Page 1

софийски университет „св. климент охридски“ писмен конкурсен изпит по математика I 24 март 2013 г. Tема №3. 1 Задача 1. В триъгълника ABC имаме AC = 7, BC = 3 и cos ^ABC = . Да се намерят 2 страната AB, лицето S на триъгълника ABC и sin ^CAB. Задача 2. Да се реши уравнението: √ √ x + 2 + 2x + 5 = 1.

Задача 3. Ъглополовящата на ъгъл CAB в триъгълника ABC пресича височината CH в точка M . Да се намери радиусът R на описаната около триъгълника ABC окръжност при условие, че CM = 2, ^CAB = 60◦ и ^ABC = 45◦ . Задача 4. Да се реши неравенството: |x − 1| − |x + 1| = 0. x+2

Задача 5. Даден е правоъгълник ABCD със страни AB = 5 и BC = 4, за който пресечната точка на диагоналите AC и BD е означена с O. Точката M лежи върху страната AB така, че AM = CM , а N е пресечната точка на страната CD с правата OM . Да се намери дължината на отсечката M N . Задача 6. Да се реши уравнението: x + log5 (26 − 5x ) = 2. Задача 7. В кръжок по математическа логика участват няколко ученици. По време на заниманията всеки от тях играе роля, която е известна на останалите – или е „лъжец“ (винаги лъже), или е „честен“ (винаги казва истината). На всеки от кръжочниците, във връзка с всеки от останалите, се задава въпросът: „Какъв е той (тя)– „лъжец“ или „честен“?“. В резултат са получени общо 26 отговора „честен“ и 30 – „лъжец“. Колко ученици членуват в кръжока, колко от тях са „лъжци“ и колко „честни“ ? Задача 8. Нека x1 < x2 са корените на квадратното уравнение x2 − px + q = 0. Да се намерят стойностите на p и q при условие, че числата x1 , x2 , p + 3 и q + 3 в този ред образуват аритметична прогресия. Време за работа 4 часа. Драги кандидат-студенти, • номерирайте всички страници на беловата си; • означавайте ясно началото и края на решението на всяка отделна задача; • решението на всяка задача трябва да започва на нова страница; • не смесвайте белова и чернова; • черновата не се проверява и не се оценява.

Изпитната комисия ви пожелава успешна работа!


ñîôèéñêè óíèâåðñèòåò ½ñâ. êëèìåíò îõðèäñêè ïèñìåí êîíêóðñåí èçïèò ïî ìàòåìàòèêà I 24 ìàðò 2013 ã.

Tåìà 3.

ïðèìåðíè ðåøåíèÿ íà çàäà÷èòå Çàäà÷à 1.  òðèúãúëíèêà ñòðàíàòà

AB ,

ëèöåòî

S

ABC

AC = 7, BC = 3 ABC è sin ^CAB .

èìàìå

íà òðèúãúëíèêà

è

cos ^ABC =

1 . 2

Äà ñå íàìåðÿò

a = BC = 3, b = AC = 7, c = AB , α = ^CAB è β = ^ABC . Îò 1 2 2 2 2 êîñèíóñîâàòà òåîðåìà ïîëó÷àâàìå 7 = 3 + c − 2c · 3 · èëè c − 3c − 40 = 0 , ò.å. AB = c = 8. 2 √ √ 3 3 3 3 a ◦ = · = . Ñåãà îò ôàêòà, ÷å β = 60 è ñèíóñîâàòà òåîðåìà ïîëó÷àâàìå sin α = sin β · b 2 7 14 √ b · c · sin α a · c · sin β Òàêà çà ëèöåòî èìàìå S = = = 6 3. 2 2 √ √ Çàäà÷à 2. Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî x + 2 + 2x + 5 = 1. √ Ðåøåíèå: Ñëåä ïîâäèãàíå íà êâàäðàò îò äàäåíîòî óðàâíåíèå ïîëó÷àâàìå 2 (x + 2)(2x + 5) = −3(x + 2), a ñëåä îùå åäíî ïîâäèãàíå íà êâàäðàò x2 − 4 = 0. Êîðåíèòå íà òîâà óðàâíåíèå ñà 2 è −2. Ïðîâåðêàòà ïîêàçâà, ÷å ñàìî x = −2 å ðåøåíèå íà çàäà÷àòà. Çàáåëåæêà. Äàäåíîòî óðàâíåíèå èìà ñìèñúë ïðè x = −2, à òî å åêâèâàëåíòíî íà óðàâíå2 íèåòî x − 4 = 0 ñàìî ïðè x 5 −2. Ñëåä ïðîâåðêà ñå îêàçâà, ÷å x = −2 å ðåøåíèå íà çàäà÷àòà. Ðåøåíèå: Íåêà äà îçíà÷èì

Çàäà÷à 3. Úãëîïîëîâÿùàòà íà úãúë â òî÷êà

M.

Äà ñå íàìåðè ðàäèóñúò ◦ óñëîâèå, ÷å CM = 2, ^CAB = 60 è

CAB â òðèúãúëíèêà ABC ïðåñè÷à âèñî÷èíàòà CH R íà îïèñàíàòà îêîëî òðèúãúëíèêà ABC îêðúæíîñò ïðè ^ABC = 45◦ .

Ðåøåíèå: Ïîíåæå

AM å úãëîïîëîâÿùà â ïðàâîúãúëíèÿ òðèúãúëíèê 1 AH HM HM AHC , òî èìàìå = cos 60◦ = = = èëè HM = 1. Îò 2 AC CM 2 CH = CM + M H = 3 è ôàêòà, ÷å √ òðèúãúëíèêúò BCH å ïðàâîúãúëåí è ðàâíîáåäðåí ïîëó÷àâàìå BC = 3 2. Ñåãà îò ñèíóñîâàòà òåîðåìà çà √ BC 3 2 √ òðèúãúëíèêà ABC íàìèðàìå R = = √ = 6. 2 sin 60◦ 2 23 |x − 1| − |x + 1| = 0. x+2 Ðåøåíèå: Íåðàâåíñòâîòî èìà ñìèñúë ïðè x ̸= −2. I. ïðè x ∈ (−∞, −1] \ {−2} èìàìå −(x − 1) + (x + 1) |x − 1| = −(x − 1) è |x + 1| = −(x + 1), ò.å. ïîëó÷àâàìå íåðàâåíñòâîòî =0 x+2 2 èëè = 0, êîåòî â èíòåðâàëà (−∞, −1] \ {−2} èìà ðåøåíèÿ x ∈ (−2, −1]. II. ïðè x ∈ (−1, 1] x+2 −(x − 1) − (x + 1) −2x èìàìå |x − 1| = −(x − 1) è |x + 1| = (x + 1), ò.å. = 0 èëè = 0, x+2 x+2 êîåòî â èíòåðâàëà (−1, 1] èìà ðåøåíèÿ x ∈ (−1, 0]. III. ïðè x ∈ (1, ∞) èìàìå |x − 1| = (x − 1) è −2 (x − 1) − (x + 1) = 0 èëè = 0, êîåòî â èíòåðâàëà |x+1| = (x+1), ò.å. èìàìå íåðàâåíñòâîòî x+2 x+2 (1, ∞) íÿìà ðåøåíèå. Òàêà îêîí÷àòåëíî ïîëó÷àâàìå x ∈ (−2, 0]. Çàäà÷à 4. Äà ñå ðåøè íåðàâåíñòâîòî

Çàäà÷à 5. Äàäåí å ïðàâîúãúëíèê òî÷êà íà äèàãîíàëèòå

AM = CM ,

è

BD

N å ïðåñå÷íàòà MN.

à

íà îòñå÷êàòà

AC

ABCD

å îçíà÷åíà ñ

AB = 5 è BC = 4, çà êîéòî ïðåñå÷íàòà M ëåæè âúðõó ñòðàíàòà AB òàêà, ÷å ïðàâàòà OM . Äà ñå íàìåðè äúëæèíàòà

ñúñ ñòðàíè

O.

òî÷êà íà ñòðàíàòà

Òî÷êàòà

CD

ñ


Ðåøåíèå: Çà äèàãîíàëà √ √

2AO =

52

+

42

=

AC

ïî òåîðåìàòà íà Ïèòàãîð èìàìå

AC =

41. Ñåãà äà îçíà÷èì AM = CM = x, òîãàâà îò ïðàâîM BC èìàìå (5−x)2 +42 = x2 èëè 10x = 41, îòêúäåòî

úãúëíèÿ òðèúãúëíèê

x =

41 . 10

AO = OC è ñâîéñòâàòà íà óñïîðåäíèòå ïðàâè, ïðåñå÷åíè ñ òðåòà ïîëó÷àâàìå, ÷å ∆AOM ∼ = ∆CON . Ñåãà îò ðàâíîáåäðåíèÿ ∆ACM è AO = OC ñëåäâà, ÷å M O ⊥ AC v è M N = 2M O . Òàêà îò ïðàâîúãúëíèÿ òðèúãúëíèê AOM èìàìå √ ( u( )2 ( √ )2 √ √ ) u 41 √ 41 41 41 41 16 4 41 t − =2 −1 =2 · = . M N = 2M O = 2 x2 − AO2 = 2 10 2 4 25 4 25 5 Îò

Çàäà÷à 6. Äà ñå ðåøè óðàâíåíèåòî

x + log5 (26 − 5x ) = 2.

5x < 26 èëè x < log5 26. Îò äàäåíîòî óðàâíåíèå x x x x 2 x ïîñëåäîâàòåëíî ïîëó÷àâàìå log5 5 + log5 (26 − 5 ) = 2 log5 5, log5 5 (9 − 2 ) = log5 5 èëè 5 (26 − 5x ) = 52 . Âúâåæäàìå íîâî íåèçâåñòíî y = 5x è ñòèãàìå äî óðàâíåíèåòî y(26 − y) = 25, êîåòî x 0 èìà êîðåíè y1 = 1 èëè y2 = 25. Ñëåä âðúùàíå êúì íåèçâåñòíîòî x èìàìå 5 = 1 = 5 èëè 5x = 25 = 52 , ò.å. x1 = 0 èëè x2 = 2. Ñëåä ïðîâåðêà â äåôèíèöèîííîòî ìíîæåñòâî (50 < 26 è 52 = 25 < 26) èëè äèðåêòíî â äàäåíîòî óðàâíåíèå ïîëó÷àâàìå, ÷å çàäà÷àòà èìà äâå ðåøåíèÿ x1 = 0 èëè x2 = 2. Ðåøåíèå: Óðàâíåíèåòî èìà ñìèñúë ïðè

Çàäà÷à 7.  êðúæîê ïî ìàòåìàòè÷åñêà ëîãèêà ó÷àñòâàò íÿêîëêî ó÷åíèöè. Ïî âðåìå íà çàíèìàíèÿòà âñåêè îò òÿõ èãðàå ðîëÿ, êîÿòî å èçâåñòíà íà îñòàíàëèòå  èëè å ½ëúæåö (âèíàãè ëúæå), èëè å ½÷åñòåí (âèíàãè êàçâà èñòèíàòà). Íà âñåêè îò êðúæî÷íèöèòå, âúâ âðúçêà ñ âñåêè îò îñòàíàëèòå, ñå çàäàâà âúïðîñúò: ½Êàêúâ å òîé (òÿ) ½ëúæåö èëè ½÷åñòåí? .  ðåçóëòàò ñà ïîëó÷åíè îáùî 26 îòãîâîðà ½÷åñòåí è 30  ½ëúæåö. Êîëêî ó÷åíèöè ÷ëåíóâàò â êðúæîêà, êîëêî îò òÿõ ñà ½ëúæöè è êîëêî ½÷åñòíè ?

Ðåøåíèå: Íåêà â êðúæîêà ÷ëåíóâàò z ó÷åíèöè, îò êîèòî x ½ëúæöè è y ½÷åñòíè, êúäåòî x, y, z ∈ N. Òîãàâà íà âñåêè îò ó÷åíèöèòå, ÷ëåíóâàùè â êðúæîêà (z = x + y íà áðîé) ñà çàäàäåíè ïî (z −1) âúïðîñà (çà âñåêè îò îñòàíàëèòå), ò.å. îáùèÿò áðîé âúïðîñè (îòãîâîðè) å 26+30 = 56 = z(z−1) è òàêà ïîëó÷àâàìå z = 8 (ïîíåæå 8.7=56 èëè êàòî åäèíñòâåíèÿò ïîëîæèòåëåí (åñòåñòâåí) êîðåí íà ïîñëåäíîòî óðàâíåíèå). Äà âèäèì îòêúäå ñà ñå ïîëó÷èëè îòãîâîðèòå

½ëúæåö  âñåêè

30

= 2xy.

x+y =8

x=3

x=5

Ñåãà çà x è y èìàìå ñëåäíèòå âðúçêè

xy = 15 , îòêúäåòî ïîëó÷àâàìå y = 5 èëè y = 3 . -ìà -èìà Òàêà îêîí÷àòåëíî ïîëó÷èõìå, ÷å áðîÿò íà êðúæî÷íèöèòå å 8, îò êîèòî 3 ½ëúæöè è 5 -èìà -ìà ½÷åñòíè èëè 5 ½ëúæöè è 3 ½÷åñòíè. ½ëúæåö å ïîñî÷èë âñè÷êè ½÷åñòíè è âñåêè ½÷åñòåí å ïîñî÷èë âñè÷êè ½ëúæöè, ò.å.

Çàäà÷à 8. Íåêà íàìåðÿò

x1 < x2 ñòîéíîñòèòå íà p è q

x2 − px + q = 0. Äà ñå q + 3 â òîçè ðåä îáðàçóâàò

ñà êîðåíèòå íà êâàäðàòíîòî óðàâíåíèå ïðè óñëîâèå, ÷å ÷èñëàòà

x1 , x2 , p + 3

è

àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ.

Ðåøåíèå: Îò ôîðìóëèòå íà Âèåò èìàìå

x1 +x2 = p, x1 x2 = q . Ïî óñëîâèå èìàìå àðèòìåòè÷÷ x1 , x2 , p+3, q +3, ò.å 2x2 = x1 +(p+3) è 2(p+3) = x2 +(q +3). Ñåãà îò x1 +x2 = p è 2x2 = x1 + (p + 3), ïîñëåäîâàòåëíî ïîëó÷àâàìå x2 = 2x1 + 3 è p = 3x1 + 3. Ñëåä çàìåñòâàíå íà ( ) ïîñëåäíèòå ðàâåíñòâà â 2(p + 3) = x2 + (q + 3) äîñòèãàìå äî 2 (3x1 + 3) + 1 = 2x1 + 3 + (q + 3) èëè q = 2(2x1 + 3) = 2x2 . Ñåãà îò ïîñëåäíîòî ðàâåíñòâî è q = x1 x2 = x1 (2x1 + 3) ïîëó÷àâàìå 3 2(2x1 + 3) = x1 (2x1 + 3), ò.å. (2x1 + 3)(x1 − 2) = 0. Òàêà ïîëó÷èõìå, ÷å x1 = − èëè x1 = 2. Ïðè 2 3 3 3 x1 = − èìàìå x1 = − , x2 = 0, p + 3 = è q + 3 = 3 è òåçè ÷èñëà îáðàçóâàò àðèòìåòè÷íà 2 2 2 ïðîãðåñèÿ. Ïðè x1 = 2 ïîëó÷àâàìå x2 = 2x1 + 3 = 7, p + 3 = 12 è q + 3 = 17 êàòî òåçè ÷èñëà ñúùî 3 îáðàçóâàò àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ. Ñëåäîâàòåëíî p = − , q = 0 è p = 9, q = 14 ñà òúðñåíèòå 2 íàòà ïðîãðåñèÿ

ðåøåíèÿ íà çàäà÷àòà.

Profile for stoyan bordjukov

2013.24.03 Софийски университет "Св. Климент Охридски"  

2013.24.03 Софийски университет "Св. Климент Охридски"  

Profile for bgmath
Advertisement