Page 1

ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” – СОФИЯ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ КОНКУРСНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 16. 07. 2011 г. ВTOРИ ВАРИАНТ ЗАДАЧА 1: а) Да се реши уравнението 1 + 2 x = x + 7 . б) Да се реши уравнението 4.9 x − 7.3 x + 3 = 0 . в) Да се реши системата

Решение: а) (3 точки) ДМ:

x+ y =2 x 2 y + xy 2 = 2

.

2x ≥ 0 , т.е. x ∈ [0;+∞) . x+7≥0

След повдигане на квадрат, уравнението приема вида 1 + 2 2 x + 2 x = x + 7 , откъдето получаваме 2 2 x = 6 − x . Последното уравнение е еквивалентно на

6− x ≥ 0 8 x = 36 − 12 x + x 2

.

⎧ x1 = 18 ∉ [0; 6] Следователно, x ∈ [0; 6] и x 2 − 20 x + 36 = 0 . Оттук намираме ⎨ . И така, ⎩ x 2 = 2 ∈ [0; 6] решението е x = 2 . б) (2 точки) Полагаме t = 3 x (t > 0) и получаваме уравнението 4t 2 − 7t + 3 = 0 , чиито ⎧3 x = 1 ⎧t1 = 1 > 0 ⎧ x1 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ . Следователно, ⎨ x 3 ⇔ ⎨ корени са ⎨ 3 са решенията. 3 ⎪3 = ⎪⎩t 2 = 4 > 0 ⎪⎩ x 2 = log 3 4 4 ⎩ в) (2 точки) Системата е еквивалентна на x+ y =2 x+ y =2 y = 2− x x =1 ⇔ ⇔ , откъдето получаваме . xy ( x + y ) = 2 xy.2 = 2 x(2 − x) = 1 y =1

ЗАДАЧА 2: а) Да се намерят стойностите на реалния параметър p , за които уравнението x 2 − (3 p + 1) x + p = 0 има два различни коренa по-малки от 1. x x б) Да се реши уравнението sin 2 x = cos 2 − sin 2 . 2 2 Решение: а) (2,5 точки) Уравнението има два различни коренa по-малки от 1, тогава и само

тогава

когато

af (1) > 0 D>0 . −

b <1 2a

От

уравнението

намираме

f (1) = 1 − 3 p − 1 + p = −2 p ;


D = (3 p + 1) 2 − 4 p = 9 p 2 + 2 p + 1 ;

b 3p +1 . Следователно, системата добива вида = 2a 2

− 2p > 0 9 p 2 + 2 p + 1 > 0 . Тъй като дискриминантата на квадратния тричлен

9 p2 + 2 p +1 е

3p +1 <1 2

отрицателна и коефициентът пред p 2 е положителен, неравенството 9 p 2 + 2 p + 1 > 0 е в p<0

сила за всяко p. Тогава, системата се свежда до б)

(1,5

точки)

Уравнението

е

p<

1 , откъдето p ∈ (−∞; 0) . 3

еквивалентно

cos x ( 2. sin x − 1) = 0 . Следователно, cos x = 0 , т.е. x =

π 2

на

2. sin x. cos x = cos x ,

+ kπ , k ∈ Z или sin x =

т.е.

1 , т.е. 2

π ⎧ ⎪⎪ x = 6 + 2kπ , k ∈ Z . ⎨ ⎪ x = 5π + 2kπ , k ∈ Z ⎪⎩ 6 ЗАДАЧА 3: Даден е трапец ABCD (AB||CD), за който AB ⊥ AD, AD = CD , BC = 3 + 1 и

∠ABC = 60° . През точка D е построена права, успоредна на BC, която пресича AC в точка M. Да се намери периметърът на ΔCDM . Решение: (4 точки) От CD ⊥ AD и AD = CD

следва, че

∠ACD = 45° . От

AB||CD и DM||CB следва, че ∠CDМ = ∠ABC = 60° . Тогава

∠DMC = 75° . Построяваме CH ⊥ AB , H ∈ AB . От ΔCHB получаваме CH = CB.sin60° = ( 3 + 1) Тогава,

CD = AD = CH =

3 ( 3 + 1) . 2

От

ΔCDM

имаме

Пресмятаме sin75° = sin(30° + 45°) = sin30°.cos45° + cos30°.sin45° = Тогава DM = 3 , CM =

3 . 2

CD DM CM . = = sin 75° sin 45° sin 60° 2 ( 3 + 1). 4

3 3 2 . Следователно, периметърът на ΔCDM е (1 + 2 + 3 ) . 2 2


ЗАДАЧА 4:

Основата на пирамида е ромб със страна c, две от околните й стени са

перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си ъгъл β > 90° , а другите две околни стени сключват с равнината на основата ъгъл с големина α . Да се намерят: а) лицето на околната повърхнина на пирамидата; б) обемът на пирамидата. Решение: а) (4 точки) Нека пирамидата е MABCD, стените (MAD) и (MDC) са перпендикулярни на равнината на основата. Тогава пресечницата им MD е перпендикулярна на основата, в частност MD ⊥ AD , MD ⊥ DC . Следователно, ∠ADC е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между стените (MAD) и (MDC). Построяваме DP ⊥ BC, P ∈ BC . Тъй като DP е ортогоналната проекция на MP върху равнината (ABCD), то по теоремата за трите перпендикуляра следва, че MP ⊥ BC . Следователно ∠MPD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините (MBC) и (ABCD). Тогава, ∠MPD = α . Аналогично, построяваме и DQ ⊥ AB, Q ∈ AB ∠MQD = α . От правоъгълния триъгълник DPC намираме DP = DC. sin(180 ° - β ) = c.sin β . От правоъгълния триъгълник MDP получаваме DM = DP.tg α = c.sinβ .tgα , DP c.sin β MP = = ΔADM ≅ ΔCDM ΔABM ≅ ΔCBM , . Тъй като и то cos α cos α 1 1 1 1 sin β . S ADM = S CDM = AD.DM = c 2 . sin β .tgα , S ABM = S CBM = BC.MP = c 2 . 2 2 2 2 cos α sin α + 1 Следователно, лицето на околната повърхнина на пирамидата е S = c 2 . sin β . . cos α б) (1 точка) Обемът на пирамидата е V =

1 1 c3 S ABCD .MD = BC.DP.MD = sin 2 β .tgα . 3 3 3

Оценката се образува по формулата Оценка = 2 + 0,2 К, където К е сумата на получените точки.

2011.16.07 Висше строително училище "Л.Каравелов" - София  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you