Equacions

Page 1

Equacions algebraiques de grau 2,3,4,5,6,.... La ci`encia utilitza equacions per a enunciar de forma rigorosa lleis i propietats; aquestes equacions expressen relacions entre diverses variables o estats. El camp d’aplicaci´o de les equacions ´es immens, i hi ha una quantitat inabastable d’investigacions dedicades al seu estudi i la seva resoluci´o de forma exacta o aproximada. La pregunta: El que presentarem a continuaci´o ´es referent a la resoluci´o de forma exacta d’equacions algebraiques de grau n. La pregunta concreta ´es la seg¨ uent: donat un polinomi de grau n a coeficients reals, podem expressar les seves arrels de forma exacta, o de manera m´es planera: podem resoldre una equaci´o algebraica de grau n de forma exacta? ´ Evariste Galois d´ona un punt i apart en la q¨ uesti´o, pregunta que t´e els seus or´ıgens en l’inici de l’evoluci´o cultural humana!!! Anem a fer exemples b`asics referent a la pregunta que tot cient´ıfic ha vist en algun moment. Donat per exemple el polinomi x2 + 3x + 1 de grau 2 volem trobar-hi les arrels o equivalentment resoldre l’equaci´o algebraica de grau 2 x2 + 3x + 1 = 0. Es conegut que hi ha una f´ormula per a resoldre√ de forma √ exacta aquesta equaci´o de grau 2 i obtenim que x = −3+2 5 i x = −3−2 5 . Fixeu√ vos que 5 6= 2.236067977 tan sols una aproximaci´o per tant dir que les arrels del polinomi s´on -2.618033989, -0.3819660113 ´es incorrecte ja que aquestes s´on una aproximaci´o a la soluci´o. Resoluci´ o de la pregunta Per un polinomi de grau dos ´es conegut de temps immemorials la resoluci´o afirmativa de la q¨ uesti´o. Per a un polinomi de grau 3 o 4 durant el segle XVI es van trobar f´ormules similars a la formula de grau 2 (aquestes f´ormules necessiten l’´ us dels nombres complexos) pensant que tenim expressats els polinomis a coeficients racionals, reals o complexos. Anem a explicitar la f´ormula anomenada actualment de Cardano per a donar les arrels de forma exacta d’un polinomi arbitrari de grau 3: X 3 + aX 2 + bX + c. Aquesta f´ormula afirma que les arrels d’aquest polinomi s´on donades, (restringim-nos al cas complex i a un polinomi a coeficients racionals, reals o complexos) per la f´ormula seg¨ uent: q√ q√ 3 3 ∆ − (q/2) − ∆ + (q/2) − (a/3) (1) on q := (2a3 /27) − (ab/3) + c, p := b − (a2 /3) i ∆ := (4p3 + 27q 2 )/108. Fixeu-vos que la f´ormula de (1) no ´es expl´ıcita ja que en els nombres √ complexos les arrels c´ ubiques d’un nombre t´e tres valors. Per exemple 3 i pot significar√exactament 3 nombres diferents i no est`a definit de forma u ´nica “el nombre 3 i”, realment pot ser qualsevol dels tres√nombres complexos diferents eπi/6 , e5πi/6 i e9πi/6 ; per tant com apareix 3 ∗ en la f´ormula de Cardano, estem restant en la f´ormula 3 nombres complexos a 3 nombres complexos i per tant hi ha 9 resultats!!!, ´es a dir, la f´ormula de Cardano ens d´ona 9 possibles solucions de la c´ ubica i TANT SOLS 3 d’aquestes 9 s´on les solucions del polinomi de grau 3. COM TRIAR AQUESTES 3 SOLUCIONS? B´e, es pot fer un algoritme per elegir-ho correctament per`o no hi entrarem 1


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.