Calculo integral teorema de barrow

Lecci´ on 30: Teorema Fundamental del C´ alculo Integral. Regla de Barrow

Introducci´on al C´alculo Infinitesimal I.T.I. Gesti´on

Recordar: - Primitivas - C´alculo de primitivas - Integral definida Esquema: - Teorema Fundamental del C´alculo - Regla de Barrow

Teorema Fundamental del C´alculo Integral Idea: La derivaci´on y la integraci´on son operaciones inversas Consecuencia: El c´alculo de una integral definida se realizar´a a partir de una primitiva del integrando

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

x

f (t)dt a

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

f (t)dt a

Ejemplo: f (x) = x2 + 1, [a, b] = [0, 2] Z 0 Z 1 F (0) = f (t)dt = 0, F (1) = f (t)dt ∈ R 0

0

x

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

x

f (t)dt a

Entonces, se tiene que F es una funci´on continua en [a, b] Adem´as, si f es continua en [a, b], se tiene que F es derivable en [a, b], y F 0(x) = f (x)

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

x

f (t)dt a

Nota: Para x0 ∈ [a, b], F (x0) representa el ´area encerrada por la gr´afica de la funci´on f , las rectas x = a y x = x0 y el eje OX

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

x

f (t)dt a

Nota: Para x0 ∈ [a, b], F (x0) representa el ´area encerrada por la gr´afica de la funci´on f , las rectas x = a y x = x0 y el eje OX Dicha funci´on es derivable, y su derivada es justamente el integrando: F 0(x0) = f (x0)

Teorema Fundamental del C´alculo Integral f : [a, b] → R funci´on integrable Z Sea F : [a, b] → R la funci´on definida por F (x) =

x

f (t)dt a

Nota: Para x0 ∈ [a, b], F (x0) representa el ´area encerrada por la gr´afica de la funci´on f , las rectas x = a y x = x0 y el eje OX Dicha funci´on es derivable, y su derivada es justamente el integrando: F 0(x0) = f (x0) Nota: F es una primitiva de la funci´on f

Teorema Fundamental del C´alculo Integral Ejemplo: f : [0, 2] → R, f (x) = x2 + 1 funci´on continua (por tanto, integrable) Z x F (x) = f (t)dt es una funci´on continua, y tambi´en 0

es derivable, con F 0(x) = f (x) Ejemplo: f : [0, 2π] → R, f (x) = sin(x) funci´on continua (por tanto, integrable) Z x F (x) = f (t)dt es una funci´on continua, y tambi´en 0

es derivable, con F 0(x) = f (x)

Regla de Barrow ¿C´omo calculamos el valor de una integral definida?

Regla de Barrow ¿C´omo calculamos el valor de una integral definida?

Regla de Barrow: f : [a, b] → R funci´on continua G : [a, b] → R una primitiva de f Entonces, Z

b

f (x)dx = G(b) − G(a) a

Regla de Barrow ¿C´omo calculamos el valor de una integral definida?

Regla de Barrow: f : [a, b] → R funci´on continua G : [a, b] → R una primitiva de f Entonces, Z

b

f (x)dx = G(b) − G(a) a

Para el c´alculo de una integral definida, necesitamos usar una primitiva del integrando

Regla de Barrow f : [a, b] → R funci´on continua G : [a, b] → R una primitiva de f Entonces, Z

b

f (x)dx = G(b) − G(a) a

Nota: Es consecuencia del Teorema Fundamental del C´alculo:

G(b) − G(a) = F (b) + C − F (a) + C Z b Z a Z b = f (x)dx − f (x)dx = f (x)dx a

a

a

Ejemplos: Z 2π sin(x)dx 0

Z

4

Z

(x3 + 3x − 1)dx

2 2

Z

0

e−2xdx

xLn(x)dx −3

1

Z

4

Z Ln(x)dx

sin(sin(x)) cos(x)dx

1

Z 2

Z

5

x−4 dx x3 − x

2π

x cos(x)dx 0

1

x2 + 4 dx 2−4 x −1 Z 1p 2 1 − x2dx

Z

−1 2