2010.10.04 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"

НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10 АПРИЛ 2010г. ПЪРВА ТЕМА

Задача 1. а) Да се реши уравнението 4 x − 9.2 x + 8 = 0 .

б) Да се реши уравнението x2 + x − 2 = 4 .

Задача 2. Дадено е уравнението mx 2 − 3(m − 2 )x + 2m − 4 = 0 , където m (m ≠ 0 ) е реален параметър. Нека x1 и x2 са корените на даденото уравнение. а) Да се намерят стойностите на m , за които x1 < 0 и x2 > 0 . б) Да се намерят най-малката и най-голямата стойност на функцията ϕ(m ) = x12 + x22 + x1 x2 m 2 в интервала m ∈ [1,2] .

(

)

Задача 3. Даден е равнобедрен ΔABC с основа AB . Бедрата AC и BC имат дължина 2 , а височината към основата има дължина 1 . а) Да се намери cos ∠ACB . б) Да се намери дължината на радиуса на вписаната в ΔABC окръжност.

Задача 4. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 . Диагоналът AC1 има дължина а) Да се намери обемът на куба. б) Да се намери cos ∠CAC1 .

3.

КРАТКИ ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. а) Да се реши уравнението 4 x − 9.2 x + 8 = 0 .

б) Да се реши уравнението x2 + x − 2 = 4 . Решение на задача 1. а) Полагаме 2 x = u (u > 0 ) и получаваме квадратното уравнение u 2 − 9u + 8 = 0 , което има решения u1 = 1 и u2 = 8 . От тях се получават съответно двете решения x1 = 0 и x2 = 3 . Отговор. x1 = 0 и x2 = 3 . б) Разглеждаме два случая.

1) x ≥ 2 . В този случай уравнението се свежда до x2 + x − 2 = 4 с решения x1 = −3 и x2 = 2 . Решението x1 = −3 отпада понеже не принадлежи на интервала x ≥ 2 .

2) x < 2 . В този случай уравнението се свежда до x2 − x + 2 = 4 с решения x3 = −1 и x4 = 2 . Решението x4 = 2 отпада понеже не принадлежи на интервала x < 2 . Отговор. Решенията на даденото уравнение са − 1 и 2 . Задача 2. Дадено е уравнението mx 2 − 3(m − 2 )x + 2m − 4 = 0 , където m (m ≠ 0 ) е реален параметър. Нека x1 и x2 са корените на даденото уравнение. а) Да се намерят стойностите на m , за които x1 < 0 и x2 > 0 . б) Да се намерят най-малката и най-голямата стойност на функцията ϕ(m ) = x12 + x22 + x1 x2 m 2 в интервала m ∈ [1,2] . Решение на задача 2. а) Дискриминантата на квадратното уравнение е D = m 2 − 20m + 36 . Условието за наличие на различни реални корени D > 0 заедно с условието m ≠ 0 води до ограничението m ∈ (− ∞,0 ) U (0,2 ) U (18, ∞ ) . Условието x1 < 0 и x2 > 0 означава x1 x2 < 0 . По формулите на Виет имаме 2m − 4 x1 x2 = < 0, m което е еквивалентно на m ∈ (0,2 ) . Окончателно за търсените стойности получаваме m ∈ (0,2 ) .

(

)

Отговор. m ∈ (0,2 ) . б) Преобразуваме ϕ(m ) във вида 2 ϕ(m ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 m 2 . Сега отново от формулите на Виет 3m − 6 2m − 4 и x1x2 = x1 + x2 = m m намираме ϕ(m ) = 7 m 2 − 32m + 36 .

[

]

16 , което 7 лежи извън интервала m ∈ [1,2] , следователно най-голямата и най-малката стойност на ϕ(m ) се достигат в краищата на интервала [1,2]. Пресмятаме ϕ(1) = 11 и ϕ(2) = 0 следователно ϕ max = ϕ(1) = 11 и ϕ min = ϕ(2 ) = 0 . Отговор. ϕ max = ϕ(1) = 11 и ϕ min = ϕ(2) = 0 . Върхът на параболата за тази квадратна функция се получава за m0 =

Задача 3. Даден е равнобедрен ΔABC с основа AB . Бедрата AC и BC имат дължина 2 , а височината към основата има дължина 1. а) Да се намери cos ∠ACB . б) Да се намери дължината на радиуса на вписаната в ΔABC окръжност. Решение на задача 3. а) Нека CH е височината към основата AB (фигура 1).

Фигура 1.

От правоъгълния ΔBHC намираме CH 1 = sin ∠HBC = CB 2 следователно ∠ABC = 30o = ∠BAC (ъгълът ∠ABC е остър), и ∠ACB = 180o − 30o − 30o = 120o , откъдето намираме 1 cos ∠ACB = − .

2 1 Отговор. cos ∠ACB = − .

2 б) От правоъгълния ΔBHC намираме 3 BH = BC cos ∠ABC = 2 = 3 2

следователно AB = 2 3 . За лицето S ΔABC и полупериметъра p на ΔABC намираме 1 1 S ΔABC = AB .CH = 2 3 = 3 2 2 1 1 p = ( AB + AC + BC ) = 2 3 + 2 + 2 = 3 + 2 2 2 следователно радиусът на вписаната окръжност има дължина S 3 = 3 2− 3 . r = ΔABC = p 3+2 Отговор. r = 3 2 − 3 .

(

(

(

)

)

)

Задача 4. Даден е куб ABCDA1B1C1D1 . Диагоналът AC1 има дължина 3 . а) Да се намери обемът на куба. б) Да се намери cos ∠CAC1 . Решение на задача 4. а) Да означим с a дължината на страната на куба ABCDA1B1C1D1 (фигура 2).

Фигура 2.

От правоъгълния ΔABC имаме AC 2 = AB 2 + BC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 , а от правоъгълния ΔACC1 имаме

AC12 = AC 2 + CC12 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 .

По условие AC1 = 3 , следователно a = 1 . Сега за обема на куба намираме Vкуб = a 3 = 1 . Отговор. Vкуб = 1 . б) От правоъгълния ΔACC1 намираме

cos ∠CAC1 =

AC 2 = .

AC1 3

Отговор. cos ∠CAC1 =

6 .

3