Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 26 май 2009 г. – Вариант 2 УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида: • 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен; • 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте със син/черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. Отбелязвайте верния отговор със знака

Х

в

кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А

Б

В

Г

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и отбележете буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А

Б

В

Г

За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е отбелязана със знака Х . Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълнете решения с необходимите обосновки.

ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!


Отговорите на задачите от 1. до 20. вкл. отбелязвайте в листа за отговори!

1. Кое от посочените числа е най-малко? А) 2

1 2

1

(

2. Стойността на израза 2 3 − 2

А)

)

2

+

24 е: 6

Б) 8

А) 14

3. Ако

Г) tg ( −135D )

В) ( −9 ) 3

Б) lg 1

а = 2 , то стойността на израза b

5 3

Г) 8 + 8 6

В) 8 6

(a + b )(a 2 + b 2 ) a 3 + b3

Б) 1

е:

В) 4

Г) 6

4. Кое от посочените квадратни уравнения има два отрицателни корена? А) − x 2 + 6 x − 4 = 0

Б) x 2 − 6 x − 4 = 0

В) x 2 + 6 x + 4 = 0

Г) − x 2 − 6 x + 4 = 0

5. Коя от посочените функции е представена графично на чертежа? y 2 2 А) y = x + x − 6 Б) y = − x − x + 6 2 В) y = − x + x + 6 Г) y = x 2 − x − 6 2 x –3 6. Изразът А) x ≤ 0

−5 НЯМА смисъл при: 3x − 6 Б) x ≤ 2

7. Стойността на израза А) −18

3log 52 1 − 4 log 5

Б) 1

В) x > 2

Г) x ≥ 2

1 − 5log5 10 е : 25

В) −1

Г) −2

8. Решения на неравенството (x − 4 )(9 − 2 x ) ≥ 0 са:

⎡ 9⎤ А) x ∈ ⎢ 4; ⎥ ⎣ 2⎦ Вариант 2

Б) x ∈ [ 4; + ∞ )

9⎤ ⎛ В) x ∈ ⎜ −∞; ⎥ 2⎦ ⎝

⎡9 ⎞ Г) x ∈ (−∞; 4] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ ⎣2 ⎠


⎛ 1225 ⎞ 9. Стойността на израза cot g ⎜ π⎟ е: ⎝ 2 ⎠ А) −1 Б) 1 10. Ако tgα = 3 , то стойността на израза

А)

2 5 5

Б)

Г) недефинирана

В) 0

2 sin (180° − α ) + 3 cos(180° − α ) е: cos(90° − α ) + sin (90° + α )

3 4

В)

5 2

Г) − 3 2

11. За аритметичната прогресия a1 , a2 ,..., a9 е известно, че a1 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a9 е равна на: А) 14

Б) 16

a2 + a8 = 8 . Сумата

В) 28

Г) 32

12. В телевизионна игра участват 50 души, между които има двама братя. Водещият на играта по случаен начин избира един от участващите. Вероятността той да е някой от братята е: 1 1 1 1 А) Б) В) Г) 2 4 25 50 13. В + ABC , ъглополовящата на ∠ACB дели страната AB в отношение 8 : 3 , считано от върха A . Ако AC = 16 cm , то дължината на страната BC е: А) 42

2 cm 3

В) 9, 6 cm

Б) 6 cm

Г) 4 cm

C

14. На чертежа AP : PC = 2 : 3 и CB : CQ = 5 : 2 . Ако PQ = 9 cm , то със сигурност е вярно, че:

P

А) AB = 22,5 cm

Б) AB = 15 cm

В) AB & PQ

Г) AB и PQ не са успоредни

A

15. Даден е ромб ABCD и точка M ∈ AB , такава че AM : MB = 3 : 2 . Ако AC пресича DM в точка N , то отношението MN : ND е равно на: А)

3 5

Вариант 2

Б)

2 3

В)

1 2

Г) 1

Q B


16. В правоъгълен триъгълник медианите към катетите са равни на

52

и

73 .

Дължината на хипотенузата е равна на: А) 5

Б) 6

В) 8

Г) 10

17. В триъгълник АВС AB = 13 cm , AC = 8 cm . Ако ∠ACB = 120° , то дължината на страната BC е: Б) 129 cm

А) 7 cm 337 cm

В) 15 cm

Г)

18.Ако в + ABC ∠A = 60D и височините през върховете C и B са съответно 6 cm и 3 cm , то лицето на + ABC е равно на: А) 6 cm2

Б) 6 3 cm2

В) 12 cm 2

Г) 9 cm 2

19. Точка O е център на описаната около триъгълника ABC окръжност. Ако AO = R и на + AOB е равно на:

∠ ACB = γ , γ > 90° , то лицето

А) R sin 2γ

1 Б) R 2 sin 2γ 2

В) − R 2 sin 2γ

1 Г) − R 2 sin 2γ 2

2

γ

А

А) 64 cm

Б) 32 cm

В) 16 cm 2

B

О

20.Диагоналите на равнобедрен трапец са перпендикулярни помежду си. Ако височината на трапеца е 8 cm , то лицето му е равно на: 2

C

.

2

.

Г) 8 cm 2

Отговорите на задачите от 21. до 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!

21. Неравенството log 1 x + 4 log 1 x < 5log 1 y е изпълнено за x > 0 и y > 0 . Запишете 2

2

2

по-малкото от числата x и y .

22. В банка са вложени 5000 лв. при годишна сложна лихва 4% . Намерете колко лева ще е сумата след 2 години.

Вариант 2


23. За

tgα =

1 , намерете стойността на израза 5

A=

5 . 5 + sin 2α

24. Към вписана в равнобедрен триъгълник + ABC окръжност е построена допирателна MN ( M ∈ AC , N ∈ BC ) , успоредна на основата AB . Точката M разделя бедрото AC на отсечки с дължини 1 cm и 2 cm , считано от основата. Намерете дължината на MN в сантиметри. 25. Правите a и b са успоредни. Върху правата a са дадени пет точки, а върху правата b – четири точки. Колко различни трапeца могат да бъдат построени с върхове тези точки?

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от26. до 28. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Намерете сбора от корените на ирационалното уравнение 2 x 2 + x + 2 x 2 + x + 4 = 26

27. Намерете вероятността при случаен избор на трицифрено число от интервала [ 250;700] да попаднете на число, което при деление на 5 дава остатък 4 . 28. В триъгълник АBC AC = 8 cm , BC = 5 cm и ∠ACB = 60° . Точките P и Q са петите на височините съответно през върховете A и B . Да се намери лицето на +PCQ .

Вариант 2


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a

ax 2 + bx + c = 0

x1,2 =

Квадратна функция

Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−

b D ;− ) 2a 4a

Корен. Степен и логаритъм 2k

2 k +1

a 2k = a

m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b

nk

a 2 k +1 = a ;

a mk = n a m

log a a x = x

при k ∈

a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k

Комбинаторика

Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност

P ( A) =

Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k

брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи

0 ≤ P( A) ≤ 1

Прогресии

Аритметична прогресия:

an = a1 + ( n − 1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n −1

p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n

2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1

Sn =

n


Зависимости в триъгълник

1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2

S=

Формули за лице

1 S = chc 2

1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:

S=

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Тригонометрични функции

α0

00

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

300

450

600

900

π

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cos α − tgα −cotgα

sin cos tg cotg

900 − α cos α sin α cotgα tgα

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =

sin α + sin β = 2sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =

1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2

900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα

1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =

sin α − sin β = 2sin

α −β 2

cos

α +β

2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО ЖЕЛАНИЕ Учебен предмет – математика май 2009 г. ВАРИАНТ № 2 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1. 2. 3.

Верен отговор

В А А

23.

В Б Г Г А В Б В В Б Г А Г А А Г А y 5408 13 14

24. 25.

0.8 60

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Брой точки

Въпрос №

2

26.

2

27.

2

28.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

Верен отговор

x1 = 3, x2 = −

7 2

P = 90 451 5 3 2 S PCQ = cm 2

Брой точки 15 15 15


Въпроси с решения

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 26

Полагане

2х 2 + х + 4 = у

( 3т. )

Изразяване на 2х2 +х = у2-4

( 2т. )

Решаване на уравненето у2 + у – 30 = 0 ( 3т. )

у = 5, у = - 6 Уравнението

2 х 2 + х + 4 = −6 няма решение

За уравнението x1 = 3, x2 = −

За сбора

7 2

( 2т. )

2 х 2 + х + 4 = 5 -намиране на корени и проверка кои от тях са корени на даденото уравнение

⎛ 7⎞ 3 + ⎜ − ⎟ = −0,5 ⎝ 2⎠

( 4т. )

( 1т.)

Отговор: - 0,5

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 27

• определяне на броя на трицифрените числа (451) от интервала [ 250;700]

( 3т.)

• определяне на елементите на аритметичната прогресия : a1 = 254, d = 5, an = 699

• съставяне на уравнението

( 3т.) 699 = 254 + ( n − 1) 5, n ∈ N

( 3т. )

• определяне на броя (90) на трицифрените числа с посоченото свойство

• определяне на вероятността на събитието

( 3т. )

P ( A) =

90 451

( 3т.)


КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 28

Нека ∠BAC = α Тъй като ∠APB = ∠AQB = 90° , то четириъгълникът ABPQ е вписан в окръжност. Тогава ∠CPQ = α и

)BPQ = 180° − α

Следователно + PQC ~+ ABC , S PQC

откъдето намираме S = ABC

( ) CP AC

S

()

2

( 3 т. )

Q

(2 т.) 2

От правоъгълния + APC намираме CP = cos 60° = 12 AC Следователно SPQC = 1 2 ABC

C

⇒ S PQC = 14 S ABC

(2 т.).

60° α

α A

(2 т.). (2 т.).

S ABC = 12 AC.BC sin 60° = 12 8.5 23 = 10 3

(2 т.).

Следователно S PQC = 5 23 cm2

(2 т.).

*Забележка: Доказването на подобието на + PQC и + ABC по втори признак с коефициент на подобие cos 60D се оценява с 5 точки.

P B

Profile for stoyan bordjukov

2009.26.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  

2009.26.05 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА  

Profile for bgmath
Advertisement