[두풀수학] 논술심화편 / 통합형 / 정수에 대한 이해

정수에 대한 이해

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정수에 대한 성질

약수와 배수를 활용하는 부정방정식 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어서 미지수의 값이 무수히 많이 나오게 되는 방정식을 부 정방정식이라 한다. 정수 조건이 주어졌을 때 부정방정식을 (정수)×(정수)(정수)의 꼴로 변형 한다. 그리고 정수의 약배수 성질을 활용하여 가능한 모든 해의 경우를 확인한다.

소수의 성질 활용 과 자기 자신으로밖에 나누어떨어지지 않는  이외의 정수를 소수라고 한다.

정수 분류(잉여류) 모든 정수는 어떤 한 개의 양의 정수 로 나눈 나머지에 의하여 다음과 같이 분류할 수 있다.           …       모든 정수는 이 중 어느 하나의 꼴로 나타낼 수 있다.

비둘기집 원리 비둘기집 원리 이를테면 개의 비둘기집에 마리의 비둘기가 산다고 하자. 만일 한 집에 한 마리 이하로만 산다고 하면 개의 집에 최대 마리가 살게 된다. 이는 마 리의 비둘기가 산다는 가정에 모순이므로 적어도 한 집에는 두 마리의 비둘기가 살게 된다.

일반적으로 개의 비둘기집에 마리의 비둘기가 살면, 적어도 한 집에는 두 마리 이상의 비둘기가 살게 된다는 것을 비둘기집 원리(pigeonhole principle)라고 한다.

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예를 들면, 한 변의 길이가 인 정사각형의 내부에 개의 점을 임의로 찍을 때, 두 점 사이의

 이하인 두 점이 반드시 존재함을 다음과 같이 보일 수 있다. 거리가  오른쪽 그림과 같이 주어진 정사각형의 각 변의 중점을 잡아 이으며 한 변의 길이가 인 정

 가 된다. 사각형이 개 생기고, 그 대각선의 길이는 

여기에 개의 점을 찍으면 개의 정사각형 중 어느 하나에는 적어도 두 점을 찍어야 한다. 왜 냐하면 각 정사각형에 한 점씩 고르게 찍는다고 해도 한 점은 남게 되기 때문이다. 이 한 점 을 어느 정사각형에 찍든 하나에는 반드시 두 점을 찍게 된다. 따라서 두 점 사이의 거리가

  이하인 두 점이 반드시 존재한다.

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1)

자연수  가  ≥ 이고 는 소수일 때 방정식       ⋯      이 정수해를 가지지 않음을 보여라.

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2)

정수가 적힌 공이 여러 개 들어있는 세 개의 상자 A B C 가 있다. 상자 A B C 에서 각각 임의로  개씩의 공을 꺼냈을 때, 상자 A 에서 꺼낸 공에 적힌 수를  , 상자 B 에서 꺼낸 공에 적힌 수를  , 상자 C 에서 꺼낸 공에 적힌 수를  라 하자.

[1] 상자 A 에       가 각각 적힌 공  개가, 상자 B 에      가 각각 적힌 공  개가, 상자 C 에    이 각각 적힌 공  개가 들어있는 경우, 이차방정식        이 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수를 구하여라.

[2] 상자

A에

 부터

 까지

자연수가

각각

하나씩

적힌

 개의

공이,

상자

B에

        가 각각 적힌  개의 공이, 상자 C 에    이 각각 적힌  개의 공이 들어있는 경우를 생각하자. 이차방정식        이 서로 다른  개의 정수해를 가질 확 률을 구하여라.

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3)

다음 함수   가 실수 계수를 갖는 서로 다른 일차식으로 인수분해 됨을 증명하시오. (단,  ≥ 인 정수이다.)    {         ⋯   }   

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4)

어느 부부가 아홉 쌍의 부부를 집으로 초대하여 파티를 열었다. 이 자리에 모인 열 쌍의 부부 는 서로 아는 사이도 있고, 처음 만나는 사이도 있다. 이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수 를 하지 않았지만, 처음 만나는 사람들은 정중하게 악수를 한 번씩 나누었다. 저녁 식사가 끝 나고 집주인은 그 자리에 모인 명(집주인의 부인과 손님들)에게 오늘 모임에서 악수를 몇 번 하였는지 질문하였다. 놀랍게도 이들이 악수한 횟수는 모두 달랐다. 집주인의 부인은 악수 를 몇 번하였나?

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5)

다음 두 조건을 만족시키는 자연수 을 원소로 갖는 집합을  라 하자. ㉠  ≤  ≤  ㉡    이 으로 나누어떨어지지 않는다.

[1] 집합  를 원소나열법으로 나타내시오.

[2] 이상의 자연수 에 대해 C  ≤  ≤    가 의 배수가 되는 자연수 의 개수를  이라 하자. 집합  {  ∈ }라 할 때,  의 모든 원소의 합을 구하시오.

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6)

와 는 서로소인 자연수이고, 는 주기가 인 주기함수일 때, 다음 수식이 성립함을 설명하 시오.









 





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7)

학생  와  를 포함하는    명으로 구성된 동아리에 대하여 아래 경우의 수를  라고 하 자. (단,  는  이상인 자연수이다.) ‘학생  와  를 포함하여 동아리 학생  명을 뽑아 원탁에 앉힐 때  와  가 서로 이웃하 여 앉는 경우의 수’  와  보다 큰 소수  에 대하여 다음 집합  의 가장 작은 원소를  라고 하자.



     는  ≥  인 자연수 



 



  이라 할 때,  를 구하시오.





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8)

 보다 크거나 같고  보다 작거나 같은 기약분수들 중에서 분모가  이하인 기약분수들을 크 기 순으로 나열한 것을  이라 두자. 예를 들어,











                                             



  두 분수  와  가 다음 조건을 만족한다고 하자.      ≤  ≤  ≤         

    두 분수  와  는 기약분수임을 설명하고, 두 분수  와  가    에서 연속한 위치에 놓     여있지 않음을 설명하시오.

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9)

음이 아닌 정수 가, 음이 아닌 정수 와 에 대해       를 만족할 때, 이러한 모 든 의 집합을  라고 하자. 그리고, 집합  의 원소를 작은 수부터 차례대로  ,  ,  , ⋯로 나타내자.

[1]  의 값을 구하시오.

[2] 상수 에 대하여, 일반항이         인 수열 { }을 정의하고, 이 수열 { }의 첫째항부 터 제 항까지의 합을   이라고 하자. 비      이 의 값과 관계없이 일정하기 위한 의 값을 모두 구하시오.

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14

10)

ln 함수    를 이용하여    을 만족시키는 서로 다른 양의 정수  ,  의 순서쌍      를 모두 구하시오.

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11)

 이상의 자연수  에 대하여  을 소인수분해하여 거듭제곱을 사용하여 나타냈을 때, 모든 지   수의 합을   , 모든 지수의 곱을   이라 하자. 예를 들어,      × 이면

      이고    ×  이다. 다음 물음에 답하시오.

[1]

 부터  까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를  이라 할 때,  이      을 만족시킬 확률을 구하시오.

[2]

 부터  까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를  이라 하자.  이      을 만족시킬 때,  이 소수일 확률을 구하시오. (단,  이하의 자연수 중 소수 의 개수는  이다.)

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12)

서로 다른 세 정수 , , 와 소수인 자연수  에 대하여 다음의 다항식은 계수가 정수이고 최고차항의 차수가  이하인 두 다항식의 곱으로 인수분해 될 수 없음을 설명하시오.                 

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13)

자연수  에 대하여 평면 위의 두 점

     과     을 지나는 직선을 



이라 하고, 직선   과  축이 만나서 이루는 예각을  이라 하자.      이고   인 자연수  , 의 순서쌍   의 개수를   라 하자.     을 만족시키는 가장 작은 자연 수 를 구하고 이때 순서쌍   을 모두 구하시오.

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14)

자연수들로 이루어진 무한수열  ,  , ⋯,  , ⋯과 다항식 는 다음 조건들을 만족한다. (가)     ,      (나) 모든 자연수 에 대해서   는 자연수 

   (다) 모든 자연수 에 대해서            



[1] 수열 { }의 모든 항이 서로 다름을 증명하시오.

[2] 무한수열   ,   , ⋯,   , ⋯이 발산함을 증명하시오.

[3]   의 값을 구하시오.

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15)

함수    를      sin   이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 순서쌍   를 모두 구하시오.

㉠

  

  



㉡



          

     

㉢ ,  는 자연수이고,  ≤ 

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16)

자연수 에 대하여 다음을 모두 만족시키는 두 자연수  의 순서쌍   의 개수 를  이라 하자. 이때,



  ≤를 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하여라.





(가)    (나) ≤ ≤

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17)

급수   ×    ×    × ⋯ 의 제1항부터 제 항까지의 부분합을   이라 하

 자. lim  가 자연수가 되도록 하는 자연수 의 형태를 구하시오.  →∞ 

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1) 포항공대2009 주어진 방정식이 정수해 를 가진다고 가정하다.     ⋯     에서 는 의 음의 약수일 수밖에 없으므로   또는  이다. ⓵   이면     ⋯  의 값은  또는 되어 모순이다. ⓶   이면     ⋯   이어야 하는데       ⋯         즉          ( ≥ )이어야 하므로  ±이 되어 모순이다. 그러므로 주어진 방정식은 정수해를 갖지 않는다.

2) 경희대2022 [1]  의 값에 따라 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우는 다음과 같다. 가)    :                     나)    :             다)    :             라)    :

                       

마)    :                         바)    :             따라서 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수는  이다.

[2] 상자 B 에 들어있는 수는 모두 소수이다. 따라서    또는    라고 할 수 있다. 이때 이차방정식을 인수분해하여 나타낼 수 있는 경우는 다음  가지가 있다.                                                

 의 계수가 음수이므로 가능한 경우는 다음  가지이다.               ,    또는                 ,    또는   

상자 B 의  이상  이하의 소수  에 대해 상자 A 에    ,    이 있고,  에 대해  은 있고,  은 없고,  에 대해  은 있고,  은 없으며,  에 대해  ,  모두 없다. 그러므로 서로 다른  개의 정수해를 갖는 경우의 수는    ×     이다.

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그리고 상자 A B C 에서 공을 각각 임의로  개씩의 공을 꺼내는 경우의 수는  × ×   이다.    ×    따라서 서로 다른  개의 정수해를 가질 확률은    이다.  × × 

3) 한양대2007 주어진 함수   에 대해                ⋯                ⋯         사잇값 정리에 의해 방정식     은 다음의 각 소구간에서 적어도   개의 근을 갖는다.              ⋯           는   차 다항식이므로 방정식    의 실근은 최대   개다. 비둘기집의 원리  에 의해 각 열린 구간에 오직 하나의 근만 존재하게 되고 각 실근은 서로 다 르다. 그러므로   는 서로 다른 일차식의 곱으로 인수분해 된다.

4) 서울대2008 파티에 참석한 사람의 수는 쌍의 부부, 즉 명이다. 이들 가운데 서로 알던 사람들은 악수를 하지 않았으므로 한 사람이 악수를 할 수 있는 최대 의 횟수는 자신과 배우자를 제외한 사람과 악수한 횟수이므로 회이다. 집주인을 제외한 명이 악수한 횟수가 모두 다르므로 명이 악수한 횟수는 각각 ~회 중 에 하나이다. 이제 집주인을 제외한 명에게 악수한 횟수로 번호를 붙이기로 하자. 번 사 람은 배우자를 제외한 모든 사람을 모르고, 번 사람은 참석자 모두를 알고 있으므로 번을 알고 있는 유일한 사람이다. 그러므로 번과 번은 부부 사이이다. 번과 번을 제외시키고    ⋯ 번인 사람의 횟수에서 번과 악수한 횟수를 빼면 악수 의 횟수는 각각    ⋯ 회로 바뀐다. 여기에서 앞에서와 같은 방법으로 하면 번과 번 이 부부 사이이다. 이와 같이 반복하면 번만 혼자 남게 된다. 그러므로 번이 집주인의 부인이고, 집주인의 부인이 악수한 횟수는 회이다.

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참석자의 악수횟수







…



…







배우자의 악수횟수







…

집주인

…







5) 경북대의대2018 [1] ⓵ 이 소수 과 이외에는 약수가 없으므로    은 으로 나누어 떨어지지 않는다. ⓶ 이 제곱수가 아닌 합성수   ×  (      )인 약수  과  를 가지므로 다음 수는 으로 나누어 떨어진다.     ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×     ⓷ 이 제곱수인 합성수    에 대해   이면 다음 수는 으로 나누어 떨어진다.       ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×  × ⋯ ×        에 대해   이면 다음 수는 으로 나누어 떨어지지 않는다.           논제의 조건을 만족하는 집합은 다음과 같다.

 {    } [2] 이상의 소수 의 경우에는 C  ≤  ≤    이 의 배수가 되는 의 개수는      인 경우에는 C  ≤  ≤  이 의 배수가 되는 의 개수는    ,   ,   ,   ,   이므로

 {   } 모든 원소의 합은 이다.

25

6) 고려대2013 와 를 로 나눈 나머지가 로 같은 어떤 서로 다른 두 자연수 과 이 존재한다고 하 자. (단,  ≤    ≤ )           (단,  는 정수,      ⋯   ) 두 식을 빼면         와 가 서로소이므로   은 의 배수가 되어야 한다.   ≥   ≤    ≤ 이므로     이다. 그런데 이것은 모순이다. 즉 ≠일 때, 와 를 로 나눈 나머지는 서로 다르다.    ⋯  를 로 나누었을 때 나머지는 모두 다르고 그 나머지는    ⋯   이다.  는 주기가 인 주기함수이고         이므로, 집합 {      ⋯      }과 집합 {      ⋯    }는 서로 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.  





 









 

 



7) 가톨릭의대2022 동아리에서 학생  명을 선택하는 경우의 수는

       

C   ,

이웃하는 두 학생   

를 한 사람으로 생각하여  명이 원탁에 앉는 경우의 수는      , 이웃하는 두 학생

   가 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는  이다. 따라서  는 다음과 같다.           × ×         

 을 구하기 위해

26

      

(      ⋯     )

라고 하자. 그러면  ≤    이다. 한편,  ≤  ≤    인 자연수  에 대하여    이므로  ≤  ≤    인 자연수  에 대하여   는  보다 큰 소수  를 약수로 갖지 않는다. 만약  ≤  ≤    인 자연수  에 대하여  이  자연수  이라면    가 되어 자연수를 소인수분해한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으  면 오직 한 가지뿐이라는 것에 모순이다. 따라서  는 자연수가 아니다. 즉,  ≤  ≤    인  자연수  에 대하여 이고

    

          

한편,  ≤  ≤    인 자연수  에 대하여



                   

      



                         이고 이 값이 정수이므로         

(      ⋯     )

따라서  



 

 



 





   

 은 다음과 같다.  







 

 

   

                     







                               



          

8) 한양대2013 ⓵  와  가 서로소가 아니면   ′   ′    인  가 존재한다.     ′  ′ 이 되어  가  의 약수가 되므로 모순이다. 따라서  와  는 기약분수이다.  와  도 마찬가지로 증명하면 기약분수이다. ⓶        에서   이므로       이고  

27

                             ∴                            

 ⓵에서  는 기약분수이다.    따라서 두 분수  와  가    에서 연속한 위치에 놓여있지 않다.  

9) 성균관대2023 [1]    는 의 배수이고      는 로 나누면 나머지가 이다. 따라서   ,   ,   ,   ,    중에서     일 때만 조건을 만족한다. 그러므로 수열 { } 은     ⋯      ∴    [2]                                           ,      

                                     그러므로    또는   일 때 위 값은 일정하다.

10) 한양대2022 ln   ln    를 미분하면  ′     를 얻는다.  

28

따라서  ′     이고,    에서  ′     ,    에서  ′     임을 알 수 있다. ln ln 만일    인 순서쌍   가    를 만족한다면    , 즉    가 성립한다.   여기서    가    에서는 증가,    에서는 감소하므로, 만일      라면       ,      라면       가 되어       가 불가능하다. 따라서      여야만    를 얻을 수 있다. 여기서 무리수    ⋯이므로 이보다 작은 양의 정수  는  또는  여야만 하는데, 모든    에 대해          이므로    일 수는 없다. 만일    라면 양의 정수  또한  의 제곱꼴이 되고,    가    를 만족 함을 알 수 있다. 역시  보다 큰 값 ′ 에 대해서는          ′  이므로,    가    를 만족하는 유일한 값이다. 우리가 앞서    를 가정했으나 대칭적으로    또 한 가능하고, 따라서 모든 양의 정수 순서쌍     는     ,     가 된다.

11) 연세대2021 [1] 표로 작성하면 다음과 같다.

























































































































 

따라서 답은  이다.

[2] 1. 소인수의 개수가  일 때, 즉  이 소수의 거듭제곱일 때,    은 항상 성립한다. 소수의 제곱이면서  이하인 수는

                           으로 모두  개다. 















소수의 세제곱이면서  이하인 수는          으로 모두  개다. 소수의 네제곱이면서  이하인 수는      으로 모두  개다. 소수의 다섯제곱 또는 여섯제곱이면서  이하인 수는  와  의 거듭제곱으로    개 다. 소수의 일곱제곱, 여덟제곱, 아홉제곱, 열제곱이면서  이하인 수는  의 거듭제곱으로

   개다. 따라서    을 만족하는  의 개수는    이다. 



2. 소인수의 개수가  일 때,    이 성립하려면,          일 때

     을 만족하여야 한다. 따라서,      이다.

29





따라서     의 형태로 서로 다른 소수의 곱의 제곱수이다.

  ≤    이어야 하므로      이다.     의 순서쌍을 구하면  로  개이다. 





3. 소인수의 개수가  일 때,    이 성립하려면,              일 때

       을 만족하여야 하므로      은    의 순열로 총  개다.   

그런데  ≥ 인 경우  ≥     이므로    만 가능하다.

1)   인 경우 



           ≤ 을 만족하는  는  뿐이다.       이면 ≥     이고       이면       이다.  ≥ 이면  ≥     따라서  이하인 수는  으로  개이다.

2)    인 경우 



           ≤ 을 만족하는  는  뿐이다.       이면        ≥ 이면  ≥           이면    이므로       이 가능하다.  

 

 

 

 

따라서  이하인 수는                 으로  개이다.

3)

   인 경우 



           ≤ 을 만족하는  는  과  가 있다.  



①    일 때,       이면     이므로     이 가능하다.

      이면     이므로          이 가능하다. (총  개)  



②    일 때,       이면     이므로    이 가능하다.

      이면     이므로    이 가능하다. (총  개) 따라서 1), 2), 3)에 의해    을 만족하는  의 개수는    개다. 







4. 소인수의 개수가  일 때,    이 성립하려면,        

      일 때,          이어야 하므로       는     의 순열이다. 그러나 이 경우  ≥      이므로 불가능하다.    



5. 소인수의 개수가  이상이면 ≥       이므로 불가능하다. 따라서    을 만족시키는  이하의 수는  개와    개이므로  개

30

 

 

 

이므로, 답은      이다.

12) 울산대의대2019      로 인수분해 되었다고 하자. 만일 )가 홀수차 다항식이라고 하면   의 그래프는 축과 만난다.    인 실수 가 존재하고,        이다 하지만    ≥   이므로 모순이다. 마찬가지로 를 홀수차 다항식이라고 하여도 모순이 생긴다. 따라서  와  는 모두 그 차수가 짝수이므로 하나는 차식, 다른 하나는 차식이다. 계수가 정수이므로 최고차항의 계수는 모두 이다.     이므로 )와 중 하나는 이고 다른 하나는 이다. 마찬가지로   와   ,   와   에서는 하나는 이고 다른 하나는 이다.   를 차식이라고 하면 서로 다른 세 점에서 함숫값이 같을 수 없다. 그러므로 , , 에서  의 함숫값은    또는   이다. ⓵        ,     인 경우            …㉠

                    ,     이므로                            수식 ㉠에 의해          이므로           ∴                                그러므로

                                         위 수식과 주어진                 의  항의 계수를 비교하면

31

              ∴  항등식의 성질에 의해                      이고         이다.     



        



소수 는  ≥ 이므로 위 수식은 모순이다. 그러므로         가 아니다. ⓶        ,     인 경우            …㉡

                  ,     이므로                       수식 ㉡에 의해         이므로 ∴                                

                                    

32

위 수식과 주어진               의  항의 계수를 비교하면               ∴  항등식의 성질에 의해                              이 식의  항의 계수는   인데 이 값이 일 수 없으므로 모순이다. 위 ⓵과 ⓶에서 모두 모순이므로   는 원하는 조건의 식으로 인수분해 될 수 없다.

13) 한양대2020 직선   의 기울기는 다음과 같다.     tan                         이므로 tan  tan    삼각함수 덧셈정리에 의해                           양변에  을 더하면                         이므로   ,   는   의 양의 약수이다.

33

   를 만족시키는 가장 작은 자연수 를 구하기 위해   의 양의 약수의 개수를 확인 하면 다음과 같다.   ,       ⋯          ⋯   의 양의 약수의 개수는 차례로         ⋯이다. 따라서 구하는 가장 작은 자연수   이다.                      ,    이때 구하는 순서쌍은     ,   ,   이다.

14) 한양대2018 [1]      인 어떤 자연수 과 이 존재한다고 가정하자. 조건 (다)에서 

              



 

                  



위 두 수식을 연립하면,  

                      



        이므로 







   

조건 (나)에서 수열 { }의 모든 항이 자연수이므로 이것은 가정에 모순이다. 그러므로      인 자연수 과 은 존재하지 않고 수열 { }의 모든 항은 서로 다르다.

34

[2]  은 자연수이므로                           이므로 수열 { }은 증가수열이다. 조건 (나)에서 수열 {  }의 모든 항은 자연수이므로         ≥    ≥      ≥        ≥ … ≥       

lim        ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해

→∞

lim   ∞

→∞

[3] 

   를 만족하므로 조건 (다)에서 모든 자연수 에 대해서            



                                       

…㉠

     [2]에서 lim    ∞이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 →∞

lim   ∞

→∞

  수식 ㉠에서   이므로 수열의 극한값의 대소관계에 의해 

35

  

≤ lim  

→∞



함수  는 다항함수이고 최고차수가 차 이상이면 위 극한값은 발산한다. 함수  는 차 이하의 다항함수이다. 그리고 조건 (가)에서     이므로 …㉡

     조건 (다)에서                                              주어진 조건에 의해   와  은 자연수이므로,   

…㉢

   

…㉣

조건 (가)의     에서 수식 ㉢에 의해       수식 ㉡에서        이므로    이다.   ∴       수식 ㉣에서            ∴    조건 (다)에서

36

                                      ∴   

조건 (다)에서                                   그러므로     이다.

15) 단국대2018 조건 ㉠에서



  





                   cos      cos         





 

 





       cos  cos  cos                 cos   cos cos         이때 자연수 가 홀수이면 cos   cos     인데, 이것을 만족할 수 없다.   따라서 는 짝수이다. 조건 ㉡에서

 

  



               cos    cos          



37



    이때 가 짝수이므로 cos         

    또는  

(단, 는 자연수) 이다.

  

 따라서      또는    이어야 하고   , 즉   이다.  그러므로

          또는        

조건 ㉢에서        ≤  또는    ≤  이므로 순서쌍  는 다음과 같다.                                 

16) 서울시립대2023 



(가)에 의해서 자연수   은 적당한 음이 아닌 두 정수   에 대하여    ,   이다.

 

(가)로부터    이므로,  ≤ ≤  이고

 는 음이 아닌 정수이다. … ⋯ ①    



    (나)에서  ≤ ≤ 이고, 이 부등식에    와    를 대입하여 정리하면 

  ≤ ≤  …… ②   

   

이다. ①과 ②로부터  은 닫힌구간    에 속하는 정수의 개수이다. 자연수  에 대해서 (ⅰ)   일 때,    (ⅱ)   일 때,    (ⅲ)   일 때,    (ⅳ)   일 때,    이다. 따라서 자연수  에 대하여 





 







      

 



   일 때



    

 

  × ×   이고,



17) 연세대2020

38







 



     이므로   







수열 { }의 일반항은 다음과 같다. 이 홀수이면    이고, 이 짝수이면   ×

급수

∞

  의 부분합  을 구하면 





(i)    (짝수)일 때, 

 



       





       

 

                                         (ii)      (홀수)일 때,

                                              

        따라서 lim    →∞  이것이 자연수가 되려면 자연수   은 의 배수, 즉      (는 자연수)의 꼴이다.

39