toan 1_Bai_2 Hàm số - bookbooming

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 HK1 0708 • BAØI 2: HAØM SOÁ (SV)

•

TS . NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (09/2007)

NOÄI DUNG

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-

KHAÙI

NIEÄM

HAØM SOÁ 2- CAÙC CAÙCH XAÙC ÑÒNH HAØM SOÁ 3- NHAÉC LAÏI: HAØM CÔ BAÛN (PHOÅ THOÂNG) 4- HAØM SOÁ NGÖÔÏC 5- HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC 6-

HAØM

HYPERBOLIC 7- AÙP DUÏNG KYÕ THUAÄT

KHAÙI NIEÄM HAØM SOÁ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ñaïi löôïng A bieán thieân phuï thuoäc ñaïi löôïng B: • Ñôøi soáng: Tieàn ñieän theo soá kwh tieâu thuï, giaù vaøng trong nöôùc theo theá giôùi …

• Kyõ thuaät: Toïa ñoä chaát ñieåm theo thôøi gian …

VD: Ñoà thò VNINDEX (chöùng

khoaùn)

→

Haøm soá: giaù chöùng khoaùn theo ??? (Thôøi gian? Giaù vaøng? Bieán ñoäng

chính

trò?

&

Töông quan haøm soá

LÒCH SÖÛ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1786, Scotland: The Commercial an

Political

Atlas, Playfair. Ñoà

thò

so

saùnh

xuaát

&

nhaäp

khaåu

töø

Giöõa TKÑan18, Anh sang

Euler:

Bieåu dieãn Maïch + Nahaøm soá

Haøm :f Vaøo: x

Maùytính

Ra : y

ÑÒNH NGHÓA TOAÙN HOÏC

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haøm soá y = f(x): X ⊂ R → Y

X ⊂R

Y ⊂R

⊂ R: Quy luaät töông öùng x ∈ X → y ∈ Y. Bieán soá x, giaù trò y. Töông quan haøm soá: 1 giaù trò x cho ra 1 giaù trò y Moät x → Nhieàu y: K0 phaûi haøm nghóa thoâng

thöôøng

(Nhöng haøm ña trò?)

MXÑ Df = {x| f(x) coù nghóa} MGTrò Imf:

{y =f(x),

y = sinx ⇒ D= R, Imf = [–

CAÙC CAÙCH XAÙC ÑÒNH HAØM SOÁ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Boán caùch cô baûn xaùc ñònh haøm soá: Moâ taû (ñôn giaûn) - Bieåu thöùc (thoâng duïng) – Baûng giaù trò (thöïc teá) – Ñoà thò (kyõ thuaät)  Moâ taû: Ñôn giaûn, deã phaùt hieän töông quan haøm VD: Phí göûi thö soá böu ñieän ñi nöôùc ngoaøi phuï thuoäc troïng  Baûng giaù löôïng trò: Thöïc teá, roõ raøng, thích hôïp caùcBaûng haøm ít giaù trò VD: cöôùc phí göûi thö baèng böu ñieän ñi chaâu Aâu Troïng ≤ 20 löôïng Giaù

gr 18.000

20 – 40

40 – 60

gr 30.000

gr 42.000

XAÙC ÑÒNH HAØM SOÁ QUA BIEÅU THÖÙC (HAY GAËP NHAÁT) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quen thuoäc (daïng hieän): yVD: = f(x) y = x2, y = ex, haøm sô caáp cô baûn …

Bieåu thöùc:

 x = x( t ) Daïng tham  : 1 t → 1 (x,  y = y( t ) soá y) VD: x = 1 + t, y = 1 – t → Ñöôøng thaúng VD: x = acost, y = asint → Ñöôøng troøn Daïng aån F(x, y) = 0 ⇒ y = f(x) 2 2 x y (implicit) VD: Ñtroøn x2 + y2 – 4 + − 1 = 0 16 9 = 0,

MAPLE: KHAI BAÙO HAØM SOÁ, VEÕ ÑOÀ THÒ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 (Khai baùo haøm soá) p := x^3 + + 1;giaù trò haøm soá)  x^2 (Tính subs(x=1,  (Tính p);giôùi

haïn

haøm

soá)

limit( sin(2*x)/x, x = diff(p, 0) ;  (Tính ñaïo haøm) x) ; (Tính ñhaøm caáp 2)  diff(p,x$2) (Veõ ñoà thò) plot(sin(x), x = 0..Pi); (Nhieàu ñoà thò) plot( [sin(x),cos(x)],x = 0..2*Pi, color = [red,blue]);  (Ñoà thò tham soá lyù thuù) plot( [31*cos(t)7*cos(31*t/7),

31*sin(t)-7*sin(31*t/7),

t

=

0..14*Pi] );  plot( [17*cos(t)+7*cos(17*t/7), 17*sin(t)- …, t = 0..14*Pi] );

HAØM QUEN THUOÄC (PHOÅ THOÂNG)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Haøm haèng, tuyeán tính (baäc 1): y = ax + b → Ñöôøng thaúng luyõ thöøa: y = xα → Ña thöùc: y = a0xn +  Haøm a1x

n–1

n

x ... y = + … , haøm phaân thöùc: y = 1/x,

P(x)/Q(x), haøm caên y = Tính chaát haøm y = xα : MXÑ, ñôn ñieäu …

tuyø

thuoäc α > 0 & < 0!  Haøm y = xα : α töï nhieân ⇒ MXÑ: R, α nguyeân aâm: MXÑ x ≠ 0, α ∈ R: noùi chung x > 0 (Neáu haøm tuyø tính  Tínhcaên: ñôn ñieäu y = chaün xα , x > leû) 0: α > 0 → Taêng, α < 0Giôùi → Giaûm  haïn x → +∞: α > 0 → lim xα = +∞, α < 0 → lim xα = 0

ÑOÀ THÒ HAØM LUYÕ THÖØA

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = xα : α töï nhieân,leû

y = xα : 0 < α < 1 & α > 1

y = xα : α töï nhieân,chaün

y = xα : α < 0

HAØM MUÕ, LOG

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Haøm ña thöùc: coù cöïc trò, khoâng tieäm caän Haøm coù phaân thöùc: tcaän ñöùng, xieân

Svieâ

(ngang)  Haøm tuyø caên:baäc mieàn xaùc ñònh,

n

töï

xem tieäm caän … * x x R Haøm muõ: y = e → y = a (a > 1 & 0 < a < 1). D + = R; MGT: Ñôn ñieäu y = ax: a > 1 ⇒ Haøm taêng & 0 < a < x 1:a > Haøm 1 : lim agiaûm = ∞ & lim a x = 0 ; 0 < a < 1 : lim a x = 0 & lim a x = ∞ x →∞

x → −∞

x →∞

x → −∞

Haøm logarit: y = lnx → Toång quaùt: y = logax (a > a > 1 : lim log a x = +∞ & lim log a x = −∞ x >a0< 1) 1MXÑ & 0: < x → +∞ x →0 + MGTrò: R 0 < a < 1 : lim log a x = 0 & lim log a x = +∞ x → +∞

x →0 +

ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ, LOGARIT: SO SAÙNH VÔÙI LUYÕ THÖØA

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x

y = a : a > 1& 0 < a < 1 y = xα , α > 0

Ñieåm ñaëc bieät:

≠ nhau Khi a > 1 & α > 0: Cuøng

↑,

→

+∞,

nhöng muõ nhanh hôn luyõ thöøa Ñieåm ñaëc bieät: ≠ nhau Khi a > 1 & α > 0: Cuøng

↑,

→

+∞,

y = log a x : a > 1 & 0 < a < 1

nhöng luyõ thöøa

y = xα , α > 0

nhanh hôn log

HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: sinx, cosx

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = sinx, y = cosx ⇒ MXÑ R, MGTrò [–1, 1], Tuaàn hoaøn … y = sin x y = cos x

HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: tgx, cotgx

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = tgx (x ≠ π/2 + k π), y = cotgx (x ≠ kπ): MGT R, TC ñöùng y = tgx y = cotgx

HAØM HÔÏP. HAØM SÔ CAÁP

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 haøm y = f(x), y = g(x) → Haøm hôïp: f o g = f(g): y(x) = f(g(x)) Vaøo: x

Haøm :g

Ra : g ( x )

Haøm :f

Giaùtrò: f ( g ( x ) )

VD: Phaân bieät f(g) & g(f): f = x2 & g = cosx ⇒ f(g) = … ≠ g(f) = …

Haøm sô caáp: Toång, hieäu, tích, thöông, hôïp (ngöôïc) … cuûa nhöõng haøm cô baûn → Haøm sô caáp: Dieãn taû qua 1 coâng thöùc VD: y = (sin2(x) – ln(tgx+2))/(ecosx – 1): sô caáp → x≥0 Ltuïc, ñhaøm  x, … : 2 coâng thöùc → Khoângsô caáp : khoâng ñhaøm!

VD: y = x =  − x , x < 0

HAØM NGÖÔÏC

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haøm soá y = f(x): X → Y thoaû

tchaát:

∀ y ∈ Y, ∃! x ∈ X sao cho y = f(x) ⇒ f: song aùnh (töông f–song aùnh ⇔ Phöông trình f(x) = y (*) coù öùng moät–moät) nghieäm x duy nhaát y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) ∀ y ∈ Y : bieåuthöùchaøm ngöôïc: f −1 : Y → X Tìm haøm ngöôïc: Giaûi (*) (aån x) ⇒ Bieåu thöùc −1 haøm ngöôïc x = f (y)⇒ f–1 VD: y = f(x) = 2x + 1

Chuù

yù:

Caån

thaän

choïn X&Y = ? Tìm mieàn xaùc ñònh vaø VD: mieàn giaù trò ñeå treân ñoù haøm soá sau coù haøm ngöôïc vaø chæ

HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

− π , π  y = sinx: song aùnh:  2 2  → [ − 1,1] Haøm ngöôïc y = arcsinx:

[ − 1,1] − π , π   2 2 

→ π π  x ∈ − , , y ∈ [ − 1,1] : Giaûiptr sin x = y ⇔ Nghieämx = arcsin y  2 2 − π , π  & sin −1 α = β ⇔ α = sin β y = arcsinx: D = [–1, 1],   2 2  MGT VD: α = arcsin(1/2) = sin-1 Duøng phím sin-1 treân (1/2) : ( arcsin x ) ' =

MTBTuùi 1 u' dx & ( arcsin u ) ' = &∫ = arcsin x + C 2 2 2 1− x 1− u 1− x

Haøm arccos, arctg, arccotg: Toaùn 1, ÑCK, trang 21 – 23 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y = cosx song aùnh: [0, π] → [–1, 1] ⇒ y = arccosx: [–1, 1] …  x ∈ [ − 1,1], y ∈ [ 0, π ] 1 −1 y = arccos x = cos x ⇒  & ( arccos x ) ' = − 1− x2  x = cos y  π π  π π y = tgx : songaùnh : − ,  → R ⇒ y = arctgx : R → − ,   2 2  2 2 y = cotgx : songaùnh : [ 0, π ] → R ⇒ y = arccotgx : R → [ 0, π ] 1 u' dx ( arctgx ) ' = & ( arctgu ) ' = &∫ =arctgx + C 2 2 2 1+ x 1+ u 1+ x ( arccotgx ) ' = −1 (1 + x 2 )

HAØM HYPERBOLIC (Toaùn 1, ÑCK, trang 23 – 24) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x −x x −x

e −e e +e sinh x = shx = , cosh x = chx = .D=R 2 2

MTBTuùi: Baám hyp + sin, hyp + cos. VD: Tính sh(0), ch(0) minh: a/ ch(x) > 0 ∀ x (Thaät ra ch(x) ≥ VD: Chöùng 1

∀

b/ sh Giaûi x < chxphöông ∀ x VD:

x) c/ ch(x): trình: (1 + 2 ) ⇔ e xhaøm − e − x = 2chaün, ⇔ x = lnsh(x):

haøm sh(x) =leû) 1 VD: Chöùng minh ch2x – sh2x = 1 ∀ x (So saùnh: cos2x + sin2x = 1) Coâng thöùc haøm hyperbolic: Nhö coâng thöùc löôïng giaùc & ñoåi daáu rieâng vôùi thöøa soá tích chöùa 2 sin (hoaëc thay cosx → chx, sinx →

BAÛNG COÂNG THÖÙC HAØM HYPERBOLIC

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Coâng thöùc löôïng giaùc

Coâng thöùc Hyperbolic

sin 2 x + cos 2 x = 1 cos( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y

ch 2 x − sh 2 x = 1 ch ( x ± y ) = chxchy ± shxshy

cos( 2 x ) = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x

ch ( 2 x ) = 2ch 2 x − 1 = 1 + 2sh 2 x sh ( 2 x ) = 2shxchx

sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x sin ( 2 x ) = 2 sin x cos x

sh ( x ± y ) = shxchy ± shychx

x+ y x− y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2

x+ y x− y chx + chy = 2ch ch 2 2

x+ y x− y sin 2 2

x+ y x− y chx − chy = 2sh sh 2 2

cos x − cos y = −2 sin

Ñhaøm: (shx)’ = chx, (chx)’= shx. ÑN: thx = shx/chx;

AÙP DUÏNG HAØM MUÕ, LOG: PHAÂN RAÕ PHOÙNG XAÏ

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Toác ñoä phaân raõ cuûa vaät lieäu phoùng xaï tyû leä thuaän vôùi khoái löôïng hieän coù. Haõy tìm quy luaät phaân raõ cuûa vaät lieäu naøy?

Giaûi: Goïi R(t) – khoái löôïng vaät thôøi ñieåm t ⇒ toác ñoä phaân raõ: R’(t) = dR/dt < 0 (vì R giaûm).

Theo quan saùt: dR = − kR ( k : haèng soátyûleä> 0) dt

dR ⇒∫ = − ∫ kdt ⇒ R( t ) = R0 e − kt R

Carbon C – 14: Chu kyø baùn phaân raõ: 5730 naêm ⇒ Tìm R(t)?

Giaûi: T – chu kyø baùn phaân raõ ⇒ Khoái löôïng: R0 /2 taïi ln 2 − kTth/ñieåm T: R 0 = R0 e ⇒ kT = ln 2 ⇒ k = T = 5730 ⇒ R( t ) = R0 e −0.000121t 2 T

TAÁM VAÛI LIEÄM THAØNH TURIN

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Naêm 1356, caùc nhaø khaûo coå phaùt hieän taïi thaønh Turin (YÙ) taám vaûi coù aûnh aâm baûn hieän hình ngöôøi ñöôïc xem laø Chuùa Jesus → Truyeàn thuyeát: Taám vaûi lieäm thaønh Turin.

Naêm 1988, Toaø thaùnh Vatican cho pheùp Vieän Baûo taøng Anh xaùc ñònh nieân ñaïi taám vaûi baèng phöông phaùp ñoàng vò phoùng xaï C – 14  R( t )  1 R( t ) − 0.000121t ⇒ t = − C – 14lnban  Giaûi: coâng 92%= -e 93% löôïng → Sôïi Töø vaûi chöùa 0.000121  R0  R0 thöùc tröôùc: ñaàu.

Keát luaän?

R/R0: 0.92 → 0.93 t1 =  ln ( 0.92 ) ≈ 689 & t 2 =  ln( 0.93) ≈ 600 ⇒ Thöïc nghieäm: 1988 ⇒ Tuoåi taám vaûi khi ñoù: 600