6v matemática volume 2 frente a08

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D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

BE

Matemรกtica

Volume 2

SUMÁRIO A

Módulo 05:

Raciocínio lógico

3

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

Frente

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 06:

Teoria dos conjuntos

11

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 07:

Conjuntos numéricos

19

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 08:

Função

27

Autor: Luiz Paulo

Frente

B

Módulo 05:

Semelhança de triângulos

37

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 06:

Teorema de Tales e quadriláteros

45

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 07:

Polígonos

51

Autor: Paulo Ribeiro

Módulo 08:

Circunferência

57

Autor: Paulo Ribeiro

BE

Frente

2

Coleção Estudo

C

Módulo 05:

Médias

65

Módulo 06:

Trigonometria no triângulo retângulo

71

Módulo 07:

Arcos e ciclo trigonométrico

77

Autor: Paulo Ribeiro

Autor: Frederico Reis

Autor: Frederico Reis

Módulo 08:

Funções seno e cosseno Autor: Frederico Reis

85

FRENTE

MÓDULO

A 08

MATEMÁTICA Função

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

CONCEITOS BÁSICOS

Esquematicamente, temos:

f: A → B

A

Produto cartesiano

B

O produto cartesiano A x B de dois conjuntos A e B

não vazios é definido como o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), nos quais x pertence a A, e y pertence a B. A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

No diagrama anterior, definimos o seguinte:

Exemplo

Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 5}. Obter os

produtos cartesianos A x B, A e B x A. 2

A x B = {(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 5)}

A2 = { (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2),

(4, 3), (4, 4)}

B x A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}

Relação

Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, definimos uma

relação R de A em B como um subconjunto de A x B. Considere A = {–1, 0, 1, 2} e B = {1, 2}.

A x B = { (–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2),

Em outras palavras, cada um dos elementos do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B.

(2, 1), (2, 2)}

Assim, duas relações de A em B poderiam ser:

i)

O conjunto A é o domínio da função.

ii) O conjunto B é o contradomínio da função.

iii) Os elementos do contradomínio que estão relacionados, por setas, com os elementos de A formam o conjunto imagem da função.

FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓRMULAS

Algumas funções têm a sua lei de correspondência definida por fórmulas. Por exemplo, sejam dois conjuntos, M = {–1, 0, 1, 2} e N = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Seja f uma função que associa a cada elemento de M o seu dobro, acrescido de uma unidade. Denotando por x um elemento genérico do domínio M e denotando por y a sua correspondente imagem no conjunto N, temos a fórmula: y = 2x + 1, x ∈ M •

Para x = –1 ⇒ y = 2(–1) + 1 ⇒ y = –1.

•

Para x = 0 ⇒ y = 2(0) + 1 ⇒ y = 1.

R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1), (2, 2)}

•

Para x = 1 ⇒ y = 2(1) + 1 ⇒ y = 3.

R2 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1} = {(0, 1), (1, 2)}

•

Para x = 2 ⇒ y = 2(2) + 1 ⇒ y = 5.

M

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

BE

Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, uma relação f

de A em B é função de A em B se, e somente se, para todo

x ∈ A se associa a um único y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.

Sistema de notação A função f de A em B pode ser indicada por f: A → B.

f

–1 0 1 2

N

–1

–2

1 3

5

0 2 4 6

Dizemos que x é a variável independente, e y, a variável dependente. Assim, a variável y é dita função de x, e escrevemos y = f(x).

Bernoulli Sistema de Ensino

27

Frente A

Módulo 08

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Marcando esses pares (x, y) no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função.

Determinar o domínio de uma função significa saber para quais valores de x a expressão matemática y está definida, ou seja, quais valores podem ser atribuídos à variável x de modo a não violar as condições de existência da expressão matemática.

y 8 7 6 5 4 3 2 1

Exemplos 1º) Na função y = 3x + 7, para qualquer valor real de x existe uma imagem y correspondente.

Logo, o domínio dessa função é D = .

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

–2 –1 O –1 –2 –3 –4

1 , devemos observar que x – 4 x−4 é denominador de uma fração e, portanto, deve ser diferente de zero, ou seja, x – 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4.

Então, o domínio dessa função é D = {x ∈  | x ≠ 4}.

1 2 3 4 5 6

x

2º) Na função y =

3º) Na função y = x − 5 , devemos observar que x – 5 é o radicando de uma raiz quadrada.

Esse radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja, x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5. Então, o domínio dessa função deve ser D = {x ∈  | x ≥ 5}.

GRÁFICOS DE FUNÇÕES

RECONHECIMENTO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Observe os seguintes gráficos: Gráfico I

y

B

O gráfico de uma função f:  →  é dado pelo conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais que y = f(x).

Seguem alguns exemplos de gráficos de funções: Gráfico I y

Gráfico II y

O

x

A

Gráfico II

y

O

x

Gráfico III y

O

O

x

Gráfico IV y

x

O

B

x

Exemplo

A

x

Dada a função f: A → , na qual f(x) = 2x – 4 e A = [0, 6], representar o seu gráfico no plano cartesiano.

Sejam A e B os intervalos numéricos destacados em cada gráfico.

Vamos escolher alguns valores para x dentro do domínio A fornecido e substituí-los na expressão matemática dada.

Com os resultados, temos a seguinte tabela:

No gráfico I, existem elementos do conjunto A que estão relacionados com mais de um elemento do conjunto B. Portanto, tal gráfico não representa uma função de A em B.

BE 28

O

Coleção Estudo

x

y

0

–4

1

–2

2

0

3

2

4

4

5

6

6

8

No gráfico II, cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B. Portanto, tal gráfico representa uma função de A em B. De modo geral, para verificarmos se um gráfico representa uma função de A em B, basta traçarmos retas paralelas ao eixo Oy a partir dos elementos de A. Assim, se cada reta interceptar o gráfico em um único ponto, trata-se do gráfico de uma função.

Função

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO SEU GRÁFICO

FUNÇÃO CRESCENTE, DECRESCENTE E CONSTANTE i)

Função crescente: Uma função é dita crescente quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu domínio,

Considere o gráfico da função a seguir:

tais que x1 < x2, temos f(x1) < f(x2). Em outras

y

palavras, quando os valores de x aumentam, os valores

8

correspondentes de y também aumentam.

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O Imagem (Projeção no eixo das ordenadas)

3

Exemplo

y

O 1 2

5

MATEMÁTICA

1

x

6

f(x2)

Domínio (Projeção no eixo das abscissas)

Observe que a função está definida para um intervalo limitado de valores de x, a saber, o intervalo [1, 6].

Esse intervalo, que é a projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das abscissas, é o domínio da função.

Os correspondentes valores de y são dados pelo intervalo [1, 8].

Esse intervalo, que é a projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das ordenadas, é a imagem da função.

f(x1)

x1

O

x

x2

ii) Função decrescente: Uma função é dita decrescente

quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu domínio,

Portanto, temos domínio: D = [1, 6] e imagem: Im = [1, 8].

tais que x1 < x2, temos f(x1) > f(x2). Em outras

palavras, quando os valores de x aumentam,

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO

os valores correspondentes de y diminuem.

Exemplo

f(x)

Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores de x os correspondentes valores de y são negativos, nulos ou positivos.

f(x1)

Exemplo

Considere o gráfico da função f:  →  a seguir:

f(x2)

y

x1

–4 (raiz)

O

3 (raiz)

7 (raiz)

x

iii) Função constante: Uma função é dita constante quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu domínio,

temos f(x1) = f(x2). Em outras palavras, quando os

valores de x aumentam, os valores correspondentes

Analisando o gráfico anterior, temos:

Para –4 < x < 3 ou x > 7, os valores correspondentes de y são negativos. Apresentamos esse fato com os sinais de menos indicados no gráfico.

BE

i)

ii)

de y permanecem iguais.

Exemplo

f(x)

Para x = –4, x = 3 ou x = 7, a ordenada correspondente é nula. Esses pontos são chamados raízes ou zeros da função.

iii) Para x < –4 ou 3 < x < 7, os valores correspondentes de y são positivos. Apresentamos esse fato com os sinais de mais indicados no gráfico.

x

x2

O

x1

O

f(x1) = f(x2)

x2

x

Bernoulli Sistema de Ensino

29

Frente A

Módulo 08

GRÁFICOS: TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES

O gráfico correspondente é: y

f(x + 1)

5 4

Em várias situações, é possível efetuar a construção de

3

gráficos mais complexos a partir de translações ou reflexões

2

de gráficos de funções mais simples.

1

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

1) Tomemos como exemplo o gráfico da função

–3 –2 –1 O

f(x) = x + 2, com domínio .

1

2

3

x

4

Observe que o gráfico da função f(x + 1) equivale ao gráfico da função f(x) deslocado uma unidade para a esquerda. Portanto, o gráfico de f(x + 1) é obtido pela translação de uma unidade para a esquerda do gráfico de f(x).

x

f(x) = x + 2

–3

–1

–2

0

y

–1

1

5 4 3

0

2

1

3

2

4

f(x + 1) f(x)

2 1

–3 –2 –1 O

1 2 3 4 –1 –2

x

–3

y 4

f(x)

3 2

i)

1

–3 –2

–1 O –1

1

x

2

–2

–3

De maneira geral, seja o gráfico de uma função f(x) com domínio  e k um número real positivo.

Assim, temos:

O gráfico da função f(x + k) é obtido pelo deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades para a esquerda.

ii) O gráfico da função f(x – k) é obtido pelo deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades para a direita.

Exemplo

y f(x + k)

Como seria o gráfico da função f(x + 1) para todo x real?

f(x)

f(x – k)

k

x

Para responder a essa pergunta, tomemos os seguintes valores tabelados:

f(x + 1) = (x + 1) + 2 = x + 3

–3

0

–2

1

BE

x

–1 0

30

–k

2 3

1

4

2

5

Coleção Estudo

O

2) Considere, agora, o gráfico da função f(x) = x + 2 para todo x real. Seja uma função g:  →  dada por g(x) = 2 + f(x). Assim, temos: x

f(x) = x + 2

g(x) = 2 + f(x)

–3

–1

1

–2

0

2

–1

1

3

0

2

4

1

3

5

2

4

6

Função

Na figura a seguir, encontram-se representados

Agora, vamos construir o gráfico da função f(–x) para

os gráficos das funções f(x) e g(x) em um mesmo

todo x real. y

f(–x)

sistema cartesiano.

6 y

g(x)

f(x)

4 3

f(–x) = 3(–x) = –3x

–2

6

–1

3

0

0

1

–3

2

–6

3 2 1

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

2

x

5 4

–4 –3 –2 –1 O

1 –1

x

2

Observe que o gráfico de g(x) é obtido pela translação

–3 –4 –5

do gráfico de f(x) duas unidades para cima.

–6

Generalizando, seja o gráfico de uma função f(x) com domínio  e k um número real positivo. Assim, temos:

i)

1 2

–2 –1 O –1 –2

x

Observe que o gráfico da função f(–x) é obtido por

uma reflexão, em relação ao eixo y, do gráfico da

O gráfico da função g(x) = f(x) + k é obtido pelo

função f(x).

deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades

4) Novamente, vamos utilizar o exemplo da função

para cima.

f(x) = x + 2, cujo gráfico foi representado no item 1.

ii) O gráfico da função g(x) = f(x) – k é obtido pelo

A partir desse exemplo, vamos construir o gráfico da

deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades

função g(x) = –f(x).

para baixo.

x

f(x) = x + 2

–2

0

0

–1

1

–1

f(x)

0

2

–2

x

1

3

–3

2

4

–4

Exemplo

y

f(x) + k

k

O

f(x) – k

g(x) = –f(x)

–k

y

3) Considere, a seguir, o gráfico da função f(x) = 3x com domínio .

g(x)

y 6

x

2

5 4

f(x) = 3x

3

f(x)

1

–1

–2

O

–6

3 2

–2

–1

–3

1

–3

0

0

1

3

2

6

BE

–2

–2 –1

O1 2 –1 –2 –3 –4 –5 –6

1

–1

2

x

–4

x

Observe que o gráfico da função –f(x) é obtido por uma reflexão, em relação ao eixo x, do gráfico da função f(x).

Bernoulli Sistema de Ensino

31

MATEMÁTICA

1

Frente A

Módulo 08

SECAO: Fixação

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01.

04.

como melhor proposta, uma que estabelecia o preço n de venda de cada unidade por 120 – , em que n é 20

(UEG-2015) O gráfico das funções y = f(x) e y = g(x) é mostrado na figura a seguir. y

o número de uniformes comprados, com o valor por

y = g(x)

uniforme se tornando constante a partir de 500 unidades.

Se a empresa E1 comprou 400 uniformes e a E2, 600, na

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O –3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5

planilha de gastos, deverá constar que cada uma pagou pelos uniformes, respectivamente,

x

1

2

3

A) R$ 38 000,00 e R$ 57 000,00.

y = f(x)

B) R$ 40 000,00 e R$ 54 000,00.

C) R$ 40 000,00 e R$ 57 000,00.

D) R$ 38 000,00 e R$ 54 000,00.

De acordo com o gráfico, verifica-se que o valor de g(f(2)) + f(g(0)) é: A) –2

02.

(UFRN–2013) Ao pesquisar preços para a compra de uniformes, duas empresas, E1 e E2, encontraram,

GABARITO: A

7 6 5 4 3 2 1

GABARITO: C

B) 0

C) 1

D) 3

05.

(UFMG) Dos gráficos, o ÚNICO que representa uma função de imagem {y ∈ : 1 ≤ y ≤ 4} e domínio

Se f(25) = 125, f(1) é:

{x ∈ : 0 ≤ x < 3} é:

D) y

4 3 2 1

4

O

A) 6

C) 25

B) 1

D) 5

SECAO: Propostos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

O

2 3 x

E) y

4

4

1

1

3 x

GABARITO: E

(UFMG) Das figuras a seguir, a ÚNICA que representa o

A)

O

3 x

01.

gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é:

3 x

C) y

y

O a

B)

b x

y

4 1

O

03.

O a

3 x

C)

b x

y

GABARITO: E

(UFMG) Na figura, estão esboçados os gráficos de duas

funções f e g. O conjunto {x ∈ : f(x).g(x) < 0} é dado por: y

f

BE

–1

A) x > 0 ou x < –1 B) –1 < x < 0

O

g

2

O a

D)

b x

y

x

O a E)

b x

y

C) 0 < x < 2 D) –1 < x < 2 E) x < –1 ou x > 2

32

E) 4

1

B) y

O

(UEPB–2013) Uma função f definida de  em 

satisfaz à condição f(5x) = 5f(x) para todo x real.

GABARITO: C

A) y

GABARITO: D

Coleção Estudo

O a

b x

Função

02.

GABARITO: D

(UFSJ-MG–2013) Na figura a seguir, são dados os gráficos

06.

de y = f(x) e de outras quatro funções.

FWXY

4

y

2

experiência, pode-se afirmar que um camundongo:

f (x)

A) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.

x

-2

2

4

6

8

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

-6

foi observado que o tempo requerido para um camundongo  12  pela função f(n) = 3 +  minutos. Com relação a essa n 

O -8

(UFMG) Em uma experiência realizada com camundongos, percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado

IV

III

GABARITO: E

I

B) gasta cinco minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa.

C) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.

II

-4

Com base no gráfico, é CORRETO afirmar que:

D) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.

A) IV representa a função f(–x).

E) percorre o labirinto, numa das tentativas, em três minutos e 30 segundos.

B) II representa a função f(x) + 4.

C) III representa a função f(x + 3).

07.

D) I representa a função f(x + 4).

03.

DYJA

GABARITO: C

(UFMG–2010) Considere a função:

5HQQ

Então, é CORRETO afirmar que o MAIOR elemento do  f  

B) f(1)

G8Y7

24   é: 2  

08.

A) 2–10

C) 210

B) 4–10

D) 410

GABARITO: B

(UFMG) Seja f(x) = 32x. Sabendo-se que f(x + h) = 9 f(x)

para todo valor real de x, o valor de h é: A) 0

C) f(3,14)

C) 2

 24   D) f   2   

D) 3

GABARITO: B

(UFMG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários

E) 4

09.

GABARITO: D

(UFMG) Se f é uma função tal que f(1) = 3 e

necessários para distribuir, em um dia, contas de luz

f(x + y) = f(x) + f(y) para qualquer x e y reais,

entre x por cento de moradores, numa determinada

então f(2) é igual a:

cidade, seja dado pela função f(x) =

300x

150 − x

A) 1

. Se o número

de funcionários necessários para distribuir, em um dia,

10.

as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores A) 25

D) 45

B) 30

E) 50

BE

(UFMG) Seja f(x) =

1  f   é: x A) x2 + 1 B)

x2 + 1 x

2

1

x2 + 1

. Se x ≠ 0, uma expressão para

D)

1 2

x + 1 x2 2

x + 1

1

x

1

4

x

GABARITO: C

(UFMG) Seja f(x) =

para x ≠ a, é: E) N.d.a.

D) 6

E) 8

 1 para x > 0, o valor de f    x  x

1

(UFMG) Sendo f(x) =

B)

11.

C)

C) 3

GABARITO: C

A)

C) 40

GABARITO: D

B) 2

é igual a:

que as receberam é:

05.

 →  a função tal que f(1) = 4 e

f(x + 1) = 4 f(x) para todo real. Nessas condições,

B) 1

 7  A) f    31 

04.

(UECE) Seja f: f(10) é igual a:

x, se x é racional  f (x) =  1  , se x é irracional x

  7   conjunto f   , f (1), f (3,14),    31 

GABARITO: D

4

C)

D)

1 x

x

E)

C) −

B) –1

D) −

x

x

. O valor da expressão

A) 0

1

1 ax

f (x) − f (a) x−a

,

E) a – x

1 x−a

Bernoulli Sistema de Ensino

33

MATEMÁTICA

-4

Frente A

12.

C2V5

Módulo 08

GABARITO: A

(UFMG) Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas definidas no intervalo aberto ]0, 6[.

16.

M9RX

GABARITO: E

(CEFET-MG) Sejam a função real f, do segundo grau, definida graficamente por y

y

f

g f

3 1

4

5 6

2

x

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

O

g

f

f

g

x

O

Seja S o subconjunto de números reais definido por

e k uma constante real tal que k > 0. O gráfico que MELHOR

S = {x ∈ ; f(x).g(x) < 0}. Então, é CORRETO afirmar

representa a função g tal que g(x) = f(x – k) + k é:

que S é:

A)

A) {x ∈ ; 2 < x < 3} ∪ {x ∈ ; 5 < x < 6}

y

g

B) {x ∈ ; 1 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 4 < x < 5} C) {x ∈ ; 0 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 5}

O

D) {x ∈ ; 0 < x < 1} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 6}

13.

HXFM

GABARITO: A

(UFMG) Se f(x) = ax, pode-se afirmar que

f (x + 1) − f (x − 1)

14.

C) f(x + 1)

B) f(x)

D)

x

y

g

f (2) − 1

é igual a:

A) f(x – 1)

B)

f (2)

E)

O

f (2) − 1

2 f (1)

C)

x

y

f (2) − 1

GABARITO: D

(Mackenzie-SP) Se a curva dada é o gráfico da função y=a+

b

x

O

, então o valor de ab é:

x

g

y

D)

y

3

O

O

–1

A)

15.

Q3B1

1

2

B) ¹3

C) 2

E)

x

2

D) 4

E)

1

(UFMG) Observe a figura a seguir. Nela, estão representados o ponto A, cuja abscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é 5. Esses dois pontos pertencem ao gráfico da função f(x) = (x + 1)(x3 + ax + b), em que a e b são números reais. Assim, o valor de f(4) é:

17.

ZLUR

BE Coleção Estudo

g

x

(UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t

(em horas), a distância que falta percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, definida por

 t +7

D(t) = 4. 

 t2 + 1

B

 − 1 

Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:

O

34

x

GABARITO: C

f(x)

A) 65

y

O

4

GABARITO: D

g

B) 115

A

x C) 170

D) 225

A) 40 km.

D) 100 km.

B) 60 km.

E) 120 km.

C) 80 km.

Função

18.

GABARITO: A

(UFMG) Considere a função y = f(x), que tem como

02.

domínio o intervalo {x ∈ : –2 < x ≤ 3} e que se anula 3 somente em x = − e x = 1, como se vê nesta figura: 2

GABARITO: B

(Enem–2015) Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes critérios:

f(x)

I.

vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (Vi);

1

II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica. abaixo do valor mínimo (Vm);

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O 3 2

O

–1

1 1 2 2

1

2

III. vende todas as ações que possui, quando seu valor

x

3

fica acima do valor ótimo (Vo);

O gráfico apresenta o período de operações e a variação

Assim, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) ≤ 1?

do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia

    3 1 A) x ∈ : – < x ≤ – 1 ∪ x ∈ : ≤ x < 1 ∪ 2 2    

e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.

{x ∈ : 1 < x ≤ 2}

Valor da ação (R$)

 3   1  B) x ∈ : – 2 < x ≤ –  ∪ x ∈ : −1 ≤ x ≤  ∪ 2   2  

Vo

 3 1    C) x ∈ : – ≤ x ≤ – 1 ∪ x ∈ : ≤ x ≤ 2 2 2    

Vm

Vi

{x ∈ : 2 ≤ x ≤ 3}

10

  3 1   D) x ∈ : – < x ≤ – 1 ∪ x ∈ : ≤ x ≤ 2 2 2    

12

13

14

15

16

17 Tempo (hora)

Quantas operações o investidor fez naquele dia?

SECAO: Seção Enem

SEÇÃO ENEM 01.

11

A) 3

GABARITO: D

(Enem–2015) Atualmente existem diversas locadoras de

B) 4

veículos, permitindo uma concorrência saudável para o

C) 5

mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis.

D) 6

Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros valor da diária (R$)

depende da distância percorrida, conforme o gráfico.

160

P

140

Q

03.

GABARITO: D

(Enem–2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do

120

instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo

110

com a expressão T(t) = –

t2

+ 400 , com t em minutos.

4 Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada

80 60 40

para abertura quando o forno atinge a temperatura

20

de 39 °C.

20

40

60

80 100 120 140 160 Distância percorrida (km)

BE

O

E) 7

Disponível em: <sempretops.com>. Acesso em: 7 ago. 2012.

O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago nas locadoras P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)?

A) De 20 a 100.

D) De 0 a 20 e de 100 a 160.

B) De 80 a 130.

E) De 40 a 80 e de 130 a 160.

C) De 100 a 160.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

A) 19,0 B) 19,8 C) 20,0 D) 38,0 E) 39,0

Bernoulli Sistema de Ensino

35

MATEMÁTICA

–2

Frente A

Módulo 08

GABARITO: B

04.

(Enem–2011) A figura apresenta informações biométricas

05.

GABARITO: A

(Enem–2012) O gráfico fornece os valores das ações da

de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que

empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em

estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das

que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos

atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala

de tempo.

de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite

Valor da ação (em reais)

verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Essa fórmula m é apresentada como IMC = 2 , em que m é a massa em h quilogramas e h é altura em metros.

460

D R IR N O EI U TO LL S IS R IS ES TE E M RV A A D D E O EN S SI N O

380 330 280 200 150 100

O perfil dos novos corredores

DUÍLIO SABA

10 11 12 13 14 15 16 17

SANDRA TESCARI

Idade

50 anos

Idade

42 anos

Altura

1,88 metro

Altura

1,70 metro

Peso

96,4 quilos

Peso

84 quilos

94,5 quilos

Peso ideal

77 quilos

Peso ideal

Nesse dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.

Investidor

Hora da compra

VEJA. Ed. 2 055 (Adaptação).

1

10:00

15:00

No quadro é apresentada a escala de Índice de Massa

2

10:00

17:00

Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.

Escala de Índice de Massa Corporal

Categorias

IMC (kg/m2)

Desnutrição

Abaixo de 14,5

Peso abaixo do normal

14,5 a 20

Peso normal

20 a 24,9

Sobrepeso

25 a 29,9

Obesidade

30 a 39,9

Obesidade mórbida

Igual ou acima de 40

NOVA ESCOLA. n. 172, maio 2004.

A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na escala são:

A) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso.

B) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso.

C) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6,

BE

estando ambos na categoria de sobrepeso.

D) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal.

E) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal.

36

Tempo (em horas)

Coleção Estudo

Hora da venda

3

13:00

15:00

4

15:00

16:00

5

16:00

17:00

Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4 E) 5

GABARITO Fixação 01. A

03. E

02. C

04. C

05. D

Propostos 01. E

07. D

13. A

02. D

08. B

14. D

03. C

09. D

15. D

04. B

10. C

16. E

05. D

11. C

17. C

06. E

12. A

18. A

01. D

03. D

05. A

02. B

04. B

Seção Enem