Eletromagnetismo para Engenheiros com Aplicações - Clayton Paul by Blog da Engenharia de Produção

Prefacio

0 entendimento e a capacidade de aplicar as leis e princfpios do Eletromagnetismo estao entr~ os conceitos mais importantes que permitem aos engenheiros eletricistas e de computa91io projetar modernos sistemas eletronicos. As crescentes freqiiencias dos sistemas anal6gicos, assim como as crescentes velocidades dos sistemas digitais, ex:igem que os projetistas tenham essencial entendimento dos princfpios e leis basicas do Eletromagnetismo que estao contidos neste livro. 0 entendimento e a absor91io desses princfpios e leis tornaram-se cruciais no projeto de modernos sistemas eletronicos. Âˇ Este livro pretende ser usado como uma introdu9ao aos princfpios do Eletromagnetismo e suas aplica9oes em engenharia para engenheiros eletricistas e de computa91io. 0 principal prop6sito do livro e fornecer aos estudantes de Engenharia Eletrica e de Computa91io urn s6lido conhecimento dos princfpios eletromagneticos e suas aplica9oes no projeto de modernos dispositivos e sistemas digitais de alta velocidade e anal6gicos de alta frequencia.

:~>A FILOSOFIA NA PREPARACAO OESTE LIVRO ESEUS PONTOS-CHAVE Aprolifera91io de dispositivos digitais causou urn grande imp acto no curricula dos estudantes de Engenharia Eletrica e de Computa91io. A necessidade de compreender essas novas tecnologias requereu que uma substancial quantidade de novas materias e cursos fossem incorporados a urn curricula ja carregado. Em muitos desses casos, isso resultou na redu91io da dura91io do curso de Eletromagnetismo, de dois para urn semestre. Como nao ha indica91io de que o curricula dos estudantes de Engenharia Eletrica e de Computa91io sera expandido, ex:iste uma continua necessidade de otimizar o conteudo de todos os cursos. Alem disso, o conteudo programatico relativo aos sistemas eletronicos modernos esta constantemente aumentando. Computadores pessoais hoje operam com frequencias de clock"' da ordem de 3 GHz (3 X 109 Hz). Esses clocks contem, alem dos 3 GHz, freqiiencias mUltiplas dessa freqiiencia fundamental; por exemplo: 6 GHz, 9 GHz,~2 GHz. Sistemas de comunica9oes anal6gicos, como telefones celulares, tambem operam em frequencias na faixa do GHz. Essas freqiiencias de opera9ao irao, sem duvida, continuar a aumentar. Os engenheiros eletricistas e de computa9ao nao poderao mais projetar modernos sistemas eletronicos de alta frequencia ou alta velocidade, sem uma compreensao basica das limita9oes impostas pelas leis e princfpios do Eletromagnetismo. Este livro desenvolveu-se a partir dessas duas necessidades. Um importante princfpio que guiou a prepara9ao e organiza9ao deste livro foi o fato de que o curso esta voltado para ser usado como o que parece ser o Ultimo curso de Eletromagnetismo que a maioria dos estudantes de Engenharia Eletrica ~ de Computa9ao tera. Contudo, nos futuros projetos de engenharia, a maioria tera uma crescente necessidade de compreender esses princfpios do Eletromagnetismo para projetar, com sucesso, modernos dispositivos e sistemas digitais e anal6gicos. Essa carencia esta sendo dirigida principalmente pela sempre crescente velocidade dos dispositivos digitais e pela demanda crescente de usar a gama de freqiiencias da faixa de GHz do espectro de freqiiencias em sistemas de comunica9ao. Assim, e importante que este primeiro curso cubra esses aspectos cada vez mais relevantes do Eletromagnetismo de que todos os engenheiros eletricistas e de computa9ao irao precis at no seu trabalho futuro. E igualmente importante que o material e seu conteudo sejam apresentados de uma forma que motive o leitor a estudar com seriedade a fim de obter urn dominio duradouro desses importantes princfpios e conceitos.

â&#x20AC;˘o clock e urn circuito oscilador controlado a quartzo que produz a base de pulsos do processador, logo as suas freqiiencias sao as taxas de repeti~ao dos pulsos. (N.R.)

vfuiJi !> Prefacio

Os cursos de Eletromagnetismo no nivel de graduac;ao para os quais este livro esta voltado tern sido tradicionalmente divididos na abordagem dos t6picos de campos estaticos (cc) e daqueles que se aplicam a campos variantes do tempo. Embora existam numerosas aplicag5es importantes dos princfpios dos campos estaticos, a maioria das aplicag5es importantes em engenharia lida com campos variantes no tempo, como ondas eletromagneticas, linhas de transmissao e antenas. Os t6picos sabre campos variantes no tempo estao se tomando cada vez mais importantes, a medida que as velocidades dos dispositivo: digitais e as freqiiencias dos dispositivos anal6gicos continuam a crescer, aparentemente sem limite. A medida que as freqiiencias de operac;ao (trabalho) aumentam, os comprimentos de onda tomam-se cada vez menores quando comparados com os circuitos eletricos au, de outra forma, os circuitos eletricos se tomam cada vez maiores quando comparados com os comprimentos de onda, de forma que os <?Onceitos de campos quase-estaticos, como modelos de circuitos a parfunetros concentrados e as leis de Kirchhoff, nao mais se aplicam e os princfpios dos campos variantes no tempo devem ser usados. 0 autor escolheu reduzir a abordagem tradicional dos campos estaticos de forma a fomecer urn estudo mais antecipado e mais completo dos princfpios dos campos variantes no tempo e suas importantes aplicag5es em engenharia. 0 tratamento inicial dos campos estaticos foi mantido, ja que ele fomece ao leitor uma simples introduc;ao para a compreensao do significado das quatro variaveis primarias do Eletromagnetismo: intensidade de campo eletrico, densidade de fluxo eletrico, intensidade de campo magnetico e densidade de fluxo magnetico. Embora o enfoque dos campos estaticos esteja tradicionalmente contido em diversos capitulos, o autor escolbeu colocar os t6picos referentes aos campos estaticos em apenas urn capitulo (Capitulo 3). A necessidade de reduzir a abordagem dos campos estaticos implicou a decisao sabre que material incluir naquele capitulo. 0 Capitulo 3 sabre campos estaticos representa o que o autor entende como uma dosagem apropriada. Todos os curriculos dos estudantes de Engenharia Eletrica e de Computagao contem diversas materias tecnicas eletivas sabre Eletromagnetismo. Uma vez que os fundamentos tenham sido atendidos neste primeiro curso, detalhes adicionais e t6picos que foram omitidos podem ser inclufdos e expandidos nessas materias tecnicas eletivas. 0 necessaria curso de Eletromagnetismo tern sido tradicionalmente vista pelos estudantes como sendo intensivo em matematica. Dessa forma, muitos estudantes falham em obter urn domfnio duradouro dos principios importantes. Alem disso, muitos escolbem nao fazer cursos eletivos de Eletromagnetismo, talvez porque eles os veem como estando concentrados principalmente em matematica. Um estudo do Eletromagnetismo requer lidar com grandezas vetoriais variantes no espas;o e no tempo. Assim, as equag5es diferenciais parciais contendo grandezas vetoriais formam a base da solus;ao dos problemas. Contudo, durante toda a preparac;ao do livro, o autor procurou reduzir os detalhes matematicos, onde foi possfvel. Demonstrag6es longas ou complexas e manipulag6es vetoriais sao evitadas onde elas nao contribuem substancialmente para o aprendizado do estudante ou para a capacidade de aplicar os prin········· ···· ---····-· cipios·basicos;·Por exemplo; no Capitulo 2, ·que·aborda o Galculo-Vetorial·basico;·apenas·as operag6es de integral de linha e de superffcie sao discutidas. Os operadores diferenciais de divergencia e rotacional sao protelados ate o Capitulo 4, onde comes;a urn estudo de campos variantes no tempo. No Capitulo 3, referente a campos eletromagneticos estaticos, os metodos de solus;ao de problemas dao enfase avisualizagao e ao uso de simetria e trigonometria, em vez de manipulag6es vetoriais. Essa enfase na visualizas;ao da solugao do problema tern a vantagem adicional de fomecer uma compreensao s6lida e duradoura dos conceitos. A intengao e nao sobrecarregar os estudantes com detalhes mate maticos. Isso tambern possui a vantagem de motivar os leitores a aprofundarem seu conhecimento sabre Eletromagnetismo, fazendo os cursos eletivos seguintes. Uma certa quantidade de detalhes matematicos e inevitavel e, alem disso, instrutiva. Para estudantes que escolberem prosseguir no Eletromagnetismo em cursos eletivos au de p6s-graduagao, a sofisticas;ao matematica pode ser expandida, uma vez que essa base s6lida de compreensao dos prindpios fundamentais foi estabelecida. . Para motivar o leitor a urn estudo do livro com seriedade, a importancia do material em sua futura pratica em engenharia deve ficar clara. Assim, o livro deve canter urn numero significativo de demonstrag6es de como a teoria se aplica a projetos praticos de sistemas eletricos e de computac;ao modemos. A maioria desses exemplos de aplicagao neste livre esta focada nas tres areas com as quais todos os engenheiros eletricistas e de computac;ao irao inevitavelmente estar envolvidos: eletronica digital de alta velocidade, eletronica anal6gica de alta freqiiencia e interferencia eletromagnetica. Esses tres t6picos estao crescendo em importancia para engenheiros eletricistas e de computagao devido as crescentes velocidades dos dispositivos digitais e as crescentes freqiiencias usadas nos dispositivos anal6gicos de comunicagao.

Prefacio I> ix

ORGANIZACAO DOS TO PI COS 0 Capitulo 1 ilustra a necessidade de compreensao dos principios do Eletromagnetismo para projet~ modemos dispositivos eletronicos de alta velocidade e de alta freqtiencia. Os importantes conceitos de onda, comprimento de onda e dimensoes eletricas sao brevemente discutidos, assim como o conceito de gama de frequencia (espectral) de pulsos digitais. Esses conceitos sao posteriormente refon;ados por todo o livro. Eles sao discutidos aqui, de forma sucinta, para fomecer ao leitor uma consciencia das limitac;;oes dos modelos de circuitos a parametres constantes e leis de Kirchhoff em projetos eletronicos de alta velocidade e alta freqtiencia. Sao tambem fomecidas uma visao geral da evoluc;;ao hist6rica da teoria eletromagnetica, uma compreensao da noc;;ao de campo e suas fontes e alguns importantes exemplos motivadores de aplicac;;oes pniticas. 0 Capitulo 2 discute os sistemas de coorde'nadas ortogonais basicos (retangular, cilindrico e esferico), cuja compreensao sera necessaria em todos os capitulos seguintes. Os produtos escalar e vetorial de vetores sao simples de serem compreendidos e sao tambem discutidos. Finalmente, as operac;;oes de integral de linha e de superffcie sao discutidas para preparar o leitor para compreender os conceitos de campos estaticos do proximo capitulo. 0 autor escolheu discutir apenas as opera~oes de integral de linha e de superficie no Capitulo 2, pois elas sao suficientes para a analise de campos estaticos (cc) no capitulo seguinte, bern como para o significado das equa~oes de Maxwell para campos variantes no tempo nos capitulos posteriores. A discussao das opera~oes diferenciais de divergencia e rotacional e protelada ate o Capitulo 4, onde os campos variantes no tempo sao apresentados. Os t6picos de campos eletrico e magnetico estaticos (cc) sao discutidos no Capitulo 3. 0 uso da visualiza~ao e a explorac;;ao da simetria na soluc;;ao desses problemas de campos estaticos sao enfatizados, e somente os t6picos matematicos de integral de linha e de superffcie sao requeridos. Os t6picos de campo eletrico estatico da lei de Coulomb, o significado do vetor intensidade de campo eletrico e o vetor densidade de fluxo eletrico sao discutidos atraves da lei de Gauss. Os t6picos adicionais de tensao, meio dieletrico e capacitancia sao tambem abordados. 0 campo magnetico estatico e introduzido pelo uso da lei de Biot-Savart para calcular o vetor densidade de fluxo magnetico. A lei de Ampere e usada para calcular o vetor intensidade de campo magnetico usando simetria. A lei de Gauss para o campo magnetico e discutida, assim como o t6pico de campos magneticbs em materiais magneticos. A resistencia e a indutancia tambern sao discutidas. A equac;;ao da for~a de Lorentz e suas aplicac;;oes ao motor e ao gerador eletricos (dentro das Aplica~oes em Engenharia) sao tambem discutidas. Aplica~oes praticas da teoria de baixa freqtiencia, situa~oes quase-estaticas, tais como linhas de transmissao de alta tensao e descarga eletrostatica, com exemplos de interferencia e blindagem eletrostatica em 60 Hz, sao fomecidas para motivar o estudante. Efeitos parasitas em componentes, como o efeito da indutancia e capacitancia dos terminais de conexao, tambem sao discutidos. Esses aspectos de natureza implicita tomam-se importantes, amedida que a freqiiencia de trabalho do componente aumenta. Foi decidido colocar todos os conceitos de campos estaticos neste unico capitulo para enfatizar quais principios eletromÂˇagneticos t:laplicam-se apenas aos campos est a'ti"cos. 0 Capitulo 4 comec;;a com uma discussao das equac;;oes de Maxwell para campos variantes no tempo. As formas integrais anteriormente discutidas para campos estaticos sao modificadas para os campos variantes no tempo e discutidas. Em seguida, as formas pontuais desses resultados, em termos de divergencia e rotacional, sao determinadas. A divergencia e o rotacional sao protelados ate este ponto para evitar sobrecarregar o estudante com a matematica. A densidade de potencia e o vetor de Poynting sao discutidos, assim como as condic;;oes de fronteira e o metodo das imagens. 0 Capitulo 5 apresenta ao estudante o importante conceito de ondas por meio da onda plana uniforme. A discussao comec;;a com ondas planas uniformes e suas propriedades num meio sem perdas e depois se estende para urn meio com perdas. 0 fluxo de potencia eo conceito deÂˇprofundidade pelicular sao apresentados em seguida. Essas ideias sao estendidas para ondas planas uniformes com incidencia normal em materiais de fronteiras planas. As leis de Snell para incidencia obliqua sao abordadas sucintamente. 0 exame dos vetores campo com incidencia obliqua em fronteiras planas esta contido no Apendice A, para o professor que deseje incluir esse t6pico. Diversas aplicac;;6es praticas da teoria, como comunicac;;ao com submarines, blindagem de equipamentos eletronicos, projetos de radomes, cabos de fibra 6ptica e OS riSCOS das microondas para a saude, SaO tratados. 0 Capitulo 6 cobre o t6pico linhas de transmissao. 0 conceito de ondas eletromagneticas transversais (TEM) e as equac;;oes das linhas de transmissao sao introduzidos. A soluc;;ao (transit6ria), no dominio do

x !?' Prefacio

tempo, das equagoes das linhas de transmissao e discutida e seguida pela solugao senoidal em regime permanente (fasor). Uma extensa discussao da solugao no dominio do tempo, ou transiente, para formas de onda tipo pulso e incluida, a fim de preparar 0 Jeitor para compreender OS problemas impastos pelos dispositivos digitais de alta velocidade. A carta de Smith e brevemente introduzida como uma ajuda computacional, ja que ela e bastante usada na industria. Sao apresentadas apenas suas aplicagoes no calculo da impedancia de entrada, do coeficiente de reflexao e da taxa de onda estacionana (TOE) em linhas de transmissao. Os modelos aproximados de circuitos a parametres concentrados para linhas de transmissao e as restrigoes de sua aplicabilidade sao discutidos para prover um elo com a experiencia do estudante em circuitos. Por todo este capitulo, o SPICE (PSPICE) 0 e usado para fomecer respostas para as solw;;oes transiente e fasorial, a fim de prover uma motivac;;ao adicional para o estudante e para permitir a investigac;;ao dos sistemas digitais praticos onde as terminac;;oes de linha podem ser portas l6gicas e outros dispositivos digitais. Diversas aplicac;;oes praticas da teoria das linhas de transmissao, tais como projeto de interconexoes digitais de alta velocidade, integridade de sinal em sistemas iligitais, componentes de circuitos de microondas,o-efeito das linhas de alimentac;;ao de antenas e uma breve discussao sobre diafonia sao abordados. 0 uso de cabos blindados e pares tranc;;ados para reduzir a diafonia etambem sucintamente discutido. Neste capitulo, resultados experimentais referentes aintegridade do sinal digital e diafonia sao fomecidos para demonstrar a aplicac;;ao dos principios do Eletromagnetismo.. Os estudantes vivenciam a confinnac;;ao experimental da teoria. 0 Capitulo 7 e o capitulo final do livro e fomece uma introduc;;ao as antenas. 0 dipolo (eletrico) bertziano e apresentado, e as propriedades de campo distante e irradiac;;ao sao examinadas. Em seguida, o dipolo de meia-onda e o monopolo de quarto de onda sao examinados atraves da visualizac;;ao de seus campos como a superposigao de dipolos hertzianos ao longo do seu comprimento. Ha uma breve discussao sabre conjuntos de antenas. As propriedades gerais das antenas, como padroes de irradiac;;ao, ganho, abertura efetiva (area de captura), e aimportante equac;;ao de transmissao de Friis sao discutidas. Finalmente, sao apresentadas diversas aplicac;;oes importantes da teroria eletromagnetica em Engenharia. Um modelo simples de previsao da irradiac;;ao a partir de linhas de transmissao, devida a cabos e trilhas de placas de circuito impressa, e obtido e discutido no contexto de atendimento aos limites govemamentais das emissoes irradiadas por dispositivos digitais. 0 uso do deslocamento de fase das correntes em um conjunto de antenas para direcionar eletronicamente o sinal e analisado no contexto de radares de varredura eletronica. oo 0 projeto de um enlace de comunicac;;ao para uma relac;;ao sinal-ruido especffica e tambem discutido. Um modelo simples para avaliar a capacidade de uma onda eletromagnetica acoplar com uma linha de transmissao e demonstrado. Isto e usado para ilustrar a susceptibilidade de fios e trilhas de placas de circuito impressa aos campos incidentes.

t> CARACTERISTICAS PEDAGOGICAS Problemas Resolvidos Problemas Resolvidos sao apresentados ap6s cada novo conceito ou lei introduzidos. Esses problemas contem detalhes suficientes do processo de resoluc;;ao e sao cuidadosamente escolhidos para ilustrar a aplicac;;ao do conceito ou lei. JExercicios de Revisao Exercfcios de Revisao com respostas sao tambem distribuidos estrategicamente por todo o livro para permitir ao proprio leitor testar sua compreensao do material. Problemas de Final de Capitulo Problemas de Final de Capitulo estao agrupados de acordo com a sec;;ao do livro com a qual eles se relacionam. As respostas aos problemas de final de capitulo selecionados sao dadas, entre colchetes [],no final da questao. As EQUAQOES IMPORTANTES estao destacadas para chamar a atenc;;ao do estudante quanta a sua importancia. Uso do SJ!!J[CJE (PSPllCJE) Uma caracteristica unica deste texto eo uso extensivo do modelo de linhas de transmissao do programa de analise de circuitos SPICE (PSPICE) para analisar e confirmar os resultados

Âˇo SPICE (PSPICE) eurn programa de analise de circuitos, que sera comentado ainda neste prefacio. (N .R.) ""Nos radares tradicionais, a antena e movimentada angularmente como auxilio de motores. (N.E.)

Prefacio il> xi

da resolugao de problemas de linhas de transmissao no dorninio do tempo e no dominio da frequencia. Isso tambem permite a analise de sistemas digitais praticos onde as terminagoes de linha sao portas logicas, para as quais a analise e mais complexa do que com terminagoes resistivas.

Aplicafoes de Engenharia Numerosos exemplos de aplicagao dos principios para projetos em Engenharia sao fomecidos no final de cada capitulo dentro das Aplica<;oes em Engenharia. Essas Aplicagoes em Engenharia sao colocadas no final de cada capitulo para separar explicitamente os principios basicos e a teoria das aplicagoes, a fim de ajudar o estudante a distinguir entre os dais. Essas aplica<;oes sao escolhidas principalmente para enfatizar a aplicagao da teoria a dispositivos e sistemas de alta velocidade e alta freqiiencia e a problemas de interferencia eletromagnetica. Uma selegao cuidadosa de exemplos de aplicagao dos conceitos a projetos e tambem crucial para a aceitagao do material par parte do estudante. Esses exemplos de aplicagoes sao escolhidos para introduzir o estudante as importantes aplicagoes em Engenharia dos principios de que ele cada vez mais precisara na industria. Ainterferencia eletromagnetica esta se tomando urn topico cada vez mais importante para os engenheiros eletricistas e de computagao, a medida que as velocidades dos dispositivos digitais e as frequencias dos dispositivos analogicos continuam a aumentar. Assim, a compatibilidade eletromagnetica esta rapidamente se tomando uma importante subdis.ciplina para os engenheiros eletricistas e de computagao. Alem disso, o livro contern numerosas fotografias de aplicagoes praticas da teoria em engenharia, abrangendo desde antenas e placas de circuito impressa de dispositivos digitais, ate salas blindadas usadas em testes de compatibilidade eletromagnetica. Objetivos de Aprendizado do Capitulo Cada capftulo comega com urn conjunto de Objetivos de Aprendizado do Capitulo, para ajudar o estudante a ter uma visao global do que sera tratado. R.esumo dos Conceitos e JF6rmulas Ilmportantes Urn Resumo dos Conceitos e Formulas Importantes

e fomecido no final de cada capitulo. Isso fomece uma visao rapida do que o estudante deve reter do capitulo. Estudantes costumam ficar confusos com formulas e sao incapazes de determinar urn conjunto minima de formulas e conceitos importantes que devem guardar. Os Objetivos de Aprendizado do Capitulo e o Resumo dos Conceitos e Formulas Importantes ajudam o estudante a focar nos conceitos e formulas importantes que devem ser retidos por urn longo tempo. Esse e um dos objetivos principais deste livro.

ill,. OPCOES DE USO DO MATERIAL Este livro foi projetado para urn semestre (3 horas-aula e 45 horas ou 4 horas-aula e 60 horas) ou urn curso de dais trimestres. Contudo, a organizagao do livro permite suficiente flexibilidade na abordagem dos topicos. Ao se lecionar Eletromagnetismo, ha uma tendencia de comegar com linhas de transmissao e entao ir para os topicos de Eletromagnetismo. Eperfeitamente viavel cobrir linhas de transmissao no Capitulo 6, antes dos conceitos tradicionais de Eletromagnetismo. 0 Capitulo l fomece urn conhecimento preliminar de ondas e o conceito de dimensoes eletricas em comprimentos de onda. Assim, apos a abordagem do Capitulo l, e possivel passar ao Capitulo 6, sabre Linhas de Transmissao, e entao comegar a focar os conceitos de Eletromagnetismo com o Capitulo 2. 0 Capitulo 6, sabre Linhas de Transmissao, e completo e nao precisa substancialmente da abordagem, a priori, dos Cap:ftulos 2 a 5.

Sequencia Classica

Sequencia com Linhas de Transmissao Primeiro

Capitulo l, Introdugao Capitulo 2, Calculo com Vetores Capitulo 3, Campos Eletromagneticos Estaticos (cc) Capitulo 4, Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo Capitulo 5, Propagaglio de Ondas

Capitulo l, Introduglio Capitulo 6, Linhas de Transmisslio Capitulo 2, Calculo com Vetores Capitulo 3, Campos Eletromagneticos Estaticos (cc) Capitulo 4, Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo Capitulo 5, Propagaglio de Ondas Capitulo 7, Antenas

Capitulo 6, Linhas de Transmissao Capitulo 7, Antenas

m t?>Âˇ

Prefiicio

Urna segunda opgao e lecionar os t6picos de campos estaticos depois das importantes aplicag5es dos campos variantes no tempo em Engenharia. A abordagem de campos estaticos no Capitulo 3 foi inclufda, principalmente, para dar ao estudante um entendimento do significado e interpretagao dos quatro principais vetores campo - i.iltensidade de campo eletrico, JE; densidade de fluxo eletrico, D; intensidade de campo magnetico, H; e densidade de fluxo magnetico, JB- contidos nas le!s de campo do Eletromagnetismo, independentemente de os campos serem estaticos ou variantes no tempo. Contudo, seria possfvel protelar a discussao de campos estaticos para o final do curso e ir diretamente para os mais importantes (do ponto de vista de Engenharia), que sao os campos variantes no tempo. Assim, uma segunda opgao seria Sequencia Cltissica

Sequencia com Campos Esttiticos por Ultimo

Capitulo l, Introdu<;ao Capitulo 2, Calculo com Vetores Capitulo 3, Campos Eletromagneticos Estaticos (cc)

Capitulo 1, Introdu<;ao Capitulo 2, Calculo com Vetores Capitulo 4, Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo Capitulo 5, Propaga<;ao de Ondas

Capitulo 4, Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo Capitulo 5, Propaga<;ao de Ondas Capitulo 6, Linhas de Transmissao Capitulo 7, Antenas

Capitulo 6, Linhas de Transmissao Capitulo 7, Antenas Capitulo 3, Campos Eletromagneticos Estaticos (cc)

SUPLEMENTOS Os professores que adotarem o livro poderao solicitar aLTC material suplementar de apoio pedag6gico, em ingles. 0 pedido deve ser encaminhado a: LTC- Livros Tecnicos e Cientfficos Editora S.A. AJC Editorial Tecnico Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ- CEP 20040-040 Tel.: 21-3970-9480 Fax: 21-2221-3202 ltc@ltceditora.com.br www.ltceditora.com.br ~,,

AGRADECIMENTOS 0 autor agradece pelas numerosas discuss5es com seus colegas, os quais contribufram de forma marcante para a elaboragao deste livro. Muitos desses colegas estao associados com a pesquisa do autor em compatibilidade eletromagnetica, a qual representa uma das aplicag5es significativas dos princfpios de Eletromagnetismo deste livro. Urn agradecimento especial ao Professor Robert G. Olsen, da Washington State University, que fomeceu numerosas e extensas crfticas do original, bern como diversas sugest5es para o seu aperfeigoamento. 0 autor tambem agradece pelas muitas discuss5es proveitosas com o editor William Zobrist. Clayton R. Paul Macon, Georgia

Comentarios e Sugestoes Ap<;sa,r do~ melhor_es_esforgpsdoautor, do tradutor, do editor e dosrevisores, emevitavel que surjam erros no texto. Assim, sao bem-vindas as comunicag5es de usuanos sobre correg5es ou sugest5es referentesao conteudo ou ao nfvel pedag6gico que auxiliem o aprimoramento de edigoes futuras. Encorajamos os comentanos dos leitores que podem ser enviados aLTC- Livros Tecnicos e Cientfficos Editora S.A. no enderego: Travessa do Ouvidor, 11- Rio de Janeiro, RJ- CEP 20040-040 ou ao enderego eletronico ltc@ltceditora.com.br.

Sum ario

Prefacio vii ~CAPiTULO 1

3.6

lntrodugao 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Unidades e Conversao de Unidades 1 A Necessidade de Compreensao dos Princfpios Eletromagneticos 3 Uma Breve Hist6ria do Eletromagnetismo 9 Visao Geral de Campos Eletromagneticos 11 Aplicagoes em Engenharia 11 1.5.1 Linhas de Transmissao 11 1.5.2 Antenas 13 1.5.3 Compatibilidade Eletromagnetica (Interferencia) 14 1.5.4 Projeto de Sistemas de Comunicagao 19 1.5.5 Projeto de Eletronica Digital de Alta Velocidade 21

II> CAPiTULO 2 CalculoVetorial23 Vetores 23 Adigao e Subtragao de Vetores 24 Produto Escalar de Vetores 24 Produto Vetorial de Vetores 25 Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares 26 2.6 Sistema de Coordenadas Cilindricas 30 2.7 Sistema de Coordenadas Esfericas 33 2.8 Integral de Linha 35 2.9 Integral de Superffcie 40 2.10 Campos Eletromagneticos 45

3. 7

3.8 3.9

3.10 3.11 3.12 3.13

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

~ CAPiTUL03

Campos EletromagnetiGos Estaticos Icc) 54 3.1 3.2

Carga e Lei de Coulomb 55 Vetor Intensidade de Campo Eletrico 58 3.2.1 Determinagao do Campo Eletrico para Distribuigoes de Carga 58 3.3 Vetor Densidade de Fluxo Eletrico e Materiais Dieletricos 62 3.4 Lei de Gauss para o Campo Eletrico 67 3.4.1 Calculo do Campo Eletrico para Distribuigoes de Carga 69 3.5 Tensao 74 3.5.1 Determinagao da Tensao para Distribuigoes de Carga 77

3.5.2 Determinagao do Campo Eletrico a Partir da Distribuigao de Potencial 82 Capacitancia 83 3.6.1 Determinagao da Capacitlincia de Algumas Estruturas Tfpicas 85 Corrente e Vetor Densidade de Fluxo Magnetico 86 3.7.1 Lei de Biot-Savart 88 3.7.2 Determinagao do Campo Magnetico para Distribuigoes de Corrente 89 Vetor Intensidade de Campo Magnetico e Materiais Magneticos 94 Lei de Ampere 98 3.9.1 Determinagao do Campo Magnetico para Distribuigoes de Corrente 99 Lei de Gauss para o Campo Magnetico 102 Indutlincia 104 3.11.1 Calculo da Indutlincia de Estruturas 105 Forgas Produzidas por Cargas e Correntes 109 Aplicag6es em Engenharia 111 3.13.1 Linhas de Transmissao em Alta Tensao Ill 3.13.2 Descarga Eletrostatica 113 3.13.3 Interferencia 115 3.13.4 Efeitos Parasitas em Componentes 117 3.13.5 Blindagem Eletrostatica 119 3.13.6 Motor e Gerador Eletricos 123

~ CAPiTUL04

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo 135 4.1

Lei de Faraday 136 4.1.1 Lei de Faraday na Forma Pontual150 4.2 Lei de Ampere 154 4.2.1 Lei de Ampere na Forma Pontual157 4.3 Leis de Gauss 158 4.3.1 Leis de Gauss na Forma Pontual159 4.4 Conservagao da Carga 162 4.5 Equagoes de Maxwell163 4.6 Densidade de Potencia no Campo Eletromagnetico e Vetor de Poynting 163 4.7 Condig6es de Fronteira 165 4.7.1 Condig6es de Fronteira na Superffcie de urn Condutor Perfeito 169 4.8 Metoda das Imagens 171 4.9 Variagao Senoidal dos Campos 174 4.10 Ponta de Prova de Corrente: Combinando as Leis de Faraday e Ampere para Medir Corrente 176

xiv !P- Sumario fll> CAPiTULO 5

Propaga9ao de Ondas '186

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Onda Plana Uniforme em Meio sem Perdas 187 Onda Plana Uniforme em Meio com Perdas 197 Fluxo de Potencia em Ondas Planas Uniformes 202 Profundidade Pelicular 204 Incidencia Normal de Ondas Planas Uniformes em Materiais de Fronteiras Planas 208 5.5.1 Incidencia Normal em Bons Condutores 215 5.6 Leis de Snell219 5.7 Aplica96es em Engenharia 222 5.7.1 Linhas de Transmissao 222 5.7.2 Antenas 223 5.7.3 Comunica91io com Submarinos 224 5.7.4 Projeto de Radomes 226 5.7.5 Blindagem de Equipamentos Eletronicos 228 5.7.6 Riscos das Microondas aSaude 232 5.7.7 Cabos de Fibra Optica 234

6.4 6.5

Carta de Smith 284 Modelos Aproximados de Linhas de Transmissao com Circuitos a Parametros Concentrados 291 6.6 Linhas com Perdas 293 6.6.1 Modelando Linhas com Perdas em Baixas Freqiiencias 297 6. 7 Aplica96es em Engenharia 297 6.7.1 Interliga96es Digitais de Alta Velocidade e Integridade de Sinal297 6.7.2 Constru91io de Componentes de Circuitos de Microondas Usando Linhas de Transmissao 310 6.7.3 Linhas de Alimenta91io de Antenas 313 6.7.4 Diafonia entre Linhas de Transmissao 315 6.7.5 Uso de Cabos Blindados e Pares Tran9ados para Reduzir a Diafonia 319 ~CAPiTULO 7 Antenas 331

7.1 lli> CAPiTULO 6

Linhas de Transmissao 242

6.1

6.2

6.3

Equa96es da Linha de Transmissao 243 6.1.1 Tipos de Linhas de Transmissao 244 6.1.2 Equa96es da Linha de Transmissao 245 6.1.3 Parametros por Unidade de Comprimento 247 Excita91io de Linhas de Transmissao no Dominio do Tempo253 6.2.1 Solu91io Geral253 6.2.2 Tra9ado de Onda e Coeficientes de Reflexao 255 6.2.3 Modelo SPICE 264 Excita9ao Senoidal (Fasorial) de Linhas de Transmissao 270 6.3.1 Solu91io Geral271 6.3.2 Coeficiente de Reflexao e Impedancia de Entrada272 6.3.3 Solu91io para as Tens5es e Correntes Terminais 273 6.3.4 Solu91io SPICE 276 6.3.5 Tensao e Corrente em Fun91io da Posi91io na Linha 277 6.3.6 Casamento e Taxa de Onda Estacionana (TOE) 280 6.3. 7 Fluxo de Potencia na Linha 282

7.2 7.3 7.4

7.5

Antena Dipolo Hertziano 332 7.1.1 Campo Distante 334 7.1.2 Fluxo de Potencia e Irradia91io 335 Antenas Dipolo de Meia-onda e Monopolo de Urn Quarto de Onda 337 Conjunto de Antenas 345 Propriedades das Antenas 350 7.4.1 Diretividade e Ganho 350 7.4.2 Abertura Efetiva 353 7.4.3 Equa91io de Transmissao de Friis 355 Aplica96es em Engenharia 357 7.5.1 Emiss5es Irradiadas pelas Linhas de Transmissao 357 7.5.2 Radares de Varredura Eletronica 360 7.5.3 Projeto de urn Enlace de Comunica91io Via Satelife-362_____ ------- ------- ----7.5.4 Susceptibilidade Irradiada em Linhas de Transmissao 363

til>- APENDICEA

lncidencia Obliqua de Ondas Planas Uniformes em Fronteiras Planas 372

A.1 Polariza91io Perpendicular 372 A.2 Polariza9ao Paralela 375 A.3 Angulo de Brewster de Transmissao Total376 lrl>-

iNimCE377

lista de

Aplica~oes

de Engenharia

Capitulo 1 Introdu'!}iio (1) Linhas de Transmissao 11 (2) Antenas 13 (3) Compatibilidade Eletromagnetica (Interferencia) 14 (4) Projeto de Sistemas de Comunica9lio 19 (5) Projeto de Eletronica Digital de Alta Velocidade 21 Capitulo 3 Campos JEletromagneticos JEstaticos (cc) (6) Linhas de Transmissao de Alta Tensao 111 (7) Descarga Eletrostatica 113 (8) Interferencia 115 (9) Efeitos Parasitas em Componentes 117 (10) Blindagem Eletrostatica 119 (11) Motor e Gerador Eletricos 123 Capihl!lo 4 Campos JElebromagneticos Varirumtes no Tempo (12) Ponta de Prova de Corrente: Combinando as Leis de Faraday e Ampere para Medir Corrente 176 Capitulo 5 Propaga~iio de Ondas (13) Linhas de Transmisslio 222 (14) Antenas 223 (15) Comunica9lio com Submarinos 224 (16) Projeto de Radomes 226 (17) Blindagem de Equipamentos Eletronicos 228 (18) Riscos das Microondas aSaude 232 (19) Cabos de Fibra Optica 234 Capitulo 6 Linhas de Transmissiio (20) Interliga96es Digitais de Alta Velocidade e Integridade de Sinal297 (21) Constru9lio de Componentes de Circuitos de Microondas Usando Linbas de Transmissao 310 (22) Linhas de Alimenta9lio de Antenas 313 (23) Diafonia entre Linhas de Transmissao 315 (24) Uso de Cabos Blindados e Pares Tran9ados para Reduzir a Diafonia 319 Capitulo 7 Antenas (25) Emiss6es Irradiadas nelas Linhas de Transmissao 357 (26) Radares de Varredur~ Eletronica 360 (27) Projeto de urn Enlace de Comunica9lio Via Satelite 362 (28) Susceptibilidade Irradiada em Linhas de Transmissao 363

lista de

Tabe~as

Tabella Ll Multiplicadores de Unidade 2 Tabela 1.2 Frequencias de Ondas Senoidais e Seus Comprimentos de Onda Correspondentes 5 Tabeia 1.3 Frequencias e Comprimentos de Onda Correspondentes de Sistemas Eletronicos 6 Tabella 1.4 Componentes Espectrais (Frequencias) do Sinal de urn Rel6gio Digital de 5 V, 600 MHz, 50% de Duty Cycle, Tempos de Subida/Descida de 500 ps 9

Tabela 3.1 Serle Triboeletrica 113 Tabela 4.1 Equac;;oes de Maxwell163 Tabela 5.1 Permissividades Relativas de Diversos Dieletricos 190 Tabela 5.2 Permeabilidades Relativas e Condutividades (Relativas ao Cobre, {]' = 5,8 X 107 ) de Diversos Metais 190 Tabella 5.3 Comprimentos de Onda em Diferentes Freqiiencias no Espac;;o Livre (Ar) 195 Tabella 5.4 Profundidade Pelicular no Cobre 206

Eletromagnetismo para Engenheiros: Com Aplica~oes a Sistemas Digitais e lnterferencia Eletromagnetica

1 lntrodu~ao

Os princfpios e leis do Eletromagnetismo govemam todos os sistemas eletricos e de computagao. Partanto, e importante para todos os engenheiros eletricistas e de computagao entender esses princfpios ba.sicos do Eletromagnetismo para projetar de forma adequada modemos dispositivos de sistemas eletricos e de computagao. Isso esta se tornando cada vez mais importante devido as crescentes velocidades dos dispositivos digitais e ao crescente uso de freqiiencias mais altas nos modemos sistemas de comunicagao. Ha 20 anos, os computadores digitais operavam com clocks na parte bai.xa da fai.xa de MHz (106Hz), por exemplo, 12 MHz. Os computadores digitais e outros processadores embutidos estao operando hoje com freqiiencia do clock na fai.xa de GHz (109 Hz). Esses pulsos digitais contem, alem da frequencia fundamental, mUltiplos dessa freqiiencia. Por exemplo, urn sinal de clock em urn computador digital com uma freqiiencia de repetigao de 1 GHz ira canter, alem dessa freqiiencia, componentes senoidais em 2 GHz, 3 GHz, 4 GHz, 5 GHz etc. A presenga dessas freqiiencias cada vez mais altas signifi.ca que componentes eletricos, tais como capacitores, fios, "trilhas" de placas de circuito impressa etc., nao mais irao se comportar como elementos familiares de circuitos a parfunetros concentrados, mas serao govemados pelas leis do Eletromagnetismo que estudaremos neste livro. Similarmente, dispositivos de comunicagao rnademos, Âˇtais como telefones celulares, tambem operam em freqiiencias na fai.xa do GHz. Assim, para projetar esses circuitos de forma a funcionarem adequadamente, toma-se cada vez mais necessaria o entendimento dos princfpios do Eletromagnetismo a serem abordados neste livro.

Objetivos de Aprel!11dizado do CapituUo Ap6s completar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a

D> converter corretamente unidades de medidas do sistema britâ&#x201A;Źmico para o sistema metrico e vivaversa, ~- entender os conceitos de onda, comprimento de onda e deslocamento de fase,

[:. .,. calcular as dimens6es eletricas de urn dispositivo ou componente eletronico em comprimentos de onda, lJ> determinar quando urn modelo de circuito a parametros concentrados e as leis de Kirchhoff sao

invalidos para urn circuito eletrico, I> entender que urn sinal peri6dico no dominio do tempo, como o clock em urn computador digital, contem, de acordo com a serie de Fourier, componentes senoidais nas frequencias que sao multiplas da frequencia fundamental e que todas estas componentes de frequencia vao, juntas, compar a forma da onda no dominio do tempo, 1~ citar aplicag6es praticas em engenharia dos principios do Eletromagnetismo.

1.1 UNIDADES ECONVERSAO DE UNIDADES As unidades de medida sao urn importante aspecto dos calculos cientificos. 0 conjunto ba.sico de unidades reconhecido por todo o mundo eo Sistema Internacional de Unidades (SI). Urn subconjunto deste

2 il'>- Capitulo Urn lAIBEi.A t1 Multiplicadores de Unidades Prefixo

Multiplicador

Sfmbolo

Giga Mega Quilo Centi

109 1Q6

G M

103

w-2

c m

w-3 w-s w-9 10-12

Mili Micro Nano Pico

f.1

n p

e referido como o Sistema MKSA ou sistema metrico. Esses nomes advem das quatro unidades basicas de medida. 0 comprimento e medido em metros (m), a massa e medida em quilogramas (kg), o tempo e medido em segundos (s), e a corrente e medida em amperes (A). As outras unidades sao expressas como alguma combinagao dessas unidades basicas. Por exemplo, a unidade da grandeza mais basica do Eletromagnetismo e a unidade de carga, que e 0 coulomb (C). A Corrente e a taxa de fluxo de carga, e, assim, carga, em coulombs, e expressa em amperes e segundos como C = A Âˇ s. As potencias de dez mais comuns e importantes estao listadas na Tabela 1.1. Por exemplo, escreve-se 60 quilometros como 60 km ou 0,06 Mm. Similarmente, o valor de urn . capacitor de 5 microfarad e escrito como 5 11F ou 5000 nF. Ede vital importancia perceber que, nas formulas do Eletromagnetismo que iremos estudar, as unidades de medidas devem ser as unidades SI. Existem diversas constantes universais nessas formulas que estao nas unidades SI, e, assim, as outras unidades nas formulas devem necessariamente estar tambern nas unidades SI. Por exemplo, umas das primeiras leis que iremos estudar e a lei de Coulomb para a forga entre duas cargas pontuais: F

= QrQ2 4m::fi2

Ela mostra a forga F em newtons (N) entre duas cargas, Q1e Q2, que estao separadas por uma distancia R no espago livre (aproximadamente oar). As cargas devem ser dadas em coulombs e a distancia deve estar em metros. A constante e0 e a perrnissividade do espago livre e tern a unidade de farads por metro, F/m, ou C2/Nm2â&#x20AC;˘ Embora o sistema de unidades SI seja aceito em todo o mundo, alguns pafses, irrcluindo os Estados Unidos, nao adotaram esse sistema completamente. Nos Estados Unidos, o sistema de unidades predomirlantemente usado eo chamado sistema britfulico, onde o comprimento e medido em polegadas (in), pes (ft), jardas (yd) ou milhas (mi). Raios de fios (condutores de segao reta circular) sao normalmente escritos em mils, onde 1 mil= 1/1000 iri. Parece que isso continuara, de forma que ha necessidade de sermos capazes de converter corretamente as unidades do sistema britfulico para as unidades equivalentes no sistema SI antes de as irlserirmos nas formulas do Eletromagnetismo. As importantes convers5es de comprimento entre os dois sistemas sao 1 iri = 2,54 em, 12 in = 1 ft, 1 yd = 3 ft e 1 mi = 5280 ft. Existem in6.meras outras unidades no sistema britfulico que devem ser convertidas para o SI, mas as unidades de comprimento serao suficientes. Devemos ter um modo perfeito de conversao entre os dois sistemas. Um grande m1mero de erros que acontecem em calculos cienlificos ocorre na conversao de unidades. Ha vanos anos, uma nave espacial para Marte nao alcangou o planeta devido a urn erro na conversao de unidades do sistema britfulico para o sistema SI. Um simples mas eficiente modo de conversao entre os dois sistemas e o da multiplicagao pelas raz5es unitanas. 0 cancelamento dos nomes das unidades nessa conversao evita urn a multiplicagao (divisao) inapropriada de uma razao unitana quando a divisao (multiplicagao) deve ser usada. Por exemplo, para converter 100 mi para km, fazemos a segumte multiplicagao e cancelamento dos nomes das unidades: . 5280 ft 12 in 2,54 em 1m 1 km 100 m1 X - - X - - X X -- X 1 mi 1 ft 1 in 100 em 1000 m

= 160' 93 km

lntrodu~ao I> 3

0 leitor deve verificar que 1 mil = 111000 in = 2,54 X 10-s m.

1.2 A NECESSIDADE DE COMPREENSAO DOS PRINCiPJOS ELETROMAGNETICOS Os estudos em Engenharia Eletrica e em Computac;ao geralmente come«;;am com uma analise dos modelos de circuitos e dispositivos eletricos usando modelos de circuitos a parametros concentrados e as leis de Kirchhoff. Aos elementos de circuito de resistencia, R, indutancia, L, e capacitancia, C, sao atribufdos valores nesses modelos de circuitos a parametres conGentrados; por exemplo, 1 kf!., 1 J.LH, 100 pF. Como obtemos os valores desses elementos? Esses elementos sao rrwdelos de elementos fisicos e, assim, os valores dos elementos dependem da estrutura e dimens6es do elemento fisico. As leis do Eletromagnetismo que estudaremos permitem calcular os valores dos elementos fisicos a partir dos se1,.1s detalhes fisicos de constru«;;ao. Para desenvolver modelos matematicos de dispositivos fisicos, devemos primeiro entender os prinefpios basicos do Eletromagnetismo que governam os dispositivos fisicos. Embora os modelos de circuitos aparametros concentrados sejam faceis de entender, eles sao apmxima(Joes das leis fundamentais do Eletromagnetismo que iremos estudar. Os modelos de circuitos a parametros concentrados nao explicam adequadamente a operagao de inumeros dispositivos praticos, tais como antenas, mas as leis do Eletromagnetismo a serem abordados explicam claramente sua operagao. Amedida que a frequencia de trabalho dos circuitos e dispositivos eletricos aumenta, os efeitos indesejaveis que nao sao previstos pelos modelos ideais de circuitos a parametres concentrados se tornam cada vez mais importantes. Amedida que as velocidades dos processadores de dispositivos digitais e as frequencias de operagao dos dispositivos anal6gicos aumentam, torna-se mais importante entender esses plinc!pios eletromagneticos para projetar dispositivos digitais e anal6gicos que operem apropriadamente nessas freqiiencias cada vez mais elevadas. Este livro pretende ser uma introduc;ao a essas leis e princfpios fundamentais do Eletromagnetismo. Os modelos de circuitos a parametros concentrados nao preveem diversos fenomenos importantes. Por exemplo, quando construfmos modelos de circuitos a parametres concentrados, unimos terminais de ligagao e assumimos que a corrente entrando em urn terminalligado ao elemento existe imediatamente no outro terminal, como ilustrado na Fig. 1.1. Em outras palavras, assumirrws que o comprimento dos terminais de ligagao nao e importante. De fato, ha urn atraso associado aos terminais de ligac;ao fisicos de urn dispositive. 0 atraso e essencialmente o tempo que leva para uma onda se propagar de urn ponto a outro. No espago livre (essencialmente oar), essa velocidade de propagagao e a velocidade da luz V 0 = 2,99792458 X 108 m/s ou aproximadamente V 0 = 3 X 108 m/s. 0 atraso na propagagao de uma onda numa distancia ;£ e

~ ~

(1.1)

onde v e a velocidade de propagagao da onda. Por exemplo, o atraso para a onda se propaganda no espago livre (aproximadamente oar) numa distancia de 1m e aproximadamente 3 ns ou cerca de 1 ns por ft. A corrente ao longo dos terminais e, de fato, uma onda. Suponha que essa corrente e a onda associada sejam senoidais. Como veremos no Capitulo 5, uma onda senoidal propagante pode ser escrita como fungao do tempo, t, e da posigao, z, como (onde escolhemos uma cossen6ide)

i(z, t)

= I cos(wt - {3z)

(1.2)

onde f3 e a constante de deslocamento de fase em radianos/m e w = 2Trj onde e a frequencia cfclica. Isto e mostrado na Fig. 1.2a como fungao da distancia, z, para tempos fixos, t. A medida que a onda se propaga de uma extremidade do terminal de ligagao, atraves do elemento, e se faz presente na outra extremidade do terminal, ela sofre urn deslocamento de fase que e dado em (1.2) por radianos 1 ':

e ;£, e o comprimento total dos terminais de ligagao.

:t.

.. -

(1.3)

4 i> Capitulo Urn

Elemento concentrado

Terminal de ligagao

C!}--;'

;1 (t)

~ v

·,,

;2 (t)

;1 {f)

Terminal de ligagao

I ._

.. . \

~/· T~

I I

/ '· ___.•. ......._

··,_~..

Figura 1.1 Ilustra9ao do efeito de tenninais de liga9ao.

0 deslocamento de fase ealternativamente relacionado a um importante parametro, 0 comp'l'imento de onda. 0 comprimento de onda e denotado por Ae e a distancia que a onda deve percorrer para sofrer

uma mudan~_;:a de fase de 21T radianos, que e equivalente a 360°, como mostrado na Fig. 1.2a. Assim, o comprimento de onda e a constante de fase estao relacionados por

f3A

= 21r

radianos

(1.4)

Portanto, (1.2) pode alternativamente ser escrita como i(z,t)

= I cos( wt -

2 :

(1.5)

0 comprimento de onda de uma onda ea distancia entre sucessivos pontos correspondentes, tais como a crista da onda, como mostrado na Fig. 1.2a. Isto e similar aobserva~_;:ao das ondas no oceano. 0 movimento das ondas oceamcas e verificado pela observa9ao do movimento da crista da onda, como mostrado na Fig. 1.2b. As partfculas de agua realmente apresentam um movimento de sobe-desce, mas as ondas parecem se mover ao longo da superficie do oceano. Para rastrear o movimento da onda, observamos o movimento de um ponto comum na onda. Para a onda senoidal em (1.2), isto significa que rastreamos pontos onde o argumento da fun~_;:ao cosseno, wt- f3z, permanece constante. Para a onda em (1.2), a medida que o tempo t aumenta, a posi~_;:ao z deve aumentar para manter constante esse argumento da fun~_;:ao cosseno. Assim, a onda em (1.2) esta se propaganda na dire~_;:ao +z. Tamhem determinaremos no Capitulo 5 que o comprimento de onda pode ser escrito em termos da velocidade de propaga~_;:ao da onda, v, e a frequencia ciclica da onda,f, como · (1.6)

No caso de um fio de conexao onde o meio circundante eo espa~_;:o livre, a velocidade de propaga~_;:ao da onda eaproximadamente 3 X 108 m/s. ATabela 1.2 mostra o comprimento de onda para ondas senoidais propagando-se no espa~_;:o livre, para vanas frequencias daquela onda. A combina~_;:ao de (1.4) e (1.6) fornece a velocidade de propaga~_;:ao em termos da constante de fase e da freqiiencia da onda como

(1.7)

~i.

lntrodu~ao

!>· 5

i(O, z) ~----1--------~

(a) ;::.. ~~-;· .• , P::tr:;~;d:'Jl

. : .. ··.-. ··"·j··-~·\., ·.,1' d··· _.,..:,.d !1,,.~ :,~"•..• ~;·

·. {!'\

fl ·•-.· ~

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c . :.:

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II·l

!1,.-r- ik. d Lr fi ~=-- :,_;e u•1\ 1l ~-.-:.:;:..-:-::::.-...;t,~..;:::::::tt"J;==-.""!lS~1":4r•'•·':-.;.~~~~:,8

i(O, z)

(b)

!Figura 1.2 Propagaqao de onda. (a) Propagaqao de onda no espaqo e eomprimento de onda. (b) Propagaqao de onda ao longo do tempo.

Substituindo (L7) em (1:2), temos:

(1.8)

TABELA 1.2 Freqiil!ncias de Ondas Senoidais e Seus Comprimentos de Onda Correspondentes

Freqiiencia (f)

Comprimento de onda (A)

60Hz 3kHz 30kHz 300kHz 3 MHz 30 MHz

3107 milhas (5000 Ian)

300

MlHlz

3 GHz 30 GHz 300 GHz

Ian 10 Ian

1lan 100m 10m

lm 10 em 1 em 1 mm

'•

I j.

,, '

6 I> Capitulo Urn

0 resultado em (1.8) evidencia que o deslocamento de fase de uma onda e equivalente ao atraso, o qual e dado por zlv segundos. A partir de (1.3) e (1.4), a medida que a corrente percorre, ao longo dos terminais de ligac;;ao, uma distancia ;£ = A, ela sofre urn deslocamento de fase de o/ = f3A = 27T radianos ou 360°. Em outras palavras, se o compririlento total dos terminais de ligac;;ao e urn comprimento de onda, a corrente entrando nos terminais de ligac;;ao e a corrente saindo deles estao em fase, mas sofreram uma mudanc;;a de fase de 360° no processo de transic;;ao do elemento. Por outro Iado, se o comprimento total dos terminais de ligac;;ao e meio comprimento de onda (;£ = }J2), entao acorrente sofre urn deslocamento de fase de 180°, de forma que a corrente entrando nos terminais de ligac;;ao e a corrente saindo deles estao em oposic;;ao de fase. Se o comprimento dos terminais de ligac;;ao e 1/10 do comprimento de onda, a corrente sofre um deslocamento de fase de 36°. Nurna distancia de 1/20 do comprimento de onda, ela sofre urn deslocamento de fase de 18°, e, numa distancia de 1/100 do comprimento de onda, ela sofre urn deslocamento de fase de 3,6°. Se os efeitos dos terminais de ligac;;ao sao desconsiderados, como e assumido pelo modelo de circuito a parametros concentrados, entao o comprimento total dos terminais de ligac;;ao deve ser tal que esse deslocamento de fase seja desprezivel. Nao ha urn criterio fixo para isso, mas assumiremos que o deslocamento de fase e desprezivel se os comprimentos sao menores que, digamos, 1/10 do comprimento de onda na freqiiencia de excitac;;ao da fonte. Para algumas situac;;oes, o deslocamento de fase deve ser menor que isso para ser desprezivel. As dimens5es fisicas nao sao tao importantes quanto as dimensoes eletricas na determinac;;ao do comportamento de urn circuito ou dispositivo eletrico. As dimens5es eletricas sao as dimens5es fisicas em comprimentos de onda. Urna dimensao fisica que e menor que 1/10 do comprimento de onda e dita eletricamente pequena, de forma que o deslocamento de fase, amedida que a onda se propaga naquela dimensao, pode ser ignorado. Esses coi:lceitos levam a uma primeira aproximac;;ao, de que modelos de circuitos a parametres concentrados sao uma representac;;ao adequada de urn circuito fisico enquanto a maior dimensiio eletrica do circuito fisico for menor que, digamos, 1/10 do comprimento de onda. A Tabela 1.3 mostra as frequencias e os comprimentos de onda correspondentes para vanas aplicac;;oes. A tecnologia utiliza, hoje, freqiiencias sempre crescentes. Telefones celulares, sistemas de radares e sistemas de transmissao via satelite utilizam freqiiencias na faixa do GHz (109 Hz), onde urn comprimento de onda e da ordem de centimetres. Os modelos de circuitos a parametres concentrados desses circuitos sao vilidos apenas quando as dimens5es do circuito estao na faixa de milimetros. Os computadores digitais e outros processadores embutidos operam com freqiiencias do clock (taxas de repetic;;ao dos

TABELA 1.3 Freqiiem::ias e Comprimentos de Onda Correspondentes de Sistemas Eletronicos

Faixa de freqiiencia'

Comprimento de onda

Aplicagoes

EHF (30-300 GHZ) SHF (3-30 GHz)

1 cm-1 mm 10 cm-1 em

UHF (300-3000 MHz)

1 m-lOcm

VHF (30-300 MHz)

10m-1m

HF (3-30 MHz) MF (300-3000 kHz) LF (30-300 kHz)

100m-10m 1lan-100 m 10 km-1lan

VLF (3-30kHz) ULF (300-3kHz) SLF (30-300 Hz) ELF (3-30 Hz)

100 km-10 Jan 1000 lan-100 Jan 6214 mi-621 mi 62,137 mi-6214 mi

Radar, monitoragao remota, astronomia Radar, comunicagao via satelite, monitoragao remota, circuitos eletronicos de microondas, navegagao de aeronaves, sistemas digitais Radar, TV, fornos de microondas, navegagao de aeronaves, telefones celulares, navegagao e comunicagao do controle de trafego aereo militar TV, transmissao FM, radio de policia, radio m6vel, navegagao e comunicagao do controle de trafego aereo comercia! Ondas curtas de radio, faixa civil Transmissao AM, radio maritima, indicador de diregao ADF Navegagao Loran de Iongo alcance, radio ADF de far6is, previsao do tempo Navegagao de longo alcance, sonar Faixa de audio do telefone Comunicagao com submarfnos, potencia comercial (60Hz) Detecgao de objetos metalicos enterrados

extra, S = super, U = ultra, V = muito, H = alta, M = media, L = bab:a, F = freqiiencia.

lntrodu~ao

f> 7

pulsos) em GHz. Essas f01mas de onda apresentam a forma de pulsos trapezoidais com tempos de subida e de descida muito rapidos (picossegundos) nas bordas (ou flancos) de subida e de descida, como mostrado, no dominio do tempo, na Fig. 1.3a. Esse trem de pulsos no dominio do tempo pode ser vi.sto, altemativamente, no dominio da freqiiencia, usando a serie de Fourier, como sendo composto por componentes senoidais cuja soma representa a forma do pulso no dominio do tempo. Assim, uma forma de onda no dominio do tempo tendo urn perfodo P pode ser representada como

onde W0 = 21Tfo e fa = liP e a freqtiencia fundamental de repeti~ao do trem de pulsos. 0 conteudo de freqtiencias do pulso consiste em urn termo cc (o valor medio), V0, de uma sen6ide na freqtiencia fundamental,fo, mais todos os seus harmonicas de freqtiencias mais altas que sao mUltiplos inteiros dessa freqtiencia fundamental. Na Fig. 1.3b, ilustramos is so mostrando as amplitudes das componentes senoidais do pulso no dominio da freqiiencia. A Fig.l.3c mostra urn analisador de espectro que e usado para mostrar as componentes de freqtiencia de uma forma de onda peri6dica. Urn analisador de espectro e essencialmente urn radio receptor com urn filtro passa-faixa que e deslocado (varrido) no tempo. Em urn ponto particular do deslocamento, aquelas componentes de freqtiencia que caem dentro da largura de banda do filtro passa-faixa sao mostradas. A Fig. 1.3c mostra o espectro de uma forma de onda trapezoidal de 1 V, 1 MHz, tendo urn duty cycle (ciclo u.til) de 50% e tempos de subida!descida de 12,5 ns. Para urn duty cycle de 50%, os harmonicos pares tern, idealmente, amplitude zero. 0 graftco do analisador de espectro mostra que esses harmonicos pares nao sao nulos, embora eles estejam significativamente abaixo das amplitudes dos harmonicos fmpares. Assim, o conteudo espectral de freqtiencia dos sinais digitais se distribui desde a frequencia basica de repeti~ao (frequencja fundamental) ate freqtiencias muito maiores que sao mUltiplas dessa freqtiencia basica fundamental. Para os modelos de circuitos a pan1rnetros

v(t)

v I

/I /I :I

:\ : I

f\·\,'

;·/

P= 1 !~0

(a) Dominic do tempo

V(f)

v1 "'

v2 •i)

Va m

v4 .;

V0 c DC

2f0

3f0

4f0

5f0

(b) Domfnio da freqOencia

Figura t3 Sinal de rel6gio digital. (a) No domfnio do tempo. (b) No domfnio da freqtiencia. (c) Urn analisador de espectro para deterrnina91io do conteudo de freqiiilncia (espectral) de urn sinal peri6dico (copiado de C.R. Pa~, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992, p. 378, cortesia da Agilent Technologies © 2002).

8 .1>- Capitulo Urn

(c)

Figura 1.3 (Continua~ao)

concentrados serem vtilidos, as dimensoes elet'ricas do ci'rcuito devem ser pequenas em todas essas freqiiencias que sao significativas na fon?utfitlO do espectro do pulso. Por exemplo, a forma de onda do clock de urn computador digital mostrada na Fig. 1.3a em 600 MHz, tendo uma amplitude de 5 V, tempos de subida/descida de 500 ps e um duty cycle de 50%, conteni as componentes de freqtiencia (componentes senoidais) mostradas na Tabela 1.4. 1

1C.R.

Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley lnterscience, 1992.

lntrodu~ao

rt> 9

TAIBELA il.l,! ICompo~rnenftes IEspecftrais (!Freqiiencias) do Simni de um Rel6gio Digital ille 5 V. 600 Ml}lz, 511% de /Ouzy tvcle, iempos de Sulllida/l!:Âťescillila de 500 ps Hannonieo 1 2 3 4 5 6 7

Freqiieneia 600 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2

Comprimento de onda

IvlHz GHz GHz GHz GHz GHz GHz

50 25 16,7 12,5 10 8,3 7,1

em em em em em em em

Nfvel (V) 2,73V 0 116mV 0 135mV 0 21mV

Assim, existem componentes de freqiiencia significativas desse pulso adentrando a faixa do GHz e as dimens6es eletricas devem ser pequenas para todas as componentes espectrais significativas de modo a se obter uma analise coneta do processamento desse sinal por urn circuito usando urn modelo a parametros concentrados. Por exemplo, para usar com sucesso modelos de circuitos a parametros concentrados para prever o processamento do setimo hannonico em 4,2 GHz, a m3.xima dimensao do circuito deve ser menor do que algo em torno de 0,71 em ou 7,1 mm! Quando as dimens6es de urn circuito nao sao mais eletricamente pequenas, devemos usar as leis do Eletromagnetismo que sao chamadas equag6es de Maxwell. Embora o uso dessas leis do Eletromagnetismo na modelagem de uma estrutura seja matematicamente mais di.:ficil que o uso de modelos de circuitos a parametros concentrados, niio temos altemativa! Usar urn modelo de circuito a parametros concentrados para analisar urn circuito ou uma estrutura que seja elebicamente grande e perda de tempo, ja que as respostas derivadas dele estarao inconetas. Este livro esta voltado para urn estudo dos princfpios e leis basicas do Eletromagnetismo e suas aplicag6es a problemas da Engenharia Elebica e da Computagao. 0 Eletromagnetismo pode ser, naturalmente, intensivo em matematica. Contudo, houve urn esforgo consciente, por todo este livro, de minimizar os detalhes matematicos, onde possfvel. Uma certa quantidade de detalhes matematicos e inevitavel. Contudo, qualquer matematica que nao seja diretamente necessaria sera evitada ou postergada. E importante que o leitor tenha em mente tal filosofia. Virtualmente, todos os problemas de Eletromagnetismo que podem-serresolvidos amaoforam-resolvidos.Aquelesque podem ser resolvidos a mao devem possuir alguma simetria e se adequar a urn dos tres sistemas de coordenadas que descreveremos (retangular, cilfndrico ou esferico). E urn grave eno esperar que possamos resolver problemas de Eletromagnetismo da mesma forma que resolvemos problemas de circuitos a parametros concentrados, a saber, substituindo numeros em equag6es e determinando uma resposta. Para termos sucesso na resolugao das equag6es do Eletromagnetismo, devemos geralmente fazer duas coisas: visualizar e esbogar o problema em duas ou tres dimens6es e antecipar afomw da solugiio onde podemos determinar as constantes desconhecidas que satisfazem as leis do campo eletromagnetico. Se essa metodologia for adotada, os problemas de Eletromagnetismo podem se tornar virtualmente triviais de serem resolvidos. Se for escolhido o metoda de mera substituigao de valores em equag6es, os problemas de Eletromagnetismo podem se tornar de di.:ficil solugao. Âˇ

t~~Âˇ 1.3 UMA BREVE HISTORIA DO ELETROMAGNETISMO Embora o conhecimento do Eletromagnetismo seja contemporaneo das civilizag6es gregas primitivas, a maioria das leis foi descoberta, experimentalmente, no seculo XIX. Para uma completa e interessant~ discussao dessa hist6ria, recomenda-se a leitura de R.S. Elliot, Elect-romagnetics, McGraw-Hill, 1966. E importante reconhecer que, embora essas leis basicas tenham sido descobertas por volta de 1800 atraves de experimentos aparentemente primitives (para os dias de hoje), elas permaneceram inalteradas por cerca de 200 anos. Isto e urn credito para o talento e construgao cuidadosa dos aparelhos experimentais pelos primeiros estudiosos do Eletromagnetismo.

10 1> Capitulo Um

Um dos aspectos mais importantes e fundamentais do Eletromagnetismo e a lei do inverso do quadrado. A atrac;;ao gravitacional entre dois corpos varia diretamente com o produto das massas dos corpos e inversamente com o quadrado da distancia entre eles. Similarmente, a forc;;a exercida por duas cargas eletricas uma na outra varia diretamente com o produto das cargas e inversamente com o quadrado da distancia entre elas. Ea chamada lei de Coulomb e sera a primeira lei do Eletromagnetismo que estudaremos. 0 fato de que a forc;;a de atrac;;ao ou repulsao varia inversamente com o quadrado da distancia (nao com a distancia elevada apotencia 1,999, nao com a distancia elevada apotencia 2,0001, mas precisamente com a distancia elevada apotencia 2,000000 ... ) e extremamente importante. Sem essa variac;;ao precisa, as leis do Eletromagnetismo nao fariam sentido. A lei do inverso do quadrado foi descoberta por John Mitchell (1724-1793), em 1750, e posteriormente confirmada para cargas eletricas por Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) em sua agora famosa lei de Coulomb, que sera a primeira que estudaremos no Capitulo 3. Os experimentos de Mitchell e Coulomb envolviam distribuic;;oes estacionanas de carga. A importante descoberta seguinte foi que urn fluxo continuo de carga, ou seja, uma corrente cc, tambem poderia produzir outro tipo de campo, o campo magnetico. Para produzir uma corrente, era necessaria uma bateria. As baterias para produzir tal corrente nao existiam ate Alessandro Volta (1745-1827) produzir a primeira em 1800 (a qual ele chamou de pilha voltaica). Hans Christian Oersted (1777-1851) descobriu em 1820 que urn fio conduzindo uma corrente poderia defletir a agulha de uma bUssola. Andre Marie Ampere (1775-1836) descobriu logo depois que dois fios conduzindo correntes poderiam criar forc;;as, urn sobre o outro, de repulsao ou atrac;;ao, dependendo das direc;;oes relativas das correntes. No mesmo perfodo, Jean Baptiste Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841) formularam a famosa lei de Biot-Savart, mostrando que uma densidade de fluxo magnetico pode ser gerada a partir de urn elemento de corrente. A lei de Biot-Savart e, em certos aspectos, a reproduc;;ao da lei de Coulomb, pois ela e uma lei do inverso do quadrado para correntes, enquanto a lei de Coulomb e uma lei do inverso do quadrado para cargas estaticas. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) descobriu a lei de Gauss da eletrostatica, que afirma que o conhecimento do numero de linhas de fluxo eletrico deixando uma superffcie fechada permite determinar a cargaliquida positiva envolvida pela superffcie. Neste ponto, o campo eletrico (devido as cargas estacionanas) e o campo magnetico (devido ao fluxo continuo de carga eletrica, ou seja, corrente Âˇcc) pareciam independentes urn do outro. Uma corrente cc foi mostrada produzindo urn campo magnetico. Michael Faraday (1791-1867) descobriu o oposto dis so, em 1831, que urn campo magnetico variante no tempo poderia produzir urn campo eletrico que, por sua vez, produziria uma corrente em urn circuito fechado, e obteve uma das mais importantes equac;;oes de Maxwell, a lei de Faraday. Isto mostrou que, para correntes variantes no tempo, os campos eletrico e magnetico nao sao independentes, mas sim relacionados. Faraday enrolou duas bobinas em urn anel de ferro e ligou uma bateria a uma bobina e urn galvanometro (essencialmente urn voltimetro daquele tempo) aos terminais da outra bobina. Ele descobriu que, quando conectava a bateria, ocorria uma deflexao no ponteiro do galvanometro e, quando ele desconectava a bateria, o galvanometro defletia na outra direc;;ao. Enquanto a bateria estava conectada (e a corrente na primeira bobina era continua) nenhuma deflexao ocorria no galvanometro. Disso, ele concluiu que urn campo magnetico variante no tempo (devido acorrente variante no tempo) gerava urn campo eletrico variante no tempo, que e sua celebre lei. Ate o experimento de Faraday, pensava-se que o campo eletrico era causado unicamente pela distribuic;;ao estatica de cargas. Diz-se tambem que Joseph Henry (1797-1878) fez essa descoberta no mesmo perfodo que Faraday, mas ele nao publicou seu trabalho, de forma que Faraday esta creditado com a descoberta. Restou para urn matematico escoces, James Clerk Mru..well (1831-1879) unh!J.car as descobe1tas anteriores e fazer um importante acrescimo alei de Ampere no seu famoso tratado Eletricidade e Magnetismo, em 1873. Essas famosas equac;;oes previam a existencia de ondas eletromagneticas, as quais Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou, experimentalmente, em 1887. Isso levou ao radio modemo, radar, transmis.sao de televisao e inumeros outros dispositivos de comunicac;;ao sem fio. E certamente notavel que a mruoria dessas importantes leis tenha sido descoberta por volta de 1800 com aparelhos experimentais aparentemente primitives e que elas permaneceram inalteradas por cerca de 200 anos. Isto e urn tributo extrao:dinario acapacidade desses primeiros cientistas em construir equipamentos experimentais precisos e a sua capacidade cientifica de traduzir suas observac;;oes experimentais em leis matematicas que govemam todos os fenomenos eletromagneticos. .

lntrodu~ao t>

1.4 VISAO GERAL DE CAMPOS ELETROMAGNETICOS Pela cliscussao hist6rica anterior, vemos que cargas produzem fon;;as em outras cargas. Assim, podemos antever urn campo de jor9a invisfvel em torno de cargas estacionanas. Esse campo de forga sera uma das principais grandezas eletromagneticas que estaremos interessados em determinar e e chamado de campo eletrico. Correntes, ou o fluxo de carga, tambem produzem forgas em outras correntes. Novamente, podemos antever urn campo de forga.invisfvel no espago em torno das correntes. Esse campo de forga sera a segunda principal grandeza eletromagnetica que estaremos interessados em determinar e e chamado de campo magnetico. Cada urn desses campos de forga tern urna magnitude e urna diregao de efeito e, assim, e matematicamente caracterizado como urn vetor. As leis do Eletromagnetismo sao, portanto, formuladas matematicamente em termos de grandezas vetoriais. Os vetores campo serao dependentes nao somente do tempo, t, mas tambern da sua localizagao no espago, x, y, z. Por outro lado, as correntes e tensoes em modelos de circuitos a parametres concentrados sao independentes da posigao e dependentes apenas do tempo. Assim, as grandezas campo do Eletromagnetismo serao fun96es do tempo e da localizagao espacial, e as equagoes regentes do Eletromagnetismo serao equa9oes vetoriais cliferenciais parciais. Essas equagoes diferenciais parciais sao urn pouco mais diflceis de serem resolvidas do que as equagoes diferenciais ordinanas associadas aos circuitos a parametres concentrados. Urn exemplo de outro tipo de campo vetorial possumdo equag5es regentes similares eo fluxo de fluidos, no qual representamos com setas (vetores) a diregao e a taxa de fluxo do fluido em vanas posig5es no fluido. Transfen'lncia de calor e outro exemplo cujas equa95es regentes sa.o tambem equa96es vetoriais diferenciais parciais. Nosso objetivo ao resolver problemas de Eletromagnetismo e ao entender os princfpios ffsicos incorporados nas leis sera determinar matematicamente esses vetores portodo espago para cada problema. 0 aspecto vetorial das equag5es de campo as toma diflceis de serem resolvidas na maioria dos casas. Felizmente, nao seremos tao ambiciosos em tentar resolve-las para cada urn dos casas imaginaveis. Iremos apenas tentar resolve-las para casos especiais que possuem alguma simetria e se ajustam a urn sistema de coordenadas, sendo uteis na modelagem de problemas praticos. Embora possamos interpretar em palavras essas leis do Eletromagnetismo (o que sera importante de se fazer), nao podemos quanti:ficar a solugao, a menos que possamos determinar a solugao matematica delas. Lorde Kelvin* expressou esse importante pensamento da seguinte maneira: "Eu sempre digo que, quando se pode medir aquila sabre o que falamos e conseguimos exprimir essa medida em numeros, sabemos algoa seu respeito; mas quando nao podemos exprimi-la em numeros, nosso conhecimento e limitado e insatisfat6rio. Pode ate ser o come<;;o do conhecimento, mas o pensamento teni avant;;ado muito pouco para o estagio cientffico, qualquer que seja o assunto."

1.5 APLICACOES EM ENGENHARIA t5.1 l0111inas de Tralllsmissiio Considere urn par de fios paralelos conectando uma fonte a urna carga, como mostrado na Fig. 1.4. Essa estrutura e chamada de uma linha de transmissiio, a qual sera estudada no Capitulo 6. Suponha que uma fonte de pulses seja ligada nessa linha. Baseados em nossos cursos anteriores de circuitos eletricos, podemos esperar que o par de fios n1io tenha nenhum efeito e que o pulso imecliatamente chega a carga.

v ~-------~--------~

Figura 1.4 Uma linha de transmissao ilustrando ondas propagantes e reflexoes nas terminagoes.

*Titulo nobiliarquico de Sir William Thomson (1824-1907). (N.R.)

12 G> Capitulo Um

Na realidade, urn a onda sera envi ada pela linha e ira requerer urn atraso de T = :ÂŁ/v para atingir a carga, onde v e a velocidade de propaga9ao na linha e :ÂŁ e o comprimento total da linha. A tensao e a corrente sao ondas de componentes senoidais desse pulso e terao a forma

V(z,t).I(z,t)

= A cos(wt -

~z)

= A cos( w(t -

~))

Se 0 meio circundando OS fios e 0 ar, a velocidade de propaga9aO e aproximadamente 3 X 108 m/s. A consequencia disso eque, nos computadores digitais de alta velocidade de hoje, o atraso de propaga9ao pode afetar a temporiza9ao dos sinais l6gicos. Por exemplo, uma placa de circuito impresso tipica, construida de vidro ep6xi, e usada para suportar os componentes eletronicos e suas interconexoes. Os componentes sao conectados por "trilhas" que sao finas tiras de cobre de espessura de 35 j.Lm (1,4 mils onde 1 mile 0,001 in) e largura da ordem de 127 j.Lm (5 mils). Essas trilhas formam linhas de transmissao. A velocidade de propaga9ao em uma placa de circuito impresso e influenciada pelo material da placa e e menor que no espa9o livre, sendo da ordem de 1,8 X 108 m/s. Assim, urn comprimento tipico das trilhas em torno de 18 em (cerca de 7 in) pode gerar urn atraso de 1 ns. Os modernos computadores digitais de alta velocidade contam com intervalos de tempo precisos para passar e interpretar dados e instru96es. Esse atraso de propaga9ao de 1 ns esta se tornando intoleravel, tendo em vista que sao da mesma ordem de grandeza dos intervalos de tempo de processamento. Uma placa de circuito impresso de uma impressora a laser e mostrada na Fig. 1.5. As finas trilhas de cobre interligam os m6dulos na placa e constituem linhas de transmissao. Equivalentemente, a onda sofre urn deslocamento de fase, amedida que ela se propaga ao longo dos fios. Se o comprimento fisico dos fios e eletricamente pequeno, por exemplo, :ÂŁ ~ A./10, esse deslocamento de fase pode ser aproximadamente ignorado e o comportamento da linha pode ser aproximadamente descrito pelas leis de Kirchhoff e modelos de circuitos a parametros concentrados. Alem disso, iremos encontrar no Capitulo 6 que outro parametro de uma linha de transmissao, a irnpedancia caracteristica, ira determinar quanto da onda incidente na carga e refletida de volta para a fonte. Isso tambem pode afetar o desempenho dos componentes dos computadores digitais que estao interligados por essas trilhas. Os niveis l6gicos devem estar dentro de certos nfveis de tensao para serem corretamente interpretados como o 0 16gico ou o 116gico. As tolerancias para a l6gica transistor-transistor (TIL) sao 2,4 V a 5 V para o 1l6gico e 0 V a 0,4 V para o 0 l6gico. Sea tensao na carga (a entrada de uma porta 16gica) esta entre esses valores, urn erro pode ocorrer, pois o nivel pode ser incorretamente

Figura 1.5 Uma placa de circuito impressa usada em uma impressora a laser ilustrando as trilhas de interliga<;:iio.

lntrodugao !> 13

Circuito aberto (a)

Curtocircuito

~Circuito

aberto

c::::=:=:=:=:=:====:J -<f-----'"14----+ (b)

Figma 1.6 Ilustragao dos efeitos indesejaveis causados por uma linha de transmissao eletricamente longa. (a) Uma linha curto-circuitada que tern urn quarto de comprimento de onda pa.rece ter urn circuito aberto em sua entrada. (b) Umalinhaem circuito aberto que tern urn quarto de comprimento de onda parece terum curto-circuito em sua entrada. Âˇ

interpretado. Se a entrada para a porta l6gica (representada por RL) nao e igual a impedancia caracteristica da linha, Zc, entao uma parte da onda incidente sera refletida e o nivel da tensao total nao sera igual aquele enviado pela fonte, por exemplo, 5 V. Assim, urn erro l6gico pode ser criado. No Capitulo 6, aprenderemos como detenninar essas tens5es totais na fonte e na carga. Os modelos de circuitos a parametros concentrados de urn a linha de transmissao podem nao ser suficientemente precisos para detenninar is so, e outro modelo, as equag5es das linhas de transmissao, deve ser usado para calcular corretamente a tensao na carga. As crescentes velocidades dos computadores digitais estao requerendo o uso do modelo de linhas de transmissao para verificar a temporizac;ao apropriadamente. A linha de transmissao tam bern possui algumas caracteristicas no dominio da freqiiencia que nao sao previstas para modelos de linhas com elementos discretos. Por exemplo, suponha que umalinha de transmissao seja excitada por uma fonte senoidal de freqiiencia unica. Se a linha e de A/4 em comprimento eletrico naquela freqiiencia e e terminada em urn curto-circuito, a entrada da linha pareceni urn circuito aberto e vice-versa, como mostrado na Fig. 1.6. Mais uma vez, modelos de circuitos a parametros concentrados da linha nao irao prever esse importante resultado.

1.5.2

AllltllllliliS

Considere a antena dipolo mostrada na Fig. 1.7. Antenas serao estudadas no Capitulo 7. A antena consiste em dois segmentos de fios e uma fonte senoidalligada aos tenninais de entrada. Encontraremos que os campos eletrico e magnetico "irradiados" pela antena tambem terao a fonna de ondas: A

E(r,t), H(r,t) = - cos(wt- f3r) r

onder e a distancia radial da antena ao ponto de observagao. Novamente, essas ondas irao sofrer urn atraso r/v representando o fato de quevariag5es na corrente da antena s6 serao sentidas em algum ponto distante depois de urn atraso de T = rlv. Como as extremidades do topo e da base dos fios nao estao conectadas, a teoria de circuitos a parametros concentrados e as leis de IGrchhoff iriam prever que a corrente ao longo dos fios seria nula. Como entao essa antena poderia "irradiar" urn sinal para outra antena? A resposta e que as leis de Kirchhoff con:sideram apenas urn tipo de corrente, a corrente de condugao, nos fios. As equag5es de campo do eletromagnetismo incluem urn segundo tipo de corrente, a corrente

14 iY Capitulo Urn

Figura 1.7 Uma antena dipolo ilustrando seus campos eletromagneticos irradiados.

de deslocamento, a qual possui urn efeito similar a corrente de conduc:;:ao. A co;rente de deslocamento no ar entre os fios "completa o circuito" e permite a corrente fluir pelos fios. E a corrente de deslocamento entre as placas de urn capacitor que explica como ele pode conduzir uma "corrente" atraves de urn circuito aberto entre suas placas. Mas as leis de Kirchhoff nao a incluem diretamente; uma especie de compensas;ao e feita para incluir esse efeito, da mesma forma que incluimos a indutancia mutua na nossa lista de elementos de circuitos a parametros distribuidos para modelar elementos que nao estao conectados diret~mente. Outro aspecto de urna antena nao previsto pelos modelos de circuitos a parametros distribuidos e que a potencia sera entregue pelos terminais da antena. Para onde ela vai? Parte dessa potencia (uma pequena parte) e dissipada na resistencia dos fios da antena, mas outra parte dessa potencia (a maior parte) deixa a antena e irradia-se no espas;o para nunca mais voltar. As leis de campo do Eletromagnetismo preveem com sucesso todas essas caracteristicas de uma antena. Âˇ Fotografias de vanos tipos de antenas sao mostradas na Fig. 1.8. 1.5.3 Compatibilidade Eletromagnetica (interferencia)

A interferencia em sistemas eletronicos esta se toman do uma preocupas;ao crescente dos sistemas eletronicos de alta velocidade e alta densidade de hoje. Uma parte da engenharia eletrica conhecida como compatibilidade eletromagnetica lida com o projeto de sistemas eletronicos de forma que o acoplamento indesejado de sinais de urn sistema a outro nao cause uma resposta incorreta ou indesejada daquele sistema. A Fig. 1.9 mostra alguns exemplos de como tal interferencia pode ocorrer. A Fig. 1.9a ilustra o fenomeno dadiafonia. Dois pares de fios paralelos (linhas de transmissao) sao dispostos pr6ximos urn do outro (talvez em urn a bandeja co mum). Um pulso enviado em urn par de fios ira gerar campos eletrico e magnetico referentes a esses fios. Estes campos irao interagir como segundo par de ficis e induzir urn sinal (semelhante aquele enviado no primeiro par) nesse circuito, de forma que urn "ruido" ira aparecer nas terminas;oes desse segundo circuito. Isto e indesejado e, se o sinal.induzido tern amplitude ou conteudo de freqiiencia suficiente, as terminas;5es nas extremidades do segundo par podem interpreta-lo como urn sinal sendo transmitido pela outra extremidade, e urn erro pode ocorrer. Isto ecsimilar a falar ao telefone e ouvir outra conversa fracamente ao fundo. Ocorreu diafonia. Conex5es metalicas sao usadas para guiar urn sinal de urna fonte para urn a carga e a nenhurn lugar mais. Esse acoplamento indesejado essencialmente fomece urn caminho indesejado entre dois circuitos, como se eles estivessem intencionalmente conectados. Em computadores digitais de alta velocidade, os pulsos digitais contem componentes de alta freqiiencia se estendendo ate a faixa do GHz. Tipicamente, quanto mais alta a freqiiencia, mais facilmente os sinais irao "se acoplar" de urn par de trilhas em uma placa de circuito impressa a outro par gerando diafonia. Erros 16gicos em placas de circuito impressa em computadores digitais que sao devidos a diafonia entre as trilhas das placas de circuito impressa estao se tomando urna preocupas;ao crescente e irao continuar a crescer em importancia, amedida que as velocidades desses computadores aumentam.

lntrodugao I> 15

(a)

Figura 1.8 Antenas tfpicas. (a) Uma antena parab6lica usada para comunicar;1io via satelite (cortesia da ScientificAtlanta, Inc.). (b) Uma antena cometa usada para testar dispositivos eletronicos para susceptibilidade as ondas ele~tromagneticas (cortesiada-ETS-Lindgren) .. (c) Urna antena-log-peri6dica usada~para-teste de compatibilidade eletromagnetica (cortesia da ETS-Lindgren). (c) Uma antena biconica usada para teste de compatibilidade eletromagnetica (cortesia da ETS-Lindgren).

A Fig. 1.9b ilustra outro potencial problema de interferencia. 0 are preenchido com uma ampla faixa de sinais; por exemplo, transmiss5es de radio AM, transmissoes de radio FM, transmiss5es de telefones celulares e transmiss5es de radar. Embora algumas destas transmiss5es nao sejam digitais, se elas inadvertidamente se acoplam em urn dispositive digital, podem gerar sinais que serao induzi.dos naquele dispositive e fazer com que ele seja arruinado. Urn exemplo tipico e urn radar de aeroporto. Urn dispositive digital (computador, maquina de datilografia, impressora a laser etc.) em uma casa proxima a urn aeroporto e alcangado pelas ondas do radar do aeroporto Amedida que os feixes passam rapidamente pela cas a, o sinal do radar pode ser forte o suficiente para induzi.r sinais no dispositive digital e causar urn mau funcionamento. Os fabricantes de dispositivos digitais rotineiramente testam seus produtos no que respeita asusceptibilidade a sinais de radar, atingindo-os com formas de onda tipicas de radares para garantir que o dispositivo ira operar apropriadamente na presenga desses sinais. Reciprocamente, urn computador digital pode causar interferencia em urn radio ou uma TV. Por exemplo, suponha que alguem esteja usando urn computador digital em urn apartamento e que no apartamento adjacente alguem esteja assistindo TV. 0 computador esta constantemente emitindo sinais eletromagneticos (indesejados), e uma parte desses sinais pode ser capturada pela TV adjacente causando degradagao da imagem. lsso tambern esta se tornando urn crescente problema com a proliferagao de dispositivos computacionais de alta velo-

16 ll> Capitulo Urn

(b)

Figura 1.8 (Continua91io)

cidade. A Comissao Federal de Comunicagao nos Estados Unidos instituiu regulamentag6es, em 1979, que requerem que todos os dispositivos digitais vendidos nos Estados Unidos sejam testados para deterrninar suas erniss6es irradiadas de 30 MHz ate a faixa do GHz, a fim de prevenir interferencia em comunicag6es com fio e de radio. A Comissao requer que essas erniss6es estejam abaixo de certos lirnites, ou entao eilegal vender aquele dispositivo nos Estados Unidos. A maioria dos outros paises em to do mundo possui regulamentag6es similares com a finalidade de prevenir que dispositivos digitais causem interferencia eletromagnetica. Assim, eborn projetar dispositivos digitais que tenham uma unica fungao, pois, caso o produto final falhe em atender aos limites impastos pela Comissao, ele nao podera ser vendido! Os fabricantes de dispositivos digitais entendem isso, de forma que a interferencia eletromagnetica se tomou urn criteria de projeto tao importante quanta o custo. A Fig. 1.10 mostra uma dl.mara serni-anec6ica que e usada para testar se urn dispositivo digital esta em conformidade com os limites de emissao irradiada estipulados pela Comissao.

lntrodu~ao I> 17

(c)

(d)

Figura 1.8 (Continuac;;ao)

18 I> Capitulo Urn

(a)

(b)

Figura 1.9 llustrag1io de vanas situagoes de interferencia eletromagnetica. (a) Diafonia entre duas linhas de transmiss1io. (b) Susceptibilidade de uma linha de transmissao a urn campo eletromagnetico incidente.

A Fig.l.llailustra outra situa9ao de acoplamento que e prevista pelas leis do Eletromagnetismo. Urn dispositivo eletronico potencialmente susceptive! e alojado em uma caixa metilica ("blindado"). Urn furo ou abertura e feito naquela caixa para, por exemplo, permitir fluxo dear para resfriamento. Uma onda incidente de urn radar de aeroporto, por exemplo, pode passar pela abertura e ser capturada pelo sensivel circuito eletronico intemo, causando interferencia. E, finalmente, a Fig. l.llb ilustra outro importante problema de interferencia eletromagnetica que esta se tomando urna crescente preocupa9ao na eletronica digital de hoje. Muitos de n6s experimentamos urn pequeno choque causado por andarmos sobre urn tapete de nailon e tocarmos uma ma9aneta metalica. 0 que acontece e que, a medida que andamos sobre o tapete, a carga e depositada em nosso corpo. Quando tocamos a ma9aneta, a carga e "escoada", resultando em urn pequeno arco voltaico entre nossa mao e a ma9aneta. Isso nao e uma ocorrencia rara eo nivel da descarga pode ser da ordem de 10 kV. (Descargas de menos de 3 kV normalmente nao sao sentidas.) Isso e chamado de descarga eletrostatica e pode arruinar ou causar dano permanente a urn dispositivo eletronico digital. Os fabricantes de dispositivos digitais rotineiramente testam seus produtos para susceptibilidade a descarga eletrostatica, utilizando "armas" de descarga eletrostatica no dispositivo para simular o que ira acontecer em urn ambiente de escrit6rio e para garantir que o dispositivo e imune a esse fenomeno. ' Nas atuais conÂŁgura96es densas dos dispositivos eletronicos sensiveis, seria urn prejufzo irreparavel, para a marca do fabricante, produzir urn dispositivo (digital ou outro) que seja susceptive! as fontes de interferencias ja mencionadas. A companhia sofreria uma perda devastadora de consurnidores confiantes na capacidade da companhia de produzir urn produto de qualidade. Assim, a compatibilidade eletromagnetica esta se tomando urn importante criterio de projeto. 0 projeto de dispositivos digitais hoje requer que os projetistas tenham algum conhecimento e boas praticas em projetos de compatibilidade eletromagnetica. 0 problema em nao se ter esse conhecimento e que o projetista nao "ve" explicitamen-

lntrodu~ao

i>Âˇ 19

Fi!llllll~ill UO Ilustra<;ao de urn teste tipico de dispositivo digital para as suas emiss5es inadiadas como requerido por vanas regulamenta<;fies govemamentais. (Cortesia de ETS-Lindgren.)

te esse acoplamento indesejado e, assim, nao projeta o sistema para preveni-lo. 0 estudo das leis e princfpios do Eletromagnetismo deste livro nao ira criar projetistas especialistas em compatibilidade eletromagnetica, mas pelo menos eles irao estar conscientes de quando vao precisar considen1-la. Uma analogia e que nao e uma tragedia nao saber como escrever uma palavra, porem ter consciencia que nao sabe e recorrer ao dicionano.

1.5.4 IP'mjetl!lll!ile Sistemas l!ile iCI!l1l111!111lllllUCa~al!ll Commucac;5es sem fio, tais como telefones celulares, contam com um eficiente meio de bÂˇansmissao entre o transmissor e o receptor. Esse meio de transmissao geralmente toma a forma de uma antena transmissora, um caminho de propagac;ao (usualmente o ar) e uma antena receptora. Desejamos focar a energia transmitida na direc;ao da antena receptora, pois qualquer energia que e dirigida para outras direc;5es e perdida. Esta e uma propriedade da antena que e chamada de ganho. Outra propliedade da antena e fomecer uma transic;ao uniforme entreÂˇ a fonte (a qual gera o sinal a ser transmitido) eo caminho de propagac;ao (que geralmente eo ar). A antena garante um "casamento" entre a fonte (cuja impedancia e tipica-

20 > Capitulo Urn

(a)

(b)

IFH!J)II.IIrlil U1 Ilustragao de situagoes adicionais de interferencia eletromagnetica. (a) Acoplamento de urn campo eletromagnetico incidente atraves de aberturas em uma cai-m blindada. (b) Efeito de uma descarga eletrostatica em dispositivos digitais.

mente 50 D,) eo caminho de propagac;ao pelo ar (cuja impedancia intrinseca e377 fi), de forma que uma pequena parte da potencia da fonte, erefleti.da de volta para a mesma e a maior parte do sinal eenviado para a antena e irradiado. Antenas serao estudadas no Capitulo 7. A Fig. 1.12 mostra uma antena parab6lica usada em urn enlace de comunicac;ao de visada direta.

Figura 1.12 Antenas em urn enlace de comunicagao de visada direta. (Cortesia da Scientific-Atlanta, Inc.)

·u.~ IJilmnre~IDJ

«ilre IE~reaw©llllo©IB! IDlo~oftiEl~ «il® ~~fii@ 'lffre~ililcom'lim«<l~a

Pela discussao anterior, o leitor pode avaliar os problemas do Eleb·omagnetismo que existem no projeto de computadores e outros dispositivos digitais de alta velocidade. Simplesmente escrever urn software para realizar uma .tarefa nao tern nenhuma utilidade, a menos que a maquina (o computador, possa implementa-lo com confian9a na forma eletronica. Atrasos nos caminhos de propaga9ao, reflex5es nas termina96es e inte1ferencia, sao todos aspectos ~riticos do projeto de computadores e outros dispositivos digitais de alta velocidade. Sem dar aten9ao a esses aspectos, a eletronica digital ira ocasionar erros e nao vai executar fielmente as insbt196es de software que sao desejadas.

RESUMO DOS CONCEITOS EFORMULAS IMPORTANTES 1. Colllversao de umidades: multiplicagao por razoes unitanas entre os dais sistemas e o cancelamento dos names das unidades para evitar a multiplicagao (divisao) inadequada onde divisao (multiplicag1io) e desejada. 2.lPoil:ellllcias de dez: 109 giga (G), 106 mega (M), 103 quilo (k), 10-2 centi (c), I0- 3 mili (m), w-s micro (f.L), nano (n), 10- 12 pica (p). 3. Aii:R'aso da olllldla pmpag!llllllil:e: T

w-»

= 9!-fu s, v = 3 X 106 m/s (no ar).

4!. Ollllda selllloidlall pmpag!llllllil:e: i(z,t) =I cos(wt - {3z) =I cos(w(t - zfu)). 5. Comprimellllil:o de ollllda: A.

= v!J m, v = 3 X 10~ m/s (no ar).

6. Desllocamellllil:o a.:lle Jfase da oiiJlda sellllo:iidall: cf> = {39!. radianos. 7.lPuli.sos periomco:> IIllO domfulio do il:empo (smaiis de ll'ell6gio mgiW): sao compostos por componentes senoidais

em mliltiplos da frequencia fundamental. 8. Dimellllsoes eleil:ricas e modellos de cill'·cmil:<!}s a padmeii:R'os collllCellllii:R'ados: se a maior dimensao eletrica (em comprimentos de onda) de um circuito ou estrutura eletrica e maior que cerca de A/10, entao os modelos de circuitos a parilmetros concentrados e as leis de Kirchhoff nao mais se aplicam e fornecem respostas incorretas. 9. Campo elleii:R'omagneil:ico: um campo eletromagnetico e um campo de forga invisivel, gerado por cargas e seu

movin1ento (corrente). Urn dos principais objetivos deste livro e determinar (visualizar e esbogar) esse campo.

PROBLEMAS §Eii;AO 1.1 UNIDIDE§ E CONVIEJR§AO lDlE UN.IIDIDE§ 1.1.1. Expresse os seguintes valores de resistencia, capacitilncia e indutilncia em termos dos multiplicadores na Tabela 1.1:

a.25X 104 ft [250Jd1] b. o,o35 x 104 n c. 0,00045 F [450 f.LF] d. 0,003 X l0- 7F e. 0,005 X 10- 2 H [50 f.LH] 1.1.2. Converta as seguintes dimensoes para as indicadas: a. 30 milhas para Ian [48,3lan] b. 1 ft para mils c. 100 yds (comprimento de um campo de futebol americana) para metros [91,44 m] d. 5 mm para mils e. 20 f.L111 (microns) para mils [0,7874 mils] f. 880 yds (distilncia de corrida) para m

SEii;AO 1.2 A NJECE§SIDIDE lDlE COMlP'REENSAO DOS JI?RJ[NClDPIOS EJLJETR.OMAGNJETICO§ J&.!.Q!'ltfl.I}Illt!!'J_O c_Q!llPrim~l.lt<:JQ<'-LO_IJ.<!a~_sf)gl_!i.g!esjrE!qi!enGif!S nas UIJig[t9,es SI e britilnica: a. Navegagao LORAN C de longo alcance 90Hz [3333,3 Ian; 2071,2 mi] b. Comunicagao submarina 1 kHz c. Indicaclor de diregao automatica de aeronave 350kHz [857,14 m; 0,533 mi] d. Transmissao de radio AM 1,2 MHz e. Radioamador 35 MHz [8,57 ~; 28,12 ft] f. Transmissao de radio FM 110 MHz

22 C> Capitulo Um

g. Sistema instrumentado de aterrissagem 335 MHz [89,55 em; 2,94 ft] h. Satelite 6 GHz i. Monitoragao remota 45 GHz [6,67 mm; 262,5 mils] 1.2.2. Detennine as seguintes dimensoes ffsicas em comprimentos de onda, isto e, suas climensoes eletricas: a. Um comprimento de 50 milhas de uma linha de transmissao de potencia em 60Hz [A/62] b. Uma antena de transrnissao AM de 500ft transmitindo em 500kHz c. Uma antena de transmissao FM de 4,5 ft transrnitindo em 110 MHz [0,5 A.] d. Uma trilha de 2 in em uma placa de circuito impressa (assuma uma velocidade de propagagao de 1,5 X 108 m/s) em2GHz 1.2.3. Uma onda senoidal de corrente e descrita abaixo. Detennine a velocidade de propagaqao eo comprimento de onda. Se a onda percorre uma distancia d, determine o atraso e o deslocamento de fase. a. i(z,t) = ] cos(2'11' X lOst - 2,2 X I0-2z), d = 3lcm [v = 2,856 X l08m/s; A. = 285,6 m; T = 10,5 ms;f = 3781,5Â°] b. i(z,t) = l cos(6'11' X l09t - 75,4z), d = 4 in c. i(z,t) = l cos(30'1l' X l07t - 3,15z), d =20ft [v 2,99 X 108 m/s; A.= 1,995 m; T = 20,4 ns; </> = ll00,2Â°] d. i(z,t) = ]0 cos(6'11' X Wt- 0,126 X I0- 3z), d =50 mi 0

Calculo Veto rial

Neste capitulo, estudaremos os metodos basicos para manipula<;;ao de grandezas matematicas do tipo vetorial. 0 motivo de estudarmos vetores e que as leis do Eletromagnetismo serao formuladas em termos de opera(_(oes vetoriais. Para compreendermos o que as leis estao nos dizendo, devemos assimilar as opera(_(oes vetoriais. A Algebra Vetorial (adi<;;ao, subtra(_(ao, produto escalar e produto vetorial) sera estudada primeiro. Em seguida, introduziremos os tres importantes sistemas de coordenadas (cartesianas retangulares", cilindricas e esfericas) que nos permitirao quantificar nossas solu(_(oes. Finalmente, estudaremos as duas importantes opera<;;oes de Calculo Vetorial de integrais de linha e integrais de superffcie. Essas opera(_(oes matematicas constituem a "linguagem" do Eletromagnetismo, no sentido de que as leis do campo eletromagnetico serao formuladas, em termos matematicos, usando essas opera(_(oes. Algumas outras opera<;;6es do Calculo Vetorial serao introduzidas mais tarde, quando forem necessarias.

Objetivos de Aprendizado do CapituUo Ap6s completar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a

f? entender o significado dos vetores; ~ efetuar as opera96es da Algebra Vetorial: adi9ao, subtra9ao, produto escalar e produto vetorial, nos sistemas de coordenadas cartesianas retangulart3s,eilfndricas e esf~_ricas; iSl> calcular a integral de linha de urn campo vetorial em cada urn dos tres sistemas de coordenadas;

~"' calcular a integral de superffcie de urn campo vetorial em cad a urn dos tres sistemas de coordenadas; ~>Âˇ

esboyar urn campo vetorial em tres dimens6es.

2.1 VETORES As grandezas eletromagneticas, intensidade de campo eletrico, densidade de fluxo eletrico, intensidade

de campo magnetico e densidade de fluxo magnetico, sao grandezas vetoriais. Urn vetor e representado como urn segmento orientado com uma seta em uma das extremidades e contem tres informa(_(oes basicas: a dire(_(ao, o sentido e o modulo, magnitude ou intensidade, desse ente matematico. Areta suporte do segmento denota a dire(_(ao, a seta denota o sentido e o comprimento do segmento denota o modulo do vetor. Como urn exemplo simples do uso de vetores, consideremos a Fig. 2.1. Na tentativa de movermas urn objeto ao Ion go de urn a superficie, aplicamos uma for(_(a representada por umvetor F. Um vetor e denotado em negrito neste livro, e seu modulo eo simbolo em italico, isto e, IFI =F. Sea for9a nao e paralelaa superffcie, apenas uma parte daquelafor(_(a (a proje<(1i.O de F ao Iongo dasuperficie), F cos(fJ), sera util na movimenta(_(ao do bloco.

â&#x20AC;˘Existe tambern o sistema de coordenadas cartesianas obliquas, que nao sera abordado neste livro. (N.T.)

> Capitulo Dais

Figura 2.1 Ilustragao das componentes do vetor forga movendo urn objeto.

> 2.2

AD ICAD ESUBTRACAO DE VETO RES Dois vetores sao somados deslocando-se urn vetor ate a extremidade do outro. 0 vetor resultante formado por esta regra ea sua soma, A + B, como mostrado na Fig. 2.2. Dois vetores sao subtraidos como A - J8 = A + (-lB), invertendo-se o sentido de J8 para gerar o vetor - J8 e adicionando este a A. Notemos que a ordem da soma nao importa: A + lB = lB + A.

2.3 PRODUTO ESCALAR DE VETO RES Veto res nao podem ser, simplesmente, "multiplicados". Existem duas definig5es Uteis do produto de dois vetores, o produto escalar e o produto vetorial. A necessidade dessas duas definig5es de produto se da pelo fato de que as leis de campo do Eletromagnetismo estao matematicamente formuladas em termos desses produtos. Assim, se desejamos compreender as leis do Eletromagnetismo, devemos entender os signific:;tdos desses dois produtos. 0 primeiro produto de vetores e0 pmduto escalar. 0 prciduto escalar de dois vetores e0 produto de seus m6dulos e do cosseno do angulo entre eles:

I A · lB = AB cos(e) I

(2.1)

como mostrado na Fig. 2.3. Isso tambern pode ser express ado como o produto do modulo de A e a projegao de lB sabre A (B cosO) ou o produto do modulo de lB e a projegao de A sabre B (A cosO). Observemos que o produto escalar resulta num escalar (nenhuma informar;ao de di1·er;ao ou sentido) como resultado. Notemos que a ordem dos vetores nao importa: A· lB B ·A. Oproduto escalar tern muitas aplicag5es. Por exemplo~ o produto escalar de urn vetor por ele mesmo resulta no quadrado da magnitude do vetor: (2.2)

urn

0 modulo de vetor pode ser representado de duas formas: IAI ou A. Similarmente, podemos determinar se dois vetores sao perpendiculares quando isso nao eobvio. Se os dois vetores sao perpendiculares, entao o angulo entre eles e e= goo e A · B = 0. 0 produto escalar e distributivo:

A · (B + C)

=A· B + A· C

Figura 2.2 Adigao de dois vetores.

(2.3)

Calculo Vetorial ll> 25

Acose

Figura 2.3 Produto escalar de dois vetores.

2.4 PRODUTO VETORIAL DE VETORES 0 proximo produto de vetores eo produto vetorial. Diferentemente do produto escalar, o produto vetorial tem um vetor como resultado: (2.4)

IAXB=ABsen(O)an I

Assim, o produto vetorial tern urn modulo, que eo resultado do produto dos modulos e o seno do angulo entre eles. A diregao eo sentido desse vetor resultante sao determinados pela regra da mfio direita, como mostrado na Fig. 2.4. Se giramos os dedos de nossa mao direita de A para B, o polegar indica a diregao e o sentido do vetor resultante A X B. Esse resultado eperpendicular ao plano contendo A e B. A notagao an e urn vetor unitario cujo comprimento e a unidade. Notemos q11e A X B = - (B X A) e que a ordem dos fatores eimportante no produto vetorial, diferente do produto escalar. Assim, 0 angulo eem (2.4) emedido do vetor A para o vetor B de acordo com a regra da mao direita. 0 produto veto.rial, assim como o produto escalar, e distributivo: A X (B

+ C) = A X B + A X C

0 produto vetorial de dois vetores que sao paralelos e zero, A X B = 0, pois

(2.5)

e= 0Â°.

_,..v \

,...-B

(a)

J "AxB

!Figura 2.4 Produto vetorial de dais vetores e a regra da mao direita para determinar a diregao e o sentido da resultante.

26 li> Capitulo Dois z z1

--------------1<;-a.z-::{

J :1

//I

U /

/--- -----------/---f=;:::i P(x1, y1, z1) .

I I

YI I

Âˇax

I 1Y1

r-------------~~---/~----~Y I

I//

~------------------' X

(a)

z planoz =z1

plano

x=x1

(b)

Figura 2.5 0 sistema de coordenadas cartesianas retangulares. (a) Os ebws e os vetores unit:irios do sistema de coordenadas. (b) Localiza<;iio de urn ponto como a intersegiio de tres pianos de coordenadas constantes.

[!;.>

2.5 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES Para realizannos calculos com grandezas vetoriais e obtermos resultados numericos, necessitamos de sistemas coordenados. 0 principal sistema de coordenadas e o sistema de coordenadas cartesianas retangulares, mostrado na Fig. 2.5a. Tal sistema de coordenadas consiste em tres eixos mutuamente ortogonais, x,y,z, e urn ponto no espaqo e denotado como P(xi>y 1,z1). A localiza<;;ao do ponto e definida pela intersec<;;ao de tres pianos, como mostrado na Fig. 2.5b; urn plano x constante, x = x1, urn plano y constante, y = Y~> e urn plano z constante, z = z1â&#x20AC;˘ Os vetores unitanos nesse ponto sao denotados como a"' ay e a. e apontam no sentido dos valores crescentes dos seus respectivos. eixos coordenados. Os tres eixos sao denominados x, y e z. Estes sao ordenados segundo a regra da mao direita, de forma que a, X ay =a,. Notemos que, por exemplo, a. X~= -a,. Urn vetor nesse sistema de coordenadas pode ser escrito, usando esses vetores unitanos, como

IA = Axax + Ayay + Azaz I

(2.6)

onde .A., Ay e A, sao as proje<;;6es do vetor nos respectivos eixos coordenados. A adi<;;ao desses vetores e obtida somando-se as componentes, ja que os vetores unitanos para cada uma das componentes vetoriais correspondentes sao paralelas: (2.7)

Calculo Vetorial I> 27

0 produto escalar e simplesmente a soma dos produtos das componentes:

IA' lB

= A,,Bx

+ AyBy + A=B=

(2.8)

Isso pode ser demonstrado obtendo-se diretamente o resultado, usando (2.3), como

A • lR = (.AJax + Ayay + Az~) • (BA: + Byay + Bzaz) = .ArBiax • ~) + AJ3y(~ • ay) + A/3z(!!lx • &z) + · · · Os termos envolvendo o produto escalar de dois vetores unitanos identicos sao a unidade, segundo (2.2), e o produto escalar de dois vetores unitanos diferentes e zero, pois esses Ultimos sao perpendiculares. Notemos, mais uma vez, que o produto escalar produz um escalar e niio um vetor. 0 produto vetorial pode, da mesma forma, ser obtido em termos das componentes, mas o resultado e urn pouco mais complicado. Usando o resultado em (2.5), o produto vetorial dos dois vetores e

A X lB

= (A.rax + Ayay + Azaz) X (Bxax + Byay + BzaJ = AxBiax X ax) + AtBy(ax X ay) + AxBz(ax X az) + · · ·

Os termos envolvendo o produto vetorial de dois vetores unitarios identicos sao zero, pois os vetores unitarios sao paralelos, e o produto vetorial de dois vetores unitarios diferentes fornece urn vetor unitano ao longo do outro eixo coordenado, por exemplo, a, X ay = ~' ~ X ay = -a,. 0 resultado e (2.9) Esse resultado aparentemente complicado pode, todavia, ser obtido rapidamente usando a observa<;ao seguinte. Notemos que cada componente e da forma (2.10)

A recorda<;ao da ordena<;ao ciclica dos eixos x '"'"'? y '"'"'? z '"'"'? x '"'"'? y '"'"'? ... permite essa rapida constru<;ao. Se estamos obtendo o componente x, fazemos a= x. 0 proximo eixo na sequencia e y, seguido por z, de forma que fazemos {3 = y e y = z e subtraimos o produto dos componentes com as denomina<;6es trocadas para fornecer a componente x. Se estamos obtendo a componente y, o proximo eixo na sequencia ez, seguido por x, de forma que fazemos a= y, {3 = z, e y = x. Urn metodo alternative de obten<;ao do produto vetorial eo mnemonico seguinte. Calcule o determinante seguinte, considerando que os vetores rinitanos sao escalares: a,

A x·JB ·= Ax Ay Az ·.•

(2.11)

Bx By Bz

o qual resulta em (2.9). Eimportante observar em (2.11) que os vetores unitarios (na ordem x '"'"'? y '"'"'? z) formam a primeira linba e as componentes de A formam a segunda linba, enquanto as componentes de lB formam a terceira linba. No calculo de lB X A, as componentes de lB formam a segunda linba, enquanto as compo~entes de A formam a terceira linba.

r> EXEMIPLO 2.1 Determine o produto escalar e o produto vetorial dos seguintes vetores. A = 2ax

+ 3ay -

lB = -la," - 5ay

4a=

+ 6a=

SllllUCAO 0 produto escalar e A ·lB = (2)(-1) = -41

0 produto vetorial A X lB e

+ (3)(-5) + (-4)(6)

Capitulo Dois

A X 18

= [(3)(6)- (-4)(-5)]a, + [(-4)(-1)- (2)(6)]1Dy + [(2)(-5)- (3)(-1)]11!z = -2&,; - 8a9 - 7a.

ou, altemativamente, AX B=

-4

-1 -5

[(3)(6) (-4)(-5)]ax- [(2)(6)- (-4)(-I)]ay + [(2)(-5)- (3)(-1)]a. = -2ax - Bay - 7a: 0 produto vetorial B

B X A= [(-5)(-4)- (6)(3)]a. + [(6)(2)- (-4)(-1)]ay + [(-1)(3)- (-5)(2)]az

2ax + Ba9 + 7a. =-(A X B) ou, altemativamente,

ax lB X A= -1

-5

-4

= [(-5)(-4)- (6)(3)]a.- [(-1)(-4)- (6)(2)]ay + [(-1)(3)- (-5)(2)]a: = 2a, + Bay + 7a: =-(A X B) !j.>

EXERCiCIO DE REVISAO 2.1 Deterrnme o produto escalar e o produto vetorial dos seguintes vetores:

A = -2a. + 5ay + 4a: B=6a.-3ay+a: 17~

RESPOSTAS A Âˇ B = -23, A X B =

+ 26~ -

24a,.

As opera~t('ies de Calculo Vetorial envolvendo as grandezas que representam os campos vetoriais que sao expressas neste sistema de coordenadas requerem comprimentos de carninhos, areas e volumes diferenciais, mostrados na Fig. 2.6. Variagoes diferenciais ao Iongo dos eixos coordenados levam a varia-

z dv= dxdy

Figura 2.6 As superficies diferenciais no sistema de coordenadas cartesianas retangulares.

Calculo Vetorial I> 29

96es nestas dire96es de dx, dye dz. Uma varia91io diferencial no comprimento do caminho e representada como urn vetor na dire91io de varia91io e eformada pela soma das varia96es difert;lnciais ao longo dos eixos coordenados como

I dl = d.:r.3.x + dyay + dza..l

(2.12)

0 volume diferencial eo produto das varia96es diferenciais como

I dv = dxdydz I

(2.13)

As superficies diferenciais sao obtidas pelo produto de dois lados diferenciais. Como sera necessaria atribuir uma "dire9ao" a essas superficies diferenciais nas leis do Eletromagnetismo, entao as definimos como

dsx = dydzax dsy = d.-.;:dzay dsz = d.-.;:dyaz

(2.14)

Observemos que a dire9ao do vetor de uma superficie diferencial e perpendicular a ela no sentido dos valores crescentes da coordenada daquele ebco.

:> IElCIEMPW 2.2 Suponha que desejamos calcular a distancia entre os pontos P1(2, -3, 4) e P2(5, 1, -6). Determine a distancia entre esses pontos diretamente e par integrac;;ao. SOILI.ICAO 0 ca.lculo direto e obtido a partir da raiz quadrada da soma dos quadrados das distancias sabre OS eixos coordenados como D = V(5 - 2) 2 + (l - (-3))2 + (( -6) - 4) 2

v'i2s

Alternativamente, podemos integrar urn comprimento diferencial entre esses dais pontos como P,

D= fdl P, l'J!

Nao podemos simplesmente integrar I d:x.

+ I dy + f dz Yz

l'a

pois isso nao garantiria que o caminho euma linha reta

entre os dais pontos, mas, em vez disso, determinaria a soma das distancias ao longo dos eixos x, y e z, o que poderia ser urn caminho em "ziguezague". Para garantir o deslocamento ao longo de uma linha reta entre os dois pontos devemos incorporar a equac;;ao de urn a linha reta entre dais pontos dentro do integrando. Para fazermos isso, escrevemos dl em termos de uma variavel, digamos x, como

d:x_2

+ dif + dz 2

=dx ~ l+ dx

(dy)2 + (dz)2 d:x.

Devemos, primeiro, escrever a relac;;ao entre y ex e entre z ex ao longo do caminho. Elas sao expressas usando as coordenadas dos pontos nas equac;;oes y = mx + b, e z = nx + c, de modo que

[

5 ~~ )]x+[l-m5] 3

30 !> Capitulo Dois

Bemcomo

6 4 )- )]x + [(-6)- n5] 5-2

[(-

n. 10

32 3

--x+.3

A partir desses resultados, obtemos

dy = -d:r. 3

10 3

--dx

Assim,

x=2

como antes.

~" EXERCiCIO DE REVISAO 2.2 Determine a distancia entre os pontos P1( -1, 2, 3) e P2(4, -3, -2) diretamente e por integra<;ao. RESPOSTA D =

ffs.

2.6 SISTEMA DE COORDENADAS CILlNDRICAS 0 sistema de coordenadas cilindricas (circulares) eform ado por tres superficies. Urna eurn plano z constante, z = z1. Asuperffcie seguinte eurn cilindro coaxial como eixoz de raio r = r1, e a terceira superffcie eurn plano perpendicular ao plano xy e girado em tomo do eixo z de urn angulo cf> = c/>1 no sentido de x para y, como mostrado na Fig. 2. 7. Observemos que 0 ::5 cf> ::5 27T. Urn ponto edefinido como a intersec~ao dessas tres superficies, P(r1, c/>1, zr). Os vetores unibirios a,., a,. e a, apontam na dire~ao dos valores crescentes das coordenadas. Notemos que os vetores unit:irios a,. e mudam de dire~ao e sentido ponto a ponto, diferentemente dos tres vetores unit:irios do sistema de coordenadas cartesianas retangulares, que possuem direc;ao fixa. Os tres eixos sao denominados r, cf> e z e sao ordenados segundo a regra da mao direita, de forma que ar X a,. = a,. Notemos que, por exemplo, a,. X a, = a,.. Dois vetores expressos nesse sistema de coordenadas no ponto P podem ser somados naquele ponto, pois os veto res unit:irios das componentes correspondentes sao paralelos naquele ponto. Assim, para

a,.

A = A,.a,. + A,pa,p B = B,.ar + B,pa,p asomae

+ A::az + Bzaz

Ciilculo Vetorial I> 31

. .

.. ; :-:J .... \'· ·.: . ' ; ·~: =:· '.. .:.

! •

. .

•

Figura 2.7 0 sistema de coordenadas cilindricas ilustrando os vetores unitfuios e a localiza91io de urn ponto como a interse91io de tres superficies de coordenadas constantes.

(2.15) Os produtos escalar e vetorial sao muito sinrilares aqueles do sistema de coordenadas cartesianas retangulares: (2.16)

Observemos que a ordena<;;ao cfclica dcis eixos, r -7 cp -7 z -7 r -7 cp -7 ... pode, como no sistema de coordenadas cartesianas retangulares, ser usada para obter rapidamente o produto vetorial usando aregra em (2.10). Alternativamente, o produto vetorial pode ser obtido usando o determinante em (2.11) .. Comprimentos de caminhos, areas e volumes diferenciais sao ob:tidos.de forma.sim:ilar ao sistema de coorderiadasretangulares. Ex:iste, contudo, uma importante diferen<;;a:-No sistema de coordenadas cilindricas, r e z possuem dimens5es de comprimento, mas cp eurn fulgulo cujas unidades nao sao as de comprimento. Assim, urn caminho diferencial na dire<;;ao cp erdcp. Isso pode ser visto na Fig. 2.8 no plano xy. Para urn r fixo e uma variac;ao diferencial de dcp em cp, o comprimento do arco e r sen(dcp) = rdcp usando a aproxima<;;ao de fulgulo pequeno para a fun<;;ao seno. Assim, urn caminho de comprimento diferencial e

Idl = dra,. + rdcp aq, + dzf!.:.!

(2.18)

0 volume diferencial e obtido tomando-se varia<;;5es diferenciais em cada urn dos eixos coordenados, como mostrado na Fig. 2.9, resultando em

do = (d-r)(rdcp)(dz) = rdrdcpdz

(2.19)

/ X

+z_r sen (dcp)

=rd cp

Figura 2.8 Ilustra91io do arco de comprimento diferencial no sistema de coordenadas cilindricas.

32 1!:> Capitulo Dois

z = drdzai/J

rdrp

r-------------------------~y

Figura 2.9 As superficies diferenciais no sistema de coqrdenadas cilindricas.

Novamente, as areas diferenciais sao escritas como grandezas vetoriais, de forma que

ds,. = ('rdcp)(dz)a,. = -rdcpdz a,. dsl/1 = (d-r)(dz)aq, = d-rdz al/1 dsz = (dÂˇr)(-rdcp)a. = -rd-rdcpaz

(2.20)

EXEMPLO 2.3 Determine o volume envolvido por urn cilindro de raio R e comprimento L, bern como a area da superfi:cie desse volume. SOW~AO Para determinar o volume envolvido, integramos

f dv R

21T

f f f~ du

r=Or/>=Oz=O

7TR2L Para determinar a area da superffcie, integramos nos lados, na base e no topo: k

S =

,P =0 r=O

q, =0

r=O

'----v-----'

base

topo

(r = R)dcf>dz

</J=O z=O

!ados

Âˇrdcf>dr +

rdcf>d-r

Calculo Vetorial

Determine o volume envolvido pela superficie definida por r = 2, 0° :::; superficie desse volume. {Sugestao: e~boce o volume e a superficie.)

cp:::; 60°, 2:::; z :54, bern como a area da

2.7 SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS 0 sistema de coordenadas esfe1icas e tambem formado por tres superficies. Uma superficie e urn cone em tomo do ei.xo z de meio angulo e. A superficie seguinte e uma esfera centrada na origem de raio r, e a terceira superficie e urn plano perpendicular ao plano xy e girado em tomo do ei.xo z de urn angulo cf> no sentido de x para y, como mostrado na Fig. 2.10. Observemos que 0 s; cf> s; 271' e 0 s; 0 s; 71'. Urn ponto e definido como a intersegao dessas tres superficies, P(r1, 01, cf>J Os vetores unitfui.os an a9 e aq, apontam em diregao dos valores crescentes das coordenadas. Notemos que todos os tres vetores unihirios mudam de diregao ponto a ponto, diferente dos tres vetores unitados do sistema de coordenadas retangulares, que possuem diregao fi.xa. Os tres eh:os sao denominados r, ee cf> e sao ordenados segundo a regra da mao direita, de forma que a,. X a 9 = -aq, Notemos que, por exemplo, a,. X aq,= -a9• 0 mesmo sfmbolo r &usado em ambos os sistemas de coordenadas, cilfnddco e esfedco, mas eles possuem significados diferentes. Dois vetores e1.'Pressos nesse sistema de coordenadas em urn ponto P podem ser somados naquele ponto, pois os vetores unitfui.os dos componentes correspondentes sao paralelos naquele ponto. Assim, para

A = A,.a,. + A9a9 + Aq,aq, B = B,.a,. + B9 a9 + Bq,aq, asomae

I A + B = (A,.+ B,.)a,. + (A

+ B9)a9 + (Aq, + Bq,)aq,

(2.21)

Os produtos escalar e vetolial sao muito similares aqueles do sistema de coordenadas retangulares:

I A· B =ArB,.+ AaBa +Aq,Bq, \

(2.22) (2.23)

z cone (J= (J1

esfera

IFi!Jiura 2.10 0 sistema de coordenadas esfericas ilustrando os vetores unitarios e a localiza<;ao de urn ponto como a interse<;ao de tres superficies de coordenadas constantes.

34 !> Capitulo Dois

(a)

z rsen Odi/J

Figura 2.11 llustragao de arco de comprimento diferencial no sistema de coordenadas esfericas. (a) Arco de comprimento diferencial para cp constante. (b) Arco de comprimento diferencial para 8 constante.

(b)

Observemos que a ordena9ao dclica dos eixos, r -7 (} -7 cfJ -7 r -7 (} -7 cfJ -7 ... pode, assim como no sistema de coordenadas retangulares, ser usada para rapidamente obter o produto vetorial usando a regra em (2.10). Altemativamente, o produto vetorial pode ser obtido usando o determinante em (2.11). Comprimentos de caminhos, areas e volumes diferenciais sao obtidos de uma forma similar ao sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Como no sistema de coordenadas cilindricas, existem algumas diferen9as. No sistema de coordenadas esfericas, rtem dimensoes de comprimento, mas (} e cfJ sao angulos cujas unidades nao sao as de comprimento. Assim, urn comprimento diferencial na dire9ao de (} e rdO. Isso esbi ilustrado na Fig. 2.lla no plano yz. Uma varia9ao diferencial em cfJ ini depender do valor de 0, como mostrado na Fig. 2.1lb. A proje9ao dessa varia9ao no plano xy (} = 90Â° e rdcfJ, mas, para (} = 0Â°, a varia9ao e zero. Assim, a varia9ao no comprimento do arco devido a uma varia9ao diferencial em cfJ e r sen( O)dc/J. Desse modo, o caminho de comprimento diferencial e

Iell = dra.,. + -rd8 a

+ rsen( 8)del> aq, I

(2.24)

-~ ds,= r 2 sen ededÂ˘a,

;

.,:II

,;;r ds~ =r dr de a~

'"'

~dSe=rsen 8drdi/Jae

rsen Odlf!

Figura 2.12 As superficies diferenciais no sistema de coordenadas esfericas.

Calculo Vetorial !> 35

0 volume diferencial eobtido tomando-se os comprimentos diferenciais em cada urn dos ei'WS coordenados, como mostrado na Fig. 2.12, dando dv

(dr)('rde)(rsen8d¢)

= r 2 sen8drd8dcf>

(2.25)

Novamente, as areas diferenciais sao escritas como grandezas vetoriais, de forma que

= (rde)('rsen8dcf>)ar

dsr

= T2seneded¢ ar

ds 8 = (dr)(rsen8d¢)a 8 = rsen8drd¢ a 8 dsq,

(2.26)

(dr)(rde) aq, Tdrd8aq,

L'· IEXIEMPUll2.4

Determine o volume envolvido por uma esfera de ra.i.o R, bern como a area da superficie dessa esfera. SltiW~Aifl Para determinar o volume envolvido, integramos

v R

'IT

2'1T

J J J r sen () dr d8dcf> 2

r=O 8=0 ¢=0

= -'1TR3

·· Para·determinar a area da superficie, integramos

'IT

2'1T

J J (r = R) 2sen8d8dcf> 8=0 r/>=0

= 4'1TR2

B> EXERCiCIO DIE IREVISAO 2.4 Determine o volume envolvido pela superficie definida por r = 3, 0° ::::; ()::::; 90°, e 0° :5 cf> :5 60°, bern como a area da superficie desse volume. (Sugestao: esboce o volume e a superficie.) RESPOSTAS 3'1T, 971'.

2.8 INTEGRAL DE LINHA Esta e a proxima segao deste capitulo cobrem as duas importantes operac;;5es de Calculo Vetorial: as integrais de linha e de superficie. A necessidade delas reside no fato de que as leis do Eletromagnetismo

36 I> Capitulo Dois

Figura 2.13 llustragao da integral de linha; determinagao da componente do vetor ao longo do caminho.

sao expressas matematicamente em termos dessas integrais. Assim, se desejamos entender o que as leis esHio nos dizendo, devemos compreender essas operagoes matematicas. Urn caso comurn onde a integral de linha aparece ena determinagao do trabalho necessaria para mover urn objeto ao longo de urn caminho, como ilustrado na Fig. 2.13. Ao movermos urn objeto de urn ponto a para urn ponto b ao longo de urn cammho designado, apenas a parte da forga que etangente ao caminho e usada para mover o objeto. Essa componente tangencial da forga e F cosO e, assim, o trabalho incremental realizado ao movermos urn objeto de uma distancia dl eF cosO dl = F · dl Assim, o trabalho requerido para mover o objeto de a para b e b

IJF·dl (2.27)

I Fcosedl a

Este eurn exemplo da integral de linha. A integral de linha soma as contribuig5es que sao tangentes ao caminho. A determinagao da integral de linha nos diversos sistemas de coordenadas ebastante simples. Primeiro, obtenha F · dl nesses sistemas de coordenadas como F · dl == Fxdx + Fgdy + Fzdz (coordenadas cartesianas retangulares) F · dl == F,.dr + Fq,rd~ + F;:;dz (coordenadas cilindricas) F · dl = F,.d·r + F8rde + Fq,rsene d~ (coordenadas esfericas)

(2.28a) (2.28b) (2.28c)

Em seguida, simplesmente integre estas contribuigoes desde a ate b como

IF· dl = I F.x:fL"<: + I Fydy + a

I Zb

Fzdz

~"a

rPb

;:;b

cPa

(coordenadas cilindricas)

rPb

rtl

(2.29b)

-a

f F,.dr + IF ·rde + IFq,rsene d~ rb

(2.29a)

f F · dl = IF,.dr + IFq,·rd~ + IFzdz a

(coordenadas cartesianas retangulares)

(coordenadas esfericas)

(2.29c)

tPa

Em outras palavras, a integral de linha soma os produtos das componentes de F que sao tangentes ao caminho pelos comprimentos diferenciais do caminho.

Calculo Vetorial !> 37

b(-2, 4, 5)

/. I I I I I I I I I

z=5

I I I I I I

(1, 2, 3)

Z=3

X=-2

;---------------------J I ,/ I I I I I I

/ // / //

y=2

/ /

r-------~--/~~--------~-----+Y

X=1

y=4

I / __________ J/

Figura 2.14 Exemplo 2.5.

Este e urn processo simples e direto. A unica complicac;ao e quando a componente do vetor contem uma das variaveis coordenadas que nao e ::tquela em relagao a qual estamos integrando. Por exemplo, Yb

suponha que estamos integrando a componente

f Fydy de (2.29a). Suponha que FY contenha x ou z. Sim-

plesmente escrevemos x ou z em termos dey, a variavel de integrac;ao, usando a equa9iio do caminho. 0 exemplo seguinte ilustra esse simples recurso.

I!> IEXIEMPlO 2.5 Determine a integral de linha de F = xa, + zay + a, ao Iongo do caminho em Iinha reta, do ponto a em x = 1, y = 2, z = 3 ao ponto b em x -2, y = 4, z 5, mostrado na Fig, 2.14. SOtuCAill Obtemos (2.29): b

-2

J FÂˇdl= J xch+ J zdy+ J dz x=l

y=2

z=3

Observemos que a segunda integral contem z, que nli.o e a variavel de integrar;:li.o nessa integral. Assim, devemos escrever z em termos da variavel de integrar;:ao y usando a equar;:li.o do caminho. Escrevemos essa equar;:li.o na forma de uma Iinha reta, ja que o caminho e uma Iinha reta:

z=my+k A partir das coordenadas dos pontes, determinamos m

5-3

---.= 1

4-2

k = 5- m(4) = 1 Assim, a equar;:ao desejada ez = y + 1. Substituindo-a na segunda integral, temos

38 11> Capitulo Dois

-2

IF路 ell = Jxdx + I (y + l)dy + I dz x=l

:=3

y=2

.,-2. (y2 )14 + zl3

~ 1 + 2 +y

23 2

Calcule a integral de linha de F = 3ar + 2raq, + a, ao longo de urn caminho circular de raio 2, do ponto a em x = 2, 0, z = 0 ao ponto b em z = 0, y = 2, z = 0, mostrado na Fig. 2.15.

SOILUI~AO 0 caminho se amolda ao sistema de coordenadas cilindricas para r = 2. 0 vetor esta tambern expresso em coordenadas cilfndricas. Assim, escolhemos o sistema de coordenadas cilindricas e obtemos

F 路 dl = 3(dr) + 2r(rdcp) + 1(dz) = 3dr + 2r2dcp + dz Observemos que, ao Iongo desse caminho, r

2. Assim, 7Tf2

J 3dr + J 2(r

IJF路dl

r=2

.____,.__, 0 = 4?T

2) dcp +

Iaz

:=0

r/>=0

Para demonstrar que o caminho e importante, altemativamente realizamos esse ca!culo ao Iongo do caminho P2, como mostrado na Fig. 2.15. Ao Iongo desses dois segmentos, obtemos

F 路 dl

J3dr +

2 2r dcf> +

r=2

0 2

J dz

J3dr + r=O

7T/2

2r2dcf> +

cf>= 7Tf2

Jdz :=0

Figura 2.15 Exemplo 2.6.

Calculo Vetorial

z (0, 0, 3)

IFigu~a 2.16 Exemplo 2.7.

Observe-se que, ao Iongo de cada trecho do caminho P2, apenas uma das componentes de Fe tangente a ele, como indicado na Fig. 2.15. Assim, as contribuic;oes de cada uma das outras componentes sao nulas, e nao precisamos calcular as integrais para determinar isso. Eimportante visualizar o problema e, como neste exemplo, determinar as componentes de F que sao tangentes ao caminho para reduzirmos os calculos. 路. <!l

Calcule a integral de linha de F = 2a, + 3ra8 + raq, ao longo de urn caminho do ponto a em x = 0, y ponto b em x = 3, y = 0, z 0 mostrado na Fig. 2.16.

0, z

= 3 ao

SO!..UCAO 0 caminho se amolda ao sistema de coordenadas esfericas para r = 3. 0 vetor tambem esbi expresso em coordenadas esfericas. Assim, escolhemos o sistema de coordenadas esfericas e obtemos

F 路 dl =

2(dr) + 3r(rd8) + r(r sen( 8)d4>) 2dr + 3r2d8 + r 2 sen( 8)d4>

Observemos que, ao Iongo desse caminho, r

JF 路 dl = P

j 2dr + r=3 '-v--'

3. Assim,

3(r = 3)2d8

8=0

0 1Tf2

3fsen(8)d4>

rjJ=1Tf3

2dr +

3(r = 3) 2d8

r=3

8= 1Tf2

'---v---"

3) sen(e

~)d4>

"-----v--"

2l7r

Nos exemplos anteriores, apenas uma das componentes de Fe tangente a cada trecho do caminho como indicado na Fig. 2.16. Assim, as contribuic;oes das outras duas componentes sao nulas e nao precisamos calcular as integrais para determinar isso. Eimportante visualizar o problema e, como neste exemplo, determinar as componentes de F que sao tangentes ao caminho para reduzirmos os calculos. 路 -<i~

Calcule a integral de linha de F = 2ya, + 3x~ + a, ao longo do caminho reto do ponto a em x = 0, y = 0, z ponto b em x = l, y = 2, z 3.

= 0 ao

40 i> Capitulo Dais

Âˇ IEXIEIP!tircm IDliE IRIE\f!SAO 2.6 Calcule a integral de linha de F = 2ar + 3zra<f> + a.: ao Iongo do caminho circular de r = 2, <P = oo, z = 3 a r = 2, cf> 90Â°, z = 3. (Sugestao: Esboce o caminho e observe que componentes de F sao tangentes a ele.)

IEXERCitm illlE RlE\fiSAO 2.7 Calcule a integral de linha de F = 2a,. + 3ra8 + 2sen Ba<l> ao longo dos caminhos circulares de raio constante do ponto a em x = 0, y = 0, z 2 ax = 2, y = 0, z = 0 ao ponto b em x = 0, y = 2, z = 0. (Sugestao: Esboce o caminho e observe que componentes de F sao tangentes a ele.)

Os exemplos acima e os Exercfcios de Revisao mostram uma importante ideia de como sao calculadas as integrais de linha. Quando o caminho e ao longo de apenas urn dos eixos coordenados do sistema de coordenadas, apenas a componente de JF que e tangente aquele caminho (na dire~ao desse eixo coordenado) contribui para a integral, e as outras componentes de (2.29) nao contribuem e nao precisam ser calculadas. Se esbo~armos uma figura para o problema, isto se tornara evidente. Esse nao e sempre o caso, conforme no Exemplo 2.5; mas quando ele ocorre, devemos tirar vantagem dele.

2.9 INTEGRAL DE SUPERFfCIE A segunda opera~ao de Calculo Vetorial que aparece na proposi~ao das leis do Eletromagnetismo e a integml de superficie:

(2.30)

f F cose.ds

onde a, e urn vetor unitano normal asuperflcie diferencial. Diz-se que a mesma fornece ojluxo liquido do vetor JF atraves de uma superflcie aberta s, como mostrado na Fig. 2.17. 0 uso do termo jluxo para descrever

Superficie s

Figura 2.17 Dustrl:!<;:1io da integral de superficie; determinagao da componente do vetor perpendicular asuperficie.

Calculo Vetorial !> 41.

esse resultado advem da analogia com urn fluxo luminoso atraves de uma abertura. Observe-se que a componente de lF que e tangente a supemcie nao contribui para o fluxo, deixando a supemcie; apenas a componente de lF que e perpendicular a supemcie contribui. Observemos a importante distinc;ao entre a integral de linba em (2.27) e a integral de supemcie em (2.30). A integral de linba em (2.27) requer que obtenhamos as componentes do vetor que sejam paralelas ao carninho, enquanto a integral de supemcie em (2.30) requer que obtenhamos as componentes que sejam perpendiculares asuperficie. Existem dois lados nestasuperficie aberta, de forma que devemos ser claros quanto ao sentido desejado. Se a supemcie for fechada, consideraremos como sendo positivo o fluxo para fora da supemcie e o indicaremos com urn cfrculo na integral: (2.31) 0 ca.Iculo das integrais de supemcie e muito simples se a supmficie envoZ.vida se amolda a uma das superficies do sistema de coordenadas que estri sendo usado. Se nao, o ca.J.culo pode ser bastante complexo. Felizmente, nossos usos da integral de superficie serao para aquelas superficies que se amoldam as superficies dos sistemas de coordenadas, por exemplo, uma esfera ou uma porc;ao de .uma esfera no sistema de coordenadas esfericas. A chave para determinar tais integrais e esbogaruma figura do problema e determinar as componentes de lF que silo perpendiculares aos lados dessa supe1jicie. Entao, as integrais acima sao calculadas us ando apenas aquelas componentes de lF. Os integrandos da integral de superflcie para OS diversos sistemas de coordenadas sao

lF Âˇ -ds

= F_,dydz + Fydxdz + F dxdy lF Âˇ ds

lF Âˇ cls

(sistema de coordenadas cartesianas retangulares)

(2.32a)

= F,:rdcp dz + Fq,drdz + F2rclcp dr (sistema de coordenadas cilfndricas)

(2.32b)

F;r 2 sene dcp cl e + F0r sene clr clcp

+ Fcf;rdr cle (sistema de coordenadas esfericas)

(2.32c)

Estas sao simples de serem obtidas usando (e visualizando) as superficies diferenciais dadas em (2.14), (2.20) e (2.26). 0 caminho mais simples para calcular integrais de supemcie e calcular a integral sabre cada lado individual da superficie, conforme mostrado nos exemplos seguintes. tJ;-

fEXIEMPILIDJ 2.8 Determine o fluxo do vetor lF = 4.ca, + 5y~ + 611:: para fora da superffcie retangular limitada por x = 1, y = 2 e z = 3 mostrada na Fig. 2.18.

,J I I I I I

tFz

)--------

./Fx

Figura 2.18 Exemplo 2.8.

42 tlJ> Capitulo Dois S[i)WCJM!l A superficie tern seis lados, e desenhamos a componente de F que eperpendicular a cada lado na figura 0 fluxo para fora da superffcie sabre 0 lado da frente e 2

I I ~~

iflrrente=

y=O z=O

Fx dsX

Nesta superficie, x = 1, de forma que substituimos este valor na integral, resultando 2

4(x

iflfrente

1)dydz

y=O z=O

No lado de tn1s, x = 0 e F, esta apontando para dentro do volume, de forma que 2

I I ~~=0

if!atras=-

y=O :=0

dsr

Notemos que o sinal de menos simboliza que esse fluxo epara dentro do volume, pais F, esta apontando para dentro do volume. No lado direito, similarmente obtemos 1

I I~~

if!direitn=

.r=O z=O

dsy

e, no lado esquerdo, 1

iflesquerda=

-I

I~~= 0

x=O :=0

dsy

No topo, temos l

if!topo =

I I~as.

x=O y=O Fz

e, na base, temos 1

if!base = -

I I~~ x=O y=O F:

-12

ds:

resultando if/= 24

+ 0 + 30 + 0 + 12-12 =54

!!> EXEMPLO 2.9 Determine o fluxo do vetor F = 6a, + 5a"' + 4z~ fora da superficie fechada limitada por r = 3, 0 :5 z :5 2, e 0Â° :5 cf>::;; goo. SOLUCAO A superficie esta esboc;ada na Fig. 2.19 e tern cinco superficies. A superffcie se amolda ao sistema de coordenadas cilindricas, e o campo vetorial etambern dado no sistema de coordenadas cilindricas. As componentes de F que sao perpendiculares a cada superffcie estao esboc;adas na figura. Na superffcie curva da frente, r = 3, e Fr ea unica componente perpendicular a essa superffcie. Assim,

Calculo Vetorial i> 43

F., ,_ ___

;:.

!Figura 2.19 Exemplo 2.g.

1Tf2

I I!_~=

lf!rrente=

187T

dsr

z=O c/> =0 Fr

No topo, z = 2, e F: ea unica componente perpendicular a essa superficie. Assim, 3

1Tf2

I I ~~

lf!topo=

r=O c/>=0

187T

ds=

Na base, z = 0, e F: ea unica componente perpendicular a essa superficie, mas esta apontando para dentro da superficie. Entao, 3

lf!base=-

1T!z

I J ~~=

dsz

r=O cf>=O

No lado direito posterior, cf> = goo, e F., ea Unica componente perpendicular a essa superficie. Assim, 3~

lf!posterior=

I IJitl!:4::

r=O==O Fe/> dsr/>

No lado esquerdo, cf> = 0Â°, e Fq, e a Unica componente perpendicular a essa superficie, mas esta apontando para dentro da superffcie. Entao, 3

lf!esquerda=-I

IJi~

r=O z=OFcf>

-30

dsr/>

Assim, 0 fluxo total para fora da superficie e

If! =

187T

+ 187T + 0 + 30 -

30 = 367T

Determine o fluxo de JF = 2ar + 4a 0 + 3-raq, para fora da superficie fechada limitada por r = 2, 0Â° :::; 6 :::; goo, e oo:::; cf>:::; goo. SOlU~AO A superffcie esta esbogada na Fig. 2.20 e tern quatro lados. A superffcie se amolda ao sistema de coordenadas esfericas, e o campo vetorial etambem dado no sistema de coordenadas esfericas. As componentes do vetor

44 il>- Capitulo Dais

__ ~ ,_ Figura 2.20 Exemplo 2.10.

que sao perpendiculares a cada superficie estao esbor,:adas na figura. Na superficie curva da frente, r = 2, e apenas F, eperpendicular a essa superficie. Assim,

71"/2 .1. = 'I' frente

11"/z

0=0 r/>=0

2(r = 2) 2 sen(e)d¢de Fr ds r

_.. ' - - - - - v - - - '

41T

No !ado posterior direito, ¢ = ?T/2, e apenas F., e perpendicular a essa superficie. Portanto, 11"f2

.1. . 'l'postenor

=I I 3rrdrde

..._ .___.,_...., =

47T

dsrp

0=0 r=O Fq,

No lado e~querdo, ¢ = 0, e apenas F"' eperpendicular a essa superficie, mas esta apontando para dentro da superfide. Assim, 71"/2

1/Jesquerda=-I

I ~~

O=Or=O

Na base,

-4?T

Fq, dsq,

e= 1r/2 e apenas F eperpendicular a essa superficie. Assim, 8

71"/2

1/Jbase =

r/>=0 r=O

!_;sen(e

= goo)drd¢ = 47T

dse

Portanto, o fluxo total para fora da superficie e

"' = 41T + 41T -

41T

+ 41T = 87T

~~- EXERCJCIO DE REVISAO 2.8 Determine o fluxo de F = -2a, + yay - a, para fora da superficie fechada limitada por -1 :::;; x:::;; 1, -2 :::;; y:::;; 2, e 0 ::;;z:::;; 3.

RESPOSTA 24. i> EXERCiCIO DE REVISAO 2.9

Determine o fluxo de F = 2ra, + a., Osz::;;~

- 3a, para fora da superficie fechada limitada por r = 3, -goo :::;; ¢ :::;; goo e ·

Calculo Vetorial i> 45

Detennine o fluxo de lF = 3rar + 2a</> <P s; goo.

3a</> para fora da superffcie fechada limitada por r = 2, 0° s; 8 s; goo e 0° s;

~~;;.- 2.10 CAMPOS ELETROMAGNFfiCOS As leis govemando as grandezas eletromagneticas estao formuladas em termos das opera96es vetoriais acima. Nosso primeiro objetivo e entender o que essas leis estao nos dizendo em termos qualitativos. 0 segundo objetivo e determinar respostas numericas para problemas especfficos, novamente usando as opera96es vetoriais acima. Para alcan9ar nosso primeiro objetivo, devemos ser capazes de visttalizar os campos eletromagneticos. Isso tambem ajuda muito no calculo das rela96es matematicas para urn problema especffico. Como urn exemplo dessas leis do Eletromagnetismo, a primeira lei que estudaremos no proximo capitulo rege o vetor intensidade de campo eletrico para casos estaticos (nao variantes no tempo) e e

Em palavras simples, essa lei diz que a integral de linha do vetor intensidade de campo eletrico, JE, em · tomo de urn caminho fechado c ira fomecer urn resultado nulo para todo campo eletrico estatico. Em outras palavras, se somarmos os produtos das componentes de 1E que sao tangentes ao caminho pelos comprimentos diferenciais do caminho, obteremos sempre urn resultado igual a zero para qualquer 1E estatico e qualquer caminho fechado. Outro exemplo de urn a lei do Eletromagnetismo que estudaremos no proximo capitulo govema o vetor densidade de fluxo eletrico para casos estaticos (nao variantes no tempo) e e

D • ds =

Qenvolvida

Em palavras simples, essa lei diz que a integral de superffcie do vetor densidade de fluxo eletrico; D, sobre uma superffcie fechada s ira fomecer a carga liquida envolvida pela superffcie. Em outras palavras, se somarmos os produtos dos componentes de D que sao perpendiculares asuperftcie fechada e as areas superficiais diferenciais, obteremos sempre urn resultado que e a carga positiva envolvida pela superffcie para qualquer D e qualquer superficie fechada. Esse eo tipo de conhecimento qualitativo das leis do Eletromagnetismo que desejamos obter. Nosso entendimento do significado das integrais de linha e de superficie nos fomece aquela valiosa percep9ao. Podemos posteriormente transmitir essa percep9ao, bern como ajudar a resolver problemas especfficos, visualizando os campos eletromagneticos no espa9o tridimensional. Temos usado o termo campo para descrever as grandezas eletromagneticas. Essencialmente, existem dois tipos de campos. 0 primeiro e o campo escalar, eo outro eo campo vetorial. Urn campo escalar descreve, atraves de uma equa9ao matematica, os valores de uma grandeza escalar por toda uma regiao do espa9o. Urn exemplo de urn campo escalar e o desenho dos contomos de eleva9ao constante em urn mapa topognffico, como ilustrado na Fig. 2.2la. Uma fun9ao matematica EL(x,y) poderia dar a eleva9ao em uma localiza9ao particular (x,y) sobre a superficie da Terra. Urn campo escalar tern apenas magnitude e nao possui uma dire9ao. Por outro lado, urn campo vetorial possui as informa96es de intensidade, dire9ao e sentido. Um exemplo pode ser a ilustra9iio da taxa de fluxo em vanos pontos em urn duto, como ilustrado na Fig. 2.2lb. 0 campo vetorial v(x,y) daria a intensidade, a dire9ao e o sentido da velocidade do fluido. Os campos eletromagneticos em que estaremos interessados sao tanto campos escalares como campos vetoriais. Visualizar urn campo escalar ou vetorial particular e urn aspecto muito importante do conhecimento do que as equa96es matematicas resultantes significam em termos ffsicos. Assim, devemos

46 li> Capitulo Dais

100m (a)

4 m/s 3 m/s

2m/s --l>

1 m/s (b)

Figura 2.21 Ilustra<;:ao dos dais tipos de campos. (a) Urn campo escalar (apenas intensidade), como em urn mapa topognmco. (b) Urn campo vetorial (intensidade, dire<;:ao e sentido), como no fluxo de urn fluido em urn duto.

desenvolver a capacidade (e boa vontade) de visualizar os campos eletromagneticos com os quais estamos lidando para desenvolver urn conhecimento flsico deles e nao apenas uma capacidade de manipulagao matematica. Para representar urn campo escalar, usualmente desenhamos contornos onde o campo tern urn valor constante, como no caso de urn mapa topognifico. No caso de campos vetoriais, existem duas formas de representar o campo. A primeira forma e mostrar, com urn suficiente numero de pontos no espago, a intensidade, a diregao e o sentido do vetor campo naquele ponto, como ilustrado na Fig. 2.22a. Os comprimentos relativos dos vetores dao suas intensidades relativas. Esse metodo foi usado para esbogar o campo na Fig. 2.2lb. 0 outro metodo e com linhas de forga, onde as linhas de forga indicam as diregoes e os sentidos do vetor, e sua densidade transversal indica as intensidades relativas dos campos, como ilustrado na Fig. 2.22b. Usaremos esses dois metodos para diferentes ocasiOes.

i:l> EXEMPLO 2.11 Esboce o campo vetorial F = zay. SOLUCAO Primeiro examinemos a equa<;:ao do campo vetorial e determinemos sua dire<;:ao e seu sentido. 0 campo vetorial esta apontando na dire<;:ao y. Em seguida, examinemos a equa<;:ao para cada componente para determinar como a intensidade da componente varia. Nesse caso, a intensidade varia diretamente com z. Em z = 3, sua intensidade e 3 e, em z = -3, sua intensidade e 3, mas o valor negativo reverte o sentido. Uma proje<;:iio do campo no plano xy emostrada na Fig. 2.23a. A intensidade do vetor aumenta para valores crescentes de z (z positivo e negativo). A componente e independente de x e y. Assim, uma visao no plano xy ira mostrar que nao ha nenhuma varia<;:ao na intensidade do vetor, mas o sentido ira depender do valor de z, como ilustrado na Fig. 2.23b e c. Âˇ~l

Calculo Vetorial i:l> 47

/7 (!)

i>-

G>------l>-

~ ~

(b)

(a}

Figura 2.22 Ilustra91io de dois rnetodos para esbo9ar urn campo vetorial. (a) Urn grafico onde o cornprimento dos veto res e proporcional aintensidade. (b) urn grafico de linhas de for<.<a onde a densidade das linhas e proporcional aintensidade do campo vetorial.

z z=3

r---------------------~y

z=-3

(a)

-------ii>-

.---------------------~Y

z=3

(b)

~----------------------~Y

z= -3

.,'(-----X

(c)

Figura 2.23 Exernplo 2.11.

48 BJ> Capitulo Dais

··,'\:.

F= ra~

(a)

..,

·~\

..................'i\ \ ·~ '\ \ \

------+i~-+r_·--+:--r~~1--~\~\~\----~y \

\_)

.-//,/I

'··... __

··..

·., .........._--!--__

(b)

Figura 2.24 Exemplo 2.12.

EXEMPLO 2.12 Esboce o campo vetorial F = raq,, o qual esta expresso no sistema de coordenadas cilindricas.

SOWCAO Primeiro examinemos o campo para determinar a direglio eo sentido. Neste caso, os vetores estlio apontando na direglio cf> por toda parie. Em seguida, examinemos o campo para determinar a variaglio com os val ores dos eixos coordenados. Neste caso, a variaglio e com r, de forma que a intensidade do campo e constante para contornos localizados em raios fixos em relaglio ao eixo z (a localizaglio a partir da qual o vetor raio e dirigido no sistema de coordenadas cilindricas). Assim, mostramos a projeglio do campo no plano xy, ja que o vetor e independente de z. Isso esta mostrado de duas formas na Fig. 2.24. ·1'!1

r;~,

EXEMPLO 2.13 Esboce o campo vetorial F

= (llr)a 0, o qual esta expresso no sistema de coordenadas esfericas.

SOlUCAO Primeiro examinemos o campopara determinar a direglio eo sentido. Neste caso, os vetores estlio apontando na direglio 8 por toda parie. Em seguida, observemos que as intensidades do campo decaem inversamente com a distancia a partir da origem do sistema de coordenadas. Ainda, notemos que a intensidade do campo e in dependente de cf> e 8. Isto significa que podemos projetar o campo no plano yz ou xz e ele e simetrico em relaglio ao eixo z. Os dais metodos de proje<;:lio do campo estlio mostrados na Fig. 2.25. -4:!

~ EXERCiCJO DE REVISAO 2.11 Esboce o campo F = (sen 8)a 0, o qual esta expresso no sistema de coordenadas esfericas.

Calculo Veto rial f> 419

---------------+----------------~y

(a)

z ,:r.·

_,.··"'

------

...

......

;

··-.._ . 1',

___ ... ...

)f.

(b)

Figumn 2.25 Exemplo 2.13.

~IE:SI?I!JIS1A Os vetores estao apontando na direc;;ao (J e sao assimetricos em relagao ao eixo z. As magnitudes sao iguais a zero ao Iongo do eixo z positivo (J = 0° e ao Iongo do eixo z negativo (J = 180°. As magnitudes sao iguais a unidade no plano xy, (J = 90°.

RESUMO DOS CONCEITOS EFORMULAS IMPORTANTES I. Vetor: denota a intensidade (comprimento), a diregao (reta suporte), eo sentido (seta) do efeito de alguma grandeza fisica.

2. Adi9iio e subtra..ao d.e vetores: dois vetores definidos em urn mesmo ponto no espago podem ser somados deslocando-se a origem de urn para a extremidade do outro e obtendo-se o vetor resultante. 3. lProduto escallar: o produto escalar de dois vetores fomece urn escalar (nenhuma direc;;ao de atuagao) que eo produto do comprimento de urn vetor pelo comprimento da projegao do outro vetor sabre o primeiro: A • lB = AB cos( 8). Vetores perpendiculares tern produto escalar igual a zero, ja que (J = 90°.

lProduto vetorial: o produto vetorial de dois vetores fomece urn vetor como resultado, o qual e A X lB = AB sen( 8)a". 0 vetor resultante e perpendicular ao plano contendo A e lB de acordo com a regra da mao direita, como representado pelo vetor unitano an. Vetores paralelos tern produto vetorial nulo, ja que 8 = 0°.

5. Sistemas de coo:rdenadas: e importante escolher o sistema de coordenadas que seja adequado as simetrias do problema. As operagoes vetoriais e os elementos diferenciais nos tres sistemas de coordenadas sao (para obter rapidamente os elementos diferenciais e importante visualizar as variagoes nos eixos coordenados naquele sistema de coordenadas)

Re1angular {x,y,z)

Adigao Produto escalar Produto vetorial

A + lB

(A., + Bx)a, + (Ay + By)ay + (Ao + B0 )a0 A · B = A.,B., + AyBy + A=B= lB = (tlyBz A:By)a.r + (A:Bx - A.,BJau + (AxBy - AyB.r)a: =

50 B> Capitulo Dais

Adit;:ao Produto escalar Produto vetorial A Complimento do caminho Volume Areas

dxax + dyay + dzaz dv dxdydz dydza" dsy = dxdzay, ds: = d:r.dya., dl

Comprimento do caminho Volume Areas·

dsx

A+B

(A, + B,}a, + (Aq, + Bq,)aq, + (A: + B:)3.z A · B = A,B, + Aq,Bq, + A:Bz lB = (Aq,Bz - A:Bq,)a, + (A,:Br - A,B:)aq, + (A,Bq, Aq,B,)a., dl = dra, + rdf/J aq, + dza= clv = rclr df/J dz cls, = rdf/J dz a,., dsq, = drdzaq, ds= = rdr df/J a,

Adigiio A + lB = (A, + B,.)a, + (Ao + Bo)a 0 + (A,p + Bq,)aq, Produto escalar A· lB = A,B, + A0B11 + Aq,Bq, Produto vetorial A X lB = (AoBq, - Aq,Bo)a,. + (Aq,B, A,.Bq,)ao + (A,.Bo - A11B,.)aq, Comprimento do caminho dl = dra,. + rdea 11 + rsen(e)df/Jaq, Volume du = ?-sene drde df/J Areas ds,. = ?sene de df/J a,., ds 8 = rsene drdf/J ao, dsq, = rdr de aq, b

JF ·

6. Integral de linha dl: soma os produtos dos comprimentos diferenciais dos caminhos com as componentes do campo vetorial F, que sao tangentes ao caminho. Nos sistemas de coordenadas, temos F · dl = F"dx F · dl F,.dr F · dl = F,.dr

+ Fydy + F:dz (coordenadas cartesianas retangulares) + Fq,rdf/J + F=dz (coordenadas cilindricas) + F11 rde + Fq,rsene df/J (coordenadas esfericas)

7. Integral de superficie [F ·ds: soma os produtos das areas diferenciais com as componentes do campo veto rial F, que sao perpendiculares asuperficies. Nos sistemas de coordenadas, temos F · ds F · ds F · ds

F,dydz + Fydxdz + F:dxdy (sistema de coordenadas cartesianas retangulares) F,.rdf/Jdz + Fq,drdz + F.rdf/Jdr (sistema de coordenadas cilindricas) F,.rsenedf/Jde + F11rsenedrdf/J + Fq,rdrde (sistema de coordenadas esfericas)

i> PROBLEMAS SEvAO 2.1 VETORES 2.1.1 Uma massa esuspensa por urn barbante cujo comprimento e50 em e egirado em tomo da vertical a uma velocidade angular de 60 rpm (rotagoes por minuto ). Determine o angulo que o barbante faz com a vertical. A aceleragao da gravidade e 9,78 m/s2• [60,3°] 2.1.2 Considere urn aviao que deve voar para o norte. A velocidade aerodinfunica (velocidade terrestre sem nenhum vento) e 200 mi/h. Durante o voo, ha urn vento noroeste continuo de 40 mi/h. Determine a direr;:ao que o aviao deve tomar para seguir para o norte. Determine sua velocidade terrestre. Pilotos de aeronave rotineiramente usam urn computador E6B que plota o "triangulo dos ventos" e determina a correr;:ao de diregao e a velocidade terrestre. 2.1.3 Urn pescador em urn barco deseja cruzar diretamente urn rio do !ado leste para o !ado oeste. 0 rio flui do norte para o sui, a uma velocidade de 3 mi/h. A velocidade do barco e 4 mi/h. Determine a diregao que o barco deve to mar para atravessar o rio perpendicularmente as duas margens. [48,6° noroeste]

Calculo Veto rial !> 51

2.1.4 Urn caminhao pesando 5000 lb esta viajando a uma velocidade de 60 mi/h e esta contomando uma curva cujo raio e I500 ft. Detennine o angulo de inclinac;:ao da estrada para que o caminhao complete com sucesso a curva, sem que seja necess:irio nenhum atrito entre os pneus e a estrada. A acelerac;:ao da gravidade e 32 ft!s 2•

2.3.1 A lei dos cossenos diz que, para urn triangulo cujos lados tern comprimentos A, Be C, C2 = N + B2 2AB cos(BAB), onde 8AB eo lingula entre os lados A e B. Prove essa lei, usando o produto escalar. Sugestao: Desenhe o triiingulo de fonna que os lados sejam vetores e C = A + lB. Entao, detennine o produto escalar de C com ele mesmo para detenninar o quadrado do seu modulo.

§JE(_;AO 2.4 PRODUfO VJETORJIAL DJE VlETORJE§ 2.4.1 Aleidos senos dizque, para urn triiingulo cujos lados tern comprimentosA, Be C,A!sen8A = B!sen88 = C/ sen Be, onde os angulos 8A, 88 e Be sao os angulos opostos aos lados A, B e C, respectivamente. Sugestao: Desenhe o triiingulo de fonna que os lados sejam vetores e A+ lB + C = 0. Entao, detennine sucessivamente o produto vetorial de cada vetor com esta soma, por exemplo, A X (A + lB + C) = 0. Lembre-se de que o angulo envolvido no produto vetorial e 0 fulgulo entre OS dois vetores de acordo COID a regra da mao direita. 2.4.2 Qual dos seguintes produtos entre vetores nao faz sentido: (a) (A· JB) X C, (b) (A X JB) · C, (c) (A· JB) · C, (d) A+ (JB · C), (e) A+ (JB X C).

§JE<l;AO 2.5 §l§TJEMA DJE COORDJENADA§ CARTJE§IA.NA§ RJETANGUlLARJE§ 2.5.1 Urn vetor A.(x,y,z) e definido no sistema de coordenadas retangulares como estando dirigido de (0, 2, -4) para (3, -4, 5) onde as unidades estao em metros. Detennine (a) uma expressao para A, (b) a distancia entre os dois pontos, e (c) urn vetor unit:irio apontando na direc;:ao de A. [(a) 3a,- 6ay + 9az, (b) 11,22 m, (c) 0,27a,- 0,53ay + 0,8a,] 2.5.2 Tres vetores sao dados no sistema de coordenadas cartesianas retangulares como A 2a, + 3ay - a,, lB = ar + ~- 2~, e C = 3a,- ~ + ~· Detennine (a) A+ JB, (b) lB- C, (c) A+ 3JB - 2C, (d) IAI, (e) a 8 , (f) A ·JB, (g) lB · A, (h) lB X C, (i) C X lB, (j) A · lB X C. 2.5.3 SeA= a,+ 2ay - 3a, e lB = 2a, - aY + a,, determine (a) a projec;:ao de lB sobre A, (b) o (menor) angulo entreAe JB, (c) urn vetorunit:irioperpendicular ao plano contendoA e lB. [(a) 0,8, (b) I09,l 0 , (c) -O,ll5a,- 0,808ay - 0,577a,] 2.5.4 Dois vetores sao dados por A = a, + 2ay - ~ e lB = aa, + ay + 3a,. Detennine a para que os dois vetores sejam perpendiculares. 2.5.5 Dois vetores sao dados por A = a, + 2ay + 3~ e lB = aa, + {3~ - 9a,. Detennine a e f3 para que os dois vetores sejam paralelos. 2.5.6 Dois vetores sao dados par A = 22, 3ay + a, e lB =- -- a,-+ 2a~ + 4a,. Detennine 1.1IIl vetor C que seja perpendicular a A e lB e tenha comprimento de IO. [C = -8,4a, - 5,4~ + 0,6a=] 2.5.7 Prove a identidade vetorial A X (JB X C)= JB(A ·C) - C(A · JB). 2.5.8

Mostre que o produto vetorial nao e associativo, isto e, A X (lB X C) '4= (A X lB) X C.

2.5.9

Detennine a distiincia entre os pontos (-I, 2, -4) e (3, -I, 5) diretamente e por integrac;:ao.

2.5.li.O Detennine a area da superflcie triangular fonnada pelos pontos (I, I, I), (I, 3, l) e (I, 3, 2) diretamente e por integrac;:ao.

§JE(_;AO 2.6 Sl§TJEMA DJE COORDJENADAS CJIJLliNDRICA§ 2.6.1

Detennine as relac;:oes entre as coordenadas de urn ponto no sistema de coordenadas cilindricas eo ponto

expresso no sistema de coordenadas cartesianas retangulares e vice-versa. [z =

~ x 2 + l, </> =

tan- 1 y!x, z = z, e

x = r cos</>, y = r sen</>, z = z]

2.6.2

Detennine (a) a, X aq., (b) a, X aq., (c) a, X a,.

2.6.3 Urn vetor e dado no sistema de coordenadas cilindricas como A(r,<f>,z) = A,a, + Aq.a," + A;a,. Detennine suas componentes no sistema de coordenadas cartesianas retangulares. [A. A, cos</> - Aq, sen</>, Ay = A, sen</> + A.p cos</>, A; = AJ 2.6.4 Dois vetores sao dados no sistema de coordenadas cilindricas em urn ponto P(l, '11'13, 2) como A(r,</>,z) = 2a, - 3aq, + a, e lB(r,</>,z) = 4a, + 6aq,- 2a,. Detennine o produto escalar desses vetores diretamente e convertendoos para o sistema de coordenadas cartesianas reta.llgulares usando os resultados do Problema 2.6.3.

52 i> Capitulo Dois

2.6.5 Dais pontos sao definidos no sistema de coordenadas cilindricas como P1(2, '1T/2, 1) e P2(3, 'IT/3, -2). Determine a distancia entre esses dais pontos. Sugestao: converta os pontos para o sistema de coordenadas cartesianas retangulares usando os resultados do Problema 2.6.1. [3,407] 2.6.6

Uma superficie e definida por r = 2, 0::::;; cf>::::;; 'IT/3, 1 ::::;; z ::::;; 4. Determine a area da mesma.

2.6. 7 Determine o volume da regiao definida por 1 ::::;; r ::::;; 2, 0 ::5 cf> ::::;; 'IT/3, 0 ::5 z ::::;; l. [ '1T/2]

SJE(:AO 2.7 SISTEMADJE COORDENADAS ESFERICAS 2.7.1

Determine as relac;5es entre as coordenadas de urn ponto no sistema de coordenadas esfericas eo ponto

expresso no sistema de coordenadas cartesianas retangulares e vice-versa. [r

~x 2 + y2 I z, 2.7.2

= ~x 2 + y2 + z 2 , 8 = tan- 1

cf> = tan- 1ylx, ex = r sene coscf>, y = r sene sene/>, e z = r cos8]

Determine (a) ar X aq,, (b) a 0 X a.p, (c) a 0 X a,.

2.7.3 Urn vetor e dado no sistema de coordenadas esfericas como A(r, 8,cf>) = A.ar + A0a0 + A.pa.p. Determine suas componentes no sistema de coordenadas cartesianas retangulares. [A, =A, sen(} coscf> + A8 cos(} coscf> - Aq, sene/>, Ay = A, sen8 sene/> + A0 cos(} sene/> + Aq, coscf>, A, =A, cos8- A0 sen8] 2.7.4 Dois vetores sao dados no sistema de coordenadas esfericas em urn ponto P(1, 2'1T/3, 'IT/3) por A(r, 8, cf>) = 2a, + 3a0 + a.p e B(r,8,cf>) = 4a, + 2a 0 - 3aq,. Determine o produto escalar desses vetores diretamente e convertendo-os para o sistema de coordenadas cartesianas retangulares, usando os resultados do Problema 2.7.3. 2.7.5 Dois pontos sao definidos no sistema de coordenadas esfericas como P1(2, 'IT/2, 2'1T/3) e P2(3, 71'/3, -71'16). Determine a distancia entre estes dais pontos. Dica: converta os pontos para o sistema de coordenadas retangulares usando os resultados do Problema 2.7.1. [4,69] 2.7.6

Uma superficie e definida parr= 4, 'TT'/2::::;; 8::::;; 71', 7r/2::::;; cf>::::;;

'IT.

Determine a area da mesma.

2.7. 7 Determine a area da superficie definida por r = 2, 71'/4 ::::;; 8::::;; 'TT'/3, 0 ::::;; cf> ::::;; 2'1T. [5,21]

SE(:AO 2.8 INTEGRAL DE LINHA 2.8.1 Determine a integral de linha de F 2xa, + 4ay- ya, de P1( -1, 3, -2) a P2(2, 4, 1), onde os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. [-7/2] 2.8.2 Sea forc;a exercida em urn objeto e dada por F = 2.1:11, + 3zay - 4a, N, determine o trabalho necessaria para mover o objeto em linharetade P1(0, 0, 0) paraP2(1, 1, 2), onde os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares em metros. 2.8.3 Determine a integral de linha de F = xa, + 2.1:y~ - ya, de P1(0, 0, 2) a P2(3, 2, O) ao longo dos caminhos consistindo em (a) umalinha reta entre os dois pontos, e (b) dois segmentos, consistindo em uma linha reta de P1(0, 0, 2) aorigem e uma linha reta da origem a P2(3, 2, 0). Os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. [(a) 29/2, (b) 25/2] 2.8.4 Determine a integral de linha de F = 2ra, + zaq, + 4a, de P1(0, 0, 3) a P2(0, 0, 0) ao Iongo de dois caminhos. Os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. Ao longo de (a) uma linha reta de P1a P2, e (b) urn caminho consistindo em segmentos retos de P1 a P3(2, 2, 3) a P4(2, 2, O) a P2• 2.8.5 Determine a integral de linha de F = ra, + 2aq,- za, de P1(0, 0, 2) a P2(3, 0, 0) ao Iongo de dois caminhos. Os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. Ao longo de (a) segmentos de reta de P1a origem, P0(0, 0, 0), a P2, e (b) segmentos de reta de P1a P3(0, 3, 2) aP4(0, 3, 0) e urn arco circular de P4 a P2• [(a) 13/ 2, (b) 13/2 - 3'1T] 2.8.6 Determine a integral de linha de F = 2ra, + 3a9 + 2aq, de P1(0, 0, 3) a P2(3, 0, 0) ao Iongo de dais caminhos. Os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. Ao longo de (a) segmentos de reta de P1a origem, P0(0, 0, 0), a P2, e (b) ao longo de caminhos circulares de P1a P3(0, 3, 0) a P2• 2.8.7 Determine a integral de linha deF = rar + 2ra8 + 2ra., + 3aq, de P1(0, 0, 2) a P0(0, 0, 0) ao longo de dois caminhos. Os pontos estao especificados no sistema de coordenadas retangulares. Ao longo de (a) urn caminho circulardeP1 aP3(0, .fi, j2) e ao longo deumaretade P3 aP0, e (b) aolongo de umalinharetadeP1 aorigem, P0(0, 0, 0). [(a) 271'- 2, (b) -2]

SE<;AO 2.9 INTEGRAL DE SUPERFiCIE 2.9.1 Determine o fluxo do campo vetorial F = xa, + y~ + za, para fora da superficie fechada consistindo em urn· volume quadrado, cujos lados tern comprimento 2, centrado na origem do sistema de coordenadas retangulares. [24]

Ciilculo Veto rial t> 53

2.9.2 Determine o fluxo do campo vetorialJF xya., + yzay - xza, para fora de uma superficie retangular fechada. A superficie tern vertices em (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3), (l, 0, 3), (0, 0, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3) e (1, 2, 0), relativo ao sistema de coordenadas cartesianas retangulares. 2.9.3 :::; r:::;

Determine o fluxo do campo vetorialJF = 2rar + 3¢a<P - 2a, para fora da superficie fechada limitada por 0 2, 0 :::; ¢ ::5 11'/2, 0 :::; z :::; 3. [2111']

2.9.4 Determine o fluxo do campo vetorialJF r :::; 2, -11'/2 :::; ¢ ::5 11'12, 0 :::; z :::; 4.

3rar + ¢a<P- za,. para fora da superficie fechada limitada por 0 :::;

2.9.5 Determine o fluxo do campo vetorialJF = ra, - 2a8 - ¢a"' para fora da superficie fechada limitada por 0 :::; 2, 0:::; e:::; 11'12, 0:::; ¢:::;; 11'12. [611'- 'li'/2]

r:::;

2.9.6 Determine o fluxo do campo veto rial F = rar - 2a8 + 3¢a<l> para fora da superficie fechada limitada por 0 :::; r :::; 3, 0 :::;; e: :; 11'12, -11'12 :::; ¢ :::; 11'/2.

3 Campos Eletromagneticos Estaticos (CC}

· Comegamos o nosso estudo dos campos eletromagneticos examinando inicialmente as leis do Eletromagnetismo para campos estaticos (cc). As distribuigoes estaticas de cargas (cargas que nao estao em movimento) produzem duas das quatro grandezas eletromagneticas: o vetor intensidade de campo eletrico, denotado por JE, eo vetor densidade de fluxo eletrico, denotado por D. 0 movimento de cargas constitui uma corrente e urn movimento continuo de cargas e uma corrente continua (cc). Correntes contfnuas produzem as demais grandezas eletromagneticas: o vet01· intensidade de campo magnetico, denotado por lffi, e o vetor densidade de jluxo magnetico, denotado por B. Nos demais capftulos deste livro, estudaremos as leis do Eletromagnetismo para o movimento de cargas variante no tempo, isto e, correntes nao-continuas no tempo. Os quatro vetores dos campos acima mencionados irao permanecer como nosso principal interesse, mas certas leis do Eletromagnetismo estatico (Eletrostatica e Magnetostatica) precisarao ser modificadas. As leis dos campos estaticos que estudaremos neste capitulo sao, tecnicamente, validas somente para distribuigoes de carga fixas e/ou correntes continuas (cc). Contudo, elas podem ser aplicadas, com uma aproximagao razoavel, a cargas cujo movimento varia lentarnente no tempo. N6s nos referimos a isso como uma aproximagao quase-estatica. Por exemplo, na freqi.iencia industrial (60 Hz), o comprimento de onda e cerca de 3000 mi (5000 km). Assim, para urn circuito ou dispositivo cuja maior dimensao seja menor que, digamos, 300 mi, a estrutura e eletricamente pequena, e os campos associados podem ser considerados quase-estaticos, de forma que as leis dos campos estaticos se apli~am com uma aproximagao razoavel. Em laborat6rios de compatibilidade eletromagnetica, temos, freqi.ientemente, modelado circuitos eletricos como circuitos a parfunetros concentrados, sem precisar usar as leis do campo eletromagnetico, completas, que estudaremos nos capftulos subseqi.ientes deste livro. A razao de podermos fazer isso e que as freqi.iencias das fontes nesses circuitos sao tais que a maior dimensao dos mesmos e muito menor que urn comprimento de onda. Por exemplo, para uma fonte de tensao ou corrente senoidal cuja freqi.iencia e 1 MHz, o comprimento de onda e 300 m. Assim, circuitos que contenham essa fonte de 1 MHz e cuja maior dimensao seja menor que, digamos, 30m, sao eletricamente pequenos, de forma que os modelos de circuitos a parfunetros concentrados e as leis de Kirchhoff sao aproximagoes razoaveis e fornecem resultados confiaveis.

Objetivos de Aprendizado do Capitulo Ap6s completar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a

:> usar a lei de Coulomb para calcular a forya entre cargas; > calcular o vetor intensidade de campo eh!ltrico E para divf!rsas distribuiy6es de carga; :'.·' determinar o efeito de materiais dieletricos em campos eletricos;

usar a lei de Gauss para calcular o campo eletrico para distribuig6es de cargas que possuem simetria;

calcular tens6es para varias distribuiy6es de cargas;

calcular a capacit€mcia de diversas estruturas tfpicas;

> determinar a resist€mcia de diversas estruturas comuns usando a lei de Ohm;

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) D> 55

~:·· usar a lei de Biot-Savart para calcular o vetor densidade de fluxo magnetico lB para diversas distri-

buig6es de correntes; •:;>-

determinar o efeito de materiais magneticos em campos magneticos;

0);>.

usar a lei de Ampere para calcular o campo magnetico para distribuig6es de correntes que passuem simetria;

~''" entender o significado da lei de Gauss para campos magneticos; ~>

calcular a indutancia de diversas estruturas;

~,, usar a equagao da forga de Lorentz para determinar a forga devido a cargas e correntes;

i;» citar exemplos de aplicag6es tfpicas em engenharia desses princfpios do Eletromagnetismo.

il\>

3.1 CARGA ELEI DE COULOMB Sabemos que cargas estaticas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais contranos se atraem. A for9a de atra<;ao ou repulsao e govemada pelalei de Co-ulomb. Considere a Fig. 3.1, onde duas cargas pontuais estao separadas no vacuo (aproximadamente o ar) por uma distancia R. (Reservaremos o sfrnbolo r para a variavel distancia radial nos sistemas de coordenadas cilfndricas e esfericas. 0 sfmbolo R sera usado para denatar a distancia entre dois pontos.) A lei de Coulomb diz que a for<;a de atra<;ao ou repulsao e dada por

(3.1)

A for9a de atra<;ao ou repulsao esta em newtons (N) e varia diretamente com o produto das cargas e inversamente com o.q-uadrado da distancia de sepamr;lio entre elas. Assim, esta e uma lei do inverso do quadrado da distancia como a lei da gravidade. A unidade de carga e o coulomb (C), nomeada depois da descoberta da lei. A for<;a, para cargas de mesmo sinal, e de repulsao e tern como suporte a reta que une as cargas. No caso de cargas de sinais contraries as for<;as serao de atra<;ao. A grandeza e. e a permissividade do meio circundante (aqui assumido como sendo o vacuo ou aproximadamente oar). 0 valor e e. = 8,8542 ... X 10- 12 F/m e 0 valor aproximado e 1 X 10-9 F/m 367T

e0 := -

(3.2)

A unidade e farad (F) por metro (m) ou capacitancia por unidade de distancia. Anteriormente, e ainda no presente capitulo, serao acrescentadas informa96es adicionais sobre essas unidades. Assim, a constante na lei de Coulombe aproximadamente 1 - - := 9 4'1Te 0 e a lei de

109

(3.3)

Coulomb pode ser escrita para cargas situadas no vacuo (espa<;o livre) como (3.4)

-""""' F

/'·

.,,,''~02

./-'""

,.~0/R Q

Figu~a 3.1

Dustragao da lei de Coulomb.

56 ;y. Capitulo Tres y

Figura 3.2 Exemplo 3.1.

Para cargas em urn meio material que nao seja o vacuo, a lei de Coulomb sera a mesma, exceto pela permissividade do vacuo, 8 0 , que sera substitufda pela permissividade daquele meio, e, que sera discutido na Sec;ao 3.3. IEXIEIMIPW 3.~ Tn3s cargas pontuais estao localizadas no sistema de coordenadas retangulares como mostrado na Fig. 3.2. A carga Q1 = 5 J.LF esta localizada em y = 3m, a carga Q2 -3 J.LF esta localizada em x = 2 e a carga Q3 = l J.LF esta localizada na origem. Determine o vetor forga exercida sobre Q3 pelas outras duas cargas. $iGWC!t\â&#x20AC;˘OJ 0 vetor forga exercida sobre Q3 por Q1 e 9

JF13 = -9 X 10

= -5 X l0- 3 a y

10-6)(1 ( )2 3 N

10-6) ay

A forga exercida sobre Q3 por Q2 e 9

F23 = 9 X 10

(3 X 10-6)(1 X 10- 6) ( )2 ax 2

= 6,75 X 10- 3 ~

A forga resultante e F = Fl3 + F23 = 6,75 X 10- 3 ~- 5 X 10-3 ay

cuja intensidade eF = 8,4

10-3 N.

L> IEXERCiCiO DE REVISAO 3.1

Determine a intensidade das forgas de interagao entre duas cargas pontuais de l J.LF situadas no vacuo que estao separadas por 1 m. Wl\ES~05:TA

9 X 109 N (l milhao de toneladas!).

A carga pontual e urn conceito util, porem urn pouco artificial. Urna carga pontual e considerada ocupando uma regiao infinitamente pequena, que aproximamos como sendo urn ponto. A carga esta usualmente distribuida como uma linha de cargas, uma superficie de cargas ou urn volume de cargas, como mostrado na Fig. 3.3. A Fig. 3.3a mostra uma distribuic;ao linear de carga. Tal distribuic;ao de carga e denotada por p1 e tern por unidade o C/m. Esta distribuic;ao pode ser uniforme (uniformemente distribuida ao Iongo da linha) ou nao. A distribuic;ao superficial de carga mostrada na Fig. 3.3b e denotada como Ps e tern por unidade o C/m2 e a distribuic;ao volumetrica de carga mostrada na Fig. 3.3c e denotada por Poe tern por unidade o C/m2â&#x20AC;˘ No caso de distribuic;oes nao uniformes, equac;oes irao descrever tais distribuic;oes.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CCI !J> 57

+-I:-·

_-f:/~C/m +/'" +t--:;./ p / e

C/m 2

(b)

(a)

llt?r-Pv

Figura 3.3 llustragao de varias densidades de cargas. (a) Uma distribuigao linear de carga. (b) Uma distribui~ao superficial de carga. (c) Uma distribuigao volumetrica de carga.

(c)

lEiCIEMfP>UD 3.2 Uma carga esta distribuida de maneira nao uniforme sobre urn disco de raio 2m, da seguinte maneira: Ps 10- 6-r C/m2• Determine a carga total contida no disco.

SilDW~A@ 0 problema esta esquematizado na Fig. 3.4. Em coordenadas cilindricas, urn elemento de superficie eds

(-rd4>)(d-r) = rdrd4>. 0 elemento de carga (que iremos nos referir como uma "amostra de carga") contido nessa superficie diferencial e

dQ = p.ds = 2 X l0- 6 r 2 drd4> A carga total contida na superficie do disco e 21T

JJ~~

r/J=O r=O

3271' 3

=--X

fJ>

10-6 C

lEXlEtRC[CW DlE RIEVISAO 3.2 Determine a carga contida na distribuigao volumetrica de carga Po = 5 X I0- 4r C/m2 num volume definido por 0 ::; r ::; 3, 0 ::; 4> ::; 7T/2, 0 ::; () ::; 7T/2.

Ps= 2 x 10-6 rC/m 2 rd¢ dr X

Figura 3.4 Exemplo 3.2.

58 ll> Capitulo Tres

Figura 3.5 Campo eletrico de uma carga pontual.

i> 3.2 VETOR INTENSIDADE DE CAMPO ELETRICO As cargas exercem fon;as sobre as outras cargas em sua vizinhanc;:a. Assim, podemos pensar em urn campo de jor9a existindo em tomo de urn a carga pontual (e outras distribuic;:oes de cargas). Esse conceito nos leva aprimeira das quatro grandezas eletromagneticas fundamentais: o vetor intensidade de campo eletrico, denotado como E. Para ilustrar o significado dessa grandeza, considere a carga pontual Qmostrada na Fig. 3.5. Se introduzirmos uma carga de teste positiva, q, uma forc;:a sera exercida por Q sobre a carga de teste. 0 vetor intensidade de campo eletrico e definido como a jor9a por unidade de carga de teste positiva exercida sabre aquela carga: lF

E=q

(3.5)

V/m

Aunidade da intensidade de campo eletrico e newton por coulomb ou, equivalentemente, volt por metro: uma tensao (voltagem) por unidade de distllncia. Para a carga Qna Fig. 3.5, escolhemos Q1 = Qe Q2 = q em (3.1) e obtemos a intensidade de campo eletrico de uma carga pontual Q:

(3.6) Esse vetor intensidade de campo eletrico para uma carga pontual esta na direc;:ao da forc;:a exercida sobre a carga de teste positiva e esta dirigida radialmente para fora de Qcomo simbolizado pelo vetor unitano aR. 0 vetor intensidade de campo eletrico para urn a carga pontual decai inversamente com o quadrado da distancia 3.2.1 Determina~ao do Campo Eletrico para Distribui~oes de Carga

A determinac;:ao do vetor intensidade de campo eletrico (ou simplesmente o campo eletrico) para outras distribuic;:oes de cargas, tais como distribuic;:oes lineares de carga, distribuic;:oes superficiais de carga e distribuic;:5es volumetricas de carga, e muito simples se primeiramente dividirmos a distribuic;:ao de cargas em amostras diferenciais de cargas, dQ, as quais sao tratadas como cargas pontuais; depois usarmos superposif}iio para somar as contribuic;:oes de todas essas cargas diferenciais no ponto onde estamos interessados em calcular E, e, finalmente (talvez o passo mais importante), utilizarmos a simetria para simplificar a integral resultante. Esse uso de superposic;:ao para somar as contribuic;:5es de todas as amostras diferenci!:ds de cargas, e trata-las como cargas pontuais eo ceme da determirlac;:ao do campo eletrico para outras distribuic;:oes de cargas. Uma vez que dividimos a distribui9ao de cargas em amostras de cargas, vamos trata-las como cargas pontuais, dQ, e usar o resultado para uma carga pontual dada em (3.6) para determinar a contribui9ao diferencial para o campo eletrico em urn ponto: dE

1 dQ 47T80 R

= - - -2 aR

V/m

(3.7)

como mostrado na Fig. 3.6a. Entao, somamos (com urn a integral) as contribui96es para determinar o campo eletrico total no ponto. Observe que, quando fazemos isto, a distancia R entre a amostra de carga, dQ =

,:.Âˇ

Campos Eletromagneticos Estaticos (GG) e;,. . 59

(a)

(b)

Figura 3.6 llustrac;;ao da determinac;;ao do vetor intensidade de campo eletrico para uma distribuic;;iio de carga. (a) Contribuic;;oes diferenciais para o vetor de amostras diferenciais de cargas. (b) Soma vetorial de todas as contribuic;;5es diferenciais de cargas.

p0 dv, eo ponto onde estamos detenninando o campo eletrico varia. E mais: as contribuig5es diferenciais para o campo eletrico variam em diregao, como mostrado na Fig. 3.6b, de forma que o somat6rio de todos os efeitos das amostras diferenciais de cargas envolve vetores. Nao seremos tao ambiciosos em querer determinar o campo eletrico em qualquer lugar em tomo da distribuic;ao de cargas, mas iremos calcula-lo em certos locais de forma que possamos usar simetria para simpliÂŁcar a integral resultante. Os exemplos seguintes ilustram esse metoda, o qual sera usado, na fu.tegra, tambem na resolugao de problemas de campo magnetico, mais adiante, neste capitulo. Assim, ele e urn metoda muito simples e deve ser assimilado pelo leitor. ~,.

IEXIEMfUll 3.3 Determine o vetor intensidade de campo eletrico nos pontos exteriores a distribuic;;ao linear de carga, p1 C/m, de comprimento L, onde a carga esta tmiformemente distribuida ao longo da linha.

sowcAo Primeiro posicionamos a distribuic;;ao linear de carga ao longo do eixo z do sistema de coordenadas cilindricas, como mostrado na Fig. 3.7a. Centramo-la na origem do sistema de coordenadas e colocamos uma metade sabre o eixo +z e a outra metade sabre o eixo -z, a fim de aproveitarmos a simetria. Dividimos a linha de cargas em duas amostras de cargas que estao simetricamente dispostas em relac;;ao ao centro. Cada uma dessasaii!ostJ:as de -carga-tem-valor dQ = pjdz C, e etratada como se fosse uma carga pontual. Para simplifi.car a integral resultante aproveitando a simetria, iremos apenas detemrinar o campo eletrico em distancias a partir do seu centro e em uma linha perpendicular a ele. Pelo esboc;;o, temos uma importante conclusao devido a simetria: as amostras de cargas superior e inferior irao produzir contribuic;;5es de forma. que suas componentes verticais (direc;;ao z) se cancelam, deixando apenas as componentes radiais como resultado. Em outros locais, o campo nao sera radial, entao restringimos nossa analise aos pontos que estao sabre uma linha perpendicuJar ao ponto media para simplificar a mesma. Essa componente radial (devido as amostras de cargas superior e inferior) e l dQ 4m>o R2

dE= 2----cos(a)a

r cos(a) = R

onde

R=~ Substituindo e somando as contribuic;;oes por integrac;;ao ao longo da distribuic;;ao de cargas, isto e, em relac;;ao a z, temos

60 1> Capitulo Tres

(a)

t l ;,\

-~"l..:~,.â&#x20AC;˘

,/-::l

'"-.â&#x20AC;˘,

<- -<"<-- ...;:;:{---

/ (b)

Figura 3.7 Exemplo 3.3; determina<;:ao do vetor intensidade de campo eletrico para uma linha de cargas. (a) Simplificando o problema tirando vantagem da simetria. (b) 0 vetor intensidade de campo eletri.co para uma linha de cargas infinita, positivamente carregada, esta dirigido radialmente para fora da linha de cargas.

A determina<;:ao requer a integral

(3.8) resultando em

(3.9) Para uma linha de cargas de comprimento infinito, fazemos L ~ oo e obtemos

L~oo

(3.10)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) ill> 61

Esse resultado para o campo eletrico a partir de uma linha de cargas de comprirnento infinito e um resultado muito importante, que sera usado em inumeras ocasi5es e deve ser memorizado. Com duas ou tres integrais como (3.8), a maioria desses problemas pode ser resolvida. Observe que o campo eletrico para uma linha de cargas infinita e radialmente dirigido para fora~ da linha e decai inversamente, com a distancia, amesma. Um grafico desse campo e apresentado na Fig. 3. 7b. "Â§]

Muitos dos problemas do Eletromagnetismo podem ser resolvidos usando os resultados determinados previamente. Os exemplos seguintes ilustram o uso do resultado de uma linha de cargas infinita determinado no exemplo anterior. i> EXEMPILO 3.4 Uma lil.mina de cargas infinita com distribuic;:ao superficial de carga uniforme p, C/m2 esta localizada no pl~o xz, como mostrado na Fig. 3.8. Determine o campo eletrico no ponto a uma distancia d da lil.mina. SO!J.IICAO Pense nessa distribuic;:ao de cargas como sendo composta de distribuic;:5es lineares de carga na direc;:ao x. A distribuic;:ao linear de carga dessa linha de cargas e

Pi= Psdz C/m Pelo Exemplo 3.3, o campo eletrico de uma linha de cargas infinita esta radialmente dirigido para fora da linha de cargas, e sua magnitude e

dE=-Pt_ 27recft =

Psdz 27recft

Observe na Fig. 3.8 que o campo eletrico das linhas de cargas simetricamente dispostas ira fazer com que as componentes verticais do campo eletrico se cancelem, deixando apenas as componentes horizontais. Assim,

1":'

dE2 ~Âˇ'I I

l__,..y

~======~~=1=;~~-,~a~d~EI

dE1"'1 X

Figura3.8 Exemplo 3.4; determinac;:ao do vetor intensidade de campo eletrico para uma distribuic;:ao superficial plana de cargas considerando a distribuic;:ao superficial de carga como uma sequencia de infinitas linhas de cargas e usando a simetria e o resultado do Exemplo 3.3.

â&#x20AC;˘se a linha estiver carregada positivamente. (N.T.)

i)-

Capitulo Tres

obtemos o campo eletrico total com as componentes horizontais dirigidas perpendicularmente cargas:

a lamina de

pdz

2-'-cos(a)ay 27Te0 R

Mas

cos(a) = R Substituindo e somando todas as contribuigoes, temos

_ p,d

7TE:o

1 Q

(d~

J.,.

+ z•)

u:.:.a,

:=0

Isso requer o calculo da integral

(z)d

l d l _1 d2 + z2 z = dtan

(3.11)

0 resultado e Ps

E = - ay y>O 2eo

(3.12)

Isso tambem fomece o campo no !ado esquerdo da lamina, y < 0, se trocarmos o sinal, ja que o campo esta dirigido na diregao 2y, oposta ao vetor unitano aY. ""'~

!> EXERCICIO DE.REVISAO 3.3 Determine o campo eletrico devido a uma esfera de carga de raio a, para r > a, onde a carga esta uniformemente distribuida sabre a superffcie esferica com distribuigao p, Clm2• (Sugestao: Coloque a esfera na origem do sistema de coordenadas esfericas.) li!ESIPOSTA E = (p,a2/e.r)a, para r > a.

'> EXERCiCIO DE REVISAO 3.4 Determine o campo eletrico devido a uma esfera carregada de raio a para r > a, onde a carga esta uniformemente distribuida por toda a esfera com distribuigao volumetrica de carga p. Clm 2• (Sugestao: Coloque a esfera na origem do sistema de coordenadas esfericas.) RIESIPOSTA E = (p.a2/3e0 r)a, para r >a.

i> 3.3 VETOR DENSIDADE DE FLUXO ELETRICO EMATERIAlS DIELETRICOS Ate este ponto, temos considerado o vacuo (aprOJqmadamente oar) como o meio envolvendo as distribui<_;!oes de cargas. Agora, examinaremos o efeito de outros materiais sobre esses campos eletricos resultantes. A importante classe de materiais que estaremos considerando e chamada dieletricos. Exemplos sao o quartzo, o teflon, a borracha e o vidro. Esses materiais sao muitas vezes tambem chamados isolantes, ja que nao existe urn numero significativo de cargas livres presente dentro deles, diferente dos me-

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !> 133

tais, onde eletrons livres estao disponiveis para fluxo de cargas (correntes). A importante caracteristica de distingao dos materiais dieletricos e a presenga de cargas de polarizar;iio.

--Y

I I

(a)

/ 7

./'

""'"

' ''~

' { ~ A

""-ÂˇÂˇ""\\

~'' I

1" I

(c)

tÂˇ

(d)

Figura 3.9 0 dipolo eletrico. (a) Determinagao do campo eletrico alem das extremidades dos dipolos. (b) Determinagao do campo eletrico para pontos ao longo da linha mediana do dipolo. (c) Esbogando o campo eletrico atraves de vetores. (d) Esbogando o campo por meio das linhas de forga.

64 t:> Capitulo Tres

Para ilustrar o efeito das cargas de polarizar,;ao, considere o dipolo elet?"ico rnostrado na Fig. 3.ga. 0 dipolo consiste ern cargas iguais e opostas Q, separadas por urna distancia l. Deterrninarernos o campo eletrico nas extrernidades do dipolo ern z = r. Ternos entao

Para urn& distancia rnuito rnaior que a distancia de separar,;ao das cargas, o campo eletrico assume a forma r

l >>- (} 2'

= 0Â°

(3.13a)

Observe que o campo eletrico depende do produto entre a carga e a separar,;ao, Ql. Ele tamberndecai inversarnente corn o cubo da distancia. Sirnilarrnente, podernos deterrninar o campo eletrico ao lado do dipolo, uma distancia -r a partir do centro do rnesrno e ao longo da linha mediana, como rnostrado na Fig. 3.gb. Observe que os campos das duas cargas de sinais opostos sao tais que as cornponentes horizontais (na direr,;ao y) se cancelarn, deixando apenas as cornponentes z (dirigidas na direr,;ao -z). Sornando vetorialrnente os campos devido a arnbas as cargas, ternos 1 Q (go0 -a) a. lE = -2---cos 2 4~~R ~-

sen(a) onde R=

),r + (iJ 2

l/2 sen(a) = R

Substituindo estes resultados, ternos

Para distancias rnuito rnaiores que a separar,;ao entre as cargas, a expressao para o campo eletrico assume a forma

1 Ql

E =----a,. 4~B0

,fl "

,r >>-l (}=go0 2'

(3.13b)

A obtenr,;ao da expressao cornpleta para o campo ern todos os pontos e;m tomo do dipolo e urn tanto cornplicada. Ern termos das coordenadas esfericas, como rnostrado na Fig. 3.gc, a expressao cornpleta e

E = - - -:l(2 cosO a,.+ sene a 6) 4~8 0'1

(3.14)

Esta expressao cornpleta calculada para(}= goo fomece o resultado ern (3.13a). Ao lado do dipolo, q = goo, o resultado estadirigido na direr,;ao Oou -z e eparalelo ao dipolo e (3.14) fomece (3.13b). 0 esbor,;o

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) l> 65

;:/

0--~ Q

~-----0Q

"~~=~"""~'~'-"'~~~~"·=~·-=~~'=·"·===~"=·=~~~ E

Figllllra 3.10 Dustrac;ao do momenta de clipolo de cargas de polarizac;:ao em clieletricos.

do campo, usando linhas de forga, e apresentado na Fig. 3.9d. Note que o campo eletrico depende do produto entre a carga e a distancia de separagao. Isto e referido como o monwnto de dipolo, o qual e denotado por p = Ql. Dipolos eletricos consistindo em urn par de cargas de polaridade oposta que estao ligadas, ou seja, nao estao livres para se mover independentemente umas das outras, ocon·em em materiais dieletricos ao nfvel atomico. Estas sao referidas como ca-rgas de polarizat;;iio. Certos materiais, tais como a agua, contern dipolos rnicrosc6picos que estao aleatoriamente orientados, de forma que os campos eletricos desses dipolos tendem a se cancelar. Em outros materiais dielebicos, a aplicagao de urn campo eletrico externo faz com que os centros a:tomicos das cargas positivas e negativas se desloquem ligeiramente, formando um dipolo. A aplicagao de um campo eletrico externo faz com que os dipolos do dieletrico girem de forma a se alinhar como campo eletrico, como ilustrado na Fig. 3.10. A forga de rotagao depende do valor da carga e da distancia de separagao, l, entre elas. Isto esta contido no momenta do dipolo, o qual e expresso como uma grandeza vetorial p

= Ql

(3.15)

onde o vetor esta dirigido da carga negativa para a carga positiva. Note que o momenta de dipolo esta na diregao do campo eletrico nas extremidades do dipolo, como obtido acima, e e definido como sendo oposto a diregao da forga que uma carga exerce sabre a outra. Em um volume contendo urn grande numero desses dipolos, definimos o veto-r polarizat;;iio como o momenta de dipolo por unidade de volume:

2: Pi lP = lim -

A~O I:!.:D

C/m2

(3.16)

Na ausencia de urn campo eletrico, os dipolos sao aleatoriamente orientados de forma que seus momentos de dipolo se cancelam e o material e dito despolarizado. Quando um campo eletrico externa e aplicado, os dipolos giram para tentar se alinhar como campo. Nem todos os dipolos se alinham completamente com o campo, de forma que o alinhamento resultante edado pelo vetor polarizagao. Ele fornece uma indicagao da polarizagao resultante do dieletrico. Para ilustrar o significado deste conceito, considere um capacitor de placas paralelas, mostrado na Fig. 3.lla. Uma bateria e ligada as placas, e carga etransferida da bateria para as placas. Essa separagao de cargas cria urn campo eletrico entre as placas. Se urn material dieletrico einserido entre as mesmas, como mostrado na Fig. 3.llb, os dipolos das cargas de polarizagao tentam se alinhar com esse campo, criando urn vetor polarizagao no dieletrico. Observe outro importante resultado dessa polarizat;;iio do dieletrico: uma carga superficial e criada nas duas superficies do dieletiico. Cargas negativas aparecem na superffcie do dieletiico que e adjacente a placa carregada positivamente e cargas positivas aparecem na superffcie do dieletrico que e adjacente aplaca carregada negativamente. Assim, mais ca-rgas livms sao retiradas da bateria. A capacitancia de urn capacitor ea razao entre as ca-rgas livres armazenadas nas placas, Q, pela tensao aplicada entre elas: C = Q!V. Como a tensao nao se modifica, o aumento das cargas livres armazenadas nas placas, resultante da polarizagao do dieletrico, leva a urn aumento da capacitancia da estrutura.

66 ll:> Capitulo Tres

+ -

@ @

=--··"'==:..-~""'""""'-""·,..-~=-?

~);:...

@ @

...,

___

e e e e e

d (a)

+ -

(b)

Figura 3.11 0 efeito da inser~ao de urn dieletrico entre as placas de urn capacitor de placas planas e paralelas. (a) 0 campo eletrico com o dieletrico removido. (b) 0 campo eletrico como dieletrico inserido, ilustrando o vetor polariza~ao P; as cargas de polariza~ao nas superficies do dieletrico; e o aumento das cargas livres nas placas do capacitor.

Existem duas grandezas vetoriais relacionadas ao capacitor: o campo eletrico aplicado, E, e o vetor polariza£;aO devido apolariza£;ao do dieletrico, P. Note em (3.16) que a unidade de P eo C/m2 (carga par unidade de area superficial). 0 produto entre a permissividade do espa£;o livre e o campo eletrico, B0 E, tambem tern por unidade o C/m2 • Note tambem que E e P estao na mesma dire£;ao. Assim, isto sugere a defini£;aO da segunda das nossas grandezas fundamentais do Eletromagnetismo como o vetor densidade de jluxo eletrico, ja que as unidades de P e e0 E sao, ambas, C/m2 • 0 vetor densidade de fluxo eletrico sera denotado como D, e e definido como (3.17) A intensidade do vetor polariza£;ao depende da intensidade do campo eletrico aplicado. Isto esta relacionado com a susceptibilidade eletrica do material, x_., como (3.18) Substituindo (3.18) em (3.17), temos D

+ Xe)E

(3.19)

'-v---'

A grandeza er = (1 + x.) e referida como a permissividade relativa ou constante dieletrica do material. · Alguns valores representativos sao teflon er = 2,1, mica er = 5,4, espuma sintetica er = 1,03 e agua destilada e, = 80. Assim, se inserimos urn peda£;0 de teflon entre as placas de um capacitor, a capacitancia essencialmente dobra. · Assim, podemos descrever o efeito de urn dieletrico relacionando o vetor densidade de fluxo eletrico no material ao campo eletrico como

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) P. 67

= eJE

(3.20)

onde a permissividade do material e e

= BrBo

(3.21)

A Equas;ao (3.20) mostra que podemos livremente intercambiar]) e lE. Estivemos considerando o que sao ditos como materiais simples. Materiais simples sao aqueles onde os vetores ]) e lE sao paralelos (mateliais isotr6picos) e a intensidade de D nao depende da intensidade delE (mateliais lineares). Todos os materiais dieletricos considerados neste livro serao assumidos como lineares e isotr6picos, de forma que (3.20) relaciona]) e E, onde e e uma constante escalar. Em alguns materiais dieletricos, a permissividade, e, depende da freqtiencia do campo eletrico. Isto sera importante quando, mais tarde, considerarmos campos que sao variantes do tempo em vez de estaticos.

':; 3.4 LEI DE GAUSS PARA 0 CAMPO ELETRICO A lei de Gauss e uma ferramenta de ca.lculo extraordinariamente util. Ate agora, o calculo do campo eletrico devido a diversas distribuis;oes de cargas, embora de forma direta quando utilizamos simetria, requer o calculo de algumas integrais moderadamente complicadas. A lei de Gauss ira permitir a determinas;ao do campo eletrico devido a muitas dessas distribuis;oes de cargas sem o calculo de quaisquer integrais e ira, alem disso, nos dar uma visao global do problema, o que o calculo direto nao fornecia. Considere uma superffcie fechada contendo alguma carga, como mostrado na Fig. 3.12. Sabemos, agora, que as linhas de campo eletrico (linhas do campo E ou ]) ) comes;am nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas. Se contarmos o numero de linhas do campo E ou ]) deixando a superffcie fechada," isto nos daria, no caso da Fig. 3.12, uma indicas;ao da cm·ga positiva"" liquida envolvida pela sttperficie. Observe na Fig. 3.12 que as linhas de campo que comes;am e terminam em cargas dentro da superffcie fechada nao contribuem em nada para as linhas de campo resultantes deixando a superffcie. Contudo, as linhas de campo que comes;am na carga positiva dentro da superffcie e terminam na carga negativa fora da superffcie contribuem para as linhas de campo deixando a mesma. Esta observas;ao e a lei de Gauss, a qual pode ser formulada matematicamente como

f D ' ds

Qenvolvida

(3.22)

Figura 3.12 Ilustra\!ao da lei de Gauss; determinac;:ao da carga resultante positiva envolvida por uma superficie, pela determina\!ao do numero de linhas de densidade de fluxo eletrico deixando a superficie.

•Tal superffcie e comunente denominada "superffcie gaussiana". (N.T.) ••No caso da Fig. 3.12 a carga liquida dentro da superffcie e positiva, mas podemos ter, de urn modo geral, tanto carga liquida positiva quanta negativa. (N.T.)

68 r?> Capitulo Tres

Figura 3.13 Dustractiio da utilizactiio da lei de Gauss para a determinactiio do campo eletrico de uma carga pontual.

Observe que o produto escalar na integral requer que obtenhamos a componente de D que e perpendicular asuperficie. Isto e l6gico, ja que a componente de D que e paralela asuperffcie nao contribui em nada para o numero de linhas de campo deixando a mesma. Para ilustrar essa importante lei, considere uma Unica carga pontual, como mostrado na Fig. 3.13. Para aplicar a lei de Gauss, colocamos a carga pontual na origem. Em seguida, decidimos o sistema de coordenadas e a forma da superffcie a sen~m usados. Isto e urn aspecto critico da lei de Gauss: temos permissiio para escolher a superficie e devemos Âˇescolher uma que simplifique a determinayiio. Como as linhas do campo E e D de uma carga pontual divergem radialmente para fora delas, escolheremos o sistema de coordenadas esfericas e consideraremos a superffcie como uma esfera de raio r. Par que fizemos essa escolha? A resposta e que isso ira simplificar a aplica~ao da lei de Gauss, mais do que qualquer outra escolha para este problema em particular. Como as linh;:t5 do campo E e D divergem radialmente para fora da carga pontual, elas seriio perpendiculares asuperficie esferica escolhida. Assim, o produto escalar em (3.22) nao e necessaria e a lei de Gauss se reduz a

Alemdisso, o campo D possui o mesmo valor a uma mesma distancia da carga, isto e, sobre essa superfide. Assim, a intensidade de D, D, pode ser removida da integral e a lei de Gauss se reduz, para essa escolha criteriosa da superficie, a

Resolvendo isso, temos (3.23) e tomamos o resultado na forma de uma grandeza vetorial, ja que as linhas de campo divergem radialmente para fora da carga, uma vez que se trata de uma carga pontual positiva. Sabendo que D = eE, podemos escrever

E = - -2 a,.

41Ter

(3.24)

a qual e a expressao obtida anteriormente para uma carga pontual no vacuo (aqui, e e substitufdo por e.) e dada em (3.6). A lei de Gauss diz que o fluxo de D atraves de superffcie e igual acarga lfquida envolvida pela superficie em questao. Dai, o nome para D: o vetor densidade de jluxo eletrico. Vemos linhas de campo eletrico como fluxo, da mesma forma que .visualizamos um fluxo luminoso atraves de uma abertura.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CCI :> 69

Embora a lei de Gauss tenha sido demonstrada para uma carga pontual, ela e valida para qualquer tipo de distribui<;ao de carga. Uma coisa notavel sobre ela e que ela esta essencialmente relacionada com a dependencia do inverso do quadrado da distfu::tcia da lei de Coulomb. Sea lei de Coulomb tivesse uma dependencia com a distfu::tcia com qualquer outra potencia que nao 2.000 ... , a lei de Gauss nao seria valida. Por exemplo, vamos refazer o problema anterior, mas substituindo (3.6) para termos

2 sen(fJ)dfJd4> JJD · ds = JJ~·r 47Tr ' - - - v - - - ' ds

D 211"

!{_ 47T

11"

J Jsen(fJ)dfJ d4> c/>=0 8=0

Observe, neste calculo, que na expressao para o campo D e na expressao de ds em coordenadas esfericas se cancelam. Se o campo eletrico nao fosse uma lei do inverso do quadrado, isso nao aconteceria. Entao, a dependencia com o inverso do quadrado e uma dependencia fundamental no Eletromagnetismo (e em muitas outras leis ffsicas). 3.4.~

Cillico.nio allo Campo IEiet~ico ~«mllli)ist~oillo.ni~oes «lle Ca~ga

A vantagem da lei de Gauss esta no fato de que podemos escolher a superffcie sobre a qual ela e calculada. Em tais problemas, devemos tentar escolher a superffcie de forma que Jl. as linhas do campo D e E sejam perpendiculares asuperffcie escolhida, e .2 as intensidades dos campos D e E sejam constantes sobre essa superffcie.

A primeira condi<;ao retira o produto escalar da integral, levando a

Dds

Qenvolvida

e a segunda condi<;ao significa que D independe da posi<;ao sobre a superffcie da integral, conduzindo a ... ---- - . ... D

= Qenvolvida

A escolha de uma superffcie de forma que as linhas dos campos D e E sejam em qualquer parte perpendiculares a ela, que e a primeira condi<;ao, e o primeiro passo necessano. Se isso nao puder ser feito, entao a lei de Gauss nao conduzira a nenhuma simplifica<;ao na determina<;ao dos campos E e D. A escolha de uma superffcie de forma que D seja independente da posi<;ao sobre a superffcie, que e a segunda condi<;ao, pode nem sempre ser possfvel, mas quando o for devemos tirar vantagem da mesma. Mais uma vez, a chave para tornar simples os problemas do Eletromagnetismo e visualizar os campos envolvidos. t> IEXEMPLO 3.5 Determine o campo eletrico em tomo de uma linha de cargas infinita apresentando urn a distribuigao linear de carga ·uniforme p1Clm usando a lei de Gauss. SOI..UCAID Esse problema foi resolvido no Exemplo 3.1 por integragao direta e superposigao das amostras diferenciais de cargas. Urna linha de cargas infinita apresentando uma distribuigao de carga uniforme ten'i, por simetria, urn campo eletrico que esta radialmente dirigido para fora da linha, como ilustrado na Fig. 3.14a. Note que este nao seria o caso se a linha nao fosse infinita em comprimento, e/ou a carga nao estivesse uniformemente distribuida ao

70 I> Capitulo Tres

PcCfm + +

Âˇt

lE +

lE (a)

Figura 3.14 Exemplo 3.5; determinagao do campo eletrico de uma linha de cargas infinita. (a) Usando a simetria para concluir que o vetor intensidade de campo eletrico deve estar radialmente dirigido para fora da linha de cargas. (b) Envolvendo a linha de cargas com uma superficie gaussiana apropriada (um cilindro) para a determinagao do vetor intensidade de campo eletrico usando a lei de Gauss.

longo dela. Para tirarmos vantagem da simetria envolvida, escolhemos a superficie gaussiana como sendo uma superficie cilindrica de raio r centrada na linha, conforme mostrado na Fig. 3.14b. 0 comprimento desse cilindro sera escolhido como l. Nas tampas nas extremidades do cilindro, o campo eparalelo a essas superficies, ja que a linha eÂˇ infinita em comprimento e em nada contribui para a lei de Gauss. Na superficie lateral do cilindro, o campo eperpendicular a ele e, assim, o produto escalar na lei de Gauss pode ser removido. Ainda, sobre essa superficie de raio constante, o campo econstante, de forma que a lei de Gauss se reduz a

A carga total envolvida pela superficie e Qenvolvida =

Pll

Assim, obtemos PI D=-a

27Tr

(3.25)

ou, substituindo (3.20), E

-PI -a 27Ter r

(3.26)

onde assumimos que o material envolvendo a linha de cargas tern permissividade e. Isto confere com (3.10) obtida no Exemplo 3.3. <~

> EXEMPLO 3.6 Determine o campo eletrico dentro e fora de um cilindro infinitamente longo de raio a que apresenta urn a distribuigao superficial de carga p, C/m2 uniforme ao longo do comprimento do cilindro e em suas extremidades.

Campos Eletromagneticos Estiiticos (CC) f.> 'H

.,. .....

-------

.....

...

/ +

4~~ ~

P5 Cim 2 \

\ I :

\ \

I I

/ 1~Superffcie

r ',

..........

E -=---->

------

.,..,. ....

gaussiana

IFngura 3.15 Exemplo 3.6; determinac;ao do campo eletrico em tomo de urn cilindro de cargas.

S(i)lil.ICAllJl Novamente obser\iamos que~ deVido a simetria (o cil.fudro e mfinitamente Iongo e a carga esta uniformemente distribuida ao Iongo de seu comprimento em suas extremidades), o campo eletrico esta radialmente orientado. Assim, escolhemos a superffcie gaussiana como urn cilindro de comprimento l e raio r e centrado no eixo do cilindro carregado, como ilustrado na Fig. 3.15. Novamente, a campo e paralelo as extremidades do cilindro e perpendicular asua superficie. Assim, a lei de Gauss se reduz a

= D21rrl

e a carga envolvida e Qenvolvida =

Ps21Tal

Assim, pp D =-a,. Âˇr >a

(3.27)

au p.a

E =-a BT

Âˇr

(3.28)

Para pontes dentro do cilindro carregado, nenhuma carga e envolvida pela superficie gaussiana e, assim, o campo e zero:

E=O r<a Podemos relacionar esse resultado ao da linha de cargas de comprimento infinite resolvido no exemplo anterior. A densidade de carga por unidade de comprimento do cilindro e p1 = pj21ra. Reescrevendo o resultado acima em termos dessa linha de cargas equivalente, temos PI lE = - - a 21TBT r

(3.29)

o qual e o mesmo para uma linha de cargas equivalente localizada sabre seu eixo. Assim, em pontes fora do cilindro carregado, o campo eletrico e o mesmo que aquele se a carga superficial estivesse concentrada em uma linha de cargas no eixo do cilindro. . <1

1.'7

Capitulo Tres

Âˇ IEJCIEMPLO 3.7 Uma linha de transmissao coaxial consiste em dois cilinclros concentricos mostrados na Fig. 3.16a. Esse e um tipo commn de estrutura usada para guiar ondas eletromagneticas de urn ponto a outro que seni considerado no Cap. 6. 0 cilinclro intemo tem raio a eo cilinclro externo tern raio b. Determine o campo eletrico entre os dois cilinclros. 'S!DJ~J~j~Af()) Suponhamos que o cilinclro intemo tenha uma distribui~ao superficial de carga p, Clm2 uniforme ao Ion-

go de seu comprimento e em suas extremidades. 0 cilinclro extemo possui a mesma carga total que o cilinclro interno distribufda sobre a sua superficie interna, mas de polaridade oposta. (As distribui~6es sao simetricas mas am bas sao uniformes em tomo das superficies.) Ambos os cilindros sao considerados de comprimento infinito. Por causa das distribuic;6es de cargas uniformes e dos comprimentos infinitos dos cilinclros, o campo eletrico seni radialmente orientado do cilindro intemo para o cilinclro externo. Envolvemos o cilindro intemo com uma superficie gaussiana de raio r como mostrado na Fig. 3.16b. 0 campo eletrico sera perpendicular aos lados da superficie gaussiana e paralelo as suas extremidades. Como a superficie gaussiana e a mesma que no exemplo anterior, o campo no espa~o entre OS dois ciJinclros e dado por (3.28): p.a

E =a a< r err

(3.30)

Observe que isso e independente da presen<;;a do cilinclro extemo. Em termos de uma distribuic;ao linear de carga equivalente, p1 = p,2Tia, esta se toma Pt 27Ter

E = --ar a

<r <b

(3.31)

0 campo eletrico dentro do cilindro intemo e zero, pois a superficie gaussiana cilfndrica no interior daquele cilindro nao ira canter nenhuma carga:

0 r<a

Observe que o campo eletrico fora do cabo tambem e zero, pois a carga total envolvida pela superffcie gaussiana cilfndrica circundando ambos os cilinclros e zero:

(a)

Superficie gaussiana

(b)

Figura 3.16 Exemplo 3.7; determina<;;iio do campo eletrico para urn cabo coaxial. (a) As dimens6es do cabo. (b) Envolvendo o cilinclro intemo com uma superficie gaussiana apropriada (urn cilinclro) para a determinagao do vetor intensidade de campo eletrico usando a lei de Gauss.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) fll> 73

Esta e a razao pela qual usamos tal cabo; o exterior e "blindado" dos campos intemos ao cabo. 0 cabo coaxial e, portanto, rnuitas vezes referido como urn "cabo blindado". :'.ÂĽ

. :Âˇ EXIEMIPLIO 3.8 Determine o campo eletrico de urn plano infinito de cargas uniforrnernente distribuidas sabre sua superffcie usando a lei de Gauss. $(f])il.il.i~A(!] Este problema foi resolvido par integrac;:ao direta no Exernplo 3.4. Colocarnos o plano de cargas no plano

xz. Mais urna vez, observamos que, por causa da extensao infinita do plano e da distribuic;:ao de cargas uniforrne sabre ele, o campo eletrico sera perpendicular a essa superficie. Suponbamos que a distribuic;:ao de carga seja p,CI m2. Como o campo sera perpendicular a superficie, urna escolba apropriada de superficie gaussiana e urna superficie retangular se estendendo para a direita e para a esquerda do plano, como rnostrado na Fig. 3.17. 0 campo eletrico sera paralelo aos Iadas dessa superficie gaussiana retangular e nao ira contribuir em nada, mas sera perpendicular as superficies frontal e anterior. Assim, a lei de Gauss se toma

= 2DA

onde as superficies frontal e anterior tern area A. A carga total envolvida pela superficie gaussiana e

Assirn, o campo eletrico se toma

r 9

(3.32)

--a

como deterrninado no Exernplo 3.4.

y>O

9aY ~e y

y<O

Superficie gaussiana

PsCfm2

Figura 3.17 Exernplo 3.8; deterrninac;:ao do campo eletrico de urna distribuic;:lio superficial plana de carga, usando a lei de Gauss, pela escolba de urna superffcie gaussiana apropriada (urna caixa retangular se estendendo de ambos os }ados).

74 fi> Capitulo Tres

.· >

IEXERCicm IJJIE REV! SAO 3.5 Determine, usando a lei de Gauss, o campo eletrico devido a uma esfera de carga de raio a, onde a carga esta uniformemente clistribuida sobre a superffcie da esfera com distribui<;ao p, Clm2 • ~IE$bO«il$1A

;;;>

= (p,a2fl::r)ar para r > a e E = 0 para r < a.

IEXERCICIO DE REVISAO 3.6 Determine, usando a lei de Gauss, o campo eletrico devido a uma esfera de carga de raio a, onde a carga esta uniformemente distribuida por toda a esfera com distribui<;ao volumetrica de carga p. Clm2• IP.!ESP«ilSTA E = (p.a 3/3sr)ar para r >a e E = (p.r/3s)ar para r <a.

3.5 TENSAO Mover uma carga em urn campo eletrico requer gasto de energia. Isto nos traz o conceito de tensiio. Consideremos a Fig. 3.18a, onde desejamos mover uma carga positiva q do ponto a ao ponto b na presenga de urn campo eletrico JE. A forga exercida sobre a carga pelo campo elF= qJE. 0 componente dessa forga ao Iongo do caminho elF · dl Ao Iongo de certos trechos do caminho, devemos realizar trabalho para mover a carga, enquanto ao Iongo de outros trechos, 6 campo eletrico fomece a energia para mover a carga. A energia total despendida para mover a carga de a para b e b Wba

-JJF·dl a

(3.33)

-q J lE. ell a

(a)

a (b)

Figura 3.18 llustra<;ao da determina<;ao da tensao entre dois pontos. (a) Determina<;ao do trabalho necessaria para mover uma carga positiva entre dais pontos na presenga de urn campo eletrico. (b) Ilustragao da natureza conservativa do campo eletrico estatico e o estabelecimento do fato de que a ten sao entre os dois pontos e independente do caminho percorrido.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC)

~;>-

Urn sinal negativo e necessano, pois estamos nos referindo ao trabalho realizado para movermos a carga contra o campo. A tensiio ou diferenr;;a de potencial entre os pontos a e b com o ponto b assmnido nttm potencial mais elevado eo trabalho por unidade de carga necessano para mover a carga de a para b:

vbn =wba q(3.34)

v a

A unidade da tensao eo volt (V), cuja unidade fundamental e joule (J) por coulomb (C). Se movermos a carga de a para b e retomarmos para a, como mostrado na Fig. 3.18b, o trabalho liquido realizado e zero. Assim, obtemos a primeira importante lei do Eletromagnetismo estabelecendo que o campo eletrico estatico (cc) e conseroativb: 0

(3.35)

Assim, a integral de linhado campo eletrico em tomo de um caminho fechado c leva a tt1n resttltado igual a zero. Encontraremos no capitulo seguinte que, para um campo variante no tempo, isto nao sera mais verdadeiro. Contudo, para campos estaticos, o resultado mostra que a tensiio entre dais pontos e {mica, independente do caminho seguido entre esses dais pontos. Isso ocorre porque podemos dividir (3.35) em

ao Iongo de c 1 ao longo de c2

onde c2 esta numa dire9ao oposta ao caminho fechado c ao longo desse trecho. Assim, b vba

IJE â&#x20AC;˘ dll ao Iongo de c 1

(3.36)

ao longo de c2

A Equa9ao (3.35) e essencialmente uma confirma9ao da lei de Kirchhoff das tens5es, onde o contomo c e um circuito a parametros concentrados. Primeiro vamos determinar um resultado fundamental para a tensao devido a uma carga pontual e entao calcular a tensao devido a outras distribui96es de cargas. Consideremos a Fig. 3.19, onde colocamos a carga na origem do sistema de coordenadas esfericas. Desejamos determinar a tensao entre dois pontos que estao nas distancias radiais r. e rb da carga pontual Qcom o ponto b no raio rb com uma ten-

â&#x20AC;˘ou irrotacional, confonne preferem alguns autores. (N.T.)

. 76 1>- Capitulo Tres

Figura 3.19 Determinagao da tensao entre dais pontos produzida por uma carga pontual, e a escolha apropriada do caminho de modo a simplificar tal determinagao.

sao maior ou assumida positiva em rela91io ao ponto a no raio r•. Anteriormente determinamos que o campo eletrico de uma carga pontual esta radialmente dirigido para fora da carga e e dado por

E=~a 47Ts·r2 r Como o caminho nao importa para campos estaticos, temos diversas escolhas. Podemos escolher urn caminho sinuoso c1 para o qual o calculo de (3.34) seria muito di:ficil, ou podemos escolher urn caminho para simplificar esse calculo. Por exemplo, suponhamos que tenhamos escolhido a combina91io do caminho c2 de raio constante r. do ponto a assumido como de menor potencial ao ponto c o qual esta ao longo de uma linha radial ate o ponto b e urn caminho c3 que esta radialmente dirigido para dentro do ponto b assumido de maior potencial no raio rb. A tensao entre os dais pontos b e a e dada por Vba

-I

lE • dl -

lE • dl

Ao longo do caminho c2 de raio constante, o campo eletrico eperpendicular ao mesmo e, assim, nao contribui em nada para a integral:

Assim, vba

=-IE. dl

Ao longo de c3, o campo eletrico eparalelo ao caminho e, assim, o produto escalar eremovido, conduzindo a

vba

=-IE. dl c,

0 calculo da integral nos fomece (3.37)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC)

:" ' , ....

....

+ I

,.. .,. ~----r---.... ...... '

r _)).

/ ~::

I I I

""'Âˇ I I

)<$

..... -- -....

.,.

0 ,Q

-. :-!

/' .'

Superficies

\~ eqUipotenciais 1 \

~\\

'â&#x20AC;˘, .....

!l>'>

(esfericas)

\ I

x~t~~:x( J E

1Figllra3.20 Ilustrac:;ao do campo eletrico e superficies eqiiipotenciais (esfericas) em tomo de uma carga pontual.

Esse resultado para a tensao entre dois pontos devido a uma carga pontual e um resultado muito importante e sera usado em inumeras ocasi6es. Assim, ele deve ser memorizado. E importante uma verificagao de todos esses resultados, onde for poss:fvel. Por exemplo, se o ponto a esta mais distante da carga que o ponto b, ra > rb, entao (3.37) indica que Vba e positiva. Este e urn resultado esperado, pois mover uma carga de teste positiva de a para b, a qual esta numa distfulCia mais proxima da carga pontual, ira requerer um gasto de energia de nossa parte para veneer a forga repulsiva de Q. Observe que as superficies eqilipotenciais ou de tensao constante em tomo da carga pontual sao esfericas, como ilustrado na Fig. 3.20. 0 movimento de cargas em uma superficie eqilipotencial nao requer nenhum gasto de energia. 0 bserve ainda que o campo eletrico eperpendicular i1s superficies eqiiipotenciais. 3.5.~

IOieterminal!?io da iensao para IOistrilmic;;oes de Ca~rgas A seguir, iremos determinar a tensao devido as vanas distribuig6es de cargas consideradas anteriormente.

l> IEXIEMPlO 3.9 Determine a tensao entre dois pontos nas distancias radiais r. e rb distantes de uma linha de cargas infinita apresentando uma distribuiqao de carga p1 C/m uniforme ao longo da mesma.

sm.ucAo o campo eletrico em tomo da linha de cargas foi determinado antenormente como E

_E!__a 21Ter

e esta radialmente dirigido para fora da linha. Assim, a tensao entre dois pontos e

Resolvendo a integral, obtemos

(3.38) Esse resultado para a tensao entre dois pontos devido a uma linha de cargas infinita e urn resultado muito importante que sera usado em inlimeras ocasi5es. Assim, ele deve ser memorizado. Novamente, e importante verificar ore-

78 !!> Capitulo Tres

Figura 3.21 Exemplo 3.9; ilustrac;:ao do campo eletrico e superficies eqilipotenciais (cilindricas) em torno de uma linha de cargas infinita.

sultado. Sera > rb, entao a tensao seni positiva (ponto b na distancia rb e considerado como tendo o maior potencial ou ponto de tensao positiva). Novamente, isso eurn resultado esperado pais, para ra > rb, mover uma carga de teste positiva de a para b (mais perto da linha de cargas positiva) ira requerer urn gasto de energia de nossa parte para veneer a forc;:a de repulsao da linha de cargas. Observe que os contornos eqilipotenciais ou de tensao constante em torno da linha de cargas de comprirnento infinito sao cilindricos. 0 movimento de cargas em urn desses cilindros nao ira requerer nenhum trabalho. As superficies eqilipotenciais (cilindricas) sao perpendiculares ao campo eletrico em cada ponto, como mostrado na Fig. 3.21. -~;j ~,.,

EXEMPLO 3.10 Determine a tensao entre dais pontos distantes de uma lamina infinita de cargas.

SOWCPlO 0 campo eletrico distante de uma lamina infinita de cargas apresentando uma distribuic;:ao ps C/m2 foi determinado previamente como Ps -a y Âˇy E =

Ps { --a Âˇy 2e Y

onde a lamina esta colocada no plano xz, como mostrado na Fig. 3.17. Observe que o campo eletrico eindependente da distancia do ponto alamina e e perpendicular amesma. Assirn, a tensao e calculada us ando (3.34)' resultando em

(3.39) Observe que, sea distancia da lamina ao ponto a (assumido como o ponto de menor tensao), da, emaior que a distancia da lamina ao ponto b (assurnido como o ponto de maior pot~ncial ou tensao positiva), db, da > db~ entao a tensao Vbaâ&#x20AC;˘ com o ponto b assumido como de maior potencial, e positiva. Novamente, is to faz sentido, pais o movimento de uma carga de teste positiva de a para b, que esta mais perto da lamina, ira requerer urn trabalho de nossa parte para veneer a forc;:a de repulsao da lamina de cargas. As superficies eqilipotenciais sao pianos paralelos alamina. 0 movimento de carga nesses pianos nao requer nenhurn gasto de energia. Mais uma vez, o campo eletrico e perpendicular a essas superficies eqilipotenciais, como mostrado na Fig. 3.22. :~

EXEMPLO 3.11 Determine a tensao entre os cilindros interno e externo de urn cabo coaxial.

Campos Eletroma9neticos Estaticos (CC)

I I I I I I I

~Âˇ<t="Âˇ=tl

I I I I I I I I

I I I I I

)

I I

b- =;"- l:f=>1 I

I I I I I

+ + + +

..,~ E 1:l: I I I I I

I I

+ +

i3J>

::r.-=l_;,~-

1 I I I I I I I

Psi:

I I I I

E p -~1 I I I I I I I

Superficies eqQipotenciais (planas)

figma3.22 Exemplo 3.10; ilustra91io do campo eletrico e superficies eqiiipotenciais (planas) em tomo de uma lamina de cargas infinitas.

:sm.u:~Ji,((D 0 problema esta representado na Fig. 3.16 eo campo eletrico foi determinado no Exemplo 3.7 como

sendo Psa lE = - a

a< r

Assim, a tensao do cilindro intemo de raio a em rela91io ao cilindro extemo cujo raio e b, como cilindro intemo assumido como de maior potencial, e a

Psa dr

Calculando isto, temos

(3.40)

e escrevemos esse resultado em termos da linha de cargas equivalente p1 p,2'Tra. Como b > a, a tensao do cilindro intemo e positiva em rela91io ao cilindro extemo. Novamente, isso faz sentido, pois o campo eletrico esta dirigido do cilindro intemo para o cilindro extemo e, assim, trabalho seria requerido por nos para mover uma carga de teste positiva do cilindro extemo para o cilindro intemo. Novamente, as superficies eqilipotenciais sao cilindros envolvendo o cilindro intemo. 0 vetor campo eletrico esta radialmente dirigido e e perpendicular.a essas superficies eqilipotenciais (veja Fig. 3.21).

ÂˇP~ IEXIEIRCiC!O [)IE RIEVISAO 3.7 Determine a tensao entre duas esferas concentricas de raios a e b com a< b. A esfera intema esta carregada com uma carga total Q, uniformemente distribufda sobre sua superflcie, e a esfera extema tern a mesma carga total, mas de polaridade oposta, sobre a sua superflcie intema.

Capitulo Tres

Nos exemplos anteriores, calculamos a tensao a partir do campo eletrico atrav,es de (3.34). Isto requer que, primeiro, determinemos uma ex-pressao para o vetor campo eletrico. E possfvel evitar essa determinas.:ao do campo eletrico e determinar a tensao diretamente a partir da distribui<;.:lio de carga. A tensao e definida entre dois pohtos. Podemos falar sabre a tensao de urn ponto se nos referirmos a uma tensao em algum ponto de referenda. Se escolhermos esse ponto de referenda como estando no infinito, entao a tensao entre o ponto e o infinito e referida como o potencial absoluto de urn ponto e e definida como

(3.41) 00

Aqui, a tensao em um ponto r e o trabalho por unidade de carga necessaria para mover uma carga do infinito para o ponto em questao. A tensao entre dois pontos devido a uma carga pontual e dada por (3.37). 0 potencial absoluto de urn ponto a uma distancia r de uma carga pontual pode ser obtido fazendo-se ra -7 oo e considerando rb = r naquela expressao, resultando em (3.42) Podemos, similarmente, determinar o potencial absoluto de um ponto devido a uma distribui<;.:ao de cargas somando-se as contribui<;.:oes das amostras diferenciais de cargas, dQ. Tratando essas amostras de cargas como cargas pontuais e usando (3.42), obtemos a contribui<;.:ao diferencial- o potencial absoluto de urn ponto devido a essa amostra de carga, como mos:.rado na Fig. 3.23:

dV=_!!2_ 41TeR

(3.43)

onde a amostra diferencial de carga e dQ = p0dv. 0 potencial absoluto total de urn ponto devido a distribui<;.:ao de cargas pode ser obtido da forma usual somando-se (com uma integral) as contribui<;.:oes de todas as amostras de cargas:

(3.44) v

Isto e muito semelhante ao metoda de determina<;.:ao do campo eletrico devido a uma distribui<;.:lio de cargas como mostrado na Fig. 3.6. Contudo, quanta atensao existe uma diferen<;.:a significativa. No caso do campo eletrico, a integral envolvia vetores, enquanto a integral para determinas.:ao da tensao nao. Assim, a vantagem de determinar o potencial absoluto por esse metoda e que grandezas vetoriais nao sao usadas, e as integrais sao muito mais simples do que o metoda direto em termos do campo eletrico como em (3.34). Esse metoda e aplicavel apenas as distribui<;.:oes de cargas que sao finitas. Sea distribui<;.:lio de cargas se estende ao infinito, tal como uma linha de cargas de comprimento infinito, o potencial absoluto nao pode ser definido.

v dQ=pvdV

Figura 3.23 Detennina\!1io do potencial absoluto de urn ponto devido a uma distribuigao de cargas pela superposigao das contribuigoes devido as amostras diferenciais de cargas.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) I> 81

z h.

e ---:;

Q0----

/ /

/ / /

~------~~"----------~y /

, ," R-

(a)

(b)

1Fi!!lnr<113.24 Exemplo 3.12; determinagao da distribuigao de potencial em tomo de urn dipolo eletrico de carga. (a) Estabelecimento do problema no sistema de coordenadas esfericas. (b) Uso da aproximagao de linhas paralelas para simplificar a determinagao do potencial considerando que a distancia do dipolo ao ponto e muito maior que a separagao entre as cargas.

Determine o potencial absolute de urn dipolo eletrico. SfQI!lJJ~Ai:D 0 dipolo consiste em urn par de cargas pontuais de polaridade oposta, separadas por uma distancia l, como mostrado na Fig. 3.24. Escolhemos o sistema de coordenadas esfericas e colocamos as cargas sobre o eixo z, simetricarnimfe dispostas em relaqao a.-origein.Uesejamos o pofe!l.ciaiaos011lto em urn pm:i.to queesta a umadistancia r da origem do sistema de coordenadas e em urn anglllo eem relagao ao eixo z positivo. Somando-se as contribuig5es devido a cada carga, temos

V=-Q __ 47reR+

47reR-

(3.45)

Vamos assumir que o ponto onde desejamos determinar o potencial absolute esta a uma distancia r muito grande das cargas pontuais comparada como seu espagamento, l, isto e, r > > l. Neste caso, as linhas de distancia de cada carga ao ponto, R+ e R-, sao aproximadamente paralelas, como mostrado na Fig. 3.24b. Assim, essas distancias podem ser escritas como +

l == r- -cose 2

l R == r + -cose 2

Assim, (3.45) se toma

82 !P- Capitulo Tres

Impondo a condigao r > > l, temos

V == --cos8 47Te~

3.5.2

[)ete~mina~ao

(3.46)

r >> l

do Campo Eletrico a !Partir da mstribuu~ao de IPotem:ial

Para aqueles problemas de distribui\!1iO de cargas de extensoes finitas, de forma que o potencial absoluto possa ser definido e determinado atraves de (3.44), e possfvel determinar o campo eletrico a partir do potencial. Considere a defini9ao de tensao em termos do campo eletrico como

V=-IE·dl Tomando-se a derivada total de ambos os lados em coordenadas retangulares, temos dV

av ax

av ay

av az

= -dx + -dy + -dz =

-E · dl

Mas isto pode ser escrito como

av + -ava + -a. av ) · dl = - E · dl (-a. x aY aX y .:. a~-

gracliente de V

Comparando-se ambos os lados, temos

IE = - gradiente VI

(3.47)

onde, em coordenadas retangulares,

av ax

av ay

av ) az

gradiente V = (-ax + -ay + -az

(3.48a)

Assim, o campo eletrico pode ser determinado em termos do gradiente do potencial. Nos sistemas de coordenadas cilindricas e esfericas, a opera91io gradiente se toma

av + 1 --:i:a<P av + -az av ) ar r a'f' az

gradiente V= (-ar

av + -1 -ava + - 1- -ava ) 0

gradiente V = (- a ar r

r ae

rsene

aqy "'

cilfndrico

esferico

(3.48b)

(3.48c)

0 termo gradiente se refere ao fato de que, a medida que nos movemos perpendicularmente as superficies eqilipotenciais, o campo eletrico associado aumenta ou diminui na mfudma taxa em rela9ao a distancia percorrida. Assim, para nos movermos em uma dire9ao de forma que o campo eletrico aumente em sua maxima taxa em rela91io adistancia, escolhemos o caminho que seja perpendicular as superficies eqilipotenciais. i:r· EXEMPLO 3.13 Detennine o campo eletrico de urn dipolo eletrico a partir do potencial obtido no Exemplo 3.12.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) i>- 83

SIDliUll~.iii(VJ Usaremos o sistema de coordenadas esfericas. 0 potencial a uma grande distancia·do dipolo edado em (3.46) como

Ql 4?Ter

V==--9 cose Substituindo-se isto em (3.47) e usando a expressao do gradiente em coordenadas esfericas dada por (3.48c), temos E = -gradiente V = _!_(_!l!_cose)a -

iJr 4?Ter'!

.!:_~(_!l!_cose)a r iJ8 4?Teil '

- 0

a,~

resultando em lE = (

QZ cose)ar + (~ sene)a8

2?Ter3

4?Ter

que eshi de acordo com (3.14) .

.:>·

(3.49)

3.6 CAPACiTANCIA 0 conceito de capacitancia foi introduzido nos primeiros cursos de circuitos eletricos. Investigaremos, agora, a determinac;ao da capacitaucia de diversas estruturas. Se uma bateria e aplicada a dois condutores metilicos, carga sera transferida da bateria para os condutores: uma carga positiva residira em um condutor e uma carga igual, mas oposta, no outro. A carga transferida e uma carga livre, de forma que os eletrons fluem atraves dos fi.os condutores metilicos. Para uma tensao V aplicada entre os dois condutores, resultando em uma carga livre total, Q, depositada ou armazenada nos condutores do capacitor, a capacitaucia da estrutura e definida como

(3.50) A unidade de capacitaucia e coulomb por volt, a qual e dado o nome de farad (F). Esse nome e em homenagem a Michael Faraday, que fez signifi.cativas contribuic;oes ao Eletromagnetismo. Sua celebre lei seraestudada no capitulo seguinte. -~-- · Talvez a estrutura mais simples de capacitancia seja o capacitor de placas planas e paralelas consistindo em duas placas condutoras de area A e separac;ao d, mostrado na Fig. 3.25a. Uma sec;ao reta e mostrada na Fig. 3.25b. A carga livre depositada sabre as placas gera um campo eletrico dirigido de uma placa para outra. A maioria das linhas de campo e perpendicular as placas, mas uma parte desse campo eletrico, nas bordas das placas, curva-se, e e chamado de campo de franjamento." Assumiremos que a separac;ao das placas e pequena o suficiente, comparada com a area da placa, de forma que poderemos ignorar o franjamento ou encurvamento do campo nas bordas. Assim, o campo eletrico e perpendicular as placas e e

E=y d

•Alguns auto res preferem a expressiio campo de bordas. Tal distorgiio do campo e devida ao maior acumulo de cargas em superfide com pequenos raios de curvatura tais como: quinas, arestas, bordas, pontas, etc. Tal efeito e conhecido como "efeito das pontas" ou "poder das pontas". No caso dos capacitores, esse efeito e altamente indesejavel, consistindo em urn problema serio para os fabricantes de capacitores para regime de trabalbo em altas tensoes. No entanto, em outros casas, como no para-raios, par exemplo, tal efeito e uti!, para niio dizer fundamental. (N.T.)

84 B> Capitulo Tres

(a)

Area A

+)t

l Âˇt t:! 1 (b)

Figura 3.25 Determinar;ao da capacitancia de um capacitor de placas paralelas. (a) Ligando uma bateria fornecendo carga Q, que e armazenada nas placas. (b) 0 campo eletrico entre as placas, ilustrando o encurvamento (franjamento) do campo nas extremidades das placas. Sea area das placas for muito maior que a separar;ao entre elas, esta curvatura pode ser desprezada e as linhas de campo eletrico sao consideradas como sendo todas perpendiculares as placas.

A partir dos resultados anteriores para o campo eletrico devido a uma lamina infinita de cargas, o campo eletrico e tambem [veja (3.12)] E

= !!.;__ 2e

= 2eA onde a densidade superficial de carga em cada placa e assumida uniformemente distribuida sobre essa placa, de modo que Q = p,A. Mas isso foi para uma placa, de forma que o campo para ambas as placas e

E=eA

Resolvendo isto, temos

c = 5!_

(3.51)

Campos Eletromagneticos Estaticos ICC)

PsCfm2

-0-

{~~} +

~+------s ----~

IFigufl'a 3.26 Exemplo 3.14; determinac;;ao da capacitancia par unidade de comprimento de uma linha de transmissao a dois fios.

Assumimos que-6 ineio elCistente entre as duas placas tern permissividade e. 3.6.1 IOetewmimu;:io tdla tapacita1111a::ia l!lle Algi!Dmas IEs~ri!Dti!Dnlls TDpia::as

A determina91io da capacitancia para outras estruturas segue urn caminho similar. Depositamos uma certa carga (positiva em urn condutor e uma carga igual mas oposta sobre o outro condutor). Entao, determinamos o campo eletrico resultante e, assim, a tensao efetiva entre os dois condutores, e obtemos a capacitancia partir de (3.50). Os exemplos seguintes ilustram esse metodo.

Determine a capacitfincia par unidade de comprimento para uma linha de transmissao a dais fios.

sowcAo o problema consiste em dois condutores paralelos de raio a que estao separados por uma distancia s, como mostrado na Fig. 3.26. Os condutores sao de comprimento infinito e tern uma distribuic;;ao de carga p, Clm2 uniforme ao longo de seu comprimento e proximo as suas extremidades, com uma carga positiva em urn condutor e uma carga igual, mas negativa, no outro. A considerac;;ao de que a carga esta uniformemente distribuida, mesmo nas extremidades, e uma aproximac;;ao. Amedida que os condutores sao aproximados, as distribuic;;oes de cargas irao tender a se concentrar nas superficies e nao mais serao uniformes. Contudo, isso complica o equacionamento, de forma que assurnrreiDOS que a razao entre a separa~aO do condutor e 0 raio, s/a, egrande 0 Slifi.Ciente (u5ualillente a razao de 5 a 10 esuficiente e etipica para linhas de transmissao), de forma que a carga esta uniformemente distribuida, mesmo nas extremidades. Com esta considerac;;ao podemos, novamente, utilizar o resultado anterior. Obtemos, no Exemplo 3.9, a tensao entre dois pontos nas distfincias radiais Âˇr. e rb a partir de uma linha de cargas infinita apresentando uma distribuic;;ao de carga p1 Clm como

A tensao total entre os dois cilindros na Fig. 3.26 r. = s - a == s e rb = a (p1 = p)'T'ia ):

por superposic;;ao, duas vezes este resultado, com

A carga por unidade de comprimento ep1, de forma que a capacitfincia por unidade de comprimento (denotada pela letra minuscula c) e

v 7T8

=--

m(~)

F/m

(3.52)

86 f> Capitulo Tres . Uma linha de transmissao tfpica usada para conduzir o sinal de uma anten~ de televisao no telhado para o aparelho de TV na residencia e conhecida como cabo ou linha paralela, o e consiste em dois fios paralelos de raio a = 0,5 mm e separa91io s = 0,6 em, fornecendo uma capacitilncia por unidade de comprimento dec 11 pF/m.

..••I,

Determine a capacitilncia por unidade de comprimento de urn cabo coaxial. SILlllll~AO As dimensoes estao mostradas na Fig. 3.16. A tensao entre os cilindros interno e externo foi determinada em (3.40) como

V = Psa e

1n(!?_) a

A distribui91io de carga por unidade de comprimento e p1 = Ps27ra, de forma que a tensao se torna

v = _€!_In(!?_) 21Te

A carga por unidade de comprimento ef11, de forma que a capacitilncia por unidade de comprimento (denotada pela letra minuscula c) e c

v 21Te

=--

ln(~)

F/m

(3.53)

Urn cabo coaxial comum edesignado como RG-58U cujo cilindro interno eurn fio de raio 0,406 mm e cuja "blindagem" externa tern urn raio internode 1,47 mm. 0 dieletrico no cabo eo polietileno para o qual e, = 2,3. Isto fornece urna capacitilncia por unidade de comprimento de aproximadamente 100 pF/m. ft>· EXERC[CJO DE REVISAO 3.8 Determine a capacitilncia de duas esferas concentricas, com a esfera interna tendo raio a e a esfera externa tendo raio b. ~IE$ POSTA

41Te/(1/a - 1/b).

3.7 CORRENTE EVETOR DENSIDADE DE FLUXO MAGNET! CO Nas segoes anteriores, vimos que distribuigoes estaticas (fixas) de cargas produzem dois dos quatro vetores fundamentais do Eletromagnetismo: o vetor intensidade de campo eletrico E e o vetor densidade de fluxo eletrico D. Nas segoes seguintes, veremos que urn movimento continuo de cargas, ou seja, uma corrente contfnua (cc), produz os dois vetores fundamentais restantes: o vetor intensidade de campo magnetico He o vetor densidade de fluxo magnetico B. Assim, distribuigoes estaticas de cargas produzem campos eletricos, e correntes contfnuas produzem campos magneticos. Nos capitulos subseqiientes deste livro, veremos que, para correntes variantes no tempo, todos os quatro vetores estarao inter-relacionados. A corrente e o fluxo de cargas livres. Em urn material condutor como urn metal, os eletrons ex:temos dos atomos est1io livres para se mover sob a influencia d.e urn campo eletrico. Em alguns outros materi-

•Essa linha paralela ea conhecida linha de 300 ohms (de impedancia caracteristica) e eempregada como liga9iio entre a antena simples (sem booster) eo aparelho de TV. Aquino Brasil o revestimento plastico (dieletrico) desse tipo de linha e, normalrnente, apresentado nas cores branca e preta. (N.T.)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) I> 87

t Figura 3.27 ,Ilustra~ao da determina~ao da corrente total atraves de uma superffcie pela adit:;:ao das componentes do vetor densidade de corrente J que sao perpendiculares a superffcie.

ais, o fluxo de cargas e uma combinac;;ao das cargas positivas e negativas, como no plasma e em materiais semicondutores. Descreveremos esta corrente com o vetor densidade de corrente J, que tern por unidade o Nm 2 â&#x20AC;˘ A corrente total fluindo atraves de uma superficie aberta, s, como mostrado na Fig. 3.27, e obtida com a int<;Jgral de superficie:

(3.54)

Isto e l6gico, pois a componente de J paralela a essa superficie nao contribui em nada para o fluxo de J atraves da mesma, e apenas a componente de J que e perpendicular asuperficie fomece uma contribuic;;ao. Em muitos materiais condutores, a densidade de corrente e proporcional ao campo eletrico que esta originando a forc;;a para mover a carga: (3.55)

Isto e conhecido como lei de Ohm. A grandeza a e a condutividade do material, cuja unidade e S/m, onde S e a unidade de condutividade em siemens. Note-se que o produto da unidade de a e da unidade de JE resulta em VS/m2 ou A/m 2â&#x20AC;˘ 0 cobre e urn metal comumente usado para fabricar fi.os e tern uma condutividade de a= 5,8 X 107 S/m. Para os materiais simples que iremos considerar, as direc;;5es de J e JE sao as mesmas, eo material e dito isotr6pico. Tambem nestes materiais simples, a condutividade a nao depende da magnitude de JE, e os materiais sao ditos lineares. Âˇ Aresistencia de urn bloco de material condutor e a razao da queda de tensao entre as duas extremidades e a corrente total atraves do material: R = VII. Considere urn resistor consistindo em urn bloco cilfndrico de material condutor como o cobre, de raio a, como mostrado na Fig. 3.28. Uma bateria de tensao V e aplicada nas extremidades, e uma corrente I passa atraves do cilindro. Assumimos que a corrente e

----L---?-

!Figura 3.28 Determina~ao da resistencia de urn flo.

jl\>

Capitulo Tres

uniformemente distribuida sobre a sec;ao reta do cilindro (o que e verdade para uma corrente continua). Assim, a densidade de Corrente e

A tensao aplicada sobre o comprimento L do material produz urn campo eletrico ao longo do mesmo cuja expressao e

E=L

Substituindo as duas Ultimas equac;oes na lei de Ohm em (3.55), temos I

V L

-=cr7Ta2

Resolvendo, temos

de onde se depreende que a resistencia e (3.56)

As cargas eletricas nao podem ser criadas nem destruidas. Assim, se consideramos uma superffcie fechada, s, e examinamos o fluxo total de carga para fora da superffcie, obtemos a formulac;ao matematica da conserva!(iio das cargas como

ltJÂˇM~o~

(3.57)

Isto e vilido para correntes que nao sao variantes no tempo (cc). Isto e essencialmente a lei de Kirchhoff para correntes se a superffcie fechada s e considerada como urn n6 de urn circuito a parfunetros concentrados.

3.7.1 lei de Biot-Savart As correntes devem necessariamente formar caminhos fechados. Contudo, podemos examinar as contribuic;oes para o campo magnetico devido a comprimentos diferenciais dessa corrente. Consideremos a Fig. 3.29, onde mostramos urn elemento diferencial de corrente Idl. Numa distancia R desse elemento diferencial de corrente, a contribuic;ao diferencial para o vetor densidade de jluxo magnetico, dB, e dada pela lei de Biot-Savart:

(3.58)

Figura 3.29 Dustrac;ao da lei de Biot-Savart para a determinagao do vetor densidade de fluxo magnetico B devido a urn elemento diferencial de carrente.

Campos Eletromagneticos Estiiticos (CC) I> 89

onde aR e urn vetor unitano apontando do elemento de corrente para o ponto no qual estamos determinando o campo magnetico. 0 vetor B e o vetor densidade de fluxo magnetico cuja unidade e o weber (Wb) por metro quadrado. Esta unidade e equivalente ao tesla (T) onde 1 T = 1 Wb/m2 • Eassim denominada em homenagem a outro pioneiro no campo da eletricidade." A constante f.La e a permeabilidade do vacuo e e J.Lo

= 41T

X 10-7

H/m

(3.59)

A unidade eo henry (H) por metro, que e uma indutancia por unidade de distancia. Mais sera dito sobre indutancia posteriormente neste capitulo. Outro meio magnetico, que sera considerado mais adiante, caracteriza-se pela permeabilidade f.L· Observe que o vetor densidade de fluxo magnetico eproporcional ao produto do comprimento do elemento de corrente e da corrente e e inversamente proporcional ao quadrado da distancia do elemento ao ponto. Assim, ela e uma lei do inverso do quadrado da distancia, assim como a lei de Coulomb, e apresenta muitas similaridades a esta Ultima. A principal diferenga e que a dim;;iio do vetor densidade de jluxo magnetico resultante eperpendiculm· ao plano contendo o elemento de corrente eo veto1· distancia ao ponto, de acordo com a regra da milo di1·eita. Como o produto vetorial e proporcional ao seno do angulo entre 0 elemento de COITente e 0 vetor distancia, 0 vetor densidade de fluxo magnetico e zero nas extremidades do elemento de Corrente e ma'dmo em pontos perpendiculares ao referido elemento.

3.7.2

i!)eft®li'mDIIMll~aiD ldlo Cm~miJlliD Mm!@lllleftico IJllml i'ml mstli'ihi~iJJIPJS ille Coli'r®llllftes

A lei de Biot-Savart pode ser usada para determinar o vetor densidade de fluxo magnetico total devido a urn circuito fechado de corrente pela soma das contribuigoes de todos os elementos diferenciais de corrente que constituem aquele circuito, ou seja, usando supe·rposi9iio de efeitos. Is so ebastante semelhante ao metoda usado para deterrninar o campo eletrico devido as distribuig6es de cargas consideradas anteriormente. A principal diferenga aqui eque a diregao do vetor resultante eurn pouco mais complicada, e deve ser determinada pela regra da mao direita. Os exemplos seguintes ilustram esse processo para diversos circuitos de corrente.

· Determine o campo magnetico devido a urn elernento de corrente de comprimento L conduzindo uma corrente I. SllllUJ~Ji!OJ Para tirar proveito da simetria, colocamos o elemento de corrente ao longo do eixo z do sistema de coordenadas cilindricas, com metade dele no eixo +z e a outra metade no eixo -z como mostrado na Fig. 3.30a. Iremos determinar o campo magnetico apenas em distfincias r a partir do ponto medio, contados ao Iongo de retas perpendiculares, ao elemento de corrente para simplificar a integral. Pela regra da mao direita e por simetria, o vetor densidade de flmm magnetico esta na direc;:ao 1> do sistema de coordenadas cilindricas em torno do elemento de corrente. A contribuic;:ao diferencial para o campo devido ao elemento de correrite e

JLol dz dB = - 2 sen(a)aq, 47TR

A distfincia do elemento de Corrente ao ponto e

R=Vr2 +r

Nikola 'Tesla (1856-1943)- engenheiro eletricista, modalidade eletrotecnica, nascido na Crmicia, que na epoca fazia parte do imperio austro-hungaro. Talvez o maior engenheiro eletrotecnico de toda a Hist6ria, visto que entre suas geniais invengoes constam a corrente alternada, o motor de induglio, etc. Seu sistema de distribuiglio utilizando corrente alternada superou, na epoca, o sistema de corrente continua de ninguem mais, ninguem menos, que Thomas Alva Edison (1847-1931), urn americano genial que inventou a lampada eletrica, a camera cinematognifica, o fon6grafo, etc. (N .T.) 0

~;;>

Capitulo Tres .

(a)

'G{ ~ (b)

Figura 3.30 Exemplo 3.16; determinar;:ao do campo magnetico devido a uma llnha de corrente. (a) Simplificando o problema tirando vantagem da simetria. (b) Ilustrar;:ao do fato de que o campo magnetico ern toroo de urna llnha infinita de corrente esta circunferencialrnente orientado.

e o seno do angulo envolvido no produto vetorial e sen(a)

sen(/3

= cos(/3)

r R Assirn, para obtermos o campo resultante, sornamos as contribuir;:5es de todos os elementos de corrente, obtendo L/2

lB=

f.Lol

rdz

47T (r2

+ z2?f2 aq,

-L/2

Para calcular esta integral, usamos (3.8) e obternos L/2

p,Jr

B=--

47T [ r2"/r2

aq,

+ z2 ] -L/2

resultando ern

(3.60) Para urn filarnento de corrente de cornprirnento infinito, fazernos L ~ oo, obtendo

(3.61) Este Ultimo resultado para o vetor densidade de fluxo rnagnetico devido a urn elernento de corrente de cornprirnento infinito eurn importante resultado que sera usado ern inurneras ocasi5es. Assim, ele deve ser rnernorizado. Ele sera rnais facilrnente obtido, posteriormente, usando a lei de Ampere. Observe-se que o campo rnagnetico ern torno

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) I> 91

de urn elemento de corrente de comprimento infinito e circunferencialmente direcionado de acordo com a regra da mao direita e e constant!;! ao Iongo de circunferencias de raios genericos r, como mostrado na Fig. 3.30b. ,J

> JE)CEMI?UD 3.H Determine a densidade de fluxo magnetico devido a urn anel circular de corrente, de raio a, em uma distancia d a partir do ponto media, contado ao Iongo da linha perpendicular ao anel. sm.UJ~Ao 0 problema esta esbo9ado na Fig. 3.31. Pelo esquema, vemos que as componentes horizontais se cancelam quando as contribui~toes de todos os elementos diferenciais de corrente sao somadas, deixando apenas as contribui~toes verticais na dire~tao z. Assim, a contribui~tao diferencial e

dB =

JLJ adcp sen(a)cos(/3)a- z > 0 47T R2 N

Aqui, o angulo a envolvido no produto vetorial e de 90Â° e, assim, sen( a) que se obtenha a componente vertical, na dire9ao z, e dado por cos(/3)

= l. Mas cos(/3), o qual e necessiirio para

=cos(~- 1/J) =

sen(l/1) a

e R=

+ d2

Assim,

JB=

Mas esta e uma integral simples, ja que o integrando nao depende da variavel de integra~_;!ao,

cp. Assim, obtemos (3.62)

t____ _

/\ f3 ~;r Z=

Âˇ""/ dB

Figura3.31 Exemplo 3.17; determina~tao do campo magnetico para uma espira de corrente (dipolo magnetico).

ll.t>

Capitulo Tres

No centro do anel d = 0, o que nos leva a f.Lol

lB =-a.. d = 0 2a â&#x20AC;˘

(3.63)

A urn a distancia muito grande do anel, comparada ao seu raio, d > > a, temos f.Lola2

lB =

d3 a: d > > a

(3.64)

0 resultado para uma grande distancia do anel em (3.64) indica que o campo magnetico de urn anel de corrente decai em intensidade com o cubo da distancia. Podemos, de forma similar, determinar o campo magnetico em outros pontos que niio sejam p.erpendiculares ao anel e alinhados com o seu centro, somando-se as contribuic;oes dos elementos diferenciais de corrente e usando a lei de Biot-Savart. Mas as integrais resultantes seriam dificeis de serem calculadas. 0 resultado completo para grandes distancias do anel, r ~ a, no sistema de coordenadas esfericas e f.Lom

B = ---:i(2 cos8ar +sen8a 0) r >>a 47Tr

(3.65)

onde o momenta de dipolo magnetico e

(3.66)

(a)

(b)

Figura 3.32 Ilustragiio da similaridade de (a) o campo magnetico em tomo de uma espira de corrente (urn dipolo magnetico) e (b) o campo eletrico em tomo de urn par de cargas eletricas (urn dipolo eletrico).

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !? 93

0 momenta de dipolo eo produto da area do anel pela corrente. Ao longo do eixo z, (} = 0Â°, (3.65) se reduz ao resultado anterior para d il> a em (3.64). No plano que contern o anel, 6 = 90Â°, (3.65) rnostra que o campo eletrico esta na diregao -z. A Fig. 3.32a apresenta a distribuigao do campo ern tomo do anel. Ele e circunferencialrnente simetrico ern relagao ao eixo z. Compare esse grafico ao do campo eletrico devido a urn dipolo eletrico rnostrado na Fig. 3.32b. 0 anel circular de corrente e dito como sendo urn dipolo magnetico e sera urn instrurnento util para ~r.: explicar como os rnateriais magneticos sao rnagnetizados.

r> EXEMPlO 3.18 Determine a densidade de fluxo magnetico para urna lfuni.na plana e infinita de corrente conduzindo urna densidade superficial de corrente K Nrn que esta dirigida ao longo de urn eixo da lamina. Urna densidade superficial de corrente pode ser vista como urn conjunto infinito de filamentos de corrente de comprimento infinito que estao distribuidos sobre a superficie. Assim, uma dimensao (ao longo da corrente) e rernovida, e a distribuigao e referida em relagao adirnensao perpendicular acorrente.

SOILllCA!O Colocarnos a lamina de corrente no plano xz do sistema de coordenadas cartesianas retangulares, conforrne mostrado na Fig. 3.33. Ern seguida, utilizamos o resultado anterior para urn filarnento infinito de corrente dado em (3.61). Para fazermos isto, dividimos a densidade de corrente ern filamentos de corrente I= Kdz A dirigidos na diregao do vetor densidade de corrente: a diregaox. A contribuigao diferencial para o campo magnetico em urn ponto a uma distancia y cl distante da laminae, de acordo com (3.61),

n.Kdz 27TR

= _r_o_

A contribuigao diferencial para o campo magnetico de um filamento de corrente simetricamente disposto tem a mesma intensidade

A diferenga entre os dois reside na diregao. Contudo, observamos que as cornponentes horizontais na diregao y se cancelam, deixando o total como a soma das componentes na diregao z

dB 1 cos(a) + dB 2 cos(a)

p.0 Kdz --:;;:::R cos (a)

Figura 3.33 Exemplo 3.18; deterrninagao do campo magnetico de urna lamina de corrente encarando-a como urn conjunto de linhas de corrente e superpondo esses campos.

Capitulo Tres a qual esta na dire<;ao +z e cos(a)

R=Vd2 +z2 Assim, obtemos o campo magnetico total pela soma das conbibui96es desses filamentos de corrente simebicamente dispostas, obtendo

B= 0 calculo desta integral requer o uso da formula

1 d 1 dz + z2 z = dtan

1(Z)d

resultando em

P..o 2

=-](X a

(3.67) ll

onde an e urn vetor unitano perpendicular ou normal aliimina. Esse resultado, em termos de urn vetor normal, se aplica ao campo em cada urn dos lados da lamina. ''j fz,,. IEXERCiCiO DE REVISAO 3.9

Determine a densidade de fluxo magnetico entre duas longas laminas de corrente de densidades superficiais de corrente K Nm que estao em dire91ies opostas. RIESPI[lSTA B = p.,.K e e perpendicular a dire91io da corrente de acordo com (3.67), isto e, sea corrente na lamina superior e da direita para a esquerda, en tao o campo magnetico e perpendicular a ela e para fora da pa~

3.8 VETOR INTENSIDADE DE CAMPO MAGNETICO EMATERIAlS MAGNETICOS Os materiais magneticos sao, de urn modo geral, similares aos materiais dieletricos, no sentido de que dipolos esUio disponfveis ou sao criados e sao capazes de se alinhar como campo externo aplicado 0 (urn campo eletrico no caso de dieletricos e urn campo magnetico no caso de materiais magneticos). Os materiais magneticos sao urn pouco mais diversificados em suas propriedades do que OS materiais dieJetricos. A chave para entender como certos materiais magneticos sao magnetizados e visualizar OS atomos no modelo de Bohr como eletrons em 6rbita ao redor do nucleo. Esses eletrons orbitantes constituem urn anel de corrente (cuja diregao e oposta adiregao do movimento do eletron). No Exemplo 3.17, encontramos que urn anel de corrente de raio a produzia uma densidade de fluxo magnetico a uma distancia d do seu centro, contada sobre uma linha perpendicular ao a..TJ.el, dada por

p.ala2 B =-d d>>a 3 2

â&#x20AC;˘Muitas vezes denominado campo excitador. (N.T.)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) i> 95

Momento

m Nucleo de

urn atomo

_ _--Ehfltron orbitante Area A

(a)

(b)

fig1m11 3.34 llustrac;ao do dipolo magnetico em materiais magneticos. (a) 0 dipolo formado pelas cargas orbitantes nos atomos. (b) Rotac;ao do dipolo magnetico para se alinhar com urn campo magnetico extemo.

Para colocarmos isto de uma forma signifi.cativa, vamos novamente definir o momenta de dipolo magnetico do anel como o produto da corrente do anel pela area do mesmo: (3.68) onde a,. e urn vetor unitmo perpendicular ou normal ao anel. A unidade do momenta de dipolo magnetico e ampere vezes metro quadrado. Substituindo (3.68) no resultado anterior, temos a densidade de fluxo magnetico devido a urn anel de corrente e :perpendicular ao seil plano como B

f.Lom

21Td 3

(3.69)

Os eletrons orbitando no atomo podem ser vistas como tendo urn momenta de dipolo magnetico, e geram uma densidade de fluxo magnetico de acordo com (3.69) e mostrada na Fig. 3.34a. Se outro campo magnetico ex:temo, B, e aplicado, os dois campos magneticos interagem de forma a produzir urn torque nesse dipolo magnetico dado por

T=mXJB

(3.70)

como mostrado na Fig. 3.34b. Esse torque tende a girar o dipolo magnetico de forma a alinha-lo com o campo aplicado. Em urn material contendo urn grande m1mero de dipolos magneticos microsc6picos, o alinhamento dos dipolos com o campo aplicado leva a urn aumento do campo magnetico, como ilustrado na Fig. 3.35. 0 campo magnetico resultante e a soma vetorial do campo aplicado e do campo produzido pelo alinhamento dos dipolos magneticos. Assim, o alinhamento aumenta o campo magnetico total, resultando na magnetizayiio do material. Alem da magnetiza<;ao orbital discutida acima, os eletrons em si possuem momentos de dipolo devido ao seu spin. Para muitos tipos de materiais, os momentos de dipolo magnetico orbital e de spin aproxi.madamente se cancelam, e esses materiais sao chamados diamagniticos. Tres materiais desse tipo sao o cobre, o chumbo e a prata. Nos materiais diamagneticos exi.ste urn momenta de dipolo magnetico liquido muito pequeno. 0 campo magnetico intemo dos materiais diamagneticos e ligeiramente menor, mas

Capitulo Tres

... ;/m

(a)

(b)

Fi!JIIIra 3.35 Ilustra!(ao da polariza!(ao magnetica pelo alinhamento dos dipolos. (a) A orienta<;ao aleat6ria dos momentos de dipolo na ausencia de urn campo magnetico externo e (b) o alinhamento dos clipolos devido a urn campo magnetico externo.

aproximadamente igual ao campo aplicado. Em outros materiais, onde os momentos de dipolo magnetico orbital e de spin nao se cancelam, o atomo tern urn pequeno momenta de dipolo magnetico. Contudo, a orientagao aleat6ria desses dipolos produz apenas um momento de dipolo magnetico resultante muito pequeno, e a aplica9ao de urn campo magnetico extemo pode fazer com que os momentos se alinhem. 0 campo magnetico resultante e ligeiramente maior que o campo aplicado. Esses materiais sao chamados paramagneticos. Dois materiais desse tipo sao o alumfnio eo ar. Existem quatro classes fi.nais de materiais que possuem momentos de dipolo magnetico fortes. Sao os materiais ferromagneticos, antiferromagneticos, Jerrimagneticos e supeTparamagneticos. Os materiais ferromagneticos possuem momentos de dipolo fortes. Em partes microsc6picas do material, denominadas domfnios, esses momentos se alinham, criando urn grande momento de dipolo magnetico. Em alguns desses materiais, quando o campo aplicado e removido, os momentos de dipolo nao retomam a uma situagao de cancelamento aleat6rio, e urn campo magnetico residual e criado. Esse fenomeno e chamado histerese e e comum em materiais como o ferro, o cobalto e o nfquel. Em outros materiais, chamados antiferromagneticos, os momentos de dipolo magneticos de :itomos adjacentes se alinham opostamente uns aos outros, gerando urn momenta magnetico resultante igual a zero. Os materiais ferrimagneticos tambem possuem alinhamentos opostos dos momentos de dipolos atomicos, mas eles nao sao iguais, gerando, entao, urn a grande resposta a urn campo magnetico aplicado. As ferrites sao uma importante classe de materiais ferrimagneticos e encontraram urn uso crescente nos dispositivos eletronicos e na prevengao de interferencia em sistemas eletronicos. Elas tendem a ter alta resistividade e perdas que aumentam com o aumento da f'reqiiencia do campo 11plicado. Exemplos de ferrites sao o nfquelzinco e o manganes-zinco. Os materiais superparamagneti6os consistem em partfculas ferromagneticas unidas porum dieletrico nao-ferromagnetico. Estas podem~er usadas para serem seletivamente magnetizadas em distancias muito pequenas e sao tfpicas de matenais usados em fJ.tas magneticas de gravagao. Vimos que os dipolos de materiais dieletricos produzem urn campo eletrico intemo e urn vetor polarizagao associado, P, o qual e somado ao campo eletrico extemo aplicado, e0 E, criando urn campo eletrico resultante de acordo com (3.17). Similarmente, o alinhamento dos dipolos magneticos em materiais magneticos produz urn campo magnetico intemo que e somado ao campo magnetico aplicado, criando um campo magnetico resultante que e maior que o campo magnetico aplicado. Para caracterizar tais ..

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) I> 97

materiais, definimos o vetor magnetizayiio como o rrwmento de dipolo par unidade de volwne [compare com (3.16)]:

2:mi

M= ~-i- A/m Ao-+0 !lv

(3.71)

A unidade dos momentos de dipolo individuais em (3.68) e Am2 â&#x20AC;˘ Assim, a unidade do vetor magnetizac;ao e Aim. 0 vetor magnetizac;ao e o vetor densidade de fluxo magnetico aplicado sao paralelos. De forma semelhante aos campos eletricos e materiais dieletricos, somas levados a definir a Ultima das nossas quatro importantes grandezas vetoriais do Eletromagnetismo, o vetor intensidade de campo rnagnetico, H. No vacuo, o vetor densidade de fluxo magnetico 1B e este vetor intensidade de campo magnetico H estao relacionados pela permeabilidade do espac;o livre, JL0 , por meio de

IJB = JL0 H

(3.72)

vacuo I

A unidade de H e Aim. Quando um material magnetico e introduzido nesse campo, os dipolos magneticos se alinham com o campo aplicado e somam-se a ele. Assim, o vetor densidade de flu.'Co magnetico total e

IJB

(3.73)

= J.LoH + f.LoM I

Relembremos que a unidade do vetor magnetizac;ao M e Aim, a qual e a mesma que a de H. 0 vetor magnetizagao M esta relacionado ao vetor intensidade de campo magnetico atraves de (3.74) onde Xm e asttsceptibilidade magnetica do material. Substituindo (3.74) em (3.73) e rearranjando os termos, temos

= f.Lo(l + Xm)H

(3.75)

'----v----'

JL,.

A grandeza (1 + Xm) e chamada de permeabilidade relativa do material: f.Lr = -~

{l + Xm)

(3.76) -

--~--

Assim, o vetor densidade de fluxo magnetico e o vetor intensidade de campo eletrico podem ser relacionados por intermedio de (3.77) onde a permeabilidade do material e f.L

= f.Lrf.Lo

Him

(3.78)

Os materiais diamagneticos tern uma permeabilidade relativa ligeiramente menor que a unidade, e os materiais paramagneticos tern uma permeabilidade relativa ligeiramente maior que a unidade. Por exemplo, a prata tern JL,. = 0,99999981 eo alumfnio tern JL,. = 1,00000065. Os materiais ferromagneticos tern pe~meabilidades relativas muito grandes. Por exemplo, em cc, uma lamina de ac;o tern JL,. = 2000 e o mumetal tern J.L,. = 30.000. Um material isotr6pico e aquele em que 1B e H estao na mesma direc;ao. Um material linear e aquele em que a permeabilidade nao depende de H. Existem importantes materiais nao-lineares, tais como o ferro, que sao ferromagneticos. Esses materiais ferromagneticos possuem uma relac;ao nao-linear entre JB e H atraves de uma curva de histerese, mostrada na Fig. 3.36a. Nao apenas a relac;ao e nao-linear, como tambem fica evidenciado que, amedida que o material e magnetizado pelo aumento de H, quando H volta ao valor zero, existe um B remanente ou magnetizac;ao residual do material. Alem disso, a

98 lt> Ca pftulo Tres

(a)

'--v--'

l!..H (b)

Figura 3.36 Ilustra<;ao da nao-linearidade da rela<;ao entre os campos B e Hem urn material ferromagnetico. (a) A curva de histerese. (b) Ilustra<;ao do efeito de satura<;ao em urn material ferromagnetico como o ferro.

permeabilidade depende da intensidade do campo aplicado, como mostrado na Fig. 3.36b. A permeabilidade incremental e a inclinagao da curva B-H ou a razao

Para valores cada vez maiores de H, a inclinagao da curva B-H diminui, gerando, portanto, valores menares de permeabilidade efetiva. A maior inclinagao, e assim a maior permeabilidade efetiva, ocorre para pequenos valores de H. A diminuigao da permeabilidade efetiva pelo aumento da intensidade do campo magnetico aplicado e conhecida como satura9iio. Nao consideraremos materiais nao-lineares ou anisotr6picos neste livro, de forma que Be H podem ser livremente inter-relacionados com (3.77). Esta relagao linear persiste, como uma aproximagao razoavel, para muitos materiais magneticos se o campo magnetico aplicado e suficientemente pequeno para evitar a saturagao. Alem do fenomeno da saturagao, a permeabilidade relativa dos materiais ferromagneticos muitas vezes de pende da frequencia. Por exemplo, em 1 kHz; a permeabilidade relativa do mumetal e da ordem de f-tr = 30.000; ja em 20kHz, sua permeabilidade relativa cai para f-tr = 2000. Uma lfunina de ago, por outro lado, tern uma permeabilidade relativa de f-tr = 2000 de cc ate 100 kHz.

ftÂˇÂˇ 3.9 LEI DE AMPERE Na Segao 3.7.2, mostramos como calcular o vetor densidade de fluxo magnetico usando a superposigao de elementos de corrente e a lei de Biot-Savart. Isto requeria o calculo de algumas integrais moderadamente complicadas para muitos problemas. A lei de Ampere ira permitir a solugao direta de muitos desses problemas sem o calculo de quaisquer integrais. A lei de Ampere e formulada como

H ' dl

= I envoivida

(3.79)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) i> 99

Superffcie s

Fig11ra 3.37 llustra<;ao da lei de Ampere relacionando o campo magnetico aCOrrente de condut;ao e aCorrente de deslocamento.

onde

I envolvida =

fÂ§ ' d.s

(3.80)

Ela essencialmente estabelece que a soma dos pmdtttos das componentes de H que silo tangentes a mn contomo fechado c" pelos comprimentos diferenciais do contomo ira fomecer a c01-rente resttltante passando atraves da superfÂŁcie envolvida par esse contomo. Isto esta ilustrado na Fig. 3.37. A lei de Ampere e similar alei de Gauss para o campo eletrico em (3.22), onde a soma dos produtos das componentes do vetor densidade de fluxo eletrico que sao perpendiculares a uma superflcie fechada pelas superficies diferenciais fomece a carga resultante envolvida pela superflcie. 3.9.1 !Oetermoi!UllifalO do Cam~o Magl!1etnco ~a~a mst!l'UblliUifOIBS idle ComeBlltiB

A versatilidade da lei de Ampere e que ela nos permite escolher o contomo c. Uma escolha inteligente desse contomo, que explore a simetria, ira simplificar consideravelmente a determina9ao. Alem disso, -terenios umaVfsa6 ma1s global do que utiliZando OS m6fodos de superpos19ao integra9aO direta lan9ando mao da lei de Biot-Savart. Assim, como na lei de Gauss para o campo eletrico, devemos tentar escolher o contomo de forma que o campo H seja tangente em qualquer ponto do mesmo, resultando na remo9ao do produto escalar da integral:

ede

e que a magnitude de H seja independente da posi9ao nesse contomo, de forma que ela possa ser removida da integral, resultando em

'---.---'

comprimento do_contqrno

Os exemplos seguintes ilustram sua utiliZa9ao e seu poder de calculo.

"Este contomo e comumente denominado "linha amperiana". (N.T.)

100 l> Capitulo Tres

Detennine o campo magnetico devido a urn elemento de corrente de comprimento infinito.

SOWCAO Colocamqs o elemento de corrente ao longo do eixo z do sistema de coordenadas cilindricas como mostrado na Fig. 3.38. Por simetria, vemos que o campo magnetico esta na dire(_(ao cfJ por toda parte e que ele e constante ao Iongo de urna circunferencia perpendicular alinha. Assim, escolhemos o contorno c como urna circunferencia de raio r paralela ao plano xy. A primeira propriedade permite removermos o produto escalar da lei de Ampere e a segunda propriedade permite removermos H da integral, conduzindo a

Assim, obtemos facilmente o vetor intensidade de campo magnetico como sendo I 21Tr

H=-aq,

(3.81)

Substituindo (3.77) temos o vetor densidade de flmw magnetico como

JLl

B=-a 21Tr 4>

(3.82)

Este eo mesrno resultado obtido no Exemplo 3.16, Equa(_(ao (3.61), por integragao direta usando a lei de Biot-Savart, mas foi obtido de rnaneira rnuito rnais simples usando a lei de Ampere. .,e~

> IE>CIEMPLO 3.20 Detennine o campo rnagnetico de urn cabo coaxial constituido por urn condutor interno cilfndrico de raio a e urn condutor externo na fonna de casca cilfndrica de raio interno b, operando ern altas freqiiencias.

1 -~::Âˇ

Figura 3.38 Exernplo 3.19; deterrninagao da intensidade de campo rnagnetico ern torno de uma linha infinita de corrente corn a lei de Ampere.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) ii> 101

(a)

'.-Âˇ

.;.

..Âˇ

Âˇ----n

(b)

Figura 3.39 Exemplo 3.20; determinagao do campo magnetico de urn cabo coaxial. (a) As dimensoes fisicas. (b) Utilizando a simetria para determinar o campo magnetico com a lei de Ampere.

$0W~AO 0 problema esta esquematizado na Fig. 3.39. Ternes uma corrente I junto a superficie extema do cilindro interne e uma corrente I de sentido oposto junto asuperffcie intema da casca cilfndrica externa. Isto perque o cabo .esta operan:do .em altas frequencias e ocorre o chamado "efeito pelicular", que sera posteriormente abordado neste livre. Assim escolhemos o contorno c como sendo uma circunferencia de raio rem torno do cilindro interne. Do mesmo modo que no problema anterior, o campo magnetico e constante nesse contorno e e tangente a ele. Assim,

I envolvida I

e obtemos o resultado do exemplo anterior: I

H=-a,p

a<r<b

(3.83)

J-LI JB = - a

a< r

(3.84)

27Tr

Observe que, dentro e fora da casca cilfndrica extema, a corrente total envolvida e zero. Como o campo He constante ao longo do contorno c, ele pode ser removido da integral da lei de Ampere, resultando

= Ienvolvida

para r <a e r >b. Assim, o campo magnetico e tambem nulo dentro do cilindro internee fora do cilindro externo: r <a

H, JB = 0 { r

(3.85)

Da mesma forma que no problema do campo eletrico para este cabo coaxial, ele e dito blindado uma vez que nao existe campo fora dele. c:,i

102 I> Capitulo Tres

./ .> ~·

Figura 3.40 Exemplo 3.21; determina<;ao do campo magnetico em tomo de uma densidade superficial plana de corrente com a lei de Ampere.

··· IEXEMPLO 3.21 Determine o campo magnetico para uma lamina infinita de corrente conduzindo uma densidade superficial de corrente de K Aim usando a lei de Ampere. SIDlii.UJ~~I(l Este problema foi resolvido por integra<;ao direta no Exemplo 3.18. Usando a lei de Ampere para resolvelo, precisamos observar que o campo magnetico seni, por simetria, paralelo asuperffcie da lfunina Podemos observar isso, encarando a lamina de corrente como consistindo em filamentos de corrente cujos campos magneticos estao circunferencialmente orientados em tomo deles. As componentes desses campos que sao perpendiculares asuperffcie se cancelam, deixando apenas as componentes paralelas. Assim, escolhemos urn contomo retangular mostrado na Fig. 3.40 que seja perpendicular a lamina. Ao longo dos trechos do caminho que sao perpendiculares a superffcie, o campo e perpendicular ao caminho, e nao contribui em nada para (3.79). Ao longo dos trechos do contomo que sao paralelos alfunina (frente e tras) e de comprimento l, o campo magnetico e paralelo ao caminho. Assim, a lei de Ampere se reduz a

H · dl

H(2l)

e Ienvolvida =

Isto fomece o resultado obtido no Exemplo 3.18: JL 2

B = -K X a

onde an e urn vetor unitano perpendicular alamina.

(3.86) ·(~

;_·.' •.'> 3.1run 1 E•nr ('\1\IIC"C" p11n11 n ('\1\ftnpn nnA,...nrf-,-r,-.n L I UC lli-\U\l\l

Hnl-\ U vi-\IVI

U IVII-\lli\IC llvU

Diferentemente das cargas pontuais, nao sao conhecidas cargas magneticas isoladas. Por exemplo, se dividirmos urn fma permanente em dois peda~os, os p6los norte e sul irao ocorrer nas extremidades de cada se<;:ao, como ilustrado na Fig. 3.4la. A lei de Gauss para o campo magnetico matematicamente estabelece esse importante fato como

(3.87)

r J

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) l> 103

s (a)

(b)

IFD!DIDra 3.41 Ilustra<;:li.o da lei de Gauss para o campo magnetico. (a) A separa<;:ao de urn fma permanente cria p6los norte e sul adicionais. (b) Ilustra<;:ao da lei de Gauss de que o numero de linhas de fluxo magnetico resultante passando atraves de uma superffcie fechada e igual a zero, esclarecendo que o campo magnetico nao possui fontes ou sorvedouros isolados.

a qual essencialmente estabelece que o jluxo resultante do campo magnetico atmves de uma sttpe?ficie fechada e zero, como ilustrado na Fig. 3.4lb. Portanto, as linhas de campo magnetico devem formar caminhos fechados, diferente das cargas pontuais cujas linhas de campo eletrico comegam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. ~~-

IEXEMPLIO 3.22 Mostre que a lei de Gauss para o C8.!fipo magnetico e satisfeita para o cabo coaxial mostrado na Fig. 3.39.

SlGllUC.AO A densidade de fluxo magnetico no espa<;:o entre os cilindros intemo e ex:temo foi determinado no Exemplo 3.20 como sendo

jLl

a< r < b 27Tr "' Escolhendo a superffcie fechada como urn cilindro de raio r e comprimento l envolvendo o cilindro intemo, a lei de Gauss se toma lS = - a

lJBÂˇds= j -.-0 s

!ados

tampas na extremidade

Uma vez que o campo magnetico e circunferencialmente orientado no espa<;:o entre os dais cilindros, ele e paralelo ao lado do cilindro e paralelo as ex:tremidades, dando contribui<;:li.o nula para a integral de superffcie em ambos os casas. Assim, a lei de Gauss e satisfeita. Poderiamos ter escolhidoqualquer outra superffcie fechada e obtido o mesmo resultado, mas a escolha de uma superffcie cilindrica simplificava a integra<;:ao. <J

f;;v-

IEXIErRCitm DIE RIEV~SAO 3.10 Verifique a lei de Gauss para uma lamina infinita de corrente. (Sugestao: Observe a dire<;:ao do campo magnetico encontrado nos Exemplos 3.18 e 3.21 e escolha urna forma apropriada para a superffcie fechada.) <D

104 I> Capitulo Tres

-3.111NDUTANCIA Examinamos o conceito de indutancia em nossos primeiros cursos de circuitos eletricos. A defini<;ao de indutancia ea razfio do jluxo magnetico atmues de um circuito pela coÂˇrrente do circuito que o produz: (3.88)

onde 0 flmo e

(3.89)

como ilustrado na Fig. 3.42a. Se temos N espiras de urn enrolamento compacto, de forma que nenhurn campo apare<;a entre as bobinas, como mostrado na Fig. 3.42b, a indutancia ea raziio entre os enlaces de jluxo e a car-rente: (3.90)

onde os enlaces de jluxo sao (3.91)

(a)

N espirC!.S (voltas)

(b)

Figura 3.42 llustragao da indutancia. (a) 0 campo magnetico atraves de uma espira produzido pela corrente na mesma. (b) Enlaces de fluxo magnetico para uma bobina multiespiras (bobina com vanas voltas).

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !? JI.05

3.U.~

Csh:mio ldla inidlllllt~ncia Idle IEstmtllnras

Os exemplos seguintes ilustram o cal.culo da indutancia para algumas estruturas tipicas. i.> !EXlEMPW 3.23

Urn indutor toroidal mostrado na Fig. 3.43a consiste em N espiras de urn fio conduzindo uma corrente I que estii.o compactamente enroladas em urn nucleo de segii.o reta circular. 0 nucleo e constitufdo par urn material de permeabilidade p.. e tern raio interno a, raio externo b e uma espessura t. Determine a indutancia do tor6ide. SIJJLIU~A(IJ Como as espiras do fio estii.o compactamente enroladasno nucleo, a densidade de fluxo magnetico estli circunferencialmente orientada ao longo do nucleo, como mostrado na Fig. 3.43b. Isto sugere escolher o contorno

N espiras (voltas)

(a)

(b)

<Âą)" Bip

I I I I I I

0Bij!

tt t

~-----+ a w

(c)

Figura 3.43 Exemplo 3.23; indutancia de urn tor6ide. (a) As dimensoes ffsicas. (b) Ilustragii.o do campo magnetico em urn tor6ide. {c) Uma vista seccional para calculo dos enlaces de flmw.

-l06 l'i> Capitulo Tres

c da lei de Ampere como uma circunferencia de raio r. 0 campo magnetico e tangente a esse contomo e e constante

em todos os pontos ao longo do mesmo. Assim, a lei de Ampere conduz a

H Âˇ dl = Hq,

f --

NI Assim, a densidade de fluxo magnetico no nucleo tern orienta~tao circunferencial e e dada por

JLNI lB = - - a 2'1Tr .P Uma vista seccional e mostrada na Fig. 3.43c. 0 fluxo total atraves dessa segao reta e

rfr=IlBÂˇds b

:=0

JLNI --drdz 2?Tr

r=a

JLNit 27T

m[!:_J a

e a expressao da indutiincia e L

Nrfr I

(3.92)

Esta expressao pode ser simplificada para nucleos onde a largura, w = b - a, e muito menor que o raio intemo, < < a, usando a expansao do logaritmo

In(~)= m(: + 1) w

=-a w<<a Substituindo essa expansao em (3.92), temos 11-~tw L = - - a/w>>1

27Ta

Mas a area seccional do nucleo e A = tw. Assim, a indutiincia de urn tor6ide de segao reta circular de area seccional A e raio a e aproximadamente

(3.93) .,~1

>- EXERCJCIO DE REVISAO 3.11 Determine a indutiincia de urn nucleo construido de ferro (/1-, = 5000), tendo raio intemo de 4 em, uma largura e uma espessura dew = t = 2 mm e contendo 100 espiras.

RESPOSTA L

1 mH.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !> 11.07

Figura 3.44 Exemplo 3.24; determinac:;ao da indutancia por unidade de comprimento de urn cabo coaxial.

:~,,

IEXIEMI?UD 3.24 Determine a indutancia por unidade de comprimento de urn cabo coaxial tendo urn condutor intemo de raio a eurn condutor extemo de raio intemo b, operando em altas frequencias. $((ii[.OJ~b\l\)) 0 problema esta esbogado na Fig. 3.44. â&#x20AC;˘ A densidade de fluxo magnetico entre os dois cilindros foi determinada no Exemplo 3.20 como sendo circunferencialmente dirigida e dada por

p,I ID =-aq, 27Tr

Como o campo tern orientagao circunferencial, escolhemos a superficies atraves da qual calculamos o fluxo usando (3.89) como umasuperficie planase estendendo radialmente de r =a ater =be ao longo de urn comprimento d do cabo. 0 fluxo atraves dessa superficie e dado por

I{!=IJBÂˇds d

..!!:!__ drdz 27Tr........,._. z=O r=a ds

p,di

In(!!_) a

27T

0 bserve que a densidade de fluxo magnetico e perpendicular a essa superficie, de forma que o produto escalar pode ser removido. Contudo, B varia com r sobre essa superficie e, portanto, nao pode ser removido da integral. A.ssim, a indutancia e !{!

I =

p,d 27T

In(?!_) H a

Assim sen do, a induttlncia por unidade de comprimento e

=J - l:.~n(!!_) 27T a

(3.94) Him

â&#x20AC;˘o fato\de as correntes se distribuirem junto as superficies dos condutores, conforme jii mencionado no Exemplo 3.20, advem do fato de que o cabo coaxial estii operando em altas freqiiencias. (N.T.)

108 I> Capitulo Tres

eQ<:BGJ\(8Q0 0 --t-r-.

-'j

\:!1ee

~------5--------+

0 Figura 3.45 Exemplo 3.25; detenninac;ao da indutancia por unidade de comprimento de uma linha de transmissao a dois fios.

Para linhas de transmissao, diferentemente do tor6ide do problema anterior, 0 meio entre OS dois cilindros e tipicamente urn dieletrico nao-magnetico, de fonna que J.L = J.L.. 路"\1 t;:.

EXERCJCIO DE REVISAO 3.12 Detennine a indutancia por unidade de comprimento de urn cabo coa:'dal RG-58U, que tern urn condutor internode raio 0,406 mm e urn condutor extemo de raio intemo 1,47 mm. 0 meio e teflon (J.L, = 1). 路!RiESP(!J$1A 257 nH/m.

>路 EXIEMIPLIO 3.25 Determine a indutancia por unidade de comprimento de urn a linha de transmissao consistindo em dais cilindros paralelos (fios) de raios a e separagao s. 0 meio circunjacente e o ar, e a linha esta operando em altas freqiiencias. $[!lU~AO 0 problema esta esbogado na Fig. 3.45. Para simplificar o problema, assumiremos que os condutores estao separados suficientemente em relagao aos raios de fonna que a corrente I em cada condutor esta unifonnemente distribufda junto asuperffcie mas em direc;ao oposta ao longo dos mesmos." Isto e usualmente uma boa aproximagao para quando sfa > 5. A densidade de fluxo magnetico para cada urn dos condutores individualmente foi detenninada no Exemplo 3.19 como sendo

J.Ll

B=-a

27Tr .P

Como o fluxo esta circunferencialmente orientado, escolhemos a superficie atraves da qual calculamos o fluxo magnetico como uma superficie plana entre os dois lados ellffia distancia d abaixo da linha. Combinando o fluxo devido a ambas as correntes, temos 路 d s-aas

rfi=2J

:=0 r=a

J.Lldrdz ds

27Tr'--v-'

Calculando esta, temos

Assim, a indutancia de uma segao da linha de comprimento de

'0 fato de as correntes estarem distribuidas junto as superficies dos condutores advem, mais uma vez, do fato de que a linba esta operando em altas freqiiencias. (N.T.)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) i> 109

Entao, a indutll.ncia par unidade de comprimento assume a forma

=!::. d

=;In(;)

(3.95) H/m

:>- EXERCiCIÂŤl DIE IRIEVISAO 3.13 Determine a indutll.ncia par unidade de comprimento de uma linha de transmissao consistindo em dais fios paralelos de raio 0,406 rom e separa9ao de 1 em. 0 meio circundante eo ar. ~IESIPiJlSlA

1,28 ,uHim.

3.12 FORCAS PRODUZIDAS POR CARGAS ECORRENTES Urn campo eletrico exerce uma forga em uma carga pontual Q de lF = QJE, como mostrado na Fig. 3.46a. Similarmente, uma carga pontual movendo-se a uma velocidade v em urn campo magnetico B ira ter uma forga exercida sabre ela de lF = Qv X B, como mostrado na Fig. 3.46b. Esta ultima forga atua perpendicularmente ao plano contendo o vetor velocidade v eo vetor flmw magnetico B de acordo com a regra da mao direita. A combinagao dessas duas forgas e conhecida como a equar;iio da forr;a de Lorentz:

IJF = QJE + Qv X

(3.96)

Considere urn fio movendo-se com velocidade v em urn campo magnetico, como mostrado na Fig. 3.47. 0 fio "corta" as linhas de campo magnetico. As cargas livres no fio (eletrons) terao urn a fon;a exercida sabre elas (para baixo, sabre os eletrons livres ou, equivalentemente, para cima, sabre as cargas positivas) que ira mover as cargas positivas para o topo do fio e as cargas negativas para baixo. Quando a forga devida ao afastamento entre as cargas equilibra a forga devida ao campo magnetico, isto e, QJE = -Qv X B, cessa o movimento das cargas e se alcanga uma situagao de equilibria. Assim, urn campo eletrico se desenvolvera ao longo do fio devido ao movimento do condutor em relagao ao campo magnetico. Esse campo eletrico decorrente do movimento e dado por

JE'= =vXB

====>

~>-

(a)

Figura3.46 Ilustra9ao da equa9ao da for9a de Lorentz. (a) For9a sabre uma carga pontual devido a urn campo eletrico. (b) For9a sabre uma carga pontual em movimento devido a urn campo magnetico.

110 I? Capitulo Tres

Figura 3.47 Tiustragao da geragao de urna tensao entre as duas extrernidades de urn fio quando o rriesrno "corta" urn campo rnagnetico.

Assim, a tenslio desenvolvida entre as duas extremidades do flo (positiva no topo) e !Opo

V =

I (v

B) Âˇ dl

cl:~ai:~o

(3.97)

vBl V

on de a integra9lio e realizada ao longo do flo. Esse resultado considera que o eixo do flo e perpendicular ao plano contendo o vetorvelocidade v eo vetor densidade de fluxo magnetico B, de forma que o produto vetorial pode ser removido de (3.97). Assim, urn condutor que esta se movendo em urn campo magnetico e "corta" essas linhas de campo magnetico tera urn a tenslio induzida entre as suas duas extremidades. Isto e muitas vezes referido como a equar;iio do gerador, ja que ela explica como uma bobina de urn flo girando em urn campo magnetico ira gerar urna tenslio como num gerador eletrico. (Veja a Subsegao Aplicar;i5es em Engenharia 3.13.6.) Uma relagao similar pode ser obtida para explicar a forga exercida sobre urn flo conduzindo uma corrente I em urn campo magnetico. Mais uma vez, consideremos urn segmento de urn fio de comprimento diferencial dl conduzindo urna corrente I que esta imerso em urn campo magnetico, como mostrado na Fig. 3.48. As cargas constituindo a corrente estarao sujeitas a uma forga dada por dF = dQv X B. Mas esta pode ser reescrita em termos da corrente notando que Idl = (dQ!dt)dJ = dQ(dl!dt) = dQv. Assim, podemos escrever

I dF = Idl X B I

(3.98)

0 vetor for9a e perpendicular ao plano contendo a corrente e o campo magnetico. Isto e muitas vezes reportado como a lei BIL em referenda aos tres itens da mesma. Essa lei e tambem conhecida como a equar;iio do motor, ja que ela explica como urna bobina de urn flo conduzindo uma corrente em urn campo magnetico e levada a girar, constituindo urn motor eletrico. (Veja a Segao Aplicagoes em Engenharia 3.13.6.)

0 0

j 0

1/ '1

~\>

Figura 3.48 Tiustragao da forga exercida por urn campo rnagnetico sobre urn fio conduzindo urna corrente.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) I> 111

a= 15 em

~s= 10 m--@-s= 10m--@ ···,··.,!45°

1 h=12m

45°\/ ..

"·\,, E1··..

E2 ·. ·.

.// //Ea ~'

_,__]---:----~,~~.JJ-,!.._0 2

__J_j

m _

~l>-Y

Teri-;:l

Figura 3.49 Calculo dos campos eletrico e magnetico de urna linha de transmissao de energia em alta tensao e freqiiencia industrial (60Hz).

Urn fio de 1 em esta se movendo a urna velocidade de 1 crn/s em urn campo magnetico de 10 Wb/m 2• Determine a tensao induzida entre as duas extremidades do fio.

Pn!ESf(J)STfol. 1 mV.

Urn fio de 5 em conduzindo urna corrente de 100 rnA esta·imerso em urn campo magnetico de 5 Wb/m2• Determine a forcra exercida sobre o fio, se o campo magnetico e perpendicular ao fio.

RIESJ?OSTA 25 mN.

~;.;. 3.13 APLICACOES EM ENGEN HARIA Nesta segao final, discutiremos divers as aplicag5es praticas adicionais dos princfpios estudados neste capitulo.

3.13.1 li1111lnas de Tra1111smissao em Alta le1111sao Uma linha de transmissao trifasica em alta tensao consiste em tres condutores (fases) conduzindo as tens5es trifasicas, como mostrado na Fig. 3.49. Uma tensao fase-fase tfpica entre os dois condutores e Vff = 765 kV." A linha esta transportando energia ataxa de 1000 MVA. n Alturas tfpicas das linhas acima do solo sao de h = 12m e separag5es des = 10 m. Os condutores, que sao na verdade trangados em vez de s6lidos, tem raio efetivo de aproximadamente 15 em. Iremos calcular a intensidade de campo eletrico sob o condutor central a uma altura de 2 m, a altura de uma pessoa de pe de baixo da linha. Embora a freqi.iencia seja 60 Hz e nao cc, podemos aproximadamente usar os resultados deste capitulo, ja que as dimens5es eletricas sao pequenas (o comprimento de onda em 60Hz e 5000 km 3107 mi). A intensidade do campo eletrico em torno de uma linha infinita de cargas foi determinada em (3.10) como

•vffrepresenta a tensao fase-fase. (N.T.) ••Esta e a potencia aparente estudada nos circuitos eletricos CA. (N.T.)

112

lJ;>

Capitulo Tres

A tensao entre cada par de condutores e de 765 kV. Assim, usando (3.38) para a tensao entre dois pontos devido a uma linha de cargas, V

= 765kV = 27TB

In(0,15lO)

temos uma distribui<;ao linear de carga de p1 = 10,12 p..Cim. Portanto, o campo eletrico na cabe<;a de uma pessoa sob o condutor central e a superposi<;ao dos campos devido a todos os tres condutores:

£3

a 27Te0 (10) x kV = -18,22-ax m

Y Pl [- sen(45°)ax- cos(45°)ay] 27TB0 (10/ + (10)2 = -9,1 kVIm a, - 9,1 kVIm ay

As tensoes e os campos eletricos resultantes estao defasados de 120°. Assim, o campo eletrico resultante e

E = E1LOo

+ E2L120o + E3L -120°

cuja magnitude e lEI = 18,2 kVIm. Isto seria suficiente para fazer uma lampada fluorescente acender, se segurada pela pessoa. Em seguida, calculamos aintensidade de campo magnetico na cabe<;a da pessoa. A potencia transmitida, 1000 MVA, esta relacionada com a corrente da linha e com a tensao fase-fase como

p = V3~h Resolvendo isto, temos uma corrente de 755 A. 0 campo magnetico devido a uma corrente de comprimento infinito foi obtido em (3.61), no Exemplo 3.16, como H=-I27T·r

A intensidade de campo magnetico devido as correntes nos tres fios e

V I 27T (10)2 = 6a, + 6ay I Hz= 27T10ay

= 12ay H3

+ (10)2

[cos(45°)ax + sen(45°)ay]

Aim

Y I [ -cos(45°)ax + sen(45°)a 27T (10) 2 + (10)2 =....,....6ax + 6ay Aim

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC)

!;>

113

As correntes e os campos magneticos resultantes esUio defasados de 120°. Assim, a intensidade de campo magnetico resultante e · H cuja magnitude e IHI

= H1LOo + H2Ll20o + H3 L -120°

17 Nm. A densidade de fluxo magnetico e B=

JLJI

= 21,4 J.LT

Deve ser notado que o campo magnetico da Terra tem um valor de aproximadamente 50 11T sobre a latitude media dos Estados Unidos. Nos anos recentes, tem havido inumeros estudos de como a saude e afetada pelos sistemas e linhas de transmissao de potencia de alta tensao. Alguns estudos parecem fornecer um elo fraco para causar cancer em humanos, enquanto outros estudos nao. As maiores recomenda96es sao para evitar ex:posi91io a esses campos, sempre que possfvel. 0 uso de cobertores eletricos, por exempl6, e geralmente desencorajado. 3.13.2

ll)escaJ~ga IE!e~~lllls~aftica

A maioria dos leitores ja ex:pelimentou pessoahnente o fenomeno da descarga eletrostatica. Andar sobre um carpete de n:iilon e levar a mao para proximo de uma ma9aneta pode produzir uma descarga entre o corpo e a ma9aneta. Esse arco voltaico miniatura pode ser resultado de tens5es de cerca de 10 kV. (Descargas podem ocorrer para tens5es menores que 3 kV, mas muitas vezes nao serao sentidas.) Esse eo fenomeno da descarga eletrostatica, e essa descarga pode danificar tanto equipamentos eletronicos anal6gicos quanta digitais. A eletronica digital estritamente compactada de hoje contem dispositivos semicondutores miniaturas, que podem ser alterados ou permanentemente danificados pelas descargas eletrostaticas. As descargas eletrostaticas estao assumindo uma importancia cada vez maior na opera9ao confiavel dos dispositivos eletronicos digitais. 0 que causa essa descarga intensa? A resposta e a separayao de cm·gas. Quando dois materiais inicialmente neutros sao colocados em contato, cargas podem ser transfelidas de um material para outro. Quando os materiais sao separados, eles podem se tornar carregados: um negativamente e o outro positivamente. 0 grau com que as cargas sao separadas depende de vanos fatores. Um fator e deterrninado pel a serie triboeletrica dada na Tabela 3.1. A serie triboeletrica indica quais materiais tendem a fornecer eletrons mais facilmente e se tornar positivamente carregados (aqueles em dire9ao aextremidade.supelior, ou positiva, do diagrama) e quais tendem a receber eletrons e se tornar D.egaHvamente carregados (aqueles em dire9ao da extremidade inferior, ou negativa, do diagrama). Por exemplo, o atrito de n:iilon e teflon pode fazer com que eletrons sejam transmitidos da superffcie do n:iilon para a superffcie do teflon.

TABELA3.1 Serie Triboeh!trica POSITIVO Ar Pelehumana Asbesto Vidro Mica Cabelo humano Nrulon La Pelo Chumbo Seda

Aluminio Papel Algodao Madeira Ago Laere Borracha Mylar Vidro ep6x:i Nfquel, cobre Latao, prata Ouro, platina

Espuma de poliestireno Acrilico Poliester Celul6ide Orion Espuma de poliuretano Polietileno Polipropileno Cloreto de polivinila (PVC) Silfcio Teflon NEGATIVO

114 l> Capitulo Tres

{)

IFi!IJll!ra 3.50 Ilustragao da descarga eletrostatica pelo processo de indugao.

Portanto, o nillon pode adquirir uma carga positiva, enquanto o teflon pode adquirir uma carga negativa. Outros exemplos sao pentear o pelo de urn gato com urn pente de acrilico, fazendo com que o pente se tome carregado, desse modo atraindo outros materiais presentes no diagrarria, e urn vestido de nillon sendo atraido pelo corpo. 0 grau com o qual essa transferencia de cargas acontece depende de uma serie de fatores, e a serie triboeletrica eapenas uma primeira indicac;;ao desse fato. A ordem de dais materiais na serie triboeletrica eurn fator irnportante, mas ela nao determina completamente o grau de separac;;ao das cargas. Outros fatores, tais como rugosidade, limpeza, area de contato, pressao de contato, grau de atrito e velocidade de separac;;ao das superficies dos materiais em questao, sao mais importantes. As cargas podem ser separadas quando dois materiais iguais estao em contato, como na abertura de urn saco plastico usado para carregar produtos em uma mercearia. 0 segredo aqui e asepti.ra(JiiO de cargas. Isto e particularmente incomodo para materiais isolantes cuja resistividade (inverso da condutividade) da superficie e muito grande. As cargas transferidas tendem a se acumular em certas regioes e, por causa da alta resistividade da superficie, elas la pennanecem e nao podem fluir para outras partes do material a fim de serem neutralizadas. Existem agentes antiestaticos que podem ser borrifados sobre a superficie para diminuir a resistividade da mesma e pennitir que a carga se mova sobre ela e seja neutralizada. Sacos plasticos rosados de polietileno sao rotineiramente usados para transportar componentes eletronicos sensfveis e protege-los de descargas eletrostaticas. 0 plastico e coberto com uma substancia muito parecida com detergente de lavanderia que reduz enormemente a resistividade da superficie, pennitindo desse modo que qualquer carga acumulada se desloque sobre ela e se neutralize. Urn grau elevado de umidade tende a facilitar a locomoc;;ao e neutralizac;;ao de cargas na superffcie. Climas secos, portanto, tendem a ser mais propensos a eventos de descargas eletrostaticas do que os umidos. A carga pode ser transferida para urn condutor (como a pele humana umida) pelo simples contato. Sabemos agora que a separac;;ao de cargas cria urn campo eletrico. Eimportante en tender que o ar, normalmente nao-condutor, tern urn certo nivel de campo eletrico no qual ele se rompe, liberando cargas livres. Vemos isto em urn arco voltaico e na aureola azul em tomo de uma linha de energia em alta tensao em urn dia umido. 0 campo eletrico de ruptura 0 do are cerca de 3 X 106 V/ m ou 3 MV/m. Em uma distancia curta, uma pequena diferenc;;a de tensao entre os dois objetos e suficiente para romper oar. Por exemplo, a intensidade do campo de ruptura do ar de 3 MV/m e equivalente a 3000 V/mm. Quando uma carga e transferida pelo contato entre dois materiais e os materiais sao separados, uma tensao e gerada entre eles devido acapacitancia entre os materiais. Como Q = CV, amedida que os materiais sao separados a capacitancia entre eles diminui e, as~im, a tensao entre eles aumenta. Por exemplo, para uma capacitancia de 100 pF e cargas de 1!-LC separadas, a tensao entre os dois objetos e 10 kV. Assim, as cargas separadas podem criar campos eletricos intensos que rompem oar, gerando minusculos arcos voltaicos e correntes intensas. Esse fenomeno e chamado de descarga eletrostatica. Como a resistencia da superficie dos materiais isolantes e muito grande, qualquer carga acumulada nao pode se mover facilmente pela mesma e muito menos ser rapidamente escoada para urn condutor proximo. A condutividade dos materiais condutores etao alta (resistividade tao baixa) que as cargas podem se mover facilmente pela sua superficie bern como se transferir para outros condutores pr6ximos, Uma descarga eletrostatica geralmente resulta primeiramente do carregamento de urn isolante e, em seguida, da transferencia daquela carga para urn condutor (tal como a pele humana) tanto pelo contato como pela induc;;ao. Finalmente, quando o condutor carregado e aproximado de outro condutor, aconte-

â&#x20AC;˘o campo eletrico que provoca a ruptura dieletrica de urn determinado materi;u isolante e denominado "rigidez dieletrica" do material. (N.T.)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC)

!:;:Âˇ

ce a de?carga eletrostatica. A eletrizac;ao de um condutor colocando-se urn isolante carregado proximo a ele e chamada Âˇindut;iio. Por exemplo, suponha um material eletrizado (talvez urn material isolante eletrizado pelo contato anterior com outro material isolante na extremidade oposta da serie triboeletrica) se aproximando de um condutor (neutro), mas que fisicamente nao o toea, como mostrado na Fig. 3.50. Suponha que a carga no isolante seja negativa. Isto ira fazer com que a carga no condutor neutro seja separada; a carga positiva sera atrafda ou induzida para a face do condutor proximo ao isolante. Se a face negativa do condutor tocar momentaneamente outro condutor, a carga negativa do condutor sera removida, deixando-o, desse modo, carregado positivamente. Este processo de induc;ao ocorre freqlientemente quando alguem anda sobre urn carpete de nailon, co.m sapatos de sola de borracha. Os eletrons sao transferidos do carpete para os sapatos, deixando uma pegada positivamente carregada no carpete e cargas negativas na sola do sapato. Isto produz uma separac;ao de cargas (por induc;ao) sobre o corpo (que e urn condutor). Cargas positivas sao induzidas nas solas dos pes em resposta as cargas negativas na sola do sapato, e cargas negativas sao induzidas nas partes superiores do corpo, como as maos. Quando o dedo negativamente carregado se aproxima, por exemplo, de urn teclado de urn computador digital, a induc;ao produz, desta vez, cargas (positivas) no teclado, e urn intenso campo eletrico e criado entre o dedo e o teclado. Quanto mais o dedo se aproxima do teclado, menor e a diferenc;a de potencial necess:hia para causar a ruptura do ar. Ao ocorrer a descarga, ela clia urn intenso campo eletromagnetico (que nao e mais estatico, mas valiante no tempo) que pode destruir componentes semicondutores sensfveis do computador ou, simplesmente, causar problemas logicos, tais como o desligamento do computador e perda de memolia. A descarga eletrostatica esta se tornando urn dos problemas mais importantes na eletronica digital. Podemos estimar de modo aproximado a capacidade de urn corpo em annazenar carga. No Exercfcio de Revisao 3.8, foi determinado que a capacitancia entre duas esferas concentricas de raios a < b e

Se fizermos a esfera externa tender ao infinite, b ---7 co, entao a capacitancia da esfera de raio a e C

= 41TB a 0

=llla

Se modelarmos o corpo como uma esfera de raio de 1m, isto resulta numa capacitancia de Ill pF. Se uma carga de l J.LC e depositada sobre o corpo, este e levado a urn potencial de 9 kV. Reconhecidamente, esse e um ca.Iculo aproximado, mas ele ilustra que quantidades relativamente pequenas de carga podem criar tensoes muito grandes, capazes de romper o ar e criar uma descarga eletrostatica. Os fabricantes de dispositivos eletronicos digitais modernos testam, rotineiramente, seus produtos para susceptibilidade as descargas eletrostaticas, simulando o evento de uma descarga eletrostatica. "Disparadores" de descargas eletrostaticas sao trazidos para perto dos teclados de computadores digitais e outras partes do computador, e acionados de forma a se descarregarem. Os niveis dessas descargas sao definidos por agendas reguladoras (orgaos govemamentais) e pretendem simular o que ocorre quando, por exemplo, uma pessoa anda sobre urn carpete, adquirindo cargas desse modo e, entao, se aproxima ou toea o teclado de urn dispositive digital, criando uma intensa descarga sobre o mesmo. Por esses testes, os fabricantes querem garantir que seus produtos estarao imunes as inevitaveis descargas eletrostaticas que eles encontrarao em urn ambiente normal como o de urn escrit6rio.

3.13.3

l111terie~encia

Alem das descargas eletrostaticas, discutidas na sec;ao anterior, ha inumeros outros casos onde campos eletromagneticos intensos (mesmo os estaticos) podem perturbar dispositivos eletronicos (tanto digitais quanto analogicos). Nesta sec;ao, iremos investigar como os campos magneticos podem criar interferencia em um dispositive eletronico. Os monitores de video sao parte integrante dos computadores, permitindo a visualizac;ao das informac;oes sendo processadas. Urn monitor de video consiste em urn tubo de vidro a vacuo, como mostrado

116 I> Capitulo Tres

Bobina defletora

("Âˇ--Âˇ-~.:

Catodo

~- ....

\'.8

__ ,,,.

8 8 8---'j-----------

.~ ~--~------(---------,~--~ Filamento

Âˇ-..._,_.,_____.-/

Figura 3.51 Urn tubo de imagem empregando deflexao magnetica do feixe.

na Fig. 3.51. Urn filamento tern corrente passando por ele, causando calor (como numa lampada de bulbo incandescente) que aquece o catodo. Isso faz com que os eletrons sejam "excitados" na superficie do catodo. 0 interior da face frontal esta revestida por urn metal, constituindo o anodo, e uma grande tensao continua e aplicada entre o anodo eo catodo. Isto cria urn grande campo eletrico horizontal que acelera os eletrons de acordo com F = qE. Quando esses eletrons acelerados atingem a face interna do tubo, o revestimento fosforescente daquela face fica ativado, criando urn ponto. Para criar palavras, imagens, etc., naquela face, o feixe de eletrons e vanido sabre a mesma em linhas horizontais. 0 feixe pode ser varrido sabre a face usando tanto deflexao eletrostatica quanta magnetostatica. A deflexao eletrostatica do feixe e realizada com pares de placas defletoras: urn par montado verticalmente em relac;ao ao feixe, e outro montado horizontalmente. Grandes tens5es sao aplicadas as placas, criando urn campo eletrico entre cada par. 0 feixe de eletrons e defletido nas direc;oes vertical e horizontal pela forc;a desses campos, de acordo com F = qE. A maioria dos monitores de video usa bobinas de deflexao magnetostatica para criar campos magneticos que movem o feixe de eletrons sabre a face. Duas bobinas sao montadas nas extremidades longitudinais do tubo, e mais bobinas sao montadas nos lados, como ilustrado na Fig. 3.51. Essas bobinas criam urna intensidade de campo magnetico entre elas que e dirigida tanto verticalmente quanta horizontalmente. Cada campo magnetico exerce uma.forc;a F = qv X B sabre o feixe de eletrons, defletindo-o, e fazendo com que ele varra a face do monitor. Os campos magneticos externos podem afetar o feixe de eletrons para ambos os tipos de deflexao: eletrostatica e magnetostatica. Os fabricantes de monitores de video calibram rotineiramente os mesmos, antes de serem embalados, para compensar o campo magnetico da Terra, o qual eda ordem de 50 p.T nas latitudes medias dos Estados Unidos. Tal conhecimento da operac;ao de urn monitor de video explica por que o mesmo pode criar campos magneticos que podem interferir em dispositivos de gravac;ao magnetica, tais como unidades de disquete, e tambem por que campos magneticos externos ao monitor podem interferir nele. Por exemplo, cada bobina defletora de urn esquema de deflexao magnetostatica pode ser vista como uma espira consistindo em urn grande numero de voltas de fio. Os campos magneticos dessas espiras podem ser obtidos usando o resultado de (3.62). Considerando uma bobina defletora como uma bobina de N espiras, onde as espiras tern raio a, o vetor densidade de fluxo magnetico a urn a distancia d ao Iongo do eixo da bobina e obtido multiplicando-se Equac;ao (3.62) pelo numero de espiras N, ou seja

a2 -2- (a2 + d2)3/2 P,0 IN

Considere uma bobina de raio de 5 em conduzindo uma corrente de 0,6 A e tendo 1000 espiras. Na distancia de 10 em, o campo magnetico e 674 p.T. Isto e 14 vezes o campo magnetico da Terra e pode criar erros em unidades de disquete ou discos rigidos. Ha 20 anos, urn fabricante de computadores pessoais (PCs) produzia urn computador que tinha uma restric;ao, situada no manual do usuario, de que o monitor de video nao deveria ser colocado sabre o computador. Por que essa restric;ao foi imposta? Ela ocorria porque os campos magneticos dos monitores de video eram tao intensos que causavam erros de leitura

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !> ll.l7

e escrita na unidade de clisquete que estava localizada na parte superior do computador e posicionada abaixo do monitor de video. A colocagao de uma lfunina de urn metal de alta permeabilidade como o mumetal (J.Lr = 30.000), na parte superior do computador, "espalhava" as linhas de campo magnetico do monitor de video e impeclia a inteiferencia na unidade de clisquete. 0 autor tern conhecimento de outro incidente parecido de interferencia em urn monitor de video. Em certo conjunto de escrit6rios, recentemente construidos, operadores reclamavam de "linhas ondulantes" em seus monitores. Acontece que os fios fase e neutro da fi.agao de clistribuic;:ao de energia para aquela sala nao foram encaminhados juntos: urn fio foi passado pelo topo da sala, e o outro por baixo. Isso criou uma espira conduzindo cerca de 20 A de corrente que tinba climensoes de 2,5 m X 5 m. Aprox:imando isso como uma espira circular e usando o resultado do campo magnetico, no centro da espira, dado em (3.63) do Exemplo 3.17, temos (aprox:imando a espira como urn cfrculo de area 1ra2 = 2,5 X 5 ou urn raio efetivo de 2,0 m) f.Lol

B=2a = 6,3 [LT

Esse nivel era, ~videntemente, suficiente para causar o movimento do febi:e de eletrons no monitor de video, criando linhas ondulantes nas telas desses monitores. Os submarinos normalmente usam urn gerador ca para gerar energia em 400 Hz, que e clistribufda para todo submarino. Os campos das correntes nessas linbas de energia as vezes causam interferencia no sistema de sonar. Alguns submarinos modemos enviam energia cc para reduzir essa interferencia no sonar. Em pontos onde ela e necessana,eonversores ec-ce alteran1 o_niyel cc da energi11 de clistribuic;:ao para nfveis inferiores ou superiores necessanos aos clispositivos utilizadores. Estes sao alguns dos inumeros exemplos de interferencia causados por campos magneticos cc ou de baixa freqi.iencia. Encontraremos no capitulo seguinte que correntes que nao sao cc, mas variam em alta frequencia, induzem sinais mais elevados nos circuitos eletronicos, causando ainda mais problemas de interferencia. 3J3.4 IEfeitos IParaso~as em CompoHJentes

Em clispositivos eletronicos modemos, tais como computadores cligitais, ex:istem numerosas capacitancias e indutancias parasitas. Elas sao indesejaveis e nao sao mostradas nos desenbos esquematicos. Com as altas freqiiencias usadas nos modemos clispositivos eletronicos de hoje, esses elementos parasitas devem ser considerados pelos projetistas; senao, o clispositivo nao ira operar a contento. Urn exemplo clisso eo efeito dos componentes dos terminais de ligagao que conectam o componente a placa do circuito eletronico. Considere, por exemplo, o capacitor mostrado na Fig. 3.52a. Os terminais de ligac;:ao tern comprimento L e separagao s. A corrente fl.uindo ao Iongo desses terminais produz urn campo magnetico que passa atraves do circuito fechado. Assim, os terminais formam uma indutancia, como mostrado na Fig. 3.52b. A indutancia desse circuito pode ser obtida usando o resultado alcanc;:ado anteriormente para urn par de fi.os paralelos no Exemplo 3.25. Aindutancia por unidade de comprimento foi obtida em (3.95):

~ ln(~)

Him

onde a e o raio do fio. Multiplicando isso pelo comprimento total dos fios, L, temos a indutancia doterminal: L tenninnl --

J.LaL 7T

ln(:.a_)

(3.99)

Similarmente, a tensao entre os dois terminais de ligac;:ao faz com que cargas sejam depositadas nesses terminais, como mostrado na Fig. 3.52c, e, assim, os terminais formam urn capacitor. A capacitancia do terminal pode ser obtida usando a capacitancia por unidade de comprimento de urn par de fios paralelos - ver Exemplo 3.14, Equagao (3.52):

118 I> Capitulo Tres ,_

d (a)

L terminal a0

t'li'

=> b

(ild

(b)

L a +++++++ Âˇc

+ t s J'I v- .;le 'I f b' -------

a <!I

JCtermlnal

(c)

Figura 3.52 Ilustragao das indutancias e capacitancias parasitas dos terrninais de ligagao de urn componente de urn circuito a parfunetros concentrados como urn capacitor. (a) As dimensoes fisicas dos terminais de liga<;ao. (b) Indutancia dos terminais de ligagao. (c) Capacitancia dos terminais de ligagao.

F/m

Multiplicando isto pelo comprimento dos terminais, temos a capacitancia total do terminal: F

(3.100)

Assim, urn circuito equivalente do capacitor e de seus terminais de ligagao e mostrado na Fig. 3.53a. A capacitancia do terminal esta em para~elo com a capacitancia do componente, a qual e usualmente muito maior que a capacitancia do terminal. Assim, a capacitancia do terminal pode ser desprezada. A impedancia de entrada da estrutura completa e

Este e W11 circuito LC serie que tern uma freqtienda de ressonancia dada por 1

fo = â&#x20AC;˘â&#x20AC;˘9/IT VL temlinal C

(3.101)

Nessa freqiiencia de ressonancia, a impedancia vista pelos terminais ezero. 0 modulo da impedancia de entrada eesbogada na Fig. 3.53b. Para freqiiencias abaixo dessa freqiiencia de ressonancia, o modulo da impedancia de entrada se aproxima de

IZI=4-IC

J<Jo

Campos Eletromagneticos Estaticos (CCI l> 119

ltannlnal

r.. z

c,~~r

d_t

(a)

lzl

Capacitiva

..,___

!Fig11.nra 3.53 Ilustragao do efeito dos terminais de ligagao na performance de urn capacitor em~aita freqtiencia. (a) Reunindo a capacitancia e indutancia do terminal. (b) A resposta de freqtiencia da impedancia de entrada dos terminais mostrando que, acima da freqtiencia de ressonancia, o capacitor do tem1inal se com porta como urn indutor!

(b)

enquanto nas freqiiencias acima dessa freqiiencia de ressonancia, o modulo da impedancia de entrada se aproxima de

IZI

== wLterminal

f > j;,

Assim, acima da f:reqiiencia de ressonancia, o capacitor se comporta como urn indutor! Considere uma capacitancia tipica deC = 1000 pF e terminais cuja separac;ao seja s = 1,4 in (0,635 em) e comprimento L = lh in (1,27 em). Os terminais de ligac;ao sao nominalmente fios 20 cujo raio e 16 mils (0,406 mm). A indutancia do terminal se toma, por substituic;ao destes em (3.99), Lrerminal = 14 nH. A capacitancia do terminal e obtida pela substituic;ao em (3.100), dando Cterminal 0,128 pF. Assim, a capacitancia do terminal e muito menor que a capacitancia do componente, e pode ser desprezada. A freqiiencia de ressonancia em (3.101) se tomaj;, = 42,6 MHz. Assim, acima de 42,6 MHz, o capacitor se .com porta como urn indutor! Veja C.R. Paul,Introdttction to Electromagnetic Compatibility, Capitulo 6, John Wiley Interscience, 1992, para dados experimentais que confirmam esse modelo. Os componentes parasitas nao-ideais como esses podem fazer com que a operac;ao de dispositivos eletronicos em alta frequencia parec;a "misteriosa", e podem alterar drasticamente seu comportamento desejado. 0 projeto de modemos dispositivos em alta freqiiencia, tais como computadores digitais, exige que esses efeitos nao-ideais sejam considerados; senao, os dispositivos nao irao funcionar de modo apropriado. Amedida que as frequencias de operac;ao dos dispositivos eletronicos modemos aumentam, esse e urn aspecto da area de compatibilidade eletromagnetica que esta rapidamente se tomando uma parte significativa da base de conhecimento dos engenheiros eletricistas e de computac;ao e que deve ser considerada no projeto desses dispositivos.

3.13.5 Blim!agem IEietmstatica Gabinetes metilicos (carcac;as metilicas) sao normalmente usados para blindar dispositivos eletronicos sensfveis de sofrerem interferencia por fontes extemas ao gabinete. Eles assumem as formas de caixas de metal condutor ou tela de fios. Os gabinetes de menor escala, tais como o gabinete metalico de urn computador digital, contem sistemas eletronicos como prop6sito de prevenir que sinais eletromagneticos dentro do computador interfiram em aparelhos eletronicos, tais como a TV fora dele. Discutiremos os gabinetes blindados para protec;ao contra campos esbiticos (cc), nesta sec;ao. No Cap. 5, discutiremos o uso de gabinetes blindados para protec;ao contra campos em alta frequencia. 0 princfpio da blindagem contra os campos eletricos estaticos (blindagem eletrostatica) e

120

D>-

Capitulo Tres

Dentro de uma cavidade formada, por uma supecllcie cimdutora fechada defomia arbitrfuia, ri·¢~pd ~le@ co enulo. Isto everdade; desde que ner).ln.trri.a carga seja introduzida na caVidade e os.cainposfora delasejiim est~ticos (cc). · · · ·

Urna vez que o campo eletrico e nulo na cavidade, o potencial em qualquerponto na cavidade eo mesmo que aquele do condutor, ou seja, niio ha diferenr;a de potencial (ou tensiio) entre dais pontos na cavidade. Como exemplo, considere uma concha esferica condutora de raio a onde uma carga Qesta uniformemente distribuida sobre a superficie da esfera, como mostrado na Fig. 3.54. Por simetria, o campo eletrico esta dirigido radialmente e e constante sobre as esferas de raio r. Aplicando a lei de Gauss, temos

onde podemos escolher a superficie gaussiana como uma esfera de raio r. Assim, obtemos

Er=--9 4m::0·r-

r>a r<a

0 resultado de que o campo e zero para r < a e devido ao fato de que a carga envolvida pela superficie gaussiana (uma esfera de raio r) e zero para r <a. 0 potencial (absoluto) e r

V=-JE·dl 00

=--

r?::.a

=--

r a

iiiiEoa

r=a

Figura 3.54 Ilustra9ao da blindagem eletrostatica com uma esfera carregada.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CCl ill> l2l

0 resultado de que o potencial dos pontos dentro da esfera e o mesmo que o potencial da superficie da esfera e conseqiiencia do fato de que o campo eleuico dentro da esfera e nulo. Se movermos uma unidade de carga positiva do infinito em diregao aesfera, sera necessaria trabalho (energia) para veneer a repulsao do campo eletrico radiahnente dirigido. Dentro da esfera, nenbum trabalho adicional sera necessaria para mover a carga, pois o campo eletrico e nulo. Embora o prindpio da blindagem eletrostatica tenba sido demonstrado na Fig. 3.54 usando uma esfera condutora, ele tambem se aplica a urn gabinete (carcaga) de forma arbitraria. Tais gabinetes blindados sao as vezes referidos como blindagem de Faraday, depois que o matematico escoces, Michael Faraday, conduziu experimentos no inicio de 1800 para confirmar isso. (Benjamin Franldin fez uma descoberta similar, nos meados de 1700, nos Estados Unidos.) No Capitulo 4, estudaremos a famosa lei de Faraday, que tambem foi descoberta por esse talentoso cientista. A blindagem de Faraday e, algumas veies, chamada de "gaiola" de Faraday, pois os gabinetes sao freqiientemente constituidos de telas de fios metalicos, em vez de metal continuo. Quartos revestidos sao usados para realizar testes de compatibilidade eletromagnetica. Para prevenir a interferencia, agendas reguladoras governamentais limitam as intensidades dos campos eletricos produzidos por dispositivos eletronicos digitais, tais como computadores. 0 teste de um dispositive dentro de uma sala revestida ou blindagem de Faraday confirma quando o dispositive esta em acordancia com tais regulamentagoes. A blindagem de Faraday impede que campos externos interfiram no teste. Existem inumeras outras aplicagoes da blindagem de Faraday. As aeronaves

~~~/Q

-!).

ÂŽ

Ill

(a)

ÂŽ

II ',

013

ÂŽ

II 023

''------------~f--------------

,.-/

012=0 (b)

Figura 3.55 Ilustrac;:ao de uma blindagem eletrostatica. (a) As linhas de campo eletrico entre os dais corpos determinam a capacitancia entre eles. (b) Envolvendo urn condutor com outro condutor forma-se uma blindagem eletrostatica.

Jl.22 t:» Capitulo Tres

modemas freqiientemente voam com mau tempo, onde ocorrem intensos relfunpagos e trovoadas. Esses relampagos resultam da separa«;ao, em grande escala, de cargas entre uma nuvem e o solo ou entre duas nuvens. Assim, grandes campos eletricos existem na vizinhan«;a dessas tempestades. Os passageiros dentro da fuselagem metalica em uma aeronave estao protegidos, pois a fuselagem serve como uma gaiola de Faraday, de forma que nao pode haver nenhurn campo eletrico e, assim, nenhuma diferen«;a de potencial dentro dele. As janelas, portas e outras penetra«;5es necessanas da fuselagem tomam-na uma gaiola de Faraday imperfeita, mas ela, contudo, serve muito bern a esse prop6sito. A carroceria metalica de urn autom6vel tambem serve de modo similar. Outro aspecto da blindagem eletrostatica envolve as inevitaveis capacitancias entre objetos metalicos. Considere dois objetos metalicos mostrados na Fig. 3.55a. A capacitancia entre os objetos, C, pode ser obtida tanto colocando-se urna carga Qem urn e uma carga -Q no outro e calculando-se a tensao, V, que ocorre entre eles, ou aplicando-se uma tensao entre eles e calculando-se a carga sabre os corpos. Em ambos os casos, a capacitancia entre os corpos e

Q C=V

Observe que nos dois casos as linhas de campo eletrico come«;am em urn condutor e terminam em outro. 0 numero de linhas de campo eletrico determina a capacitancia; quanta mais linhas sao originadas em urn condutor e terminam em outro, maior a capacitancia. Para blindar urn condutor do outro, essencialmente desejamos espalhar as linhas de campo eletrico de forma que elas nao terminem no condutor que esta para ser blindado. Suponhamos que circundemos o condutor 2 com urn a carca«;a condutora (condutor 3) como mostrado na Fig. 3.55b. As linhas de campo eletrico do condutor 1 devem terminar no condutor 3 e nao podem mais terminar no condutor 2 como antes. Assim, existem capacitancias entre os condutores 1 e 3, cl3> e entre OS condutores 2 e 3, c23. Observe que nao existe nenhuma capacitancia diretamente entre os condutores 1 e 2, C12 = 0. Isto representa blindagem eletrostatica de uma forma similar a blindagem de Faraday. Observe, aqui, que os condutores 1 e 2 nao estao completamente isolados, ja que eles estao conectados atraves da combina«;ao em serie de C13 e C23• Considere tres objetos metalicos, urn dos quais esta envolvido por urn dos outros objetos, como mostrado na Fig. 3.56. Suponha que todos os tres objetos estao acima de urn grande plano metalico, o qual sera referenciado como plano de "terra". A palavra "terra" e talvez o termo mais mal-entendido e malempregado em Engenharia Eletrica. Na area de distribui«;ao de energia, os engenheiros rotineiramente querem dizer "Terra" quando eles falam "terra". Em dispositivos eletronicos de alta frequencia exi.stem diversos tipos de terra: terra de seguran9a para prote<;ao contra choques, terra eletronico para retomar correntes de alta frequencia a sua fonte, etc. Aqui, usamos o termo terra significando urn ponto de tensao de referencia. Designaremos esse quarto condutor ou terra como o condutor a potencial zero. Se aplicarmos tens5es (cc) Vi entre o condutor i eo terra, encontraremos que estas estao relacionadas as cargas sabre os condutores pelas capacitancias da estrutura, como mostrado na Fig. 3.56. Estas cargas podem ser escritas como

Q1 = C10V1 + CdV1 - V3) Q3 = C3oV3 + Cl3(V3- Vr) + C23(V3- V2) Q2 = CdVz - Va) Os itens Ci0 sao as autocapacitancias 0 entre o i-esimo condutor e o terra, enquanto Cij e dito como a capacitancia mutua entre o i-esimo e oj-esimo condutor. Observe que algumas das autocapacitancias e das capacitancias mutuas estao ausentes no circuito equivalente. Por exemplo, nao ha nenhuma autocapacitancia entre o condutor 2 e o t~rra, C20 = 0. Similarmente, nao ha nenhurna capacitancia mutua entre o condutor 1 eo condutor 2, C12 = 0. Essas capacitancias resultam do fato de que o condutor 3 circunda o condutor 2 e, assim, as linhas de campo eletrico originando-se em 1 nao podem terminar em 2, e vice-versa. Contudo, note-se que o condutor 3 esta "flutuando", isto e, sua tensao em rela«;ao ao terra, V3 , nao enula. Se aplicarmos uma tensao variante no tempo ao condutor 1, V 1, isso pode causar, atra-

•Tambem denominadas capacitancias pr6prias. (N .T.)

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !> ].23

Figu~i113.56

llustragao das capaciUmcias mutuas entre corpos blindados.

ves do acoplamento capacitivo, uma tensao no condutor 2 (em relar,;ao ao terra). Contudo, suponhamos que liguemos o condutor 3 ao plano de terra. Isso faz com que V3 = 0 e, assim, isolamos os condutores 1 e 2. Assim, "aterrando" o gabinete (carcar,;a), podemos eliminar qualquerindur,;ao de uma tensao em dispositivos ou aparelbos, dentro de uma blindagem, devido as fontes fora dela.Veremos esse princfpio de blindagens aterradas em diversas outras instilncias posteriormente abordadas neste livro. 3.13.6 Motm e Genndor IEietricos C~msidere uma espira retangular que esta girando em urn campo magnetico a uma velocidade w racl/s como mostrado na Fig. 3.57a. Na Ser,;ao 3.12, foi estabelecido que urn fio reto de comprimento l que cruza urn campo magnetico B com uma velocidade v tera uma tensao induzida V = Blv entre suas duas ex:tremidades. (Veja Fig. 3.47.) Esse princfpio e usado para construir geradores eletricos. Considere urn a espira girando em urn campo magnetico, como apresentado na Fig. 3.57a e mostrado em ser,;ao reta na Fig. 3.57b. Uma tensao seni induzida no topo e na base dos fios de comprimento l de acordo com (3.97), e nenhuma tensao sera induzida nos Iados, ja que eles sao paralelos ao campo magnetico. Em termos do angulo ena Fig. 3.57b, a tensao induzida sera

= 2vBlsen(e)

Mas podemos escrever o lingula em termos da velocidade de rotar,;ao como

e = wt Os lados de comprimento l se movem de urn arco de comprimento diferencial w dr =-de 2

Assim, a velocidade e

124 ll> Capitulo Tres

v -------------------

r-+

(a)

(b)

Figura 3.57 0 gerador eletrico. (a) Dimensoes fisicas de uma espira girante. (b) Vista lateral da espira girante.

v=-

w =-w 2 e a tensao induzida e

V Em termos da area da espira, A

= wBlw sen(wt)

= lw, isto se torna Âˇ V = wBAsen(wt)

Essencialmente, isto ilustra a constrw;ao de urn gerador eletrico. Uma bobina com grande numero de espiras e girada por urn "motor principal", como urna turbina a vapor, urn motor eletrico ou uma roda d' agua. As tens5es de todas essas espiras se somam para produzir urn a tensao de safda suficientemente grande. Essa tensao induzida depende, de acordo com o resultado acima, da velocidade de rotac;ao, do numero de bobinas (todas estao conectadas em serie) e da area das bobinas. Assim, convertemos energia mecfurica em energia eletrica. Tambem determinamos, na Sec;ao 3.12, que urn fio de comprimento l que esta conduzindo uma corrente I tera uma forc;a exercida sobre ele por urn campo magnetico B. Essa forc;a e F = BIZ e e perpendicular ao plano contendo Bel, como mostrado na Fig. 3.48. Esse princfpio e usado para construir motores eletricos. Considere uma espira que tern uma corrente aplicada a ela, como mostrado na Fig. 3.58a. A vista de topo e mostrada na Fig. 3.58b. De acordo com (3.98), a forc;a exercida sobre os fios horizontais e

F = IlB A componente dessa forc;a atuando perpendicularmente aespira, de modo a gira-la, eF = IlB cos( e), e vai fornecer urn torque rotacional dado por

Figura 3.58 0 motor eletrico. (a) Dimensoes fisicas de uma espira girante. (b) Vista lateral da espira girante e as fon;as e torque exercidos sabre ela.

(b)

= F2cos(O) = -wl!B-cos ((} ) 2

IBA

= -cos(O) 2

e escrevemos esse resultado em termos da area da espira, A = wl. Isto essencialmente ilustra a construc;;ao de urn motor eletrico. Urn grande nllinero de espiras e enrolado em urna bobina, e urna corrente e aplicada. Urn campo magnetico extemo e obtido por urn processo similar. A interac;;ao entre os fi.os conduzindo corrente e o campo magnetico faz com que a bobina gire, convertendo assim energia eletrica em energia mecfullca.

~ RESUMO DOS CONC.EITOS EFORMULAS IMPORTANTES I. Lei de Coulomb: fomece a fon;a exercida sabre uma carga pontual por uma outra carga pontual: F = Q1Q! 4'fl'eR2â&#x20AC;˘ A for\!a esta dirigida ao longo de uma linha unindo as duas cargas. 2.

Permissividade do vacuo (essencialmente oar):

e.= l/36'fl'

X I0- 9 F/m.

3. Vetor intensidade de campo eletrico: e denotado por lE e e a razao entre a for\!a exercida sabre uma carga q por uma outra carga ou distribuigao de cargas por unidade de carga: E = Flq V/m. 4. JI:ntensidade de campo eletrico devido a uma carga ponmal: E = (Q/4'fl'er)a, o qual esta dirigido radialmente para fora da carga. 5. JI:ntensidade de campo eletrico devido a distribw~oes de cargas: pode ser determinada pela superposigao dos efeitos de amostras diferenciais de cargas dQ. 6. JI:ntensidade de campo eletrico devido a uma linha de cargas infinita: E gido radialmente para fora da linha de cargas.

= (p/2'fl'er)a, o qual esta diri-

,i_

126 l!l> Capitulo Tres 7. Materiais mellemcos: consistem em dipolos de carga que, quando sujeitos a urn campo eletrico extereo, se alinham. Isto cria urn campo de polmizagiio adicional que aumenta o campo resultante. 0 vetor densidade de fluxo eletrico D cuja unidade e Clm2 e a soma destes efeitos: D = 8)!: + JP. Isto nos permite intercambiar livremente lE e D atraves da permissividade do material como Jl) = 8lE, onde 8 = 8,8 e 8, e a permissividade relativa do material dieletrico. 0

8. lLei de Gauss para o campo eletrico: giD · ds = Qenvolviua. a qual simplesmente estabelece que, se samarmas OS produtos das areas superficiais diferen~iais pelas componentes de D que sao perpendiculares asuperficie fechada S, obteremos a carga liquida envolvida por aquela superficie. Para a lei de Gauss ser util no calculo, a distribuic;ao de cargas deve ser tal que podemos escolher urna superffcie gaussiana S de forma que D seja perpendicular a ela em qualquer ponto, e a sua intensidade seja constante sobre a superficie. 9.

:.l

Tensiio: eo trabalho necessaria para mover uma carga de urn ponto assumido de tensao negativa para urn ponto b

assumido de tensao positiva por unidade de carga movida. Em termos do campo eletrico Vba

= Wbalq =

Ja lE · dl,

isto e, se somarmos os produtos dos comprimentos diferenciais do caminho pelos componentes de lE que sao paralelos ao caminho, obtemos a tensao entre os dois pontos. Alem disso, giE · dl = 0, o que estabelece que o campo eletrico estatico e conservative, de forma que a tensao entre dois pontos e independente do caminho considerado. Mais tarde veremos que, para campos variantes no tempo, a tensao entre dois pontos nao e mais independente do carninho. 10. 'fensiio entre dois pontos devido a uma carga pontual: vbn = Q/411"8(1/rb- lira). H. Tensiio entre dois pontos devido a uma lmha de cargas infi:niil:a: Vba = p1/2m:.ln(ralrb)·

12. Capacital!llcia entre dois COliJIOS: e a razao entre a carga livre (igual, mas oposta nos corpos) e a tensao entre os dois corpos: C = Qf\1. Para calcula-la, colocamos cargas iguais e opostas nos dois corpos e calculamos a tensao resultante entre eles. 13. Correl!llil:e: eo fluxo de carga. Densidade de corrente J(Nm 2) e campo eletrico JE(V/m) que a produziu estao relacionados pelalei de Ohm, J = ulE, onde ue a condutividade do material. Para condi96es estaticas (cc), a conserva9ao de carga estabelece que 9i J · ds = 0. s

14. lLei de Biot-Savart: fornece o vetor densidade de fluxo magnetico B cuja unidade e Wb/m 2 ou tesla (T) devi-

do a urn segmento de corrente como dB = (pJ/41fR2) dl X aR. Observe que o campo Be perpendicular ao plano contendo a corrente e o vet or distancia radial da corrente ao ponto desejado de acordo com a regra da mao direita. 0 vetor densidade de fluxo magnetico para espiras de corrente ou segmentos longos pode ser obtido pela soma (com uma integral) dos campos B dessas amostras de corrente. 15. Permeabilidade do vacuo (essencialmente o ar): !Lo = 4'1T

10-7 Him.

16. Densidade de fluxo magnetico devido a uma linha infinita de corrente: B = (p,I/2m)a" o qual esta circunferencialmente orientado em torno da corrente, de acordo com a regra da mao direita.

17. Materiais magneticos: consistem em dipolos magneticos que irao tender a se alinhar com urn campo magnetico externo. Isto cria urn campo de magnetizagiio adicional que aumenta o campo resultante. 0 vetor densidade de fluxo magnetico B e a soma destes efeitos: B = p, H + p, M. 0 vetor intensidade de campo magnetico e denotado por He tern por unidade Nm. Isto nos permite inter-relacionar livremente B e H usando a permeabilidade do material como B = p,H, onde p, = ILo!Lr e p,, e a permeabilidade relativa do material magnetico. 0

18. lLei de Ampere: pH · dl = Ienvohida• a qual estabelece que, se somarinos os produtos dos comprimentos diferenciais do caminho p~los componentes de H que sao tangentes ao caminho, ao Iongo de urn contorno fechado c, obtemos a corrente envolvida por tal contorno. Para correntes que possuem simetria, isto nos perrnite urn calculo consideravelmente simplificado do campo H. Mas o contorno deve ser escolhido de forma que H seja tangente ao contorno em todos os pontos do mesmo e que o campo H tenha a mesma intensidade em todos os pontos do contorno. 19. Lei de Gauss para o campo magnetico: 9i B · ds = 0, a qual estabelece que, se somarmos os produtos das areas superficiais diferenciais de uma superficie fechada S pelos componentes de B que sao perpendiculares asuperffcie, sempre obteremos urn resultado nulo. Essencialmente isto estabelece que, diferente do campo eletrico, o campo magnetico nao possui fontes isoladas e as linhas de campo magnetico devem formar caminhos fechados, sem infcio ou fim. 20. Indutancia: a indutancia de uma espira fechada e a razao entre o fluxo magnetico atravessando a espira e a corrente produzida pelo fluxo: L = tf!II. Para deterrninarmos tal grandeza, aplicamos uma corrente I e calculamos o fluxo magnetico 1/J resultante da mesma que atravessa a espira. 21. Equa~:ao da for~:a de Lorentz: a for9a exercida sabre uma carga Qpor urn campo eletrico E e urn campo magnetico B, onde a carga esta se movendo em rela9ao ao campo magnetico com velocidade v, e F = QE + Qv X B. Urn fio de comprimento l se movendo perpendiculannente ao campo.magnetico B com velocidade v tern uma

I !

!•

Campos Eletromagneticos Estaticos (CCI

!.\!>

127

tensao gerada entre suas extremidades de V = oBl, onde o fio, o campo B e a velocidade sao todos mutuamente ortogonais. Um fio de comprimento l conduzindo uma corrente I em um campo magnetico B tem uma fon;a F = BIZ exercida sobre ele. 0 fio e o campo magnetico sao ortogonais e a for<;a e exercida perpendicularmente ao plano contendo a corrente e o campo magnetico.

PROBLEMAS SE!QAO 3.1 CARGA E LEI DE COULOMJB 3.1.1 Uma distribui<;:ao volumetrica de carga Pu = 2z C/m3 esta contida em uma regHio definida em coordenadas cilindricas por 0 :5 z :5 2 m, 0 :5 r :5 1 m, 45° :5 4> :5 90°. Determine a carga total contida na regiao. 3.1.2 Uma distribui<;:ao superficial de carga esta contida em uma superffcie lisa em forma de cunha cujos vertices sao definidos no sistema de coordenadas retangulares por (2, 1, 2) m, (1, 1, 2) me (1, 3, 2) m. A distribuiglio de carga e dada por Ps = 3xyz Clm 2• Determine a carga total contida na superffcie. [13 C] 3.1.3 Urna carga pontual de 100 p,C esta localizada no sistema de coordenadas retangulares em (1, 1, 1) m, e outra carga pontual de 50 11C esta localizada em (-1, 0, -2) m. Determine o vetor for<;a sobre a primeira carga. 3.1.4 Quatro cargas pontuais de 100 p,C estlio localizadas nos vertices de urn quadrado que esta definido no sistema de coordenadas retangulares por (1, 0, 0) m, (0, 1, 0) m, (-1, 0, 0) me (0, -1, 0) m. Determine o vetor for<;:a exercido sobre uma outra carga de 100 p,C que esta localizada em (a) (0, 0, O) m, (b) (0, 0, 1) m, (c) (1, 1, 0) m. [(a) 0, (b) 127,28a, N, (c) ll4,15a, + ll4,15ay N] 3.1.5 Duas cargas pontuais, Q1 = 18 p,C e Q2 = 72 p,C, estao separadas por 3 em. Uma terceira carga, Q3 = -8 p,C, e introduzida entre as outras duas. Determine a distancia entre Q1 e Q3 de forma que Q3 nlio se mova. [1 em] 3.1.6 Duas cargas iguais, mas de sinais opostos, de 35 p,C estao separadas no ar pela distancia de 20 em, e urn eletron esta localizado no ponto medio entre essas cargas. Determine a for<;a experimentada pelo eletron. [1 X 1o- 11 N dirigida para a carga positiva]

·)·

3.1. 7 Duas cargas pontuais Q sao suspensas por linhas identicas de massa desprezivel e comprimento l a partir de urn ponto comum. Se cada carga pontual tern uma massa m, determine uma expressao para a carga em termos do angulo entre a vertical e as linhas e a acelera<;:lio da gravidade g.

§E!QAO 3.2 VJETOR INTEN§liDADE DE CAMPO ELJETRJICO 3.2.1 Uma carga pontual positiva, Q1 = 5 p,C, esta localizada em (0, 0, 2m) no sistema de coordenadas retangulares, e uma carga pontual negativa, Q2 = -10 p,C, esta localizada em (0, 4 m, 0). Determine o vetor intensidade de cam_p_:> eletrico em (0, 4 m, 2m). ""'·

i2~~- )uma carga pontual positiva de +50 p,C e duas cargas pontuais negativas de ~50·p,C saocolocadas nos vertices de urn triangulo equilatero cujos !ados tern comprimento de 5 m. Determine a magnitude do vetor intensidade de c_ampo eletrico no centro do triangulo. [108 kV/m] 3.2.3 Duas cargas pontuais Q de sinais opostos estlio separadas por uma distancia l e sao colocadas ao Iongo do eixo z do sistema de coordenadas retangulares. A carga positiva esta localizada em (0, 0, l/2) e a carga negativa esta localizada em (0, 0, -l/2). Determine uma expresslio para o vetor intensidade de campo eletrico (a) ao Iongo do eixo z, e (b) ao Iongo do eixo y. [(a) Ql!27TB0 z(z 2 -l214)2 a_, (b) -Ql!47TB0 ll(y 2 -l2!4) ay] 3.2.4 Urn anel de cargas de raio a possui uma densidade linear de carga de p1 Clm que esta uniformemente distribuida ao longo do anel. Determine o campo eletrico a uma distancia d ao longo de uma linha perpendicular ao anel e centrada nele. Calcule esse resultado para uma distancia muito maior que o raio do anel. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir aquele para uma carga pontual. Por que? 3.2.5 Determine o campo eletrico de urn disco de cargas de raio a tendo uma distribui<;ao de cargas uniforme de Ps Clm 2 sobre a sua superffcie a uma distancia d do seu centro e sobre uma linha atraves de seu eixo. Voce precisara da integral fr/(d 2 + r 2)3f2dr = -1/Vd2 + r 2. Calcule essa expressao para uma distancia muito maior que o raio do disco. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir aquele para uma carga pontual. Por que? [ lE = psf2e0 [ 1 - d/Vd2 + a2]a,, lE = 7T a2psf47Te0 d2 a,, d > > a. Para pontos distantes, o disco de cargas pode ser visto como uma carga pontual de carga igual a carga total contida no disco: Q = 7Ta2p 3 .]

. _3~-Duas linhas infinitas de carga de polaridades opostas, p1 Clm e ; p1 Clm, estlio na dire<;ao z no sistema de coordenadas retangulares. A linha de cargas positiva e colocada em y = l/2 e a linha de cargas negativa e colocada em y = -1/2. Determine o vetor intensidade de campo eletrico (a) ao Iongo do eixo y, e (b) ao longo do eixo x. [(a) lE Pl/2'TT'B0 l/(y 2 z2/4)ay (b) lE = -p7f27re0 l/(x2 + Z2/4)aJ

128 1:> Capitulo Tres

3.2. 7 Urna carga estii uniformemente distribuida sobre uma fruxa de comprimento infinito e que possui uma largura W com distribuigao superficial de carga p, Clm2• Determine o vetor intensidade de campo eletrico em urn ponto que seja perpendicular afaixa e localizado a uma distancia d do seu centro.

SE<;AO 3.3 VJE'J;'OR DENSIDADE DE JFLUXO ELETIUCO E MATERIAIS DIELETIUCOS

.f.;

1''·'1' )1

3.3.1 Urn capacitor de placas paralelas tern placas.de extensao muito grande, de forma que o campo eletrico e perpendiculw as placas. As placas estao separadas por uma distancia de 1 mm, e uma tensao de 100 V e aplicada a elas como mostrado na Fig. 3.11. Uma lamina de mica (e,. = 5,4) einserida entre as placas. Determine a intensidade ' do vetor polarizagao na mica. [3,89 JLC/m 2] ~

SE<;AO 3.4 LEI DE GAUSS PARA 0 CAMPO ELETIUCO ~·-·-

3·.4.1 . tJma distribuigao volumetrica de carga, Po = kr C/m3, esta contida em urn volume esferico de raio a, eo ·:meio-~ o vacuo. Determine (a) a carga total contida no volume, (b) o vetor intensidade de campo eletrico para r 2: a, e (c) o vetor intensidade de campo eletrico para r :5 a. [(a) 'ITka4 C, (b) E = (ka 4/4e;r) a,., (c) E = (kr/4e.) a,.] 3.4.2 Para o problema do anel de cargas no Problema 3.2.4 e do disco de cargas no Problema 3.2.5, pode a lei de · Gauss ser usada para determinar o campo eletrico a uma distancia d do centro e sobre uma linha perpendicular ao anel ou disco? Se nao, por que? 3.4.3 Urn volume cilindrico, 0 :5 z :54 me 0 :5 r :52 m, envolve uma carga. Se o campo eletrico e IE = (zrle a,, detennine a carga total envolvida por esse cilindro. 0

)

3.4.4 Uma densidade volumetrica de carga p. = klr C/m3 ex:iste em uma regiao esferica a :5 r :5 b. Determine o vetor intensidade de campo eletrico. [E,. = k(b2 - a2 )12e0 r para r 2: b, E,. = 0 para r :5 a, E,. = k(1 - a2fr)/2e 0 para a:5r:5b]

1 '

t t\

-I

SE<;AO 3.5 TENSAO 3.5.1 0 vetor intensidade de campo eletrico e dado no sistema de coordenadas retaJ1gulares como E = xa, + y~ + za..,. Mostre que o campo eletrico econse-ruativo, determinando o trabalho necessiirio para mover uma carga q em tornode dois caminhos fechados consistindo em segmentos de reta entre os pontos: (a) (0, 0, 0) --7 (0, 0, 1m) --7 (0, 2m, 1m) --7 (0, 2m, 0) --7 (0, 0, 0) e (b) (0, 0, 0) --7 (0, 0, 1m) --7 (1m, 0, 0) --7 (0, 0, 0). [zero para ambos os caminhos] 3.5.2 Uma carga pontual positiva de 10 JLC esl:lilocalizada em (0, 3m, O) no sistema de coordenadas retangulares. Determine a tensao no ponto (0, 3m, 2m) em relagao aorigem. () 3.5.3 Duas cargas pontuais sao colocadas no sistema de coordenadas retangulares como segue: Q1 = 10 JLC e colocada em (0, 0, 3m) e Q2 = 5 JLC e colocada em (0, 2m, 0). Determine a tensao no ponto (0; 5 m, 5 m) em relagao aorigem do sistema de coordenadas. [-28.070 V]

-I ~

[ ,·

3.5.4 Duas cargas pontuais sao colocadas no sistema de coordenadas retangulares como segue: Q1 = 10 JLC ecolocadaem (0, -2m, 0) e Q2 = 5 JLC e colocadaem (0, 3m, 0). Determine a tensao noponto (0, 0, 5 m) em relagao aorigem do sistema de coordenadas. [-35.570 V]

._ . .

3.5.5 Duas cargas pontuais sao colocadas no sistema de coordenadas retangulares como segue: Q1 = 5 JLC e colocada em (3m, 0, 0) e Q2 = - fo JLC e colocada em (0, o; 2m). Determine a tensao no ponto (0, 5 m, O) em relagao aorigem do sistema de coordenadas. \

Duas distribuigoes lineares de carga sao colocadas .~obre o eixo y do sistema de coordenadas retangulare~ e na diregao do eixo x. Aprimeira distribuigao de cargas e p1 = 5 JLC!m e ecolocada em (0, 2m, 0). A segunda distribuigao de cargas er2 = -10 JLCim e ecolocadaem (0, -3m, 0). Determine a tensao em (0, 0, 5 m) em relagao a (0, 0, 0). [30.477 V]

u 3.5.6

3.5. 7 Tres cargas pontuais Q = 2 JLC estao localizadas nos vertices de urn triangulo equiliitero cujos lados tern . .,.,, comprimento l = 3 m. Detennine o potencial absoluto no centro do triangulo. Urn anel de cargas de raio a e distribuigao unifonne p1 esta situado no plano xy do sistema de coordenadas retangulares e centrado na origem. 0 vetor intensidade de campo eletrico ao Iongo do eixo z foi determinado no Problema 3.2.4. Determine uma expressao para o potencial absoluto nos pontos ao Iongo do eixo z usando (3.44). Determine o campo eletrico a partir desse resultado, usando E = -gradiente V e mostre que ele esta de acordo com o campo eletrico encontrado no Problema 3.2.4.

•;..,o 3.5.8

, f>.')

3.5.9 Urn disco de cargas de raio a e distribuigao uniforme p, esta situado no plano xy do sistema de coordenadas retangulares e centrado na origem. 0 vetor intensidade de campo eletrico ao Iongo do eixo z foi determinado no Problema 3.2.5. Determine uma expressao para o potencial absoluto nos pontos ao Iongo do eixo z usando (3.44). Determine o campo eletrico a partir desse resultado, usando E = -gradiente V, e mostre que ele esta de acordo. com o campo eletrico encontrado no Problema 3.2.5. [V = p8 /2e 0 {"'Jz2

+ a2 - z)]

·I

"t:r

I I t

!I i

f i

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !!? 129

3.5.10 Determine o vetor intensidade de campo eletrico para as seguintes distribuic,;5es de potencial: (a) V(x, y, z) = 1/(x2 + y2 + z2) 112, (b) V(,, ¢, z) = re-=cos¢, (c) V(r, e, ¢) = sene cos¢/r.

SlE~AO 3.6 CAPACJITANCIA 3.6.1 Urn capacitor de placas paralelas tern placas de area de 100 cm2 e separac,;ao de placas de 1 mm. Mica (er = 5;'4) preenche a regiao entre as placas. Uma tensao de 10 V e aplicada entre as placas. Desprezando as efeitos de bordas, determine as intensidades do vetor intensidade de campo eletrico, do vetor densidade de fluxo eletrico e do vetor polarizac,;ao. Determine a capacitancia. [E = 10 kV/m, D = 0,478 p,C/m2, P = 0,389 p,C/m2, C ~ 477,5 pF] 3.6.2 Dais discos circulares de raio de 10 em estao separados no ar par uma distancia de 1 mm. Assumindo que o campo eletrico e perpendicular as placas, determine a capacitancia da estrutura.3.6.3 0 capacitor de placas planas e paralelas mostrado na Fig. P3.6.3 tern dais dieletricos preenchendo a regiao / tntre as placas. Determine a capacitancia desse conjunto eo campo eletrico nas duas regi.5es. Calcule esses valores _.y9'~ /rara uma placa de area de 100 cm 2, V = 10 V, d1 = 1 mm, er1 = 2, d 2 = 3 mm, er2 = 4. Sugestao: considere o arranjo como sendo equivalente a dais capacitores de placas planas e paralelas associados em serie. ~

l C

~:~

=e A 0

er1

er2

= 70,74 pF,

-+-

= 4000 Vhn, E, = 2000 Vhn

Area A

1 v

Figura Pl.6.3 Problema 3.6.3. ----

3.6.4 0 capacitor de placas planas e paralelas mostrado na Fig. P3.6.4 tern dais dieletricos preenchendo a regiao entre as placas. Determine a capacitancia dessa estrutura eo campo eletrico nas duas regi5es. Calcule esses valores para uma placade areas d!ilA1 = 100 cm 2 eA2 = 400cm2, V = 10V, d = 2 mm, er1 = 2, er2 = 4. Sugestao: Considere a estrutura como a combinac,;ao de dois capacitores de placas paralelas associados em paralelo.

I r

Figura P3.6.4 Problema 3.6.4. 3.6.5 Urn capacitor esferico (Fig. P3.6.5) consiste em uma esfera condutora extema de raio be uma esfera condutora intema de raio a. Dais dieletricos preenchem a regiao entre as esferas como er1 para a < r < r 1 e er2 para r 1 < r < b. Determine a capacitancia dessa estrutura e calcule seu valor para e,1 = 2, er2 = 4, a = 1 mm, r 1 = 3 mm e b = 5 mm. Sugestao: Considere a estrutura como a combinac,;ao de dais capacitores esfericos associados em serie.

·~,

130

Capitulo Tres

Figura P3.6.5 Problema 3.6.5.

3.6.6 Urn cabo coaxial e preenchido com urn dieletrico nao-homogeneo, como mostrado na Fig. P3.6.6. Determine a capacitancia por unidade de comprimento. Calcule seu valor para er1 = 2, er2 = 4, a = 1 mm, r 1 = 3 mm, e b = 5 mm. Sugestao: Considere o arranjo como sendo a associa9ao de dois capat:itores cilindricos em serie. I

l''

·'

Figura P3.6.6 Problema 3.6.6.

··-

§JE~AO 3. 7 COJRRJEN1'JE lE VJETOR DENSIDADJE DJE FlLVXO MAGNETJI:CO ~-···-

3:7~~

Determine a resistencia de urn fio n. 20 (raio = 16 mils) de cobre (CT = 5,8 X 10 S/m), del Ian de compri0

meJ:!t.9~..

3. 7.~. . Um capacitor de placas planas e paralelas e preenchido com urn dieletrico com perdas que possui urn acoiidutividade CT. As placas tern area A e estao separadas por uma distancia d. Determine a resistencia entre as piacase calcule seu valor para CT = 4 S/m, A = 100 cm2, e d = 2 mm. [diCTA !1, 50 mfl] 3. 7.3 Urn capacitor esferico e formado por duas esferas concentricas de raios a e b com a< b. 0 material entre as esferas e urn dieletrico com perdas com urn a condutividade CT. Determine a resistencla dessa estrutura. Calcule seu valor para a = 1 mm, b = 3 mm, e CT = 0,5 S/m. 3.7.4. ·Urn cabo coaxial formado por dois cilindros concentricos de raios a e b com a< be preenchido com urn dieletrico com perdas tendo condutividade CT. Determine a resistencia por unidade de comprimento dessa estrutura. Calcule seu valor para as dimensoes tfpicas de urn cabo coaxial de a = 16 mils, b = 58 mils, e CT = 2,05 S/m. [1/ 2'ITCT ln(bla) fUm, 0,1 film] 3.7.5

Uma corrente de 5A£luiaolongo deurnfio de 10m de comprimento. Se ofio estasituado aolongo do eixo

z do sistema de coordenadas retangulares e centrado em sua origem, determine a densidade de fluxo magnetico em (a) (0, 3m, 0) e (b) (0, 0, 5 m). 3.7.6 Urn elemento infinitamente longo de corrente I esta situado proximo a urna espira retangular, como mostrado na Fig. P3.7.6. Determine uma expressao para o fluxo magnetico total que penetra na espira. Calcule essa expressao para I= 10 A, l = 10 em, r 1 = 2 em, e r 2 = 4 em. Sugestao: Utilize o resultado do Exemplo 3.16. [f.1£Jil/2'IT ln(rz/r1) Wb, 0,139 /LWb]

Figura P3.7.6 Problema 3.7.6.

--'c;,.

··f<l

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) !> 131

3. 7. 7 Urna espira quadrada de !ado l esta situada .no plano xy do sistema de coordenadas retangulares e centrada j1a origem. A espira conduz uma corrente I que circula ern sentido horano. Determine uma expressao para o vetor ·densidade de fluxo magnetico no eixo z. Calcule essa expressao no centro da espira, se l = 2m e I = 10 A. Sugestao: Utilize o resultado do Problema 3.16. ~·

·,

3. 7.8 Um trianglllo equilatero de lados de comprimento l esta conduzindo uma corrente I que circula em sentido horano. Determine urn a expressao para a densidade de fluxo magnetico no centro do triangulo. Calcule essa expressao para l = 5 ern e I = 4 A. Sugestao: Utilize o resultado do Exemplo 3.16. 3. 7.9 Urna porgao de uma ~spira circular representada na Fig. P3. 7.9 conduz uma corrente I. Determine a d~n sidade de fluxo magnetico n0 ponto P. Sugestao: Utilize·a lei de Biot-Savart para superpor as contribuig5es. [B = JLoi()/4= (111\- l/r2) dirigido para dentro da pagina]

'-'

"\.

~~~-----~~,p

\ -- "' ,\

fi!lnJifaJ P3.7.9 Problema 3.7.9.

§JE((_;AO 3.9 JLJE][ DJE AMJPEJRJE 3.9.1 bois filamentos infinitamente longos de corrente sao paralelos e estao separados por uma distancia d. Seas correntes dos filamentos tern a mesma intensidade I mas sentidos opostos, determine o modulo do vetor intensidade de campo magnetico (a) no ponto medio entre os filamentos e (b) a uma distancia D do centro e no plano contendo os filamentos de corrente. Sugestao: Utilize o resultado do Exemplo 3.19. '

I d ] 2I [ (a) 7Td' (b) H = 27T (d'- d2/4) 3.9.2 Uma faixa inflnitamente longa de largura w conduz uma densidade linear de corrente K Aim ao Iongo de seu comprimento. Determine o vetor intensidade de campo magnetico a uma distancia d de seu centro e sobre uma linha perpendicular asuperffcie da faixa de corrente. Sugestao: Trate a faixa como filamentos de corrente Kdz A e superponha os campos usando (3.81) do Exemplo 3.19. Voce precisara da integral {ll(d2 + z2)dz = lid tan- 1(z/d). Faga w--? oo nesse resultado e rnostre que ele se reduz ao resultado do plano infinito no Exemplo 3.21, Equagao (3.86). 3.9.3 Urn tor6ide e constitufdo de urn anel de urn material altamente permeavel, como mostrado na Fig. P3.9.3. o raio intemo do toroide e a e o raio extemo e b, e existemN espiras eilloladas nele. As espiias-eitilo compactaillente enroladas, de forma que o fluxo permanece no tor6ide. Determine uma expressao para o vetor intensidade de campo magnetico para (a) r <a, (b) a< r < b, e (c) r >b. Sugestao: Utilize a lei de Ampere e integre ao Iongo de urn cfrculo de raio r.

Figura P3.9.3 Problema 3.9.3. -~~ . I

3.9.4 Urn solen6ide infinitamente Iongo mostrado na Fig. P3.9.4 consiste em urn nucleo central de urn material altamente peJ'llleavel de raio a e permeabilidade p.,,. Existern n voltas de fio por unidade de comprimento conduzindo uma corrente I enroladas nele tao compactamente, de modo que o fluxo magnetico esta confinado adiregao axial do nucleo. Determine a densidade de fluxo magnetico no nucleo. Sugestao: Construa urn contomo retangular fechado que passe ao longo do solen6ide urn comprimento L e fora da bobina urn comprimento L e use a lei de Ampere. [B = fLrfLoni]

'·•·'t""

132 I> Capitulo Tres,

Figura P3.9.4 Problema3.9.4.

SE(::AO 3.11 INDUTANCIA

3.11.1 Determine a auto-indutancia por unidade de comprimento do solen6ide do Problema 3.9.4. Sugestao: Determine ? fluxo enlagando urn a espira e lembre que a indutihlcia e o enlace de fluxo por unidade de corrente enlagada por ele. Determine a indutancia por unidade de comprirnento para urn solen6ide de ferro (f.Lr = 1000) de raio de 1 em, com 20 espiras por em. [l ::::o ILrfon 2'ITa 2 Him, 1,58 Him] 3.11.2 Urna espira retangular com lados de comprimento l e w com l iÂť w conduz.uma corrente I e e constrtp:da de fios de raio a onde a ~ w,,como mostrado na Fig. P3.1t'.2. Determine a indutancia aproximada dessa estrutura. Sugestao: Utilize o resultado obtido para a indutancia por unidade de comprirnento de urn par de fios :rJa:ralelos obtida no Exemplo 3.25. Âˇ ' ~

'"""'

Figura P3.11.2 Problema 3.11.2.

3.11.3 Determine a auto-indutancia por unidade de comprirnento de uma linha de transmissao plana consistindo em duas placas de largura w que sao infinitamente longas e conduzindo uma densidade linear de corrente K Nm que sao iguais mas opostas ao Iongo da dirnensao infinita. Os lados das placas sao paralelos, e as placas estao separadas por uma distancia s. Determine a indutancia por unidade de comprirnento dessa linha de transmissao, assumindo que a largura da placa e muito maior que a separagao entre elas); iÂť s, de forma que se pode desprezar a curvatura do campo nas bordas e assumir o campo magnetico entre as pl~,das como constante ao Iongo da largura. Sugestao: Utilize o resultado do Exemplo 3.18 para o campo de uma placa infinita e superponha os dois campos. [l = f.Lo s/w Him] 3.11.4 A indutancia mutua e definida entre duas espiras, uma das quais conduzindo uma corrente I. A definigao de indutancia mutua entre duas espiras e a razao do fluxo total atravessando a segunda espira (causado pe]a COrrente na primeira) pela corrente da prirneira espira, M = N21/J/I1, onde a segunda espira tern N2 voltas compactamente enroladas, e 1/12 eo fluxo atraves de uma dessas espiras. Uma linha de transmissao de fios paralelos muito longa composta de correntes fllamentares que sao iguais. mas opostas e separadas por uma distancia s esta situada adjacente a uma espira retangular de largura w e compriill.~nto l, como mostrado na Fig. P3.11.4. 0 comprimento da espira, l, e assumido como muito pequeno, comparado ao comprirnento da linha de transrnissao. Ambas, linha de transmissao e espira, estao situadas num plano e estao separadas centro a centro por uma distancia D. Determine a indutancia mutua entre essas duas estruturas. Sugestao: Superponha o fluxo magnetico penetrando na espira devido a cada uma das correntes da linha.

Campos Eletromagneticos Estaticos (CC) ll> ].33

(

Figura P3:11.4 Problema 3.11.4.

-----

SE<;IAO 3.12 FOJ!l<;IAS PJRODUZIDAS POJR CARGAS E COJRJRENTES .' .moven,do-se com velocidade constante ventra em uma regiao onde urn campo 3.12.1 Uma particula carregada

eletrico E e ajustado pelas placas de deflexiio Vâ&#x201A;Źi'tical. As bobinas montadas horizontalmente ajustam urn campo magnetico B perpendicular ao campo eletrico, como mostrado na Fig. P3.12.1. Uma tela metalica esta localizaq~ a alguma clistancia,. e urn buraco e feito nessa tela alinhado com a velocidade original da partfcula. Determine a velocidade das particulas carregadas que irao passar atraves do buraco. Calcule seu valor paraE = 2 kV/m e B = 1 mW]?.[ m2â&#x20AC;˘ [v =.E!B, v = 2 X 1Q6 m/s]

IFigura IP3.~2.1 Problema 3.12.1. )

~--Oois

fios infinitamente longos conduzem correntes I 1 e I 2 que estao na mesma direqao e separadas por uma distancia s como mostrado na Fig. P3.12.2. Determine a forqa por unidade de comprimento exercida sobre esses fios. [f = JL0 l 1I/2Tis N/m, fazendo com que os :fios se atraiam]

f'\

/1 ~;;.)

r/ 9

-s-

Figura P3.12.2 Problema3.12.2.

3.12.3 DIP fio infinitamente longo conduzindo uma corrente I 1 e adjacente a uma espira retanguiar que conduz uma corrente I2, como mostrado na Fig. P3.12.3. Determine as quatro forgas exercidas em cada lado da espira.

134 I> Capitulo Tres ·

JF2

~)·

·<---

F1 /2

•fF4

Figura P3.12.3 Problema 3.12.3.

3.12.4 Urn par de trilhos condutores suporta urn bast1io condutor que esta se movendo da esquerda para a direita com velocidade v em urn campo magnetostatico B, como mostrado na Fig. P3.12.4. Determine a corrente I atraves do resistor fluindo no sentido indicado.

R").

...

-t.

"'.

,@ w

·~

(F)

./'

!Figura P3.12.4 Problema 3.12.4. B , . 3.12.5 Uma espira retangular de largirra tv e comprimento l esta girando a uma velocidade angular dew radianos/ s em tomo do eixo z, como mostrado na.Fig. P3.12.5. Urn campo magnetostatico B est-<l.na cliregao y e e uniforme sabre o plano xy. Determine ·a corrente atraves do resistor R. [I = -wlw B sen( wt )IR]

z B

=======F==================~

X =======================~

Figura P3.12.5 Problema 3.12.5.

Campos Eletromagneticos Va(ianteslno Tempo

Nos capitulos anteriores?Xa,_~inamos os campos ele't~omagneticos produzidos por di~trib:Ug6es de cargas que estavam em pJu4ig6es fixas ou que se moviam em uma taxa constante (uma corrente cc). Os campos eletrico e mirgnetico, que sao produzidos por essas cargas, e seu movimento sao referidos como campos esbiticos. Vimos ql\e. uma distribuigao fixa de cargas produzia o vetor intensidade de campo eletrico, lE, cuja unidade e V/m, eo vetor densidade de fluxo eletrico, JD, cuja unidade e C/m2,. Uma corrente cc -:prcidUzia dots vetores restantes; o vetormtensidade de campo magn6B.co: H, cuja unidade e Aim; eo vetor densidade de fluxo magnetico, B, cuja unidade e Wb/m 2 ou equivalentemente tesla (T). Os vetores de campo eletrico lEe JD sao independentes dos vetores de campo magnetico, He JB, exceto em urn meib com perdas. Em urn meio com perdas, a densidade de corrente, J, esta relaci9nada ao vetor intensidade de campo eletrico pela condutividade do meio por J = alE. Assim, em urn meio com perdas, Kira produzir uma corrente J, a qual, por sua vez, ira produzir urn campo magnetico. A menos dessa excegao, os campos eletrico e magnetico estaticos sao independentes uns dos outros. Estenderemos agora nosso estudo para o caso do movimento de cargas que nao e continuo, isto e, uma corrente variante no tempo. Neste caso, veremos que os campos eletrico e magnetico estao interrelacionados; urn campo magnetico variante no tempo ira produzir urn campo eletrico e, reciprocamente, urn campo eletrico variante no tempo ini produzir urn campo magnetico. Essa interdependencia e a chave para a produgao de ondas eletromagneticas. A irradiagao de ondas eletromagneticas ocorre quando cargas sao aceleradas, isto e, sua velocidade nao e constante. 0 restante deste livro sera dedicado ao estudo dessas ondas. No Capitulo 5 estudaremos as caracteristicas gerais dessas ondas, e no Capitulo 6 (Linhas de Transmissao) e Capitulo 7 (Antenas) estudaremos a propagagao dessas ondas.

Objeti~os

de Aprendffzado do Capitulo

Ap6s com.pletar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a ~,.

calcular tensoes e correntes que sao induzidas em circuitos eletricos por um campo magnetico variante no ten'lpQ usando a lei de Faraday;

I> determinar a densidade de fluxo magnetico IB (Wb/m 2 = T) para uma dada intensidade de campo eletrico E (V/m) de forma que eles satisfa<;:am a lei de Faraday; ~..,

calcular a corrente de deslocamento causada por um campo eletrico variante no tempo;

determinar a densidade de fluxo eletrico D (C/m 2 ) para uma dada intensidade de campo magnetico IH (Nml de forma que eles satisfagam a lei de Faraday;

entender o significado das leis de Gauss (nao modificadas em relagao aos campos estaticos);

> verificar sea densidade de fluxo eletrico ID (C/m2) e a densidade de fluxo magnetico IS (Wb/m 2 = T) satisfazem as leis de Gauss; ~>

verificar se a densidade de corrente J (A/m 2) satisfaz a conservagao de cargas;

i'-' determinar a densidade de potencia em urn campo eletromagnetico a partir dos campos eletrico e magnetico dados;

';,Âˇ

136 I> Capitulo Quatro

determinar os campos eletrico e magnetico em urn lado de uma fronteira conhecendo-se os campos eletrico e magnetico no outro lado da fronteira; .> substituir um plano de terra infinite pelas cargas de imagens e corrente equivalentes para simplificar a solu~rao; ::>路 explicar a opera~rao de uma ponta de prova de corrente.

4.1 LEI DE FARADAY . No capitulo anterior, vimos que uma distribuis;ao fixa de cargas produzia urn campo eletrico que tinha a impoitante piopriedade de que a integral de linha do vetor intensidade de campo eletrico ao Iongo de urn contorno fechado c levava aum resultado nulo: (4.1) c

e a integral de superficie do veto! densidade de'fluxo el_etrico sobre uma superficie fechadas fomecia a carga llquida envolvida por aquela superficie: ~,

D 路 ds

= Qenvol~ida

(4.2)

A primeira propriedade em (4.1) estabelece que campos eletricos estaticos sao coi1seroativos; a energia total despendida ao mover uma carga em torno de urn caminho fechado e nula. Isso permitiu a definis;ao Unica da tensao entre dois pontos como

(4.3) II

0 caminho fechado entre os pontos a e b nao e importante; obtemos o mesmo resultado para diversos caminhos entre esses dois pontos. A segunda propriedade dos campos estaticos em (4.2) essencialmente estabelece que as linhas (fluxo) de campo eletrico que comes;am em cargas positivas terminam em cargas negativas. Neste capitulo, veremos que, quando as distribuis;oes de cargas estao variando no tempo, (4.1) deve ser modificada para

-~JB 路ds dt

(4.4)

Esta e a lei de Faraday. Observe que, quando o movimento das cargas nao esta variando como tempo (seas cargas estao em posigoes fixas ou estao se movendo a uma taxa continua), entao o campo B sera constante eo lado direito e zero, reduzindo-se ao nosso resultado anterior em (4.1). A lei de Faraday e urn resultado incrivelmente poderoso. A geras;ao, transmissao e distribui<;ao de energia eletrica, para citar uma aplicas;ao, nao seriam possiveis sem ela. Agora, vamos interpretar a lei de Faraday. Observe que o lado esquerdo por unidade de volt (V) e similar atensao definida para campos estaticos em (4.3). Contudo, este e urn contorno au caminho fechado, c. Como o Iado direito nao e mais zero, ele indica que uma tensiio einduzida em um caminho fechado c. Isso tern sido tradicionalmente chamado de jor9a eletromotriz induzida ou fem devido asua similaridade a uma bateria: fern=

fE 路dl c

(4.5)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo IJ> 137 0 lado direito da lei de Faraday ea taxa de varia9iio temporal do jluxo magnetico atrauessando a superficie S CLt_jO per£metro e 0 contorno C: (4.6)

Assim, a lei de Faraday pode ser escrita como

Cd;l ~

(4.7)

A Fig. 4.la mostra a interpreta15ao da lei de Faraday. 0 contorno fechado c e a superffcie aberta s estao diretamente relacionados, de forma que o contorno liJDita a superffcie s. Tal superffcie pode ser entendida como sendo 'D.rr'\ bqlao. 0 contomo c e a boca do balao e a superffcie s e a superffcie dele. Como a superffcie s e uma sup~rficie ab€)rta, devemos especificar a direldaO do fluxo de lB atraves dela. Isso e fomecido pela regra da mao dire~ta. Se colocarmos OS dedos de nossa mao direita na diregao do contomo c, o polegar ira apontar na direc;ao des que indica o sentido positivo do fluxo "atraves da superffcie". 0 sinal negativo na lei de Faraday e denominado lei de Lenz. Seu significado sera discutido nos paragrafos seguintes. Mas, neste momenta e importante observar que o mesmo resultado sera obtido, quaisquer que sejarn as superficies s, desde que niio se modifique o contorno c. Novamente, permanece como urn balao: se inflarmos o balao mas mantivermos uma abertura constante, criamos urn grande numero de formas para a superficie. Mas a lei de Faraday fornece o mesmo resultado para todas essas formas, pois a-abeltura (contomo c) nao mudou. Esse· e urn resultadopratico, pais ele essencialmente estabelece que apenas aquelas linhas do campo B que atravessam a boca da superficie, lirnitada pelo contorno c, contribuern para ojluxo atraves da supetficie s. Por exemplo, na Fig. 4.la mostramos uma linha da densidade de fluxo magnetico que entra na superffcie e sai dela mas nao passa atraves da boca. Como ela nao entra pela boca, ela nao contribui em nada para o fluxo total atraves da superffcie. ' Assim, a lei de Faraday essencialmente estabelece que qualquer fluxo rnagnetico variante no tempo que atravessa uma superficie s lirnitada por urn contorno c ira induzir uma fern naquele contorno que e muito sin;ilar a urna fonte de tensiio. 0 sinal negativo (lei de Lenz) estabelece que o objetivo dessa fern induzida (a fonte induzida) sera ode produzir uma corrente no contorno c cujo campo magnetico ira se opor a varia9oes no campo magnetico original. Essa fern induzida pode ser inserida no contorno como se fosse uma fonte de tensao. A chave para fazer cumprir apropriadamente a lei de Faraday esta no fato de termos o valor e a polaridade corretos na fonte inserida. Para tanto, definimos a tens~_o ~afonte inserida como

L_!J

(4.8)

0 subscrito Fe usado para indicar "Faraday''. As Figs. 4.lb e 4.lc mostram dois exemplos disso. Na Fig. 4.1 b, mostramos urn contorno circular e escolhemos uma superffcie s como uma superffcie plana limitada por esse contorno. 0 campo magnetico esta dirigido para baixo. A fonte de tensao induzida e inserida no contorno, e seu valor e a taxa de varia15ao temporal do fluxo atraves des. Observe que o sinal negativo na lei de Lenz e omitido no valor da fonte de acordo com (4.8), mas escolheremos a polaridade da fonte para levar isso em considera15ao. Apolandaqt) \laJon.te.d~ t!'JI;IS~O in4~da_ e_esco1hida.deforrna~que_p.i~ pro_d}lZ~_(i.ndllZ~tu~a.c_orre_nte, iind• ,a_qtial. prod~a_Sf!U ..... pr6prio campo magneti.co, B1nd• de acordo com a regra da mao diieita., qiie atudiia em oposigao avariat;iio ao campo m(zgnetico original. · · · . ·· · · · · ·

A Fig. 4.lc similarmente mostra o caso onde o campo magnetico esta dirigido para cirna; apenas a polaridade da fonte esta modificada. Esse mecanismo para obter a polaridade correta da fonte e, em conse-

138 l> Capitulo Quatro

Superficie s (a)

Contorno c

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 4.1 Ilustrac;ao da lei de Faraday. (a) Interpretac;ao geral em termos da circulac;ao do campo eletrico induzido ao Ion go do contomo c devido ao campo magnetico variante no tempo que penetra a superficie s lirnitada por aquele contomo. (b) Fonte induzida no contomo pelo campo magnetico dirigido para baixo. (c) Fonte induzida no cantorno pelo campo magnetico dirigido para cirna. (d) Tensao de circuito aberto para o campo magnetico dirigido para baixo. (e) Tensao de circuito aberto para o campo magnetico dirigido para cima.

quencia disso, satisfazer a lei de Lenz e sensato. Por exemplo, suponhamos que a fonte seja inserida com uma polaridade de forma que ela produza uma corrente cujo campo magnetico resultante se some ao campo magnetico original ao inves de se opor a ele. Neste caso, urn aumento no campo magnetico total poderia ser produzido pelo aumento no valor da fonte que, por sua vez, aumentaria o campo magnetico total, e assim por diante. Assim, a conservas;ao de energia nao ocorreria.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo :> 139

0 mecanismo acima para determinar a polaridade correta da fonte induzida foi discutido em termos da geragao de uma corrente cujo campo magnetico seria oposto ao campo magnetico original. De fato, a lei de Faraday mostra que a fonte deve produzir urn campo magnetico que se oponha a taxa de varia9iio temporal do campo magnetico original. Contudo, como a fonte que e inserida e dtf;!dt, entao essa taxa de variagao temporal sera retirada. Observemos na Fig. 4.lb ou 4.lc que, se lB esta aumentando com o tempo, entao o valor da fonte sera positivo e ira produzir uma corrente e urn campo magnetico resultante que sera crescente e ira se opor a varia9ilo do campo original. Por outro lado, suponhamos que o campo magnetico na Fig. 4.lb ou 4.lc fosse decrescente como tempo. Entao dtf;!dt seria negativo, resultando na mudanga de polaridade da fonte induzida. A corrente induzida seria oposta aquela mostrada e tenderia a se opor adiminuigao do campo magnetico original. A fonte induziaa, Vp, atua como uma tensao de circuito aberto de Thevenin estudada nos cursos qe circuftos eletricos.. As Figs. 4.ld e 4.le mostram que, se abrirmos os contomos das Figs. 4.lb e 4.lc, a tensao qa fonte ir~ aparecer sobre os terminais. E importante destacar que a localizagao precisa dessa fonte no contomo nao pode ser determinada. Ela simplesmente representa o somat6rio das fontes diferenciais (ferns) ao longo do contomo. A lei de Faraday explica a relagao usual de urn indutor. Consideremos as Figs. 4.ld e 4.le novamente. Suponhamos que elas representem uma espira e, assim, urn indutor de uma volta. Suponhamos tambem que uma corrente i(t) passe atraves da espira, a qual gera urn campo magnetico lB. A relagao do indutor

di(t) v(t) = Ldt e essencialmente a fonte de Faraday induzida. Para mostrar isso, relembramos que a indutancia e a razao do fluxo magnetico penetrando na espira pela corrente que o produz:

tf;

L=Âˇi

Substituindo isto na relagao do indutor, temos

D(t)

(if;)

d = L-

. dt L dtf; dt

VF que e a fonte de Faraday. Os exemplos seguintes ilustram a aplicagao desses princfpios e tambem demonstram por que a tensao nao pode ser univocamente definida para aplicag5es variantes no tempo.

:> EXIEMIPlO 4.1 A Fig. 4.2a rnostra urn circuito eletrico que possui urn campo rnagnetico lB = lOt Wb/rn 2 , clirigido para dentro da pagina, que atravessa a area delirnitada pelo circuito. Determine as tensoes V1 e V2.

SilllUCAO 0 fluxo rnagnetico que atravessa 0 circuito e

= lOt Wb/rn 2 20t Wb

X 2 rn 2

140

Capitulo O.uatro

---2m

---l>-

(a)

+ I

(b)

Figura 4.2 Exemplo 4.1. (a) Dimensoes ffsicas do circuito. (b) Subs- Âˇ tituic;ao do campo magnetico pela fonte de tensao induzida de Faraday.

Isto e simplesmente o produto deB pela area do circuito, ja que B e assumido como independente da posic;ao sobre o circuito. Se o valor de B dependesse da posic;ao em v:irios pontos sobre o circuito, terfamos que calcular a integral para determinar 0 fluxo. 0 valor da fonte induzida no circuito e

drf!

VF=dt = 20

A fonte representando esta fern e inserida com uma polaridade de modo que ela ira produzir uma corrente no sentido anti-hor:irio em tomo do circuito, produzindo entao urn campo magnetico que se opoe avariac;ao no campo magnetico original. Isso satisfaz a lei de Lenz. Agora o problema se torna urn circuito normal, como mostrado na Fig. 4.2b, onde podemos prontamente determinar 20V

I= 1000

+ 500

2 = 15

('-

Assim, as tensoes sao

Vz = 1000 X I = 13,33 v e

V1 = -500 X I = -6,67

Observemos que V1 if= V2â&#x20AC;˘ Numa analise de circuitos a parfunetros concentrados lidamos com essa situagao dizendo que o campo B e devido a algum circuito adjacente, e seu fluxo enlac;ando esse circuito esta representado por uma indutancia mutua entre os dois circuitos. Assim, o conceito de indutil.ncia mutua esta inerentemente embutido na lei de Faraday. ~ ~

EXEMPLO 4.2 A Fig. 4.3a mostra urn circuito onde urn voltfmetro de alta impedancia que drena uma corrente desprezfvel e ligado a urn resistor. Na Fig. 4.3b o voltimetro e ligado aos mesmos dois pontos, mas os terminais do voltimetro estao dispostos de forma diferente. Determine a tensao medida pelo voltimetro para esses dois casos. 0 campo magnetico esta dirigido para fora da pagina.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo I> 141

路10on

-am(a)

100 .Q

B=5t 2 Wbfm2

(b)

60tV 60tV 0 100

路-路 v

200 .Q

0 (c) (d)

Figura 4.3 Exemplo 4.2. (a) Primeira posic;;ao dos terminais do voltimetro. (b) Segunda posic;:ao dos terminais do voltimetro. (c) Substitui91io do campo magnetico pela fonte de tensao induzida de Faraday para a primeira posic;;ao dos terminais do voltimetro. (d) Substituic;:ao do campo magnetico pela fonte de tensao induzida de Faraday para a ~osic;:ao dos terminais do voltimetro.

SOWCAO Para ocaso da Fig. 4.3a,-o circuitode 2m X 3menvolve urn fluxo magnetico total de

JJB路ds

t/J=

= 5fWb/m2 X 6m2

30f

Assim, a intensidade da fonte induzida nesse circuito e

dt/1

VF=a;

=60t

A fonte representando essa fern esta inserida com a polaridade mostrada na Fig. 4.3c para satisfazer a lei de Lenz (o campo lB esbi para fora da pagina). Por esse circuito, obtemos 60tV

I =

1000 + 2000 0,2t A

Assim, a tensao medida e

v = 200I = 40t

142 ll> Capitulo Quatro

0 circuitp equivalente para a Fig. 4.3b e mostrado na Fig. 4.3d. Observemos que, agora, os terminais do voltfmetro tambem envolvem o fluxo, e outra fonte de tensao deve ser inserida no circuito formado par esses terminais. Assim, obtemos · 60tV I= lOOD. + 200.0: = 0,2t

mas

200I- 60t

= -20t

Isso tambern pode ser obtido atraves da lei das tensoes de Kirchhoff ao longo da malha intema desse circuito: V = -60t

+ 60t - 100 D.

X I

=-lOOfiXI = -20t

Is so mostra que, para campos variantes no tempo, a posigao dos terminais do voltfmetro pode afetar a tensao medida, diferentemente do caso para campos estaticos, onde as fontes induzidas sao zero, pais os campos magneticos nao variam com o tempo. ' "]

A lei de Faraday como estabelecida de forma geral em (4.4) e valida somente se o contomo c e estacionano em rela9ao ao campo magnetico. A lei de Faraday pode ser separada em uma por9ao para contomos estacionanos e uma por9ao para contomos cuja forma e/ou posi9ao varie como tempo. Por exemplo, a lei de Faraday pode ser altemativamente escrita tomando a derivada temporal do lado direito dentro da integral de superf:fcie, como 1 ·

(4.9) c

on dec eo contomo fechado limitando a superf:fcie aberta S. A primeira parte dessa expressao e referida como fem de transformar;iio, por razoes a serem discutidas: fern de transformagao

= - i}t · ds

(4.10).

Observemos que a fern de transforma91iO e zero se 0 campo magnetico e constante, isto e, nao varia com o tempo. A segunda contribui91io e chamada de fem de movimento: fern de movimento =

(v X B) • dl

(4.11)

onde v e o vetor velocidade do movimento do contomo. A fern de movimento e zero se o contomo que ·envolve a superf:fcie nao esbi se movendo ou nao muda de forma em rela9ao ao campo magnetico aplicado. Como rio caso geral da lei de Faraday, esses dois itens irao resultar em duas fontes induzidas no contomo. Novamente, para definir essas fontes, escrevemos (4.9) como

IvF = v;- v;

C.R. Paule S.A. Nasar, Introduction to Electromagnetic Fields, 2." ed., McGraw Hill, 1987.

(4.12)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo I> 11.43

I I I

,-------~--------~

II I I I \

(

) I I

I I I I I

-r

'----------------~

(a)

0•I I

\ I I

I \

,B IE£)

Vba

I \

+ b

(b) vista de topo

t fitB VF= itt . ds

Figura 4.4 Ii.ustragao da lei de Faraday na geragao de uma tensao no secundano de um transformador. (a) Vista lateral mostrando o campo magnetico circulando no nucleo. (b) Vista seccional para o calculo do fluxo magnetico enlagando o secundano.

onde

t_ Vp-

aB -·ds

(4.13)

onde os sobrescritos t em se referem a transfomwf}iio e movimento, respecti.vamente. A fonte induzida de transformagao e assim nomeada porque ela representa a indugao de tensao em urn transformador. Considere a Fig. 4.4a, que mostra um transformador tendo uma espira no "lado primario" e uma espira no "lado secundano". 0 nucleo do transformador e assumido como tendo uma permeabilidade de um valor muito elevado (teoricamente infinito), de forma que todo o ~ampo magneti.co esta confinado no nucleo e nenhum "foge" para o ar circundante. "A corrente i no primano produz urn campo magneti.co B que circula no nucleo no senti.do horano. Esse campo magneti.co atravessa a superficie envolvida pelo secundano, gerando nele uma tensao de

•o fluxo que foge para dare denominado fluxo de dispersiio. (N.T.)

144 ll> Capitulo Quatro

<±)

(±)

(±) ~--

v Vba

(±)

a (a)

(±)

V/!'=Bfv

(±)

(±) (b)

(±)

Figlllra 4.5 Ilustragao da fern de movimento. (a) 0 fio "corta" o campo magnetico. (b) Uma fonte de tensao representando a situag1io e inserida no fio, com valor e polaridade mostrados.

onde a superficie s e a sec;ao reta do nucleo que o secundario envolve, como mostrado na Fig. 4.4b. Observe que a polaridade da fonte induzida no secundario e escolhida da mesma maneira como antes: ela tende a produzir uma corrente no secundano que produziria urn campo magnetico que se oporia avariagao do campo magnetico _original (gerado pela Corrente no primano). Assim, vba = vF· As diregoes relativas dos circuitos uns aos outros sao importantes. Se o circuito no lado do s~cundano fosse oposto ao mostrado, entao a polaridade da fonte induzida seria oposta ao indicado. Isso e l~vado em conta pela "regra do ponto", onde pontos no circuito equivalente do transformador num modelo de circuitos a parametros concentrados desse transformador denotam a polaridade da tensao induzida. Se o primario consiste em N1 espiras e o secundano em N2 espiras, entao o fluxo no nucleo seria N1 vezes aquele para uma espira, e o fluxo no secundano seria N2 vezes aquele fluxo, resultando em uma tensao induzida N1 e N2 vezes maior que..a tensao induzida para uma unica espira, em cada enrolamento. Observe que, quando o circuito secundano nao esta se movendo em relac;ao ao campo magnetico, como e o caso aqui,

!__ J B · ds = J aB · ds dt

A fern de movimento diz que, se qualquer porc;ao do contorno c esta se movendo em relac;ao ao campo B, uma fonte de tensao representando essa fern sera induzida no contorno. Essa fern de movimento foi discutida na SeQao 3.12 do capitulo anterior. Aqui, revemos esse resultado. Consideremos a Fig. 4.5a, que mostra- urn condutor tal qual urn fio m;talico que esta cortando linhas de campo magnetico. A equagao da forc;a de Lorentz, discutida na Sec;ao 3.12 do capitulo anterior, e repetida aqui: (4.15) F = qE + qv X B Uma carga q movendo-se com velocidade v ira experimentar uma forc;a perpendicular ao plano contendo v e B de acordo com a regra da mao direita. As cargas positivas serao forc;adas para a extremidade superior do fio, e as cargas negativas serao forc;adas para a extremidade inferior. (Em urn condutor me-

~··

"") Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i'i> 145

talico, apenas eletrons estiio livres para se mover, mas o resultado eo mesmo.) Assim, ira parecer, para um observador movendo-se com o condutor, que um campo eletrico foi responsavel por esse movimento de cargas: lE = F

q vXJB

Assim, a fonte deve serinserida ao longo do fio como mostrado, representando essa separac;;ao de cargas como b

Vf' = J]Em' ell a

=J(vXB)·dl a

Essa fonte e inserida em qualquer porc;;ao do contomo c que corta as linhas de campo magnetico. A determinac;;ao do valor e da polaridade da fonte de tensao inserida pode ser feita conforme sera visto logo a seguir. Urn caso freqiiente e aquele de urn condutor reto de comprimento l que esta se movendo comvelocidade v; a velocidade de deslocamento e o vetor campo magnetico sao mutuamente perpendiculares, como mostrado na Fig. 4.5b. 0 valor da fonte de tensao inserida e

A polaridade da fonte e determinada pela regra da mao direita, de forma que v X lB aponte para o terminal positivo. P. lEXIEMPUJl 4.3 A Fig. 4.6a mostra uma barra met:ilica movendo-se para a direita com velocidade v ao longo de dais trillios condutores paralelos que estao separados pela largura W. U m campo magnetico B esta perpendicular ao contorno formado pelos trillios e pela barra. Determine a tensao induzida vba para OS seguintes casas: (a) B = 2 Wb/m2 e v = 5 m/ s, (b) B = 2t Wb/m2 e v = 5 m/s, e (c) B = 2t Wb/m2 e v = 5t rnls. SOI..!l.ICAO No caso (a), tanto o campo B quanta a velocidade de movimento da barra sao constantes, enquanto no caso (b) o campo Be variante no tempo e a velocidade da barra e constante, e no caso (c) o campo Be variante no tempo, bern como a velocidade da barra. Iremos calcular, de duas formas, a tensao induzida nos terminais em cada urn desses casos, obtendo o mesmo resultado. A primeira forma e o uso direto da forma geral da lei de Faraday inserindo a fonte de Faraday dada em (4.8), e a segunda forma e em termos da fonte de transforma9ao em (4.13) e da fonte de movimento em (4.14). Caso (a): B = 2 Wb/m2 e v = 5 m/s. A distancia. que a barra percorreu e L = vt, onde assumimos que a barra estava na extremidade esquerda em t = 0. A area envolvida pelo contorno consistindo nos trillios e na barra e W X L = Wvt. Assim, a fonte de tensao induzida usando (4.8) e

VF =

!:_ dt

lB • ds

d dt(BWvt) BWv =lOW

146 ir> Capitulo Quatro ~.

Vba

GJ + b Vba

a L

VF= 10Wt

Vba

m + VF= 10tW -

(a)

VF= 15Wt2

VF= 10W

+ Vba

...

Vba

- a

I/;=10W

(d) Caso (c) 8 = 2tWb!m 2, v= 5t mls

(b) Caso (a) i3 = 2 Wb/m2, v= 5 m/s

Figura 4.6 Exemplo 4.3. (a) Dimensoes ffsicas do problema. (b) Fontes induzidas pelos dois metodos para campo magnetico constante e velocidade constante da barra em movimento [caso (a)]. (c) Fontes induzidas pelos dois metodos para campo magnetico variante no tempo e velocidade constante da barra em movimento [caso (b)]. (d) F ontes induzidas pelos dois metodos para campo magnetico variante no tempo e velocidade variante no tempo da barra em movimento [case (c)].

0 resultado e uma fonte inserida no contorno como mostrado na Fig. 4.6b, fornecendo

Alternativamente, como Be constante, a fonte de transformac;iio em (4.13) e zero e a fonte de movimento e

Vf' = Blv =BWv =lOW

0 resultado e uma fonte inserida na barra, como mostrado na Fig. 4.6b, mais uma vez fornecendo .____...

Vba = V'j! =ÂˇlOW

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo ll> ll47 Caso (b): B = 2t Wb/m 2 e v = 5 m/s. Novamente, a distancia percorrida pela barra eL = vt e a area envolvida pelo contomo consistindo nos trilhos e na barra eW X L = Wvt. A fonte de Faraday e

VF =!!:..flBÂˇds dt

d dt

= -(BWvt) = !(l0Wt2) = 20Wt

resultando em u~a fonte induzida, como mostrado na Fig. 4.6c, fornecendo uma tensao nos tenninais de Vba = VF = 20Wt Altemativamente, podemos determinar

Âˇ I I

alB -Âˇds

V1 = F

a2t ds at

= =

2Wvt lOWt

A fonte induzida devido ao movimento da barra e V'}! = Blv

=BWv lOtW

Essas duas fontes estao inseridas como mostrado no circuito equivalente alternativo, novamente fomecendo Vba = Vf, + V'}! = lOWt + lOtW = 20Wt

Caso (c): B = 2t Wb/m e v = 5t mls. Como a velocidade evariante no tempo, detenninamos a distancia percorrida pela barra no intervalo de tempo t a partir de 2

vdt

f 5tdt 0

5t2 2

A fonte de Faraday e

~t(BWL) d dt l5Wt2

= -(5Wt3) =

148

13>

Capitulo O.uatro

resultando em uma fonte induzida como mostrado na Fig. 4.6d, forneci'mdo uma tensao nos terminais de Vba

= VF = 15Wf

Altemativamente, podemos determinar i.llB

V1 = F

-Âˇds iJt

2WL =5Wf A fonte induzida devido ao movimento da barra e

Vf.' =

Blv BWv

= 10t2W

Essas duas fontes podem ser inseridas como mostrado no circuito equivalente alternativo, novamente fornecendo Vba = V}. + VF' = 5Wt 2 + 10t2W

Usarmos a fonte de Faraday completa dada por (4.8) ou a separarmos na soma na fonte de transforma9ao em (4.13) e na fonte de movimento em (4.14) e algo arbitrano; ambos os metodos fomecem o mesmo resultado. Contudo, em alguns problemas, tal qual o de urn gerador eletrico na Se9ao 3.13.6 do capitulo anterior onde o campo B e constante e ha movimento do contomo, pode ser mais simples calcular apenas a fonte de movimento em (4.14) como foi feito naquele exemplo. Para mostrar a equivalencia, iremos refazer aquele problema usando a fonte de Faraday em (4.8). s,,_

EXEMPLO 4.4 Em relaqao aFig. 3.57 do capitulo anterior, determine a tensao induzida usando (4.8). SOLUCAO A espira rotativa e redesenhada na Fig. 4.7a. 0 fluxo atraves da mesma, com a direqao mostrada, e

JB Âˇ ds

1/J

= Bwl cos(e)

9 = UJt Pela Equaqao (4.8) determinamos a fonte induzida de Faraday, ou seja,

(

= =

dl/f dt

-wBwlsen(wt)

Assim, a tensao induzida nos terminais com a polaridade mostrada na Fig. 4. 7b e V = -VF =

w BAsen(wt)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo

j;;>

149

y B

(a)

J VF=-mBwe sen(mt) r-------~-+~------~

l rz_j

v L-_8_Âˇ_ _8------'B ~--------e----------~

(b)

!Figura 4.7 Exemplo 4.4; o gerador eletrico do Capitulo 3 revisado. (a) Vista seccional da espira girat6ria. (b) A fonte de tensao induzida determinada pela lei de Faraday.

onde A= wl e a area da espira, conforme obtido usando a fonte de fern de movimento na Segao 3.13.6 do capitulo anterior.

Em urn experimento de laborat6rio, urn voltimetro de alta impedancia e ligado a uma combinagao em paralelo de dois resistores, como mostrado na Fig. E4.l. Nas proximidades, urn transformador de energia em 60Hz faz com que urn fluxo magnetico penetre no circuito, conforme mostrado. Determine a tensao lida no voltfmetro. IRIESPOSTA 0,88 sen(120m) mV.

1!7 EXEIRC[CIO IDlE RIEViSAO 4.2 Uma espira quadrada esta se movendo para a direita, como mostrado na Fig. E4.2. Urn campo magnetico, dirigido para dentro da pagina, cobre uma regiao de 2m de largura. Determine a corrente na espira pelo tempo, assumindo que o lado direito da espira entra na regiao de campo magnetico em t 0. IRESPOSTA 0,1 A para 0 < t < 1 s, 0 A para 1 s < t < 2 s, -0,1 A para 2 s < t < 3 s, 0 A para 3 s < t.

-2m--1m__,..

ED i m iOO Q

200Q

ED B= ;a-s cos (120nt) Wb/m 2

Figura E4.1 Exercfcio de Revisao 4.1.

150 I> Capitulo Quatro

I I-<--I

:® I 100 Q

I I

,;mQ~v·,~· --1m

--t"1 I I I I

<±>

\B= 10Wb/m

<±>

Figura E4.2 Exercfcio de Revisao 4.2.

4.U Lei de Faraday na Forma Pontual A lei de Faraday foi apresentada em (4.4) em sua forma integral, que se aplica a regi5es extensas do espago. Iremos agora obter a lei de Faraday em sua forma pontual ou forma diferencial, que se aplica a pontos discretos no espago. A forma integral e mais util para visualizar o significado da lei de Faraday, enquanto a forma pontual e util para calculos." Comegamos aplicando a lei de Faraday a urn contorno retangular no plano yz, como mostrado na Fig. 4.8. Os lados des sa area retangular tern urn comprimento diferencial/1z e b.y. A inten gao aqui e escrever a lei de Faraday na forma integral em torno desse contorno e entao fazer a area limitada pelo contorno tender a zero. Isso ira fornecer a lei de Faraday na forma pontual (no centro da area diferencialmente pequena). Primeiro observe que mostramos o valor do campo E tangente aos quatro lados. Por exemplo, o valor do campo E ao longo do lado esquerdo e Ez, mas o valor ao longo do lado direito e ~roxima-

aKI

damente Ez + -· ay

b.y. 0 lado esquerdo da lei de Faraday se torna y+f!.y

Ao calcular essa integral de linha devemos observar a diregao de cada trecho do contorno em relagao a diregao do campo E ao longo daquele trecho. Ap6s cancelarmos alguns termos, esta integral de linha se . torna

0 fluxo atraves da superffcie envolvida (de acordo com a regra da mao direita) e

Ao determinarmos esse fluxo, relembramos que iremos eventualmente fazer essa superffcie tender a zero e, assim, podemos simplesmente multiplicar o campo B que e normal asuperffcie, Bx, pela area da superficie, embora o campo B possa estar variando sobre aquela superffcie. Agora, vamos fazer a superficie

• Tais caiGI!los sao efetuados para a detennina<;ao de express5es analiticas de urn dos campos em fum;ao de outro. (N.T)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo !> 151

Ey+ iJEy LIZ

Z+ L!z

--~

---------r--------,

l E + iJEz Lly z .ay

---------~------~

--> Ey

r----~------~------~Y

y+Liy

Figura 4.8 llustrac;:ao da obtenc;:ao da forma pontual da lei de Faraday.

tender a zero. Ao fazermos isso, primeiro dividimos ambos os lados da lei de Faraday pela area da superncie, ils = ilyilz, e tomamos 0 limite amedida que a superficie tende a zero, obtendo

flEÂˇcll lim

-'-c_ _ =

~0 fly ilz

_aE_z - _aE_Y ay

(4.16a)

JlB â&#x20AC;˘ ds lim

Jly11z

(4.16b)

=B x

Assim, a lei de FariJ.day em (4.4) se torna, para esse contorno e superficie no plano yz,

aEz - aEy) aBx - =-(ay az ~

(4.17a)

Note-sea adi9ao do sinal negativo e a derivada temporal necessaria pelo lado direito da lei de Faraday. Resultados similares podem ser obtidos para contornos nos pianos xy e xz:

aEx - aEz) aBy - =-(az ax ~

(4.17b)

aEY _ aEx) = _ aB: ( ax ay at

(4.17c)

Reunindo esses tres itens numa forma vetorial, temos (4.18) IssQ_ conduz alei de Faraday na forma pontttal ou diferencial (4.19a)

152 I? Capitulo Uuatro

onde

£)

aR· -a~) (a~- -a~) 'iJ XlE= - a +(a~ ---· a+ - a. (~

•

(4.19b)

Essa e escrita simbolicamente usando o operador "nabla":

a ax

a ay

a az·

= -ax + -ay + -a_

(4.20)

Esta expressao pode ser formada usando os dois metodos de produto vetorial discutidos no Capftulo 2. 0 primeiro metodo e usar mnemonicamente o determinante para o calculo do produto vetorial: ax 'i/XlE=

a a a ax ay az Ex

(4.21)

Ey E.

0 segundo metodo (que o autor prefere) e usar·a. ordena<;ao cfclica dos eixos: x ~ y ~ z ~ x ~ ··· . Cada componente e formada como

aEr _ aEf3)a ( a{3 ay " onde os eixos sao cfclicos como ··· ~ a ~ {3 ~ y ~ .. · . A nota<;lio "nabla vetorial E", V X E, e conhecida como rotacional deE e e a circula(}iio delE por unidade de superficie envolvida:

fE ·dl V

lim

...:.c _ _

t;;::;o

(4.22)

A integral de linha de lE no numerador se refere acircula<;lio ou vorticidade do campo E ao longo do contomo. Isso e como redemoinhos ou turbilhoes em urn rio, indicando circula<;ao de agua ao redor de

.. ·- ... -. ,. ,"· ~- ~ . ·: .:. .· ..{"·:r.'. : .·,~:::. . . .',:.. :··.'". ·· .·'..":.::_::~:·:. ,:: .. ·· ·.~ ~/

(a)

'···,

'-<:.: (b)

Figura 4.9 llustra<;lio do rotacional de urn campo vetorial com uma roda de pas em urn fluido em movimento.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo !!> 153

urn ponto. A forma pontual da lei de Faraday em (4.19) essencialmente mostra que um campo B variante no tempo ira produzir um campo lE que circula em torno dele. A Fig. 4.9 ilustra isso atraves de uma roda de pas em urn fluido. A taxa de fluxo do fluido esta representada pelo vetor F. Na Fig. 4.9a, a taxa de fluxo e mais rapida no topo, de forma que aroda de pas gira no sentido horano, indicando circulafilio do fluido naquela dire<;ao. Quanto maior a diferen<;a entre as taxas de fluxo do topo para o fundo, mais rapido girara aroda de pas. Similarmente, na Fig. 4.9b, a taxa de fluxo e maior no fundo, indicando circulafilio no sentido anti-horano. Assim, aroda de pas gira no sentido anti-horano. Existem tres componentes vetoriais no rotacional; este fornece a dire<;ao vetorial resultante da circula<;ao, a qual e normal ao plano da circulagao, similarmente ao eixo da roda de pas. Para campos estaticos, tais como distribui<;oes fixas de cargas ou correntes contfnuas, o campo magnetico e constante e, assim, o lado direito da lei de Faraday e zero, fornecendo V X lE = 0. Isso simboliza que o campo eletrico estatico nao possui circulagao ou vorticidade, o que e l6gico de se esperar para campos eletricos que sao produzidos por cargas. Observemos que, para uma carga pontual, as linhas de campo eletrico estao radialmente dirigidas para fora da carga pontual e, assim, nao possuem circula<;ao. A partir disso, podemos dizer que as linhas de campo eletrico que come9am em cargas positivas terminam em cargas negativas. Mas a lei de Faraday mostra que as outras linhas de campo eletrico que sao causadas por campos magneticos variantes no tempo formam caminhos fechados. i> IEXfEMPUll 4.5

Como indicado anteriormente, a forma pontual da lei de Faraday e mais Util nos calculos. Para ilustrar isso, vamos determinar o campo magnetico quando o campo eletrico e dado por JE = Em cos( wt - f3z )3.x

SOUJCAO 0 campo eletrico tern apenas componente x. .Assim, o !ado esquerdo da lei de Faraday em (4.19b) se toma

VX JE = (iJE: _aEy)a ~

aEx

+ (aEx ~

_ aE")a ~

+ (aE 9 y

aEx)a ~

aEx

=-a --a_

~ â&#x20AC;˘

oEx =-a

az y

Observe que essa componente x de JE depende apenas de z, de forma que a componente z,

aE)ay, e zero . .Assim,

aEx az

V XE = - a9 = f3Emsen(wt - f3z)ay

Como o !ado esquerdo da lei de Faraday tern apenas componente y, o !ado direito, - aJB/at, s6 pode ter componente y. Portanto, obtemos {3E,.sen(wt- f3z)

aBy at

= --

Integrando, temos

/3E ( By = --cos wt - f3z ) 111

Portanto, o vetor densidade de fluxo magnetico que satisfaz a lei de Faraday e f3Em JB = -cos(wt - f3z)ay w

154 !> Capitulo Quatro

> !EXIERC[Cm DE IRIE\fiSAO 4.3

Determine se os seguintes campos satisfazem a lei de Faraday: E =Em sen(x)sen(t)ay e B =Em cos(x)cos(t)a_.. !RiESPIJJS1A Sim.

0 desenvolvimento acima fornece a forma pontual no sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Nos sistemas de coordenadas cilindricas e esfericas, a lei de Faradayna forma pontual e ainda escrita simbolicamente como

aB VXE=--

(4.23)

mas V X lE nao etao simples de ser obtido. Em coordenadas cilindricas, o rotacional e

VXE

= (.!. aEz _ aEq,)a.r + (aEr _

r aifJ

+ (.!. a(rEq,) _ .!_ aEr)a.

aEz)a

r ar

aifJ -

(4.24)

e em coordenadas esfericas o rotacional e

V'XE

aE6 ] ) ( 1 aEr - aifJ ar + -rsene ~ aEr])a ae ¢

1 [ a(sen8Eq,) ( ·rsen e ae

+ (.!.[a(rEe) ·r

(4.25)

4.2 LEI DE AMPERE A lei de Ampere, estudada no capitulo anterior para campos magneticos estaticos, foi formulada como

H ' dl =

lenvolvida

onde I envolvida =

IJ ' ds

Para campos variantes no tempo esta deve ser modificada para

(4.26)

0 termo aesquerda ereferido como a fon~:a magnetomotriz ou fmm = pH · dl da mesma maneira que a correspondente forc;:a eletromotriz ou fern =:;; pE · dl ao lado esquerdo da lei de Faraday. 0 primeiro termo do lado direito e a COrrente de conduyfiO:c lconducao

= J ' ds

(4.27a)

e 0 segundo termo do }ado direito e a chamada Corrente de deslocamento: ldeslocamento

~at

D ' ds

(4.27b)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i> 155

Figura 4.10 Ilustragao da lei de Ampere onde o campo magnetico e induzido em urn contomo c por uma corrente de condugao e campo eletrico variante do tempo (corrente de deslocamento) passando atraves da superficies que e limitada por aquele contorno.

Assim, essa lei de Ampere modificada pode ser escrita como

H ' dl

= Icandu~ao + Ideslocamento

(4.28)

Uma das primeiras contribuig6es de James Clerk Maxwell ao Eletromagnetismo foi a adigao do termo da corrente de deslocamento alei de Ampere existente ate entao, que continha apenas a corrente de condugao. Observe que, para condigoes estaticas (cc), o termo da corrente de deslocamento e zero e, assim, a lei de Ampere revisada se reduz a da versao estatica.. Observemos que o lado direito da lei de Ampere contem a soma de duas correntes. 0 termo da corrente de condugao e simplesmente o fluxo de cargas livres, o qual e uma forma bern reconhecida de corrente. Contudo, o termo da corrente de deslocamento indica que urn campo eletrico ou densidade de fluxo eletrico variante no tempo pode tambem fazer precisamente o mesmo papel que a corrente de condugao. A Fig. 4.10 mostra a interpretagao da lei de Ampere. Assim como na lei de Faraday, o contorno c e a superffcie s estao relacionados pela regra da mao direita ... Colocando os dedos de nossa mao direita na diregao do contorno fechado c, o polegar ira apontar na diregao do fluxo lfquido de J e aJD/at atraves daquela superf:fcie. 0 aspecto marcante dessa lei de Ampere revisada e que ela indica que urn campo magnetico, H, pode ser produzido tanto pela verdadeira corrente de condugao J que passa atraves da superffcie fechada como por uma taxa de variagao temporal de ]) atraves daquela superffcie. Assim, urn campo eletrico variante no tempo pode produzir urn campo magnetico da mesma forma que na lei de Farad~y, onde urii"'campo magnetico variante no tempo pode produzir urn campo eletrico. Essa adigao do termo da corrente de deslocamento alei estatica de Ampere por Maxwell permite, como veremos em breve, a combinagao da lei de Faraday e da lei de Ampere para prever a existencia de ondas eletromagneticas. Essa revelagao ocorreu quando Ma"ffiTell publicou seu trabalbo, o que foi verificado, experimentalmente, por Heinrich Hertz em

1887. Como urn exemplo simples da aplicagao desse resultado, consideremos urn capacitor tendo uma fonte de tensao senoidalligada aos seus terminais, como mostrado na Fig. 4.11. Os fios ligados ao

~----------4+-r-----------~

Vsenmt

Figura 4.11 Ilustragao da lei de Ampere, corrente de condugao e corrente de deslocamento para urn capacitor.

156 Ill> Capitulo O.uatro

capacitor carregam cargas livres, resultando em uma correiite de conduc;;ao, Ic. Entre as placas do capacitor, urn campo eletrico variante no tempo (variando na freqfiencia angular da fonte, w) esta dirigido entre as placas. Vamos aplicar a lei de Ampere dada em (4.26) a essa situac;;ao. Colocando o contorno sobre o fio, obtemos diversas superficies limitadas por aquele contorno. Novamente, e util visualizar isso como urn balao. Se soprarmos o balao de forma que apenas o fio penetre a superficie, obtemos

Se mantivermos o mesmo contorno mas soprarmos o balao de forma que sua superficie passe entre as placas do capacitor, obtemos

IEÂˇ ds

= ei_ at

= la e substituimos D eE onde o material entre as placas do capacitor tern permissividade e. Se nao tivesse ocorrido a adic;;ao do termo da corrente de deslocamento alei de Ampere, teriamos urn problema 6bvio aqui. Para o mesmo contorno c, duas superficies diferentes levariam a resultados diferentes. ~

EXEMPLO 4.6 Na situac;ao do capacitor da Fig. 4.11, um capacitor del J.LF tern urna fonte de tensao senoidal de 10 sen(wt) V apncada aos seus terminais, onde a freqiiencia da fonte e l kHz. Verifique seas correntes de conduc;ao e de deslocarnento sao iguais.

SOLUCAO Pelo curso de circuitos eletricos, a corrente de conduc;ao nos fios ligados e lOV

Ic = 1/wC rnA

= 62,8

A capacitancia de urn capacitor de placas paralelas e, aproximadamente, C = eA/d, onde A e a area da placa e d e a distancia de separac;ao entre as rnesrnas. 0 campo eletrico entre as placas e aproximadamente a tensao aplicada dividida pela distancia de separac;ao:

lOV

Assirn,

D = eE 10V

=ed c =-lOV A

w-s

=--

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo Ill> 157

En tao, a Corrente de deslocamento e

Id=!...JnÂˇds Âˇ at =

wc~-s A)

= 62,8mA

Portanto, a corrente de deslocamento atraves do capacitor pode ser simbolizada como uma fonte de corrente entre as duas placas cujo valor e a Corrente de deslocamento: Id = C(dV!dt). Isso e bastante similar ao indutor, onde a rela<;ao V = L(dl!dt) se refere afonte de tensao da lei de Faraday que deve ser inserida no circuito do ..;jj indutor.

Compare as correntes de condu<;ao e de deslocamento em urn condutor de cobre na freqiiencia de 1 GHz. A condutividade do cobre e 5,8 X 107 S/m. A permissividade do cobre, como a maioria dos metais, e aquela do espa<;o livre: e 8 0 l/361T X I0- 9F/m.

$1GlWCA![l A densidade de COrrente de condu<;lio e

J uE A densidade de corrente de deslocamento e

Assim, a razao entre a corrente de condu<;iio e a corrente de deslocamento e

(]' we0 = 1,04

-=-

ldl

Portanto, no cobre e na maioria dos outros metais, a corrente de condu<;ao e muitas ordens de grandeza maior . que a corrente de deslocamento. Isso eo porque de a corrente de deslocamento poder ser desprezada nos condu.:""' ~.

ll"'

IEXIERC[Cm tolE RIEVISAO 4.4 Determine a razao entre as correntes de condu9ao e de deslocamento na agua do mar a 1 kHz. A agua do mar tern e, 80 e u 4 S/m nessa baixa freqiiencia.

RESPOSTA 9 X lOS.

4.2.1 Lei de Ampere na Forma Pontual Comparemos a lei de Faraday na forma integral, dada em (4.4), alei de Ampere na forma integral em (4.26). Existe uma considenivel dualidade entre as duas. Por exemplo, se intercambiarmos lEe H hem como BeD, obteremos equag6es de formas bastante similares. Assim, podemos ver no que a forma pontual da lei de Ampere ira se tornar, se fizermos urn desenvolvimento similar ao adotadopara a forma pontual da lei de Faraday:

lvxH=J+~~

(4.29)

158 II> Capitulo O.uatro --

---------

----~-

Como antes, o rotacional de H e a circulagao por unidade de area de superficie:

fn·dl

(4.30)

V X H = lim -0- - .o.s'-.:;0 lls Assim, a forma pontual da lei de Ampere indica que a densidade de corrente J ou a taxa de variagao temporal de D ira produzir uma circttlar;iio de H ao redor daquele ponto. :;~-

EXEMPLO 4.8 0 campo magnetico no espago livre e

Hm cos(wt - {3z)ay

No espago livre, 0' = 0 de forma que J = 0. Ainda, e = 8 Determine o campo eletrico correspondente a partir da lei de Ampere. 0•

SifJlWCAO 0 rotacional e expandido como

X JH[ =

(oH

oHy)a, + (oHx _ i:JH

aHy

az·'

ox"

)a + (oHy _ oHx)ay

= - - a +-a_ 0

aHy =--a oz x = -f3Hmsen(wt-

{3z)a,

Como 0 rotacional tern apenas a componente x, o !ado direito da lei de Ampere pode ter apenas a componente x; ent1io obtemos ·

Integrando, temos

EXERCiCIO DE REVISAO 4.5 Determine se os seguintes campos satisfazem a lei de Ampere no espago livre: :0 = Dm sen(x)sen(t)ay e H cos(x)cos(t)~ .

•RESPOSTA Sim.

I> 4.3 LEIS DE GAUSS As leis de Gauss foram estudadas no capitulo anterior e permanecem inalteradas para campos variantes no tempo:

D · ds

J Pvdv v .....___,___., Qenvolvida

(4.31)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i> 159

onde Pv e a densidade volumetrica de carga envolvida pelo volume v, o qual esta envolvido pela superffcie s, e

(4.32)

A lei de Gauss para o campo eletrico em (4.31) diz que o fluxo liquido de·D atraves de uma superffcie fechada s fomece a carga liquida envolvida por aquela superffcie. Isso e um resultado 16gico, ja que as linhas de campo eletrico que come9am em cargas positivas devem terminar em cargas negativas. Contudo, a lei de Faraday mostra que um campo JB variante no tempo pode produzir um campo JE, onde as Hnhas desse campo lE formam caminhos fechados que em nada contribuem para o fluxo liquido de D para fora da superffcie fechada. A lei de Gauss para o campo magnetico em (4.32) diz que nao existem fontes ou sorvedouros isoladoso de campo magnetico: todas as linhas de campo magnetico devem formar caminhos fechados. 4.3J !Leos de Ganlll!ss IIDal!IFowman IPo~rnnmn~

As leis de Gauss em (4.31) e (4.32) estao na forma integral e se aplicam a regi5es extensas do espa9o. Essas formas integrais sao mais uteis para ilustrar o significado das leis. Para prop6sitos de determinag5es de express5es, obtemos essas leis na forma pontttal ou diferencial, ambas aplicaveis a pontos discretos no espago. A obtengao da forma pontual dessas leis e muito similar aobtengao da forma pontual da lei de Faraday na Segao 4.1.1. Consideremos a lei de Gauss para o campo eletrico dada em (4.31). Formamos urn volume diferencial de forma retangular com !ados paralelos a cada eixo e de comprimentos b.._"C, fly e &, como mostrado na Fig. 4.12. As componentes de D que sao perpendiculares a cada lado sao mostradas. De acordo com as direg5es de cada componente (para dentro ou para fora do volume envolvido), temos

Cancelando alguns termos, temos

D · ds

aD az

aD ax

aDy ay

= ---=-aztlx!ly + _ x !J.x!ly!J.z + -!J.y!J.x!J.z

aD" = (· +aDY - + av_) !J.x!ly!J.z

az ....___..___,

-N

Similarmente, o lado direito se toma

J Podv =Po~ o

Dividindo ambos os lados pelo volume envolvido, !J.v temos a forma pontual como

Axily!J.z, e fazendo o volume tender a zero, ob-

•Qu cargas magm1ticas isoladas, conforme preferem alguns autores. (N.T.)

160 I? Capitulo Quatro

D +ilDz Llz

()z

r----------------------------+.Y

Figura 4.12 Ilustrac;:ao da obtenc;:ao da forma pontual da lei de Gauss para o campo eletrico.

aDx aDY . aDz) (ax+ ay +az- =pv

(4.33)

Em termos do operador nabla estudado anteriormente, isso pode ser simbolicamente escrito como (4.34) 0 lado esquerdo pode ser determinado diretamente a partir de

V · D = (i.ax + i_ay + i_az) • (Dxax + Dyay + Dzaz)

Assim, no sistema de coordenadas retangulares, o lado esquerdo e

(4.35) A notac.;:ao V · D ou "nabla escalar D" e conhecida como divergencia de D. A razao para esse nome e vista examinando a demonstrat;ao acima e notando que

fn ·

V. D

lim-'-s_ _ .1;:;0 D..v

(4.36)

Em outras palavras, a divergencia eojluxo liquido do vetor atraves da superficie fechada s por unidade de volume, amedida que o volume tende a zero. Assim, a divergencia indica a intensidade da fonte (ou sorvedouro) para linhas de campos vetoriais naquele ponto. Se existe uma carga volumetrica liquida positiva naquele ponto, seria esperado urn fluxo liquido para fora (ou divergencia) dos campos a partir daquela carga. A lei de Gauss para o campo magnetico dada na forma integral em (4.32) se toma, na forma pontual, (4.37)

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo

simbolizando que nao pode haver fontes ou sorvedouros isolados" para os campos magneticos em urn ponto.

Mostre que os campos lE =Em cos(wt - {3z)a, e lHI = Hm cos(wt- {3z)a9 satisfazem a lei de Gauss no espac;:o livre, onde JL = JL0 e e = e. e nenhuma carga livre esta presente, Pu = 0. SOILil!I~AO 0 vetor densidade de fluxo eletrico e D = e)]: eo vetor densidade de fluxo magnetico e lB = JL.lHI. Assim, devemos ter 'il · D = 0 e V · lB = 0. Verificando a primeira lei, encontramos

'il·D=

aDx aDy aD.) ( -+-+-~ ax ay az aDx

ax (eaEmcos(wt- {3z))

=0 Similarmente,

· (aBx

'V·lB= - .

ax aBY ay

aBy

aB.)

+-+-.~

= -(JL0 Hm cos(wt

- {3z))

Determine se os seguintes campos no vacuo satisfazem as leis de Gauss: D = Dm sen(x)sen(t)~ e lB = Bm cos(x)cos(t)a,. !PiiESI?(QISlA Sim.

A expressao para a divergencia dada em (4.35) ebastante simples, mas e valida apenas para o sistema de coordenadas cartesianas retangulares. As express5es para a divergencia nos sistemas de coordenadas cilindricas e esfericas sao urn pouco mais complicadas. No sistema de coordenadas cilindricas, a divergencia e

V . D = .!_ a('rDr) + .!_ a(Dq,) + a(D.) 'f

a-r

·r

a<jJ

(4.38)

e no sistema de coordenadas esfericas a divergencia e (4.39)

•Monopolos magneticos. (N.T.)

162 I'> Capitulo Quatro

4.4 CONSERVACAO DA CARGA Talvez urn a das mais fundamentais leis do universo seja a da conseruartio da carga, que diz que a carga nao pode ser criada ou destruida. A afirmac;ao matematica disso e

fJ · ds :t JPvdv = -

(4.40)

Isso e urn resultado incrivelmente l6gico. 0 lado esquerdo e o fluxo liquido de corrente atraves de uma superffcie fechada s. Como corrente e (taxa de) fluxo de carga, qualquer fluxo de corrente para fora deve ser igual adiminuiriio da carga envolvida, que e o lado direito da lei. Pelos nossos resultados anteriores, podemos imediatamente obter a forma pontual dessa lei como na sec;ao precedente:

~ ~

(4.41)

Isso estabelece que 0 fluxo de Corrente para fora de urn ponto, isto e, a divergencia de J, deve fomecer a taxa de diminuic;ao da carga naquele ponto. Para condic;oes estaticas, a/at = 0, o lado direito da relac;ao de conservac;ao da carga e zero, reduzindose a PJ·ds = 0 ou V·J = 0. Essas leis estaticas estabelecem que nao existe nenhuma carga armazenada dentro da superficie fechada ou em urn ponto, isto e, a corrente fluindo para dentro da superffcie fechada e igual acorrente fluindo para fora dela. Isso e essencialmente a lei de Kirchhoff das correntes onde a superffcie fechada e urn n6 de urn circuito a parfunetros concentrados. Sirnilarmente, a lei de Faraday para condic;oes estaticas se reduz a lE · ell = 0 ou V X lE = 0. Essa lei estatica estabelece que a tensao resultante ao Ion go de urn contomo fechado e zero; essa tensao e essencialmente a lei de Kirchhoff das tens5es em circuitos a parfunetros concentrados.

~,,.

IEXIEMPLO 4.10 Materiais condutores sao eletricamente neutros, significando que a densidade de carga livre e zero ou pv = 0. Os eletrons livres fora da banda de valencia estao livres para se moverem sob a influencia de urn campo eletrico, e a rela\!ao entre a densidade de corrente e o campo eletrico e a lei de Ohm, J = uE, onde u e a condutividade do material. Se urn excesso de cargas livres e introduzido em seu interior, essa carga ira eventualmente se mover para a superficie do condutor, deixando mais urn a vez o interior neutro. Determine o intervalo de tempo necessiirio para que o excesso de cargas se mova para a superficie do condutor. sm.!.li~AI!ll Temos duas leis que relacionam as variaveis desejadas. Conserva\!ao de carga com lei de Ohm substitufda porJfomece

iJpv

u\1 ·E = - iJt e a lei de Gauss, substituindo D = eE:

e\1. E = Pv Combina11do essas duas equa\!oes e elin1inando V · E, temos iJpt,

iJt

-+-p

A solu\!ao para essa equa\!ao diferencial de primeira ordem e Pv = Ae-t/T

onde a constante de tempo e e T=- s (T

""""'

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo t> 163

Este e um resultado familiar obtido nos cursos de circuitos para a resposta transiente de circuitos RL ou RC. A densidade de carga em excesso ira decair a zero, mas isso levara, teoricamente, urn intervalo de tt1mpo infinito para acontecer. Ap6s cerca de cinco constantes de tempo, esse excesso de carga tera essencialmente decaido a zero.

Determine a constante de tempo de decaimento de carga para o cobre, 14 0' = 10- S/m, e, == 6. ~IESiPi[l)$1fA

= 5,8 X 10; S/m, e,

== 1, e para o vidro,

1,5 X 10-19 s e 5305 s, ou cerca de 1,5 hora.

~·· 4.5 EQUACOES DE MAXWELl As quatro leis de Faraday, Ampere e Gauss sao coletivamente conhecidas como equa96es de Ma.'CWell, que estao resumidas na Tabela 4.1.

Lei

Forma integral

Faraday

flE·dl= Ampere

flHl·dll=

-!J

lB·ds

I§·ds+ :JD·ds

Forma pontual

am at

\lXlE=-aD \lXlHl=J+-ilt

Gauss (campo eletrico)

'i7 • D = Pv Gauss (campo magnetico)

fm·ds=O

'il·lB=O

Embora nao explicitamente inclufda nesta lista, a lei de conserva9ao da carga esta implfcita na mesma.

4.6 DENSIDADE DE POTENCIA NO CAMPO ElETROMAGNETICO EVETOR DE POYNTING Ate agora nao discutimos o conceito de potencia ou energia no campo eletromagnetico. Claramente, deve haver energia armazenada em urn campo eletromagnetico. Por exemplo, o campo eletrico de uma carga pontual ira produzir uma for9a sobre qualquer outra carga introduzida nesse campo. Diferente dos circuitos eletricos a parametros concentrados, onde energia e potencia estao localizadas nos elementos, o fato not6rio em rela9ao aos campos eletromagneticos e que a energia armazenada esta distribufda atraves do campo, nao estando concentrada em urn ou mais pontos. A potencia tambem deve ser transmitida (transportada) em urn campo. Por exemplo, ondas se propaganda entre duas antenas que sao usadas para comunica9ao devem transmitir (transportar) potencia entre essas duas antenas. Como podemos quantilicar isso? Observemos que a unidade do vetor intensidade de campo eletrico, JE, e V/m, enquanto a unidade do vetor intensidade de campo magnetico, JII, e Aim. Assim, o produto de suas magnitudes, E e H, tern unidade.de W/m2, a qual e umadensidade de potencia. Como podemos definir o produto dessas duas grandezas vetoriais? Temos duas escolbas: o produto escalar eo produto vetorial. Claramente, o fluxo de potencia deve ter uma dire9ao, e o produto escalar nao possui

164 ll> Capitulo Quatro

nenhuma diregao. Portanto, escolhemos o produto vetorial e definimos o vetor densidade de potencia como I

S = lE X H W/m 2

(4.42)

A isso tambem e dado o nome de vetor de Poynting ap6s o ffsico ingles, John Henry Poynting (18521914), mostrar que esse vetor de fato se relaciona com a densidade de potencia do campo eletromagnetico. Ap6s algumas manipulagoes vetoriais, pode ser mostrado que

-f

S • ds

uiE 12 dv

a!EI + -1 p.--dv a!HI + -1 e--dv

ta.'<a de variagao da energia, armazenada no campo eletrico

(4.43)

taxa de variagao da energia armazenada no campo magnetico

0 termo aesquerda, p§ ·ds, e o fluxo resultante de potencia para dentro (por causa do sinal negative) da superffcie fechada s. 0 primeiro termo do lado direito e a potencia dissipada no volume v que a superffcie fechada s envolve. 0 segundo e o terceiro termos do lado direito sao a taxa de variagao temporal da energia armazenada nos campos eletrico e magnetico, respectivamente, naquele volume. Assim, escolhendo S como em (4.42), verdadeiramente representamos o fluxo de potencia. Em uma analogia com circuitos a parametros concentrados, u IJEI 2 e como V2/R, que e a potencia dissipada em urn resistor; lh eiEI 2 e como 1h CV2, que e a energia armazenada em urn capacitor; e 2 112 p.IHI e como Ih LP, que e a energia armazenada em urn indutor. Contudo, mais uma vez, a diferenga entre os campos magneticos e circuitos eletricos a parametros concentrados e que a potencia e a energia armazenada esUio distribufdas por todo o campo eletromagnetico nao estando localizadas, diferente do circuito a parametros concentrados. Por isso a necessidade de integragao por todo ovolume v. f;;,.

EXEMPLO 4.11 Veremos no Capitulo 7 que os campos irradiados a uma distancia suficientemente grande de urna antena dipolo possuem, em urn sistema de coordenadas esfericas, a forma

E ( t - - a6 E = ....!!.senBsenw

onde V 0 antena.

= 3 X 108 m/s e a velocidade da luz no espago livre. Determine a potencia total irradiada par essa

SOLUCAO Para determinar essa potencia irradiada, escolhemos uma superficie fechada e calculamos o fluxo de S atraves desta superficie. Como os campos estffo especificados no sistema de coordenadas esf€ricas, escoL1.emos ur11a esfera de raio R como mostrado na Fig. 4.13. 0 vetor de Poynting e

S=EXH =

\f{8; p;; E:r sen Bsen 2

w(t-

!_)ae V0

aq, W/m2

______,

indicando que o fluxo de potencia esta numa distancia radial da antena. Assim, a potencia total irradiada para fora dessa superficie (S tein unidade de W/m2, que, quando multiplicada pela area diferencial da superffcie, fornece unidade de potencia irradiada W) e

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo l?> 165

..- ....

....

---- --- -- ... ,

If~'

I I

'..,

.,EIJ '

I I I I I I I I

l',, ''

I \

\ \

I I I I I I ,I

I I I I

)(

~.-.{

......

I I I I I

I / /

' ' ... ...

---

______ _... ., .... ..-

Figura 4.13 Exemplo 4.11; determina91io da potencia total irradiada pela anteha dipolo.

87Tt:

= -

- E~ sen2 w( t - fLo

Como no caso de circuitos eletricos, estamos interessados na potencia media temporal (sabre urn ciclo) ou simplesmente potencia media:

Para a antena dipolo do Exemplo 4.11, a constante nas express5es do campo e E.= 10. Determine a potencia media total irradiada. SOLUCAO 1,11 w.

W> 4.7 CONDICOES DE FRONTEIRA As equac;5es dos campos eletromagneticos na forma pontual sao equac;5es diferenciais parciais. As soluc;oes para elas sao geralmente muito di.:ffceis de serem obtidas, e nao seremos tao ambiciosos em resolvelas para muitos problemas. Contudo, e importante reconhecer que, como a soluc;ao de outras equac;5es diferenciais, necessitamos de informac;ao adicional se desejamos resolve-las. Isso e muito semelhante a soluc;ao de equac;5es diferendais ordinanas encontradas nos cursos de circuitos a parametros concentrados. Por exemplo, a "soluc;ao" da equac;ao diferencial ordinaria Âˇ

166 I> Capitulo Quatro

dy(t)

dt + 3y(t) = 0 y(t) =Ae- 31 e A e uma constante indeterminada. Para encontrarmos uma soluc;ao especffica, precisamos especificar uma condic;ao inicial. Por exemplo, se o valor dey em t = 0 e y( 0) = 2, entao a soluc;ao especffica se to rna

y(t)

= 2e- 31

As equac;oes diferenciais parciais govemando os campos eletromagneticos nao sao diferentes. Para encontrarmos a soluc;ao para urn problema especffico, precisamos especificar os valores dos campos eletrico e magnetico nas fronteiras da regiiio envolvendo esses campos. Estas sao referidas como condi9oes de fronteiras por razoes 6bvias. Primeiro, obtemos as condic;oes de fronteira para o vetor intensidade de campo eletrico. Consideremos a Fig. 4.14a, onde mostramos uma fronteira entre dois meios diferentes. Construimos um contomo retangular em ambos os lados da superficie de largura Awe profundidade llh. Integraremos a lei de Faraday ao Iongo desse contomo e faremos a profundidade tender a zero, 1lh --7 0, para obter a relac;ao entre os campos eletricos em ambos os lados da fronteira. No limite Ah --7 0, a lei de Faraday se toma -lim l JE • dll 1 t.•-+oT

= E11 Aw - E12 1lw = L.·m [ _!._ t.h-+o

I B · ds]

=0 ondec eo contomo retangular, e s e a superficie plana limitada por esse contorno. A largura de ambos os lados, Aw, e infinitesimalmente pequena, de forma que podemos assumir que o campo eletrico econstante

meio 1

meio2

(a)

maio 1 e1, /11, 0'1

(b)

Figura 4.14 Ilustra«;ao da obten«;ao das condi«;5es de fronteira. (a) Constru«;ao de urn contorno na fronteira para determina«;ao das relag5es entre os vetores intensidade de campo eletrico em ambos os lados. (b) Constru«;ao de uma caixa retangular em ambos os lados da fronteira para determina«;ao das relag5es entre os vetores densidade de fluxo eletrico em ambos os lados.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo l> H:D7

sobre essa dimensao. Assim, a integral de linha ao longo dessa dimensao e simplesmente o produto do campo pela dimensao. Como b.h -1> 0, as contribui<;;oes para a integral de linha desses trechos do cantorno de comprimento b.h irao a zeroe, assim, serao omitidas. No limite Ah--,) 0, a area da superficie limitada por esse contorno retangular vai a zero e, assim, o fluxo liquido do campo magnetico atraves da superffcie fechada s, o lado direito da lei de Faraday, vai a zero. Dividindo pela largura, Aw, obtemos (4.44) Assim, a condigao de fronteira para o vetor intensidade de campo eletrico e que as componentes do vetor intensidade de campo eletrico que sao tangentes il fronteira devem ser continuas sabre a mesma. Similarmente, aplicamos a lei de Ampere ao longo do contomo para obter

= Ah->o lim [

JJ Âˇ

f ds]

+~ D Âˇ

=0 No limite b.h--,) 0, a area da superffcie limitada por esse contorno retangular vai a zero e, assim, o lado direito da lei de Ampere vai a zero. Dividindo pela largura, D.w, obtemos (4.45)

Assim, a condic;;ao de fronteira para o vetor intensidade de campo magnetico eque as componentes do vetor intensidade de campo magnetico que siio tangentes il fronteira devem ser continuas sabre afronteira. Em seguida, obtemos as condigoes de fronteira para o vetor densidade de fluxo eletrico D e o vetor densidade de fluxo magnetico B. Consideremos a Fig. 4.14b, onde modelamos uma caixa na forma de paralelepfpedo retangular, se estendendo para ambos os lados da fronteira. Como antes, a superficie da caixa, D.s, bern como os lados, b.h, sao infinitesimalmente pequenos. Aplicando a lei de Gauss ao campo eletrico e tomando o limite llh -1> 0, obtemos

Dividindo ambos os lados pela area da superficie, temos

fPvdv Dnl -

D112

= !gg

Ah-tO

~ LlS

= Ps C/m2 0 lado direito, lim Ah->0

f du!As= p6

p, Clm 2, representa qualquer densidade superficial de carga residindo

na fronteira. Se nenhuma carga superficial e intencionalmente colocada sobre a fronteira (como e o caso usual), entao obtemos (4.46)

168

Capitulo Quatro

meio2

meio 1 .\

'I'

Er1l

I Erz

Hr1l JHr2 Dn1

Dn2

--~..,..

--0;-

Bn1

Figura 4.15 Ilustractao das condictoes de fronteira; E e H tangenciais devem ser contfnuas sobre a fronteira, e DeB normais devem ser continuas sobre a fronteira.

Bn2

--"'"

--::>-

Assim, a condi9ao de fronteira para o vetor densidade de fluxo eletrico e que as componentes do vetor densidade de jluxo eletrico que siio normais afronteira devem ser continuas sabre a fronteira. Similarmente, podemos mostrar usando a lei de Gauss para o vetor densidade de fluxo magnetico B, pBÂˇds= 0, que as componentes do vetor densidade de jluxo magnetico que silo normais afronteira devem ~eÂˇr continuas sabre afronteira ou (4.47)

Essas condi96es de fronteira estao resumidas na Fig. 4.15. De forma sintetica, as componentes dos vetores campo lE e JH[ que sao tangentes (paralelas) afronteira devem ser as mesmas (magnitude e dire9ao) em ambos os lados da fronteira; e as componentes dos vetores campo Jl) e B que sao normais (perpendiculares) afronteira devem ser as mesmas (magnitude e dire9ao) em ambos os lados da fronteira. t~"

EXEMPLO 4.12 A Fig. 4.16 mostra a fronteira entre dais meios. A fronteira esta situada no plano xy. 0 vetor intensidade de campo eletrico no meio 1 na fronteira e E1

2a,

+ 3ay + 4a:

V/m

Determine o vetor intensidade de campo eletrico e o vetor densidade de fluxo eletrico no meio 2 na fronteira. SOLUCAO Lembremos que podemos converter E para D com D = e,e0 E. As componentes deE que sao tangentes

afronteira sao E 11

= 2a"

+ 3ay

Assim, essas componentes sao contfnuas na fronteira, de forma que E12 = 2!l,:

+ 3ay

er1 =9 .Uri = 1

/H2

z er2=4 .Ur2 = 16

Figura 4.16 Exemplo 4.12.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo IJ> 169 As componentes de D que sao normais afronteira sao Dnl

Br!BolEnl

= 9e0 (4a:)

= 36e0 az

Assim, essas componentes sao contfnuas na fronteira, de forma que Dn2 =

36eo2z

Temos a componente tangencial delE e a componente normal de]]) no outro lado da fronteira, de forma que simplesmente usamos a relaqao D = sreolE naquele meio para converter de urn para outro. Por exemplo, a componente normal de lE e encontrada a partir da componente normal de D como

36e0

=--a. 4e0

â&#x20AC;˘

= 9a:

Similarmente, encontramos a componente tangencial de D a partir da componente tangencial de lE como Dt2 = 8r28olE12

= 4e0 (2ax =

+ 3ay)

8e0 ax + l2e0 ay

Agora, podemos formar os vetores no outro lado da fronteira:

+ lEn2 2ax + 3ay + 9a=

lE2 = lE12

e Dz = Dtz + Dnz 8e0 ax + l2e0 ay + 36e0 a:

Observemos que D 2 = er2ea1E 2 onde er2

No Exemplo 4.12, o vetor densidade de fluxo magnetico no meio l junto afronteira e

Determine o vetor intensidade de campo magnetico no meio 2 junto afronteira.

4.7.1

to1111di~oes

de 1Fmntei~a1111a Superilcie de um Comlluaor Peufeito

Em muitos problemas de condic;;oes de fronteira, urn lado da fronteira eurn material que eurn born condutor. Por exemplo, a condutividade do cobre e a= 5,8 X 107 S/m. Para esses problemas, usamos muitas vezes uma aproximac;;ao no sentido de simplificar os crilculos assumindo que a condutividade einfinita, a oo. Um material com uma condutividade infinita e dito condutor peifeito. Considerar como urn condutor perfeito o material que possui uma condutividade muito grande simplifica consideravelmente a matematica envolvida. Esta e a Unica razao para essa suposic;;ao em vez de se usar a verdadeira (mas muito grande) condutividade do material.

170 I> Capitulo Quatro

Todos os campos em urn condutor peifeito silo zero. Para mostrar isso, relembremos que a lei de Ohm estabelece a condutividade como a razao entre a densidade de corrente de condw;:ao no material pelo campo eletrico no material que produz esta corrente: u =]IE. Se u ~ co, entao ou J e innnito e E e finito e nao-nulo, ou, entao, J e finito e nao-nulo e E e zero. Como a Corrente, e em particular J, e a taxa de jluxo de carga, o primeiro caso signifi.caria que ou uma quantidade finita de carga foi transportada em urn tempo zero, ou que uma quantidade infinita de carga foi transportada em urn tempo finito nao-nulo. Nenhum deles e possfvel, de forma que conclufmos que o vetor intensidade de campo eletrico em um condutor peifeito deve ser zero. Como D = eE, conclufmos que D tam bern deve ser zero em urn condutor perfeito. Considerando a lei de Faraday, V X lE = - iJB/at, paraE = 0, conclufmos que lS deve ser uma constante (cc). 0 Unico material conhecido tendo urn a condutividade infinita e urn supercondutor. Experimentos revelaram a existencia de urn campo magnetico cc em supercondutores. Assim, concluimos que lB = 0. Similarmente, se assumimos B = ,uH, entao H tambern deve ser zero. Agora, vamos reconsiderar a Fig. 4.14a como meio 2 tendo uma condutividade infinita, u2 =co. A condutividade nao esta envolvida na lei de Faraday. Ainda obtemos (4.44), mas o campo eletrico em urn condutor perfeito e zero, isto e, E12 = 0, de forma que (4.44) se toma

I Etl = 0

(4.48)

Assim, niio pode existir campo eletrico tangencial na S'ltperficie de urn condutor perfeito. Em outras palavras, o campo eletrico na S'ltperficie de um condutor perfeito deve ser perpendicular aquela S'ltperficie. Assim, dizemos que urn condutor perfeito "curto-circuita" o campo eletrico. A lei de Ampere,

p H · dl = J J · ds - - J]!) · ds, contem a condutividade do segundo meio no termo da corrente de c s at s condu9ao, J2 u2lE2• Como a condutividade do segundo meio e infinita, a por9ao do lado direito contendo J nao vai a zero amedida que estreitamos o contomo da superficie. Portanto, em bora o campo mag-

netico no meio 2 seja zero e, assim, Ht2 = 0, nao podemos concluir a partir de (4.45) que o campo magnetico tangencial no primeiro termo e zero: Hn =/= 0. Parece que uma corrente superficial sera induzida na fronteira, a qual e numericamente igual ao campo magnetico tangencial. Mas isso nao e uma condic;;ao de fronteira util, pois ela nao revela o valor de H; ela s6 nos permite determinar essa corrente superficial se conhecemos Hn. Finalmente, obtemos as condic;;oes de fronteira para os campos D e B. No meio 2, que e urn condutor perfeito, temos D2 = B2 = 0. A obtenc;;ao de (4.46) assumida amedida que estreitamos a caixa para a superficie, llh ~ ·o-; o lado direito da lei de Gauss para o campo eletrico, pD · ds = J p0 dv, iria para s

zero. Quando o meio 2 e urn condutor perfeito, essa suposic;;ao nao e mais valida e uma densidade superficial de carga sera induzida na fronteira, de forma que Dnr li!!! Jp0dv = Ps C!m2. Ll.h-+0 v

Contudo, a lei de Gauss para o campo magnetico tern o lado direito igual a zero, pB · ds

= 0, de for-

rna que (4.47) leva acondic;;ao de fronteira para o vetor densidade de fluxo magnetico: (4.49) As condi96es de fronteira essenciais na superficie de urn condutor perfeito sao dadas por (4.48) e (4.49):

Etr Bnl

= =0

(4.50)

Em outras palavras, o vetor intensidade de campo eletrico E deve ser perpendicular asuperffcie de urn condutor perfeito. Assumindo no rneio 1 que D 1 = e1Eh entao o vetor densidade de fluxo eletrico D deve tambern ser perpendicular asuperficie de urn condutor perfeito. 0 vetor densidade de fluxo rnagnetico B deve ser paralelo asuperficie de urn condutor perfeito. Assurnindo no rneio 1 que B1 = ,u1Hl>

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo l> l 'H

meio 1

meio2 E11 =0;A l ;

--<===:3

Condutor perle ito

1En1

Cf=co

<(=:~J = 18n1

E=I-I=IB=D=O

Fi!llllllill4.17 As condigoes de fronteira na superficie de urn condutor perfeito; o vetor intensidade de campo eletrico E deve ser normal asuperficie, e o vetor densidade de fluxo magnetico lB deve ser tangente a superficie.

entao o vetor intensidade de campo magnetico deve tambern ser paralelo asuperficie de urn condutor perfeito. Esses vetores estao resumidos na Fig. 4.17.

4.8 METODO DAS IMAGENS Muitas vezes precisamos resolver problemas em que as cargas ou correntes estao situadas acima de urn plano condutor que e infinitarnente longo (muitas vezes chamado plano de terra). Iremos assumir, para simplificar os calculos, que esse plano e urn condutor perfeito. Isso tambem se aplica como uma aproximas;ao razoavel a urn plano que e urn born condutor. A presens;a do plano condutor perfeito, infinitamente longo, toma tais problemas muito diffceis de serem resolvidos diretamente. 0 metoda das imagens nos permite substituir o plano condutor perfeito, infinitamente longo por uma carga ou corrente equivalente, de forma que o problema resultante e equivalente ao problema original, mas muito mais simples de ser resolvido. Por exemplo, consideremos uma carga pontual Qa uma altura h acima de urn plano infinito e condutor perfeito, como mostrado na Fig. 4.18a. 0 plano pode ser substitufdo por uma carga que seja igual, em intensidade, acarga original e de sinal oposto a uma profundidade h abaixo da posis;ao do plano de terra (o qual foi removido). Esse problema equivalente e muito mais facil de ser resolvido do que o problema original. A equivalencia do problema-imagem em relas;ao ao original pode ser vista pelo fato de que o campo eletrico do problema-imagem e completamente perpendicular aposis;ao do plano de terra. Portanto, o campo eletrico que e tangente ao plano de terra e aposis;ao do plano de terra que foi removido e nulo. Isso satisfaz a condis;ao de fronteira em (4.50). Coiieiites podem-ser t:rahidas-delo:iiita siiliila:r. Consideremos "lim elemen.to-de corrente I que epatalelo e esta a uma altura h de urn plano infinito, perfeitamente condutor, como mostrado na Fig. 4.18b. A corrente e o fluxo de carga e, assim, para o prop6sito de determinas;ao da imagem da corrente, podemos visualizar essa corrente como depositando cargas positivas na extremidade do vetor de corrente e acumulando cargas negativas na sua origem. Agora, se espelharmos essas cargas, vemos que podemos substituir o plano por outra corrente I que seja paralela acorrente original e de sentido oposto e a uma profundidade h abaixo da posis;ao do plano (o qual foi removido). Similarmente, consideremos urn elemento de corrente I que esta dirigido perpendicularmente ao plano a uma altura h acima do plano, como mostrado na Fig. 4.18c. Visualizando isso como cargas acumuladas nas extremidades do vetor de corrente, vemos que podemos formar urn problema equivalente removendo o plano e substituindo-o por urn a corrente a uma distancia h abaixo da posis;ao do plano (removido) que esta tambem verticalmente dirigida e possui o mesmo sentido da corrente original. No caso de uma corrente que nao esteja nem na vertical nem na horizontal, mas inclinada de urn angulo em relas;ao ao plano infinito perfeitamente condutor, como mostrado na Fig. 4.18d, podemos formar urn problema equivalente. Este pode ser construido decompondo a corrente em componentes dirigidas verticalmente e horizontalmente e usando os resultados anteriores. A equivalencia do problema-imagem ao original pode mais uma vez ser vista pelo fato de que o campo magnetico do problema-imagem (relembremos que o campo magnetico em tomo de urn fio esta circunferencialmente orientado de acordo com a regra da mao direita) e completamente paralelo ao plano de terra. Portanto, o campo magnetico que e perpendicular ao plano de terra, que foi removido, e nulo. Is so novamente satisfaz a condis;ao de fronteira em (4.50). 0 metodo das imagens e uma ferramenta de calculo poderosa e deve ser usado em vanas ocasi5es.

172

ill?>

Capitulo O.uatro

,.---....

<:!)-.... h

\ '

{

I I I

-----------8-~-I I

Condutor perfeito

e---

I I

, ___ . /I

(a)

(b)

(c)

:>1

{

----~{----~------h

(d)

'l I I

Figura 4.18 Ilustra~tao do metoda das imagens. (a) Substitui~tao de uma carga pontual acima de urn condutorperfeito infinito por sua imagem, resultando em urn problema mais simples de ser resolvido. (b) A imagem de uma corrente paralela a urn condutor perfeito. (c) A imagem de uma corrente perpendicular a urn condutor perfeito. (d) Decompondo a corrente em suas componentes horizontal e vertical para substitui~tao pela sua imagem.

EXEMPLO 4.13 Urna linha de cargas infinitamente longa de raio a tendo urna distribui~tao uniforme de p1Cim ao Iongo de seu comprimento esta situada a urna altura h acima. de urn plano inÂŁnito perfeitamente condutor. Determine a capacitancia por unidade de comprimento entre a linha de cargas e o plano de terra.

SOLUCAO Substituindo o plano por uma linha de cargas negativa - p1Clm a urna profundidade h abaixo da posi~tiio do plano, como mostrado na Fig. 4.19a, temos urn problema equivalente. A capaCitancia por unidade de comprimento desse problema "a dais fios" foi determinada no Capitulo 3, Exemplo 3.14, e e 7re

Cdois flos =

m( ~l)

F/m

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo 19- 173

PfC!m

+"'+

co --;>

4--- ------------------------

h{ --:1----------------------------\-Pf (a) I

:::>

---1~=---- =Âˇh{+L. 1 bcplano

(b)

Figura 4.19 Exemplo 4.13; detenninando a capacitancia por unidade de comprimento de urn fio situado paralelamente acima do plano de terra. (a) Substituindo o plano de terra pela sua imagem. (b) Detenninando a capacitancia em termos da capacitancia entre dois fios.

onde a e o raio da linha de cargas. 0 problema original da capacitancia entre a linha de cargas e o plano, cplano> esta relacionado a esse problema, como mostrado na Fig. 4.19b. Como capacitancias em serie sao como resistores em paralelo, vemos por essa figura que

CpJano = 2cdais 6os

27Te

F/m

t> EXIEIRCiCiO DE IRE\I!SAO 4.10 Determine a indutancia por unidade de comprimento de urn filamento de corrente de raio a que e paralelo e esta a uma distancia h acima de urn plano infinito, perfeitamente condutor. (Sugestao: Veja Exemplo 3.25.)

Him.

174

Capitulo Quatro

. · 4.9 VARIACAO SENOIDAL DOS CAMPOS As leis precedentes deste capitulo sao validas para qualquervariac;;ao temporal dos campos. Nosso interesse principal no futuro sera a variac;;ao senoidal desses campos. Isto e semelhante ao metoda do fasor desenvolvido nos cursos de analise de circuitos eletricos para circuitos que sao alimentados par fontes senoidais e que estao em regime permanente, isto e, cujos transientes ja terminaram. Exi.stem muitas raz5es para esse interesse principal na variac;;ao senoidal dos campos, em vez de qualquer outra variac;ao temporal arbitrana. Talvez a razao mais importante seja que qualquer forma de onda pode ser decomposta em suas componentes senoidais usando a serie de Fourier para formas de ondas peri6dicas ou a transformada de Fourier para formas de ondas nao-peri6dicas. (Veja Capitulo 1.) Portanto, podemos visualizar uma forma de onda com uma variac;;ao temporal arbitrana como sendo composta de componentes senoidais. Se o sistema, como urn circuito eletrico, que processa essa forma de onda e linear, entao podemos usar a superposic;ao para determinar a resposta do sistema para a forma de onda arbitrana somando as respostas do sistema as componentes senoidais individuais daquela forma de onda. 0 meio no qual os campos existem sera assumido neste livro como exclusivamente linear, de forma que uma abordagem semelhante pode ser usada para os campos. ABsim, se decompusermos urn campo, tendo uma variac;ao temporal arbitrana, em suas componentes senoidais, podemos determinar a resposta aquela forma de onda determinando a resposta as componentes senoidais individuais. Uma outra justifi.cativa para esse interesse na variac;ao senoidal dos campos se ap6ia no fato de que sinais de radio, TV e muitos outros sinais similares tern, predominantemente, natureza senoidal. Como fizemos no metoda dos fasores para analisar a resposta senoidal de circuitos eletricos, substituimos os vetores-campo E(x, y, z, t) par seus fasores equivalentes, E(x, y, z), que sao mimeros complexos tendo urn modulo e uma fase. 0 principia por tras disso e muito simples e esta baseado na identidade de Euler: ej(wt+O)

= cos(wt +e)+ jsen(wt +e)

(4.51)

e j = R. Fasores e numeros complexos serao denotados com o caractere (") sobre o item. A ideia essencial e que, em vez de calcular a resposta a uma variac;ao em seno ou cosseno, vamos substituir estas variac;oes por uma exponencial complexa com eiwt de tal forma que: cos(wt

e)}

j(wt+O)

I sen(wt + e) ::::} e

j8 ::::} e

As derivadas temporais serao substituidas porjw:

-=}jw

(4.52)

Isso porque a derivada temporal de (4.51) e simplesmente jw vezes aquela grandeza: _?_ej(wt+O)

= jwei(wt+O)

Assim, as equac;oes de Maxwell para variac;;oes senoidais dos campos se tornan1

fE· ell = -jw IB· ds

fH· ell = Ij · ds + c

f D· ds = IPv do fB·ds=O

ID·

ds (4.53a)

----

----~~~~~~--~~-

~-~~--

--~----~-~~-

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i> Jl. 75

ou, na forma pontual, V X lE = -jwB V X H = j + jwD

(4.53b)

v · iJ =Po V·B=O Esses vetores-campo fasoriais terao urn modulo e urn angulo de fase. Por exemplo,

lE =

EmtLO"a"

+ EmyLOyay + E,nzLOzaz

Uma vez que o modulo eo angulo das componentes estao determinados, retomamos para o dominio do tempo selecionando (arbitrariamente) uma forma cossenoidal para expressar o resultado no dominio do tempo

; .. IEXIEMPL!Lll 4.14 Determine, usando o metoda dos fasores, se os seguintes vetores-campo satisfazem as leis de Faraday e de Ampere no espago livre: lE = Acos(wt- f3z)a, A H =- cos(wt- f3z)ay

...

$tilliLU~A(] Os vetores-campo no espago livre sao relacionados na forma usual como D = e lE, lB tam hem a = 0, de forma que§ = 0. Os vetores-campo se tornam, na forma fasorial, 0

----~-----------------~

As ~ieis de Faraday e Amp~re se tornam, na forma fasorial,

..-

V X E = -jWJ.L0

H = jwe E 0

Primeiro obtemos o lado esquerdo dessas leis:

VXE

_ aEy)a + (aE, _ af:)a + (aEY (af: ~ ~ ~ ~ y ~ X

il"Ec

=-a

= -j{3Ae-Jf3zay

(ali, aliy)

(a·Ii" ali")

(aliy ali")

V XH= -::::---a,+ - - - a , + - - - a . h

aHy

=--a (}z

= 1'{3A -e -ja,...a, .1)

p.0 H. Temos

176

Capitulo Quatro

igualando-as ao lado direito para cada uma delas, temos

Para essas leis serem satisfeitas, devemos ter

= wfL" 7]

f3 -=we 7]

Resolvendo para f3 e 7], temos

Assim, os vetores-campo irao satisfazer as leis de Faraday e de Ampere apenas sea freqiiencia we os parametros do meio, e0 , J.L0 , forem tais que f3 e 7J satisfa\!am as rela96es acima. Os campos deste problema sao uma forma muito importante de ondas que estudaremos no proximo capitulo. ·<I

~> EXERCiCIO DlE REVISAO 4.11 Determine se os campos no Exemplo 4.14 satisfazem as leis de Gauss, usando suas formas fasoriais.

RESPOSTA Sim.

> EXERCICIO DE REVISAO 4.12

I .. Determine, usando as formas fasoriais, se os campos E =Em sen(x)sen(t)ay e H = Hm cos(x)cos(t)a., satisfazem todas as equa96es de Maxwell em uma regiao nao-condutora, onde u = 0 e Pu = 0. Sugestao: Para converter seno em cosseno, e vice-versa, use sene= cos( e - 90°). FiESIPOSTA Sim, se ep, = 1.

r>· 4.10 PONTA DE PROVA DE CORRENTE: COMBINANDO AS LEIS DE FARADAY E AMPERE PARA MEDIR CORRENTE Consideremos a medi<;ao de corrente em urn fio. Uma forma de fazermos isso e inserindo urn resistor (de urn valor muito pequeno, de forma a nao alterar substancialmente a conente) em serie como fio e medir a queda de tensao sobre o resistor. Entao a corrente e VIR. Urn metodo nao invasivo de merur a Corrente e com uma ponta de prova de Corrente. Uma ponta de prova de corrente e urn tor6ide de material ferromagnetico que pode ser colocado em tomo de urn fio conduzindo uma corrente, como mostrado na Fig. 4.20a. De acordo com a lei de Ampere, a corrente ira produzir uma intensidade de campo magnetico Hq, circunferencialmente orientado que circula, principalmente, em tomo do tor6ide. (0 uso de urn material ferromagnetico para construir o tor6ide serve para manter a maioria do campo magnetico dentro dele.) Diversas espiras de fio sao enroladas em tomo do tor6ide e conectadas a urn voltimetro. Se a corrente e variante no tempo, entao o campo magnetico tambem sera variante no tempo. 0 campo magnetico passa atraves das espiras do fio, gerando, de acordo

~,--~~~~-~

-----

~~~--~---~--~~

~~:

~~r· Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo !J> l '17

-Dobradit;:a Nucleo de f€1rrite

(a)

"C CD

Ill>

.....

iii:::J 0

~ Ill I 0

a. OJ

-10 '····

1!5

~r Ill a. CD

-20

,.r:'

-30 0,1 MHz

1 MHz

10MHz

100 MHz

1000 MHz

Frequencia (b)

Figura 4.20 A ponta de prova de corrente. (a) Ilustrat;:ao de sua operat;:ao em termos das leis de Faraday e Ampere. (b) Uma impedancia de transformat;:ao tipica como funt;:ao da freqiiencia para uma ponta de prova de corrente. (c) Fotografia de uma ponta de prova de corrente tipica (cortesia de Fischer Custom Communications, Inc.).

com a lei de Faraday, uma tensao induzida V em seus terminais, a qual e medida com o voltimetro ligado. 0 dispositivo e calibrado passando .urn valor conhecido de corrente atraves do tor6ide e medindo a tensao na freqiiencia da corrente. Diversas frequencias de corrente sao usadas para fomecer leituras de tensao para cada uma dessas freqiiencias. A razao da tensao (induzida) medida pela corrente que a produziu tern unidades de ohms e e referida como impedancia de transforma9iio da ponta de prova:

v I

onde v = JVI e 0 modulo da tensao induzida, e I = Iii e 0 modulo da Corrente sendo medida. 0 grafico de calibra<;ao efomecido pelo fabricante, mostrando a impedancia de transforma<;ao pela freqiiencia. A

178 !> Capitulo Quatro

(c)

Fig111ra 4.20 (Continuagiio)

impedancia de transformac;:ao para uma ponta de prova de corrente tfpica e mostrada na Fig. 4.20b em termos de "dB acima de 1 Ohm" como

Zr,c!Bn

= 20 log 10 (Zr) =

20 log 10 (V) - 20 log10 (l)

Assim, a corrente em dBA (dB acima de 1 ampere) e

e VdBV e dB acima de 1 volt. Com esse gnifico de calibrac;:ao podemos determinar a corrente usando a tensao medida e a impedancia de transformac;:ao. Pontas de prova de corrente estao disponiveis para medir correntes desde a faL'{a inferior do kHz ate a faL'{a do GHz e amplitudes de !LA a centenas de amperes. Uma fotografia de uma ponta de prova de corrente tipica e mostrada na Fig. 4.20c.

,. . RESUMO DOS CONCEITOS EFORMULAS IMPORTANTES 1. Lei de JF'araday na forma integral: pE Âˇ dl = -d/dt J lB Âˇ ds significa que a integral de linha do vetor intenr

sidade de campo eletlico ao redor de um contorno fechado c ira fornecer a taxa de diminui91io temporal do fluxo magnetico que atravessa a superffcie s limitada pelo contomo. Um campo magnetico valiante no tempo passando atraves de um contomo ira incluzir uma fonte de tensao no contomo cujo valor e a taxa de valia9ao temporal do fluxo magnetico passando atraves do contomo. A polaridade desssa fonte de tensao induzida etal que ela ten de a induzir uma corrente no contomo cujo campo magnetico seja, pela regra da mao direita, oposto avaria9ao do campo magnetico original (lei de Lenz).

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i> 179

2. lLei die lFaraday na forma pontual: V X JE = -aB/at onde, em coordenadas cartesianas retangulares,

V X lE

(aE)ay - iJEy/az)ax + (aErfaz - aE)ax)ay + (iJEy/ax - aEjay)a,.

3. JLei de Ampere na foJrma imteg:ral: lHI · dl = c

f J · ds + a/at f D • ds significa que a soma das correntes de s

condugao e deslocamento atravessando a superficie s e igual aintegral de linha do campo magnetico ao longo do contomo c que envolve a superficie. 4. JLei de Ampere na foJrma pontual: V X lHI = J + (aD/at) onde, em coordenadas cartesianas retangulares, V x lHI = (aH)ay - aHyiaz)a, + (aHxlaz - aH,/ax)ay + (aHyiax- aHxfuy)a,. 5. JLei de Gauss para o campo eletrico: plD · ds = s

f p0 du ondePue a densidade volumetrica de carga envolvida v ....____.... Qenvolvida

pelo volume v que esta envolvido pela superficies. Isso significa que as linhas de campo eletrico que comegam em cargas positivas terrninam em cargas negativas. Linhas de campo eletrico geradas por campos magneticos variantes no tempo, de acordo com a lei de Faraday, formam caminhos fechados. Na forma pontual, V · D Pu• onde, em coordenadas cartesianas retangulares, V ·. D = (aDxfiJx + aDyiay + aDzfaz) 6.JLei de Gall.llss para o campo magn.etico: pB · ds = 0, que significa que as linhas de campo magnetico devem s

formm· caminhos fechados; elas nao podem ter inicio ou fun. Na forma pontual, V · lB = 0, onde, em coordenadas cartesianas retangulares, V · B = (aBjax + aByiay· + aB)az). 7. Conserva~ao da carga: 9i J . ds = -a/at f PvdD. 0 lado esquerdo e 0 fluxo resultante de Corrente para fora da s

superficie fechada s. 0 lado direito e a taxa de diminuigao da carga «;:nvolvida pelo volume v que a superficie envolve. Como cemente e (taxa de) fluxo de carga, qualquer fluxo de Corrente para fora deve ser igual adiminui~,;iio na carga envolvida•. Naformapontual, V · J= -apvfat. 8. Vel:or d~ lf'oyntimg e allensidadle de pol:encJia: §(W/m2) = JE(V/m) X JHI(Nm). 9. Conm~oes de fironterra: (a) se nenhum dos lades da fronteira e urn condutor perfeito: Etl = E 12, Hn = H12, D. 1 = D. 2, B. 1 = B. 2, significando que as componentes tangenciais delE e lHI devem ser continuas e as componentes normais de De lB devem ser continuas; (b) se urn lado da fronteira e urn condutorperfeito (u2 = oo): En = 0, B. 1 = 0, significando que as componentes tangenciais delE e as componentes normais de B devem ser nulas na superficie de urn condutor perfeito.

10. Metodo alias imagens: podemos substituir urn plano infinito condutor perfeito por cargas ou correntes equivalentes abaixo do plano, de forma que os campos acirna do plano nao se modifi.cam, e a solugao do problema e sirnplificada.

PROBLEMAS §lE({_;AO 4.1JLJE][ DlE JFA.RADAY 4.1.1

Determine a tensao V no circuito da Fig. P4.l.l. [-0,233 mV] (f)

(f)

""'r

..t...\~·-~

...::.•

1\;;.r·::,

son

(f)

(f) J:. ~~t~. 100!2

(f)

.• (f) (f)

lit

-1m-~50cm(f) ~ (f) (f) B=2tm Wbfm2

I !

10 em

Figura P4.1.1 Problema 4.1.1.

180 I> Capitulo Quatro

4.1.2

Determine a tensao V no circuito da Fig. P4.1.2.

;~·j9.RT

·..·.

I .! t

·.

1000 10cm 30cm

(f)

-.'~

B=2tm Wb/m2

4.1.3

· Figura P4.1.2 Problema 4.1.2.

Determine a tenslio V no circuito da Fig. P4.1.3. [301,6 cos(21T X 60t) mV]

8 8

-socm---30cm-

4.1.4

""'

B= 10sen(2~rx 60t) m Wb/m2

Figura P4.1.3 Problema 4.1.3.

Assumindo que a corrente I e de valor positivo, quais das situag5es na Fig. P4.1.4 niio estao corretas?

8 decrescente

8 crescente

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura P4.1.4 Problema 4.1.4.

4.1.5 Determine a corrente Ina Fig. P4.1.5 se o campo magnetico varia como B = 2 cos(21T velocidade da barra e de 10 m/s. [0,1 cos(21T X 60t) - 37,7tsen(21T X 60t) rnA]

60t) mWb/m2 e a ·

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo ll> Hll

t t

(±) 50 em

100 n").. (±)

(±) B

Figura P4.1.!i Problema 4.1.5.

4.1.6 Determine a corrente Ina Fig. P4.l.5 se o campo magnetico e constante B = 10 mWb/m2 e a velocidade e v = 100 cos(10t) m/s. 4.1. 7 Umaespiraretangular gira em torno do eixoz a uma velocidade angular dew= 5 radianos/s em urn campo magnetico constante, dirigido ao Iongo dey, dado par lR = lOay mWb/m2, como mostrado na Fig. P4.l.7. Determine a corrente induzida na espira, com a direc,;ao mostrada, assumindo que a espira esta na direc,;ao x em t = 0. [ -2,5 cos(5t) rnA]

z B ======.>-

=----·--;::::=1~

20cm

=-8-->Fi!lJIUCI P4.t7 Problema 4.1.7. X

4.1.8 Relampagos sao particularmente prejudiciais a dispositivos eletronicos, mesmo que tais dispositivos nao sejam atingidos diretamente. Par exemplo, urn relampago pode ser considerado urn canal de corrente, como mostrado na Fig. P4.1.8. Considere a modelagem do efeito de urn relampago sabre a fiac,;ao de uma casa. Assuma que o canal do relampago cresce linearmente ate urn pica de 50 kA em l JLS e entao decai linearmente a zero em 10 JLS, como mostrado na Fig. P4.l.8. E mais:. assuma.que a.distribuic,;ao de energia da casa tenha dais fios, urn passado ao nfvel do chao e o outro ao nfvel do teto. Determine a t€msao induzida na entrada de energia de urn computador digital que esta conectado arede de energia para urn relampago a llan de distancia. [V = 2585 V para 0 < t < l JLS e V = -287Vpara l JLS < t < 10 JLS]

182 I> Capitulo Quatro

.,.___ 90 m---+-

I (t)

I (t) 50 kA

Figura P4.1.8 Problema 4.1.8.

4.1.9 Uma espira retangular esta se movendo com velocidade v radialmente para lange de urn fio que conduz uma corrente de I, como mostrado na Fig. P4.l.9. Determine urna expressao para a corrente.jn~uzida na espira em funr;ao do tempo.

Figura P4.1.9 Problema 4.1.9.

4.1.10 Uma barra metalica de comprimento l gira em tomo de urn ponto fixo com velocidade radial w rad!s, como mostrado na Fig. P4.l.l0. Urn campo magnetico estatico, B, esta orientado perpenclicularmente ao plano de rotagao da barra. Determine a tensao induzida na barra e inclique sua polaridade em relagao aextremidade fixa ou agirante. [Bwl2!2 positiva na extremidade girante.] Isto e a base para o gerador "homopolar" onde urn disco condutor girat6rio e perpendicular ao campo magnetico. Contatos deslizantes coletam essa tensao induzida entre a extremidade e a borda extema do disco.

Figura P4.1.10 Problema 4.1.10.

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo

> Ul3

4.1.11 Urn vetor intensidade de campo eletrico no vacuo e dado no sistema de coordenadas cartesianas retangulares por lE = E,. sen(a:r)sen(wt - f3z)ay. Determine o vetor intensidade de campo magnetico que satisfaz a lei de Faraday. 4.1.12 Um vetor intensidade de campo elebico no vacuo e dado no sistema de coordenadas cartesianas retangulares por lE = E,. sen(f3z)cos( wt )a,. Determine o vetor intensidade de campo magnetico que satisfaz a lei de Faraday. [JHI = -E,.f31WJL0 cos(f3z)sen(wt)ay]

§JE~AO 4.2 IJE)[ DJE AMPERJE 4.2.1 A ten-a seca tern permissividade relativa er == 4 e uma condutividade de 6 == 10-5 S/m. Determine a freqiiencia acima da qual a conente de deslocamento e maior que a conente de condm;ao.

4.2.2 Urn vetor intensidade de campo magnetico no vacuo e dado no sistema de coordenadas cartesianas retangulares por lHI = H, sen(a:r)sen(wt- f3z)a, + H= cos(ax)cos(wt - f3z)~. Determine o veto!' intensidade de campo eletrico que satisfaz a lei de Ampere. ·

[ lE =

( -f3H, + aH_) ] ·. • senaxsen(wt - f3z)ay we0

4.2.3 Um vetorintensidade de campo magnetico rio vacuo e dado no sistema de coordenaclas cmtesianas retangulares por lHI = H"' cos(f3z)sen(wt)ay. Determine o vetor intensidacle de campo eletrico que satisfaz a lei de Ampere. §JE~AO

4.3 JLJE][§ DJE GAU§§

4.3.ll. Mostre que o campo lE do Problema4.l.ll satisfaz a lei de Gauss no vacuo on de, a menos que alguma carga seja intencionalmente introduzida, n1io ex:iste densidade de carga livre (p. = 0). 4.3.2 Mostre que o campo lE do Problema 4.1.12 satisfaz a lei de Gauss no vacuo onde, a menos que alguma carga seja intencionalmente introduzida, n1io ex:iste densidade de vacuo (p. = 0). 4.3.3

Mostre que o campo lHI do Problema 4.2.2 satisfaz a lei de Gauss no vacuo.

4.3.4

Mostre que o campo lHI do Problema 4.2.3 satisfaz a lei de Gauss no vacuo.

SJE~AO 4.6 DJEN§)[DADJE DJE POTJENC)[A NO CAMPO JEIJETROMAGNJETICO lE VIETOR DJE 1 POYNTING • 4.6.1 Uma onda viajando na agua do mar (que e dispersiva) tern seus campos elebico e magnetico dados no sistema de coordenadas cartesianas retangulares por lE = 10e--t: cos(wt- 4z)a, V/m e lHI 7,15e-•= cos(wt- 4z - 'IT/4)ay Nm. Determine a potencia total dei'i:ando a superffcie de urn cubo tendo !ados de 1 m de comprimento e vertices em (0, 0, 0), (1m, 0, 0), (0, 0, 1m), (1m, 0, 1m), (0, 1m, 1m), (1m, 1m, 1m), (0, 1m, O) e (1m, 1m, 0). [-25,27W] §JE~AO 4. "! CONDI~OJES DJE JFRONTJEmA

4. 7.1

Uma fronteira entre dois meios esta situada no plano yz em x = 0, como mostrado na Fig. P4.7.1. Se o vetor

intensidade de campo elebico no meio 1 proximo afronteira (x

=O) e dado por lE2Ix = 0 =

aa, + /32.y

+ 'Y~. deter-

mine JE 2 Ix = 0 , isto e, o vetor intensidade de campo elebico no segundo meio logo depois da fronteira. y

meio 1 e1, t11

E1 , 8 1, H1, D1

2.·.· ··

-----dneib ,......., ', '

ed.~2

.·

;E2 , 8 2, H~; 0 2

!Figura P4.7.1 Problema 4.7.1.

184 13> Capitulo Quatro

4.7.2 A fronteira entre dois meios esta situada no plano yz em x = 0, como mostrado na Fig. P4.7.l. Se o vetor densidade de fluxo magnetico no meio 1 na interface (x = 0) e dado por lB1I~ = 0 = aa, + {3a9

+ ya,, determine JB21x = 0' isto e, 0 vetor densidade de fluxo magnetico no segundo meio logo depois da fronteira. [ JB21x = 0 = aax + f3 JJ-dP-1 a9 + 'YJJ-d fJ-Jll:l 4.7.3 A fronteira entre dois meios esta situada no plano yz em x

0, como mostrado na Fig. P4.7.l. Se o vetor

densidade de fluxo eletriconomeio 1 nainterface (x = 0) e dadopor D1ix =

aa, + [32y + ya,, determine D2ix = 0 ,

isto e, o vetor densidade de fluxo eletrico no segoodo meio logo depois da fronteira. [ D 2lx = 0 = aa, + f3ede 1a9 + yede1a,]

4.7.4 A fronteira entre dois meios esta situada no plano yz em x intensidade de campo magnetico no meio 1 proximo a fronteira (x

0, como mostrado na Fig. P4.7.l. Se o vetor O) e dado por lFI1ix = 0 aa, + [33-y + ya,,

determine S: 2 lx = 0 , isto e, o vetor intensidade de campo magnetico no segoodo meio logo depois da fronteira. 4. 7.5 A Fig. P4.7.5 mostra a fronteira entre urn meio dieletrico tendo parametres e1 e p.,1 e urn condutor perfeito. 0 vetor intensidade de campo eletrico no meio 1 na superficie do condutor perfeito e dado por lE = aa, + {3a 9 +ya,. Alem do mais, o vetor densidade de fluxo magnetico no meio 1 na superficie do condutor perfeito e dado por lll = ua, + oa9 + xa,. Aplique as condi<;:oes de fronteira para determinar os valores ou rela<;:oes entre esses seis parametres.

meio2 Condutor perfeito

Figura Plt'7.5 Problema 4.7.5.

SE<;AO 4.8 METODO DAS EMAGJENS 4.8.1 Um condutor perfeito esta situado no plano xy do sistema de coordenadas cartesian as retangulares em z = 0 e se estende para z < 0. Uma corrente esta acima desse plano e e descrita porI = 2a, - 3a9 + 4a, A em (0, 0, 2). Determine a imagem da corrente pela qual o condutor perfeito pode ser substituido de forma que os campos para z > 0 permane<;:am inalterados. [Iimagem = -2a, + 3a9 + 4a, A em (0, 0, -2)]

SEQAO 4.9 VARIAQAO SENOIDAJL DOS CAMPOS 4.9.1 Escreva as formas temporal e fasorial dos seguintes campos de forma apropriada. A freqiiencia e 1 MHz. (a) E = -j30a,- 10ija9, (b) H = 10el4" 13a,, (c)B = 4e-2::e-14""a,, (d) E = 10e-3rcos(2'1T X Wt- 3'1Tz)ay, (e) B = 5 sen(3z)cos(2'1T X lOst 6z)a,. [(a) -30 cos(2'1T X l~st + '1T/2)a, + 10 co~2'lT X lOst + '1T/2)a9, (b) 10 cos(2"IT X lOst+ 4'1T/3)a,, (c) 4e-2::cos(2'1T X lOst- 4m)a,, (d) E = lOe-3re-i3""3.y, (e)B = 5 sen(3z)e-i6::a,) 4.9.2 Determine o vetor intensidade de campo magnetico a partir da lei de Faraday para o seguinte vetor intensidade de campo eletrico no vacuo, usando o metodo dos fasores: E =Em sen(ax)cos(wt- [3z)3.y. 4.9.3 Mostre que a media no tempo do vetor de Poynting pode ser encontrada pelos vetores campo fasoriais como smed = 112Re(E X :Hâ&#x20AC;˘) onde .Aâ&#x20AC;˘ e 0 complexo conjugado do fasor A. Sugestao: Use a rela<;:ao E =Re(E el"") = l/2(Eel"" + :Eâ&#x20AC;˘e-Jwt).

Campos Eletromagneticos Variantes no Tempo i> ].85

ยงJEI!;AO 4.10 PONTA DJE JP'R.OVA DJE COR.ruENTJE: COMJ!UNANDO Aยง JLJEIยง DJE JF.&:R.ADAY JE AMPJEJRJE PARA MJEDIR. COR.JRJENTJE 4.10.1 Para a ponta de prova de corrente ilustrada na Fig. 4.20a, assuma que o tor6ide e constituido de urn material ferromagnetico tendo Jkr 200 e tern urn raio medio de 2 em e urn nucleo de set;li.o reta de 4 cm2โ ข Existem 10 espiras enroladas no tor6ide. Determine a impedancia de transformagli.o para uma corrente cuja frequencia e lMHz.

Propaga~ao

de Ondas

A lei de Faraday combinada com a lei de Ampere prediz a existencia de ondas eletromagneticas. Embora existam diversos tipos de ondas, a maioria compartilha muitas das propriedades das ondas planas ttniformes, que serao estudadas neste capitulo. Ondas se propaganda ao longo de linhas de transmissao bifilares (dois condutores) sao ondas planas. Estudaremos a propagac;:ao de ondas 路em linhas de transmissao no proximo capitulo. Embora as ondas emitidas por antenas sejam verdadeiramente ondas esfericas, assim como quando alguem atira uma pedra na agua, essas ondas aparecem localmente para urn observador como ondas planas. Estudaremos a propagac;:ao de ondas associadas a antenas no capitulo final deste livro, Capitulo 7. Assim, o estudo de ondas planas uniformes neste capitulo ira fornecer urn entendimento das ondas propagadas de outras estruturas ou para outras estruturas.

Objetivos de Aprendizado do Capitulo Ap6s completar o sum ario deste capitulo, voce devera estar apto a ~路 explicar o conceito de uma onda;

~> calcular a constante de fase,

{3, a impedancia intrinseca, 7], a velocidade-de propagac;:ao, primento de onda, A, de uma onda plana uniforme em um meio sem perdas;

v, eo com-

i> escrever as formas dos veto res intensidade de campo eletrico e magnetico no dominio da freqi.iencia e no dominio do tempo para ondas planas uniformes em um meio sem perdas; :;.:路 repetir os dois objetivos anteriores para ondas planas uniformes em um meio com perdas; i> entender que o deslocamento de fase de uma onda no dominio da freqi.iencia (fasor) te a um atraso de propagac;:ao da onda no dominio do tempo;

eequivalen-

,;,. calcular o vetor densidade de potencia media de uma onda plana uniforme em um meio sem perdas e em um meio com perdas;

i> calcular e entender o significado da profundidade pelicular; ~;路 escrever as formas dos vetores intensidades de campos eletrico e magnetico incidentes, refleti-

dos e transmitidos para uma onda plana uniforme com incidencia normal na fronteira entre dais meios sem perdas; ~> escrever expressoes para a densidade de potencia media das ondas incidente, refletida e transmi-

tida para uma onda plana uniforms com incidencia normal na fronteira entre do is meios sem perdas;

!> repetir os dois objetivos anteriores onde o segundo meio

e um bam condutor;

~-' usar as leis de Snell para calcular os angulos de incidencia, .reflexao e transmissao para uma onda

plana uniforme com incidencia oblfqua na fronteira entre dais meios sem perdas;

i> citar e explicar exemplos de aplicac;:oes em engenharia dos principios deste capitulo.

Propaga~ao

de Ondas !>- 187

5.1 ONDA PLANA UNIFORME EM MEIO SEM PERDAS A onda plana tmiforme tern dois importantes termos em sua denominagao: unifonne e plana. 0 termo plana significa que ambos os vetores intensidades de campos eletrico e magnetico estao situados em urn plano e que todos esses pianos sao paralelos. Ainda, a fase da ondaÂˇe constante sobre o plano .. O termo uniforme significa que esses vetores sao constantes em magnltude e fase sobre os pianos. A Fig. 5.la mostra tal configuragao do campo onde escolhemos, para simplificar a notagao, o vetor intensidade de campo eletrico estando dirigido no sentido x. Veremos que o vetor intensidade. de campo magnetico sera ortogonal a este e dirigido no sentido y. Esses vetores campos estao situados no plano xy e sao ondas planas. A outra parte do nome, unifonne, significa que os vetores campos sao independentes de x e y nesses pianos. Assim, os vetores intensidade de campo eletrico e intensidade de campo magnetico podem ser fungoes apenas de z e do tempo, t, Ex(z, t) e Hy(z, t). Para uma onda de freqiiencia Unica, as formas fasoriais sao Ex(z) e H-y(z). Veremos tambem que a onda associada com esses vetores campos se propaga no sentido z, como mostrado na Fig. 5.lb. As ondas planas sao muitas vezes referidas como ondas transversais eletromagneticas ou TEM, pois os vetores campos eletrico e magnetico sao perpendiculares ou transversais adiregao de propagagao da onda (a diregaoz). Para determinar as relag5es entre esses vetores campos, primeiro escrevemos a lei de Faraday na forma fasorial como "iJ X

lE = -jwJLH

(5.1)

onde substitufmos B = JLH. Expandindo o rotacional em coordenadas retangulares, temos

(5.2)

y (a) X

~ Hy

y (b)

!Figura 5.1 llustrac;ao da onda plana uniforrne. (a) Os vetores campos eletrico e magnetico da onda plana uniforrne. (b) A direc;ao de propagac;ao de uma onda plana uniforrne e perpendicular ao plano contendo os vetores campos eletrico e magnetico.

188 l> Capitulo Cinco

Como o campo eletrico e assumido na direc;ao x, E= = EY = 0 de forma que as derivadas em relac;ao a essas componentes sao nulas. A Ultima derivada na componente z, aEj ay, e nula, ja que o campo eletrico e uniforme sobre o planoxy, Ex(z), e independente da coordenada y. Assim, o resultado em (5.2) mostra, grupando-se as componentes em ambos os lados de (5.1), que o vetor intensidade de campo magnetico esta no si:mtido +y:

e obtemos a primeira equac;1io:

aE,;

Esta contem duas variaveis incognitas: aplicamos a lei de Ampere:

E, e

(5.3)

--;ÂˇwnH r

fiY. Para obter outra equac;ao relacionando tais variaveis,

alE+ jwelE

(5.4)

e substitu1mos J = alE e D = elE. Expandindo (5.4), temos

tÂˇ:.

Como o campo magnetico tern apenas a componente y, alguns dos termos sao nulos, fi, = fi= = 0, de forma que as derivadas em relac;ao a essas componentes sao nulas. Ainda, como o campo magnetico e independente de x e y, HY(z), quaisquer derivadas em relac;ao a essas coordenadas sao zero. Consideraremos primeiro urn meio sem perdas no qual a= 0. Assim, obtemos

ally ~ --;:::-ax =jweExa, u,:,

Entao, obtemos a equac;ao restante:

(5.5)

As equac;5es (5.3) e (5.5) saoA equac;oes diferenciais de primeira ordem em E, e fiY. Para obtermos equac;oes separ~das apenas em E, ou Ely diferenciamos uma em relac;ao a z e substitulmos na outra. Ainda, como Ex e HY sao fungoes apenas de z, as derivadas se tomam ordinanas em vez de derivadas parciais. 0 resultado se toma

(5.6a)

Propaga~ao

de Ondas

189

(5.6b)

0 termo {3 e chamado de constante de fase e tern unidade de radianos/m e e rad/m

(5.7)

Estas sao equa96es diferenciais ordinanas de segunda ordem, lineares, a coeficientes constantes, cuja solu9ao obtivemos diversas vezes nos cursos de circuitos eletricos e nos cursos de equa96es diferenciais: (5.8a) (5.8b) Os termos E~, E~., fl: e fl-;;. sao, como antes, constantes a serem determinadas. 0 significado dos sobrescritos ± nessas constantes sera explicado em breve. Embora existam quatro constantes incognitas, duas delas estao relacionadas as outras duas. Para vermos isso, substituimos (5.8) em (5.3), obtendo

aa;' = -j{3E!e-if3: + j{3E;;,eif3: -jwf.LHy = -;'wn(H+e-jf3: r m

+ fi-ejf3z) m

Grupando-se os termos exponenciais correspondentes, obtemos ~

E,~

--=---

((J);) (~)

(5.9a)

e ~

H-m

···E=· - -m-

((J);)

£;:;·

----

(~)

(5.9b)

Note a similaridade dessas rela96es com a lei de Ohm, I = VIR, onde fazemos a analogia I ~ H e V ~ E em virtude de suas unidades similares. Como {3 = w -fjii, os denominadores ficam simplificados, como mostrado. Os denominadores das rela96es em (5.9) entre essas constantes indeterminadas tambem possuem o ohm (0) como unidade e representam a impedlincia intrinseca do meio:

(5.10)

No vacuo, f.L = f.Lo = 47T X 10-7 e e = 8 0 = (1!36?T) X 10-9, de forma que a impedancia intrfnseca do vacuo e

T/ 0

.JiE =1207T =377

(5.11)

Em urn outro meio que nao seja o vacuo, temos as rela96es 8 = 8r8o e J.L = f.Lrf.Lo· Portanto, em urn meio que nao seja o vacuo, podemos relacionar a impedancia intr:fnseca daquele meio com a do vacuo como

190

Capitulo Cinco

JAB!Ei.A 5.'i IPermissivillaliles Relativas de Diversos Dieletricos

Material Ar

Espuma de polietileno Polietileno celular Teflon Polietileno Poliestireno Nailon Borracha de silicio Cloreto de polivinila (PVC) Resina de ep6xi Quartzo (fundido) Vidro ep6xi (substrato de circuito impresso) Baquelite Vidro (pirex) Mylar Porcelana Neoprene Poliuretano Silicio

1,0 1,6 1,8 2,1 2,3 2,5 3,0 3,1 3,5 3,6 3,8 4,7 4,9 5,0 5,0 6,0 6,7 7,0 12,0

(5.12)

As Tabelas 5.1 e 5.2 fomecem os valores da permissividade relati.va, e" permeabilidade relativa, JL,., e condutividade, 0', para materiais representati.vos. Em geral, a permissividade relativa e apermeabilidade relativa desses materiais variam com a freqiiencia. Observe que a maioria dos metais nao e magnetizavel, isto e, JLr = 1. Alem disso, OS metais nao sao dieletricos, pois er = 1.

TABELA 5.2 Permeabilidades Relativas e Condutividades (Relativas ao Cobre, u =5,8 x 107) de Diversos Metais

Condutor Prata Cobre temperado Ouro Aluminio Latao Nfquel Bronze Estanho Ago (SAE 1045) Chumbo Monel Ago inoxidavel (430) Zinco Ferro Berilio Mumetal (a 1kHz) "Permalloy" (a 1 kHz)

1,05 1,00 0,70 0,61 0,26 0,20 0,18 0,15 0,10 0,08 0,04 0,02 0,29 0,17 0,10 0,03 0,03

1 l

1 2000 1 1 500 1 1000 1 30.000 80.000

Propagagao de Dndas !> Jl.91

Assim, as soluc;oes finais sao

(5.13a)

(5.13b)

Temos agora apenas duas constantes incognitas,£: e £-;,.. Estas serao determinadas pelas condic;oes de fronteira de cada problema em particular. Observe o importante sinal negativo entre os dois termos de

'Hy. As formas acima sao as formas fasoriais ou no domfnio da freqiiencia dos campos, que possuem variac;ao senoidal em uma freqiiencia fixa. Vamos determinar os campos no domfnio do tempo. Para fazermos isso, simplesmente (1) multiplicamos o fasor resultante por rJwt e (2) tomamos a parte real do resultado. (Lembremos a identidade de Euler: ei 9 = cosO+ jsenO. Assim, a parte real de ei 8 e cosO.) Assim, o campo eletrico em (5.13a) se torna, no domfnio do tempo,

= Re[(E~e-i.B= + E;;ei.B=)ejwt] = Re[E+ej(wt-.B=) + E-ej(wt+.B=l] m m = E:, cos(wt [3z) + E;;; cos(wt + [3z)

E.r(;:;,t)

onda progressiva (sentido +z)

(5.14a)

onda retr6grada (sentido -z)

e, similarmente,

Hy(z,t )

E~ ·.a z = Re [ (--:rye-J

E;;; ·.az ) el"' . t] -:ryel

E:,

E,~

(5.14b)

-.. cos(wt- {3z) - -cos(wt onda progressiva (sentido· +z)

+ {3z)

onda retr6grada (sentido -z)

e assumimos as constantes incognitas como valores reais, E';, = E';,. Os termos envolvendo cos( wt - {3z) sao ditos como ondas progressivas, propagando-se no sentido +z; amedida que t aumenta, z deve aumentar, para manter o argumento da func;ao cosseno constante. Essas ondas podem ser encaradas como as ondas na agua. Para acompanhar o movimento de tais ondas, observamos o movimento de urn ponto na onda, digamos, a crista. Isso equivale a seguir o movimento de urn ponto onde cos(wt- {3z) e constante e, assim, o argumento deve permanecer constante: amedida que t aumenta, z deve tam bern aumentar. Similarmente, os termos envolvendo cos(wt + {3z) sao ditos ondas retr6gradas, propagando-se no sentido -z, ja que, para manter o argumento do cosseno constante, amedida que t aumenta, z deve diminuir. Esta e a origem dos sobrescritos ± nas constantes incognitas: esta associada a uma onda progressiva no sentido +z, e E:: esta associada a uma onda retrograda no sentido -z. Estas tambern podem ser escritas de uma forma alternativa usando a relac;ao {3 = w {iti como

cos(wt ± {3z) =cos(w(t ±

~))

(5.15)

192 B> Capitulo Cinco

Assim, a velocidacle de pmpagagilo ou velocidade de fase da frente de onda onde a fase e constante e (5.16) No vacuo, p., = f.Lo = 47T X 10-7 e e = e0 = (1/367T) X 10-9, de forma que a velocidade de propaga<;ao no vacuo e Âˇv0

= 2,99792458

X 10

108

(5.17)

m/s

Em um outro meio que nao seja o vacuo, temos as rela<_;:oes e = ereo e p., = f.Lrf.LoÂˇ Portanto, em urn outro meio que nao seja o vacuo, podemos relacionar a velocidade de propaga<;ao das ondas naquele meio com a velocidade de propaga<;ao no vacuo como (5.18)

Veja as Tabelas 5.1 e 5.2 para calcular a velocidade de propaga<;ao em outros materiais. Observe em (5.18) que a velocidade de propaga<;ao em outros materiais que nao o ar e sempre menor que a velocidade de propaga<;ao no ar, ja queer 2: 1 e f.Lr 2: 1. Observe que os termos em (5.15), (t - zlv) e (t + z/v ), equivalem a um atraso no tempo. Uma varia<_;:ao em algum ponto no espa<;o esentida ou observada zlv segundos depois. Isso mostra urn importante aspecto da rela<;ao entre as ondas nos dominios da freqiiencia e do tempo:

Considere a onda progressiva:

= E~ cos(wt - {3z)

= -.E!-cos(wt 71

(5.19)

{3z)

Esses campos estao plotados em fun<;ao da coordenada z na Fig. 5.2a para urn tempo fixo. Note que os vetores campos eletrico e magnetico tern uma distribui<_;:ao de amplitude no espa<;o que e cossenoidal. A medida que o tempo aumenta, esse envelope se move para a direita, no sentido +z. A onda retr6grada

= E;;; cos(wt + {3z) EHy = _2!.cos(wt + {3z) Ex

(5.20)

tern um envelope cossenoidal similar, mas que se move no sentido -z. Observe o importante sinal negativo na frante de Hy na onda retrograda em (5.20). Ele enecessa..-io, pois a onda epropagante no sentido -z e, assim, o fluxo de potencia dado por E X H tambem deve estar no sentido -z, de acordo com a regra da mao direita. Outra maneira de visualizar essa onda eno plano xy, olhando no sentido +z, como mostrado na Fig. 5.2b. Isso representa a vista da onda para uma posi<_;:ao fixa, z, amedida que o tempo varia. Para uma posi<;ao fixa, digamos, z = 0, (5.19) se torna

Propagagao de Ondas

[;Âť

].93

)(

4-------------------1------------------~

y (a) )(

(b) X

E;; ---=-4 /

~Â

/ /

I I 1

--~~~+-~~~~~~~~Y

\ \

I '\

I I

E+

.................

-- --- .,...""

(c)

Figura 5.2 Tiustragao da propagagao de uma onda plana uniforme. (a) Distribuiglio dos vetores campos eletrico e magn6t:ico no espago. (b) Visua1lzando OS veto res campos eletrico e magnetico olhando no sentido de propagaglio, indicando polarizaglio linear da onda. (c) Uma onda plana uniforme circularmente polarizada.

194 l> Capitulo Cinco

o vetor campo elemccfaumenta e Climi.tiufnaC!iregao x~-enquanto o vetof campo magnetico a1li:ne:iita e diminui na dire gao y, de acordo com as variag6es na amplitude do vetor campo eletrico. Essas ondas sao clitas linemrnente polarizadas, pois os vetores campos eletrico e magnetico variam ao longo de linhas (eixos x e y). Se combinannos duas ondas planas uniformes lineannente polarizadas, o resultado e tal que os vetores campos eletrico e magnetico giram no espago ame elida que eles se propagam. Por exemplo, vamos supor que aclicionemos outra onda, cujo campo eletrico tenha urn angulo de fase fJ aclicionado: lE

=E,~ 1 cos(wt- [3z)ax + E,~ 2 cos(wt- {3z + fJ)ay

bbservando essa onda composta no plano xy em z = 0, temos lEiz=O

= E~1 cos(wt)ax + E~2 cos(wt + fJ)a11

Note-se que o campo total e a soma das componentes x e y. Se escolhermos as mesmas amplitudes,

E: = E: = E:, e escolhermos o angulo de fase como e= -goo, esse vetor campo eletrico composto se 1

torna lEiz=O = E~ cos(wt)ax = E~ cos(wt)ax

+ E~ cos(wt- goo)ay + E,~sen(wt)ay

A Fig. 5.2c mostra que a e>..tremidade do vetor campo eletrico resultante gira a uma velocidade angular de wt no sentido horano. Assim, diz-se que isso representa uma onda cire1.tlarmente polarizada. Diz-se, tambem, que ela tern uma polarizagao circular clireita, pois, quando colocamos o polegar da mao clireita no sentido de propagagao, o sentido +z, os demais dedos inclicam o sentido de rotagao do vetor campo. Escolhendo o angulo de fase como sendo f) = goo, resulta numa onda de polarizagao circular esquerda. Antenas helicoidais sao construfdas a partir de fios espiralados e produzem ondas polarizadas circularmente. Iremos investigar apenas ondas linearmente polarizadas neste capitulo. Existe uma importante propriedade final das ondas planas uniformes que deve ser discutida. 0 comprimento de onda foi abordado no Capitulo 1 e e a distancia que uma onda deve percorrer para sofrer urn a mudanga de fase de 2'1T radianos ou 360Â°, como ilustrado na Fig. 5.2a. A medida que urn a onda se propaga, ela sofre urn deslocamento de fase de {3z raclianos. Assim, o comprimento de onda e

(5.21)

Podemos escrever isso altemativamente usando (5.7) e (5.16) como

(5.22) As dimens6es importantes de uma estrutura eletromagnetica, tal qual uma linha de transmissao ou uma

antena, nao sao as dimensoes fisicas, como metros, mas as dimens6es eletricas em comprimentos de onda. A Tabela 5.3, repetida do Capftulo 1, fomece o comprimento de onda em vanas freqfiencias no ar. Isso foi cliscutido no Capftulo 1. Lembre que, a menos que a maxima climensao de urn circuito eletri1 co seja muito menor que urn comprimento de onda, digamos, A., entao modelos de circuitos a 10 parfunetros concentrados nao sao mais validos. A estrutura se toma urn circuito a parilmetros distribuidos, onde a mudanga de fase entre as partes diferenciais do circuito nao e mais desprezivel em relagao ao comprimento de onda. Para determinar as dimensoes eletricas de uma estrutura que e excitada na freqiienciaf, podemos simplesmente determinar o comprimento de onda naquela freqfiencia comparando o resultado em 300 MHz, onde o comprimento de onda e de 1 m, e percebendo que freqfiencias maiores possuem comprimentos de onda menores, e vice-versa. Por exemplo, urn fio de 2 metros tern uma dimensao eletrica de Aj2 em 75 MHz. Urna linha de transmissao de energia em 60 Hz, de 300 milhas de comprimento, pode ser analisada usando a teoria de circuitos a parfunetros concentrados e as leis de 1 Kirchhoff, ja que a maxima climensao (seu comprimento) e A em 60Hz. Por outro lado, considere10 0

Propaga~ao

de Ondas l> 195

TAIEiiELA 5.3 Comprimenios de Omlla em l!lliiewentes IFraqiie~rncias rno IEspa~o ILhtre (Ar) Freqtiencia !j) 60 3 30 300 3 30

300 3 30 300

Comprimento de Onda (A0 )

Hz kHz kHz kHz MHz MHz MHz GHz GHz GHz

3107 milhas (5000 km) lOOkm lOkm lkm lOOm lOrn

lm lOem lem 0,1 em

mos urn circuito de urn telefone celular operando em tomo de 3 GHz. Para analisar esse circuito usando a temia de circuitos a parfunetros concentrados e as leis de Kirchhoff, a maxima dimensao do circuito nao deve ser maior que cerca de 1 em!

Determine a impedancia intrfnseea, eonstante de fase, velocidade de propagagao e eomprimento de onda de uma ·onda plana uniforme a l GHz (a) no vidro ep6xi, usado pata eonstruir pla:cas·deeireuito impresso;·e (b) no silieio, usado para eonstruir eireuitos integrados.

$[)1!.1UCAaJ Para o vidro ep6xi, e,

4,7, e JLr = 1, de forma que

l201T

{T' \)4,1

= 173,9

7Jot:

wv;;:B

2~ yp:;s; Vo

v'fX4,7

21T X l X 109 --~ 3 X 108

= 45,41 = 2.601,5

radianos/m graus/m

v=--

v;;:B Vo

=--

ViLA 3

Vl =

108 X 4,7

1,.38 X 108 m/s

2.1T A=-.

f m 13,8 em

= 0,138 =

196 ill> Capitulo Cinco

Para o silicio, e, = 12, e JLr = 1, de forma que

1lolf

120'lT

\fl2

= 1o9

{3=wYjie 2'7Tj vp:;e;

Va 9

2'lT X 1 X 10 = 72,55

X lOB

radianos/m

4.157

v1X12

graus/m

D=--

Yjie Va

vp:;e;

3 X 108

X 12

8,66

X 107

m/s

2'lT

f3 v

8,66 em .!'!> EXEMPLO 5.2 Escreva as formas fasorial e no dominio do tempo de uma onda plana uniforme tendo urn a frequencia de l GHz que esta se propaganda no sentido +z em urn grande bloco de silicio. SOlU~AO Usando os resultados do exemplo anterior, as formas fasoriais sao

E~ 路路255 -e-1' 路: 109

A/m

e as formas no domfnio do tempo sao

= E~

E+

H9 =

cos(6,28 X l09t - 72,55z)

10~ cos(6,28 X l0 t 9

72,55z)

VIm A/m

~ EXERCJCIO OE REVISAO 5.1 Determine a impedancia intrinseca, constante de fase, velocidade de propaga9ao e comprimento de onda de uma onda plana uniforme a 500kHz no Teflon. Escreva as express5es no dominio do tempo para os vetores intensidades de campos eletrico e magnetico. 0 vetor campo eletrico esta no sentido x, mas a onda esta se propagando no sentido -z. 路 RESPOSTAS 260 il, 1,52 X w-z rad!m, 2,07 X 108 m/s, 414 m, E, = - (Ed260) cos (3,14 X lOst + 1,52 X w-Zz) Aim.

= E~ cos (3,14 X lOst + 1,52 X 10-Z:z) V/m, Hy -<:1

Propaga~ao

de Ondas I> Jl.97

5.2 ONDA PLANA UNIFORME EM MElD COM PERDAS Em seguida, consideramos ondas planas uniformes se propaganda em urn meio onde a condutividade nao e zero, u =/= 0, isto e, urn meio com perdas. A adir,:ao do termo da corrente de condur,:ao alei de Ampere resulta na modificar,:ao de (5.5) [veja (5.4)] para

aHY

â&#x20AC;˘

-az = -o-EX - JWB"E,;.

(5.23)

= -(u + jwe)t 0 resultado em (5.3) obtido a partir da lei de Faraday permanece inalterado, pois a lei de Faraday nao contem a condutividade:

(5.24) As equar,:oes (5.23) e (5.24) contem, cada uma, Ex e H9â&#x20AC;˘ Para converter essas equar,:oes em equar,:oes diferenciais individuais, cada uma contendo apenas uma variavel, como obtivemos em (5.6) para meios sem perdas, diferenciamos uma em relar,:ao a z e substitufmos na outra, obtendo

d2E d2;'

[

(JwJ.L )( u + jwe) ]"Ex = 0

(5.25a)

y (5.25b)

Agrupando os termos como mostrado,

y edita a constante de propaga9iio e e y = V(JwJ.L)(a- + jwe) =a+ j{3

(5.26)

Observe que a constante de propagar,:ao e urn numero complexo tendo urna parte real, a, que e dita a constante de atenua9iio por razoes que serao logo explicadas, e uma parte imagin:iria, {3, que e novamente dita a constante de fase. E muito importante observar que, para urn meio com perdas, {3 =I=

wVjiB

ediferente do caso para urn meio sem perdas. De fato, nao sabemos o que {3 ira se tomar ate calcularmos a parte imagin:iria de (5.26). Eapropriado aqui discutirmos o calculo da raiz quadrada de urn ntl.mero complexo como requerido em (5.26). A raiz quadrada de urn ntl.mero real edefinida como o ntl.mero que multiplicado por ele mesmo leva ao illimel"o origilla1:TSto 6-, a_-;;, ;:[;;:;{;.: Xmesma-iio~~o se-aplic~t1raiiquactrada de unirn1mero complexo:

-vA VALe:

=VAL(~)

(5.27)

198 i> Capitulo Cinco

Em outras palavras, a miz quadrada de um n-umero complexo tem um modulo que ea raiz quadmda do modulo do nttmero e um angulo que ea metade do angulo do numero. Por exemplo, consideremos urn numero complexo A= 2 + j2. Primeiro, escrevemos o numero naforma polar como A= 2 -fiL45°. Assim, a raiz quadrada e v'A = ~L22,5°. Essa raiz quadrada pode ser verificada multiplican1,68 . do-a por ela mesma para verse obtemos o numero complexo original: (1,68L22,5°)

= 2,83L45°. 2\12

A= v'Av'A = (1,68L22,5°)

Podemos entao converter a forma polar da raiz quadrada para a forman~-

tangular, como enecessano para obter a e f3 em (5.26). Por exemplo, ~2 +j2 = 1,68L22,5° j0,644.

= 1,55 ==

!:>· EXEMPLO 5.3

Determine a constante de atenua<;ao e a constante de fase no cobre (u = 5,8 X 107 S/m, er 1, Jl-r = 1) em 1 MHz. 0 cobre e urn metal com urn usado para construir fios e blindagens eletromagneticas em sistemas de telecomunica<;5es. SQ»W~~([j) Pela constante de propaga<;ao:

(j2'TT' X 106 X 1 X 411' X 10- 7)(5,8 X 107 + j27T' X 106 X 1 X - - X 10- 9) \: "-----v-----' ~ ~ "-----v-----' 3611' p.,

V -4,39 X 10- + j4,58 X 10

V4,58 X 108L90°

·= 2,14 X

104L45°

= 1,51 X 104

+jl,51

104

\'"' EXERCJCiO DE REVISAO 5.2 Detennine a constante de atenua<;ao e a constante de fase na agua do mar, tendo u MHz. IR\iESPOSTAS

3,97, [3

4 S/m, er = 81, /1-r = 1 em 1

3,98 radlm = 228 graus/m.

As equagoes em (5.25) que govemam esses campos sao novamente equagoes diferenciais ordinanas, lineares, a coeficientes constantes, mas os coeficientes sao complexos (y). Contudo, isso nao muda a solugao basica, a qual e, separando a constante de propagagao em :Y a + j (3, (5.28a)

(5.28b)

As formas das solugoes para,os meios com perdas sao virtualmente identicas aquelas para os meios sem perdas e consistem em uma onda progressiva e uma outra retr6grada. Mas existem algumas diferengas importantes. Primeiro, observemos que os termos E!e-cc e E-;,e+cc sao as amplitudes das ondas progressiva e retr6grada, respectivamente. As perdas no meio introduzidas por uma condutividade nao-nula, u =/= 0, introduzem os termos e+o:::, que fazem com que as amplitudes das ondas progressiva e retrograda

Propaga~ao

de Ondas !> Jl.99

decaiam amedida que elas se propagam atraves do meio. Isso ereferido como a atenttafilO da onda. Segundo, mais uma vez nao podemos determinar a constante de propagagao sem proceder ao calculo de (5.26). Em outras palavras, (3 :f. w .fiii para a onda em urn meio com perdas. A terceira diferenga importante e que a impedancia intrfnseca nao e mais real, mas sim col?plexa em urn meio com perdas, e edada por

(jwp,) =

(u + jwe) TJL8Ti TJ eiB"

(5.29)

Assim, a impedancia intrinseca tern urn modulo e urn angulo. Usamos a importante equivalencia ML8 = Mei 0 para escrever o resultado de uma forma equivalente. Portanto, podemos reescrever (5.28) como

(.5.30a)

(5.30b) Observemos em (5.30b) que f] esta no denominador e, assim, quando trazemos o angulo para o numerador, trocamos o sinal:

Determine a impedilncia intrinseca do cobre a 1 MHz. SI.JJW~AO A condutividade do cobre e 5;8 X 107 S/m, e ~ permissividade relativa e a permeabilidade relativa sao

unitanas. Portanto, a impedilncia intrinseca e

f]=

(jwp.) (u

+ jws) ~27T : 10 X 1 X 6

5,8 X 107 ( =

+ j27T

7 )

X 106 X l X _l_ X 10- 9 )

367T s

(I)~

\h,36 X 10- 7 L90째

= 3,69 X

Assim, 1j = 3,69

~ 0'

47T: 10-

l0- 4L45째

10-4 e 811 = 45째.

Determine a impedilncia intrinseca da agua do mar (u = 4 S/m, sr = 81, P.r = 1) em 1 MHz. lflESiPOSTA f]

1,4L45째.

200 Ill> Capitulo Cinco

Os campos no domfnio do tempo sao obtidos a partir de (5.30) da forma usual (1) multiplicando por eiwt e (2) tomando a parte real do resultado:

= Re[(E~e-"ze-:Jf:!z + i;e"zejf3z)ejwt] = E,~e-a= cos(wt - f3z) + E;;;e"= cos(wt + f3z)

(5.31a)

(5.31b)

e assumimos que as constantes indeterminadas sao reais: E'!. = E'!.. Novamente, esses campos sao i:nuito similares aqueles em urn meio sem perdas, de forma que a solu91io geral pode conter duas ondas propagantes: uma progressiva e a outra retr6grada. Contudo, as duas principais distin9oes sao que as amplitudes decaem a medida que as ondas se propagam atraves de urn meio com perdas devido a presen9a dos termos eÂą"", e o campo magnetico 1-etarda o campo eletrico pelo angulo de fase da impedancia intrfnseca, 0'1. Por exemplo, encontramos no Exemplo 5.4 que o angulo de fase da impedancia intrfnseca no cobre a 1 MHz e 45Â°. Assim, o campo magnetico retarda o campo eletrico em 45Â°. A Fig. 5.3 ilustra esse decaimento em amplitude com a distancia, onde mostramos uma onda progressiva do campo eletrico para urn tempo fixo:

= E~e-az cos(wt - f3z) = E~e-"zcos(w(t-

(w~/3)))

Observe que a velocidade de propaga9ao no meio e (5.32)

Eimportante notar que, no caso de urn meio com perdas, a velocidade de propaga91io da onda nao e a mesma

v =I=--

VjiB

Figura 5.3 Atenuil(;lio da amphtude de uma onda plana uniforme amedida que ela se propaga atraves de urn meio sem perdas.

Propaga~;ao

de Ondas il> 201

que no caso de urn meio sem perdas. Para urn meio com perdas, devemos calcular a constante de fase como a parte imaginfuia da constante de propagagao como em (5.26) e entao calcular a velocidade de propagagao a partir de (5.32). De forma similar ao caso de urn meio sem perdas, podemos definir o comprimento de onda como a distancia que a onda deve percorrer para sofrer uma mudanga de fase de 27T radianos ou 360Â°. Como a constante de fase {3 fomece o deslocamento de fase por distancia, temos

ill

(5.33)

Novamente, como no caso de urn meio sem perdas, podemos calcular o comprimento de onda como (5.34)

mas devemos usar a velocidade de propagagao calculada a partir de (5.32).

Determine a velocidade de propagagao e o comprimento de onda no cobre a 1 MHz. :Si.GJW~~.I(iJ Como u = 5,8 X 107 S/m, er = 1, JLr

= l no cobre, obtemos, pelo exemplo 5.3, (3 = 1,51 X 104 radlm, de

forma que 211" X 106 1,51 X 104 = 416 m/s

0 comprimento de onda e 211" 1,51 X = 4,16 X 10- 4

A=----:-

l> IEXIE!ftC~CifOl

IDliE IRIEV!SAO 5.4 Determine a velocidade de propagagao e o comprimento de onda na agua go mar em 1 MHz. ~IESPO:STAS

~,,.

1,58

106 m/s, 1,58 m.

IEXEMIPLO 5.6 Escreva as expressoes no domfnio do tempo para os vetores campos eletrico e magnetico para uma onda se propaganda no sentido -z no cobre e tendo uma frequencia de 1 MHz.

:SIOJUJCAO A partir de (5.31) e dos resultados dos exemplos anteriores, obtemos E., = E;;;e 1â&#x20AC;˘51 x10"::; cos(6,28 X l06t

E-

_ _.:::m_ _ el,SlxlO":: 4 X

3,69

10-

cos(6 28 '

+ 1,51 X 104z)

106t

+ 151

104z- 45Â°)

Observe que, como os campos estao estipulados como se propaganda no sentido -z, o expoente da atenuagao, bern como o sinal na frente do termo de deslocamento de fase, sao positivos. Observe tambern que o sinal do angulo da impedancia intrinseca esempre negativo, ja que a impedilncia intrfnseca esta no denominador da expressao fasorial

202 U> Capitulo Cinco

para fly. Ainda, o sinal de HY e negativo, ja que.para essa onda se propaganda no sentido -z, E X lEI deve estar no sentido -z.

c> IEXIERCiC!O [!]IE RIE'\f~SAO 5.5 Escreva as express5es no dominio do tempo para os vetores campos eletrico e magnetico para uma onda se propaganda no sentido -z na agua do mar e tendo uma freqiiencia de 1 MHz. iRIE$fl!:»Slffi\$ Ex= E~e3•97" cos (6,28 X 10~ + 3,98z) Hy = (- E-m/1 ' 4)e3•97" cos (6 , 28 X 10~ + 3, 98z - 45") •

5.3 FLUXO DE POTENCIA EM ONDAS PLANAS UNIFORMES Considere urn a onda plana uniforme progressiva se propaganda em urn meio sem perdas. Os campos fasoriais escritos na forma vetorial sao (5.35a) (5.35b) Estaremos interessados no fluxo de potencia que e conduzido nessa onda. Em particular, na densidade de potencia media no tempo representando o fluxo de potencia real. Esta e similar apotencia media entregue a urn elemento de urn circuito a parfunetros concentrados. Por exemplo, considere o resistor mostrado na Fig. 5.4a. Os fasores tensao e corrente associados com os terminais sao denotados como V e!, respectivamente. A potencia media no tempo (ou, simplesmente, potencia media) entregue a ~sse elemento e

f.'-'IED =

9... Re(VI ")

.!_III 2R

(5.36)

lVI

+ II

(a)

l II

Z=ZLez

~ (b)

Figura 5.4 Comparac,;iio do calculo da densidade de potencia media em uma onda plana uniforme a um calculo similar para circuitos eletricos a parfunetros concentrados. (a) Analogi a de urn a onda plana em urn meio sem perdas. (b) Analogia de uma onda plana em urn meio com perdas.

Propaga~ao

de Ondas !> 203

onde o sobrescrito estrela indica o conjugado do numero complexo. Podemos similarmente determinar a densidade de potencia media na onda progressiva em (5.35) atraves do vetor de Poynting medio: 1

§MED

= -Re(JE X JB[") 2

W/m 2

(5.37)

Observe que a unidade des'se vetor e a unidade de potencia distribuida sobre a area de uma superffcie. Substituindo (5.35) nessa expressao, temos

(5.38)

Observe nesse resultado que o produto de um numero complexo pelo seu conjugado e o quadrado da magnitude: ErnE! = 1Eml 2• Note tambem que a exponencial no campo He positiva como requerido pelo conjugado daquele vetor campo. Observe que essa densidade de potencia e um vetor e esta dirigido no sentido +z. Esse e um resultado coerente, ja que a onda e propagante no sentido +z. Esse resultado indica que a potencia (real) media e conduzida pela onda, e essa potencia esta distribuida sobre o plano no qual os vetores campos estao contidos, o plano xy. Para determinar a potencia media total passando atraves de alguma area A desse plano, escrevemos

PMED =

§;,mo •

ds (5.39)

w Observe a similaridade desse resultado com aquele para o elemento do circuito a parametres concentrados em (5.36). Os paralelos sao notaveis. A principal diferen9a entre elementos de circuitos a parametres concentrados e campos eletromagneticos e que elementos de circuitos a parametres concentrados sao modelos que assumem que os campos estao confinados dentro do elemento e que nao existe nenhuma intera9ao com o restante do circuito, 'exceto com os terminais. Em seguida, considere uma onda plana uniforme progressiva propaganda em um meio com perdas. Os campos fasoriais escritos na forma vetorial sao

lE =

lHr = E"' e-o:=e -jf3=e -jO" a T/

(5.40a)

Eme -o:=e -:i/3= ax

(5.40b)

Observe novamente que as unicas diferen9as entre os campos em um meio com perdas e os campos em um meio sem perdas sao a presen9a dos termos de atenua9a0, e±"", e 0 angulo da impedancia intrfnseca (que e complexa em um meio com perdas, 7) = 'f/Le,), ei 8'1. 0 vetor de Poynting e similarmente obtido como

(5.41)

r 204 I> Capitulo Cinco

A potencia media passando atraves da area A no plano xy e entao

IEm 1 -2az COS (B'II )A _ --e PMED2

27]

(5.42)

Isso poderia ser comparado com a potencia mediaAentregue a urn elemento de circuito a parametros concentrados que tern uma impedancia complexa, Z = ZLB2 , como mostrado na Fig. 5.4b:

1 AA Prvmn= -Re(VI"') 2 liAJ>)~z cos(Bz) = 21

IVI 2 z cos(Bz) 2

(5.43)

A diferen<;a significativa entre essas duas expressoes e que a expressao para a potencia media na onda contem o termo e- 2"", que indica que a potencia esta sendo dissipada no meio amedida que a onda passa atraves do meio. ·

> IEXEMPLO 5.7 Uma onda plana uniforme de 1 VIm e 1 MHz esta se propaganda atraves de urn bloco de cobre. Determine a patencia dissipada no cobre em uma distancia de 1 J.Lm com area superficial de 2 m2• SIJili!JI~AIIil A constante de atenua9ao e a impedancia intrinseca foram determinadas nos Exemplos 5.3 e 5.4 como a = 1,51 X 104 e .ry 3,69 X IQ-4L45°. Assim, a potencia dissipada no bloco e a diferen9a entre a potencia entrando

no bloco e a potencia deixando-o usando (5.42): Pdissipada = PMEDI:=O -PMEDI:=lJJ.m A

!Em- cos (e )A - -Em (e )A - e -2alum ~- cos 27J '1 27J '1

i.E,.,i2 cos(e )A(1 27J

e-2alJJ.m)

1 cos(45o)(2 m2)(1- e-2xi,51xW'xiO-') 2 X 3,69 X 10- 4 57 w

lP EXERCiCIO DE,REVISAO 5.6

Uma onda plana uniforme de 10 VIm e 1 MHz esta se propaganda atraves da agua do mar. Determine a potencia dissipada em uma distancia de 1 mm com area superficial de 2 m2• RESPOSTA 0,4 W.

f;v· 5.4 PROFUNDIDADE PELICULAR Uma onda plana uniforme se propaganda atraves de urn meio com perdas (u :f:. 0) sofre uma atenua<;ao, de forma que sua amplitude e diminufda amedida que ela se propaga atraves daquele meio. Isso esbi ilustrado na Fig. 5.3 para uma onda progressiva (5.44)

Propaga~ao

de Ondas

205

A profimdidade pelicular ea distancia que a onda deve propagar para ter sua amplitude reduzida por um fatodgual a 1/e ou apmxim.adamente 37%. Pela expressao da onda acima, vemos que a profundidade pelicular e obtida fazendo az = 1, obtendo (5.45) onde denotamos a pmfundidade peliettlar como o. Classifi.camos os meios como sendo urn "bons condutores" ou "bons dieletricos" de acordo com quantas vezes a corrente de condu9ao na lei de Ampere e maior ou menor que a corrente de deslocamento. A lei de Ampere na forma fasorial e

VXH

lYE

corrente de

weE

(5.46)

corrente de deslocamento

condw;ao

Assim, chegamos acaracteriza9aO (J'

->>1 we

born condutor

(5.47a)

born dieletrico

(5.47b)

(J'

-<<1 we

Se o meio eurn born condutor, podemos determinar urna aproxima9ao para a constante de atenua9ao. A constante de propaga9ao para urn born condutor e

a+ j{3

= V(jwJ.L)(u + jwe)

= vy;;;;;;. Âˇ=

(5.48)

y;;;;;; L 45Â°

ff + ff j

hom condutor u >>we

...___,_._...

._____,_._...,

Assim, identifi.camos a profundidade pelicular como

o=-a1 =

(5.49) 1

v:;;j;;;;

Observe que a profundidade pelicular diminui como aumento da freqiiencia a uma taxa da raiz quadrada da freqiiencia. A profundidade pelicular para diversas frequencias e dada para urn condutor de cobre (u = 5,8 X 107 S/m) na Tabela 5.4. Assim, as constantes de atenua9ao e de fase para urn hom condutor podem ser escritar, em termos da profundidade pelicular: 1

a={3=-

= Y1T}'jia

(5.50) hom condutor

> > we

206 !> Capitulo Cinco

'ii'ABIE!.A 5.1,1 Proflllndidade Peiicular no Cobre Freqiiencia lf) 60 1 10 100 1

Hz MHz MHz MHz GHz

Profundidade pelicular 8,53 66,1 20,9 6,6 2,09

mm J.Lffi J.Lffi J.Lill J.Lni

A impedancia intrinseca para urn born condutor pode tambern ser escrita em termos da profundidade pelicular para urn born condutor:

'Y)=

~Âˇwp. cr +jwe (5.51)

Assim,

7]=-L45 CTO 1 = -(1 + j) CTO

(5.52)

hom condutor cr>>we

0 significado pnitico da profundidade pelicular eque correntes em condutores tendem a ser confinadas predominantemente a poucas profundidades peliculares da superftcie daquele condutor. Por exemplo, considere urn grande bloco de urn hom condutor ilustrado na Fig. 5.5. Uma onda plana uniforme esta se propaganda para dentro do condutor com o campo eletrico tangente asuperficie do condutor. Assim, o campo eletrico edado por

Bom condutor

Figura 5.5 Ilustragao da atenuagao de uma onda se propaganda em urn born condutor e profundidade pelicular.

Propaga!;ao de Ondas I> 207

= E0e-~ cos(wt -

z2::0

(5.53)

onde substituimos a= {3 1/o naforma geral dada em (5.44), e Eo e a amplitude em z = 0 (a superficie). A corrente associada com esse campo e

]x = erE:r

=erE~-~ cos(wt- ~)

(5.54)

Assim, a corrente induzida decai com a distancia ao condutor. A maior parte da corrente existe dentro de poucas profundidades peliculares da superficie. Esse importante fato e utilizado em inumeras situag6es praticas. Por exemplo, considere a construs;ao de uma linha de transmissao de energia de alta tensao, operando em 60 Hz. Existem duas considerag6es primordiais no projeto dessas linhas condutoras. Primeiro, o metal escolhido deve ter resistencia para suportar os longos vaos entre as torres de sustentas;ao das linhas. Segundo, o metal escolhido deve ter uma boa condutividade para reduzir as perdas ohmicas. Pelo ponto de vista da resistencia, o ago e uma ops;ao 6bvia, mas possui uma condutividade apenas de urn decimo dado cobre (era<;o = 0,1ercabre), como mostrado na Tabela 5.2. A solugao para isso e usar urn nucleo de ago para fornecer resistencia eo envolver com uma cobertura de melhor condutividade, tal qual o alumfnio, como mostrado na Fig. 5.6a. As correntes em 60 Hz irao fluir pl;i.ncipalmente pela cobertura de alumfnio, se sua espessura for de poucas profundidades peliculares. A profundidade pelicular do alumfnio (era!umlnio = 0,61ercabre) em 60Hz e 1,1 em. Assim, para uma cobertura com espessura de poucos centfmetros, a maior parte da corrente esta confinada na cobertura de alumfnio e muito pouco ira penetrar no nucleo de ago. Outra importante aplicagao do conceito de profundidade pelicular e na construs;ao de gabinetes (carcagas) blindados. "Blindagens" sao usadas para isolar equipamentos eletronicos, para prevenir que emissoes de urn interfiram em outros. Urn exemplo e a sala blindada ilustrada na Fig. 5.6b. 0 equipamento eletronico sensfvel e abrigado dentro da sala blindada para protege-lode campos eletromagneticos gerados, por exemplo, por urn radar de varredura eletronica que esteja fora da sala. Os campos do radar irao atingir a parede blindada e induzir correntes na parede. Contudo, se a espessura da parede condutora for da ordem de vanas profundidades peliculares, a corrente induzida na parte extema ira decair significativamente antes de atingir o outro lado da parede, reduzindo assim o seu nfvel e prevenindo sua recepgao pelo equipamento eletronico dentro da sala. Se o transmissor e urn radar operando em 3 GHz e as paredes da sala sao construfdas de ago (err= O,lercuâ&#x20AC;˘ f.Lr = 2000), uma espessura de O,l7j.Lm constituiria duas profundidadespeliculares. EclaJ:"<:Jqu~~ ~sp~~s-~a d~pai~~~-s~!i_~_~s~~!lli_d_~~<:)!:llO sendo muito maioi: do que isso porraz6es estruturais, mas isso ilustra a atenuas;ao do campo devido ao conceito de

28 Cobertura de aluminio (a)

!. --- L

' (b)

Fi!llura 5.6 Ilustras;ao de urn uso pnitico do conceito de profundidade pelicular. (a) Construs;ao de urn cabo de energia em alta tensao. (b) Protegendo dispositivos eletronicos sensfveis de campos eletromagneticos extemos com urn gabinete blindado.

..,..!

208 I> Capitulo Cinco

G cc

Alta frequencia fw>O

r(~)

Figura 5.7 flustragao do efeito pelicular fazendo a resistencia de alta freqiiencia de urn fio aumentar com a raiz quadrada da freqiiencia.

profundidade pelicular. A ideia de "eficiencia da blindagem" de gabinetes (carcagas) sera discutida em mais detalhes na Segao 5.7, Aplicagoes em Engenharia. Outra aplicagao do conceito de profundidade pelicular esta ilustrada na Fig. 5. 7. Um fio (condutor de segao reta circular) de raio rw e mostrado. Em cc, a corrente sera uniformemente distribuida sobre a segao reta do fio. Assim, a resistencia cc por unidade de comprimento e l

rcc

= --9

0/m

a7Tr~v

Amedida que a frequencia da corrente aumenta, a corrente ira concentrar-se mais proximo da superfi-

cie do fio, como ilustrado na Fig. 5. 7. Em altas frequencias, onde o raio do fio eda ordem da profundidade pelicular, a area seccional ocupada pela corrente emenor, resultando numa resistencia de alta frequencia por unidade de comprimento de l

r: - - - hf- a27Trw5

fl/m

Como a profundidade pelicular e

Y7iJiW

l oc-

a resistencia de alta freqiiencia aumenta a uma taxa de Assim, acima da frequencia onde o raio do fio eda ordem de duas profundidades peliculares, a resistencia por unidade de cqmprimento do fio comega a aumentar drasticamente e a resistencia de alta freqiiencia do fio excede muito sua resistencia cc.

~;. 5.5 INCIDENCIA NORMAL DE ONDAS PLANAS UNIFORMES EM MATERIAlS DE FRm~TElRAS

PLANAS Investigaremos agora a reflexao e a transmissao de uma onda se propaganda em urn meio que tern uma incidencia normal asuperficie de outro meio. Consideremos dois meios sem perdas, mostrados na Fig. 5.8. A fronteira entre os dois meios esta situada no plano xy com o eixo coordenado z apontando para o meio 2, como mostrado na Fig. 5.8. Uma onda plana uniforme incide sobre o meio 1, que ecaracterizado por 81 = Br1Ba e ILl = ILrlf.Lo> normal asuperffcie do meio 2, que ecaracterizado por Bz = Br2Bo e JLz = f.Lrzf.LoÂˇ A forma fasorial dos campos para essa onda incidente e (5.55a)

~--

------

-----~ ----~-~------路--路

Propaga~ao

)(

de Ondas

209

l'vleio2

e'L,~-

---v-JE'

Figura 5.11 llustra<;;ao da reflexao e da transmissao de uma onda plana路 uniforme com incidencia normal asuperffcie entre dais meios sem perdas.

E~ 7Jl

Ht A

'{3

(5.55b)

= -e-J '"

onde a constante de fase e a impediincia intrfnseca do meio 1 sao

(5.56a)

(5.56b)

Urna por9ao des sa onda incidente sera refletida na fronteira. N6s nos referimos a essa onda como a onda rejletid(l tendo a forma fasorial (5.57a) e E~

路{3-

= --el

7Jl

(5.57b)

Observe o sinal do termo exponencial; ele deve ser positivo, ja que ela esta se propaganda no sentido -z. Similarmente, o campo magnetico esta dirigido no sentido -y, de forma que o flmo de potencia, JEr X Hr estara no sentido -z. Uma por9ao da onda incidente sera transmitida sabre a fronteira para o meio 2. N6s nos referimos a essa onda como a onda transmitida, cuja forma fasorial e (5.58a) e

fit y

= ___!!!:.e-if3ez

7J2

onde a constante de fase e a impedfu:icia intrfuseca do

(5.58b)

mefo 2- sao (5.59a)

210 I> Capitulo Cinco

(5.59b)

Concluimos que nao haver:i uma onda retr6grada no meio 2, ja que ele se estende ate o infinito; e, assim, nao existe nenhuma fronteira mais adireita para produzir essa onda refletida. A amplitude do campo eletrico incidente, E~, e admitida como sendo conhecida. Ela e devida a alguma fonte distante, tal como urn radar, e pode ser calculada, como veremos quando considerarmos antenas no Capitulo 7. Assim, existem apenas dois valores desconhecidos: as amplitudes dos campos eletricos refletidos e transmitidos, E~ e Etm. Para determinar esses valores, necessitamos de duas condigoes. Essas condigoes sao as condigoes de fronteira. Como os campos eletricos tangenciais devem ser continuos sobre a fronteira, obtemos, a partir de (5.55a), (5.57a) e (5.58a) calculadas em z = 0: E~+E~=E~

(5.60)

Similarmente, os campos magneticos tangenciais devem ser continuos sobre a fronteira. Calculando (5.55b), (5.57b) e (5.58b) em z = 0, temos

gm 'YJI

(5.61)

'YJI

Resolvendo (5.60) e (5.61) em termos da amplitude do campo eletrico incidente, E~, obtemos o coefici-

ente de rejlexiio

r = TJ2- TJI + 'YJI

'YJ2 E~!

(5.62)

e o coeficiente de transmissiio 21']2

T=---'YJz

+ 'YJ1

(5.63)

Observe que os coefi.cientes de reflexao e transmissao estao relacionados por (5.64) Urna vez calculados os coeficientes de reflexao e transmissao, podemos determinar as amplitudes (magnitude e sinal) das ondas refletida e transmitida a partir da amplitude da onda incidente (que e considerada como sendo conhecida):

(5.65) e

(5.66) As formas fasoriais dos campos sao

(5.67a)

Propaga!fao de Ondas 1> .2Jl.Jl.

{!_i = E;n e-j{3,: !J

(5o67b)

711

F;rr = fE;meif3,z

(5o68a)

E~ '{3,: Hr = -f-eJ

(5068b)

711

ff.t:r = TE;me-:if3i=

(5o69a)

fit = TE~, e-:if3,;.

(5o69b)

712

As formas completas no domfnio do tempo dos campos sao

= fE~ cos(wt + {31z)

E~ (wt + {3 1z ) = -f-cos

711

V/m

(5070a)

Aim

(5070b)

V/m

Aim

(507la)

(5o7lb)

I E~ = TE~ cos(wt- {3 z)

V/m

(5072a)

E~ = Tcos(wt -

Aim

(5072b)

712

f327-)

Observe o importante sinal negativo na eJcpressao para o campo magnetico refletido em (50 68b) e (50 71 b) 0 Esse sinal negativo e essencial, pois o fluxo de potencia dado por lE X H deve estar no sentidb -z, ja que a onda refletida esta se propaganda no sentido -z 0Note tambern que 71 e {3 apropriados para a regiao na qual a onda esta se propaganda devem ser usados nessas express6es. Observe em (5o62) que, se 712 < 711, entao o coefi.ciente de reflexao sera urn numero negativoo .Assim, o campo eletrico refletido em (5068a) e (5071a) estara dirigido no sentido -x. Urn procedimento recomendado que ira sempre produzir os sinais corretos e

1 primeiro calcular e T; .2 entao escrever as express6es para os campos eletricos onde a magnitude e o sinal sao os produtos dos coefi.cientes de re:flexao e transmissao pelo campo eletrico incidente, como mostrado em (5065) e (5066); 3 e, fi.nalmente, escrever as express6es dos campos magneticos dividindo os campos eletricos pela impedancia intrinseca apropriada e garantir que o sinal e tal que o :fluxo de potencia, lE X H, esta Âˇ no sentido apropriado para aquela ondao

212 I> Capitulo Cinco

> IEXEMPLO 5.8

Uma onda plana uniforme de 100 V/m e 100 MHz esta se propaganda no vacuo e tern uma incidencia normal a superffcie de urn matelial tendo er = 9 e 1:1-r = 4. Escreva as expressoes completas para os campos eletlico e magnetico incidente, refletido e transmitido.

sowcAo Com base na de:(Ilonstragao anterior, OS parfunetros sao 71o

'T/1

377fl 'T/2 =

71o~ 2 311o

251,33fl

(3 = 21T X 108 - - -8 1 3 X 10

321T

radianos/m

\I'4X9

27T X 108 - - -

f32 =

3X = 41T radianos/m

Os coeficientes de reflexao e transmissao sao, entao, calculados como

2 "3'Tlo- 71o

f=--2 311o

+ 'T/o

1 5

= --

2-7) 3 '10 T=--2 311o + 'T/o 4

Observe que 1 + = T. Assim, OS campos incidentes sao

E~ = 100 cos( wt - 2: z) = 100 cos(6,28 X 108t - 2,09z)

2 7T z\ .3 ) = 0,27 cos(6,28 X l08t - 2,09z) 100

H1 = y

'TJo

V/m

cos(wt ,

Aim

Os campos refletidos e transmitidos sao E~ = fE~ =

27T ) -51 X 100cos( wt + 3z

= -20 cos(6,28 X l0 8t

E~ ( Hr =--cos y

7Jo

27T ) wt + _, 3 N

+ 2,09z)

VIm

Propaga~ao

-;:~cos( wt +

2 ; z)

0,053 cos(6,28

lOst + 2,09z)

de Ondas !:> 213

Aim

E~ = TE~ = =

Ify =

54 X 100 cos(wt 80 cos(6,28 Et

~ cos(wt

47Tz)

X l08 t -

12,57z)

VIm

- 47TZ)

112

= 2cos(wt- 47TZ)

31Jo =

0,32 cos(6,28 X lOst - 12,57z)

Aim

,.'

iÂˇ

Uma onda plana uniforme de 10 VIm e 5 MHz propagando-se no vacuo tern uma incidencia normal na superficie de urn material sem perdas tendo er = 1 e JLr = 16. Escreva as expressoes completas para as ondas incidente, refletida e transmitida.

E~ = 10 cos(3,14 X 107 t

- O,l05z) VIm, H~ = 0,0265 cos(3,14 ~ 107t - 0,105z) A/m, E~ = 6 cos(3,14 X 10 t + O,l05z) V/m, Wy = -0,0159 cos(3,l4 X 107 t + O,l05z) A/m, E~ = 16 cos(3,14 X 107 t - 0,419z) VIm, H~ = 0,0106 cos(3,l4 X 107t 0,419z) A/m . 7

I l.

De acordo com a conserva<;:1io da energia, o fluxo de potencia media no tempo sabre a fronteira deve ser conservado. Isso pode ser demonstrado facilmente. Primeiro, escrevemos a express1io fasorial para os campos totais no primeiro meio, z < 0, na forma vetorial como

lEI

rtÂˇ: l

'..

[E~

+ E~] a, = E~[e-if31z + feif3J.Z]a,

(5.73a)

(

(5.73b)

Similarmente, escrevemos as expressoes fasoriais para os campos totais no segundo meio, z > 0, na forma vetorial como

(5.74a) e

(5.74b)

0 vetor de Poynting no primeiro meio e

214 t> Capitulo Cinco

(5.75)

Observe que o terrno do meio,j2Fsen(2{31z), e imagimirio, de forma que, quando tomamos a parte real, esse termo 0 e descartado. 0 vetor de Poynting no segundo meio e

(5.76)

E facil mostrar que (5.77) e, assim, o fluxo de potencia media sobre a superficie e conservado como deveria. ~"'

EXEMPLO 5.9 Mostre que a potenciamedia e conservada para o problema do Exemplo 5.8.

SOWCAO No Exemplo 5.8 determinamos que r = -115, T = 4/5, 7J1 377 !1, 7J2 = 251,33 !1. 0 campo eletrico incidente tern magnitude de 100 V/m. Assim, a densidade de potencia media naonda incidente e

S~mo=

(

E,i )2

-27Jl 13,26

W/m 2

A densidade de potencia media na onda refletida e ~mo=

(E~,)2

-27Jl

= 0,53

W/m2

Assim, a densidade de potencia media total nessa regiao e

SMED,~ = S~!ED- S~!ED =

13,26 - 0,53

= 12,73 W/m2 (E; )2 = -"'-[1- f 2 ] 27]1

Observe que a densidade de potencia total e a soma das densidades de potencia da8 ondas incidente e refletida mas a densidade de potencia refletida deve ser subtraida, ja que essa onda esta se propaganda no sentido -z. A densida~ de de potencia total na segunda regiao e apenas aquela contida na onda transmitida:

Propaga~ao

de Ondas !l> 215

sMED.z = s~mo

T2(E:n)2 27)z = 12,73

Verifique se a conservac;;ao da potencia media e cumprida para o Exercfcio de Revisao 5. 7.

Na sec;;ao anterior, consideramos uma fronteira entre dois materiais sem perdas. Nesta sec;;ao, iremos modificar aqueles .resultados para o segundo meio sendo urn born condutor tendo parametros Br2, f.Lr2 e condutividade u2, de forma que u 2 :il> wsr2, como ilustrado na Fig. 5.9. As Unicas modificac;;oes dos resultados anteriores sao que a constante de propagac;;ao no meio 2 tern uma parte real representando atenuac;;ao da onda transmitida e a impedancia intrfnseca do meio 2 e agora complexa. Esses resultados foram obtidos para bons condutores nas Equac;;oes (5.50) e (5.52): a:2

= f3z A

1J2

= -;- = V77ff.L2a:2

(5.78a)

= -~-L45 0'2u2

(5.78b)

Assim, (5.79) onde 1)2 =

J2 I( u o e 0 2 2)

712

= 45°. Os coeficientes de reflexao e transrnissao sao agora complexos:

t = Tj2- 1Jl Tj2 + 1Jl = f LOr

(5.80)

T = _ 2Tj2 _:.::__ Tj2 + 1Jl = TLOr

(5.81)

= feJOr i.

= TeJOr I

tI I I

II i ,I

\ I

l I

I f

Meio 1 (sem perdas) e1, f.11

Meio2 (bom condutor) a2,e2, f.12 a2 » roe2)

E'L ~·' Area A

...

···'

Figura 5.9 ilustrac;;ao da reflexao e da transmissao de uma onda plana unifonne com incidencia normal asuperficie entre urn meio sem perdas e urn born condutor.

216 f> Capitulo Cinco

As formas fasoriais da onda transmitida se tornam

= TE~e -a,z e-j/3,=

(5.82a)

= TE~te -~e -j~ei8r

(5.82b)

Observe algumas diferen<;as importantes entre essas ex:pressoes e aquelas para urn segundo meio sem perdas dadas em (5.69). Como estamos considerando o segundo meio como sendo urn born condutor, que tern perdas, essas ex:pressoes contem a atenua<;ao da amplitude como e-a2= = e-::182, que e escrita em termos da profundidade pelicular para aquele meio. Segundo, como o coeficiente de transmissao e agora complexo (porque a impedancia intrinseca do segundo meio e complexa), ele tern urn angulo que e representado nessas ex:pressoes pela ex:ponencial complexa eifir . Terceiro, como a impedancia intrinseca e complexa, ela tambem apresenta urn angulo representado pela ex:ponencial complexa e-jO'I2 na eAJ>ressao para o campo magnetico. As ex:press6es para as ondas incidente e re:fletida no primeiro meio (sem perdas) sao essencialmente as mesmas de antes, exceto que o coeficiente de reflexao e complexo e tern urn angulo de fase. Essa mudan<;a e representada pela ex:ponencial eifir nas ex:pressoes das ondas refletidas. Assim, (5.83a) .

(5.83b)

(5.84a)

(5.84b)

Observe que os campos transmitidos sao atenuados amedida que eles se propagam atraves do segundo meio, como indicado na Fig. 5.9. Assim, a potencia esta sendo dissipada na superficie daquele meio. Podemos determinar a potencia perdida em urn bloco de area superficial A e profundidade d calculando a potencia, media entrando no bloco e subtraindo da potencia media deixando o bloco. A densidade de potencia media em urn born condutor e

(5.85)

Assim, a potencia media dissipada.nesse bloco de material de area superficial A e p;ofundidade d e

Propaga~ao

de Ondas D> 2Jl. 7

(5.86)

:> lE){IEMIPUJl 5.10 Uma onda plana urrlforme de 10 V/m e 1 MHz esta se propaganda no vacuo e atinge urn grande bloco de cobre com uma incidencia normal em sua superficie. Determine a potencia dissipada no bloco de cobre tendo uma area superficial de 2 m2 e uma espessura igual a 1 profundidade pelicular. $(Q)W~AIDJ Nos Exemplos 5.3 e 5.4, calculamos as constantes de atenuac;;ao e de fase e a impedancia intrfnseca do cobre em 1 MHz como

I I

a 2 = (3 2 = 1,51 X 104 1}2 = 3,69 X l0- 4L45°

e 7JJ = 7Jo = 377 n. Assim, 0 coeficiente de transmissao e

27]2 7]2 + 7Jl = 1,96 X 10-6L45°

--\f.

Assim, a expressao da potencia media e

_ (Ei )2 Tz_m_ e-2f,.COS (6 11, )A

PMED

27J2

Assim, a potencia dissipada e

pdissipada

7,34

10-7 (1 - e- 2)

0,637

·~I

JJ.W

l> IEXIERC[CJO IDliE RIEViSAO 5.9

~·

II I t f

I'r. ·

I· ~·

Uma onda plana urrlforme de 100 VIm e 1 MHz esta se propaganda no espac;;o livre e atinge superficie do oceano normal asua superficie. Determine a potencia dissipada em uma regiiio daquela agua do mar tendo uma area superficial de 10m2 e uma espessura de 1 profundidade pelicular. RIESIPOSTA 1,2 W.

Se o segundo meio e urn hom condutor, a impedancia intrfnseca e muito pequena. Assim, o coeficiente de reflexiio sera aproximadamente

f = 112- 'T/1 112 + 'T/1 == - l

(5.87) 712 « 711

Assim, quase todo campo eletrico incidente e refletido e apenas uma pequena parte etransmitida

112 «

'T/1

0 campo eletrico total no p~eiro meio e a soma das ondas incidente e refletida:

(5.88)

:.,

..... 218 I> Capitulo Cinco

Meio 1

rot= 37tl2

2E~

-----

-2E~

(a) Campo eletrico

rot=O

Born condutor

(b) Campo magnetico

figura5.11l Ilustragao das ondas estaciomirias criadas pela incidencia normal de urna onda plana uniforme na superfide de urn born condutor. (a) 0 campo eletrico total e nulo na superficie e assume valor zero novarnente ern rnUltiplos de rneio comprimento de onda a partir da fronteira. (b) 0 campo rnagnetico total e nulo ern multiples frnpares de urn quarto de cornprirnento de onda a partir da fronteira.

:El = cÂŁ~ + E~)ax = E~(e-jf3,z + feif3,z)ax == Eim (e-jf3,z

eif3,z)ax

....____.,_____ -2jsenf3 1z

(5.89)

= -2jE~senf3 1zax 0 campo no domfnio do tempo e

= Re [Elejwt] = Re[ -2jE~senf3 1zeiwt]~ = 2Emsenf3 1zRe( -j(coswt +jsenwt))B.x = 2E~senj3 1zRe0enwt- j

(5.90)

coswt)a,;

= 2Elnsenf3 1zsenwt~

Observe nesse resultado no domlnio do tempo que o campo eletrico esta distribuido em relagao adistancia como urn envelope 2 E~ sen(f31z) eo envelope oscila como sen(wt). Isso e dito como sendo uma onda estaciondria no sentido de que nao ha mais movimento; o envelope simplesmente pulsa. Isso esta mostrado na Fig. 5.10a. 0 envelope de uma onda pode ser escrito, substituindo /31 = 2TT/'Ah como sen[2TT(z'A1) ]. Esse envelope tern zeros em mUltiplos de meio comprimento de onda a partir da fronteira: z = 0, - A/2, - A1, -3A/2, .... Os maxunos de 2E~ ocorrem em mUltiplos impares de urn quarto de onda a partir da fronteira: z = - A/4, -3A/4, .... 0 campo magnetico fasorial e

Propaga~ao

de Ondas IP 219

(5.91)

e o campo no dominio do tempo e E~t H 1 = 2- cosf3 1z coswt ay 711

(5.92)

0 campo magnetico e tambern uma onda estacionana, e seu envelope tambern varia com a distancia da fronteira como 2(E~/7] 1 ) cos ({31z) = 2(E:,,7]1) cos (2m/A1). Assim, o envelope tern zeros em mUltiplos fmpares de urn quarto de comprimento de onda a partir da fronteira: z = - A/4, -3A/4, ... e maximos em mUltiples de meio comprimento de onda a partir da fronteira: z = 0, - A/2, - A1, -3A/2, .... 0 comportamento do envelope do campo magnetico e oposto ao do envelope do campo eletrico; onde urn zero ocorre para o envelope do campo eletrico, urn maximo ocorre para o envelope do campo magnetico, e vice-versa.

Uma onda plana uniforme propagando-se no vacuo incide normalmente asuperffcie de uma grande lamina de cobre. 0 campo eletrico total ezero a uma distancia de 3 em da superffcie da liimina de cobre. Determine as possfveis frequencias da onda. Âˇ

iliESPIOS'Ii'A 5 GHz, 10 GHz, etc. ~,.

5.6 LEIS DE SNELL A discussao anterior assumiu que a onda incidente era normal ainterface entre os dois meios. Nesta se9ao;investigaremos ondas planas uniformes que incidem na interface entre doismeios sem perdas com algum angulo arbitrano de incidencia. Considere a Fig. 5.11, que mostra isso. A onda incidente tern urn angulo de incidencia, 0;, que e medido a partir de uma linha perpendicular afronteira. Similarmente, OS angulos da onda refletida, e,., e da onda transmitida, et, sao tambern medidos a partir da perpendicular a fronteira. As leis de Snell relacionam esses angulos. Lembre-se de que ondas planas uniformes tern pianos de fase constante (as frentes de onda) que sao perpendiculares adire9ao de propaga9ao da onda. Essas frentes de ondas estao mostradas como linhas tracejadas na figura. Quando cada ponto dessas frentes de onda atinge a interface, frentes de onda refletida e transmitida sao produzidas. Urn ponto da onda incidente atinge a interface no ponto 0. Mais tarde, urn ponto na frente de onda atinge a interfaqe no popto 0'. As ondas refletida e transmitida sao produzidas a partir destes dois pontos. As frentes de onda das ondas incidente, refletida e transmitida sao denotadas por ODi, O'Dr e O'Dt, respectivamente. 0 tempo que a onda incidente leva para propagar-se de D; ate 0' e o mesmo tempo que a onda refletida leva para propagar-se de 0 ate Dr, que tambem eo mesmo tempo que a onda transmitidaleva para propagar-se de 0 ate Dt. As ondas incidente e refletida propagam no meio 1 com velocidade v 1 = Âˇvj~ 11-rl s, 1 e a onda transrnitida pr()paga 110 !1leio 2com velo~idadâ&#x201A;Ź) v2 = vj~ !l-r2 s,2 . Assim, D10'

OD''

OD1

(5.93)

onde DiO'' ovr e ODt sao as distancias entre OS respectivos pontos. Essas distancias podem ser relacionadas a uma distancia comum, 00', como

220 I> Capitulo Cinco ·

Meio 1

Meio2 e2, ll2

e1, P.1 ,\

.·;

·;.

'"·?_, ,""

/.' l x/ " ;!:••

·.,v

"'-'....

.•,

,..l9~o:~ ~~

"'··.'

Ql/

/1··"' z

~~ §

ro.'§ c;j .........

·~~

--,;

Frente ' , ( ·de fase "' .... , ' constante

__:;_;:

Figura 5.11 Ilustra~ao das leis de Snell para uma onda plana mrlfonne que incide obliquamente na fronteira entre dois meios sem perdas.

D10' = 00' cos(90° - 0;) = 00' sen01 ODr = 00' cos(90°- 0,.) = OO'senO,. OD1 = 00' cos(90° - Ot) = 00' senet

(5.94a) (5.94b) (5.94c)

Assim, obtemos as leis de Snell (lei de Snell da reflexao)

(5.95a)

(lei de Snell da refra<.;ao) ·

(5.95b)

As leis de Snell sao comumente usadas em 6ptica (ja que a luz e uma onda eletromagnetica). Em 6ptica, e comum caracterizar cada material pelo seu indice de refrayiio. 0 fndice de refra<.;ao de urn meio sem perdas e a razao entre a velocidade da lu:z e a velocidade de propaga<.;ao naquele meio:

(5.96) A maioria dos materiais de interesse sao nao-magneticos, f.Lr = 1, e, para esses materiais, a lei de Snell da refragao pode ser escrita em termos do fndice de refragao do material como sen 01 Ys;:;: n 1 sen01 = ~ = n2

(lei de Snell da refra<.;ao, JL1 = f.L2)

(5.97)

Propaga~ao

de Ondas t:t> 221

Fogamll5.12 Ilustragao do desvio da onda transmitida. (a) A onda transmitida para urn meio mais denso se aproxima da normal asuperffcie. (b) A onda transmitida para urn meio menos denso se afasta da normal asuperffcie.

Assim, as leis de Snell estabelecem que os angulos de incidencia e reflexao sao iguais e que o angulo de incidencia e o angulo de transmissao estao relacionados pelos-fndices de refra~ao dos dais materiais. Um material edito mais denso do que o outro se seu :fndice de refra~ao e maior que o do outro. A lei de Snell da refra<;ao em (5.97) mostra que Âˇuma onda incidente tende a se aproximar da normal, 81 < 8;, se ela passa pam ttm meio mais denso, n2 > n1â&#x20AC;˘ E o caso da'transmissao de luz para a agua, vidro, etc. Isso esta ilustrado na Fig. 5.12. Um importante caso especial ocorre.quando o angulo da transmissao e de goa, isto e, a onda transmitida se torna uma onda de superficie que se propaga ao longo da interface e nada dela penetra no segundo meio, como mostrado na Fig. 5.13. 0 angulo echamado de fingulo critico e e denotado por Oc. A partir de (5.97), vemos que esse angulo critico e dado por

(5.98)

IEXIEMU'>Ull5.U Considere o problema de usar uma fonte de luz subaquatica para iluminar uma porgao de agua, como ilustrado na Fig. 5.14. Sea luz e colocada a uma profundidade de 2m abaixo da superffcie, determine a area superficial de luz vista na superffcie. A permissividade relativa da agua em freqiiencias 6pticas ede 1,77.

!Figura 5.13 Ilustragao do angulo cr:ftico de incidencia.

222

i:::>

Capitulo Cinco

i 1.

路,,路路

..1 ' .

Figura 5.14 Exemplo 5.11; transmissao de uma fonte luminosa embaixo d'agua.

S[OW~AIDI Apenas a luz dentro do angulo do cone igual ao angulo critico sera transmitida. A luz incidente sabre a superffcie em urn angulo maior que o angulo critico sera totalmente refletida de volta para a agua. Entao, (5.98) fornece 0 angulo critico como

sen(O) c

vr:n

= --

de forma que

Assim, a area superficial iluminada e

Os resultados detalhados para campos eletricos e magneticos de ondas planas uniformes que incidem na fronteira em angulos obliquos sao dados no Apendice A.

5.7 APLICACOES EM ENGENHARIA Nesta se<;ao, mostraremos inumeras aplica<;5es praticas dos conceitos envolvendo a propaga<;ao de ondas planas uniformes. 5.7.1 Linhas de Transmissao

No proximo capitulo investigaremos a propaga<;ao de ondas em linhas de transmissao bifflares semperdas. Veremos que existe urn grande numero de paralelos entre路ondas transmitidas pelas linhas de transmissao e ondas planas uniformes que estudamos neste capitulo. De fato, a analogia entre as duas ondas ira fomecer diversas informa96es sobre as propriedades das linhas de transmissao. Considere urn par de condutores paralelos (assim como fios) que conectam uma fonte a uma carga, como mostrado na Fig. 5.15. Os vetores intensidades de campos eletrico e magnetico estarao situados num plano perpendicular ou transversal ao eixo (z) da linha. Assi?l, estas sao tambem ondas TEM. Ve-

--"\.r-->l(z, t)

+ V(z, t)

l(z, t)

711

--+z

Figura 5.15 Uma linha de transmissao conduzindo ondas planas.

Propaga~ao

de Ondas li> 223

remos que a tensao e a corrente consistem em ondas progressivas e retr6gradas. 0 fasor tensao entre os dois condutores pode ser escrito como (5.99a) e a corrente (indo porum condutor e retomando por outro) p9de ser escrita como

) = -v,~e1.- - -el v;;; ._ 13

I z

(5.99b)

onde Zc e dita a impedancia caracteristica da linha de transmissao. Compare (5.99) asoluc;:ao geral para as ondas planas uniformes em um meio sem perdas, dada em (5.13). Os paralelos sao atingidos: A

Ex#V

Hy#i 7J#Zc

Na carga, uma parte da onda incidente sera refletida. Esta e determinada pelo coeficiente de reflexao na carga:

RL- __;;_ Zc r L = ____ RL

+ Zc

Compare esse coeficiente de reflexao na carga com o coeficiente de reflexao na interface entre dois meios sem perdas, dado em (5.62):

= 7J2- 711

7J2

+ 7Jl

Na Fig. 5.15, desenhamos uma linha vertical separando a linha de transmissao da carga. Se fizermos as analogias 7Jl #Zc 7J2#RL

a correspondencia entre os dois coeficientes de reflexao se toma aparente. 0 resultado importante aqui e que, agora que investimos um tempo estudando ondas planas uniformes, podemos essencialmente transferir este conhecimento, com as formulas associadas, para garantir um entendimento imediato de linhas de transmissao.

Estudaremos a propagac;:ao de ondas por antenas no Capitulo 7. A uma distancia suficientemente grande da antena, veremos que as ondas propagadas pelas antenas assemelham-se a ondas planas uniformes. As ondas propagadas pelas antenas sao, na verdade, ondas esfericas, como quando atiramos uma pedra na agua .. Contudo, localmente elas aparecem a um observador como ondas planas uniformes, como ilustrado na Fig. 5.16. As ondas propagantes para fora sao, em coordenadas esfericas, da forma A

e-Jf3r

E0 = E m. r ~

Em e-j(3r

H ---q,- 7J r

r ! f

I I

(5.100a) (5.100b)

0 campo eletrico esta na direc;:ao 8 e o campo magnetico esta na direc;:ao </>, que e ortogonal ao campo eletrico. Observe tambem que o fluxo de potencia esta em lE X lfll: ยง ar ou direc;:ao radial, mostrando que a potencia esta sendo irradiada para fora da antena. Ainda, o campo eletrico e o campo magnetico estao relacionados pela impedancia intrinseca do meio no qual a onda esta se propaganda, que e normalmente o vacuo. Mais uma vez, veremos que muitas das propriedades da irradiac;:ao por antenas ja foram aprendidas, agora que investimos um tempo estudando as propriedades das ondas planas uniformes.

224 I> Capitulo Cinco

figumn 5.16 Ondas irradiadas a partir de uma antena sao ondas esfericas, mas aparecem a urn observador local como ondas planas uniformes.

5.7.3 ComR.mica~ii\o com Submarinos

Submarinos devem permanecer submersos par longo periodo de tempo para prevenir sua detecc;;ao. Isso representa urn problema para a comunicac;;ao com eles. As transmiss6es de radio para submarinos ocorrem em freqiiencias muito baixas, na faixa do kHz e abaixo, porque o oceano atenua mais acentuadamente as altas frequencias. Par exemplo, considere o problema mostrado na Fig. 5.17, onde uma onda associada a uma transmissao de radio e transmitida para o oceano. Desejamos determinar a atenuac;;ao do sinal (onda transmitida) recebido pelo submarino, que esta a umaprofundidade d abaixo da superficie do oceano. Em outras palavras, queremos determinar a razao entre a potencia da onda na localizac;;ao do submarino e a potencia da onda logo abaixo da superficie do oceano. Os parametros importantes que devem ser calculados sao a constante de atenuac;;ao e a impedancia intrfnseca do oceano. Na faixa dos kHz, a agua do mar tern parfunetros er = 81, JLr = 1, e (}" = 4 S/m. Em 1 kHz, a razao da Corrente de condugao pela Corrente de des}ocamento na agua do mar e

(}" I

we @I kHz

= 8,89

X 10Â°

Vacuo

Aguado mar

.Ur= 1 a=4s/m

e,= 81 Figura 5.17 Ilustrac;:li.o da comunicac;:ao com submarines. Baixas freqiiencias sao usadas para evitar uma grande atenuac;:li.o das altas freqiiencias pela agua do mar.

Propagagao de Ondas Ill> 225

e a agua do mar pode ser considerada urn born condutor. Similarmente, em 1 MHz a razao e

.!!_I we

= 8,89 X 102 @1MHz

de forma que a agua do mar ainda pode ser considerada um born condutor. Assim, podemos usar as aproxima\!6es para urn born condutor, dadas em (5.50) e (5.52) em termos da profundidade pelicular. Em 1 kHz, a profundidade pelicular e 1

o= V7iJilii I@1 kHz =

796 m '

Na profundidade d, a densidade de potencia da onda transmitida e t

(

E~.)2

SMED = - - e

-24

6 COS

...971

(0 ) 71

Assim, a razao entre a densidade de potencia logo abaixo da superficie do oceano (d de potencia na localiza\!ao do submarino (d) e

= 0) e a densidade

_SlviEDid=O = e24 ___:.:~

S~v!Eola

Em decibeis, essa atenuagao e Atenuagao (dB)

10 log 10 (e 2 ~)

d 10 (e ) = 205log d

8,68598 dB Para uma onda de freqtiencia de 1 kHz e uma profundidade de d = 30 m, a atenuac;;ao e Atenuac;;ao (1kHz, d = 30m) = 32,75 dB Assim, a densidade de potencia naprofundidade de 30 m e reduzida porum fator de 1882 em rela\!ao aquela logo abaixo da superficie do oceano. Para uma onda de frequencia de 100kHz, a profundidade pelicular e de 0,796 m, e, a uma profundidade de d =30m, a atenuac;;ao e Atenuagao (100kHz, d =30m)

Âˇ327,5 dB

Assim, a densidade de potencia na profundidade de 30m e reduzida por urn fator de 5,56 X 1032 em rela\!ao aquela logo abaixo da superficie do oceano! Isso realmente evidencia por que a comunica\!ao com submarines submersos requer o uso de frequencias muito baixas. Alem da atenua\!ao da onda a medida que ela passa pela agua do mar, parte da potencia da onda incidente e refletida nainterface ar-oceano. Se assumirmos que a onda incidente na superficie do oceano e uma onda plana uniforme, podemos calcular os coefi.cientes de reflexao e transmissao como

.ry2@1kHz= .ry2

71o

+ 71o

= -0,9998 e

= @1kHz

2-ry2

712

+ 71o

= 2,357 X 10-4 L45Â°

226 ill> Capitulo Cinco

onde a impedancia intrinseca da agua do mar em 1 kHz e h

1J2=

~ÂˇWJ.L2 -(]'2

= ~],-,2-7T_X_1_03.--:_4_7T_X_1_0-..7 4,443 X 10-2L45Â° Assim, lf'l2 = 0,9997 ou 99,7% da potencia incidente erefletida na interface. Isso reduz a potencia recebida pelo submarino.

5.7.4 Projeto de Radomes As aeronaves a jato modernas contam com radares de tempo para manobrar com seguran9a em tempo ruim. 0 radar de tempo eusualmente abrigado no nariz da aeronave e opera em freqi.iencias de poucos GHz. Urn radome plastico cobre a antena e garante o alinhamento da aeronave. Eevidente que precisamos minimizar o efeito da cobertura plastica sobre o sinal transmitido e recebido pelo radar. A espessura do radome pode ser escolbida de forma que ela seja transparente aos sinais do radar. Podemos modelar o radome como urn material de fronteira de espessura d, como mostrado na Fig. 5.18. A onda incidente da antena do radar e escrita na forma fasorial da maneira usual como

j};IX = E;111 8-j{3.z

f{i = E~, e-J/3.=. 1Jo

e as ondas refletida e transmitida sao escritas da maneira usual como

= ErmeJf3.z

jj;r x

E;n ., _ 1,.... = --e

h ,.

1Jo

e jj;t x

Et 8 -j{3.z m

E~ ., = -e;,...z

1Jo

transmitida

incidents

: t D~

refletida ar

ar --+-Z

Z=O

z=d

Figura 5.18 Ilustra<;:ao do projeto de urn radorne para abrigar urn radar de aeronave. A espessura do radorne e escolhida de forma que ele seja transparente na frequencia do radar.

Propaga~ao

de Ondas

227

onde se admite que o meio em ambos os lados da fronteira eo ar, de modo que as constantes de fase sao

f3o=w~ e as impedancias intrfnsecas sao

Isso e muito similar ao problema de incidencia normal na fronteira. Mas aqui temos duas fronteiras: o lado da frente eo lado de tras do radome plastico. Na parte intema do radome, haver::i ondas progressivas e retr6gradas, as quais escrevemos da forma usual como

onde o meio nessa regiao media e o plastico do radome, de forma que a constante de fase e {3=wv;;:e

e a impedancia intrfnseca dessa regiao e

As condigoes de fronteira sao, mais uma vez, que o campo eletrico tangencial e o campo magnetico tangencial devem ser continuos sobre cada fronteira. Para a primeira fronteira em z = 0, temos (a)Âˇ

e (b)

Na segunda fronteira, z = d, novamente grupamos os campos eletrico e magnetico tangencial, obtendo (c)

--E:.e -jf3d - _!!!:_ejf3d

= _!!!:_e -jf3.d 7Jo

(d)

Eliminando E~ e E~ de (a), (b), (c) e (d), temos (5.10la)

(5.10lb)

I rÂˇ

.,Âˇl

\ i

i. i

Combinando essas equag6es, obtemos o coefi.ciente de reflexao na fronteira esquerda E;~

F=( m

2jsen(f3d)

)

7Jo - 7J e-jf3d 7Jo + 7J

7Jo + 7J)ejf3d ( 7Jo - 7J

(5.102)

228 t:> Capitulo Cinco

e o coeficiente de transmissao (5.103)

Se n=123··· , , ' entao, sen({3d) = sen(n1r) = 0 e e-J2fid = e-12""' = 1, e (5.102) e (5.103) se tornam {3d=mr

{3d=

(5.104)

n7T

(5.105a)

{3d= n7T

(5.105b)

0 campo refletido na fronteira esquerda e nulo, e o campo transmitido e o campo incidente no radar deslocado em fase. Substituindo a rela<_;:ao entre a constante de fase e o comprimento de onda, {3 = 21T/ A, temos

A 2

=n-

= 1,2,3;··

(5.106)

Assim, se fizennos a espessura do radome um mUltiplo de meio comprimento de onda, onde o comprimento de onda ecalculado no material do radome,

d =n

2f~

= 1,2,3;··

(5.107)

entao o radome sera transparente ao sinal do radar. Por exemplo, para urn sinal de radar de 10 GHz e urn radome de material tendo J.Lr = 1, er = 6, obtemos espessuras transparentes de d = 6,12 mm, 12,25 mm, .... Por razoes estruturais, a espessura sera usualmente escolhida como muitos mUltiples de meio comprimento de onda. 5.7.5 Blindagem de Equipamentos Eletronicos

Gabinetes blindados sao usados para prevenir que urn sinal fora do gabinete interfira no equipamento eletronico dentro do mesmo ou para prevenir que urn sinal dentro do gabinete interfira em urn equipamento eletronico fora dele, como mostrado na Fig. 5.19. Uma fotografia de urna sala blindada emostrada na Fig. 5.19c. Considere que urna parede do gabinete seja urn hom condutor e tenha uma espessura t, como mostrado na Fig. 5.20. Isso e semelhante ao projeto do radome na se<_;:ao anterior, exceto que aqui desejamos ter uma reflexao consideravel do campo incidente para minimizar o campo transmitido. Mais uma vez, postulamos urn campo incidente que eda forma de uma onda plana uniforme de a.J.gum transmissor distante:

Havera urn campo refletido na superffcie do anteparo (barreira) condutor

Propaga~ao

de Ondas l3> 229

Dispositivo eletronico Blindagem

(a)

Dispositive eletronico Blindagem I

{b)

(c)

Figura5.19 Ilustra~tlio do uso de gabinetes blindados para proteger dispositivos eletronicos sensiveis dos campos eletromagneticos que poderiam interferir em sua opera~tlio onde (a) a fonte de interferencia esta fora da blindagem e (b) a fonte de interferencia esta dentro da blindagem. (c) Fotografia de uma sala blindada usada para teste de compatibilidade eletromagnetica (cortesia de ETS-Lindgren).

230 I> Capitulo Cinco

--0JE'

Figura 5.20 llustraqao do uso de urn anteparo na construqao de uma blindagem para prevenir a transmissao de uma onda eletromagnetica de alta freqiiencia potencialmente interferente.

1-t--_,.1 I

Z=O

Z= t

e urn campo transmitido deixando o anteparo condutor

Como o anteparo econdutor, as constantes indeterminadas, E~ e E~, serao, em geral, complexas (tern urn angulo). No anteparo, haveni ondas progressivas e retr6gradas, como no caso do radome. Contudo, existe uma importante diferen9a entre o problema do radome e o da blindagem. 0 radome foi considerado nao-dispersivo, mas a blindagem e dispersiva com condutividade u. Assim, escrevemos as ondas progressiva e retr6grada no anteparo condutor com perdas da forma usual como

onde a constante de propaga9ao no anteparo condutor e agora complexa, sendo

y = YjwJL(u + jwe) =a+ j{3 Supondo que o anteparo condutor e urn "hom condutor", as constantes de atenua9ao e de fase podem ser escritas em termos da orofundidade nelicular como antes. sendo ...

â&#x20AC;˘

a={3=-=~ ()

e a impedancia intrinseca dessa regiao e

Propaga~ao

de Ondas ll> 231

Desejamos obter a eficiencia da blindagem do gabinete, que e a razao entre as amplitudes do campo transmitido e do campo incidente:

EB=

l!tl

(5.108)

E comum expressarmos isso em decibeis (dB), como EBdB = 20 log10

I F}E~,~

(5.109)

Note que, em dB, a eficiencia da blindagem e comumente definida como a razao do campo incidente pelo campo transmitido em oposic_;!ao a (5.108). lsso e feito para dar aeficiencia da blindagem nlimeros positivos em dB, ja que o campo incidente sera maior que o campo transmitido. Uma eficiencia da blindagem de 40 dB significa que o campo incidente e reduzido porum fator de 100 amedida que a onda passa atraves (deixa) do anteparo. Podemos obter esse resultado a partir dos resultados do projeto de radome na segao anterior, exceto que substituimos as seguintes grandezas, ja que o anteparo tem perdas: 1)=?TJ 1 j{3=?y = h

+ j-

d=?t

Assim, as Equag5es (5.101) no problema do projeto de radomes se tornam (5.110a) (5.110b) A razao entre os campos incidente e transmitido em (5.103) se torna

(1Jo + fJ )2 [1 - (7Jo -fJ)2e -21.oe -J·~.t] -J'f3•eoe t t 1·1.o -~s e 4fJ7Jo · 1Jo + TJ

(5.111)

Torp,ando a amplitude desta, temos (5.112) Para obter um resultado mais simples, observe que a impedancia intrinseca do anteparo (bom condutor) e muito menor que a impedancia intrinseca do vacuo, fJ ~ 1)0 e, assim, o resultado em (5.112) pode ser simplificado para

I E~E 1-11)0 II[ -h-=t 4h1) m

. -21.oe1o -·21.]1 eot 1-e

fJ <<1)0 , bom condutor

(5.113)

Uma outra simplificagao pode ser feita se, como e uma pratica usual, o anteparo tem espessura de diversas profundidades peliculares: t>>o

(5.114)

Assim, (5.113) simplifica-se para

I E~E' 1-11Jo4-fJ 11. ~=-eo

fJ<<7J 0 , bom condutor, t >>o

(5.115)

232 e> Capitulo Cinco

Em decibeis, a eficiencia da blindagem se toma

(5.116)

0 resultado mostra que a eficiencia total da blindagem (em dB) e a soma de urn termo de reflexlio: Rds = 20 log10

I;~

(5.117)

e urn termo de absorf(ao: (5.118) 0 termo de reflexao considera reflexoes nas fronteiras da esquerda e da direita, enquanto o termo de absorgao considera a atenuagao das ondas, E1 e E2 , amedida que elas se propagam atraves do anteparo. Observe que apenas o termo de absorgao e afetado pela espessura da blindagem. A Fig. 5~21a mostra a 1 eficiencia da blindagem de urn anteparo de cobre de 20 mil (1 mil = in). Observe que o termo de 1000 reflexao domina abaixo de 2 MHz e o termo de absorgao domina aci:(Xla desta freqiiencia. A Fig. 5.21b . 1 mostra a eficiencia da blindagem de uma barreira de ago de 20 mil (1 mil = in). Observe que o 1000 termo de reflexao domina abaixo de 20 kHz e que o termo de absorgao domina acima desta frequencia. Assim, blindagens de baixa freqiiencia contam com a reflexao nas duas fronteiras, enquanto blindagens de alta freqiiencia contam com a atenuagao das ondas amedida que elas passam atraves do anteparo e, assim, requerem anteparos de espessura muito maior que a profundidade pelicular para garantir essa atenuagao. Essa eficiencia da blindagem e uma grandeza algo ideal. Quaisquer penetragoes, como fios, buracos e feixes, podem reduzir bastante a eficiencia da blindagem de urn gabinete blindado. Isso ocorre porque penetrag5es em uma blindagem, tais como fios, sao tratadas com filtros para prevenir que sinais eletronicos nao-desejados deixem 0 gabinete blindado.

5.7.6 Riscos das Microondas Saiide

Os campos eletromagneticos podem ter efeitos adversos sobre o corpo humano. Na faixa de frequencias do GHz, existem inlimeras fontes de ondas que podem ter efeitos deteriorantes sobre o corpo humano. Fomos de microondas operam em freqiiencias em tomo de 2 GHz, enquanto radares de alta potencia transmitem quilowatts de potencia na faixa de frequencias do GHz. Os efeitos desses sinais sobre o corpo humano sao predominantemente causados pelo aquecimento da pele. Organismos reguladores nos Estados Unidos' geralmente estabelecem niveis "seguros" de densidades de potencia desses campos na faixa do GHz que variam de 1mW/cm2 a 10mW/cm2â&#x20AC;˘ Uma densidade de potencia de 10 m.W/cm2 e equivalente a uma densidade de potencia de 100 W/m2 â&#x20AC;˘ Considerando que a onda incidente e uma onda plana uniforme carregando essa densidade de potencia, a amplitude do vetor campo eletrico seria de 274,6V/m. Como exemplo, considere uma nnda plana uniforme de 2 GHz tendo amplitude de 274,6 V/m que incida sobre a superficie do corpo. Trataremos esse problema como a interface entre o espago livre e urn plano semi-infinito representando o corpo, e determinaremos a potencia dissipada pelo corpo. Nessa freqiiencia, os parametres do corpo sao da ordem de (}' 1,5 S/m, er 50 e f.Lr = 1. 0 problema e essencialmente aquele descrito anteriormente na Fig. 5.9, onde o meio 2 eo corpo humano. Contudo, o corpo humano nessa freqiiencia nao e urn born condutor, como evidenciado por

-(}'I

we @2 GHz

=027 '

Propaga~ao

de Ondas D> 233

Eficiemcia da blindagem em dB (cobre de 20 mil)

co~ E Q)

250

perda por reflexao c perda por absorgao x

200

l1l "0

.5: ::0

150

l1l

·ol1lc: ·o <Q)

100 50 0 0,01

0,1

1000 10 100 Frequencia (quilohertz) Eficiencia da blindagem do cobre de 20 mil

10000

Eficiencia da blindagem (ago SAE 1045 de 20 mil) 700 600

co~ E Q)

total perda por reflexao c perda por absorgao x

500

l1l

.5: ::0 l1l

!::

·ol1lc:

:§

400 300 200

100 0 O,Q1

0,1

1 10 100 Frequencia (quilohertz) Eficiencia da blindagem do ago (SAE 1045) de 20 mil

1000

Figura 5.21 Gnificos da eficiencia da blindagem separados em perda por reflexao e perda por absorc;:ao para (a) uma blindagem de cobre de 20 mil (0,51 mm) e (b) uma blindagem feita de ac;:o de 20 mil. ·

!.·

Assim, devemos calcular diretamente a impedancia intrinseca do corpo (meio 2 na Fig. 5.9) como

A onda incidente esta no vacuo, de forma que calculamos o coeficiente de transmissao como A

27}2

--=--

7}2 + 'f/o = 0,244L6,6o

A constante de propagac;ao no corpo (meio 2 da Fig. 5.9) e

234

Capitulo Cinco

Y2 = V}Wfl- CT + jWB Br) = 39,63 +J298,83 0(

Assirn, definimos a constante de atenuagao como a2

= 39,63

A profundidade pelicular no corpo se toma 1 8=a2

= 2,5 em

Pelos resultados da Segao 5.5.1, obtemos a densidade de potencia dissipada em urn bloco de tecido corporal de profundidade d como

( = T Et )2 9

Ill

~--cos

27]2

(e )[1 -

e-9!._ ~a

7Jz

Para determinar a potencia dissipada no corpo semi-infinito, fazemos d ~ de amplitude E;n = 274,6 VIm, obtemos SMED. cUssipada

= 42,48 = 4,248

oo.

Para uma onda incidente

W/m 2 mW/cm2

Assim, nem.toda a potencia na onda incidente e absorvida pelo corpo; alguma e perdida pela reflexao na interface. 5.7.7 Cabos de IFibra Optica

As linhas de transmissao convencionais;tais como fios paralelos ou cabos coax:iais, sao limitadas em seu uso em frequencias de microondas por causa das suas larguras de banda passante e excessivas perdas. Os cabos de fibras 6pticas superam a maioria dessas deficiencias. Urn cabo de fibra 6ptica consiste em urn nucleo de fibra de vidro tendo permissividade relativa e1 envolvida por urna casca tendo permissividade relativa ere, como mostrado na Fig. 5.22a. Sinais de infravermelho (A = 1 f.LID - 2 J.Lm) sao introduzid.os em uma extremidade da fibra pelo uso de urn diodo emissor de luz ou urn laser e sao extraidos na extremidade de recepgao por uma fotocelula ou urn fototransmissor. A onda incidente incide nurn angulo 81 em relagao ao eixo do nucleo. De acordo com as leis de Snell, o angulo da transmissao para o nucleo, 81, esta relacionado com o angulo de incidencia por

onde os indices de refragao sao

Essa onda transmitida atinge a interface entre a fibra e a casca com urn angulo de incidencia er em relagao anormal ainterface. Se esse angulo for maior ou igual ao angulo crftico, todo o sinal incidente sera refletido na interface, fazendo com que os raios produzam urn padrao em ziguezague, sendo continuamente refletido na interface fibra-casca amedida que ele se propaga no nucleo. Assim, devemos escolher as propriedades do nucleo da fibra e da casca, de forma que

' .

~-·

--~----------~-------~----------~-----

Propaga~ao de Ondas r> 235

(a)

(b)

fug11ra 5.22 Ilustrac;;ao de como urn cabo de fibra 6ptica guia ondas luminosas. (a) Ilustrac;;ao da reflexao na interface nucleo-casca. (b) Ilustrac;;ao da dispersao causada por cliferentes caminhos.

onde o fndice de refras;ao da casca e

Podemos relacionar tambern OS angulos et e er usando trigonometria como coset =sene,.

V1 -sen2 e1 Assim, necessitamos que

Resolvendo esta, temos o angulo do cone de aceitaf{iio (5.119)

onde substitufmos no = 1. Qualquer sinal que seja incidente na extremidade da fibra dentro desse angulo de incidencia sera transmitido para o nucleo da fibra onde ira se propagar pela mesma, sendo refletido · na interface nucleo-casca. Por exell}.plo, considere o nucleo da fibra tendo e1 = 2,3, dando urn fndice de refras;ao de n1 = 1,52, e a casca tendo ere = 2,1, dando urn fndice de refras;ao de nc 1,45. 0 cone de aceitas;ao se toma 8; 26,57°. A onda luminosa pode propagar pela £bra usando numerosos caminhos, cada urn refletindo na interface nucleo-casca, como mostrado na Fig. 5.22b. Esse potencial para numerosos caminhos faz com que os vanos caminhos tenham diferentes tempos de transito para completar o percurso pelo cabo. Isso e chamado de dispersiio e resulta na degradas;ao dos sinais digitais que estao sendo propagados na fibra amedida que eles atingem a extremidade do cabo. Essa dispersao imp5e urn limite para a maxima taxa de transmissao de informas;ao.

236 ill> Capitulo Cinco

~&>

IMPORTANTES

RESUMO DOS CONCEITOS E l.

Ondas planas uniformes em meios sem perdas:

forma fasorial:

E;+me-jflz + E;-melfl:

-'-'X

E:~ ·p=H• = -e-:1 TJ

E;;.

·p·

-eJ •

forma no domlnio do tempo: Ex(z,t) = .....______.___ E~ cos(wt - f3z)

+ ..._______,____ E;;, cos(wt + {3z)

onda progressiva (sentido +zl

onda retr6grada (sentido-z)

E+

....!!::. cos(wt -

{3z) -

TJ .....__________

E-

+ {3z) TJ .....__________ ....!!::. cos(wt

onda progressiva (senti do +z)

onda retr6grada (sentido -z)

Parllmetros das ondas planas uniformes em meios sem perdas: constante de fase: {3 = w ~ = w ~ fJ.rEr /v 0 ;

impedancia intr:fnseca: TJ =

Iii/i

TJ0 ~ fJ.r/ Er ; impedancia intrfnseca do espago livre: 7)0 := 120'7T := 377 fi, veloci-

dade de propagagao: v = 1/~ = vj~ fJ.rEr; velocidade de propagagao no espago livre: V0 mento de onda: A = 2'7T/{3 v!f

Ondas planas uniformes em meios com perdas:

forma fasorial:

E: = E;+me-cr:.e-jfl= + E:-mea=elf3= E,~ -a: -1·fl- -)8 E;;, a· J'f3• -;·o = -e e ·e " - -e ·e ·e " .t

" H

E, =

forma no dominio do tempo:

- f3z) + E;;;ea: cos(wt + f3z)

E~e-a: cos(wt

E+

Hy = ....!!::.e-""cos(wt- {3z- 811 )

E-

== 3 X 108 m/s; compri-

....!!::.ea:cos(wt + {3z - 811 ) TJ

Parfunetros das ondas planas uniformes em meios com perdas:

y = V(jwJL)(u + jwe) = a+ j{3, impedancia intrinseca: f] =

(jwJL) . . • w 1 . ) = TJ L811 = TJ e18", veloc1dade de propagagao: v = - i= - (u +;we {3 ~,

2'7T comprimento de onda: A = {i

= J'

5. Densidade de potencia media de uma onda plana uniforme em um meio sem perdas:

iE,ni 2

Srvmo= ~ a: W/m. 6.

Densidade de potencia media de uma onda plana uniforme em um meio com perdas: "

SMED

!Eml -2a= ( ) 27) e cos e'l

W/m .

Profundidade pelicular: l

V7ifiiCi 8.

m (born condutor).

Parfunetros de uma onda plana uniforme para bons condutores (u/we ;,;:..}): a = {3

l =a= ViifiiCi,

Propaga~ao

de Ondas IP- 237

9. Coeficientes de reflexao e ttaJllsmlissao para uma mula plana wruifomte com incidencia nonn.all na frol!llteira entre dois meios sem perdas:

= 712- 711

712

+ 711

10. Campos eletrico e magnetico para mna onda plaJlla uniforme com incidencia normal na fronteira entre dois meios sem perdas:

U. Coeficientes de reflexiio e traJllsmissao para wna mula plana umforme com incidencia nonn.al na supemcie de mn meio com perdas: A

~-~ =-.-- =

TJ2 + 711

f L8r

fe 18r T = ,

~ -.-.- - =

TJ2

+ 711

T L8r = Te18r

12. Campos eletrico e magnetico para 'Ullma omlla plana tmiforme com incidencia normalna supemcie de 'Ullm hom condutor:

F}x = E1me-jf3,: j{i

E!,. e-jf3,z 711

= f'Eimeif3,z = fEimeif3,•eier -rEm . E!, . . H~ - - e l13,z = -f-eJ13 ,zeJ8r ftrx A

711

. ....... .E~-=-TEme -::t:tz"e:-j/!£_;;:,_TE!,e=te=Lf.et8r ___ _

E!, '/3 T-e-""'e7,;: TJ2

E!, z . z '8re-·)8,, T-e-ii:e-r&:el 712--

13. Leis de Snell para uma onda plana uniforme incidente na fronteira em um angulo obliquo:

(lei de Snell da reflexao) (lei de Snell da refragao) n

= Vo V

Ve..

(fndice de refragao)

re;;. (angulo critico de incidencia)

\j~

tt> PROBLEMAS §JEQAO 5.1 ONDA JP'LANA llJNIIFORMJE JEM MJEIO §JEM lP'JEJRlD>A§ 5.1.1 Mostre que as equagoes que governam os campos fasoriais de uma onda plana uniforme dadas em (5.3) e (5.5) para urn meio sem perdas podem ser convertidas para o domfnio do tempo como

T""" '•

238 f:> Capitulo Cinco

aEx(z,t)

i!Hy(z,t)

ilEx(z,t) i!t

- - = -p,--- e ---= -e---

5.1.2 Mostre que as equas;oes para urna onda plana unifonne em urn meio sem perdas dadas no dominio do tempo em (5.14) satisfa;?:em as equas;oes do Problema 5.1.1. ·-.,.._~ 5.1.3

Uma onda plana unifonne de 10 MHz esta se propaganda nos seguintes meios dieletricos sem perdas (J.Lr == _ 1): (a) cloreto de polivinila (er = 3,5); (b) Teflon (er = 2,1); (c) Mylar (er = 5)'; e (d) poliuretano (er = 7). Determine a constante de fase {3, a impedancia intrfnseca 7], a velocidade de fase de propagas;ao v e o comprimento de onda A. [(a) {3 = 0,392 rad/m, 7J = 202 fi, v = 1,6 X 108 rn/s, A = 16m, (b) {3 = 0,304 rad/m, 7] = 260 fi, v = 2,07 X 1QB rn! s, A= 20,7 m, (c) {3 = 0,468 rad/rn, 7J = 169 fi, v = 1,34 X 108 rn/s, A= 13,4 m, (d) {3 = 0,554 rad/m, 7] = 142 0, v = 1,13 X 108 rn/s, A = 11,3 m]

5.1.4 Escreva as expressoes fasoriais e no domfnio do tempo para uma onda plana unifonne de 5 MHz se prop;:. gando no vacuo. 0 vetor intensidade de campo eletrico de 10 VIm esta dirigido no sentido +z e a onda esta se propaganda nci sentido -y. Sugestao: Fas;a urn esbos;o e detennine o sentido de H de fonna que E X H esteja no senlido de propagas;ao.

5.1.5 Suponha que uma onda plana unifonne esteja se propaganda no sentido x em urn dieletrico sem perdas (J.Lr ·= 1) como campo eletrico de 100 VIm no sentido +z. Se o comprimento de onda e de 25 em e a velocidade de propagas;ao e 2 X 108 rn/s, determine a freqiiencia da onda e a permissividade relativa do rneio. Escreva expressoes completas no domfnio do tempo para os vetores campo eletrico e magnetico. Sugestao: Fas;a urn esbos;o e determine o sentido de H de fonna que lE X lFll esteja no sentido de propagas;ao. [800 MHz, e, = 2,25, lE = 100 cos (167T X lOBt - 25,lx)a=, H = -0,398 cos (l67T X 10Bt - 25,lx)ay] .

,] ,,I

I' ,I J

5.1.6 Escreva a expressao no domfnio do tempo para o campo eletrico de urna onda plana unifonne se propaganda no silfcio (er = 12) se o campo magnetico e dado por lFll = 0,1 cos (87T X IOit - 2,9y)a,. Sugestao: Fas;a urn esbos;o e determine o sentido de lE de forma que lE X H esteja no sentido de propagas;ao.

/ J l'!

5.1. 7 Urna onda plana uniforme de 2 GHz esta se propaganda em ~ meio que e.car.acterizaqo por ~r = 4 e J.Lr = _ 9 no sentido -z. 0 vetor intensidade de campo magnetico e~tffi. clil;igj.do no sentido +y e sua amplitude e Q,02 Aim. · Escreva as expressoes no domfnio do tempo para os vetores campos eletrico e magnetico. Sugestlio: Fa9a'um esbos;o e determine o sentido deE de forma que E X H esteja no sentido de propagas;iio. [E = -11,3 cos (47T x·l09t + 251z)a,, H = 0,02 cos (47T X l09t + 251z)ay]

5.1.8 Uma onda plana uniforme tern comprimento de onda de 2 em no vacuo e 1 em ern urn dieletrico (fr = 1). ' Determine a permissividade relativa do dieletrico. _ ·

SE(::AO 5.2 ONDA PLANA UNIFORME EM MEIO COM PERDAS I

5.2.1 Uma onda plana uniforme esta se propaganda em urn meio com perdas tendo er = 36, J.Lr = 4 e u = 1 S/m. 0 campo eletrico e dado porE = lOOe-"' cos (l07T X 10Bt- {3x)a.,. Detennilie a e {3 e fJ, e escreva a expressao no dominio do tempo associada ao vetor campo magnetico. . 5.2.2 Determine a velocidade de fase, a constante de atenuas;ao, a constante de fase e a impedancia intrfnseca de uma onda plana uniforme se propaganda em terra umida pantanosa (u == 10-2 S/m, er == 15, J.Lr = 1) ern (a) 60Hz (freqiiencia industrial), (b) 1 MHz (freqiiencia de radiodifusao AM), (c) 100 MHz (freqiiencia de radiodifusao FM), e (d) 10 GHz(freqiienciademicroondasparaacionamento derelesviara~o). [(a) a= 1,54 X I0- 3, {3 = 1,54 X IQ- 3 radlm, v =

= 2,45 X 105 rn/s, Tj = 0,22L45°, (b) a= 0,19, {3 = 0,21 radlm, v =

42,62°, (c) a= 0,49, {3 = 8,13 radlm, v = v=

= 7,75 X 10; rn/s,

= 7,73 X 107 rn/s,

= 3,03 X 107 rn/s, fj = 28,05L . d

fJ = 96,99L3,42°, (d) a= 0,49, {3 = 811,2 radlm,

fJ = 97,34L0,03°]

5.2.3 Se urn material tern u = 2 S/m, er = 9, e J.Lr = 16 na frequencia de 1 GHz, calcule a constante de atenuas;ao, _ a constante de fase, a velocidade de propagas;lio e a impedancia intrfnseca. '1:::..5.2.4 Escreva a expressao no dominio do tempo para o campo el6trico de uma onda plana uniforme em urn dieletrico com perdas (J.Lr = 1) se o campo magnetico e dado por H = O,le- 200Y cos (27T X l0 11lt - 300y )a,. [E = 21,9e-- 200Y cos (2i X 1011lt - 300y + 33,69°)a_,]

SEQAO 5.3 FLUXO DE POTENCIA EM ONDAS PLANAS UNIFORMES 5.3.1 Uma onda plana uniforme operando em 10 MHz esta se propaganda no sentido +z em urn dieletrico sem perdas tendo er = 5. 0 campo eletrico ·de 10 VIm esta dirigido no sentido +y. Determine a potencia media cruzando uma superffcie no plano xy limitada por (3, 2, 2), (3, -1, 2), (-1, 2, 2), (-1, -1, 2), onde as coordenadas estao em metros.

;

Propaga~ao

d.e Ondas !> 239

5.3.2 Uma onda plana uniforme de 200 MHz esta se propaganda no sentido +z em urn dieletrico sem perdas tendo sr 9. 0 campo magnetico de 0,2 Aim €1Sta dirigido no sentido +y. Determine a po\encia media cruzando , uma superficie no plano xy limitada por (0,,0, 0), (0, 5, 0), (3, 5, 0), (3, 0, 0), onde as coordenadas estao em metros. [37,7W] 5.3.3 Uma onda plana uniforme es~a se propaganda em urn meio com perdas tendo Br = 36, J.Lr = 4, e a= 1 S/m. 0 campo eletrico e dado por JE = 100e-ar cos (l01r X lOst - {3x)~. Determine a potencia media perdida na propagagao atraves de urn volume na forma de urn paralelepfpedo cujos vertices sao os pontos (0, 0, 0), (0, 2m, 0), (20 mm, 2m, 0), (20 mm, 0, 0), (20 mm, 0, 3m), (20 mm, 2m, 3m), (0, 2m, 3m), (0, 0, 3m). 5.3.4 Uma onda plana uniforme de 1 V/m e 1 GHz esti se propaganda em urn meio com perdas tendo parametros a= 2 S/m, sr = 9, e J.Lr = 16 na freqiiencia de 1 GHz. Determine a potencia media perdida na propagagao atraves de uma superficie de 100 cm2 perpendicular a ela e ao longo de uma profundidade no material de 5 mm. [15,2 pW]

SJE«;;AO 5.4 PROFUNDIDADJE PJEJ...J[CtJLAR ·- 5.4.1 Compare as distancias necessarias para uma onda plana uniforme se propagar na agua do mar (a= 4 S/m, J.Lr = 1, sr = 81) para que a amplitude da onda seja reduzida de 80 dB (urn fator de 10.000) nas seguintes freqiiencias: (a) 1kHz, (b) 10kHz, (c) 100kHz, (d) 1 MHz, (e) 10 MHz, (f) 100 MHz. Mostre que a atenuagao da amplitude em dB e -8,69ad. Estabelega quando a agua do mare urn born condutor ou um born dieletrico para cada freqiiencia. Isso ilustra por que comunicag5es com submarinos usam freqiiencias muito baixas, na· faixa do kHz. [Born condutor para todas as freqiiencias, (a) 73,3 m, (b),23,2 m, (c) 7,33 m, (d) 2,32 m, (e) U,733 m, (f) 23,2 em] :

5.4.2 Uma onda plana uniforme esta se propaganda em terra umida, pantanosa (a== 10-2 S/m, Br == 15, J.Lr = 1), em (a) 60Hz (freqiiencia industrial), (b) 1 MHz (freqiiencia de radiodifusao AM), (c) 100 MHz (freqiiericia de radiodifusao FM), e (d) 10 GHz (freqiiencia de microondas para acionamento de reles via radio f Determine a distancia em cada freqiiencia que a onda deve se propagar de forma que sua amplitude seja atenuada de 20 dB (uma redugao de

J:..).

10 5._4.3 Uma onda plana uniforme de 1 V/m esta se propaganda na agua do mar (a= 4 S/m, J.Lr = 1, sr = 81). Determine a potencia dissipada na regi1io da agua do mar tendo uma area superficial de 5 m2 a medida que a onda propaga uma distancia de uma profundidade pelicular para as freqiiencias de (a) 1kHz, (b) 10kHz e (c) 100kHz. [(a) 34,5 W, (b) 10,9 W, (c) 3,45 W] 5.4.4 Materiais com perdas foram anteriormente caracterizados atraves da condutividade a. Contudo, urn metoda mais comum de caracteriza-los e em termos de uma tangente de perdas definida como tan cf> =a/we. Observe que, para bons dieletricos, u < < we; a tangente de perdas e menor que a unidade, enquanto, para bons condutores, a>> we; a tangente de perdas e maior que a unidade. A origem desse nome advem da observagao de que o lado-direito da-equagao-de-Ampere envolve-as correntes de-condur;ao-e·deslocamento atra~ yes do termo a+ jws. Os termos das correntes de condugao e deslocamento estao defasados de 90° e, quando desenhamos no plano complexo, a tangente do angulo entre a hipotenusa e a parte real, a, e a tangente de perdas. Inumeros manuais tabulam a tangente de perdas para materiais em diversas freqiiencias ao inves de fomecer u ness as frequencias. Mostre que as constantes de atenuar;ao e de fase podem ser escritas em termos da tangente de perdas como

SJE«;tAO 5.5 ][NC][DJENCIA NORMAl. DJE ONDAS PLANAS UNIOFOR.MJES JEM MATJKRWS DJE FRON'flERIAS PLANAS 5.5.1 Com referencia aFig. 5.8, o meio 1 tern er1 = 4, J.Lr1 = 1 eo meio 2 tern er2 = 9, J.Lr2 = 4. Escreva as express5es no domfnio do tempo para os campos se o campo eletrico incidente e lE1 = 100 cos (wt- 6-m:)~. Determine a potencia media transmitida atraves de uma area da superficie de 2 m2• 5.5.2 Com referenda aFig. 5.8, 0 meio 1 tern erl = 4, J.LrJ 16 e 0 meio 2 tern Br2 = 9, J.LrZ = l. Escreva as express5es no domfnio do tempo para os campos se o campo eletrico incidente elE1 = 10 cos [wt- (87T/3)z]~. Determine a potencia media transmitida atraves de uma area da superffcie de 5 m2•

240 li> Capitulo Cinco

5.5.3 Com referenda aFig. 5.8, o~meio 1 tem e,1 =·9, JL,1 = 1 eo meio 2 tem er2 ·= 16, JLr2 = 4. Escreva as expressoes no domfnio do tempo para os campos se o campo eletrico inddente e E1 = 5 cos (wt- 2m)ay. Observe que o vetor campo eletrico inddente esta no sentido +y. Determine a potenda media transmitida atraves de urn a area da superfide de 4 m2• 5.5.4 ~m referenda aFig. 5.8, o meio 1 tem e,1 = 9, JL,1 = 4 eo meio 2 tem er2 = 1, 1Lr2 = 16. Escreva as expressoes no dcihimio do tempo para os campos se o campo magnetico inddente e H = 0,1 cos (wt - 8m)a,. Observe que o vetor campo magnetico inddente esta no sentido +x. Determine a potenda media transmitida atraves de uma area da superfide de 3 m2• · [ E1 = -25,13cos(4'7T X lOst- 8?Tz)ay, lE' =

-43,08cos(4'7T X l08t -

JE1

-17,95~os(4'7T X

lOst+ 8?Tz)ay,

~'7T z)ay, H1 = O,l cos (4'7T X lOst -

H' = -%X 0,1 cos(4'7T X lOst+ 8?TZ)ll:c, H

8?TZ)ll:c,

=~X 0,1 cos(4'7T X lOst- 1 ~'7T z)ax,1,85 W]

5.5.5 Com referenda aFig. 5.9, o meio 1 eo vacuo eo meio 2, com perdas, tem e, = 4, J.Lr = 1, e a= 103 S/m. 0 campo eletrico inddente e dado por E1 = 10 cos (6?T X 10~- 0,063z)a,. Escreva as expressoes completas no domfnio do tempo para os campos. Determine a potencia media dissipada em um volume de material no segundo meio consistindo em 2 m2 de area de superfide e 1 mm de profundidade. Com referenda aFig. 5.9, o meio 1 eo vacuo eo meio 2 eo ago inoxidavel come,= 1, JL, = 500 e a= 0,02 Slm. 0 campo eletrico incidente e dado por E 1 = 100 cos (2'7T X 10ilt - 20,94z)a,. Escreva as expressoes completas

. 5.5.6

no domfnio do tempo para os campos. Determine a potenda media dissipada em um volume de material no ago inoxidavel consistindo em 2 m2 de area de superficie e uma espessura igual a 1 de profundidade. [E1

H = 0,265 cos(2'7T X l0 t - 20,94z)ay, H' = E 1 = 191e-S3:cos(2'7T X l09 t - 475,62z

+ 20,94z + 0,91°)ax, -0,241cos(2'7T X 109t + 20,94z +. 0,9l )ay,

100cos(2'7T X l09 t - 20,94z)ax, E' = 91cos(2'7T X l09 t

+ 0,43°)a,, e

= 2,34 X l0- e-S:1::cos(2'7T X l0 t - 47.'5,62z

9,47°)ay,3,8 vV]

5.5. 7 Com referenda aFig. 5.9, 0 meio 1 e sem perdas e tern OS parametros e, = 9, ILr = l. 0 meio 2 e com perdas come,= 1, p,, = 1, e a= 20 S/m. 0 campo eletrico incidente e dado por E 1 = 5 cos (10'7T X 10~ - 10m)a,. Escreva as expressoes completas no domfnio do tempo para os campos. Determine a potencia media dissipada em um volume de material no segundo meio consistindo em l cm2 de area de superficie e 10 mm de profundidade. "--._t\

'--'- 5.5.8 Aeronaves usam radares altfmetros para determinar com exatidao seu nfvel baixo de altitude. Se uma aeronave esta voando sabre o oceano (e, = 81, ILr = 1, e a= 4 S/m), determine a porcentagem de potencia transmil;ida rn o ~ rofletirln -nola ,..,,··u::..rf:n!"o rln O"o"ll"' o o "no'l"nontagoTn rla T'\nr.S:nn" tr n o. C. ;f·dann. . . oceano sea 'iu'"' v J.v.a. uu. t''"'.& '"'""u... v'"" ~,..~. .t''-".................. ..... . . . . . """ t'V'-V.~..~. la an...om1'tjrlt:l """"""" 'iu . . '"'p a. . .rru freqiienda do radar e de 7 GHz. [64,2% e 35,8%] LH.A.J:''-"·""......... '"' \,.I.V

....

5.5.9 Uma onda de radio atinge normalmente a superfide de urn condutor de cobre. Se o campo eletrico total e nulo a uma distanda de 1 m fora da superfide do condutor, determine a menor freqiienda possivel da onda de radio.

SE<;AO 5.6 LEIS DE SNELL ·.1~

' "5.6.1 Um raio luminoso propagando-se no ar incide com urn angulo 0 numa lamina de urn material transparente de espessura t tendo fndice de refragao n, como mostrado na Fig. P5.6.l. Mostre que o caminho tornado pelo ni.io a medida que ele deixa o material esta na mesma diregao que o raio incidente; Determine a distancia d que o raio sera deslocado de seu caminho ao deixar o material.

Propaga~ao

--t-

de Ondas

241

Figura P!i.6.1 Problema 5.6.1.

senecose ] [d = t cos e - t,=:====.== Vn cos e 2

Âˇ.. 5.6.2 Urn prisma isosceles de vidro e usado para alterar o carninho de urn raio luminoso, como mostrado na Fig. P5.6.2. Se o fndice de refra~ao do vidro e 1,5, determine a razao entre as densidades de potencia transmitida e incidente.

Figura IP5.6.2 Problema 5.6.2.

5.6.3 Uma pessoa pescando deum barco observa urn peixe se alimentando no fundo de urn lago rasa. A altura da pessoa e 6ft (l,8m) e a profundidadedohigo e 10 ft(3 m). 0 peixe parece estar a uma distancia de 20 ft(6 m) do barco. Determine a verdadeira distancia do peixe ao barco. [28,3 ft (8,5 m)].

lin has de Transmissao

Neste capftulo investigaremos o uso de dois condutores paralelos para guiar urn sinal de urn a fonte ate uma carga. Eles sao chamados de linhas de transmissao e ocorrem em diversas formas. Urn par de fios (condutores de secgao reta circular) serve para transferir energia eletrica de 60 Hz de urn ponto para outro, conduzir sinais de audio de baixa freqiiencia de uma fonte, como urn toca-CD, ate uma carga, que pode ser uma caixa de som, e conduzir sinais de alta frequencia de transmissores de radio e TV ate uma antena. A eletronica dos computadores digitais de alta velocidade esta montada em placas de circuito impresso. Uma placa de circuito impresso consiste em uma placa de vidro ep6xi com condutores de segao reta retangular (trilhas) delineados em ambos os lados da placa. Pares dessas trilhas servem para conduzir os sinais digitais entre os vanos m6dulos eletronicos que estao monta~os na placa. Embora nossos cursos iniciais de circuitos eletricos tenham indicado que o efeito desses condutores de interligagao possa ser ignorado, isso nao e verdade no caso de interligag5es em computadores digitais de alta velocidade e circuitos anal6gicos de alta frequencia. Por exemplo, considere urn par de trilhas de 10 em de comprimento (aproximadamente 4 polegadas) delineado sobre uma placa de vidro ep6xi (sr = 4, 7), A permissividade relativa efetiva e aproximadamente a media da permissividade relativa da placa e do ar, ou se~ e~ 2,85, resultando nurna velocidade de propagagao das ondas sobre esses condutores de v = vr! ~ cr = 1, 777 X 108 rnls. Os sinais digitais propagando-se ao Iongo dessas trilhas irao sofrer urn atraso de T = :ÂŁ/v = 0,56 ns na propaga~ao de urna extremidade da linha para a outra, onde ;ÂŁ e o comprimento total da linha. Computadores digitais requerem uma temporiza~ao precisa, e, hoje, urn atraso de 0,5 ns pode ser muito significativo. Ainda, se os sinais que eles estao conduzindo possuem urn espectro de freqliencia de forma que a linha seja eletricamente longa ness as frequendas (comprimento da linha nao muito menor que urn comprimento de onda), imtao o deslocamento de fase provocado pela condugao na linha sera significativo, e o efeito do mesmo nao pode ser ignorado. Por exemplo, suponha que as trilhas estao conduzindo urn sinal digital de clock consistindo em pulsos a uma taxa basica de repetigao de 1 GHz. Esse sinal e peri6dico e ira conter, de acordo com a serie de Fourier, componentes de frequencia em todos OS mUltiplos dessa taxa basica de repetigao, isto e, 1 GHz, 2 GHz, 3 GHz, 4 GHz, ... , etc. Uma linha de 10 em de comprimento tera 0,56A. de comprimento eletric9 no componente de freqliencia fundamental em 1 GHz. Em outras palavras, a linha tera cerca de meio comprimento de onda em 1 GHz. No segundoharmonico qe 2 GHz, alinha teracerca de urn comprimento de onda. Nos componentes de freqliencias mais altas, a linha sera ainda mais longa eletricamente. Eclaro que o efeito da linha nao pode ser ignorado nesta situagao. Nossa proposta neste capitulo e ei(aminar o efeito das linhas de interliga~ao, sejam elas fios paralelos ou trilhas de interliga~ao em placas de circuito impresso, na transmissao de urn sinal de uma exl:remidade aoutra. Em particular, como a velocidade do clock dos computadores digitais continua a aurnentar, aparentemente sem limite, os efeitos das trilhas de interligagao continuarao a crescer em importancia. Se desejarmos projetar circuitos digitais de alta velocldade, devemos considerar as interligag5es no projeto para que o circuito processe corretamente os dados. Adicionalmente, transmiss5es de radio com dispositivos sem fio, tais como telefones celulares, baseiam-se em portadores de freqliencia muito alta na fai'{a do GHz. Projetar circuitos que conduzam com seguranga esses sinais, de urn ponto em urn telefone para outro, novamente requer que consideremos o efeito das interligag5es no projeto ffsico. Ha 20 anos,

Linhas de Transmissao

241:3

podiamos ignorar os efeitos dessas interligag6es, pois as freqi.iencias de clock eram muito babms, ou as frequencias de transmissao de radio eram na faixa de MHz. Hoje e no futuro, nao podemos mais ignorar tais efeitos nessas linhas de interligagao. Alem disso, a Iinha de transmissao pode irradiar o sinal que esta conduzindo para outras linhas vizinhas, causando interferencia. Isso e conhecido como cliafonia. Certamente, quanta maior a freqi.iencia do sinal que esta sendo conduzido pela linha, maio res as emiss6es irradiadas e, assim, a diafonia. Com as crescentes freqi.iencias dos sinais anal6gicos e as crescentes taxas de repetigao dos sinais digitais, a diafonia e urn problema cada vez mais importante no projeto, ou entao este nao ira funcionar apropliadamente.

Objetivos de Aprendizado do CapituDo Ap6s completar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a U> entender os conceitos de propagagao de ondas em linhas de transmissao, reflexao de ondas em

terminag6es e atraso de propagagao;

:i..• fazer uma analise, no domlnio do tempo,

das tens6es e correntes terminais em lin has de transmissao para uma excitagao em forma de pulso na linha;

. usar o modelo de linha de transmissao do programa SPICE para analisar, no domlnio do tempo, as tens6es e correntes em lin has de transmissao no caso de uma excitagao em forma de pulso; ':, calcular as tens6es e correntes terminais, bern como a impedfincia de entrada de lin has de transmissao, para uma excitagao senoidal de frequ€mcia (mica em uma linha; t;:·. usar o model a de linha,de transmissao do program a SPICE para calcular as tens6es e correntes ter-

minais em lin has de transmissao para uma excitagao senoidal de frequencia (mica em uma linha; ;,.. usar a carta de Smith para calcular a impedancia de entrada de uma linha de transmissao para uma excitagao senoidal de frequencia (mica em uma linha;

criar urn modelo aproximado de uma linha de tran.smissao atraves de um circuito a parametros concentrados;

~,,

entender o efeito das perdas em tensao e corrente em uma linha de transmissao dissipativa; e

~~~··

citar e explicar diversas aplicag6es, em engenharia, dos princlpios deste capitulo.

I~· 6.1 ED.UACOES DA UNHA DE TRANSMISSAO Considere urna linha de transmissao de dais condutores riiostrada na Fig. 6.1, onde oscondutores sao paralelos ao eixo z. Se aplicarmos uma tensao Ventre os dais condutores, como na Fig. 6.la, carga sera depositadanos condutores, resultando em urn campo eletrico, lE1, situado no plano transversalxy. Como os dois condutores separam cargas, isso sugere que a linha tern uma capacitancia por unidade de complimento, c Flm. Agora, suponha que apliquemos uma corr€mte I fluindo para a direita no condutor supelior e "nitomando" pelo condutor inferior, como na Fig. 6.lb. Essa corrente ira causar urn campo magnetico, Jffi1, que tambem esta situado no plano transversal xy. Esse campo magnetico passa atraves da espira formada pelos dais condutores e sugere que a linha bern uma indutancia por unidade de comprimento, l Him. Isso indica que a linha pode ser modelada como urn circuito a parametros distribuidos consistindo em uma sequencia de indutores a capacitores, como mostrado na Fig. 6.lc. Note que a indutancia e ~ capacitancia total em urn comprimento Az da Iinha constituem o valor por unidade de comprimento multiplicado pelo comprimento daquela segao, l Az e cAz. Linhas de transmissao.tem, em adigao aindutancia e acapacitancia, perdas. Os condutores tern uma resistencia finita e nao-nula, e o meio circundando os condutores tern perdas em seu dieletrico (exceto quando o isolante eo vacuo). Usualmente, tais efeitos sao secundanos e podem ser desprezados. Em frequencias na faixa do GHz, a resistencia dos condutores pode se tamar significativa devido ao efeito pelicular. Iremos adiar a consideragao de perdas ate a Segao 6.6. Existe urn ponto importante sabre uma linha que pode ser observado a partir do seu circuito equivalente. Se urn pulso e aplicado na extremidade esquerda da linha, ele ira carregar a primeira capacitancia e energizar a primeira indutancia. Amedida que o pulso se propaga para a direita, ele ira descarregar o plimeiro capacitor e desenergizar o primeiro indutor, e entao carregar e energizar o proximo capacitor

244

Capitulo Seis

y (a)

/-------------------~~

y (b)

(c)

Figura 6.1 Linha de transmissao de dois condutores (bifllar). (a) Campo eletrico de urn a linha de transmissiio causado pela tensao entre os dois condutores. (b) Campo magnetico de uma linha de transmissiio causado pela corrente nos condutores. (c) Representando uma linha de transmissao como urn circuito a parfunetros distribuidos consistindo em celulas de indutancia por unidade de comprimento, l, e capacitancia por unidade de comprimento, c.

e indutor, e assim por diante. Assim, ondas de tensao e corrente (e seus campos eletrico e magnetico transversais associados) irao se propagar pela linha com urila velocidade v. Leva urn certo tempo para energizar e desenergizar esses elementos, de forma que levara urn tempo finito e nao-nulo para que as ondas transitem pela linha. Isso ira resultar num atraso de tempo para uma linha de comprimento total ;ÂŁ,dado porT= ;;E/v. No restante deste capitulo investigaremos este modelo de modo mais quantitativa a partir das equar,:oes diferenciais, relacionando tensao e corrente em diversos pontos da linha de transmissao. 6.1.1 Tipos de Linhas de Transmissiio A Fig. 6.2 mostra diversos tipos de linhas compostas de fios (condutores de ser,:ao reta circular). A Fig. 6.2a mostra uma linha de dois fios, a Fig. 6.2b mostra urn fio sobre urn plano de terra, Âˇe a Fig. 6.2c mostra urn cabo coaxial onde o fio intemo esta sobre o eixo de uma blindagem cilfndrica. A Fig. 6.3 mostra diversos tipos de estruturas de circuito integrado e placa de circuito impressa. A Fig. 6.3a mostra o que e chamado de stripline." Urn condufor de ser,:ao reta retangular (trilha) e colocado entre dois pianos de terra. Isso comumente ocorre em placas de circuito impressa que tern "pianos intemos". A Fig. 6.3b mostra uma placa de circuito impressa ou substrata tendo urn plano de terra de urn lado e uma trilha do outro. Essa estrutura e tambem comurn em placas de circuito impressa ,bern como circuitos de microondas, e e chamada de microstrip." A Fig. 6.3c mostra duas trilhas de urn lado de urn substrata. Isso e comumen-

â&#x20AC;˘Alguns autores nacionais utilizam o terrno "linha de fi.ta", ponÂ§m o terrno consagrado em engenharia estripline. (N .T.)

linhas de Transrnissao t» 245

.,--7>-.

-4---'0

)

(a) Dais fios

0·

~".'

.' ·-~~

.... .. ;

)

v _ _,_z y (b) Urn fio acirna de urn plano de terra

IFi!Jiura 6.2 Ilustrac;;ao de linhas de transmissao do tipo fio. (a) Uma linha a dois fios. (b) Urn fio acima de urn plano de terra. (c) Urn cabo coaxial.

y (c) Cabo coaxial

te encontrado em camadas extemas de placas de circuito impressa e as trilhas que interligam os m6dulos . eletronicos que sao inontados no topo e no fundo da'placa. 6.U IEqllllaa;oes da li1111ha de Trrallllsmissiio

Considere uma segao b.z da linha mostrada na Fig. 6.4. A tensao e a corrente na linha sao fungoes do tempo t e da posigao z. Escrevendo a lei de Kirchhoff das tens6es em tomo do circuito extemo, temos

ai(z,t) V(z + Az,t) - V(z,t) = -lAz;;t Dividindo ambos OS lados por b.z e tomando 0 limite amedida que b.z ~ 0, temos

V(z

+ Az,t) - V(z,t) I Az

= av(z,t)

limllz->o

e obtemos a primeira equagao da linha de transmissao:

<fV(z,t)

ai(z,t) · at

--=-l--

•Da mesma forma, embora exista a tradw,ao microfita, o termo microstrip eo consagrado na pr:itica. (N.T.)

(6.la)

M6 I> Capitulo Seis

.V .

E,Jl

(a) Stripline

Plano de terra (b) Microstrip

Figura 6.3 Linhas de transmissiio cornpostas de condutores de set;iio reta retangular. (a) Urna stripline. (b) Urna linha rnicrostrip. (c) Urna placa de circuito irnpresso.

~------~z------~

-----L----------------~----+2

Z+~Z

Figura 6.4 Circuito equivalente por unidade de cornprirnento de uma linha de transmissao.

Linhas de Transmissao

t> 247

Similarmente, escrevendo a lei de Kirchhoff das correntes no n6 superior do capacitor, temos

l(z + ilz,t) - I(z,t)

aV(z + ilz,t) -cilz--'-----'at

Dividindo ambos os lados por Az e tomando o limite amedida que Az -7 0, temos

I(z + ilz,t~ - I(z,t) AN

= _ai_(z,_t)

lim6::--70

e obtemos a segunda equac;;ao da linha de transmissao:

ai(z,t) az

av(z,t) at

--=-c--

(6.lb)

AB Equac;;5es (6.la) e (6.lb) sao chamadas de equ0fi5es da linha de transmissiio. Observe que elas estao acopladas, pois cada equac;;ao envolve V e I. Pod'emos desacoplar essas equac;;5es, por exemplo, diferenciando (6.la) em relac;;ao a z, obtendo

e diferenciando (6.lb) em relac;;ao at, obtendo

a2 I(z,t) a2V(z,t) = -c azat at 2 Substituindo a segunda equac;;ao na primeira, temos a primeira equac;;ao, envolvendo somente a tensao, como sendo

(6.2a)

Diferenciando (6.lb) em relac;;ao az e diferenciando (6.la) em relac;;ao ate substituindo uma na outra, temos a segunda equac;;ao, envolvendo somente a corrente, na forma

(6.2b)

Resolveremos essas equac;;5es neste capitulo para podermos entender a propagac;;ao de ondas em uma linha. IS.t3 IParilimetms por llllnidal!ile de ComprimeHllto

I I

_[_ l

As equac;;5es da linha de transmissao acima contem os parametros por unidade de comprimento de capacitancia c (F/m) e indutancia l(H/m). Toda a informac;;ao estrutural, como o tipo do condutor, raios dos fios e separac;ao entre os fios, que distinguem urn tipo de linha do outro, esbi contida nesses dois parametros. Para linhas com fios, esses parametros foram obtidos no Capitulo 3. Primeiro considere uma linha composta de dois fios de raios rw que estao separados pela distancia s como mostrado na Fig. 6.5a. As express5es exatas para a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento sao

248

!)>

Capitulo Seis

(a) Linha a dois fios

{b) Fio acima do plano de terra

Figura 6.5 Dimensoes seccionais de linhas tipo fio. (a) Urna linha a dois fios. (b) Urn fio acima de urn plano de terra. (c) Urn cabo coaxial.

c=In[_!_+ f(_s )2- 1] 2-rw -v 2-rw

F/m

(6.3a)

e l

= f-A'o In _<i + ~(f-<i \2 ) ..

[

2-rw

\2rw

Him

(6.3b)

Assumimos que 0 meio circundante e0 vacuo. Se OS fios estao separados suficientemente de forma que a carga e a corrente estejam uniformemente distribufdas ao longo da periferia do fio (efeito da proximidade desprezfvel, uma vez que sirw > 5), entao essas expressoes se reduzem a F/m

(6.4a)

Linhas de Transmissao !l> 249

Him

(6.4b)

As e}..'Press5es aproximadas para separa<;;5es maiores em (6.4) foram obtidas diretamente no Capitulo 3. Para o caso de urn fio de raio r w a uma altura h acima do plano de terra na Fig. 6.5b, as express5es exatas para a capacitancia e a indutancia podem ser obtidas a partir do resultado a dois fios usando o metodo das imagens, resultando em c=

27TB0

In[~+ )G:J- 1]

Flm

(6.5a)

l = fLo

27T

In[~+)( h Tw

J-

Him

(6.5b)

Se o fio esta sqficientemente distante acima do plano de terra de forma que o efeito da proximidade nao seja urn fator preponderante (uma razao hlrw > 2,5 e suficiente), estas express5es se aproximam de 27TB0

Flm

(6.6a)

ln[ 211] Tw

1n[ 2h]

l = fLo

27T

Him

(6.6b)

Essas equa<;;5es aproximadas em (6.6) foram tambem obtidas no Capitulo 3. Para o cabo coaxial mostrado na Fig.6.5c tendo urn fio de raio r w centrado sobre o eixo de uma blindagem de raio intemo r., os valores exatos sao (por causa da simetria, nao ocorre o efeito de proximidade) 27TBrBo

lnrrÂˇJ rw

F/m

(6.7a)

l = fLo

27T

In[

rs]

Him

(6.7b)

No caso de urn cabo coaxial, o dieletrico intemo ablindagem tern uma permissividade relativa de er. Ess:;>.s express5es exatas foram obtidas no Capitulo 3. As dimens5es das linhas de transmissao, tais como raio do fio, rw, separa<;;ao, s, altura acima do plano de terra, h, raio intemo da blindagem, r., sao comumente dadas no sistema ingles de unidades em mils onde.1 mil= 111000 in. Para.converter dimens5es em mils para metros, basta multiplicar por 2,54 X 10-s. Observe que todas as tres estruturas estao imersas em urn meio homogeneo. Pode-se mostrar que, para urn meio h()mog~:neo,

meio homogeneo

(6.8)

250 lli> Capitulo Seis

onde a velocidade de propagac;ao no espac;o livre ev0 = l/~ J-ÂŁ 0 &0 = 3 X 108 m/s. Para o caso de dois fios no espac;o livre, (6.3) e (6.4) fornecem lc = 111JB0; para o caso de urn fio sobre urn plano de terra no espac;o livre, (6.5) e (6.6) tambem fornecem lc = p,0e0; eparao caso de urn cabo coaxial ondeo dieletricointerno tern uma permissividade relativa e,., (6.7) fornece lc f.LoBoBr. Para linhas em urn meio homogeneo, a relac;ao em (6.8) nos permite determinar l em termos dec, ou vice-versa. Veremos mais tarde que as ondas de tensao e corrente se propagam na linha com velocidade v = l/ .Jk. Se o meio ehomogeneo, entao as ondas se propagam na velocidade da luz naquele meio:

1 v'[C

v=--

=-==

(6.9)

YJLoBoBr Vo

=--

meio homogeneo

Determine os valores exato e aproximado da capacitancia e da indutancia por unidade de comprimento de uma linha bifilar (tfpica de cabos em forma de fita usados para interligar componentes eletronicos) cujos fios tern raio de 7,5 mils (0,19 mm) e estii.o separados por 50 mils (1,27 mm). if!!ESiP[iiSuAS Exato, 14,8 pF/m e 0,75 J.LH/m; Aproximado, 14,6 pF/m e 0,759 JLHim.

-~i

t,,. IEXERCicm DlE REVISAO 6.2 Determine os valores exato e aproximado da capacitancia e da indutancia por unidade de comprimento de urn fio de raio 16 mils (0,406 mm) a uma altura de 100 mils (2,54 mm) acima do plano de terra. IFliESPOSTAS Exato, 22,1 pF/m e 0,504 jJ.H/m; Aproximado, 21- pF/m e 0,505 jJ.H/m.

r;:â&#x20AC;˘. lEXERCiCIO DlE REVISAO 6.3

Determine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento de urn cabo coaxial (RG-58U) onde o fio intemo tern raio de 16 mils (0,406 mm) e a blindagem tern urn raio intemo de 58 mils (1,47 mm). 0 dieletrico eo polietileno tendo permissividade relativa de 2,3. IPniESfi[DS1DliS 99,2 pF/m e 0,258 jJ.H/m.

Para linhas compostas de condutores de sec;ao reta retangular, como ilustrado na Fig. 6.3, os parfunetros nao podem ser obtidos de forma semelhante ao caso de fios. Ex:pressoes aproximadas sao dadas em C.R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992. Primeiro, considere a stripiine mostrada em sec;ao reta na Fig. 6.6a. A fita central (trilha) tern largura tv e esta no meio de dois pianos que estao separados por urn a distancia s. 0 espac;o entre os pianos e circundando a fita e preenchido com urn dieletrico com permissividade relativa er. Assumindo uma fita de espessura zero, t = 0, a indutancia por unidade de comprimento e

l = 307T v

e a largura efetiva do condutor central e

[tv

-;-

+ 0,441 ]

Him

(6.10a)

Linhas de Transmissao !> 251

-; =

-~ -

( 0,35 -

2::

0,35

(6.10b)

0,35

A capacitancia por unidade de comprimento pode ser obtida a partir da indutancia usando a relas;ao em (6.8), ja que 0 meio circundante e homogeneo: Br

c = -2

lVo

= _5:_['We + 0,441] 307T'D0

(6.10c) Flm

A linha microstri.p mostrada na Fig. 6.6b tern uma tri.lha de largura w colocada sobre uma placa de espessura h tendo urn plano de terra no lado oposto. A placa tern uma permissividade relativa er. Assumindo que a espessura da tri.lha seja zero (t = 0), a indutancia por unidade de comprimento e 60 ln[Sh

+ ~]

Him

~~7T ~~ + 1,393 + 0,667ln( ~ + 1,444)] [

s 1 (6.lla) Him .:!£.. h

-l

JE:nil.::ra JF058

Plano de terra

Plano de terra (a) Stripline

-<!--->-_.!_ ~

t e, Plano de terra (b) Microstrip

~s-~-t

G75J

ITF39---t

l>~S--?-~

f:·,·.•.··. ·.q

l•·!·c''!··... •.-:1

e'r

Figura 6.6 Dimens5es seccionais das linhas compostas de condutores de segao reta retangular. (a) Uma stripline. (b) Uma linha microstrip. (c) Uma placa de circuito impressa (PCB).

252 il'> Capitulo Seis

A permissividade relativa efetiva e

"'' =

"'r

+1 2

e,.- l l +-2--~===h l +lOw

(6.llb)

Essa permissividade relativa efetiva e decorrente do fato de que as linbas de campo eletrico estao parcialmente no are parcialmente do substrato dieletrico. Se esse meio nao-homogeneo (are dieletrico) e substitufdo por urn meio homogeneo tendo uma permissividade relativa efetiva de e/, como mostrado na Fig. 6.6b, todas as propriedades da linba permanecem inalteradas. Mas o problema do meio homogeneo e muito mais facil de analisar. Assim, a capacitancia por unidade de comprimento pode ser obtida a partir da relagao em (6.8) como

e'r l-v20

c=-

e'r

8h 60v0 ln [ -:-;;;-

h- 1

F/m

h + w]

(6.llc)

-e~- -, + 1,393 + 0,667ln -~. + 1,444 1207TV0 l l

)]

F/m

A placa de circuito impresso mostrada na Fig~ 6.6c tern duas trilhas de largura w colocadas de urn lado da placa e separadas borda a borda por urn a distancia s. A placa tern espessura h e permissividade relativa er. Assumindo que a espessura da trilha seja zero (t 0), a indutancia por unidade de comprimento e

120

1n(2 1 + Vk") 1-

3777T Vo

m(91 + ""'1-

VP) yp

Him

1 V2:Slc:S1

Him

1 0:Slc:SV2 2

(6.12a)

onde lc e

s s + 2w

(6.12b)

e lc' = ~ 1 - k2 . A permissividade relativa efetiva e

co 1

(h \

e,. +- J~nn; [{\ 7'1t::. ln - \ ~ 1 7t::. =' 2 l uull v,. w) ' ... ov .....

,.v

] (6.12c)

lew + h[0,04 - 0,7k + 0,01(1 - 0,1e,.)(0,25

+ k)] }

a qual novamente e decorrente do fato de que as linbas de campo eletrico estao parcialmente no ar e parcialmente no substrato dieletrico. Se esse meio nao-homogeneo (are dieletrico) e substitufdo por urn meio homogeneo tendo uma permissividade relativa efetiva de e/ como mostrado na Fig. 6.6c, todas as propriedades da linha permanecem inalteradas. Assim, a capacitancia por unidade de comprimento pode ser obtida a partir da relagao em (6.8) como

Linhas de Transmissao l> 253

= --r lti~

e'r

Yk) Vk e' m(2 l + ylki) l-VJCi

l + 120'00 In ( 2 l _

F/m

(6.12d)

37771"'00

F/m

t>· IEXIEIRIC~Cm DIE RIEViSAO 6.4 Detennine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento de uma stripline com dimensoes s = 20 mils (0,508 mm), w = 5 mils (0,127 mm) e er = 4,7. · !Jl61E$!PIDJ$1tl\~

113,2 pF/m e 0,461 fLH/m.

Detennine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento de uma microstrlp com dimensoes h = 50 mils (1,27 mm), w = 5 mils (0,127 mm) e er = 4,7. PniESIP«JlSifA:S 38,46 pF/m e 0,877 fLH/m. A pennissividade relativa efetiva e e/ = 3,034.

Determine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento de uma placa de circuito impressa com dimens5es s 15 mils (0,381 mm), w = 15 mils (0,381 mm), h = 62 mils (1,575 mm) e er = 4,7. ~IESP[i)STAS 38,53 pF/m e 0,8o4 fLHim. A permissividade relativa efetiva e e,'

2,787.

·~

6.2 EXCITACAO DE LINHAS DE TRANSMISSAO NO DOMINIO DO TEMPO Examinarenios agora urn a linha de transmissao ligando uma fonte a urn a carga como ilustrado na Fig. 6.7. A fonte consiste em uma fonte de tensao a circuito aberto, V5(t), e resistencia de fonte, R5, e a carga erepresentada por uma resistencia RL. A linha tera urn comprimento total :£. Atensao da fonte pode ter uma forma de onda arbitrana.

6.2.1

S~liuu;ao

Geral

As equagqes desacopladas de segunda ordem da linha de transmisao sao dadas em (6.2). Esimples mostrar que suas solug5es sao

/(0, t)

/(z, t)

I(:£, t)

+ V(z, t)

V(:£, t)

V(O, f)

r---------------~r-------+Z

Z=O Figura6.7 Tenninagoes de uma linha de dois condutores.

...

254 l> Capitulo Seis

V(z,t)

v+(t- ;) + v-(t + ;) '---v----'

'---v----'

onda progressiva

onda retr6grada

(+=)

(-=)

(6.13a)

v+(t- ~) v-(t + ~)

I(z,t) = _.:_____..:_ Zc

'-v----'

onda progressiva (+z)

(6.13b)

'-v----'

onda retr6grada (-:z:)

onde a impedancia caracteristica e

(6.14)

e a velocidade de propagac;ao e

'D = - -

vrc

rnls

(6.15)

As equac;oes para a tensao e para a corrente em (6.13) consistem na soma e diferenc;a de ondas progressivas (na direc;ao +z) e retr6gradas (na direc;ao -z). A onda progressiva e dada pela func;ao v+(t- zlv). Ef:kil perceber que essa onda esta se propaganda na direc;ao +z porque o argumento da fungao, t - zl v, deve ser constante para acompanhar o movimento de urn ponto na forma de onda. Assim, amedida que t aumenta, z deve tambem aumentar, e a onda se propaga na direc;ao +z para garantir isso. Similarmente, a func;ao v-(t +zlv) representa uma onda se propaganda na direc;ao -z porque; para manter o argumento constante, quando t aumenta, z deve diminuir para manter o argumento constante. A forma precisa das func;oes e depende da forma de onda da tensao da fonte V5(t). Contudo, t, z e v podem apenas aparecer como t - zlv out + zlv. A impedancia caracteristica, Zc, e urn numero real (nao complexo). Assim, seria mais apropriado chama-lade resistencia caracteristica. A palavra "impedancia" e urn termo do domfnio da freqliencia (fasorial); mas, aqui, a forma de onda da tensao da fonte nao e necessariamente uma forma de onda senoidal de freqliencia unica, mas ela pode ser uma forma de onda arbitraria. Contudo, tornou-se urn padrao industrial referir-se a Zc como a impedancia caracteristica, como continuaremos a fazer aqui. E importante observar que, por causa do importante sinal negativo entre as duas ondas na expressao da corrente em (6.13b), I(z,t) V(z,t)IZc. Em outras palavras, aimpedancia de entrada vista 1 • • 1 1 1 1· 1 " • 1 ' . ,,.. • • ,. • • 4 • ,,. • • ,. em urna aas exueuuaaaes oa nnna nao e 1gua1 a 1rnpeaancm caracmnsuca. li 1mpeaancm caractenstica Zc apenas relaciona a tensaoe a corrente da onda progressiva com a tensao e a corrente da onda retr6grada.

v+ v-

~> EXERCiCIO DE REVISAO:&a Determine as impediincias caracteristicas e as velocidades de propagaglio das linhas tipo fio nos Exercicios de Revislio 6.1, 6.2 e 6.3. RIESIPOSTAS 225,1 !l, 3 X lOB rnls; 151 !l, 3 X 108 m/s, 51 !l; 1,98 X lOB rnls.

Linhas de Transmissiio l> 255

Determine as irnpedancias caracterfsticas e as velocidades de propagac,;ao nas linhas de sec,;ao reta retangular nos Exercfcios de Revisao 6.4, 6.5 e 6.6. iHliE$!PIIJl$1J.l.$ 63,8 fi, 1,38 X lQB m/s; 151 fi, 1,72 X lOB m/s; 144,45 fi, 1,8 X lOB m/s.

6.2.2 lratga«llo de Ollllldill e Coeficnamtes de lileflexao

Considere agora a terminac;;ao em uma carga, z = f£. A tensao e a corrente total na carga sao

V(f£,t)

= v+(t - T) + v-(t + T)

(6.16a)

(6.16b) onde 0 atraso no tempo e

~ ~

(6.17)

Na carga, a lei de Ohm estabelece que

V(f£,7:) I(f£,t)

(6.18)

Mas isso nao pode ser satisfeito com apenas uma onda progressiva, pois (6.19)

Assim, devem existir ambas as ondas progressiva e retr6grada para satisfazer (6.18). Se RL = Zc, dizemos que a linha esta casada com a carga. Neste caso, havenl. apenas as ondas progressivas sobre a linha, como evidenciado por (6.19). No caso de uma linha descasada, RL =I= Zc, definimos urn coeficiente de reflexao (de tensao) na carga como a razao entre a onda de tensao retr6grada (refletida) e a onda de tensao progressiva (incidente) como -

r __ v-..,--:.(t_+_T_:..) L - v+(t- T)

(6.20)

de forma que as express5es de tensao e corrente na carga se tornam

+ fL]

(6.21a)

(1- fL]

(6.21b)

V(.::E,t) = v+(t - T)(1 e

I(.::E,t)

v+(t- T) Zc

Tomando a razao entre (6.21a) e (6.21b), temos

V(f£,t) I(f£,t)

= RL [1

+ rL]

(6.22)

= Zc(1- fL] Resolvendo (6.22) para o coeficiente de reflexao, obtemos o coeficiente de reflexao (de tensao) na carga como

256 &> Capitulo Sei~

Figura 6.3 Analogia entre a terminagao de uma linha de transmissao e a incidencia normal de ondas plan as unifonnes na fronteira de urn material plano.

(6.23) Por causa do sinal negativo na expressao da corrente em (6.13b), o coeficiente de reflexao para corrente e o negativo do coeficiente de reflexao de tensao. Einteressante comparar esse caso ao de uma onda plana uniforme com incidencia normal a uma fronteira, discutido na Segao 5.5 do Capftulo 5. (Ver Fig. 5.8.) A pon;;ao da onda de campo eletrico incidente que e refletida e

T/2 - TJr T/2

+ TJr

onde 7]1 = ~ t-t1I s1 e a impedancia intrfnseca do meio da esquerda (contendo o campo eletrico incidente) e 7]2 = ~ t-t2 /s 2 e a impedancia intrfnseca do meio da direita contendo o campo eletrico transmitido. Isto nos permite fazer uma correspondencia entre os dois problemas similares, se fizermos a seguinte correspondencia:

\T#E. l#H

Z~#TJr RL #TJ2 como indicado na Fig. 6.8. Assim, o que aprendemos sobre ondas planas uniformes pode, em muitos casas, ser utilizado em linhas de trlli.J.smissao, de uma maneira analoga. Anteriormente vimos que, numa carga descasada, a onda de tensao incidente (progressiva) e parcialmente refletida e enviada de volta para a fonte. Isso esta ilustrado na Fig. 6.9. A onda inicialmente enviada pela fonte e uma onda progressiva e nao atingiu a carga descasada para produzir uma reflexao. Assim, ate que a onda atinja a carga e gere uma onda refletida, existe apenas uma onda progressiva sobre a linha. Mas essa onda refletida s6 aparece na entrada da linha ap6s urn atraso de 2T. Assim, de acordo com (6.13), a fonte inicialmente ve uma impedancia de entrada em relar;ao alinha de Zc, como mostrado na Fig. 6.10. Depois que a onda atinge a carga e produz uma onda refletida, isso nao e mais verdade, pois existirao ambas as ondas progressiva e retr6grada sobre a linha, e a razao nao sera Zc por causa do sinal negativo na expressao da corrente em (6.13). Assim, a

Linhas de Transmissao ll> 25'1

V5 (t)

z=~

I ". . -~ ...... ...

<E:-1----

v- (t+ zlv)

...........

----

z=!ÂŁ

.,"

-r>.-/ .....-=:::-----.

" ...

......

... '1.

T''

... z

Figura 6.9 llustras;ao da reflexao das ondas de tensao na carga de uma linha de transmissao.

():flQili!li~iairne!lte{lnviada

pode SE)r determinada pelo divisor de tensao, conforme mostrado na Fig.

6.10, como

V(O,t)

s + Zc

V8(t)

Similarmente, a onda de corrente inicial enviada pela foote

I(O,t)

= Vs(t)

Rs + Zc

< 2T

(6.24a)

e < 2T

(6.24b)

A onda refletida na carga ira, depois de urn atraso de T = :ÂŁ/v, incidir sobre a foote. Definimos de maneira similar o coefi.ciente de reflexao (de tensao) na foote como

Zc r s = Rs__;; __ _..:;_ Rs + Zc

(6.25)

Assim, a pon;ao da onda de tensao incidente (que erefletida pela carga) sera refletida de volta em dire9ao a carga. 0 coefi.ciente de reflexao para a onda de corrente e, por causa do sinal negativo na expressao da corrente em (6.13b), o negativo do coeficiente de reflexao de tensao. Esse processo continua indefinidamente.

258 IP Capitulo Seis

V5 (t)

I (0, t}

v (0, t)

Z=O

(a)

V(O, t)

(b) t<2

Fi!JIIW!il 6.10 llustragao da determina<;:'lo do pulso inicialmente enviado pela fonte.

Isso e adequadamente mostrado no cliagrama de reflex5es da Fig. 6.11. A partir dele, podemos escrever uma expressao para a tensao em z 0 e na carga, z = :ÂŁ, como

(6.26a)

(6.26b)

Assim, as tens5es totais sao as somas das formas de onda da tensao escalonadas e atrasadas no tempp por mUltiplos de urn atraso de tempo T. Embora a forma de onda de tensao na fonte e na carga possa ser esbo<_;:ada a partir de (6.26), e muito mais simples "tra<_;:ar as ondas incidente e refletida inclividuais" e, em qualquer instante, somar todas as presentes naquele instante. 0 exemplo seguinte ilustra essa tecnica simples. ~,.

EXEMPLO 6.1 A Fig. 6.12 mostra uma linha onde uma bateria de 30 V eligada a uma linha de 400 m de comprimento. A linha tem uma impedancia caracteristica de 50 n e uma velocidade de propagagao de 2 X 108 rnls ou 200 rnlf.Ls. A resistencia da fonte e zero (Rs = O) e a resistencia da carga e 100 n (RL = 100 0). Esboce a Corrente na entrada da linha e a tensao na carga. SO!.IJCAO 0 coeficiente de reflexao na fonte e

0-50 0 +50

= -1

linhas de Transmissao !l> .259

Z=~

--------<,_ z

t= t' t=t'+~lv

t= t' +2~/v

t'+~lv

t= t' +3~/v

t' +3~/v

t= t' + 4~/v t= t' +5~/v t= t' + 6~/v

t' +6~/v

t= t' + 7~/v

t' + 7~/v

I I I I I I I Z=~/2

t' + 8~/v

r _ Rs-Zc ls- - - Rs+Zc

t' +8~/v

(a)

Zc Zc+ Rs Vs(t)

(b) Figura~6.11

0 "diagrarna-reflexoes" para determinagao das tensoes na linha em diferentes instantes de tempo.

e o coeficiente de reflexao na carga e

r _ 100- 5o L - 100 +50 1

3 0 atfaso de tempo e T

v = 2 J.1S

Primeiro esbogarnos a tensao na carga, V(;ÂŁ,t). A tensao inicialmente enviada e, ja que a resistencia da fonte e zero, 30 V. As tensoes incidente e refletida estao esbogadas como linhas tracejadas com uma seta adicionada para indicar se ela esta associada a uma onda progressiva ou retr6grada. Ap6s urn atraso de tempo de 2 J.l.S, a tensao inicialmente enviada de 30 V atinge a carga, e uma tensao refletida de ..!.. X 30 10 V e enviada de volta em diregao 3 a fonte. Essa tensao refletida atinge a fonte em 4 J.l.S, e uma onda refletida de -1 X 10 = -10 V, e enviada de volta

260 ll> Capitulo Seis

t=O

I (0, t)

+ Zc= 50 Q. V=200 m/J.LS

JS=-1 Vs(t)

v (S:, t)

RL = 100 Q.

1(_=1

----400 m___..,...

30V r-~----------_

(a)

V(S:, t) total= 40V

v --------,--

total= 31,11 V

-----l>---

. ..,.

--------

total = 29,63 V

total = 26,67 V .

10V

----~--~----------------------------

1'11 v 3,33 v ~---~--~~~-~~-~-=-

:~-~-~--9__1EJ_1_~~-1~~~:r::~~:: -3,33 V

t(J.Ls)

-0,37 V -1,11 V

'-----~---------------------10V (b)

I (0, t) 0,6A

~~~~-r--------~-------------------

0,3334A 0,2 A

0,289 A

0,0667 A r=====~~==========

1 2

9 10 11 ~-:..~~l~~-:..~6 -0 0222 A 1.!:.:::.Âˇ:::::.-::.-::.-::.-::.?::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.'=--::.-::.-::.-::.-::.-:: -0,2A

3 4::

6 7

t()!S)

(c)

Figura 6.12 Exemplo 6.1; determinando a corrente na entrada da linha e a tensao na carga. (a) Especificagao do problema. (b) A tensao na carga. (c) A coriâ&#x201A;Źmte de entrada da linha.

em diregao a carga. Quando essa tensao, agora incidente, atinge a carga, uma porgao,

.!.

X ( -10) = -3,33 V, e 3 enviada de volta em diregao afonte. Essas tens5es incidente e refletida estao esbogadas na Fig. 6.12b. Somando as tens5es presentes em qualquer instante, temos o total, conforme mostrado por uma linha cheia.

Linhas de Transmissao ll> 2161

A corrente pode ser similarmente esbogada. A corrente inicialmente enviada e30 V!Zc = 0,6 A. 0 coeficiente de reflexao de corrente na carga eo negativo do coeficiente de reflexao de tensao ou -

.!. . Similarmente, o coeficiente 3

de reflexao de corrente na fonte eo negativo do coeficiente de reflexao de tensao ou +l. 0 tragado dessas correntes incidentes e refletidas, da mesma maneira que a tensao, produz o resultado mostrado na Fig. 6.12c. E finalmente podemos verificara consistencia desses resultados. Ap6s urn tempo suficientemente grande, as reflexoes irao decair a zero e devemos esperar que nao tenham mais efeito sabre a linba. Conseqiientemente, os resultados devem convergir, ap6s diversos atrasos, para 30 V e 30 V/100 fi = 0,3 A. Os esbogos indicam que isso e realmente o que ocorre.

I? IEXIEMIPUll 6.2 Este exemplo mostra o efeito de urn pulso sabre as tensoes totais. Considere urna linba de comprimento 0,2 m (7,9 in), mostrada na Fig. 6.13a. A tensao da fonte e urn pulso de 20 V de amplitude e 1 ns de duragao. A linba tern uma impedancia caracterfstica de 100 De urna velocidade de propagagao de 2 X 108 m/s. A resistencia da fonte e300 fi (Rs = 300 D), e a carga e urn circuito aberto (R1 =co). Esboce a tensao na entrada da linba e na carga. $[JllilJ!~~IOJ 0 coeficiente de reflexao na fonte

e r _ 3oo- 100 s- 300 + 100 1 2

e o coe:ficiente de reflexao na carga e

r _ oo- 100 L - 00

+ 100

= 1

0 atraso de tempo e T = :ÂŁ

= 1 ns

Primeiro esbogamos a tensao na fonte, V(O,t). A tensao inicialmente enviada e 100 300 + 100

---X

As tens5es incidente e refletida sao novamente esbogadas na Fig. 6.13b com linbas tracejadas com urna seta adicionada para indicar se elas estao associadas a uma onda progressiva ou retr6grada. 0 pulso incidente eenviado para a carga, alcangado-a ap6s urn tempo de 1 ns, onde e refletido como urn pulso de 5 V, pais o coeficiente de reflexao na carga L = l. Esse pulso refletido na carga atinge a fonte ap6s urn atraso de tempo adicional de 1 ns. Esse pulso incidente erefletido como f s X 5 V 2,5 V, o qual atinge a carga ap6s urn atraso de 1 ns, onde e refletido como 2,5 V, atingindo a fonte ap6s 1 ns de atraso. 0 processo continua, como mostrado. Somando todos os pulsos incidentes e refletidos na fonte, obtemos a tensao total desenhada com uma linba cheia. Claramente esse total decai a zero, a medida que ele atinge o regime permanente. Agora esbogamos a tensao na carga. Ap6s urn atraso de tempo de 1 ns, a tensao 5 V inicialmente enviada atinge a carga, e uma tensao refletida de 5 V eenviada de volta em diregao afonte. Essa tensao refletida chega na fonte ap6s 2 ns, e urna tensao refletida de 2,5 V e enviada em diregao acarga, alcangando-a em 3 ns. Quando esse pulso refletido na fonte atinge a carga, a tensao refletida de 2,5 V eenviada de volta em diregao afonte, que erefletida na fonte como 1,25 V, chegando na carga em 5 ns. Essas tens5es incidentes e refletidas estao esbogadas na Fig. 6.13c. Somando as tens5es presentes em qualquer instante, temos o total, conforme mostrado pela linha cheia. Claramente essa tensao na carga esta decaindo a zero, amedida que ela _atinge o regime permanente. ~:1

~Âˇ

IEXIEMIPUD 6.3 Este exemplo ilustra o efeito de urn a largura de pulso que seja maior que o atraso d<: tempo. Considere o cabo coaxial mostrado na Fig. 6:14a. A tensao da fonte eurn pulso de 100 V de amplitude e 6 J.LS de duragao. A linba eespecificada

262 I> Capitulo Seis

Zc=100Q v=2x 108 m/s

- - - - - - - 0 , 2 m - - - - - - - Ti=+1

T=1 ns

V8 (t) 20 v 1 - - - - - - ,

1 ns

V(O, t)

(a)

7,5

10 t(ns)

V(~.

-5

--<(-

-- -2,5

2,5

---<-

2,5

1,25

---<-

1,25

(c)

Figura 6.13 Exemplo 6.2. llustrag1io do ef~ito da largura do pulso nas tensoes terminais. (a) Especificag1io do problema. (b) A tens1io na entrada da linha. (c) A tens1io na carga.

pela sua capacitancia e pela sua indutancia por unidade de cornprirnento: c = 100 pF/rn e l = 0,25 p.Wm. Isso corresponde a urn cabo coaxial RG-58U cujos parfunetros por unidade de cornprimento foram calculados no Exercfcio de Revis1io 6.3. A linha tern urna irnpedancia caracterfstica de

Lin has de Transmissao i> 263

c::::toopFim \.----l-:.+1>1_( :\~f ~j~~~f~jjjj~[····

t=·:o.~p ~H/m

-~-~-I-*400 m-----l>llojI

1[_ =-1

V8 (t), V 100 v !===---..,

----~---~~--------------~~z

6 !J.S

(a) h. V(O I

t) V

+25

+25 -?--1 I I I I I I I I I I I I I I

+18,75 +12,5

~----- 1--~--

I I I

-----1 +9,3751

1----- ->-------+6,25 I I 12

4 5

1011

I 13 f-----

1-3,125 I_____

: -12,5 I I I I II ____

+3,125 r---<t--·

r-;>,-""'1

1415 16 17

+1,56 3

:18

-~-------,

-=~~5-r ____ j

f,jlS

-4,6 9

-9,375

c:-12,5 --?-------18,75 -25

I I

--"'*-- 1-----1

-37,5

.· (b)

Figura 6.14 Exemplo 6.3. Ilustragao do efeito da largura do pulso nas tens5es terminais. (a) Especificagao do problema. (b) A tensao na entrada da linha.

A velocidade de propagagao e l

v=-

VZC

= 200 m/f.Ls

264 Ill> Capitulo Seis

A resistencia da fonte e 150 fi (R5 = 150 n) e a carga e urn curto-circuito (RLÂˇ = 0 n). Esboce a tensao na entrada da Jinha. $iii!.lJI~j(l) 0 coeficiente de reflexao na fonte

e r _ 150- 5o s- 150 +50 1 2

e o coeficiente de reflexao na carga e

r-~ L-0+50 =

-1

0 atraso de tempo e ÂŁ

T=v = 2J.LS

A tensao inicialmente enviada e

50 - - -+-- X 100 150 50

= 25 V

As tens5es incidentes e refletidas sao novamente esboc;adas com linhas tracejadas na Fig. 6.l4b com uma seta adicionada para indicar se elas estao associadas a uma onda progressiva ou retr6grada. 0 pulso incidente eenviado para a carga, alcanc;ando-a ap6s urn atraso de tempo de 2 J.LS, onde ele e refletido como urn pulso de -25 V. Esse pulso refletido na carga atinge a fonte ap6s urn atraso adicional de 2 J.LS. Esse pulso incidente e refletido como -12,5 V, o qual atinge a carga ap6s 2 J.LS, onde e refletido como 12,5 V, atingindo a fonte ap6s 2 J.LS de atraso. 0 processo continua, como mostrado. Somando todos os pulsos incidentes e refletidos na fonte, obtemos a tensao total desenhada com uma linha cheia. Claramente esse total decai a zero, amedida que ela atinge o regime permanente. Observe que, neste exemplo, o pulso de 6 J.LS corresponde a tres atrasos de tempo. Assim, o pulso inicialmente enviado e o pulso incidente (o qual foi o pulso enviado refletido na carga) se sobrep5em. Essa sobreposic;ao cria urn a forma de onda mais interessante e complicada. -1.8

6.2.3 Modelo SPICE

A solU<;;ao as equac;:oes da linha de transmissao em (6.13) e repetida aqui:

~) + v-(t + ~)

V(z,t) = v+(tZci(z,t)

= v+(t -

(6.27a)

;-) - v-(t + ;-)

(6.27b)

Na equac;:ao para a corrente, multiplicamos ambos os lados pela impedancia caracterfstica. Soman do e subtraindo essas equac;:oes, temos

2v+(t - ~)

(6.28a)

V(z,t~ .- Zci(z,t) = 2v-(t + ~)

(6.28b)

V(z,t) + Zci(z,t) =

Calculando (6.28a) na fonte e na carga, temos (6.29a)

V(.P,t) + Zci(.P,t) = 2V+(t - T) V(O,t - T) + Zci(O,t - T)

2v+(t ~ -

2V+(t -

(6.29b)

linhas de Transmissao I> 2185

Observe que atrasamos (6.29b) de T, por raz6es a se tomarem aparentes. Eliminando V+ subtraindo essas equac;;oes, obtemos ·

I V(.:£,t) + Zcl(.:E,t) = V(O,t ~ T) + Zcl(O,t -

(6.30a)·

Zci(O,t) = V(.:E,t - T) - Zcl(.:E,t - T)

(6.30b)

Fazendo urn calculo similar com (6.28b), temos

I V(O,t) -

As Equac;;oes (6.30) nos permitem modelar a linha como duas portas, conforme mostrado na Fig. 6.15a. Gada fonte de tensao controlada e uma func;;ao da tensao e da corrente na outra extremidade da linha, levando-se em c:onta o atraso de tempo. 0 programa SPICE de analise de circuitos inclui urn modelo exato de uma linha de transmissao sem perdas com dois condutores que implementa o modelo na Fig. 6.15a. Para detalhes do uso do SPICE, ver C. R. Paul, Fundamentals of Elect1ic Circuit Analysis, John Wiley, 2001. A codificac;;ao do SPICE e mostrada na Fig. 6.15b: TXXX Nl N2 N3 N4 ZO=

TD=

0 XXX eurn nome arbitrfuio para essa linha escolhido pelo usufuio. 0 SPICE se refere aimpedancia caracter:fstica como ZOe ao atraso de tempo como TD. 0

Use o SPICE (ou a versao para computador pessoal, PSPICE) para resolver o problema mostrado na Fig. 6.12 que foi obtido no Exemplo 6.1.

/(0, t}

E0 = V(:£,

t- D-Zcl(:£, t- D

/(:£, t)

E9!= V(O, t- D+Zcf(O,

t- D

(a)

:::> zo r:::>m

)

@ TXXX

8 ZO=

TO=

(b)

,.,

Figura 6.15 0 modelo SPICE (PSPICE) de uma linha de transmissao. (a) Urn modela exato da linha. (b) A codifica~:ao SPICE.

•TD ea abreviatura de time delay, que significaatraso de tempo. (N.T.)

.,...

266 li:> Capitulo Seis

CD Zc=50Q

100Q

T=2f.LS

@ V8 (t) 30V

30V

=> ;>

0,01 f.LS

(a) 40V

30V

20V

10V

10 f.LS

Of.LS cV (2)

Tempo (b) 600mA 500mA 400mA

300mA 200mA 100mA OmA 0 ~-1 (VS)

5 f.LS

10 f.LS Tempo

15j.1S

(c)

Figura 6.16 Exemplo 6.4; a solur;:ao SPICE do problema do Exemplo 6.1. (a) Nomear;:ao dos n6s no SPICE. (b) Solur;:ao·'SFl~E \

para a tensao na carga da linha. (c) Solur;:ao SPICE para a corrente de entrada da linha.

Linhas de Transmissao ll> 267

.ElffiW~AfO A codificagao do SPICE (PSPICE) e mostrada na Fig. 6.16a:

EXAMPLE 6.4 VS 1 0 PWL(O 0 . OlU 30) T 1 0 2 0 ZO=SO TD=2U RL 2 0 100 .TRAN .01U 20U 0 .01U .PRINT TRAN V(2) I(VS) *THE LOAD VOLTAGE IS V(2) AND *THE INPUT CURRENT IS -I(VS) .PROBE .END Usamos a fun gao linear em intervalos do SPICE (PWL) â&#x20AC;˘ para especificar a tensao da fonte. Essa fun gao especifica urn gnl.fico linear de linhas retas entre instantes de tempo Tl, T2, T3, ... cujos valores sao V1, V2, V3, ... como VXXX N1 N2 PWL(T1 V1 T2 V2 T3 V3

Ainda, adotamos a tensao da bateria com urn tempo de subida muito pequeno (0,01 JLS) para especifica-la com a fungao PWL. Usamos a fungao .PROBE do PSPICE para fornecer gnifi.cos da tensao na carga e da corrente de entrada que sao mostradas na Fig. 6.16b e Fig. 6.16c, respectivamente. Compare-as aos graficos correspondentes obtidos manualmente e mostrados na Fig. 6.12. 0 formato da linha .TRAN e .TRAN [print step] [final solution time] [print start] [maximum solution time step]

0 print step (tempo de impressao) e o intervalo de tempo em que as solugoes sao impressas em urn arquivo, se requerido numa afirmativa .PRINT, eo final solution time eo tempo final para o qual a solugao e desejada. Os primeiros dais parfunetros sao necessfuios, e os dais restantes sao opcionais. Todas as solugoes comegam em t 0, mas o parametro print start (partida na impressao) atrasa a impressao dos resultados para o arquivo de saida ate esse instante. Usualmente o parametro print start e ajustado para zero. A especificagao do termo restante, maximum solution step time, e muitas vezes necessfuia para controlar a exatidao e resolugao da solugao. 0 SPICE (PSPICE) resolve as equagoes da linha de transmissao e circuitos de terminagao associados discretizando o intervalo de tempo em incrementos At. Estes saoJesolvidos atualizando os resultados no proximo passo de tempo com aqueles dos intervalos anteriores. 0 parametro maximum solution step time na linha .TRAN ajusta o maximo passo de tempo de discretizagao. Quando o circuito con tern uma linha de transmissao, as tensoes e correntes na linha estarao variando em intervalos de tempo da ordem de um atraso de tempo, T, como vimos. Para nao perder quaisquer variagoes importantes, o maximum solution step time deve ser consideravelmente menor que urn atraso de tempo. 0 programa SPICE desenvolvido em 1960 ajusta automaticamente o passo maximo de tempo de discretizar;~o para sera metade do menor atraso de linha quando o circuito contem linhas de transmissao. Em muitos problemas, as tensoes e correntes estarao variando em intervalos de tempo muito menores que isso. Por exemplo, a forma de onda da tensao da fonte pode ser especificada como tendo um tempo de subida/descida para ser especillcada com a fungao PWL. Esse tempo de subida/descida pode ser (e usualmente e) muito menor que urn atraso da linha. Assim, o ma:timum solution step time deve ser ajustado para a menor variagao de tempo. .,,J :r.~

IEXIEMPLO 6.5 Use o SPICE (ou a versao para computador pessoal, PSPICE) para resolver o problema mostrado na Fig. 6.13 que foi obtido no Exemplo 6.2.

â&#x20AC;˘pWL significa piecewise linear e e a abreviatura adotada para a piecewise linear function do programa SPICE, onde piecewise linear function euma fungao linear em intervalos ou func;:ao seccionalmente linear. (N.T.)

268

Capitulo Seis

soon 速

速 Zc= 1000 T=1 ns

速

V5 (t)

20 v 1 - - - - - - ,

20V

1 ns (a)

8,0V

lr--

6,0V

4,0V

:---

2,0V

r--

O,OV Ons

oV (2)

2ns

6 ns

4ns

8 ns

10 ns

Tempo (b) 10V~~--r------r-~-----~~-----~~----~

8V 6V

::t I I I I D D 0 ns 2 ns oV (3)

4 ns

6 ns

8 ns

10 ns

Tempo (c)

Figura 6.17 Exemplo 6.5; a soluc;:ao SPICE do problema do Exemplo 6.2. (a) Nomeac;:ao dos n6s no SPICE. (b) Soluc;:ao SPICE para a tensao na entrada da linha. (c) Solugao SPICE para a tensao na carga da linha.

Linhas de Transmissao I? 269

:S!ITJW~J11i] A codificagao do SPICE (PSPICE) e mostrada na Fig. 6.17a: EXAMPLE 6. 5 VS 1 0 PWL( 0 0 0. 01N 20 1N 20 RS 1 2 300 T 2 0 3 0 Z0=100 TD=1N RL 3 0 1E8

.TRAN 0.01N 10N 0 0.01N .PRINT TRAN V(2) V(3) *THE LOAD VOLTAGE IS V(3) AND

;,THE INPUT VOLTAGE IS V(2) .PROBE .END

Novamente usamos a fungao linear em intervalos, do SPICE, para especificar a tenslio da fonte. Ainda, adotamos urn pulso com tempos de subida e descida muito pequenos (0,01 ns) para poder especifica-los com a fun<;;lio PWL. 0 circuito aberto da carga e especificado como uma grande resistencia (108 !1). A tensao de entrada e a tensao de saida sao mostradas na Fig. 6.17b e Fig. 6.17c, respectivamente. Compare-as aos graficos correspondentes obtidos manualmente e mostrados na Fig. 6.13. .,~

150Q

ÂŽ

v,(t)L

Zc=50Q T= 2 j.l.S

V8 (t) 100 v 1------,

100V

6 j.l.S (a) 30Vr-------~------~--------.-------~

20V 10V OV -10V -20V -30V

Tempo (b) Figura6.~8 Exemplo 6.6; a soluglio SPICE do problema do Exemplo 6.3. (a) Nomeaglio dos n6s no SPICE. (b) Solugao SPICE para a tensao na entrada da linha.

270 !l? Capitulo Seis

.· IEXEMPUHi.6 Use o SPICE (ou a versao para computador pessoal, PSPICE) para resolver o problema mostrado na Fig. 6.14 que foi obtido no Exemplo 6.3. SI!))W~l© A codifica<;iio do SPICE (PSPICE)

emostrada na Fig. 6.18a:

EXAMPLE 6.6 VS 1 0 PWL(O 0 . OlU 100 6U 100 6. 01U 0) RS 1 2 150 T 2 0 3 0 ZO=SO TD=2U RL 3 0 1E-6

.TRAN .01U 20U 0

.01U

.PRINT TRAN V(2) V(3) '~THE

INPUT VOLTAGE IS V ( 2)

.PROBE .END

Novamente usamos a fun<;iio PWL para especificar o pulso. 0 curto-circuito da carga erepresentado porum resistor de l pi),, }1 que o SPICE niio permite resistencias nulas. A tensiio de entrada emostrada na Fig. 6.18b. Comparea ao gnifico correspondente obtido manualmente e mostrado na Fig. 6.l4b. ·•ij

6.3 EXCITACAO SENOIDAL (FASORIAL) DE LIN HAS DE TRANSMISSAO Nesta segao, investigaremos a solugao para as tens5es e correntes de uma linha de transmissao quando a tensao da fonte e uma.sen6ide de freqliencia unica, isto e, V8(t) V8 sen(wt + </J) ou V8(t) = V 8 cos(wt + </J), e a linha esta em regime permanente, isto e, quaisquer transientes ocorrendo quando a fonte foi conectada alinha ja desapareceram. 0 processo de solugao e o mesmo que foi usado para resolver circuitos a parfunetros concentrados e e chamado de metodo fasorial. A ideia e substituir a tensao da fonte pela sua representagao exponencial complexa como Vs(t) = V8 sen(wt +<b)}=> V L</JeJwt V8(t) = V5 cos(wt +<b) ~ Vs A

As tens5es e correntes da linha de transmissao no dominio do tempo sao substituidas pelos seus fasores equivalentes no dominio da freqiiencia como V(z,t) => V LOvejwt

........,__...

(6.3la)

V(z) e

I(z,t) => IL01 ejwt ----...-...-

(6.3lb)

i(z) Avantagem desse metodo e que a variavel tempo e removida, e a tensao e a Corrente (fasores) dependem apenas da posigao z. Adiferenciac;;ao em relagao ao tempo corresponde a uma simples multiplicac;;ao porj w: av(z,t) -at-=>jwV(z,t)

(6.32a)

ai(z,t) -at=> jwl(z,t)

(6.32b)

Linhas de Transmissao I> 271

Assim, as equac;:5es da linha de transmissao em (6.1) podem ser escritas em termos dos fasores tensao e corrente, V(z) e i(z), substituindo (6.31) e cancelando gjwt em ambos os lados, obtendo

dV(z) = -jwll(z) dz

(6.33a)

di(z) dz

(6.33b)

-- =

-jwcV(z)

As equac;:5es desacopladas de segunda ordem da linha de transmissao em (6.2) se tomam

d'2"t1(-) \ ~ dz 2

-w;.lcV(z)

(6.34a)

(6.34b)

IS.:u

SolllJJ~illD

fiiierrÂŤlll A soluc;:ao das equac;:5es de segunda ordem em (6.34) e bern conhecida:

..., V(z)

= v+e-jf3=

+ v-ejf3: I

(6.35a)

(6.35b) onde a impedancia caracteristica e, como antes, Zc = f3

fik e a constante de fase e

= wvrG w v

= -

radianos/m

(6.36)

e a velocidade de propagac;:ao e, como antes, v = -Jk.As grandezas y+ e v- sao, como antes, constantes incognitas. Estas serao determinadas pelos parametres especfficos da carga e da fonte. A constante de fase f3 representa urn deslocamento de fase amedida que a onda se propaga ao lange;> da linha. A configurac;:ao da fonte e da carga e mostrada na Fig. 6.19, mas aqui nao induimos indutores e capacitores em suas impedancias, Z5 e ZL. Uma vez que incorporamos a fonte e a carga na soluc;:ao geral em (6.35), podemos retornar ao dominio do tempo da forma usual, primeiro multiplicando o fasor resultante por dwt, e depois tomando a parte real ou imaginana do resultado como fizemos na analise de circuitos eletricos. Assumindo que a fonte de tensao eurn cosseno, o resultado no dominio do tempo se toma

V(z,t)

= v+ cos( wt - {3z + e+) + v- cos( wt + {3z + e-)

(6.37a)

272 I> Capitulo Seis

i(z)

f(O) +

Figura 6.19 Aespecificaglio das termina«;:oes para excitagao senoidal (fasorial) de estado estacionario da linha.

r----------------;------~z

Z=O

Z=:£

I(z, t)

= -cos(wt Zc

[3z

v+ e+)- -cos(wt + [3z + e-) Zc

onde as constantes indeterminadas sao, em geral, complexos como (6.36), que, como [3 = wlv, podemos escrever

(wt- [3z)#w(t- z/v)

(6.37b)

V::t = V::t L e::t. Observe, a partir de · (6.38)

Isto mostra que o tenno de deslocamento de fase (wt- [3z) eequivalente aumatraso de tempo (t- zlv). 6.3.2 Coeficiente de Refiexao e lmpedancia de Entrada Para incorporar a fonte e a carga na solu~ao geral, novamente definimos urn coeficiente de reflexao de tensao como a razao das tens6es (fasoriais) das ondas progressiva e retr6grada:

. v- j2"z =-e,.,

(6.39)

Este e urn coeficiente de reflexao geral em qualquer z ao longo da linha. Calculando este na carga, z =

:£, temos

v- .2,9! r L =-el" y+ A

(6.40)

onde o coeficiente de reflexao na carga e, como antes,

(6.41) Substituindo (6.40) em (6.39 ), obtemos uma expressao para o coeficiente de reflexao em qualquer ponto em termos do coeficiente de reflexao na carga, que pode ser diretamente calculado via (6.41): (6.42) A solu~ao geral em (6.35) para a tensao e corrente fasoriais ao longo da linha pode ser escrita em termos do coeficiente de reflexao em qualquer ponto substituindo (6.39): (6.43a) e

Linhas de Transmissao 1il> 273

(6.43b) Substituindo a relagao explicita para o coeficiente de reflexao em tennos do coeficiente de reflexao na carga dado em (6.42), temos (6.44a) e

(6.44b) U m parfu:netro importante que sera necessaria calcular e a impedancia de entrada da linba em qualquer ponto da linba. A impedancia de entrada ea razao entre a tensao e a corrente totais naquele ponto, como mostrado na Fig. 6.19:

Zent(z) =

V(z) I(z)

= Zc

+ f(z)]

(6.45)

[1- f(z)]

onde substituimos (6.43). Essa importante relagao sera usada diversas vezes. 0 processo de detenninagao da impedancia caracterfstica consiste em primeiramente calcular o coeficiente de reflexao na carga a partir de (6.41); depois calcular o coeficiente de reflexao no ponto desejado a partir de (6.42);.e finalmente substituir esses resultados em (6.45). Urna posigao importante para calcular a impedancia de entrada ena entrada da linba, z = 0. 0 coeficiente de reflexao na entrada da linba e obtido a partir de (6.42): (6.46) Assim, a impedancia de entrada para uma linba de comprimento !£ e

(6.47)

e reservaremos uma notagao especial

6.3.3

Solu~ao

z•• = z.. {0). t

para as iensoes e Correntes ierminais Estaremos interessados em determinar a tensao e a corrente na entrada e na safda da linba. Calculando (6.43) em z = 0 e z = !£, temos

v(o) = v+[1 + r(o)J

(6.48a)

A+

l(O) = -[1 - f(O)] Zc

(6.48b)

274 I> Capitulo Seis

/(0} I I I

~.Z.,t Figura 6.20 Deterrninat;lio da tenslio na entrada da linha modelando a entrada da linha pela sua impedancia de entrada.

I I I

VUE)= v+e-jf3:£[1 + fL] ~

I(!£)

= -e-Jf3:E[1 Zc

(6.49a)

- fL]

(6.49b)

v+,

Se podemos determinar a constante incognita entao podemos determinar a tensao e a Corrente na fonte e na carga substituindo em (6.48) e (6.49). Para determinar essa constante incognita, uma posigao conveniente de calcula-la e na entrada da linha, z = 0. Na entrada da linha, a linha pode ser substitufda pela impedancia de entrada da linha como mostrado na Fig. 6.20. A tensao na entrada da linha pode ser determinada por urn divisor de tensao como ~

V(O)

zen~t

(6.50)

+ Zcnt

Assim, a constante incognita e detemlinada a partir de (6.48a) como

v =

V(O)

(6.51)

[1 + f(O))

0 processo de determinagao das tensoes e correntes na entrada e na saida da linha e

1 2 3 4 5 6

determinar o coefi.ciente de reflexao na carga, f'L, a partir de (6.41); determinar o coefi.ciente de reflexao na entrada, f'(O), a partir de (6.46); detemlinar a impedancia de entrada da linha, zcnt> a partir de (6.47); determinar a tensao na entrada,V(O), partir de (6.50); determinar a constante incognita, a partir de (6.51); e substituir estes em (6.48) e (6.49) para determinar as tensoes e as correntes na fonte e na carga.

v+,

0 exemplo seguinte ilustra esse processo.

:>· EXIEMI?LO 6.7 Umalinhade 2,7 m de comprimento eexcitada poruma fonte de 100 MHz, como mostrado na Fig. 6.21. Determine as tensoes na fonte e na carga.

•

Zs= 100- j50 Q +

• V(O}

f= 100 MHz

+ Zc=50Q

V=200 m/J.l.S

- - - 2 , 7 m - - -......

Figura 6.21 Exemplo 6.7.

Lin has de Transmissao !> .275

:BiCliLILH~A«Ji Primeiro calculamos o coeficiente de reflexao na carga:

•

ZL-Zc

rL = -='.=-----=zL + Zc 50+ j200 150 + j200 = 0,82L22,83°

Em seguida, calculamos o coeficiente de reflexao na entrada da linha a partir de (6.46):

f'(O} =

f'Le-j 2fJ!£

Mas isso requer que calculemos o deslocamento de fase e-flfJ!£ = 1L- 2{3Y:.. Isso pode ser escrito como 9; -2[39; = -41fj-

= -41f-

Na freqtiencia de excita9ao de 100 MHz, o comprimento da linha de 2,7 me 1,35A. Assim, 9; -2139; = -41f"A

radianos graus

= -5,41f = -972

Assim, f'Le-j 2fJ!£

f'(O}

= 0,82L -949,17°

z•

ent

(1 + f'(O}] z ..:::..._-..:' ..:'..::..

c[ 1 _ f'(O}]

= 23,35L.75,62°

A tensao na entrada da linha e

v(o)

= • Zs

Zen~ Vs + Zent

= 2,14L120,l3°

e a constante incognita e

{1+ =

V(O} •

[1 + f(O}] 2,75L66,58°

As tensoes sao

v(o)

v+[l + r(o)J

= 2,14L120,13°

v(9;)

v+e-jfl!£[1

+ f'L]

= 4,93L -409,12°

Assim, as tens5es no domfnio do tempo sao

276 l> Capitulo Seis

V(O,t) V(;E,t)

2,14 cos(6,28 X 10~ + 120,13°) 4,93 cos(6,28 X 10~- 49,12°)

= =

Com relagao atensao na carga, somamos 360° para fornecer urn angulo de fase equivalente de -409,12° =>-49,12°. -ri.l

:> EXERC(CiO DIE REViSAO 6.9 Determine as tensoes na fonte e na carga para uma linha cujo comprimento e 10m e tern uma impedancia caracteristicaZc =50 e uma velocidade de propagagao v = 100 m/p,s. A tensao da fonte e Vs = 100L0° em 26 MHz e Zs = 50 n. e ZL = 100 + j50 n.

RIESPOS1AS V(O) = 28,28L 7,48° V e V(~)

6.3.4

Soiu~iio

= 70,71L -99,84° V.

SPICE 0 SPICE (on PSPICE) pode ser usado para resolver esses problemas fasoriais. Ha tres mudan9as em rela9ao ao domfnio do tempo usado anteriormente. Primeiro, a especifica9ao de uma fonte de tensao (ou corrente) fasorial e VS N1 N2 AC mag phase

Segundo, o cartao .TRAN precisa ser modificado para .AC DEC 1 f f

onde f

e a freqtiencia da fonte. Por Ultimo, a saida eobtida como

.PRINT AC VM(NX) VP(NX)

onde VM ea magnitude e VP ea fase desse n6 de tensao.

> EXEMPLO 6.8 Resolva o problema do Exemplo 6.7 usando o SPICE. SO!.Il.J~AO Primeiro, devemos determinar circuitC!.s equivalentes co~do em elementos R, L e C que representam as impedancias fasoriais da fonte e da carg~. Z5 = 100 - j50 e ZL = 100 +j200, na freqiiencia de 100 MHz da fonte. A Fig. 6.22a mostra que esses circuitos podem ser representados por urn resistor de 100 0 em serie com urn capacitor de 31,8 pF e urn resistor de 100 0 em serie com urn indutor de 0,318 J.LH, respectivamente. 0 circuito SPICE e mostrado na Fig. 6.22b, e a codificagao e

EXAMPLE 6.8 VS 1 0 AC 10 30 RS 1 2 100

CS 2 3 31.8P T 3 0 4 0 Z0=50 TD=13.5N RL 4 5 100

LL 5 0 0. 318U .AC DEC 1 1E8 1E8 .PRINT AC VM(3) VP(3) VM(4) VP(4) .END Os resultados sao

V(O) = VM(3)L VP(3) = 2,136Ll20,1°

figura6.22 A solugao SPICE do problema do Exemplo 6. 7. (a) Modelando impedancias complexas para inclusao no programa SPICE. (b) Modelagem SPICE do problema.

V(~) = VM(4)LVP(4) = 4,926L -49,1°

Esses resultados estao em excelente concordancia com aqueles obtidos manualmente no Exemplo 6.7.

1i\l

~-" IEXERC[C~O DE REViSAO 6.10 Resolva o problema do Exercfcio de Revisao 6.9 usando o SPICE. irnESPOSTAS V(O) = 28,28L 7,473° V e V(.~) = 70,71L -99,87° V.

5.3.5 Tensao e Corrente em Fun~io da Posi~tao rna Linha Estivemos primeiramente interessados em determinar as tensoes e correntes nas extremidades da linha. Nesta se9ao, investigaremos e forneceremos graficos dos m6dulos da tensao e corrente fasoriais em diversos pontos ao longo da linha. Relembre as expressoes para tensao e corrente em diversas posigoes ao longo da linha em (6.44), que sao repetidas aqui

V(z)

= v+e-Jf3z[l

+ tLe12f3(z-:£)]

(6.44a)

i(z)

= ~c e-Jf3z[l- fLe1 2f3(z-:£)]

(6.44b)

e A+

1---

Iremos plotar os rn6dulos destas para distancias d (6.44), temos

::£ - z em relagao acarga. Tomando os m6dulos de (6.52a)

I I I

278 !i> Capitulo Seis

II(d = ~ - z)l =

IV+I Zc

-11 -

â&#x20AC;˘

rLe"J 2.Bdl

(6.52b)

Ha tres importantes casos de especial interesse que investigaremos: (1) a carga eurn curto-circuito, ZL = 0; (2) a carga e urn circuito aberto, ZL = oo; e (3) a carga esta casada, ZL = Zc. Para o caso onde a carga eurn curto-circuito, ZL = 0, o coeficiente de reflexao na carga ef'L= -1. As Equat;oes (6.52) se reduzem a !V(d)l = !V+IIl- e-iZ.Bdj =

IV+ lie -j.Bd ilei.Bd - e-jfld I '-v-'~

1 DC lsen(,Bd)l

l2jsen(,Bd)l

(6.53a)

= lsen(27T~)I e

li(d)l

= lv+lll + e-jQfldl Zc

iV+ile-J.Bcllielfld + e'iflcli Zc '-v-'~ l 12 cos(,Bd)l lcos{,Bd)l

(6.53b)

e escrevemos o resultado em termos da distancia em relat;ao acarga, d, como funt;ao do comprimento de onda. Esses resultados estao plotados na Fig. 6.23b. Observe que a tensao ezero na carga e em distancias em relat;ao acarga, que sao mUltiplos de meio comprimento de onda. A corrente emaxima na carga e zero em distancias em relat;ao acarga, que sao mUltiplos fmpares de urn quarto de comprimento de onda. Observe ainda que pontos correspondentes estao separados por meio comprimento de onda. Encontraremos isso como sendo uma importante propriedade para todas as outras cargas. Para o caso em que a carga eurn circuito aberto, ZL = oo, o coeficiente de reflexao na carga ef'L = 1. As Equat;5es (6.52) se reduzem a IV(d)l

= IV+ III + e-jZfldi DC

lcos{,Bd)l

Ieos(

(6.54a)

27T~)I

li(d)l

= iY+IIl- e-jZfldl DC

Zc lsen(,Bd)l

lsen(27T~)I

(6.54b)

Linhas de Transmissiio !?.> 279

t-d---------------Z-c--------------~~~R, ~--------------d~.--------------~

(a)

d~~------------------------------------------~

(e) Terminagao resistiva generica (RL > Zc)

Figura 6.23 Variac;ao dos rn6dulos da tensao e Corrente na linha para varias irnpediincias de terrninagao. (a) Especificagao da linha. (b) Urn curto-circuito na carga. (c) Urn circuito aberto na carga. (d) Urna carga casada. (e) Irnpediincia de terminagao generica.

280 ll'> Capitulo Seis

e novamente escrevemos o resultado em termos da distancia em relagao acarga, d, como fungao do complimento de onda. Esses resultados estao plotados na Fig. 6.23c. Observe que a corrente ezero na carga e em distancias em relagao acarga, que sao mUltiples de meio comprimento de onda. A tensao emaxima na carga e zero em distancias em relagao acarga, que sao mUltiplos impares de urn quarto de comprimento de onda. Isso eo oposto do caso de urn curto-circuito na carga. Ainda, observe mais uma vez que pontos correspondentes estao separados por uma distancia de meio comprimento de onda. E, finalmente, investigamos o caso de uma carga casada, ZL = Zc. Para esse caso, o coeficiente de reflexao na carga ezero, fL = 0, de forma que os resultados em (6.52) mostram que a tensao e a corrente sao constantes em modulo ao Iongo da linha, como mostrado na Fig. 6.23d. Isso euma importante razao para casar uma linha. Em bora os m6dulos da tensao e da corrente sejam constantes ao Iongo da linha, eles sofrem urn deslocamento de fase, e-iP=, amedida que se propagam ao longo da linha. 0 caso geral eesbogado na Fig. 6.23e. As localizagoes dos mfudmos e minimos de tensao e corrente sao determinadas pela impedancia real da carga, e pontos correspondentes adjacentes em cacia forma de onda estao separados por meio comprimento de onda. Isso eurn resultado importante e geral e pode ser provado a partir das expressoes gerais em (6.52). Nessas expressoes, a unica dependencia da distancia em relagao acarga, d, eno termo de fase, e-j2f3d. Substituindo {3 = 21T!A e distancias que sao mUltiples de meio comprimento de onda, d => d ± n(A/2), obtemos (6.55) Assim, obtemos o importante resultado: Pontos correspondentes em intensidade de tensao e corrente de uma linha de transmissao estao separados por meio comprimen- · to de onda de distancia

Similarmente, podemos mostrar que

. ,a ilnpedancia de ei1tradadaliTih~se repete para riiUltiplos de ~eiO: co~prhnento de Clll~.: '. 1

.., , . .

..:.·.

•

·.

•

••

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• • ••. -- •• •

·•••

·:.

···-·

·.

Isso esta ilustrado na Fig. 6.24 e pode ser demonstrado pela expressao para a impedancia de entrada em (6.45). A dependencia com a distancia em relagao acarga esta contida na expressao para o coeficiente de reflexao em urn ponto dado em (6.42):

f(z)

= f'Lei2f3(:-;J;) = f'Le-J2f3d

(6.42)

Por causa de (6.55), vemos que e-.!2f3d se repete para distancias que estao separadas de meio comprimento de onda, e, assim, o coeficiente de reflexao se repete tambem, da mesma forma. 6.3.6 Casamento e Taxa de Onda Estacionaria (TOE)

Vimos na Fig. 6.23 como os m6dulos da tensao e da corrente variam com a posigao ao Iongo da linha. Na situagao casada mostrada na Fig. 6.23d, os m6duios da tensao e da corrente nao variam com a posigao; mas, nos casas de urn curto-circuito ou :urn circuito aberto na carga (radicalmente descasados), os m6dulos da tensao e da corrente variam drasticamente com a posigao atingindo urn minima de zero. Observe que

urn maximo e urn mfnimo adjacentes estao separados por inn quarto de corriprlmento de ond!l: ... Essa variagao radical da tensao e da corrente ao longo da linha para uma carga descasada e muito indesejavel, ja que ela pode causar pontos ao longo da linha onde grandes tensoes podem ocorrer, e que poderao danificar o isolamento ou produzir tensoes e correntes na carga que sao radicalmente diferentes daten-

Linhas de Transmissao ~ 281

!-<!--&--~a _ _ I

~ A

]z,

(a)

(b)

fugura6.24 Propriedades importantes da impedancia de entrada. (a) Nas distancias a partir da carga mliltipla de meio comprimento de onda, zcnt =ZL. (b) A impedancia de entrada se repete para distancias que sao mliltiplos de meio comprimento de onda.

sao na entrada da linha. Idealmente, desejamos que a linha nao tenha nenhum efeito sobre a transmissao do sinal, como ira ocorrer para urn a carga cas ada. No caso de uma carga casada, havera apenas urn deslocamento de fase ou atraso de tempo. Em bora idealmente sempre desejamos casar a linha, ha muitos casos praticos onde nao podemos casar exatamente a mesma. Se ZL =f:. Zc, a linha esta descasada, mas como podemos medir quantitativamente o grau desse "descasamento"? A resposta para isso e a taxa de onda estacionana, ou TOE. 0 A TOE e a razao entre a maxima e a mfnimatensoes na linha. A Fig. 6.23 mostra que urn maximo e urn mfnimo estarao separados por urn quarto d~ comprimento de onda. Mesmo assim, a TOE e TOE=

l~lmax IVIm~n

Observe que, para os casos extremos de urn curto-circuito na carga, carga, ZL =co, a tensao mfnima e zero, e, assim, a TOE einfinita:

(6.56)

ZL = 0, ou urn circuito aberto na

(6.57)

TOE={: mas a TOE e unitana para uma carga casada: TOE= 1

(6.58)

A TOE deve, portanto, estar situada entre estes dois extremos: 1 :s TOE

< oo

(6.59)

Industrias consideram uma linha como "casada", sea TOE< 2. [Z,.1 = (2 +jl2) fi, f' (0) = 0,92Ll54Â°, f'L= 0,92L7Â°, TOE= 30]

â&#x20AC;˘:E importante o engenheiro saber que a taxa de onda estaciomiria (TOE), em ingles, evoltage standing wave -ratio (VSWR). (N.T.)

282 b..,. Capitulo Seis I

~-~---~-~--~-~~--~~~-~-=~~~-~-~-~--~----~

I I I I I

f(z) I + "

V(z)

: I I I I

" Zent

L---------------------1

(a)

/(z)

---1>-G----+

: I

V(z)

..,!r

ent

I I I

----(b)

FigiBra 6.25 Calculando a potencia media entregue para a carga. (a) e (b) Mostrando uma segao da 1inha e a carga como uma impedancia concentrada representada pela impedancia de entrada.

Podemos obter urn resultado quantitativa para a TOE a partir de (6.52a), que mostra que a tensao em alguma distancia de proporcional a lV(d)lcx:l1 +f'Le-j2/ldl. 0 maximo sera proporcional a IVImn., ex: 1 + If'Ll, e 0 minimo sera proporcional a IVImfn ex: 1- lf'LI. Assim, a TOE e

(6.60)

~> EXERCicm DE REVISAO 6.11 Determine a TOE para o problema do Exemplo 6.7. IP.IES~OSTA TOE

l'-.,.

1+0,82 = 10,11. 1-0,82

EXERCiCIO DlE REViSAO 6.12 Determine a TOE para o problema do Exercfcio de Revisao 6.9. ~ESPOSTA TOE = 1+0,4472 = 2,62.

1-0,4472

6.3.7 Fluxo de Potencia na Linha

Investigaremos agora o fluxo de potencia na linha. As ondas de tensao e corrente progressivas e retr6gradas conduzem potencia. A potencia media fluindo para a direita ( +z) mostrada na Fig. 6.25a pode ser determinada em termos da tensao e da corrente total naquele ponto, da mesma forma que para urn circuito a parametros concentrados, como mostrado na Fig. 6.25b, de forma que

Linhas de Transmissao I> 283

P.,," = - Re{V(z )I"(z)} 2

(6.61)

onde 0 denota o conjugado. Substituindo as expressoes gerais para tensao e corrente dadas em (6.44), temos

1 Pmed =- Re{V(z)I"(z)} A

= ~ Re{ y+ e-jf3=[l + f 1 ei2f3(:-!e)] ~o eif3=[1 - f'te-i 2f3(:-!e)J} =

~Re{v1+<> [1 + (i'Lei2f3(=-!el- tre-i213(=-!el)- tLi'i]}

(6.62)

imaginano

e usamos o resultado da algebra complexa de que o produto de urn numero complexo pelo seu conjugado e o quadradc: do modulo daquele numero comylexo. Esse resultado confirma que, se uma carga e urn CUrtO-CITCuitO, f L = -1, OU Uffi circuitO aberto, f L = 1, entao 0 jlttXO de potencia liquida na diregiJO +z ezero. Claramente, urn circuito aberto ou urn curto-circuito nao pode absorver nenhuma potencia. Essencialmente, entao, a potencia na onda progressiva e igual apotencia na onda retr6grada, e toda a potencia incidente e refletida. Isso pode ser confirmado, separando o calculo do fluxo de potencia media individual nas ondas. A potencia fluindo para a direita na onda progressiva e

P!," =

~ Re{ (V+e-if3=<~:" eif3â&#x20AC;˘)}

lv+l2 =--

(6.63a)

2Zc

e a potencia fluindo para a esquerda na onda retr6grada e

P:,d = ~ Re { (11-eif3={- V~" e-jf3=)}

roÂˇ-1 2

=---

(6.63b)

A soma de (6.63a) e (6.63b) resulta em (6.62). A razao da potencia refletida pela potencia incidente e IfLl 2 â&#x20AC;˘ Para uma carga casada, ZL = Zc, f'L = 0, e toda potencia na onda progressiva e absorvida pela carga (casada).

Determine a razao entre a potencia refletida e a potencia incidente para o problema do Exemplo 6.7 como uma porcentagem. ~!ESPOSTA

67,24%.

284 I? Capftulo Seis

'. E)(ERCJCIO

m: REV!SAO 6.14 Determine a razao enb·e a potencia refletida e a potencia incidente para o problema do Exercfcio de Revisao 6.9 como uma porcentagem. ~IESIPOSlA

r;;;-.

20%.

6.4 CARTA DE SMITH A carta de Smith e um dbaco cujo principal uso e no calculo da impedancia de entrada de uma linha de transmissao. 1 Alem disso, ela possui diversas outras vantagens computacionais. Embora ela possa ser usada para analisar linhas com perdas, investigaremos seu uso para linhas sem perdas. A chave para a construgao e entendimento da carta de Smith e a relagao basica entre a impedancia de entrada de uma linha de comprimento ~ em termos do coeficiente de reflexao naquele ponto da linha:

[1 +tent] z~ ent = zc[,.::...__,--:. _ t ] 1

(6.64a)

ent

e a relagao entre o coeficiente de reflexao na carga e o coeficiente de reflexao na entrada da linha: t ent

tLe -j2f3:£ ~

. :e

= f Le -J4''"I

(6.64b)

e escrevemos o coeficiente de reflexao em termos do coeficiente de reflexao na carga dado em (6.41) e comprimento de onda. 0 primeiro passo e escrever a impedancia de entrada norrnalizada pela impedancia caracterfstica: i'

·i

Zent

Zc [1 + = .::..._ _ ttJ __;. .;.

•!

(6.65)

[l - tent]

=·r+jx e escrevemos essa impedancia normalizada complexa em termos de uma parte real e uma imaginana. Em seguida, escrevemos o coeficiente de reflexao na entrada em termos de uma parte real e uma imaginana:

tent = t Le-i "i!i. 4

= p +jq

(6.66)

Substituindo essas expressoes para o coeficiente de reflexao em (6.66) na expressao da impedancia de entrada (normalizada) em (6.65), temos

+ jx 1 + p + jq = 1- p- jq

Zent= r

(6.67)

Igualando as partes real e imaginana dessas expressoes, temos duas equagoes: ' i

P. H. Smith, "Transmission Line Calculator", Electronics, January 1939; e P. H. Smith, "An Improved Transmission Line Calculator", Electronics, January 1944.

r.~···

Linhas de Transmissao I> 285

Cfrculos de raio r ( centrado em p

! ·r

)

=r +1

(6.68a)

(p - 1)2

1 ( 1)2 x x q- -

Cfrculos de raio .!_

= -2

( centradoemp

~; e q ~ ~

) (6.68b)

A Fig. 6.26 mostra a Equa<;;1io (6.68a) desenhada no plano p,q, o qual erepresentado por cfrculos de raio (1/r + 1) centrados em p = rl(r + 1) e q = 0. Similarmente, a Fig. 6.27 mostra a Equa<;;ao (6.68b) desenhada no plano p,q, o qual erepresentado por cfrculos de raio 1/x centrados em p = 1 e q = 1/x. Esses dois gnificos relacionam as partes real e imaginana do coeficiente de reflexao em urn ponto (p ,q) as partes real e imaginana da impedancia de entrada normalizada (r,x) naquele ponto. Assim, se conhecemos o coeficiente de reflexao em urn ponto, podemos localizar as partes real e imaginana da impedancia normalizada naquele ponto nessa carta, e vice-versa. Se sobrepusermos a Fig. 6.26 e a Fig. 6.27, obtemos a carta de Smith mostrada na Fig. 6.28. Embora normalmente nao mostrados na carta de Smith, desenhamos os eixos horizontal e vertical da parte real do coeficiente de reflexao, p, e da parte imaginana do

q q=1

;

I I

I I I I

p=1 p

I I I

\'=2 \ \

'' '

'' Cfrculo de raio ~

Cfrculo de raio

centrado em (p=i· q= 0)

centrado em (p=~. q= 0) Cfrculo de raio

centrado em (p=~. q=O) Figur~ 6.26 Representa<;:ao gnmca da Equa<;:ao (6.68a) em termos das partes real e imagiml.ria do coeficiente de refle-

xao,

r = p + jq.

286 II> Capitulo Seis

I I I I I I·

Cfrculo de raio

I I

/........__ Circulo de raio 1 / centrado em (p =1, q =1) I

~ ~\

centrado em (p = 1, q= ~)

/ q

\ \

Circulo de raio

centrado em (p= 1, q= ~) \ (p=1,q=1)

-----r---q=1

\ \ \

I I I \

\ \

2 \ x=g \ \

/'"' I

~-~-

...

\ ,x=1 \

' ' ' ''' '' ''

' ........... ........ ',, ..... ' ' ........ ~ .... ' .... -..::-:::~:;; ~ .... ::::=~~

.,. .... ........, -; .........

p=1

;"'

2 X=-- / 3

,."" ;""' ;' /

/x=-1

\ \

f I I I I I I I

J~------(p=~. q=-1)

centrado em (p= 1, q=-~)

~ ...______;

I I I I I

lx=-2

I I I I I

Circulo de raio

Circulo de raio I I I

centrado em (p= 1, q=-~)

Cfrculo de raio 1 \

\centrado em (p = 1, q= -1)

\/ '1:

Figura 6.27 Representa~ao gnillca da Equa~ao (6.68b) em termos das partes real e imaginana do coeficiente de reflexao, = p + jq.

coeficiente de reflexao, q, para lembrar ao leitor que o coeficiente de reflexao esta no plano de fundo. A Fig. 6.29 mostra essa rela<;ao entre as partes real e imaginfuia da impedancia de entrada normalizada da linha e as partes real e imaginfuia do coeficiente de reflexao naquele ponto. Se marcarmos a impedancia de entrada normalizada na carla de Smith, implicitamente temos o modulo do coeficiente de reflexao, lf••11= ~p 2 + q2 ,como a distancia do centro da carla aimpedancia de entrada normalizada marcada, r + jx. A parte extema da carla representa o modulo maximo do coeficiente de reflexao, lrlmax = l. 0 fmgclo do coeficiente de reflexao, er••1 = L -2{3~ = L -47T(~!A), e medido (como e convengao para numeros complexos) no sentido anti-horano em relagao ao eixo real positivo, p, como mostrado na Fig. 6.29. 0 uso da carla de Smith na determinagao da impedancia de entrada da linha eilustrado na Fig. 6.30. Primeiro marcamos a irnpedancia normalizada da carga, zL = ZLI'Zc =rL + jxL, sobre a carta de Smith. Entao, de acordo com (6.64b), giramos esta de urn raio constante (usando urn compasso) e angulo de (}rent= L-2(3:£ = L -41r(:i!A) (no sentido anti-honirio por causa do sinal negativo). Naquele :eont_?, simplesmente lemos as partes real e irnaginfuia da impedancia de entrada normalizada, z••t = z.•/Zc =r.111 +jx••1, e entao desnormalizamos para obter a irnpedancia de entrada, multiplicando pela impedancia caracteristica, t = z•• /Zc. Reciprocamente, se conhecemos a impedancia de entrada (talvez por

z..

linhas de Transmissao

287

Coordel}adas de impedi!mcia ou admiti!mcia

--Âť p

Âˇ Figura6;28 AcartadeSrnith.

medigao), podemos marcar seu valor normalizado, girar de urn angulo 2{3~ (no sentido anti-honirio) e ler a impedancia de entrada normalizada. A diregao que devemos girar, em diregao acarga.ou em diregao afonte, eindicada no perimetro extemo da carta de Smith, como estao os angulos em graus, 213~. ou distancia em comprimentos de onda, 411'(~/A). Referir-nos-emos a esses angulos de uma forma simples como TG (em diregao ao gerador) ou TL (em diregao acarga).

Considere urn cabo coaxial cujo dieletrico interno epolietileno (er .= 2,25) e tern 10 rn de cornprirnento. A linha e excitada por urna fonte cuja freqiiencia ede 34 MHz. A impedancia caracteristica eZc = 50 fi, e a linha eterminada por urna irnpedancia de carga de ZL = (50 +jlOO) n. Determine a impedancia de entrada da linha. S[JILIJ~AI[l A velocidade de propagagao na linha e Vo

ve; 3 X 108 =

\12.25

' 8 10

m/s

288 I> Capitulo Seis q

I I \ \

\ \

' ' .......... , ......

...

_______ ,. ......

........

Figura 6.29 A rela91io entre a impedancia de entrada normalizada da linha e o coeficiente de reflexao naquele ponto como vista na carta de Smith. q

Z0 ,/3

Figura 6.30 Usando a carta de Smith para determinar a impedancia de entrada normalizada a partir da impedfincia normalizada da carga, e vice-versa.

Linhas de Transmissao li'> 289

Coordenadas de impedancia au admitancia

Fig~&ra 6.31

Exernplo 6.9.

Urn cornprirnento de onda na freqiiencia de operagao e 'U

A=f 2 X 108

34 X 106 = 5,882 rn Portanto, o cornprirnento da li.nha ern terrnos do cornprirnento de onda e

9!.

10 rn X _....:I::___ 5,882rn/A = 1,70 A

A irnpedancia da carga norrnalizada e

+ j2

Marque esse valor sabre a carta de Smith, como rnostrado na Fig. 6.31. Agora, gire 1,7Aern diregao ao gerador (TG) para obter a irnpedancia norrnalizada da carga de

290 i> Capitulo Seis ----------------

-----------------------------------

Ze11 t = 0,29 - j0,82 Desnormalizando esse valor, temos a impediincia de entrada da linl1a como Zent

ZentZc 14,5- J41

0 resultado exato e zent = (14,52 - j40,52) D.. Observe que urna rotagao completa em torno da carta de Smith ocorre para 0,5A.. Isso mostra que a impedancia de entrada se repete para comprimentos de linha que siio multiplos de meio comprimento de onda, como mostrado anteriormente. Assim, na rotagao completa do comprimento eletrico de uma linlla, 1,7A, giramos tres revolug5es (1,5A.) mais urn adicional de 0,2A. Adicionalmente, podemos determinar o m6dnlo do coeficiente de reflexao medindo a distiincia do centro da carta ao ponto marcado (usando urn compasso) e transferinclo esse pomprimento para uma das escalas abaixo, que esta marcada REFLECTION COEFFIC. VOL., obtendo lfLI = lf,n11= 0,71. Isso mostra que o modulo do coificiente

de rejlexiio e0 mesmo em todos OS pontos da linha; apenas 0 angulo do coeficiente de rejlexiio varia de pontq para ponto da mesma. 0 iingulo do coeficiente de reflexao na carga e lido em uma das escalas externas, em torno da periferia, que esta marcada como ANGLE OF REFLECTION COEFFICIENT IN DEGREES, eo seu valor e 45°. Assim, o coeficiente de reflexao na carga e

fL =

0,7lL45°

0 coeficiente de reflexao na entrada da linlla e similarmente lido naquele ponto como

fent = 0, 1lL -99° A TOE tambern pode ser lid;t na carta medindo (com urn compasso) o modulo do coeficiente de reflexao e transferindo a uma das escalas abaixo que esta marcada como STANDING WAVE VOL. RATIO, obtendo TOE= 5,8, sendo seu valor exato de TOE = 5,83. <l

Mover-se no sentido correto ao longo da carta de Smith na determinac;ao da impedancia de entrada a partir da impedancia da carga (TG) ou a impedancia da carga a partir da impedancia de entrada (TL) e muito importante. !ll> IEXEMPLO 6.10

z..

A impediincia de entrada medida de urna linlla e t = (20 - j40) D., e a impediincia da carga e ZL = (20 +j40) D.. Determine o comprimento da linlla em comprimentos de onda se a impediincia caracterfstica dalinha e Zc = 100 D.. SI[]JUJI~A!) Marque as impediincias de entrada e da carga normalizadas na carta:

Zent = 0,2 - j0,4 ZL = 0,2 + j0,4 como mostrado na Fig. 6.32. 0 comprimento da linlla em comprimentos de onda e a distiincia circunferencial entre os dois pontos marcados. Mas existem duas distiincias circunferenciais entre os dois pontos. Qual e a correta? Uma maneira simples de determinar a distiincia correta e simplesmente partir da impediincia da carga marcada e ir na diregao da impediincia de entrada. Isso requer urn movimento EM DIREQAO AO GERADOR ou urn mcivimento horcirio a partir de ZL (0,062A, TG) para z.nt (0,435A., TG), obtendo 0 comprimento da linlla como

5£

0,435A - 0,062A = 0,373A =

Podemos alternativamente partir da impediincia de entrada marcada e ir em diregao aimpediincia da carga. Isso iria requerer urn movimento EM DIREQAO A CARGA ou urn movimento anti-horcirio a partir de Zent (0,062A, TL) para ZL (0,438A, TL), fornecendo o mesmo resultado. Note que esse comprimento eletrico e apenas urn mUltiplo de meio comprimento de onda. Assim, a resposta poderia ser ~ = 0,373A + 0,5A = 0,873A ou ~ = 0,373A + 1,0A = 1,373A, etc. Conhecendo a velocidade de propagac;ao na linha e a frequencia de operagao, podemos determinar o comprimento fisico a partir de

5£(m) = 5£(A)

(A =

7m)

Linhas de Transmissao l> 291

Coordenadas de impedancia ou admitancia

Figillra 6.32 Exemplo 6.10.

Por exemplo, sea linha esta sendo operada a uma freqiiencia de 30 MHz, e a velocidade de propagagao ede 250 miJ.Ls, entao o comprimento de onda eA= 8,333 m, eo comprimento fisico e9; = 3,11 m. A TOE pode ser lida como TOE = 5,8.

,.,Âˇ.~)

Uma linha de 100 .0. tern uma impedancia de entrada medida de (22 +jO) .0. e uma impedancia de carga de (150j200) .0.. Determine o menor comprimento da linha. iR!ESPOSTA 0,198A.

6.5 MODELOS APROXIMADOS DE LIN HAS DE TRANSMISSAO COM CIRCUITOS A PARAMETROS CONCENTRADOS Se uma linha de transmissao e eletricamente pequena na freqiH)ncia de opera\!ao, isto e, muito menor que urn comprimento de onda, entao a natureza distribuida da linha se torna menos importante. Neste caso, podemos modelar a linha, como uma aproximac;ao, como urn circuito a parametros concentrados, evitando resolver equag5es de linhas de transmissao diretamente. Quando e que uma linha e eletricamente pequena o suficiente para usar uma aproximagao de circuitos a parametros concentrados dela?

292 I> Capitulo Seis

/(0)

/(9:)

--M•·l'' .·

.1-->

V(O)

V(9:)

.,.,:

:··•, .,~,,, ,, ·,~. ,, .•~;.,

• ·~ • ~ ., .•t

'r• .• ,.;.

4 - - - - - - - 9 : - - - - -.....

-u. e;e Cil

'll'

c~I

Ic~

fl)

e=Zc

C=-1-

VZc

Figura 6.33 Representando uma linha eletricamente pequena com urn circuito a parfunetros concentrados.

Nao existe urn criteria fixo para isso, mas assumiremos que uma linha e eletricamente pequena se seu 1 1 comprimento e menor que do comprimento de onda na freqiiencia da fonte, isto e, ;£ < A. 10 10 Quando uma linha e eletricamente pequena, existem muitos modelos de circuitos a parametros concentrados possiveis. Urn que e utile o modelo tipo Pi mostrado na Fig. 6.33. Este e assim denominado porque sua estrutura lembra o sfmbolo 'IT. A indutancia total da linha e o produto da indutancia por unidade de comprimento multiplicada pelo comprimento total da linha. Isso aparece como uma indutancia de l;£ H e inclufda como uma indutancia, conforme e mostrado na Fig. 6.33. A capacitancia total da linha e o produto da capacitancia por unidade de comprimento multiplicada pelo comprimento total da linha, ou c:£ F. Isto e dividido e aparece como capacitancias em ambos os lados da indutancia, como mostrado na Fig. 6.33. A capacitancia e dividida e inserida em ambos os lados da indutancia para fornecer ao modelo uma propriedade de reciprocidade, isto e, intercambiando as duas extremidades da linha obtem-se o mesmo resultado. A indutancia e a capacitancia por unidade de comprimento podem ser obtidas a partir da impedancia caracterfstica da linha, Zc = e da velocidade de propaga~ao, v = 1/}k, como

.Jfk

(6.69a) e

l3J l~l>

(6.69b)

EXEMPLO 6.11 Considere a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.34a. Como a freqiiencia de operaqao ede 100 MHz e a velocidade de propagaqao ede 3 X 108 m/s, o comprimento de onda e de 3 m. Assim, o comprimento total da linha de 0,3 me (1/10)A. Determine a tensao na carga e compare como valor exato.

SOLUCAO Os parfunetros por unidade de comprimento sao calculados a partir de (6.69) como l = 0,167 J.LH/m e c = 66,7 pF/m. Os parfunetros totais sao 50 nH e 20 pF. 0 circuito SPICE esta mostrado na Fig. 6.34b, e a codificaqao do SPICE e

Linhas de Transmissao !> 293

10Q

" V(O)

1sen(mt) V +

+ Zc=50Q v=3x108 m/s

f=100 MHZ

V(~)

iOOOQ

0,3m

(a)

50 nH

® 1000Q

® (b)

figllma6.34 Exemplo 6.11; resolvendo urn a linha eletricamente pequena usando urn modelo de circuito a parametros concentrados. (a) Especificar;:ao do problema. (b) 0 modelo Pi a parametros concentrados.

EXAMPLE 6 . 11

VS 1 0 AC 1 0 RS 1 2 10 CS 2 0 lOP L 2 3 SON

CL 3 0 lOP RL 3 0 1000

.AC DEC 1 lOOMEG lOOMEG .PRINT AC VM(2) VP(2) VM(3) VP(3) .END Ovalorcalculado da tensaonacargae V(~)

1,214L -10,2°V, enquanto o valorexato e V(~) = 1,205L -10,2° V. ~:.1

6.6 LINHAS COM PERDAS Temos assumido que a linha de transmissao e sem perdas em todos os casos anteriores. Faremos agora uma breve consideragao dos efeitos das perdas. Perdas aparecem a partir de dois mecanismos. A resistencia dos condutores da linha produz uma resistencia por unidade de comprimento de r OJm, e perdas no meio circundante produzem uma condutancia por unidade de comprimento g S/m. 0 circuito equivalente por unidade de comprimento para uma segao D.z da linha e mostrado na Fig. 6.35a. Podemos obter as equag5es da linha de transmissao de uma maneira similar ao caso sem perdas

av(z,t) az

ai(z,t) -rl(z t) - l - ' at

(6.70a)

ai(z,t) -a;=

av(z,t) -gV(z,t) - c-at-

(6.70b)

-- =

294 !> Capitulo Seis

1(z, t)

rL1z

et1z

l(z+ L1z, t)

e-l,.____,., _ __,

+ cL1z

V(z, t)

V(z+L1Z, t)

~--------L1z----------~

(a)

J(O) ~

R=r5£

L=f5£ L---~--------~~

+ A

e~--------------_JI_c_=_c_5£______v~)

V(O)

Figura 6.35 Uma linha com perdas. (a) 0 circuito por unidade de comprimento equivalente. (b) Urna linha eletricamente pequena, com perdas.

~------------5£------------~~

(b)

No dominio da freqtiencia (fasorial), essas equa<;6es se tomam (a/at==:> jw)

(6.7la) e

di(z) dz

-yV(z)

(6.7lb)

onde a impedancia e a admitancia por unidade de comprimento sao

I z = (r + jwl)

!1/ml

I y = (g + jwc)

S/m

(6.72a)

(6.72b)

As equa<;6es acopladas de primeira ordem da linha de transmissao em (6.71) podem ser convertidas para as formas desacopladas de segunda ordem diferenciando uma em rela<;lio a z e substituindo na outra, obtendo

(6.73a) e

(6.73b)

Linhas de Transmissao

295

A solugao geral e muito similar ao caso sem perdas que foi obtido anteriormente e se toma

I V(z) =

v+e-a;:;e-jf3z

+ v-ea;:;ejf3~

(6.74a)

(6.74b) onde a impedancia caracteristica e agora complexa e definida por

Zc=~

(6.75)

= ZcL8zc e a constante de propagagao e ~FA

')'

vzy

(6.76)

=a+ j{3

A parte real da constante de propagagao, a, e dita como sendo a constante de atenuariio, enquanto a parte imaginaria, {3, enovamente dita como sendo a constante de fase com unidades de rad!m. No domfnio do tempo, as solu96es fasoriais em (6.74) se tomam

(6.77a) amplitude

amplitude

e ... .. . .. ....... ... ...

I(z,t)

....

= Zc e-a;:; cos(wt -

{3z - 8zc

+ e+)

Zc eo:;; cos(wt + {3z - 8zc + e-)

,_____,___.

amplitude

(6.77b)

e as constantes incognitas sao, em geral, complexas como VÂą = VÂą L ()Âą. Estas solu96es estao novamente na forma de ondas progressiva e retr6grada. As principais diferen9as entre a linha sem perdas e a linha com perdas sao que primeiramente a amplitude das ondas eatenuada, isto e, diminui com o aumento da distancia ao longo da linha, de acordo com o fator eÂą"-'; e depois a corrente se atrasa em rela<,;!ao a tensao por causa do angulo de fase da impedancia caracteristica, 82 , o qual, no caso de uma linha com perdas, G nao e' zero. Os paralelos entre a propaga9ao em uma linha de transmissao com perdas e a propaga9ao de ondas planas uniformes num meio com perdas sao nobiveis. 0 leitor deve comparar os resultados e formas das equa96es com os resultados e formas daquelas para uma onda plana uniforme propagando-se em urn meio com perdas dadas na Se9ao 5.2 do Capitulo 5. 0 c6eficiente de reflexao e a impedancia de entrada para urn a linha com perdas podem ser obtidos de uma forma virtualmente identica aquela usada para uma linha sem perdas. 0 coeficiente de reflexao em urn ponto na linha ea razao entre a onda propagante e a onda retr6grada. A partir de (6.74a), temos (6.78)

296 6> Capitulo Seis

Assim, as tensoes e correntes na linha em (6.74) podem ser escritas em termos do coeficiente de reflexao como (6.79a) e A

I(z)

"f>â&#x20AC;˘

f(z))

=-A e-a:::e-1,.::(1-

(6.79b)

A impedancia de entrada da linha e a razao entre essas expressoes:

(6.80)

Note em (6.78) que, para uma linha com perdas, a magnitude do coeficiente de reflexao, If(z )I = If'Lle-Za(!f- =l, nao emais constante ao Iongo da linha, mas diminui com a distancia, diferente do caso de uma linha sem perdas. A velocidade de propaga~ao das ondas na linha e w {3 1

D=-

(6.81)

*vTc Avelocidade de propaga~ao ea razao entre we {3, mas, para uma linha com perdas, nao esimplesmente 11-Jk, como no caso de uma linha sem perdas, pois {3 -:fo wi.Jk. ~:.

EXEMPLO 6.12 Urn cabo coaxial RG-58U tern uma indutfincia por unidade de comprimento de 0,3 11-Wm, uma capacitfincia por unidade de comprimento de 100 pF/m, uma resistencia por unidade de comprimento de 1,3 il/m e uma perda no dieletrico desprezfvel. Determine as constantes de atenuas;lio e de fase, a impedancia caracterfstica e a velocidade de propagas;lio das ondas na linha em 100 MHz. Compare tais resultados ao caso sem perdas.

SOUJCAO A impedancia e admitfincia por unidade de comprimento sao

z = r + jwl = 1,3

+ jl88,5

= IBB,5LB9,6Â°

y = jwc = j6,28 X 10-2 = 6,28 X 10-2L90Â°

A constante de propagas;lio e

y = V(r + jwl)(jwc) = 1,187 X 10-2

+ j3,44l

~----...-..-

e a impedancia caracterfstica e

linhas de Transmissao 1> 297

2c=Jf =

54,77L -0,198°

A velocidade de propagac:;:ao das ondas na linha e w

v=-

{3 = 1,83 X 108

m/s

Para uma linha sem perdas obtemos a 0, {3 = 3,441, Zc 54,77 D., e v = 1,83 X 105 m/s. Evidentemente, este e um cabo de "bai'm perda" em 100 MHz, ja que a constante de fase, a impedancia caracterfstica e a velocidade de propagac:;:ao com e sem perdas sao virtualmente identicas. <I

6.U

Mmle~a111«1i«JJILn1111nas

com!PamllUlls em !BlUllomns IFueqdiem:ias

Geralmente, assurnimos perdas desprezfveis em linhas de transmissao e caracterizamos a linha apenas em termos da capacitancia e indutancia. Em freqiiencias muito altas (na faixa do GHz), a resistencia dos condutores aumenta devido ao efeito pelicular, e as perdas se tomam mais impmtantes. Perdas em linhas devido a resistencia dos condutores tam bern se tomam significativas quando a linha e operada em bab>:as freqiiencias. Linhas com perdas que sao operadas em baixas freqiiencias se comportam menos como uma linha de transmissao e mais como urn circuito RC. Por exemplo, considere uma linha com perdas que seja eletricamente pequena. Podemos reunir a resistencia por unidade de comprimento, r, a indutancia por unidade de comprimento, l, e a capacitancia por unidade de complimento, c, em tres elementos concentrados representando toda a linha, como mostrado na Fig. 6.35b. 0 valor total de cada elemento eo produto do valor por unidade de comprimento pelo comprimento da linha: R = r:£, L = l:£ e C c:£. Observe que a impedancia em selie e Z = R +jwL. Nas baixas freqiiencias, a resistencia total domina o termo da reatancia indutiva de forma que a linha parece urn circuito RC. Por exemplo, corisidere uma linha de transmissao telefonica de fi.os paralelos tendo uma resistencia por unidade de comprimento de 0,2 D/m, uma indutancia por unidade de comprimento de 1 j.LH/m e uma capacitancia por unidade de complimento de 100 pF/m. Na ausencia de perdas, a impedancia caracterfstica selia 100 D.. A linha conduz frequencias de audio cujo componente de maior freqiiencia e da ordem de 10 kHz. Em 10kHz, a impedancia total em serie e Z = R +jwL = 0,2:£ + j0,063:£ !1 = R. Assim, a reatancia indutiva e desprezfvel, e a linha parece urn circuito RC nessas baixas freqiiencias. Assim, em baixas freqiiencias, a resistencia dos condutores nao pode ser desprezada, e a linha nao pode ser considerada sem perdas.

,;> 6.7 APLICACOES EM ENGENHARIA Nesta segao, iremos examinar algumas importantes aplicag5es dos prindpios deste capitulo. As velocidades sempre crescentes dos computadores digitais e freqiiencias dos enlaces de comunicagao requerem que os condutores de interligagao, tais como trilhas em placas de circuito impressa, sejam modelados como linhas de transmissao e que o efeito da linha seja calculado para determinar se o projeto de urn dispositivo digital ou anal6gico ira operar como desejado. 6.7.1 l111teu~iga~oes IODgitaos de A~ta \fe~ocodade e hotegui«llade de Si1111al

As velocidades dos clocks de dispositivos digitais hoje estao na faixa do GHz e continuarao a crescer a medida que a demanda por maior velocidade computacional continua. Alem disso, existem inumeros dispositivos anal6gicos que tambem operam na faixa do GHz. Os m6dulos eletronicos nesses dispositivos sao comumente montados sabre urn a placa de circuito imp res so de vidro ep6xi (comumente conhecido como FR4) cuja espessura valia de 40 mils (1,016 mm) a 70 mils (1,778 mm). Condutores de segao reta retangular ou trilhas interligam esses m6dulos. Lembre que o comprimento de onda no vacuo em 1 GHz e de 30 em. A propagagao de ondas ao longo das trilhas em placas de circuito impressa causa uma diminuigao dos complimentos de onda. Por exemplo, numa placa de circuito impressa de vidro ep6xi, os campos eletricos estao localizados parcialmente na placa e parcialmente no ar circundante. Assim, a

298 I> Capitulo Seis ---ÂˇÂˇÂˇ

------------------------------------

permissividade relativa efetiva e aproximadamente a media das duas permissividades relativas. Para FR4, a permissividade relativa e er 4, 7, gerando uma permissividade relativa aproximada de e ~ == (1 + 4, 7)/ 2 2,85. Assim, a velocidade da propagar;;ao da onda ao longo das trilhas e reduzida em relar;;ao a do vacuo para v = vr!,/Z = 1,77 X 10s m/s, de forma que o comprimento de onda em 1 GHz se reduz a 18 em. Assim, urn circuito anal6gico em uma placa de circuito impresso operada em 1 GHz e eletricamente 1 grande se sua maior dimensao excede do comprimento de onda, ou 1,8 em. Dimens5es tipicas dos 10 circuitos de alta freqiiencia facilmente excedem essa dimensao. Assim, as trilhas de interligas;ao devem ser modeladas como circuitos a parametros distribufdos com o modelo de linha de transmissao, e modelos de circuitos a parametros concentrados nao mais se aplicam. Alem disso, o atraso de propagas;ao ao longo dessas trilhas esta se tornando cada vez mais importante em dispositivos digitais de alta velocidade. Por exemplo, urn par de trilhas em uma placa de circuito impresso de comprimento :ÂŁ tera urn atraso de tempo na transmissao de urn pulso digital de urn ex:tremo ao outro de

~ ~

(6.82)

Por exemplo, urn par de trilhas de uma placa de circuito impressa de 10 em de comprimento (aproximadamente 4 in) ira sofrer urn atraso de aproximadamente 0,5 ns ou 500 ps. Esse atraso esta se tornando urn fator cada vez mais importante no projeto de dispositivos digitais de alta velocidade. Nesta ses;ao, investigaremos completamente o efeito dessas trilhas de interligas;ao em dispositivos digitais de alta velocidade e anal6gicos de alta frequencia. Os sinais de clock em dispositivos digitais consistem em pulsos trapezoidais com urn periodo P e uma taxa de repetis;ao ou freqiiencia de repetir;;ao de fo = 1/P Hz, como mostrado na Fig. 6.36a. Esses pulsos trapezoidais tern uma amplitude A e tempos de subida e descida 'T,; e Td, respectivamente. A largura do

V(t)

(a)

V(f)

1I fo

2f0

l 3f0

4f0 (b)

Figura 6.36 Urn sinal digital de clock (a) no domfnio do tempo e (b) no domfnio da frequencia.

Linhas de Transmissao !> 299

pulso, 'T, e definida entre OS pontos de 50%, A/2. As formas de onda dos dados digitais possuem formatos sirnilares. Como os sinais de clock sao peri6dicos, podemos verificar com a serie de Fourier que eles sao compostos por componentes senoidais cujas frequencias (harmonicos) estao em mUltiples da frequencia fundamental fo liP, isto e,f0, 2f0, 3f0, 4f0 , ... , como mostrado na Fig. 6.36b. Assim, o trem de pulsos pode ser escrito como2

V(t)

= Vo + V1 cos(wot + .81) + V2 cos(2w t + 02) + V3 cos(3w t + 03) + · · · 0

(6.83)

onde w0 = 21Tj0• As amplitudes e o iingulo de fase desses componentes senoidais sao dados para o trem ~e pulsos trapezoidais na Fig. 6.36a por p

= };

V(t)dt (6.84a)

=A-p

(valor media)

e V = 2A !_lsen(mrT/P) llsen(n7TT/P21 11 P 111TT/P n7TT.fP

Ts =Tel

(6.84b)

ell=

T+T

±n7T_ _s

(6.84c)

onde os tempos de subida e descida do pulso sao assumidos iguais, Ts = Td. Sinais digitais de clock tipicos tern tempos de subida e descida que sao aprox:imadamente iguais. As amplitudes desses componentes espectmis para urn sinal de clock sao mostradas na Fig. 6.36b. Um dispositivo de medi~ao conhecido como analisador de espectro ecomumente usado para visualizar os componentes espectrais de uma forma de onda peri6dica tal como urn sinal de clock. (Ver Fig. 1.3c do Capitulo 1.) Os limites desses componentes espectrais podem ser obtidos como mostrado na Fig. 6.37a. 4 Ex:istem dois pontos de inflexao neste diagrama de Bode de amplitudes espectrais. 0 primeiro nfvel e 0 dB/decada ate o primeiro ponto de inflexao de l!7TT. Acirna deste, a amplitude decai a uma taxa de -20 dB/decada ate o segundo ponto de inflexao de 1/7TT,. Acima desse segundo ponto de inflexao, a amplitude decai a uma taxa.de -40 dB/decada. As amplitudes exataselimites-sao comparados na Fig. 6.37b paraum sinal de clock de 1 MHz com uma amplitude de 1 V, tempos de subidaldescida de 20 ns e duty CljCle de 50%. 0 duty cycle e a razao entre a largura do pulso e o periodo: D( duty cycle) =

(6.85)

Um duty cycle de 50% significa que o pulso esta em 1 durante metade do periodo e em 0 durante o restante do periodo. Isso e regularmente tipico de sinais digitais de clock. Em certas frequencias, os limites casam muito pr6x:imos com o nfvel real, enquanto em poucos pontos eles excedem o nfvel real. Contudo, os limites sao faceis de trabalhar, computacionalmente. Observe que o conteudo espectral de alta freqiiencia edeterillinado pelos tempos de subida/descida do pulso.

A maior parte do espectro esta localizada em frequencias abaixo do segundo ponto de inflexao. Para reduzir o conteudo espectral de alta frequencia, devem-~e attmentar (tomar maior) os tempos de subidal

C. R. Paul, Int-roduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992. C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992. 4 C. R. Paul, I-ntroduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992.

300 D:> Capitulo Seis

OdB/dec

iC7:

2f0 (a)

Espectro de uma onda trapezoidal de 1 V e 1 MHzcom urn duty cycle de 50% e tempos de subida/descida de 20 ns

> :::1

co :g.

13 OJ

0. (/j Q)

.a 'E

Cl cG

Exato

Limite

.Âˇ.Âˇ

30L-------------~--------------~

10 Freqiiencia (MHz)

100

(b)

Figura 6.37 Limites assint6ticos no espectro de urn sinal digital de clock. (a) 0 diagrama de Bode. (b) Compara~ao . dos limites aos valores exatos para urn sinal digital de clock de 1 V e 1 MHz tendo urn duty cycle de 50% e tempos de subida/descida de 20 ns.

descida do pulso, movendo esse segundo ponto de inflexao para uma freqtiencia mais baixa, reduzindo, portanto, as amplitudes espectrais de alta freqi.iencia.Uma posis;ao mais conservadora (cautelosa) econsiderar que a maior parte do espectro esta localizada tres vezes abaixo do segundo ponto de inflexa6 ou

(6.86)

=Por exemplo, para urn pulso digital tendo tempos de subidaldescida de 1 ns (regularmente tipicos, embora sinais digitais futuros terao tempos de subidaldescida menores que centenas de picossegundos), o espectro esta essencialmente contido abaixo de 1 GHz. Tempos de subidaldescida menores na faixa de picossegundos terao componentes espectrais significativos em dezenas de GHz. Assim, trilhas em dispositivos digitais no futuro irao tornar-se cada vez menores, eletricamente. Investigaremos, agora, os efeitos dessas trilhas de interligas;ao em dispositivos digitais de alta velocidade.

~inhas de Transmissao D> 31!H

r----------,

\~~--------------------~+---, + +I

I I I

: V8 (t)

I I

I I I I

.J :___________ Porta 1

Z0 , T

V(O,t}

V(ie,t): -

<1------iÂŁ-----i>

I I

Porta 2

(b)

Figllrill 6.33 Uma aplicagao digital tipica de linhas de transmissao. (a) A linha conecta duas portas digitais. (b) Representagao das terminag5es das portas.

A grandeza de interesse no efeito das trilhas de interliga~ao em dispositivos digitais ea integridade do sinal. Considere uma liga~ao tipica de duas portas digitais com urn par de trilhas, como mostrado na Fig. 6.38a. Isso e modelado, conforme mostrado na Fig. 6.38b, como uma fonte representando a saida da Porta 1 e uma carga representando a entrada da Porta 2. Embora tenhamos usado urn resistor aqui para modelar a entrada da porta, tipicamente as entradas para dispositivos como inversores CMOS (sernicondutor de metal6xido complementar) sao capacitores com valores variando de 1 pF a 10 pF. Mais tarde modelaremos dispositivos CMOS com entrada capacitiva. No momenta, entradas resistivas servirao para ilustrar o problema essencial de integridade do sinal. As duas trilhas de interliga~ao sao modeladas como uma linha de transrnissao. Idealmente, desejamos trilhas de interligagao que nao tenham nenhum efeito. Em outras palavras, idealmente desejamos que

V(O,t)

= V(.P,t)

(6.87)

Se a tensao de saida da linha nao eaproximadamente igual atensao de entrada da linha, entao a segunda porta pode responder incorretamente, e obtemos erros 16gicos. Assim, projetistas digitais devem estar preocupados com os efeitos das trilhas de interligagao. Urn dos importantes efeitos das trilhas de interliga~ao e a produ~ao de :'ruido" na saida. Isso ocorre porque a linha nao esta casada, isto e, RL =I= Zc e/ou R5 =I= Zc. Para demonstrar esse efeito, considere a configura~ao mostrada na Fig. 6.39a. A linha tern uma impedancia caracterfstica de 50 e urn atraso de tempo T. A fonte eurn pulso de 5 V (tempo de subida zero) e 10 n de impedanCia da fonte, e a carga e urn circuito aberto. Isso se aproxima de certa forma asaida de uma porta CMOS (baixa impedancia de fonte) e entrada de uma porta CMOS (capacitivo representando alta impedancia). 0 tragado da onda para a tensao na carga (tensao de saida da linha) e mostrado na Fig. 6.39b. 0 coeficiente de reflexao na

fonte er s = - 3' 0 coeficiente de reflexao na carga para 0 circuito aberto erL = +1. Observe que a tensao na carga oscila em tomo do nivel de 5 V desejado entre 8,33 V e 2,78 V, eventualmerite fixandose em 5 V. Isso caracteriza o ruido e pode fazer com que os niveis de tensao recebidos estejam fora dos niveis para o 0 l6gico eo 1l6gico garantidos pelo fabricante das portas, criando assim erros l6gicos. Como urn exemplo pratico de interliga~6es, considere urn inversor CMOS ligado a outro inversor CMOS por urn par de trilhas sobre uma microstrip mostrada na Fig. 6.40a. A linha microstrip consiste em uma trilha de 100 mils de largura sobre urn substrata FR4 (er = 4,7) de 62 mils de espessura, como

302 I> Capitulo Seis

Zc=50Q

Ii.=+1

V8 (t)

5VI-------

Vinic

=ix5=4,17V

(a)

6,48 4,17 r-.::-.::-.::-..::-.::-~...:-.::-..::-..::-...:-..::- ...:-...:-...:-..::-...:-...:-_

4,56

-...:-..::-..::-..::-..::-..::-f..::-...:-..::----=-----=---=---=----

4,17

5,66

4,01

2,78

II II II

II II

-1,23

10T 11T 12T t II -0549 -0,549-to,_---~-'"

L"::c.----------~-=-------------------------=--

-2,78

-1,23 -=---------------=--------------=----------------=-

~----------~---=----..:--=-

-2.78 (b)

Figura 6.39 Ilustra9ao do fenomeno de "rufdo" em linhas de transmissao que interligam uma fonte de baixa impedancia a uma carga de alta impedancia. (a) Urn exemplo para ilustrar o fenomeno. (b) Os resultados da solu9ao ilustrando o rufdo nas termina96es.

mostrado na Fig. 6.40b. Usando (6.11) calculamos a indutancia e a capacitancia por unidade de comprimento como l = 0,335 j.LH/m e c = 117,5 pF/m. A permissividade relativa efetiva ecalculada a partir de (6.11b) como e' r = 3,54. Apartir desses valores, calculamos a impediincia caracter:fstica como Zc =

.Jfk

ev =vcl.fi: = 1,59 X 10 m/s. 0 comprimento total da linha ede 20 em, resultando num atraso de T = 'ÂŁ/v = 1,255 ns. A fonte (safda da porta 1) erepresentada por urn = 53,4 D.. Avelocidade de propagac;ao

trem de pulsos digitais de 2,5 V a 25 MHz tendo tempos de subidaldescida de 2 ns e duty cycle de 50%. A impedancia da fonte e25 fL, representando uma resistencia de safda tipica de urn inversor CMOS. A carga e representada como uma capacitancia de 5 pF, simulando a entrada de urn inversor CMOS. Simularemos usando o SPICE para determinar a tensao !la entrada da linha, V(O, t), e a tensao de safda da linha, V('ÂŁ, t). Os n6s estao designados no diagrama na Fig. 6.40a. A codificac;ao do SPICE (PSPICE) e

EXAMPLE VS 1 0 PWL(O 0 2N 2.5 20N 2.5 22N 0 40N 0) RS 1 2 25 T 2 0 3 0 Z0=53. 4 TD=l. 255N

Linhas de Transmissao

303

CL 3 0 SP . TRAN 0. 04N 40N 0 0. 04N

.PROBE .END

® +

+ V(O, t)

V8 (t)

Zc=53,4!l T=1,255ns

V(~. t)

CL=5 pF

:£ = 20 em _ _ _,..

V8 (t) 2,5V

-«--l> 2 ns

40 ns

(a) 100 mils

62mils

~~55~55~~~8+ Plano de terra

(b)

Rufdo na interconexao digital

4,0 v .--.---.---,--.,.---,----.--.,..----,

3,0V

2,0V

1,0V

O,OV

Tempo (c)

Figura 6.40 Urn problema tipico de integridade do sinal. (a) Urna linha de transmissao interligando duas portas CMOS. (b) As dimens5es da placa de circuito impresso. (c) A tensao na safda da linha (a entrada para a porta CMOS da carga) mostrando o rufdo que pode causar erros l6gicos.

304 19> Capitulo Seis

(a) IFD!IJOU<lli.4~ Um experimento verificando a acun1cia do modelo de linha de transmissao para circuitos digitais. (a) Uma fotografia do experimento. (b) A previsao SPICE da tensao na entrada da linha. (c) A ten sao medida na entrada dalinha.

A tensao na saida da linha (a entrada da segunda porta) mostrada na Fig. 6.40c claramente mostra o ruido devido ao descasamento da linha. Resultados ex:perimentais para esse problema foram obtidos. Uma fotografia da placa real emostrada na Fig. 6.4la. Os conectores BNC em cada extremidade permitiram a liga<;ao de cabos coaxiais ao gerador de pulsos e ao oscilosc6pio. Mostraremos as tens6es medida e prevista.na entrada dalinha, V(O, t). Deixando aberto o conector BNC de saida, simulamos a entrada do inversor CMOS, ja que o conector BNC tern uma capacitancia de cerca de 5 pF. A Fig. 6.4lb mostra a predi<;ao SPICE da tensao de entrada da linha, V(O, t ), e a Fig. 6.4lc mostra o resultado experimental. As previs6es SPICE casam muito bern com os resultados ex:perimentais. Suponha que urn par de trilhas em uma placa de circuito impressa esteja descasado na carga e/ou na fonte. 0 ruido causado pelo descasamento pode causar erros; entao, o que o projetista pode fazer para remediru· isso? Ha dois metodos comuns que sao usados para casar uma linha: casamento em serie e casamento em paralelo, mostrados na Fig. 6.42. 0 casamento em serie mostrado na Fig. 6.42a coloca urn resistor Rem serie com a saida da fonte (e na entrada da linha). 0 valor desse resistor e escolhido de forma que R5 + R = Zc e a linha seja casada com a fonte. A linha nao ecasada na carga. Inicialmente, uma onda de tensao eenviada para a linha, cujo valor e a metade da tensao da fonte por causa da divisao de tensao da impedancia caracterlstica da linha e da resistencia liquida da fonte R5 + R = Zc. Por exempm, para urn pwso mgrco ae o v, urn pwso ae ~,o v e env1aao para a anna. ;:,e a carga e urn crrcmto aberto ou outra impedancia alta, o coeficiente de reflexao na carga eunitario, de forma que a onda incidente ecompletamente refletida. Asoma dessa onda incidente com a onda refletida entao fornece a tensao total na carga igual a duas vezes o pulso enviado para a linha. Assim, a tensao na cru·ga e5 V como desejado (ap6s urn atraso em virtude da linha). 0 casamento em paralelo mostrado na Fig. 6.42b procura casar a linha com a carga, colocando uma resistencia em paralelo com a cru·ga de forma que sua combina<;ao paralela seja a impedancia caracteristica: R II RL = Zc. No caso de uma alta impedancia na carga, o valor de R deveria simplesmente ser escolhido como a impedancia caracterlstica. Diferente do casamento em serie, o casamento em paralelo pode apresentar uma grande deficiencia. A onda inicialmente enviada tera urn valor de ,

•

,.., ... ,.

............ .,.

•

,..,

•

Lin has de Transmissao

[}>

305

2,5V 2,0V 1,5 v 1,0V

-0,5 v t . _ _ _ . J . . . _ _ . . . t _ _ . . . J . __ _ J __ _ j __ _ _ L _ - - 1 . _ - - - - l 0 ns 5 ns 10 ns 15 ns 20 ns 25 ns 30 ns 35 ns 40 ns ov (2) Tempo (b)

Tel< Run

Trig'd

M 4.00 ns A Ch1 .r 1.21 V )ID}-v -139.200 ns

Ch1 500mVil

(c)

Figura 6.41 (Continuaflio)

Vinicial

Zc Zc + Rs Vs

Como nao ha reflexao na carga para o casamento em paralelo, esta e a tensao total na carga. Diferente do casamento em serie, nao ha reflexao para trazer a tensao na carga para o valor desejado. Por exemplo, se R8 = 20 0, Zc = 50 0, e o nivel de tensao na fonte e de 5 V, a tensao inicialmente enviada tern urn valor de 3,57 V, o qual e tambem a tensao na carga. Assim, erros l6gicos podem ocorrer para o casamento em paralelo. Como urn exen1plo da eficieneia desses esquemas de casamento, consideredois inversores CMOS conectados por uma linha de 50 0 que tern urn atraso de 0,2 ns, como mostrado na Fig. 6.43a. A entrada do inversor CMOS na carga e representada por uma capacitancia cujo valor e 5 pF. A safda do inversor CMOS na entrada da linha e representada por uma fonte de tensao cujos valores transientes estao entre 0 V e 5 V, e sua resistencia de fonte e 20 0. Essa linha esta altamente descasada em ambas- fonte e carga. Para uma tensao de fonte que tern uma intensidade de 5 V, uma

3106

!!-">

Capitulo Seis

I I I I I I I I

1 I

I I

I I I I I I I

Fonte

Carga

-----------..! (a) Casamento em serie (R+ R8 =Zc)

,----------~

\~~--------------------------~~--

l1 I I I I I I

Carga

I I

Fonte

~----------J

I I I I I I

-----------~

(b) Casamento em paralelo (R IIRL =Zc)

1Figllrii16.42 Diversos esquemas para casar linhas de transmissao. (a) 0 casamento em serie. (b) 0 casamento em paralelo.

freqtienciade 100 MHz, urn duty cycle de 50% e tempos de subida/descida de 0,1 ns, a codificac;ao do SPICE e

EXAMPLE VS 1 0 PWL(O 0 0.1N 5 5N 5 5.1N 0 10N 0) RS 1 2 20

T 2 0 3 0 Z0=50 TD=O. 2N CL 3 0 5P .TRAN 0.01N 10N 0 0.01N

.PROBE .END

A Fig. 6.43b mostra a simulac;ao SPICE da tensao na carga mostrando o ruido caracteristico causado pelos descasamentos. A Fig. 6.44a mostra o casamento em serie, onde urn resistor de 30 D e colocado em sene com a saida da fonte. A codificac;ao do PSPICE e

EXAMPLE VS 1 0 PWL(O 0 0.1N 5 5N 5 5.1N 0 10N 0) RS 1 2 20 R 2

3 30

T 3 0 4 0 Z0=50 TD=0.2N CL 4 0 5P

Linhas de Transmissao ito- 307

. TR.J.\N 0. OlN lON 0 0. OlN

.PROBE .END A tensao na carga e mostrada na Fig. 6.44b, mostrando que a tensao na carga suavemente atinge 0 nfvel desejado de 5 V.

Zc=50Q T=0,2 ns

200

® +

Zc=50Q T=0,2 ns

5 pF

@ Vs (t) 5V

10 ns

-<1----»-

0,1 ns (a)

ElCemplo

6,0V

4,0V

2,0V

O,OV

-2,0 v ' - - - - - - - L - - - . . l . - - - - l . a - - - . . . 1 - . . - - - - J 0 ns 2 ns 4 ns 6 ns 8 ns 10 ns 3 V( ) Tempo {b)

!Figura 6.43 Usando o SPICE para investigar a eficiencia dos esquemas de casamento. (a) Especificaqao do problema. (b) Previs5es SPICE da tensao na carga.

308 ll> Capitulo Seis

0:--------, +I

Zc=50Q T=0,2 ns

VL:

5pF

I I -I

________ _.

I I

(a}

5.0

..---r----.,..----r---r--.---.------, Exemplo

4,0V

3,0V 2,0V

1,0V

O,OV U----'-----'----..J...:::-~='=~---' 0 ns 2 ns 4 ns 6 ns 8 ns 10 ns V(4} Tempo (b)

Figura 6.44 Aplicando o esquema de casamento em serie ao problema da Fig. 6.43. (a) Inse;rindo urn resistor em serie com a entrada da linha para casamento. (b) Previsao SPICE da tensao na carga mostrando que o ruido e eliminado.

A Fig. 6.45a mostra o casamento paralelo, onde urn resistor de 50 fl e colocado em paralelo com a carga. A codi:fica<;ao do PSPICE e EXAMPLE

VS 1 0 PWL(O 0 0.1N 5 5N 5 5.1N 0 10N 0) RS 1 2 20

T 2 0 3 0 Z0=50 TD=0.2N CL 3 0 5P

R 3 0 SO . TRAN 0. 01N 10N 0 0. OlN .PROBE .END

A tensao na carga emostrada na Fig. 6.45b. Observe dois pontos importantes. Primeiro, para 0 Casamento paralelo, a linha nao ecompletamente cas adana carga. Nas componentes de freqtiencias mais baixas da fonte, a capacitancia de 5 pF tern uma grande impedancia, de forma que 50 fl em paralelo com o capacitor eaproximadamente 50 fl. Nas componentes de freqtiencias mais altas da fonte, a impedancia do capacitor e muito menor, de forma que a combina<;ao paralela de 50 fl e do capacitor de 5 pF e dominada pela impedancia do capacitor. Assim, nessas componentes de freqtiencias mais altas, a linha nao esta casada. De acordo com (6.86), o componente espectral m8x:i.mo de urn pulso e!max= lh, = 10 GHz. 0 resistor de 50 fl em paralelo como capacitor

Linhas de Transmissao ll> 309

Zc=50Q T=0,2 ns

Fonte

(a)

Exemplo 5,0 v r----.---.,---.,.----,------, 4,0V 3,0V 2,0V 1,0V O,OVI-'

-1 ,0

vOns '---~::-'-----:-'-----::-'----:-'----:-:-' 2ns 4ns 6ns 8ns 10ns V(3)

Tempo (b)

Fi!JIIllra 6.115 Aplicando o esquema de casamento em paralelo ao problema da Fig. 6.43. (a) Inserindo urn resistor em paralelo com a carga para casamento. (b) Previsao SPICE da tensao na carga mostrando que o ruido nao e eliminado.

Z.nt=

A. 4

(a)

, ___ --E------A.-----?4 (b)

IFD!Jilllrill 6.46 Efeito de uma linha de urn quarto de comprimento de onda. (a) A entrada da linha de urn quarto de comprimento de onda que tern urn curto-circuito na carga aparece como urn circuito aberto. (b) A entrada da linha de urn quarto de comprimep.to de onda que tern urn circuito aberto na carga aparece como um curtocircuito.

310 I> Capitulo Seis

de 5 pF esta aproximadamente 50 D abaixo da frequencia f = li(2'1TRC) = 637 MHz. Assim, existem componentes de freqiiencia significativas da fonte onde o casamento paralelo nao casa a linha. Outro ponto importante a ser observado e que 0 nfvel em regime permanente e

\l;egime permanente

R V = R + Rs S 50 5 50+ 20 = 3,57 v

Assim, para o casamento paralelo, a tensao na carga decai significativamente abaixo do nfvel desejado de 5 V, e erros l6gicos podem ocorrer. 5.7.2 Co1111stru~rao de Compmnentes ~e Circuitos de Microonullas Usando Linhas de Transmissao

As linhas de transmissao que sao eletricamente longas apresentam urn comportamento muito interessante que nao pode ser produzido com elementos de circuitos a parfunetros concentrados. Por exemplo, considere uma linha de transmissao que tern urn comprimento de urn quarto do comprimento de onda (:£ = A/4) na frequencia de excita~ao e eterminada em urn curto-circuito, como mostrado na Fig. 6.46a. 0 coeficiente de reflexao na carga e

f __o_-_Z-=-c L-O+Zc

-1 0 coeficiente de reflexao na entrada da linha eobtido a partir de (6.46). 0 termo de fase no coeficiente de reflexao de e-i2f3~ se toma, usando f3 = 2'1T/A,

e-:JZf3;e

e-:J4'lTf

Para uma linha de urn quarto de comprimento de onda de comprimento, o termo de fase se toma

e-jZ/3:£

= e-j'lT =

1 :£=-A 4

Assim, o coeficiente de reflexao na entrada da linha se toma fant

fLe-jZ{3;e

= (-1)(-1) =1

Assim, a impedancia de entrada se toma

1+1

Zent=

Zc 1- 1

=oo

,ZL = curto-circuito { :£=~ 4

Portanto, uma linha de um quarto de comprimento de onda com um curto-circuito como carga parece um circuito aberto para os seus terminais de entrada. Reciprocamente, suponha que uma linha de urn quarto de comprimento de onda seja terminada por urn circuito aberto, como mostrado na Fig. 6.46b. 0 coeficiente de reflexao na carga neste caso e t L = 1, eo coeficiente de reflexao na entrada e

Linhas de Transmissao

> 3U

(+ 1)( -1) = -1 Assim, a impedancia de entrada e

1- 1 Zc1 + 1

ZL {

= circuito aberto J!.

A. 4

Portanto, uma linha de um quarto de comprimento de onda com um circuito aberto conw carga parece Âˇum curto-circuito para setts terminais de entrada. As linhas de transmissao podem ser usadas para construir elementos de circuitos, tais como capacitores e indutores que irao trabalhar com confianr,;a nas freqliencias de microondas (> 1 GHz). Por que nao podemos simplesmente usar capacitores e indutores de circuitos a parfunetros concentrados nas freqliencias de microondas? A resposta foi dada na Ser,;ao 3.13.4 do Capitulo 3. Os terminais de ligas;ao possuem indutancia e capacitancia (urn par de fios paralelos constitui os terminais de ligas;ao dos elementos concentrados e sao, assim, linhas de transmissao). Essa indutancia e capacitancia de ligas;ao irao res soar com o elemento concentrado para produzir urn comportamento indesejado acima dessa freqliencia de ressonancia. Vera Fig. 3.53 do Capitulo 3. Os terminais de ligar,;ao para o capacitorfazem com que o capacitor se comporte como urn indutor acima da freqliencia de ressonanciaf = (112n ~ LtermC ). Por exemplo, urn 1 capacitor de 1000 pF que tern terminais de ligas;ao de fios paralelos de 2 in de comprimento e estao 1 separados por 4 in (Lterm = 14 nH) ira possuir uma freqliencia de ressonancia de 43 MHz. Acima dessa freqliencia de ressonancia, a impedancia do capacitor (vista pelos terminais de ligas;ao) aumenta com o aumento da frequencia e, assim, se comporta como um indutor. Nas freqliencias de microondas, edificil construir capacitores e indutores concentrados, bern como diversos outros elementos de circuitos a parfunetros concentrados por causa desse problema dos terminais de ligar,;ao. Podemos usar linhas de transmissao em curto-circuito (ou em circuito aberto) para simular urn elemento de eitcilito a J?aifunetros concentrados como urn capacitor. Por exemplo, aimpedanCia de entrada de uma linha tendo urn curto-circuito como carga (t = -1) e obtida a partir de (6.47): ~ Zerlf=

[1 -

e-12f3.:ÂŁ]

Zc[ 1 + e-:12f3.:ÂŁ]

{

curto:circuito na carga ZL 0

Mas isso pode ser escrito como

(6.88)

Essa impedancia e !fiOstrada, como uma funs;ao do comprimento de onda, na Fig. 6.47a. Observe que, para linhas de comprimento ate A/4, a impedancia de entrada e positiva, indicando urn a reatancia indutiva, ao passo que, para linhas de comprimento entre A/4 e A/2, a irnpedancia e negativa, indicando uma reatancia capacitiva.

312 !>- Capitulo Seis

lZentl= Zc tan ( 1~) 2

I I I I I I I I I I I I I I

1.! 14

11 12

131 14

I I I __________ ..lI

-15,92 Q

I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I

Capacitive

lndutivo

Zen!

I I I I I I I I I I I I

lndutivo

(a)

Zc=50 V=3 X 108 -13,53cm--l> f= 1 GHz

(b)

Figura 6.47 Construindo capacitores e indutores usando linhas em curto-circuito. (a) A impedancia de entrada de uma linha em curto-circuito cujo comprirnento edado em comprirnentos de onda. (b )Construindo urn capacitor de 10 pF para uso em l GHz usando uma linha de transmissao em curto-circuito.

Por exemplo, suponha que desejamos consbuir urn capacitor de 10 pF.na freqilencia de 1 GHz usando uma linha de transmissao terminada porum cmto-circuito. A impedfuwia de um capacitor de 1 GHz e -j(1/wC) = -j15,92 0. Igualando a (6.88), temos

-( 'A;ÂŁ) = --15,92 Zc

tan 27T-

Se usarmos uma linha de 50 0 terminada num curto-circuito, obtemos, a partir desta, 5ÂŁ/A = -0,049 ou ':ÂŁ/A= -0,049 + 0,5 = 0,451. Sea linha epreenchida com ar (AI 1 cHz = 30 em), entao Y!. = 13,53 em. Deve-se ter em mente que, embora se possam construir indutores e capacitores com linhas de transmissao terminadas por curto-circuito, eles sao validos apenas em uma freqilencia. Assim, esses elementos sao de banda muito estreita.

Linhas de Transmissao I> 313

6.7.3 loll1lhas aile Jl:l~omam~a~a\o aile AIIUftÂŽlliiCIIS

Antenas possuem, como veremos no proximo capftulo, uma impedancia de entrada, ZantÂˇ A antena deve inevitavelmente ser conectada a uma fonte com urn a linha de conexao (urn a linha de transmissao ), como mostrado na Fig. 6.48a. Se a impedancia de entrada para a antena ediferente da impedancia caracterfstica da linha de conexao, potencia sera refletida de volta para a fonte e nao irradiada, como vimos na Segao 6.3.7. Como podemos prover urn casamento entre a linha de transmissao e a antena para prevenir isso? Existem muitas formas de se fazer isso. Uma forma e usar urn transformador de quarto de onda, como mostrado na Fig. 6.48b. Uma segao de urn quarto de comprimento de onda de uma linha tendo impedancia caracterfstica Z~ tern uma impedancia de entrada de

Z'ent = Z'C

f' ] L [ 1 + fL]

[1 -

e usamos o resultado para uma linha de urn quarto de comprimento de onda obtido anteriormente:

= -1 Se desejamos igualar a impedancia caracterfstica da linha aqual ela esta ligada, Z;,1 = Zc, devemos ter

Z~nt= Zc Z' [1 - fÂŁ] c [1 + fL] '---v--"

r---------

1 I I I I I I I I I I

.., :_________ Fonte

(a)

I z~. v

~c---- .:1. _ __,_

4 (b)

Figura 6.48 Casando linhas de alirnentagao de antenas corn o transforrnador de urn quarto de onda. (a) Ilustragao do efeito da linha de alirnentagao. (b) 0 transforrnador de urn quarto de onda.

314 !>- Capitulo Seis

resultando em .,..

(6.89)

Por exemplo, para casar uma carga de 300 fl a uma linha de 75 fl, precisamos inserir uma linha de urn quarto de comprimento de onda entre elas tendo uma impedancia caracterfstica de 150 fl. Embora a TOE na se9ao de casamento nao seja unitfuia, ela euma linha sem perdas. Assim, toda potencia entregue pela fonte chega aentrada da antena. Este tambem e urn dispositivo de banda estreita. Se a frequencia de excita9ao e alterada, o compriJ.. mento da se9ao de casamento nao e mais 4.

V5 (t)

gerador

circuito

receptor

circuit a (a)

(b)

(c)

Figura 6.49 llustra<;ao da diafonia entre linhas de transmissao. (a) Especifica<;ao do problema. (b) Acoplamento indutivo atraves do campo magnetico e da indutancia mutua. (c) Acoplamento capacitive atraves do campo eletrico e da capacitancia mutua.

Linhas de Transmissao ~~' 315

Diafonia ocorre quando urn sinal (corrente ou tensao) de urn par de condutores se acopla a urn par de condutores adjacentes, causando uma repetigao (indesejada) daquele sinal nos terminais do segundo par de condutores. Is so esta ilustrado na Fig. 6.49a. U m par de condutores paralelos, chamado de circuito gerador, conecta uma fonte representada por uma tensao de fonte, V 8 (t), e sua impedancia, R5, a urn a carga representada por RL. Outro par de condutores paralelos pode estar paralelo e adjacente alinha do gerador. Esses condutores conectam dois dispositivos representados por RNE e RFE e sao chamados de circuito receptor. Os subscritos NEe FE representam "extremidade proxima" e "extremidade distante", respectivamente, e sao comuns na industria. Desejamos determinar as tensoes de diafonia acopladas de extremidade proxima e extremidade distante, VNE(t) e VFE(t). A corrente na linha do gerador, Ic(z, t), produz urn campo magnetico que passa atraves da espira entre os dois condutor~s receptores, como mostrado na Fig. 6.49b. Isso cria uma indutancia mutua, Lm, entre os dois circuitos. Similarmente, a tensao entre os dois condutores do circuito gerador, Vc(z, t), produz linhas de campo eletrico, algumas das quais terminam nos condutores do circuito receptor, como mostrado na Fig. 6.49c. Isso resulta numa capacitancia mutua, C 111 , entre os dois circuitos. Assim, o circuito receptor pode ser representado por duas fontes, como mostrado na

L diG m dt

C dVG

VNE(t)

RNE

m dt

VpE(t)

RFE

(a)

Vs(t)

~--~~~--------r---,_--------~~~--~--~ ~ r*-->i I

'rr

: I

I I

I I A-'rr

VNE (t), VFE (t)

'rt

I I

I I I

I I _

I I I I

(b)

IFi!Jiura 6.50 Diafonia em interconex5es digitais. {a) Urn modelo simples de diafonia. (b) A diafonia no dominio do tempo para urn sinal digital de clock

316

[]>

Capitulo Seis

Fig. 6.50a. As tens5es terminais do circuito receptor sao obtidas a partir desse circuito usando superposis;ao como

Aceplamente capacitive

Aceplamente indutive

Acoplamente capacitive

Sea linha eeletricamente pequena no maior componente de freqiiencia significativo de V8(t), entao a tensao e a corrente da linha do gerador sao essencialmente constantes ao longo da linha (a linha nao importa) e podem ser calculadas aproximadamente a partir de RL

Vc(t) ~

Rs + RL

V5(t)

Ic(t)

+ RL

V5(t)

Substituindo estes nos resultados anteriores, temos (6.90a)

Aceplamente indutivo

Acoplamente capacitivo

(6.90b)

Aceplamente indutivo

Acoplamente capacitive

Isso indica que a diafonia varia com a derivada da tensao da fonte, dV8(t)!dt (referido como a "taxa de decaimento" da tensao). A Fig. 6.50b mostra a diafonia quando o circuito gerador esta conduzindo urn sinal digital de clock. As tens5es de diafonia, VNE(t) e VFe(t), sao pulsos ocorrendo durante a transic,:ao (tempos de subidaldescida) da tensao da fonte. Suas amplitudes sao proporcionais ainclinas;ao instantanea de V8(t), que ea razao da amplitude pelos tempos de subida!descida. Assim, aintensidade da diafonia nao e apenas proporeional aindutancia e acapacitancia mutuas entre OS dois circuitos, mas tambem e proporcionai aos tempos de subidaidescida da fonte. Is so indica que uma forma de reduzi.r a diafonia em circuitos digitais e retardar (tomar maior) os tempos de subida!descida do pulso. Vimos anteriormente que, retardando (aumentando) os tempos de subidaldescida do pulso, tambem reduzimos o conteudo espectral de alta frequencia. Assim, isso faz sentido, pois, em geral, quanto maior a frequencia do sinal, mais facilmente ele ira se acoplar a circuitos adjacentes, produzindo diafonia. Por exemplo, considere uma linha microstrip acoplada, mostrada na Fig. 6.51a. Uma placa FR4 de espessura de 62 mils suporta duas trilhas cujas larguras sao 100 mils e estao separadas borda a borda por 100 mils. Urn plano de terra debaixo da placa serve como condutor de referenda para os dois circuitos. 0 comprimento total da linha ede 20 em. A fonte tern uma tensao de circuito aberto que e urn trem de pulsos trapezoidais de 1 MHz e 5 V, tendo tempos de subida!descida de 50 ns e duty Cl.jcle de 50% e uma

Linhas de Transmissao e> 31 '1

100 mils

->-<t-l>-ÂŤ-l>

Plano de terra

(a)

V8 (t)

V8 (t) 5V

(b)

Figura 6.51 Um problema tfpico de diafonia em urn circuito digital. (a) A sec;;ao reta de urn a placa de circuito impressa. (b) Especificac;;ao do problema.

resistencia de fonte de 50 0, R. = 50 0, como mostrado na Fig. 6.51b. Isso excita o circuito gerador, que

eterminado em uma carga de 50 n, RL = 50 n. 0 circuito receptor eterminado em 50 n em ambas as

- - ---- _ex:tremidades,_B_NE-==RFE == 50 n. A indutancia mutua total entre OS dois circuitos eLm = 7,44 nH, e a capacitancia mutua total entre OS dois circuitos eem= 1 pF. Substituindo em (6.90a), temos 0 nivel do pulso de diafonia de ex:tremidade proxima como 1

[ .!_2 L m -100

5 + 25Cm.!.] 2 50 X 10-9

4,96mV A Fig. 6.52a mostra uma fotogra:B.a da placa real e a medida feita para VNEÂˇ A Fig. 6.52b mostra a diafonia de ex:tremidade proxima medida experimentalmente, VNEÂˇ A forma de onda da tensao da fonte etambern mostrada. Observe a similaridade da forma de onda da diafonia aFig. 6.50b. A diafonia ocorre durante a transic;ao da forma de onda da fonte (durante os tempos de subida e descida). A Fig. 6.52c mostra uma vista estendida da diafonia durante a borda (ou flanco) de subida do prilso da fonte, e a Fig. 6.52d mostra uma vista estendida da diafonia durante a borda de descida do pulso da fonte. 0 pico medido dos pulsos de diafonia e5 mV, o qual corresponde bern com o previsto. Para esse modelo simples ser valido, o comprimento da linha deve ser eletricamente pequeno. De acordo com (6.86), a maior freqiiencia significativa do pulso e

fma.x

= Ts

1 50 X 10= 20MHz

=----=-9

318 G> Capitulo Seis

(a)

Tel( Run

Trig'd I

:r[

ll I

Ch1 500mV Ch2 5,00 mVQ

M 100 ns A Ch1

.r 1,59 v

T ~v -533.200 ns

(b) Trig'd

Tek Run

Tel< Run

D[ " Ch1 500 mV Ch2 5,00 mVQ M 20,0 ns A Ch1 T ~ ... -953,200 ns

(c)

.r 1,69 V

[ 'l

.TÂˇ

Trig'd

, . I ..

.. J

Ch1 500mV Ch2 5,00 mVQ M 20,0 ns A Ch1 "\.. 1,69V r ~ .. -953,200 ns

(d)

Figura 6.52 Verificagao experimental do problema de diafonia da Fig. 6.51. (a) Fotografia do experimento. (b), (c) e (d) Fotografias do oscilosc6pio relativas atensao de diafonia da extremidade proxima.

Linhas de Transmissao

3JL9

Nessa freqiiencia, o comprimento da linha de 20 em e (l/45)A, onde usamos a permissividade relativa efetiva como a media da placa e do ar, e~ 2,85, no calculo da velocidade de propaga<;ao. Assim, a linha e eletricamente pequena nas freqiiencias signifi.cativas do pulso, e esse modelo simples de diafonia e aplicavel. Resultados experimentais adicionais sao comparados a esse mod~lo simples, em C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992. 6J.5 Lijso de Ca~os 18lini 'D«<I«n«<I«Ds e !Parres lrr«nlffi~alllos !Pl«llra ~IBdllJJzirr iillfDliiillf«DDniiill

Na se<_;ao anterior, discutimos o problema de diafonia onde a tensao e a corrente em urn par de condutores, o circuito gerador, irao fazer com que campos eletricos e magneticos interajam com os condutores do circuito vizinho, o circuito receptor, e induzi.r tensoes de rufdo ou interferencia nas termina<_;oes do circuito receptor, VNE e VFE· (Ver Fig. 6.49 e Fig. 6.50.) Suponha que essas tensoes induzidas sao de intensidade e/ou conteudo espectral suficientes para causar interferencia em dispositivos representados pelas termina<_;oes do circuito receptor, RNE e RFE· Existem diversas formas de reduzi.r essa diafonia. Urna das formas mais 6bvias e afastar os condutores do gerador e os condutores do receptor para reduzir os campos eletrico e magnetico de acoplamento. Outra forma seria encaminhar os condutores do circuito gerador perpendiculares aos condutores do circuito receptor. Finalmente, se retardarmos (aumentarmos) os tempos de subidaldescida da tensao da fonte, isso ira reduzir seu conteudo espectral de alta freqiiencia e, assim, reduzir a diafonia. Quando essas medidas nao sao possfveis ou tenham sido usadas ao max:imo grau possfvel e ainda ocorre diafonia significativa, existem duas op<;oes restantes que podem ser bem-sucedidas na redu<;ao do problema: substituir os condutores do receptor ou os condutores do gerador por cabos blindados e/ou pares tran<_;ados de fios. A diafonia e dada na Equa<;ao (6.90) para linhas eletricamente pequenas e e a soma (superposi<;ao) de dais componentes: uma contlibui<;ao do acoplamento capacitivo devido acapacitancia mutua entre os dois circuitos, C111, e a contribui<;ao do acoplamento indutivo devido aindutancia mutua enh·e os dois circuitos, Lm. A substitui<;ao dos fios do receptor por urn cabo blindado essencialmente reduz a diafonia pela redu<_;ao do componente de acoplamento capacitivo. A substitui<_;ao dos fios do receptor por urn par tran<;ado essencialmente reduz o componente de acoplamento indutivo. 0 uso de urn par tran<;ado blindado reduz ambos os componentes.

+ I

~Css I I I

(a)

•, ~

'·, ...

·~

(b)

1Figma6.!i3 Usa de urn cabo blindado para reduzir a cliafonia. (a) llustrac;;ao das capacitiincias mutuas. (b) 0 circuito equivalente.

320 &> Capitulo Seis

Primeiro consideramos o uso de cabos blindados para reduzir a diafonia. Considere dois fios acima de urn plano deterrainfinito (o condutor de referenda para as tens5es). Urn fio eo plano de terra constituem o circuito gerador, e o outro fio e o plano de terra constituem o circuito receptor. Suponha que circundamos o fio receptor com uma blindagem cilindrica, isto e, que o substituimos por urn cabo blindado, como mostrado na Fig. 6.53a. 0 efeito e introduzir capacitancias entre cada par, como mostrado na Fig. 6.53b. Observe que algumas das capacitancias estao ausentes. Por exemplo, a capacitancia mutua entre o fio do gerador eo fio do receptor (que agora esta envolvido pela blindagem) e zero, CcR = 0. Isso ocorre porque a blindagem em torno do fio receptor essencialmente atua como uma gaiola de Faraday, discutida na Segao 3.13.5 do Capitulo 3. Similarmente, a autocapacitancia entre o fio receptor eo plano de terra tambem e zero, CRR = 0, pela mesma razao. Observe, a partir desse circuito capacitivo equivalente, que, se a blindagem e aterrada (conectada ao plano de terra levando tensao zero da blindagem, V5 = 0), entao a tensao do gerador nao tern nenhum efeito sobre as tens5es do receptor, eliminando assim o acoplamento capacitivo. Contudo, isso nao tern nenhum efeito sobre o campo magnetico ou acoplamento indutivo. 0 campo magnetico ou acoplamento indutivo pode ser reduzido, essencialmente eliminado, com o uso de urn par trangado. Urn par de fios trangados e uma espiral bifilar, mas podemos aproximar seu resultado representando-o como por urn conjunto de espiras alternadas abruptamente variando sua posigao em 180Â° a cada meia-tranga, como mostrado na Fig. 6.54a. 0 campo magnetico a partir do circuito gerador ira passar atraves dessas espiras e induzir fontes de tensao pela lei de Faraday em cada espira cujos valores sao a taxa temporal de variagao do fluxo magnetico passando atraves de cada espira. A pola-

(a)

(b)

dlfiG dt ~---------4-+r----------;

(c)

Figura 6.54 Uso de pares tranc;ados para reduzir a diafonia. (a) Acoplamento do fluxo magnetico atraves das espiras do par tranc;ado. (b) Inserc;ao das fontes da lei de Faraday em cada espira. (c) "Destranc;ando" os fios para mostrar o cancelamento das fontes de tenslio induzidas adjacentes.

Lin has de Transmissao !?- 321

ridade dessas fontes foi determinada no Capftulo 4, de forma a induzir uma corrente que iria produzir urn campo magnetico secundfui.o que tenderia a se opor avariar;:ao do campo magnetico original, como mostrado na Fig. 6.54b. A chave para entender como isso elimina o campo magnetico ou o acoplamento capacitive e "destranr;:ar" os fios, como mostrado na Fig. 6.54c. Observe que as fontes de tensao induzidas pela lei de Faraday em espiras adjacentes tern polaridades opostas. Assim, o acoplamento indutivo a cada meia-tranr;:a adjacente e cancelado. 0 melhor dos dois mundos e conseguido usando urn par tranr;:ado blindado. A blindagem elimina (idealmente) o acoplamento capacitive se ela e aterrada em, pelo menos, urn ponto, levando a uma tensao zero na blindagem, enquanto o par tranr;:ado intemo ablindagem elimina (idealmente) o acoplainento indutivo.

RESUMO DOS CONCEITOS EFORMULAS IMPORTANTES 1. Ond.as em linbas de transmissao de condutores pa:ralelos: Urn par de condutores paralelos serve para guiar ondas de tensao e corrente de uma extremidade a outra. As ondas estao se propaganda em urn meio circundando os condutores como campos eletrico e magnetico que constituem ondas planas. A linha pode ser vista como urn circuito a parametros distribuidos on de indutancias e capacitancias por unidade de comprimento formam celulas de comprimento infinitesimal distribuidas ao Iongo da linha. Urn tempo finito e necessaria para carregar e descarregar esses elementos, a medida que a onda se propaga ao Iongo da linha, resultando em urn atraso de propaga91iO na linha de T = :ÂŁ/v. 2.

JEqua~oes

da Binha de transmissao: As equa96es govemando a tensao e a corrente na linha sao

aV(z,t) ai(z,t) --=-l-az iJt ai(z,t) av(z,t) --=-c-az at cuja soJu9ii0 e

v+(t- ~) + v-(t + ~)

V(z,t)

___________..

onda progressiva (+z)

I(z,t)

---------

onda retr6grada (~)

v+(t- ~) v-(t + ~) =

Zc ___________.. onda progressiva (+z)

--------Zc

onda retr6grada (~)

.Jik,

onde a impedancia caracteristica e Zc = e a velocidade de propaga91iO e v = v-fk. 0 tempo necessaria para uma onda se propagar de uma extremidade da linha aoutra e T = fÂŁ/v, e :ÂŁ e o comprimento total da linha. 3. Coeficientes de reflexao: Extremidade da fonte: fs = (R 5 (RL - Zc)I(RL + Zc). 4.

Equa~oes

da linha de t:ransmissao para excita~ao senoidal:

cuja solu91io no domfnio da freqtiencia e

dV(z) dz

, -jwl I(z)

di(z) dz

, -jwc V(z)

Zc)I(R5

+ Zc); extremidade da carga: fL

322 !> Capitulo Seis

= .JVc", e a constante de fase e

onde a impedancia caracteristica e, como antes, Zc

wVlC

radianos/m

A solugao correspondente no dominio do tempo e

V(z,t) = v+cos(wt- [3z + e+) + v-cos(wt + {3z +e-) v+ vI(z,t) = -cos(wt - {3z + e+) - -z cos(wt + {3z + e-) Zc c 5.

Coefidente de reflexiio e impedancia de entrada:

•

rL =

ZL-Zc

-='.:;____::.

+ Zc

f(z) =

f'Lej2fl(z-9:)

V(z) =

y+ e-jfl'[1 + f'Lej2fl(z-9:)] y+ .

•

I (z) = -e-Jfl'[1

f'Lej2fl(:-9:)]

+ f(O)] z•ent = zC .[1[::..__---:-:. _:..::_ _ f(O)] 1

Z [1 + f'Le-j2fl9:] c [1 - f'Le-i213 9:]

6. Propriedades da tensiio e da corrente na linha: Pontos correspondentes de magnitude da tensao (corrente) da linha estao separados por uma distancia de meio comprimento de onda. A impedancia de entrada da linha se repete para mliltiplos de meio comprimento de onda. Urn mfudmo e urn minima adjacentes estao separados por urn quarto de comprimento de onda. 7.

Taxa de omla estacion:iria: TOE =

1 + lf'd

• .

1-lfLI 8.

lv+l 2

•

JFb.l!XO de potencia na Jinha: pmed= 2Zc [1 - lfLj2]_

9. Criando modelos aproximados de linhas de transmissiio com circuitos a padimetros concentrados: Se uma linha e eletricamente pequena, :£ < (1/10)..\, urn modelo simples de circuito a parametros concentrados e preciso, onde l = Zclv Him e c = llvZc F/m e a indutancia e a capacitancia totais sao L = l:£ He C = c:£ F. 10. Sinais digitais de clock: Tern componentes senoidais em mliltiplos da freqiiencia de repetiglio. 0 conteudo de alta frequencia edeteTIPinado pelos tempos de subida/descirb do pnloo. 0 componente de maior frequencia mais significativo eaproximadamente fmnx E: 1/7:,, onde T, e 0 tempo de subida/descida do pulso.

PROBLEMAS SEQAO 6.1 EQUA<;OES DA UNHA DE TRANSMISSAO 6.1.1 0 circuito equivalente por unidade de comprimento para uma seglio l:::.z de uma linha de transrnissao mostrada na Fig. 6.4 nao ea Unica configuragao que ira atender as equagoes da linha de transrnissao. Mostre que OS tres circuitos equivalentes por unidade de comprimento na Fig. P6.l.1 tambem resultam em equagoes da linha de transmissao no limite l:::.z ~ 0. Observe nesses circuitos que a capacitancia total ecl:::.z, e a indutancia total e ll:::.z.

Linhas de Transmissao l? 323

Liz

___,_

(a)

fL.Iz

l.,.zlI

fjj\

LIZ

(b)

1eL.\z 4

4--------L.\z--------,._ (c)

FigUJralfll6.U Problema 6.1.1.

6.1.2 Dois fios nus de bitola #20 (raio = 16 mils) estao separados de centro a centro por 50 mils. Determine os valores exato e aproximado da capaciHincia e da indutancia por unidade de comprimento. ~' 1.3 JJ m fio nude bitola #12 (raio =:AO.. mils ).est:isuspenso_numa altura de 80 mils acima do seu caminho de retorno, que e urn grande plano de terra. Determine os valores exato e aproximado da capacitancia e da indutancia por unidade de comprimento. [Exato: 42,18 pF/m, 0,2634 JLHim; Aproximado: 40,07 pF/m, 0,2773 J.LH/m. A razao entre a altura acima do plano de terra e 0 raio do fio e apenas 2,0, 0 que nao e suficiente para que OS resultados aproximados sejam vilidos, embora o erro seja apenas cerca de 5%.]

6.1.4 Urn cabo coaxial tipico e RG-6U, que tern urn fio solido intemo de bitola #18 (raio 20,15 mils), urn raio intemo da blindagem de 90 mils e urn isolante intemo de espuma de polietileno tendo uma permissividade relativa de 1,45. Determine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento e a velocidade de propagagao relativa aquela do vacuo. 6.1.5 Placas de circuito impressa multicarnadas consistem em carnadas de material de placa de vidro ep6xi (FR4) tendo uma permissividade relativa de 4,7 dispostos entre pianos condutores. Os condutores sao colocados no meio dos pianos condutores, o que resulta numa estrutura assemelhando-se a uma stripline na Fig. 6.6a. Dimens5es tipicas de uma placa de circuito impressa multicarnadas sao uma separagao entre placas de 10 mils e uma largura do condutor de 5 mils. Determine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento para essa estrutura. [156,4 pF/m e 0,334 J.LH/m] 6.1.6 Uma linha microstrip e construida sobre uma placa FR4 tendo permissividade relativa de 4,7. A espessura da placa e de 64 mils, e a laigirra da trilha e de 10 mils. Determine a capacil:ancia e a indutanchi por unidade de comprimento, bern como a permissividade relativa efetiva. 6.1. 7 Uma placa de circuito impressa mostrada na Fig. 6.6c tern largura de trilha de 5 mils e uma separagao borda a borda de 5 mils. A placa e de vidro ep6xi, tendo uma permissividade relativa de 4,7 e uma espessura de 47 mils. Determine a capacitancia e a indutancia por unidade de comprimento, bern como a permissividade relativa efetiva. [0,8038 J.LH/m, 39,06 pF/m e e~ = 2,825]

324 IP Capitulo Seis

SE((_;AO 6.2 EXCITA((_;AO TEMPOJRAL DE JLJINHAS DE TRANSMISSAO 6.2.1

Mostre por substituigao direta que as Equag5es (6.13) satisfazem as equag5es das linhas de transmissao.

6.2.2 Determine a impedancia caracterfstica e a velocidade de propagac;ao para a linha bifilar do Problema 6.1.2. [122 !1, 3 X lOB m/s] 6.2.3 Determine a impedancia caracteristica e a velocidade de propagac;ao para a linha com urn fio sobre um plano de terra no Problema 6.1.3. 6.2.4 Determine a impedancia caracterfstica e a velocidade de propagac;ao para a linha coaxial no Problema 6.1.4. [75 !1, 2,5 X 1QB rnls] 6.2.5

Determine a impedancia caracterfstica e a velocidade de propagac;ao para a stripline do Problema 6.1.5.

6.2.6 Determine a impedancia caracteristica e a velocidade de propagac;ao para a linha microstrip do Problema 6.1.6. [135 !1, 1,71 X lOB m/s] 6.2. 7 Determine a impedancia caracteristica e a velocidade de propagagao para a placa de circuito impressa do Problema 6.1.7. 6.2.8 Mostre como a indutancia e a capacitancia por unidade de comprimento podem ser obtidas a partir da impedancia caracteristica e da velocidade de propagac;ao. [l = Zclv, c = llvZc] 6.2.9 Esboce a tensao na carga, V(f£,t) e a corrente de entrada na linha, I(O,t), para o problema mostrado na Fig. P6.2.9 para 0 < t < 10 ns. Para que valores esses graficos convergem no estado estacionano? [V(f£,t), 0 < t < l ns, 0 V, l ns < t < 3 ns, 9,375 V, 3 ns < t < 5 ns, 8,203 V, 5 ns < t < 7 ns, 8,35 V, 7 ns < t < 9 ns, 8,331 V. 9 ns < t < ll ns, 8,334 V, estado estacionano 8,333 V, e I(O,t), 0 < t < 2 ns, 0,125 A, 2 ns < t < 4 ns, 0,047 A, 4 ns < t < 6 ns, 0,057 A, 6 ns < t < 8 ns, 0,055 A, 8 ns < t < 10 ns, 0,056 A, estado estacionano 0,056 A] /(0, t)

+ 10V

Zc=50Q v=3x10 8 m/s

V(f£, t)

- - - - 3 0 em---!>-

150 Q

Figura P6.2.9 Problema 6.2.9.

6.2.10 Esboce a tensao na carga, V(f£,t), e a tensao na entrada da linha, V(O, t), para o problema mostrado na Fig. P6.2.l0 para 0 < t < 20 ns. Para que valores esses graficos convergem no estado estacionano?

+ 5V

Zc=100Q v= 2,5 x 108 m/s

V(f£, t)

--E-----50 em---!>-

Figura P6.2.10 Problema 6.2.10.

6.2.11 Esboce a tensao na entrada da linha, V(O,t), e a corrente, I(f£,t), para o problema mostrado na Fig. P6.2.ll para 0 < t < 10 jLS. Para que valores esses graficos convergem no estado estacionano?

[V(O,t), 0 < t < 2 jLS, 66,67 V, 2j1S < t < 4 jLS, 22,22 V, 4j1S < t < 6 jLS, 7,407 V, 6 jLS < t < 8 jLS, 2,469 V, 8 jLS < < 10 11s, 0,823 V, estado estacionario 0 V e I(f£,t), 0 < t < 111s, 0 A, 111s < t < 3j1s, 1,33 A, 311s < t < 5j1s, 1,778 A, 5 11s < t < 7 jLS, 1,926 A, 7 11s < t < 9 jLS, 1,975 A, 9 11s < t < ll11s, 1,992 A, estado estacion:irio 2 A]

I(:£, t)

100V

Zc= 100Q v=3x10 8 m/s

- - - - 300m ----'~>--

Figura P6.2.11 Problema 6.2.11.

Linhas de Transmissao 1> 325

16.2.12 Esboce a tensao na entrada da linha, V(O,t), e a tensao na carga, V(!ÂŁ,t), para o problema mostrado na Fig. P6.2.12 para 0 < t < 32 ns. Para que valores esses graficos convergem no estado estacionano? 20011

V(O, t)

Zc=10011 V= 2,5 X 108 m/s

V(!ÂŁ, t)

5011

4 - - - - - 1 m- - - V8 (t) 30 v 1-------.

fi!JilDVa Plli.2.~2 Problema 6.2.12.

12 ns

6.2.13 Urn refletametro no domfnio do tempo e urn instrumento usado para determinar propriedades de linhas de transmissao. Em particular, ele pode ser usado para detectar as localizag5es de imperfeig5es, tais como quebras na linha. 0 instrumento langa urn pulso na linha e grava o tempo de transito para que o pulso seja refletido em alguma descontinuidade e retorne para a entrada da linha. Suponha que urn refletometro tendo uma impedancia de fonte de 50 n esteja ligado a urn cabo coaxial de 50 n tendo comprimento e resistencia de carga desconhecidos. 0 dieletrico do cabo eo Teflon (sr = 2,1). A tensao de circuito aberto do refletometro e urn pulso de duragao de 10 JLS. Sea tensao gravada na entrada da linha ea mostrada na Fig. P6.2.13, determine (a) o comprimento da linha e (b) a resistencia de carga desconhecidos.

120V 100V

I 20V

.....

t(J.LS)

Figura 1Pti::H3 Âˇ Problema6.2.13.

6.2.14 Uma bateria de 12 V (R5 = 0) e ligada a uma linha de transmissao de comprimento desconhecido que e terminado em uma resistencia. Sea corrente na entrada da linha para 6 J.LS e como a mostrada na Fig. P6.2.14, determine (a) a impedancia caracterfstica da linha e (b) a resistencia desconhecida da carga. [Zc = 80 fl, RL 262,9 fl]

150mA

4,5

'------1o rnA

t (J.LS)

Figura IP6.2.~4 Problema 6.2.14.

6.2.15 Clock digital e pulsos de dados deveriam idealmente consistir em pulsos retangulares. Contudo, o sinal de clock e pulsos de dados reais assemelham-se a pulsos tendo uma forma trapezoidal com certos tempos de subida e de descida. Dependendo ~a razao entre o tempo de subida!descida e o tempo de transito na linha de transmissao, a tensao recebida pode oscilar em torno do valor desejado, possivelmente fazendo urna porta digital na extremidade

326 l:> Capitulo Seis

da linha a chavear falsamente para urn estado desejado e causar erros. 0 casamento da linha elimina esse problema, pois nao ha reflexoes, mas o casamento nem sempre e conseguido. Para investigar esse problema, considere uma linha conectando duas portas CMOS. A porta de excita9ao e assumida como tendo uma resistencia de fonte zero (Rs = 0), e a tensao de circuito aberto e uma forma de onda em rampa (simulando a borda de subida do pulso de clock/dados) dada por Vs(t) = 0 para t < 0, Vs(t) = 5(t!T)s V para 0::;; t::;; r.. e Vs(t) = 5 V para t;:::: T, onde 'T, eo tempo de subida do pulso. A entrada para a porta CMOS (aqui, a carga da linha) pode ser modelada como uma capacitancia entre 5 pF e 15 pF. Contudo, para simplificar o problema, assumiremos que a entrada para a porta CMOS de carga e urn circuito aberto RL = co. Esboce a tensao na carga da linha (a tensao de entrada para a porta CMOS de carga) para comprimentos de linha tendo tempos de transito T, tais que (a) 'T, = T/10, (b) r. = 2T, (c) 'T, = 3T, (d) 'T, = 4T. Esse exemplo mostra que, para evitar problemas resultando do descasamento, devem-se escolher comprimentos de linha pequenos o suficiente de forma que T ÂŤÂŁ T, isto e, o atraso na linha e muito menor que o tempo de subida do pulso de clock!dados sendo conduzido pela linha. 6.2.16 Linhas altamente descasadas em equipamentos digitais podem causar o que parece urn "ruido" sobre o sinal de saida da linha. Isso e muitas vezes referido como overshoot ou undershoot e pode causar erros digitais 16gicos. Para simular isso, investigaremos o problema mostrado na Fig. P6.2.16. Duas portas CMOS estao conectadas por uma linha de transmissao, conforme mostrado. Uma tensao tipo degrau de 5 V e aplicada na primeira porta. Esboce a tensao de saida da linha (a tensao de entrada da porta CMOS da carga) para 0 < t < 9T. [0 < t < T, 0 V, T < t < 3T, 6,944 V, 3T < t < 5T, 3,858 V, 5T < t < 7T, 5,23 V, 7T < t < 9T, 4,62 V. 0 estado estacion:irio e de 5 V]

r--------,

~--------r--1

sZc

~~~--------------------0-~~~ + 1

I I I I

: Vs(t) + : = 5 r(t)

Zc, T

VL(t) -

I I I

I I I I

5 Zc

I I

-----------~

t ________ j

Figura P6.2.16 Problema 6.2.16. 6.2.17 Uma linha de transmissao de comprimento total de 200m e velocidade de propaga9ao v = 2 X 108 m/stern Zc 50 n, RL = 20 n. Ela e alimentada por urn a fonte tendo Rs = 100 n e urn a tensao de circuito aberto que e urn pulso retangular de 6 V de intensidade e 3 JLS de dura9ao. Esboce a corrente de entrada da linha para urn tempo total de 5 JLS. 6.2.18 Confirme os resultados do Problema 6.2.9 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.19 Confirme os resultados do Problema 6.2.10 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.20 Confirme os resultados do Problema 6.2.11 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.21 Confirme os resultados do Problema 6.2.12 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.22 Confirme os resultados do Problema 6.2.13 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.23 Confirme os resultados do Problema 6.2.14 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.24 Confirme os resultados do Problema 6.2.15 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.25 Confirme os resultados do Problema 6.2.16 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.26 Confirme os resultados do Problema 6.2.17 usando o SPICE (PSPICE). 6.2.27 Uma das importantes vantagens em usar o SPICE para resolver problemas de linhas de transmissao e que ele ira realmente fomecer a solu9ao para problemas que seriam di:ficeis de resolver manualmente. Por exemplo,

Linhas de Transmissao !> 327

considere o caso de duas portas inversoras CMOS conectadas por urn a linha de transmissao de 5 em de comprimento e 100 fi, como mostrado na Fig. P6.2.27. A saida da porta de alimentagao e representada por uma tensao em forma de rampa subindo de 0 para 5 V em l ns e uma resistencia interna de fonte de 30 fi. A porta receptora e representada em sua entrada por urn capacitor de 10 pF. Por causa da carga capacitiva, este seria urn problema dificil de ser resolvido manualmente. Use o SPICE (PSPICE) para fazer o gnlfico da tensao de saida da linha, VL(t), para 0 < t < 10 ns. Observe na solugao que essa tensiio de saida varia drasticamente em torno do nivel desejado de 5 V indo de 4,2 V a 7 V antes de se estabilizar ew 5 V ap6s 10 ns.

Zc= 100Q V= 1 X 108

m/s

- - - - - 5 em------;>

30Q

Zc= 100 Q T=0,5 ns

10 pF

V8 (t) 5V

1 ns

!Figura IP6.2.27 Problema 6.2.27.

SEQAO 6.3 EXCITAQAO SENOIDAL (FASORIAL) DE LINHAS DE TRANSMISSAO 6.3.1 Verifique por substituigao direta que as solug5es para os fasores tensao e corrente dados em (6.35) satisfazem as equag5es fasoriais das linhas de transmissao dadas em (6.33). 6.3.2 Verifique por substituigao direta que as solug5es no domfnio do tempo para a tensao e a corrente na linha dadas em (6.37) satisfazem as equag5es no domfnio do tempo dadas em (6.1). Para a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.19,f = 5 MHz, v .= 3 X 108 rn!s, :£ = 78 m, Zc = 50 fi, Vs = 50L0°, Zs = 20-j30 fi, ZL = 200 + j500 fi. Determine (a) o comprimento da linha como uma fragao do comprimento de onda, (b) o coeficiente de reflexao de tensao na carga e na entrada da linha, (c) a impediincia de entrada da linha, (d) as tens5es no domfnio do tempo na entrada da linha e na carga, (e) a potencia media entregue acarga, e (f) a TOE.

6.3.3

6.3.4 Para a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.19,f = 200 MHz, v = 3 X 108 rnls, :£ = 2,1 m, Zc = 100 fi, Vs 10<60°, Zs =50 fi, ZL = 10 -j50 fi. Determine (a) o comprimento da linha como uma fragao do comprimento de onda, (b) o coeficiente de reflexao de tensao na carga e na entrada da linha, (c) a impediincia de entrada da linha, (d) as tens5es no dominic do tempo na entrada da linha e na carga, (e) a potencia media entregue acarga, e (f) a TOE. [(a) 1,4; (b) 0,8521L -126,5°; 0,8521L -54,5°; (c) l92L -78,83°; (d) 9,25 cos(47T X lOst + 46,33°) 4,738 cos(47T X lOst 127°); (e) 43 mW; (f) 12,52] 6.3.5 Para a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.19,f = l GHz, v = 1,7 X 106 rn!s, :£ 11,9 em, Zc = 100 fi, Vs = 5L0°, Zs = 20 n, ZL = - jl60 fi. Determine (a) 0 comprimento da linha como uma fra<;:ao do comprimento de onda, (b) o coeficiente de reflexao de tensao na carga e na entrada dalinha, (c) a impediincia de entrada da linha, (d) as tens5es no domfnio do tempo na entrada da linha e na carga, (e) a potencia media entregue a carga, e (f) a TOE.

328 J> Capitulo Seis

6.3.6 Para a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.19,f = 600 MHz, v = 2 X 108 m/s, :£ = 53 em, Zc = 75 n, Vs = 20L40°, Zs = 30 n, ZL = 100- j300 n. Determine (a) 0 comprimento da linha como uma fras;ao do comprimento de onda, (b) o coeficiente de reflexiio de tensao na carga e na entrada da linha, (c) a impedfincia de entrada da linha, (d) as tensoes no dominio do tempo na entrada da linha e na carga, (e) a potencia media entregue acarga, e (f) a TOE. [(a) 1,/:?9, (b) 0,8668L -25,49°, 0,8668L -90,29°, (c) 74,62L -81,84°, (d) 17,71 cos (12?T X lOst+ 19,37°), 24,43 cos (12?T X lO'i - 163,8°), (e) 0,298 W, (f) 14,02]

6.3. 7 Para a linha de transmissao mostrada na Fig. 6.19,f = 1 MHz, v 3 X 108 m/s, :£ = 108 m, Zc = 300 n, V5 = l00L0°, Zs =50+ j50 n, ZL = 100-jlOO n. Determine (a) o comprimento da linha como uma fras;ao do comprimento de onda, (b) o coeficiente de reflexao de tenslio na carga e na entrada da linha, (c) a impedfincia de entrada da linha, (d) as tensoes no dominio do tempo na entrada da linha e na carga, (e) a potencia media entregue acarga, e (f) a TOE. 6.3.8

Confirme as tensoes na entrada e na carga para o Problema 6.3.3 usando o SPICE.

6.3.9

Confirme as tens5es na entrada e na carga para o Problema 6.3.4 usando o SPICE.

6.3.10 Confrrme as tensoes na entrada e na carga para o Problema 6.3.5 usando o SPICE. 6.3.11 Confirme as tensoes na entrada e na carga para o Problema 6.3.6 usando o SPICE.

6.3.12 Confirme as tens5es na entrada e na carga para o Problema 6.3.7 usando o SPICE. 6.3.13 Uma antena dipolo de meia-onda esta conectada a urn a fonte de 100 MHz por meio de umalinha de transmisslio de 300 n com 3,6 m de comprimento (linha paralela, v = 2,6 X 108 mls), como mostrado na Fig. P6.3.13. A fonte e representada por uma tensao em circuito aberto de 10 v e uma impedfincia de fonte de 50 n, enquanto a entrada da antena dipolo e representada por uma resistencia de 73 n em serie com uma reatfincia indutiva de 42,5 fi. A potencia media dissipada na resistencia de 73 fi e igual apotencia irradiada para o espas;o pela antena. Determine a potenciairradiada pela antena come sem alinha de transmisslio e a TOE nalinha. [91,14 mW, 215,53 mW, 4,2]

son

Zc=300Q

10LOV

V=2~6 X 10 rnfs 8

f= 100 MHz

..,.___ _ _ 3,6 m ------;~»-

1,5m

50Q

Zc=300Q V= 2,6 X 108 rn/S

~----3,6

m _ _ ___,,...

Figura P6.3.13 Problema 6.3.13.

6.3.14 Duas antenas dipolo de meio comprimento de onda identicas sao conectadas em paralelo e alimentadas a partir de uma fonte de 300 MHz, como mostrado na Fig. P6.3.14. Determine a potencia media entregue a cada antena. Sugestao: Determine os comprimentos eletricos das linhas de transmissao. 6.3.15 Determine uma expressao para a impedfincia de entrada de (a) uma linha de transmisslio tendo urn circuito aberto como carga, e (b) uma linha de transmissao tendo um curto-circuito como carga.

6.3.16 Obtenha uma expresslio para a impedfincia de entrada de uma linha de transmissao de urn quarto de comprimento de onda. Sea linha tem urn circuito aberto como carga, qual a sua impedfincia de entrada? Se a linha tern um curto-circuito como carga, qual a sua impedancia de entrada? [Z,.1= zyzL, curto-circuito, circuito aberto]

Linhas de Transmissao I? 329

son Zc=300!l v=3 x 108 m/s

- - - - 1 , 5 m -----;:.. f=300 MHz

Foglllra P6.3J4 Problema 6.3.14.

§lE(:AO 6.4 CARTA DlE §M][TJHI 6.4.1 Determine, usando a carta de Smith, a impedancia de entrada, o coeficiente de reflexao na entrada, o coeficiente de reflexao na carga e a TOE para a linba do Problema 6.3.3. [Z,.1 = (2 +j12) D., f (0) = 0,92Ll54°, fL= 0,92L7°, TOE= 30] 6.4.2 Determine, usando a carta de Smith, a impedancia de entrada, o coeficiente de reflexao na entrada, o coeficiente de reflexao na carga e a TOE para a linba do Problema 6.3.4. 6.4.3 Determine, usando a carta de Smith, a impedancia de entrada, o coeficiente de reflexao na entrada, o coeficiente de reflexao na carga e a TOE para a linba do Problema 6.3.5. [Z,.1 = j25 D., f (0) = 1L152°, fL = 1L -64°, TOE= co] 6.4.4 Determine, usando a carta de Smith, a impedancia de entrada, o coeficiente de reflexao na entrada, o coeficiente de reflexao nacargae a-T0E-paraa-linba-do Problema-6:3:6; 6.4.5 Determine, usando a carta de Smith, a impedancia de entrada, o coeficiente de reflexao na entrada, o coeficiente de reflexao na carga e a TOE para a linba do Problema 6.3.7. [Z,., = (474- j450) D., f (0) = 0,54L -39°, fL

0,54L -139°, TOE= 3,4]

6.4.6 Determine a impedancia da carga, a TOE e o coeficiente de reflexao na carga para as seguintes linbas de transmissao: (a) Zent = (30 - j100) n, Zc =50 n, ;£ = 0,4A, (b) = 50 n, Zc = 75 n, ;£ = 1,3A, (c) = (150 + j230) !1, Zc = 100 D., ;e = 0,6A> (d) = j250 D., Zc = 100 D., ;£ = 0,8A.

z..,

6.4. 7 Determine os menores comprimentos das seguintes linbas de transmissao, bern como a TOE eo coeficiente de reflexao na carga: (a) = -j20 n, ZL = j50 n, Zc = 100 n, (b) =(50- j200) n, ZL (12- j50) n, Zc = 100 n, (c) = (30 +j50) n, ZL = (200 +j200) n, Zc = 100 n, (d) t = (135 +jO) n, ZL = (60- j37,5) n, Zc 75 D.. [(a) 0,396A, co, 1L127°, {b) 0,395A, 10, 0,83L -126°, {c) 0,37A, 4,2, 0,62L29,5°, {d) 0,366A, 1,8, 0,285L -96°]

z..,

z.., z••

6.4.8 Usando a carta de Smith, mostre as seguintes propriedades das linbas de transmissao sem perdas: (a) lfLI :5 1; (b) a impedancia de entrada se repete para distancias multiplas de meio comprimento de onda; (c) a TOE para urn a linha tendo urna carga puramente reativa e infinita, e a intensidade do coeficiente de reflexao e unitana; (d) a impedancia de entrada em qualquer ponto da linbatendo urn a carga puramente reativa nao podeter urn a parte real; (e) pontos adjacentes em uma linha onde a impedancia de entrada e puramente resistiva estao separados por urn quarto de comprimento de onda. 6.4.9 Desejamos determinar o valor de urna impedancia desconbecida, ZL, ligada a uma linba de transmissao tendo impedancia caracteristica de 100 n. Removendo a carga, temos urna impedancia de entrada de -j80 D.. Com a impedancia desconbecida conectada, a impedancia de entrada e{30 +j40) n. Determine a impedancia desconbecida.

330 I> Capitulo Seis

6.4.10 Linhas de transmissao em curto-circuito (ou em circuito aberto) podem ser construidas de forma que elas apare<;am como capacitores ou indutores em sua entrada. Isso ecomo componentes de circuitos de microondas sao construidos. Usar capacitores e indutores discretos nessas freqiiencias de microondas (GHz) seria sem utili dade devido ao efeito dos seus terminais de ligac;ao, como vimos na Segao 3.13.4 do Capitulo 3. Para demonstrar isso, use a carta de Smith para.determinar o comprimento de uma linha de transmissao tendo urn curto-circuito como carga, de forma que ela apare<;a em seus tenninais de entrada como urn capacitor de 10 pF em l GHz. Assuma uma linha preenchida com ar (v = 3 X lOS m/s) tendo impedancia caracteristica de 50 fl.

SJE(:AO 6.5 MODJEJLOS APROXIMADOS DE lLl!NHAS DJE TJRANSMISSAO COM ClffiCUI1'0S A P.AlRAMJETRO§ CONCJENTIWDO§ 6.5.1 Uma linha preenchida com ar (v = 3 X 108 mls) tendo uma impedancia caracteristica de 50 n eoperada na freqiiencia de 30 MHz e tern comprimento del m. A linha eterminada em uma carga ZL = (200-j200) n. Determine a impedancia de entrada usando (a) o modelo de linha de transmissao e (b) o modelo aproximado de circuito Pi a pariimetros concentrados.

Urn cabo coaxial (v = 2 X 108 m/s) tendo impediincia caracteristica de 100 fie operado na freqiiencia de 4 MHz e tem comprimento de 5 m. A linha eterminada em uma carga ZL = (150- j50) n, e a fonte eVs= lOL0° com Zs = 25 n. Determine as tensoes de entrada e de saida da linha usando (a) o modelo de linha de transmissao e (b) o modelo aproximado de circuito Pi a parfunetros concentrados. [Exato: V(O) = 7,954L -6,578°, V (~) = 10,25L -33,6°; Aproximado: V{0) = 7,959L -5,906°, V (~) = 10,27L -35,02°]

6.5.2

§JE(:AO 6.6 UNJHIAS COM l?JERDAS

=(75 +jO) n, a= 0,05, v

2 X 108 ml s. Determine a impedancia de entrada de 11,175 m de comprimento do cabo a 400 MHz, se a linha eterminada em (a) urn curto-circuito, (b) um circuito aberto, e (c) urn resistor de 300 n.

6.6.1 Um cabo coaual de baixa perda tem OS seguintes pariimetros: Zc

6.6.2 Cabos com perdas, mesmo os de baixa perda, dissipam alguma potencia, amedida que os sinais passam por eles. Fabricantes de cabos especificam essa perda em vfuias freqiiencias em dB/100 ft ou dB por alguma outra dimensao linear. A perda ea razao da potencia de entrada do cabo pela potencia de saida extraida dele. Fazendo isso, o cabo e assumido como casado, de forma que existe apenas uma onda progressiva (atenuada) na linha. Determine uma expressao para a perda em tal cabo em dB como uma fun<;ao da constante de atenua<;ao a. [Perda no cabo = 8,686a~ dB]

Antenas

Antenas sao estruturas que enviam ondas eletromagneticas para o ar circunjacente. E util considerar a analogia de atirar uma pedia na agua. Ondas esfericas (na verdade, frentes de ondas circulares) emanam a partir do ponto em que a pedra atinge a superffcie da agua. Urna 3.J.1tena produz ondas esfericas emanando a partir dela. CoTrentes variantes no tempo irradimn. Este e o mecanismo essencial pelo qual antenas irradiam ondas eletromagneticas. As correntes variantes no tempo na superficie de uma antena produzem as ondas eletromagneticas irradiadas. Quando examinamos o significado da corrente, logo visualizamos esse mecanismo. A corrente e a taxa ou fluxo de carga, I = dQ!dt. Assim, a acelerar;ao da carga e uma corrente variante no tempo, e, portanto, cmÂˇgas aceleradas (oÂˇu desaceleradas) pmduzem irradiar;ao. Os campos eletromagneticos das antenas pr6ximos a ela sao muito complicados. Felizmente, estamos interessados apenas nos campos distantes: campos a uma distil.ncia da antena que e grande, se comparada ao comprimento de onda do sinal transmitido. No campo distante de todas as antenas, os campos sao mais simples e se assemelham as ondas planas uniformes estudadas no Capitulo 5. Assim, nosso conhecimento das caracteristicas das ondas planas uniformes pode ser diretamente empregado nos campos irradiados pelas antenas. Neste capitulo teremos muitas oportunidades de fazer relas;ao entre os campos irradiados pelas antenas com os campos associados as cindas planas uniformes. Neste capitulo, examinaremos~aspropriedades gerais das antenas,indusive-aquela~quee~usada-na transmissao de sinais, focando ou concentrando a emissao da onda eletromagnetica em uma determinada dires;ao. Em tal propriedade esta inclufdo o ganho, que e urn paril.metro importante de uma antena. Podemos inclusive adiantar que a energia dirigida para longe da antena receptora e perdida, e afeta a eficiencia do sistema de comunicas;ao. E mais: cada antena deve ser conectada a urn gerador de sinal atraves de uma linha de transmissao (sua linha de alimentas;ao). (Veja a Fig. 6.48a e a discussao referente na Ses;ao 6.7.3.) Veremos tambem que uma antena possui urn outro importante paril.metro- sua impedfincia de entrada, cuja parte real e aproximadamente sua resistencia de irradiar;ao. A potencia dissipada nessa resistencia de irradias;ao ficticia representa a potencia irradiada pela antena. Assim, o objetivo e transferir a potencia da fonte para a antena atraves da linha de alimentas;ao. Se a impedil.ncia de entrada da antena nao esta cas ada com a impedil.ncia caracteristica da linha de transmissao que a conecta com a fonte, alguma potencia passando pela linha de transmissao sera refletida de volta para a fonte e, assim, nao sera irradiada pela antena. Portanto, outra consideras;ao importante de projeto e o casamento entre a antena e sua linha de alimentas;ao. Em urn enlace de comunicas;ao devemos ter tambem uma antena receptora para converter os campos incidentes em tensao e corrente na sua saida. Isso estabelece o importante princfpio da reciprocidade, que essencialmente significa que as propriedades de transmissao das antenas, como a capacidade de focalizar, permanecem inalteradas quando elas sao usadas para receber uma onda. Uma vez completado este capitulo, teremos informac;:ao e conhecimentos suficientes, nao apenas para entender as antenas em geral, mas tambem para projetar os enlaces de comunicas;oes que incluem as mesmas.

33.2 l'-> Capitulo Sete

-·--·-···------------------------------------------------

Objetuvos de Aprrenduzado do Capitulo Ap6s completar o sumario deste capitulo, voce devera estar apto a ·,,, entender as propriedades de todas as antenas: diagrama de irradiayao, ganho, impedancia de entrada, resistencia de irradiayao, variayao com a distancia e deslocamento de fase dos campos eletrico e magnetico distantes, densidade de potencia e potencia total irradiada; "' calcular os campos eletrico e magnetico distantes, densidade de potencia e potencia total irradiada par uma antena dipolo hertziano; )>

calcular os campos eletrico e magnetico distantes, densidade de potencia e potencia total irradiada pelas antenas dipolo de meia-onda e monopolo de quarto de onda;

C:> entender como os campos eletricos distantes de um conjunto de dais elementos combinam-se

para obter direcionalidade no diagrama de irradiayao (nulos, maximos e mfnimos); :;;,. fazer um grafie;o do diagrama de irradiayao de um conjunto de dais elementos, dada a separayao entre as duas antenas e as fases das duas correntes; ;,,. calcular a abertura efetiva ou area efetiva de recepyao de uma antena receptora a partir do seu ganho, e vice-versa; calcular a perda ou atenuayao de percurso num enlace de comunicayoes de duas antenas usando a equayao de transmissao de Friis; calcular o campo eletrico distante usando a equayao de transmissao de Friis;

.> citar e e)(plicar algumas tfpicas aplicay6es, em engenharia, dos princfpios deste capitulo.

7.1 ANTENA DIPOLO HERTZIANO Talvez a antena mais simples seja a chamada de dipolo hertziano mostrada na Fig. 7.1. Ela consiste em uma corrente senoidal i que esta dirigida ao longo do eixo z do sistema de coordenadas esfericas. 0 usa do sistema de coordenadas esfericas na caracterizac;ao de antenas e padrao na industria e e o preferido .em detrimento dos sistemas de coordenadas cilindricas e retangulares, pois as ondas irradiadas pelas antenas sao ondas esfericas. Existem duas importantes considerac;oes sobre o dipolo hertziano. Primeiro, o comprimento da antena, dl, e muito pequeno (idealmente, diferencialmente pequeno para efeito de calculo). Essa considerac;ao simplifica o calculo matematico, permitindo uma soluc;ao fechada, e e aproximada em urn sentido pratico se o comprimento fisico da antena e muito menor que urn comprimento de onda, isto e, muito pequeno eletricamente. A segunda considerac;ao e que a Corrente ao Iongo da antena, i, e constante (modulo e fase) ao longo da antena. Por razoes 6bvias, a corrente deve cair a zero nas extremidades de quaisquer antenas praticas, o que nao e o caso dessa antena. A distribuic;ao de

Figura 7.1 A antena dipolo hertziana eo sistema de coordenadas esfericas.

Antenas i> 333

corrente ao longo da antena tipo fio que e eletricamente pequena, dl ~ A, e, na verdade, triangular, com um m:iximo no centro e caindo linearmente a zero nas extremidades. A consideragao de uma corrente constante ao longo do dipolo hertziano tambem simplifica a matematica. Apesar dessas considerag6es, os campos irradiados porum dipolo hertziano sao muito similares, em forma, aqueles das outras antenas no caso de pontos distantes, isto e, em distancias muito grandes, se comparadas ao seu comprimento expresso como comprimentos de onda. Assim, o estudo dos campos distantes de urn dipolo hertziano fomece conhecimento consideravel para os campos distantes de outras antenas. Pelos nossos cursos anteriores de circuitos eletricos, a lei de Kirchhoff das correntes indica que a corrente ao longo de um dipolo hertziano deve ser zero, ja que as extremidades sao circuitos abertos. Uma forma conveniente de vermos que essa corrente nao e zero e visualizando capacitancias entre os fios superior e inferior. Essa capacitancia "completa o circuito" atraves da corrente de deslocamento, permitindo assim a continuidade da corrente nos fios. Para uma excitagao senoidal de freqtiencia Un.i.ca, os campos eletrico e magnetico fasoriais resultantes dessa antena a uma distancia r e Jim angulo e(relativos ao sistema de coordenadas esfericas) a partir da mesma se tomam 1

(7.la)

(7.lb)

Eq,

(7.lc)

(7.ld)

e A

H,.

(7.le)

(7.1ÂŁ)

onde f e a freqtiencia de excitagao (trabalho) (e da corrente resultante). As Equag6es (7 .l) correspondem a uma excitagao senoidal de freqtiencia unica em regime permanente, e estao na forma fasorial. 0 meio circundante e logicamente o vacuo, de forma que v0 = 1/ ~ p.0 t: 0 e a velocidade da luz no vacuo (v0

=3 X 10 m/s), e TJo = ~ p. !t: =1207T e a impedancia intrfnseca do vacuo. Por causa da simetria, os 8

campos sao independentes da variavel de coordenada esferica </>, do sistema de coordenadas esfericas, isto e, os campos apresentam simetria rotacional em tomo do eixo do dipolo. Observe que a componente radial do campo eletrico, E,., e uma fungao do cosO, e as componentes transversais, E0 eHq,, sao fungoes de sene. Assim, a componente radial, E,., e m:ixima nas extremidades, e = 0Â°, e nula ao longo do plano mediador 8 = 90Â°. Reciprocamente, E0 e Hq, sao nulas nas extremidades e m:iximas ao longo do plano mediador da antena. Observe que a distancia radial a partir do centro do dipolo, r, e escrita em termos da distancia eletrica, isto e, r/A 0, onde A0 = voff eo comprimento de onda no vacuo. Observe tambem que o campo eletrico tem apenas componentes r e 8, enquanto o campo magnetico tem apenas componente <f>. 0 termo e-J(2 1Ao) representa um deslocamento de fase da onda amedida que ela se propaga 1tT

0 leitor interesado pode encontrar a demonstrac;:ao desses resultados em C. R. PauleS. A. Nasar, Introduction to Electromagnetic Fields, Second Edition, McGraw Hill, 1987.

334 \> Capitulo Sete

radialmente para fora da antena. No domfnio do tempo, isso representa um atraso de tempo, como vimos anteriormente:

Elogico esperar encontrar esse termo de deslocamento de fase (atraso de tempo) na solu~ao, ja que ele simplesmente diz que qualquer carga na corrente da antena e observada a uma distancia r depois de um atraso de tempo de r/v 0, representando uma velocidade de propagac;ao finita da onda irradiada. Ainda, os campos dependem diretamente da corrente, f, e do comprimento da linha, dl. 7.1.1 Campo IOistante

Os campos fasoriais completos em (7.1) mostram, mais uma vez, que a distancia fisica a partir da antena nao e uma dimensao importante. A dimensaoimportante e a distancia eletrica em comprimentos de onda, isto e, r/ A0 â&#x20AC;˘ Observe que a dependencia com a distancia eletrica para pontos distantes da antena ocorre como inverso dessa distancia eletrica para diversas potencias, 1/(27rr/A0), 1/ (21rr1Ao) 2 e 1/(27Tr/Ao)3â&#x20AC;˘ Em distancias que sao (eletricamente) proximas aantena, r ~ Ao, OS termos que envolvem a 3." potencia sao preponderantes, isto e, l/(21T'r/A 0) 3 ;;> l/(21T'r/A 0 ) 2 ;;:,. l/(21T'r/A 0 ). Isso e coDhecido como o campo proximo. As equac;oes para o campo total em (7.1) no caso do campo proximo se reduzem a

r ~ A0 (campo proximo)

Como I= dQ!dt, substituimos a forma fasorial desta, I= jwQ, nas expressoes do campo eletrico. Observe que a expressao do campo magnetico para Hq, se reduz alei de Biot-Savart para campos magneticos estaticos (cc) para um segmento de corrente que e dada no Capitulo 3; Equac;ao (3.58). Ainda, observe que as componentes do campo eletrico para Ere E0 sao as expressoes para o campo do dipolo dadas no Capitulo 3, Equac;ao (3.14), onde cargas Qestao separadas por dl. Este e um resultado esperado, ja que a corrente do dipolo nao cai a zero nas ex:tremidades, indican do uma acumulac;ao de cargas nas extremidades do dipolo. Essas observac;oes mais uma vez confirmam que as dimensoes eletricas, e nao as dimensoes fisicas, sao parametres importantes nos problemas de Eletromagnetismo. E mais: se os campos estao variando muito lentamente, os resultados estaticos (cc) do Capitulo 3 podem ser usados como uma aproximac;ao quase-estdtica. Por exemplo, suponha que a corrente de um dipolo tem uma freqiiencia de 60 Hz. 0 comprimento de onda em 60 Hz e aproximadamente 3000 milhas ou 5000 km. Assim, se r ~ A0 ou, digamos, r < 30 milhas ou 50 Ian, entao os campos se reduzem aos resultados estaticos. Contudo, para o uso em comunicac;oes, estamos apenas interessados em grandes distancias a partir da antena. Neste caso, ou seja, r/A 0 :l!> 1, os termos quadraticos e cubicos sao muito menores que o termo (l/(21T'r/A0). Neste caso, estamos nos referindo a um ponto distante, e os campos acima se reduzem a

campo distante r ;;> A0 e

(7.2a)

Antenas !> 335

Hq,=-

'TJu

.ffLo Ihdl () [e -:i(2wf)] =y- . sen 27)0

(7.2b) campo distante ·r i» A0

A componente radial, E, e aproximadamente nula, pois (7.la) contem apenas termos quadraticos e cubicos da distancia. Observe algumas propriedades importantes dos campos distantes: 1 os campos decaem inversamente com a distancia r para pontos distantes da antena; 2 os campos contem urn termo de deslocamento de fase, e-i(27rr'>.ol (o qual e equivalente a urn atraso

de tempo no dominio do tempo, r/v 0), e, assim, os campos mudam de fase por urn angulo de L -21rr/A0, amedida que eles se propagam para longe da antena; 3 os campos sao ortogonais e seu produto vetorial fomece, pela regra da mao direita, a dire<;ao de propaga<;ao a partir da antena: E0 X Hq, ~a" a qual e a dire<;ao radial; 4 a razao entre os campos eletrico e magnetico e a impedancia intrinseca do espa<;o livre, E0 11-Iq, = 7Jo, e

5 os campos dependem de sen() e, assim, sao nulos nas extremidades e m:iximos ao longo do plano mediador da antena, () = 90°. As propriedades 2, 3 e 4 sao todas propriedades das ondas planas uniformes. As ondas sao realmente ondas esfericas como as produzidas quando atiramos uma pedra na agua. Contudo, para urn observador local verificando a aproximac;;ao dessas ondas, elas aparecem, localmente, como ondas planas uniformes.

Urn dipolo hertziano tern urn comprimento de 1 em e conduz uma corrente de 1 A a 100 MHz. Determine o modulo e a fase dos campos eletrico e magnetico a uma distancia de 1000 m lange e ao longo do plano mediador da antena (8 = 90°). SOUJCAIO Urn comprimento de onda em 100 MHz e de 3m. 0 comprimento do dipolo eAo/300 e satisfaz o requisito de ser eletricamente pequeno. A distancia onde os campos devem ser determinados e de 333;\0 e, assim, estamos nos referindo a urn ponto distante. Substituindo em (7.2), tel:nos h

E0 = =

108 Hz X 4?T X 10-7 X lAX 10-2 m 2 4 6,28 X 10- L-l20.000°

. 0 r= lOOOm e-J-11' >.,=3m

x---r=lOOOm

VIm

Hq,

l20?T 1,67 X 10-6 L -120.000° Aim

7]0

lt~~ IEXIERCicm IDlE REVISAO 7.1 0 modulo do campo eletrico distante de urn dipolo hertziano e medido a uma distancia de 100m como 1 mV/m. Determine o modulo do campo eletrico em 1000 m.

!IR!ESIPOSTA 100 J.LV/m.

7.t2 fhmo «<e Po~el!llcia e ~~~a«<iau;iiio No ponto distante, a densidade de potencia media no tempo ou simplesmente media em W/m2 e

336 l1> Capitulo Sete

- Re(lE X l!JC) 2

(7.3)

11ftl =--a 2 7Jo

Pois Hq,

= E8/7J0 em pontos distantes e" denota o complexo conjugado. Calculando a densidade de po-

tt~ncia media para o dipolo hertziano,

usando as expressoes de campo distante em (7.2), temos

Isso mostra que a potencia media estafluindo para fora da antena na dire<;ao radial. Observe que a densidade de potencia decai inversamente com o quadrado da distancia, enquanto os campos eletrico e magnetico decaem inversamente com a distancia. ~>-

EXIEMPW 7.2 Determine a potencia media total irradiada por uma antena dipolo hertziano.

sm. UJ~AO A densidade de potencia media em (7.4) tern unidade de W/m2â&#x20AC;˘ Para obter a potencia media total, integramos essa densidade de potencia sobre uma superffcie fechada s:

(7.5)

Que superffcie fechada devemos escolherpara aintegrat;ao? Qualquer supemcie fechada satisfaz, mas, como o vetor densidade de potencia esta radialmente dirigido, simplificaremos a integrat;ao se escolhermos a superffcie como uma

z .,,..;.-

---

I I I

I I I I I I I I I I

~----------+-----â&#x20AC;˘Y I I I I I

\ \ \

I '

............

------- -----

Figura 7.2 Calculo da potencia media total irradiada pela antena dipolo hertziana.

Antenas ~ 337

esfera de raio R centrada na origem do sistema de coordenadas esfericas como mostrado na Fig. 7.2. A superffcie diferencial vetorial e, pelo Capitulo 2, ds = R2sen8dÂ˘d8a,.. Substituindo (7.4) em (7.5) e fazendo a integrat;;ao, temos

Pmed=

1 '1/o

z(dl) serr(J A: Ji2arÂˇ~ 2

rs-ITI

Smed

(7.6)

f> IEXfERClC!O DIE IRliEVISPt({) 7.2 Urn dipolo hertziano tern 1 em de comprimento e conduz uma corrente de 100 rnA na freqiiencia de 10 MHz. Determine a potencia total irradiada.

Antenas podem ser vistas como tendo uma resistencia de irradia9ao, RtrradÂˇ A resistencia de irradiagao

e uma resistencia fi.ctfcia, de forma que, se sua corrente e a mesma que a corrente do dipolo, entao a potencia dissipada na resistencia de irradiagao eigual apotencia irradiada pela antena:

(7. 7)

onde a corrente rms eirms

(7.8)

= i.fi. A partir de (7.6), a resistencia de irradiagao e

Determine a resistencia de irradiagao de urn dipolo hertziano cujo comprimento e 1 em e a freqiiencia de operagao

e lOOMHz. fnlESPOSTA 8,77 mil.

liP 7.2 ANTENAS DIPOLO DE MEIA-ONDA EMONOPOLO DE UM QUARTO DE ONDA 0 dipolo hertziano nao e muito efetivo para emissao de ondas. Por exemplo, uma antena de 1 em de comprimento operada em 100 MHz tem uma resistencia de irradiagao de 8, 77 mil. Assim, para irradiar 1 W de potencia, a corrente ao longo da antena deve ser 10,7 A." Observe em (7.7) que a potencia total irradiada depende diretamente da resistencia de irradiac;ao. A relac;ao com a resistencia de irradiagao em (7. 7) tambem permanece para outras antenas. Assim, para aumentar a potencia irradiada para uma dada antena, devemos aumentar a resistencia de irradiagao. Para o dipolo hertziano, a resistencia de irradiac;ao depende do comprimento eletrico do dipolo, dl!A0, e nao do comprimento fisico. Para obter uma resistencia de 1rradia9ao maior, digamos, da ordem de :iOO n, devemos aumentar o comprimento eletrico para uma porgao signifi.cativa de um comprimento de onda. Mas isso violaria a premissa basica do

"Do ingles rms (root mean square- valor media quadnitico ou valor eficaz). (N.R.)

338 it> Capitulo Sete

1 --------1 t l(z) e

-------t-v

+ X

t l(z)

________ _! (a)

---------1

t l(z)

(b)

Figura 7.3 Antenas dipolo e monopolo. (a) A antena dipolo. (b) A antena monopolo.

dipolo hertziano de que seu comprimento eletrico e muito pequeno. Nesta segao investigaremos uma antena mais realista e pratica cujo comprimento e de meio comprimento de onda. Veremos que a resistencia de irradiagao e 73 n e que, assim, urna quantidade significativa da potencia irradiada pode ser obtida sem correntes extremamente grandes. A Fig. 7.3a mostra urna antena dipolo gem3rica de comprimento totalZ. Ela consiste em dais bragos de igual comprimento Z/2. Os comprimentos dos bragos, de modo illferente que no dipolo hertziano, nao tern que ser eletricamente pequenos. De fato, para a antena mais comum, o dipolo de meia-onda, o comprimento total sera de meio comprimento de onda, l = A,j2. A Fig. 7.3b mostra outra antena comum, o monopolo. A antena tern urn brago de comprimento h que e perpendicular a urn plano de terra infinito. (Em termos praticos, a extensao do plano de terra deve ser de diversos comprimentos de onda.) A altura da at!tena monopolo de u..u quarto de onda ede um quruto do comprimento de onda acirna do plano de terra, h = A.r/4. Pelo metoda das imagens, podemos substituir o plano de terra par outro brago de comprimento h conduzindo uma corrente que e a mesma que a do brago acima do plano de terra. Assim, os campos da antena monopolo, acima da posigilo do plano de terra, sao identicos aos do dipolo. Dessa forma, a determinagao dos campos da antena dipolo ira fomecer imediatamente os campos da antena monopolo. Concentremo-nos agora num importante dipolo, o dipolo de meia-onda, cujo comprimento total e de meio comprimento de onda, l = Ar/2. Como o dipolo de meia-onda nao e eletricamente pequeno, a carrente ao Iongo dele nao pode ser constante. A corrente ao Iongo de antenas que sao eletricamente grandes possui uma variagao senoidal com a posigao ao Iongo do tempo. Assim, podemos assumir a forma da corrente como

Antenas I> 339

(z2- z) I(z) = Im sen{3 (z2 + z) I(z) A

=1 A

111

sen{30

l O<z<-

--9l <..,. <

(7.9a)

(7.9b)

""'

Essa distribuigao de corrente pode ser provada examinando as correntes ao Iongo de uma linha de transmissao que tern urn circuito aberto na carga. (Veja Fig. 6.23c.) As correntes ao longo da linha de transmissao sao da forma f (d) cc sen( {3d) e estao senoidalmente distribuidas ao longo da mesma, caindo a zero nas extremidades. (Veja Equagao 6.54b.) Se abrirmos as extremidades da linha separadamente na forma de urn 'V', no ponto onde os condutores da linha sao perpendiculares, obtemos o dipolo. Por is so a forma de distribuigao da corrente em (7.9). Observe que a corrente cai a zero nas extremidades nas expressoes (7.9) como deveria. Para obter os campos distantes de dipolos de grandes comprimentos, usamos uma ideia simples. Tratamos essa antena longa como uma sequencia de dipolos hertzianos eletricamente pequenos e superpomos os campos distantes de cada dipolo individual como ilustrado na Fig. 7.4. Assim, o campo eletrico devido a uma pequena subsegao de comprimento dz, usando (7.2a), e

dE0

JILo

= j -sen8' 2

-j(2r.i..) A. r

(7.10)

I(z)dz

onde r' e 8' sao a distÂ§ncia e 0 angulo entre 0 segmento de Corrente e 0 ponto p onde desejamos determinar o campo eletrico. Desejamos obter o campo eletrico resultante em termos da distiincia r e do iingulo 8 a partir do centro do dipolo. Fazemos agora uma importante consideragao para simplificar. Estamos interessados apenas nos campos distantes, de forma que podemos provar que as linhas a partir da origem ao ponto e a partir do segmento de Corrente ao ponto sao aproximadamente paralelas. Assim, OS angulos

...... ......

/(z)

-r' , .. "'

.,... .,. .."

1 "'

~Âˇ

,.....

.,..;, \

\ '

p e \

_ _ _ _ _ __,_y zcose

Figura 7.4 Calculando o campo eletrico em urn ponto distante da antena dipolo pela supe:rposiQao dos campos de dipolos hertzianos infinitesimais ao longo de seu comprimento.

340

li?>

Capitulo Sete

da origem do sistema de coordenadas esfericas ao ponto, (), e do segmento de corrente ao ponto, ()', sao aproximadamente os mesmos, () = ()'. A diferenga entre r e r' e

= r - z cos()

(7.11)

Substituindo (7.11) em (7.10), temos -zcasO)) - Âˇ(" } ' '(r 'T r--

.r, JILo

e Ac dE8 = j -sene ( e) I(z)dz 2 r- z cos A

(7.12)

0 termor- zcose eaproximadamente r, se (como e de interesse aqui) 0 ponto no qual desejamos calcular os campos esta muito distante da antena se comparado com o seu comprimento, isto e, r ~ l. Assim, o denominador de (7.12) pode ser aproximado para r. Nao podemos, de modo semelhante, substituir o termor- zcose, no termo de fase do numerador, por r, pois este depende nao da distancia fisica mas da distancia eletrica, como evidenciado pela sua divisao por A0â&#x20AC;˘ Por exemplo, dois pontos que estao distantes 1000 e 1000,5 m irao ter uma diferenga de fase de 180Â° para uma freqtiencia de 300 MHz (,\ 0 = 1 m). Assim, (7.12) se toma (7.13) Integrando esse resultado ao Iongo do comprimento do dipolo e substituindo pela distribuigao de carrente dada em (7.9), temos l

Eo= I dE8 z=

(7.14a) A

= ..,aI me

-j2'fr!._

'Yl

27Tr

F(e)

onde

(7.14b)

onde F( e) edito oJatar de antena ja que, para uma distancia r fixa, ele fomece o campo como uma fungao do angulo e, para 0 qual faremos um grafico como 0 diagrama de irradiagiio da antena para termos sua capacidade de focaliza9ao direcional. Como o ponto esta no campo distante da antena, o campo magnetico e A

Hq,=-

(7.14c)

TJo

Agora suponha que o dipolo tenha meio comprimento de onda, l = Ar/2. 0 fator em (7.14b) se toma

cos(; cosO) F(e) = --'-se_n_e__..c_

dipolo de meia-onda, l

(7.15)

Antenas I> 3411

Para urn dipolo de meia-onda, a maxima intensidade de campo eletrico ao redor da antena, e= goo, e F( e = goo) = 1. Assim, o modulo da ma-Tima intensidade de campo eletrico e obtido a partir de (7.14) simplesmente como

IEolmax = A

lim!

60r

dipolo de meia-onda, 0

goo

(7.16)

0 diagrama de irradia9tio de uma antena dipolo de meia-onda e mostrado na Fig. 7.5a em segao reta e em tres dimens6es para uma distancia fum, r, e uma fungao de 0. Observe que o campo eletrico decai z 8

Dl z

(a)

e= ~0 z

(b)

e= ~A.o 2

Figura 7.5 Diagramas de irradiaÂŤ;:ao de campo eletrico dos dipolos. (a) Urn dipolo cujo comprimento e meio comprimento de onda, l Arf2. (b) Urn dipolo cujo comprimento e urn e meio comprimento de onda, l = (3/2)A 0â&#x20AC;˘

342 I> Capitulo Sete

inversamente com a distancia. Assim, a uma distancia fixa r, o campo eletrico depende apenas do angulo () presente no fator F( 8) dado em (7.14b), que simplifica para (7.15) para uma antena dipolo de meiaonda. A informagao contida em urn diagrama de irradia151io e a seguinte. Para urn valor fixo de 8, a distancia da origem a linha extema do digrama de irradiagao e a intensidade relativa do campo eletrico para aquele angulo 8. Em outras palavras, a linha desenhada, da origem ate a extremidade do diagrama de irradiagao para aquele angulo 8, e proporcional ao campo eletrico. Isso mostra que o campo eletrico e Âˇnulo nas extremidades do dipolo e m3xi.mo no seu plano mediador, 8 = 90Â°. Para urn dipolo cujo comprimento e urn e meio comprimerito de onda, l = (3/2)A0, o fator F(8) em (7.14a) se toma

3 cos[ ; cos8] F(e) = _.::.-s-en-8--'-

=~A 2

Esse diagrama de irradiagao esta mostrado em segao reta e em tres dimensoes na Fig. 7.5b. Observe que, para esse comprimento do dipolo, aparecem pontos nulos no diagrama de irradiagao. Tais pontos se referem as extremidades do dipolo e tambem a outras posigoes. Nao havera transmissao para esses valores de e. A densidade de potencia media e

(7.17)

4,77 A potencia media total irradiada e obtida integrando a densidade de potencia media sobre uma superfi-

cie fechada (a qual novamente escolhemos como uma esfera de raio R):

~=Oo=o

(7.18) 2'1T

= 4,77lf ml 2

'1T

J JF

(

8) sen8d8dÂ˘

~=00=0

Infelizmente essa integral nao pode ser calculada na forma fechada. Integra15ao nurnerica para urn dipolo de meia-onda fomece W

(dipolo de meia-onda)

(7.19)

A partir desse resultado, obtemos a resistencia de irradiagao para o dipolo de meia-onda como

.0 (dipolo de meia-onda)

(7.20)

Para o monopolo acima do plano de terra, de acordo com o metodo das imagens, os campos acima do plano de terra sao identicos aqueles do dipolo e dados em (7.14). Contudo, ha uma importante diferenga entre os dois. 0 monopolo irradia apenas metade da potencia que o dipolo equivalente (apenas acima do plano de terra). Assim, a resistencia de irradia15ao do monopolo e a metade dado

Antenas !l> 341:3

dipolo equivalente. A resistencia de irradiagao de urn monopolo de urn quarto de onda (h = A.of4) e, portanto, Rirraa= 36,5

fl (monopolo de urn quarto de onda)

(7.21)

Um dipolo de meia-onda conduz uma corrente de 100 MHz cujo modulo no centro do dipolo (o ponto de excitagao)

e100 rnA (ef). Detennine a potencia total irradiada pelo dipolo e a densidade de potencia a uma distancia de 1000 m lange e ao redor da antena. IHiiESP(lSTAS 0,73 We 95,4 nW/m 2â&#x20AC;˘

A impedfulcia de entrada de uma antena consiste nao apenas na parte real (a resistencia de irradiagao ), mas tambern em uma parte imaginana representando urn a reatancia indutiva (ou capacitiva). Aparte imaginana da impedfulcia de urn dipolo de meia-onda e dificil de ser obtida, mas vale

\ JX =J42,5

(dipolo de meia-onda)

(7.22)

e, para urn monopolo de urn quarto de onda,

=j21,25 n

(monopolo de urn quarto de onda)

(7.23)

Assim, os circuitos de entrada equivalentes das antenas sao mostrados na Fig. 7.6.

Urn dipolo de 1 m de comprimento e excitado por uma fonte de 150 MHz e 50 !1 tendo uma tensao de circuito aberto de 10 V (ef), como mostrado na Fig. 7.7a. 0 dipolo econstrufdo de fios de cobre de bitola #20, tendo raio de 4,06 X I0- 4 m. Detennine a potencia total irradiada pelo dipolo e sua eficiencia.

Jl "l i (a)

bs-----,

J ~~~ t

36,5!:2

j21,25Q as-----' (b)

Figura7.6 Representando a impedancia de entrada de uma antena. (a) A entrada para urn dipolo de meia-onda. (b) A entrada para urn monopole de quarto de onda.

344 Ill> Capitulo Sete

--------------------,I

I I

: I I I I

I 1

R8 =50Q

I I I A

1Vs=10LOV

I I I

: I I

I I I

f=150MHz

: a I I 1

Fonte

--------------------1

(a)

--------------------,I

I I

~---------------1

I I

Rs=,s,_o_n____~~--~b--?-~~----~

I 1 I IA

:Vs= 10L0°V

lant

I I I I

jX =j 42,5 Q

l I I I

a I

Fonte

0 ' 63 Q 3Q

irrad=

I I I

perr!a=

Antena

--------------------l

L--------------~

(b)

!Figura 7.7 Exemplo 7.3.

SOUJCAO A resistencia dos fios pode ser calculada como 0,63 W. 0 circuito equivalente total da antena visto pela sua entrada consiste em ~enia = 0,63 !1 em serie com a resistencia de irradiagao, ~mul = 73 !1 em serie com a reatancia,jX = j42,5 !1, como mostrado na Fig. 7.7b. A potencia total irradiada e a potencia dissipada na resistencia de irradiagao. Para determinar a potencia irradiada, devemos primeiro determinar a corrente de entrada nos terminais da antena:

, Iant

= Rs

+ R,erda + Rirrad +]X

10L0° 50 + 0,63 + 73 + j42,5 = 76,5L -18,97° rnA A potencia total irradiada e a potencia irradiada na resistencia de irradiagao:

IIant 12 Rirrad

Plrrad

427,1 mW Como a tensiio da fonte esta em valor eficaz, a corrente tambem e expressa em valor eficaz. A potencia perdida na resistencia do fio e

-I'Iant 12 R,erda

lperda -

3,69rpW

A efi.ciencia da antena e a razao entre a potencia total irradiada e a potencia total na entrada nos seus terminais:

• ."" . ejiunencw

Etrra a Pperda

= 0,991

ou aproximadamente 99%.

+ llrrad

.. Antenas \;;> 345

7.3 CONJUNTO DE ANTENAS Urna importante propriedade de uma antena e a sua capacidade de concentrar ou focalizar a potencia irradiada em uma certa diregao, como ilustrado na Fig. 7.8. Do ponto de vista de comunicagao com a antena receptora, qualquer potencia irradiada que nao e transmitida na diregao da antena receptora e perdida. Os conjuntos de antenas fomecem diferentes graus de capacidade de focalizagao. 0 dipolo hertziano, o dipolo de meia-onda e o monopolo de quarto de onda concentram sua potencia b·ansmitida ao redor da antena igualmente em todas as diregoes no plano mediador (e= 90°), ja que os campos distantes dependem do sene. Outras antenas, tais como as parab6licas e cometas, produzem feixes estreitos, de forma que a potencia irradiada e mais concentrada em uma Unica diregao, o feixe (16bulo) principal da antena. · Epossfvel, e freqiientemente usado, dois ou mais dipolos/monopolos para fomecer um foco direcional maior que o fomecido por cada antena em separado. 0 princfpio aqui e que os campos das antenas individuais do "conjunto" se combinam para fomecer urn campo total que possui valores nulos em certas direg5es e urn valor maximo na diregao desejada. Considere duas antenas identicas separadas por urn a distancia d como ilustrado na Fig. 7. 9. As antenas estao situadas ao longo do eixo x em x = - d/2 e x = d! 2 e estao orientadas na diregao z (perpendicular apagina). Cada antena conduz uma corrente cujo modulo I e o mesmo para ambas, mas as fases das correntes sao diferentes. Essa diferenga de fase e rotineiramente conseguida colocando urn circuito deslocador de fase na entrada da antena. A corrente da antena da esquerda e fl =I La. e a Corrente da antena da direita e f2 = IL0°. Assim, a Corrente da antena 1 esta atrasada em relagao acorrente da antena 2 de a. graus. Desejamos determinar os campos eletricos combinadas em urn ponto P que esta a uma distancia r do centro do conjunto e a urn angulo emedido, conforme mostrado na Fig. 7.9. Normalmente estamos interessados nos campos a uma grande distancia da antena em relagao aseparagao entre elas. Assim, assumimos que as linhas tragadas de cada antena ao ponto distante sao aproxi.madamente paralelas entre si e paralelas alinha tragada do centro do conjunto ao ponto distante, conforme ilustrado na Fig. 7.9. Assim, temos (7.24a) e r2

=r +-

coscp

(7.24b)

Assumimos que as duas antenas sao identicas em estrutura (dois dipolos de meia-onda, dois monopolos de quarto de oiida, dois clipolos hertzianos, etc.), de forma que cis campos eletricos no ponto P sao dados por (7.25a)

· _,

Figura7.8 ilustrac;ao da necessidade de garantir direcionalidade com urn conjunto de antenas.

346 fi> Capitulo Sete

Figura 7.9 Urn conjunto de duas antenas identicas. As antenas tern urn diagrama de irradiac;:ao onidirecional no plano mostrado.

e (7.25b) A constante K contem diversos itens que sao ·especificos de cada tipo de antena. Por exemplo, para o dipolo hertziano cujo campo eletrico para urn ponto distante e dado em (7.2a), K = jlfJLr/2)dlsen8. 0 campo eletrico total no ponto P e, por superposigao, a soma dos campos eletricos_devidos a cada antena. Somando (7.25) e substituindo (7.24), temos

=-K I ( e]'01e-j27T

(r-~ cos¢) A,

·r

+ e-j27T

(r+~ cos¢)) A

j~( .(1rd cos¢+!!)2 + e-1(1rd cos¢+!!'2 )) A.

(7.26)

·21r.!:. Ie 7 A, e 2 el A,

Substituimos (7.24) no termo de fase e r1 = r2 r nos denominadores por razoes discutidas previamente. 0 diagrama de irradiaf(tlo desse conjunto (para urn r fixo) depende do angulo cf> como

(7Td

E ex: cos -coscf> A

+9 ...,

a)2

F( cf>) = cos ( -'TTd coscf> + A0

(7.27)

(7.28)

EXEMPLO 7.4 Suponha que a separaqiio de duas antenas em conjunto emeio comprimento de onda, d = Ar/2, e que as correntes estao em fase, a= 0°. Esboce o diagrama de irradiac;:ao do conjunto.

Antenas ill> 34 7

(a)

-1 I I

-------

~fLO

--------,-------I

: I

-1

fH!lJIIra7.111 Exemplo 7.4.

(b)

SOWCAO 0 fator de conjunto em (7.28) se toma

F(r/>)

cos(% cosrf>)

o qual e esbogado na Fig. 7.10a. Esse diagrama de irradiagao pode ser determinado com urn argumento fisico com as observag5es a seguir. A onda propagada a partir de cada antena sofre urn deslocamento de fase deL -2w/A0, a medida que se desloca para lange das mesmas. Primeiramente examinemos a diregao rf> = 0°. Uma onda se propaganda para a esquerda a partir da antena 1 tern urna amplil:ude nolat:iva de 1 atingindo urn ponfo-disfante-onde desejamos determinar o campo resultante. Uma onda se propaganda para a esquerda a partir da antena 2 sofre urn deslocamento de fase de L -27T(dlA0) L -1T ou 180° se propaganda da antena 2 para a antena 1. Assim, ela atinge urn ponto distante defasada de 180° em relagao aonda se propaganda da antena 1. Assim, as duas contribuig5es se cancelam para rf> = 0°. Similarmente, para rf> = 180°, tambem temos urn valor nulo no diagrama de irradiagao devido as duas ondas defasadas que atingem urn ponto distante. Agora considere pontos ao redor do conjunto, </> 90° e rf> 270". As ondas das duas antenas nesse caso percorrem as mesmas distancias e, assim, chegam em fase reforgando, portanto, urna a outra, e originando urn maximo no diagrama de irradiagao. <:l ~-,

EXIEMPLO 7.5 Supori.ha que a separagao entre as duas antenas em conjunto seja de meio comprimento de onda, d = Aof2, e que as correntes estejam defasadas de 180°, a = 1T. Esboce o diagrama de irradiagao do conjunto.

SOlUCAO 0 fator de conjunto em (7.28) se toma

F(cfi) = cos(%cosrf> + %) 0 diagrama de irradiagao esta esbogado na Fig. 7.11a. Novamente, esse diagrama de irradiagao e relativamente simples de ser esbogado usando urn argumento fisico. A onda emitida por cada antena sofre urn deslocamento de fase deL -21T(r/Ao), amedida que se propaga para lange da antena. Alem disso, a Corrente da antena pode ter, como e o caso da antena 1, urn angulo de fase que, mais adiante, muda a fase da onda chegando ao ponto distante. Primei-

348 Ill> Capitulo Sete

~---d= ~o _ ____,~ I I I I

--\---,J;E;)G-£---1/1

" ""

(a)

-1

+1 +1

------1

I I I

--------,--------

/be

: I

-1 -1

Figura 7.11 Exemplo 7.5.

(b)

ramente, examinemos a direglio cp = 0°. Uma onda se propaganda para a esquerda, a partir da antena 1, tern urna amplitude relativa de -1 chegando ao ponto distante onde desejamos determinar o campo resultante. Isso e devido ao fato de que a onda comega com urn fulgulo de fase de 180° por causa do fulgulo de fase de sua corrente. A onda se propaganda para a esquerda, a partir da antena 2, sofre urn deslocamento de fase de L -27T(dlll0) = L -7r ou - 180° na propagaglio da antena 2 para a antena l. Como o fulgulo de fase da corrente e zero, nlio ha deslocamento de fase adicional envolvido. Assim, ela atinge o ponto distante em fase com a onda se propagando_a partir_da.antena l. Assim, as duas contribuigoes se somam para a direglio cp = 0°. Similarmente para cp = 180°, tambem temos urn valor maximo no diagrama de irradiaglio porque as duas ondas estlio em fase quando elas atingem urn ponto distante. A onda oriunda da antena 1 sofre -180° devido a ela ter que se propagar atraves de urn a distfulcia d = llof2, e mais 180° em virtude de o fulgulo de fase da corrente ser de 180°, resultando num deslocamento de fase resultante de 0°. Assim, ela chega em fase com a onda transmitida a partir da antena 2. Agora consideremos pontos ao redor do conjunto, cp = goo e cp = 270°. As ondas das duas antenas nesse caso se propagam na mesma direglio, mas estlio defasadas de 180°, em virtude de a corrente da antena 1 comegar defasada de 180°. Assim, elas chegam defasadas de 180°, resultando num valor nulo no diagrama de irradiaglio. <iJ

:;:-... EXEMPLO 7.6 Suponha que a separaglio entre duas antenas em conjunto seja de urn quarto de comprimento de onda, d que as correntes estejam defasadas de goo, a = 7T/2. Esboce o diagrama de irradiaglio do conjunto.

Aof4, e

SOlU~AO 0 fator de conjunto em (7.28) ~e toma

F(cp) =

cos(~coscp + ~)

0 diagrama de irradiaglio esbi esbogado na Fig. 7.12a. Novamente, esse diagrama de irradiaglio e relativamente simples de ser esbogado usando urn argumento fisico. A onda ernitida por cada antena sofre lim deslocamento de fase deL -27T(r/A. 0), amedida que se propaga para lange da antena. Alem disso, a corrente da antena pode ter, como e o caso da antena 1, urn fulgulo de fase que, mais adiante, muda a fase da onda ao atingir urn ponto distante. Primeiramente, examinemos a diregao cp = 0°. Uma onda se propaganda para a esquerda a partir da antena 1 tern urn

Antenas

i<l---- d

349·

=~0 ------iJ>j I I I

I I : I I

-e----/LO

(a)

I I I I ------ --------1--------

JLlf

I I

fLO

1 L-90°

Figura 7.12 Exemplo 7.6.

(b)

angulo de fase de goo quando ela atinge urn ponto distante. Uma onda se propaganda para a esquerda a partir da antena 2 sofre urn deslocamento de fase de L -27T(d/A0) = L -( '!T/2) ou -goo na propagac;ao da antena 2 para a antena 1. Como 0 angulo de fase da COrrente e nulo, nao ha deslocamento de fase adicional envolvido. Assim, ela chega a urn ponto distante com urn angulo de fase de -goo, que esta defasado em relac;ao aonda se propaganda da antena 1, a qual chega com uma fase de goo. Assim, as duas ondas se cancelam, dando urn valor nulo para cf> = 0°. Agora considere cf> = 180°. Urna onda se propaganda para a direita a partir da antena 1 comec;a com urn angulo de fase de goa. A. medida que ela se propaga da antena 1 para a antena 2, ela sofre urn deslocamento de fase de . -L=27T(d/A0 ) = L=('!T/2) ou-~go~. Issoresulta·numafase resultantede·goa -.gQ 9-=·0°·quando elaatinge umponto distante. Aonda a partir da antena 2 chega a urn ponto distante com uma fase relativa de oa, pois ela comec;a com urn angulo de fase de 0° devido afase da corrente. Assim, os dois campos se somam para cf> = 180°. Agora considere pontos ao redor do conjunto, cf> = goa e cf> = 270°. As ondas das duas antenas, nesse caso, percorrem a mesma distancia mas estao defasadas de goa, em virtude de as correntes comec;arem defasadas de goa. Assim, elas chegam defasadas de goa, dando urn total de 1 +jl = L45°. ·"·~

.J2

A localizagao dos valores nulos no diagrama de irradiagao pode ser determinada fazendo o fator de conjunto igual a zero: F(cf>)

7Td =cos ( -cos¢ +A0 2

=0 Assim, a localizagao dos valores nulos no diagrama de irradiagao pode ser encontrada resolvendo ..... a

7Td

-cos¢+-=±A0 2 2 Para o Exemplo 7.4, onde d = .Ar/2 e a= 0°, temos 7T

-cos¢=±-

(7.29)

350 Ill> Capitulo Sete

dando valores nulos em cos</>= ±1 ou </> temos

0°, 180°. Para o Exemplo 7.5, onde d

-cos</>+-

A.r/2 e a= 180°,

-2

dando valores nulos em cos</>= 0, -2 ou 4> = ±90° e cos</>= -2 nao representa urn angulo ffsico. No Exemplo 7.6, onde d = A.r/4 e a= 90°, temos 7T

-cos</>+-=±4 4 2 dando valores nulos em cos<f> = 1, -3 ou </> = ffil!i-

oo e cos</>= -3 nao representa urn angulo ffsico.

7.4 PROPRIEDADES DAS ANTENAS Estudamos as propriedades de importantes antenas tipo fio, o dipolo hertziano e o dipolo de meia-onda e o monopolo de urn quarto de onda. As importantes propriedades de focalizar a potencia irradiada em certas dire~6es e a impedancia de entrada dessas antenas foram estudadas. Outros tipos de antenas, tais como antenas parab6licas e cometas, compartilham essas e diversas outras propriedades importantes. Nesta se~ao estudaremos esses parfunetros importantes que sao compartilhados por todas as outras antenas. Para antenas mais complicadas, essas propriedades sao, muitas vezes, medidas, em vez de serem calculadas. .

7.4.1 l!lliretividade e Ganlllo

A capacidade de focalizar a potencia irradiada em certas dire~oes euma propriedade importante de uma antena e esta contida no ganho dessa antena. A diretividade em uma dire~ao (), 4> particular, D( (), 4>), ea razao entre a densidade de potencia irradiada naquela dire~ao e a densidade de potencia naquele ponto se a potencia total irradiada pela antena fosse irradiada igualmente em todas as dire~6es:

D((),<f>)

Smed(e,<f>)

(7.30)

smed, palencia total irrndiada igualmente em todas as dire,iies

As densidades de potencia nessa expressao sao relativas a uma mesma distancia da antena. Assim, a diretividade fomece uma medida de capacidade de focalizagao de uma antena em uma dire~ao particular. 0 ganho, G((),<f>), esta relacionado com a diretividade da antena pela eficiencia desta, e:

I G(e,<f>) = eD(e,<f>) I

(7.31)

N0 Exemplo 7.3, parte da potencia fomecida para OS terrninais da antena edissipada na resistencia ohmica dos fios, resultando numa eficiencia de 99,1 %. Assim, 99,1% da potencia total entregue para os terminais e irradiada, e a eficiencia e e = 0,991. Para a maioria das antenas uteis, a eficiencia e proxima de 100%, de forma que a diretividade e o ganho sao aproximadamente iguais. Para antenas ineficientes, como o eletricamente pequeno dipolo hertziano, a eficiencia pode ser bastante pequena, de forma que a direti:vidade e o ga..--ilio nao sao os mesmos. Antenas tendem a concentrar sua potencia irradiada em certas dire~6es. Assim, ecomurn simplesmente especifi.car o ganho da antena para as dire~6es () e </>que resultam em maxima irradia~ao: · G =eD

smed (() mwv<Pm{Jx)

=e------~~~~~~---------

(7.32)

Smed, palencia total irradiada igualmente em todns as dire!;iies

Se nenhuma dire~ao (),</> eespecifi.cada, deve ser assumido que o ganho informado esta na dire~ao de urn maximo, isto e, o feixe principal. Por exemplo, para o dipolo hertziano hem como para o dipolo de

Antenas tl> 351

(a)

,..r

------ .........

'\ \

...----

___..\\

/ I I I I

\ \ \

' ' .........

-----{b)

Fi!llllrlll 7.13 Ilustragao do significado da diretividade da antena. (a) A fonte pontual isotr6pica. (b) Diretividade de . uma antena generica.

meia-onda, a diregao de ma.xi.ma irradiagao eao redor do dipolo, de forma que ()max = 90Â°. Assumiremos que a eficiencia da antena e 100~, .C!e1 furp:J._?:.9_l!.~-~-ilir~t:irt~~.4(3~ o g~o sa() iguais, e usaremo~ o sfll1bolo G para representar o ganho. Uma antena ideal que irradia igualmente em todas as diregoes, isto e, que nao tern capacidade de concentragao, ea fonte pontual isotr6pica, mostrada na Fig. 7.13a. Uma fonte pontual isotr6pica nao effsica, uma vez que todas as estruturas irradiantes tern alguma capacidade de focalizagao. A eficiencia de uma fonte pontual isotr6pica e 100%, isto e, toda a potencia aplicada asua entrada eirradiada. Assim, sua diretividade, D, e seu ganho, G, sao iguais. Se ela esta transmitindo uma potencia total de Pr W, entao a potencia em urn ponto r distante e igualmente distribufda sobre a superffcie de uma esfera de area superficial4~ m2 como ilustrado na Fig. 7.13a. Assim, a densidade de potencia no ponto e W/m2, fonte pontual isotr6pica

(7.33)

Portanto, o ganho da antena que esta transmitindo uma potencia total de Pr W e

Smed ( () max,cf>max) Smed. potencia total irradiada igualmeote em todas as dire96es

= Mrr2 Smed (Omax,cf>max) Pr

(7.34)

352 ll> Capitulo Sete

Consequentemente, o ganho de uma antena fomece sua capacidade de focalizar a potencia irradiada em uma diregao particular em relagao a uma fonte pontual isotr6pica, C!=Jmo ilustrado na Fig. 7.13b, de formaque (7.35)

> EXEMPLO 7.7 Determine o ganho de urn dipolo hertziano.

$1l:lUJJCAIO A densidade de potencia do dipolo hertziano e dada em (7.4) como

Smed= 15?T lfl a qual e maxima na diregii.o

ema<

. )2 5 (~ ~~ e 2

=goo. A potencia total irradiada e dada por (7.6) como P = T

so~(d1)21fl2 A 0

...

Assim, o ganho edado por (7.34) como G = 1,5

> IEXIEMPLO 7.8 Determine o ganho de urn dipolo de meia-onda. Sl!'.l!.J!JI~AI!) A densidade de potencia de um dipolo de meia-onda edada por (7.17) como

2 lfml 2( e) Smed = 4,77---;;.-F a qual e maxima na diregii.o

ema.,

Wlm2

= goo, de forma que F( em.,) = l. A potencia total irradiada e dada por Pr = 731fm12 2

Assim, o ganho edado por (7.34) como G = 1,64

De acordo com isso, o dipolo de meia-onda eapenas ligeiramente melhor que o dipolo hertziano em sua capacidade de focalizar a potencia irradiada. Contudo, ha uma grande diferenga entre as duas antenas. A resistencia de irradiagii.o do dipolo de meia-onda e consideravelmente maior que a do dipolo hertziano e, assim, a potencia pode ser transmitida usando uma corrente de entrada muito menor. 0 monopolo de quarto de onda irradia metade da potencia do dipolo de meia-onda (no espago acima da posiglio do plano de terra). Assim, o ganho do monopole de quarto de onda e duas vezes aquele do dipolo de meia-onda correspondente ou 3,28. Âˇ<t\3

0 ganho de uma antena emuitas vezes especificado em decibeis (dB). 0 ganho de uma antena eespecificado em dB como (7.36) = 10 log 10 (G) 0 ganho do dipolo hertziano eG = 10 log10(1,5) = 1,76 dB. 0 ganho do dipolo de meia-onda eG = 10 log10(1,64) = 2,15 dB, eo ganho de urn monopolo de quarto de onda eG = 10 log10(3,28) = 5,17 dB. As

Gds

antenas que possuem capacidade de focalizagao considenivel, tais como antenas parab6licas ou cometas, tern ganhos muito maiores. Urn ganho de 40 dB e equivalente a urn ganho de 10.000, isto e, a densidade de potencia na diregao de m8.xima irradiagao e10.000 vezes a densidade de potencia se a potencia

Antenas ~ 353

total transmitida fosse igualmente irradiada em todas as dire96es, com uma fonte pontual isotr6pica. As antenas dos satelites, tais como as que sao usadas para receber sinais de televisao, estao contidas nesses ganhos muito elevados (maiores que 60 dB), para compensar a densidade de potencia muito pequena recebida pela Terra a partir de satelites orbitais, que podem ser da ordem de 10-12 W/m2â&#x20AC;˘ 0 ganho de uma antena e especificado em rela9ao ao ganho de alguma antena de referencia. A antena de referencia 1,1sada aqui e a fonte pontual isotr6pica, que tern urn ganho unitario, G = 1. Em alguns casos na industria, o ganho de urn a antena pode ser especificado em rela9ao ao dipolo de meia-onda.

Na se9ao anterior, discutimos a capacidade de focaliza9ao de uma antena quando ela eusada para transmitir potencia. De igual importancia ea capacidade de uma antena receptora de extrair potencia de uma onda passante que esta sendo transinitida por outra antena. Essa capacidade de extrair potencia de uma onda passante e dada pela abertura efetiva da antena, que ealgumas vezes referida como area efetiva ou area de captura. Considere uma antena, desenhada como uma antena cometa, mostrada na Fig. 7.14a, que tern uma onda incidente indo ao encontro dela. Essa antena receptora extrai parte da potencia na onda passante e a converte para potencia recebida, PR W, em sua base. No campo distante das antenas, as ondas irradiadas por elas assemelham-se a ondas planas uniformes. Assim, podemos caracterizar a onda incidente como tendo uma densidade de potencia de 1

!EI 2

s.d. =-me ,me 'Yl

....

(7.37)

'10

A abeÂˇrtura efetiva de uma antena e a razao da potencia extraida e recebida em sua base pela densidade de potencia da onda (plana uniforme) incidente:

(7.38)

(a)

Z8 =R;,.d+jX

r-~---------

VcA

-------

G?____________ ------(b)

Figura 7.14 Propriedades das antenas. (a) tlustragao da abertura (area) efetiva. (b) 0 circuito equivalente da antena receptora.

354 ---""_"

~-,.

Capitulo Sete

________ Observe que a abertura efetiva e a razao de uma potencia em W por uma densidade de potencia em W/ m2, dan do a unidade de abertura efetiva como metros quadrados, uma area superficial. Assim, podemos pensar na abertura efetiva de uma antena como a area de captura efetiva dela. Antenas tipo superficie, tais como antenas parab61icas ou cornetas, tern uma abertura efetiva que esta muito proxima de sua abertura fisica. Antenas tipo fio, como o dipolo de meia-onda, nao possuem nenhuma area de captura fisica, mas extraem potencia de uma onda passanfe e, portanto, possuem uma abertura efetiva tambem. Ha algumas consideragoes ideais inerentes adefinigao e conceito de abertura efetiva acima. A capacidade de uma antena de extrair potencia de uma onda passante depende da sua orientagao em relagao afrente de onda. Por exemplo, uma antena tipo superficie, como uma antena corneta, deve ser orientada de forma que a area de sua boca esteja paralela afrente de onda da onda plana uniforme incidente para extrair maxima potencia dela. Similarmente, uma antena tipo fio, como urn dipolo de meia-onda, deve ter o eixo de seu fio orientado paralelo ao vetor campo eletrico da onda incidente para extrair a maxima potencia dela. Se uma antena tipo fio esta orientada com seu eixo pe1pendicular ao vetor campo eletrico da onda incidente, a onda nao ira evocar nenhuma resposta da antena. Assim, a definigao de abertura efetiva assume que a antena receptora esta orientada para extragao maxima de potencia da onda incidente. Ainda, essa antena receptora pode ser pensada ou modelada como uma fonte tfpica com uma tensao de circuito abe1to VcA e uma impedancia de fonte Zs como ilustrado na Fig. 7.14b. Para que a potencia e1.'i:raida seja a ma"tima entregue ao receptor, representado por ZL, as impedancias de fonte e de carga devem estar casadas, isto e, ZL z~. 0 princfpio de reciprocidade garante que a impedancia de fonte de uma antena, usada para recepgao, e a impedancia de entrada Zs = R1rrad + jX, quando a antena e usada para transmissao. Assim, uma carga casada teria sua impedancia como ZL z~ = Rin"ad - jX. A definigao de abertura efetiva tambem assume essa condigao de casamento entre a antena e o receptor em sua base. A capacidade de recepgao de uma antena quando usada como uma antena receptora esta diretamente relacionada ao seu ganho e a sua capacidade de concentragao quando ela e usada para transrnissao. Essa importante relagao e

(7.39) Assim, a abertura efetiva de uma antena pode ser determinada a partir de seu ganho. Estritamente falando, o ganho em (7.39) deve sera diretividade, D(O,cf>), mas iremos, daqui por diante, assumir que a eficiencia da antena e 100%, de forma que OS dois SaO iguais. i:> IEXEMIPUll 7.!11

Demonstre a relagao entre abertura efetiva e ganho em (7.39) para um clipolo hertziano. ยงI{DUJI~t~i{J) Uma onda plana uniforme incidente tern uma densidade de potencia dada por (7.37). Se o eixo da antena estfi orientado paralelo ao vetor campo eletrico dessa onda incidente, a tensao de circuito aberto induzida. em sua basee

onde dl e o comprimento do clipolo. Isto segue a partir da observagao de que a onda passante ini induzir uma tensao entre as duas extremidades do clipolo, mas, como o clipolo e assumido como eletricamente pequeno, essa tensao induzida e aprox:imadamente o produto do campo eletrico tangente ao clipolo pelo seu comprimento. Com referencia aFig. 7.14b e assumindo que a carga esta Casada, ZL = z; = Rlrrad- jX, a potencia recebida e

e assumimos que a antena e sem perdas. Substituindo o valor da resistencia de irracliagao para o clipolo hertziano dado em (7.8), temos

Antenas i>Âˇ 355

Figura 7.15 Urn enlace generico de comunicagao.

P _

IEI 2 A;

R- 640~

A densidade de potencia media na onda passante e dada por (7.37). Assim, a abertura efetiva e

A<f=-Smed,inc ,12

15' 4'1T

0 ganbo do dipolo hertziano foi mostrado como 1,5 anteriormente.

7.4.3

IEqo.na~ao

de Tnmsmossao de Friis2 Urn importante uso de antenas e num enlace de comunicac;ao ilustrado na Fig. 7.15. Urn transmissor esta enviando uma potencia total Pr W via uma antena transmissora. Um receptor esta a uma distancia d dele e esta ligado a uma antena receptora. Pelos nossos resultados anteriores, a densidade de potencia na antena receptora e Smed

Pr 7Td2 Gr(Or,<f.!r) 4

(7.40)

onde Or, <Pr e a direc;ao angular entre o feixe principal da antena transmissora e a diregao no sentido da antena receptora. A potencia recebida e (7.41) onde eR, <PR e a diregao entre o feixe (16bulo) principal da antena receptora e a direc;ao no sentido da antena transmissora, eAR e a abertura efetiva da antena receptora naquela diregao. Substituindo, temos (7.42)

Normalmente, as antenas sao caracterizadas em termos de seu ganho ao inves de sua abertura efetiva. Substituindo a relagao entre ganho e abertura efetiva em (7.39) para a antena receptora: (7.43)

H.T. Friis, "A Note on a Simple Transmission Formula", Proc. IEEE, Vol. 34, p. 254-256, maio, 1946.

356

t;t>

Capitulo Sete

levando aequagao de transmissao de Friis: (7.44) Esse importante resultado permite o calculo da potencia recebida em termos da distancia de separagao entre as duas antenas e seus ganhos (na diregao de transmissao). Alternativamente, (7.44) echamada de trajet6ria ou caminho de perdas do caminho de transmissao. Um segundo resultado utile o calculo da intensidade de campo eletrico na antena receptora. A densidade de potencia da onda transmitida e aquela de uma-onda plana umforme: (7.45) A partir de (7.40) (7.46)

Equacionando essas duas, temos o campo eletrico na antena receptora:

(7.47)

A equagao de transmissao de Friis, ou caminho de perdas, tam hem pode ser escrita em dB como

log10 (~;) = Gr,dB + GR,dB -

20 log10 (f) - 20 log10 (d) + 148

(7.48)

EXEMPLO 7.10 Urn enlace de comunica<_;ao de microondas e projetado para transmitir sinais de 3 GHz atraves de uma distancia de 3000 m. As antenas sao parab6licas, tendo ganhos de 20 dB (feixe principal). A potencia recebida deve serpelo menos 1 fLW para operagao correta. Determine a potencia necessana do transmissor e a intensidade do campo ~letrico na antena receptora.

SIDlWCPlilll Os ganhos das duas antenas sao 100, eo comprimento de onda em 3 GHz e 0,1 m. Usando a equa<_;ao de transmissao de Friis, temos

PR = 10-6 =

) Pr X 100 X 100 X ( 01 ' 12.000'1T

Resolvendo para a potencia necessana do transmissor, temos Pr = 14,2 W. 0 campo eletrico na antena receptora e obtido a pa..rtir de (7.47):

. !"I= E =

V60 X 14,2 X 100 3000 97,3

mV/m

> EXERCiCIO DE REVISAO 7.5 Urn sistema eletronico de contramedidas eletronicas (electronic countermeasures- ECM) e projetado para perturbar a transmissao de urn radar inimigo que esta operando em 6 GHz. 0 radar inimigo esta 5 milhas distante do

Antenas !? 357

sistema de contramedi\!1iO. Para garantir uma perturba\!1iO bem-sucedida, ele requer que o campo eletrico no radar do inirnigo seja 1 V/m. Se a antena do sistema de contramedidas eletronicas tern urn ganho de 30 dB, determine a potencia de transmissao necessfuia do transdutor do sistema de contramedigao.

fuiESfiDJSlA 1,08 kW.

7.5 APLICACOES EM ENGENHARIA Nesta segao final, discutiremos diversas aplica~oes, em engenharia, dos princfpios deste capitulo. Aprimeira aplica~ao examina o campo eletrico irradiado a partir de urna linha de transmissao. 0 modelo aproximado, porem simples, obtido, permite a predi~ao do campo irradiado. A segunda aplica~ao examina o conh·ole eletronico de urn conjunto de antenas mudando eletronicamente a fase das correntes para as antenas. A terceira aplica~ao examina o projeto de urn enlace de comunica~oes via satelite para uma certa rela~ao sinal-ruido. 0 ruido de fundo, presente em qualquer sistema de comunica~oes, e incorporado ao projeto pelo uso da equa~ao de transmissao de Friis. A quarta aplica~ao examina o inverso da primeira aplica~ao, que e o fato de que a onda eletromagnetica incidente pode produzir ruido ou sinais de interferencia nas extremidades de uma linha de transmissao. Novamente, o modelo aproximado, porem simples, obtido, permite uma estirnativa das tensoes induzidas nos terminais. Alem disso, esse modelo simples mostra os fatores fundamentais que podem ser controlados para reduzir os niveis dessas tensoes induzidas. l~.~

1Emoss51Els ~rmmlliloB~dlas IJDIPl~«<!s UmiuaslliiiPl '1l'~«<lllllS11111lOssmiilll

A Comissao Federal de Comunica~oes (FCC) nos Estados Unidos requer que todos os dispositivos digitais (computadores digitais, impressoras a laser, maquinas eletronicas de datilografia, etc.) sejam testades para seus campos eletricos irradiados em uma faixa de freqliencia de 30 MHz ate l GHz. 3 Restri~oes similares sao impostas pelos 6rgaos governamentais em outros paises. Os limites para o campo eletrico irradiado permissive! sao fornecidos pela Comissao, e qualquer dispositive digital cujo campo eletrico irradiado exceda esses limites nao pode;-por lei, ser vendido nos Estados Unidos! A inten~ao das regulamenta~oes e prevenir que os dispositivos digitais causem interferencia em radios, televisoes e outras comunica~oes. Assim, os fabricantes de dispositivos digitais devem estar aptos para projetar produtos digitais de forma que, alem da performance funcional desejada, suas emissoes irradiadas nao excedam os limites legais dados pela Comissao. Nesta se~ao, obteremos urn modelo simples que pode ser usado para estimar o campo eletrico irradiado produzido pelas linhas de transmissao (cabos tipo fio ou trilhas de placas de circuito impressa) no produto. 0 modelo e baseado na superposi~ao de dois dipolos hertzianos . ... donsidere fonte e·lima carga conectad.as por d.e.iiansillissao &illla.r;·como mostrado na Fig. 7.16a. 0 comprimento da linha e ;£, e a separa~ao entre os dois condutores e denotada por s. Os dois condutores podem representar uma variedade de linhas de transmissao, tais como dois fios em urn cabo em forma de fita ou duas trilhas sobre urna placa de circuito impressa. Uma corrente I passa por urn condutor e retorna por outro condutor. Correntes irradiam. Assim, esperamos que sua combina~ao irradie urn campo eletrico em algum ponto a uma distil.nciad em rela~ao ao seu centro, como ilustrado na Fig. 7.l6b. Determinaremos o campo eletrico no plano dos fios para o caso mais desfavoravel. Para construir urn modelo para predizer isso, a ideia simples e tratar cada urn dos dois condutores como dipolos hertzianos e superpor os dois campos eletricos a partir deles. Na essencia, temos urn conjunto de dois elementos com a = 180° (as correntes nos dois fios sao iguais e de sentidos opostos) e desejamos determinar o diagrama de irradia~ao ao Iongo do plano mediador. Para determinar o campo eletrico irradiado total, faremos algumas considera~oes para simplifi.car. Assumiremos que (a) o ponto no qual desejamos calcular o campo esta muito Ionge dos dois condutores, e (b) o comprimento da linha e essencialmente pequeno na freqliencia da fonte, ;£ ~ A0 • A primeira restri~ao eimposta de forma que podemos usar apenas o campo eletrico distante em (7.2a) para modelar o campo eletrico produzido pelas correntes de cada condutor em vez dos campos completes, porem complicados, em (7.1). Asegunda restri~ao e imposta de forma que podemos assumir que as correntes ao Iongo dos condutores sao aproximadamente constantes ao Iongo de todo o seu comprimento,

lima

l1ma llilha

C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley lnterscience, 1992.

358 l\l> Capitulo Sete --~,--------------------------------------------

Cabo de conexao (a) ~--------~--------~ A

I ~

)' I I lA

II I

I I I I I I I

~> --;,A

Er (b)

Figura 7.16 llustra9ao de urn modelo para predizer o campo elebico irradiado por uma linha de transmissao. (a) A especifica9ao do problema. (b) Tratando cada fio como urn dipolo hertziano e superpondo os campos.

isto e, pao variam em modulo ou fase ao Iongo de seus comprimentos. Isso eimposto de forma que a premissa basica do dipolo hertziano seja satisfeita. Para uma linha de transmissao eletricamente pequena, a corrente nao varia substancialmente ao Iongo da mesma. Para linhas que sao eletricamente longas, a corrente varia substancialmente ao Iongo do comprimento. (Veja Fig. 6.23.) A corrente do condutor de cima ira produzir urn campo eletrico no ponto que emaximo ao Iongo do plano mediador do conjunto e esta em oposigao direta ao sentido da corrente [veja (7.2a)]: .r, J f.Lo ~

(d+s/2)

-j2tr--

e Aa E2 =j - I 5 ÂŁ - - 2 d + :_ ~

f f.Lo ~

(7.49a)

--j2tril.

A. -jtr.!. A.

= j - I 5ÂŁ--e 2

Similarmente, a corrente do condutor de baixo produz urn campo eletrico que esta em oposigao direta ao campo da outra corrente:

(7.49b)

Antenas i\> 359

Claramente, E1 > E2, ja que o condutor de bab<:o esta mais proximo do ponto de medigao. Observe nessas express6es que aproximamos d + (s/2) = d - (s/2) = d nos denominadores, ja que estamos assumindo que os condutores estao muito proximos e que o ponto de medigao esta consideravelmente mais afastado que a separagao, isto e, d :P s. Podemos, de modo semelhante, fazer essa aproximagao nos termos de fase, ja que o comprimento eletrico e nao o comprimento ffsico esta envolvido nesses termos. 0 campo eletrico resultante e a subtragao dessas contribuig6es individuais:

(7.50) 2jsen( 7r

0 modulo do campo eletrico e, portanto, (7.51) Faremos agora uma observagao final para simplificar esse resultado. Como o comprimento da linha deve ser eletricamente pequeno, a separagao entre os dois condutores, s, tambern deve ser eletricamente muito pequena, ja que s <{ 9!-. Portanto, usando a aproximagao de angulo pequeno para a fungao seno, temos

~ 1IIf2 Area = 1316 X 10- 14 ---=--, d

(7.52)

Observe que o campo eletrico irradiado depende 1 do modulo da Corrente naquela freqliencia, III; 2 do quadrado da frequencia da corrente,f; e 3 a area da espira formada pelos dois condutores, ATea = 9!-s. Assim, para reduzir o campo eletrico irradiado, reduzimos o nivel da corrente e/ou a area da espira formada pela linha, isto e, fazemo-la menor ou trazemos os dois condutores para mais perto. Espiras de areas maiores criam campos eletricos irradiados maiores, e, assim, os projetistas devem, por exemplo, encaminhar as duas trilhas de urn sinal digital de clock em uma placa de circuito impressa o mais proximas possivel e colocar o clock o mais proximo possivel do circuito integrado que ele serve. Como urn exemplo da aplicagao, a Comissao limita que o campo eletrico irradiado para dispositivos digitais em 300 MHz e de 200 p.,VIm. Isso deve ser medido a uma distancia de 3 m longe do dispositive. Vamos determinar a maxima corrente permissive! em urn cabo em forma de fita (cabo plano ouflat cable) que ira garantir esse requerimento. Suponha que o comprimento do cabo e de 10 in (0,254 m) e que a separagao tipica dos fios e de 50 mils (1,27 X 10-3 m). Observe que o comprimento de onda em 100 MHz e 1 m, de forma que a distancia de medigao de 3 m esta no campo distante e que o comprimento da linha e eletricamente pequeno. Assim, as duas restrig6es basicas na validagao do nosso modelo sao satisfeitas. Substituindo em (7.52), temos

360 I> Capitulo Sete

200 X 10-6

= 1,316

X 10-

II I(f =

108) 2 (Area = 1,27 d=. . 3

10-3 m X 0,254 m)

Resolvendo para a corrente, temos urn maximo de 1,57 rnA. Assim, se uma componente da corrente de 300 MHz (talvez urn harmonica de urn clock digital ou sinal de dado sendo conduzido pelos condutores) excede o nfvel de 1,57 rnA, a emissao irradiada por esse cabo ira exceder o limite da Comissao, e o produto nao po9.e ser vendido nos Estados Unidos! 7.5.2. lfh11dares de Va:med111ra EletroDJica

Os radares determinam a distancia a urn objeto como uma aeronave transmitindo urn sinal (urn pulso) e determinando o atraso de tempo (tempo de retorno) do sinal refletido pelo objeto. Muitas aplicagoes com radares requerem rapido direcionamento pela antena para ela apontar o feixe para o objeto. 0 direcionamento mecfulico da antena e relativamente Iento. Os radares de varredura eletronica direcionam eletronicamente o feixe sem ter que apontar mecanicamente a antena. 0 princfpio dos radares de varredura eletronica e mudar eletronicamente as fases das correntes entregues para as antenas no conjunto, de forma que os campos distantes de cada antena do conjunto se combinem construtiva e destrutivamente, dependendo da sua fase relativa, para dar maximos (feixe principal) ou mfnimos (pontos nulos) no diagrama de irradiagao nas diregoes desejadas. As fases das correntes sao deslocadas colocando deslocadores . de fase eletronicos na entrada de cada antena. Isso, entao, e uma simples extensao dos principios de conjuntos estudados na Segao 7.3. Para ilustrar esse princfpio, considere urn conjunto de dois elementos mostrado na Fig. 7.9, onde os m6dulos das duas correntes sao iguais, porem a fase da antena esquerda (1) esta atrasada em relagao ada antena direita (2) de a. 0 diagrama de irradiagao do conjunto e determinado em termos do angulo, </J, da separagao entre as antenas, d, e da fase relativa entre as correntes, a, pelo fator de conjunto obtido na Segao 7.3: F( <P) = cos(71'!!:.. coscf; Aa

+ ~) 2

(7.53)

Suponhamos que desejamos ter o feixe principal apontando na diregao <Pm· Definimos a fase relativa das correntes em termos dessa diregao desejada para o feixe principal como

ex= -271'A cos.+. 'I'm

(7.54)

Substituindo (7.54) em (7.53), temos o fator de conjunto como F(cf;) =cos( 71'

~(cos¢- coscfJm))

(7.55)

0 maximo (F( cf;) = 1) ocorre quando cos</J - cos</Jm = 0 ou cf; = <Pm· Assim, podemos determinar para a localizagao desejada do fei'i:e principal, cPm• a fase desejada da corrente a partir de (7.54). Por exemplo, suponha que escolhemos o espago entre as duas antenas como meio comprimento de/ onda, d = Ar/2. Assim, a fase desejada para produzir urn feixe principal em <P = <Pm e (7.56) A fase necessaria para produzir diversas diregoes para o feixe principal e dada na Tabela 7.1: Os diagramas de irradiagao para cada uma dessas fases das correntes sao mostrados na Fig. 7.17. 0 diagrama de irradiagao do conjunto deve ser simetrico em relagao a linha desenhada entre as duas antenas. Isso requer que existam dois maximos simetricamente dispostos em relagao a essa linha. Por exemplo, considere o caso para o quahpm = 45°, como mostrado na Fig. 7.17c. 0 maximo igual a 1 ocorre em cf; = 45° e tambern em cf; = 315°. Assim, ha dois feixes principais localizados simetricamente em relagao ao eixo do ·coiijurito. Contudo, para dois elementos no conjunto, os feixes sao largos e o "direcionamento do feixe" nao e particularmente evidente. Conjuntos de diversos elementos fornecem feixes mais estreitos, bern definidos. A Fig. 7.18 mostra urn radar militar de busca baseado em varredura eletronica. Os paineis

Antenas

[P.

361

270

270 300 /~---""""""

240 ~---t--I

.... ,'f...

/ ',

180

¢m=Oo a=-n:

180

¢m=30o a=-0,866n:

(a}

(b)

270

210

180

¢m=75o a=-0,259n:

(c)

(d)

270

/ 0

(e)

Figura 7.17 Direcionamento de um feixe de urn conjunto de dois elementos deslocando a fase das correntes. {a) Feixe principal = 0°, deslocamento de fase da corrente = -180°. (b) Feixe principal= 30°, deslocamento de fase da corrente = -155,9°. {c) Feixe principal= 45°, deslocamento de fase da corrente -127,3°. (d) Feixe principal = 75°, deslocamento de fase da corrente = -46,6°. {e) Feixeprincipal = 90°, deslocamento de fase da corrente = 0°.

362 l>- Capitulo Sete -------------------------------------------------------'--

ii'AIBliEI!.A 7/J

0° 30° 45° 75°

goo

-Tr = -0,866Tr = -0,707 Tr = -0,259Tr =

-180° -155,9° -127,3° -46,59°

.,.····

contem urn grande numero de antenas, e as correntes aplicadas a elas sao deslocadas em fase para direcionar eletronicamente o feixe (ou l6bulo) principal.

7.5.3 Pmjeto de urn IEifDiace de ComDJJnica~io Via Sat®iite 0 "enlace" de satelite e urn metodo cada vez mais comum de comunicac;:ao com todas as partes do mundo. Satelites em 6rbita recebem o sinal para ser retransmitido a partir de uma estac;:ao terrestre. Esse sinal e entao transmitido para multiplos receptores na Terra. Urn dos problemas neste e noutros tipos de enlace de comunicac;:ao e o ruido. Os receptores produzem ruido em suas partes eletronicas internas como uma parte do processo de amplificac;:ao. Alem disso, se apontarmos uma antena receptora para uma porc;:ao do ceu que nao contenha transmissores intencionais, receberemos, no entanto, rufdo c6smico. A quantidade desse ruido combinado e caracterizada pela tempemtum do rufdo, Truido• que e medida em kelvins (K). A potencia do rufdo em uma certa largura de banda, B, medida em hertz (Hz), e dada por (7.57)

Figura 7.18 Uma antena militar de varredura eletronica na Estagao Clear da Forga Aerea no Alasca central. Seu objetivo e detectar e fornecer urn aviso antecipado de ataque balistico de mfsseis nos Estados Unidos e Canada e garantir seguranga espacial para satelites e objetos espaciais. As antenas do radar estao abrigadas em uma construgao de 105 ft de altura tendo tres lados. As duas faces do conjunto tern 102ft de largura, e esti'io inclinadas de 20° com relagao avertical. Cada face do conjunto contern 1792 elementos ativos de antenas. Os feixes principais de cada face podem ser eletronicamente direcionados entre 3 e 85 graus acima da horizontal. (Fotografla cortesia da Forc;:a Aerea dos Estados Unidos. Para mais detalhes, veja o site http://www.pavepaws.org/.)

Antenas I> 363

onde lc e a constante de Boltzman, lc 1,38 X I0- 23 JIK. 0 sinal desejado, PsinaZ, e recebido na presenga do ruido. Para distinguir o sinal do ruido, devemos ter uma certa relagao sinal-ruido psi11al

SR=-

(7.58)

pnlido

Considere o projeto de urn enlace ~e satelite para, garllD.tir UII1~ _certa r€(lagao sjnal~ruido. 0 trans missor no satelite esta transmitindo uma certa potencia Pr W. A antena.do satelite tern urn ganho de Gr. Usando a equagao de transmissao de Friis, a potencia recebida e

(7.59)

= PrGrGR(::.dJ

onde GR eo ganho da antena receptora na Terra, e de a distancia do satelite ate o receptor terrestre. Assim, a relagao sinal-ruido na safda do receptor e

(7.60)

Considere o projeto de urn enlace de satelite com transmissao direta de alta qualidade operando em 4 GHz transmitindo urn sinal de televisao tendo uma largura de banda de 5 MHz. Uma temperatura de ruido tfpica e da ordem de Tm;aa 550 K. Suponha que o transmissor esteja transmitindo 120 W de potencia e que o ganho da antena transmissora seja cl~ _1Q_ dB~ Q ~a,t@te esta em 6rbita 22.370 milhas acima da superficie da Terra. Determine o ganho necessaria para a antena receptora para garantir uma relagao sinal-ruido de 30 dB (103). 0 comprimento de onda em 4 GHz e de 7,5 em, a distancia acima da superficie da Terrae 3,6 X 107 m (36.000 Ian), eo ganho da antena transmissora e de 10.000. Substituindo em (7.60), temos 4

120 ·x 10 x GR (_ = 103 = ----::-::---__::.:.-----=23 6 1,38 X 10-

X 550 X 5 X 10

0,075 __:_ _ __ ) 47T X 3,6 X 107

·Resolvendo isso, temos o ganho necessaria da antena receptora de (30,6dB) Se uma antena parab6lica e usada para construir a antena receptora, a area de sua abertura e aproxima~amente~_t1!l ah_(3J:i:11!"g_~-~t:tva,, AR· ~()rem, a aperttga, {lfetiya clsUl.I!!!l__fll11!'l!l.!l_€l.Ji~!! g~oest~o relacionados por Jt2 A=-o G 47T

Assim, a area necessaria da antena parab6lica e de 0,515 m2, e o diametro necessaria da antena parab6lica e de 0,81 m ou 2,7 ft. 7.5.4 S111sceptibiiidade imnduada em Lill'Dhas de Trarnsmissao Na Segao 7.5.1, investigamos a capacidade de uma linha de transmissao de irradiar emiss5es que poderiam potencialmente causar interferencia em outros dispositivos eletronicos. 0 contrario e tambem possfvel: uma onda eletromagnetica pode induzir sinais de ruido em uma linha de transmissao, causando assim interferencia nos dispositivos que a linha conecta. Isso esta ilustrado na Fig. 7.19a. Um par de condutores paralelos (fios, trilhas de placas de circuito impressa, etc.) conectam dois dispositivos que estao representados pelos resistores de terminagao, R8 e RL. Alinha tern comprimento ~' e os condutores estao separados por s. Uma onda eletromagnetica de algum transmissor distante incide sobre essa linha. Assumimos que a linha esta em urn ponto distante do transmissor, e, assim, a onda e uma onda plana uniforme. A componente do campo magnetico que e normal ou perpendicular aarea da espira formada pelos dois condutores e denotada por Hn, enquanto a componente do campo elehico que e transversal (no plano e perpendicular aos condutores) alinha e denotada por E1• Essas duas componentes da onda in-

364

Capitulo Sete

~--------~--------~

Rsf_H/lJ_I~--------'~,}, f (a)

(b)

(c)

Figura 7.19 Desenvolvimento de urn modelo para previsao da susceptibilidade de uma linha de transmissao a uma onda plana incidente. (a) A especificagao do problema. (b) Urn circuito equivalente simples representando os efeitos da onda incidente nas fontes de tensao e corrente induzidas. (c) 0 circuito equivalente fasorial para ondas incidentes de freqiiencia Unica.

cidente irao induzir fontes na linha, que irao provocar tensoes de ruido, V5 e VL, a serem produzidas nas extremidades da linha (as entradas dos dispositivos representadas por Rs e RL). Obteremos urn modelo aproximado simples para predizer essas tensoes induzidas. 0 modelo ira assumir que a linha e eletricamente pequena, isto e, :£ ~ A. Prirneiro consideremos a contribui9ao devida ao campo magnetico normal, Hn. 0 fluxo magnetico atravessando a espira formada pelos dais condutores e

lji= JJLH·ds

= JLHn :£s '-v-'

Area

Empregamos a considera9ao de que a linha e eletricamente pequena, de forma que o campo e aproximadamente constante ao longo da m~sma e, assim, o campo H pode ser removido da integral. De acordo. com a lei de Faraday, a fonte de tensao induzida na espira formada pela linha e suas termina9oes e igu~ ataxa de varia9ao temporal do fluxo atravessando a espira, como mostrado na Fig. 7.19b:

dlji

vind

= dt

dH11

= JL-:£s dt '-v-'

Area

Antenas i?> 365

E-75fl

+ 0 â&#x20AC;˘6 em

Zc=300Q " v= 2,82 x 108 m/s VL

300Q

(a)

j1,26 mV

75.Q

300.Q

(b)

fngnua7.20 Urn exemplo ilustrando a previsao das tensoes terminais induzidas. (a) A especificagao do problema. (b) 0 modelo mostrando o efeito da onda incidente nas fontes induzidas.

Similarmente, o campo eletrico transversal, Et, ira induzir uma tensao entre os dois condutores, dada por

= -Est que epositiva no condutor inferior. Essa tensao estara em serie com a capacitancia total da linha de valor c9?- e ira resultar em uma corrente dirigida para baixo, dada por lind =

c9?- dt

= c 9:-s dEt . . . ,. . dt

Area

0 circuito fasorial equivalente e mostrado na Fig. 7.19c. Consideremos urn exemplo mostrado na Fig. 7.20. Urn cabo paralelo de 10 m de comprimento, que ecomumente usado para conduzir sinais de TV de uma antena no tapa do telhado para urn conjunto de TV, esta imerso em uma onda de transmissao AM cujo campo eletrico e 1 VIm e tern uma freqiiencia de 1 MHz. 0 cabo tern urn a impedancia caracterfstica de 300 n e uma velocidade de propaga91io de v = 2,82 X 108 m/s. Assim, a capacitancia por unidade de comprimento e c = llvZc = 11,8 pF/m. Assumimos que a onda incidente esta se propaganda paralela alinha, como vetor campo eletrico completamente transversa amesma. 0 vetor intensidade de campo magnetico deve estar dirigido para fora da pagina para que o fluxo de potencia esteja na dire91io de propaga91io da onda, da esquerda para a direita. Seu valor e(1 V/m)/377 !1 = 2,65 mAim. Assim, as fontes fasoriais no modelo sao Vind

= jWJL 9?_s Hn '-v-'

Area

=j1,26mV A fonte de corrente e I;ud

= jwcP-sE ......,.... 1 Area

= j4,45p,A

366

t\1>

Capitulo Sete

Observemos que, de acordo com a lei de Lenz, a polaridade da fonte induzida pela lei de Faraday tern polaridade positiva na direita por causa do campo magnetico, Hn, que esta dirigido para fora da pagina. Esse circuito pode ser resolvido por superposigao, obtendo-se 75 ~ 75 + 300 Vtnd

75X300~

+ 300 I tnrl

= -j0,519 mV e ~

V L -

300 ~ 75 X 300 + 300 V:ind - 75 + 300 I ind A

= -j0,741 mV Alem de fornecer estimativas das tens6es de interferencia induzidas, esse modelo simples prove maior conhecimento do acoplamento de uma onda eletromagnetica a uma linha de transmissao. Observe que as duas fontes induzidas sao devido (1) acomponente do campo magnetico incidente, que e normal aespira formada pela linha de transmissao, e (2) acomponente do campo eletrico incidente que e transversal alinha de transmissao. Se urn deles e nulo, entao a fonte induzida associada nao esta

(a)

(b)

(c)

Figura 7.21 Ilustragao do efeito da diregao de incidencia de uma onda e a polarizagao dos seus campos em relagao a linha de transmissao. (a) Propagagao no plano da linha como campo eletrico paralelo alinha. Apenas a fonte de tensao e induzida. (b) Propagagao perpendicular ao plano da linha com o campo eletrico transversal alinha. Apenas a fonte de corrente e induzida. (c) Propagagao ao Iongo da linha como campo eletrico perpendicular ao plano da linha. Nenhu)l1a fonte e induzida.

Antenas l> 3167

presente. Por exemplo, suponhamos que uma onda esta se propaganda no plano da linha perpendicular aos dois condutores com o campo eletrico polarizado paralelo aos condutores, como mostrado na Fig. 7.2la. Nesse caso, o campo He normal a espira e induz a fonte VinJ, mas o campo eletrico e paralela aos condutores e, assim, a fonte de corrente e nula, lind = 0. Em seguida, suponhamos que a onda esta se propaga.lldo perpendicular ao plano dalinha, como mostrado na Fig. 7.2lb. Aqui, o campo He paralelo a espira e, assim, a fonte de tensao e nula, vind = 0. 0 campo eletrico e completamente transversal, de forma que a fonte de Corrente, I;nd> e nao-nula. Finalmente, consideremos a situagao mostrada na Fig. 7.2lc, onde a onda esta se propaganda ao longo da linha, mas o vetor campo elehico e perpendicular aespira, eo vetor campo magnetico e transversal aespira. Nesse caso, ambas as fontes sao nulas, V;nd = 0 e lind = 0, e nenhuma tensao de interferencia e induzida sobre OS terminais da linha. Esse modelo mostra que, reorientando a linha (onde isso e possfvel) de forma que nenhuma componente do campo magnetico incidente seja perpendicular a espira e nenhuma componente do campo eletrico incidente seja transversal a linha, ira (idealmente) eliminar quaisquer fontes de interferencia induzidas sobre as terminag6es. Urn exemplo de onde isso foi uti! no passado tern aver com a susceptibilidade de maquinas eletronicas de datilografia e impressoras a laser a descargas eletrostaticas. 0 padrao de teste na indusbia para a susceptibilidade adescarga eletrostatica consiste em colocar o produto sobre uma mesa de metal e disparar urn a arma de descarga eletrostatica sobre a mesa, como mostrado na Fig. 7.22. Is so cria uma onda que se propaga pela mesa e induz urn rufdo no produto, que pode causar sua operagao impr6pria. Os fabricantes de dispositivos eletronicos digitais, como maquinas eletronicas de datilografia, impressoras a laser e computadores, rotineiramente testam seus produtos quanto a susceptibilidade as descargas atmosfericas desta maneira antes de remete-los aos compradores. Um produto particular tern tido problemas em passaf no teste de descarga eletrostatica. Na presenga de descarga eletrostatica, o produto poderia "travar" e operar apenas quando religado. Aquele produto tinha uma placa de circuito impresso contendo os componentes eletronicos, que foi montada verticalmente na sua parte posterior. Por causa da descarga eletrostatica, a mesa tinha que ter urn topo de metal, ja que as condigoes de fronteira requerem que na superffcie da mesa o campo eletrico gerado pela descarga seja perpendicular a mesa, e o campo magnetico associado deve ser paralelo a ela. Os pares de trilhas na placa de circuito impresso estavam, por causa da posigao da placa de circuito impresso no plano vertical, na parte posterior do produto, de forma que o campo eletrico era totalmente transversal as linhas de transmissao sobre a placa de circuito impresso formada pelas trilhas. Assim, uma fonte de corrente foi induzida nesses circuitos, causando interferencia. Esse problema foi resolvido visando a projetos futuros, colocando a placa de circuito impressa na parte de baixo do produto. Isso tinha o efeito do campo eletrico incidente ser perpendicular aos circuitos sobre a placa de circuito impresso e nao transversal a eles,-e o campo magnetico ser paralelo amesa, e nao normal ao plano dos circuitos na placa de circuito impresso. Uma vez adotada essa norma de projeto, a maioria dos problemas de descarga eletrostatica desapareceu. Veja C. R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, John Wiley Interscience, 1992, para uma comparagao com resultados experimentais. Esses resultados mostram que, a medida que a linha e eletricamente pequena, as previs6es combinam muito bern com os resultados experimentais.

~ Placa de circuito impressa aqui?

~ouaqui?

r=;::;:::::::::::=:::=::::::::::~::J

Figura 7.22 Ilustragao do usa destes principios para projetar urn produto eletronico para opor-se ao campo de urn pulso de descarga eletrostatica.

368 I> Capitulo Sete

· RESUMO DOS CONCEITOS EFORMULAS IMPORTANTES I.

Campos dlistantes do dipolo hertzJiano:

E~ o

.fJLa I~dl sen e[e--r-J(27Tf:)] 12

campo distante r ~ Aa

Eo 1Jo

[e7( 7T{:)]

f JL ~

campo distante r ~ Aa

=j-Idlsene - 21J0 r 2.

Propriedades dos campos distantes do dipolo hertziano (e todas as antenas):

l. os campos decaem inversamente com a distancia T em pontos distantes da antena; 2. os campos contem urn termo de deslocamento de fase, e-iZmiAo (que e equivalente a urn atraso de tempo no dorninio do tempo, rlvo), e, assim, OS campos mudam de fase de .urn angulo deL -2'TITIAo, amedida que se propagam para Ionge da antena; 3. os campos sao ortogonais e seu produto vetorial fomece, pela regra da mao direita, a dire9ao de propaga9ao a partir da antena E0 X fl<J> =a, que e a dire9ao radial; e 4. a razao entre os campos eletrico e magnetico e a impedancia intrfuseca do espago livre, EofH<J> ~ 1Jo·

Densidade de potencia do dipolo hertziano:

Smed =

2Re(JE X H•) liEI 2

=--a 2 1Jo r =

~ II1 2 (~J se;

W/m

15'7T

4. Resistencia de irradia\!ao do dipolo hertziano: A resistencia de irradia9ao e urn a resistencia fictfcia tal que, se sua corrente e a mesma que a corrente na entrada do dipolo, entao a potencia dissipada na resistencia de irradiagao eigual apotencia total irradiada pela antena: Pmed.

R;rrad =

onde a Corrente de entrada ef ei,., =

IInnsl2

ilfi.. A resistencia de irradia<faO do dipolo hertziano e

Campos distantes de urn dipolo de meia-onda:

onde 0 fator de diagrama e

;"cosO]

cos[ '1T cos('1T F(e) = _..:..__:__s-en=--8-___:---.:::....

F(B) =

cos(~cose) rene

A dipolo de meia-onda, l = ~ 2

Antenas !? 3ifii9

e di'poIo de meia-on da, e =

IE.elmax -- 60 lfrml 6.

goo

Densidade de potencia de um dipolo de meia-onda: 1

Smed 2Re(E8H;) a, 11Eel 2

=--~

2 TJo

(_!!E._) lim12 Fz(e) ~ a,

W/m2

87T2

4,77

limpedimcia de enll:rada de dipolos:

dipolo de meia-onda:

z""t =

E +j42,t5 n ~

monopolo de quarto de onda: Zent

= 36,5 + j21,25 --------jX

Âˇ Âˇ[},

potencia irradiada:

pmed,irradiada = 8.

lFator de conjunto de um conjnnto de dois elementos:

F(ifJ) 9.

â&#x20AC;˘ I

Rirrad I nilS ,_.

=cos(:~ cosifJ + ~)

Diretividade e ganho de todas as antenas:

D(e,ifJ)

Smed, potencia total irradiada igualmente em todas as dire(!oes G(e,ifJ) = eD(O,ifJ),

dipolo hertziano: G = 1,5 dipolo de meia-onda: G = 1,64 monopolo de quarto de onda: G = 3,28 10. Densidade de potencia: fonte pontual isotr6pica:

antena generica:

11. Abertura efetiva:

Aef= - Smed,inc

relagao como ganho:

370 I> Capitulo Sete

ll2.

lEqua~ao

de t:ransmissao de lFrilh;:

trajetoria ou caminho de perdas:

campo eletrico:

PROBLEMAS SJE«";AO 'i.l ANTIENA DJfll'OLO HER1'Z:o:A.NO 7.1.1 Uma antena dipolo hertziano de 1 em de comprimento esta conduzindo uma corrente fasorial de 100 MHz de f = 10L30°. Determine os campos eletrico e magnetico a uma distancia de 10 em longe>do dipolo e (J = 45°. Calcule as razoes IEolfi.E) e IE 01Ji1:i<PI nessa distancia. Repita para as distancias de 1 me 10m e (J = 45°. Dete~e essas distancias em comprimentos de onda. 0 resultado para a distancia de 10m eo esperado? [(a) 10 em, H<P = 0,575L2~,8° Aim, E, 2069,67L -60,17° 'flm, E0 = 991,4L -59,64° ';:1m, IE 0IIIE) 0,479, IE 0 i!l1:i~l =} 724,65 0; (b) 1 m,H," = 1,306 X 10-2 L -25,5° Aim, E, 4,701L -115,5° VIm, E 0 = 4,033L -31,74° VIm, IE 01/IE,I = 0,858, 1Eolfl1:i<PI = 308,8 il; (c) 10m, fl<P = 1,18 X 10-3 L -2,7° Aim, E, = 4,247 X 10-2L -g2,73° V/m, E0 = 0,444L -2,74° V/m, IE 0i!IE,I = 10,45, IE 01!11i",l = 376,08 n :=; 7Jo1 7.ll.2

Calcule a resistencia de irradiac,;ao e a potencia media total irradiada pelo dipolo hertziano do Problema 7.1.1.

7.ll.3 Urn dipolo hertziano esta conduzindo uma corrente de 500 MHz. Urn observador num ponto a 100m no plano mediador do dipolo, (J = goo, mede o modulo do campo eletrico como 100 VIm. Determine o modulo do campo eletrico a uma distancia de 1000 m. Determine os m6dulos do campo magnetico em ambas as distancias. Determine a diferenc,;a de fase entre os campos em 100 m e 1000 m. (De essa resposta como urn angulo cuja magnitude seja menor ou ignal a 360°, e verifique se os vetores campo em 1000 m estao atrasados ou adiantados em relac,;ao aos de 100m). Determine as densidades de potencia medias nesses dois pontos.

SJE«";AO 7.2 ANTENAS DIPOLO DE MJEIA-ONDA lE MONOPOLO DJE UM QUARTO DJE ONDA 7.2.1 Determine os modulos dos campos eletrico e magnetico de um dipolo de meia-onda que opera na freqiienc!a de 300 MHz a uma distancia de 100m ao Iongo do plano mediador, isto e, (J = goo. A corrente de entrada para os terminais e 100L0° rnA. Determine a potencia total irradiada e a densidade de potencia na onda. [60 mV/m, 15g,15 pAlm, 365 roW, 4,775 p.W/m2] 7.2.2 Uma antena monopolo de urn quarto de onda sem perdas esbi situada acima de urn plano de terra perfeitamente condutor e e excitada por uma fonte de 100 V e 300 MHz que tern uma impedancia de fonte de 50 0. Determine a potencia media total irradiada. Determine tambern o modulo do campo eletrico no plano mediador da antena ((J = goo) e a densidade de potencia a uma distancia de 100 m. Qual e a direc,;ao desse vetor campo eletrico em relac,;lio ao plano de terra? 7.2.3 A antena monopolo de um quarto de onda do Problema 7.2.2 e substituida por urn monopolo de (li5)A.o sem perdas que tern uma impedancia de entrada de (20 - j50) n. Determine a potencia media total irradiada. [13,51 W] 7.2.4 A antena monopolo de urn quarto de onda do Problema 7.2.2 e substituida por urn monopolo de (1/10)A.o scm perdas, que tem u..-11a impedancia de enh·ada de (4- jl80) fl. Determine a potencia media total irradiada. 7.2.5 Urna antena dipolo sem perdas e ligada a uma fonte atraves de urn cabo coaxial de 50 n sem perdas. A fonte tern uma tenslio de circuito aberto de 100 V (ef) e uma impedancia de fonte de 50 n. Sea freqiiencia da fonte e tal que o comprimento do dipolo e meio comprimento de onda eo comprimento da linha de transmissao e 1,3A, determine a potencia media total irradiada pela antena e a TOE no cabo. [43,1 W; 2,18]

SE«";AO 7.3 CONJUNTO DE ANTENAS 7.3.1 Para urn conjunto de duas antenas como naFig. 7.g, o campo eletrico e proporcional aE ex: cos[( 1Td/A0 )coscf> + (a/2)]. Pontos nulos no diagrama de irradiac,;lio aparecem onde o argumento do cosseno e urn mllltiplo fmpar de 90°, isto e, [( 1TdiA0 )coscf> + (a/2) ±90°, ±270°, etc. Pontos no diagrama de irradiac;:lio que exibem picos e vales

Antenas !> 37ll.

(minimos nao necessariarnente nulos) sao chamados de rniiximos e rninirnos. Mostre que as localizagoes dos rnfudrnos e rninirnos no diagrarna de irradiagao podern ser determinadas fazendo o argurnento do cosseno urn rnliltiplo de 180°, isto e, [( 7Td!A.0)coscf> + (a/2)] = 0°, ± 180°.

7.3.2 Duas antenas rnonopolo identicas sao perpendiculares a terra. As antenas estao separadas por de sao alirnentadas por correntes de rnodulos iguais, como rnostrado na Fig. 7.g, Esboce o diagrama de irradiagao do conjunto no plano paralelo aterra para seguintes condigoes: (a) d = Ar/2, a= goo; (b) d = 5ArJ8, a= 45°; (c) d = A.0, a 180°; (d) d = Ar/4, a 180°.

7.3.3 Urna estagao de transmissao AM padrao consiste em dois monopolos verticais acirna do solo. As duas antenas estao separadas por 164ft, e a freqiiencia de transmissao e 1500 kHz. As antenas sao alimentadas por sinais de rnesrno modulo e urna diferenga de fase de 135°. Esboce o diagrama de campo eletrico na superficie da terra. Mostre a localizagao de todos os rnfudrnos e rninimos e seus valores relativos. [Pontos nulos em cf> = ±60° e rnfudrnos/ rninirnos ern cf> = 0°, 180°] 7.3.4 Dois dipolos estao separados porum comprimento de onda. As correntes terminais sao de mesmo modulo, mas estao defasadas de goo. Esboce o diagrama de campo eletrico num plano perpendicular aos dipolos. Mostre a localizagao de todos os rniiximos e minimos e seus valores relativos.

§1E<!;AO 7.4 Plll0Pli.U1EDAD1E§ DA§ AN1'1ENAS 7.4.1 Urn transmissor de aeronave e projetado para se comunicar corn a estagao terrestre. 0 receptor terrestre deve receber pelo me nos 1 fLW para operagao apropriada. Assurna que ambas as antenas sao unidirecionais. Apos a decolagern, a aeronave voa sabre a estagao, a uma altitude de 5000 ft. Quando a aeronave esta diretarnente sabre a estagao, urn sinal de 500 rnWe recebido pela estagao. Determine a maxima excursao (distancia) de cornunicagao da aeronave. [670 milhas] 7.4.2 Urn transrnissor por telemetria colocado na Lufi ~eve transrnitir dados para a Terra. A_ potencia do transrnissor e de 100 mW, eo ganho da antena transmissora na diregao de transrnissao e de 12 dB. Determine o ganho minima da antena receptora para receber 1 nW. A distancia da Lua aTerrae de 238.857 rnilhas, e a freqiiencia de transrnissao e de 100 MHz. 7.4.3 Urn enlace ern cadeia de rnicroondas deve ser projetado. As antenas transrnissora e receptora estao separadas por 30 rnilhas, eo ganho na diregao de transmissao para ambas as antenas e de 45 dB. Seambas as antenas sao sern perdas e estao casadas e a freqiiencia e de 3 GHz, determine a potencia minima do transrnissor, se a potencia recebida deve ser 1 rnW. [36,81 W] · 7.4.4 Urna antena em uma aeronave esta sendo usada como urn a contramedida eletronica para perturbar a transrnissao de urn radar inirnigo. Se a antena tern urn ganho de 12 dB na diregao de transmissao, e a potencia do transrnissor e de 5 kW, determine o modulo do campo eletrico na vizinhanga do radar inirnigo, que esta a uma distancia de 2 rnilhas. A freqiiencia de transrnissao e de 7 GHz. 7.4.5 Urn dipolo de meia-onda sem perdas esta sendo_excitado_por urna fonte de lO_V' e 50 D.. Determine aintensidade de campo eletrico a urna distancia de 10 krn em urn plano perpendicular a antena. Calcule seu resultado usando a equagao de transmissao de Friis e verifique seu resultado usando a Equagao (7.14). [0,461 rnV/m]

lncidencia Obliqua de Ondas Planas Uniformes em Fronteiras Planas

Na Segil.o 5.5 do Capitulo 5, examinamos a reflexil.o e a transmissil.o de ondas planas uniformes que tern incidencia normal (perpendicular) a uma fronteira entre dois meios. Na Segao 5.6, examinamos brevemente a incidencia de ondas planas uniformes que incidem na fronteira com um angulo arbitrario, e determinamos as leis de Snell relacionando o angulo de reflexao ao angulo de incidencia e o angulo de transrnissao ao angulo de incidencia. Neste apendice, examinaremos a estrutura dos campos eletrico e magnetico das ondas planas uniformes que incidem com angulos arbitranos nessa fronteira.

Gi>

A.1 . POLARIZACAO PERPENDICULAR Considere a Fig. A.la. Uma onda plana uniforme in~ide na fronteira entre dois meios sem perdas com um angulo de incidencia 8; que e medido em relagil.o aperpendicular afronteira. uma onda refletida sera gerada com um angulo de reflexao en e uma onda transrnitida sobre a fronteira sera gerada com um angulo de transrnissil.o (}1, ambos medidos novamente em relagao aperpendicular afronteira. No caso da polarizayiio perpendicular mostrada na Fig. A.la, o campo eletrico incidente e perpendicular apagina, assim como os campos eletricos das ondas refletida e transrnitida. Os campos magneticos associados estao no plano da pagina com suas direg5es sendo tais que JE X H fomece a diregil.o de propagagao da onda. Devemos, primeiro, construir a forma geral dessas ondas e entao aplicar as condig5es de fronteira para determinar as relag5es entre os campos eletricos incidente, refletido e transmitido. Para construir as formas gerais dessas ondas, destacamos os pontos importantes a seguir. 1 A fase das ondas tera componentes nas direg5es x e z. Essas componentes sao simplesmente determinadas pelas projec;oes do vetor propagac;ao nos eixos x e z. Por exemplo, as projec;oes do vetor propagac;ao da onda incidente nesses eixos sao {31sen8; {31 cosO;

(na diregao x) (na diregao z)

(A.la) (A.lb)

(na diregao x) (na direc;ao z)

(A.2a) (A.2b)

(na direc;aox) (na diregao z)

(A.3a) (A.3b)

Similarmente, as projeg5es da onda refletida sao {31sen(Jr -{31 cos8r

e as projegoes da onda transmitida sao {32sen0t {32 coset

onde as constantes de fase no meio apropriado sao dadas por {31 = w ~ !t1s1 e {32 = w ~ !t 2 t: 2 â&#x20AC;˘

lncidencia Obliqua de Ondas Planas Uniformes em Fronteiras Planas !l> 373

Meio1 Ejr J.l1

(a) Polarizagao perpendicular X

Meio 1 Ejr /l1

(b) Polarizagao paralela

Figura J.\.1 Incidencia oblfqua de ondas planas uniformes em fronteiras planas. (a) Polarizagao perpendicular. (b) Polarizagao paralela.

. ~- _Q_s.Yf3tQ:res. campo eletrico estao na, dire\!ao y, <:le.mgc;loq11~ pQd_e.!llQ.S esc.r.!2.v~:r .sl!.a_forma coll1o

lli;i = Ei

e-Jf:lt(senB,:r:+cosO,z)a

(A.4a)

= Ermelf:lt(-senB,:r:+coso,z)a y

(A.4b)

lli;r

lli;t = Et e-}f:lz(senB,:r:+cosO,z)a m

(A.4c)

3 As fases dos vetores campo magnetico terao as mesmas projeg5es que os campos eletricos, mas os

pr6prios vetores terao projeg5es nos eixos x e z. Assim, pela Fig. A.la, podemos escreve-los como

H' = E~ (-cosO a 'rfl I

+sen(} a X

)e-Jf:lt(sen8,:r:+cos8,z) Z

(A.5a)

B:r

= E~ (cosO a +sene a )elf:lt(-senO,:r:+ cosB,z) 'rfl r :r: r z .

(A.5b)

ftt

= E~ (-cosO a +sene a )e-Jf:lÂŁ(sen8,:r:+ cosO,z) . tx .. tz . .

(A.5c)

112

onde rt1 = e TJ2 = sao as impedancias intrfnsecas dos dois meios. 0 modulo do campo eletrico incidente, E~, e presumido conhecido, deixando dois termos indeterminados, os m6dulos dos campos eletricos refletido e transmitido, E~ e E~. Iremos determina-los

374 ll'> Apendice A

com as condi~oes de fronteira em z = 0. As componentes tangenciais dos campos eletricos (as componentes y) obtidas em (A.4) em z = 0 devem ser contfnuas, fomecendo (A.6a) e as componentes tangenciais (as componentes x) dos camposmagneticos obtidas em (A.5) em z devem ser contfnuas, fomecendo

(A.6b) A partir de (A.6a), observamos que, como essas expressoes devem ser satisfeitas para todo x, os termos de fase requerem que

{31senei

= {31sener = f32sen(}t

(A.7)

Esse requerimento e referido como "casamento de fase". A primeira condi~ao em (A.7) leva a (A.8a) que e a lei de Snell da reflexao obtida de maneira altemativa na Se~ao 5.6 do Capitulo 5, e a segunda condicao em (A. 7) leva a .

(A.8b)

que e a lei de Snell da refra~ao, tambem obtida de maneira altemativa na Se~ao 5.6 do Capitulo 5. Substituindo em (A.6), temos (A.9a) (A.9b) Resolvendo, temos os coeficientes de reflexao e transmissao como

(A. lOa)

(A.lOb)

lncidencia Oblfqua de Ondas Planas Uniformes em Fronteiras Planas !?> 375

Esses sao denotados como os coefi.cientes de Fresnel e nos permitem obter os campos refletido e transmitido a partir do campo incidente. Adicionamos urn subscrito 1 para denotar que esses coeficientes sao para a polariza9ao perpendicular, ja que investigaremos a polariza9ao paralela na se9ao seguinte. Observe que, para incidencia normal, ei = er = et = 0Â°, essas express5es se reduzem aquelas obtidas na Se9aO 5.5 do Capitulo 5, como deveria. Ainda, observe que se o segundo meio e urn condutor perfeito, 172 = 0, entao 1l = -1 e 11. = 0, novamente como deveria.

A.2 POLARIZACAO PARALELA Para o caso da polariza9ao paralela mostrada na Fig. A.lb, os vetores campo eletrico sao paralelos apagina, e os vetores campo magnetico sao perpendiculares a ela com sua dire9ao, de forma que 1E X H fomece a dire9ao de propaga9ao da onda. Os veto res campo podem ser escritos de uma maneira identica a demonstra9ao anterior (apenas as proje96es das componentes dos campos sao diferentes; as proje96es dos veto res de propaga9ao sao as mesmas) como

JEi = E~(cosOiax- senOiaz)e-JflJ(senO,x+cosO,z)

(A.lla)

i;r = g m(cosOr 2 x +sener.z 2 )eiflJ(-seno,x+coso,z)

(;\.llb)

sen (Jta z )e -jfl2(sen81x+ cos8 z)

(A.llc)

(A.l2a) (A.l2b) A

Jff

Et = _!!:_e -jf3 (sen8,x+ cos8 z)faly 2

Âˇ....

112

(A.l2c)

As condi96es de fronteira novamente requerem que em z = 0 as componentes dos campos eletrico e magnetico sejam tangentes afronteira para serem contfnuas. Calculando (A.ll) e (A.12) em z = 0, temos (A.l3a) e

'111

'171

_!!:_e -jfl1(sen81x) _ _!!:_eJfl1( -senOr%)

Et -j(3.J.sen8 x) = _!!:_e 1

'172

(A.l3b)

Mais uma vez casando os termos de fase, obtemos as leis de Snell, levando a E~(cos01 ) + E:;,(cos01)

= Em(cosOt)

(A.l4a)

(A.l4b)

e E~

E:;,

---=-

Resolvendo, temos os coeficientes de reflexao e transmissao para a polariza9ao paralela como

rll=

'111 cos6j - '112 coset -~-. '111 cosef + '112 coset

(A.l5a)

376

Apendice A

---~------------------~----------------------------

(A.15b)

Observe que para incidencia normal, 9; = er = 91 = 0Â°, essas expressoes se reduzem aquelas obtidas na Segao 5.5 do Capitulo 5, como deveria. Observe tambern que, se o segundo meio e urn condutor perfeito, 'YJ2 = 0, entao f 11 = -1 e T11 = 0, novamente como deveria.

~> A.3 ANGULO DE BREWSTER DA TRANSMISSAO TOTAL Observe que os numeradores dos coeÂŁcientes de reflexao em (A.10a) e (A.15a) envolvem a diferen<;a entre dois termos. Assim, existe a possibilidade de que, para certos angulos de incidencia, esses coeÂŁcientes de reflexao possam se tomar zero, indicando nenhuma reflexao da onda incidente e transmissao total dela atraves da fronteira. Esses angulos de incidencia sao chamados de angulos de Brewster. Investigaremos, primeiro, o caso da polari7.agao perpendicular em (A.10a). Para fj_ = 0, isso requer que o numerador seja nulo, resultando em '112 cosej

= '171 coset

(A.16)

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos cos 2 9l = 1 - sen 2e, 2

(~~) (1-sen 2 91)

(A.17)

Substituindo na lei de Snell da refragao em (A.8b), temos

1 - (J.L 1B,jJ.L281) 2 1 - (J.LJJ.L2)

rj_ = o

(A.18)

Observe que, para materiais como dieletricos, que nao sao magneticos, ILri = J.Lr2 = 1, nao ha nenhum angulo de incidencia fisico que satisfaga isso. Para o caso da polarizagao paralela em (A.l5a), f 11 = 0 requer que o numerador seja zero, resultando em '1] 1 cos91

= '1]2 coset

(A.l9)

Elevando ambos os membros ao quadrado e substituindo na lei de Snell da refragao dada em (A.8b), temos

r,=o I (A.20) Diferente do caso da polarizagao perpendicular, para dieletricos tipicos, J.Lr1 = 1Lr2 = 1, de forma que urn angulo pode existir. Por exemplo, suponha que dois materiais sao dieletricos com eri = 1 (vacuo) e Br2 = 4 (vidro). Calculando (A.20), temos o angulo de Brewster da transmissao total como 63,4o. Assim, se urn a onda com polarizagao paralela incide pelo ar na superficie do vidro com urn angulo de incidencia de 63,4o, ela sera totalmente transmitida atraves da fronteira, e nenhuma porgao da onda incidente sera refletida.

lndice

A Abertura efetiva de antenas, 353, 369 relagao com o ganho, 353, 369 ~alisador de espectro, 7, 8, 299 Angulo critico, 221, 237 de Brewster de transmissao total, 376 Antenas, 13, 164, 223, 331 dipolo hertziano campos fasoriais, 332-333 distantes, 335, 368 pr6xbnos,332-333 densidade de potencia e irradiagao, 334,368 dipolo Iongo campo distante de, 340, 368 distribuicao de corrente em, 338 Atraso de temp~, 3, 12 da propagagao de uma onda plana uuiforme, 192 em antenas, 13, 334 em linhas de transmissao, 255 em placas de circuito impressa, 242, 299 relagao com o deslocamento de fase, 6, 13

B Blindagem(ns) eficiencia da, 231, 232 eletrostatica, 119 para campos de alta freqiiencia, 207, 228 Born condutor constantes de atenuagao e de fase, 205, 236 impedancia intrinseca, 206, 236 profundidade pelicular, 205, 236

c Cabos blindados, uso da redugao da diafonia, 319 de fibra 6ptica, 234 cone de aceitagao, 235 Camara semi-anec6ica, 16 Campo(s) distantes de antenas, propriedades dos, 335,368 eletromagneticos, 11 grafico de, 47 tipos de, 45 irradiados por uma linha de transmissao, equagao simples para, 359 ~ magnetico de urn segmento infinito de corrente, 100 de uma lamina infinita de corrente, 102 quase-estaticos, 54 Capacitancia, 83, 126 da microstrip, 251

da stripline, 250 de esferas concentricas, 86 de urn cabo coaxial, 86, 249 de urn capacitor de placas paralelas, 86 de urn fio acima de urn plano de terra (Exemplo 4.13), 172-173,248 de uma linha de transmissao a dois fios, 85,247 de uma placa de circuito impressa, 252 Capacitor, placas paralelas, 66 Carga casada, 280 de condutores por indugao, 114-115 de polarizagao, 65 Carta de Smith, 284 calculando a impedancia de entrada coma, 286 calculando a TOE com a, 290 calculando o coeficiente de reflexao com a,290 C6digo SPICE .AC, formato do, 276 SPICE .PRINT, formato do, 276 SPICE .TRAN, formato do, 267 SPICE do modelo linear "piecewise", 267 SPICE fonte ac, formato do, 276 Coeficiente de FresneL 374-375 de reflexao de linhas de transmissao, 255, 322 excitagao senoidal, 272, 322 ondrur planasillliformi'fs; 21 0;237~ polarizagao paralela, 375 polarizagao perpendicular, 374-375 de transmissao ondas planas uniformes, 210, 237 polarizagao paralela, 375 polarizagao perpendicular, 374-375 Comissao Federal de Comunicagao (EUA) estabelecendo limites para as emissoes de dispositivos digitais, 16, 357, 360 Compatibilidade eletromagnetica, 14 Comprimento(s) de onda(s); 4 planas uniformes, 194, 201, 236 sistemas eletronicos, tabela de, 6 tabela de, 6, 195 diferencial sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 28, 50 sistema de coordenadas cilindricas, 3.~,Qj) -~~ Âˇ-- .... . -~~~ . sistema de coordenadas esfericas, 35,50 Condigoes de fronteira, 165 na superficie de um condutor perfeito, 169, 179 nenhum dos !ados e urn condutor perfeito, 167, 179

Condutividade, 87 dos metais, tabela, 190 Conjunto de antenas, fator do conjunto em, 346,369 Conservagao de carga, 85, 162, 179 Constante de atenuagao, 197 de propagagao, 197, 236, 295 Conversao de unidades, 1, 3 Corrente, 87 de deslocamento, 14, 154, 333 superficial, 170

D Densidade de carga, 57 de corrente, 87 de fluxo eletrico, 66 de fluxo magnetico, 88 de um anel de corrente, 92 de urn segmento infinito de corrente, 90,100 de uma lamina infinita de corrente, 93,102 de uma linha infinita de corrente, 126 de potencia, 163, 179 de uma antena generica, 351, 369 superficial de corrente, 93 Descarga eletrostatica, 18, 113, 367 Deslocamento de fase, 3 de ondas planas uuiformes, 192 Diafonia, 14,315 acoplamento capacitivo, 315, 316 acoplamento indutivo, 315, 316 Diagrama de reflexao, 259 Dimensoes eletricas, 6 Dipolo de meia-onda, 337 campos distantes do, 340, 368 densidade de potencia do, 342, 369 diagrama de irradiagao do, 340, 368 reatancia do, 343, 369 resistencia de irradiagao do, 342, 369 eletrico, 63 magnetico, 92 densidade de fluxo magnetico do, 93 Diretividade, 350,369 Divergencia, 160 no sistema de coordenadas catesianas retangulares, 161, 179 cilindricas, 161 esfericas,161Âˇ Duty cycle, 299

lE Efeitos parasitas em componentes, 117-119 Eficiencia de antenas, 344

378 b> indice

Emissoes irradiadas pelas linhas de transmissao, 357 Equagao(oes) da forga em Lorentz, 109, 126, 144 das linhas de transmissao, 245, 247, 321 forma fasorial das, 270-271, 321 linhas com perdas, 294 Âˇ solugao fasorial das, 294 solugao no dominio do tempo das, 295 solugao fasorial das, 270-271, 321 solugao no dominio do tempo das, 253, 254,321 de Maxwell, 9 na forma fasorial, 174 tabela das, 163 de transmissao de Friis, 355, 370

F Fase, casamento de, 374 Ferrites, 96 Fluxo de potencia em ondas planas uniformes, meio com perdas, 202, 203, 236 Fonte pontual isotr6pica, densidade de potencia da, 351, 369 Forga eletromotriz (fern), 136 de movimento, 142 de transformagao, 142 exercida sobre urn fio conduzindo corrente, lll' 124, 126 magnetomotriz, 154

G Gaiola de Faraday, 121, 320 Ganho, 19,350,369 de urn dipolo de meia-onda, 352, 369 de urn dipolo hertziano, 352, 369 de urn monopole de quarto de onda, 352,369 Gerador e motor eletrico, 123, 148 Gradiente sistema de coordenadas cilfndricas, 82 esfericas, 82 retangulares, 82

H Histerese, 96, 97

I Impedancia caracteristica, 254, 294, 322 de entrada de uma linha de transmissao com perdas, 296 de uma linha de transmissao sem perdas, 273, 322 intrinseca do vacuo, 189,233 meio com perdas, 199 , meio sem perdas, 189 Indice de refragao de dieletricos, 220, 237 Indutancia, 105, 126 de urn cabo coaxial, 107 de urn fio acima de urn plano de terra, 172-173 de urn tor6ide, 105 de urn a linha de transmissao de dois fios, 108

Integral de linha significado da, 35, 50 sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 36, 50 sistema de coordenadas cilindricas, 36,50 sistema de coordenadas esfericas, 36, 50 de superffcie significado da, 40, 50 sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 41, 50 sistema de coordenadas cilindricas, 41,50 sistema de coordenadas esfericas, 41,50 Integridade do sinal em sistemas digitais, 297 Intensidade de campo eletrico, 58 de urn cabo coaxial, 72 de urn cilindro de cargas, 71 de uma carga pontual, 58, 125 de uma esfera de carga, 62, 74 de urn a lamina infinita de carga, 62, 72 de uma linha de cargas de comprimento infinito, 60 de uma linha de cargas infinita, 71, 125 magnetico, 97, 126 de urn cabo coaxial, 101 de urn segmento infinito de corrente, 101 Interferencia eletromagnetica, 14 em monitores de video, 115

L Lei(s) de Ampere, 98, 126, 154, 179 na forma pontual, 157, 179 de Biot-Savart, 88, 126 de Coulomb, 55, 125 de Faraday, 136, 179 forma alternativa incluindo movimento, 142 na forma pontual, 150, 179 de Gauss para campos eletricos, 67, 126, 159, 179 para campos magneticos, 102, 126, 159160,179 para o campo eletrico na forma pontual, 159, 179 para o campo magnetico na formaÂˇ pontual, 179 de Kirchhoff, 75, 162, 195 de Lenz, execugao da, 137, 178 de Ohm, 87, 126 de Snell, 374 dareflex1io,220,237 darefragao,220,237 Linha(s) de alimentagao de antenas, casamento com transformador de quarto de onda, 313-314 de transmissao, 11, 222 analogia com ondas planas uniformes com incidencia normal em uma fronteira, 223 de alta tensao, 111 de urn quarto de comprimento de onda, 13,309-312 digitais, casamento em paralelo de, 304-306 fluxo de potencia em, 282

modelos aproximados usando circuitos a parametros concentrados de, 291 o modelo SPICE, 264, 265 solugao para tensoes terminais, 258 tipos de, 244, 246

M Materiais antiferromagneticos, 96 diamagneticos, 95 ferrimagneticos,96 ferromagneticos, 96 paramagneticos, 96 superparamagneticos,96 Maximo conteudo espectral de sinais digitais, 299 Metodo das imagens, 171, 179 Microstrip, 244, 246, 251 Mils, conversao para o sistema metrico, 2 Modelos de circuitos a parametros concentrados, 3 de linhas de transmissao, 291, 322 Momenta de dipolo eletrico, 65 magnetico, 92, 95 Monitor de video, interferencia com, 115 Monopolo de quarto de onda, 337 reatancia do, 343, 369 resistencia de irradiagao do, 342, 369 Multiplicadores de unidades, tabela dos, 2 Mwtiplos de potencia de dez, tabela dos, 2

0 Onda(s) estacionanas, onda plana uniforme com incidencia normal sobre urn condutor, 218 planas uniformes, 187 em meios <;om perdas comprimento de onda, 201, 236 constante de propagagao, 197, 236 equagoes diferenciais governando,197 forma fasorial dos vetores campo, 198,236 forma no dominio do tempo dos vetores campo, 200, 236 impedancia intrinseca, 199, 236 velocidade de propagagao, 200, 236 em meios sem perdas comprimento de onda, 194 constante de fase, 189, 236 equagoes diferenciais, 188 forma fasorial dos vetores campo, 191,236 forma no dominio do tempo dos vetores campo, 191,236 impedancia intrinseca, 189, 236 velocidade de propagagao, 192 incidencia normal sobre urn born condutor, 215 incidencia normal sobre uma fronteira, 208 incidencia obliqua nas fronteiras, 372 propagante, 3 senoidal, 3

p Parametros por unidade de comprimento de linhas de transmissao

lndice !>- 379 cabo coaxial, 249 linha a dois fios, 247 microstrip, 252 placa de circuito impressa, 252 stripline, 250 · urn fio acima de urn plano de terra, 24$ Pares tranc;:ados, uso da reduc;:ao da diafonia, 320 Permeabilidade do vacuo, 89, 126 relativa de materiais magneticos, 97 tabela de, 190 Permissividade de materiais dieletricos, 67 do vacuo, 55, 125 relativa, 252 de materiais dieletricos, 66, 126 tabela de, 190 Placa de circuito impressa, 12, 244, 246 propriedades em sistemas digitais, 297 velocidade de propagac;:ao sobre, 242, 297 Polarizac;:ao circular de ondas planas uniformes, 194 linear de ondas planas uniformes, 194 Ponta de prova de corrente, 176 impedancia de transfonnaqao do, 177 Potencial absoluto, 80 do dipolo eletrico, 81 Produto escalar de vetores, 24 sistema de coordenadas ······ cartesianas retangulares, 27, 49 cilindricas, 31, 50 esfericas, 33, 50 veto rial de vetores, 25 sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 27, 49 cilindricas, 31, 50 esfericas, 33, 50 Profundidade pelicular, 204, 236 em fios, 207 tabela para o cobre, 206

lR Radar de varredura eletronica fasores, 174, 270, 360 princfpios do, 360 Radomes, projeto de, 226 Raiz quadrada de urn numero complexo, 197 Refletometro no dominio do tempo, Problema 6.2.13, 325

Regra da mao direita, 25 Regulamentac;:5es da Comissao Federal de Comunicac;:oes (EUA), 16 Relac;:ao sinal-ruido em enlaces de comunicac;:5es, 362 Resistencia, 87 de irradiac;:ao do dipolo de meia-onda, 342, 369 de quarto de onda, 342, 369 hertdano,337,368 Riscos das rnicroondas asaude, 232 Rotacional, 152 em coordenadas cartesianas retangulares, 151, 179 cilindricas, 154 esfericas, 154 Ruido em sistemas de comunicac;:ao, 362 digitais, 301 §

Saturac;:ao em materiais ferromagneticos, 98 Serie(s) de Fourrier, 7, 299 triboeletrica, tabela da serie, 113 Sinal digital de clock, 242, 298, 322 domfnio do tempo e da freqiiencia, 7, 299 lirnitesespectrais, 299 Sistema britamco de unidades, 2 de coordenadas cilindricas, 30 de coordenadas esfericas, 33 de coordenadas retangulares, 26 MKSA,2 Stripline,244,246,250 Submarines, comunicac;:ao com, 224 Superficies diferenciais sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 28, 50 cilindricas, 32, 50 esfericas, 34, 50 eqiiipotenciais de uma carga pontual, 7.7. de uma lamina de carga infinita, 78 de uma linha de carga infinita, 78 Susceptibilidade eletrica de materiais dieletricos, 66 irradiada de linhas de transrnissao, 363 magnetica, 97

Ta'Gl de decaimento de pulsos digitais, 316 de onda estacionana (TOE), 280, 322 Tempos de subida e descida de sinais digitais de clock, 7, 299 Tensao, 74 de esferas concentricas, 79, 115 de um cabo coaxial, 78-79 de uma carga pontual, 75, 126 de uma lamina infinita de cargas, 78 de uma linha infinita de cargas, 77, 126 desenvolvida entre duas extrernidades de urn condutor em movimento, 110, 126, 145 nao-unicidade da (Exemplos 4.1 e 4.2), 139-142 Terrninais de ligac;:ao de componentes, efeito na resposta afreqiiencia, 118 indutancia, capacitancia, 117 ressonancia com, 118 Tesla, 89 Trajet6ria de perdas, 356 Transformador, 143

u Unidades SI, MKSA, Sistema Britanico, 2

v Velocidade daluz,3,192 de propagac;:lio, 4 em linhas de transmissao, 254 velocidade de fase em ondas planas uniformes, 192,201,236 Vetor(es), 23 adic;:ao e subtrac;:ao, 24 de Poynting, 164, 179 magnetizac;:ao, 97 polarizagao de mateiiais dieletricos, 65 unitanos sistema de coordenadas cilindricas, 30 esfericas, 33 retangulares, 26 Volume diferencial sistema de coordenadas cartesianas retangulares, 28, 50 cilindricas, 32, 50 esfericas, 35, 50