História da Matemática em Portugal

Escola Secundária Dr. Jorge Correia – Matemática A

AS MATEMÁTICAS PORTUGUESAS

de PEDRO NUNES

ao SÉCULO VINTE Alunos: Afonso Nunes, Bruno Andrade, Dário Soares, Marco Martins e Martim Cardeira Turma:

10º A2

Professor: Nuno Rodrigues 2010/2011

Índice

Introdução.………………………………………………………………………………………………….3 I capítulo: As matemáticas portuguesas nos tempos de ouro lusitanos………………4 Pedro Nunes…………………………………………………………………………………………5 Simão Fernandes de Tavira……………………………………………………………………7 II capítulo: O declínio das matemáticas portuguesas……………………………………….8 José Anastácio da Cunha……………………………………………………………………….9 III capítulo: O renascimento das matemáticas portuguesas……………………………12 Daniel Augusto da Silva……………………………………………………………………….13 IV capítulo: As matemáticas portuguesas no Estado Novo………………………………14 Bento de Jesus Caraça………………………………………………………………………….15 António Aniceto Monteiro……………………………………………………………………17 Conclusão………………………………………………………………………………………………….19 Bibliografia……………………………………………………………………………………………….20

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“ Naqueles casos em que atingimos a certeza absoluta, como por exemplo, nas demonstrações da Matemática pura, igualamos a certeza de intelecto divino, já que não pode haver certeza maior que a absoluta...”

Galileu

Introdução A matemática serve, desde tempos imemoriais, para encontrar sistemas que permitam solucionar várias problemáticas do dia-a-dia, permitindo aplicar as capacidades de raciocínio adquiridas com o seu estudo, em muitos domínios para além do matemático.

Para construir o futuro é indispensável perceber o passado. Assim, conhecendo as descobertas matemáticas do passado e os seus autores, compreenderemos mais facilmente o estado actual da Matemática e melhor edificaremos a Matemática do futuro.

A matemática portuguesa teve, ao longo dos tempos, altos e baixos. Vários factores históricos tanto favoreceram como prejudicaram a matemática e os matemáticos nacionais, que na sua maior parte são desconhecidos da sociedade.

Este trabalho tem como objectivo dar a conhecer os principais matemáticos portugueses que deram a conhecer os seus feitos desde Pedro Nunes ao século XX. Para isso propomo-nos abordar as descobertas de cada matemático e enquadra-las com o contexto histórico em que cada um viveu.

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I capítulo: As matemáticas portuguesas nos tempos de ouro lusitanos

No período da História da cultura das Matemáticas em Portugal em que vamos entrar, período que coincide com o século XVI, Portugal estava no auge da sua glória.

O esforço feito pelos reis lusitanos do século XV deu aos sucessores todas as condições que poderiam desejar. Nenhum país o excede em fama e poderio. Um povo cujos marinheiros navegaram em frágeis caravelas, até à Índia, feito que lhes deu a glória de um povo de heróis, e até ao Brasil, que lhe havia de dar no futuro a honra de um povo colonizador.

Todavia, os Portugueses não só tiveram heróis na navegação e na guerra, mas também heróis no pensamento: deu-lhe Camões, cronistas insignes, cosmógrafos eminentes e matemáticos brilhantes.

D. Manuel, monarca venturoso e vaidoso, foi a pai desse período de ouro.

Seguiu-se D. João III, que, embora não governando tão bem, manteve o império que herdou do seu pai.

Eis o cenário histórico em que vai passar-se este período da história da cultura das Matemáticas em Portugal.

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Pedro Nunes Pedro Nunes nasceu em Alcácer do Sal, em 1502.

Frequentou os cursos de Filosofia e de Matemática na Universidade de Lisboa. Em 1525 alcançou o grau de bacharel em Medicina e em 1529 foi encarregado da administração da cadeira de Filosofia Moral, transitando em seguida para a de Lógica e depois para a de Metafísica. Nesse mesmo

ano

o,

rei

D.

João

III

nomeou-o

cosmógrafo.

Em 1531 foi para Évora como tutor dos príncipes. Na sua qualidade de cosmógrafo, Pedro Nunes deslocou-se várias vezes para atender a pedidos do rei no

sentido

de

resolver

problemas

técnicos

da

náutica.

Entre 1562 e 1572 afastou-se da corte e viveu em Coimbra, mas D. Sebastião voltou a chamá-lo para prestar serviço como cosmógrafo.

Faleceu em Coimbra em 1578.

Pedro Nunes redigiu um impresso que constitui um resumo do Tratado da Esfera com o título Astronomici Introductori de Sphaere Epitome, que terá sido publicado entre 1537 e 1542.

Em 1542, publicou De Crepusculis Libri Unus, onde estuda a duração do crepúsculo em relação à latitude e a época do ano.

Em 1546, divulga Erratis Orontii Finaei, uma análise crítica de um trabalho em que o matemático francês pretendia erradamente ter resolvido três problemas clássicos de geometria que se veio posteriormente a provar serem impossíveis (eles eram a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trisecção de um ângulo qualquer).

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Em 1566 publicou Petri Nonii Salaciensis Opera, onde inclui vários trabalhos relacionados com a arte de navegar, em latim.

Em 1567, publicou o Libro de Álgebra en Arithmetica y Geometria, em castelhano.

Capa de um dos seus livros

Publicou ainda De arte atque Navigandi, cuja primeira edição conhecida data de 1573, embora haja rumores sobre uma publicação anterior, em 1546.

Entre as várias contribuições científicas deste matemático merecem destaque os seus estudos sobre a loxodromia (conceito descoberto por Pedro Nunes e que está na base do sistema de projecção dos mapas de Mercator). Nestes, mostrou que um caminho que seguisse sempre a mesma direcção (mais tarde chamado loxodromia) faria uma espiral que daria um número infinito de voltas em torno dos pólos da Terra (as únicas linhas de rumo circulares são os meridianos e os paralelos, que correspondem aos ângulos de rumo de zero e de noventa graus em relação ao eixo norte-sul).

Verificou também que a menor distância entre dois pontos da superfície da Terra é uma ortodromia, um seja, um arco do círculo máximo que passe pelos dois pontos. Chegou assim à conclusão que os mapas deveriam ter duas propriedades: a de preservação de ângulos, e a representação de linhas de rumo por linhas rectas.

Outro contributo importante foi a concepção do nónio. Este instrumento permitia medir fracções de grau em dois instrumentos náuticos de altura, o astrolábio e o quadrante. O conceito que está na base deste instrumento foi depois aperfeiçoado por Cristóvão Clavius e Pierre Vernier, que permitiram que o nónio fosse mais facilmente construído e comum no século XVIII. Pode afirmar-se que Pedro Nunes, apesar de não ter concretizado as suas teorias na prática, preparou o caminho para a elaboração de novos mapas para uso dos navegadores, o que veio a ser concretizado por Gerardus Mercator, que foi um revolucionário na área da cartografia.

Nónio

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Simão Fernandes de Tavira Simão Fernandes de Tavira foi uma figura da área científica que se encontra inserida na navegação Em 1520 Tavira é elevada a cidade e em 1525 Simão vai para Lisboa prestar serviços na corte de D. João III, onde deveria organizar calendários, almanaques e estudos de astros, constituindo a ligação sábia e o continuar das épocas antiga e medieval para a moderna.

Sobre os conhecimentos matemáticos, o manuscrito arte nova de algarismo, poderá considerar-se um instrumento didáctico e de ciência que, em forma de verso, expõe a maneira de realizar as quatro operações e a respectiva prova dos nove como se pode ver neste bocado desse seu livro: 209700 2020 303000 300

Quatro cifras as sommadas cifra fazem; ponde cifra donde jazem assignadas: os dois, ponde nas pegadas da dezena; sete com três dez, sem pena fazem fadas

Pintae cifra ao pé das que fadaram; levae um que nos leixaram por relé com nove, dous, tres, dá fé que quinze são cinco põe-se em a mão a uma sé

Só se ponha, pois non acha com quem mostra: dos que, com três, cinco amostra dá sem tacha, posto com sua garnacha de setim, a guarda de sa fim tudo despacha

A Simão Fernandes, como homem da ciência no campo marítimo também lhe atribuem a invenção de uma bomba para aspirar água dos navios assim como um astrolábio o qual se desconhece entre os vários instrumentos do mesmo nome usados pelos portugueses na epoca descobrimentos Outra publicação atribuída a Simão, que d João III mandou editar, foi o Regimento da arte de navegar (que nunca chegou a ser encontrado)

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II capítulo: O declínio das matemáticas portuguesas

Depois da tragédia de Alcácer-Quibir, subiu ao trono português D. Henrique, Inquisidor fanático, uma sombra. Governaram depois três reis castelhanos. Com a revolução de 1640, o trono de Afonso Henriques foi de novo ocupado por um monarca português, D. João IV, e aí o rei e o povo batalharam gloriosamente pela independência da Pátria e venceram. Seguiu-se no trono Afonso VI, um louco.

Depois Pedro II, um imoral, e por fim D. João V, monarca absolutista e magnânimo, que legou ao seu sucessor D. José uma nação arruinada.

De oito monarcas que acabamos de mencionar só um, D. João IV, ocupou bem o trono. Isto dá-nos o motivo da decadência das ciências, cujas causas tinham começado nos tempos de D. Manuel, se manifestaram cerca de dois séculos depois.

E isto foi a situação política de Portugal no período que estamos a considerar.

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José Anastácio da Cunha José Anastácio da Cunha nasceu a 11 de Março de 1744. Descendeu de uma família humilde. O seu pai, Lourenço da Cunha, era pintor e sua mãe, Jacinta Inês, era criada A sua educação foi marcada pelas ligações que teve com o convento da Nossa Senhora das Necessidades e pela figura da sua mãe, que o educou com princípios cristãos, nos primeiros anos da sua vida.

Em jovem, aprendeu gramática, retórica e lógica no colégio dos padres oratorianos. Por curiosidade, e sem auxílio de qualquer mestre, estudou física e matemática. Há ainda a hipótese de que Lourenço da Cunha tenha ensinado a seu filho princípios básicos da matemática e da geometria.

Anastácio da Cunha foi um jovem tímido, precipitado, mas muito dotado tanto em termos científicos, como também linguísticos e literários. Parte da sua personalidade intelectual terá sido influenciada pelo contacto que manteve com oficiais de culturas de países designados como "iluminados" (como França, Itália, entre outros).

Foi no convívio que manteve com oficiais ingleses que aprendeu a língua inglesa. Além do latim e do grego aperfeiçoou o francês e o italiano o que lhe permitiu mesmo fazer várias traduções.

A 25 de Junho de 1764, foi nomeado primeiro-tenente do regimento de artilharia do Porto onde teve oportunidade de se dedicar aos seus estudos de matemática como também de história, de línguas e de belas artes.

Em 1769 elaborou uma carta físico-matemática sobre “ A Teoria da Pólvora em Geral, e a Determinação do Melhor Comprimento da Peças em Particular”. Essa carta foi apresentada ao conde Lipe que, ao verificar que nela estavam citadas alguns conteúdos que não constavam do plano de estudos militares, o terá censurado, embora mais tarde tenha chegado a reconhecer o seu mérito. Com essa carta, José Anastácio da Cunha dava a conhecer as suas capacidades excepcionais.

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Aos 29 anos, foi nomeado pelo Marquês de Pombal como Lente de Geometria na Universidade de Coimbra, cargo que exerceu durante 5 anos. Nessa altura, o ensino de geometria era feito através da tradução do Livro "Elementos de trigonometria e álgebra", tradução que ele achava demasiado longa e complicada.

Foi então que decidiu utilizar uma outra obra, elaborada por si, que tinha a particularidade de ter apenas uma única folha. Apesar disso, não ficou satisfeito e apresentou na assembleia da Faculdade de Matemática, um “Compendio de Ellementos práticos”, um método mais leve e mais fácil de ensinar geometria.

Este método ficou à espera de ser analisado por outros professores da faculdade embora nunca tivesse havido qualquer

comentário. Tratava-se já da

obra “Principios Mathematicos”.

A análise desta obra mostra que o autor, em apenas trezentas páginas, refere das primeiras noções de Aritmética , de Geometria, da Teoria das Equações, da Análise Algébrica, da Trigonometria plana e esférica, da Geometria analítica e do Cálculo diferencial e integral. Aí, Anastácio da Cunha propõe uma nova teoria da função quadrática que antecipa algumas ideias modernas sobre funções analíticas:

a

função ax é

definida

como

a

soma

de

uma série

de

potências convergente.

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Em 1777, acabou a sua carreira universitária e no ano seguinte foi denunciado à Inquisição acusado, entre outras coisas, de se ter relacionado com protestantes ingleses, de ter lido livros de autores com ideologias diferentes da igreja e de ter emprestado a uma sua discípula livros proibidos.

Foi detido a 26 de Junho e a 9 de Setembro foi lida a acusação, tendo a 15 do mesmo mês sido concluídos os autos. A 6 de Outubro, a Mesa do Conselho Geral do Santo Ofício confirmou as penas estabelecidas por Coimbra e determinou-as.

Também nesse dia leu-se a sentença no auto da fé que o condenou a cumprir pena, por três anos, na Casa das Necessidades da Congregação do Oratório de Lisboa. A 21 de Janeiro de 1781 foi libertado.

Em Fevereiro 1783, foi nomeado assistente do curso matemático e director dos estudos do colégio de S. Lucas da Casa Pia de Lisboa.

José Anastácio da Cunha viveu o resto da sua vida amargurado com as injustiças de que foi alvo ao longo da sua vida. Acabou por morrer de ataque biliar a 1 de Janeiro de 1787.

A obra que o consagrou, “Principios Mathematicos", só foi publicada após a sua morte, em 1790, tendo feito sucesso no resto da Europa. Gauss (matemático alemão do séc. XIX) leu uma tradução francesa desta obra e emitiu uma opinião muito favorável em relação à mesma.

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III capítulo: O renascimento das matemáticas portuguesas

D. João V deixou ao seu sucessor, D. José I, como já dissemos, uma nação arruinada. As reservas estavam vazias e o povo arruinado. Reinava a desorganização em todos os sectores de actividade nacional, a segurança era pequena em todo o país e a indisciplina vigorava perigosamente por todo ele. D. João V pouca atenção prestara à cultura científica do seu reino, pois estava cego pela grandeza da igreja nacional.

Contudo, poucos anos depois de D. José ter subido ao poder, Portugal estava próspero, organizado e disciplinado, graças a Sebastião José de Carvalho (mais conhecido por Marquês de Pombal).

Na sua formidável obra de organização do país, o culto Ministro teve um cuidado especial com a educação, convencido de que esta seria a base fundamental de todo um sólido sistema educacional.

O campo de visão do Ministro era largo e, lançou o seu olhar para a Universidade de Coimbra, que nessa altura estava menosprezada, reduzida a uma instituição quase inútil. Reformou as faculdades existentes e criou duas novas, destinadas ao ensino das ciências matemáticas e físicas, reestruturando e modernizando profundamente o seu estatuto.

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Daniel Augusto da Silva Daniel Augusto da Silva nasceu em Lisboa a 16 de Maio de 1814.

Foi Oficial de Marinha, Doutor em Matemática pela Universidade de Coimbra, professor na Escola Naval e sócio de mérito da Academia das Ciências de Lisboa.

A sua actividade científica, começou em 1845, ano em começou a leccionar na Escola Naval. Intercalou desde essa ocasião entre cumprimento dos seus deveres de professor e o estudo dos clássicos das Matemáticas, com profundas meditações, cujos frutos foram três Memórias notáveis, que apresentou à Academia das Ciências de Lisboa entre 1850 e 1852.

Augusto da Silva foi o que melhor criou um método para resolver sistemas de congruências finares tendo antes feito também o estudo sobre congruências binomiais, já abordadas, mas que em casos particulares como Gauss, Legendre, entre outros, foram feitos com métodos menos simples do que o processo usado pelo matemático português. Muitos dos resultados foram obtidos através da simplificação por meio de uma fórmula por si inventada, em que o cardinal da reunião de n conjuntos A1, A2, ..., An em função dos cardinais dos conjuntos considerados isoladamente e intersectados 2 a 2, 3 a 3, ..., n a n.

Devido a uma grave doença de que foi vitima, foi forçado a afastar-se dos estudos em 1852.

Este matemático foi vítima do isolamento em que se encontrava então a ciência portuguesa (séc. XIX), pois comparativamente à ciência de outras nações era menosprezada.

Durante a sua vida, nunca lhe chegou a ser atribuído o mérito em muitas das suas descobertas. Só muito depois da sua morte é que o seu nome começou a ser conhecido e citado pelo seu papel genial e decisivo nas áreas da Estatística e em Tratados de Mecânica Racional.

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IV capítulo: As matemáticas Portuguesas no Estado Novo Ao examinarmos a actividade matemática em Portugal até aos finais do séc.

XIX, a principal característica que se nos apresenta é a do isolamento em que a comunidade matemática portuguesa quase sempre viveu; de facto, com excepção de Pedro Nunes, essa comunidade e a sua actividade são praticamente desconhecidas no estrangeiro. A primeira característica que a actividade matemática nos apresenta durante o séc. XX é a quebra deste isolamento.

Com as reformas educativas, levadas a cabo pelos governos republicanos, são criadas novas Universidades e são criados ou reformulados outros institutos superiores. Mas, talvez mais importante do que este aumento do número de Escolas seja a tentativa de criação, em 1923 de um organismo especificamente encarregado da investigação científica. Este organismo, que só viria a ser criado em 1929 com o nome de Junta de Educação Nacional com a missão, entre outras, de enviar alunos para o estrangeiro.

Nos anos trinta deste século assiste-se a uma modernização do ensino com a publicação de novos manuais.

Os anos quarenta viriam a ser extremamente férteis no que diz respeito à actividade matemática graças a uma nova geração de matemáticos (na qual se insere Aniceto Monteiro de qual iremos abordar a seguir). É a esta geração que se deve a criação da Sociedade Portuguesa de Matemática e da conceituada revista de investigação Portugaliae Mathematica.

Infelizmente esta actividade foi em grande parte suspensa, pois muitos dos seus protagonistas foram, por motivos políticos, demitidos da Função Pública e obrigados a exilar-se fora do País.

Na década de sessenta o ensino universitário passa por uma grande actualização de planos de estudo com a introdução de novas disciplinas (como a Topologia).

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BENTO DE JESUS CARAÇA

Bento de Jesus Caraça foi um Talentoso matemático e professor universitário, comunista e antifascista.

Nasceu na Vila Viçosa a 18 de Abril de 1901.

Em 1911 Terminou a escola primária com distinção, foi para o Liceu em Santarém e mais tarde para o Liceu Pedro Nunes, em Lisboa que terminou em 1918, ano em que ingressou no Instituto Superior de Ciências Económicas e Financeiras, actual Instituto Superior de Economia e Gestão. Um ano mais tarde é-lhe diagnosticada uma doença reumática com sequelas cardíacas e é nomeado 2.º assistente do ISCEF. Licenciou-se em 1923 com notas altas e em 1924 foi nomeado 1º assistente do ISCEF, em 1927 professor extraordinário e em 1929 professor catedrático da 1ª cadeira (Matemáticas Superiores- Álgebra Superior, Princípios de Análise Infinitesimal e Geometria Analítica).

Publicou o seu primeiro livro em 1930, denominado Interpolação e Integração Numérica.

De 1931 a 1933, deu diversas conferências e palestras sobre os mais variados temas, como a Conferência na União Cultural Mocidade Livre sobre “A Cultura Integral do Indivíduo - problema central do nosso tempo”( seu segundo livro), na qual esboça um programa de intervenção cultural, científica e pedagógica.

Em 1935 lançou Lições da Álgebra e Análise e em 1937 Cálculo Vectorial.

Em 1938, com os professores Mira Fernandes e Beirão da Veiga, funda o Centro de Estudos de Matemáticas Aplicadas à Economia de que foi director até Outubro de 1946,ano da sua extinção por decisão ministerial.

Em 1940, junto com outros professores, cria a Gazeta da Matemática.

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Em 1941 funda a “Biblioteca Cosmos” e publica Conceitos Fundamentais da Matemática, que revolucionou a abordagem da história da Matemática focada dum ponto de vista interdisciplinar e dialéctico.

Em 1943 é eleito Presidente da Direcção da Sociedade Portuguesa de Matemática por dois anos.

Com a instalação do fascismo no poder, começa a intensificar a sua actividade política como militante comunista e junta-se ao MUNAF (Movimento de Unidade Nacional Anti-Fascista). É preso pela PIDE em 1946 e demitido do seu lugar de professor catedrático do I.S.C.E.F. Morreu em Lisboa, a 25 de Junho de 1948, com apenas 47 anos de idade, vítima de doença cardíaca.

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António Aniceto Monteiro António Aniceto Monteiro nasceu em Angola a 31 de Maio de 1907, onde o seu pai era tenente de infantaria.

Quando este faleceu, a 7 de Julho de 1915, regressou a Portugal com a mãe e com a irmã. Fez os estudos secundários no Colégio Militar de Lisboa, de 1917 a 1925.

Casou-se em 1929 com Lídia Marina de Faria Torres.

Em 1930, licenciou-se em Ciências Matemáticas na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, onde foi aluno de Pedro José da Cunha.

Em 1936 obteve o doutoramento na Universidade de Paris, orientado por Maurice Fréchet.

Ao regressar a Portugal após o doutoramento tornou-se o impulsionador de diversas iniciativas destinadas a fomentar o aparecimento de uma comunidade científica dinâmica e competitiva a nível internacional: Fundou em 1936, o Núcleo de Matemática, Física e Química em Lisboa. E, juntamente com Hugo Ribeiro, J. da Silva Paulo e M. Zaluar Nunes, a revista Portugaliæ Mathematica em 1937.

Impulsionou, em 1939, o Seminário de Análise Geral. No mesmo ano, juntamente com Bento de Jesus Caraça, Hugo Ribeiro, J. da Silva Paulo e M. Zaluar Nunes, fundou a Gazeta de Matemática.

Fundou a Sociedade Portuguesa de Matemática em 1940, tendo sido o seu primeiro secretário-geral.

Por motivos políticos, foi impedido de ter uma carreira universitária em Portugal, pois recusou-se a assinar um documento onde declarava o apoio ao salazarismo e o repúdio ao comunismo e às «ideias subversivas».

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Recomendado por Albert Einstein, John von Neumann e Guido Beck, foi convidado para trabalhar na Universidade do Brasil (actual Universidade Federal do Rio de Janeiro). Teve de aguardar durante quinze meses em Portugal para receber, do governo brasileiro, o visto para emigrar, bem como os bilhetes para a viagem, tendo partido em 1945 partiu para o Rio de Janeiro. No entanto, a guerra interna dos concursos que acompanhou toda a existência da Universidade do Brasil até à sua extinção no final da década de 1960 levou à impossibilidade da sua permanência no Brasil.

Partiu então para a Argentina, onde foi professor na Universidad Nacional de Cuyo (1949–1957), graças à influência de Julio Rey Pastor. Foi convidado depois a criar um Instituto de Matemática na Universidad del Sur, onde leccionou de 1957 a 1975.

Após o 25 de Abril, regressou a Portugal por dois anos, como investigador do Instituto Nacional de Investigação Científica.

Em 1978 recebeu o Prémio Gulbenkian de Ciência pelo seu trabalho Algèbres de Heyting symétriques.

Regressou então à Argentina, onde faleceu em 1980.

Em Outubro de 2000, o então Presidente da República Portuguesa, Jorge Sampaio, concedeu-lhe a título póstumo a Grã-Cruz da Ordem Militar de Santiago da Espada

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Conclusão A Matemática tem de ser pensada como um bem cultural de interesse geral, que ninguém pode ignorar completamente, uma vez que ajuda a estruturar e facilitar a vida quotidiana dos homens.

O estudo da Matemática, ao longo dos séculos, revelou-nos as tentativas dos matemáticos para explicar o nosso Universo e na compreensão dos seus enigmas.

Esta sempre esteve presente no dia-a-dia, pelo que, assim sendo, valeu a pena procurar conhecê-la mais de perto, para melhor entendermos como funciona o mundo que nos rodeia.

“Peço perdão geralmente aos senhores, a vós com todos leitores da presente; o que for sufficiente que a emende, qualquer erro que se entende eminente.”

Símão Fernandes de Tavira, Arte Nova de algarismo

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Bibliografia

http://www.vidaslusofonas.pt/bento_j_caraca.htm http://www.cgtp.pt/bjc/biografia/biografia.htm http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/hmp/X0004_HMP3.html http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/acunha/vida.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/livrogt/2parte1.html#Estado de Portugal http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/danielaugustosilva.htm “Arte nova de algarismo” de Simão Fernandes de Tavira

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