ТЕМА 1 Задача 1 (6 т.). Функцията f е определена с израза f (x) = 3x2 − 4x + a2 , където a е параметър. а) (2 т.) При a = 1 да се разложи на множители изразът f (x) и да се намери най-малката му стойност в интервала [0, 1]. б) (2 т.) За кои стойности на a за корените x1 , x2 на уравнението f (x) = 0 е изпълнено x1 − x2 = 2/3 ? в) (2 т.) За кои стойности на a функцията g, определена от израза g(x) = x3 − 2x2 + a2 x − 2a, е растяща в интервала (−∞, +∞)? Задача 2 (7 т.). Даден е трапецът ABCD с голяма основа AB = 29 и бедра AD = 13, BC = 15, в който диагоналът BD разполовява ∠ABC. а) (2 т.) Да се докаже, че височината на трапеца е 12. б) (2 т.) Да се намери косинуса на ∠CAD. в) (3 т.) В трапеца е вписан правоъгълникът M N P Q, като т. M и N лежат на основата AB, т. P лежи на бедрото BC и т. Q лежи на бедрото AD. Да се намери дължината на отсечката M Q така, че лицето на правоъгълника M N P Q да е най-голямо. Задача 3 (7 точки). В пирамидата ABCDM с връх M основата ABCD е ромб със страна 6 и остър ъгъл 60o . Върхът M се проектира в пресечната точка O√ на диагоналите на ABCD. Лицето на околната повърхнина на пирамидата е 36 3. а) (2 т.) Докажете, че всички двустенни ъгли при основата са равни на 60o . б) (2 т.) Докажете, че OM = 9/2 и пресметнете радиуса на вписаната в пирамидата сфера. в) (3 т.) Точката T е среда на CM . Постройте сечение на пирамидата с равнина λ, която минава през т. A и T и е успоредна на BD. Намерете лицето на сечението. Забележка. Оценката се пресмята по формула, публикувана в сайта на УАСГ.
2011.13.07 Университет по архитектура, строителство и геодезия - София
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.