УАСГ – 13.07.2005 ТЕМА III
Задача 1 (общо 6 точки) a) (2 точки) Да се реши уравнението tg (t − t ).ctg 2 = 1 2
б) (2 точки) Определете кои от корените на горното уравнение лежат в интервала в) (2 точки) Нека
(−
π π
; ) 2 2
0 < t1 < t2 < ... < t101 са първите 101 последователни положителни
решения на даденото уравнение. Докажете, че 2 t12 + t22 + ... + t101 = t1 + t2 + ... + t101 + 202 + 5050π
Задача 2(7 точки) Допирателната в точката С към описаната около триъгълника АВС окръжност пресича правата АВ в точката О, като A е между О и В. Нека разстоянията от точките А и В до правата ОС са съответно m и n и ъгъл AOC = φ, като О < φ < 90°. а) (2 точки) Докажете, че ОС=
mn sin ϕ
б) (3 точки) Докажете, че радиусът R на описаната около триъгълника АВС
m+n−2 окръжност е равен на
mn cos ϕ
2sin 2 ϕ
в) (2 точки) Ако n = 4m намерете този ъгъл φ, за който отношението R/m е наймалко.
Задача 3 (7 точки) Дадена е правилната четириъгълна пирамида ABCDV с основа ABCD и височина VO към основата, като VO = АС = а. Равнината основата и се допира до вписаната в пирамидата сфера. Ако
α
е успоредна на
α пресича околните
ръбове AV, BV, CV и DV съответно в точките A1 , B1 , C1 , D1 , където А ≠ A1 , намерете: а) (3 точки) лицето на квадрата A1 B1C1 D1 ; б) (2 точки) косинусът на ъгъла между правите AV и BD1 ; в) (2 точки) разстоянието от точката А до равнината β, минаваща през правата BD1 и успоредна на ръба AV.
Указание: всяка точка носи 0,2 единици от оценката О, която се пресмята по формулата О = 2 + Т/5, където Т е броят на получените точки.