Grafos por todas partes - Teoría de Gráficas

TEORÍA DE GRÁFICAS

Céspedes Ocegueda Carlos Ramón Palapa Gonzalez Lizeth Beleni Rivera Cruz Elizabeth 1

Introducción La teoría de grafos, también llamada teoría de gráficas, es una rama de las matemáticas y las ciencias de la computación que estudia las propiedades de los grafos.

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas. Esta teoría requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce como análisis de redes Hay muchos ejemplos de su uso, uno de ellos podría ser cuando se le asignan pesos a sus arcos (aristas), estos pueden emplearse para solucionar problemas, como hallar el camino más corto entre dos puntos en una red de transporte, es decir, encontrar la ruta más eficiente entre un punto y otro.

La conectividad entre los elementos de un conjunto es pues el objetivo fundamental de la teoría de grafos.

2

Índice.

Unidad 3 Conectividad Emparejamiento Recorridos binarios Algoritmo Kruskal y Prim Ordenar una gráfica Redes de Dominancia y Comunicación

…..…………………………………5 …..………………………………6 …..…………………………7 …..……………………9 …..………………………11 ……… ……….……12

Unidad 4 Gráficas Eulerianas Gráficas Hamiltonianas Gráficas Unicursales Gráficas trazadas arbitrariamente Problema del Agente Viajero

…..………………………13 …..…………………..18 …..……………………..22 ……..………23 ….…..…………23

Unidad 5 Gráficas Lineales Gráficas Totales Factorización de una Gráfica

…..……………………………26 …..……………………………28 …..……………30 3

Unidad 6 Gráficas Planares Gráficas Planas Teorema de Euler Teorema de Kuratowski Número Cromático Teorema de los Cuatro Colores Gráficas Duales

…..…………………………31 …..……………………………32 …..…………………………33 …..…………………..35 …..…………………………36 …..………………37 …..…………………………….38

4

Unidad 3 Conectividad En las matemáticas y la informática , la conectividad es uno de los conceptos básicos de la teoría de grafos : se pide el mínimo número de elementos (nodos o bordes) que necesitan ser removidos de desconectar los nodos restantes de la otra. Está estrechamente relacionado con la teoría del flujo de la red problemas. La conectividad de un gráfico que es una medida importante de su capacidad de resistencia como una red.

Conceptos de conexión •

Componente: es una gráfica que es conectada

•

Línea de corte: Tiene que estar en una Grafica o Componente

•

Puntos de articulación: Es un nodo que al eliminarlo se desconecta la grafica

•

Bloque: No contiene puntos de articulación es un componente puede tener bucles

5

Emparejamiento Definición Un emparejamiento de un grafo G es cualquier subgrafo emparejamiento 1-regular de G (es decir, un subgrafo inducido por una colección de aristas dos a dos no incidentes entre sí).

Un emparejamiento máximo de un grafo G es cualquier emparejamiento de G de orden máximo (con el máximo número posible de vértices).

Definición Un emparejamiento perfecto de un (p,q)-grafo G es un emparejamiento de tamaño p/2 (luego p ha de ser par).

Definición: Un emparejamiento de un grafo ponderado G es cualquier subgrafo 1-regular de G(≡ cualquier conjunto de aristas NO incidentes dos a dos).

Un emparejamiento de peso máximo de un grafo ponderado G es un emparejamiento de G tal que la suma de los pesos de sus aristas sea máximo.

1

3

2

1

1

6

Hay cuatro tipos de Problemas relacionados con emparejamientos: 1. Encontrar un emparejamiento máximo en un grafo bipartito.

2. Encontrar un emparejamiento máximo en un grafo general.

3. Encontrar un emparejamiento ponderado máximo en un grafo bipartito ponderado.

4. Encontrar un emparejamiento ponderado máximo en un grafo ponderado general.

Recorridos binarios Estos patrones de uso se pueden dividir en las tres maneras en que tenemos acceso a los nodos del árbol. Hay tres patrones de uso común para visitar todos los nodos de un árbol.

La diferencia entre estos patrones es el orden en que es visitado cada nodo. Llamamos a estas visitas de los nodos un “recorrido”. Los tres recorridos que vamos a ver se llaman preorden, inorden y postorden. Comencemos definiendo estos tres recorridos con más cuidado, para luego mirar algunos ejemplos donde estos patrones son útiles. preorden En un recorrido en preorden, visitamos primero el nodo raíz, luego recursivamente realizamos un recorrido en preorden del subárbol izquierdo, seguido de un recorrido recursivo en preorden del subárbol derecho. inorden En un recorrido en inorden, realizamos recursivamente un recorrido en inorden en el subárbol izquierdo, visitamos el nodo raíz, y finalmente hacemos un recorrido recursivo en inorden del subárbol derecho. postorden En un recorrido en postorden, realizamos recursivamente recorridos en postorden del subárbol izquierdo y del subárbol derecho seguidos de una visita al nodo raíz.

7

V7 1 V8

V1 1

V3 1

V9 1

V2 1

V6 21

V4

V11 1

V10 1

V5 1

V12 1

Preorden: V7,V1,V2,V4,V6,V8,V9,V11,V10,V12,V5 Inorden: V3,V1,V4,V2,V6,V7,V11,V9,V8,V12,V10,V5 Postorden: V3,V4,V6,V2,V1,V11,V9,V12,V5,V10,V8,V7

Recorridos en amplitud y niveles Es aquel recorrido que visita los nodos del รกrbol por niveles, desde el superior hasta los niveles inferiores Top-Down: Se recorre de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha Bottom-Top: De abajo hacia arriba y de izquierda a derecha V4 1 V5 1

V1 1

V3 1

V2 1

V6 1

Top-Down: V4, V1, V5, V3, V2, V6 Bottom-Top: V3, V2, V6, V1, V5, V4 8

Métodos de Kruskal y Prim El objetivo de estos métodos es encontrar el árbol de expansión con menor peso o le llaman también el árbol económico Kruskal: 1.- Ordenar aristas de menor peso a mayor peso 2.- Se selecciona la arista de menor peso sin generar circuitos 3.- Se detiene cuando se tengan n-1 aristas Prim: 1.- Se inicia en cualquier nodo.

2.-Seleccionar la arista de menor costo adyacente al nodo 3.- Se busca la arista de menor costo de los nodos ya analizados adyacente que no genere circuitos Kruskal: 6

5

E

B

H

8 6

9

7

8 7

D 5

A

9

7

8

G

7

8 C

F

7

I

9

9

Prim 6

5

E

B

H

8 6

9

7

8 7

D 5

A

9

7

8

G

7

8 C

F

7

I

9

Ordenar una grafica

Para ordenar una gráfica se deben seguirlos siguientes pasos: 1. Detectar los componentes conectados o conjuntos cerrados y tomarlos como un solo nodo, que no contengan nodos antecesores iniciales.

2. Tomar todos los nodos que no tengan antecesor los cuales formaran la generación 0 Gen(0) 3. Considerando la gráfica resultante de G-Gen(0) (es decir la gráfica original menos la generación 0, será necesario quitar los nodos y arcos de la generación 0). Los nodos que carezcan de antecesor formaran la Gen(1).

4. En seguida se toma la subgrafica G-Gen(0)-Gen(1) y se repite el proceso hasta terminar con todos los nodos

10

0

3

1

4

2

5

Gen 0 5

3

Gen 1 3

5

4

Gen 2

3

5

4

0

1

2 11

Redes de Dominancia y De Comunicación Este tipo de redes es importante al analizar mercados o sectores para ubicar a empresas o sectores dominantes. En una digrafica de dominancia una flecha representa el dominio, influencia o superioridad que el elemento Vi tiene sobre Vj

vj

vi

Vi→Vj “Vi domina a Vj” Redes de comunicación En el análisis de problemas de tráfico y comunicación en las localidades, organizaciones, etc. Para las que se construyen las redes de comunicación, los vértices representan los elementos del sistema y los arcos los canales de comunicación. Entre estos elementos la existencia de comunicación en un sentido no implica necesariamente la relación en sentido inverso, por ello es que las redes que corresponden a estas estructuras son orientadas y en algunos casos simétricos . Al grafo también se le llama Grafo sagital. Si vi se comunica con vj, no necesariamente implica que vj se comunica con vi.

vj

vi

Vi>>Vj “Vi se comunica con Vj”

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Unidad 4

Gráfica Euleriana Definiciones Camino Euleriano Sea G una gráfica no dirigida, decimos que un camino es euleriano si y sólo si recorre toda la gráfica G pasando por cada una de sus aristas una y sólo una vez.

A continuación, un ejemplo de un camino Euleriano:

¿Sabías que… un paseo en una gráfica es un camino que no repite aristas pero que podría —o no— repetir vértices? En particular, todo camino de longitud cero o uno es un paseo. El problema de los puentes de Königsberg nos motivó a pensar en paseos que pasan por todas las aristas de una gráfica.

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Circuito Euleriano Decimos que G tiene un circuito Euleriano si y sólo si tiene un camino euleriano con mismo vértice inicial y final.

Proposición.

Sea G una gráfica no dirigida, entonces un camino de Euler o camino Euleriano, existe si todos los vértices de la gráfica G tienen grado o valencia par excepto los vértices inicial y final.1

1

Gráficas Eulerianas y Hamiltonianas. (2017, Julio 12). Recuperado de http://distwo.blogspot.com/2017/12/graficaseulerianas-y-hamiltonianas.html

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Recorrido cerrado Cubre todas las líneas de un grafo, comenzando y terminando en un mismo vértice, recorriendo sin repetición y en forma continua todas las líneas de un grafo G cualquiera.

Cuando tal recorrido existe, se denomina euleriano y un grafo que se puede trazar mediante un recorrido euleriano se llama grafo euleriano. En la fig. 1, G1 es obviamente un grafo euleriano; G2 no lo es, a pesar de que se puede trazar continuamente, ya que el recorrido comienza y termina en vértices distintos; finalmente, G3 no es un grafo euleriano, porque no se puede trazar continuamente.2

fig. 1 TEOREMA Un grafo G conexo es euleriano si y sólo si es la unión disjunta de ciclos.

Demostración: Si G es euleriano, G admite un recorrido euleriano T. Como T es cerrado, T contiene un ciclo C. Sea T' el recorrido obtenido al eliminar en T las líneas de C. T' sigue siendo un recorrido cerrado, por lo tanto, contiene un ciclo C'. Repitiendo este proceso, obtenemos una descomposición de G como la unión disjunta de los ciclos C, C'..., etc.

Recíprocamente, supongamos que G es una unión disjunta de ciclos. Sea C un ciclo cualquiera en G. Si entonces G es un ciclo y por lo tanto euleriano. Si existe un ciclo C' en G que tiene un vértice v en común con C (por hipótesis). Si G es la unión de C y C', entonces, comenzando en v trazamos C y luego C', obteniendo así un recorrido euleriano de G. Si la unión de C y C' no es todo G, existe un ciclo C'' que tiene algún vértice v' en común con C o con C', digamos por ejemplo con C'. Si G es la unión de C, C' y C'', entonces comenzando en v trazamos C, luego trazamos C' hasta llegar a v' y luego trazamos C'' hasta completar C', luego regresamos a v.

2

Cifuentes, C. (2017, Marzo 05). Teoría de grafos. Blogspot de http://teoriadegrafos.blogspot.com/2007/03/grafoseulerianos-y-hamiltonianos.html

15

AsĂ­, obtenemos un recorrido euleriano de G. Si la uniĂłn de C, C' y C'' no es todo G, continuamos con este procedimiento hasta obtener un recorrido euleriano de G.

COROLARIO: Un grafo conexo es euleriano si y sĂłlo si todos sus vĂŠrtices tienen valencia par.

(Este

teorema

rige

tambiĂŠn

para

multigrafos).

DemostraciĂłn: En un recorrido euleriano, cuando visitamos un vĂŠrtice, necesitamos al menos dos lĂ­neas distintas adyacentes al vĂŠrtice (una para llegar al vĂŠrtice y otra para salir de ĂŠl), incluyendo al vĂŠrtice inicial, porque tenemos que regresar a ĂŠl para concluir el recorrido. Esto significa, que cada vĂŠrtice contribuye con un nĂşmero par de lĂ­neas y, por lo tanto, su valencia es par.

El ciclo đ??śđ?‘› de longitud n tiene un paseo euleriano cerrado, pero no abierto.

La trayectoria đ?‘ƒđ?‘› de orden n tiene un paseo euleriano abierto, pero no cerrado.

EJEMPLO

2.2.4

Conoce mĂĄs a los creadores 16

3

17

GrĂĄfica Hamiltoniana Definiciones Camino Hamiltoniano Es el camino elemental que pasa por todos los vĂŠrtices del grafo.

Circuito Hamiltoniano Es un camino que vuelve a su punto de partida pasando por todos los vĂŠrtices del grafo.

18

Un grafo hamiltoniano es aquel que contiene un ciclo Hamiltoniano.

A pesar de la aparente analogía entre grafos Eulerianos y Hamiltonianos, hay profundas diferencias en su estudio. La fundamental es que no se conoce ninguna caracterización para los Hamiltonianos.

Teorema Si el grafo bipartido G= (v1 ∪ v2 , A) es Hamiltoniano entonces |v1 | = |v2 |

Teorema Si G es un grafo Hamiltoniano entonces, para todo S ⊂ V se cumple que el número de componentes conexas de G − S, es menor o igual que |S|.

Esta condición necesaria no es suficiente para asegurar que el grafo sea Hamiltoniano. El grafo de Petersen la cumple, pero no es Hamiltoniano.

Un concepto relacionado a los circuitos eulerianos:

Sea G un grafo. Un circuito de G se dice que es hamiltoniano si es simple y pasa por cada nodo de G exactamente una vez. Igualmente, definimos camino hamiltoniano.

Esta simple variación vuelve el problema más complejo: No se conoce caracterización de los grafos que admiten un circuito hamiltoniano (Y la complejidad del problema también aumenta).

¿Sabías que… los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman así en honor de William Rowan Hamilton? inventor de un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, aunque su solución no era generalizable a todos los grafos.

19

EJEMPLO

4

2.3.3

Conoce más a los creadores

4Álvarez,

M & Parra, J. (2013, Agosto 22). Teoría de grafos. [archivo PDF]. Recuperado de http://repobib.ubiobio.cl/jspui/bitstream/123456789/1953/3/Alvarez_Nunez_Marcelino.pdf

20

21

Gráfica Unicursal Si se tiene un paseo abierto donde no se repiten líneas, se tiene una línea unicursal.

En este tipo de gráficas se puede recorrer todas las líneas (aristas) de este en un solo trazo, se comienza en un vértice y se termina en otro.

Teorema Una digráfica es unicursal si y sólo si todos los vértices tienen grado interno y externo igual, excepto dos el inicial y el final

Ejemplo Las siguientes gráficas son Unicursales y todos sus vértices son de grado par a excepción del inicial y el final.

Pueden repetirse vértices en el paseo cerrado

22

Gráficas trazadas arbitrariamente

Características.

Una gráfica es trazada arbitrariamente desde un vértice V si el conjunto de líneas puede particionarse en circuitos de líneas disjuntas y todos ellos contienen al vértice V

Ejemplo Las siguientes gráficas son Trazadas arbitrariamente ya que se pueden descomponer en circuitos y existe por lo menos un vértice en común.

Problema del Agente Viajero

23

24

Si de clasificación hablamos...

Tipo de Gráfica

Características Básicas

Conceptos

Grafo Euleriano

-El grafo debe contener un circuito Euleriano.

-G es euleriano si, y sólo si, todos los vértices son de grado par.

-Un multigrafo contiene un recorrido euleriano si, y solo si, G tiene exactamente dos vértices de grado impar.

-El grafo debe contener un ciclo hamiltoniano.

-G debe ser conexo.

-Sus vértices son de grado ≥ 2.

-Los grafos con vértices de grado 1 no pueden ser hamiltonianos.

-No puede repetir aristas.

-G tiene que ser conectada.

-Requiere exactamente 2 nodos de grado impar.

Paseo que pasa por nodos hasta llegar al del que se partió.

Grafo Hamiltoniano

Grafo Unicursal

Gráficas que contienen un paseo cerrado que pasa por todos los vértices.

Es una gráfica que contiene un paseo abierto.

.

25

Unidad 5 GRÁFICAS LINEALES Palabras clave

Gráfica lineal En teoría de grafos, el grafo de línea o lineal L(G) de un grafo no dirigido G es un grafo que representa las adyacencias entre las aristas de G. Dado un grafo G, su grafo línea L(G) es el grafo que cumple estas dos condiciones: 1. cada vértice de L(G) representa una arista de G; y 2. dos vértices de L(G) son adyacentes si y sólo si sus aristas correspondientes comparten un punto final en común (es decir, son adyacentes) en G. En otras palabras, el grafo línea es el grafo de intersección de las aristas de G, representando cada arista por el conjunto de sus dos puntos finales.

Para encontrar el número de líneas se tendrá:

26

¿Sabías que‌ Su nombre se debe a un artículo de Harary y Norman (1960), aunque tanto Whitney (1932) 5

como Krausz (1943) los definieron antes.

Ejemplo

1 đ?‘’đ??ż = ((2)2 + (2)2 + (3)2 + (2)2 − 6 2 đ?‘’đ??ż = 9

La grĂĄfica resultante serĂ­a: Donde ahora las aristas son los vĂŠrtices y los vĂŠrtices son las aristas.

6

3.2.2

Conoce mĂĄs a los creadores

5 5Ă lvarez,

M & Parra, J. (2013, Agosto 22). TeorĂ­a de grafos. [archivo PDF]. Recuperado de http://repobib.ubiobio.cl/jspui/bitstream/123456789/1953/3/Alvarez_Nunez_Marcelino.pdf Grafo lĂ­nea. [en Wikipedia]. Recuperado (2020, Mayo 22) de https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_l%C3%ADnea

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Hassler Whitney (23 de marzo de 1907 - 10 de mayo de 1989) Matemático estadounidense, considerado uno de los fundadores de la teoría de la singularidad.

Fue uno de los primeros y más importantes teoremas sobre grafos de línea, demostró que, a excepción de un caso especial, la estructura de un grafo conexo G siempre puede ser restablecida completamente a partir de su grafo línea. En otras palabras, con una única excepción, un grafo conexo siempre puede ser obtenido si conocemos las adyacencias de sus aristas (líneas).

Gráfica total Sirven para ubicar la adyacencia y la incidencia de una gráfica. La gráfica de línea es una subgráfica de una gráfica total.

Se dice que dos elementos son vecinos si son adyacentes o incidentes.

La gráfica total de una gráfica G se denota como T(G) y es una gráfica que tiene como vértices al conjunto de elementos de G (incluye arcos y nodos) en donde dos vértices en T(G) son adyacentes si los elementos son vecinos en G. Para encontrar el número de líneas se tendrá:

28

Ejemplo

La gráfica resultante sería: Donde ahora las aristas son los vértices y los vértices son las aristas

29

Factorización de una grafica Una factorización de una gráfica G, es la unión de dos o más factores de líneas disjuntas que da como resultado la gráfica G.

Desarrollo

30

Unidad 6 GrĂĄficas Planas Un grafo o MultĂ­grafo de G es plano si podemos dibujar a G en el plano de modo que sus aristas se intersecten sĂłlo en los vĂŠrtices de G. ii. Ejemplo con una red.

5.1.1. Problema de la fĂĄbrica de ladrillos “En 1944 nuestro batallĂłn tuvo la suerte de trabajar en una fĂĄbrica de ladrillos cerca de Budapest. Nuestro trabajo consistĂ­a en sacar los ladrillos de los hornos y transportarlos, en vagonetas que circulaban sobre rieles, hasta alguno de los almacenes que estuviera vacĂ­o. Como nunca se podĂ­a estar seguro de quĂŠ almacĂŠn iba a estar disponible, cada horno estaba conectado por rieles con todos los almacenes. Puesto que tenĂ­amos que trasladar una cantidad fija de vagonetas al dĂ­a, nos interesaba 85 terminar lo antes posible. DespuĂŠs de cargarlas en los hornos, las vagonetas se deslizaban suavemente por los rieles sin demasiado esfuerzo; el Ăşnico problema surgĂ­a cuando dos rieles se cruzaban. Ahi las vagonetas saltaban y los ladrillos se caĂ­an, lo cual significaba un montĂłn de trabajo extra y una pĂŠrdida de tiempo. DespuĂŠs de pasar por esta experiencia muchas veces, pensĂŠ por quĂŠ demonios habĂ­an construido el sistema de rieles de manera tan mala; minimizando el nĂşmero de cruces de los rieles la producciĂłn podrĂ­a haber sido mucho mayor y mĂĄs econĂłmica.â€?đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’1

iii. AnĂĄlisis de la red ÂżPodemos encontrar condiciones suficientes y necesarias para determinar si G es plana?

Consideremos ahora a la grĂĄfica completa con cuatro vĂŠrtices K4. Hay muchas formas de 31

dibujar K4. En la Figura 5.3 aparecen dos dibujos de K4, en el primero las aristas no se cruzan iv. Conclusión del ejercicio y concepto El ejercicio sirve como práctica para reforzar el concepto de Gráfica Plana.

La respuesta a la pregunta planteada es la siguiente

Gráficas Planares. i. Explicación del concepto y red.

Se dice que una gráfica es Planar si se pude obtener una gráfica plana de G ii. Ejemplo con una red.

Se requiere saber si el siguiente grafo es grafo Planar.

32

iv. ConclusiĂłn del ejercicio y concepto DefiniciĂłn: un grafo G es PLANAR si admite una representaciĂłn sin cruces.

Entonces, la respuesta a la pregunta anterior es no, por lo tanto un de las lĂ­neas se reacomodo para que quedara planar, ya que co se pueden crusar las lĂ­neas, entonces esl grafo queda de la siguiente manera. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’2

¨ [2] https://www.fceia.unr.edu.ar/~ptorres/Grafos2016/Planaridad.pdf

Teorema de Euler i.ExplicaciĂłn del concepto y red.

Cuando un grafo o multĂ­grafo es plano y conexo, obtenemos la siguiente relaciĂłn descubierta por Euler, para la cual necesitamos contar el nĂşmero de regiones determinadas por un grafo o multĂ­grafo conexo plano. Las regiones son las ĂĄreas formadas por las lĂ­neas de la grĂĄfica.

Teorema FĂłrmula de Euler: Sea G= (V,E) una grĂĄfica o multĂ­grafo plano conexo con e aristas y v nodos. Sea r el nĂşmero de regiones en el plano determinadas por una inmersiĂłn o plana de G, una de estas regiones tiene un ĂĄrea no acotada y se conoce como regiĂłn infinita. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’3

33

R= 2-n+e ii. Ejemplo con una red.

iii. Análisis de la red La grafica tiene los siguientes datos: N= 4,

E=6

Entonces: R= 2-4+6=4,

Por lo tanto se tendrán 4 reguiones

iv. Conclusión del ejercicio y concepto Por lo tanto, si se aplica la fórmula de Euler, se sacan las regiones de manera muy fácil, como lo vimos en el ejemplo anterior.

El Teorema de Euler es una herramienta muy útil para poder decir con seguridad el número de regiones, sin tener que contarlas. O para grafos grandes es más útil y optimizado este método. En una gráfica conectada, simple con n vértices y e líneas existen R regiones y R= 2-n+e

[3]http://verso.mat.uam.es/~eugenio.hernandez/09-Chile Estalmat/El%20Teorema%20de%20Euler.pdf

34

Teorema de Kuratowski. i.ExplicaciĂłn del concepto y red.

El teorema establece que una grĂĄfica es planar si y sĂłlo si no “contieneâ€? una copia de la grĂĄfica bipartita completa K_{3,3} o de la grĂĄfica completa K_5. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’4

ii. Ejemplo con una red. Observe el siguientes ejemplo y determina si cumple el teorema.

iii. AnĂĄlisis de la red.

La grĂĄfica G contiene en una subdivisiĂłn de un K3,3 por lo tanto no es una grĂĄfica planar. iv. ConclusiĂłn del ejercicio y concepto Con el teorema de Kuratowski podemos concluir que no todos los grafos son planos y gracias a este podemos ahorrarnos algunos pasos en algunos momentos. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’4 [4] TeorĂ­a De Grafos. (2020, enero 24). Recuperado 9 de mayo de 2020, de https://sites.google.com/site/teoriadegrafosgp2401/ejemplo-de-grafica-total

35

Numero cromĂĄtico. i.ExplicaciĂłn del concepto y red.

Una coloraciĂłn propia de G ocurre cuando se asignan colores a los vĂŠrtices de G de modo que si vi y vj son adyacentes, entonces vi y vj tengan colores distintos asignados. El nĂşmero mĂ­nimo de colores necesarios para una coloraciĂłn propia de un grafo es lo que se conoce como nĂşmero cromĂĄtico del grafo.

ii. Ejemplo con una red. Dado el siguiente grafo, Encontrar su nĂşmero cromĂĄtico.

iii. AnĂĄlisis de la red.

Podemos ver que se usaron 3 colores para colorear el grafo, por lo tanto su numero cromĂĄtico es 3. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’5 iv. ConclusiĂłn del ejercicio y concepto Podemos concluir que el nĂşmero cromĂĄtico nos indica de una manera sencilla cual es el nĂşmero menor de colores a usar en un grafo.

[5] ColoraciĂłn de grafos. (2019, noviembre 11). Recuperado 17 de mayo de 2020, de https://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos

36

Teorema de los Cuatro Colores i.Explicación del concepto y red.

El teorema de los cuatro colores consiste básicamente, en que cualquier mapa puede ser coloreado solamente con cuatro colores distintos de tal manera que dos regiones adyacentes (es decir, que tienen una frontera en común y no sólo un punto) no tengan el mismo color.[5] ii. Ejemplo con una red.

Dado el mapa de España, aplicar el teorema de los 4 colores.

iii. Análisis de la red.

37

iv. Conclusión del ejercicio y concepto Podemos concluir que el teorema de los 4 colores nos ayuda a ver en los mapas cuales estados no están conectados.

[6] Coloración de grafos. (2019, noviembre 11). Recuperado 17 de mayo de 2020, de https://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos

Grafo Dual i.Explicación del concepto y red.

El grafo dual G ∗ de un grafo planar G tiene un vértice por cada región de G y una arista uniendo dos vértices correspondientes a dos regiones r1 y r2 de G por cada arista en la frontera entre r1 y r2 en G. El grafo rojo es el grafo Dual. ii. Ejemplo con una red.

38

iii. AnĂĄlisis de la red.

El grafo de la derecha es el grafo dual del grafo de la izquierda. iv. ConclusiĂłn del ejercicio y concepto Podemos concluir que un grafo dual tendra como vĂŠrtices el nĂşmero de regiones que tenga el grafo original. Un nodo colgante se representara como un bucle en el grafo dual. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’7 [7] GonzĂĄlez Moreno, G. M. D. A. (2017). IntroducciĂłn a la TeorĂ­a de las GrĂĄficas (DIVISION

DE

CIENCIAS

NATURALES

E

INGENIERĂ?A

ed.).

Recuperado

de

http://www.cua.uam.mx/pdfs/conoce/libroselec/24Libro_Introduccion_a_la_teoria_de_las_ gra.pdf

"Si de clasificaciĂłn hablamos..."

Tipo de GrĂĄfica

CaracterĂ­sticas BĂĄsicas

Conceptos

GrĂĄficas Planares

Se puede convertir en

Se dice que una grĂĄfica es

plana.

Plana si se pude obtener una

o

grĂĄfica plana de G o

GrĂĄficas Planas

Sus lĂ­neas no se cruzan,

Un grafo o MultĂ­grafo de G es plano si podemos dibujar a G en el plano de modo que sus aristas se intersecten sĂłlo en los vĂŠrtices de G.

o

Teorema de Euler

Los grafos que cumplan

Cuando un grafo o multĂ­grafo

este teorema, deben ser:

es plano y conexo, obtenemos

Planos

la

Conexosa

descubierta por Euler, para la

siguiente

relaciĂłn

cual necesitamos contar el nĂşmero

de

regiones 39

Debe de tener E aristas y V

determinadas por un grafo o

nodos, y debe cumplir la

multĂ­grafo conexo plano. Las

siguiente formula:

regiones

son

las

ĂĄreas

formadas por las lĂ­neas de la

R= 2-n+e

grĂĄfica.

Teorema FĂłrmula de Euler: Sea G= (V, E) una grĂĄfica o multĂ­grafo plano conexo con e aristas y v nodos. Sea r el nĂşmero de regiones en el plano determinadas

por

una

inmersiĂłn o plana de G, una de estas regiones tiene un ĂĄrea no acotada y se conoce como regiĂłn infinita. đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’3

R= 2-n+e o

Teorema de Kuratowski

No debe de contener una

El teorema establece que una

graficade:

grĂĄfica es planar si y sĂłlo si no

K3,3 O K5

“contieneâ€? una copia de la grĂĄfica bipartita completa K_{3,3} o de la grĂĄfica completa K_5

o

NĂşmero CromĂĄtico

Ya sea que se trabaje co

. El nĂşmero mĂ­nimo de colores

solo los nodos o solo las

necesarios para una coloraciĂłn

aristas debe cumplir:

propia de un grafo es lo que se conoce

Para cierto elemento, no

como

nĂşmero

cromĂĄtico del grafo.

debe de tener colores iguales a sus elementos adyacentes

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Se debe de utilizar el número mínimo de colores.

o

Teorema de los Cuatro Colores

El teorema de los cuatro

Su numero cromático es 4.

colores consiste básicamente, en que cualquier mapa puede

Siempre cumplirá para los mapas.

ser coloreado solamente con cuatro colores distintos de tal manera que dos regiones adyacentes (es decir, que

Generalmente se usan para colorear mapas.

tienen una frontera en común y no sólo un punto) no tengan el mismo color

o

Gráficas Duales

Las regioes de la grafica

El grafo dual G ∗ de un grafo

original

planar G tiene un vértice por cada región de G y una arista uniendo dos vértices correspondientes a dos regiones r1 y r2 de G por cada arista en la frontera entre r1 y r2 en G

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“Conoce más a los creadores”

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AUTORES

RIVERA CRUZ ELIZABETH

CÉSPEDES OCEGUEDA CARLOS RAMÓN

PALAPA GONZALEZ LIZETH BELENI

Somos estudiantes de la carrera Matemáticas Aplicadas y Computación en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán.

Tenemos 22, 20 y 21 años respectivamente.

Nuestro objetivo con este proyecto es poder tener una mejor clasificación de las gráficas y mostrar la importancia que tienen los grafos en la vida real con algunos ejemplos.

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Referencias •

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González Moreno, G. M. D. A. (2017). Introducción a la Teoría de las Gráficas (DIVISION DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERÍA ed.). Recuperado de http://www.cua.uam.mx/pdfs/conoce/libroselec/24Libro_Introduccion_a_la_teoria_d e_las_gra.pdf Recorridos de árboles — Solución de problemas con algoritmos y estructuras de datos. (s. f.). Recuperado 24 de mayo de 2020, de https://runestone.academy/runestone/static/pythoned/Trees/RecorridosDeArboles. html Ejemplo de Factorización de una Gráfica - Teoría De Grafos. (2018, julio 2).

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