정수에
대한 이해
2
정수에 대한 성질
약수와 배수를 활용하는 부정방정식
미지수의 개수보다 식의 개수가 적어서 미지수의 값이 무수히 많이 나오게 되는 방정식을 부 정방정식이라 한다정수 조건이 주어졌을 때 부정방정식을 정수 . () × 정수 () 정수의 꼴로 변형 ()
한다그리고 정수의 약배수 성질을 활용하여 가능한 모든 해의 경우를 확인한다 . .
소수의 성질 활용
과 자기 자신으로밖에 나누어떨어지지 않는 이외의 정수를 소수라고 한다.
정수 분류잉여류 ()
모든 정수는 어떤 한 개의 양의 정수 로 나눈 나머지에 의하여 다음과 같이 분류할 수 있다
모든 정수는 이 중 어느 하나의 꼴로 나타낼 수 있다
비둘기집 원리
비둘기집 원리
이를테면 개의
3
비둘기집에 마리의 비둘기가 산다고 하자 만일 한 집에 한 마리 이하로만 산다고 하면 개의 집에 최대 마리가 살게 된다이는 마 리의 비둘기가 산다는 가정에 모순이므로 적어도 한 집에는 두 마리의 비둘기가 살게 된다. 일반적으로 개의 비둘기집에 마리의 비둘기가 살면적어도 한 집에는 두 마리 이상의 , 비둘기가 살게 된다는 것을 비둘기집 원리라고 한다 (pigeonhole principle).
예를 들면한 변의 길이가 , 인 정사각형의 내부에 개의 점을 임의로 찍을 때두 점 사이의 , 거리가 이하인 두 점이 반드시 존재함을 다음과 같이 보일 수 있다
오른쪽 그림과 같이 주어진 정사각형의 각 변의 중점을 잡아 이으며 한 변의 길이가 인 정
사각형이 개 생기고그 대각선의 길이는 , 가 된다
여기에 개의 점을 찍으면 개의 정사각형 중 어느 하나에는 적어도 두 점을 찍어야 한다왜
냐하면 각 정사각형에 한 점씩 고르게 찍는다고 해도 한 점은 남게 되기 때문이다이 한 점
을 어느 정사각형에 찍든 하나에는 반드시 두 점을 찍게 된다따라서 두 점 사이의 거리가
이하인 두 점이 반드시 존재한다
4
5 1) 자연수 가 ≥ 이고 는 소수일 때 방정식 이 정수해를 가지지 않음을 보여라.
2)
정수가 적힌 공이 여러 개 들어있는 세 개의 상자 A B C 가 있다상자 . A B C 에서 각각
임의로 개씩의 공을 꺼냈을 때상자 , A 에서 꺼낸 공에 적힌 수를 상자 , B 에서 꺼낸 공에
적힌 수를 상자 , C 에서 꺼낸 공에 적힌 수를 라 하자
[1]
상자 A 에 가 각각 적힌 공 개가상자 , B 에 가 각각 적힌 공
개가상자 , C 에 이 각각 적힌 공 개가 들어있는 경우이차방정식 , 이
서로 다른 개의 정수해를 갖는 경우의 수를 구하여라
[2]
상자 A 에 부터 까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 개의
6
, B 에
가
적힌 개의 공이상자 , C 에
적힌 개의 공이 들어있는 경우를 생각하자이차방정식 이 서로 다른 개의 정수해를 가질 확 률을 구하여라
공이상자
각각
이 각각
7 3) 다음 함수 가 실수 계수를 갖는 서로 다른 일차식으로 인수분해 됨을 증명하시오. 단 (, ≥ 인 정수이다.) { }
어느 부부가 아홉 쌍의 부부를 집으로 초대하여 파티를 열었다이 자리에 모인 열 쌍의 부부 .
는 서로 아는 사이도 있고처음 만나는 사이도 있다이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수 , .
를 하지 않았지만처음 만나는 사람들은 정중하게 악수를 한 번씩 나누었다저녁 식사가 끝 , .
나고 집주인은 그 자리에 모인 명집주인의 부인과 손님들에게 오늘 모임에서 악수를 몇 ()
번 하였는지 질문하였다놀랍게도 이들이 악수한 횟수는 모두 달랐다집주인의 부인은 악수 . .
를 몇 번하였나?
8 4)
5)
다음 두 조건을 만족시키는 자연수 을 원소로 갖는 집합을 라 하자. ㉠ ≤ ≤ ㉡ 이 으로 나누어떨어지지 않는다. [1]
집합 를 원소나열법으로 나타내시오.
이상의 자연수 에 대해 C ≤ ≤ 가 의 배수가 되는 자연수 의 개수를 이라 하자집합 { ∈ 라 할 때 }, 의 모든 원소의 합을 구하시오
9
[2]
10 6) 와 는 서로소인 자연수이고, 는 주기가 인 주기함수일 때다음 수식이 성립함을 설명하 , 시오
7)
학생 와 를 포함하는 명으로 구성된 동아리에 대하여 아래 경우의 수를 라고 하 자단 . (, 는 이상인 자연수이다.)
학생‘ 와 를 포함하여 동아리 학생 명을 뽑아 원탁에 앉힐 때 와 가 서로 이웃하
여 앉는 경우의 수’
와 보다 큰 소수 에 대하여 다음 집합 의 가장 작은 원소를 라고 하자
는 ≥ 인 자연수
이라 할 때, 를 구하시오
11
12 8) 보다 크거나 같고 보다 작거나 같은 기약분수들 중에서 분모가 이하인 기약분수들을 크 기 순으로 나열한 것을 이라 두자예를 들어 . , 두 분수 와 가 다음 조건을 만족한다고 하자 ≤ ≤ ≤ 두 분수 와 는 기약분수임을 설명하고두 분수 , 와 가 에서 연속한 위치에 놓 여있지 않음을 설명하시오
9)
음이 아닌 정수 가음이 아닌 정수 , 와 에 대해 를 만족할 때이러한 모 ,
든 의 집합을 라고 하자그리고집합 . , 의 원소를 작은 수부터 차례대로 , , , ⋯로
나타내자
[1]
의 값을 구하시오
[2]
상수 에 대하여일반항이 ,
13
인 수열 { 을 정의하고이 수열 }, { 의 첫째항부 } 터 제 항까지의 합을 이라고 하자비 이 의 값과 관계없이 일정하기 위한 의 값을 모두 구하시오
14
15 10) 함수 ln 를 이용하여 을 만족시키는 서로 다른 양의 정수 , 의 순서쌍 를 모두 구하시오.
을 만족시킬 확률을 구하시오 [2]
부터 까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의
16 11) 이상의 자연수 에 대하여 을 소인수분해하여 거듭제곱을 사용하여 나타냈을 때모든 지 , 수의 합을 모든 지수의 곱을 , 이라 하자예를 들어 . , × 이면 이고 × 이다다음 물음에 답하시오 [1] 부터 까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를 이라 할 때, 이
수를 택하여 이를 이라 하자. 이 을 만족시킬 때, 이 소수일 확률을 구하시오단 . (, 이하의 자연수 중 소수 의 개수는 이다.)
17 12) 서로 다른 세 정수 , , 와 소수인 자연수 에 대하여 다음의 다항식은 계수가 정수이고 최고차항의 차수가 이하인 두 다항식의 곱으로 인수분해 될 수 없음을 설명하시오.
18 13) 자연수 에 대하여 평면 위의 두 점 과 을 지나는 직선을 이라 하고 직선 , 과 축이 만나서 이루는 예각을 이라 하자. 이고 인 자연수 , 의 순서쌍 의 개수를 라 하자 을 만족시키는 가장 작은 자연 수 를 구하고 이때 순서쌍 을 모두 구하시오
자연수들로 이루어진 무한수열 , , ⋯ , , ⋯과 다항식 는 다음 조건들을 만족한다
가 () ,
나모든 자연수 () 에 대해서 는 자연수
다모든 자연수 () 에 대해서
19 14)
[1] 수열 { 의 모든 항이 서로 다름을 증명하시오 }. [2] 무한수열 , , , , 이 발산함을 증명하시오 [3] 의 값을 구하시오
20 15) 함수 를 sin 이라 하자다음 조건을 만족시키는 순서쌍 . 를 모두 구하시오. ㉠ ㉡ ㉢ , 는 자연수이고, ≤
21 16) 자연수 에 대하여 다음을 모두 만족시키는 두 자연수 의 순서쌍 의 개수 를 이라 하자이때 . , ≤ 를 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하여라. 가 () 나 () ≤ ≤
22 17) 급수 × × × 의 제항부터 제 1 항까지의 부분합을 이라 하 자 lim →∞ 가 자연수가 되도록 하는 자연수 의 형태를 구하시오
1) 포항공대2009
주어진 방정식이 정수해 를 가진다고 가정하다
⋯ 에서 는 의 음의 약수일 수밖에 없으므로 또는 이다
⓵ 이면
⋯ 의 값은 또는 되어 모순이다.
⓶ 이면
⋯ 이어야 하는데
( ≥ 이어야 하므로 ) ± 이 되어 모순이다
그러므로 주어진 방정식은 정수해를 갖지 않는다
2) 경희대2022 [1]
의 값에 따라 서로 다른 개의 정수해를 갖는 경우는 다음과 같다
가) :
나) :
마) :
바) :
따라서 서로 다른 개의 정수해를 갖는 경우의 수는 이다
[2]
상자 B 에 들어있는 수는 모두 소수이다따라서 또는 라고 할 수 있다
이때 이차방정식을 인수분해하여 나타낼 수 있는 경우는 다음 가지가 있다
23
즉
⋯
다) : 라) :
의 계수가 음수이므로 가능한 경우는 다음 가지이다 , 또는 , 또는 상자 B 의 이상 이하의 소수 에 대해 상자 A 에 , 이 있고, 에 대해 은 있고, 은 없고, 에 대해 은 있고, 은 없으며, 에 대해 , 모두 없다 그러므로 서로 다른 개의 정수해를 갖는 경우의 수는 × 이다
방정식 의 실근은 최대 개다 비둘기집의 원리 에 의해 각 열린 구간에 오직 하나의 근만 존재하게 되고 각 실근은 서로 다 르다.
그러므로 는 서로 다른 일차식의 곱으로 인수분해 된다.
4) 서울대2008 파티에 참석한 사람의 수는 쌍의 부부 즉 , 명이다
이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수를 하지 않았으므로 한 사람이 악수를 할 수 있는 최대 의 횟수는 자신과 배우자를 제외한 사람과 악수한 횟수이므로 회이다
집주인을 제외한 명이 악수한 횟수가 모두 다르므로 명이 악수한 횟수는 각각 ~ 회 중
에 하나이다이제 집주인을 제외한 명에게 악수한 횟수로 번호를 붙이기로 하자 번 사 람은 배우자를 제외한 모든 사람을 모르고, 번 사람은 참석자 모두를 알고 있으므로 번을 알고 있는 유일한 사람이다그러므로 . 번과 번은 부부 사이이다. 번과 번을 제외시키고 ⋯ 번인 사람의 횟수에서 번과 악수한 횟수를 빼면 악수 의 횟수는 각각 ⋯
24 그리고 상자 A B C 에서 공을
경우의 수는 × × 이다. 따라서 서로 다른 개의 정수해를 가질 확률은 × × × 이다
각각 임의로 개씩의 공을 꺼내는
함수 에 대해 ⋯ 사잇값 정리에 의해 방정식 은 다음의 각 소구간에서 적어도 개의 근을 갖는다
는
3) 한양대2007 주어진
⋯
차 다항식이므로
회로 바뀐다여기에서 앞에서와 같은 방법으로 하면 . 번과 번 이 부부 사이이다이와 같이 반복하면 . 번만 혼자 남게 된다. 그러므로 번이 집주인의 부인이고집주인의 부인이 악수한 횟수는 , 회이다.
× ( 인 약수 ) 과 를 가지므로 다음 수는 으로 나누어 떨어진다
× × ⋯ × × ⋯ × × ⋯ ×
⓷ 이 제곱수인 합성수
에 대해 이면 다음 수는 으로 나누어 떨어진다
× × × × × × ×
에 대해 이면 다음 수는 으로 나누어 떨어지지 않는다
논제의 조건을 만족하는 집합은 다음과 같다
{ } [2]
이상의 소수 의 경우에는 C ≤ ≤ 이 의 배수가 되는 의 개수는
인 경우에는 C ≤ ≤ 이 의 배수가 되는 의 개수는 , , , , 이므로
{ }
모든 원소의 합은 이다
25 참석자의 악수횟수 배우자의 악수횟수 집주인
[1] ⓵
과
5) 경북대의대2018
이 소수
이외에는 약수가 없으므로 은 으로 나누어 떨어지지 않는다 ⓶ 이 제곱수가 아닌 합성수
6) 고려대2013
와 를 로 나눈 나머지가 로 같은 어떤 서로 다른 두 자연수 과 이 존재한다고 하
자단 . (, ≤ ≤ )
단 (, 는 정수, ⋯ )
두 식을 빼면
와 가 서로소이므로 은 의 배수가 되어야 한다.
≥
≤ ≤ 이므로 이다
그런데 이것은 모순이다.
즉 ≠ 일 때, 와 를 로 나눈 나머지는 서로 다르다.
⋯ 를 로 나누었을 때 나머지는 모두 다르고 그 나머지는 ⋯ 이다. 는 주기가 인 주기함수이고 이므로집합 , { ⋯ 과 집합 } { ⋯ 는 서로 같다 }.
7) 가톨릭의대2022 동아리에서 학생 명을 선택하는 경우의 수는 C 이웃하는 두 학생 , 를 한 사람으로 생각하여 명이 원탁에 앉는 경우의 수는 이웃하는 두 학생 , 가 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 이다따라서 는 다음과 같다 × × 을 구하기 위해
26
이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
27 ( ⋯ ) 라고 하자그러면 ≤ 이다 한편, ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 이므로 ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 는 보다 큰 소수 를 약수로 갖지 않는다만약 ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 이 자연수 이라면 가 되어 자연수를 소인수분해한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으 면 오직 한 가지뿐이라는 것에 모순이다따라서 는 자연수가 아니다 즉 . , ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 이고 한편, ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 이고 이 값이 정수이므로 ( ) 따라서 은 다음과 같다 8) 한양대2013 ⓵ 와 가 서로소가 아니면 ′ ′ 인 가 존재한다 ′ ′ 이 되어 가 의 약수가 되므로 모순이다 따라서 와 는 기약분수이다 와 도 마찬가지로 증명하면 기약분수이다 ⓶ 에서 이므로 이고
않다.
9) 성균관대2023 [1]
는 의 배수이고 는 로 나누면 나머지가 이다
따라서 , , , , 중에서 일 때만 조건을 만족한다
그러므로 수열 { 은 }
∴ [2]
28 ∴ 에서⓵ 는 기약분수이다 따라서 두 분수 와 가 에서 연속한 위치에 놓여있지
, 그러므로 또는 일 때 위 값은 일정하다 10) 한양대2022 ln 를 미분하면 ′ ln 를 얻는다
는 , 가 된다.
11) 연세대2021 [1]
따라서 답은 이다. [2] 소인수의 개수가 1. 일 때 즉 , 이 소수의 거듭제곱일 때, 은 항상 성립한다
소수의
이하인 수는 으로 모두 개다
소수의 네제곱이면서 이하인 수는 으로 모두 개다
소수의 다섯제곱 또는 여섯제곱이면서 이하인 수는 와 의 거듭제곱으로
29 따라서 ′ 이고, 에서 ′ , 에서 ′ 임을 알 수 있다 만일 인 순서쌍 가 를 만족한다면 ln ln 즉 , 가 성립한다 여기서 가 에서는 증가, 에서는 감소하므로만일 , 라면 , 라면 가 되어 가 불가능하다. 따라서 여야만 를 얻을 수 있다여기서 무리수 . ⋯이므로 이보다 작은 양의 정수 는 또는 여야만 하는데모든 , 에 대해 이므로 일 수는 없다만일 . 라면 양의 정수 또한 의 제곱꼴이 되고, 가 를 만족 함을 알 수 있다 역시 . 보다 큰 값 ′ 에 대해서는 ′ 이므로, 가 를 만족하는 유일한 값이다우리가 앞서 . 를 가정했으나 대칭적으로 또 한 가능하고따라서 모든 양의 정수 순서쌍 ,
표로 작성하면 다음과 같다
소수의 제곱이면서 이하인 수는 으로 모두 개다
세제곱이면서
개 다 소수의 일곱제곱여덟제곱아홉제곱열제곱이면서 , , , 이하인 수는 의 거듭제곱으로 개다 따라서 을 만족하는 의 개수는 이다 소인수의 개수가 2. 일 때, 이 성립하려면, 일 때 을 만족하여야 한다따라서 . , 이다
≤ 을 만족하는 는 뿐이다 이면 ≥ 이면 ≥ 이면 이므로 이 가능하다
따라서 이하인 수는 으로 개이다
3) 인 경우
≤ 을 만족하는 는 과 가 있다
① 일 때, 이면 이므로 이 가능하다
이면 이므로 이 가능하다 총 . ( 개)
② 일 때, 이면 이므로 이 가능하다
이면 이므로 이 가능하다 총 . ( 개)
따라서 에 의해 1), 2), 3)
30 따라서 의 형태로 서로 다른 소수의 곱의 제곱수이다 ≤ 이어야 하므로 이다 의 순서쌍을 구하면 로 개이다 소인수의 개수가 3. 일 때, 이 성립하려면, 일 때 을 만족하여야 하므로 은 의 순열로 총 개다 그런데 ≥ 인 경우 ≥ 이므로 만 가능하다. 1) 인 경우 ≤ 을 만족하는 는 뿐이다 이면 ≥ 이고 이면 이다 ≥ 이면 ≥ 따라서 이하인 수는 으로 개이다 2) 인 경우
을 만족하는 의 개수는 개다. 소인수의 개수가 4. 일 때, 이 성립하려면, 일 때, 이어야 하므로 는 의 순열이다그러나 이 경우 ≥ 이므로 불가능하다 소인수의 개수가 5. 이상이면 ≥ 이므로 불가능하다 따라서 을 만족시키는 이하의 수는 개와 개이므로 개
마찬가지로 를 홀수차 다항식이라고 하여도 모순이 생긴다
따라서 와 는 모두 그 차수가 짝수이므로 하나는 차식다른 하나는 , 차식이다
계수가 정수이므로 최고차항의 계수는 모두 이다
이므로 와) 중 하나는 이고 다른 하나는 이다 마찬가지로 와 , 와 에서는 하나는 이고 다른 하나는 이다
를 차식이라고 하면 서로 다른 세 점에서 함숫값이 같을
, 인 경우
31 이므로 답은 , 이다 12) 울산대의대2019 로 인수분해 되었다고 하자 만일 가 홀수차 다항식이라고 하면 ) 의 그래프는 축과 만난다 인 실수 가 존재하고, 이다 하지만 ≥ 이므로 모순이다
수 없다 그러므로 , , 에서 의 함숫값은 또는 이다 ⓵
㉠ , 이므로
수식 에 의해 ㉠ 이므로 ∴ 그러므로 위 수식과 주어진 의 항의 계수를 비교하면
모순이다
가 아니다
, 인 경우
㉡ , 이므로
32 ∴ 항등식의 성질에 의해 이고 이다 소수 는 ≥ 이므로 위 수식은
그러므로
⓶
수식 에 의해 ㉡ 이므로 ∴
33 위 수식과 주어진 의 항의 계수를 비교하면 ∴ 항등식의 성질에 의해 이 식의 항의 계수는 인데 이 값이 일 수 없으므로 모순이다 위 과 에서 모두 모순이므로 ⓵⓶ 는 원하는 조건의 식으로 인수분해 될 수 없다. 13) 한양대2020 직선 의 기울기는 다음과 같다. tan 이므로 tan tan 삼각함수 덧셈정리에 의해 양변에 을 더하면 이므로 , 는 의 양의 약수이다
를 만족시키는 가장 작은 자연수 를 구하기 위해 의 양의 약수의 개수를 확인
, ⋯
의 양의 약수의 개수는 차례로
34
하면
⋯이다. 따라서 구하는 가장 작은 자연수 이다 , 이때 구하는 순서쌍은 , , 이다 14) 한양대2018 [1] 인 어떤 자연수 과 이 존재한다고 가정하자 조건 다에서()
이므로 조건 나에서 수열 (){ 의 모든 항이 자연수이므로 이것은 가정에 모순이다 }. 그러므로 인 자연수 과 은 존재하지 않고 수열 { 의 모든 항은 서로 다르다 }.
다음과 같다.
위 두 수식을 연립하면,
35 [2] 은 자연수이므로 이므로 수열 { 은 증가수열이다 }. 조건 나에서 수열 (){ 의 모든 항은 자연수이므로 } ≥ ≥ ≥ ≥ … ≥ lim → ∞ ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 lim → ∞ ∞ [3] 조건 다에서 모든 자연수 () 에 대해서 를 만족하므로 ㉠ 에서[2] lim → ∞ ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 lim → ∞ ∞ 수식 ㉠에서 이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해
함수 는 다항함수이고 최고차수가 차 이상이면 위 극한값은 발산한다 함수 는 차 이하의 다항함수이다그리고 조건 가에서 . () 이므로
㉡ 조건 다에서()
주어진 조건에 의해 와 은 자연수이므로,
㉢
㉣
조건 가의() 에서 수식 에 의해 ㉢
수식 ㉡에서 이므로 이다
∴
수식 에서㉣
∴
조건 다에서()
36 lim → ∞
≤
∴ 조건 다에서()
그러므로
37
이다 15) 단국대2018 조건 ㉠에서 cos cos cos cos cos cos cos cos 이때 자연수 가 홀수이면 cos cos 인데이것을 만족할 수 없다 , . 따라서 는 짝수이다. 조건 ㉡에서 cos cos
≤ ≤ …… ②
이다과 로부터①② 은 닫힌구간 에 속하는 정수의 개수이다자연수 에 대해서
() ⅰ 일 때,
() ⅱ 일 때,
() ⅲ 일 때,
() ⅳ 일 때, 이다
38 이때 가 짝수이므로 cos 또는 단 (, 는 자연수이다 ) . 따라서 또는 이어야 하고 즉 , 이다. 그러므로 또는 조건 에서㉢ ≤ 또는 ≤ 이므로 순서쌍 는 다음과 같다 16) 서울시립대2023 가에 의해서 자연수 () 은 적당한 음이 아닌 두 정수 에 대하여 , 이다 가로부터() 이므로, ≤ ≤ 이고 는 음이 아닌 정수이다 ⋯ ① 나에서
부등식에 , 와 를 대입하여 정리하면
() ≤ ≤ 이고이
에 대하여 일 때 × × 이고, 이므로 17) 연세대2020
따라서 자연수
39 수열 { 의 일반항은 다음과 같다 }. 이 홀수이면 이고, 이 짝수이면 × 급수 ∞ 의 부분합 을 구하면 (i) 짝수일 때 (), (ii) 홀수일 때 (), 따라서 lim →∞ 이것이 자연수가 되려면 자연수 은 의 배수 즉 , ( 는 자연수의 꼴이다 ).