GaloisAra

La influ` encia en l’actualitat de la teoria que va ´ crear Evariste Galois en la ci` encia La teoria matem`atica que va desenvolupar Galois s’estudia en el grau en Ma` tem`atiques de la UAB com l’´ ultima assignatura obligat`oria d’Algebra, dins el tercer curs del grau. Tot i que aquesta teoria t´e fama de ser massa te`orica, s’ha aplicat amb molt d’`exit des dels temps de Galois tant per a trobar solucions de problemes com per a demostrar que d’altres no tenen solucions.

Anem tot seguit a llistar alguns punts actuals de recerca i la interrel.laci´o amb altres disciplines que ha aportat la teoria que va iniciar Galois. Com observareu molts d’ells s´on de gran impacte aplicatiu!!! i els que es troben dins la matem`atica fonamental s´on de tal rellev`ancia qu´e si alg´ u n’obt´e la resoluci´o guanyaria amb molta seguretat una medalla Fields (sempre i quan fos menor de 40 anys)

1

(Recordem que la medalla Fields ´es l’equivalent als premis Nobel a la disciplina de les matem`atiques, http://en.wikipedia.org/wiki/Fields Medal i podeu llegir a http://nobelprizes.com/nobel/why no math.html alguns motius del perqu`e no existeix el premi Nobel de Matem`atiques).

1. Galois i Cossos finits. ´ Evariste Galois, amb els seus treballs, va introduir els cossos finits, per aix`o programes inform`atics per a fer c`alculs en matem`atiques com Maple o Sage denoten el cos finit per GF “Galois Field” en reconeixement a Galois.

Recordem que els cossos finits s´on la base de la Matem`atica Discreta i tot el que aix`o es relaciona amb la Inform`atica i l’Enginyeria.

2. Galois i Criptografia La geometria de y 2 = x3 + ax + b on a, b elements d’un cos finit t´e grans aplicacions a la criptografia de clau p´ ublica, per exemple el passaport alem`a utilitza aquesta aplicaci´o criptogr`afica.

2

Per a fer una bona elecci´o dels valors a, b, per a fer-ne una bona implementaci´o del m´etode d’encriptaci´o, ´es necessari un estudi de punts en 1 Foto de la Medalla Fields. El premi de la Medalla Fields es concedeix actualment cada quatre anys durant el Congres Internacional de Matem` atics (ICM) i se’n poden concedir fins a quatre.

2 Dibuix real de dos corbes el.l´ ıtiques sobre els racionals

1

cossos finits de la corba i possibles relacions entre corbes algebraiques, l’aportaci´o de Galois en cossos finits i la teoria de grups de Galois que en Evarist´e Galois va iniciar entre extensions entre dues corbes definides sobre cossos finits s´on de vital import`ancia per a fer-ne l’estudi. Per a saber-ne m´es, consulteu: http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic curve cryptography 3. Galois i la teoria d’aut` omats La teoria de Galois intenta estudiar si certs n´ umeros complexos s´on arrel √ o no d’algun polinomi a coeficients racionals. Per exemple diem que 3 ´es algebraic sobre els racionals ja que ´es arrel del polinomi a coeficients racionals T 2 − 3, no obstant π no ´es algebraic sobre els racionals ja que no existeix cap polinomi a coeficients racionals on π ´es una arrel, tamb´e es diu que π ´es un nombre transcendent sobre els racionals. Si anem al m´on de la computaci´o i enginyeria ens interesa decidir quan una serie a coeficients un cos finit ∞ X ai X i i=1

´es soluci´o o no d’un polinomi en el cos associat a l’anell de polinomis Fq [X] (on Fq denota un cos finit), per exemple la s`erie 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + ... + X 2011 + X 2012 + . . .

(1)

´es igual a 1/(1 − X) (amb la topologia dels entorns del zero donats per la potencies de X, aix`o seria l’an`aleg dels entorns al voltant del 0 per potencies enteres de (1/10) quan useu la topologia del valor absolut usual en els nombres racionals) i per tant la serie (1) ´es soluci´o del polinomi amb la variable T seg¨ uent: (1 − X)T − 1 = 0.

P∞ Una s`erie i=1 ai X i amb ai en el cos finit de q-elements Fq ´es arrel d’un polinomi en T a coeficients en el cos associat a Fq [X] si i nom´es si la successi´o {an }n ´es constru¨ıda per un cert aut`omat. La teoria d’aut`omats s’estudia en el grau d’Inform´atica i est`a relacionada amb la m`aquina de Turing.

3

Fem un exemple amb q = 2 ´es dir en el cos finit de dos elements F2 = {0, 1}.

Considerem el 2-aut`omat donat per la seg¨ uent taula amb estat inicial α = s1 i 4 estats s1 , s2 , s3 , s4 amb funci´o de sortida Out(s1 ) = Out(s2 ) = 1 i Out(s3 ) = Out(s4 ) = 0 i amb taula t: 0 1 3 Fotografia

s1 s1 s2

s2 s3 s4

d’Alan Turing(1912-1954)

2

s3 s2 s2

s4 s4 s4

P∞ Considerem la serie n=0 an X m on ai ∈ {0, 1} del cos finit de dos elements i ai definides pel 2-aut`omat anterior, es dir a0 = Out(s1 ), a1 = Out(t(s1 , 1)) = Out(s2 ), on t ´es donada per la taula a2 = Out(t(s1 , 1.0)) = Out(t(t(s1 , 1), 0)) on 1.0 ´es la representaci´o en base 2 del 2 = 1 · 21 + 0 · 20 , a3 = Out(t(s1 , 1.1)),... podem obtenir g(X) :=

∞ X

an X n =

n=0

X

Xm

m∈M

on M ´es el subconjunt P de N format per 0, 1 i els m ∈ M on 4m, 4m+1 ∈ M per tant g(X) = ( m∈M X 4m )(1+X) i com estem treballant a coeficients en un cos de dos elements obtenim g(X) = g(X)4 (1 + X) per tant g(X) = (1 + X)−1/3 ´es dir g(X) ´es algebraic sobre el cos associat (anomenat cos quocient) a F2 [X] i ´es arrel del polinomi en T : (1 + X)T 3 − 1.

Recordem de nou que el fet que la s`erie esta constru¨ıda per un aut`omat fa que la s`erie compleixi un polinomi en T , i viceversa!!!

Per aprofundir en aquesta interrelaci´o podeu consultar, per exemple, el cap´ıtol 11 del llibre de D.Thakur “Function Field Arithmetic”.

4. Galois i equacions diferencials La teoria de Galois diferenciable estudia extensions de cossos que tenen una derivaci´o. Bona part de la teoria de Galois de cossos amb una derivaci´o (anomenada teoria de Galois diferenciable) ´es paral.lela a la teoria que va desenvolupar Evarist´e Galois. Una difer`encia entre ambdues ´es que els grups que apareixen en la teoria diferenciable tendeixen a ser matrius de grups de Lie, recordem que els grups de Lie s´on de gran rellev`ancia amb la f´ısica. Tamb´e el problema de trobar quines integrals de funcions elementals poden expressar-se amb altres funcions elementals es l’an`aleg en la teoria de Galois diferenciable del problema que hem plantejar en una altra secci´o de trobar expressions en radicals per arrels de polinomis. Aqu´ı l’anterior problema est`a resolt usant la teoria de Picard-Vessiot. Per exemple en R 2 la teoria de Galois diferenciable es pot demostrar: a) la integral e−t dt no es pot resoldre mitjan¸cant funcions elementals; b) l’equaci´o diferencial x00 + tx = 0 no es pot resoldre usant funcions elementals e integraci´o.

Veieu treballs com “Differential Galois Theory” de M.Kamensky o millor consulteu llibres com “Introduction to differential Galois theory”de Teresa Crespo i Zbigniew Hajto, per aprofundir en aquesta teoria.

5. Galois i topologies de Grothendieck Evarist´e Galois introdueix la seg¨ uent idea: enlloc d’estudiar els objectes estudiem els morfismes entre aquests objectes i les propietats d’aquests morfismes ens han de caracteritzar l’objecte. Aquesta idea es va iniciar de forma intensa durant els anys 1950 en el m´on de la Geometria, m´es 3

concretament dins la Geometria Algebraica per Alexander Grothendieck, definint el que s’anomena actualment topologies de Grothendieck per a varietats, i en l’actualitat tota la Geometria Algebraica segueix enfocada dins la direcci´o desenvolupada per Grothendieck.

4

Aquesta revoluci´o de Grothendieck es llegeix amb la formulaci´o de diverses conjectures que estan en el moment actual dins els problemes m´es importants en matem`atiques, alguns d’ells es troben en els problemes del Mil.leni de l’Institut Clay, on la seva resoluci´o est`a recompensada amb un mil.li´o de d`olars. Llegiu alguna informaci´o m´es sobre Grothendieck en http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander Grothendieck 6. Galois i Cohomologia i Grup Fonamental La topologia algebraica associa certs grups a varietats topol`ogiques, un exemple s´on els grups fonamentals i la cohomologia singular. Aquests objectes permeten estudiar i donar propietats a la varietat topol`ogica i s´on de gran rellev`ancia. Aquests grups tenen certa relaci´o amb la construcci´o de cert recubridor de l’objecte topol`ogic. Podem pensar que enlloc d’estudiar directament l’objecte topol`ogic ho trasllada a estudiar-hi certs grups de homotopia o homologia associats a l’objecte i estudia la inter relaci´o d’aquests dos mons (similar a la idea exposada al punt anterior).

Per exemple el grup fonamental de varietats topol`ogiques que s´on tamb´e algebraiques hi apareix de forma natural el grup de Galois del cos base on esta definida la varietat, l’estudi d’aquest grup fonamental s’inclou dins el programa anabeli`a de Grothendieck de recerca en l’actualitat. Igualment per a representacions de grup sobre un espai vectorial de cohomologia de certa varietat se li assigna la cohomologia de grups. En particular per varietats algebraiques definides sobre els racionals el grup de Galois sobre Q actua en les cohomologies de Grothendieck de la varietat obtenint certs objectes en cohomologia de grups anomenada cohomologia de Galois que han d’aportar informaci´o de l’aritm`etica de la varietat algebraica. Veieu per exemple Jean Pierre Serre ”Galois Cohomology”, LNM 5, Springer.

4 Alexander

Grothendieck l’any 1970, va concedir-li la Medalla Fields l’any 1966

4

7. Galois i Gauss: Teoria de Nombres Gauss afirmava: “La reina de les matem`atiques ´es la Teoria de Nombres”.

Per dir-ho en paraules m´es planeres, la Teoria de Nombres intenta decidir quan una equaci´o a coeficients en els nombres enters t´e soluci´o o no, i en cas que tingui soluci´o trobar-les expl´ıcitament. Perqu`e ´es la reina de les disciplines matem`atiques? B´e, possiblement per qu`e els enunciats s´on f` acils d’enunciar per`o la seva resoluci´o necessita usualment t`ecniques molt sofisticades tot usant moltes branques fonamentals de la matem`atica i ` altres menys fonamentals, aix`o vol dir usar: Algebra, An`alisi, Topologia, Geometria, ... llegiu m´es en http://en.wikipedia.org/wiki/Number theory Un exemple ´es la seg¨ uent afirmaci´o: l’equaci´o de Fermat xn + y n = z n no t´e soluci´o als enters amb xyz 6= 0 amb n ≥ 3 natural.

Recordem que Wiles (1995) demostra aquesta afirmaci´o, i recordar que l’equaci´o de Fermat va moure la recerca de la matem`atica els u ´ltims dos ` segles! Andrew Wiles per demostrar-ho usa: Algebra, Topologia, Geometria i An`alisi,

5

llegiu m´es detalls en http : //en.wikipedia.org/wiki/W iles%27 proof of F ermat%27s Last T heorem

La teoria de Galois ´es clau per a l’estudi de punts en equacions definides en els enters, ja que fixeu-vos que si t´e soluci´o en una extensi´o dels √ racionals, √ per exemple en Q[ 2], actuant el grup de Galois AutQ (Q[ 2]), podem construir una altra soluci´o de l’equaci´o, aix`o fa que es poden associar objectes algebraics amb una acci´o de grups de Galois que ens permet obtenir resultats sobre l’aritm`etica, aquesta idea d’estudi s’inclou dins la 5 Lamentablement A.Wiles tenia m´ es de 40 anys quant va aportar finalment la demostraci´ o del resultat de l’equaci´ o de Fermat, motiu que va fer que no reb´ es la Medalla Fields

5

teoria Iwasawa actual. La teoria Iwasawa ´es el cor per a l’estudi dels valors enters de la funci´o L i en particular de la funci´o zeta de Riemann, funci´o que t´e inter´es tamb´e pels f´ısics.

6

La Teoria de Nombres i la Teoria de Galois s´on peces fonamentals per la part criptogr`afica llistada anteriorment.

8. Galois i representacions de grups En la f´ısica com en la matem`atica donat un objecte que hi actu¨ı un grup se li pot associar en moltes situacions una representaci´o de grup, i aquesta representaci´o ha d’aportar informaci´o de l’objecte. En Geometria on la varietat est`a definida per equacions algebraiques i per exemple aquestes equacions estan definides en els nombres racionals llavors sempre podem considerar l’acci´o de grups de Galois sobre els racionals donant representacions de grup de Galois sobre els racionals. Aquests objectes s´on claus per a resoldre preguntes en Geometria Aritm`etica que inclou preguntes dins el camp de la Teoria de Nombres.

Andrew Wiles per a resoldre el teorema de Fermat construeix t`ecniques en teoria de representacions de Galois, aquestes t´ecniques s´on claus per a l’estudi de la Geometria Algebraica Aritm`etica de diferents varietats i de la Teoria de Nombres.

7

En el curs 2010/11 el Centre de Recerca Matem´atica va desenvolupar un Research Programm anual http://www.crm.cat/arithgeo/, en la direcci´o de l’estudi de teoria de representacions de grups de Galois. Estem en un tema d’actualitat mundial en matem`atica fonamental.

9. Galois i problemes d’immersions En matem`atiques, una immersi´o ´es l’estudi d’un objecte amb alguna estructura matem`atica dintre un altre objecte, i aquest estudi ´es de gran ` import`ancia en Geometria Diferencial, Geometria Algebraica, Algebra, Topologia,...

6 Fotografia

de Kinkichi Iwasawa, (1917-1998) F.Diamon, H.Darmon, R.Taylor s´ on alguns dels m´ es destacats matem` atics en el desenvolupament de la t` ecnica de Wiles en teoria de representacions creada inicialment per a tancar el problema de Fermat per` o que t´ e moltes altres aplicacions.

7 A.Wiles,

6

En aquest apartat ens interessa destacar referent a les immersions de cossos, per exemple, quantes maneres diferents hi ha de posar els nombres reals dins els complexos? Molts penseu una! per`o compte!!! ni ha molts cossos dins els complexos isomorfs al cos dels nombres reals (veieu Appendix 1 §.A.5 “teoria de Galois explicada en 30 hores” http://ddd.uab.cat/pub/recdoc/2011/73661/galoisteoria bars.pdf), i com afecta aix`o amb el valor absolut si volem continu¨ıtat en aquesta immersi´o?

Problemes d’immersions s´on de vital import`ancia en qualsevol branca de la ci`encia on intenten treballar certs objectes amb certes propietats i traslladar-los a llocs coneguts. Veieu en l’expositor algun llibre sobre problemes d’immersi´o de cossos.

10. Hilbert i el problema invers de Galois Evarist´e Galois associava a un polinomi sobre els racionals un objecte algebraic: un grup finit. Una pregunta natural ´es: donat un grup finit qualsevol, hi ha un polinomi sobre els racionals tal que el grup que Evarist´e Galois li associava coincideix amb aquest grup? Aquest problema s’anomena el problema invers de Galois.

Si enlloc de fixar el cos dels racionals i permetem moure el cos base la resposta ´es s´ı, ´es a dir, donat un grup finit G llavors hi ha una extensi´o de cossos amb grup de Galois aquest grup, Galois mateix sembla que ja ho coneixia aquest resultat. No obstant, no va ser fins David Hilbert (traslladant la pregunta dins el camp de la Geometria Algebraica Aritm`etica) que va observar que la majoria de grups que s’associen a un polinomi s´on grups de permutacions i els altres grups finits, si surten, s´on subvarietats de dimensi´o inferior o punts a¨ıllats dins un espai diem-li de moduli.

El problema invers de Galois encara no est`a resolt en l’actualitat tot i que ´ un dels problemes s’han fet molts aven¸cos i hi ha molta literatura. Es que ja va moure Hilbert finals del segle XIX i qu`e mou encara la recerca fonamental actual.

8

Llegiu tamb´e http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/inverse galois problem 11. Galois i Birch amb Swinnerton-Dyer: Funcions L La Conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer ´es un dels problemes del mil.leni de l’Institut Clay que encara no est`a resolt, veieu http://www.claymath.org/millennium/Birch and Swinnerton Dyer Conjecture/ 8 Fotografia

David Hilbert (1862-1943)

7

9

Donada una corba E, anomenada el.l´ıptica, i definida per y 2 = x3 + ax + b on a, b racionals podem associar-li una funci´o de variable complexa anomenada L(E, s) amb s ∈ C. La conjectura de Birch i SwinnertonDyer descriu l’ordre d’anul.laci´o d’aquesta funci´o L(E, s) en s = 1 i el valor del primer coeficient del desenvolupament de Taylor de L(E, s) en s = 1. Per a definir aquesta funci´o L es pot usar la representaci´o del grup de Galois actuant en els grups de cohomologia associats a una topologia de Grothendieck de la varietat E. La teoria Iwasawa ´es clau segons Kazuya Kato (ICM 2006 Madrid) per a entendre els valors enters de les funcions Zeta o L, ´es dir L(E, 2), L(E, 2011),. . .. Aquests valors enters estan relacionats amb un objecte de geometria aritm´etica i per tant equipat de l’acci´o d’un grup de Galois.

Es pot demostrar que la conjectura de Birch-Swinnerton-Dyer ´es un cas particular de conjetures generals de valors enters en funcions L, aquestes conjectures generals, formulades per Bloch i Kato (1990) s’anomenen les conjectures del nombre de Tamagawa, per saber-ne una mica m´es podeu llegir http://en.wikipedia.org/wiki/Special values of L functions.

10

12. Galois i sistemes din` amics: hip` otesi de Riemann La hip`otesi de Riemann es un altre dels problemes del mil.leni veieu, http://www.claymath.org/millennium/Riemann Hypothesis/ i tamb´e hi ha una part de la f´ısica molt i molt interessada.

11 9 Fotografia

de J.Birch i P. Swinnerton-Dyer de Spencer Bloch and Kazuya Kato autors de la conjectura dels valors especials de funcions L anomenada tamb´ e conjectura del nombre de Tamagawa 11 Grabat d’en Bernhard Riemann (1826-1866) 10 Fotos

8

En aquest apartat volem introduir la visi´o de Deninger en atacar la hip`otesi de Riemann mitjanant sistemes din`amics. La teoria creada per Deninger (1995-2005) passa per introduir aritm`etica en els sistemes din`amics i per tant hi sorgeix de forma natural l’acci´o del grup de Galois. Podeu consultar sobre l’aritm`etica de sistemes din`amics en: ”Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Dynamical Systems” GTM 241, Springer.

13. Galois i matem` atics que han rebut medalles Fields Les medalles Fields s´on els equivalents en Matem`atiques dels premis Nobel, llevat que es premien tan sols a matem`atics d’edat inferior a 40 anys.

Anem ara a llistar alguns matem`atics que han obtingut medalla Fields i que en la seva recerca hi apareix de forma acusada el llegat d’Evarist´e Galois: Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Alan Baker, David Mumford, Pierre Deligne, Gerd Faltins, Vladimir Drinfeld i Laurent Lafforgue.

12

Anem a fer a tall exemple l’aportaci´o de Drinfeld i la interelaci´o amb la teoria de Galois. Durant el segle XIX Kronecker i Weber van demostrar que qualsevol cos que cont´e els racionals i que el grup de Galois ´es un grup commutatiu llavors aquest cos s’immersiona dins el cos Q(∪n e2πi/n ) cos d’introduir-hi totes les arrels de la unitat. Drinfeld en 1975 d´ona un an`aleg del resultat de Kronecker-Weber per`o sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, on ara ha d’introduir (enlloc de e2πi/n ) les arrels de certs polinomis que s’obtenen dels m`oduls el.l´ıptics anomenats actualment m`oduls de Drinfeld en honor al seu descubridor.

14. Galois i ??? Aquest matem`atic est`a conven¸cut que noves aplicacions o idees per la matem`atica fonamental sorgiran en els propers anys de l’impacte de la obra que va iniciar Evarist´e Galois! i potser tamb´e d’aplicades: ning´ u no sap encara si l’an`aleg dels motius de Grothendieck traslladats en caracter´ıstica 2, anomenats t-motius d’Anderson, tindran rellev`ancia en aplicacions computacionals i/o criptogr`afiques.

Recordo quan al Departament de Matem`atiques de la UAB es va justificar l’eliminaci´o de l’assignatura optativa de Teoria de Nombres tot afirmant que no tenia cap aplicaci´o pr`actica, (alguna tend`encia similar he sentit 12 Fotografies de: J.P.Serre, A. Baker, D.Mumford, P.Deligne, G.Faltings, V.Drinfeld, L. Lafforgue, i ...

9

referent a la Teoria de Galois que per sort encara s’explica al grau en Matem`atiques). Un any despr´es d’eliminar la Teoria de Nombres apareixien totes les aplicacions de corbes el.l´ıptiques aplicades a criptografia, i ja no ha existit m´es a la UAB aquesta assignatura!

Cal justificar els continguts de les mat`eries de les titulacions cient´ıfiques per tend`encies influenciades cap a l’aplicaci´o industrial o b´e ha de predominar el contingut human´ıstic del coneixement hum`a sense pressions mercantilistes puntuals? Quina Universitat volem construir? Qu`e creieu que afirmaria el “revolucionari” Evarist´e Galois?

10