m

Ficha 5

Ficha 4 Ficha 3

Ficha 2

Ficha 1

Frente 1

Frente 2

Teoria dos Conjuntos

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

4

6 Conjuntos Numéricos

10 Números Complexos

12 Operações entre Números Complexos

14

28

24

36 Determinantes: conceito e resolução

Perímetro e área de figuras planas

28 Polígonos regulares no cotidiano

22 Relações trigométricas - Identidades Trigonométricas

Matriz: operações e aplicações

Perímetro e área de figuras planas

20 Relações trigométricas fundamentais na Circunferência

34

26

18 Arcos - Ângulos e comprimento de arcos

Matriz: conceito, igualdade e operações

Ponto Reta e Plano

16 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Operações com Conjuntos

Frente 4

Frente 3

30

38 Sistemas Lineares (conceito e classificação)

40 Sistemas Lineares (conceito e classificação)

Congruências e semelhanças de figuras planas

32

40

Fre 01 nte Fic h 01 a

Teoria dos

CONJUNTOS I

ntuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto.

Vamos aqui começar a visualizar esses elementos que constituem conjuntos, observando situações que estão presentes em nosso dia-a-dia.

2. Nomeando n Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e nomeamos seus elementos entre chaves.

Exemplo:

O que é um conjunto?

V= {a, e, i, o, u} n Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia de que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas,etc.

Conjunto de carros

Conjunto de casas

n Um conjunto qualquer é formado por elementos. Da mesma forma que conjuntos, elementos são entes matemáticos primitivos, portanto sem definição.

3. Propriedade característica n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade característica de seus elementos, sem nomeá-los Exemplo: V= {vogais do alfabeto} ou V= {x/x é vogal}

Conjunto de árvores

n A maneira de representar um conjunto não é importante. O que importa é que fique evidente o conjunto e os elementos que queremos representar.

Conjunto de pessoas

n A propósito, entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer existem duas e somente duas possibilidades de relacioná-los.

Como é que se representa um conjunto?

Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais:

1ª Possibilidade O elemento x é um dos elementos que constitui o conjunto A. Usando símbolos: X ∈ A → X pertence a A

1. Diagrama Representamos um conjunto por diagramas (curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus elementos. dó lá

V mi

sí sol

X ∉ A → X não pertence a A

D

ré

fá

2ª Possibilidade O elemento x não é um dos elementos que constitui o conjunto A. Usando símbolos:

a e

o i

u

Sendo o conjunto M:

11, 13

podemos dizer que : 4∈M 5∉M

4

n

Matemática

M 4, 7, 9,

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4. Conjunto vazio

6. Conjunto Universo

n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos. n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...

n O conjunto Universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. Graficamente, o Universo será representado por um retângulo envolvendo os outros conjuntos.

U

A

B

n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não possui elementos? ∅ ou { } Cuidado: {∅} ≠ ∅

+

+

5. Subconjunto 1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analogamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los: 2. Consideremos o conjunto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos formar o conjunto H, de todos jogadores da Seleção, e o conjunto M, de toda a comissão técnica.

3. Dizemos que os conjuntos H e M são Subconjuntos de B. 4. Se um subconjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B.

Indicamos esses fatos por: H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”) M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”) T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”) Propriedades importantes: P1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

A ⊂ B e B ⊂ A então A = B

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n

Matemática

5

Fre 01 nte Fic h 02 a

Operações com

CO N J U N TO S Intersecção entre conjuntos

União entre conjutos

D

ados os conjuntos A e B, quaisquer, chama-se união ou reunião de A com B, ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B” Portanto:

Intersecção n Dados dois conjuntos A e B chamase Intersecção entre A e B ao conjunto formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}

A

B

A

B B

n Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B:

A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

A

B Observação: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.

Utilizando diagramas temos: A

A

B

Diferença entre conjuntos Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A A B

n Dados dois conjuntos A e B, chamamos Diferença A – B ao conjunto formado pelos elementos de que pertencem a A e não pertencem a B.

2. A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} Resp.

A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}

Note nos diagramas como ficará a união de dois conjuntos disjuntos:

Exemplos: a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8} b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, então: A ∪ B = {0, 2, 6, 8} c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, então: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

6

n

Matemática

Resp.

A-B=A

a

c

e

b

d

f

A

Os conjuntos A e B, vamos efetuar a diferença A - B. A região assinalada nos diagramas representa a diferença.

1. A = {1, 2, 3, 4} B = {7, 8, 9}

A - B = {a, b}

B

3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {2, 4, 6} Resp.

2 1

8

7 3

8

9

B

4 A

A - B = {8, 10}

B

A

2

4 6

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10

4. A = {8, -8, 6, -6} B=Ø

Resp.

A-B=A A

-8

6

6

-8

Intervalo fechado

Intervalo aberto

Números reais maiores ou iguais a p ou menores ou iguais a q.

Números reais maiores que p e menores que q.

Intervalo fechado à direita

Intervalo fechado à esquerda

Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de complementar de A em B à diferença B – A. Observe o diagrama. A região assinalada representa o complementar de A em B, que indicamos por A⊂B⇒

Números reais maiores ou iguais p e menores que q.

Números reais maiores que p e menores ou iguais a q.

q

p

Intervalo: [p, q[ Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}

+

B

Exemplos:

q

p

Intervalo:] p, q] Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}

=B-A

A

+ Operações com intervalos

1. A = {23, 24} B = {21, 22, 23, 24, 25}

2. A = {x / x é par positivo} B = {x / x é inteiro positivo}

Intervalo: ]p, q[ Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}

Intervalo: [p, q] Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}

Complementar

q

p

q

p

Considere os conjuntos A e B e analise cada uma das operações: 1. União ou reunião:

= {1, 3, 5, 7, 9,...}

a

b

Observação:

c

Quando nos referimos ao complementar de um conjunto A em relação ao Universo U, utilizamos simplesmente o símbolo A’ ou A.

AB

2. Interseção:

d

a

d

a

Intervalos

b c

Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r.

Assim, se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos por Reta Real.

-2

3 2

-1

0

1

2

c

3. Diferença: a

2

Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contínuo de IR. Dados p e q reais (p < q), podemos definir os intervalos:

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A∩B A B

d b

b c

A-B

a

d

c

n

Matemática

7

Fre 01 nte Fic 2.1 ha

Relação de

INCLUSÃO É

toda relação estabelecida entre conjuntos. Para isso utilizaremos os símbolos de inclusão.

⊂ ⊄ ⊃ ⊃

Está Contido Não Está Contido Contém Não Contém Exemplo:

Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos: B A

.1

.2 .3

.4 .5

Então, observe que nesse caso, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Logo, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B. Indicamos que A está contido em B da seguinte maneira: A ⊂ B. Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A.

Exemplo:

Considerando os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, observamos que nem todos os elementos de A pertencem a B. Nesse caso, dizemos que A não está contido em B e indicamos: A ⊄ B. Também podemos dizer que B não contém A e indicar: B ⊃ A Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é: A ⊂ A. E o Conjunto Vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto é,  Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.

Observação: É importante não esquecer que a Relação de Inclusão só será utilizada para relacionar Conjunto com Conjunto.

Conjuntos Iguais Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B, se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, quando possuem os mesmos elementos, independentemente da maneira que apareçam escritos no conjunto.

Notação: A=B Lê-se: o conjunto A é igual ao Conjunto B.

Conjuntos das partes de um conjunto Consideremos o conjunto A = {3, 5, 7}, vamos formar todos os seus possíveis subconjuntos: Sem elementos

Contextualizando com a Geografia

Ø conjunto vazio

Com um elemento

{3}, {5}, {7}

Com dois elementos

{3, 5}, {3, 7}, {5,7}

Com três elementos

{3, 5, 7}

Denominamos conjunto das partes de um conjunto A, não-vazio, ao conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A. No exemplo dado temos: Amazônia Legal Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins, Maranhão e Mato Grosso

8

n

Matemática

Região Norte Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins

P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}

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Exemplos:

Comentários: É importante observar que esses subconjuntos do conjunto A são elementos do conjunto P(A). Então é correto afirmar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).

1. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 elementos.

Observação:

n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24

O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é dado por 2n. Então:

portanto n[P(A)] = 16 elementos

3. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de B, sabendo que B tem 2 elementos.

2. Determine o conjunto das partes do conjunto B = {1 , 3}.

Resolução: n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22 portanto n[P(B)] = 4 elementos

n[P(A)] = 2n

Resolução:

Resolução:

Não possua elementos ∅ Possua um elemento {1}, {3} Possua dois elementos {1, 3} P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}

Operações com conjuntos

+

+

Aplicações no dia-a-dia n Vejamos então, como seria para se obter o número de elementos da união de dois conjuntos. n Vamos imaginar então dois grupos de executivos de uma empresa, que chamaremos de “A” e “B”. Uma parte desses executivos estão defendendo a proposta A, outra parte a proposta B e um número deles que acham que ambas as propostas são boas. O diagrama a seguir representa esta situação, na forma de dois conjuntos A e B, e a união A ∪ B pode ser representada pela figura toda.

Sérgio

José

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Rita

Ruy

João

Beto

n

Matemática

9

Fre 01 nte Fic h 03 a

Conjuntos

NUMÉRICOS N

úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nosso dia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão presentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.

Neste Capítulo estudaremos a classificação dos números bem como os intervalos reais.

Conjunto dos Números Naturais É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.

Conjunto dos Números Inteiros É uma expansão do conjunto dos números naturais.

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

N

Para excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamos o + (mais). Deste modo: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.

Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.

Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.

Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.

Conjunto dos Números Racionais (Q) É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo).

z

z

De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q*+ e Q* Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são: A) Números inteiros Todo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos: 5 10 15 a)  5       , portanto -5 ∈Q. 1 2 3 b) 0  c) 7 

0 1 7 1

 

0 2 14 2

0

 , portanto 0 ∈Q. 3



10 n Matemática

21 , portanto 7 ∈ Q. 3

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B) Frações próprias, impróprias e números mistos Observe os exemplos: 1 3 4 , 3  Q a) , 3 5 2 C) Números decimais exatos Número decimal exato é aquele que apresenta um número finito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos: a) 0,20 =

1 2 = , portanto 0,2 ∈ Q 5 10

b) 1,35 =

135 27 , portanto 1,35 ∈ Q = 100 20

a) 0,222... =

2 , portanto. Esta dízima é chamada periódi9

ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos a presença do período 2.

29 , portanto. Esta dízima é chamada periódica 20 composta, pois após a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-período) antes do período 2. b) 0,322... =

D) Dízimas periódicas simples e compostas Dízimas são números decimais que apresentam infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quando, após a vírgula, apresentam repetição de um número infinitas vezes. Este número é chamado período. Observe alguns exemplos:

Conjunto dos Números Irracionais (R - Q) ou I. Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é, são números decimais que apresentam infinitas casas decimais, porém não possuem período. São números que não resultam da divisão entre dois números inteiros.

Os números irracionais mais famosos são: a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795...

b) O número de Euler. e = 2,78281828459045235360287471352 Podemos obter números irracionais extraindo raízes nãoexatas como segue: c) 2 = 1,4142135623730950488016887242097...

3 d) 2 = 1,7099759466766969893531088725439...

Conjunto dos Números Reais (R) Chama-se número real a qualquer número racional ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.

R=Q∪I De modo análogo ao proposto para os conjuntos dos números racionais, temos R*, R+, R-, R*+ e R*- .

Números Complexos (C)

+

Q R

Z

N

R-Q

+

O conjunto dos números complexos é uma expansão do conjunto dos números reais e foi criado com o surgimento da unidade imaginá-

origem dos números complexos

ria i cujo valor é -1. Esta unidade imaginária solucionou problemas como o cálculo de raízes quadradas de números negativos, veja:

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau.

-9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i

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n

Matemática

11

Números

COMPLEXOS

Fre 01 nte Fic h 04 a

+

+

N

enhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assim, a raiz quadrada de um número negativo é uma operação impossível. Como lidar com esses números, já que não existem? Cardano em 1539 deparou-se com eles ao tentar resolver equações algébricas. Apareceram como raízes de equações e por isso foram chamados de números. Cardano resolveu o impasse lidando com eles como se fossem números reais. Mas quem desvendou o mistério foi Gauss, criando uma unidade imaginária i cujo quadrado seria -1 e dando aos números uma estrutura algébrica. Como resultado dessa descoberta fundamental os números complexos preencheram todos os vazios.

Tornaram-se os números por excelência, contendo em si todos os demais. os números “escondem” as suas identidades, somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato significado de um número depende do contexto em que está inserido.

1. INTRODUÇÃO Resolva, em C, a equação do 2º grau.

 a =1  x − 4x + 5 = 0  b = − 4  c = 5 2 b 4.a.c 2 ∆ = ( −4) − 4.1.5 16 20 ∆ = −4 2

x=

b

2a − (− 4) ± −4 x= 2.1 4 ± −4 x= 2

UNIDADE IMAGINÁRIA (i) O número i é chamado unidade imaginária e:

i = -1 ou i 2= -1 Cálculo de -4 -4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i 4 ± 2i x= 2 2.(2 ± i) x= 2 x = 2 ± i ⇒ V = {2 + i, 2 −i}

12 n Matemática

2. Conjunto dos Complexos O conjunto dos números complexos é formado por todos os números da forma z = a + b . i, veja: C = {z | z = a + bi}, com a, b ∈ R e i =

−1

Onde: a é a parte real de z → a = Re(z) b é a parte imaginária de z → b = Im(z) Exemplo: 1. Identifique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir: a) z1 = -3 + 2i é chamado imaginário Solução: a) = Re(z1) = -3 b) = Im (z1) = 2

b) z3 = 7i é chamado imaginário puro Solução: a) = Re(z3) = 0 b) = Im (z3) = 7 c) z4 = 5 é chamado real Solução: a) = Re(z4) = 5 b) = Im (z4) = 0

Observações: a) se b = 0, então z é real b) se b ≠ 0 , então z é imaginário c) se a = 0 e b ≠ 0, então z é imaginário puro d) todo número real é um complexo em que b = 0, portanto R ⊂ C . e) dizemos que a + bi é a forma algébrica do número complexo z f) podemos representar um número complexo z = a + bi, pelo par ordenado z = (a, b) , veja: z1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2) z2 = 5i → z2 = (0, 5) z3 = 4 → z3 = (4, 0)

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3. Igualdade entre complexos Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais respectivamente.

Solução:

3x = 9 e y = − 4 9 x = 3 x =3

z1 = z 2  a= c e b =d a + bi = c +di  Exemplo: Determine os valores de x e y em cada caso, de modo que os números complexos z = 3x +yi e w = 9 - 4i sejam iguais.

Portanto para que se tenha a igualdade proposta devemos ter x = 3 .

4. Conjugado de um complexo Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z, ao complexo z = a − bi Exemplo: Determine o conjugado de cada número complexo a seguir: a) z1 - 5 + 2i

b)

z3 =

4 i 3

Solução: Solução:

z1

5

2i

z3

4 i 3

Observação: um complexo e seu conjugado possuem partes imaginárias simétricas

5. Operações entre complexos

+

+

5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo 5.2 Adição entre Complexos 5.3 Subtração entre Complexos 5.4 Multiplicação entre Complexos Exemplo: Dados os complexos z1 = 1 - 2i e z2 = -4 + i, determine: a) 3 . z1

b) - 2 . z2

Solução: 3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i

Solução: -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i

Observações: a) Dado um número complexo z = a + bi, chama-se OPOSTO de z ao complexo -z = -a - bi.

Exemplo: a) z1 + z2 Dados os complexos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine: Solução: z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i

b) z1 - z2 Solução: z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i

c) z1 . z2 Solução: z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i2 = 8 + 18 z1 . z2 = 26

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A trigometria e os números complexos É mais fácil trabalhar com uma função exponencial do que com um cosseno.

Então o truque todo é representar nossas funções oscilatórias como a parte real de certas funções complexas. Agora uma força assim, F = F0 - cosωt, pode ser escrita como a parte real de um número complexo F = F0eiωt, pois eiωt = cosωt + isenωt

n

Matemática

13

Fre 01 nte Fic h 05 a

Operações entre números

COMPLEXOS Divisão entre Complexos  Para efetuar a divisão por um número complexo multiplicamos o numerador (dividendo) e o denominador (divisor) pelo conjugado do denominador.

z2

b) z 3

Solução:

Observação: a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-

z = a - bi é igual ao real a2 + b2.

gado

Se z = 2 + 3i, então Exemplo:  Dados os complexos: z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine: a)

Potências de i  Veja algumas potências de i:

z1 z2

Solução:

 Por isto podemos afirmar que para n ≥ 4 tem-se in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:  Calcule as seguintes potências de i: a) i91 Solução: i91 = i3 = -i

91 -3-

4 22

+ Um pouco de História O primeiro a constatar a natureza estranha desses números foi Girolamo Cardano, (1501-1576), Cardano publicou um tratado de álgebra intitulado Ars Magna, onde apresentou exemplos de números complexos que chamou de “ficticios”.

14 n Matemática

A representação geométrica dos números complexos foi proposta por vários autores, sendo o mais citado Jean Robert Argand, guarda-livros suíço, que a descreveu em 1806

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+

Representação gráfica de Complexos

Exemplo:

 Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma de par ordenado z = (a, b). Podemos representar z graficamente no chamado PLANO DE ARGAND-GAUSS, como segue:

 Calcule o módulo de cada complexo a seguir: a) Z1 = 4 + 3i

Solução: 42  32

2

42  3  16  9  25  5 b) Z3 = -4 - i Solução:

Onde: XOY é o Plano de Argand-Gauss OX é o Eixo Real OY é o Eixo Imaginário O ponto P é denominado Afixo ou Imagem

Observações: a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da “seta” que o representa graficamente. b) O módulo de um número complexo é sempre um número real positivo.

Geométrica de z  A distância de O até P é chamado Módulo de z indicado por |z|  O ângulo θ é chamado Argumento ou Direção de z indicado por arg(z)

Módulo de um complexo 

O módulo de um número complexo z = a + bi, é

dado por

.

Mas foi somente em 1831 que o grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), expôs a teoria completa relativa a esses números. Por isso, o plano complexo é muitas vezes chamado de plano Argand-Gauss.

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n

Matemática

15

Fre 02 nte Fic h 01 a

Relações métricas no triângulo

RETÂNGULO 1. TRIÂNGULO RETÂNGULO 

É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja: A

Onde:

c

b h m

C

n

B

a

a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); h é a altura relativa à hipotenusa; m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa; n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO  No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações métricas (entre as medidas mencionadas acima): RELAÇÃO 01 - Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a2 = b2 + c2 RELAÇÃO 02 - O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos. a.h=b.c

cateto sobre a hipotenusa. b2 = a . m

RELAÇÃO 04 - O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. h2 = m . n

RELAÇÃO 05 - A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos. a=m+n

RELAÇÃO 03 - O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do

EXEMPLO (1)

c2 = a . n

EXEMPLO (2)

1. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retângulo ABC a seguir:

 No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa.

Resolução: A

A 3

4

h

C

16 n Matemática

a

3

B

B

5

12 H

C

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1. TRIÂNGULO RETÂNGULO  É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:

B a

c A

Onde:

b

a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); B e C são ângulos agudos complementares, isto é, B + C = 90º;

C

2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO  No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações trigonométricas (entre os elementos mencionadas acima): RAZÃO 01 - Seno do ângulo B: é a razão entre o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa.

RAZÃO 03 - Tangente do ângulo B: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo B.

RAZÃO 02 - Cosseno do ângulo B: é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa.

De modo análogo podemos definir as razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C.

4. TABELA

3. PROPRIEDADES  Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos B:

 Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados na tabela a seguir:

Para dois ângulos complementares B e C são válidas as seguintes propriedades: Propriedade 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar. senB = cos C

ou

sen C = cos B

Propriedade 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente de seu complementar.

5. EXEMPLO (3) (UEPA) O mastro CD de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura a seguir. Se o cabo BC mede 10 3 m então, a altura do mastro é:

B

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30º

C

A

D

n

Matemática

17

Relações trigonométricas no triângulo

R E TÂNG U LO

Fre 02 nte Fic h 02 a

A LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS  As leis (Lei dos senos e Lei dos cossenos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de medidas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos de “forma” arbitrária.

Lei dos senos  Para utilizarmos a lei dos senos no cálculo da medida de um ou dois lados de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos um dos lados e o valor dos senos dos ângulos opostos aos lados desconhecidos.

Vejamos: Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,

B c

B a

A

Pela lei dos senos, temos:

A

a b

C

sen A C

=

b sen B

=

c sen C

A igualdade das razões entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do respectivo ângulo oposto é chamada de lei dos senos.

Exemplo 1 No triangulo abaixo determinar a medida do lado a do triangulo abaixo.

Resolução do exemplo 01.

De acordo com a lei dos senos,

a

Dessa forma:

6 45º 30º

18 n Matemática

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LEI DOS COSSENOS  Para utilizarmos a lei dos cossenos no cálculo da medida de um lado de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois dos lados do triangulo.

Vejamos:  Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,

B B

c

a

A

A

b

C C



Pela lei dos cossenos, temos:

a2 = b2 + c2 − 2.b.c.Cos  Ou ainda:

a2 = b2 + c2 − 2.b.c.Cos  c2 = a2 + b2 − 2.a.b.Cos Ĉ Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.

+

+ C

A Lei dos cossenos e as medições “Um determinado engenheiro precisa fazer a medições de um terreno ou de ruas na forma triangular.

Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 metros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°.

Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma nova medição ou podemos simplesmente usar a lei dos cossenos.

50m

x

60º A

B 40m

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n

Matemática

19

Fre 02 nte Fic h 03 a

ARCOS

Ângulos e comprimento de arcos 1. Arcos e ângulos  Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir: B



R

sentido padrão



O

R

 As semi-retas OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB .  O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e OB e possui vértice no centro O da circunferência λ.  O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive.  O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med α = AB. Note que os arcos AB e BA são diferentes.

A

2. UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS (E ÂNGULOS) Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos:



B

AE

C

AE

C

D

R O

 R

B

AE

D

AE

C

D

AD = 270º

AC = 180º

 Outra unidade de medida de arcos e ângulos é o radiano cujo comprimento é igual ao de um raio da circunferência.

B

C

D

AB = 90º



B

B

AE = 360º

 Portanto, se o raio da circunferência mede 5 cm então o comprimento de um arco de 1 radiano é igual a 5 cm.  Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quantidade de raios que podemos colocar na mesma, veja:

R 1. circunferência = 6,28 rad R R 1. circunferência = 2.3,14 rad 1 circunferência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º, 0,28.R ou , ou ainda, e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a relação de transformação de graus para R R radianos e vice-versa: 180 - π rad R

1 radiano = 1 raio A

3. ÂNGULOS NOTÁVEIS  Os ângulos a seguir são muito utilizados em trigonometria, por isto é muito útil conhecer suas respectivas medidas em radianos.

Graus

0º

Radianos

0 rad

20 n Matemática

30º

45º

60º

90º

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4. COMPRIMENTO DE ARCO

5. COMPRIMENTO Da circunferência

6. Arcos côngruos

 Seja uma circunferência λ de raio R e o arco AB determinado pelo ângulo central α. O comprimento l do arco AB pode ser calculado por:

 O comprimento C de uma circunferência λ de raio R equivale ao comprimento do arco AB determinado pelo ângulo central α = 360º = 2π rad

 Dois arcos α e β são côngruos quando possuem as mesmas extremidades no ciclo trigonométrico diferenciando-se apenas por um número k de voltas k ∈ N, isto é:



R O

C



B 



l = α . Rx

R

O



β = α + 360º . k

R

β=α+2.k.π

AB A

Onde:  l é o comprimento do arco determinado por ;  R é o raio da circunferência;  α é o ângulo central que determina o arco;  O comprimento l e o raio R devem ter a mesma unidade.

Esta é a expressão geral dos arcos côngruos.

Substituindo l = C e α = 2π rad em l = α . R, obtemos: C = 2.π . R Onde:  C é o comprimento da circunferência;  R é o raio da circunferência;  π ≅ 3,14,  O comprimento C e o raio R devem ter a mesma unidade.

Dado um arco β qualquer, chama-se primeira determinação positiva de β ao arco α côngruo de β que é maior que 0º (0 rad) e menor que 360º (2π rad).

7. CICLO TRIGONOMÉTRICO  O ciclo trigonométrico é formado por uma circunferência de raio unitário R = 1 e um sistema de eixos ortogonais utilizado para representar arcos AB Onde:  O ponto A é a origem de marcação dos arcos;  O sentido horário indica que o arco é negativo, assim como o anti-horário indica arcos positivos;  Os arcos podem apresentar mais de uma volta;  O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;

180 210 225 240

+

90

120 135 150

60

45 30 A 0º 360

0

270

330 315º 300º

+ Um pouco da história da Trigonometria.

O significado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentre os principais precursores da Trigonometria na antiguidade destacam-se: Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc.

II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhecida entre os árabes como o Almajesto

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n

Matemática

21

Relações trigométricas fundamentais na

CIRCUNFERÊNCIA

Fre 02 nte Fic h 04 a

1. SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ARCO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO tg tg x

 Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no ciclo trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos:  O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O da circunferência trigonométrica e o eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo ponto.  O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circunferência, isto é, o eixo é tangente à circunferência no ponto A.

sen 1

P

sen x x x

–1

1

cos x

O

A

cos

Onde:  x é um arco cuja origem é o ponto A e a extremidade é o ponto P;  A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;  A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;  Prolongando-se o segmento OP obtém-se a tangente de x, indicada por tgx.

–1

2. CRITÉRIOS DE POSITIVIDADE  Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em busca de critérios de positividade.

x P x

1º QUADRANTE sen x > 0 (positivo) cos x > 0 (positivo) tg x > 0 (positiva)

x A

sen(+) x

cos(–) O

A

2º QUADRANTE sen x > 0 (positivo) cos x < 0 (negativo) tg x < 0 (negativa)

tg(–)

tg(+)

x x

cos(+) A

O sen(–)

P x

22 n Matemática

3º QUADRANTE sen x < 0 (negativo) cos x < 0 (negativo) tg x > 0 (positiva)

cos(–)

x O

P

A

4º QUADRANTE sen x < 0 (negativo) cos x > 0 (positivo) tg x < 0 (negativa)

sen(–)

tg(–)

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3. VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS  Seja x um arco qualquer.

Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo -1 e no máximo 1.

Exemplo: tg

sen 1

1 P

P 2  0,7 2

–1

90º

0,7

x

2

sen 45º

tg 45º

tg x ∈ R

90º

x O

 A tangente de x pode assumir qualquer valor real, porém nãotgexistem as tangentes de 90º, 270º P e seus côngruos.

tg

1 2  0,7 2

O

cos

A

A

0,7

2

A tangente O de um arco A x existe para todo x diferente 270º de 270º e de seus côngruos. de 90º, 270º Em símbolos:

cos 45º tg

P

–1

Lembre-se que:

P

90º

Observe a tabela de valores a seguir:

tg

90º O

A

270º

O

270º

+  Essa análise pode ser resumida no seguinte esquema:

S

U

T

C

U: todos são positivos; S: o seno é positivo; T: a tangente é positiva; C: o cosseno é positivo.

A

0º

90º

180º

270º

360º

sen

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-1

0

1

0

não existe

0

não existe

0

tg

+ Trigonometria A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

N

∆λ P2

grave a frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA S

φ2 Equador

P1 φ1

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n

Matemática

23

Fre 02 nte Fic h 05 a

Relações trigométricas - Identidades

TRIGONOMÉTRICAS 1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.  A secante de um arco x (sec x) é o inverso do cosseno deste mesmo arco e vice-versa.

 A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa..

 A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa.

, com cos x ≠ 0

, com sec x ≠ 0

, com sen x ≠ 0

, com tg x ≠ 0

, com sec x ≠ 0

, com cot x ≠ 0

Observações:

2. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno; b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno; c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.

 A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um). sen2x + cos2 x = 1

S T

U

1

U: todos são positivos; S: o seno é positivo; T: a tangente é positiva; C: o cosseno é positivo.

C

grave a frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA

3. RELAÇÃO AUXILIAR (1)

senx

cosx x

–1

4. RELAÇÃO AUXILIAR (2)

 A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco.

 A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco.

tg2x + 1 = sec2x

cotg2x + 1 = cossec2 x

 Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por cos2x, temos:

 Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por sen2x, temos:

24 n Matemática

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Observação:

5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

 A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco.

 Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométricas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:

, com cosx ≠ 0  A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco.

Exemplo: (UCDB) Para todo x ∈ R tal que igual a: a)

b) 1 + cosx , com senx ≠ 0

, k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 é d) 2 senx e) senx + cosx

c) 1 RESOLUÇÃO:

Exemplo: (UNEB) Se x pertence ao intervalo e tgx = 2 , então cosx vale: a)

d)

b)

e)

Como tg2x + 1 = sec2x, temos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sec2x = cos2x .

ALTERNATIVA (C)

+

+

c)

RESOLUÇÃO:  Como x é um arco do primeiro quadrante todas as razões trigonométricas são positivas.

 Calculamos a secante de x pela Relação Auxiliar 1:

Engenharia Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outro.

 Calculamos o cosseno de x pela relação:

ALTERNATIVA (D)

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n

Matemática

25

Fre 03 nte Fic h 01 a

PONTO Reta e Plano 1. NOÇÕES PRIMITIVAS

3. ÂNGULOS ENTRE

 As noções primitivas em geometria são o ponto, a reta e o plano conhecidas intuitivamente.

Duas retas

r

s O

α

A ponto



r

plano

reta

A

B

 Ângulo AOB cuja medida é α;  O ponto O é o vértice;  As semi-retas OA e OB são os lados;

2. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE

Reta e plano

r

 Duas retas

r

r ≡s

s

r

s

A



A

 

DOIS PLANOS  Ângulo Diedro ou Diedro é o ângulo formado entre dois planos como mostra a figura.

Diedro

 Reta e plano

B

A

Reta Contida no Plano

+

A 



Reta Secante ao Pl ano





r

r

 Reta Paralela ao Plano

 Dois planos

+

teodolito O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais posição do sol









r

 

ângulo de elevação

ângulo horizontal

Secantes ou Concorrente

26 n Matemática

Horizonte = 0º

Paralelos

Coincidentes

Norte = 0º

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4. ESTUDO DOS ÂNGULOS 4.1. Unidade de medida  O grau é

O transferidor é utilizado para medir ângulos.

de uma circunferência.

Observações: a) Uma circunferência possui 360º; b) Um grau possui 60 minutos (60’); c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).

1º = 60’ 1’ = 60’’ 1º = 3600’’

4.2. TIPOS DE ÂNGULOS.



Agudo 0º <  <90º

Reto  = 90º

Raso ou de Meia Volta  = 180º

4.3. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO  É a semi-reta que divide o ângulo ao meio. 

 2  2

0

M

A semi-reta OM é a bissetriz do ângulo α









Obtuso

4.6. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL. t  a

 É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.

d e h

4.4. ÂNGULO OPOSTO PELO VÉRTICE  Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV) quando seus lados são semi-retas opostas.



0



α e β são ângulos opostos pelo vértice.

Obs: Ângulos OPV possuem a mesma medida. α=β 4.5. CLASSIFICAÇÃO

Cheio ou de Uma Volta = 360º

90º <  < 180º

 Ângulos correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição um em cada uma das paralelas.

 Ângulos colaterais são aqueles que se localizam do mesmo lado da transversal.

b

r

r / /s

c

f

s

g

Ângulos Correspondentes (possuem a mesma medida)

Internos Ângulos Colaterais (são suplementares)

Externos

 Ângulos complementares: dois ângulos α e β são complementares se a soma entre eles é igual a 90º. α + β = 90º  Ângulos suplementares: dois ângulos α e β são sumplementares se a soma entre eles é igual a 180º. α + β = 180º

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 Ângulos alternos são aqueles que se localizam em lados diferentes da transversal.

Possuem a mesma medida.

Internos Ângulos Alternos (possuem a mesma medida)

Externos

n

a e e b e f c e g d e h

c e f d e e a e h

b e g

e e c d e f a e g

b e h

Matemática

27

Fre 03 nte Fic 02 ha -0 3

PERÍMETRO e área de figuras planas 1. Perímetro

6. TRIÂNGULOS CASOS ESPECIAIS

 Perímetro de um polígono é a soma de seus lados. a

b

60cm

 O perímetro do contorno interno desta TV em que em sua largura temos 80 cm e em sua altura temos 60 cm é de 280 cm.

c 80cm

A=

p . (p - a) . (p - b) . (p - c)

Onde p =

2. ÁREA DE UM POLÍGONO

a+b+c 2

 Área é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo polígono.  Paralelogramo

c

h

α

A=b.h

b

b

A=

b . c . senα 2

3. RETÂNGULO

7. TRIÂNGULO EQUILÁTERO A=b.h P = 2 . (b + h)

h b

l

l

4. QUADRADO

5. TRIÂNGULO

l

l A= A=l

2

l

l

h

P=4.l l

28 n Matemática

b.h 2

Onde A =

l2 .

P=3.l b

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3 4

9. TRAPÉZIO

8. LOSANGO

b d

D

A=

D.d 2

A=

h

(B + b) . h 2

B

10. CÍRCULO

11. SETOR CIRCULAR

A = π . R2 onde π = 3,14 O

R

A= R

α

α . π . R2 360º

l

C = 2. π . R onde π = 3,14

A=

l.R 2

α em graus onde l é o comprimento do arco

SETOR CIRCULAR

r

Aplicações no Caderno de Exercícios

+

O

A = π . (R2 - r2) R

+

Perímetro do pescoço é mais preciso que IMC para detectar obesidade, diz pesquisa.

A medida do perímetro do pescoço está ajudando médicos a prever risco de obesidade, apneia do sono e hipertensão tanto em adultos quanto em crianças. Um trabalho publicado na revista “Pediatrics” comprovou a ligação entre um pescoço mais largo e ocorrência de complicações por excesso de peso.

Os médicos argumentam que a medida do pescoço é mais precisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usado para classificar peso normal, sobrepeso e obesidade

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n

Matemática

29

Fre 03 nte Fic h 04 a

POLÍGONOS regulares no cotidiano 1. POLÍGONOS  É mais comum do que se imagi-

na encontramos polígonos regulares no cotidiano, por exemplo:

Alguns modelos de bolas de futebol também apresentam figuras baseadas em polígonos regulares.

As abelhas utilizam-se do hexágono regular nas colméias.

2. POLÍGONOS regulares e nomenclatura

É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados.



3. Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por:



Si = (n − 2).180º 4. ângulo interno

Triângulo equilátero n=3

Quadrado n=4

Pentágono Regular n=5

 A medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por: Ai =

Si (n - 2) . 180º = n n

5. POLÍGONO regular INSCRITO

Todo polígono regular é inscritível, isto é, pode ser inscrito em uma circunferência.

Na figura a seguir temos um triangulo, um quadrado e um hexágono regular de lado l inscrito em uma circunferência de raio R. Observe que a circunferência passa por todos os vértices do polígono.

 Exágono Regular n=6

Heptágono Regular n=7

Octógono Regular n=8

Eneágono Regular n=9

Decágono Regular n = 10

Undecágono Regular n = 11

Dodecágono Regular Pentadecágono Regular n = 12 n = 15

30 n Matemática

Icoságono Regular n = 20

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4. POLÍGONO regular circunSCRITO  Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

+

+

Polígonos na vida cotidiana Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.

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n

Matemática

31

CONGRUÊNCIAS e semelhanças de figuras planas

Fre 03 nte Fic h 05 a

1. SEMELHANÇAS  Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais.

A’

A

B’

B

D

C

ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhante ao polígono A’B’D’C’ “)  Os ângulos correspondentes são congruentes:

 Os lados correspondentes são proporcionais: AB BC CD DA = = = =k A’B’ B’C’ C’D’ D’A’

Onde k é uma constante de proporcionalidade chamada de razão de semelhança.

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’

2. PROPRIEDADES

3. Congruência

A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à constante de proporcionalidade k.





C’

D’

Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constante de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados correspondentes são congruentes.

 Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:

AB + BC + CD + DA P = =k A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’ P’

ABCD ≡ A’B’D’C’.

A

A’ B’

B  A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de proporcionalidade k. ÁREA = k2 ÁREA’

D

C

D’

 Os ângulos correspondentes são congruentes:

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’  Os lados correspondentes são congruentes:

AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘

32 n Matemática

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C’

+

+

Igual ao original Na produção de um filme, na gravação de uma novela ou até mesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem semelhante à do ambiente natura.

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n

Matemática

33

Fre 04 nte Fic h 01 a

MATRIZ Conceito, igualdade e operações ESTUDO DE MATRIZES

ESTUDO DE MATRIZES

Matriz Quadrada:

Matriz Escalar

■ É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

■ É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais.

Exemplo:

Exemplo:

2 0 A= 1 2

B=

1 6

matriz quadrada de ordem 2.

2x2

5 8

7 4

0 0 0

A= 0 2 0

B= 0 0 0

0 0 2

3 0 2

2 0 0

3x3

a11

Matriz Identidade:

a12

a13

■ É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

1 0 0 ... 0

In =

a14

A = a21 a22 a23 a24 a31

a32

a33

a34

a 41

a 42

a 43

a 44

Diagonal secundária

Diagonal principal

Obs.:  Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 i=j  Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 i+j=4 +1  Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal.

Matriz Diagonal ■ É toda matriz quadrada A = (aij)n x m, onde aij = 0 para todo i j.

Exemplo: A=

0 0 0

0

0 0

0 0 0

1 0 0 0 0

3 0 0 5

34 n Matemática

3x3

matriz quadrada de ordem 3.

Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

2

0 0 0

3x3

0 0 3 4x4

3x3

0 0  1

nxn

Matriz Linha: ■ É toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n Exemplo: A = (2 1

4)1 x 3

Matriz Coluna: ■ São matrizes que apresentam uma coluna, onde A = (aij)n x 1.

Exemplo: a11 A

B= 0 2 0

0 1 0 ...

0 0 1 ...    0 0 0 ...

2

a21  an1

B nx1

4 5 6

4 x1

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Matriz Nula: Matriz Nula:

OPERAÇÕES COMMATRIZES MATRIZES OPERAÇÕES COM OPERAÇÕES COM MATRIZES

■ São matrizes onde todos os seus elementos são ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero. iguais a zero.

 ADIÇÃO ADIÇÃO: ADIÇÃO:

0 0 0 ...

0 00 00 0...

0 00 00 0...

A A  0 0 0 0 0 0 ...

0 0 0

0 ...0 ...0 ... 0 ...

0 0 0  mxn 0 mxn

Matriz simétrica: Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji.

São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji.

Exemplo: Exemplo:

2 4 6 2 4 6

1 5 6 1 5 6

A= 4 5 3 A= 4 5 3

B= 5 3 2 B= 5 3 2

6 3 2 3x3 6 3 2 3x3

6 2 7 3x3 6 2 7 3x3

Matriz Anti-simétrica: Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji.

■ São matrizes quadradas onde aij = - aji.

Exemplo: Exemplo:

0 2 3 0 2 3 A= 2 0 5 A= 2 0 5 3 5 0 3 5 0

■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta ■ Seja uma matriz A = (a )t , chama-se transposta t de A e representa-se por Aij p, txaq matriz A = t (aij)q x p, de A e representa-se por A , a matriz A = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. que se obtém trocando linhas por colunas.

2

4

2

1 3

1

A= 4 3 A =2 1

2 1 0 4 4 x2 0 4 4 x2

A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes: resultados obtidos foram os seguintes: 30 20 40 35 15 45 A= e B= 30 20 40 35 15 45 A = 45 35 50 2 x3 e B = 40 35 48 2 x3 45 35 50

40 35 48

2 x3

2 x3

A matriz A descreve o desempenho da Amazônia A matriz A descreve o desempenho da Amazônia Celular onde cada elemento aij é o número de Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.

A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo sendo b o número de unidades vendidas, sendo i o modeloij e j o mês. i o modelo e j o mês.

O desempenho de vendas das duas lojas pode ser O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada representado por uma matriz C , no qual cada elemento cij é igual a soma de 2x3 seus elementos elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes. correspondentes.

30 20 40 35 15 45 C= 30 20 40+ 35 15 45 45 35 50 C= +40 35 48 45 35 50 40 35 48 30 35 20 15 40 45 65 35 85 C= 30 35 20 15 40 45 65 35 85 85 70 98 C = 45 40 35 35 50 48 45 40 35 35 50 48 85 70 98

Matriz Transposta: Matriz Transposta:

Exemplo: Exemplo:

+

+

At t A

2 4 2 0 2 4 2 0 1 3 1 4 2x 4 1 3 1 4 2x 4

3 1 5 4 B = 0 32 1 35 94 Bt t B= 0 2 3 9 B 8 1 9 10 3x 4 8 1 9 10 3x 4

3 0 8 3 0 8 1 2 1 1 2 1 5 3 9 5 3 9 4 9 10 4 x3 4 9 10 4 x3

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Definição: Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chamaDada uma matriz A = (a ) m e B = (bij)n x m, chamase soma de A + B, a matrizij nCx = (cij)n x m, tal que: cij = se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . aij + bij .

Exemplo: Exemplo: 1. Dada as matrizes 1. Dada as matrizes 2

1

A= 02 41 A= 0 4

e

2 1 3x 2 2 1 3x 2

3

e

1

matriz C, tal que C = A + B. matriz C, tal que C = A + B. 2

2

1

1

3

3

1

1

3 1 B= , determine a 4 2 B= , determine a 4 2

1

1

0

03x 23x 2

2 3 1 1 2 3 1 1

4 2 = 0 4 4 2 C= 0 4 + 4 2 = 0 4 4 2 C= 0 4 + 2 1 1 0 2 1 1 0 5 2 5 2 C= 4 6 C= 4 6 1 1 3x 2 1 1 3x 2

2 1 1 0 2 1 1 0

n

Matemática

35

MATRIZ Operações e aplicações

Fre 04 nte Fic h 02 a

Propriedades da adição da Matriz

PROPRIEDADES DAadição ADIÇÃO MATRIZ Propriedades da daDA Matriz

■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Propriedades da A adição Comutativa: + B =da B +Matriz A ■ Considere as matrizes A, CB = eC Associativa: (A + B) + A de + (Bmesma + C) ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B =AA, B++B0A ■ Considere matrizes e=C0 de ordem, sãonula válidas as propriedades a seguir: ElementoasNeutro: + Amesma = A, onde 0 é então a matriz do mesmo tipo da matriz A. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B =para B + toda A Elemento Oposto: matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula Elemento + (B A= Associativa: (A +de B)AA++eC0A'. ==A0 + + A, C) onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. do mesmoNeutro: tipo Elemento Oposto: Apara existe0 éa amatriz tal que A + A' tipo = A' da +A = 0, onde 0 é a matriz nula Elemento Neutro: + 0toda = 0 +matriz A = A,Aonde matrizA'nula do mesmo matriz A. do mesmo tipo de A e A'.

Elemento Oposto: para toda matriz A existe A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal quea matriz A' = (-A).

2 1 tipo 4 4 do mesmo de A e A'. 2 1 Obs.: A = a 0oposta 3 1de A, indicaremos A 0 3por 1(-A), tal que A' = (-A).

24 15 43 4 15 43de3xA, Obs.: a2 oposta 3 indicaremos por (-A), 3x 3 tal que A' = (-A).

A = 02 31 14 A 02 13 14

ASubtração = 04 35 31 4

5 3

A

3x3

4 0

53

3 1

4

5

3

3x3

3x 3 3x 3

Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como SUBTRAÇÃO Subtração exemplo na adição.

■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na 20 adição.

40 a subtração 15 matrizes, 45 ■A Para basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como = 30analisar e B = 35 de .

45 35 50 40 35 48 2 x3 2 x3 exemplo na adição.

A = 30 20 40 e B = 35 15 45 .

45 35 50 2x3 40 35 48 2 x3 20 +40 45 (–B), eonde (–B)35 15oposta de AA=– B30= A B= . B. 45 35 50

40 35 48

2 x3

2 x3

ASolução: – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. 30+ 20 35 15oposta 45 de B. A–B=A (–B),40onde (–B) A B Solução: 45 35 50 40 35 48

30 20 40 35 15 45  Podemos observar que a marca 1 o melhor desemSolução: A B 45 35 50 40 35 48 penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho 30 20 40 35 15 45 30 35 20 15 40 45 5 5 5 A B foi da Amazônia Celular.

40 35 48 A B 45 35 50 45 40 35 35 50 48 5 0 2 30 35 20 15 40 45 5 5 5 ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesA■ B Podemos observar que a marca melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da 45 40 35 50 55 1 0o ma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta 30 35 20 35 15 40 48 45 5 2 5 AAmazônia B Celular. da segunda, ou seja, A - B = A + (-B).

45 40 35 35 50 48 5 0 2

■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular.

Definição: A diferença matrizesdesempenho de mesma ordem é dada soma primeira com a oposta da ■■Podemos observar que aentre marcaduas 1 o melhor foi da Vivo, já pela a marca 2 oda melhor desempenho foi da segunda, Celular. ou seja, A - B = A + (-B).

Amazônia ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da Multiplicação de um número poruma umaMatriz Matriz segunda, ou seja, Aum -B= Aentre + (-B).

■Multiplicação Definição: A diferença duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da de número por segunda, ou seja, A - B = A + (-B).

Multiplicação de um número porkuma Matriz ■ A multiplicação de um número por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij.

Multiplicação de um número por uma Matriz Exemplo: ■ A multiplicação de um2número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij.

1 3 1. dada a matriz A = 4 5 0 , determine a matriz B = 3 . A. Exemplo: ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (a ij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij.

2 2 1 1 3 4 3x3 Exemplo: 1. dada a matriz A = , determine a matriz B = 3 . A. 5 0 6 4 23 1 9 3 215 1 0 4 4 5 0

2 1 3

3 . a4 matriz 5 0 = 1.B = dada A =12

B=3.

B=3.

22 11 34 4 5 0 2 1 3 2 1 4 4 5 0 2 1 4

36 n Matemática

= =

3x3

, determine a matriz B = 3 . A.

6 6 323 191243x3 3x3 12 15 0 6 3 9 6 3 12 12 15 0 3x3 6

3

12

3x3

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Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de Para multiplicarmos colunas da segunda. duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de A = (aij)segunda. mxk colunas da segunda.

C=A.B C = (cij)m x n A = (b (aijij))m x k B= kxn C=A.B C = (cij)m x n B = (bij)k x n Propriedades de de Matrizes Propriedadesda daMultiplicação Multiplicação Matrizes Propriedades da Multiplicação Matrizes Associativa: sendo A, B e C de matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. B.C. Distributiva à sendo A, BA,e BC ematrizes m xm n, xnn, x kn ex kk xep, então: (A + A.(B.C) B).C = A.C + Distributiva à direita: esquerda: sendo C matrizes k respectivamente, x p, respectivamente, então: = A.B B.C. + A.C t respectivamente, t Distributiva à esquerda: B e C matrizes m então: x n, n x(A.B) k e tk=xBp, então: A.(B.C) = A.B Sendo A e B matrizes m x nsendo e n x A, k, respectivamente, .A + A.C t t t A e B matrizes m x n e nnão x k,obedece respectivamente, então:comutativa, (A.B) = B . no A entanto existem matrizes que são Obs.:Sendo A multiplicação de matrizes a propriedade comutáveis.

Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis.

Matriz Inversa Matriz Inversa Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A , a matriz que obedece a MATRIZ INVERSA -1

-1

-1

propriedade A . A = A . A = In, onde In é a matriz identidade.

-1 Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A , a matriz que obedece a -1 -1 propriedade Exemplo: A . A = A . A = In, onde In é a matriz identidade.

2 1 .

3 4 2x 2 2 1  Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chaDetermine a inversa da matriz A = . mada matriz singular.

3 4 2x 2 Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.

Determine a inversa da matriz A = Exemplo:

+

Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.

+

Contribuições das matrizes para a educação  Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz respeito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros comparativos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.  As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de medição de desempenho da instituição escolar.  No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade. www.portalimpacto.com.br

n

Matemática

37

Fre 04 nte Fic h 03 a

DETERMINANTES Conceito e Resolução DETERMINANTES

Exemplo:

DETERMINANTE É todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais.

A

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 ... a1n a23 ... a2n a33 ... a3n

an1

an2

an3

O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA.

2

1. Dada a matriz A

3

a)

13

13 13

3 1

3

2

1

... ann

CÁLCULO DOS DETERMINANTES

1

, calcule:

4

4

3

2 4

b)

1 21

= 12 - ( -2) = 14

4

3 3

= -3 - 12 = -15

21 21

1º caso: Determinante de 1ª Ordem A = (a11) detA = a11 2º caso: Determinante de 2ª Ordem A

a11

a12

a21

a22

Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n 2, ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator i+j (-1) pelo menor complementar ij.

Regra de Crammer: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det A

a11

a12

a21

a22

det A

a11 a22

a12 a21

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem n 2 de um elemento aij, ao valor ij, correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij.

A

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13

a 21 a31

a 22 a32

a 23 ... a 2n a33 ... a3n

 an1

 an2

 an3

1+1

A11 = (-1) A11 = 11

.

11

a22 a32

a23 a32

11

= a22 . a32 - a23 . a32

32

a11 a21

a13 a23

11

= a11 . a23 - a13 . a21

... a1n

 ... ann

i+j

.

ij 2+3

A23 = (-1) A23 = - 23

11

.

23

Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n 2, o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelo seus respectivos cofatores.

A

a13 a23 a33

O menor complementar

38 n Matemática

a12

Aij = (-1)

3º caso: Determinante de 3ª Ordem Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3.

A

A

a11

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 1+1 1+2 1+3 detA = a11.(-1) . 11 + a12.(-1) . 12 + a13.(-1) . detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 det A

a11 .

a 22 a32

a 23 a33

a12 .

a21 a31

a23 a33

+

a13 .

a 21

a 22

a31

a32

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13

Exemplo:

Permuta 1ª linha com a 2ª linha

1. Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a)

1 3 1 4 3 1

A

2 2 1

detA

detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 1+1 1+2 1+3 detA = a11.(-1) . 11 + a12.(-1) . 12 + a13.(-1) . detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 detA = 1.

4 1

2 1

B

3.

1 3

2 1

+ 2.

13

1 4 3 1

12)

+

+

P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, então seu determinante é igual a zero. det A

0

Exemplo: Determine o valor de x na equação: 2 x2

4

1 3

0 0

4

0

2

1

1 3

5 6

1 3 2 4 1 3

2 1

2 1 2

2 1 4 3

0 0

3 0

0 0 4 0

detA = 1 . 3 . 4 . 2 detA = 24

2 1 2

P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera.

3 2 detA = 12 2 A 1 4 detA = 10 1ª linha menos a 2ª linha B

2

2

1

4

detB = 8 ( 2) detB = 10 detB = detA

P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante.

A

B

1ªL = 3ªL detA = 0

P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal.

A

0

2 1

1 2 3 8

detA = 8 detA = 2

6

multiplicar a 1ª linha por 2:

0

P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.

A

1

3

PROPRIEDADES DETERMINANTES Propriedades de Determinantes:

1 3 4 0 0 0 2 1 1

P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal.

A

detA = 4 ( 2) 3.[1 ( 6)] + 2.(1 detA = 4 + 2 3.7 + 2.( 10) detA = 6 21 22 detA = 37

A

detB = 4 6 detB = 2 detB =

4 3 2 1

detA = 6 detA = 2

4

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2 4 3 8

detB = 16 detA = 4

12

P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação: n

det(k.A) = k . detA,

k n

cons tan te ordem da matraz A

t

P8- detA = detA P9- det(A.B) = detA . detB P10- det A

1

1 det A

1

detA . detA = 1

Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu determinante for diferente de zero.

n

Matemática

39

Fre 04 nte Fic 04 ha -05

SISTEMAS Lineares (conceito e classificação) SISTEMAS LINEARES

EQUAÇÃO LINEAR É toda equação da forma a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b, onde x1 x2 ... xn Ex.: x + 2y + z 4w = 9

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Det A 0 - Sistema possível e determinado.

Quando Det A = 0 1- detx1 = detx2 = detx3 = ... = detxn = 0, Sistema Possível e indeterminado.

SISTEMA LINEAR É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares. a11 x 1 a21 x 1 am1 x 1

a12 x 2 a22 x 2

a13 x 3 a23 x 3

... a1n x n ... a2n x n

am2 x 2

am3 x 3

... amn x n

bm

Sistema Linear Quadrado: É quando o número de equações é igual ao número de variáveis. a11 x 1 a21 x 1

a12 x 2 a22 x 2

a13 x 3 a23 x 3

... a1n x n ... a2n x n

b1 b2

an1 x 1

an2 x 2

an3 x 3

... ann x n

bn

Equação Matricial da Forma A.X = B A - matriz dos coeficientes X - matriz das variáveis B - matriz dos termos independentes A

a11 a 21 a 31  an1

a12 a 22 a 32  an2

a13 a 23 a 33  an3

... a1n ... a 2n ... a 3n  ... ann

a11 a 21 a 31  an1

a12 a 22 a 32  an2

a13 a 23 a 33  an3

... a1n ... a 2n ... a 3n  ... ann

,

.

x1 x2 x3  xn

X

x1 x2 x3  xn

=

Exemplo: 1- Determine o valor de k, de modo que o sistema seja possível e determinado. kx y z 3 2 x y 3z 4

k 2

x

1

y

z

2

e

B

bn

Determinado: quando apresenta uma única solução.

Indeterminado: quando apresenta infinitas soluções.

Impossível: quando não apresenta solução.

1 3 1

k + 3 + 2 ( 1 3k + 2) k + 3k + 5 1 0 4k 4 k 1

0

2- Discuta o sistema: 2 1 3

b1 b2 b3  bn

1 1 1

b1 b2 b3 

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Possível: quando apresentar solução.

40 n Matemática

2- Pelo menos um dos determinantes das variáveis seja diferente de zero o sistema é impossível.

b1 b2

x

1 2 1

p 2 1

0

3 1 5

1 2 1

1 2 1

0

2x y pz 3 x 2 y 2z 1 3x y z 5

p=1

y

2 1 3

3 1 5

1 2 1

detx = 0 p 1 - Sistema possível e determinado dety = 2 18 + 5 dety = 15 + 20 dety = 5 dety 0 detx = 0 Sistema impossível

( 3

20 + 3)

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SISTEMAS SISTEMA HOMOGÊNEOS HOMOGÊNEO

SISTEMAS LINEARES LINEARES NÃO SISTEMAS NÃOQUADRADOS QUADRADOS

É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial.

1º) Se o número de equações maior que o número de variáveis. O sistema é possível e determinado ou impossível.

a11 x 1 a21 x 1 an1 x 1

a12 x 2 a22 x 2 an2 x 2

a13 x 3 a23 x 3 an3 x 3

... a1n x n ... a2n x n ... ann x n

Exemplo:

0 0

x y 6 2x y 0 3x 2y 14

0

x1 = x2 = ... = xn = 0

3x + 2y = 14 3 . 2 + 2 . 4 = 14 6 + 8 = 14

Solução trivial: S = {(0, 0, 0, ..., 0)} Det A 0 - possível e determinado e a solução é trivial.

Det A = 0 - possível e indeterminado.

Det A = 0

m + 2 + 6 (3m 1 m 3m + 8 + 5 0 2m 13 13 m 2

5)

1 2 1

2 m 1

y

6

2x

y

0

3x = 6 x=2 x+y=6 y=6 2 y=4

Possível e determinado

Exemplo: Determine o valor de m, de modo que o sistema apresente apenas a solução trivial. x 2y 3z 0 2x my z 0 x y z 0

x

3 1 1

2x

y

4

x

y

3

3x

y

2

Substituindo em I 2x 2 10 4 17 4

x y 3 3x y 2

4x = 5

0

x

y 5 4

7 4

4 4 7

14 14

14

5 4

x+y=3 y

3

y

7 4

+

REGRA DE CRAMER

Dado um sistema:

5 4

+

 a11 x 1  a 12 x 2  a 13 x3  ...  a 1 n x n  b 1 a x  a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 23 3 2n n 2   a n1 x 1  a n2 x 2  a n 3 x 3  ...  ann xn  bn

1º Calcula-se o detA 2º Calcula-se o determinante das variáveis, substituindose os seus coeficientes pelos termos independentes.

3º Cada variável é a razão entre seu determinante e o determinante dos coeficientes. x1 

det x 1 ; det A

x2 

det x 2 ; det A

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x3 

det x 3 det A

n

Matemática

41