Page 1

Софийски университет "Св. Климент Охридски" Факултет по математика и информатика Национална природоматематическа гимназия "Академик Любомир Чакалов" ПИСМЕН ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 2006 г. Задача 1. Да се реши неравенството

(x − 1)(x 2 + x − 2 ) ≥ 0.

(1 − 4 x ) 2

Задача 2. Да се пресметне стойността на израза

1 1 1 1 − + cos 200° − cos 50°. 2 2 2 2

Задача 3. Даден е правоъгълен триъгълник АВС с катети АС=3 и ВС=4. Точката К е такава, че АК=3 и ВК=6. Ако D е петата на височината през върха С, да се намери косинусът на ъгъла KDB. Задача 4. Да се реши уравнението

x 2 − x + 2 − x − x 2 = x − 1.

Задача 5. Да се реши неравенството log 1 x − 2 log x 2

1 > 1. 2

Задача 6. Даден е триъгълник АВС с ъгли ∠BAC = 45° и ∠ABC = 60° . Върху страните АВ и ВС са избрани съответно точки D и E, такива че ∠CAE = ∠ACD = 30° . Да се намери дължината CD, ако радиусът на описаната окръжност около ∆CDE е равен на 1. Задача

7. Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които

(

)

x2

(

уравнението a + 1 4 − 2 a − 2 има два различни реални корена.

)2 x

2

+ 4a + 4 = 0

Задача 8. Даден е триъгълник АВС със страни АВ=3, ВС=2 и ∠ABC = 30°. През върха В са построени височината ВН ( H ∈ AC ) и ъгло-половящата BL ( L ∈ AC ). Точките M и N са ортогоналните проекции на върховете А и С върху правата BL. Да се намери радиусът на окръжност-та, описана около триъгълника MHN. Задача 9. Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1 B1C1 с основен ръб АВ=3. Построена е равнина γ през медицентъра М на триъгълника АВС и центровете N и Р съответно на стените ABB1 A1 и ACC1 A1 . Да се намери обемът на призмата, ако тангенсът на ъгъла, който равнината γ сключва с равнината ABB1 , е равен на 6. Задача 10. Да се намерят всички цели числа х, които удовлетворяват неравенството x −

1 < 2. log 5 ( x + 2 ). 2

Време за работа – 5 часа.

Profile for stoyan bordjukov

2006 НПМГ "Академик Любомир Чакалов" София  

2006 НПМГ "Академик Любомир Чакалов" София  

Profile for bgmath
Advertisement