Page 1

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА – 2005 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. а) Числата , прогресия, а числата Да се намерят числата

и

, взети в този ред образуват аритметична , и образуват геометрична прогресия. , и , ако техният сбор е равен на .

б) Да се реши уравнението

.

в) Да се реши уравнението

.

г) Да се реши уравнението

.

Задача 2. Дадена е системата

където е реален параметър. а) Да се реши системата при . б) Да се намери множеството от стойностите на параметъра , за които системата има реални решения. в) Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията за

, където

е решение на системата.

Задача 3. В равнобедрен трапец см и

имат дължини

дължини см ( и а) Да се намери лицето на продълженията на двете бедра.

с бедра

и

см, а височините лежат върху , където

, основите и

имат

). е пресечната точка на

б) Да се намери разстоянието между центровете на вписаните в и окръжности. в) Да се намери максималното лице на правоъгълник, едната страна на който лежи върху основата , а краищата на срещуположната страна лежат върху двете бедра на трапеца. Задача

4.

В

триъгълна

пирамида

,

ръбът

е

перпендикулярен на основата и има дължина см. Височината в околната стена сключва с основата на пирамидата ъгъл с мярка

и

.


а) Да се намери лицето на . б) Да се намери обемът на пирамидата. в) Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, минаваща през ръба и сключваща с основата на пирамидата ъгъл с мярка

.

ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Решение на задача 1 а) От свойствата на аритметична и геометрична прогресия и от условието за сбора на числата , и , съставяме системата

От първото и третото уравнение следва, че намираме . Сега за и съставяме системата

, откъдето

От първото уравнение изразяваме и заместваме във второто, , . Решенията на това квадратно уравнение са , , което дава и . Получаваме следните две решения , , и , , . б) Полагаме . Областта от допустими стойности за е . Получаваме следното квадратно уравнение за , чиито решения са и . Решението не принадлежи на , а от решението получаваме , следователно . Даденото уравнение има само едно решение . в) Използваме формулата и заместваме в уравнението. Получаваме , ,


При

. получаваме следните решения , където

е цяло число, т.е.

, където

е цяло число.

При получаваме следните решения , където

е цяло число, т.е.

, където е цяло число. Решенията на даденото уравнение са и , където е цяло число. г) Областта от допустими стойности се получава от неравенствата и , което дава . Преобразуваме уравнението във вида , откъдето след повдигане на квадрат получаваме , , . Отново повдигаме на квадрат и получаваме , . Това квадратно уравнение има корени и . Проверката показва, че само е решение на даденото ирационално уравнение. Решение на задача 2 а) При системата приема вида

От второто уравнение изразяваме , откъдето след заместване в първото получаваме следното квадратно уравнение за ,


, , , , което има едно решение . На тази стойност на съответства . Следователно системата в този случай има единствено решение . б) За да определим стойностите на , за които системата има и заместваме в реални решения, от второто уравнение изразяваме първото. По този начин за получаваме квадратното уравнение , , . За неговата дискриминанта пресмятаме , . Системата има реални решения тогава и само тогава, когато , което е изпълнено, точно когато . Следователно множеството от стойностите на параметъра , за които системата има реални решения е интервала . в) Разсъждавайки както при решението на точка б), при , по формулата за решаване на квадратно уравнение, за получаваме и

,

на които съответстват и Системата има две решения

.

и За всяко от тези две решения имаме

.

, което показва, че функцията е добре определена в областта . До същия израз за може да се достигне и по следния начин. Като повдигнем второто уравнение в квадрат получаваме


, от което след изваждане почленно на първото уравнение, намираме , което отново води до формулата . Графиката на тази квадратна функция в интервала (черт. 1)

има вида

Черт. 1. Абсолютният минимум на квадратната функция се достига в точката , която е единственият корен на уравнението , която точка се явява вътрешна за разглеждания интервал . Следователно най-малката стойност на се достига за и е равна на . Най-голямата стойност на в интервала се достига в някой от неговите краища. Понеже и , то най-голямата стойност на се достига за и е равна на . Решение на задача 3


a) Нека е височината в точката е пресечна на отсечките следователно е височина в

към страната и . Понеже . Тогава

(черт. 2) и нека , то ,

. е подобен на триъгълник

Триъгълник следователно

,

, откъдето намираме , . За лицето на триъгълника намираме см2. б) Трапецът е равнобедрен, следователно правоъгълните и са еднакви ( , триъгълници ). Имаме см, откъдето намираме

, От друга страна

,

.

, следователно

. От теоремата на Питагор намираме .

Черт. 2. Нека и са центровете на вписаните окръжности в еднаквите правоъгълни триъгълници и , а е дължината на техния радиус. Съгласно формулата за радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник


. Нека и са допирните точки на вписаната в окръжност и , а и са допирните точки на съответно със страните вписаната в окръжност съответно със страните и . Очевидно четириъгълниците и са квадрати със страна , следователно . Разстоянието между центровете на вписаните в и е см. в) Нека е един вписан в трапеца правоъгълник (черт. 3), както е зададено условието на задачата. Да положим и . е пресечната точка на и . Очевидно е височина в Нека равнобедрения триъгълник .

Черт. 3. Тогава от подобните триъгълници или откъдето намираме

,

или което ни дава

,

. Трябва да намерим максималната стойност на

максималната

.

и

имаме

стойност

на

,

т.е.


Тук обаче трябва да вземем предвид факта, че правоъгълникът се разглежда като вписан в трапеца , а не в триъгълника , което означава, че променливата се мени в граници от до . Имаме , следователно глобалният максимум на квадратната функция се достига за , което лежи извън разглеждания интервал . Графиката на тази функция има вида

Черт. 4. Очевидно нейната максимална стойност достига при най-голямото възможно , т.е. за

в интервала . Следователно

се

см2. В този случай правоъгълникът

съвпада с правоъгълника

.

Решение на задача 4 а) Тъй като ръбът е перпендикулярен на основата на пирамидата, то е перпендикулярен на всяка права от равнината на основата (черт. 5). Следователно . Тогава за лицето на триъгълника намираме .


Черт. 5. От , където Следователно околната стена . Тогава на

е височина в стената

(

) и

следва, че

е равнината, определена от триъгълника . и е линеен ъгъл на двустенния ъгъл между и основата . По условие двустенният ъгъл е равен и

. От тук за лицето на триъгълник

намираме

см2. б) Намираме последователно ,

понеже триъгълникът Тогава

, е правоъгълен и равнобедрен (

см2.

и За обема на пирамидата се получава см3. в) Нека сечението (черт. 5) е триъгълникът . От правоъгълен триъгълник

имаме

).

. Тогава


. Следователно см2,

.

Profile for stoyan bordjukov

2005 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

2005 НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ"  

Profile for bgmath
Advertisement