Issuu on Google+

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 13 юли 2010 г. Вариант 2 1. Кое от дадените числа е най – малко? 2

1 a)   ; 2

в) tg ( −135 ) ;

б) log 2 8 ;

2. Ако a = 3b и b ≠ 0 , то стойността на израза

a) 4 ;

б) 1 ;

в)

10 ; 7

1

г)

( −9 ) 3 .

2   a  a  + 1 + 1        b    b   3

a   +1 b

е равна на:

7 . 10

г)

4

3. Допустимите стойности за променливите величини x и y в израза

− x2 y3

са: x3 y г) x ≠ 0, y < 0 . 3

a) x ≤ 0, y ≤ 0 ;

б) x < 0, y < 0 ;

в) x ≤ 0, y ≥ 0 ;

4. Кои са решенията на неравенството x 4 − x 2 − 2 ≤ 0 ? а) x ∈  − 2, 2  ; б) x ∈ −∞, 2 ∪ 2, +∞ ; в) x ∈ ( −1, 2 ] ;

(

) (

)

г) x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 2, +∞ ) .

x −3 < 0 са: x − 6x + 8 а) x ∈ ( 2, 4 ) ; б) x ∈ ( 2,3 ) ∪ ( 3, 4 ) ; в) x ∈ ( −∞, 2 ) ∪ ( 4, +∞ ) ; г) x ∈ ( −∞, 2 ) ∪ ( 2,3) ∪ ( 3, 4 ) ∪ ( 4, +∞ ) . 5. Решенията на неравенството

2

6. Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2 − 3 x − 1 = 0 , то стойността на израза а) 12 ;

б) 11 ;

в) 13 ;

1 1 е: + x12 x22

г) друг отговор.

7. Стойностите на реалния параметър a , за които уравнението ax 2 − ( a − 1) x − 1 = 0 има реални корени x1 и x2 такива, че x1 < 0 < x2 са: а) a ∈ ( 0, + ∞ ) ;

б) a ∈ ( −∞, 0 ) ;

в) a = 1 ;

г) няма такива a .

8. Най – малката стойност на функцията y = 3 x 2 + 2 x − 4 в интервала [1, 2] е: а) 1 ;

б) −

13 ; 3

в) 12 ;

г) 0 .

9. Стойностите на реалния параметър a , за които уравнението x 4 + ax 2 + 9 = 0 има четири различни реални корена са: а) a ≥ 0 ; б) a∈( −6, 6 ) ; в) a∈( −∞, − 6 ) ; г) a∈ ( 6, + ∞ ) .


x + 5 − x − 4 = 1 са: в) x = 4 и x = 20 ;

10. Всички решения на уравнението а) x = 4 ; б) няма решения;

11. Всички стойности на x , които са решения на уравнението а) x = 0, x = − 2 и x = 2 ;

2

+ 2 x

б) x ∈[ 0, 6] ;

x − 2 = 0 са:

г) няма такива стойности.

в) x ∈[ −6, 0] ;

г) няма решения.

x − 2 > 2 − x са:

б) x ∈( 2,3] ;

в) x ∈( 2,5) ;

г) x∈( 2, + ∞ ) .

1 1 x + y = 5  14. Решенията на системата  са наредените двойки 1 1  + = 13  x 2 y2

1 1 1 1 а)  ,  и  ,  ;  2 3 3 2

)

x 2 + 6 x + 9 ≤ 3 са:

13. Решенията на неравенството а) x ∈ [ 2, + ∞ ) ;

(x

в) x = 2 ;

б) x = 0 и x = 2 ;

12. Решенията на неравенството а) x ∈ ( −∞ , − 6] ∪ [ 0, + ∞ ) ;

г) x = 20 .

б) ( 2,3) и ( 3, 2 ) ;

в) (1, 2 ) и ( 2,1) ;

( x, y ) :

г) друг отговор.

15. За аритметична прогресия с първи член 24 е известно, че нейните първи, пети и единадесети членове в този ред образуват геометрична прогресия. Разликата на аритметичната прогресия е: а) 4 ; б) 5 ; в) 2 ; г) 3 . 16. Корените на уравнението а) x = 0 ;

б) x = 0 и x = 1 ;

1

= 5( x −1) са: 2

51− x

2

в) x = 1 ;

г) няма реални корени.

17. Всички решения на уравнението 4 x − 2 x − 6 = 0 са: в) x =1 ; a) всички реални числа; б) x = 2 и x = 3 ; 1 18. Решение на уравнението    3 б) −4 ; в) 2 ; а) −2 ;

log 3 x 2

=4

г) x = log 2 3 .

log 1 ( x+ 4 ) 2

е числото:

г) 3 .

19. Решенията на уравнението log 2 x 2 − log 1 x = 3 са: 2

а) x = 2 ;

б) x = 2 и x = 3 ;

в) x = 1 ;

г) x = 4 .

2x +1 ≥ 0 са всички реални числа x , за които: 2x −1 1 1 1 1     б) x ∈ −∞, −  ∪  , + ∞  ; в) x ∈ −∞,  ; г) x ∈ −∞, −  . 2 2 2 2    

20. Решенията на неравенството log 0,3

 1 1 а) x ∈ − ,  ;  2 2

21. Решенията на неравенството log 3 x − log x 9 ≥ 1 са всички реални числа x такива, че:

1  а) x ∈  ,1 ∪ [9, + ∞ ) ; 3 

1  б) x ∈ − ∞,  ∪ [9, + ∞ ) ; 3 

в) x ∈ [9, + ∞ ) ;

22. Решенията на уравнението log 1 log3 ( 25 − 2 x ) = − 1 са: 3

а) x = −1 ;

б) x = 11 ;

в) x = −1 и x = 11 ;

г) няма решения.

1  г) x ∈  ,9  . 3 


 3π  23. Ако α ∈  π ,  , то изразът  2  a) sin α ;

1

е тъждествено равен на: 1 + tg 2α в) cot g α ; г) cos α .

б) − cos α ;

24. Числената стойност на израза sin 65 cos 25 + sin 25 cos 65 е: б) 1;

а) 0 ;

в)

1 ; 2

2 . 2

г)

25. Ако tgα + cotgα = 2 и α ∈(180 , 270 ) , то ъгъл α е равен на: a) 180 ;

в) 225 ;

б) 215 ;

г) 235 .

26. Всички решения на уравнението cos x − 3 sin x = 0 в интервала [ 0, 2π ] са: а) x =

π 3

и x=

4π ; 3

б) x = 0 и x =

π 6

в) x =

;

π 6

и x=

7π ; 6

г) x =

π 2

и x = 2π .

27. Функцията f ( x ) = sin 2 x , при x > 0 , има за производна f ′ ( x ) следната функция: а) f ′ ( x ) =

cos 2 x ; 2x

б) f ′ ( x ) = −

cos 2 x ; 2x

в) f ′ ( x ) =

sin 2 x ; 2x

г) f ′ ( x ) = −

sin 2 x . 2x

28. Функцията f ( x ) = x 3 − 27 x е растяща в интервала: а) ( −∞ , − 3) ∪ ( 3, +∞ ) ;

б) ( −3,3) ;

в) ( 0, + ∞ ) ;

г) друг отговор.

29. При коя от посочените стойности на аргумента x функцията y = x + а) x = − 1 ;

б) x = 0 ;

в) x =1 ;

30. Стойността на границата lim x→2

а) 0 ;

б)

1 ; 4

в) 1 ;

1 има локален минимум? x

г) x = 2 . x+ 2 −2 е следното число: x−2

г) 2 .

31. Ортогоналните проекции на катетите върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник са с дължини 3 cm и 4 cm . Височината към хипотенузата на този . правоъгълен триъгълник е с дължина равна на: h =? а) 4 cm ;

б) 2 3 cm ;

в) 2 cm ;

.

г) 4 3 cm . 3 cm

4 cm

32. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е с дължина 10 cm , а дължината на радиуса на вписаната в триъгълника окръжност е 2 cm . Дължините на катетите са равни на: а) 3 cm и 4 cm ;

б) 6 cm и 8 cm ;

в) 3 2 cm и 4 2 cm ;

33. Вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност разделя хипотенузата му на отсечки с дължини 2 cm и 3 cm . Лицето на триъгълника е равно на: а) 3 cm 2 ; б) 4 cm2 ; в) 6 cm 2 ; г) 12 cm 2 .

г) 3 3 cm и 4 3 cm . S△ = ?

3 cm

34. Лицето на триъгълник с дължини на медианите 13 cm , 14 cm и 15 cm е равно на: а) 84 cm 2 ; б) 112 cm2 ; в) 168 cm 2 ; г) 56 cm 2 .

2 cm


35. Две от страните на триъгълник са с дължини 5 cm и 8 cm , а ъгълът между тях е равен на 60 . Дължината на радиуса на окръжност, която се допира до тези две страни на триъгълника и до вписаната в него окръжност (вж. черт.), е равна на: 3 3 б) в) г) 2 3 cm . а) 3 cm ; cm ; cm ; 2 3

8 cm

. r

r1 = ?

.

60

5 cm

36. В успоредник с дължини на страните 7 cm и 9 cm един от диагоналите му има дължина 8 cm . Дължината на другия диагонал на успоредника е равна на: а) 12 cm ; б) 13 cm ; в) 15 cm ; г) 14 cm . 37. Даден е успоредник ABCD , за който е известно , че дължините на диагоналите му се отнасят както 2 : 3 . Ъглополовящите на ъглите определени от диагоналите на успоредника пресичат страните AB, BC , CD и DA съответно в точките K , L , M и N . Отношението от лицата на четириъгълника KLMN и успоредника ABCD е равно на: 1 12 2 3 б) ; в) ; г) . а) ; 2 25 3 4 38. Лицето на ромб с дължина на височината а)

3 cm2 ;

б) 2 3 cm2 ;

в) 3 3 cm2 ;

S KLMN =? D S ABCD

M

N

L A

K

г) 3 2 cm2 . C

D

40. В трапец ABCD с дължини на основите AB = 4 cm и CD = 2 cm , през средите на бедрата му AD и BC минава права, която пресича диагоналите AC и BD съответно в точките E и F . Дължината на отсечката EF е равна на: 3 б) cm ; в) 2 cm ; г) 1 cm . а) 3 cm ; 2 41. Разстоянията от центъра на вписаната в правоъгълен трапец окръжност до краищата на по – голямата основа на трапеца са 3 2 cm и 5 cm . Лицето на трапеца е: 147 cm 2 ; 4

б)

81 2 cm2 ; 4

в) 36 cm 2 ;

B

3 cm и остър ъгъл с големина 60 е равно на:

39. В квадрат ABCD точка P е от страната AB и такава, че AP : AB = 1 : 3 , а точката Q е среда на страната AD . Каква част от лицето на квадрата е лицето на четириъгълника PBCQ ? 1 2 3 1 а) ; б) ; в) ; г) . 2 3 4 3

а)

C

S PBCQ S ABCD

=?

Q A

P

2 cm

D E A

S =?

C F

4 cm

EF = ?

B

. .

3 2 cm

B

5 cm

г) 27 2 cm 2 .

42. В окръжност е вписан триъгълник. През два от върховете на триъгълника са прекарани допирателни към окръжността, които сключват помежду си ъгъл с големина 36 . Големината на ъгъла при третия връх на триъгълника е: б) 108 ; в) 90 ; г) 36 . а) 72 ;

=?

36


43. Взети са три концентрични окръжности по такъв начин, че R = 3 cm кръгът с най-голям радиус се разделя от останалите две окръжности R 1 =? на три равнолицеви части. Ако е известно, че дължината на найR 2 =? големия радиус е 3 cm , то дължините на радиусите на другите две окръжности са: 6 1 а) 1 cm и 2 cm ; б) 1 cm и 2 cm ; в) 2 cm и г) 1 cm и cm ; cm . 2 2

R2 R1

. R

C

M

44. Окръжност минава през върховете A и B на триъгълник ABC CM : AM = 2 : 3 и пресича страните му AC и BC съответно в точките M и N . Ако е известно, че CM : AM = 2 : 3 , CN = 5 cm и NB = 3 cm , то дължиAM = ? ната на отсечката AM е: A б) 2 3 cm ; в) 6 cm ; г) 4 3 cm . а) 4 cm ;

5 cm

N

3 cm

B

45. На чертежа са изобразени два еднакви припокриващи се кръга с дължина на радиуса 2 cm . Лицето на защрихованата част от фигурата е равно на: 4 8 16 а) π cm2 ; б) π cm2 ; в) π cm2 ; г) не може да се определи. 3 3 3 46. В тетраедър ABCD ръбовете AD , BD и CD са два по два взаимно перпендикулярни. Ако е известно, че дължините на два от тези ръбове са равни на 1 cm и 2 cm , V AB CD = 1 cm 3 3 D а обемът на пирамидата е 1 cm , то дължината на другия ръб е: CD = ? .. . б) 3 cm ; в) 2 cm ; г) 1 cm . а) 4 cm ; AD =1 cm C BD = 2 cm

A

47. Ако в правилна триъгълна пирамида ъгълът между околна стена и основа е равен на 45 , то стойността на косинуса на ъгъла между две околни стени е: 1 1 1 1 а) − ; б) ; в) − ; г) . 2 2 4 3

D

Q

∡ CPD = 45

48. Даден е куб ABCDA 1 B1C1 D1 , за който ABCD е основа, а AA 1 , BB1 , CC1 и DD1 са околни ръбове. Косинусът на ъгъла между правите AA1 и B1 D е равен на: а)

3 ; 3

б)

1 ; 3

в)

3;

г)

B

3 . 2

49. Най – големият възможен обем на вписан в сфера, с дължина на радиуса 3 cm , прав кръгов цилиндър е: 35 3 а) 18 3 π cm3 ; б) 24 3 π cm3 ; в) π cm3 ; г) 12 3 π cm3 . 3

C

cos ∡ AQB = ? A

B

P

D1 A1

C1 B1

C

D A

cos ∡ ( ( AA 1 ) , ( B1 D ) ) = ?

B R = 3 cm

VMax = ?

R

O

50. Околната повърхнина на прав кръгов пресечен конус е равна на 9 π cm 2 , образувателната му е с дължина 3 cm , а дължините на радиусите му се отнасят както 1 : 2 . Централният ъгъл на развивката на околната повърхнина на конуса, от който е получен пресеченият конус е с големина: а) 270  ; б) 60 ; в) 90 ; г) 120  .


Таблица на отговорите: № 1

а

б

в

г

а

б

в

г

2

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

27 а

б

в

г

3

28 а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

4

29

5

30

6

31

7

32

8

33 а

б

в

г

9

34 а

б

в

г

10

35 а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

11

36

12

37

13

38

14

39 а

б

в

г

15

40 а

б

в

г

16

41 а

б

в

г

17

42 а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

а

б

в

г

18

43

19

44

20

45

21

46 а

б

в

г

22

47 а

б

в

г

23

48 а

б

в

г

а

б

в

г

24 25

№ 26

49 50


2010.13.07 Технически университет - Варна