2008.12.12 Коледно математическо състезание

Коледно Математическо състезание I клас Име..........................................................училище.......................................град...................

1.

1

0

2.

4. > = <

7

4

3. + -

=?

6-4

3+2

6-0

6+0

4+1

6-5

3+1

4+1

10

=

6-3

7

8

1

5

3

8

6

2

8

-

=

5-2

5.

-6 =

+3 = 5+

=

-7 =

7

-4 =

6.

.....? .....? .....?

+

7.

-

-

+

8.

4+3 8-4 6+4 2+6

10-3 1+8 9-4 3+6

7-0

6+0

>7

=

3+3

9-1

4+5

5+3

7

<7

-

+

=

9.

2 +3 4 -3 5 -2 10.

-4

+2

-0

+1

-4

+2 -2

+2 -1

-1 +4

+0 +1

-2 -3

6 +

-

2 -

+

3

+

+

5 +

=

7

-

3 -

=

0

=

1

+ + 4

=

=

5

9

> = <

= -

2

=

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище........................................град..................... Зад. 1 A=49-(22+3), B=16-(19-8), A+B=? а) 29 б) 41 в) 15 Зад. 2 Обиколката на квадрат не може да бъде а) 8 б) 11 в) 4

г) друг отговор г) 12

Зад. 3 Коя фигура съдържа най-много триъгълници? а)Фиг.1

б)Фиг.2 и Фиг.3

в) Фиг.3

г) друг отговор

Зад. 4 Намерете броя на всички двуцифрени числа с различни цифри , които се записват с цифрите 0, 1, 7. а) 6 б) 2 в) 3 г) друг отговор Зад. 5 Колко и какви фигури трябва да се поставят в празното бяло квадратче? а) 3 квадрата б) 4 кръга в) 5 триъгълника г) друг отговор Зад. 6 По кои камъчета е най-прекият път през реката?

а) по кръглите

б) по правоъгълните

в) по кръглите и по триъгълните

г) друг отговор

Зад. 7 Сборът на три последователни числа е с едно по-малко от най-малкото четно двуцифренно число записано с еднакви цифри. Колко ще получим ако този сбор го увеличим с най-малкото от тези три числа? а) 11

б) 21

в) 27

г) 28

Зад. 8 Колко двуцифрени числа могат да се поставят на мястото на * , ако 23– (3+*)>1+(5–3) ? а) 8 б) 6 в) 17 г) друг отговор Зад. 9 Коя дума трябва да се постави на мястото на многоточието в изречението ”А аз съм вече голям …….” ? а) ученик

б) спортист

в) математик

г) друг отговор

Зад. 10 Двор с дължина 11 метра и с ширина 90 дециметра има форма на правоъгълник и трябва да се огради с два реда тел. Ако вратата е 30 дециметра, колко метра тел ще са необходими за ограждането му?

Отговори и решения: Зад.9 а)

Зад.1 а), Зад.2 б), Зад.3 в),

Зад.4 г) 4, Зад.5 а), Зад.6 б),

Зад.7 в), Зад.8 г) 7,

Зад. 10 Дължината е 11 метра, а ширината 90 дециметра=9 метра. ( 1 точки) Обиколката на правоъгълника е Р= 11м. + 9 м. + 11 м. + 9м. = 40 метра ( 5 точки) За ограждане са необходими два реда тел т.е. 80 метра ( 2точки) Вратата е 30 дециметра=3 метра (1 точка) Общо за вратата 6 метра (2 точка) От всичката тел е необходимо да махнем тая от вратата т.е. 80м.- 6 м.= 74 метра тел ( 4 точки)

СМБ – Секция “Изток” Коледно математическо състезание 13.12.2008г.

3 клас

Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, от 4 до 6 с по 5 точки и от 7 до 9 с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име............................................................................училище.................................…......... ……град...........

Задача 1. Кое число трябва да се постави в празното квадратче така, че да е вярно равенството: ( 26см + 3дм ) - 18см = ( 1м - см ) + 2дм ? а) 82 б) 28 в) 18 г) друг отговор Задача 2. На всеки километър по шосето между селата Наука и Успех има табелка, на едната страна на която е написано колко километра има до Наука, а на другата – до Успех. Наблюдателен пътник забелязал, че на всяка табелка сборът от двете страни е равен на 15. Какво е разстоянието между селата? а) 30 б) 15 в) 20 г) друг отговор Задача 3. Сборът на следващите две числа в редицата 5; 9; 17; 33; 65; ...... е : а) 129 б) 194 в) 386 г) друг отговор Задача 4. Написани са две последователни двуцифрени числа. Сумата от цифрите на първото е 8, а второто се дели на 8. Второто число е: а) 17 б) 81 в) 64 г) друг отговор Задача 5. На еднаквите букви в ребуса отговарят еднакви цифри, а на различните букви - различни. Цифрата, отговаряща на буквата В е: а) 4 б) 6 в) 8 г) друг отговор

В А А В С С С Задача 6. Има 6 верижки с по 4 колелца във всяка. Колко най-малко колелца е необходимо да разрежем и да запоим, така че всички верижки да съединим в една? а) 4 б) 5 в) 6 г) друг отговор +

Задача 7. В сладкарница продават малки и големи торти. Голямата торта е два пъти по-скъпа от малката. Прасчо купил 5 големи и 3 малки торти, а Мечо Пух - 5 малки и 3 големи. Прасчо платил 20 лв. повече. Колко струва голямата торта? а) 5 б) 10 в) 20 г) друг отговор Задача 8. От 48 метра тел са изработени равностранен триъгълник и квадрат, които имат равни обиколки. С колко метра страната на триъгълника е по-голяма от страната на квадрата? а) 1 б) 2 в) 3 г) друг отговор

Задача 9. Заменете всяка буква на схемата с число от 1 до 9, така че да са изпълнени всички неравенства. На мястото на буквата И е числото: а) 9 б) 8 в) 6 г) друг отговор

А

>

∨

Г

>

∧ >

∨

Ж

Б Д

∧ <

∧ >

З

В Е ∧

>

И

Задача 10. В тролейбус пътували няколко мъже и 37 жени. На първата спирка слезли 24 пътници, от които половината жени, а се качили 16 души, от които 7 мъже. Тогава жените станали с 18 повече от мъжете. Колко мъже са пътували първоначално в тролейбуса?

3 клас 1 зад. – а , 2 зад. – б , 3 зад. – в , 4 зад. г – 72 , 5 зад. – б , 6 зад. – а , 7 зад. – в , 8 зад. – б , 9 зад. г – 5 , 10 зад. 21

РЕШЕНИЯ:

)+20. Отг.: 82

1 зад. (26+30)-18=(100-

2 зад. Сборът от двете страни на всяка табелка е равен на разстоянието между селата. Отг.: 15 3 зад. Всяко следващо число в редицата се получава от предходното след умножение с 2 и изваждане на 1 от полученото произведение.Така следващите две числа в редицата са 129 и 257. Отг.: 386 4 зад. Двете последователни числа, които отговарят на условието са 71 и 72. Отг.: 72 5 зад. Сборът на едно двуцифрено и две едноцифрени числа не надвишава 117. С=1 , А=9 ,В=6 . Отг.: 6 6 зад. Разрязваме четирите колелца от едната верижка и с всяко от тях свързваме останалите 5 верижки. Отг.: 4 7 зад 5 големи торти = 10 малки торти. 5големи + 3малки торти струват колкото 10+3=13 малки (платил Прасчо ).

3 големи торти = 6 малки торти . 5 малки + 3 големи торти струват колкото 5+6=11 малки (платил Мечо Пух ). Прасчо платил 2 малки торти повече.20:2 =10лева струва 1 малка торта. 2.10=20 лева струва голямата торта. Отг.: 20 8 зад. 48:2 = 24м е обиколката на всяка от фигурите. 24:3 = 8м е страната на триъгълника. 24:4 = 6м е страната на квадрата.

8 – 6 = 2м . Отг.: 2 9 зад. Най-малка стойност има тази буква, към която има само знаци по-малко.В=1.Зачертаваме всички знаци към намерената буква.Следващата буква, изпълняваща казаното е Б. Б=2 и т.н. Д=3, Е=4, И=5, З=6, Ж=7, Г=8, А=9. Отг.: 5 10 зад. 24 : 2 = 12 жени слизат и 12 мъже слизат ( по 1 т.). 37 – 12 = 25 жени остават в тролейбуса (1 т.).

16 – 7 = 9 жени се качват (2 т.). 25 + 9 = 34 жени в тролейбуса (2 т.). 34 – 18 = 16 мъже в тролейбуса накрая ( 3 т.) .

16 – 7 = 9 мъже( 3 т.) .

9 + 12 = 21 мъже първоначално в тролейбуса (2 т.) Отг.: 21

СМБ – Секция “Изток” Коледно математическо състезание 13.12.2008г.

4 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, от 4 до 6 с по 5 точки и от 7 до 9 с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех !

Име............................................................................училище.................................…......... ……град...........

1 зад. Стойността на израза 636 : 6 − 4 − 3.15 + 5 е: а) 62 б) 278 в) 42 г) друг отговор 2 зад. Кои три цифри трябва да се задраскат в числото 2416375, така че от останалите цифри, без да се разместват, да се получи възможно най-малкото число? а) 1,2,3 б) 2,4,6 в) 2,4,7 г) друг отговор 3 зад. Едната страна на триъгълник е 187 см и е с 25 см по-дълга от втората страна и с 88 см по-къса от третата страна. Обиколката на триъгълника е : а) 498; б) 624; в) 300; г) друг отговор.

4 зад. На пейка седят Ани, Катя, Ники и Дани. Катя седи до Ани, но не до Ники. Ники не е до Дани. До Дани седи: а) Ани; б) не може да се определи; в) Катя; г) друг отговор 5 зад. В чувала на Дядо Коледа има бонбони, 4 от които са с вкус на ягода, 5 – с вкус на малина и 6 – с вкус на карамел. Колко най-малко бонбони трябва да извади той, без да гледа, така че между тях да има със сигурност поне 1 бонбон с вкус на карамел: а) 6; б) 15; в) 4; г) друг отговор.

6 зад. Лента е дълга 360 см. Джуджетата я разделили с 8 разрязвания по дължина на равни лентички за панделки. Една лентичка е дълга: а) 45 см; б)36 см; в) 40 см; г) друг отговор 7 зад. Ако ученик купи 11 тетрадки, то ще му останат 2 лв., а за да купи 15 тетрадки не му достигат 10 лв. Ученикът има : а) 35 лв; б) 31 лв; в) 24 лв; г) друг отговор.

8 зад. Ако 3 кг портокали струват колкото 2 кг мандарини, а 3 кг мандарини струват колкото 1 кг киви, колко килограма портокали може да се купят с парите за 2 кг киви. а) 2; б) 4; в) 6; г) друг отговор .

9 зад. Мишка изгризала страниците на една забравена стара книга от страница 1149 до 1310 включително. Колко цифри 7 е изяла мишката? а) 16; б) 36; в) 34; г) друг отговор.

10 зад. Площадка с размери и форма на фигурата е разделена на квадрати със страна 1 м. Във всеки квадрат децата от четвърти клас трябвало да нарисуват подаръка, който желаят за Коледа. Колко подаръка трябва да приготвят джуджетата за децата от четвърти клас, ако във всеки квадрат има по един подарък?

7 4 8

6 5

4

ОТГОВОРИ: 1 а

2 Б

3 Б

4 в

5 г 10

6 в

7 а

8 г9

9 б

Решения: 1 зад.

636 : 6 − 4 − 3.15 + 5 = 106 − 4 − 45 + 5 = 102 − 45 + 5 = 57 + 5 = 62 2 зад.

2416375 3 зад. a = 187 b = 187 - 25=162 c = 187 +88=275 P=187+162+275=624 4 зад. ДКАН, НАКД – до Катя 5 зад.

5+4 общо 9 с ягода и малина; десетата е с карамел 6 зад.

8 разрязвания – 9 лентички 360:9 = 40 7 зад.

11 тетрадки - +2 15 тетрадки - -10 Следователно 4 тетрадки – 12 лв.

1 тетрадка – 3 лв.

11.3 +2 =35 лв.

8 зад.

2 кг киви – 6 кг мандарини – 9 кг портокали

9 зад. Цифрата на единиците – 16 Цифрата на десетиците – 20 10 зад. Разделяме фигурата на : правоъгълтик 8*4 – броим квадратите 32 квадрат 3*3- квадратите са 9 правоъглник 4*3- квадратите са 12 Общо -

53

Ани Кюркчиева - Кюстендил

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 г.

5 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех? Име..................................................................................................училище..........................................град.....................................

1 зад. Пресметнете: 20.19 − 19.18 + 18.17 − 17.16 + 16.15 − 15.14 + 14.13 − 13.12 + 12.11 − 11.10 . а) 130; б) 140; в) 150; г) друг отговор 2 зад. Заек изяжда на закуска 5 моркова, а на обяд с 1,5 моркова повече. Ако за една седмица са му необходими 119 моркова, колко моркова изяждя заекът на вечеря(всеки ден изяжда еднакво количество моркови на закуска, на обяд и на вечеря)? а) 4; б) 5,5; в) 6,5; г) друг отговор 3 зад. Кое е по-малкото от две числа, равно на 3,2? а) 8 ; б) 9,2;

чийто сбор е равен на 33,6, в)10,4;

а частното от делението им е

г) друг отговор

4 зад. Пресметнете стойността на израза: ( 97, 2 : ( 26, 4 : 4 − 4, 2 ) ) : 0, 9 + 0,556 :1,112 а) 35,4;

б)44, 8 ;

в) 56,2;

г) друг отговор

5 зад. Ако m кг месо струват 10 + 3.m лв, колко ще струват 10 кг месо? а) 30 лв; б) 35 лв; в) 40 лв; г) друг отговор 6 зад. От речно пристанище тръгват едновременно моторна лодка и сал. Скоростта на моторната лодка в спокойна вода е 25 км/час. Какво е разстоянието между сала и моторната лодка след 1 час, ако лодката се намира на 21 км от пристанището? а) 21 км; б) 8 км; в) 46 км; г) друг отговор 7 зад. Произведението на две естествени числа е равно на 192. Ако едното число се намали 4 пъти, а другото се увеличи с 18, стойността на произведението се запазва. Намерете сбора на двете числа. а) 38; б) 60; в) 28; г) друг отговор 8 зад. Какъв ден от седмицата е двадесетия ден от месеца, ако в този месец 3 недели са на четни дати? а) понеделник; б) сряда; в) петък; г) друг отговор 9 зад. В израза ( x − 1y,2 ).3,7 = 2,22 намерете най-малката цифра у от десетичната дроб 1у,2, така че x да удовлетворява неравенството x >11,8. а) 0; б) 2; в) 3; г) друг отговор 10 зад. Направени са пет доставки от един продукт. Първата и втората заедно тежат 6 кг; втората и третата – 6,75 кг; третата и четвъртата – 5,75 кг; четвъртата и петата – 4 кг; първата, третата и петата – 8 кг. Коолко тежи всяка от доставките?

Отговори: 1- в; 2- б ; 3-а; 4- г 45,5; 5- в; 6- г – 25 км; 7- а; 8- г-четвъртък; 9- б. Решения: 1 зад. Преобразуваме: 19.(20 − 18) + 17.(18 − 16) + 15.(16 − 14) + 13.(14 − 12) + 11.(12 − 10) = = (19 + 17 + 15 + 13 + 11).2 = 75.2 = 150 .

2 зад. 5+1,5=6,5 моркова на обяд; 119:7=17 моркова дневно; 5+6,5=11,5; вечеря.

3 зад. Ако числата са х и у, то х + у = 33,6

и

17-11,5=5,5 моркова на

х = 3,2. у т.е.е 3,2. у + у = 33,6 и

х =25,6 у = 8.

4 зад. (97,2 : (26,4 : 4 − 4,2)) : 0,9 + 0,556 : 1,112 = (97,2 : 2,4) : 0,9 + 0,5 = 40,5 : 0,9 + 0,5 = 45 + 0,5 = 45,5 5 зад.

10 + 3.10 = 40 лв

6 зад. Салът се движи по течението и за 1 час изминава а км ( скоростта на течението). Понеже 21 < 25, моторната лодка се движи срещу течението и за 1 час изминава 25 – а км. Търсеното разстояне е 25 – а+а = 25 км. b = 192 ⇒ (a + 18).b = 4.192 ⇒ a.b + 18.b = 4.192 4 b=32 a=6 a + b =6 +32 = 38.

7 зад. a.b = 192 ⇒ (a + 18). ⇒ 18.b = 3.192

⇒ 192 + 18.b = 4.192

8 зад. Нека дните на месеца са:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. Ако в един месец 3 недели са на четни дати ( т.е. през 14 дни), те могат да бъдат само на 2-ро, 16-то и 30-то число. След като 16-то число е неделя, 20-то число от месеца е четвъртък.

9 зад.

(x − 1y,2).3,7 = 2,22 ⇒ x − 1y,2 = 0,6 ⇒ x = 1y,2 + 0,6

от x > 11,8 ⇒ 1 y,2 + 0,6 > 11,8 ⇒ 1y,2 > 11,2 стойност на y = 2,3,4,5,6,7,8,9 . Най-малката тези цифри е 2.

това неравенство е изпълнено за

10 зад. Нека теглото на доставките е a, b, c, d, e. Тогава: a + b = 6 (1) b + c = 6,75 (2) c + d = 5,75 (3) d + e = 4 (4) по 1 т. a + c + e = 8 (5) 2 т. От (1) и (2) ⇒ c − a = 0,75 ⇒ a = c − 0,75 2 т. От (3) и (4) ⇒ c − e = 1,75 ⇒ e = c − 1,75 2 т. Заместваме в (5) c − 0,75 + c + c − 1,75 = 8 ⇒ 3c = 10,5 ⇒ c = 3,5 3 т. От (2) b=3,25, от (3) d=2,25, от (1) a=2,75, от (4) e=1,75. по 0,5 т.

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 г.

6 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име........................................................................................училище..........................................град..................................... Зад. 1. Стойността на израза 2,008 – 0,008 . (412 : 220 + 26 + 22 . 5) е: а) 200 б) 1,208 в) 2048 г) друг отговор 3 0, 6.х − 5 .х 5 Зад. 2. Неизвестното число х в равенството = ( 408 : 5 ) .2 е: 1 2 2 а) 81,6 б) 20,4 в) 2048 г) друг отговор Зад. 3. Лицето на ромб е

2 от лицето на трапец с основи 30 см и 12 см и височина 2 дм. Ако височината на ромба 3

е 0,14 метра, то обиколката му е: а) 20 см б) 80 см в)

720 см 7

г) друг отговор

Зад. 4. Том и Джери правят обиколки на писта с постоянни скорости. Том прави 5 обиколки за 12 минути, а Джери прави 3 обиколки за 10 мин. Ако двамата тръгват едновременно от старта, колко е сумата от броя на обиколките, които те ще направят до момента, когато за първи път преминават едновременно през старта? а) 43 б) 86 в) 90 г) друг отговор Зад. 5. Трима работници последователно извършили определена работа. Първият свършил 40% от работата, вторият

1 от останалата работа и още 5 % от цялата работа, а третият завършил работата. Колко процента от 3

работата е извършил третият работник? а) 40 % б) 37 % в) 35 %

г ) друг отговор

Зад. 6. Баба Марина има две внучки. Възрастта на баба Марина е двуцифрено число, първата цифра е възрастта на едната внучка, а втората цифра е възрастта на другата внучка. Да се намери на колко години е баба Марина, ако по-малката внучка е на 5 години, а сборът от годините на трите е 69. а) 45 б) 56 в) 58 г) друг отговор Зад. 7. Произведението на най-малко и най-голямото число от редицата 15502 ; 32008; 41004; 25251 е: а) 452008 б) 751004 в) 405502 г) друг отговор Зад. 8. За 3 часа една лодка изминава такова разстояние по течението на река, каквото разстояние изминава срещу течението за 4 часа. Да се намери колко километра в спокойна вода изминава лодката за 12 часа, ако за същото време по течението изминава 144 км. а) 126 км б) 108 км в) 132 г) друг отговор Зад. 9. Едно джудже подковава един крак на елен за 7 минути. За да бъде подкован, еленът вдига крака си. Той може да стои на три крака, но не може да стои на по-малко от три крака. Да се намери най-малко за колко минути 7те джуджета могат да подковат 9те елена на Дядо Коледа? а) 56 б) 36 в) 49 г) друг отговор Зад.10 . На едно Коледно тържество за шестокласници присъствали ученици, като някои от тях изучават английски език и някои от тях обичат математика. Петдесет процента от присъстващите изучават английски език и обичат математиката. 80 % от присъстващите изучават английски език, а 63 души обичат математика. Колко са всички шестокласници и колко от тях обичат математика, но не изучават английски език?

КМС-13.12.2008 г: Отговори на задачите за 6 клас: 1б; 2г (- 81,6);3 б; 4а; 5 в; 6 г(57год); 7 в; 8 а; 9г(42) Зад. 10 . Всички присъстващи са 90, а 18 от тях обичат математика, но не изучава английски език? КМС-13.12.2008г: Кратки решения 12

20

Зад. 1. 2,008 – 0,008.( 4 : 2 0,8=1,208

6

2

24

20

4

+ 2 + 2 .5)=2,008-0,008(2 :2 +64+20)=2,008-0,008(2 +84)=2,008-0,008.100=2,008-

3 0,6.х − 5 .х 5 = 408 : 5.2 ; Зад. 2.

1 2 2

(0,6 − 5,6).х = 81,6.2 ;

-2х =163,2 ; х = -81,6 ⇒

2,5

2

Зад. 3. Sтрапец = ((30+12).20):2 = 420 см ; Sромб=

2 .420 = 280 см2 ; а.14= 280; а = 20 см ; Р = 80 см 3

Зад. 4. Том прави една обиколка за 12.60:5= 144 сек., а Джери за 10.60:3 =200 сек. НОК(144;200)= 3600сек. След 3600 секунди Том и Джери ще преминат п едновременно пред старта. Тогава Том ще е направил 3600 : 144= 25 обиколки, а Джери – 3600:200 = 18 обиколки. Следователно сумата от обиколките им е 25 + 18 = 43. Зад. 5. І работник е извършил 40 % , остават 60 %. ІІ работник

1 60 5 25 . + = = 25% . Тогава за третия 3 100 100 100

остават 35%.

Зад. 6 . І случай. Нека баба Марина е на х5 години. Тогава Марина е на

x5 + x + 5 = 69 ⇒ няма решение. ІІ случай. Нека баба

5 x години. От 5 x + x + 5 = 69 ⇒ х = 7. Следователно баба Марина е на 57 години.

Зад. 7. 4 =2 ⇒ 3 > 2 ; 25 = 5 ⇒ 15 >5 ; 4 =16 >5 ⇒ 4 >5 =25 . Най-голямото 2008 251 251 2008 502 4(502) 502 502 502 ,а най-малкото е 25 . Произведението 25 . 3 =5 .3 =5 . 81 =405 число от редицата е 3 1004

2008

2008

2008

251

502

502

502

1004

502

502

1004

502

251

Зад. 8 . Скоростта на лодката по течението е 144: 12 = 12 км/ч ⇒ 12 . 3 = 36 км е разстоянието, което изиминава за 3 часа по течението..Тогава 36 : 4 = 9 км/ч е скоростта срещу течението ⇒ скоростта в спокойна вода е (12+9):2 = 10,5 км/ч. За 12 часа ще измине 12 . 10,5 = 126км. Зад.9. Всички джуджета едновременно за 35 минути ще подковат по 5 крака и така ще подковат 35 крака. Остава да се подкове един крак за което са необходими 7 минути и ще бъде подкован от едно джудже, а другите ще почиват. Следователно за подковаването на елените са необходими 35+7= 42 мин. Един вариант на подковаването им е: а б в г д е ж з и 1 2 3 4 5 6 7 2 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 8 9 1 2 3 6 7 8 9 1 Зад .10. Нека х са всички присътващи, тогава математиката, а

63 −

80 50 30 х− х= х изучават английскиезик ,но не обичат 100 100 100

50 х обичат математиката, но не изучават английски език. След решаването на 100

уравнението

30 50 50 50 х+ х + 63 − х = х , получаваме, че х = 90 са всички присъстващи. 63 − 90 = 18 са учениците 100 100 100 100 които обичат математика, и не изучават английски език

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 7 КЛАС

Уважаеми ученици, Този тест съдържа 40 задачи. Към част от тях са дадени по четири възможности за отговор А), Б), В) и Г), от които само един е правилен. Вие трябва да изберете само един отговор – този, който според Вас е правилен. Към останалите задачи не са дадени възможни отговори. На тях Вие трябва да намерите отговора. Всички отговори попълнете в ЛИСТА ЗА ОТГОВОРИ. Срещу номера на съответната задача зачертайте със знака Х отговора, който приемате за верен. Ако след това прецените, че първоначалният Ви отговор не е правилен и искате да го поправите, запълнете правоъгълника с грешния отговор и зачертайте с Х буквата на друг отговор който приемате за верен. Отговорите на задачите, които нямат дадени възможности за отговор, запишете на празните места срещу номерата на съответните задачи в листа с отговори. Ако решите, че сте сбъркали, зачертайте грешния според Вас отговор със знака “Х” и запишете до него получения отговор. Правилните отговори на задачи от 1 до 15 се оценяват с по 1 точка, на задачи от 16 до 30 – с по 2 точки и на задачи от 31 до 40 – с по 3 точки. Задачи с неверен отговор и задачи оставени без отговор се оценяват с по 0 точки. Успешна работа!

Задачи 1 - 15 (всяка по 1 точкa) 1. Намерете сбора на първите 10 естествени числа A) 45 Б) 54 В) 55 5 22 е равна на: 2. Разликата 1 − 9 27 10 20 10 Б) В) A) 36 27 27 3. Кое е следващото число в редицата − 2,6; − 2,3; − 2; − 1,7; ? А) – 1,5 4. Ако A) 18

Б) – 1,6

В) – 1,4

Г) 56

Г)

5 36

Г) – 1,3

56 : 63 = 16 : х то х е: Б) 9

5. Ако (а4)3 = а7, то а е равно на: A) 1 Б) 0 или 1

В) 0 В) – 1, или 0, или 1

Г)

8 7

Г) 0

6. Права призма има 8 околни стени. Броят на ръбовете на тази призма е равен на: А)10 Б) 20 В) 30 Г) 24 7. Сборът на целите числа по- големи от −2008 и по-малки или равни на 2008 е равен на: A) 0 Б) 2008 В) 2007 Г) 1 1 1 1 8. След извършване на действията в израза + : се получава числото : 5 5 5 A) 1,2 Б) 5 В) 2 Г) 0 9. Стойността на израза 5 − 3х − 5 х − 1 − 3х − 5 за x = −0,4 е равна на: А) 1 Б) -1 В) 3 Г) - 3 10. Страната на квадрат е 15см.Лицето на квадрата в квадратни дециметри е равно на: А) 225 Б) 2,25 В) 22,5 Г) 0,225 11. Ако ръбовете на един куб се увеличат 3 пъти, обемът на получения куб ще се увеличи: A) 3 пъти Б) 9 пъти В) 27 пъти Г) 81 пъти

12. Математическо състезание е започнало в 9 часа и 40 минути. Ако то продължава 2,5 часа, то краят му е в: A) 11 часа и 55 мин Б) 12 часа и 10мин В) 12 часа и 15 мин Г) 12 часа и 20 мин

(

)

2

13. Изразът х 3 − 2х е тъждествено равен на: А) х 6 − 2 х 4 + 2 х 2 Б) х 6 − 4 х 4 + 2 х 2 В) х 6 − 4 х 4 + 4 х 2

Г) х 5 − 4 х 4 + 4 х 2

1 14. Кое число, върху числовата ос, се намира по средата между образите на числата 1,4 и 5 ?

5 А) 1,9 Б) 3,3 В)3,8 Г) 4,1

15. Мерките на два от ъглите получени при пресичане на две прави се отнасят както 2:3. По големият от тях е равен на: А) 1200 Б) 1350 В)1000 Г) 1080 Задачи 16 – 30 (всяка по 2точки) 16. Равенството ( х + 2)3 − М = 6 ( х + 1) е тъждество, ако М е равно на: 2

А) х3 – 6х + 2

Б) х3 + 24х + 14

В) х3 + 2

Г) х3 + 12х 2 + 24х + 14

17. Автомобил се движи с 120 км/ч. За колко секунди ще измине 20 метра?

A) 60 Б) 10 В) 6 Г) 0,6 18. Иво прочел 50 страници от една книга и пресметнал, че ако прочете 25% от останалите страници, ще е прочел половината от книгата. Колко страници е цялата книга? А)100 Б) 120 В) 80 Г) 150 19. С колко процента ще се увеличи лицето на квадрат, ако увеличим обиколката му с 10%?

A) 10 Б) 12 В) 21 Г) 9 20. Кое е най-голямото естествено число, което при делене на 9 има за частно и остатък едно и също число?

A) 10 Б) 90 В) 80 Г) 9 21. Пресметнете стойността на израза : 0,125.156 + 12,5.1,36 + 10,8.1, 25 A) 40 Б) 50 В) 49 Г)51 22. В двора на Иво има равен брой кучета, котки и кокошки. Броят на краката им не може да бъде равен на: А) 60 Б) 64 В) 80 Г) 90 23. Най- малкият прост делител на числото 77+55 e: (Отговора запишете в листа за отговори) 24. Сборът на две числа е 22, а сборът на квадратите им 274. Намерете произведението на тези числа. (Отговора запишете в листа за отговори) 25. Сборът на 14 нечетни естествени числа е 40. Най-малката възможна разлика на най-голямото и най-малкото от тези числа е: A) 4 Б) 2 В) 0 Г)6 12 26. Десетата цифра в десетичния запис на числото е: 99 (Отговора запишете в листа за отговори)

27. Броят на целите числа А изпълняващи условията А ≤ 2008 и А ≥ 2000 е равен на: (Отговора запишете в листа за отговори) 28. Колко градуса изминава часовата стрелка за 20 минути? (Отговора запишете в листа за отговори) 29. Най-малката стойност на израза х 2 − 6х + 10 е равна на: (Отговора запишете в листа за отговори) 30. Колко прости числа се делят на 29? (Отговора запишете в листа за отговори) Задачи 31 – 40 (всяка по 3 точки ) 31. Най-малката стойност на израза а 2 +b 2 +c 2 – ab – bc − ca е равна на: А) 1 Б) 0 В) -1 Г) не може да се определи 32. Пресметнете стойността на израза 2,3712 + 4,629 2 + 4,629.4,742 А) 40 Б) 49 В) 50 Г) 48 33. Естествените числа a и b са такива, че числото c = a 2b + ab 2 + a + b – ab − 1 е просто. Колко различни стойности може да приема числото с ? (Отговора запишете в листа за отговори) 34. Асен, Боби и Васил играли с топка и счупили прозорец. На въпроса кой го е счупил те оговорили: Асен: Васил счупи прозореца; Боби: Асен счупи прозореца; Васил : Аз счупих прозореца. Кой е счупил прозореца, ако един от тях е казал истината, другите са излъгали? А) Асен Б) Боби В) Васил Г) не може да се определи 35. Намерете най-голямото естествено число, което е делител на израза n3 + 3n 2 + 2n , където n е естествено число. А) 2 Б) 3 В) 6 Г) не може да се определи 35 5 36. Ако х3 + у 3 = и х +у = намерете стойността на произведението хy.

216 6 (Отговора запишете в листа за отговори) 37. Куб с ръб 6 см е боядисан и след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб 1 см. Колко единични кубчета нямат боядисана стена? А) 125 Б) 64 В) 27 Г) 100 38. Сборът на 10 различни естествени числа е 56. Намерете възможно най-голямата разлика на две от тези числа. А) 10 Б) 11 В) 9 Г) 8 39. Двама ученика играят на следната игра: от кутия с 13 бонбона, те един след друг за един ход изяждат 1, 2 или 3 бонбона. Печели този, който изяде последния бонбон. Колко бонбона трябва да изяде първият ученик при първия си ход, за да си осигури победа в играта? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) при правилна игра винаги печели вторият ученик 40. Тест се състои от 40 задачи, които носят по 1, 2 или 3 точки. Максималният брой точки, които могат да се получат е 80. Какъв е максималният брой задачи с 3 точки, ако тестът съдържа задачи и от трите вида? А) 21 Б) 20 В) 19 Г) 18

ЛИСТ ЗА ОТГОВОРИ: Име: …………………………………………………………...........……................. Училище: ……………………………………… гр./с.: ………………….. Отг. А А

Отг. Б Б

Отг. В В

Отг. Г Г

Въпрос N

Отг.

Отг.

Отг.

Отг.

31

А

Б

В

Г

Г

Въпрос N 16 17

32

A

Б

В

Г

Г

18

А

Б

В

Г

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

33

А А А А

Б Б Б Б

В В В В

Г Г Г Г

34

А

Б

В

Г

35

А

Б

В

Г

37

А

Б

В

Г

38

А

Б

В

Г

39

А

Б

В

Г

40

А

Б

В

Г

Въпрос N

Отг.

Отг.

Отг.

Отг.

1

А

Б

В

Г

2

А

Б

В

3

А

Б

В

4

А

Б

В

Г

5

А

Б

В

Г

6

А

Б

В

Г

7

А

Б

В

Г

8

А

Б

В

Г

9

А

Б

В

Г

10

А

Б

В

Г

11

А

Б

В

Г

12

А

Б

В

Г

13

А

Б

В

Г

14

29

А

Б

В

Г

30

15

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Бр. верни отговори:………….x 1 точка

Бр .верни отговори……….х 2точки

ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................

ПРОВЕРИЛ : ……………………………….

36

Бр. верни отговори …………х 3точки

Име: ……………………………………………………………….............…... Училище: ……………………………………… гр./с.: ……………………..

Г

Въпрос N 16 17

Отг. А А

Отг. Б Б

Отг. В В

Отг. Г Г

Г

18

А

Б

В

Г

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

А А А А

Б Б

В В В В

Г Г Г Г

Въпрос N

Отг.

Отг.

Отг.

Отг.

1

А

Б

В

Г

2

А

Б

В

3

А

Б

В

4

А

Б

В

Г

5

А

Б

В

Г

6

А

Б

В

Г

7

А

Б

В

Г

8

А

Б

В

Г

9

А

Б

В

Г

10

А

Б

В

Г

11

А

Б

В

Г

12

А

Б

В

Г

13

А

Б

В

Г

14

Б

29

1

А

В

Г

30

1

15

А

Б

В

Г

Бр. верни отговори:………….x 1 точка

ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................

Б Б 2 105

А

Б

В

Г

1 18 100

Бр .верни отговори……….х 2точки

Въпрос N

Отг.

Отг.

Отг.

Отг.

31

А

Б

В

Г

32

A

Б

В

Г

33

1

34

А

Б

В

Г

35

А

Б

В

Г

36

1/6

37

А

Б

В

Г

38

А

Б

В

Г

39

А

Б

В

Г

40

А

Б

В

Г

Бр. верни отговори …………х 3точки

ПРОВЕРИЛ : ……………………………….

1в; 2б; 3в; 4а; 5б; 6г; 7б; 8а; 9г; 10б; 11в; 12б; 13в; 14б; 15г; 16в; 17г; 18г; 19в; 20в; 21б; 22б; 23 2; 24 105; 25 б; 26 1; 27 18; 28 100; 29 1; 30 1; 31б; 32 б; 33 1; 34а; 35 г; 36 1/6; 37 б; 38 а; 39а; 40в;

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 8клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.

Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град...................... Зад. 1 Корените на уравнението (3x2 - 10x + 3)(x2 + 2) = 0 са: а) +2, -2, 3; 1 1 б) -2, ; в) 3, ;

3

г) друг отговор;

3

Зад. 2. Средите на страните на изпъкналия четириъгълник ABCD са M, N, P и Q. Ако AC =7см и BD е с 28 голяма от AC, обиколката на MNPQ е: а) 14; б) 16;

в) 18;

4 % по7

г) друг отговор

Зад. 3. На поляна има няколко трънки и долетяло ято гарги. Ако на всяка трънка кацнат по 3 гарги една гарга ще остане да лети във въздуха. Ако кацнат по 4 гарги на 1 трънка, то тогава 1 трънка ще остане без гарги и 1 трънка ще остане само с 2 гарги. Броят на трънките и гаргите е: а) 4; 13 б) 5; 16 в) 6; 19 г) друг отговор; Зад. 4. Последната цифра на числото 20082008 е: а) 4; б) 6; в) 8; Зад. 5. Броят на недопустимите стойности на израза . а) 4;

б) 7;

г) друг отговор;

2x − 1 x+3 3 е: + 2 − 2 2x + 2x x − 4 x + 6x + 9 3

в) 5;

г) друг отговор;

Зад. 6. Векторите AB и CD се пресичат в т.О, която е тяхна среда и ∠DOB е остър. Точките M и N са среди съответно на AD и DB. Векторът MN не а)

(

)

1 AD + DB ; 2

б)

(

)

е равен на:

1 BD + DA ; 2

в) OD + DB ;

г) ON + NB ;

Зад. 7. Колко решения има уравнението (x2 + x + 1)(2x2 + 2x – 3) = -3(1 – x – x2)? а) 4 б) 3 в) 2 г) друг отговор

Зад. 8. Числата a и b са естествени и а > b. За числата A= а) B >C> A

б) A>B>C

Зад. 9. Стойността на израза а)

5 + 7;

б)

3 5 − 2 7 − 5;

a2 + b2 a2 −b2 a2 −b2 ; B= и C= вярно е: a +b a −b a +b

в) B>A>C +

5 7+ 2 в)

-

2 7− 5

5 − 7;

г) друг отговор; e: г) друг отговор;

Зад. 10. Дадени са триъгълник и права, която не пресича страните му. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до правата, ако разстоянието от върховете му до правата са 5 см, 10 см, и 12 см..

8клас

Отговори: 1 в); 2 б); 3 г) 7 тр. и 22 г.; 4 б); 5 а); 6 б); 7 а); 8 в); 9 г) 0; 10) 9 см.

Кратки решения 1 зад. x2 + 2 = 0 няма решение и следователно решението е само от квадратното уравнение - 3,

1 3

2 зад. От условието намираме, че BD е с 2 см по-голяма от AC ⇨ BD = 9 см. и са диагонали, а страните на MNPQ са средни отсечки в триъгълници от където следва, че P MNPQ = 16 см.

3 зад. Ако с x означим броя на трънките, то гаргите са 3x + 1 Съставяме уравнението 4(x – 2) + 2 = 3x + 1 и намираме, че трънките са 7 и ⇨ гаргите 22.

4 зад. Степенуваме последната цифра на 2008 на 1, 2, 3, 4, и 5 степен и установяваме, че те се повтарят на всеки 4, и са: 8, 4, 2, и 6. Делим степенния показател 2008 : 4 = 502 и понеже няма остатък последната цифра на числото 20082008 е 6.

5 зад. Разлагаме знаменателите на множители 2x(x2 + 1) ; (x – 2)(x + 2) и (x + 3)2 Изразът x2 + 1 > 0 за всяко x следователно недопустомите стойности са 4 т.е. x ≠ 0,±2 и -3 6 зад. Векторите AB→ и CD→ са диагонали на успоредник, а MN е средна отсечка в ∆ADB. Чрез изразяване на сборове и разлики на вектори от чертеж единствен отговор б) ½(BD→ + DA→) не е равен на MN→ по посока, а е равен само по големина (модул).

7 зад. След разлагане на множители уравнението добива вида: 2x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0, т.е. корените са 4 8 зад. След добавяне и изваждане на 2ab и използване формулите за съкратено умножение за трите числа получаваме: A = a + b -

2ab ; B = a + b и C = a – b, от което при а > b следва,че B>A и B >C. Остава да се a+b

сравнят A и C, и за тях съставяме израза A – C. След преобразуването му получаваме: естествени числа следователно A>C т.е отговора е: в) B>A>C 9 зад. След рационализиране на всеки един от знаменателите поотделно се получава:

5+ 2 + 7 − 2 − 7 − 5 =0 10 зад Точка M среда на AB и MN средна отсечка в трапеца ABED ⇨ MN = 11 → 2 точки Точките G и P делят медианата CM на 3 равни части и ако отбележим GH с x от трапеца GCLH изразяваме: PQ =

x+5 →5 точки 2

От трапеца MPQN изразяваме x като средна отсечка

x+5  + 11 : 2 →6 точки  2 

и получаваме уравнението: x =  x = GH = 9 см → 2 точки

Автори: Веселин Марков и Валентина Радославова гр. Ботевград

2b2 > 0 понеже a и b са a+b

КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 г.

9 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех!

Име...........................................................училище..........................................град...................... Зад 1. Кое от уравненията има два различни реални корена? б) – 9х2 + 30х – 25 = 0 в) 14 + 17х – 6х2 = 0 a) 8х2 + 8х +7 = 0

г) 5х2 + 14 = 0

Зад 2. В равнобедрен трапец бедрото е 6 см, а височината му е 3 см. Ъглите на трапеца са: a) 45°,135°,30°,150° ; б) 60°,90°,90°,120° ; в) 60°,120°,120°,60° ; г) друг отговор.

 x 4 + 5 x 3 + 15 x − 9 9  x 3 + 3x 2 − 4 x − 12 + 4  : е равно на: Зад 3.  x 6 + 3x 4 x  x5  1 x x б) в) г) друг отговор. a) x−2 x−2 x+2 Зад 4. Правоъгълник има периметър 36 см. Сборът от лицата на квадратите, построени външно върху страните му е 340 см2. Намерете страните на правоъгълника. a) 7 см и 11 см б) 6 см и 12 см в) 8 см и 10 см г) друг отговор. Зад 5. При какви стойности на параметъра m, уравнението x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 има корени x1 и x2, за които: x12 + x22 = m + 4 a) всяко число б) 5 и 2 в) 1 и 2,5 г) друг отговор. Зад 6. Триъгълник АВС със страни АС = 8 см и ВС = 10 см е вписан в окръжност, като ВС е най-голямата хорда на окръжността. За коя стойност на параметъра а точката с абсциса, равна на радиуса на окръжността, и ордината, равна на дължината на страната АС, е от графиката на функцията f(x) = 3x + a – 1: a) – 4; б) – 6; в) – 21; г) друг отговор. Зад 7. В успоредника ABCD страната AB = 6 см. Точка P лежи на страната CD и CP = 4 см. Ако AB = a и AD = b , то BP е равен на: 1 2 2 б) b + a ; в) b − a ; г) друг отговор. a) b + a ; 3 3 3 Зад 8. Търговец на зеленчуци закупил от производителя домати за 400 лв. Той успял да продаде 80% от доматите на цена с 0,40 лв. по-висока от изкупната, покрил разходите си от 30 лв. и реализирал печалба от 50 лв. Намерете какво количество домати е закупил търговеца и на каква цена. a) 200 кг, 2 лв. б) 400 кг, 1 лв. в) 800 кг, 0,50 лв. г) друг отговор.

2 Зад 9. Ако х е положителният корен на уравнението x + 2 x − 4 = 0 , то стойността на израза x− 3 x− 5 x− 5 x− 2 x− 2 x− 3 е: +3 +5 2 2− 3 2− 5 3− 5 3− 2 5− 2 5− 3 a) 3 б) 2 в) 1 г) друг отговор.

(

(

)( )(

)

) (

(

)( )(

)

) (

(

)( )(

)

)

Зад 10. Скоростта на течението на една река е 3 км/ч. От пункт А за пункт В срещу течението на реката тръгнала моторна лодка. По пътя моторът на лодката се повредил и докато го поправяли лодката се носела по течението на реката. Оказало се, че лодката пристигнала в крайния пункт В с 45 минути закъснение. Да се намери колко минути е продължил ремонтът, ако се знае, че времето за изминаване на разстоянието от А до В е 1,25 пъти повече отколкото времето от В до А.

Отговори и решения-9 клас Отговори: 1-в); 2-г) 30°,150°,150°,30° ; 3-б); 4-а); 5-в); 6-б); 7-в); 8-г) 500 кг, 0,80 лв; 9-б) Зад 1. В уравнението 14 + 17х – 6х2 = 0 коефициентите а и с са с противоположни знаци, следователно дискриминантата му ще е по-голяма от 0, следователно уравнението ще има два различни реални корена. Зад 2. Триъгълник AHD е правоъгълен с катет DH = 3 см и хипотенуза AD = 6 DH 1 см. Следователно = ,откъдето получаваме, че ∠HAD = 30° . Ъглите на AD 2 трапеца са 30°,30°,150°,150°

 x 4 + 5 x 3 + 15 x − 9 9  x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 + 4  : = Зад 3. Преобразуваме  6 4 x 3 x x  x5 +   (x 2 − 3)(x 2 + 3) + 5 x(x 2 + 3) 9  x 2 ( x + 3) − 4( x + 3) x 2 + 5 x + 6 x5 x( x + 2 )( x + 3) x  + =  = = = : .

4 2 4  5 4 2 x (x + 3) x  x x (x + 3) x − 4 (x + 3)(x − 2)(x + 2) x − 2  Зад 4. Ако означим страните на правоъгълника с a и b – 2.(a + b) = 36, a + b = 18 или b = 18 – а. Външно върху страните са построени четири квадрата с лица а2, а2, b2 и b2, т.е 2.(a2 + b2) = 340. Заместваме b = 18 – а и получаваме a2 + (18 – а)2 = 170. След решаване на квадратното уравнение за а получаваме 7 см или 11 см, откъдето следва, че b ще е 11 см или 7 см.

(

)

Зад 5. D = (2m – 3)2 – 4 m2 + 12m = 9, следователно уравнението има два различни реални корена. От формулите на Виет получаваме и Преобразуваме x1 + x2 = 2m − 3 x1.x2 = m 2 − 3m .

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = m + 4 . След заместване получаваме уравнението 2m 2 − 7 m + 5 = 0 , което има решение m1 = 1 и m2 = 2,5 2

Зад 6. ВС е диаметър на окръжността, следователно радиуса на окръжността е 5 см, т.е. за х = 5 f(x) трябва да е 8. Получаваме, че 3.5 + a – 1 = 8, a = – 6 2 BP = BA + AP = −a + AP = −a + AD + DP = −a + b + DC = 6 Зад 7.

1 2 = −a + b + a = b − a 3 3 Зад 8. Ако търговецът е закупил x кг домати по y лв. то x.y = 400. Тъй като продал 80% от доматите на цена с 0,40 лв. по-висока от изкупната, покрил си разходите от 30 и 80 реализирал печалба от 50 лв. получаваме уравнението .x.( y + 0,4 ) = 480 След преобразуването му 100 получаваме x.y + 0,4.х = 600. Заместваме x.y с 400 и намираме х = 500 кг. Тогава y = 400 : 500 = 0,80 лв. Зад 9. Корените на даденото уравнение са

2 и − 2 2 , следователно при х = 2 изразът е равен на 2.

Зад 10. Нека скоростта на лодката е х км/ч. Тогава скоростта на лодката по течението е (х + 3) км/ч, а срещу течението е (х – 3) км/ч. /2 точки/

Ако разстоянието от А до В е s км, то времето за което лодката ще го измине по течението е времето срещу течението е

s часа, а x+3

s s s часа. /2 точки/ Тогава , /3 точки/ откъдето получаваме х = 1,25. x −3 x −3 x+3

= 27 км/ч /2 точки/ Нека времето за ремонта е t часа, т.е. лодката ще се върне на разстояние 3t км. Времето на закъснение ще е сбор от времето за ремонта t и времето за изминаване на 3t км срещу течението със скорост 27 – 3 = 24 3t 3 2 2 км/ч. /3 точки/ Следователно t + = , откъдето получаваме t = . Ремонтът е продължил часа = 40 24 4 3 3 мин. /3 точки/

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 г.

10 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град...................... Зад 1. Стойността на израза

а)

9 ; 2

27 − 12 8− 2 1 б) ; 3

:

54 е: 2 в)

3

; г) друг отговор.

2 а + 3  а3 −1  1 са: Зад 2. Допустимите стойности на израза  2 − : а −4 а −2 а + 2 а) а ≠ ±2 ; б) а ≠ ±2 , 1 ; в) а ≠ ±2 , ± 1, − 3 ; г) друг отговор. Зад 3. Точките M, N и P са среди на страните на ∆ ABC. Ако лицето на ∆ ABC е 8 , то лицето на ∆ MNP е: а) 16; б) 4; в) 2; г) друг отговор.

5 cos α − 7 sin α Зад 4. Ако за ъгъл α е изпълнено = 2 , то tgα е равен на: 4 sin α − 2 cos α 3 5 а) ; б) ; в) 2; г) друг отговор.

5 3 Зад 5. В ∆ ABC ∠АСВ = 90 0 ъглополовящата AL дели катета BC в отношение 1:2. Големината на ∠ВАС е: а) 600; б) 300; в) 450; г) друг отговор. Зад 6. Шестцифреното число 52a7b8 се дели на 12. Най-голямата възможна стойност на a + b е: а) 12 б) 13; в) 14; г) друг отговор.

2 Зад 7. Нека f ( x ) = x − 4 . Изразът f ( f ( x )) е тъждествен на :

а) x 4 − 4 ; б) (x 2 − 4 ) ; г) x 4 − 8 x 2 + 12 . в) x 2 − 4 ; Зад 8. Графиката на функцията f ( x ) = ax 2 + bx + c минава през точките с координати (1;3) и (0;4). Стойността на израза a + b − c е: а) -5; б) не може да се определи; в) 4; г) друг отговор.

2 Зад 9. Нека х1 и х2 са корени на уравнението x − 7 x + 1 = 0 . Стойността на израза A = x1 + x2 е: 2

а) 3 5 ;

б)

5;

в)

7 ± 45 ;

г) друг отговор.

Зад 10. Равнобедрен трапец е описан около окръжност с радиус 3 . Диагоналите на трапеца разделят средната основа на отсечки в отношение 1:2:1. Намерете страните, ъглите и лицето на трапеца.

Отговори 10 клас: 1

2

3

4

5

Б

Б

В

А

А

6 Г 17

7

8

Г

А

9 Г 3

Кратки упътвания и решения: 2 Зад 3.. Двата триъгълника са подобни с коефициент на подобие k = 2. S ABC : S MNP = k = 4

Зад 5. От свойството на ъглополовящата AC:AB = CL:LB = 1:2 ⇒ ∠АВС = 30 0 Зад 6. Очевидно числото трябва да се дели на 3 и на 4. От признаците за делимост 5 + 7 + а + 2 + b + 8 = 22 + a + b се дели на 3 ⇒ a + b = 2, 5, 8, 11, 14, 17 (a + b ∈ [0;18]) . За да се дели на 4, b може да е 0, 4 или 8. Максимална стойност се достига при а = 9, b = 8.

(

)

Зад 7. f ( f ( x )) = ( f ( x )) − 4 = x 2 − 4 − 4 = x 4 − 8 x 2 + 16 − 4 = x 4 − 8 x 2 + 12 . Зад 8. От графиката следва, че f (1) = 3, f (0 ) = 4 ⇒ a + b + c = 3, c = 4 ⇒ a + b = −1 ⇒ a + b − c = −5 .

2

2

Зад 9. Очевидно корените са реални положителни числа, D = 45,

x1 + x 2 = 7 > 0 x1 x 2 = 1 > 0

.

I начин. A 2 = x1 + x 2 + 2 x1 x 2 = 9, A > 0 ⇒ A = 3 ; II начин.

x1, 2

7 ± 3 5 14 ± 6 5 3 2 ± 2.3. 5 + = = = 2 4 4

( 5)

2

2

3± 5   ⇒ =   2  

x1 + x 2 =

3+ 5 3− 5 + =3 2 2

Зад 10. Означаваме трапеца ABCD ( AB║ CD, AB > CD). Нека отсечките, на които диагоналите разделят средната основа са x, 2x, x. От средните отсечки в триъгълниците ABD и ADC получаваме AB = 6x, CD = 2x. От свойството на описания четириъгълник ⇒ AB+DC = AD+BC ⇒ BC = AD = 4x. Нека DH е височина ⇒ AH = (AB ─ CD)/2 = 2x и от свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл 300 ⇒ ∠ADH = 30 0 ⇒ ∠BAD = 60 0 . Ъглите на трапеца са 600, 600, 1200 и 1200. DH = 2r = 2 3 . От Питагорова теорема за триъгълник ADH получаваме AD 2 = AH 2 + DH 2 ⇒ 16 x 2 = 4 x 2 + 12 ⇒ x = 1 . Тогава страните на трапеца се AB = 6, CD = 2, AB + CD AD = BC = 4. Лицето S = DH = 8 3 .

2

Стефчо Наков Монтана

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008 г 11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех!

Име...............................................................................училище..........................................град............................

1 зад. Ако общият член на една редица е an А) −2, −1, 0,1 ;

Б) −2, 0, −2, 0 ;

( −1) =

n

2

−3

, то първите четири члена на тази редица са:

В) −2, −1, −2, −1 ;

Г) друг отговор.

x4 −1 2 зад. Броят на целите числа, които са решения на неравенството 2 ≤ 0 е: x − 4x + 3 А) 3; Б) 4; В) 5; Г) друг отговор.

3 зад. За аритметичната прогресия {an } е дадено, че a5 = 4a3 и a2 a6 = −11 . Да се намери a4 . А) ±3 ;

Б) ±4 ;

Г) друг отговор.

В) ±5 ;

4 зад. Ако косинусът на един от ъглите на равнобедрен триъгълник е равен на −0, 6 , а радиусът на описаната му окръжност е равен на 5, то бедрото му е равно на: А) 3 2 ; Б) 2 5 ; В) 8; Г) друг отговор.

1 1 1 1 43 = .

5 зад. Да се намери естественото число n от равенството 1 − + − + ⋯ + n 2 4 8 (−2) 64 А) 6; Б) 7; В) 8; Г) друг отговор.

6 зад. Скица на графиката на функцията f ( x) = 2 x 2 + bx + c е показана на чертежа. Най-малката стойност на f ( x) е: А) −2 ;

Б) −4 ;

В) не може да се определи;

Г) друг отговор.

7 зад. Трапец е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако диагоналът му сключва с основата ъгъл α , то да се намери синуса на ъгъла между бедро и основа. Б) sin α cos α ; В) 2 sin α cos α ; Г) друг отговор. А) 1 − cos α ; 8 зад. Нека lg 2 = a и lg 3 = b . Да се изрази log 4 90 чрез a и b .

1 2 1 b 1 + 2b А) + ; Б) + ; В) ; a b 2 a 2a

Г) друг отговор.

9 зад. На 11 топки са написани числата a1 , a2 ,… , a11 , получени по правилото a1 = 1 и an +1 = 2an + 1 . От тях са избрани случайно три топки. Каква е вероятността на точно две от тях да е написано число, което се дели на 3?

3 24 2 А) ; Б) ; В) ; Г) друг отговор.

11 121 33 10 зад. Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията: а) f ( x) = 3sin 4 x + 2 cos 2 x ;

б) g ( x) = log 0,5 (4 − 3sin 2 x − 2 | cos x |) .

Отговори: 1 2 3 В

А

В

4

5

6

7

8

Б

А

Г -8

Г tgα

9 Г

В

4 11

10 a) НМС=5/3, НГС=3 …………… 7 т. б) НМС= −1 , НГС= log 0,5 2 / 3 .......... 8 т.

Решения и упътвания: 10 зад. a) f ( x) = 3sin 4 x + 2(1 − sin 2 x) = 3sin 4 x − 2sin 2 x + 2 . ..................................................................2 т. Полагаме sin 2 x = t и разглеждаме квадратната функция f (t ) = 3t 2 − 2t + 2 за t ∈ [0;1] ..........3 т. НМС= f (1/ 3) = 5 / 3 , НГС= f (1) = 3 ................................................................................................2 т. б) g ( x) = log 0,5 (4 − 3sin 2 x − 2 | cos x |) = log 0,5 (3cos 2 x − 2 | cos x | +1) ...........................................2 т. Полагаме | cos x |= t и разглеждаме квадратната функция h(t ) = 3t 2 − 2t + 1 за t ∈ [0;1] ...........2 т.

2 / 3 ≤ g (t ) ≤ 2 ⇒ log 0,5 2 / 3 ≥ g ( x) ≥ log 0,5 2 ..................................................................................3 т. НМС= −1 , НГС= log 0,5 2 / 3 ...............................................................................................................1 т.

Павлин Цонев ptsonev@yahoo.com 0885108241

Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 13.12.2008г.

12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град...................... ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки: 3 − 2x 1 зад. Решенията на неравенството ≥ 2 са от интервала: 3x − 2 7 2 7  2 7  7  а)  ;  б)  ;  в)  ;+∞  г)  − ∞;  8 3 8  3 8  8  2 2 + за x = 3 + 2 и y = 3 − 2 е равна на: 2 зад. Числената стойност на израза 2− x 2− y а) − 8 б) − 4 в) 4 г) друг отговор 3 зад. Решенията на уравнението 3x − 5 − 4 − x = 1 са: 3 7 а) 3 б) 3; 1 в) г) друг отговор 4 4 4 зад. Корените на уравнението 3 ⋅ 5 2 x −1 − 2 ⋅ 5 x −1 − 0,2 = 0 са: lg 3 г) друг отговор а) 2; 4 б) 1; 2 в) lg 5 4 3 + =3 x + 3 y +1 стойността на xy е: 5 зад. За системата 1 5 7 − =− x + 3 y +1 6 1 а) 2 б) − 2 в) г) друг отговор 6 6 зад. Корените на уравнението lg x 2 − 6 x + 7 − lg( x − 3) = 0 са: а) 5; 2 б) 2 в) 5 г) друг отговор 7 зад. Ако в правоъгълния триъгълник хипотенузата е с 4 сm по-голяма от единия катет, а другия катет е с 2 сm по-малък от хипотенузата, то дължината на по-големия катет е равна на: а) 10 cm б) 6 cm в) 8 cm г) друг отговор 8 зад. Ако сборът от лицата на два външно допиращи се кръга е 90π cт 2 , а разстоянието между центровете им е 12 ст , то диаметрите на тези кръгове са равни на: а) 18 ст и 6 ст б) 9 ст и 3 ст в) 10 ст и 14 ст г) друг отговор 2 9 зад. Ако x1 , x 2 са корени на уравнението x − 3 x + a = 0 , y1 , y 2 са корени на уравнението y 2 − 12 y + b = 0 , ( a, b - параметри) и x1 , x 2 , y1 , y 2 образуват растяща геометрична прогресия, то a и b са равни на: а) − 288; 4608 б) 2; 32 в) 1; 16 г) друг отговор 10 зад. Ако две страни на един триъгълник са равни съответно на 35 см и 14 см, а ъглополовящата на ъгъла между тях е 330 см, то третата страна е равна на а) 28 см б) 14 см в) 35 см г) друг отговор 11 зад. Броят на трицифрените числа с различни цифри, които могат да се образуват от цифрите 1, 2, 5, 6, 7, 8 е равен на: а) 80 б) 100 в) 120 г) друг отговор 12 зад. Ако малката основа и височината на равнобедрен трапец имат дължина 3 cm , а острите ъгли на

(

)

трапеца са по 60 0 , то периметърът на трапеца е равен на: а) 2 cm б) 3 cm в) 3 cm

г) друг отговор

ВТОРА ЧАСТ Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише. Задачите се оценяват с по 3 точки:  π π 1 зад. Да се намерят корените на уравнението на уравнението 3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 за x ∈  − ;  .  2 2 Отговор:.................................................

2 зад. Във вътрешността на ъгъл с мярка 600 е взета точка, която се намира на разстояния 7 cm и 2 7 cm от раменете на ъгъла. Намерете разстоянието от точката до върха на ъгъла. Отговор:.................................................

ТРЕТА ЧАСТ На следващите три задачи трябва да се опише решението. Задачите се оценяват с по 10 точки:

x

x

1 зад. Да се реши уравнението  5 + 2 6  +  5 − 2 6  = 10 .     1 2 2 = 0 , където p е цяло число и x1 + x 2 = k .

2 Да се намерят всички стойности на параметъра p , за които корените на уравнението x 2 + 2 x + k = 0 са цели числа.

2 зад. Нека x1 , x 2 са корени на уравнението x 2 + ( p + 1)x +

3 зад. Ако диагоналите на трапец имат дължини съответно 3 cm и 5 cm, а отсечката, съединяваща средите на двете му основи има дължина 2 cm, намерете лицето на трапеца..

Кратки решения и отговори ПЪРВА ЧАСТ 1зад. Отг. б) 2зад. Отг. в) 3зад. Отг. а) 4зад. Отг. г) 0; 5зад. Отг. б) 6зад. Отг. в) 7зад. Отг. в) 8зад. Отг. а) 9зад. Отг. б) 10зад Отг. а) 11зад. Отг. в) 12зад.Отг. г) 6 + 2 3

ВТОРА ЧАСТ  π π

1зад. 3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 за x ∈  − ;   2 2 След преобразуване получаваме уравнението 3 cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x(3 cos 2 x − 7 ) = 0 .

7 π Следователно cos 2 x = > 1 , т.е. това уравнение няма решение и cos 2 x = 0 ⇒ x = ± 3 4 2зад. Нека т. О е върхът на ъгъла, т. М е точката от вътрешността, а т. А и т. В са петите на перпендикулярите от т. М до раменете на ъгъла, като MA = 2 7 , MB = 7 . Около ОАМN може да се опише окръжност, която има диаметър OM. От косинусова теорема за триъгълник AMB намираме AB 2 = AM 2 + BM 2 − 2 AM ⋅ BM ⋅ cos120 0 = 49 . След. AB = 7 cm. От синусова теорема за същия 14 3 AB триъгълник = 2 R , от където OM = 2 R = 0 3 sin 120 ТРЕТА ЧАСТ x x 1  5 + 2 6  +  5 − 2 6  = 10 . Тъй като , получаваме 1зад.

5−2 6 =     5+2 6 x x 1  5 + 2 6  +  5 + 2 6  = y > 0 решаваме уравнението = 10 . След полагането x      5 + 2 6    1 y + = 10 и получаваме y1, 2 = 5 ± 2 6 > 0 След заместване в полагането получаваме x1, 2 = ±2 y

x1 + x 2 = −( p + 1) 1 2зад. x + ( p + 1)x + = 0 . От формулите на Виет получаваме . Тогава 1 2 x1 ⋅ x 2 = 2 2 2 2 2 2 x1 + x 2 = (x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = ( p + 1) − 1 = k , от където k = p + 2 p . За уравнението x 2 + 2 x + k = 0 2

[

]

получаваме x3, 4 = −1 ± 1 − k = −1 ± 1 − p 2 − 2 p , където 1 − p 2 − 2 p ≥ 0 , т.е. p ∈ − 1 − 2 ;−1 + 2 . Тъй като по условие p е цяло число, целите числа в този интервал са − 2; − 1; 0 . От тях само за − 2 и 0 корените на x 2 + 2 x + k = 0 са цели числа.

3зад. Нека ABCD ( AB // CD ) e трапец, като AC = 5; BD = 3; PN = 2 , където Р е среда на DC, а N е среда AB + DC AB + BK h, S AKC = h , т.е. на АВ. Построяваме т. K ∈ AB, CK // DB . Тогава S ABCD = 2 2 S ABCD = S AKC . Построяваме CL // PN , L ∈ AB . Тогава CL = PN = 2 . Продължаваме CL до т. М така, че AB CD LM = CL . AL = , т.е. т. L е среда на АК и S CMK = S ACK = S ABCD . Тъй като знаем страните на + 2 2 триъгълник CMK (той е правоъгълен), то можем да намерим лицето му. Отг. 6 кв.cm

Section “Iztok” – UBM Christmas Competition – 13.12.2008 11-12 grade Time - 120 minutes Rules: For each problem from 1 to 60 you receive1 point and there is only one correct answer.

Organizing committee wishes a successful work!

1. If log10(x+4)+log10(x–4)=1, then x= A) -2.45 B) 5.1 C) 5 D) 2.45 E) 1.25 2. An equation for the line containing the point (-2;1) and parallel to 4x-2y=3 is A) y=2x+5 B) y=2x–1 C) y=x–2 D) y=0.5x E) y=2x–2 1400 3. Point O is the center of the circle in the figure. The measure of arc XB is 1/3 the measure of arc AB, and the measure of arc YC is 1/2 the measure of arc DC. If the measure of ∠AXB is 140, then the measure of ∠DYC is A) 120 B)140 C)135 D) 145 E)137.5 4. If f(a)=2a, then log2 f(a)= A) 2 B) f(a) C) a D)1/2a E) a2 5. Which of the following is the set of all points in space that are equidistant from two given X points?

A) A sphere B) An ellipse C) A parabola D) A plane E)A line 6 A 6. In the figure, both ∠XAB and ∠XYZ are right anglеs, XB=6, BY=2, and AB=4. The ratio of (area of ∆XAB):(area of ∆XYZ) is 4 B A) 3/5 B) 5/16 C) 9/25 D) 4/5 E) 3/25 2 7. The range of f(x)=-0.25sin4x is Z Y A) –.25≤y≤0 B) –.25≤y≤.25 C) 0≤y≤.25 D) –1≤y≤1 E) –4≤y≤4 8. Three planes, E, F, and G, intersect so that each is perpendicular to the other two. A segment AB is positioned so that the length of its projection on the intersection of E and F is 1, on the intersection of E and G is 3. What is the length of AB? A) 3.16 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3.46 9. A bag contains seven marbles, three red and four green. If three marbles are drawn from the bag at random, what is the probability that all three will be red?

A)3/35 B) 3/7 C) 1/35 D) 3/4 E) 3/7 10. The values of m for which the following has no real value defined

A){–2;–1} B) {–1;2;–2} 11. If log10(x-5)>0, then A) x>5 B) x>6

1 m −m−2 m2 − 4 2

C) {–2;2}

D) {–1;2}

E) {1;–1;2;–2}

C) x>1

D) x>0

E) x<5

12. If one solution for x +2x +x+2 is i, where i = − 1 , which of the following sets contains all other solutions?

A) {–i} B) {–i;2} C) {–i;–2} D) {–2;2} E) {2} C 3 13. If 216 ×1728 × 5832 = x , what is the value of x ?

A) 576 B) 1344 C) 784 D) 3072 E) 1296 14. In the figure DF||AB, BC⊥AB, BC=5, BG=4, BA=12, DA=3, CE= E F D A) 5.44 B) .54 C) 1.09 D) .42 E) 4.93 15. The axis of symmetry of y= –3x2+12x–9 is A B A) x=3 B) x= –3 C) x=6 D) x= –3 E) x=2 G 16. If z=7–24i, then |z|= A) 5 B) 17 C) 31 D) 168 E)25 3

2

a −1 − b −1 = a −2 − b −2 b+a ab B) C) ab b+a

17. The expression A)

b−a ab

D)

a2 − b2 a−b

E) a − b

18. The radian measure of an angle of 160 is A) .0889 B) 50.27 C) .2793 D) 35.34 E) 11.25 19. For what real values of x and y is the following equation x–y+2i=6+(x+y)i true? A) (4;–2) B) (1;2) C) (2;4) D) (3;1) E) (3;2) 20. If x>0 and log3x27=1, then x= A) 9 B) –1/3 C) –3 D) 1/3 E) 3

21. Which of the following is a point in the intersection of x2+y2<4 and x–3y<–3 A) (0;1) B) (1;–1) C) (1;0) D) (–1;1) E) (0;0) 22. If n is the number of any term, the n-th term of the geometric sequence 2 2 , 8, 16 2 , ... is

( )

2

( )

n

( )

n +1

( )

n −1

B) n 2 C) 2 2 D) 2 2 E) 2 2 A) n 2 23. Which of the following is a point of intersection of the graphs of y=0.5sin2x and y=0.5?

B) (600;0.5) C) (900;0.5) D) (1800;0.5) E) (3600;0.5) A) (450;0.5) 24. The graph of xy=0 is A) a point B) a line C) a pair of intersecting lines D) a pair of parallel lines E) a hyperbola 25. If 40 percent of a 20-gallon solution is alcohol, how many QUARTERS of water must be added to make a new solution that is 25 percent alcohol?

A) 60 B) 48 C) 36 D)24 E) 12 26. If y2–9x2=25, then the maximum negative value of y is A) –25 B) –1 C) –5 D) –5/3 E) The maximum negative value cannot be determined 27. Which of the following is of x2 – (y+1)2?

A) x–y-1 B) y+1 C) x–1 D) x–y E) x–y +1 0 45 28. If O is the center of the circle in figure, then the degree measure of minor arc CD is A) 1800 B) 450 C) 900 D) 1350 E) 750 0 30 29. If p and q are the coordinates of points on the number line, the distance between the O points will always be C A) p–q B) q–p C) –(p–q) D) | p–q| E) p 2 + q 2 D 30. If f(x)=|x–1| and g(x)=1–x2, then 3f(–2)+4g(–3)= A) -23 B) -5 C) 13 D) 32 E) -13 31. Which of the following is the degree measure of an angle in standard position and co-terminal with an angle of -80?

I. 3520 II. 80 III. -3680 A) I only B) I and III only C) II only D) II and III only E) I, II and III 32. Assuming that a and b are both NEGATIVE numbers, in which quadrant does the point (a;–b) lie?

A) I B) II C) III D) IV E) Cannot be determined.

33. What is the radian measure of a central angle that cuts off an arc π inches long on a circle of radius 2 inches? a) 1/2 B) π/2 C) π/4 D)π E) 2 34. Which of the following is equal to y1/2(y1/2+y–1/2)?

A) y+1 B) y C) 1 D) 0 E) 1/y 35. If log3(1+y)2=2, then y= A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 36. Which of the following is equal to (tanθ)(cscθ)?

B) cosθ C) secθ D) cscθ E) cotθ A) sinθ 37. If a solid sphere of radius 1 foot is melted and recast to form spheres of radius 1 inch, how many of these smaller spheres can be made?

A) 12 B) 36 C) 144 D) 432 E) 1728 38. The average (arithmetic mean) score of the two forwards on a basketball team was 21 pts. The average scores of the remaining three players were 11. What was the average score of all 5 players on the team?

A) 15 B) 16 C) 5 D) 15.5 E) 14.5 39. In ∆ABC, if AB=6, AC=4, and the degree measure of ∠A is 30, the area of the triangle is A) 2 B) 3 C) 6 D) 12 E) The area cannot be determined 40. If loga=.4771 and logb=.3010 then logab.

A) .7781 B) .1761 C) .6532 D) .6990 E) .5229 41. What is the number of square inches in the area of the base of a right circular cone with a volume 40π cubic inches and a height of 6 inches?

A) 40π B) 20π C) 10π D) 5π E) 40π 42. In the figure, line AB is tangent to the circle at T. Radius ED has length 6.

TE⊥CD and ray ET bisects ∠AEB, AB= A) 6 B) 5 C) 12 D) 9 E) Cannot be determined 43. Which of the following is the equation of a line that is neither parallel nor perpendicular to the line defined by y+x=0?

A) y=x B) y=x+12 C) y–x+2=0 D) 2y–2x=1 E) 2y=4x+1 44. If t can represent any positive integer, then A) t is always irrational B) t is not always real C) t2 is always an even integer

D) 2t+1 is always an odd integer E) t/3 is never an even integer 45. If a point X lies in the interior of ∆ABC and ∡BAC > 90° in the figure, then which of the following must be true?

A) BX<BA B) BX>BA C) BX=BA D) BX≤BA E) BX<BC 46. If the measures of the exterior angels of a certain polygon are added and this sum is divided by the number of sides of the polygon, the results is 18. Now many sides does the polygon have? a) 36 B) 24 C) 20 D) 12 E) 10

 

47. What is the middle term in the expansion of  2 x −

6

1  y ?

2 

A) –20x3y3 B) –80x2y4 C) –20x2y4 D) –80x3y3 E) –20x4y4 48. Which of the following completely describes the symmetry of {(x,y):|x|=2}?

A) x-axis only B) y-axis only C) x-axis and y-axis only D) Origin, x-axis and y-axis E) Origin only 49. The number of oranges in 8 crates of 24 each is the same as the number of oranges in A) 4 crates of 48 each B) 2 crates of 36 each C) 6 crates of 12 each D) 3 crates of 75 each E) 7 crates of 410 each 50. If D=R.T, then D=6 and T=.5, R= A) 12 B) 3 C) 6 D) 6.5 E) 15 51. If A is an angle in standard position, sinA is positive and cosA is negative, in what quadrant is the terminal side of angle A? A) I B) II or III C) II D) IV E) III or IV 52. If

x+5 x , then x= = x −1 x − 5

A) –5 B) 25 C) 0 D) 1 E) 10 53. If 5x-4=2x+8, what does 3x=?

A) 12 B) 4 C) 8 D) –4 E) 2 54. If you are given that each of two angles of a triangle is acute, what conclusion can you draw about the third?

A) It is obtuse B) It is a right angle C) It is acute D) It cannot exist since the triangle is impossible E) It can have any measure between 0 and 180 55. If the area of the square in figure is 9, then the area of the circle is A) 28.3 B) 9.4 C) 7.1 D) 4.7 18.8 56. The graph of one cycle of y=3sin(.5x) is given in the figure. What is the x-coordinate of P? A) 900 B) 1800 C) 3600 D) 7200 E) 10800 P 57. Which of the following is the general term on the sequence 11, 9, 7, …, where n is the number of the term?

A) n B) 11+n C) 11–2n D) 11-2(n–1) E) n–2 58. The minimum value of f(x)=x2+x+4 is A) 2 B) –2 C) 4 D) 15/4 E) 17/4 59. If cosx=-.9287, then cos(x+1800)= A) –.9287 B) .9287 C) .0713 D) –.0713 E) –1.8574 60. If DE is parallel to AB, and the length of the sides are as shown in the figure, what is the length of DE? A) 3 B) 4/5 C) 1.25 D) 2.5 E) 2 C

2

E

D 2

A

5

B

Отговори: 1B 11B 21C 31B 41B 51C

2A 12C 22C 32B 42E 52B

3B 13E 23A 33B 43E 53A

4C 14E 24C 34A 44D 54E

5BD 15E 25B 35B 45E 55C

6B 16E 26A 36C 46C 56D

7B 17C 27A 37E 47A 57D

8A 18C 28C 38A 48D 58D

9C 19A 29D 39C 49A 59B

10B 20A 30A 40A 50A 60D

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 11 21 31 41 51

2 12 22 32 42 52

3 13 23 33 43 53

4 14 24 34 44 54

5 15 25 35 45 55

6 16 26 36 46 56

7 17 27 37 47 57

8 18 28 38 48 58

9 19 29 39 49 59

10 20 30 40 50 60

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Име .......................................................................Клас..................................Училище................................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Решения и точкуване на задачите за 1-ви клас Зад.1 Отг.: 2,3,5,6,8,9 по 0.5 на число общо 3т. Зад.2 Отг.:5- 3т Зад.3 Отг.: (=,-);(+,=);(+,=) по 1т., общо 3т. Зад.4 Отг.: <,=,<,>,< по 1т. На верен знак, общо 5т Зад.5 Отг.:4,2,1,0,3- по една точка на вярно число, общо 5т. Зад.6 Отг.: триъгълници-6;кръгове-3, квадрати-6- по 1т; 6+3-6=3-2т; Общо 5т Зад.7 Отг.:5-3+3-2=3 за всяко животно вярно преброено по 1т и 1т за вярно пресмятане. Общо 5т Зад.8 Отг.:(7)-2т;(3)-2т.;(4)-2т.; (7-3+4=8)- 1т.; общо 7т Зад.9 Отг.: (5,1,3,3,4,0);(1,3,5,4,4,2);(3,1,0,4,5,2); (0<2=2)

6 + 2 3

-

4 3т + + + 1 3т +

+ 4

=

=

5

9

-

5 +

=

7

3 -

=

0

63т = 1 =

-

2

=

71т

Общо 10т 2 клас Отговори и решения: Зад.1 а), Зад.2 б), Зад.3 в), Зад.4 г) 4, Зад.5 а), Зад.6 б), Зад.9 а) Зад. 10 Дължината е 11 метра, а ширината 90 дециметра=9 метра. ( 1 точки) Обиколката на правоъгълника е Р= 11м. + 9 м. + 11 м. + 9м. = 40 метра ( 5 точки) За ограждане са необходими два реда тел т.е. 80 метра ( 2точки) Вратата е 30 дециметра=3 метра (1 точка)

Зад.7 в),

Зад.8 г) 7,

Общо за вратата 6 метра (2 точка) От всичката тел е необходимо да махнем тая от вратата т.е. 80м.- 6 м.= 74 метра тел ( 4 точки) 3 клас 1 зад. – а , 2 зад. – б , 3 зад. – в , 4 зад. г – 72 , 5 зад. – б , 6 зад. – а , 7 зад. – в , 8 зад. – б , 9 зад. г – 5 , 10 зад. 21 РЕШЕНИЯ: 1 зад. (26+30)-18=(100- )+20. Отг.: 82 2 зад. Сборът от двете страни на всяка табелка е равен на разстоянието между селата. Отг.: 15 3 зад. Всяко следващо число в редицата се получава от предходното след умножение с 2 и изваждане на 1 от полученото произведение.Така следващите две числа в редицата са 129 и 257. Отг.: 386 4 зад. Двете последователни числа, които отговарят на условието са 71 и 72. Отг.: 72 5 зад. Сборът на едно двуцифрено и две едноцифрени числа не надвишава 117. С=1 , А=9 ,В=6 . Отг.: 6 6 зад. Разрязваме четирите колелца от едната верижка и с всяко от тях свързваме останалите 5 верижки. Отг.: 4 7 зад 5 големи торти = 10 малки торти. 5големи + 3малки торти струват колкото 10+3=13 малки (платил Прасчо ).

3 големи торти = 6 малки торти . 5 малки + 3 големи торти струват колкото 5+6=11 малки (платил Мечо Пух ). Прасчо платил 2 малки торти повече.20:2 =10лева струва 1 малка торта. 2.10=20 лева струва голямата торта. Отг.: 20 8 зад. 48:2 = 24м е обиколката на всяка от фигурите. 24:3 = 8м е страната на триъгълника. 24:4 = 6м е страната на квадрата.

8 – 6 = 2м . Отг.: 2 9 зад. Най-малка стойност има тази буква, към която има само знаци по-малко.В=1.Зачертаваме всички знаци към намерената буква.Следващата буква, изпълняваща казаното е Б. Б=2 и т.н. Д=3, Е=4, И=5, З=6, Ж=7, Г=8, А=9. Отг.: 5 10 зад. 24 : 2 = 12 жени слизат и 12 мъже слизат ( по 1 т.). 37 – 12 = 25 жени остават в тролейбуса (1 т.).

16 – 7 = 9 жени се качват (2 т.). 25 + 9 = 34 жени в тролейбуса (2 т.). 34 – 18 = 16 мъже в тролейбуса накрая ( 3 т.) . 16 – 7 = 9 мъже( 3 т.) .

9 + 12 = 21 мъже първоначално в тролейбуса (2 т.) Отг.: 21 4 клас ОТГОВОРИ: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

а

Б

Б

в

г 10

в

а

г9

б

Решения: 1 зад. 636 : 6 − 4 − 3.15 + 5 = 106 − 4 − 45 + 5 = 102 − 45 + 5 = 57 + 5 = 62 2 зад. 2416375 3 зад. a = 187 b = 187 - 25=162

c = 187 +88=275 P=187+162+275=624 4 зад. ДКАН, НАКД – до Катя 5 зад.

5+4 общо 9 с ягода и малина; десетата е с карамел 6 зад.

8 разрязвания – 9 лентички 360:9 = 40 7 зад.

11 тетрадки - +2 15 тетрадки - -10 Следователно 4 тетрадки – 12 лв.

1 тетрадка – 3 лв.

11.3 +2 =35 лв.

8 зад.

2 кг киви – 6 кг мандарини – 9 кг портокали 9 зад. Цифрата на единиците – 16 Цифрата на десетиците – 20 10 зад. Разделяме фигурата на : правоъгълник 8*4 – броим квадратите 32 квадрат 3*3- квадратите са 9 правоъгълник 4*3- квадратите са 12 Общо - 53

5 клас Отговори: 1- в; 2- б ; 3-а; 4- г 45,5; 5- в; 6- г – 25 км; 7- а; 8- г-четвъртък; 9- б. Решения: 1 зад. Преобразуваме: 19.(20 − 18) + 17.(18 − 16) + 15.(16 − 14) + 13.(14 − 12 ) + 11.(12 − 10) =

= (19 + 17 + 15 + 13 + 11).2 = 75.2 = 150 .

2 зад. 5+1,5=6,5 моркова на обяд; 119:7=17 моркова дневно; 5+6,5=11,5; 17-11,5=5,5 моркова на вечеря.

3 зад. Ако числата са х и у, то х + у = 33,6 и х = 3,2. у т.е.е 3,2. у + у = 33,6 и х =25,6 у = 8.

4 зад. (97,2 : (26,4 : 4 − 4,2)) : 0,9 + 0,556 : 1,112 = (97,2 : 2,4 ) : 0,9 + 0,5 = 40,5 : 0,9 + 0,5 = 45 + 0,5 = 45,5 5 зад. 10 + 3.10 = 40 лв 6 зад. Салът се движи по течението и за 1 час изминава а км ( скоростта на течението). Понеже 21 < 25, моторната лодка се движи срещу течението и за 1 час изминава 25 – а км. Търсеното разстояние е 25 – а+а = 25 км.

7 зад. a.b = 192 ⇒ (a + 18).

⇒ 18.b = 3.192

b = 192 ⇒ (a + 18).b = 4.192 ⇒ a.b + 18.b = 4.192 4

b=32

a=6

⇒ 192 + 18.b = 4.192

a + b =6 +32 = 38.

8 зад. Нека дните на месеца са:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31. Ако в един месец 3 недели са на четни дати ( т.е. през 14 дни), те могат да бъдат само на 2-ро, 16-то и 30-то число. След като 16-то число е неделя, 20-то число от месеца е четвъртък.

9 зад.

(x − 1y,2).3,7 = 2,22 ⇒ x − 1y,2 = 0,6 ⇒ x = 1y,2 + 0,6

от x > 11,8 ⇒ 1y ,2 + 0,6 > 11,8 ⇒ 1y,2 > 11,2 стойност на y = 2,3,4,5,6,7,8,9 . Най-малката тези цифри е 2.

това неравенство е изпълнено за

10 зад. Нека теглото на доставките е a, b, c, d, e. Тогава:

a + b = 6 (1) d + e = 4 (4 ) по 1 т. b + c = 6,75 (2 ) c + d = 5,75 (3) 2 т. a + c + e = 8 (5) От (1) и (2) ⇒ c − a = 0,75 ⇒ a = c − 0,75 2 т. От (3) и (4) ⇒ c − e = 1,75 ⇒ e = c − 1,75 2 т. Заместваме в (5) c − 0,75 + c + c − 1,75 = 8 ⇒ 3c = 10,5 ⇒ c = 3,5 3 т.

От (2) b=3,25, от (3) d=2,25, от (1) a=2,75,

от (4) e=1,75. по 0,5 т.

6 клас Отговори на задачите за 6 клас: 1б; 2г (- 81,6);3 б; 4а; 5 в; 6 г(57год); 7 в; 8 а; 9г(42) Зад. 10 . Всички присъстващи са 90, а 18 от тях обичат математика, но не изучава английски език? Кратки решения Зад. 1. 2,008 – 0,008.( 412: 220 + 26 + 22 .5)=2,008-0,008(224:220+64+20)=2,008-0,008(24+84)=2,0080,008.100=2,008-0,8=1,208

3 0,6.х − 5 .х 5 = 408 : 5.2 ; Зад. 2.

1 2 2

(0,6 − 5,6).х = 81,6.2 ; 2,5

Зад. 3. Sтрапец = ((30+12).20):2 = 420 см2; Sромб=

-2х =163,2 ; х = -81,6 ⇒

2 .420 = 280 см2 ; а.14= 280; а = 20 см ; Р = 80 см 3

Зад. 4. Том прави една обиколка за 12.60:5= 144 сек., а Джери за 10.60:3 =200 сек. НОК(144;200)= 3600сек. След 3600 секунди Том и Джери ще преминат п едновременно пред старта. Тогава Том ще е направил 3600 : 144= 25 обиколки, а Джери – 3600:200 = 18 обиколки. Следователно сумата от обиколките им е 25 + 18 = 43. Зад. 5. І работник е извършил 40 % , остават 60 %. ІІ работник остават 35%.

1 60 5 25 . + = = 25% . Тогава за третия 3 100 100 100

Зад. 6 . І случай. Нека баба Марина е на х5 години. Тогава x5 + x + 5 = 69 ⇒ няма решение. ІІ случай. Нека баба Марина е на 5 x години. От 5 x + x + 5 = 69 ⇒ х = 7. Следователно баба Марина е на 57 години.

Зад. 7. 41004 = 22008 ⇒ 32008 > 22008 ; 25251 = 5502 ⇒ 15502 >5502; 41004=16502 >5502 ⇒ 41004>5502=25251. Най-голямото число от редицата е 32008 ,а най-малкото е 25251. Произведението 25251. 32008 = 5502 . 34(502)=5502 . 81502=405502 Зад. 8 . Скоростта на лодката по течението е 144: 12 = 12 км/ч ⇒ 12 . 3 = 36 км е разстоянието, което изминава за 3 часа по течението..Тогава 36 : 4 = 9 км/ч е скоростта срещу течението ⇒ скоростта в спокойна вода е (12+9):2 = 10,5 км/ч. За 12 часа ще измине 12 . 10,5 = 126км. Зад.9. Всички джуджета едновременно за 35 минути ще подковат по 5 крака и така ще подковат 35 крака. Остава да се подкове един крак за което са необходими 7 минути и ще бъде подкован от едно джудже, а другите ще почиват. Следователно за подковаването на елените са необходими 35+7= 42 мин. Един вариант на подковаването им е: а б в г д е ж з и 1 2 3 4 5 6 7 2 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 8 9 1 2 3 6 7 8 9 1 Зад .10. Нека х са всички присъстващи, тогава обичат математиката, а 63 − на уравнението

80 50 30 х− х= х изучават английски език ,но не 100 100 100

50 х обичат математиката, но не изучават английски език. След решаването 100

30 50 50 50 х+ х + 63 − х = х , получаваме, че х = 90 са всички присъстващи. 63 − 90 = 18 са учениците 100 100 100 100

които обичат математика, и не изучават английски език

8клас Отговори: 1 в); 2 б); 3 г) 7 тр. и 22 г.; 4 б); 5 а); 6 б); 7 а); 8 в); 9 г) 0; 10) 9 см.

Кратки решения

1 зад. x2 + 2 = 0 няма решение и следователно решението е само от квадратното уравнение - 3,

1 3

2 зад. От условието намираме, че BD е с 2 см по-голяма от AC ⇨ BD = 9 см. и са диагонали, а страните на MNPQ са средни отсечки в триъгълници от където следва, че P MNPQ = 16 см.

3 зад. Ако с x означим броя на трънките, то гаргите са 3x + 1 Съставяме уравнението 4(x – 2) + 2 = 3x + 1 и намираме, че трънките са 7 и ⇨ гаргите 22.

4 зад. Степенуваме последната цифра на 2008 на 1, 2, 3, 4, и 5 степен и установяваме, че те се повтарят на всеки 4, и са: 8, 4, 2, и 6. Делим степенния показател 2008 : 4 = 502 и понеже няма остатък последната цифра на числото 20082008 е 6.

5 зад. Разлагаме знаменателите на множители 2x(x2 + 1) ; (x – 2)(x + 2) и (x + 3)2 Изразът x2 + 1 > 0 за всяко x следователно недопустимите стойности са 4 т.е. x ≠ 0,±2 и -3 6 зад. Векторите AB→ и CD→ са диагонали на успоредник, а MN е средна отсечка в ∆ADB. Чрез изразяване на сборове и разлики на вектори от чертеж единствен отговор б) ½(BD→ + DA→) не е равен на MN→ по посока, а е равен само по големина (модул).

7 зад. След разлагане на множители уравнението добива вида: 2x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0, т.е. корените са 4

8 зад. След добавяне и изваждане на 2ab и използване формулите за съкратено умножение за трите числа получаваме: A = a + b -

2ab ; B = a + b и C = a – b, от което при а > b следва,че B>A и B >C. Остава да се a+b

сравнят A и C, и за тях съставяме израза A – C. След преобразуването му получаваме:

2b2 > 0 понеже a и b a +b

са естествени числа следователно A>C т.е отговора е: в) B>A>C 9 зад. След рационализиране на всеки един от знаменателите поотделно се получава:

5+ 2 + 7 − 2 − 7 − 5=0 10 зад Точка M среда на AB и MN средна отсечка в трапеца ABED ⇨ MN = 11 → 2 точки Точките G и P делят медианата CM на 3 равни части и ако отбележим GH с x от трапеца GCLH изразяваме: PQ =

x+5 →5 точки 2

От трапеца MPQN изразяваме x като средна отсечка

x+5  + 11 : 2 →6 точки  2 

и получаваме уравнението: x =  x = GH = 9 см → 2 точки

9 клас Отговори и решения Отговори: 1-в); 2-г) 30°,150°,150°,30° ; 3-б); 4-а); 5-в); 6-б); 7-в); 8-г) 500 кг, 0,80 лв; 9-б) Зад 1. В уравнението 14 + 17х – 6х2 = 0 коефициентите а и с са с противоположни знаци, следователно дискриминантата му ще е по-голяма от 0, следователно уравнението ще има два различни реални корена. Зад 2. Триъгълник AHD е правоъгълен с катет DH = 3 см и

DH 1 = ,откъдето получаваме, AD 2 ∠HAD = 30° . Ъглите на трапеца са 30°,30°,150°,150°

че

хипотенуза AD = 6 см. Следователно

 x 4 + 5 x 3 + 15 x − 9 9  x 3 + 3x 2 − 4 x − 12 + 4  : x 6 + 3x 4 x  x5   x 2 − 3 x 2 + 3 + 5 x x 2 + 3 9  x 2 ( x + 3) − 4( x + 3) x 2 + 5 x + 6 x5  =  + : = . = x4 x2 + 3 x 4  x5 x4 (x + 3) x 2 − 4  x( x + 2 )( x + 3) x = (x + 3)(x − 2)(x + 2) x − 2

Зад 3. Преобразуваме 

(

)(

(

)

)

(

)

(

=

)

Зад 4. Ако означим страните на правоъгълника с a и b – 2.(a + b) = 36, a + b = 18 или b = 18 – а. Външно върху страните са построени четири квадрата с лица а2, а2, b2 и b2, т.е 2.(a2 + b2) = 340. Заместваме b = 18 – а и получаваме a2 + (18 – а)2 = 170. След решаване на квадратното уравнение за а получаваме 7 см или 11 см, откъдето следва, че b ще е 11 см или 7 см.

Зад 5. D = (2m – 3)2 – 4 m2 + 12m = 9, следователно уравнението има два различни реални корена. От формулите на Виет получаваме x1 + x2 = 2m − 3 и x1.x2 = m 2 − 3m . Преобразуваме

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = m + 4 . След заместване получаваме уравнението 2m 2 − 7 m + 5 = 0 , което има решение m1 = 1 и m2 = 2,5 2

Зад 6. ВС е диаметър на окръжността, следователно радиуса на окръжността е 5 см, т.е. за х = 5 f(x) трябва да е 8. Получаваме, че 3.5 + a – 1 = 8, a = – 6 Зад 7.

BP = BA + AP = −a + AP = −a + AD + DP = − a + b +

2 DC = 6

1 2 = −a + b + a = b − a 3 3 Зад 8. Ако търговецът е закупил x кг домати по y лв. то x.y = 400. Тъй като продал 80% от доматите на цена с 0,40 лв. по-висока от изкупната, покрил си разходите от 30 и реализирал печалба от 50 лв. получаваме уравнението

80 .x.( y + 0,4 ) = 480 След преобразуването му получаваме x.y + 0,4.х = 600. Заместваме x.y с 100

400 и намираме х = 500 кг. Тогава y = 400 : 500 = 0,80 лв.

Зад 9. Корените на даденото уравнение са 2 и − 2 2 , следователно при х = 2 изразът е равен на 2. Зад 10. Нека скоростта на лодката е х км/ч. Тогава скоростта на лодката по течението е (х + 3) км/ч, а срещу течението е (х – 3) км/ч. /2 точки/ Ако разстоянието от А до В е s км, то времето за което лодката ще го измине по течението е времето срещу течението е

s часа, а x+3

s s s часа. /2 точки/ Тогава , /3 точки/ откъдето получаваме х = 1,25. x −3 x −3 x+3

= 27 км/ч /2 точки/ Нека времето за ремонта е t часа, т.е. лодката ще се върне на разстояние 3t км. Времето на закъснение ще е сбор от времето за ремонта t и времето за изминаване на 3t км срещу течението със скорост 27 – 3 = 24 км/ч. /3 точки/ Следователно t +

3t 3 2 2 = , откъдето получаваме t = . Ремонтът е продължил часа = 40 мин. /3 24 4 3 3

точки/

Отговори 10 клас: 1 2 Б

Б

3

4

5

В

А

А

6 Г 17

7

8

Г

А

9 Г 3

Кратки упътвания и решения: Зад 3.. Двата триъгълника са подобни с коефициент на подобие k = 2.

S ABC : S MNP = k 2 = 4 Зад 5. От свойството на ъглополовящата AC:AB = CL:LB = 1:2 ⇒ ∠АВС = 30 0

Зад 6. Очевидно числото трябва да се дели на 3 и на 4. От признаците за делимост 5 + 7 + а + 2 + b + 8 = 22 + a + b се дели на 3 ⇒ a + b = 2, 5, 8, 11, 14, 17 (a + b ∈ [0;18]) . За да се дели на 4, b може да е 0, 4 или 8. Максимална стойност се достига при а = 9, b = 8.

(

Зад 7. f ( f ( x )) = ( f ( x )) − 4 = x 2 − 4 Зад 8. От графиката следва, че 2

)

2

− 4 = x 4 − 8 x 2 + 16 − 4 = x 4 − 8 x 2 + 12 .

f (1) = 3, f (0 ) = 4 ⇒ a + b + c = 3, c = 4 ⇒ a + b = −1 ⇒ a + b − c = −5 . x1 + x 2 = 7 > 0

Зад 9. Очевидно корените са реални положителни числа, D = 45,

x1 x 2 = 1 > 0

.

I начин. A 2 = x1 + x 2 + 2 x1 x 2 = 9, A > 0 ⇒ A = 3 ; II начин.

x1, 2

7 ± 3 5 14 ± 6 5 3 2 ± 2.3. 5 + = = = 2 4 4

x1 + x 2 =

( 5)

2

2

3± 5   ⇒ =    2 

3+ 5 3− 5 + =3 2 2

Зад 10. Означаваме трапеца ABCD ( AB║ CD, AB > CD). Нека отсечките, на които диагоналите разделят средната основа са x, 2x, x. От средните отсечки в триъгълниците ABD и ADC получаваме AB = 6x, CD = 2x. От свойството на описания четириъгълник ⇒ AB+DC = AD+BC ⇒ BC = AD = 4x. Нека DH е височина ⇒ AH = (AB ─ CD)/2 = 2x и от свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл 300 ⇒ ∠ADH = 30 0 ⇒ ∠BAD = 60 0 . Ъглите на трапеца са 600, 600, 1200 и 1200. DH = 2r = 2 3 . От Питагорова теорема за триъгълник ADH получаваме

AD 2 = AH 2 + DH 2 ⇒ 16 x 2 = 4 x 2 + 12 ⇒ x = 1 . Тогава страните на трапеца се AB + CD AB = 6, CD = 2, AD = BC = 4. Лицето S = DH = 8 3 .

2

11 клас: Отговори: 1 2 3 В

А

В

4 Б

5

6

7

А

Г -8

Г tgα

8

9 Г

В

4 11

10 a) НМС=5/3, НГС=3 …………… 7 т. б) НМС= −1 , НГС= log 0,5 2 / 3 .......... 8 т.

Решения и упътвания: 10 зад. a) f ( x) = 3sin 4 x + 2(1 − sin 2 x ) = 3sin 4 x − 2sin 2 x + 2 . ..................................................................2 т. Полагаме sin 2 x = t и разглеждаме квадратната функция f (t ) = 3t 2 − 2t + 2 за t ∈ [0;1] ............3 т. НМС= f (1/ 3) = 5 / 3 , НГС= f (1) = 3 ....................................................................................................2 т. б) g ( x) = log 0,5 (4 − 3sin 2 x − 2 | cos x |) = log 0,5 (3cos 2 x − 2 | cos x | +1) .........................................2 т. Полагаме | cos x |= t и разглеждаме квадратната функция h(t ) = 3t 2 − 2t + 1 за t ∈ [0;1] ..............2 т.

2 / 3 ≤ g (t ) ≤ 2 ⇒ log 0,5 2 / 3 ≥ g ( x ) ≥ log 0,5 2 ..................................................................................3 т. НМС= −1 , НГС= log 0,5 2 / 3 ....................................................................................................................1 т. Кратки решения и отговори 12 клас: ПЪРВА ЧАСТ

1зад. Отг. б) 2зад. Отг. в) 3зад. Отг. а) 4зад. Отг. г) 0; 5зад. Отг. б) 6зад. Отг. в) 7зад. Отг. в) 8зад. Отг. а) 9зад. Отг. б) 10зад Отг. а) 11зад. Отг. в) 12зад.Отг. г) 6 + 2 3

ВТОРА ЧАСТ

 π π ;   2 2 След преобразуване получаваме уравнението 3 cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x(3 cos 2 x − 7 ) = 0 .

7 π Следователно cos 2 x = > 1 , т.е. това уравнение няма решение и cos 2 x = 0 ⇒ x = ± 3 4

1зад. 3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 за x ∈  −

2зад. Нека т. О е върхът на ъгъла, т. М е точката от вътрешността, а т. А и т. В са петите на перпендикулярите от т. М до раменете на ъгъла, като MA = 2 7 , MB = 7 . Около ОАМN може да се опише окръжност, която има диаметър OM. От косинусова теорема за триъгълник AMB намираме AB 2 = AM 2 + BM 2 − 2 AM ⋅ BM ⋅ cos120 0 = 49 . След. AB = 7 cm. От синусова теорема за същия

триъгълник

AB 14 3 = 2 R , от където OM = 2 R = 0 3 sin 120 ТРЕТА ЧАСТ x

1зад.

x

 5 + 2 6  +  5 − 2 6  = 10 .    

Тъй

като

5−2 6 =

1 5+2 6

,

получаваме

x x 1  5 + 2 6  +  5 + 2 6  = y > 0 решаваме уравнението = 10 . След полагането x      5 + 2 6    1 y + = 10 и получаваме y1, 2 = 5 ± 2 6 > 0 След заместване в полагането получаваме x1, 2 = ±2 y

x1 + x 2 = −( p + 1) 1 2зад. x + ( p + 1)x + = 0 . От формулите на Виет получаваме . Тогава 1 2 x1 ⋅ x 2 = 2 2 2 2 2 2 x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = ( p + 1) − 1 = k , от където k = p + 2 p . За уравнението x 2 + 2 x + k = 0 2

[

]

получаваме x3, 4 = −1 ± 1 − k = −1 ± 1 − p 2 − 2 p , където 1 − p 2 − 2 p ≥ 0 , т.е. p ∈ − 1 − 2 ;−1 + 2 . Тъй като по условие p е цяло число, целите числа в този интервал са − 2; − 1; 0 . От тях само за − 2 и 0 корените на x 2 + 2 x + k = 0 са цели числа.

3зад. Нека ABCD ( AB // CD ) e трапец, като AC = 5; BD = 3; PN = 2 , където Р е среда на DC, а N е среда на

AB + DC AB + BK h, S AKC = h , т.е. S ABCD = S AKC .

2 2 Построяваме CL // PN , L ∈ AB . Тогава CL = PN = 2 . Продължаваме CL до т. М така, че LM = CL .

AB CD , т.е. т. L е среда на АК и S CMK = S ACK = S ABCD . Тъй като знаем страните на триъгълник CMK AL = + 2 2

АВ. Построяваме т. K ∈ AB, CK // DB . Тогава S ABCD =

(той е правоъгълен), то можем да намерим лицето му. Отг. 6 кв.cm Отговори SAT: 1B 2A 11B 12C 21C 22C 31B 32B 41B 42E 51C 52B

3B 13E 23A 33B 43E 53A

4C 14E 24C 34A 44D 54E

5BD 15E 25B 35B 45E 55C

6B 16E 26A 36C 46C 56D

7B 17C 27A 37E 47A 57D

8A 18C 28C 38A 48D 58D

9C 19A 29D 39C 49A 59B

10B 20A 30A 40A 50A 60D