Περιφέρεια y περίμετρον

Bernardino Ellero Muth D.N.I. 20.087.075

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Curso virtual “Matemática y Tecnología, una Articulación Innovadora” (Entrega Final) Universidad de San Andrés

Ď€ÎľĎ ÎšĎ†Î­Ď ÎľÎšÎą y Ď€ÎľĎ ÎŻÎźÎľĎ„Ď ÎżÎ˝ ÂżY esto? ÂżQuĂŠ significa?

Bueno, mås o menos parecido a esto se escriben dos palabras en griego, que significan: periferia y perímetro. Como podrås ver, ambas comienzan con la misma letra, la que nos interesarå de ahora en mås. Una letra muy, muy famosa en el mundo de las matemåticas: Pi. Esta letra tiene un valor numÊrico asignado‌ ¿Vemos cuål es?

El valor que se le asigna a đ?›‘ en las actividades matemĂĄticas habituales para la escuela primaria es 3,14. AsĂ­ que cada vez que veas representada esta letra griega, junto a una actividad de cĂĄlculo de perĂ­metro de la circunferencia o ĂĄrea del cĂ­rculo, o algĂşn ejercicio relacionado a ellos, recordĂĄ que:

PĂĄgina

Lo cierto es, que este es un valor “simplificadoâ€?, es decir, se toman solamente sus dos primeros lugares decimales para expresarlo, pero‌ đ?›‘ posee tantos lugares decimales que es imposible calcularlos a todos. Por eso decimos que es un “nĂşmero irracionalâ€? ademĂĄs de ser “trascendenteâ€?

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đ?›‘ = 3,14

Si consultás en el buscador Wolfram-Alpha, podrás encontrar algo así…

¿Y? ¿Sorprendido?

Pero aún falta saber de dónde proviene el valor asignado a pi.

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Para hacerlo sencillo: pi es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Supongamos que esta circunferencia tiene una longitud de 25,12 cm (aproximadamente)…

…Y su diámetro es de 8 cm.

El cociente entre ambos es el valor aproximado de pi.

25,12 : 8 = 3,14

Su uso en los cálculos geométricos.

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2π . r

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El valor de pi se emplea para calcular la longitud de la circunferencia, conociendo la longitud de su diámetro o su radio, empleándose habitualmente, la siguiente fórmula:

También se utiliza para calcular el área del círculo, utilizando para ello la fórmula que sigue:

 .r

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Una actividad para compartir en el aula: -Tenemos diferentes objetos de forma circular (llanta de bicicleta, una lata, un cd); - Rodeamos la misma con una tira de papel, dando una vuelta exacta.

- Con otra cinta tomamos la longitud del diámetro, - Finalmente, calculamos cuantas veces entra la cinta del diámetro en la más larga (perímetro).

Elaboramos conclusiones en grupo.

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Este tipo de experiencia directa y sencilla, ayuda a entender la relación entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia, reforzando contenidos previos y utilizando recursos de fácil acceso y manejo cotidiano.

Con la cinta de mayor longitud medimos una vuelta completa a la llanta.

Con la cinta más corta determinamos la longitud del diámetro.

Datos para tener en cuenta y no olvidar:

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Es muy importante entender que, al utilizar el valor π = 3,14, se está tomando una aproximación de π. Por lo tanto, todos los cálculos de las áreas que incluyan algún valor aproximado de π, serán solo eso: aproximaciones.

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El diámetro está determinado por un segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.

El radio está determinado por un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Un diámetro es igual a dos radios. (D = 2r)

Ahora pasamos del mundo real, concreto, al mundo virtual.

Para ello utilizaremos el programa GeoGebra.

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Veamos ahora, los pasos que debemos seguir para lograr nuestro objetivo.

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Para una mejor visualización de lo que vamos a construir con GeoGebra, ocultamos la vista algebraica, las cuadrículas y los ejes.

Eso sí, activamos la hoja de cálculo.

Pรกgina

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Es preferible elegir la herramienta compás para el trazado del círculo, ya que nos permitirá el desplazamiento de todo el conjunto imagen, seleccionando cualquiera de sus puntos.

También es importante destacar que para esto es necesario que los niños tengan conocimientos previos en cuanto al manejo del programa, el cual es de muy fácil comprensión y no requiere tiempos extensos, logrando muy pronto actividades que despiertan su interés.

Esta herramienta de aprendizaje es un software libre con fines educativos y puede instalarse desde la página:

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http://www.geogebra.org/cms/es/

Con escuadra, lápiz y compás…

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… siempre es bueno conocer un poco más.

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O utilizando una computadora…

Algunas curiosidades sobre el número

π

El número Pi tampoco ha sido ajeno al fenómeno de los crop circles, esas figuras geométricas que cada verano aparecen en los campos maíz de diversos lugares del mundo. El de la foto fue descubierto el 1 de junio de 2008 en Inglaterra. Y no tendría nada de anormal respecto a otras figuras parecidas, si no fuera porque el matemático Mike Reed descubrió que cada escalón de la espiral estaba espaciado en múltiplos de 36º. Y el resultado de sumar todos los escalones daba el número Pi. Lo que demuestra que, si lo hicieron los extraterrestres, las matemáticas son iguales en todos los confines del universo, o si realmente lo hizo un ser humano (como seguramente fue), al menos no se trataba de ningún ignorante.

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En 1998 Givenchy lanzó el perfume masculino Pi, creado por Alberto Morillas. El eslogan de la campaña fue “un poco más lejos que el infinito” y tanto en la caja como en la botella se podía ver representada la letra Pi.

Algunos valores de Pi obtenidos antes de 1600 Matemático o Lugar

año

valor

La Biblia (Reyes-I-7-23)

3

Papiro de Ahmes (Egip1650 a.C. to)

3,16

Tablilla de Susa (Babilo1600 a.C. nia)

3,125

Bandhayana (India)

3,09

500 a.C.

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C)

entre 223/71 y 220/70

Liu Hui (China)

260

3,1416

Tsu Chung Chih

480

Entre : 3,145926 y 3,1415927

Al-Kashi (Persia)

1429

3,1415926535897932

Franciscus Vieta (Francia)

(1540-1603)

3,1415926536

William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de Pi.(En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de este todos los demás eran incorrectos)

π

En 1949 uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determino Pi con 2037 decimales.

π

En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.

π

En 1961 Daniell Shanks(sin relación con William Shanks) y Wrench, obtuvieron en 8 h 23 min, 100.265 cifras en un IBM 7090.

π

En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada, en menos de 30 h, en un HITAC M-280 H obtuvieron 16.777.206 (224) cifras.

π

En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras , utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

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π

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Seguidilla de cálculos:

John Squire escribió una canción para su grupo The seahorses titulada Something tells to me, que caba con la siguiente estrofa: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!". Igualmente, Kate Bush compuso un tema titulado Pi en el cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número. Pero la palma se la llevó Mick Jagger el líder de los Rolling Stones. En 1970, en la película Performance, en la que interpretaba un hippy londinenses dedicado al tráfico de drogas, rodó una escena en la que, en pleno subidón de sustancias psicotrópicas, trataba de componer de forma totalmente improvisada un tema dedicado al número Pi.

Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

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Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

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Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Fórmulas para recordar:

2π . r

Perímetro de la circunferencia: Área del círculo:

π . r²

Área de la corona circular:

π . R² - π . r²

Área del sector circular:

π . r² . αº 360º

Y algo para practicar: Calculá el área sombreada.(Para comprobar los resultados podés utilizar calculadora gráfica).

25 cm

R= 75 cm

50 cm

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α = 130º

Para resolver:

Una pileta de natación tiene forma circular y su diámetro es de 24 m. Se quiere cercar la pileta con un alambrado que esté a una distancia uniforme de 3 m. ¿Cuántos metros de alambrado serán necesarios?

Cada uno de los rayos de una bicicleta mide 30 cm. Calculen: La longitud que recorre la bicicleta cuando la rueda da una vuelta completa.

La cantidad máxima de vueltas que tiene que dar la rueda para recorrer no más de 100 metros.

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En una plancha metálica rectangular de 1,5 m de largo y 0,5 m ancho, se recortan chapas circulares de 5 cm de diámetro. ¿Cuántas chapas se pueden recortar? ¿Cuál es el área de la chapa que se desperdicia en recortes?

Bibliografía Consultada: www.wolframalpha.com http://ciencianet.com/pi.html http://www.quo.es/ser-humano/3-con-14-curiosidades-sobre-pi http://www.juegosdelogica.com/numero_pi.htm http://suite101.net/article/breve-historia-del-numero-pi-irracional-ytrascendente-a26096 http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80#Historia_del _c.C3.A1lculo_del_valor_.CF.80 Buscador de imágenes de Google Pitágoras 7 Matemática: EGB 3. 1º Ed. Buenos Aires, SM, 2003.

Activa Matemática, Estadística y Probabilidad, Ed. Puerto de Palos.

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Matemática, Estadística y Probabilidad en estudio 7, Ed Puerto de Palos, 2010.