Matte på liv og død

Matte på liv og død

Kit Yates

Matte på liv og død 7 matematiske prinsipper som påvirker livet vårt

Oversatt av Lene Stokseth

Kit Yates Originalens tittel: The Math of Life and Death.

How Math is (almost) everything Oversatt av Lene Stokseth First published in English by Quercus Editions Ltd, A Hachette UK company Copyright © 2019, Kit Yates Norsk utgave: © CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2022 ISBN 978-82-02-60867-5 1. utgave, 1. opplag 2022 Illustrasjoner: Amber Anderson Sats: Type-it AS, Trondheim 2022 Trykk og innbinding: ScandBook UAB, Litauen 2022 Satt i Sabon og trykt på 60 g Enso Creamy 2,0.

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. www.cappelendamm.no

Til mine foreldre, Tim, Nancy og Mary, som lærte meg å lese, og min søster Lucy, som lærte meg å skrive.

Innhold

Innledning. Nesten alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1. Å tenke eksponentielt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2. Sensitivitet, spesifisitet og fornyet vurdering. . . . .

54

3. Matematiske lover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4. Ikke tro på sannheten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

5. Feil sted, feil tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

6. Nådeløs optimalisering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

7. Mottakelig, infisert, fjernet. . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

Epilog. Matematisk frigjøring . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

Takk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303

Kildehenvisninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307

Innledning

nesten alt

Den fire år gamle sønnen min elsker å leke ute i hagen.

Det han liker aller best, er å grave opp og undersøke småkryp, særlig snegler. Hvis han er tålmodig nok, kommer de forsiktig frem fra det trygge skallet etter det første sjokket over å ha blitt plukket opp, og de setter klebrige slimspor når de glir over de små hendene hans. Når han til slutt blir lei av dem, slenger han dem ubarmhjertig fra seg i komposthaugen eller på plankestabelen bak uthuset.

Da han i slutten av september i fjor hadde funnet og kvittet seg med fem–seks store snegler, kom han bort til meg der jeg sto og sagde opp ved og spurte: «Pappa, hvor mange snegler er det i hagen?» Et tilsynelatende enkelt spørsmål jeg ikke hadde noe godt svar på. Det kunne være 100, eller det kunne være 1000. For å være ærlig ville han ikke skjønt forskjellen. Spørsmålet gjorde meg likevel nysgjerrig. Hvordan kunne vi finne ut av dette sammen?

Vi bestemte oss for å utføre et eksperiment. Neste lørdagsmorgen gikk vi ut for å samle snegler. Etter ti minutter hadde vi funnet til sammen 23 av disse bløtdyrene. Jeg tok 9

matte på liv og død

frem en tusj fra baklommen og tegnet et lite kryss på hvert av sneglehusene. Da jeg hadde krysset av på alle, tømte vi bøtta og slapp sneglene løs i hagen igjen.

Uken etter tok vi en ny runde. Denne gangen fant vi 18 snegler på ti minutter. Da vi undersøkte dem nærmere, så vi at bare tre av dem hadde kryss på skallet, mens de andre 15 var umerket. Det var all informasjonen vi trengte for å gjøre utregningen.

Tanken er som følger: Antallet snegler vi fanget den første dagen, 23, utgjør en gitt andel av den samlede populasjonen i hagen, som vi vil regne ut. Hvis vi kan finne ut hva denne andelen er, kan vi oppjustere antallet snegler vi fant, for å regne ut den samlede populasjonen i hagen. Derfor gjør vi et utvalg til (det vi gjorde den andre lørdagen).

Andelen merkede individer i det forsøket, 3/18, bør være representativt for andelen merkede individer i hele hagen.

Når vi forenkler dette forholdet, regner vi ut at de mer-

Figur 1: Forholdet (3:18) mellom antallet snegler som ble fanget igjen (merket OX) og det samlede antallet som ble fanget den andre dagen (merket O), bør være det samme som forholdet mellom antallet som ble fanget den første dagen (merket X) og det samlede antallet snegler i hagen (merkede og umerkede).

10

nesten alt

kede sneglene utgjør en sjettedel av den samlede populasjonen (se illustrasjon i figur 1). Følgelig oppjusterer vi antallet merkede individer fanget den første dagen, 23, og ganger det med 6 for å regne ut et anslag over antallet snegler i hele hagen: 138.

Da jeg hadde regnet ut dette i hodet, spurte jeg sønnen min – som hadde «passet på» sneglene vi hadde samlet – om hva han syntes om at det var omtrent 138 snegler som bodde i hagen vår. «Pappa», sa han og så ned på skallrestene som klistret seg til fingrene: «Jeg gjorde den død.» Jeg rettet summen til 137.

Denne enkle matematiske metoden, som kalles fangst– gjenfangst, brukes i økologi for å beregne populasjonsstørrelser. Du kan bruke teknikken selv ved å ta to uavhengige prøver og sammenligne overlappingen mellom dem. Kanskje du vil regne ut hvor mange lodd som ble solgt på markedet i nabolaget, eller beregne hvor mange tilskuere det er på en fotballkamp ved hjelp av billettene, i stedet for å gjøre en tidkrevende telling av antall hoder.

Fangst–gjenfangst-metoden blir også brukt i seriøse forskningsprosjekter. Den kan for eksempel gi avgjørende informasjon om den varierende størrelsen på populasjonen av en utrydningstruet art. Når du beregner hvor mye fisk det er i en innsjø,1 kan det hjelpe myndighetene med å avgjøre hvor mange fiskekort man kan selge. Teknikken er så effektiv at bruken av den ikke lenger er begrenset til økologiens verden, men også kan gi nøyaktige estimater for alt fra antall stoffavhengige2 i en befolkning til antall krigsofre i Kosovo.3 Enkle matematiske ideer kan faktisk anvendes så pragmatisk som dette. Det er slike ideer vi skal se nærmere på i denne boken, ideer jeg bruker jevnlig i jobben som matematisk biolog.

11

matte på liv og død

* Når jeg forteller folk at jeg er matematisk biolog, reagerer folk som regel med et høflig nikk før det blir pinlig stille, som om de er redde for at jeg skal spørre dem om de husker løsningsformelen for andregradsligninger eller den pytagoreiske læresetning. Folk blir ikke bare skremt, men har problemer med å forstå at et fag som matte, som de oppfatter som abstrakt, uforfalsket og eterisk, kan ha noe å gjøre med et fag som biologi, som de fleste tenker på som praktisk, rotete og pragmatisk. Denne kunstige begrepsmotsetningen er noe man som regel møter på skolen: Hvis du likte naturfag, men ikke var så begeistret for algebra, ble du skjøvet i biovitenskapelig retning. Hvis du, som meg, likte naturfag, men ikke var så glad i å skjære i døde ting (en gang besvimte jeg da jeg gikk inn på laboratoriet i en disseksjonstime og fikk se et fiskehode som lå på pulten min), ble du ledet i retning av fysikk og kjemi. Og aldri skal de to møtes.

Det var dette som skjedde med meg. Jeg kuttet ut biologi i sjette klasse og konsentrerte meg om matte, fordypning i matematikk, fysikk og kjemi. Da jeg begynte på universitetet, måtte jeg strømlinje fagene ytterligere og var lei meg for at jeg måtte legge biologien bak meg for alltid; et fag jeg mente hadde store muligheter for å endre liv til det bedre.

Jeg gledet meg veldig til virkelig å kunne fordype meg i matematikkens verden, men var redd for at jeg spesialiserte meg i et fag som tilsynelatende var lite egnet for praktisk bruk. Jeg kunne ikke ha tatt mer feil.

Jeg kjempet meg gjennom den rene matematikken vi studerte ved universitetet – pugget beviset for skjæringssetningen og definisjonen av et vektorrom – men lot meg begeistre av kursene i anvendt matematikk. Jeg lyttet til forelesere som snakket om matten ingeniører bruker for å bygge broer 12

nesten alt

som ikke gir resonans eller kollapser i vinden, eller for å designe vinger som sørger for at fly ikke faller ned. Jeg lærte kvantemekanikken fysikere bruker for å forstå det merkelige som foregår på subatomært nivå og den spesielle relativitetsteorien som utforsker de merkelige konsekvensene av at lyshastigheten er konstant. Jeg tok kurs som forklarte hvordan vi bruker matematikk i kjemi, finans og økonomi.

Jeg leste om hvordan vi bruker matematikk i sport for å gi toppidrettsutøvere bedre prestasjonsevner, og hvordan vi bruker matematikk i film for å lage dataproduserte bilder av scener som det ikke er mulig å få til i virkeligheten. Kort sagt lærte jeg at matematikk kan brukes til å beskrive nesten alt.

Det tredje studieåret var jeg så heldig å ta et kurs i matematisk biologi. Foreleseren var Philip Maini, en sympatisk nordirsk professor i førtiårene. Han var ikke bare ledende på sitt felt (senere skulle han bli valgt til medlem av Fellowship of the Royal Society), men det var tydelig at han elsket faget sitt, og entusiasmen smittet over på studentene i forelesningssalen.

Philip lærte meg ikke bare matematisk biologi, men også at matematikere er mennesker med følelser, ikke de endimensjonale robotene de ofte blir fremstilt som. En matematiker er mer enn «en maskin som gjør kaffe til teoremer», som den ungarske sannsynlighetsteoretikeren Alfréd Rényi sa i sin tid. Da jeg satt på kontoret til Philips og ventet på intervjuet til et doktorgradsstudium, betraktet jeg de utallige innrammede avslagsbrevene på veggene fra toppserieklubbene der han på fleip hadde søkt på ledige managerjobber. Vi endte opp med å snakke mer om fotball enn om matte.

Det som ble av avgjørende betydning i denne fasen av studiene, var at Philip hjalp meg med å finne tilbake til biologien. I arbeidet med doktorgraden veiledet han meg gjen13

matte på liv og død

nom alt fra å forstå hvordan markgresshopper svermer, og hvordan man skal hindre dem i det, til å forutsi den komplekse koreografien i utviklingen av pattedyrets embryo og de ødeleggende følgene når rekkefølgen av stadiene forstyrres. Jeg bygde modeller som forklarte hvordan fugleegg får vakre pigmenteringsmønstre, og skrev algoritmer for å følge med på bevegelsene til frittsvømmende bakterier. Jeg simulerte parasitter som unngår immunforsvaret, og lagde modeller for hvordan livstruende sykdommer sprer seg i en befolkning. Arbeidet jeg innledet i doktorgradsarbeidet, danner grunnlaget for hele den påfølgende karrieren min.

Jeg arbeider fremdeles med disse og andre fascinerende biologifelt sammen med egne doktorgradsstudenter nå som jeg er førsteamanuensis i anvendt matematikk ved University of Bath. * Jeg arbeider med anvendt matematikk, og derfor ser jeg først og fremst på matematikk som et praktisk redskap til å forstå vår komplekse verden. Matematisk modellering kan gi oss en fordel i hverdagslige situasjoner, og vi er ikke nødt til å bruke hundrevis av kjedelige ligninger eller linjer med datakode for å gjøre det. Matematikk er i bunn og grunn mønstre. Hver gang du ser på verden, bygger du en modell av mønstrene du observerer. Hvis du legger merke til et motiv i forgreningene i et tre eller i et snøfnuggs mangfoldige symmetri, ser du matte. Når du tramper takten til musikk, eller når du synger så det gjaller i dusjen, hører du matte. Modellene du har lagd av omgivelsene, blir finpusset, justert og gjort enda mer detaljerte og komplekse for hver nye erfaring og for hvert nye sanseinntrykk. Det beste vi kan gjøre for å forstå reglene som styrer omverdenen, er å bygge matematiske modeller som skal fange den kompliserte virkeligheten.

14

nesten alt

Etter min mening er de enkleste og viktigste modellene historier og sammenligninger. Nøkkelen til å eksemplifisere påvirkningen fra de usynlige matematiske understrømmene er å vise hvordan den virker inn på folks liv: fra det usedvanlige til det dagligdagse. Når vi ser på dette med det rette blikket, kan vi finne frem til de skjulte matematiske reglene som ligger bak de felles erfaringene våre.

De sju kapitlene i boken ser nærmere på virkelige historier om hendelser som har snudd livet på hodet for folk, og der bruken (eller den feilaktige bruken) av matematikk har spilt en avgjørende rolle: pasienter som rammes av defekte gener, og gründere som går fallitt på grunn av dårlige algoritmer, uskyldige ofre for justismord og intetanende ofre for programvarefeil. Vi skal se på historier om investorer som har tapt store formuer, og foreldre som har mistet barn, ene og alene på grunn av matematiske misforståelser. Vi skal bryne oss på etiske dilemmaer i alt fra screening til statistiske knep og gå inn i relevante samfunnsmessige temaer som politiske folkeavstemninger, sykdomsforebygging, strafferett og kunstig intelligens. I denne boken skal vi få se at matematikk har noe grunnleggende eller viktig å si om alle disse temaene og vel så det.

Jeg har ikke tenkt å nøye meg med å peke på områder der matematikken viser seg, men skal også ruste deg med enkle matematiske regler og redskaper som kan være til hjelp i hverdagen: fra å få den beste plassen på toget til å holde hodet kaldt når du får et uventet svar på en prøve fra legen.

Jeg skal foreslå enkle metoder for å unngå tallfeil, og vi skal grave godt i tallene bak overskriftene for å finne ut av hva de faktisk betyr. Vi skal også få nærkontakt med matten bak forbrukergenetikken og se matte brukt i praksis når vi går inn på hva vi kan gjøre for å bidra til å stoppe spredningen av en livstruende sykdom.

Du har sikkert skjønt det allerede, men dette er ingen 15

matte på liv og død

mattebok. Det er heller ingen bok for matematikere. Du kommer ikke til å finne en eneste ligning her. Poenget med boken er ikke å vekke gamle minner om matten du lærte på skolen og har gitt opp for lengst. Snarere tvert imot. Hvis noen har fått deg til å føle at du ikke kan drive med matematikk eller ikke får det til, kan denne boken bli frigjørende for deg.

Jeg mener oppriktig at matte er for alle, og at vi alle kan ha glede av den vakre matematikken i kjernen av de kompliserte fenomenene vi opplever daglig. Som vi skal se i de neste kapitlene, er matte de falske alarmene som utløses i tankene, og den falske selvtilliten som hjelper oss med å få sove om natten, historiene sosiale medier overøser oss med, og memene som sprer seg der. Matte er smutthullene i loven og stingene som lukker dem, teknologien som redder liv, og feilene som setter liv i fare, utbruddet av en livstruende sykdom og strategiene for å få kontroll over den. Det er det beste vi kan bruke for å besvare de mest grunnleggende spørsmålene om kosmos’ gåter og vår egen arts mysterier.

Vi tenker ikke alltid over det, men matematikken er vår følgesvenn gjennom livets labyrint, fra vugge til grav.

1 å tenke eksponentielt Et dypdykk i eksponentiell adferds formidable kraft og edruelige begrensninger Darren Caddick er kjørelærer fra småbyen Caldicot i South Wales. I 2009 fikk han et lukrativt tilbud av en venn. Hvis han betalte så lite som 3000 pund til et lokalt investeringsselskap og rekrutterte to andre til å gjøre det samme, ville han få tilbake 23 000 pund i løpet av et par uker. Caddick tenkte først at det lød for godt til å være sant og motsto fristelsen i første omgang, men etter hvert overbeviste vennene ham om at «ingen kom til å tape fordi opplegget ville fortsette og fortsette og fortsette», og han bestemte seg for å bli med. Han tapte alt og lever fortsatt med konsekvensene av det ti år senere.

Caddick havnet uforvarende i bunnen av et pyramidespill som ikke kunne «fortsette og fortsette». «Give and Take»-spillet startet i 2008. På under et år hadde investorstrømmen tørket ut, og pyramidespillet kollapset. Innen den tid hadde det lurt 21 millioner pund fra over 10 000 investorer over hele Storbritannia. 90 prosent av dem tapte innsatsen på 3000 pund. Investeringsordninger som er 17

matte på liv og død

avhengige av investorer som skal rekruttere mange andre for å tjene penger, er dømt til å mislykkes. Antallet nye investorer som må til for hvert nivå, øker proporsjonalt med hvor mange som er med på ordningen. Etter 15 rekrutteringsrunder vil det være over 10 000 mennesker i en slik pyramide. Det kan virke som et høyt tall, men i pyramidespillet Give and Take oppnådde man det uten problemer.

15 runder senere ville man imidlertid trenge at hver sjuende person i verden skulle investere for å holde det gående.

Dette fenomenet med rask vekst, som førte til en uunngåelig mangel på nye investorer og pyramidespillets kollaps, kalles eksponentiell vekst.

Det nytter ikke å gråte over spilt melk Noe vokser eksponentielt når det øker proporsjonalt med sin nåværende størrelse. Tenk deg at én eneste celle fra bakterien Streptococcus faecalis finner veien ned i den åpne melkekartongen din om morgenen før du lukker den. Strep f. er en av bakteriene som får melk til å surne og koagulere, men én celle kan vel ikke være så farlig?1 Det blir kanskje mer bekymringsfullt når du får vite at Strep f.-celler i melk kan dele seg og produsere to datterceller i timen.2 Antallet celler øker proporsjonalt med det nåværende antallet celler for hver generasjon. Det betyr at antallet øker eksponentielt.

Kurven som viser hvordan en eksponentielt voksende størrelse øker, kan minne om en quarterpipe som skatere, skateboardere og BMX-ere bruker. I begynnelsen skråner rampen bare litt – kurven er svært lav og vinner bare høyde gradvis (som du kan se på den første kurven i figur 2). Etter to timer er det fire Strep f.-celler i melken din, og etter fire 18

å tenke eksponentielt

Figur 2: J-formede eksponentielle kurver for vekst (til venstre) og tilbakegang (til høyre).

timer er det fortsatt bare 16. Det kan da vel ikke være noe problem? Men som med quarterpipen øker høyden og helningen til den eksponentielle kurven raskt. Størrelser som vokser eksponentielt, kan se ut til å vokse langsomt i begynnelsen, før de uventet kan ta raskt av. Hvis du lar melken stå i 48 timer og den eksponentielle veksten av Strep f.celler fortsetter, kan det være nesten tusen billioner celler i kartongen neste gang du skal helle melk over frokostblandingen – nok til at blodet, for ikke å si melken, stivner. Etter så lang tid vil det være 40 000 ganger så mange celler som det er mennesker i verden. Eksponentielle kurver blir av og til beskrevet som «J-formede» fordi de har nesten nøyaktig samme form som buen i bokstaven J. Når bakteriene bruker opp næringsstoffene i melken og endrer pH-verdien i den, vil selvsagt vekstforholdene svekkes, og den eksponentielle veksten opprettholdes bare i en relativt kort periode. I likhet med i nesten alle scenarioer i virkelighetens verden er eksponentiell vekst over lang tid lite bærekraftig og i mange tilfeller patologisk, for det som blir gjenstand for vekst, bru19

matte på liv og død

ker opp ressursene på en måte som ikke er levedyktig. Langvarig eksponentiell vekst av celler i kroppen er for eksempel et vanlig kjennetegn for kreft.

Et annet eksempel på en eksponentiell kurve er en vannsklie med fritt fall. Det blir den kalt fordi sklien er så bratt i begynnelsen at brukeren får en følelse av å være i fritt fall. På vei nedover sklien glir vi på en eksponentiell tilbakegangskurve, og ikke på en vekstkurve (se et eksempel på en slik graf i den andre illustrasjonen i figur 2). Eksponentiell tilbakegang inntreffer når en størrelse reduseres proporsjonalt med sin nåværende størrelse. Se for deg at du åpner en stor pose med M&M, tømmer dem ut på et bord og spiser alle som blir liggende med M-siden opp. Legg resten tilbake i posen til neste dag. Da rister du posen og tømmer ut M&M-ene igjen. Nok en gang spiser du opp dem som ligger med M-siden opp, og legger resten tilbake i posen. Hver gang du tømmer godteri ut av posen, spiser du omtrent halvparten av dem som er igjen, uavhengig av hvor mange du begynte med. Antallet M&M-er avtar proporsjonalt med antallet som er igjen i posen, og det fører til eksponentiell tilbakegang av antallet. Slik er det også med den eksponentielle vannsklien: Den begynner høyt oppe og nesten vertikalt, slik at brukerens høyde avtar veldig fort. Når vi har mye godteri, vil vi få spise mange, men skliens kurve blir stadig slakere, og mot slutten er den nesten horisontal.

Jo færre M&M-er vi har igjen, desto færre kan vi få spise.

Til tross for at det er tilfeldig og uforutsigbart om én enkelt M&M-kule vil lande med M-en opp eller ned, kommer den forutsigbare vannskliekurven for eksponentiell tilbakegang til syne i antallet M&M-er vi har igjen over tid.

I hele dette kapitlet skal vi avdekke de skjulte forbindelsene mellom eksponentiell adferd og hverdagslige fenomener: spredningen av en sykdom i en befolkning eller av en meme på internett; den raske veksten til et embryo eller 20

å tenke eksponentielt

den altfor langsomme veksten til pengene på bankkontoen vår; hvordan vi oppfatter tid, og hvordan det foregår når en atombombe eksploderer. Underveis skal vi omhyggelig avdekke den fulle tragedien med pyramidespillet Give and Take. Historiene til folk som ble slukt og svelget, illustrerer hvor viktig det er å kunne tenke eksponentielt, hvilket igjen vil hjelpe oss med å forutse de til tider overraskende raske endringene i vår moderne verden.

Med renters rente Når jeg en altfor sjelden gang kan sette inn penger på bankkontoen, trøster jeg meg med at uansett hvor lite jeg har på den, vokser pengene hele tiden eksponentielt. En bankkonto er faktisk ett av stedene der det ikke finnes begrensninger for eksponentiell vekst, i hvert fall ikke på papiret.

Forutsatt at banken betaler renters rente (altså at renten legges til det opprinnelige beløpet på kontoen og også innbringer rente selv) øker det samlede beløpet på kontoen proporsjonalt med den nåværende størrelsen – kjennetegnet på eksponentiell vekst. Som Benjamin Franklin sa: «Penger skaper penger, og pengene som penger skaper, skaper mer penger.» Hvis du kunne vente lenge nok, ville selv den minste investering bli til en formue. Men ikke gå og ta ut sparepengene dine riktig ennå. Hvis du investerer 100 pund til en årlig rente på 1 prosent, vil det ta over 900 år før du blir millionær. Eksponentiell vekst assosieres ofte med rask økning, men hvis veksten på den første investeringen er liten, kan eksponentiell vekst føles veldig langsom.

Den mindre kjente siden ved dette er at gjelden på kredittkort også kan vokse eksponentielt fordi du må betale et fast rentebeløp på det utestående beløpet (ofte ganske mye).

21

matte på liv og død

Det blir som med lån: Jo raskere du betaler ned kredittkortgjelden, og jo mer du betaler tidlig, desto mindre må du betale til sammen, for da rekker ikke den eksponentielle veksten å ta helt av. * En av hovedgrunnene ofrene for Give and Take hadde for å bli med på dette pyramidespillet var å kunne betale ned lån og ordne opp i annen gjeld. Rask, enkel fortjeneste som kunne redusere økonomisk press, ble en fristelse som var vanskelig å motstå for mange, til tross for den nagende mistanken om at ikke alt var helt som det skulle. «Det gamle ordtaket om at ’hvis noe virker for godt til å være sant, er det antagelig det’, stemmer virkelig her», innrømmet Caddick.

Initiativtakerne til pyramidespillet, pensjonistene Laura Fox og Carol Chalmers, hadde vært venner siden de gikk på samme katolske klosterskole. De ble begge regnet som samfunnsstøtter i nærmiljøet – den ene var visepresident i den lokale Rotary-klubben, og den andre en respektabel bestemor – og visste nøyaktig hva de gjorde da de startet investeringssvindelen. Give and Take ble behendig utformet for å lokke til seg potensielle investorer og skjule fallgruvene.

Give and Take opererte ikke som et tradisjonelt pyramidespill med to nivåer, der den på toppen av pyramiden får penger direkte fra investorene vedkommende har rekruttert, men som en «flymodell» med fire nivåer. I et slikt system blir den som er øverst i kjeden, kalt «piloten». Piloten rekrutterer to «andrepiloter», som hver rekrutterer to «besetningsmedlemmer», som til slutt rekrutterer to «passasjerer» hver. Da hierarkiet i pyramidespillet til Fox og Chalmers var komplett med femten personer, betalte de åtte passasjerene 3000 pund hver til organisatorene, som igjen betalte den store gevinsten på 23 000 pund til den opprin22

å tenke eksponentielt

nelige investoren etter at 1000 pund var tatt til side. Deler av disse pengene ble gitt til veldedige formål, med takkebrev fra blant andre barnevernorganisasjonen NSPCC. Det ga pyramidespillet en viss legitimitet. Resten beholdt organisatorene selv for å sørge for at spillet skulle fortsette å fungere best mulig.

Da piloten hadde fått betalt, forsvant han eller hun ut av spillet, og de to andrepilotene ble forfremmet til piloter og ventet på rekrutteringen av åtte nye passasjerer i bunnen av sine hierarkier. Slike flymodeller virker ekstra forlokkende for investorer fordi nye deltagere bare trenger å rekruttere to nye for at innsatsen deres skal bli åtte ganger så høy (selv om de to rekruttene selvfølgelig må rekruttere to til, og så videre). Andre flatere strukturer krever at hver enkelt gjør en mye større rekrutteringsinnsats for at hver enkelt skal få like høy gevinst. Den bratte strukturen med fire nivåer i Give and Take betydde at besetningsmedlemmene aldri tok penger direkte fra passasjerene de rekrutterte. Siden nye rekrutter sannsynligvis vil være venner og slektninger av besetningsmedlemmene, sørger dette for at penger aldri blir utvekslet direkte mellom nære bekjente. Dette skillet mellom passasjerene og pilotene, som passasjerene finansierer utbyttet til, gjør det enklere å rekruttere, og risikoen for represalier blir mindre. Dermed blir investeringsmuligheten mer tiltalende, og det legger til rette for rekruttering av mange tusen investorer til spillet.

Mange av investorene fikk således tro på å investere i Give and Take fordi de hørte historier om vellykkede utbetalinger som var skjedd tidligere. I noen tilfeller hadde de også sett utbetalingene bli gjort i praksis. Bakmennene – eller rettere sagt kvinnene – Fox og Chalmers arrangerte overdådige selskaper på hotellet Chalmers eide i Somerset.

På brosjyrene som ble delt ut i selskapene, var det bilder av investorer som lå i en seng og veltet seg i penger mens 23

matte på liv og død

de viftet til kameraet med hendene fulle av 50-pundsedler.

Organisatorene inviterte også noen av spillets «bruder» til disse selskapene – folk (hovedsakelig kvinner) som hadde arbeidet seg opp til å bli piloter i sin pyramidecelle og skulle få utbetalt gevinsten. De ble stilt fire enkle spørsmål som «Hvilken del av Pinocchio vokser når han lyver?» foran et publikum på 200–300 potensielle investorer.

«Quiz»-delen av spillet skulle utnytte et smutthull i loven – Fox og Chalmers trodde at investeringene ville bli lovlige hvis de innførte «kunnskapskrav». I et mobiltelefonopptak fra en slik tilstelning kan man høre Fox rope: «Vi gambler hjemme hos oss selv, og dermed er det lovlig.» Der tok hun feil. Miles Bennet, advokaten som var aktor i saken, forklarte: «Spørsmålene var så lette at ingen som sto for tur til å få utbetalt gevinsten, ikke fikk pengene. De kunne til og med få hjelp fra en venn eller et komitémedlem, og komiteen visste hva svarene var!»

Det hindret ikke Fox og Chalmers i å bruke premieutdelingsselskapene i den enkle markedsføringen sin på nettet.

Etter å ha sett brudene få utbetalt sjekker på 23 000 pund var det mange av de inviterte gjestene som investerte og oppfordret venner og familie til å gjøre det samme, og dermed dannet sin egen pyramide. Pyramidespillet kunne fortsette i det uendelige, siden hver nye investor bare trengte å gi stafettpinnen videre til to nye personer. Da Fox og Chalmers startet spillet våren 2008, utgjorde de to de eneste pilotene. De fikk venner til å investere og hjelpe til med å organisere spillet og hadde snart fire nye mennesker med på laget. Disse fire rekrutterte åtte nye, deretter 16 og så videre. Denne eksponentielle doblingen av antallet nye rekrutter i spillet ligner veldig på doblingen av antall celler i et voksende embryo.

24

å tenke eksponentielt

Det eksponentielle embryoet Da kona mi var gravid med det første barnet vårt, var vi i likhet med mange vordende førstegangsforeldre veldig opptatt av å finne ut hva som foregikk inni magen hennes. Vi kjøpte ultralydapparat for å kunne lytte til barnets hjerteslag, vi bestilte legeundersøkelser for å få flere skanninger og leste og leste på nettet om hva som skjedde med datteren vår etter hvert som hun vokste og fortsatte å gjøre kona mi kvalm hver eneste dag. Vi likte aller best nettsteder av «Hvor stor er babyen din?»-typen, som sammenligner størrelsen på det ufødte barnet med en vanlig frukt, grønnsak eller andre matvarer av passende størrelse for hver uke i svangerskapet. De gjør det lettere for vordende foreldre å se for seg fosteret når de skriver ting som: «Den lille engelen deres veier omtrent 40 gram og er på størrelse med en sitron» eller «Den herlige lille turnipsen deres veier litt over 110 gram og er omtrent sju og en halv centimeter lang fra topp til tå».

Det som først og fremst slo meg når jeg tenkte på sammenligningene på disse nettstedene, var hvor raskt størrelsen endret seg fra uke til uke. I fjerde uke er babyen på størrelse med et valmuefrø, men uken etter har hun lagt seg ut til sesamfrøstørrelse! Det betyr at volumet har økt rundt 16 ganger i løpet av en uke.

Den raske økningen i størrelse er kanskje ikke så overraskende likevel. Når et egg blir befruktet av en sædcelle, begynner den befruktede eggcellen med fortløpende celledelinger, eller «spalting», og dermed øker antallet celler i embryoet raskt. Først deler det seg i to. Åtte timer senere deler de to seg i fire, og etter ytterligere åtte timer blir fire åtte, og snart 16, og så videre – akkurat som antallet nye investorer for hvert nye nivå i pyramidespillet. Påfølgende 25

matte på liv og død

delinger skjer nesten synkront hver åttende time. Følgelig vokser antallet celler proporsjonalt med hvor mange celler embryoet består av til en gitt tid: Jo flere celler, desto flere nye celler blir skapt i neste spalting. I dette tilfellet øker antallet celler med det dobbelte fordi hver celle skaper nøyaktig én dattercelle ved hver spalting. Embryoets størrelse fordobles med andre ord for hver generasjon.

Hos mennesker er heldigvis perioden der embryoet vokser eksponentielt under svangerskapet, relativt kort. Hvis embryoet skulle fortsette å vokse i samme eksponentielle takt under hele svangerskapet, ville de 840 synkrone celledelingene resultere i en superbaby med rundt 10253 celler.

For å sette det i en kontekst kan vi se for oss følgende: Hvis hvert eneste atom i universet var en kopi av vårt univers, ville det samlede antallet atomer i alle disse universene være omtrent like mange som cellene til superbabyen. Tempoet i celledelingen synker etter hvert som mer komplekse hendelser i fosterets liv blir koreografert. Antallet celler i en gjennomsnittlig nyfødt baby kan anslås til relativt moderate to billioner. Så mange celler får man med under 41 synkrone spaltinger.

Mannen som rystet verdener Eksponentiell vekst er avgjørende for den raske utvidelsen av antallet celler som er nødvendig for å skape nytt liv. Det var imidlertid også den forbløffende og skremmende kraften i eksponentiell vekst som fikk kjernefysikeren J. Robert Oppenheimer til å erklære: «Jeg er døden som røver alt og ryster verdener.» Denne veksten dreide seg ikke om celler eller enkeltorganismer, men om energi som ble skapt gjennom å splitte atomkjerner.

26

å tenke eksponentielt

Under andre verdenskrig ledet Oppenheimer Manhattanprosjektet i Los Alamos-laboratoriet, der de skulle utvikle atombomben. Splittelsen av kjernen (tett sammenknyttede protoner og nøytroner) i et tungt atom til mindre grunnbestanddeler var blitt oppdaget av tyske kjemikere i 1938.

Den ble kalt «kjernespalting» som en sammenligning med todelingen eller spaltingen av én levende celle til to, slik som i et voksende embryo. Man oppdaget at spaltingen enten kunne foregå naturlig, som i den radioaktive nedbrytningen i ustabile kjemiske isotoper, eller den kunne fremkalles kunstig ved å bombardere kjernen i et atom med subatomære partikler i en såkalt «kjernereaksjon». I begge tilfellene skjedde splittelsen av kjernen til to mindre kjerner eller spaltningsprodukter samtidig med at det ble utløst store mengder energi i form av elektromagnetisk stråling, i tillegg til energien fra spaltningsproduktenes bevegelser. Man forsto snart at disse bevegelige spaltningsproduktene som ble skapt av en første kjernereaksjon, kunne brukes på andre kjerner, spalte flere atomer og utløse enda mer energi: en såkalt «nukleær kjedereaksjon». Hvis hver kjernespalting i gjennomsnitt produserte mer enn ett produkt som kunne brukes til å spalte etterfølgende atomer, kunne i teorien hver spalting utløse nye spaltinger. Denne prosessen ville få antallet reaktive hendelser til å øke eksponentielt og produsere energi som aldri før. Hvis man kunne finne et materiale som ville tillate en slik uhindret nukleær kjedereaksjon, ville den eksponentielle energiøkningen som ble avgitt i løpet av det korte tidsrommet med reaksjoner, potensielt gjøre det mulig å lage våpen av det spaltbare materialet.

I april 1939, idet krigen brøt ut i Europa, gjorde den franske fysikeren Frédéric Joliot-Curie (svigersønnen til Marie og Pierre og nobelprisvinner sammen med sin kone) en viktig oppdagelse. I tidsskriftet Nature publiserte han en artikkel som viste at atomer i uranisotopen U-235 ved spalting av 27

matte på liv og død

ett eneste nøytron avga gjennomsnittlig 3,5 (senere justert ned til 2,5) høyenergiske nøytroner.3 Det var nettopp et slikt materiale man trengte for å få den eksponentielt voksende kjeden av kjernereaksjoner. «Kappløpet om bomben» var i gang.

Nobelprisvinneren Werner Heisenberg og andre kjente tyske fysikere begynte å arbeide for å lage en atombombe for nazistene, og Oppenheimer skjønte hvor vanskelig arbeidet i Los Alamos ville bli. Hovedutfordringen var å skape forhold som skulle fremme en eksponentielt voksende nukleær kjedereaksjon som ville gi størst mulig momentan utløsning av de store energimengdene man trenger i en atombombe. For å kunne lage en slik kritisk kjedereaksjon som gikk raskt nok, måtte han sørge for at tilstrekkelig mange av nøytronene som ble avgitt fra et fisjonerende U-235-atom, ble reabsorbert av kjernene i andre U-235, slik at de også ble spaltet. Han oppdaget at altfor mange av de avgitte nøytronene i naturlige forekomster av uran blir absorbert av U-238-atomer (den andre viktige isotopen som utgjør opptil 99,3 prosent av naturlige forekomster av uran)4. Det betyr at mulige kjedereaksjoner dør ut eksponentielt i stedet for å vokse. Oppenheimer måtte foredle ekstremt rent U-235 ved å fjerne så mye som mulig av U-238-innholdet i malmen for å skape en eksponentielt voksende kjedereaksjon.

Disse hensynene utløste tanken om det spaltede materialets såkalte kritiske masse. Urans kritiske masse er mengden materiale som må til for å generere en kritisk kjedereaksjon. Det avhenger av flere faktorer. Den viktigste er kanskje U-235-isotopens renhet. Selv med 20 prosent U-235 (sammenlignet med 0,7 prosent i naturlige forekomster) er den kritiske massen godt over 400 kilo, og det gjør høy renhet avgjørende for at det skal bli mulig å lage en bombe.

Selv etter at Oppenheimer hadde foredlet nok ren uran 28

å tenke eksponentielt

til å kunne få mer kritisk masse enn nødvendig, gjensto utfordringen med hvordan bomben skulle detoneres. Det sa seg selv at han ikke bare kunne pakke inn en kritisk masse uran i en bombe og håpe at den ikke eksploderte. Én eneste naturlig forekommende nedbrytning i materialet ville utløse kjedereaksjonen og en eksponentiell eksplosjon.

Med pusten til de tyske atombombeforskerne i nakken utviklet Oppenheimer og samarbeidspartnerne hans i all hast en idé om hvordan atombomben skulle slippes. «Skytemetoden» gikk ut på å skyte én subkritisk masse uran inn i en annen ved hjelp av vanlige eksplosiver for å skape én superkritisk masse. Da ville kjedereaksjonen bli satt i gang av spontane spaltinger som ville avgi de utløsende nøytronene. Adskillelsen av de to subkritiske massene sørget for at bomben ikke ville detoneres før den skulle. Siden man hadde klart å nå så høye nivåer anriket uran (rundt 80 prosent), trengte man bare mellom 20 og 25 kilo for å få tilstrekkelig med kritisk masse. Men Oppenheimer kunne ikke risikere at prosjektet skulle mislykkes, slik at de tyske rivalene hans fikk overtaket, så han insisterte på mye større kvanta.

Da de endelig hadde tilstrekkelig mye rent uran, var krigen i Europa over allerede. I Stillehavsregionen raste den imidlertid videre, for Japan gjorde ikke mine til å overgi seg til tross for sin militære underlegenhet. General Leslie Groves, som ledet Manhattan-prosjektet, visste at USA ville lide enda større menneskelige tap hvis de invaderte Japan. Derfor ga han ordre om å bruke atombomben mot Japan så snart værforholdene tillot det.

Etter mange dager med dårlig vær etter en tyfon lyste solen fra klar himmel over Hiroshima den 6. august 1945.

Klokken 07.09 kom et amerikansk fly til syne i luften over Hiroshima, og flyalarmen gjallet over byen. 17 år gamle Akiko Takakura hadde nettopp begynt å jobbe i en bank.

29

matte på liv og død

Da flyalarmen gikk mens hun var på vei til jobb, søkte hun dekning sammen med andre pendlere i et av de offentlige tilfluktsrommene som var strategisk plassert rundt omkring i byen.

Det var ikke uvanlig å høre flyalarmen i Hiroshima. Byen var en strategisk militærbase som huset hovedkvarteret til Dai-ni Sōgun (2. generelle armé), men så langt var Hiroshima hovedsakelig blitt spart for brannbombene som regnet ned over så mange andre japanske byer. Akiko og dem hun søkte tilflukt sammen med, kunne ikke vite at Hiroshima bevisst var blitt skånet fordi amerikanerne ønsket å se nøyaktig hvor store ødeleggelser det nye våpenet kunne gjøre.

Halv åtte lød «faren over»-signalet. B-29-flyet over byen var bare et værfly. Da Akiko gikk ut fra tilfluktsrommet sammen med de andre, pustet hun lettet ut: I dag ville det ikke bli noen flyangrep.

Da Akiko og de andre innbyggerne i Hiroshima fortsatte på arbeidsveien, var de lykkelig uvitende om at B-29-flyet rapporterte om klar himmel over Hiroshima til Enola Gay – flyet med atombomben «Little Boy». Barn gikk til skolen, arbeidere fortsatte på vei til kontorer og fabrikker og Akiko kom frem til arbeidsplassen sin midt i byen. Kvinnelige bankfunksjonærer måtte stille på jobb en halv time før mennene for å vaske kontorene deres for dagen, så ti over åtte var Akiko allerede i full gang med arbeidet inne i den nesten tomme bygningen.

Klokken 08.14 fikk oberst Paul Tibbets, som var pilot i Enola Gay, øye på den T-formede Aioi-broen i kikkertsiktet. Den 4400 kilo tunge Little Boy ble sluppet og falt ned mot Hiroshima fra en høyde på over 30 000 fot. Etter 45 sekunders fritt fall ble bomben detonert omtrent 5000 fot over bakken. Én subkritisk masse uran ble skutt inn i en annen, og det skapte en eksplosiv superkritisk masse. Den 30

å tenke eksponentielt

spontane spaltingen av et atom utløste nesten umiddelbart nøytroner, og minst ett av dem ble absorbert av et U-235atom. Dermed ble dette atomet spaltet og utløste flere nøytroner, som igjen ble absorbert av flere atomer. Prosessen akselererte raskt og førte til en eksponentielt voksende kjedereaksjon og den simultane utløsingen av store mengder energi.

Akiko kikket ut gjennom vinduet mens hun tørket av skrivebordene til de mannlige kollegene sine og fikk øye på et sterkt, hvitt lysglimt som minnet om brennende magnesium. Hun kunne ikke ane at den eksponentielle veksten hadde fått bomben til å avgi like mye energi som det er i 30 millioner dynamittkubber som sprenger samtidig.

Temperaturen i bomben økte til mange millioner grader, varmere enn solens overflate. Et tiendedels sekund senere traff ionisert stråling bakken og gjorde enorme radiologiske ødeleggelser på alle levende skapninger som ble utsatt for den. I neste sekund svulmet det opp en 300 meter bred ildkule på mange tusen grader over byen. Øyevitner sa at solen steg for andre gang over Hiroshima den dagen.

Hetebølgen, som gikk i lydens hastighet, jevnet bygninger med jorden, slengte Akiko gjennom rommet og slo henne bevisstløs. Infrarød stråling brant naken hud i mange kilometers omkrets. Folk som befant seg i nærheten av bombens hyposenter på bakken, ble straks til støv eller aske.

Den jordskjelvsikre bankbygningen skjermet Akiko for det verste lufttrykket fra bomben. Da hun våknet til bevissthet, vaklet hun ut på gaten. Der var den klare, blå himmelen borte. Den andre solen over Hiroshima hadde gått ned igjen like raskt som den kom. Gatene var mørke og tette av støv og røyk. Likene lå strødd så langt hun kunne se. Akiko hadde bare vært 260 meter unna hyposenteret og var den nærmeste som overlevde den grusomme eksponentielle eksplosjonen.

31