UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI • Nombre: David Quelal Tercer Nivel. • Licenciatura en Física y Matemática Cuarto Nivel. Maestría en Enseñanza de la Matemática Especialización en Gestión de la calidad Educativa
1.1 Proposiciones y Notación
Introducción • La lógica es el estudio de los métodos y los principios indispensables para distinguir el razonamiento correcto del razonamiento incorrecto. • En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. • De manera general se puede afirmar que la Lógica Matemática surge de aplicar a la Lógica los métodos de la Matemática. La Lógica Matemática es, por lo tanto, la disciplina que trata de métodos de razonamiento.
• La lógica matemática está sustentada en el estudio de oraciones particulares a las que llamamos proposiciones. • Una proposición es una expresión o afirmación, la cual se puede calificar de dos maneras: verdadera o falsa (nunca ambas). En matemáticas generalmente se simboliza con una letra mayúscula de las últimas del alfabeto. Ejemplo: • ��: ������������á��������������. • ��: ����������������������������,����������������������������������é. • ��: 3+4=7 Todas estas proposiciones se pueden valorar como verdaderas o falsas.
Proposición
Proposiciones Simples • Las proposiciones simples o atómicas como su nombre lo indica, son oraciones simples que no contienen un conectivo lógico. Ejemplo: • ��: ������������������������. • ��: ��������ℎ����������í��. • ��: ������������������������������������������.
Clasificación de las Proposiciones
Proposiciones Compuestas • Las proposiciones compuestas o moleculares son la composición de dos o más proposiciones simples unidas por un conectivo lógico. Ejemplo: • ��: ��������������������������������������������. • ��: ��������ℎ����������í����ℎ����������������. • ��: ����������������������������������������������ℎ����������������. • ��: ����������������������������������������������,����������������������������������������������������. • ��: ������+2=7,������������������ =5.
b)
e)
a)
Proposiciones Simples y Compuestas: Ejercicios Propuestos
i)
d)
Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, y en aquellas que lo sean identificar cuáles son proposiciones simples y cuáles son compuestas. Ángela y Fiorella son hermanas. ¡Qué calor! Hace calor. Es sábado. No es cierto que Juan habla francés e inglés. Llueve. g) Hace calor y tengo ganas de ir a la playa. Tengo hambre, frío y no consigo un taxi. Los alumnos de este curso son inteligentes o estudian mucho. Si un número es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6. k) 5 es un número primo.
c)
f)
h)
j)
1.2 Operadores lógicos: Negación, conjunción, disyunción. Tablas de verdad
Operadores Lógicos • Son las expresiones lingüísticas que conectan proposiciones: y; o; no; si… entonces…; solo si…, entonces... OPERADOR LÓGICO SIMBOLOGÍA Negación ¬ ~ Conjunción ^ Disyunción v Condicional → Bicondicional ↔ Disyunción Exclusiva ∨ Conjunción Negativa ↓
Operadores Lógicos: Negación • Es un conectivo lógico que utiliza la palabra “no”, tradicionalmente se simboliza por (¬), aunque puede encontrarse como (~) o (/). Ejemplo: • ��: ����������������������������������������������ℎ����������������. • ��:��������������������������

la o donde solo ocurre una o la otra. Si ambas proposiciones son verdaderas, la proposición
A
Es un conectivo lógico que utiliza la letra “y”; tradicionalmente

es verdadera
Lógicos:
Operadores Conjunción se simboliza por ( tiempo. diferencia de compuesta
∧), puede también encontrarse como (•) o (∩). Ejemplo: • ��: ��������������������������������������������. • ��: �� =6���� =8 La expresión y significa que ambas cosas suceden al mismo
Operadores Lógicos: Disyunción • Es un conectivo lógico que hace uso de la letra “o”; tradicionalmente se simboliza por (∨), puede también encontrarse como (∪). Ejemplo: • ��: ��������ℎ������������������ℎ����������í��. • ��: �� =1���� =3 Si ambas proposiciones son falsas, la proposición compuesta es falsa

Entender bien las tablas de verdad es, en gran medida, entender bien a la lógica formal misma” (Barceló, 2012: 1). Una tabla de verdad muestra el valor de verdad de una proposición compuesta. Así como lo explica el principio de bivalencia: una proposición puede ser verdadera o falsa únicamente, nunca ambas. El valor verdadero se representa por una “V” o un “1” o “ ┳ ” El valor falso se representa por una “F” o un “0” o “┻”
•
Operadores Lógicos: Tablas de Verdad
•
Orden de los operadores lógicos • Se desarrollan primero los paréntesis • Si no hay paréntesis, se debe desarrollar de acuerdo a la jerarquía de los operadores: 1) Negación 2) Conjunción o disyunción 3) Condicional 4) Bicondicional
EJEMPLOS • (p^q)vq • ~(pVq) ^ (~p ^ ~q)
EJERCICIOS PROPUESTOS Tabla de Verdad: Negación, Conjunción y Disyunción Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:

1.3 Operadores lógicos: Condicional, bicondicional, disyunción exclusiva, conjunción negativa. Tablas de verdad
Operadores Lógicos: Condicional • • Se presenta por la expresión “si..., entonces...”; tradicionalmente sesimboliza por (→); a veces se omite el entonces de manera escrita, pero sesobreentiende Ejemplo: • ��1: ����������������������������������������������á��������,��������������������������������������������������ó��������. • ��2: ������������������������������������������á��������,����������������������������������ó��������. • ��3: ��������������������������������������������������á��������,����������������������������������ó��������. • ��4: ��������������������������������������������������������á��������,����������������������������������ó��������. • ��5: ����������������ó��������������������������������������������������������������á��������. • ��1: ������ =0,������������������+2=2. • ��2: ���������������� =0,��+2=2. • ��3: ��+2=2,�������������� =0.
Propiedad Fundamental • El condicional de dos proposiciones es falso, si el antecedente es falso y el consecuente es verdadero

Se presenta por la expresión “solo si… entonces…” o la expresión “… si y solo si…”, tradicionalmente se simboliza por (←→); significa que en ambos sentidos se cumple la implicación. =2. El bicondicional son dos implicaciones (“en ida y vuelta”), de ahí su nombre.
• Ejemplo: • ��: ��+3=5,��������������������
•
Operadores Lógicos: Bicondicional

Operadores Lógicos: Disyunción Exclusiva • Si ambas proposiciones son verdaderas o falsas, la proposición compuesta es falsa • La disyunción exclusiva se representa con el término gramatical “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o…, o…”. • Ejemplo: • ��: ����������������������á��. • ��: ������������������������ • La disyunción exclusiva entre ������ es: • ������: ������������������������á����������������������������

• Sean ������ proposiciones, la conjunción negativa entre ������ se representa por ��↓�� y se lee: “no �� y no ��” . Si ambas proposiciones son falsas, la composición compuesta es verdadera, en caso contrario es falsa.
Operadores Lógicos: Conjunción Negativa

Conjunción. Si dos proposiciones son verdaderas la proposición compuesta es verdadera Disyunción. Si dos proposiciones son falsas, la proposición compuesta es falsa Condicional. Si la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, la proposición compuesta es falsa Bicondicional. Si dos proposiciones son verdaderas o falsas, la proposición compuesta es verdadera Disyunción Exclusiva. Si dos proposiciones son verdaderas o falsas, la proposición compuesta es falsa Conjunción Negativa. Si dos proposiciones son falsas, la proposición compuesta es verdadera
RESUMEN TABLAS DE VERDAD

Actividad - Realizar un organizador gráfico de las definiciones de Lógica matemática, proposición, proposición simple, compuesta Realizar un organizador gráfico de los operadores lógicos
•
•
EJEMPLOS • ~��↔~�� →�� • ~��^�� ⊻~�� → ��∨�� • (��∧��)→��
EJERCICIOS PROPUESTOS a)¬p→¬q b)¬(¬p∨¬q) c)¬(p→q) ↔ (¬p∧q) d)(p ↔ q)∨(¬p↓¬r) e)¬(p∨q) ↔ (q→¬r) Confeccionar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
EJERCICIOS PROPUESTOS 2 a) (p→q∧¬q)→¬p b) p→¬q v(q→¬r) c) pvq ∧ (¬q→��) d) p→¬q v(q→¬r)


1.4
Leyes de Inferencia
Las leyes de inferencia sirven para deducir conclusiones lógicas a partir de premisas. La conclusión en este sentido es una consecuencia lógica de las premisas
Leyes de Inferencia
•
• ��∨¬�� =V • ��^¬�� =F Equivalencia Lógica 1)�� → �� ≡ ¬�� ∨ �� 2) �� ↔ �� ≡ �� → �� ∧ �� → �� 3)¬ ¬�� ≡ �� Nombre Disyunción Conjunción ������������������������ ��∨�� ≡�� ��∧�� ≡�� ���������������������� ��∨�� ≡��∨�� ��∧�� ≡��∧�� �������������������� (��∨��)∨�� ≡��∨(��∨��) (��∧��)∧�� ≡��∧(��∧��) ��������������ó�� ��∨(��∧��)≡�� ��∧(��∨��)≡�� ������������������������ ��∨(��∧��)≡ ��∨�� ∧(��∨��) ��∧(��∨��)≡ ��∧�� ∨(��∧��) �������������������������� ¬(��∨��)≡¬��∧¬�� ¬(��∧��)≡¬��∨¬�� ������������������ �� ≡�� ContradicciónTautologìa
Leyes de Inferencia: Modo Ponendo Ponens (PP) Significa, afirmando el antecedente, afirmo el consecuente �� →�� (��������������) �� (��������������) ---------∴�� (����������������ó��) • Ejemplo 1: �� =������������. �� = ��������������������������. ����������������,������������������������������������������. (��������������) ������������. (�������������� −−−−−−−−−− ∴ ��������������������������. (����������������ó��) • ������ pueden ser una premisa simple o una premisa compuesta, en todo caso, si �� se cumple, entonces se concluye ��.
Ejemplo 2: • • �� =������������. • �� = ��������������������������. ¬�� →¬�� (��������������) • ¬�� (��������������) • ---------• ∴¬�� (����������������ó��) ��������������������,����������������������������������������������. (��������������) ����������������. (��������������) −−−−−−−−−− ∴ ������������������������������. (����������������ó��)
Significa: Si se niega la segunda proposición, se niega la primera proposición �� →�� (��������������) ¬�� (��������������) ---------∴¬�� (����������������ó��) Ejemplo: • �� =������������. • �� = ��������������������������. ����������������,������������������������������������������. (��������������) ������������������������������. (��������������) −−−−−−−−−− ∴ ����������������. (����������������ó�� Leyes de Inferencia: Modo Tollendo Tollens (TT)
• Significa: si niego algo dos veces entonces lo afirmo. ¬¬�� ≡ �� • Ejemplo: • ��: ������������. • ¬¬�� = ����(����������������). • ����������������������������. Leyes de Inferencia: Doble Negación (DN)
• Si disponemos de dos enunciados afirmados como premisas separadas, entonces puedo unirlos mediante una conjunción (��). �� (��������������) �� (��������������) ---------∴��∧�� (����������������ó��) • Ejemplo: ��: ����������������������������. ��: ������������������������í��. ����������������������������. (��������������) ������������������������í��. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−− ∴ ������������������������������������������������������í��. (����������������ó��) Leyes de Inferencia: Adjunción (A) o Conjunción
En la operación inversa a la adjunción o conjunción, si tengo una conjunción, puedo separar cada una de las partes: ��∧�� (��������������) ---------∴�� �� (����������������ó��) • Ejemplo: ��: ����������������������������. ��: ������������������������í��. ������������������������������������������������������í��. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−− ∴ ������������������������������. (����������������ó��) ∴ ����������������������í��. (����������������ó�� Leyes de Inferencia: Simplificación (S)
Si disponemos de dos enunciados como premisas separadas, entonces puedo unirlos mediante una disyunción (o). �� (��������������) �� (��������������) ---------∴��∨�� (����������������ó��) • Ejemplo: ��: ����������������������������. ��: ������������������������í��. ����������������������������. (��������������) ������������������������í��. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ������������������������������������������������������í��. (����������������ó��) Leyes de Inferencia: Disyunción (D)
• ��∨�� (��������������) ��∨�� (��������������) • ¬�� (��������������) ¬�� (��������������) • ---------- ---------• ∴�� (����������������ó��) ∴�� (����������������ó��) • Ejemplo: �� =������������������. �� = ����������������������. ������������������������������������������. (��������������) ��������������������������. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−− ∴ ������������������. (����������������ó��) Leyes de Inferencia: Modo Tollendo Ponens (TP)) Si disponemos de una proposición compuesta por una disyunción y la negación de una de las proposiciones simples como premisas, entonces podemos concluir la proposición simple que no ha sido negada.
• El conectivo lógico de la negación significa que es la operación contraria, de manera que esta regla también aplica para: • • ¬��∨�� (��������������) ¬��∨¬�� (��������������) • �� (��������������) �� (��������������) • ---------- ---------• ∴�� (����������������ó��) ∴¬�� (����������������ó��)
• Si disponemos de un enunciado verdadero, se le puede adicionar mediante la disyunción cualquier otra proposición: �� (��������������) ---------∴��∧�� (����������������ó��) • Ejemplo: ��: ����������������������������. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ������������������������������������������������������í��. (����������������ó��) Leyes de Inferencia: Ley de la Adición (LA)
• Si disponemos de dos premisas que son implicaciones y el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, podemos concluir una implicación entre el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda: �� →�� (��������������) �� →�� (��������������) ---------∴�� →�� (����������������ó��) • Ejemplo: • ��: ������������������. • ��: ��������������������������. • ��: ����������������������������������������������é����������������. • ����ℎ����������������������������������������������������������. (��������������) • �������������������������������������������������������� • ������������������������������������é����������������. (��������������) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • ∴ ����ℎ�������������������������������������������������������� • ����������������������é����������������. (����������������ó��) Leyes de Inferencia: Silogismo Hipotético (SH)
• Para utilizar esta ley se requieren 3 premisas, una disyunción y dos condicionales. Donde la disyunción dada está compuesta por los antecedentes de ambas condicionales, y la conclusión será la disyunción compuesta por los dos consecuentes de las premisas dadas. • ��∨�� (��������������) �� →�� �������������� �� →�� (��������������) • ---------• ∴��∨�� (����������������ó��) • Ejemplo: • ��: ������������. • ��: ��������������������á��������. • ��: ������������������������������. • ��: ������������������������������������������. • • ����������������������������������á��������. (��������������) • ��������������������������������������������������������������. (��������������) • ������������������������á������������������������������������������������������������������. (��������������) • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − • ∴ ��������������������������������������������������������������������������. (����������������ó�� Leyes de Inferencia: Silogismo Disyuntivo (SD)
• RESUMEN



EJERCICIOS Simplificar ~ p∨q ∨(~q∧p)
EJERCICIOS PROPUESTOS • Tautología, contradicción y contingencia 1. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales no es tautológica: • ��)(¬�� →¬��)→(¬��∨��) • ��)(��∨��)→(¬�� →��) • ��)[(��→��)∧��]→�� • ��)(��→��)→(�� →��) • ��)[(��∧��)∧��]→[(��∨��)∧(��∨��)] 2. Si ��,������ , son variables proposicionales, entonces ¬��→(��∨¬��) es una contradicción: a) Verdadero b) Falso 3. Considere las variables proposicionales ��,������ , determine si la forma proposicional (�� →��)∧¬(�� →��) es tautología, contradicción o contingencia.
• Leyes de Inferencia 1. Utilizando modus ponendo ponens, obtener una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes: • (1)������ → �� • (2)������ • (1)¬�� → ¬�� • (2)¬�� 2. Deducir una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, aplicando la regla del modus tollendo tollens: • (1)�� → �� �� • (2)¬�� �� • (1)¬�� → �� �� • (2)¬�� ��
3. Deducir una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas usando el modus tollendo ponens: • (1)¬������ �� • (2)¬�� �� • (1)����(�� → ��) �� • (2)¬�� ��
1.5 Métodos de Demostración
Demostración Directa • También denominada “marcha adelante”, si queremos demostrar que �� →��, examinamos los elementos que aparecen en ��; y, con la atención puesta en ��, intentamos deducir �� a partir de una secuencia de pasos lógicos que comience en �� y termine en ��. Ejemplo: ��: ��������ú����������������������������������,��������������������. ��: ������������������+����������������é��������ú��������������.
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Ejercicio Propuesto
Demostrar el teorema de Pitágoras que señala: en un triángulo rectángulo (������) el cuadrado del cateto ��, más el cuadrado del cateto �� es igual a la hipotenusa �� al cuadrado, ��2 +��2 =��2. Utilizar el método de demostración directa.
Ejercicios
1. Demostrar que el cuadrado de un número impar es un impar. Utilizar el método directo
UNIDAD I. Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos
1.4. Definición, notación y representación de conjuntos
Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español. Ejemplos Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: Los números enteros. Los animales en extinción. Los números primos. Los paquetes de software. Los operadores de telefonía celular. Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con precisión.
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Conjunto
Definición: Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida.
Para decir que �� es un elemento del conjunto ��, escribiremos �� ∈ ��. Para decir que �� no está en ��, escribiremos �� ∉ ��.
Subconjunto • Definición: El conjunto �� es subconjunto de �� si y sólo si los elementos de �� están contenidos en ��. Simbólicamente, este concepto se representa por: (�� ⊆ ��) ⇔∀�� [(�� ∈��) → (�� ∈��)] • Si �� es subconjunto de ��(�� ⊆ ��) pero �� no es subconjunto de ��(�� ⊈��), se dice que �� es SUBCONJUNTO PROPIO de ��, lo cual se representa por: (�� ⊂ ��) ⇔ [(�� ⊆ ��) ∧¬(�� = ��)]
Ejemplo: Sean los conjuntos AyB: A={18,19,20,21,22,23,24}B={22,23,24} Interpretación: B es subconjunto de A porque los elementos de B están incluidos en A.

Notación de Conjuntos Símbolo Descripción {} Conjunto ∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto. ∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. l Tal que. U Conjunto Universo. Φ Conjunto Vacío. ⊆ Subconjunto de. ⊂ Subconjunto propio de. ⊄ No es subconjunto propio de. > Mayor que. < Menor que. Los símbolos ahorran tiempo y espacio al escribir. Estos son los símbolos de conjuntos más comunes: Símbo lo Descripción ≥ Mayor o igual que. ≤ Menor o igual que. ∩ Intersección de conjuntos. ∪ Unión de Conjuntos. A' Complemento del conjunto A. = Símbolo de igualdad. ≠ No es igual a. ==> Entonces. ⇔ Si y sólo si. ∼ No (es falso que). ∧ Y ∨ O
La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras:
A Representación de conjuntos
• Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo gráficamente. que: b∉

• Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. amistad}A={x/xesconsonantedelapalabra
d∈A
Note
• Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. A={d,m,s,t}
•TEMA 8. Cuantificadores: Universal y existencial
a) Cuantificador universal: El cuantificador universal se
conjunto,
equivalencia,
se les
Cuantificadores tipos de expresiones con las cuales podemos indicar cuantos elementos, pertenecientes a un determinado cumplen con ciertas propiedades sean pertenencia, entre otras. utiliza para afirmar que todos los una propiedad, considera
Son
determinada
elementos de un conjunto cumplen con
ya
como tal a todas aquellas frases que incluyen "Todos" o "Ninguno". El cuantificador universal se denota por el símbolo ∀, acompañado de la variable o variables en cuestión. Es decir, si la variable es �� se denota ∀��. Ejemplo: ��: ������������������������ü��������������������������. ��: ��������ú��������������������������������������������������������. ��: ������������������ú��������������������������������������������é����������������������.
b) Cuantificador existencial: Se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto a que cumple o cumplen con una condición determinada, son todas aquellas frases que incluyen la idea de "Algunos". El cuantificador existencial se denota por el símbolo Ǝ , acompañado de la variable o variables en cuestión, es decir si la variable es x se denota Ǝ��. Ejemplo: ��: ����������������������ü��������������������������. ��: ��������������������������������������������������������������������������������������������. ��: ����������������ú����������“��”��������������������������������é����������������������.
Negación de cuantificadores En lógica de predicados la negación sobre un cuantificador universal se escribe a través del cuantificador existencial y se niega su alcance. Ejemplo: ��1: ������������������������������������������������������������������������. Su negación sería decir “No todos los adolescentes se sienten incomprendidos”, que sería lo mismo que decir “EXISTE algún adolescente que no se siente incomprendido”.
Donde: �� =����������ℎ������������. �� ∈ �� ��= ��������������������������. �� = ������������������������������������������. Generalizando se puede decir que la negación de un cuantificador universal (����) corresponde a la negación de la función, acompañada de un cuantificador existencial. ¬∀��[��(��)] = Ǝ��[¬(��(��))] La negación de un cuantificador existencial (����) , siguiendo esta misma lógica, quedaría como sigue: ¬Ǝ��[��(��)] = ∀��[¬(��(��))]
la división es un número entero). 2 es un número par, luego 2 ∈ �� y es
Reglas de los cuantificadores
divisible
Cuando algo es válido para todos los elementos del dominio (o sea que hace uso de un cuantificador universal) es posible particularizarlo; decir, nombrar un elemento particular del dominio. por cuando el resultado de un caso lo tanto: se observa, en este caso quitado se ha sustituido por un caso específico.
particular, por
se ha
La regla de la particularización del universal indica que: ∀�� [��(��)] −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ��(��)������������ ∈ ����������������������������������������.
[��(2)]. Como
el cuantificador universal y la variable x
Particularización del universal (PU)
es
Ejemplo: ∀��[��(��)] Donde: �� =��ú��������������������. �� ∈ �� D: es divisible entre dos (se entiende
��(��)������������ ∈ ���������������������������������������� −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ∀�� [��(��)]
Generalización del universal
Cuando una afirmación proviene de un cuantificador universal y se ha particularizado es posible regresar al cuantificador
Advertencia: Aplicarla siempre que se tenga la certeza de que la afirmación proviene de una universalización.
universal. A esta regla se le conoce como la generalización del universal. Para hacer uso de esta regla, es muy importante tener la certeza de que la afirmación original proviene de un cuantificador universal. De otra forma esta regla no se puede aplicar.
Ejemplo: 4 es divisible entre dos. 4 pertenece al dominio (D)de los números pares y sabemos que todos los números pares son divisibles entre dos. Por lo tanto, a partir de este caso particular se puede generalizar. La regla de la generalización del particular es la siguiente:
Ǝ��[��(��)]
Cuando algo es válido para algunos elementos del dominio (o sea que hace uso de un cuantificador existencial) es posible particularizarlo; es decir, nombrar un elemento particular del dominio que cumpla con la regla descrita. Es muy importante asegurarse de que el elemento específico que se está indicando como caso particular cumpla con la regla. Ejemplo:
Particularización del existencial
Donde: �� =��ú��������������������. �� ∈ �� ��: ��������������������������������8. 2 es un número par, luego 2 ∈ ��, pero dos no es divisible entre 8, entonces 2 no es un caso particular de la afirmación dada. Se elige entonces al 16, luego 16 ∈ �� y cumple con la condición de ser divisible entre 8, por lo tanto 16 puede ser un caso particular de la afirmación. La regla de la particularización de un existencial es la siguiente: Ǝ�� [��(��)] −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ ��(��)������������ ∈ ����������������������������������������������������������ó������������������
del
Cuando tienes un caso específico que cumpla con una función, puedes hacer uso de un existencial que te indique que menos existe un caso que cumple con esa función en específico. resultado
al
Generalización existencial.
de la división es un número entero). �� es un número par, luego �� ∈ �� y es una función válida decir que: [��(��)]. Como se observa en este caso, se puede afirmar la existencia de un determinado ��, tal que �� ∈ ��. La regla de la existencialización del particular indica que: [��(��)] −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ Ǝ����(��)������������ ∈ ��
Ejemplo: [��(2)] Donde: �� =��ú��������������������. 2 ∈ �� D: es divisible entre dos (se entiende como divisible cuando el
1.4. Clasificación de conjuntos: Conjunto vacío, universo, finito, infinito
Conjunto vacío A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es ∅��{��}. Ejemplos: �� = {����⁄ ������������������������������������������������������������300��ñ����} Descripción del conjunto. �� ={��} Sea el conjunto: = {��/��2 = 5,������������ú����������������������������������}. Solución: (2)2 = 4 (4)2=8 Interpretación. Es un conjunto vacío porque no hay un número natural y par que al multiplicarlo por 2 de igual a 5.
Conjunto unitario �� es UNITARIO si tiene un único elemento. ��(��) = 1 �� = {∗} Ejemplo: ��={��/������������������������������������ℎ�������������������������������������������������� ����������������������������ó�� ������������������������������������} Interpretación En la UPEC solo hay una facultad donde se enseña la carrera de administración de empresas por lo que la (��)=1. Ejemplo 2. Sea el conjunto �� ={��/������������ú���������������������� ����������������0������������������2}
Conjunto finito Conjunto finito es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos concluye en algún instante. Ejemplos: Sea el conjunto �� = {��/����������������}������������������������������������������������������(��) = 5. Sea el conjunto: �� = {��/����������é����������������������������������������} Solución: �� = {������í��������,������á����������,í����������,������á����������,á����������} Sea el conjunto: �� = {��/����������������������������������������}
Conjunto infinito Un conjunto se denomina infinito cuando posee una cantidad ilimitada de elementos y por ende es difícil de contabilizar.
Ejemplos: Sea el conjunto �� = {��/��������������������������������������������������������}, el cual es un conjunto infinito ya que es imposible saber el número exacto de constelaciones que hay en el universo.
lo
los
no interesa al
Es
que deseen considerarse en un
discurso o tema, sin pretender contener
Conjunto referencial o universo cuando contiene todos elementos problema, todo que problema.
El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es ReoU. A={x/xesunaletradelalfabetoespañol} Sea el conjunto A ={sen(x),cosc(x),tan(x)} . Determine su conjunto universo. Solución: U ={identidades trigonométricas}

TEMA 6. Relaciones entre conjuntos: Contenencia e igualdad
Si todo elemento �� de un conjunto �� es también elemento de un conjunto ��; se dirá que �� está contenido en �� o que �� es un subconjunto de �� (y se escribirá (�� = ��) ⇔ [(�� ⊆ ��) ∧ (�� ⊆ ��)]. Si �� es un subconjunto de �� y existe un elemento de �� que no pertenece a ��; entonces �� es un subconjunto propio de ��: ��⊄ ��ó�� ⊂ ��: Dos conjuntos ������ son iguales si contienen los mismos elementos. Por ejemplo, los conjuntos �� = {−2; 1; 0; −7}���� = {−7; 1; 0; −2} son iguales. •
Inclusión e igualdad de conjuntos
Nota importante: para demostrar que dos conjuntos ������ son iguales, es necesario verificar las dos siguientes condiciones: 1)�� ⊆ �� 2)�� ⊆ ��
-Ejemplos:Elconjunto
-El conjunto T = {2,4,6} es igual al conjunto P = {2,4,2,6,2,4}. Note que todos los elementos de T pertenecen a P, y recíprocamente, todos los elementos de P pertenecen a T. Esto nos dice que en un conjunto basta con escribir una sola vez cada elemento. -Sean A = {x ∈ R: x2 + x - 2 = 0} y B = {-2; 1}. Los elementos de A son las soluciones de la ecuación x^2 + x - 2 = 0; es decir, son los números x1 = 1 y x2 = -2: Ya que x1 ∈ B y x2 ∈ B,A ⊆ B: Ahora está claro que también B ⊆ A: Por tanto, A = B: -Sean A = {a; b; c; d} y B = {c; a; d; b}; entonces A = B:
{1,2,3} es igual al conjunto {3,1,2), ya que tienen los mismos elementos.
Observe que esto nos indica que el orden en que escribimos los elementos de un conjunto no importa.
Represente por medio de un diagrama de Venn al conjunto A = {2,4,6}, y considere el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,6,7}.

Conjuntos disjuntos e intersecantes Definición Los conjuntos ������ son DISJUNTOS si y sólo si ������ no tienen elementos en común. Los conjuntos ������ son INTERSECANTES si y sólo si ������ tienen al menos un elemento común. Ejemplo: Sean los conjuntos: �� = {����������,����������������,��������������} y �� = {����������,����������,������í����������} Determine sin son conjuntos disjuntos o intersecantes.

Ejemplo: • Determine si ������ son conjuntos disjuntos o intersecantes. Solución: �� ∩ �� = {������������������������} Son conjuntos intersecantes porque tienen un elemento en común

TEMA 7. Operaciones entre conjuntos: Complemento, unión, intersección y diferencia
•
Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones más utilizadas son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación.
Complementación de conjuntos Definición: Su símbolo es: ���� . Sea ∪ el conjunto universo o referencial ����, en donde se hallan todos los elementos u objetos posibles, entonces el complemento de �� con respecto a ∪ se obtiene restando a ∪ todos los elementos del conjunto ��. ���� =∪−�� Se denota por ���� y se define como: ���� ={��/(�� ∈����)∧¬(�� ∈��)} Diagrama de Venn de la Complementación de Conjuntos

Ejemplo: Sea el conjunto universo �� = {��/��������ú��������������}���� = {2,5,7,8,9}, describa por tabulación ���� Definición. de conjuntos: �� = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20… �� = {2,8} Solución del problema: ���� ={4,6,10,12,14,16...}
Unión entre conjuntos Definición: La unión entre los conjuntos ������ es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto �� o al conjunto ��. Se denota por ��∪�� y se define como: ��∪�� = {��/(�� ∈��)∨(�� ∈��)} Diagrama de Venn de la Unión entre Conjuntos

Intersección entre conjuntos
Definición: La intersección entre los conjuntos ������ es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto �� y al conjunto ��. Se denota por ��∩�� y se define como: ��∩�� = {��/(�� ∈��)∧(�� ∈��)} Diagrama de Venn de la Intersección entre Conjuntos

• Diferencia entre conjuntos • • Definición: La diferencia entre los conjuntos ������ es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto ��, pero no pertenecen al conjunto ��. Se denota por ��−�� y se define como: • • ��−�� = {��/(�� ∈��)∧¬(�� ∈��)} • • Diagrama de Venn de la Diferencia entre Conjuntos •

• Diferencia simétrica entre conjuntos • Definición: La diferencia simétrica entre los conjuntos ������ es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto �� o al conjunto ��. • • Se denota por ������ y se define como: ������ = (��−��)∪(��−��), o también: • • ������ = {��/[(�� ∈��)∧¬(�� ∈��)]∨[(�� ∈��)∧¬(�� ∈��)]} • • Diagrama de Venn de la Diferencia Simétrica entre Conjuntos

Conjunto potencia aquel que está formado por subconjuntos que para
este conjunto es ��(��). ��(��) = {��/�� ⊆ ��} La cardinalidad del conjunto potencia de �� se denota como ��(��(��)) y es igual a 2 ��(��) . Ejemplo: Si �� = {∗,+,��}, entonces ��(��) = {∅,{∗},{+},{��},{∗,+},{∗,��},{+,��},��}. A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas: {∗,+} ⊂ �� {∗,+} ∈��(��) ∅ ∈��(��) Observe que ��(��(��))=23 =8.
Potencia Definición: Dado un conjunto ��, su conjunto
es
todos los
se utiliza
posibles de ��. El símbolo
TEMA 9. Ejercicios de Aplicación
EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES DE CONJUNTOS



A) De las tres operaciones proporcionadas para cada ejercicio subraye aquella que corresponda a la zona gris (zona sombreada)





EJEMPLOS


Sean A, B, C, D, E y F conjuntos no vacíos. Para cada inciso, hacer un diagrama de Venn que cumpla con las condiciones que se plantean:
¿Cuantos elementos pertenecen al conjunto potencia P(A)? y ¿cuales son sus elementos? si A = {manzana, pera, fresa, sandia}.

Considérese el siguiente diagrama de Venn.

Poner en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa.

I. La compañía “Desarrollo de sistemas S.A.” necesita contratar 18 personas que programen en Access y 12 personas que programen en Java. De estos programadores se considera que 10 personas saben programar tanto en Access como en Java. ¿Cuántos programadores deberá contratar la compañía?
Resolver los problemas de los siguientes incisos usando conjuntos finitos:
Resolver los problemas de los siguientes incisos usando conjuntos finitos: I. De un grupo de 40 alumnos del Tecnológico de Morelia, algunos están estudiando para presentar examen como se indica a continuación: 26 Teoría de la computación. 18 Redes de computadoras. 20 Inteligencia artificial. 13 Teoría de la computación y redes de computadoras. 8 Redes de computadoras e inteligência artificial. 10 Teoría de la computación e inteligencia artificial. 4 estudian las tres asignaturas. a) ¿Cuantos de ellos no estudian para ninguna de las tres asignaturas? b) ¿Cuantos de ellos estudian únicamente para inteligencia artificial? c) ¿Cuantos están estudiando teoría de la computación y redes pero no inteligencia artificial?
Problemas propuestos ¿Cuales son los elementos de los siguientes conjuntos? a) A = {x | x Z+; x es primo; x es par} b) B = {x | x Z+; 5 > x 2} c) C = {x | es una letra de la palabra “América” diferente de vocal} d) D = {x | x Z+; x es múltiplo de 7; x < 100; x es impar} e) E = {x | x Z; 0 x3 < 100} Escribir el conjunto en la forma {x | P(x)}, donde P(x) es una o varias propiedades comunes de los elementos del conjunto. a) A = {do, re, mi, fa, sol, la, si} b) B = {1, 4, 9, 16, 25, 36} c) C = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19} d) D = {c, o, n, j, u, t} e) E = {6, 12, 18, 24, 30}
¿Cuantos elementos pertenecen al conjunto potencia P(A)? y ¿cuales son sus elementos? si A = {x | x es una letra vocal del alfabeto}. Sean A, B, C, D, E y F conjuntos no vacios. Para cada inciso, hacer un diagrama de Venn que cumpla con las condiciones que se plantean:

Considerese el siguiente diagrama de Venn.

Poner en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa.

I. Sean los conjuntos: U = {x | x Z; 0 < x < 100} A = {x | x Z+; x es par; x < 10} B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} C = {x | x Z+; x es divisible entre 3; x < 16}


d)
b)
c)
Resolver los problemas de los siguientes incisos usando conjuntos
a)
De
finitos: una muestra de 42 estudiantes de la carrera de informática se obtuvo el siguiente numero de reprobados por materia: 28 Matemáticas para computación. 26 Fundamentos de programación. 17 Administración. 16 Matemáticas para computación y fundamentos de programación. 12 Fundamentos de programación y administración. 8 Matemáticas para computación y administración. 4 Matemáticas para computación, fundamentos de programación y administración. ¿Cuantos estudiantes no reprobaron ninguna materia de las antes mencionadas? ¿Cuantos estudiantes reprobaron solamente fundamentos de programación? ¿Cuantos estudiantes reprobaron solamente alguna de las tres materias? ¿Cuantos reprobaron matemáticas para computación y fundamentos para programación, pero no administración?
a) ¿Cuantos prefieren únicamente sistemas distribuidos como especialidad?
c) ¿Cuantos no pusieron preferencia de especialidad?
Se aplico una encuesta entre los 714 jóvenes que estudian la carrera de ingeniería en sistemas computacionales de una universidad, para conocer las preferencias de especialidad de su carrera. Los resultados obtenidos son: 206 prefieren ingenieria del software. 291 prefieren sistemas distribuidos. 215 prefieren inteligencia artificial. 59 prefieren ingeniería del software y sistemas distribuidos. 68 prefieren ingenieria del software e inteligencia artificial. 80 prefieren sistemas distribuidos e inteligencia artificial. 28 se inclinan por las tres especialidades al mismo tiempo.
b) ¿Cuantos se inclinan por ingeniería del software e inteligencia artificial, pero no por sistemas distribuidos?
UNIDAD I. Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos
TEMA 14. Operaciones con números reales: suma, resta multiplicación, división y notación científica
Los Números Reales (ℝ) forman la base de la aritmética. Y esta rama de la matemática es fundamental para entender el álgebra. Es por esto que un entendimiento profundo de este tema facilita temas más avanzados. La necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos. El conjunto de los Números Reales, que describiremos más adelante, contiene subconjuntos importantes. A continuación, se muestra un resumen de cada uno de éstos.
Introducción
Ejemplo 1: Son números naturales, ��,����,������,… No son números naturales, −��,��,�� ��, �� ��,…
Ejemplo 3: En el conjunto de los números naturales se puede realizar la operación ���� �� ya que ���� �� =�� que es un número natural. Sin embargo, la operación �� �� no se puede realizar en ℕ ya que �� �� =��,�� que no es un número natural.
Números Naturales
Clasificación de los números
Ejemplo 2: En el conjunto de los números naturales se puede realizar la operación ����−�� ya que ����−��=�� que es un número natural. Sin embargo, la operación ��−���� no se puede realizar en ℕ ya que ��−����=−�� que no es un número natural.
Los Números Naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo, los animales de un rebaño) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. ℕ= ��,��,��,��,��,…
Números Enteros
El conjunto de los Números Enteros, representados por ℤ. ℤ= …,−��,−��,−��,−��,−��,��,��,��,��,��,��,… Así pues, el conjunto de los números enteros surge al añadir a ℕ el �� y todos los números que aparecen al cambiar el signo a los naturales. Por lo tanto, es claro que ℕ⊂ℤ En ℤ, la suma, la resta y el producto son operaciones internas, pero no lo es la división. Ejemplo 1: Son números enteros, ��,−��,��,������,… No son números enteros, − �� ��,��,�� ��,��+��,… Ejemplo 2: a) ��−��=−��. b) (����−��) (��+��) = ���� �� =�� c) La operación �� �� no se puede realizar en ℤ ya que �� �� =��,�� que no es un número entero.
Números Racionales El conjunto de los Números Racionales, representados por ℚ. ℚ= �� ��|��,����ℤ���� ≠0 Así pues, el conjunto de los números racionales surge al añadir al de los enteros las llamadas fracciones. Es inmediato que cualquier número entero, ����ℤ, es también racional, ya que �� = �� 1 ��ℚ, es decir ℤ⊂ℚ Ejemplo 1: Son números racionales, 4,−7,5 3, − 4 7,… el número racional, 1 8 admite diferentes representaciones en forma de fracción, 1 8 = −5 −40 = 3 24 todas estas fracciones son equivalentes entre sí y 1 8 es la fracción irreducible. Ejemplo 2: a) Puede resultar conveniente simplificar, si es posible, la fracción que representa a un número racional para encontrar otra equivalente más sencilla, 735 315 = 105 45 = 35 15 = 7 3 .
Observaciones
• Cualquier número racional se puede expresar como un número entero o decimal sin más que hacer la división entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan.
• •
Número Entero: No tiene ninguna cifra decimal, es decir, la división entera (sin sacar cifras decimales) entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan es exacta. Ejemplo: −20 5 =−4 que es un número entero.
Número Decimal: Tiene alguna cifra decimal, es decir, la división entera entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan no es exacta. Ejemplo: 13 3 =4,33 que es un número decimal.
• •
Números Irracionales
Con los números racionales se pueden representar casi todas las cantidades que se encuentran en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no tienen un periodo, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre de Irracionales y a diferencia de los racionales, no pueden expresarse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Se denotan por ��. En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación algebraica que la involucre (y que exista) es un número irracional. Esto significa que este conjunto también es infinito. Ejemplos de números irracionales: 3=1,7320508075… 6 793= 3,0423711763…
Nótese como estos números tienen una infinidad de cifras y no tienen periodicidad. Para todo fin práctico, cuando se trabaja con números irracionales se efectúan aproximaciones, o bien, se utilizan algunos símbolos especiales (��,��,…)
.
Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, ℕ⊂ℤ⊂ℚ, y a definir el conjunto de los números irracionales, ��, cuya intersección con los otros es vacía. A partir de los números racionales y los irracionales se define un nuevo conjunto al que se denomina conjunto de números reales, ℝ. Es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, es decir, ℝ=ℚ⋃��
Números Reales

Propiedades de los Números Reales: • Propiedad conmutativa de la suma: ��+�� =��+�� y la multiplicación: • ��∗�� =��∗�� • Propiedad asociativa de la suma: ��+(��+��)=(��+��)+�� y la multiplicación • ��∗ ��∗�� = ��∗�� ∗�� • Elemento neutro de la suma: ��+0=0+�� =�� y de la multiplicación: • ��∗1=1∗ �� =�� • Elemento opuesto de la suma: ��+(−��)=(−��)+�� =0 • Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: ��∗ ��+�� =��∗ ��+��∗��


• TEMA 11. Operaciones con números reales: suma, resta multiplicación, división



• TEMA 12. Operaciones con números reales: potenciación, radicación y logaritmación

EJERCICIOS PROPUESTOS 2




Radicación: Introducción Llamamos raíz n-ésima de un número dado aal número bque elevado a nnos da a . Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando. �� ���� = �� �� �� �� ��= �� �� �� �� ���� = �� �� �� �� ��=������������������ =��

Radicación: Propiedades 1. La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores. Ejemplos: ✓ 3 2∗5= 3 2∗ 3 5 ✓ 100= 4∗25= 4∗ 25=2∗5=10 2. La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor. Ejemplos: ✓ 5 2 3 = 5 2 5 3


3. Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada ✓ 5 8= 5 23 = 5 2 3 ✓ 3 ��7 = 3 �� 7 4. La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la raíz nm-ésima de dicho número ✓ 5 3 2= 15 2 ✓ 4 5 7= 20 7



Radicación: sencilla, que: primos pueda
Simplificación Simplificar un radical es escribirlo en la forma más
hasta
entre sí. ✓ No se
✓ El índice y el exponente sean
extraer ningún factor del radicando. El radicando no tenga ninguna fracción 6 8= 6 23 = 2 Radicación: Extracción de Factores Se descompone en factores el radical, se distribuye la raíz y se simplifica los factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Ejemplo: ����= ����.��= ���� . ��=�� ��
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común. 3 3. 2= 6 32 . 6 23 = 6 9.8= �� ���� 5 ��. �� = 10 ��2 . 10 ��5 = ���� ����
el
Operación Producto Para multiplicar radicales
Radicación: Operaciones de Suma y Resta Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman o restan los coeficientes de fuera y se deja el radical. 8+ 2= 22.2+ 2=2 2+ 2=�� �� ��+ 6 ��3 = ��+ �� =�� ��
índice, cuando
Radicación: se necesita que tengan el mismo esto ocurre resultado producto de los radicandos.
es un radical del mismo índice y de radicando el
Operación Cociente
el
Radicación: Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre resultado índice cociente
de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común. 2 3 2 = 6 23 6 22 = �� �� 4 �� 8 �� = 8 ��2 8 �� = �� ��
y de radicando el
es un radical del mismo
Potenciación y Radicación Escribe en forma de una sola potencia 1. 3-3 *272 * (94)-5 = 2. 85 *(26)-3 * 32 = 3. 85∗8−2 83 5∗8 = Escribe en forma de potencia 1. 35 2. 3 45 3. 1 3 = Escribe en forma de radical 1. 7 3 4 = 2. 8 1 4 = 3. 5 −2 3 = Introduce factores dentro del radical y simplifica 1. 3 3= 2. 4. 5 25 = 3. �� 3�� =
Simplifica las siguientes raíces 1. 6 38 = 2. 5 ��10 = 3. 30 ��10 = Reduce a índice común las siguientes raíces: 1. 5 , 3 3 2. 7 , 4 5 3. 4 5, 6 10 Calcula las siguientes sumas y restas: 1. 2 18+5 8− 50= 2. 3 81+4. 3 375−3. 3 24= 3. 6+3 8−4 18+ 24−4 2= Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones: 1. 3 15∗ 3= 2. 2∗ 3 5∗ 6 7 = 3. 3∶ 5 3=
Logaritmación: Introducción La definición de logaritmo nos dice que para todos los números positivos ��, donde �� ≠1, �� =�������� ��, significa ���� =�� Ejemplos: Las siguientes expresiones exponenciales y logarítmicas son equivalentes: 1. 100 =1 ������101=0 1. 42 =16 ������416=2 1. 1 2 5 = 1 32 ������1 2 1 32 =5 1. ������5 1 25 =−2 5−2 = 1 25 1. ������381=4 34 =81

Como consecuencias de la definición de logaritmo, se pueden deducir estas identidades: 1. ������������ =�� 1. ������������ =�� (�� >0) Ejemplos: 1. ������665 =5 2. ������66�� =�� 3. 3������37 =7 4. 5������5�� =��
. • Ejemplos: • 1. ������100=2 • 1. ������0,0001=−4
Logaritmos Base 10 Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o logaritmos de Briggs, Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza, principalmente, para realizar operaciones aritméticas. En este tipo de logaritmos los números como 10,100,1000,0.1,0.01,0.001, etcétera, es decir las potencias de diez, tienen como logaritmos a números enteros, y cualquier otro número tiene como logaritmo a un número entero más una fracción. El logaritmo común de �� se denota como ��������
Logaritmos Naturales o Neperianos
Otro sistema de logaritmos, muy importante por su uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos neperianos, que tiene como base el número irracional �� = 2.71828....; el logaritmo natural de �� se representa por ������. Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los números que tienen logaritmos enteros son las potencias de ��. Ejemplos: 1. ������ =1 1. ������5 =5
Propiedades de los Logaritmos Las propiedades generales de cualquier sistema de logaritmos son: 1. La base tiene que ser un número positivo diferente de 1. 2. El cero y los números negativos no tienen logaritmo. 3. El logaritmo de 1 es cero. 4. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. 5. Los números comprendidos entre cero y 1 tienen logaritmo negativo. 1. ������−4�� ��������−11�� no existen, porque las bases son negativas. 1. ���� −34 ��������2 −0,75 no existen puesto que -34 y -0,75 son números negativos. 1. ������7 7=1, ������15 15=1, ������0,443 0,443=1 2. ������1=ln1=������3 1=������5 7 1=0 Ejemplo


















positivos x, y se
1, entonces: �������� �� ��= 1 �� �������� ��
para los
Ley de la potencia: En cualquier sistema de logaritmos, para el número positivo y para cualquier número se cumple
x
Logaritmo de una raíz: es un número real positivo y un número natural mayor que
para
positivos x, y se
que: �� �������� �� =�������� ����
que: �������� ��−�������� �� =�������� �� ��
Ley del producto: En cualquier sistema de logaritmos, números cumple
Si N
Leyes de las operaciones de los logaritmos.
Ley del cociente: En cualquier sistema de logaritmos, los números cumple
n
n,
que: �������� ��+�������� �� =�������� ����
Cambio de Base �������� �� = �������� �� �������� ��
Ejemplos: 1. ������4 3+������4 5= 1. ������6 7 8 = 1. ln��−ln4= 1. ������5 12�� 3�� = 1. 3������2 5=




FOLIO # 16 1.16 Operaciones con números reales: sigma
El sumatorio (o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma mayúscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un número indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .) cuyos valores dependen de un índice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El índice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. Así, por ejemplo, ��=1 3 ���� =��1 +��2 +��3 representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general ��=1 �� ���� =��1 +��2 +⋯+����−1 +���� Representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresión anterior se lee: “sumatorio de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.
Sigma
Propiedades El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y, por lo tanto, cumple todas las propiedades de ésta: Propiedad Conmutativa ��=1 �� ���� +���� =��1 +��1 +��2 +��2 +⋯+���� +���� =��1 +��1 +��2 +��2 +⋯+���� +���� = ��=1 �� (���� +����) Propiedad Asociativa

Propiedad Distributiva �� ��=1 �� ���� =�� ��1 +��2 +⋯+���� =����1 +����2 +⋯+������ = ��=1 �� ������ , �� ∈ℝ Otras propiedades: 1. El sumatorio de una constante (no depende de ningún índice) es igual a la constante multiplicada por el número de sumandos: ��=1 �� �� =��+�������������� +⋯+�� =����, �� ∈ℝ
Nota: ��σ��=1 �� ���� +���� ≠��σ��=1 �� (���� +����). En un sumatorio, los sumandos vienen indicados por el primer símbolo después de Σ. Si cada sumando involucra más de un término, tendremos que escribir la expresión del sumando entre paréntesis. Por ejemplo: ��=1 3 ��2 +5=12 +22 +32 +5=1+4+9+5=19 Mientras que: ��=1 3 ��2 +5 =12 +5+22 +5+32 +5=1+5+4+5+9+5=29
1. Ejercicios: Calcula las siguientes sumas: 1.σ��=1 5 ��(��+1) 1.σ��=0 3 2�� 1.σ��=1 100 4�� 1.σℎ=−3 10 (6ℎ−1) 1.σ��=2 4 ������(��4)
Ejercicios propuestos
FOLIO # 17 1.17
Números complejos
Hay dos maneras clásicas para definir los números complejos. Ambas conducen al mismo resultado: La forma Binómica y la Representación Gráfica
Introducción
Números Complejos: Forma Binómica El conjunto de los números complejos es el conjunto de elementos de la forma: �� =��+���� con �� ∈ ℝ y �� ∈ ℝ Es habitual referirse a un número complejo general por ��. Si �� =��+���� con �� y �� reales: ✓ �� se llama parte real del complejo ��, que se anota �� =����(��) ✓ �� se llama parte imaginaria del complejo ��, que se anota �� =����(��) Ejemplos: • �� =−2+ 3�� • �� =5 + −3 �� = 5 −3�� • �� =− 2 3 +5�� • �� = 7+�� • �� =1+0�� • �� =4��
Números Complejos: Representación Gráfica




















Se sabe que la recta está cubierta por los números reales. Como los complejos son binomios de reales y un elemento NO real como �� , los representaremos sobre un par de rectas perpendiculares (horizontal y vertical).



La parte real del complejo se representa sobre la recta horizontal y la parte imaginaria sobre la recta vertical. Graduadas como los ejes cartesianos.

Números Complejos: Operaciones Se definen dos operaciones en este nuevo conjunto C: La suma que se indica con el símbolo “+” y la multiplicación que se indicará por “ ∙ ” . (S) (��+����)+(��+����)=(��+��)+(��+��)�� (M) ��+���� ∙ ��+���� = ��∙��−��∙�� +(��∙��+��∙��)�� ✓ La suma de complejos verifica las conocidas propiedades de esta operación en ℝ. ✓ También la multiplicación satisface propiedades similares a las que se verifican en ℝ.
Números Complejos: Operación Suma y Resta La suma (o resta) de números complejos es otro número complejo cuya parte real se obtiene de la suma (o resta) de las partes reales y cuya parte imaginaria se obtiene de la suma (o resta) de las partes imaginarias de los números que se están sumando (o restando). Suma: ��1 +��2 = ��+���� + ��+���� =��+��+(��+��)�� Resta: ��1 −��2 = ��+���� − ��+���� =��−��+(��−��)�� Ejemplo: Dados los números complejos: ��1=2−3�� �� ��2 =1+5�� ��1 +��2 = 2−3�� + 1+5�� =2+1+ −3+5 �� =3+2�� ��1 −��2 = 2−3�� − 1+5�� =2−1+ −3−5 �� =1−8��
Números Complejos: Operación Producto El producto de dos números complejos es otro número complejo que se obtiene de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que ��2 =−1. ��1 ∙��2 = ��+���� ��+���� =����−����+(����+����)�� Ejemplo: Dados los números complejos: ��1 =2−3�� �� ��2 =1+5�� ��1 ∙��2 = 2−3�� ∙ 1+5�� =2+10��−3��−15��2 =2+15+ 10−3 �� =17+7��
Números Complejos: Operación Cociente La división de dos números complejos es otro número complejo. Para calcularlo multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así se consigue tener en el denominador un número real, que el producto de un número complejo por su conjugado
ya
es siempre un número real. (a+bi)(a-bi)=aa+abi+abi-bbi2 =aa+bb+(-ab+ab)i=a2+b2 Teniendo en cuenta este resultado el cociente es: ��1 ��2 = ��+���� ��+���� = (��+����)(��−����) (��+����)(��−����) ����+����+(����−����)�� ��2 +��2 ����+���� ��2 +��2 + ����−���� ��2 +��2 ��
Ejemplo: Dados los números complejos ��1 =2−3�� �� ��2 =1+5�� ��1 ��2 = 2−3�� 1+5�� = (2−3��)(1−5��) (1+5��)(1−5��) = 2−10��−3��+15��2 1−5��+5��−25��2 = −1 2 − 1 2 ��
Ejercicios
ECUACIONES E INECUACIONES
UNIDAD II
Expresiones algebraicas y operaciones
FOLIO # 21
Introducción
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Ejemplos de expresiones algebraicas son: Longitud de la circunferencia: �� =2����, donde �� es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: �� =��2 , donde �� es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: �� =��3 , donde �� es la arista del cubo.
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras.
�� �� =2���� �� =5����
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
Valor Numérico
Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Binomio: Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio: Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Expresiones Algebraicas: Clasificación
Partes de un Monomio
Coeficiente: Es el número que aparece a las variables. Parte literal: Está constituida por las letras y sus exponentes Grado: Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2��2��3�� es: 2+3+1=6 Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2��2��3�� es semejante a 5��2��3��
multiplicando
Monomios (Operaciones de Suma y Resta) Solo se puede sumar monomios semejantes La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes: 2��2��3��+3��2��3��=5��2��3��
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número: 5∙2��2��3��=10��2��3�� El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene por medio de multiplicación de potencias de la misma base 5��2��3��∙2��2��2 =10��2��5��3
Monomios (Operación Producto)
Un polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo. El polinomio nulo carece de grado.
: Polinomios
Un polinomio está ordenado en forma creciente cuando el grado de cada uno de sus términos va aumentando consecutivamente.
Un polinomio es heterogéneo si sus términos no son todos del mismo grado.
Un polinomio de más de una variable es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo: 4��2��+����2 −5��3 es un polinomio homogéneo.
Un polinomio ordenado es completo cuando el grado de sus términos aumenta o disminuye de uno en uno, incluyendo al de grado cero.
: Polinomios (Operaciones de Suma y Resta) Para sumar dos polinomios, se suman los términos semejantes. Por ejemplo: dados �� �� =2��3 +5��2 −7��+6 y �� �� =6��2 +7 hallar �� �� +��(��). �� �� +�� �� =2��3 +11��2 −7��+13 El grado del polinomio suma es menor o igual que el grado del polinomio sumando de mayor grado. Para efectuar la resta de dos polinomios, se suma al polinomio minuendo el opuesto del sustraendo Hallar �� �� −��(��). �� �� −�� �� =4��3 +2��2 −7��+2
Polinomios (Operación Producto) Para multiplicar entre dos o más polinomios, se debe realizar la multiplicación de todos los términos de un polinomio, por cada uno de los elementos del otro, para después sumar términos semejantes, por ejemplo: �� �� =4��2 −3��+2 �� �� �� =−3��+4 �� �� ∙�� �� = 4��2 −3��+2 −3��+4 �� �� ∙�� �� =−12��3 +25��2 −18��+8
Expresiones Algebraicas: Polinomios (Operación Cociente)

Para resolver el cociente de un polinomio por un número real se aplica la propiedad Ladistributiva.disposición
práctica para efectuar el cociente entre dos polinomios se muestra en el ejemplo a continuación:
FOLIO # 22 1.División sintética, teorema del resto
La división sintética o también llamada Regla de Ruffini en honor a Paolo Ruffini (1765-1822), matemático y médico italiano quien estableció este método. permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los ceros de un polinomio, éste se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales.
División Sintética y Regla de Ruffini: Introducción
Resolver: ��4 +6��3 +��2 −24��+16 Ejemplos
��4 +6��3 +��2 −24��+16
��3 −3��−2
Teorema del Residuo
Establece que si un polinomio f(x) se divide entre el binomio (x - a), donde a es cualquier número real complejo, entonces el residuo es f(a). división del polinomio se puede resolver por división tradicional o por medio de la división sintética.
�� �� (��−��) La

Establece que si el residuo de dividir un polinomio f(x) entre el binomio (x-a) es cero, entonces el binomio (x-a) es un factor de la función. Este teorema es útil pues ayuda a factorizar las funciones polinomiales.
Teorema del Factor

Ejemplo: Por medio del teorema del factor, demostrar que ��−5 es un factor dado de �� �� =���� − ������ +19��−����
FOLIO # 23
1.Productos y cocientes notables
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación término a término. A continuación, se describen los más importantes.
Introducción
Cuadrado de un Binomio El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. ��+�� 2 =(��+��)∙(��+��) ��+�� 2 =��2 +����+����+��2 ��+�� 2 =��2 +2����+��2 El producto notable del cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, sumado o restado, dependiendo el signo el binomio al doble producto de ambos términos y sumado al cuadrado del segundo término.
��+4 2 =��2 +8��+16 ����������������
Producto de dos Binomios conjugados o suma por la diferencia de dos binomios ��+�� ∙ ��−�� =��2 −����+����−��2 =��2 −��2 Dos binomios son conjugados si difieren por el signo de uno de sus términos, por ejemplo 4a+3b y 4a-3b. El producto de un binomio por su conjugada es igual a la diferencia de los cuadrados de sus términos. Al efectuar la multiplicación de un binomio por su conjugada se obtiene:
Ejemplo: ��+3 ∙ ��−3 =
Productos Notables: Cubo de un Binomio El desarrollo del cubo de un binomio a+b se puede obtener multiplicando este binomio por su cuadrado: ��+�� 3 = ��+�� ∙ ��+�� 2 ��+�� 3 = ��+�� ∙(��2 +2����+��2) ��+�� 3 =��3 +2��2��+����2 +����2 +2����2 +��3 ��+�� 3 =��3 +3��2��+3����2 +��3 Cuando el binomio tiene signo negativo, el producto queda de la siguiente manera: ��−�� 3 =��3 −3��2��+3����2 −��3
FOLIO # 24 1.Factorización de polinomios de grado "2"
Se llaman factores de una expresión algebraica a aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado la primera expresión.
Polinomios (factorización): Introducción
Se ha visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es encontrar los factores, dado el producto.
Factor Común Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios. Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio. El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
✓ De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos. ✓ De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente. Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
Ejercicios
✓ La agrupación se hace colocando paréntesis.
Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1)
✓ Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
Factor Común por agrupación de términos
Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
✓ Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
✓ Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.
Ejemplo:
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es
✓ Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente (por ejemplo: 81=9) y a las letras, su exponente se divide entre 2 (por ejemplo: ��6 =��3; ��8 =��4; ��2 =��). Esto último se fundamenta en la propiedad de la radicación: �� ���� =����/�� .
Diferencia de Cuadrados Perfectos
✓ Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación). Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS).
Senegativo.reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 8n, 10m, 16b, etc.)
Ejemplo:
FOLIO # 25 1.Factorización de Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos). Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3). ✓ Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto. Para ello previo su orden extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término. ✓ Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos con el segundo término (sin fijarnos en el signo de éste). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un Trinomio Cuadrado Perfecto. ✓ La factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.
Ejemplos:
✓ Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.
El trinomio debe estar organizado en forma descendente. El coeficiente del primer término debe ser uno (1). El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
✓ Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.
Trinomio de la forma
✓ Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas o restadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
���� +����+��
✓ Se abren dos grupos de paréntesis y se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
Ejercicios
Trinomio de la forma ������ +����+�� Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:
2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término, pero con exponente a la mitad.
3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, existen varias formas, a continuación, se describirá una de ellas resolviendo un ejercicio: Factorizar 2a2 +7a+3, para factorizar este polinomio se hará lo siguiente:
1. Se multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término (2) (3) = 6 1. Se buscan dos números tales que multiplicados dé como resultado el término tercero (en este caso 6) y cuya suma sea el coeficiente del segundo término Producto: 6 = 6 x 1 Suma: 7 = 6 + 1
1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.
1. Finalmente se obtiene le producto de los dos factores binomios que quedan luego de la simplificación. (a + 3)(2a + 1)
1. Se forman los dos factores binomios con los términos encontrados, considerando a la raíz cuadrada del primer término como término de cada uno de los binomios y con los números encontrados como los segundos términos (2a + 6)(2a + 1)
1. Se divide el producto indicado de dichos factores binomios entre el valor del coeficiente del primer término y simplificamos de uno de los dos factores binomios o el coeficiente común de ambos factores binomios. (2��+6)(2��+1) 2
Ejercicios
FOLIO # 26 1.Factorización de polinomios de grado "n>=3"
�� ���� =����/�� .
Suma y Diferencia de Cubos Perfectos Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo). Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.). ✓ Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: 3 8=2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo:3 ��6 =��2; 3 9 =��3; 3 ��3 =��). Esto último se fundamenta en la propiedad de la radicación:
��
IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.
✓ Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación). En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último, el segundo al cuadrado.
✓ Por último, definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.
Ejercicios
3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término dado.
6. En cada término se multiplicará el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada 7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.
2. Se sacan las raíces de cada termino.
5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).
4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.
1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).
Suma o Diferencia de dos potencias iguales
Nota: Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos
10.Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.
9. Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+” .
8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).
��5 +32 Ejemplos: ���� −������, ���� +�������� ,
FOLIO # 27 1.Fracciones algebraicas
Introducción Las fracciones algebraicas tienen las mismas propiedades que los números racionales. No se puede dividir por cero y las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. �� �� �� �� Ejemplos: 1. En la expresión racional 3��2+5��−7 �� , x no puede ser cero (0) 1. En la expresión racional ��+2 ��+2, x no puede ser - 2 En la expresión racional 4 ��−�� , x no puede ser igual a y
Fracciones Algebraicas: Simplificación Ejemplo 2 2 23 23 5 33 7 8 73 83 21 24 b a bab aab ab ab = = Ejemplo: ( )( ) ( )( ) 5 2 55 25 25 710 2 2 − + = +− ++ = − ++ x x xx xx x xx
✓ Se descomponen los denominadores.
✓ Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.
Fracciones Algebraicas: Operaciones de Suma y Resta
Para sumar o restar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general:
✓ Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador común.
✓ Se reducen las fracciones lo más posible.
Ejemplo:
Fracciones Algebraicas: Operaciones de División Para dividir fracciones algebraicas se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales. Se multiplica la primera expresión por el recíproco del divisor. Ejemplos: x y x y y x y x y x 3 4 9 20 5 3 20 9 : 5 3 2 2 3 3 2 =•= xy xy xy xy xy xy xy xy 612 1545 515 24 1545 612 : 515 24 − + • + − = + − + −
Ejemplos:
1.Ejercicios de aplicación FOLIO # 28
Definiciones básicas, identidad, igualdad. Despeje de variables en fórmulas FOLIO # 29
Igualdad: Definiciones básicas Dos expresiones matemáticas son iguales cuando representan el mismo valor o el mismo Enconcepto.laigualdad, tenemos dos miembros separados por el signo “=” que pueden intercambiarse y la igualdad no varía. ��−����= −�� → −��=��−���� ��−�� �� =���� −����+�� ����−��=�� Igualdades algebraicas o literales.
separados por el signo de igualdad, = Ejemplo: a. a+2=3 b. x2+3x+2=0 c. �� ��−�� =�� d. ��=��−��
Ecuación: es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que forman una ecuación se conocen como sus lados Estos lados están
Definiciones básicas Una ecuación
.
Nunca se permite que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación no esté definida. Por ejemplo, en �� ��−�� =�� Y no puede ser 4, porque provocaría que el denominador fuese cero; mientras que en ��−3 =9 x-3 no puede ser negativo porque no es posible obtener raíces cuadradas a partir de números negativos. Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuación es verdadera. Estos valores se conocen como soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación.
✓ Si la variable está dividiendo o siendo dividida Sea la ecuación 3+ 5 �� −�� =2 despejar x
Sea la ecuación 3+x-y=2 despejar x. ✓ Si la variable es o está positiva
Despeje de Variables en
Fórmulas
✓ Si la variable está multiplicando a un factor Sea la ecuación 3-5x+y=2 despejar x.
✓ Si la variable está en una raíz Sea la ecuación 3+ 5 �� −�� =2 despejar x

FOLIO # 30 1.Ecuaciones lineales: definición, raíz y resolución
Ecuaciones
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación equivalente a otra que puede escribirse en la forma ax + b = 0 donde a y b son constantes y a ≠ 0 Una ecuación lineal también se conoce como ecuación de primer grado o ecuación de grado uno porque la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación (1) es la primera
Lineales: Verificación El procedimiento consiste en reemplazar dicho valor en la expresión original de la ecuación, y resolver cada miembro hasta llegar a una identidad, lo que confirmaría que el valor hallado es solución.
Ecuaciones
lineales: Definición
Resolución de Ecuaciones Lineales: Tipos de Solución Las ecuaciones pueden presentar tres tipos de solución: • Única solución. • Solución vacía. • Infinitas soluciones. Ecuaciones con única Solución 741 −=x
Ecuaciones con Solución vacía ( ) 3324 +−=+ xxx Ecuaciones con infinitas soluciones ( ) xxx 255103 +−=−
Algunas ecuaciones que no son lineales, pueden llevarse a la forma lineal mediante pasos algebraicos (aplicación de propiedades de las operaciones), tal es el caso de igualdades en las que aparecen expresiones algebraicas racionales. En estos casos, antes de comenzar la resolución, se debe determinarse el o los valores de la variable que anulan los divisores (denominadores) para no considerarlos como solución, ya que la división por cero no está definida.
Casos particulares
0 1 33 = − − x x EJEMPLOS:
( ) 22152 xxx −=+
También pueden presentarse ecuaciones que en principio parecen ser de segundo grado (o más), pero que, al llevarlas a su expresión general,
FOLIO # 31 1.Ecuaciones polinómicas
Ecuaciones Cuadráticas
La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas.
Definición Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. ����2 +���� + �� = 0
Ecuaciones Cuadráticas: Clasificación 1.- Completa: Tiene la forma canónica: Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. ����2 +���� + �� = 0 Se resuelve por factorización o la fórmula general
Con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0 Se despeja y el resultado se eleva a la raíz cuadrada
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma: ����2 =0 3.- Incompleta mixta ����2 +���� =0
2.- Incompleta pura: Es de la forma: ����2 +�� =0
Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números complejos.
Ecuaciones Cuadráticas: Gráficas

Ecuaciones Cuadráticas: Fórmula General Deducción de la Fórmula General
Ecuaciones Cuadráticas: Discriminante La ecuación completa de segundo grado es: ax2 + bx + c = 0 Tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general: Si b2 − 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje x). Si b2 − 4ac = 0, la ecuación tiene una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, (la parábola sólo toca en un punto al eje x); Si b2 − 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales son dos números complejos conjugados (la parábola y el eje x no se cruzan).

EJERCICIOS
Ecuaciones fraccionarias y con radicales
FOLIO # 32
Ecuaciones con Radicales: Definición Una ecuación con radicales (ecuación radical) es aquella en la que aparece una incógnita en un radicando. Pasos para resolver una ecuación.
3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si, por el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación.
4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las soluciones válidas.
2. Se elevan al cuadrado, al cubo etc, los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre si (depende del índice de la raíz).
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.
Ejemplo 1: Resolver ��+3=4
Ejemplo 2: Resolver 2��2 −1=��
Ejemplo 3. Resolver 4��2 −15−2�� = −1
FOLIO # 33 1.Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Ecuaciones Exponenciales: Definición Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. ax = b Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta: 1. a > 0 a ≠ 1 2. am = an ⟹ m=n 3. am = bm ⟹ a = b
Las ecuaciones exponenciales pueden clasificarse en tres tipos: 1. La misma base Si tenemos en ambos miembros de una ecuación exponencial con la misma base, es sencillo Bastaresolverla.con igualar los exponentes. 5−8��+1 =5−4��+13
1. Exponencial igualada a un número En este caso habría que transformar el número en una potencia de igual base que la que tenemos en el otro miembro, realizando este paso se igualan los exponentes. 2.32��−5 =54
1. Reducción a una ecuación de segundo grado Son ecuaciones exponenciales en las que, haciéndose un cambio de variable conveniente, se transforma en ecuaciones de segundo grado, de fácil resolución. Posteriormente se deshace el cambio y se obtiene el valor pedido de la variable. 22�� −5.2�� +4=0
Ecuaciones Exponenciales: 3−��+1 =32��+2
22��+2 =0,52��−1
5. 5 1252�� = 1 25 3��−1
4�� −2�� =2
log�� �� =log�� �� ⇔�� =�� Definición de logaritmo: log�� �� =�� ⇔���� =�� ∀�� >0�� ≠1;�� >0; �� ∈ℝ
Ecuaciones Logarítmicas: Definición Son aquellas en la que la incógnita x aparece sometida a la operación de logaritmación. Es decir, contiene términos de la forma loga x. El principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas elementales es: Los logaritmos de dos expresiones positivas, de una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales cuando, y solo cuándo, son iguales dichas expresiones.
Ecuaciones Logarítmicas: Propiedades 1. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. log�� ��.�� = log����+log���� 1. El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. log�� �� �� =log����−log���� 1. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. log������ =��.log���� 1. Cambio de base en los logaritmos log���� = log���� log���� 1. En cualquier base a)log��1=0������������0 =1������������������������������������������ b)log���� =1������������1 =��������������������������������������������
•
Aplicando la definición de logaritmo Por igualdad de logaritmos, aplicando el principio anterior
Aplicando las distintas propiedades de logaritmos Por cambio de variable
•
•
Resolución pasando a su forma exponencial De manera práctica, un método para resolver ecuaciones logarítmicas consiste en lograr que los dos miembros de la ecuación tengan una misma expresión logarítmica.
Al terminar debemos comprobar las soluciones obtenidas (en la ecuación original) porque pueden aparecer soluciones extrañas (no olvidar que el cero y los números negativos no tienen logaritmo y la base a > 0 y a ≠ 1)
•
Ecuaciones Logarítmicas: Resolución
•
Reduciendo ambos miembros de la ecuación a una sola expresión logarítmica 3log��−log32=log �� 2
Realizando transformaciones oportunas 1− log5= 1 3 log 1 2+log��+ 1 3log5
Empleando ecuaciones exponenciales ��2 −5��+9 log2+log125=3
��2 −4��+7 log5+log16=4
Utilizando un cambio de variable log5��+log5125 log5�� = 7 2
log�� = 2−log�� log��
Utilizando la definición de logaritmo log��5=− 1 2 log7 1 �� =−3
log�� 1 100 =−2 log1 3 �� =−0,5
FOLIO # 34 1.Ejercicios de aplicación
FOLIO # 35 1.Progresiones aritméticas y geométricas
Sucesiones: Definición Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: ��1,��2,��3,��4,��5,��6,... Sucesiones: Término General El término general de una sucesión es el que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe ���� ���� =��1 + ��−1 ∗�� Suma de n términos �� = ��1 +���� 2 �� Progresiones Aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.
Progresiones
Geométricas: Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos ��2 ��1 = ��3 ��2 = ��4 ��3 =⋯ ���� ����−1 =�� Término General ���� =��1 ∗����−1 Suma de n términos �� = ��1 ���� −1 ��−1 Suma de todos los términos La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es: �� = ��1 1−�� Producto de n términos �� = ��1 ∗���� ��
Ejemplos:
FOLIO # 38 1.Intervalos e inecuaciones
3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Desigualdad
2. Todo número negativo es menor que cero
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: ≥ mayor o igual que
1. Todo número positivo es mayor que cero
Propiedades o Reglas de las Desigualdades 1) Propiedad Transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c 2) Si a < b entonces a + c< b + c 3) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc 4) Si a < b y c < 0 entonces ac > bc

Intervalos Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Tipos de Intervalos Intervalo semiabierto = axbabx ; = axbabx;<< = axbabx ; Por la derecha = axbabx;<






Intervalos infinitos x > a + += ;<< ax x a x < a − −= xa x a ;<< x Є R −+ −+=;<< x x

FOLIO # 39 Resolución de inecuaciones lineales
Ejemplo: Resolver cada una de las siguientes inecuaciones. 1) –3(x+4) + 2 ≥ 8 – x
2) -4 ≤ 5x + 6 ≤ 21
7 5 23 3 − x
Hallar5ellímitedeen76 23 xx x −−
FOLIO 40 2.20 Resolución de inecuaciones polinómicas y con valor absoluto
Ejemplo: 3602 −+xx
xx − 122
4990 2 +−xx
62 −xx
FOLIO 40 2.20 Resolución de inecuaciones polinómicas y con valor absoluto
810+=x
Inecuaciones con Valores Absolutos
|x - 2| < 4.
39−x
232 +−xx
3125 −+xx
FOLIO # 43 1.Definición de relación y función. Dominio y recorrido. Tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
El sistema de coordenadas cartesianas El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto (A*B) formado por pares ordenados (x,y) tal que la primera componente “x” pertenece al conjunto A(x ∈ A) ; y la segunda componente “y” pertenece al conjunto B(y ∈B). Este conjunto se nota por A*B y se lee: “A cruz B”. ��∗��= ��,�� /��∊��∧��∊�� Representación gráfica del par ordenado (x,y) en el plano cartesiano:

Ejemplo 1: ��= 1,2,3 3������������������ �� = 2,3 (2������������������) ��∗�� = 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3 (6������������������)


��∗�� = 2,1 , 2,2 , 2,3, , 3,1 , 3,2 , 33


•
•
•
Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de función. Una función tiene tres partes: Dos conjuntos A y B, no vacíos, y una regla que relaciona dichos conjuntos.
FUNCIONES
Introducción Muchas cantidades dependen de otras, por ejemplo: • Los costos totales de producción, c, dependen de la cantidad de artículos a producir, q. El nivel de contaminación en una determinada región puede depender del número de vehículos circulando en la vía. El área de un círculo depende del radio. La presión depende de la temperatura
•

Función Es un subconjunto del producto cartesiano A*B(relación), tal que se cumplen las siguientes condiciones. 1.∀�� ∈Α,∃�� ∈�������������� ��,�� ∈�� 2.���� ��,�� �� ��,�� ∊�� →��=�� Es decir que: - Todo elemento de A debe estar en correspondencia con al menos un elemento de B - Cada elemento de A no puede estar en correspondencia con dos o más elementos del conjunto B, ó , a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B
Notación X es la variable independiente Y es la variable dependiente Y es la imagen de x por la ley f

TEMA 2. Tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva FOLIO 43
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es inyectiva si a valores distintos que toma la variable independiente le corresponden valores distintos de la variable dependiente
Gráficamente al trazar una línea horizontal se cruza por un punto de la función, entonces es inyectiva


FUNCIÓN SOBREYECTIVA Una función es sobreyectiva si a todos los elementos del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de partida Rf= B

FUNCIÓN BIYECTIVA Si la función es Inyectiva y Sobreyectiva entonces es Biyectiva

Funciones: Tipos, ejemplos Indica si la siguiente relación es función o no. Explica por qué




FOLIO # 44 1.Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición
Suma de funciones: ��+�� �� =�� �� +�� �� (la imagen mediante la función suma es igual a la suma de las imágenes) ������ ��+�� =��1 ∩��2 Esta suma, así definida, verifica las siguientes propiedades: a. Asociativa: ��+�� +ℎ =��+(��+ℎ) b. Conmutativa: ��+�� =��+�� �� �� =5��+3 �� �� =2��−1 ��+�� �� = ? ��−�� �� ��−�� �� ����������������
Operaciones con Funciones: Producto Producto: ��.�� �� =�� �� .�� �� (la imagen mediante la función producto es igual al producto de las imágenes). ������ ��.�� =��1 ∩��2 Propiedades: a. Asociativa: ��.�� .ℎ =��.(��.ℎ) b. Conmutativa: ��.�� =��.�� �� �� =5��+3 �� �� =2��−1 ��∗�� �� ����������������
Cociente �� �� =5��+3 �� �� =2��−1 �� �� �� �� �� ��
Funciones y sus gráficas (Transformaciones: traslación, complexión y expansión
FOLIO # 45
Transformaciones
Existen tres tipos de transformaciones de funciones elementales:
✓ Reflexiones o simetrías: se puede hacer reflejar una función usando como eje de simetría el eje X o el eje Y.
En general, cuando la operación afecta a y=f(x) se producen cambios en el eje vertical. Cuando la operación afecta a x, los cambios son en el eje horizontal.
✓ Traslaciones o desplazamientos: se puede desplazar una función verticalmente y horizontalmente.
✓ Expansiones y complexiones: se puede engrandecer o empequeñecer una función.
una Función
Desplazamiento de Para trasladar o desplazar una función verticalmente (a lo largo del eje Y) hay que sumar o restar una constante a la función:
Vertical


Traslación horizontal de una función Para trasladar o desplazar una función horizontalmente (a lo largo del eje X) hay que sumar o restar una constante a la variable independiente x:
o desplazamiento


Ejemplo de cómo trasladar o desplazar una función Desplaza 4 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha la siguiente función f x =x2

Reflexión o simetría respecto al eje X y al eje Y de una función



Ejemplo de cómo reflejar una función Calcula la función simétrica respecto el eje OX y la función simétrica respecto el eje OY de la siguiente función cuadrática: f x =x2 −4x+6

Multiplicando toda una función por un coeficiente podemos provocar que se expanda o que se contraiga:
Expansión y contracción vertical de una función


Expansión y contracción horizontal de una función


Duplica verticalmente y contraer horizontalmente la siguiente función: f x = 9−x2 Ejemplo de cómo expandir o contraer una función
FOLIO # 46 1.Propiedades: simetría, paridad, monotonía y signo
Simetría: Respecto al Eje Y Considere la gráfica de �� =��2 en la gráfica que sigue. La parte a la izquierda del eje y es el reflejo (o imagen de espejo) Definición. – una gráfica es simétrica con respecto al eje y si solo si −��0,��0 pertenece a la gráfica cuando ��0,��0 está en ella.

Simetría: Respecto al Eje X Definición. – Una gráfica es simétrica con respecto al eje x si y solo si (x, -y) pertenece a la gráfica cuando (x,y) pertenece a ella

Simetría: Respecto al Origen Definición. – Una gráfica es simétrica con respecto al origen si y solo si (-x,-y) pertenece a la gráfica cuando (x,y) pertenece a ella.

Simetría con respecto al eje x Remplace y por -y en la ecuación dada. Es simétrica se obtiene una ecuación equivalente.
Simetría con respecto al eje y Remplace x por -x en la ecuación dada, es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente.
Simetría: Pruebas PRUEBAS PARA LA SIMETRÍA
Simetría con respecto al origen Remplace x por -x y y por -y en la ecuación dada, es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo Probar la simetría con respecto al eje x, al eje y, y al origen de �� = 1 �� . Después determinar las intersecciones y hacer el bosquejo de la gráfica.
Paridad: Función Par Definición. – Una función f se dice par si ∀�� ∈��(��) se dice Verifica �� −�� =��(��) (o sea, si para cualquier x del dominio de la función, es decir, para todos los valores de x para los que existen imagen, la imagen de x y la de su opuesto -x coinciden). la gráfica de una función par resulta ser simétrica respecto OY

Función Impar Definición. – Una función f se dice impar si ∀�� ∈��(��) se verifica �� −�� =−��(��). la gráfica de una función impar resulta ser simétrica respecto del origen de coordenadas.

Ejemplos

Ejercicios



Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición
Tarea
FOLIO 43. Ejercicio 2.5 problemas 21 al 34 Texto base: Haeussler Ernest 13va. Ed. Pág. 106
Definición de relación y función. Dominio y recorrido. Tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
Actividad de aprendizaje autónomo N°2. FOLIO 44. Ejercicio 2.3 problemas 1 al 3 Texto base: Haeussler Ernest 13va. Ed. Pág. 95
FOLIO # 47 1.Función lineal
Definición: Una función función
cuyo dominio son los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición: ��:�� →�� �� �� =��.��+��. donde myb son números reales, es una función lineal Gráficas
lineal es una

Ecuación de la Recta Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m ��−��0 =�� ��−��0 Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por �� =(3;2) y tiene pendiente 4.
Recta que pasa por dos puntos Halla la ecuación de la recta que pasa por ��(7,4) y ��(−3,−1) Pasa de forma explícita y determina la pendiente y la ordenada en el origen.
.
FOLIO # 48 1.Función cuadrática
Definición Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: �� =�� �� =����2 +����+��,�������� ≠0,��,��,�� ∈���� Propiedades de una función cuadrática 1. La gráfica de ��=�� �� =����2 +����+��, intercepta al eje Y en el punto (0,c) La gráfica de ��=�� �� =����2 +����+��, intercepta al eje X cuando ∆=��2 −4���� ≥0, y en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ����2 +����+�� =0 1. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto − �� 2��,��( �� 2��) . 2. La recta vertical �� =− �� 2��, es una recta eje de simetría de su gráfico. 3. Si a >0 la parábola se abre hacía arriba, y si la a<0 se abre hacia abajo.
Funciones Cuadráticas: Gráficas

������������������������������������ó�� �� =��2 −6��+5 ������������������������������������,������������������,��������������,����������������������í������������á��������
Grafique las siguientes funciones e indique el dominio, el recorrido, el eje de simetría y la paridad de cada una de ellas

FOLIO # 49 1.Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como, por ejemplo: �� �� =3��4 −5��+6 Una función polinomial de grado n es una función de la forma: �� �� = ������ �� + ���� − 1�� �� − 1 + ⋯+ ��1 �� + ��0

Ejemplos A continuación, veamos algunos ejemplos más de funciones polinomiales. �� �� =3 ����������0 �� �� =4��−7 ����������1 �� �� =��2 +�� ����������2 ��(��)=2��3 −6��2 −10 ����������3
Funciones Polinomiales: Gráficas


�� �� = ��3 +��2 −4��−4 De la siguiente función, encontrar su dominio, recorrido, paridad y la gráfica
�� �� = ��3 −��2 −2�� De la siguiente función, encontrar su dominio, recorrido, paridad y la gráfica
�� �� =��4 −4��3 +3��2
FOLIO # 50 1.Funciones racionales
Definición Si P(x) y Q(x) son dos polinomios, entonces la función F definida por �� �� = ��(��) ��(��)
Gráfica La gráfica de la función racional �� �� = ��+1 ��−2 se muestra en la siguiente figura

Funciones Racionales: Asíntota Vertical Son los valores que no puede tomar la función �� �� = 2�� ��2 −2��−8

2. Si n=m, entonces la recta �� = ���� ���� es la asíntota horizontal de la gráfica de F.
3. Si n>m, entonces la gráfica de F no tiene asíntota horizontal.
1. Si n<m, entonces el eje x es la asíntota horizontal de la gráfica de F.
Funciones Racionales: Asíntota Horizontal de las asíntotas horizontales, Es una función racional con numerador de grado n y denominador de grado m.
Teorema
Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de las funciones siguientes f �� = 2��+3 ��2+1 g(x)=4��2+1 3��2 ℎ �� = ��3 +1 ��−2



Encuentre las asíntotas horizontales y verticales, interceptos con los ejes de coordenadas y dibuje la gráfica de la función �� �� = ��2 −4 2��2 +��−3
FOLIO # 52 1.Función exponencial
El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.
La función exponencial es de la forma �� =���� , siendo a un número real positivo. En la figura se ve el trazado de la gráfica de �� =2��

-Es continua -Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.
-El eje OX es asíntota
Reglas de los exponentes ���� ���� =����+�� ���� ���� =����−�� (���� )�� =������ (����)n=��n��n �� �� �� = ���� ���� ��1 =�� ��0 =1 ��−n = 1 ��n
Gráficas (a > 1) �� �� =2x �� �� =5x
Gráficas (��<��<��) �� �� = 1 2 ��
FOLIO # 53 1.Función logarítmica
Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera: �� =log�� ��,�������� >0����������������������1

si ���� =���� entonces m=n. Funciones Logarítmicas: Propiedades -Logaritmo del producto: log�� ��.�� =log�� ��+log�� �� -Logaritmo del cociente: log�� �� �� =log�� ��−log�� �� -Logaritmo de una potencia: log�� ���� =��log�� �� - En cualquier base: log�� 1=0 ������������0 =1 log�� �� =1 ������������1 =��
-El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los reales.
-El eje OY es asíntota. -La función es inyectiva, esto es
-Es continua -Si a>1 la función es creciente y si 0<a>1 es decreciente.
Funciones Logarítmicas: Gráficas

Funciones Logarítmicas: Gráficas (��>��) Graficar la función �� =log2��.
Gráficas (��<��<��) Graficar �� =log1 2 ��.
�� �� =log2 ��−1
FOLIO # 54 1.Función inversa
Sea la función directa ��:�� →��, inyectiva y de ámbito Y. se dice que f es invertible si existe una función ��−1:�� →��, llamada función inversa

�� �� = �� 2 −5.
Hallar la inversa de la función �� �� =��2 .
Encuentre la inversa de la función �� �� =3��−5
�� �� =��2 −3
: �� �� = ��−1
Folio 61 1.Funciones Trigonométricas, círculo unitario o trigonométrico
3) La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: �� =����, para todo número entero n

4) El valor máximo de sen x es 1, el mínimo valor es -1, la amplitud de la función y=sen x es 1.
2) La función �� =�������� es impar, ya que sen (-x) = -sen x, para todo x en IR.
La función seno es la función definida por: �� �� =��������
1) Dominio: IR Recorrido: −1,1
1) El periodo de la función seno es 2��
Funciones Trigonométricas: Función Seno
Características de la función seno
2) La función �� =�������� es par, ya que cos (-x) = cos x, para todo x en IR.
3) La gráfica de y=cos x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: �� = �� 2 +����, para todo número entero n

1) Es una función periódica, y su periodo es 2��
1) Dominio:RecorridoIR: −1,1
La función coseno es la función definida por: �� �� =cos��
Características de la función coseno
4) El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo es -1, la amplitud de la función y=cos x es 1.
Funciones Trigonométricas: Función Coseno
Funciones Trigonométricas: Función Tangente
Características de la función tangente
1)
La función tangente es la función definida por: �� �� =tan��
2)
1) Dominio: ���� = �� 2 +����/ �� ∈�� Recorrido: ���� La función tangente es una función periódica, y su periodo es �� La función �� =�������� es una función impar, ya que tan (-x) = -tan x La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: �� =����, para todo número entero n
3)

Funciones Trigonométricas
Folio 62 1.Funciones de ángulos notables y axiales
Funciones de ángulos de ������ Funciones de ángulos de ������
Funciones de ángulos de ������
Funciones de ángulos (resumen) ÁNGULORELACIÓN SENO COSENO TANGENTE ECOSECANT SECANTE TECOTANGEN ��ൗ�� ó������ 1 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 ൗ�� �� ó������ 2 2 2 2 1 2 2 1 ��ൗ�� ó������ 3 2 1 2 3 2 3 3 2 3 3
Folio 63 1.Teorema de Pitágoras, resolución de triángulos rectángulos
Teorema de Pitágoras
Ejemplo Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 60 cm de cateto menor y 80 cm de cateto mayor.
Folio 64 1.Resolución de triángulos oblicuángulos, ley de senos y ley de cosenos
Un triángulo es oblicuángulo cuando no se presenta un ángulo recto Resolución de triángulos oblicuángulos ParaEjemplos:lasolución de triángulos oblicuángulos se utiliza: • Ley de seno • Ley de coseno

Ley de senos En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. �� �������� = �� �������� = �� ��������
Resolver el triángulo si c = 80

Resolver el triángulo si a = 8 , b=11,29

Ley de Cosenos ��2 =��2 +��2 −2��b��������

Resolver el triángulo si a = 3 , b=4

Folio 65 1.Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas Fundamentales ������ �� = �� �������� �������� = �� ������ �� ������ �� = �� ������ �� ������ �� = �������� �������� �������� = �� �������� ���������� + ���������� = �� ���������� + �� = ���������� �� + ���������� = ����������



Ejemplos







Folio 66 1.Ecuaciones Trigonométricas



