[두풀수학] 논술심화편 / 통합형 / 정수에 대한 이해

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정수에
대한 이해
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정수에 대한 성질

약수와 배수를 활용하는 부정방정식

미지수의 개수보다 식의 개수가 적어서 미지수의 값이 무수히 많이 나오게 되는 방정식을 부 정방정식이라 한다정수 조건이 주어졌을 때 부정방정식을 정수 . () × 정수 ()  정수의 꼴로 변형 ()

한다그리고 정수의 약배수 성질을 활용하여 가능한 모든 해의 경우를 확인한다 . .

소수의 성질 활용

 과 자기 자신으로밖에 나누어떨어지지 않는  이외의 정수를 소수라고 한다.

정수 분류잉여류 ()

모든 정수는 어떤 한 개의 양의 정수  로 나눈 나머지에 의하여 다음과 같이 분류할 수 있다

               

모든 정수는 이 중 어느 하나의 꼴로 나타낼 수 있다

비둘기집 원리

비둘기집 원리

이를테면 개의

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비둘기집에 마리의 비둘기가 산다고 하자 만일 한 집에 한 마리 이하로만 산다고 하면 개의 집에 최대 마리가 살게 된다이는 마 리의 비둘기가 산다는 가정에 모순이므로 적어도 한 집에는 두 마리의 비둘기가 살게 된다. 일반적으로 개의 비둘기집에   마리의 비둘기가 살면적어도 한 집에는 두 마리 이상의 , 비둘기가 살게 된다는 것을 비둘기집 원리라고 한다 (pigeonhole principle).

예를 들면한 변의 길이가 , 인 정사각형의 내부에 개의 점을 임의로 찍을 때두 점 사이의 , 거리가  이하인 두 점이 반드시 존재함을 다음과 같이 보일 수 있다

오른쪽 그림과 같이 주어진 정사각형의 각 변의 중점을 잡아 이으며 한 변의 길이가 인 정

사각형이 개 생기고그 대각선의 길이는 ,  가 된다

여기에 개의 점을 찍으면 개의 정사각형 중 어느 하나에는 적어도 두 점을 찍어야 한다왜

냐하면 각 정사각형에 한 점씩 고르게 찍는다고 해도 한 점은 남게 되기 때문이다이 한 점

을 어느 정사각형에 찍든 하나에는 반드시 두 점을 찍게 된다따라서 두 점 사이의 거리가

 이하인 두 점이 반드시 존재한다

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5 1) 자연수   가  ≥  이고  는 소수일 때 방정식              이 정수해를 가지지 않음을 보여라.

2)

정수가 적힌 공이 여러 개 들어있는 세 개의 상자 A B C 가 있다상자 . A B C 에서 각각

임의로  개씩의 공을 꺼냈을 때상자 , A 에서 꺼낸 공에 적힌 수를  상자 , B 에서 꺼낸 공에

적힌 수를  상자 , C 에서 꺼낸 공에 적힌 수를  라 하자

[1]

상자 A 에       가 각각 적힌 공  개가상자 , B 에      가 각각 적힌 공 

개가상자 , C 에   이 각각 적힌 공  개가 들어있는 경우이차방정식 ,        이

서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수를 구하여라

[2]

상자 A 에  부터  까지 자연수가 각각 하나씩 적힌  개의

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, B 에      
 가
적힌  개의 공이상자 , C 에 
적힌  개의 공이 들어있는 경우를 생각하자이차방정식        이 서로 다른  개의 정수해를 가질 확 률을 구하여라
공이상자

각각
 이 각각
7 3) 다음 함수   가 실수 계수를 갖는 서로 다른 일차식으로 인수분해 됨을 증명하시오. 단 (,  ≥  인 정수이다.)    {        }  

어느 부부가 아홉 쌍의 부부를 집으로 초대하여 파티를 열었다이 자리에 모인 열 쌍의 부부 .

는 서로 아는 사이도 있고처음 만나는 사이도 있다이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수 , .

를 하지 않았지만처음 만나는 사람들은 정중하게 악수를 한 번씩 나누었다저녁 식사가 끝 , .

나고 집주인은 그 자리에 모인  명집주인의 부인과 손님들에게 오늘 모임에서 악수를 몇 ()

번 하였는지 질문하였다놀랍게도 이들이 악수한 횟수는 모두 달랐다집주인의 부인은 악수 . .

를 몇 번하였나?

8 4)

5)

다음 두 조건을 만족시키는 자연수 을 원소로 갖는 집합을 라 하자. ㉠  ≤  ≤  ㉡    이 으로 나누어떨어지지 않는다. [1]

집합 를 원소나열법으로 나타내시오.

 이상의 자연수 에 대해 C  ≤  ≤   가 의 배수가 되는 자연수 의 개수를  이라 하자집합  {   ∈ 라 할 때 }, 의 모든 원소의 합을 구하시오

9
[2]
10 6) 와 는 서로소인 자연수이고, 는 주기가 인 주기함수일 때다음 수식이 성립함을 설명하 , 시오               

7)

학생  와  를 포함하는    명으로 구성된 동아리에 대하여 아래 경우의 수를  라고 하 자단 . (,  는  이상인 자연수이다.)

학생‘  와  를 포함하여 동아리 학생  명을 뽑아 원탁에 앉힐 때  와  가 서로 이웃하

여 앉는 경우의 수’

 와  보다 큰 소수  에 대하여 다음 집합  의 가장 작은 원소를  라고 하자

      는  ≥   인 자연수      

   이라 할 때,  를 구하시오

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12 8)  보다 크거나 같고  보다 작거나 같은 기약분수들 중에서 분모가  이하인 기약분수들을 크 기 순으로 나열한 것을  이라 두자예를 들어 . ,                                        두 분수   와   가 다음 조건을 만족한다고 하자  ≤   ≤   ≤       두 분수   와   는 기약분수임을 설명하고두 분수 ,   와   가    에서 연속한 위치에 놓 여있지 않음을 설명하시오

9)

음이 아닌 정수  가음이 아닌 정수 ,  와  에 대해      를 만족할 때이러한 모 ,

든  의 집합을 라고 하자그리고집합 . , 의 원소를 작은 수부터 차례대로  ,  ,  , ⋯로

나타내자

[1]

 의 값을 구하시오

[2]

상수  에 대하여일반항이 , 

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     인 수열 {  을 정의하고이 수열 }, {  의 첫째항부 } 터 제  항까지의 합을  이라고 하자비    이  의 값과 관계없이 일정하기 위한  의 값을 모두 구하시오
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15 10) 함수      ln 를 이용하여     을 만족시키는 서로 다른 양의 정수  ,  의 순서쌍     를 모두 구하시오.

   을 만족시킬 확률을 구하시오 [2]

 부터  까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의

16 11)  이상의 자연수  에 대하여  을 소인수분해하여 거듭제곱을 사용하여 나타냈을 때모든 지 , 수의 합을   모든 지수의 곱을 ,   이라 하자예를 들어 . ,      × 이면         이고     ×  이다다음 물음에 답하시오 [1]  부터  까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를  이라 할 때,  이  
수를 택하여 이를  이라 하자.  이      을 만족시킬 때,  이 소수일 확률을 구하시오단 . (,  이하의 자연수 중 소수 의 개수는  이다.)
17 12) 서로 다른 세 정수 ,  ,  와 소수인 자연수  에 대하여 다음의 다항식은 계수가 정수이고 최고차항의 차수가  이하인 두 다항식의 곱으로 인수분해 될 수 없음을 설명하시오.              
18 13) 자연수  에 대하여 평면 위의 두 점         과         을 지나는 직선을  이라 하고 직선 ,  과  축이 만나서 이루는 예각을  이라 하자.      이고    인 자연수  ,  의 순서쌍   의 개수를    라 하자      을 만족시키는 가장 작은 자연 수 를 구하고 이때 순서쌍   을 모두 구하시오

자연수들로 이루어진 무한수열  ,  , ⋯ ,  , ⋯과 다항식   는 다음 조건들을 만족한다

가 ()      ,     

나모든 자연수 () 에 대해서   는 자연수

다모든 자연수 () 에 대해서    

19 14)
      [1] 수열 {  의 모든 항이 서로 다름을 증명하시오 }. [2] 무한수열   ,   , ,   , 이 발산함을 증명하시오 [3]   의 값을 구하시오
 
20 15) 함수    를       sin     이라 하자다음 조건을 만족시키는 순서쌍 .   를 모두 구하시오. ㉠                    ㉡            ㉢ ,  는 자연수이고,    ≤ 
21 16) 자연수  에 대하여 다음을 모두 만족시키는 두 자연수   의 순서쌍   의 개수 를  이라 하자이때 . ,       ≤  를 만족시키는 자연수  의 최댓값을 구하여라. 가 ()    나 ()  ≤  ≤  
22 17) 급수    ×      ×      ×   의 제항부터 제 1 항까지의 부분합을  이라 하 자 lim →∞    가 자연수가 되도록 하는 자연수 의 형태를 구하시오

1) 포항공대2009

주어진 방정식이 정수해 를 가진다고 가정하다

   ⋯      에서 는  의 음의 약수일 수밖에 없으므로  또는  이다

⓵    이면

    ⋯   의 값은  또는  되어 모순이다.

⓶    이면

    ⋯     이어야 하는데

       (  ≥  이어야 하므로 )  ±  이 되어 모순이다

그러므로 주어진 방정식은 정수해를 갖지 않는다

2) 경희대2022 [1]

 의 값에 따라 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우는 다음과 같다

가)    :                  

나)    :        

            

마)    :                    

바)    :          

따라서 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수는  이다

[2]

상자 B 에 들어있는 수는 모두 소수이다따라서    또는    라고 할 수 있다

이때 이차방정식을 인수분해하여 나타낼 수 있는 경우는 다음  가지가 있다            

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  
 
  즉
  
  
  다)    :           라)    :       
                                      의 계수가 음수이므로 가능한 경우는 다음  가지이다             ,    또는               ,    또는    상자 B 의  이상  이하의 소수  에 대해 상자 A 에   ,    이 있고,  에 대해  은 있고,  은 없고,  에 대해  은 있고,  은 없으며,  에 대해  ,  모두 없다 그러므로 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수는    ×      이다

방정식      의 실근은 최대    개다 비둘기집의 원리  에 의해 각 열린 구간에 오직 하나의 근만 존재하게 되고 각 실근은 서로 다 르다.

그러므로   는 서로 다른 일차식의 곱으로 인수분해 된다.

4) 서울대2008 파티에 참석한 사람의 수는  쌍의 부부 즉 ,  명이다

이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수를 하지 않았으므로 한 사람이 악수를 할 수 있는 최대 의 횟수는 자신과 배우자를 제외한 사람과 악수한 횟수이므로  회이다

집주인을 제외한  명이 악수한 횟수가 모두 다르므로  명이 악수한 횟수는 각각  ~  회 중

에 하나이다이제 집주인을 제외한  명에게 악수한 횟수로 번호를 붙이기로 하자  번 사 람은 배우자를 제외한 모든 사람을 모르고,  번 사람은 참석자 모두를 알고 있으므로  번을 알고 있는 유일한 사람이다그러므로 .  번과  번은 부부 사이이다.  번과  번을 제외시키고    ⋯   번인 사람의 횟수에서  번과 악수한 횟수를 빼면 악수 의 횟수는 각각    ⋯  

24 그리고 상자 A B C 에서 공을
경우의 수는  ×  ×    이다. 따라서 서로 다른  개의 정수해를 가질 확률은  ×  ×     ×       이다
각각 임의로  개씩의 공을 꺼내는
함수   에 대해                ⋯                                    사잇값 정리에 의해 방정식      은 다음의 각 소구간에서 적어도    개의 근을 갖는다         
   는 
3) 한양대2007 주어진
    ⋯        
  차 다항식이므로
회로 바뀐다여기에서 앞에서와 같은 방법으로 하면 .  번과  번 이 부부 사이이다이와 같이 반복하면 .  번만 혼자 남게 된다. 그러므로  번이 집주인의 부인이고집주인의 부인이 악수한 횟수는 ,  회이다.

  ×  (        인 약수 )  과  를 가지므로 다음 수는 으로 나누어 떨어진다

     ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×   

⓷ 이 제곱수인 합성수

    에 대해    이면 다음 수는 으로 나누어 떨어진다

     ×  × ×  × ×  × ×   

    에 대해    이면 다음 수는 으로 나누어 떨어지지 않는다

        

논제의 조건을 만족하는 집합은 다음과 같다

 {      } [2]

 이상의 소수 의 경우에는 C  ≤  ≤   이 의 배수가 되는 의 개수는  

   인 경우에는 C  ≤  ≤  이  의 배수가 되는 의 개수는     ,    ,    ,    ,    이므로

 {     }

모든 원소의 합은  이다

25 참석자의 악수횟수        배우자의 악수횟수    집주인   
[1] ⓵ 
 과 
5) 경북대의대2018
이 소수
이외에는 약수가 없으므로    은 으로 나누어 떨어지지 않는다 ⓶ 이 제곱수가 아닌 합성수

6) 고려대2013

 와 를  로 나눈 나머지가  로 같은 어떤 서로 다른 두 자연수 과  이 존재한다고 하

자단 . (,  ≤    ≤  )

          단 (,   는 정수,      ⋯    )

두 식을 빼면

     

 와 가 서로소이므로  은  의 배수가 되어야 한다.

  ≥ 

 ≤    ≤  이므로     이다

그런데 이것은 모순이다.

즉  ≠ 일 때, 와 를  로 나눈 나머지는 서로 다르다.

  ⋯   를  로 나누었을 때 나머지는 모두 다르고 그 나머지는    ⋯    이다.   는 주기가  인 주기함수이고         이므로집합 , {       ⋯      과 집합 } {       ⋯     는 서로 같다 }.

    7) 가톨릭의대2022 동아리에서 학생  명을 선택하는 경우의 수는 C         이웃하는 두 학생 ,    를 한 사람으로 생각하여  명이 원탁에 앉는 경우의 수는      이웃하는 두 학생 ,    가 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는  이다따라서  는 다음과 같다          ×  ×          을 구하기 위해

               

26

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.       
27      (       ⋯    ) 라고 하자그러면  ≤    이다 한편,  ≤  ≤   인 자연수  에 대하여    이므로  ≤  ≤   인 자연수  에 대하여  는  보다 큰 소수  를 약수로 갖지 않는다만약  ≤  ≤   인 자연수  에 대하여   이 자연수  이라면    가 되어 자연수를 소인수분해한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으 면 오직 한 가지뿐이라는 것에 모순이다따라서   는 자연수가 아니다 즉 . ,  ≤  ≤   인 자연수  에 대하여      이고           한편,  ≤  ≤   인 자연수  에 대하여                                             이고 이 값이 정수이므로         (          ) 따라서                      은 다음과 같다                                                                                    8) 한양대2013 ⓵  와  가 서로소가 아니면   ′     ′    인  가 존재한다    ′   ′  이 되어  가  의 약수가 되므로 모순이다 따라서  와  는 기약분수이다  와  도 마찬가지로 증명하면 기약분수이다 ⓶     에서   이므로         이고

않다.

9) 성균관대2023 [1]

  는  의 배수이고    는  로 나누면 나머지가  이다

따라서    ,    ,    ,    ,    중에서      일 때만 조건을 만족한다

그러므로 수열 {  은 }    

    ∴     [2]



28                              ∴                                에서⓵       는 기약분수이다 따라서 두 분수   와   가    에서 연속한 위치에 놓여있지
                          ,                                              그러므로    또는    일 때 위 값은 일정하다 10) 한양대2022      ln 를 미분하면  ′       ln 를 얻는다

 는     ,     가 된다.

11) 연세대2021 [1]

따라서 답은   이다. [2] 소인수의 개수가 1.  일 때 즉 ,  이 소수의 거듭제곱일 때,      은 항상 성립한다

소수의

 이하인 수는          으로 모두  개다

소수의 네제곱이면서  이하인 수는      으로 모두  개다

소수의 다섯제곱 또는 여섯제곱이면서  이하인 수는  와  의 거듭제곱으로

29 따라서  ′     이고,    에서  ′     ,    에서  ′     임을 알 수 있다 만일    인 순서쌍     가     를 만족한다면  ln   ln 즉 ,       가 성립한다 여기서    가    에서는 증가,    에서는 감소하므로만일 ,      라면       ,      라면        가 되어       가 불가능하다. 따라서      여야만       를 얻을 수 있다여기서 무리수 .     ⋯이므로 이보다 작은 양의 정수  는  또는  여야만 하는데모든 ,    에 대해          이므로    일 수는 없다만일 .    라면 양의 정수  또한  의 제곱꼴이 되고,    가     를 만족 함을 알 수 있다 역시 .  보다 큰 값 ′ 에 대해서는          ′  이므로,    가        를 만족하는 유일한 값이다우리가 앞서 .    를 가정했으나 대칭적으로    또 한 가능하고따라서 모든 양의 정수 순서쌍 ,   
표로 작성하면 다음과 같다
소수의 제곱이면서  이하인 수는                            으로 모두  개다
세제곱이면서
     개 다 소수의 일곱제곱여덟제곱아홉제곱열제곱이면서 , , ,  이하인 수는  의 거듭제곱으로          개다 따라서      을 만족하는  의 개수는            이다 소인수의 개수가 2.  일 때,      이 성립하려면,           일 때       을 만족하여야 한다따라서 . ,      이다                                                              

 ≤  을 만족하는  는  뿐이다        이면         ≥  이면  ≥             이면     이므로          이 가능하다

따라서  이하인 수는                      으로  개이다

3)    인 경우

           ≤  을 만족하는  는  과  가 있다

①    일 때,        이면       이므로      이 가능하다

       이면      이므로           이 가능하다 총 . (  개)

②    일 때,        이면       이므로    이 가능하다

       이면      이므로    이 가능하다 총 . (  개)

따라서 에 의해 1), 2), 3)   

30 따라서       의 형태로 서로 다른 소수의 곱의 제곱수이다   ≤    이어야 하므로        이다     의 순서쌍을 구하면                         로  개이다 소인수의 개수가 3.  일 때,      이 성립하려면,               일 때          을 만족하여야 하므로      은      의 순열로 총  개다 그런데  ≥  인 경우  ≥      이므로    만 가능하다. 1)   인 경우            ≤  을 만족하는  는  뿐이다        이면  ≥      이고        이면        이다  ≥  이면  ≥      따라서  이하인 수는  으로  개이다 2)    인 경우          
  을 만족하는  의 개수는        개다. 소인수의 개수가 4.  일 때,      이 성립하려면,                   일 때,             이어야 하므로        는        의 순열이다그러나 이 경우  ≥       이므로 불가능하다 소인수의 개수가 5.  이상이면  ≥        이므로 불가능하다 따라서      을 만족시키는  이하의 수는  개와        개이므로  개

마찬가지로   를 홀수차 다항식이라고 하여도 모순이 생긴다

따라서   와   는 모두 그 차수가 짝수이므로 하나는  차식다른 하나는 ,  차식이다

계수가 정수이므로 최고차항의 계수는 모두  이다

        이므로   와)  중 하나는  이고 다른 하나는  이다 마찬가지로   와   ,   와   에서는 하나는  이고 다른 하나는  이다

 를  차식이라고 하면 서로 다른 세 점에서 함숫값이 같을

     ,      인 경우

         

   

31 이므로 답은 ,           이다 12) 울산대의대2019         로 인수분해 되었다고 하자 만일   가 홀수차 다항식이라고 하면 )     의 그래프는  축과 만난다      인 실수 가 존재하고,            이다 하지만    ≥    이므로 모순이다
수 없다 그러므로 ,  ,  에서  의 함숫값은    또는    이다 ⓵   
         ㉠         ,      이므로 
 
     수식 에 의해 ㉠        이므로         ∴                                그러므로                                        위 수식과 주어진                의   항의 계수를 비교하면
          
      

모순이다

        가 아니다

        ,      인 경우

         

            ㉡         ,      이므로

     

32         ∴    항등식의 성질에 의해                    이고         이다                  소수  는  ≥  이므로 위 수식은
그러므로
                    수식 에 의해 ㉡        이므로 ∴                                                                        
33 위 수식과 주어진               의   항의 계수를 비교하면         ∴    항등식의 성질에 의해                           이 식의   항의 계수는   인데 이 값이  일 수 없으므로 모순이다 위 과 에서 모두 모순이므로 ⓵⓶   는 원하는 조건의 식으로 인수분해 될 수 없다. 13) 한양대2020 직선  의 기울기는 다음과 같다. tan                         이므로 tan  tan     삼각함수 덧셈정리에 의해                   양변에  을 더하면                       이므로  ,  는    의 양의 약수이다

   를 만족시키는 가장 작은 자연수 를 구하기 위해    의 양의 약수의 개수를 확인

  ,        ⋯

 의 양의 약수의 개수는 차례로 

34 
하면


       ⋯이다. 따라서 구하는 가장 작은 자연수    이다                   ,    이때 구하는 순서쌍은      ,   ,   이다 14) 한양대2018 [1]      인 어떤 자연수 과  이 존재한다고 가정하자 조건 다에서()                                  
                           이므로             조건 나에서 수열 (){  의 모든 항이 자연수이므로 이것은 가정에 모순이다 }. 그러므로      인 자연수 과  은 존재하지 않고 수열 {  의 모든 항은 서로 다르다 }.

다음과 같다.
         
위 두 수식을 연립하면,

35 [2]  은 자연수이므로                        이므로 수열 {    은 증가수열이다 }. 조건 나에서 수열 (){    의 모든 항은 자연수이므로 }         ≥     ≥       ≥         ≥ … ≥        lim  → ∞        ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 lim  → ∞     ∞ [3] 조건 다에서 모든 자연수 () 에 대해서                 를 만족하므로                                   ㉠      에서[2] lim  → ∞     ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 lim  → ∞   ∞ 수식 ㉠에서       이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해

함수   는 다항함수이고 최고차수가  차 이상이면 위 극한값은 발산한다 함수   는  차 이하의 다항함수이다그리고 조건 가에서 . ()      이므로

     ㉡ 조건 다에서()

        

        

      

         

        

주어진 조건에 의해   와  은 자연수이므로,

   ㉢

     ㉣

조건 가의()      에서 수식 에 의해 ㉢

    

수식 ㉡에서        이므로     이다

∴       

수식 에서㉣

    

    

∴   

조건 다에서()

36 lim  → ∞
≤ 

 

           

           

    

    

∴    조건 다에서()

              

              

그러므로  

37
   이다 15) 단국대2018 조건 ㉠에서                      cos                cos             cos      cos   cos             cos      cos   cos       이때 자연수  가 홀수이면 cos     cos       인데이것을 만족할 수 없다 , . 따라서  는 짝수이다. 조건 ㉡에서                cos           cos       

 ≤  ≤   …… ②

이다과 로부터①②  은 닫힌구간         에 속하는 정수의 개수이다자연수  에 대해서

() ⅰ     일 때,    

() ⅱ     일 때,    

() ⅲ     일 때,   

() ⅳ    일 때,      이다

38 이때  가 짝수이므로 cos                 또는         단 (, 는 자연수이다 ) . 따라서     또는   이어야 하고     즉 ,    이다. 그러므로          또는       조건 에서㉢       ≤  또는   ≤  이므로 순서쌍   는 다음과 같다                                  16) 서울시립대2023 가에 의해서 자연수 ()   은 적당한 음이 아닌 두 정수   에 대하여    ,    이다 가로부터()     이므로,  ≤  ≤   이고   는 음이 아닌 정수이다 ⋯ ① 나에서
부등식에 ,      와    를 대입하여 정리하면
()   ≤  ≤   이고이
 에 대하여                                      일 때         ×   ×   이고,                  이므로    17) 연세대2020
따라서 자연수
39 수열 {  의 일반항은 다음과 같다 }. 이 홀수이면     이고, 이 짝수이면    ×   급수     ∞  의 부분합  을 구하면 (i)    짝수일 때 (),                                                                        (ii)     홀수일 때 (),                                           따라서 lim →∞           이것이 자연수가 되려면 자연수    은  의 배수 즉 ,     ( 는 자연수의 꼴이다 ).

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