno de los siguientes números. a) +7 c) 3

b) -5 d) -4

2. Calcula y representa en una recta numérica: a) (+4) + (+6) c) (+9) + (4)

b) (7) + (4) d) (11) + (+7)

3. Efectuar las siguientes operaciones: a) (+345) + (+134) = ___________________________ b) (+457) + (345) = ___________________________ c) -4599 + (234) = ___________________________ d) (348) + (764) = ___________________________ 4. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+2615)  (+3561) = __________________________ b) (+4539)  (1561) = __________________________ c) (2365)  (4587) = __________________________

8. Un móvil recorre 75 metros a la izquierda del punto ‘‘A’’ y luego recorre 52 metros a la derecha. Expresa su posición respecto al punto ‘‘A’’.

9. Cierto día el termómetro marcó 13 °C a las 11 de la mañana y (9º) a las 9 de la noche. ¿Cuál fue el cambio de temperatura?

10.A = {(50) + (100)  (-7)}  (+8  13) B =  (19 + 3  7)  {+5 - (7  4)} Calcular: A  B  [A  (A  B)] Nivel II 11.Efectuar: a) 5  [3  (4  7(3)  9)] + 6 b) 6 + [4 + (8  (+6)  5)]  9 c) 8  {3  [7 + (3  1)]  7} + 3 Calcule el valor de: A + B + C. 12.Escriba en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y el axioma utilizado. a) (-8) + (-5) =

+ (-8)

Axioma _______________________

d) (+1594)  (2954) = __________________________ 5. Efectuar las siguientes operaciones: a) b) c) d)

Sumar (13) con el opuesto de (15).

Sumar (27) con el valor absoluto de (19).

Restar (+32) del opuesto de (24).

Restar (+46) de su opuesto.

6. Efectuar:

+ [(+3) +

]

Axioma _______________________

c) (-17) +

=0

Axioma _______________________ 7  [+8  3 + 5]  {9 + 5}

7. En el segundo semestre del año 2005, las ventas de la cevicheria ‘‘Chino Limón’’ cambiaron de la siguiente manera: * Julio, subieron 12 mil soles. * Agosto, subieron 6 mil soles. * Setiembre, bajaron 14 mil soles. * Octubre, bajaron 8 mil soles. * Noviembre, bajaron 4 mil soles. * Diciembre, subieron 18 mil soles.

Si a fines de Junio la cevicheria habia vendido 42 mil soles, ¿cuántos miles de soles vendió ‘‘Chino Limón’’ en el año 2005?

22

b) [(+3) + (-4)] + (-7) =

d) (-45) +

= (-45)

Axioma _______________________

e) [(+3) +

] + (-5) = (+3) + [(-2) +

]

Axioma _______________________ 13.Un buzo desciende 104 metros respecto a un punto ‘‘A’’ en la superficie del mar y luego asciende a 54 metros. ¿Cuál es la posición del buzo respecto al punto ‘‘A’’?

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 14.Se denomina amplitud térmica a la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima registrada en un lugar. Observa la tabla correspondiente al día 30 de enero del 2006 y responde:

a) b) c) d)

15.La empresa de viajes San Ricardo, vende pasajes de avión para los vuelos nacionales e internacionales.

Averiguar con base en la tabla los valores en miles de soles e investiga el significado de esta expresión: a) Ganancias al año. b) Pérdida al año c) ¿Cuánto ganó o cuánto perdió la empresa en el año?

Lugar

Máxima

Mínima

Puno

8ºC

5ºC

Cuzco

17ºC

2ºC

M ES

V A LO R

M ES

V A LO R

Arequipa

19ºC

3ºC

E n ero

8200

Ju lio

11200

Juliaca

6ºC

7ºC

F eb rero

-5 4 0 0

A go sto

-1 0 0 0

M arz o

7500

S ep tiem b re

-2 0 0 0

A b ril

-1 0 0 0

O ctu b re

-4 0 0 0

M a yo

8900

N o v iem b re

12000

Ju n io

104000

D iciem b re

15000

¿Qué ciudad registró la mayor amplitud térmica? ¿Qué ciudad registró la menor amplitud térmica? ¿Cuál fue la menor temperatura? ¿Cuál fue la temperatura mas próxima a cero?

Organización Educativa TRILCE

23

3

Adición y sustracción de monomios

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Término Algebraico

Grados de un monomio

Es aquella expresión algebraica que relaciona constantes (números) y variables (letras) por medio de las operaciones de multiplicación y división.

Exponentes de sus variables

P( x, y ,z)  -4 x4 y 7 z 8

1. Grado Relativo (G.R.) Esta indicada por el exponente que afecta a la variable.

2. Grado Absoluto (G.A.) Esta indicado por la suma de todos los grados relativos del monomio.

Variables

Coeficiente

Ejemplo: Encontrar el GR(x); GR(y); GR(z); GA(M) de:

Signo del término

La parte literal esta dada por las variables y sus respectivos exponentes.

Términos Semejantes.

Dos o más términos, son semejantes si dichos términos poseen la misma parte literal afectados de los mismos exponentes. La adición o sustracción de 2 o más términos semejantes se reducen a un solo término algebraico.

 Son términos semejantes

5x3; 9x3;15x3 3x y ; 7x y ; 4x y ; 4y x

 Son términos semejantes

4x4y5 ; 3x5y4

 No son términos semejantes

2 3

2 3

2 3

3 2

Ejemplo: Si: 5x7yb-4 es semejante con 8xa+3 y2 Hallar: a+b Si son semejantes, entonces las variables deben de poseer los mismos exponentes:

 

En "x": 7 = a + 3 En "y": b - 4 = 2

a=4 b=6

a + b = 4 + 6 = 10

Monomio Es un término algebraico; con variables afectados de exponentes enteros y positivos.

Ejemplo:

2 5 3 4x y ; x y ; 3 5 3

4

Solución: GR(x) = 7 GR(y) = 5

GA = GR(x) + GR(y) + GR(z)

GR(z) = 3

GA = 7 + 5 + 3 =15

Adición y Sustracción de Monomios.

Se presentan dos casos: 1° Si son semejantes se efectúan las operaciones indicadas solo con los coeficientes y luego se le agrega la parte literal.

Ejm:

Solución:

5

M(x;y;z) = 5x7y5z3

3 7

5 3

3x y

5x ; 7x y ; 9x y ;

3

2x

4

 Son monomios

5x3 + 7x3 = (5 + 7)x3 = 2x3 8x2y  13x2y + 2x2y = (8  13 + 2) = 3x2y 2° Si no son términos semejantes la operación queda indicada, no se puede efectuar.

Ejm: 4x3 + 5x2 = 4x3 + 5x2 3x2y - 9x2 + 5y = 3x2y - 9x2 + 5y Nota: En este caso, la suma indicada se llama Polinomio de dos o más términos.

 Son monomios

Organización Educativa TRILCE

25

Adició n y sust racció n de m onom io s

Test de Aprendizaje Simplificar 1. +2a + 3a = 2. 3a2 - 7a2 = 3. -8mn - 10mn = 4. -4x2y + 2x2y = 5. 8a + 5a2 = Dados los siguientes monomios, completar: 6. A(x, y) = 7x2y3 GR(x) = GR(y) = GA(A) = 7. R(a, b, c) = -9a2bc5 GR(a) = GR(b) = GR(c) = GA(R) = 8. I(x, y) = 22x3y4z5 GR(x) = GR(y) = GR(z) = GA(I) = 9. Si: t1 = 3xay3, t2 = 8x4yb son semejantes Hallar "a + b"

10.Sumar: 3x2yz ; 5x2yz ; -2x2yz ; -3x2yz

26

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Practiquemos Nivel I

7. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas características son:

1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes. a) b) c) d) e) f)

 = ............................................. +5r2s – 2r2s + r2s  = ........................................ +7rs2 – 2rs2 + rs2  = ........................................

5xy + 9xy – 5xy = ..........................................

2x2y + 7x2y – 3x2y + 7x2y = ..............................

3x2y2 + 6x2y2 – 7x2y2 – 5x2y2 = ....................... +

1

3

a

–

2

a

–

a

a) Nombre: R ; coeficiente = –35 ; Grado relativo a: x = 4 ; Grado relativo a: y = 7. b) Nombre: F ; coeficiente = –28 ; Grado relativo a: x = 7 ; Grado absoluto = 12.

8. Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas características son:

2. Efectuar: a) b) c) d)

4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xy 5m + 6m + 7m - 18m 3ab - 4bc - 5ab + 6bc 3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

3. Reducir: a) b) c) d)

3a + 4a + 5a - 3(4a + 5) -6x + 5 - 3(-2x + 4) 3x + 4(3x - 4) + 5x + 4(-5x + 4) 2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2)

4. Efectúa las siguientes operaciones: a) b) c) d)

De 32x4 restar 45x4 = ..........................................

De –17x3y4 restar 8x3y4 = ....................................

Restar –15abc de 7abc = ...................................

Restar –24m3n de –18m3n = ..............................

5. Simplificar: a) b) c) d)

3ab – {2ab – [–5ab – (12ab – 5ab)] – 3ab} –[3x2 – 8x2 – (–12x2 + 23x2)] 4x – {3x+[–5x – (12x – 23x) + 8x] – 13x} + 7x –{3m2 – [2m2 + (3m2 – 8m2) – (–5m2 + 9m2)]}

6. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente; su parte literal, sus grados relativos de cada variable y su grado absoluto. a) b) c) d) e)

E(x,y,z) = –5x3y4z6 L(x,y) = 6x5y3 C(x,y,z) = 24x3yz2 N(x,y,z) = –9xy3z4 A(x,y,z) = 25x6y7z5

Organización Educativa TRILCE

a) Nombre: V; coeficiente = 7 ; Grado relativo a: x = 9. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: z = 4. b) Nombre: C ; coeficiente = –24 ; Grado relativo a: x = 3. Grado relativo a: y = 7 ; Grado absoluto = 15.

9. Si el termino 5xay7 es semejante con el término 8x5yb, hallar: a + b.

10.Si: t 1 = 2x 5yb-3 y t 2 = 7x a-2y 8; son dos términos semejantes, hallar: b – a.

Nivel II 11.Si: t1 = (a+3)x 3yb y t2 = (b+7)x ay5; son términos semejantes, hallar: t1 + t2.

12.Si: t1 = (a+5)x6yb+2 y t2 = (b – 3)xa-5y11; son términos semejantes, hallar: t1 + t2.

13.Calcular el coeficiente del monomio: 3a+b–5x2ayb–2 si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a "y" es 2.

14.Si los términos: axa+by2 ; bx6ya–b ; son semejantes, hallar el valor de: 3a + 2b.

15.Si los términos: 5xn+3yn+5 ; –8x2nym+3 ; son semejantes, hallar el valor de: E = 2m + 3n.

16.Al efectuar la siguiente suma de monomios semejantes mxa + (8 – 3m)x6 – m, se obtiene: 2xb - 2.

Hallar: (a – b) x m

27

Adició n y sust racció n de m onom io s

Practiquemos 1. Hallar "P", si la expresión:

A (x)  P x .

P

x

2

P

.

x

3

P

...

x

a) 4x d) 7x

P

es de octavo grado. a) 12 d) 21

b) 15 e) 25

c) 18

[( x

c) 6x

4. Hallar el grado absoluto del monomio: I(x) = x100 . x121 . x144 ... x1600

2. Hallar "k" para el cual la expresión:

R (x) 

b) 5x e) 8x

k 2 3

) .x

2k  3

k 2

k 2

]x

4

[( x ) .x )

a) 20 000 d) 21 853

b) 20 500 e) 22 000

c) 21 800

5. Si el monomio:

es de octavo grado.

b

N(x,y)  29a x y a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

3. La siguiente expresión: 2 a b

I(x)  (a  b )x

6

ab

b

a b2

x y

Es de grado absoluto 4 y los grados relativos a "x" e "y" son iguales Calcular: E = 3b - 2a

a b

x

4

(b a)x 

Puede reducirse a un monomio, según esto proporcionar el valor de dicho monomio

a) 1 d) -4

b) -1 e) 5

c) -2

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes: a) -2x2 - 8x2 - 15x2 = b) -4abc2 + abc2 - 3abc2 + 12abc2 = c) +5x2y + 10x2y - 7x2y = 2. Sumar los siguientes monomios semejantes: a) -5x3 + 12x3 - 6x3 = b) -3x2yz3 - 5x2yz3 - (-14x2yz3) = c) -8a3b5 + (14a3b5 - 17a3b5) - [-3a3b5 - (+13a3b5)]= 3. Efectúa las siguientes operaciones: a) De 14x5 restar 4x5 b) De 12x4y2 restar 26x4y2 c) Restar 26abc de 14abc d) Restar 28mn3 de 54mn3

28

4. Simplificar: a) b) c) d)

3ab  {5ab  [7ab  (11ab  3ab)]  23ab} [5x2  9x2  (7x2 + 13x2)] + 8x2 6x  {7x + [3x  (x  21x) + 14x]  6x} + 17x {7m2  [m2 + (9m2  4m2)  (5m2 + 2m2)]}

5. Si el término: 12x3yb es semejante con el término 9xay7, hallar: E = a + b.

6. Si: 4x4yb1z2; 2xa+3y7zc2 son dos términos semejantes, hallar: L = a + b  3c.

7. Si: xa+5yb1 es un término semejante con el término: x8y3 hallar: E = 4a + b 8. Si los términos: t1 = (2a + 1)xa-5y2b-5 t2 = (b + 3)x7yb+2 son semejantes, hallar: N = t1 + t2 Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA Nivel II 9. Si los términos: t1 = 3nx2n+4yn+2 t2 = 4mx3nym+2

son semejantes, hallar: t1 + t2 10.Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas características son: a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6; grado absoluto = 9 b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x =n; grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.

13.Calcular el coeficiente del monomio: (2)2m+n8x2m+1yn+2 Si su grado absoluto es 16 y su grado relativo a "y" es 5.

14.Calcular el perímetro de la siguiente figura:

5x 3x

11.Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas características son: a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7; grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5. b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a: x = 3; grado relativo a: y = b  2; grado relativo a: z = 5; grado absoluto = 16.

15.Elenita se encuentra en el sexto piso de un edificio, luego baja al tercer piso; vuelve a subir al quinto piso y finalmente baja al segundo. Si entre piso y piso hay 7x3y2 escalones, ¿cuántos escalones ha bajado Elenita?

12.En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4 L(x,y,z) = 3x2y8z7 P(x,y,z) = 24x4y7z8 Q(x,y,z) = -8x5y4z3

Organización Educativa TRILCE

29

4

Adición y sustracción de polinomios

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Polinomios

Ejm: Sea el polinomio: P( x , y )  2 x 4 y 5z 6  3x 6 y 2 z12  5x 3 y 4 z 6      GA  9 GA 8 GA  7

Definimos Es la expresión algebraica que consta de 2 o más términos no semejantes enlazados por las operaciones de adición y sustracción, cuyas variables están afectadas por exponentes enteros y positivos.

GR(x) = 6 GR(y) = 5 GR(z) = 0

Notación Polinómica.

Es aquella expresión que nos permite diferenciar mediante un sub-índice a las variables de los constantes.

Sea el polinomio "P" de variable "x" e "y" cuya notación es la siguiente:

P(x;y) =

ax 5

+

bx4 y3 +

cy4

Coeficientes o constantes Variables Nombre genérico: Se lee: “P” de “x” e “y” Ejm: P(x,y) = 2x4y – 5x2y6 + 3x4y2z8 Es un polinomio porque sus variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ están afectadas por exponentes enteros y positivos; ‘‘z’’ no es variable y por lo tanto no interesa el exponente que lo afecta.

Ejm: P(x,y) = 4x5 + 2xy-3 + 8x2y4z8 No es polinomio; porque una de sus variables que es ‘‘y’’ esta afectado de exponente negativo.

Grados de un Polinomio 1. Grado Relativo (GR).- Esta indicado por el mayor exponente que afecta a la variable en el polinomio.

2. Grado Absoluto (GA).- Esta indicado por el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.

 GA(P) = 9

Ejemplo: P( x ; y )  5 x 4 y 3 z 4  7 x 2 y 5 z 6  12 x 6 y 4 z5      GA  7

GA  7

GA 10

Calcular: E = GR(x) + GR(y) + GA(P) Solución: Nota: Las únicas que tienen grado son las variables que se encuentran en el sub-índice del polinomio ‘‘P’’.

GR(x) = 6 GR(y) = 5 GA(P) = Al mayor grado absoluto de uno de sus términos GA = 10 E = 6 + 5 + 10 = 21 Polinomio de una variable.- Es aquel polinomio que consta de una variable, donde se puede observar que el grado relativo de la variable coincide con el grado absoluto.

Ejm: Sea el polinomio: P( x )  2 x 5  7 x 8  5 x 2  7 GA  5 GA 8 GA  2 GA  0

Su GR(x) = 8 y su GA = 8 Notación: P(x)=a0xn + a1xn - 1+a2xn - 2 + ..... + an

Organización Educativa TRILCE

31

Adició n y sust racció n de polinom io s Reducción de Polinomios.

Donde: 1. a0 ; a1 ; a2 ; ... ; an

coeficientes.

2. a1: coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado).

3. an: término independiente (término que no presenta variable.)

4. "x": variable.

5. "n"  ZZ+ ; n: Grado del Polinomio (mayor exponente de la variable).

Ejm: Sea el polinomio: P(x) = 7x5 - 2x3 + 8x6 - 4x9 + 5x - 3 Hallar: 1. Su coeficiente principal: -4 2. Su término independiente: -3 3. Grado del polinomio: 9 4. Suma de coeficientes del polinomio: 7 – 2 + 8 – 4 + 5 – 3 = 11

Para reducir polinomios que contienen términos semejantes se agrupan cada clase y luego se reduce cada uno de ellos efectuando las operaciones de sumas y restas según correspondan.

Ejm: P(a,b)=13a2 - 5b2 + 13ab + 8a2 - 10b2 - 2ab + 6b2 - 8ab P(a,b) = (13a2+8a2)+ (13ab- 2ab - 8ab) +(-5b2 - 10b2 + 6b2) P(a,b) = 21a2 + 3ab - 9b2.

Nota: Si hay signos de agrupación dentro de otros, se comienza eliminando los más interiores.

Ejm: Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x-(5x – 2y)] – (x + 3y)} Solución: Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x – 5x + 2y] – x – 3y} = 5x – {-4y – 7x + 5x – 2y – x – 3y} = 5x + 4y + 7x – 5x + 2y + x + 3y Q(x,y) = 8x + 9y

Test de Aprendizaje Dados los siguientes polinomios, completar: 1. P(x, y) = 3x2y5 - 7x4y2 + 8x3y GR(x) = GR(y) = GA(P) = 2. P(x, y, z) = 52x2y4z + 62x3y5z7w3 - 8x5y8w4

3. P(x) = 3x3 + 4x2 - 5x + 7 Grado: Coeficiente principal: Término independiente: Término lineal: Término cuadrático: Suma de coeficientes:

GR(x) = GR(y) =

4. P(a) = 5a2 - 8a4 - a + 5

GR(z) = GR(w) = GA(P) =

Grado: Coeficiente principal: Término independiente: Término lineal: Término cuadrático: Suma de coeficientes:

32

Primer Año de Secundaria

ร LGEBRA 5. Hallar "m" , si el grado absoluto es 15 P(x, y) = xm+1y2 + xm+2y3

6. Si: GR(x) = 4 y GR(y) = 5, hallar "a + b", en: P(x, y) = 3xa+1yb + 7xayb+1

7. Hallar "a", si el grado absoluto es 5 P(x) = 2xa - 5x3

8. Hallar "b", si el grado absoluto es 8 P(x) = 3x7 + 8x2b

9. Si el grado absoluto es 20, hallar "k" P(y) = yk-1 + yk + y2k + 2

10.Si P(x, y) = 5x2y5 + 7x3y + 8xy7 calcular: M = GR(x) + GR(y) + GA(P)

Organizaciรณn Educativa TRILCE

33

Adició n y sust racció n de polinom io s

Practiquemos Nivel I

6. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado, el coeficiente principal, el término independiente, el término lineal (variable de 1er grado); el término de segundo grado y la suma de sus coeficientes: a) E(x) = -3x4 - 2x3 + 7x2 - 8x + 5

c) P(n) =

+ 2n -

Nivel II

A = 3x2 + 8x + 7 2

B=x +7 Con respecto a la diferencia de A y B, indica el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: I. Es un polinomio de tres términos II. Su término independiente es cero III. Su coeficiente principal es 4

( ( (

) ) )

3. Si: R(x) = 5x2 - 7x + 3, indique el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. R(x) es un trinomio

(

)

II. R(x) es un polinomio de segundo grado

(

)

III. El coeficiente de su término lineal es -7

(

)

IV. Su coeficiente principal es 5

(

)

4. Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a) P = 2x3 - 3x + 5 - 4x2 3

Q = 7x + 4 + 3x - 2x R = 3x2 - 5x + 8 - 2x3 Calcular: P + Q + R b) P = 3a2 – 4ab + 4b2 2

c) 4x – {-2y – [6y – (3x – 7y)]}

a2 – ab + b2 ; 7b2 + 3a2 – 8ab ; – 5a2 – 17b2 + 11ab de la suma de: 3b2 – 2a2 + 7ab con – 5ab – 17b2

3n2

2. Dado los polinomios:

2

b) 8y3 + 5x3 – 7x2y – 8xy2 – 3xy2 + 10y3 – 5x2 – 3x3 – 4xy2

7. Restar la suma de:

b) C(y) = 2y2 - 5y5 + 3y3 - 2y + 11y4 - 3 -5n3

a) 15x2 – 8y2 + 6x2 – 9xy – 3xy – 12y2 – 8xy – 7y2

2

Q = 5a – 4ab + 6b

R = -4a2 + 3ab – 7b2 Calcular: P + Q + R 5. Efectúa las siguientes operaciones: a) De 5x – 7 restar 11x + 9 b) De 3x2 – 5x – 4 restar 5x2 + 4x – 6

8. La edad de Miguel es de "2x + 3" años; la edad de su hermano Andrés es de "3x - 7" años menos y la de su hermana Silvia es de "5 - x" años menos que la de Andrés. ¿Cuánto suman las 3 edades?

9. Se compran cuatro casas, la segunda cuesta "x" soles mas que la primera; la tercera "2x - 3" mas que la segunda y la cuarta "3x - 9" soles menos que la tercera.

Si la primera cuesta "5x + 6" soles, ¿cuál es el total de la compra?.

10.Hallar el grado relativo con respecto a las variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ de cada uno de los polinomios siguientes: a) P(x,y) = x4 – 3x3y + 8x2y2 – 5y3 b) Q(x,y) = 7x3y2 – 4xy4 + 6y6 – 3x5 c) R(x,y) = 2x3 + 3x2y – 5xy2 + 7y3 + 4x – y 11.Hallar el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios: a) P(x,y) = 3x4y2 + 5x3y5 – 8x2y3 – 7xy6 b) Q(x,y) = -2x3y2 – 7x3y – 3xy5 + 2x2y3 12.Dado el polinomio: P(x,y) = 5x4z10 + 2xy7z2 – 7x6y3z12 Hallar: GR(x) + GR(y) + GA(P) 13.Si se tiene el polinomio: A(x,y) = 3xa+3y4 + 5xa+1y5 + axay7. Donde el GR(x) = 5 Hallar la suma de coeficientes del polinomio.

14.En el polinomio F(x,y) = xa+1yb+3 + axayb+1 + bxa-1yb+2.

Si se sabe que: el GR(x) = 7 ; GR(y) = 9 ; además: a,b  ZZ+. Hallar la suma de coeficientes del polinomio.

15.Si el grado absoluto del polinomio "P" es 11; determinar el valor de "n": P(x,y) = x3n-1yn – 2x2n-2y2n + xn-3y3n

c) Restar 2x2 + 4x + 9 de – 3x2 + 5x – 7

34

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Autoevaluaciòn 1. Hallar el grado relativo a "x" en el polinomio:

2 n 3

P (x, y)  5y x

a) 1 d) 4

 7x

3 n 5 5

b) 2 e) 5

y  xy

7 n

c) 3

a n n n

n an n n

 5y(n )7 z 

Donde: GR(x) = GR(y) = 16

c) 37

4. Dado el polinomio: P (x)  (x

1 2 3

1

2

3

 1) (x 

2 1

3

1) 

3

1 2

b) 14 e) 4 2

I. Su grado absoluto es 9 II. Sus coeficientes suman 512 III. El término independiente es cero a) VVV d) FVF

Calcular "n" a) 12 d) 18

b) 33 e) 44

Dar el valor de verdad:

2. Sea:

P(x, y)  3x

a) 28 d) 41

c) 16

3. Dado el polinomio: P(x, y) = 2xaya+1 + 7x2aya+3 - axa-6 + aya+7 - 7x2aya+2 Si su grado absoluto es 33, calcular: GR(x) + GR(y)

Organización Educativa TRILCE

b) FFF e) VFV

c) VFF

5. Si el grado absoluto de: P(x, y, z) = xmy2n+1z(xm-1yzn-1 - (xy)mzn) es 17 y GR(y) = 9 Hallar: E = m + n a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

35

Adició n y sust racció n de polinom io s

Tarea domiciliaria Nivel I

7. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado; el coeficiente principal; el término independiente; el término lineal (de primer grado); el término de segundo grado y la suma de sus coeficientes: a) E(x) = 13x3 + 2x5  7x + 18 b) C(y) = 2y5  6y3 + 12y2  32y + 5 c) P(n) = 8n2  5n3 + 7n4  18n + 3

P(x) = 4x3 + 2x2 + 5x  3

Nivel II

Calcular la diferencia entre la suma de sus coeficientes y su término independiente.

3. Sumar los siguientes polinomios: P(x) = 3x2 + 5  8x Q(x) = 2  5x2 + 7x R(x) = 4x2  1 + 2x Calcular la suma de coeficientes del resultado.

4. Calcula la diferencia "P  Q" en cada uno de los siguientes casos: Q = 9x + 2 Q = -2y2 + 4y + 9 Q = 8x2 + 5x4 - 9  3x3 Q = 4x2  3x3 + 7 + 4x

5. De 4x3  6x2 + 9x  12 restar la suma de: x3 + 3x2  5x con 4x2 + 7x + 6.

Dar como respuesta la diferencia entre el coeficiente principal y el término independiente.

6. Dados los polinomios:

9. Pablo es ‘‘2y + 1’’ centímetros mas alto que Antonio y éste es ‘‘y  2’’ centímetros mas bajo que César. Si la altura de César es de ‘‘3y  7’’ centímetros, ¿cuánto suman las alturas de los tres?

10.Se compran cuatro libros; el segundo cuesta "2x + 3" soles más que el primero, el tercero "3x - 8" soles menos que el segundo y el cuarto "7x - 4" soles menos que el tercero. Si el primero cuesta "8x - 5" soles, ¿cuál es el gasto total de la compra?

11.En el siguiente polinomio: P(x;y) = 5x9y7  3x12y7 + 9x17y3 Hallar: GA(P) + GR(x) + GR(y) 12.Sea: a-9 7 a-12 4 a-10 19 Q(x;y) = 2x y + 3x y + 2x y Si: GR(x) = 5; hallar el grado absoluto de ‘‘Q’’.

13.Si: R(x;y) = x a+9ya-5 + xa+7ya + xa+1y3 cuyo grado absoluto es 27.

Hallar: E = GR(x) + GR(y)

P(x) = 4x2 + 2x + 4 Q(x) = 8x3 + 3x2 + x + 5

14.En el siguiente polinomio:

Con respecto a la suma de P y Q, indica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Tiene tres términos II. Su término independiente es 4 III. Su coeficiente principal es 8

8. Suprimir los siguientes signos de agrupación y reducir los términos semejantes en las expresiones siguientes: P = 4x  {2y - [6y  (3x  7y)]} Q = -9x  {2x  3y  [3y  2x  (4y  5x)]} R = -3y + {2x  [5x  (2y  7x)] + 8x} S = 3x  {2y + (3x  5y)  2x + [3y  (2x  7y) + 4x]}

2. Dado el polinomio:

I. P = 5x  7; II. P = 5y2  2y + 4; III. P = 3x5  3x2 + 2x  2x4; IV. P = 2x3  3x + 8;

a) 15x2  8y2 + 6x2  9xy  3xy  12y2  8xy  7y2 b) 8y3 + 5x37x2y  8xy2 - 3xy2 + 10y3  5x2y 3x3 4xy2

( ( (

) ) )

P(x;y) = xa+1y2b+3  xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1  xa+7y2b-3 Donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9. Determinar el GA(P).

15.Señale la suma de coeficientes del polinomio: E(x;y) = x3a+2by2b + ax3a+by2b-1 + bx3a-by2b-3 Donde: G.A. (E) = 18; G.R.(y) = 6

36

Primer Año de Secundaria

5

Multiplicación de números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

* PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR DOS NÚMEROS ENTEROS: 1. Si multiplicamos dos números del mismo signo ; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo mas (+).

Ejm: (+2) (+7) = +14 (–4) (–5) = +20 2. Si multiplicamos dos números de diferentes signos; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (–).

Ejm: (+3) (–4) = –12 (–6) (+5) = –30 Consideramos: Regla de Signos (+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–) * Operaciones combinadas Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta la siguiente prioridad operativa: A. Se resuelven los signos de colección: { } ; [ ] ; (

)

B. Se resuelven las operaciones de multiplicación y división (si aparecen seguidas se resuelven de izquierda a derecha).

C. Después de resolver las operaciones de multiplicación y división, se resuelven las operaciones de adición y sustracción.

4

D. Si se tiene: 3 . 2 ; Primero se desarrolla la potencia y luego se multiplica; es decir: 3 . 16 = 48.

Organización Educativa TRILCE

37

Mult ipli caci ón de número s entero s

Test de Aprendizaje Efectuar: 1.

(+5)(+7) =

2.

(-10)(+4) =

3.

(-7)(-3) =

4.

(+8)(-11) =

5.

- [(-8)(-5)] =

6.

- [(-10)(+2)] =

7.

- { - [(+8)(+12)]} =

8.

(-8)(+2) + (-1)(+4) =

9.

(-4)(-5) + (-2)(-3) =

10. (+7)(-3) - (+5)(-4) =

38

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Practiquemos Nivel I

Nivel II

1. Efectuar:

9. La suma de dos números enteros es –12 y su producto es +35. Hallar dichos números.

a) (+32) (–7) = ............................................... b) (+27) (–13) = .............................................. c) (–214) (+12) = ............................................ d) (–243) (–254) = ..........................................

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 2 (4 + 5) – 4 + [–9 . 3 – 6 + 5] b) –[–(–4 + 6) (–3) – (–2 – 5 + 3)] – 10 + 8 + 15 c) –{–2 – [3 + (6 + 2.4 – 5)]} – {–5 – [8 – (9 + 3 . 2 – 7)]} 3. Efectuar: a) (11 – 4)5 – 4(6 + 2) + 4(5 – 3) – 2(8 – 6) b) 3(9 – 2) + 2(5 – 1) (4 + 3) + 3(6 – 4)(8 – 7) c) 300 – 3(5 – 2) + (6 + 1)(9 – 3) + 4(8 + 1) d) [(5 + 2)3 + (6 – 1)5] [(8 + 6)3 – (4 – 1)2] 4. Efectuar: E = (+3)(-5) + [(-2)(-5) - (+7)(-8)] 5. Si: A = (-4)(-3)+[-(-5)(+2) - (+4)(-2)] B = (-2)(-3)(+4) + (-7)(-2)(-1) C

a

l c

u

l a

r

:

A

.B

6. Si: M = -[-(-2+5) + (-3)(-1)] + (-2)(-3) N = -2+{-[(-3)(+2) - (-4)(+1)] + 7} Calcular: 2N + 3M 7. Desde hace 6 minutos: José está cargando gasolina en el tanque de su camión, a razón de 7 litros por minuto.

En este momento el tanque tiene 51 litros. Indica la cantidad de gasolina que:

10.El triple de un número aumentado en 8 es igual a –10. ¿Cuál es el número?

11.Un terreno cuadrado tiene 169m2 de área y se quiere cercar con 3 hileras de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesitan para cercarlo?

12.Si por cada 3 chapitas; Carlitos puede canjear una botella de gaseosa, ¿cuántas gaseosas podrá canjear con 15 chapitas?

13.Elenita al llegar al edificio donde trabaja de 9 pisos; realiza los siguientes movimientos: 1ro: Su jefe la envía al 3er piso para entregar un informe a su secretaria.

2do: La secretaria envía a Elenita al 6to piso para que lleve el informe donde se encuentra el subgerente para que lo firmará.

3ro: El subgerente envía a Elenita al 9no piso donde se encuentra el gerente general para que le de el visto final.

Si entre el 1er y 3er piso, cada piso tiene 17 escalones y del 3ro al 6to piso cada piso tiene 19 escalones y del 6to y 9no piso cada piso tiene 15 escalones, ¿cuántos escalones subió Elenita?

14.Si: a * b = 5a + 2b a b = b  2a Calcular el valor de: [(-2) E = *(5(-4)] * 4)

[(+3)*(-1)] (3 1)

15.Si: a * b = a2  b2 c d = 2c  d2 ¿Cuál es el valor de: E = (5 * 4)

(3

1)

a) Tenía hace 3 minutos. b) Tendrá dentro de 2 minutos.

8. La diferencia de un número y el triple de –4 es -8. ¿Cuál es el número?

Organización Educativa TRILCE

39

Mult ipli caci ón de número s entero s

Autoevaluaciòn 1. Hallar dos números cuyo producto es 480, sabiendo que al agregar 15 unidades al multiplicador, el producto aumenta a 930, dar la suma de cifras del multiplicador. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

2. Se toma una hoja cuadriculada de 20 por 20 cuadraditos, se dobla en dos uniendo dos puntos opuestos. ¿Cuántos triángulos se formaron? a) 420 d) 400

b) 360 e) 210

c) 110

3. ¿En cuántas veces su valor habrá aumentado el producto de 3 factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en su duplo, el otro en su triple y el tercero en su cuádruplo?

a) 24 veces d) 50 veces

b) 59 veces e) 48 veces

c) 23 veces

4. Se define: a * b = a2 - ab Calcular "x" en: (x + 2) * (x - 1) = 6x a) 1 d) 0

b) 2 e) 7

c) 4

5. Se define xy = x - y + 2(yx) Calcular: M = 12  3 a) 3 d) 2

b) 5 e) 4

c) 7

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Efectúa: a) b) c) d)

(+13) (-17) = ................................................ (+157) (-234) = ............................................

(-347) (+15) = ..............................................

(-756) (+124) = .............................................

2. Calcular: E = (-2)(-7)(+6) - (+3)(-7)(-5)+[-4-(3-(-2)(+5))] 3. Si: A = -{-3-[2-(3-7)+5]} B = +2-{5-[3-(-4-2)-5]} Calcular: A . B 4. Si: M = (+3)[(-2)(+7)-(-3)(-2)(+4)] N = (-2)[-5-(-3)(4) - (+5)(-2)(-1)] Calcular: M . N 5. Efectúa las siguientes operaciones: a) (25 + 2) + 2 . [(2 + 3)(5 2)] 4 . [(26  20) + (15 19)] b) (25.5) 2 + 10 (50.10) – 2 . (3 – 1) + 3 . (16.4) c) 25 + [3(12 2) + 2 (10.5)] (27.9). 3 + 5 (2 + 8) + 3 6. Calcular: E = (13-7)(4) - 5(8+1) + 5(7-4) - 6(9-7) + 3(9-2) + 3(4-1)(3+2) + 3(5-2)(9-7) 7. Si: x = (-2)(+3) + (-5) [-4+2(7-3(4-6))] y = (-5)(-4) [(+6)(-17)-(-11)(+12)] Calcular: M = 3x - 2y

40

8. Un surtidor consume 470L de agua cada hora. Si cada día funciona 12 horas, ¿cuál es el consumo semanal de agua del surtidor?

Nivel II 9. Felipe compró 84 ovejas a $ 54 cada una. Se le murieron 15 y vendió el resto a $ 72 cada una, ¿qué beneficio obtuvo en la operación?

10.La fábrica "Richfer" tiene un gasto diario de $ 2 300.

El gasto acumulado hoy es $ 18 500. Calcula el gasto acumulado: a) Que tuvo hace 4 días. b) Que tendrá dentro de 5 días.

11.El producto de 3 enteros consecutivos es 120. ¿Cuáles son dichos números consecutivos?

12.Elena dispone de 80 soles para su almuerzo durante el presente mes. Si cada almuerzo cuesta 4 soles con 50 céntimos y debe almorzar los 22 días escolares, ¿cuál será su situación económica a fin de mes?

13.La suma de dos números es 144. Uno de ellos es igual a 5 veces el otro. ¿Cuáles son estos dos números?

14.El producto de dos números enteros es 12. Si uno de ellos es primo, hallar la suma de dichos números.

15.Un atleta recorre 3000 metros en una hora, a la 2da hora decide duplicar su recorrido anterior, haciendo una constante en las siguientes horas. Al cabo de 9 horas, ¿cuánto fue su recorrido final?

Primer Año de Secundaria

6

División de números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

¿Es divisible -27 por +9? ¿Es divisible +15 por -7? ¿Cómo podríamos saber si un número entero es divisible por otro número?

Como -27= (+9)(-3), decimos que -27 es divisible por +9.

La división es exacta y da como resultado -3.

Se observa que la división se hará primero con los valores absolutos de -27  9 y anteponiendo el signo -.

Por otro lado, no se puede multiplicar (-7) por otro número entero que nos de (+15), por lo tanto +15 no es divisible por (-7).

El cociente de los valores absolutos de 157 no es exacto (No es un número entero)

Conclusión Dados dos números enteros "a" y "b" decimos que la división

es exacta, o que

"a" es divisible por "b", si la división de los valores absolutos de los números es exacta.

Organización Educativa TRILCE

41

Di vi si ón de número s entero s Ejercicios básicos I. Distribuye los números del cuadro para que se cumplan las multiplicaciones siguientes:

c) (-80)  (-10) =

d) (+36)  (+6) =

-4

3

-7

9

-1

-1 e) (-21)  (+3) =

a) (-4)

= (-36) f) (-1)  (+1) =

b) (+5)

= (-20)

c) (+5)

= (-5)

Sabías que * La división es la operación inversa de la multiplicación.

d) (+10)

= (-70)

Dividendo

divisor

residuo

cociente

* Si residuo es igual a "0": e) (+5)

= (+15)

f) (+1)

= (-1)

Dividendo  divisor = cociente Divisor . cociente = Dividendo Dividir es hallar el número por el que se debe multiplicar al divisor para obtener el dividendo.

II. Distribuye los números del cuadro para que cumplan las siguientes divisiones:

8

-1

6

a) (+1)  (+1) =

-7

6

En la división de números enteros se cumple la siguiente "ley de signos"

1

(+) (+) () ()

   

(+) () (+) ()

= = = =

(+) () () (+)

Nota: a. Al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.

b) (+12)  (+2) =

b. Nunca se puede dividir por el número "0".

Ejemplo:

42

•

5  no se puede dividir..

0

•

0  0, si se puede dividir..

5 Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Test de Aprendizaje Efectuar: 1.

(+8)  (+2) =

2.

(-10)  (5) =

3.

(+20)  (-4) =

4.

(-40)  (-8) =

5.

80  16

6.

45  15

7.

42  7

8.

0  5

9.

 32     8 

10.

 64     32 

Organización Educativa TRILCE

43

Di vi si ón de número s entero s

Practiquemos Nivel I 1. Calcula las siguientes divisiones de enteros. a) (-24)  (+3) =

................................................

b) (+12)  (+2) =

................................................

c) (-15)  (-5) =

................................................

d) (+11)  (+1) =

................................................

e) (+9)  (-9) =

................................................

f) (-6)  (+1) =

................................................

g) (+6)  (-1) = h) 0  (-4) =

d)

75  5

.........................................................

e)

18  6

.........................................................

f)

15  5

.........................................................

3. Calcular: a) 1488  -16 =

................................................

................................................

b) -1517  -37 =

................................................

................................................

c) -6420  12 =

................................................

d) -3015  -45 =

................................................

2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de números enteros.

e) -34858  -601 = ................................................

a)

40  4

.........................................................

f) -9867  -143 = ................................................

b)

15  3

.........................................................

g) -66234  798 = ................................................

c)

48  12

.........................................................

h) 98775  -225 = ................................................

CADA NÚMERO DEL CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DE LA IZQUIERDA DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA.

Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

Obtendrás otro cuadrado mágico multiplicativo.

4.

Producto de cada línea = 12

-1

3

-2

2

4

-1

3

-1

-3

2

-2

1

1

-2

1

-6

-4 6 44

1 -2 -1

1 -2

Producto = 12

 (-1) =

2

2 -1 -3

2

3 -3 -1

1

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 5.

Producto = 8000

Producto = -64

10

-80

-10

-20

20

-20

-40

-5

40

-8 -4-4

 (-5) =

8

-2

4 16

4

1

2

6. Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados son los números de abajo y colocamos en las casillas correspondientes de la derecha .

7. Completa el cuadrado:

8. Reemplaza dentro del a)

-

2

4

3

con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera: 40  8

b)

-10  -2

-25  5

c)

28  -7

-35  -5

d)

-72  6

-48  +6

Organización Educativa TRILCE

45

Di vi si ón de número s entero s Nivel II 9. Calcula: a)

b)

(10)[2   (7 4 3)3] (2) 



(20  10)(18  16) 36  (3  (3))3  

10. Completa cada serie: a) 16 ; -8 ; 4 ; -2 ; ________________________________________ b) 48 ; -24 ; +12 ; -6 ; ________________________________________ c) -80 ; +40 ; -20 ; +10 ; ________________________________________ 11. Calcular el número que falta:

12. Desde hace 5 minutos Gordosky está cargando gasolina en el tanque de su auto, a razón de 7 litros por minuto.

En este momento el tanque tiene "x" litros. Indica la cantidad de gasolina que: a) Tenía hace 3 minutos. b) Tendrá dentro de 2 minutos.

13. Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún le sobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de fertilizante esparció en cada campo?

14.

 b = (a + b) (a - b).

Calcula: 5 3 + -9 -3 S

e

d

e

f

i n

e

:

a

15. Una familia dispone 15 soles para el pago del consumo mensual de energía eléctrica. En el cuadro inferior aparecen los artefactos que posee la familia y el consumo respectivo. Si el costo de 20 000 watt es de 1 sol, y se consideran los meses de 30 días para hallar el consumo mensual. a) ¿Qué pasará a fin de mes? ¿Ese dinero dispuesto será suficiente para el pago del recibo de luz? b) ¿Cuál es la cantidad que sobra o falta?

Watt mes Consumo Total

Importe consumo de energía eléctrica

46

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA

Autoevaluaciòn 1. El número 296 se divide entre cierto número, obteniéndose como cociente la mitad de este y como residuo los 2/3 del cociente. Dar el valor del divisor. a) 12 d) 24

b) 37 e) 48

c) 16

2. Un muchacho debía dividir 6875 por un cierto número, pero el 7 del dividendo lo cambió por 1 y resulta que se obtuvo un cociente inferior en 5 unidades al que debió obtener, pero el resto no varió. Hallar el residuo. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

3. Se tienen tres números consecutivos. Si el cociente del producto de estos tres números entre su suma es 16, ¿cuál es el intermedio? a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

ab

4. Si:

2

(ba)



1 a

Calcular: 10  4 52 a) 5 d) 2

b) 4 e) 1 3

5. Si

ab 

a b 2

c) 3

3

a  ab  b

2

Hallar: (28  6)  (345  344) 1589  1588 a) 351 d) 1

b) 395 e) 27

c) 2

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Calcula las siguientes divisiones de enteros. a) (-48)  (+2) =

c)

56  7

d)

51  17

e)

48  16

f)

14  2

b) (-15)  (-3) = c) (+25)  (-5) = d) (+18)  (-6) = e) (+15)  (-15) =

3. Calcular:

f) (-12)  (-4) = g) (+8)  (-1) = h) 0  (-5) = 2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de números enteros. a)

b)

a) 1440  -12 = b) -6939  +9 = c) -3125  -25 = d) -4096  64 = e) -3322  -22 =

72  6

f) +1024  -16 =

24  3

h) 6860  3430 =

Organización Educativa TRILCE

g) 115148  5234 =

47

Di vi si ón de número s entero s * CADA CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA. Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

6. Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

48

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 7. Completa el cuadro:

8. Reemplaza dentro del

con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera:

a)

-8  +4

-12  - 3

b)

+15  + 5

-75  -15

c)

-81  + 27

+54  -18

d)

+36  - 9

-125  + 5

Nivel II 9. Calcular:

12.El colegio Trilce tiene un gasto diario de $ 700. El gasto acumulado hasta hoy es, en dólares, "x". Calcula el gasto

(16)[5   (3 2  1)3]   a 2

acumulado. a) ¿Qué tuvo hasta hace 5 días?

(30  10)(15  7)  b 28  (2  (2))1   10.Completa la serie:

b) ¿Qué tendrá dentro de 3 días?

13.Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún le sobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de

a) -81; +27 ; -9 ; +3 ; _____

fertilizante esparció en cada campo?

b) +64 ; -32 ; +16 ; -8 ; _____ c) 162 ; -54 ; ____ ; +6 ; +2 11. Calcular:

14.

2 S

e

d

e

f

i n

e

:

a

b *

=

(a

- b2)  (a - b).

Calcula: (3 * -5) * (-7 * 2) 15.Reemplaza ? con "1" ; "-1" ; "n" o el opuesto de "n" para tener una afirmación verdadera ("n" representa un número entero) a) Si n0, entonces el cociente de "n" y el opuesto de "n" es ?. b) n -1 = ? c) El producto de "n" y el opuesto de -1 es ?.

Organización Educativa TRILCE

49

7

Potencia con números enteros

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Es aquella expresión que se representa por:

Resuelve los ejercicios siguientes:

an = P

1) (-200)0 = .............................................................

2) -1759340 = ...........................................................

a Base n Exponente P Potencia

3) -50 + (-5)0 = .........................................................

4) [1720 - 1840 + 1010]0 = ..........................................

Exponente Entero Positivo

TEOREMAS

Definición:

1. Multiplicación de bases iguales: a m x a n = am + n

Siendo :

* a ZZ * n ZZ+

Ejemplo:

 n 2

* (-7)20 . (-7)4 = (-7)24

Ejemplos:

* (12)205 . (12)7 = (12)212

24

* = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 * (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

2. División de bases iguales: m

a

En efecto, como podemos notar el exponente nos indica la cantidad de veces que se va a multiplicar la base por sí misma.

n

a

m n

a

; a0

* (-25)15  (-25)13 = (-25)2 = 625 Observar: 1

1

1. Para: n = 1  a = (1)(a) = a, luego a = a

*

4 3

2. Para: n = 0 

a0

= 1;  a  ZZ ; a  0

2

(-17)  (-17)  (-17) (-17)  (-17)

2

1

(-17)  -17 Ejemplos: * (-2)0 = 1 * -20 = -1 Podemos notar que en el primer ejemplo, el exponente nulo afecta a todo lo que está entre paréntesis y en el segundo ejemplo únicamente el exponente nulo afecta al valor numérico 2, sin tomar en cuenta el signo, por ello obtenemos respuestas distintas.

Organización Educativa TRILCE

Procedemos de izquierda a derecha.

51

Potencia con números enteros Ejercicios resueltos

3. Potencia de Potencia: n (am) = am n Ejemplo: *

3 (52)

*

4 ((-2)3)

=

1. Reducir: E = (8)4  (-2)5 x (-4)6  (-8)5 Resolución: En este caso procedemos de izquierda a derecha.

1er PASO:

56

= 15625

En este caso procedemos de izquierda a derecha.

(8)4 : (-2)5

= (-2)12 = 4096

Observación:

a

x

y

x

 (a )

y

2do PASO: Por Ley de signos:

En efecto:

8

4

2

5

3er PASO: Uniformizando bases y por potencia de potencia:

  2

3

4

5

2 LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN ( + )PAR

= (+)

( + )IMPAR = ( + ) ( - )PAR

= (+)

( - )IMPAR

= (-)

12



2

5

2

4to PASO: Ley de signos y la división de bases iguales, obtenemos: -27. Tenemos : -27 . (-4)6 5to PASO: Ley de signos y uniformizando bases, y potencia de potencia, obtenemos: - 27 . (-22)6 = -27 . 212

Observaciones:

6to PASO:

1. Cualquier número entero positivo elevado a un exponente positivo par o impar, tendrá siempre una potencia positiva.

2. Si se tiene una base entera negativa, entonces obtendremos:

Producto de bases iguales, obtenemos -219. Tenemos: -219  (-8)5 7mo PASO: Ley de signos, uniformizando bases y potencia de potencia

(Negativo)Par = Positivo

tenemos: -219 (-23)5 = -219 -215

(Negativo)Impar = Negativo

8vo PASO: División de bases iguales, tenemos: 24 = 16

Ejemplos: (-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343

(entero negativo)

(-10)2 = (-10)(-10) = 100

(entero positivo)

Antes de comenzar a practicar, observemos éste ejercicio resuelto, con la finalidad de ilustrar nuestros conocimientos teóricos:

52

Primer Año de Secundaria

ร LGEBRA

Test de Aprendizaje Efectuar: 1.

(+5)2 =

2.

(-5)2 =

3.

(+2)3 =

4.

(-2)3 =

5.

-(-2)2 =

6.

-(-3)3 =

7.

80 =

8.

(-8)0 =

9.

-80 =

10.

(102 - 100)0 =

Organizaciรณn Educativa TRILCE

53

Potencia con números enteros

Practiquemos Nivel I

5. Calcular la potencia de potencia de:

1. Hallar cada una de las siguientes potencias: 2

a) 15 =

.....................................................

b) (-5)2 =

.....................................................

4

(3)  

5

b)

(5)  

0

 

6

=

..............................................

=

..............................................

c) -2 =

.....................................................

d) (-2)4 =

.....................................................

c) (-42)3

=

..............................................

e) (-3)5 =

.....................................................

d) (82)3

=

..............................................

e) (69)3

=

..............................................

f) (-23)5

=

..............................................

2. Calcular las siguientes potencias y contesta: 12 ; 13 ; 120 ; 18 ; (-1)7 ; (-1)4 ; (-1)6 ; (-1)5 ; (-1)11 a) ¿Cuánto valen todas las potencias de 1? b) ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente par? c) ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a un exponente impar? d) Determine el valor de: (-1)759376581 ; -1200730012 3. Calcula los productos de las siguientes potencias de igual base. a) 32 . 33 =

.............................................

b)

(-2)4

(-2)2

c)

(-1)7(-1)5

=

= ............................................. .............................................

4. Calcular el valor de los siguientes cocientes: 5

a)

b)

c)

d)

2

22



(7) 

8

(7) 

5

...................................................

53 9 2  6 2   a) 32  60  120    

0 

.................................................................... b) (-7)9 . (-7)6 : (-7)10 . (-7)3 : (-7)8 = ....................................................................

2 3 2  2     c)   5  :  55  :   5 2            .....................................................................

7. Ordenar de mayor a menor: A = (-3)2 . (-3)3  (-3)4



...................................................

200060 0

(2600)  (13) 

2000

(13) 

1998

(9) 

777

(9) 

774

 ....................................................

(4)5 B=  42 C = (-1)100 (-1)99 D  (2) 

 ...................................................

0 43

8. Siendo:

3 200 0 A  (17) 0  151  (3) 4 

...................................................

 215  f)  12    2 

...................................................

e)

6. Simplificar:

.............................................

(-1)3

d) (-5)3 . (-5)2 =

2

54

3

a)

0 20 50 B  (15)3  (90) 0  (4) 2 Hallar el valor de: AB. Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 13.Si: a * b = a2 - b2 c d = c3 - d2

Nivel II 9. Simplificar:

Determine el valor de:

I. [(-72)3 . (73)2] (74)3

E = [(-3) * 2]  [5 * (-6)]

II. [12x(-12)3 . (-12)4] [(-12)5 . (-12)2 ] III. [85 215]5

14.Si: a = a3 ; cuando "a" es par.

(2)(3).  16  (25)9

10.Simplificar: E 

11.Reducir: E 

4

(5)(9)(16)  3  4

a = a2 ; cuando "a" es impar.

4

Calcular: E =

2110. 2515. 167

A

B

-

2

-

7

2014.3510.156. 92

15.Siendo:

12.Luego de reducir: 4

4

3

18 .72 .60

a

4

a

6002. 367 700 4.153

b b

=a-1

; si: a < b

2

=b+1

; si: a > b

Determinar el valor de:

492. 3003. 252

4

3 -4

3

1

Hallar: (A - B)3  (B - A)2

Autoevaluaciòn 1. Dar el equivalente

A

4. Si:

2x  4

225

2x 3

2x 5

5

 4  25 x 3 16

a) 25 d) 55

b) 35 e) 65

A  81

c) 45

2

R  (0, 25)(0, 5)(0, 3)(0,1)

a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

1

a) 3 d) 6

y B  27

a) 9 d) 18

k 1

b) 4 e) 7

4

b) 12 e) 21

4

2

1

c) 15

5. Efectuar:

1    4 

1 N   4

2 1 .

9

4

c) 10

3. Hallar "k", si: k 1

1

Calcular: A + B

2. Reducir: 1 2

4

2

2  1  24 3  2 2 c) 5

Organización Educativa TRILCE

a) 10 d) 25

1

1    3 

1   3

b) 15 e) 30

1

1    2 

1

1   2 c) 20

55

Potencia con números enteros

Tarea domiciliaria Nivel I 1. Hallar cada una de las siguientes potencias:

5. Efectuar: E = ((-25)6)3 - ((-23)5)6

a) 162 = 6. Efectuar: E = -732

b) (-7)3 = c) -34 =

e)

A

=

2. Calcular los productos de las siguientes potencias de igual base: a) 53 . 52 = b) (-3)3 . (-3)2 = c)

(-1)300 (-1)100 (-1)4477 =

d) (-2)2 (-2)5 = 3. Calcular el valor de los siguientes cocientes: a)

210 2

c)

d)

7

(11)

(11)12

(1998) 0  1998 0  150 3 (  150 ) 2

  310  e)  8  3

   

3

4. Calcula la potencia de potencia de: a) [(-2)3]2 = b) [(-13)0]100 = c) [[(-17)2]3]0 = d) [[(-5)2]3]1 =

56

(5) 3  52

B = (-7)2 (-7)10  (-7)9 C = (-1)20 (-1)50 (-1)15 30

D  (3)2 8. Siendo:

500

A  161

0

100

 ( 14 ) 7  ( 18) 0

B  (200)0

15

b)

50

+ 72

7. Ordenar de menor a mayor:

d) (-5)2 = (-2)5

10

300

70

 (5)2

0

 (20)3

Hallar el valor de : AB Nivel II 9. Simplificar: a) [92 - 970 - 1200][5

2 - 72+173]0

b) (-5)6 . (-5)9  (-5)8 . (-5)4  (-5)10 c) (((-7)2)3)4  (77)3  (-7)3

10.Simplificar: I. [274  (-9)5]2 II. [15.(-15)3 . (-15)4] [(-15)5 . (-15)2] III. [(-92)3 . (33)4] (-272)4 11.Si: a  b = b2 - a ; c $ d = d3 - c Determine el valor de: E = [(-5) # 2] $ [17 # (-4)] Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 13.Simplificar:

12.Si: a = a2 - 1

E

(3)(2)(16)  15  10 13 (32).6  3 (3 )

; cuando “a” es impar.

5 2

14.Reducir: a

= 1 - a2 ; cuando “a” es par.

Calcular:

E

7710.16 8.253 256 .206 . 495 .2210

15.Luego de reducir: 3 5 2 2 0 A  (94 ):(9 )(81 ):(27)

E=

3 - 2

+ -5

B

3 2 (10  ).100 3 (1000)(10  )2



5 3

A Hallar el valor de: B  2 A   3A  B 

Organización Educativa TRILCE

57

8

Repaso

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Test de Aprendizaje 1. |-333| = 2. (+4) - (-3) + (-5) = 3. Dado: M(x, y) = 3x2y4, señalar: GR(x) = _______ GR(y) = _______ GA(M) = _______ 4. Dado: P(x) = 3x - 2x2 + 5 ; señalar: Grado

______________

Coeficiente principal

______________

Término independiente

______________

Término lineal

______________

Término cuadrático

______________

Suma de coeficientes

______________

5. -[(-8) + 5] + [(-4)(+7)] = 6.

32 4  4 2

7. 50 + (-3)0 - 70 = 3

3

8. (22) + 22 = 9. Dado: A(x, y) = 3x2y4 - 5xy9 + x3y; señalar: GR(x) = _______ GR(y) = _______ GA(A) = _______ 10.Calcular:

R  (5)(3) 

(4)  1 2  7(3)  4.(2).   (2)  4

Organización Educativa TRILCE

59

Repaso

Practiquemos 1. Contesta las siguientes preguntas: a) Si 24m sobre el nivel del mar son indicados por +24m, ¿cómo se puede indicar 15m bajo el nivel del mar? b) Si 52m a la derecha son indicados por +52m, ¿cómo puede indicarse 35m a la izquierda? c) Si 12 pisos arriba son indicados por +12 pasos, ¿cómo puede indicarse 4 pisos abajo?

2. Representa en la recta numérica los siguientes números: +16; +3; 12; 2; +2; 0; +14; 4 a) ¿Cuál de ellos esta más próximo a +10? b) ¿Cuál de ellos esta más alejado de +10?

3. Comenzando el 6°C sobre cero; la temperatura se eleva 3ºC después desciende 9ºC y finalmente se eleva a 7ºC. Hallar la temperatura final.

9. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables) cuyas características son: a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6; grado absoluto = 9 b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x =n; grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.

10.Escribe cada uno de los monomios (de tres variables) cuyas características son: a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7; grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5. b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a: x = 3; grado relativo a: y = b  2; grado relativo a: z = 5; grado absoluto = 16.

11.En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4 L(x,y,z) = 3x2y8z7 P(x,y,z) = 24x4y7z8 Q(x,y,z) = -8x5y4z3

4. Un avión parte de un punto situado a 250km al este de su base; vuela hacia el oeste hasta un punto situado a 320km de su base. ¿Qué distancia ha recorrido?

5. En el segundo semestre del año 2005, las ventas de la cevichería ‘‘Chino Limón’’ cambiaron de la siguiente manera: * Julio, subieron 12 mil soles. * Agosto, subieron 6 mil soles. * Setiembre, bajaron 14 mil soles. * Octubre, bajaron 8 mil soles. * Noviembre, bajaron 4 mil soles. * Diciembre, subieron 18 mil soles.

Si a fines de Junio la cevichería habia vendido 42 mil soles, ¿cuántos miles de soles vendió ‘‘Chino Limón’’ en el año 2005?

6. Un móvil recorre 75 metros a la izquierda del punto ‘‘A’’ y luego recorre 52 metros a la derecha. Expresa su posición respecto al punto "A".

7. Cierto día el termómetro marcó 13°C a las 11 de la mañana y (9º) a las 9 de la noche. ¿Cuál fue el cambio de temperatura?

8. A = {(50) + (100)  (-7)}  (+8  13) B =  (19 + 3  7)  {+5 - (7  4)} Calcular: A  B  [A  (A  B)]

60

12.Simplificar: a) b) c) d)

3ab  {5ab  [7ab  (11ab  3ab)]  23ab} [5x2  9x2  (7x2 + 13x2)] + 8x2 6x  {7x + [3x  (x  21x) + 14x]  6x} + 17x {7m2  [m2 + (9m2  4m2)  (5m2 + 2m2)]}

13.Elenita se encuentra en el sexto piso de un edificio, luego baja al tercer piso; vuelve a subir al quinto piso y finalmente baja al segundo. Si entre piso y piso hay 7x3y2 escalones, ¿cuántos escalones ha bajado Elenita?

14.En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado; el coeficiente principal; el término independiente; el término lineal (de primer grado); el término de segundo grado y la suma de sus coeficientes: a) E(x) = 13x3 + 2x5  7x + 18 b) C(y) = 2y5  6y3 + 12y2  32y + 5 c) P(x) = 8n2  5n3 + 7n4  18n + 3 15.Pablo es ‘‘2y + 1’’ centímetros mas alto que Antonio y éste es ‘‘y  2’’ centímetros mas bajo que César. Si la altura de César es de ‘‘3y  7’’ centímetros, ¿cuánto suman las alturas de los tres?

16.Se compran cuatro libros; el segundo cuesta ‘‘2x + 3’’ soles más que el primero, el tercero ‘‘3x - 8’’ soles menos que el segundo y el cuarto "7x-4" soles menos que el tercero. Si el primero cuesta ‘‘8x - 5’’ soles, ¿cuál es el gasto total de la compra?

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 17. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios: a) 15x2  8y2 + 6x2  9xy  3xy  12y2  8xy  7y2 b) 8y3 + 5x37x2y  8xy2 - 3xy2 + 10y3  5x2y 3x3 4xy2 18.Un terreno cuadrado tiene 169m2 de área y se quiere cercar con 3 hileras de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesitan para cercarlo?

19.Un surtidor consume 470L de agua cada hora. Si cada día funciona 12 horas, ¿cuál es el consumo semanal de agua del surtidor?

24. Calcula la siguiente división de enteros: (+18)  (-6) 25. Resuelve la siguiente división exacta de números enteros: 72 6 26.Calcula la siguiente división: -4096  64 27.Calcula la siguiente división: 115148  5234 28. Luego de reducir:

20.Felipe compró 84 ovejas a $54 cada una. Se le murieron 15 y vendió el resto a $72 cada una. ¿Qué beneficio obtuvo en la operación?

A

B

21.Elena dispone de 80 soles para su almuerzo durante el presenta mes. Si cada almuerzo cuesta 4 soles con 50 céntimos y debe almorzar los 22 días escolares, ¿cuál será su situación económica a fin de mes?

22.La suma de dos números es 144. Uno de ellos es igual a 5 veces el otro. ¿Cuáles son estos dos números?

23.Un atleta recorre 3000 metros en una hora, a la 2da hora decide duplicar su recorrido anterior, haciendo una constante en las siguientes horas. Al cabo de 9 horas, ¿cuánto fue su recorrido final?

18 4.72 3.60 4 600 2.36 7 700 4.153 492.300 3.252

Hallar: (A - B)  (B - A)2 29.Hallar la siguiente potencia: 162 30.

0 100 C

a

l c

u

l a

l a

p

o

t

e

n

c

i a

d

e

p

o

t

e

n

c

i a

d

e

:

[

(-

1

3

)

]

Autoevaluaciòn 1. El campeonato de futbol va a durar 39 semanas. Si en cada semana se juegan 4 partidos, ¿cuántos equipos participan sabiendo que se jugarán 2 ruedas? a) 13 d) 14

b) 12 e) 15

c) 11

2. Aumentando en 7 a cada uno de los 2 factores de una multiplicación, el producto aumenta en 364. Hallar el producto original, si la diferencia de sus factores es 5. a) 492 d) 500

b) 512 e) 490

c) 485

3. Si el monomio: P(x, y, z) = 8xm+3n+2py2m+n+3pz3m+2n+p es de grado 40 calcular: m + n + p

a)

10 3

b)

20 3

d)

40 3

e)

50 3

4. En el polinomio F(x, y, z) = 22x2k+pyk+p+2 + 33x2k+p-3yk+p+1 El grado absoluto es 10 y la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 4.

Hallar "k+p" a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) 6 e) 12

c) 8

5. Reducir:

F

2 x  3.16 x  4 8 x  3.4 x  2

a) 4 d) 10

c) 10

Organización Educativa TRILCE

61

Repaso

Modelo de examen bimestral

INSTRUCCIONES 1.

2.

3.

4.

5.

La prueba tiene una duración de 50 minutos.

No se permite el uso de calculadoras Los cálculos auxiliares deberán realizarse en la misma prueba en los espacios en blanco.

No se permite el uso de tablas o fórmulas.

Cualquier intento de copia el tutor o profesor responsable anulará la prueba con nota cero.

1. Relaciona adecuadamente los enunciados de la izquierda con los de la derecha Izquierda

(2,5 puntos)

Derecha +2

A

35 metros a la izquierda, los represento como:

B

El resultado de: Op(-4) + |-8| =

-35 m

C

2 2

Al operar: -5x y + 4x y , se obtiene:

230

D

Calcular: (-2)(+5) - (+4)(-3)

E

¿Cuánto es: 25 . 23 .22 ?

2 2

-x2y2 -12 12 -9x4y4 -2 +35 m 1024

2. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

(2 puntos)

a. Se considera como "Padre del Álgebra" a Aljuarismi ............................................................................. (

)

b. Al sumar dos números que tienen signos diferentes, se restan y se coloca el signo del menor ............. (

)

c. (+8) + (-8) = 0; se aplica la propiedad del inverso aditivo ........................................................................ (

)

d. (+7)(1) = (+7); se aplica la propiedad del elemento neutro multiplicativo ................................................ (

)

3. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro -

Término algebraico divisibles Grado relativo

-

Grado absoluto término semejante Literal

-

Numérica exactos Expresión algebraica

a. Dos términos son semejantes si poseen la misma parte ________________________

(2 puntos)

b. En un monomio; el _______________________ esta indicado por el exponente de la variable. c. En un polinomio; el _______________________ es el mayor grado absoluto de uno de sus términos. d. Si la división de dos enteros es exacta, se dice que estos son _____________________.

4. Resolver lo siguiente: Si: A = {(-50) + (-100) - (-7)} - (+8 - 13) B = - (-19 + 3 - 7) - {+5 - (-7 - 4)}; calcular "A - B"

62

(2 puntos)

Primer Año de Secundaria

ÁLGEBRA 5. Simplificar:

-3ab - {5ab - [7ab - (-11ab - 3ab)] - 23ab}

6. a) En el siguiente monomio, determina: E(x, y) = -5x6y2z4 coeficiente: grado relativo de x: grado relativo de y: grado absoluto:

(1 punto)

(2 puntos)

b) Escribe el monomio que tiene las siguientes (1 punto) características:

_____ _____ _____ _____

Nombre: V Coeficiente: 15 grado relativo de x: 7 grado absoluto: 12 Rpta. ___________________

7. Ordenar de mayor a menor:

A

(5)3 2

5

3

; B = (-7) (-7)

10

(2 puntos)  (-7)

11

;

C  ( 3)2

30

2 3 0

; D = ([(-17) ] )

el orden es: __________________ 8. Si: t1 = (a - b)xa-1y4 es semejante con t2 = (a + b)x4yb+1, Hallar: t1 + t2

(2,5 puntos)

9. En el siguiente polinomio: E(x) = -13x3 + 2x2 - 7x + 18, indicar:

(1 punto)

El grado coeficiente principal

: ________ : ________

término independiente : ________

término lineal término cúbico

: ________ : ________

suma de coeficientes : ________

10.Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante, esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún le sobran 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de fertilizante esparció en cada campo?

(2 puntos)

Organización Educativa TRILCE

63