Correspondencia

` LA CORRESPONDENCIA DE GALOIS

Galois va demostrar l’any 1832 la seva famosa correspond`encia: Sigui f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 un polinomi a coeficients enters, i sigui L el m´ınim subcos de C que cont´e les arrels del polinomi f (x). (Recordem que pel teorema fonamental de l’`algebra f (x) factoritza en factors lineals a C[x].) Sigui G = Aut(L) el grup de tots els automorfismes del cos L. Llavors: Teorema 0.1 (Galois). Existeix una correspond`encia bijectiva: {subgrups de G} ←→ { subcossos de L} Tenim: H 7→ LH = {x ∈ L | σ(x) = x

∀σ ∈ H}

(cos fix de H ≤ G), i F 7→ AutF (L) = {σ ∈ G | σ(x) = x

∀x ∈ F }

(grup de Galois de l’extensi´ o F ⊆ L) En el seg¨ uent gr` afic il.lustrem la correspond`encia de Galois per f (x) = x3 −2.

1

Correspond`encia de Galois

Subcossos d’E E = Q[

Subgrups de G = AutQ (E)

√ 3 2 , w ] amb w = e2πi/3

√ √ √ √ 3 3 3 3 f ( 2) = 2 g( 2) = 2 f (w) = w

Q[

√ 3

Q[

2 , w]

g(w) = w2 {Id}

√ √ √ 3 2 ] Q[ 3 2 w] Q[ 3 2 w2 ]

{ Id , g } { Id , gf }

{ Id , f , f 2 }

Q[w]

Q

G = { Id, f, f 2 , g, gf, gf 2 }

{ Id , gf 2 }