ACTIVIDAD SUMATIVA Nº3 MODELAJE Y SIMULACIÓN

METODOS NUMERICOS Método numérico de Euler para la solución de ecuaciones diferenciales Métodos numéricos rungekutla para la solución de ecuaciones diferenciales Método del Predictor corrector Método de Adams-multan

Autor: Braian correa seccion: T1 C.I 30398223 Docente: YUSBELIS DEL CARMEN PEREZ SANCHEZ

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Índice Método numérico de Euler para la solución de ecuaciones diferenciales………………06 Métodos numéricos rungekutla para la solución de ecuaciones diferenciales……07 Método del Predictor corrector……………08 Método de Adams-multan…………………09

Los métodos numéricos son una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de manera aproximada. Los métodos numéricos más comunes son el método de Euler, los métodos de Runge-Kutta, el método del predictor-corrector y el método de Adams-Moulton.

Método numérico de Euler El método de Euler es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. Este método es el más simple para resolver ecuaciones de primer orden, aunque no es el más eficiente.

Para resolver una EDO de primer orden de la forma dy/dx = f(x, y), y(x0) = y0, donde y(x) es la solución que pasa por el punto inicial (x0, y0) en el plano xy para valores de x en el intervalo [a, b], donde a = x0, se buscan aproximaciones de la solución en N puntos, etiquetados xn para n = 1, …, N. Para puntos igualmente espaciados, se tiene Δx = xn - xn-1, donde xn = x0 + nΔx.

El método de Euler aproxima la derivada en la ecuación diferencial por su cociente de diferencia: dy/dx ≈ (y_n - y_n-1)/(x_n - x_n-1) = f(x_n-1, y_n-1). Conociendo aproximaciones previas en (x_n-1, y_n-1), se puede determinar la siguiente aproximación, y_n. El primer paso del método de Euler es usar la condición inicial. Esto lo representamos como un punto en la curva de solución (x0, y(x0)) = (x0,y0). El siguiente paso es desarrollar un método para obtener aproximaciones a la solución para los otros xn.

Métodos numéricos rungekutla para la solución de ecuaciones diferenciales el método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Este método es más preciso que el método de Euler y se utiliza para resolver EDO de primer y segundo orden.

El método de Runge-Kutta se basa en la idea de aproximar la solución de una EDO en un punto dado mediante la interpolación de la pendiente en ese punto y en otros puntos cercanos. El método de Runge-Kutta de cuarto orden es el más utilizado y se define por las siguientes ecuaciones:

k1 = f(x_n, y_n) k2 = f(x_n + h/2, y_n + h/2*k1) k3 = f(x_n + h/2, y_n + h/2*k2) k4 = f(x_n + h, y_n + h*k3) y_n+1 = y_n + h/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

donde h es el tamaño del paso, y_n es la aproximación anterior de la solución, y_n+1 es la nueva aproximación, x_n es el valor de x correspondiente a y_n, y f(x_n, y_n) es la pendiente en el punto (x_n, y_n).

Método del Predictor corrector El método del predictor-corrector es un procedimiento iterativo para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ¹²³. Este método se basa en la idea de utilizar un método predictor para estimar el valor de la solución en el siguiente paso y luego corregir esta estimación utilizando un método corrector.

El método predictor-corrector se puede aplicar a cualquier orden de EDO y es más preciso que el método de Euler ¹. El método predictor-corrector de segundo orden es el más utilizado y se define por las siguientes ecuaciones:

y_n+1* = y_n + h*f(x_n, y_n) y_n+1 = y_n + h/2*(f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n+1*))

donde h es el tamaño del paso, y_n es la aproximación anterior de la solución, y_n+1 es la nueva aproximación, x_n es el valor de x correspondiente a y_n, y f(x_n, y_n) es la pendiente en el punto (x_n, y_n).

Método de Adams-Moulton El **método de Adams-Moulton es un conjunto de métodos iterativos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Este método se basa en la idea de utilizar una fórmula de cuadratura para aproximar la solución de una EDO en un punto dado. El método de Adams-Moulton de segundo orden es el más utilizado y se define por la siguiente ecuación:

y_n+1 = y_n + h/2*(f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n+1)) donde h es el tamaño del paso, y_n es la aproximación anterior de la solución, y_n+1 es la nueva aproximación, x_n es el valor de x correspondiente a y_n, y f(x_n, y_n) es la pendiente en el punto (x_n, y_n).

Referencias Bibliográficas UBA(2023). Construcción de Modelos de Simulación.

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