Equacions

Equacions algebraiques de grau 2,3,4,5,6,....

La ci`encia utilitza equacions per a enunciar de forma rigorosa lleis i propietats; aquestes equacions expressen relacions entre diverses variables o estats.

El camp d’aplicaci´o de les equacions ´es immens, i hi ha una quantitat inabastable d’investigacions dedicades al seu estudi i la seva resoluci´o de forma exacta o aproximada.

La pregunta: El que presentarem a continuaci´o ´es referent a la resoluci´o de forma exacta d’equacions algebraiques de grau n. La pregunta concreta ´es la seg¨ uent: donat un polinomi de grau n a coeficients reals, podem expressar les seves arrels de forma exacta, o de manera m´es planera: podem resoldre una equaci´o algebraica de grau n de forma exacta? ´ Evariste Galois d´ona un punt i apart en la q¨ uesti´o, pregunta que t´e els seus or´ıgens en l’inici de l’evoluci´o cultural humana!!!

Anem a fer exemples b`asics referent a la pregunta que tot cient´ıfic ha vist en algun moment. Donat per exemple el polinomi x2 + 3x + 1 de grau 2 volem trobar-hi les arrels o equivalentment resoldre l’equaci´o algebraica de grau 2 x2 + 3x + 1 = 0. Es conegut que hi ha una f´ormula per a resoldre√ de forma √ exacta aquesta equaci´o de grau 2 i obtenim que x = −3+2 5 i x = −3−2 5 . Fixeu√ vos que 5 6= 2.236067977 tan sols una aproximaci´o per tant dir que les arrels del polinomi s´on -2.618033989, -0.3819660113 ´es incorrecte ja que aquestes s´on una aproximaci´o a la soluci´o.

Resoluci´ o de la pregunta Per un polinomi de grau dos ´es conegut de temps immemorials la resoluci´o afirmativa de la q¨ uesti´o. Per a un polinomi de grau 3 o 4 durant el segle XVI es van trobar f´ormules similars a la formula de grau 2 (aquestes f´ormules necessiten l’´ us dels nombres complexos) pensant que tenim expressats els polinomis a coeficients racionals, reals o complexos.

Anem a explicitar la f´ormula anomenada actualment de Cardano per a donar les arrels de forma exacta d’un polinomi arbitrari de grau 3: X 3 + aX 2 + bX + c.

Aquesta f´ormula afirma que les arrels d’aquest polinomi s´on donades, (restringim-nos al cas complex i a un polinomi a coeficients racionals, reals o complexos) per la f´ormula seg¨ uent: q√ q√ 3 3 ∆ − (q/2) − ∆ + (q/2) − (a/3) (1) on q := (2a3 /27) − (ab/3) + c, p := b − (a2 /3) i ∆ := (4p3 + 27q 2 )/108.

Fixeu-vos que la f´ormula de (1) no ´es expl´ıcita ja que en els nombres √ complexos les arrels c´ ubiques d’un nombre t´e tres valors. Per exemple 3 i pot significar√exactament 3 nombres diferents i no est`a definit de forma u ´nica “el nombre 3 i”, realment pot ser qualsevol dels tres√nombres complexos diferents eπi/6 , e5πi/6 i e9πi/6 ; per tant com apareix 3 ∗ en la f´ormula de Cardano, estem restant en la f´ormula 3 nombres complexos a 3 nombres complexos i per tant hi ha 9 resultats!!!, ´es a dir, la f´ormula de Cardano ens d´ona 9 possibles solucions de la c´ ubica i TANT SOLS 3 d’aquestes 9 s´on les solucions del polinomi de grau 3. COM TRIAR AQUESTES 3 SOLUCIONS? B´e, es pot fer un algoritme per elegir-ho correctament per`o no hi entrarem 1

a detallar-ho en aquest apartat. Veieu per a m´es informaci´o per exemple: http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf Expliquem una mica d’hist`oria per la trobada de la f´ormula de grau 3 i de grau 4.

La soluci´o de la c´ ubica com tamb´e de l’equaci´o de quart grau va ser publicada per Gerolamo Cardano (1501-1576) en el seu tractat Ars Magna l’any 1545 (consulteu Boyer i Merzbach 1991, p. 283). No obstant, sembla ser que Cardano no era el descobridor de cap d’aquests dos resultats. La indicaci´o per la c´ ubica va ser donada per Niccol`o Tartaglia, mentre que la de grau quatre havia estat resolta per Ludovico Ferrari. No obtant, sembla que Tartaglia havia obtingut la idea de la soluci´o d’alg´ u altri. La soluci´o de la c´ ubica sembla que va ser trobada per un professor de matem`atiques de la Universitat de Bolonya de nom Scipione del Ferro (ca. 1465-1526). Del Ferro no va publicar mai la seva soluci´o (dels documents que es tenen const`ancia en aquests moments), per`o va revelar-la al seu estudiant Antonio Maria Fior (Boyer i Merzbach 1991, p. 283). I ´es d’aqu´ı on aparentment Tartaglia va apendre la resoluci´o de la c´ ublica al voltant de l’any 1541.

1

Escrivim ara una f´ormula per a resoldre un polinomi de grau 4 arbitrari similar a la de grau 3, per al lector interessat consulteu l’adre¸ca http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html, o per exemple, el llibre “Galois Theory” de Garling, §14.4 que trobeu a la biblioteca.

La f´ormula per a les arrels d’un polinomi de grau 4 arbitrari: X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d s´on donadas per: p p Q ± Q2 − 4(P − R) a −Q ± Q2 − 4(P + R) a − ; − 2 4 2 4 2

(2)

on P ´es una arrel del polinomi X 3 − p2 X 2 − rX + 4pr−q on p := b − 3a2 /8, 8 3 4 2 q := c + a /8 − ab/2 i r := d − 3a /256 + a b/16 − ac/4; i Q, R es determinen per les equacions p = 2P − Q2 , q = −2QR i r = P 2 − R2 .

Igualment com en la f´ormula per les arrels de l’equaci´o grau 3 cal fer un petit estudi de quines solucions s´on les correctes en trobar P , Q i R per aplicar la f´ormula (2). ´ Anem ara a l’aportaci´o d’Evariste Galois. Com observeu restava la pregunta per a polinomis de grau ≥ 5, podem trobar una f´ ormula similar a les que hi ha per a grau 2, 3 o 4? La resposta a grau 5 la van donar Ruffini i Abel: en grau 5 o superior, la resposta ´ es NO. Abel i Ruffini van afirmar: no es pot resoldre per radicals les equacions polin`omiques generals de grau igual o superior a cinc, aquest resultat s’anomena el teorema de Abel-Ruffini.

1 Grabats

relacionats respectivament a Del Ferro, Tartaglia, Ferrari i Cardano

2

El resultat afirma que no ´es possible trobar les solucions EN RADICALS de l’equaci´o general: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, de grau superior o igual a cinc, on RADICALS indica que podem trobar les solucions aplicant u ´nicament un n´ umero finit de sumes, restes, multiplicacions, divisions i extracci´o d’arrels a partir dels coeficients de l’equaci´o.

2

3

´ Evariste Galois aporta un algoritme per a decidir si per un polinomi concret de grau ≥ 5 existeix una f´ ormula per a trobar les seves arrels en RADICALS a partir del coeficients de p(x). Per fer-ho Galois necessita crear dos teories (trobant una bijecci´o entre elles, veieu l’apartat de l’exposici´o corresponent a la correspond`encia bijectiva de Galois). Aquestes dues teories en l’actualitat, una s’inclou dins la teoria de grups i l’altra dins la teoria de cossos (o tamb´e dita de Galois).

4

´ Anem a fer diverses aclaracions del teorema d’Abel-Ruffini i l’aportaci´o d’Evariste Galois ja que usualment s’entenen de forma err`onia.

El resultat d’Abel-Ruffini no afirma que les equaciones polin`omiques de grau cinc o superior no tenen solucions o que no poden ser resoltes. De fet, si l’equaci´o polin`omica t´e coeficientes reals o complexos i permetem solucions complexes, llavors qualsevol equaci´o polinomial t´e solucions; aquest resultat s’anomena ` teorema fonamental de l’Algebra.

El resultat d’Abel-Ruffini afirma que les solucions no sempre poden ser calculades EXACTAMENT amb un n´ umero finit d’operacions aritm`etiques (involucrant suma, producte i prendre arrels m`essimes) a partir dels coeficients del polinomi. Les arrels d’un polinomi de qualsevol grau sobre els complexos poden trobar-se de forma APROXIMADA usant m`etodes num`erics tals com el m`etode de Newton-Raphson o el m`etode de Laguerre.

Per exemple Maple sap calcular arrels de polinomis de forma aproximada als reals i complexos via 2 un

bitllet d’Abel de N.Ruffini 4 Segell franc` es referent a Galois, veieu sobres del primer dia en la exposici´ o 3 Grabat

3

> f solve(x6 + x + x + 2); > f solve(x6 + x + 2, x, complex); no obstant no sap trobar de forma exacta les de polinomis de grau ≥ 5 L’aportaci´o de Galois ´es donar un criteri per, donat un polinomi concret de grau ≥ 5, decidir si les seves arrels poden calcular-se de forma EXACTA amb un nombre finit d’operacions aritm`etiques dels coeficients dels polinomis o NO. Per exemple h`eu vist com a cient´ıfics que hi ha√n arrels del polinomi xn −Reiθ 2πki iθ amb R i θ reals, i aquestes arrels s´on de la forma n Re n + n amb k = 0, ..., n−1 que s´on les arrels n-`essimes d’un dels coeficients del polinomi xn − Reiθ . Per tant, aquest ´es un exemple en que es pot calcular de forma EXACTA les arrels del polinomi per radicals, aix`o prov`e del fet que l’objecte algebraic associat ´ per Galois al polinomi xn − Reiθ compleix una propietat espec´ıfica. Evariste Galois va donar el seg¨ uent criteri: donat un polinomi p(x) podem associar-li una estructura algebraica, un grup, anomenat el grup de Galois associat a p(x).

Llavors, aquest grup satisf`a una certa propietat, anomenada grup resoluble, si i nom´es si les arrels de p(x) es poden resoldre de forma EXACTA amb radicals a partir dels coeficients del polinomi.

Prenem ara els polinomis de grau 5 donats per la forma x5 − npx + p amb n ≥ 2 i p primer. El seu grup de Galois associat ´es el grup de permutacions d’un conjunt de cinc elements que no compleix la propietat de resolubilitat per tant no podem trobar de forma EXACTA usant radicals les arrels dels polinomis de grau 5: x5 − 15x + 3,x5 − 20x + 2, x5 − 22x + 11,...

Maple no pot aplicar l’aportaci´o de Galois per`o hi ha altres paquets inform`atics que poden fer-ho per polinomis de grau no molt gran com: el Mathematica, Sage i Magma. Per exemple en aquests programes per polinomis de grau 7 la majoria poden afirmar si poden calcular de forma exacta les arrels per radicals o No i en cas afirmatiu trobar-ne la soluci´o.

Al final del segle XIX o a principis del XX, Hilbert va demostrar que la gran majoria de grups de Galois associats a un polinomi de grau n ≥ 5 s´on no resolubles, per tant per la gran majoria de polinomis de grau superior a 5 no podem esperar trobar de forma EXACTA amb radicals les seves arrels.

Restava despr´es del resultat de Galois la seg¨ uent pregunta: Es poden trobar les arrels d’un polinomi de grau m´es gran o igual que 5 de forma EXACTA usant altres expressions que no siguin via RADICALS, per exemple introduint funcions avaluades en els coeficients del polinomi? La resposta a aquesta pregunta ´es S´ı.

Per exemple es pot usar funcions anal´ıtiques a partir dels coeficients. Mitjan¸cant els Thetanullwerke ´es pot trobar una f´ormula per les arrels d’un polinomi de grau arbitrari de forma EXACTA, observeu que ara permetem que les solucions s’escriguin com avaluar en certs punts certes funcions anal´ıtiques!!!, enlloc d’expressions en radicals com hem fet anteriorment; Umemura fou el primer creador d’una f´ormula general amb funcions theta per equacions algebraiques; per les persones interessades podeu consultar J.Thomae Beitrag zur Bestimmung von ϑ(0, 0, . . . 0) durch die Klassenmoduln algebraischer Funktionen en J. Reine Angew. Math. 71 (1870), 201–222; o b´e J.Gu`ardia: Jacobian nullwerte and algebraic equations en J. Algebra 253 (2002), no. 1, 112–132. No obstant aquestes expressions usant Thetanullwerke no s´on massa u ´tils a la pr`actica i ens veiem obligats a usar m´etode de Newton-Raphson i similars per a calcular les arrels de forma aproximada per als polinomis on el criteri de Galois ens afirma que no podem esperar trobar-ne una expressi´o per Radicals de les arrels a partir dels coeficients.

4

C` alcul de les arrels d’un polinomi de forma exacta usant expressions radicals.

Polinomi a C[X]

Les arrels del polinomi s´on

X 2 + bX + c

√ −b± b2 −4c 2

X 3 + aX 2 + bX + c

q√ 3

∆ − (q/2) −

q√ 3

∆ + (q/2) − (a/3)

amb ∆ := (4p3 + 27q 2 )/108 on q := (2a3 /27) − (ab/3) + c, i p := b − (a2 /3). √

X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d

Q2 −4(P −R) − a4 2 2 −Q± Q −4(P +R) − a4 2 Q±

√

2

X 5 + aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e Polinomi arbitrari de grau 5 Polinomi arbitrari de grau ≥ 6 Polinomi concret de grau ≥ 5

on P ´es una arrel del polinomi X 3 − p2 X 2 − rX + 4pr−q 8 on p := b − 3a2 /8, q := c + a3 /8 − ab/2 i r := d − 3a4 /256 + a2 b/16 − ac/4. i Q, R es determinen per les equacions p = 2P − Q2 , q = −2QR, r = P 2 − R2 .

Abel-Ruffini: No hi ha f´ormula Abel-Ruffini: No hi ha f´ormula Criteri de Galois per a decidir si hi ha una f´ormula de les arrels per radicals.