Page 1

НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 АПРИЛ 2011г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. а) Да се реши неравенството 6 x 2 − 13 + ≤1 x2 − 2x x2 − x − 2 б) Да се реши уравнението

(

)

log 3 x 2 − 4 x + 4 = 2

Задача 2. Дадено е уравнението ( p − 1)x 2 + 3x + p + 3 = 0 , където p е реален параметър и p ≠ 1 . Нека x1 и x2 са корените на даденото уравнение. а) Да се намерят стойностите на p , за които x1 x2 < 0 . б) Да се намерят стойностите на p , за които корените на даденото уравнение са реални и удовлетворяват равенството 1 64 x1 + x2 = x 2 + x 2 . 41 2 Задача 3. Даден е равнобедрен трапец ABCD , за който голямата основа AB се явява диаметър на описаната около трапеца окръжност. Диагоналът AC има дължина 4 5 , а

2 5 . 5 а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери cos ∠AMB , където M е пресечната точка на диагоналите AC и BD . Задача 4. Дадена е права призма ABCDA1B1C1D1 , чиято основа ABCD е ромб с лице sin ∠ABC =

24 14 . Диагоналът на основата AC има дължина 12 2 , а sin ∠AC1C =

6 2 . 11

а) Да се намерят дължините на диагоналите AC1 и BD1 . б) Да се намери лицето на пълната повърхнина на призмата. РЕШЕНИЯ Задача 1. а) Да се реши неравенството 6 x 2 − 13 + ≤1 x2 − 2 x x2 − x − 2 Решение. Допустимите стойности за неравенството са x 2 − 2 x ≠ 0 и x 2 − x − 2 откъдето получаваме x ≠ 0 , x ≠ −1 , x ≠ 2 . Преобразуваме 6 x 2 − 13 −1 ≤ 0 , + x(x − 2 ) ( x − 2 )( x + 1) x2 − 5x + 6 ≤0, x(x − 2 )( x + 1) (x − 2)(x − 3) ≤ 0 . x(x − 2 )( x + 1) Съкращаваме на x − 2 и получаваме x −3 ≤0. x(x + 1) Привеждаме към еквивалентното неравенство x( x + 1)( x − 3) ≤ 0 ,


което има за решение x ∈ (− ∞,−1) U (0,2 ) U (2,3] . Отговор. x ∈ (− ∞,−1) U (0,2 ) U (2,3] б) Да се реши уравнението

(

)

log 3 x 2 − 4 x + 4 = 2

Решение. Допустимите стойности на неравенството са x 2 − 4 x + 4 > 0 , откъдето получаваме x ≠ 2 и log3 x 2 − 4 x + 4 ≥ 0 , откъдето получаваме окончателно x ∈ (− ∞,1] U [3, ∞ ) . Преобразуваме

(

( log (x

) − 4 x + 4) = log

)

log 3 x 2 − 4 x + 4 = 4 , 2

3

3

81 ,

x 2 − 4 x + 4 = 81 , x 2 − 4 x − 77 = 0 . Последното квадратно уравнение има корени x1 = 11 и x2 = −7 . След проверка се вижда, че и двата корена са решения. Отговор. x1 = 11 и x2 = −7 Задача 2. Дадено е уравнението

( p − 1)x 2 + 3x + p + 3 = 0 ,

където p е реален параметър и p ≠ 1 . Нека x1 и x2 са корените на даденото уравнение. а) Да се намерят стойностите на p , за които x1 x2 < 0 . б) Да се намерят стойностите на p , за които корените на даденото уравнение са реални и удовлетворяват равенството

64 x1 + x2 =

1 2

2

4 x1 + x2

.

Решение. а) Изпълнението на условие x1 x2 < 0 гарантира наличието на два различни реални корена. От формулите на Виет имаме p+3 x1 x2 = . p −1 Неравенството p+3 <0 p −1 е еквивалентно на ( p − 1)( p + 3) < 0 , което има за решения p ∈ (− 3,1) . Отговор. p ∈ (− 3,1) б) Условието за реални корени е D = 9 − 4( p + 3)( p − 1) ≥ 0 , откъдето получаваме D = −4 p 2 − 8 p + 21 ≥ 0 . Последното, отчитайки условието p ≠ 1 , има решения ⎡ 7 ⎞ ⎛ 3⎤ p ∈ ⎢− ,1⎟ U ⎜1, ⎥ . ⎣ 2 ⎠ ⎝ 2⎦ Съгласно формулите на Виет имаме −3 x1 + x2 = , p −1 2

⎛ −3 ⎞ p+3 ⎟⎟ − 2 x + x = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ⎜⎜ , p −1 ⎝ p −1 ⎠ − 2 p 2 − 4 p + 15 2 2 x1 + x2 = . ( p − 1)2 2 1

2 2

2


Сега преобразуваме даденото уравнение 2 2 43( x1 + x2 ) = 4 − (x1 + x2 ) , 3( x1 + x2 ) = − x12 + x22 . Заместваме и намираме ⎛ −3 ⎞ − 2 p 2 − 4 p + 15 ⎜ ⎟ 3⎜ , ⎟=− ( p − 1)2 ⎝ p −1 ⎠ − 9( p − 1) = 2 p 2 + 4 p − 15 , 2 p 2 + 13 p − 24 = 0 .

(

)

Последното квадратно уравнение има решения p1 =

3 и p2 = −8 , от които само 2

3 отговаря на условието за наличие на реални корени. 2 3 Отговор. p = 2 Задача 3. Даден е равнобедрен трапец ABCD , за който голямата основа AB се явява диаметър на описаната около трапеца окръжност. Диагоналът AC има дължина 4 5 , а p1 =

2 5 . 5 а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери cos ∠AMB , където M е пресечната точка на диагоналите AC и BD . Решение. а). Голямата основа AB е диаметър на описаната окръжност, следователно ∠ACB = 90o . Нека H е петата на височината през върха C към основата AB (фигура 1). sin ∠ABC =

Фигура 1. От правоъгълния ΔABC имаме AC 4 5 AB = = = 10 , sin ∠ABC 2 5 5 а съгласно теоремата на Питагор BC 2 = AB 2 − AC 2 = 100 − 80 = 20 , BC = 2 5 . От формулите за лице намираме 1 1 S ΔABC = AB.CH = AC .BC , 2 2 1 1 10.CH = 4 5 .2 5 , 2 2


следователно CH = 4 . От правоъгълния ΔBHC намираме BH 2 = BC 2 − CH 2 = 20 − 16 = 4 , BH = 2 . Трапецът ABCD е равнобедрен по условие, следователно AB − CD BH = , 2 CD = AB − 2 BH = 10 − 2.2 = 6 . Сега за лицето на трапеца получаваме 10 + 6 AB + CD S ABCD = CH = 4 = 32 . 2 2 Отговор. S ABCD = 32 б) По формулата за лице на четириъгълник имаме 1 S ABCD = AC .BD sin ∠AMB , 2 откъдето след заместване 1 32 = 4 5 .4 5 sin ∠AMB 2 4 намираме sin ∠AMB = . Понеже ∠AMB е остър, за неговия косинус получаваме 5 16 3 = . cos ∠AMB = 1 − sin 2 ∠AMB = 1 − 25 5 3 Отговор. cos ∠AMB = 5 Задача 4. Дадена е права призма ABCDA1B1C1D1 , чиято основа ABCD е ромб с лице 24 14 . Диагоналът на основата AC има дължина 12 2 , а sin ∠AC1C =

а) Да се намерят дължините на диагоналите AC1 и BD1 . б) Да се намери лицето на пълната повърхнина на призмата. Решение. а). От правоъгълния ΔACC1 (фигура 2) намираме

Фигура 2. AC 12 2 = = 22 . sin ∠AC1C 6 2 11 От формулата за лице на ромб имаме AC1 =

6 2 . 11


1 AC .BD , 2 откъдето след заместване намираме 1 24 14 = 12 2 . BD , 2 BD = 4 7 . От правоъгълния ΔACC1 намираме S ABCD =

(

)

2

CC12 = AC12 − AC 2 = 22 2 − 12 2 = 484 − 288 = 196 , CC1 = DD1 = BB1 = AA1 = 14 . От правоъгълния ΔBDD1 имаме

( )

2

BD12 = BD 2 + DD12 = 4 7 + 14 2 = 112 + 196 = 308 , BD1 = 2 77 . Отговор. AC1 = 22 и BD1 = 2 77 б) От ромба ABCD намираме 2

2

⎛ AC ⎞ ⎛ BD ⎞ AB 2 = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Откъдето след заместване получаваме 2

2

⎛ 12 2 ⎞ ⎛ 4 7 ⎞ ⎟ ⎟ +⎜ AB = ⎜⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = 100 , 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ AB = 10 . За лицето на пълната повърхнина имаме S пълна = S околна + 2S ABCD , S пълна = (4 AB )CC1 + 2S ABCD , 2

(

S пълна = 4.10.14 + 2.24 14 = 560 + 48 14 = 16 35 + 3 14

(

Отговор. S пълна = 16 35 + 3 14

)

)

Profile for stoyan bordjukov

2011.09.04 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

2011.09.04 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

Profile for bgmath
Advertisement