ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
تطبيقات
ا ل ق سم
ا ل ع لمى
دليل
المعلم
الصف الثانى الثانوى ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ت�أليف �أ /كمال يون�س كب�شة �أ.م.د� /سمر عبد الفتاح ال�شني د� /أمل ال�شحات حافظ
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
الطبعــة األولى 2016/2015 رقم اإليــداع 2015 / 10562 الرقم الدولى 978 - 977 - 706 - 019 - 6
ب
المحتويات
مقدّمة المعلم
مقدمة عن تطور علم الميكانيكا
2
الوحدة األولى االستــاتيكــا
8
1 - 1القــوى.
10
2 - 1تحليل القوى.
16
3 - 1محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.
19
4 - 1اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة.
23
الوحدة الثانية الديناميكا
34
1 - 2الحركة المستقيمة.
36
2 - 2الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
46
3 - 2السقوط الحر.
52
4 - 2قانون الجذب العام.
56
الوحدة الثالثة الهندسة والقياس
62
1 - 3المستقيمات والمستويات فى الفراغ.
64
2 - 3الهرم والمخروط.
68
3 - 3المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط.
73
4 - 3حجم الهرم والمخروط القائم.
77
5 - 3معادلة الدائرة.
81
الوحدة الرابعة االحتمال
90
1 - 4حساب االحتمال.
92
قائمة المراجع والمواقع اإللكترونية
........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................
.......................
........................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................
106 107 108 112
..............................................................................................................................................................
قاموس المصطلحات التربوية والعلمية خريطة المنهج
ث-ظ
....................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................
نماذج من أساليب التقويم
.............................................................................................................................................................................................
دليل املعلم -املقدمة
ت
بسم اهلل الرحمن الرحيم ّ مقدمة الزميل الفاضل المعلم /المعلمة:
نأمل أن يساعدك هذا الدليل فى تنفيذ منهج الرياضيات للصف الثانى الثانوى ،وهو يقدم نظريات تعلم حديثة بحيث يكون ميسرا لعملية التعلم ،كما يقدم أنشطة متنوعة تنمى مهارات حل المشكالت واالستنتاج والتعليل ممتزجة بالمتعة والتشويق. دورك ً وتقوم فلسفة الدليل على تنمية طرائق التفكير وبناء المهارات العلمية والبعد عن التفاصيل والحشو والتركيز على مهارات التعلم الذاتى ،وعلى جمع المعلومات من مصادر مختلفة ومعالجتها وربطها بحياة الطالب ومجتمعهم.
ويهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على تطبيق التعلم النشط ،التأمل ،التعلم الذاتى بما يحقق متعة تعلم الرياضيات ومساعدة الطالب على البحث والتأمل؛ ومن ثم اكتساب المفاهيم العلمية األساسية ومهارات التفكير؛ ولذلك تضمن الدليل جزءين أساسيين. الجزء الأول :الإطار النظرى للدليل وي�شمل: ✍ ✍استخدام دليل المعلم . ✍ ✍نماذج لطرق التدريس . ✍ ✍تنظيم محتوى الرياضيات (تطبيقات الرياضيات). ✍ ✍المعايير والمؤشرات للصف الثانى الثانوى لكتاب تطبيقات الرياضيات. ✍ ✍االتجاهات الحديثة فى تعلم تطبيقات الرياضيات. ✍ ✍خصائص نمو طالب المرحلة الثانوية. ✍ ✍إدارة وتنظيم بيئة التعلم النشط. ✍ ✍بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى. الجزء الثانى :الإطار التنفيذى للدليل وي�شمل: ✍ ✍مقدمة الوحدة. ✍ ✍مخرجات التعلم. ✍ ✍مفردات أساسية. ✍ ✍األدوات والوسائل. ✍ ✍زمن التدريس. ✍ ✍مصادر التعلم. ✍ ✍طرق التدريس المقترحة. ✍ ✍التهيئة. ✍ ✍اجراءات الدرس. ✍ ✍التقييم المستمر .
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
هذا ونسأل الله العظيم أن ينفع به زمالءنا المعلمين والمعلمات فى مجال تدريس الرياضيات
ث
والله ولى التوفيق
المؤلفون
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة كيف ت�ستخدم هذا الدليل؟ لقد حاولنا أن يكون هذا الدليل واف ًيا بجميع العناصر التى قد تحتاجها لتدريس هذا المقرر ،وسيكون أمامك صورة من صفحات كتاب الطالب فى كل درس؛ مما يساعدك على ربط توجيهات الدليل مع ما يراه الطالب فى كتابه ،ومما ال شك فيه أن هذا يزيد فائدة الدليل بالنسبة لك ،إلى جانب الصورة المصغرة من صفحة كتاب الطالب ،وتتضمن صفحة المعلم العناصر التالية بالنسبة لكل وحدة وكل درس: (((1مقدمة الوحدة :وتوضح عد ًدا من المعلومات المرتبطة بالوحدة ودروسها ،ومن هذه المعلومات مخرجات التعلم وزمن ومكان التدريس والمصطلحات األساسية ومهارات التفكير ،كما توضح المقدمة وسائل ومصادر التعلم وطرق التدريس وأخيرا طرق التقويم. المقترح استخدامها، ً (((2دروس الوحدة :فى هذا الجزء يتم تناول تفاصيل كل درس من دروس الوحدة وتشمل هذه التفاصيل : خلفية :حيث يتم خاللها الربط بين المعلومات السابقة لدى الطالب والمعلومات الجديدة فى الدروس. مخرجات الدرس :حيث يتم خاللها استعراض مخرجات التعلم المرجو تحقيقها فى الدرس ،وهى مصوغة بصورة إجرائية قابلة للمالحظة والقياس. المفردات األساسية :حيث يتم توضيح عدد من المصطلحات التى سيتم تناولها فى الدرس. المواد التعليمية المستخدمة :حيث يتم اإلشارة إلى الوسائل المعنية التى يمكن للمعلم استخدامها فى شرح وتحقيق أهدافه أثناء عملية التعليم والتعلم. طرق التدريس المقترحة :يوضح هذا الجزء مسميات عدد من طرق التدريس التى يمكن للمعلم توظيفها أثناء الحصة وتتنوع هذه الطرق من درس آلخر ،فهناك العديد من طرق التدريس التى يمكن للمعلم استخدامها أثناء عرض المحتوى ،ومن هذه الطرق :المحاضرة أو الطريقة التلقينية -التعلم التعاونى -العصف الذهنى -الحوار والمناقشة -حل المشكالت -االكتشاف .
ما الواجب معرفته عن طرق التدري�س؟ المفهوم -خطوات التنفيذ -متطلبات التنفيذ -المميزات -العيوب أو صعوبات التنفيذ.
كيف يتم اختيار طريقة التدري�س المنا�سبة؟ يتم اختيار طريقة التدريس فى ضوء مخرجات التعلم المستهدفة والمحتوى وخصائص الطالب وف ًقا للمرحلة العمرية والتعليمية والوقت المتاح. �أى طرق التدري�س اف�ضل؟ ال توجد طريقة تدريس بعينها هى األفضل .ولكن أفضل الطرق هى التى تناسب الطالب والموقف التعليمى وتساعد فى تحقيق األهداف المرجو تحقيقها. نماذج طرق التدري�س: التعلم التعاونى : أسلوب تعلم يتم فيه تقسيم الطالب إلى مجموعات صغيرة متجانسة أو غير متجانسة وف ًقا للهدف أو المهمة التى سيكلف بها أفراد المجموعة ،ويقوم أفراد المجموعة بالتعاون فيما بينهم إلنجاز المهمة المكلفين بها ،وتهدف هذه الطريقة إلى تنمية روح التعاون بدالً من التنافس وتشجيع روح الفريق.
العصف الذهنى: يتم خالل الموقف التعليمى تحديد موضوع أو قضية أو سؤال ،و ُيطلب من الطالب استدعاء أكبر قدر من المعلومات واألفكار أو اإلجابات أو الحلول المرتبطة بتلك القضية أو هذا الموضوع؛ وذلك وفق قواعد متفق عليها ،وتتمثل فى تسجيل األفكار كافة وعدم النقد أو التقييم ألى فكرة لتشجيع الجميع على المشاركة اإليجابية؛ وبالتالى توليد اكبر قدر من األفكار العادية أو المبتكرة ،وبعد االنتهاء من عملية استدعاء األفكار يتم مناقشتها للوصول إلى أفضل حل أو إجابة أو فكرة وذلك باستبعاد دليل املعلم -املقدمة
ج
األفكار غير المرتبطة أو المكررة دون اإلشارة التى صاحب تلك الفكرة ،ويمكن تلخيص خطوات العصف الذهنى فى أربع خطوات أساسية هى: ✍ ✍اإلعداد والتهيئة :للموضوع الذى سيتم استدعاء األفكار بشأنه. ✍ ✍طرح الموضوع :التأكد من وضوح الموضوع بالنسبة للجميع. ✍ ✍توليد األفكار :بمشاركة كافة الطالب. ✍ ✍تقويم األفكار :حذف المكرر أو غير المرتبط واالتفاق على افضل األفكار أو اإلجابات.
حل المشكالت: هي إحدى الطرق العلمية التى تهدف إلى الوصول إلى نتائج او اقتراح حلول لمشكلة محددة تمثل عائ ًقا أو تحد ًيا للطالب، تهدف هذه الطريقة إلى تدريب الطالب على اتباع الخطوات العلمية أو التفكير العلمى لمواجهة مشكلة معينة ،تعتمد تلك االستراتيجية على تنفيذ عدد من الخطوات منها تحديد المشكلة تحديدً ا دقي ًقا وكاملاً ،والبدء فى جمع معلومات عن تلك المشكلة والحقائق المرتبطة بها ،فرض فروض تمثل الحلول الممكنة لتلك المشكلة ،ويتم اختبار تلك الفروض الختيار أيها ساهم فى حل المشكلة ،وفى الختام استخالص النتائج وتقديم الحلول الممكنة؛ ومن ثم يمكن تعميم تلك النتائج فى مواقف أخرى مشابهة للمشكلة التى تم دراستها. الحوار والمناقشة: تمثل تلك الطريقة إحدى الطرق اللفظية ،ويمكن تعريف طريقة المناقشة بأنها حوار منظم يعتمد على تبادل اآلراء واألفكار بين المعلم والطالب أو بين الطالب بعضهم البعض ،وتهدف هذه الطريقة إلى تنمية مهارات التفكير لدى الطالب والتدريب على عرض األفكار مدعومة بالدليل على صحتها ،فض ً ال عن االلتزام بآداب الحوار والمناقشة كإحدى المهارات االجتماعية الواجب تنميتها لدى الطالب. تتمثل خطوات المناقشة فى تحديد المعلم للهدف من المناقشة ،وتقسيم هذا الهدف إلى عدة أفكار فرعية أو عدد من األسئلة المطلوب االجابة عنها ،ويتم وضع قواعد إلدارة وتنظيم المناقشات ،ومن أمثلة تلك القواعد إتاحة الفرصة للطالب لعرض الفكرة كاملة ومناقشة ونقد الفكرة دون اإلساءة أو التقليل من شأن صاحب الفكرة ،وهكذا ويحرص المعلم على التزام الطالب بتلك القواعد ليساعدهم على التوصل إلى األفكار وربط المفاهيم واستخالص االستنتاجات والتوصيات المرتبطة بالهدف الذى تم تحديده ،ومن خالل تحديد نتيجة لكل فكرة فرعية يتم التوصل إلى نتيجة للقضية أو المشكلة األساسية. التعلم باالكتشاف : هى عملية تفكير تعتمد على أن يقوم الطالب باسترجاع وتنظيم المعلومات السابقة لديه وإعادة صياغتها بشكل ُيمكِّن من استخدامها فى مواقف جديدة ،و ُيعرف التعلم باالكتشاف بأنه التعلم الذى يحدث نتيجة لمعالجة الطالب لمعلومات وتركيبها وتحويلها للوصول إلى معلومات جديدة من خالل اكتشاف أفكار أو حلول يصل إليها الطالب بأنفسهم؛ مما يشجعهم على مواصلة عملية التعلم . التعلم باالكتشاف له أنواع تعتمد على درجة التوجيه الذى يقدمه المعلم ومن تلك األنواع: ✍ ✍االكتشاف الموجه :والذى يوفر فيه المعلم بعض التعليمات التى تضمن مساعدة الطالب على النجاح فى المهمة. ✍ ✍االكتشاف شبه الموجه :وفيه يقدم المعلم بعض التوجيهات العامة دون أن يتقيد بها الطالب. ✍ ✍االكتشاف الحر :فيه يواجه الطالب المشكلة بنفسه دون أى توجيهات من المعلم ،ويطلب منه الوصول إلى الحل وصياغة الفروض وتصميم التجارب وتنفيذها.
اجراءات الدر�س: أ ) التهيئة :وذلك من خالل مناقشة العمل التعاونى أو بند "فكر وناقش" الوارد فى بداية الدرس ،ومن المعروف أن توافر الدافعية فى التعلم لدى الطالب أمر الزم بل حتمى لضمان ُحسن سير الدرس وإيجابية الطالب ،وبالتالى تتحقق األهداف المنشودة .ويجب أال يطغى زمن تهيئة الطالب على الزمن المخصص لباقى أنشطة الدرس ،وعادة ال يزيد زمن تهيئة الدرس عن عشر دقائق.
ح
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة ب ) تعلم :بعد التهيئة -وفى ترابط وسالسة -يدخل المعلم إلى خطوات عرض الدرس ،فيبدأ فى تنفيذ األنشطة الواردة فى هذا الجزء من الدليل وهى ترتبط ارتبا ًطا وثي ًقا بصفحة كتاب الطالب ،وأن الربط بين ما يحدث فى مرحلة تهيئة الطالب وبين بداية الدرس أمر مهم جدًّ ا ،حتى ال تفقد التهيئة أهميتها ودورها فى نجاح الدرس وتحقيق أهدافه.
ويتخلل هذا الجزء استعراض لألمثلة والتدريبات كافة وكذلك األنشطة الموضحة ،ويتاح لك فى هذا الجزء مزيد من الطرق الستنتاج القوانين او العالقات وعدد من التمارين اإلثرائية التى يمكن استخدامها فى حالة توافر علما بأن هذه التمارين مجاب عنها. زمن متاح أو للطالب المتفوقينً ،
جـ ) التقييم والتدريب :ويشمل هذا البند جوانب مهمة هى "التقييم المستمر" ويشمل إجابات لما ورد فى بند "حاول أن تحل" أو يشمل أسئلة شفهية أو تحريرية خالل عرض الدرس ،الجانب اآلخر هو" التقييم و التدريب" ،ويشمل هذا البند إجابات ما ورد فى بند "تمارين" و الجانب الثالث هو "التقييم" ،ويشمل أسئلة شفهية أو تحريرية تساعدك على التأكد من تحقيق أهداف الدرس ،ومدى استفادة طالبك مما تعلموه ،وذلك جن ًبا إلى التمارين العامة واالختبارات الواردة فى نهاية كل وحدة.
د ) تمارين إثرائية :يقدم الدليل فى نهاية كل درس أنشطة إثرائية للطالب المتفوقين ،ولكن حذار أن تعلن أن هذا النشاط خاص بالطالب المتفوقين وال تقسم الطالب فى الفصل إلى مجموعات وف ًقا لمستوياتهم ،فهذا النشاط خاص بالمعلم ليواجه الفروق الفردية بين طالبه ،يمكنك أن تستقطع وقتًا فى ذات الدرس للقيام بهذه األنشطة اإلثرائية ،وأحيانًا يكلف بها الطالب بوصفها نشا ًطا خارج ًّيا يقومون به بعد الدرس ،وقد يعرضون عليك ما أنجزوه فى هذه األنشطة خارج وقت الحصة ،أو قد ت ِ ُراجع معهم إنجازاتهم فى بداية الحصة التالية ،وقبل التهيئة الجديدة (يتوقف ذلك على نوع تلك األنشطة ،وما تحتاجه من زمن لمتابعتها) ،ونشير هنا إلى أنه عند تكليف أى طالب بنشاط ما يجب أن تتابع إنجازه فيه، حيث إن عدم توفر ذلك يؤدى إلى تكاسلهم بل إهمالهم القيام بأى نشاط إثرائى. هـ ) األخطاء الشائعة :يتم استعراض عدد من الصعوبات التى تواجه الطالب نتيجة بعض األخطاء المتوقع منهم الوقوع بها، وتختلف هذه األخطاء باختالف الموضوع والوسائل المستخدمة وكذلك المستوى األكاديمي للطالب.
و ) ملخص الوحدة واالختبار التراكمى :تنتهي الوحدة بعرض ملخص لدروس الوحدة وتمارين عامة ،وكذا اختبار تراكمى علما بأن الدليل يوفر لك إجابات لكل منهما. للوحدة ً ً ً موجزا عن النقاط التالية: عر�ضا والآن عزيزى المعلم كى تقوم بدورك على �أكمل وجه �سوف نتناول تطبيقات الرياضيات . تصنيف أهداف تدريس الرياضيات. معايير ومؤشرات الصف الثانى الثانوى. خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية. بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى.
تنظيم محتوى مادة الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى. إستراتيجيات عامة للتدريس الناجح. االتجاهات الحديثة في تعليم الرياضيات. إدارة وتنظيم بنية التعلم النشط.
تطبيقات الرياضيات: ينبغى أن يعى المعلم التطبيقات الخاصة بطبيعة الرياضيات ،فعلم الميكانيكا (الديناميكا واالستاتيكا) من فروع الرياضيات التى تشتمل على العديد من التطبيقات الحياتية المرتبطة بحياة الطالب والبيئة التى يعيشون فيها.
فمقرر " الديناميكا -االستاتيكا" يعتمد فى دراسته على مادرسه المتعلم من المهارات األساسية للرياضيات ،ومن الواضح أن ما بين الرياضيات عمو ًما -والميكانيكا عالقة تبادلية فيما يتعلق بالتطبيقات.
دليل املعلم -املقدمة
خ
تنظيم محتوى الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى (علمى)" تطبيقات الرياضيات ": يجرى تدريس الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى (علمى) فى شكل وحدات دراسية موزعة مصفوف ًّيا بين صفوف المرحلة الثانوية ،وبين المجاالت الميكانيكا -الهندسة والقياس ،اإلحصاء .ومن ناحية أخرى فإن المحتوى ينمو رأس ًّيا (عبر الصفوف) وحلزون ًّيا فى كل فرع ،ويتوزع أفق ًّيا (فى كل صف) ،بحيث يتضمن وحدات من فروع مختلفة تعكس -إلى حد ما -وحدة الفكر الرياضى.
تصنيف مخرجات تعلم تدريس الرياضيات: الرياضيات؟» أو ما الهدف منها؟ إن تدريس الرياضيات يهدف إلى تزويد الطالب َ دائما بالسؤال اآلتى« :لماذا نع ِّلم ِّ يواجه المعلم ً بالمعارف الرياضية واكتساب المهارات المرتبطة بتلك المعارف؛ ومن ثم توظيف واستخدام تلك المعارف والمهارات من خالل تكوين اتجاهات إيجابية نحو دراستها ،ومن ثم يمكن تلخيص أهداف تدريس الرياضيات إلى أهداف تتعلق: بمعرفة وفهم أساسيات مادة الرياضيات. بالتدريب على أساليب تفكير سليمة وتنميتها. باكتساب المهارات الرياضية (العقلية والنفس حركية). باكتساب اتجاهات موجبة وتنمية ميول واوجه التقدير نحو الرياضيات وعلمائها. هناك أكثر من طريقة للتعريف بتصنيف نواتج تعليم الرياضيات ،كمايلي:
(((1نواتج تعلم معرفية Cognitiveتتمثل األهداف المعرفية فى معرفة أساسيات المادة وفهم بنيتها وتركيبها واألسس النظرية لبعض النواحى التطبيقية ،حيث يساعد ذلك على إكساب الطالب القدرة على تطبيق القواعد والنظريات فى المادة الدراسية أو فى مواقف حياتية ،كما تسهم معرفة تلك األساسيات فى فهم أساسيات مواد دراسية أخرى.
(((2نواتج تعلم وجدان ّية Affectiveتتع ّلق بتقدير appreciationالرياضيات كعلم ومجال وأسلوب تفكير بشرى ،وتقدير الرياضيين وإسهاماتهم ،وتكوين ميول واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات ،ونحو دورها فى التقدُّ م ونحو أساليبها فى التفكير ودقة لغتها فى االتصال سواء بالرمز أو بالشكل البيانى.
(((3نواتج تعلم نفسحركية ُ Psychomotorيقصد بها تنمية المهارات العملية والعقلية ،مثل اإلنشاءات الهندسية ،واستخدام أدوات ذات طابع رياضى هندسى أو حسابى أو حوسبى ،المهارات العملية فى الرياضيات يغلب عليها الناحية األدائية، وتسهم الناحية المعرفية بقدر أقل من الناحية اليدوية ،بينما المهارات العقلية المتمثلة فى استخدام المفاهيم والمعارف فى حل المشكالت فيغلب عليها الناحية المعرفية التى تترجم بالمهارة اليدوية إلى خطوات وخورازميات للحل.
إستراتيجيات عامة للتدريس الناجح
إستراتيجية التدريس :هى خطة تحركات المعلم فى تحقيق أهداف الدرس ،مع مالحظة أن الهدف األساسى للتدريس والتعليم هو أن يتعلم الطالب .ويقاس نجاح االستراتيجية بمدى كفاءتها فى أن يتع َّلم الطالب ما يراد لهم أن يتعلموه ،بغرض مساعدة الطالب فى أن يبنوا بأنفسهم ويكتشفوا المعارف التى يتعلمونها فى ضوء النظرية البنائية ،Constructivismوتتضمن إستراتيجية التدريس الناجحة أن يقوم المعلم باآلتى: التقدُّ م بمشكلة أو سؤال يثير انتباه الطالب (وقد يكون قصة تاريخية). إعطاء فرصة للطالب للمناقشة. توزيع العمل بين أعمال تعاونية فى مجموعات صغيرة تعمل تعاون ًّيا ،وأعمال فردية يفكر فيها كل طالب بنفسه ،وأعمال جماعية يحدث فيها تفاعالت بين المعلم والطالب وبين الطالب أنفسهم. فى نهاية كل مناقشة أو عمل تعاونى أو عروض من جانب بعض الطالب يقوم المعلم بتلخيص واضح لما تم مناقشته أو حله متضمنًا األساسيات :تعريفات ،عالقات ،منطوق نظريات لها براهين ،إلخ. فرصا داخل الفصل أو المنزل (واجبات) الكتشاف بعض الخواص أو العالقات بأنفسهم. إعطاء الطالب ً تشجيع الطالب على إعطاء حلول أو براهين بديلة.
د
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة
عند تدريس مفهوم أو عالقة ضمن عدة مفاهيم يعطى المعلم مثالاً وال مثال على المفهوم أو العالقة الجديدة . البعد عن التلقين أو سرد الحقائق وعرض االجابات الجاهزة دون مشاركة فعالة من الطالب. تنويع السلوكيات (أى طرق التدريس) فى الحصة الواحدة. الحرص على إعطاء رعاية خاصة فى فترة العمل الفردى أو فى المجموعات التعاونية للطالب بطيئى التعلم أو من هم دون المستوى فى قدراتهم على التعلم ،وكذلك الحال بالنسبة إلى الطالب المتفوقين. تنويع الواجبات سواء داخل الفصل أو فى المنزل مع مراعاة الفروق الفردية -ليس من الضرورة أن يحل كل الطالب جميع التمارين فى الكتاب خاصة بالنسبة إلى الطالب «الضعاف» ،ف ُيقدَّ م لهم الحد األدنى ،و ُيالحظ تقدمهم حتى يصلوا إلى متدرجين فى الواجبات. مستويات أفضل ِّ تحديد بعض الساعات للمساعدة خارج الفصل فى مكتب المعلم أو فى المكتبة. مساعدة الطالب على أن يشعر بأنه يمكنه النجاح والتفوق فى هذا المقرر.
المعايير والمؤشرات للصف الثاني الثانوي (القسم العلمي -تطبيقات الرياضيات) المعيار األول :تعرف تطور علم الميكانيكا ،ودور علماء الرياضيات في تطوير فهم الظواهر الفيزيائية.
المؤشرات: أنواعا أخرى حديثة من تاريخيا وتطوره من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية ،ويتعرف ✍✍ يتعرف تطور علم الميكانيكا ً ًّ علم الميكانيكا في صورة أنشطة. ✍✍ يتعرف أن علم الميكانيكا هو علم دراسة الظواهر المتعلقة بالحركة (الديناميكا) ،والظواهر المتعلقة بالسكون (اإلستاتيكا) ✍✍ يتعرف ،ويقدر دور علماء الرياضيات في تطور علم الميكانيكا ،وقوانينه التي أسهمت في فهم كثير من الظواهر الحياتية، وحل العديد من المشكالت الرياضية والحياتية. )1يتعرف وحدات القياس اآلتية ،عند دراسة الموضوعات المتعلقة بها: ✍✍ وحدات قياس المسافة /اإلزاحة التي تستخدم في قياس األطوال الكبيرة مثل :الكيلومتر والميل ،والتي تستخدم لقياس األطوال المتناهية في الصغر مثل :النانومتر ،ودراسة العالقة بينها. ✍✍ وحدات قياس الزمن ( - .......الساعة -الدقيقة -الثاني - ........ -الفيمتوثانية) ،ودراسة العالقة بينها. ✍✍ وحدات قياس الكتلة ( - ......ثقل كيلوجرام -ثقل جرام ،) ........ -ودراسة العالقة بينها. ✍✍ وحدات قياس السرعة ،والعجلة ،والقوة. المعيار الثاني :تعرف علم السكون (اإلستاتيكا) وقوانينه ،ومفاهيمه المختلفة ،وتطبيقاته في مواقف حياتية.
المؤشرات:
)1يتعرف مفهوم القوة ،والقوة كمتجه ،ووحدات قياس مقدار القوة في ضوء وحدات القياس السابقة.
واتجاها (القوتان تؤثران في نفس النقطة). مقدارا )2يوجد محصلة قوتين ً ً )3يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين.
)4يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. )5يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية في نقطة.
)6يبحث اتزان نقطة مادية (جسيم) تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية في نقطة في الحاالت اآلتية: ✍✍إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان في نقطة. ✍✍إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية في نقطة. ✍✍إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية في نقطة. )7يوجد محصلة قوتين هندس ًّيا وجبر ًّيا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات في صورة أنشطة. دليل املعلم -املقدمة
ذ
)8يتعرف تطبيقات ما درسه في اإلستاتيكا في مواقف فيزيائية وحياتية.
المعيار الثالث :تعرف علم الحركة (الديناميكا) ،وقوانينه ،ومفاهيمه المختلفة ،وتطبيقاته في مواقف فيزيائية وحياتية.
المؤشرات: )1يتعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. )2يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. )3يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك في خطوط موازية لبعضها البعض أثناء الحركة. )4يميز بين اإلزاحة والمسافة. )5يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة -متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية - السرعة النسبية -وحدات قياس السرعة). )6يميز بينم مفهومى السرعة المتوسطة ( )Average vebcityومقدار السرعة المتوسطة ( )Average speedفى حالة الحركة الخطية فى اتجاه متجه وحدة ثابت. )7يتعرف مفهوم السرعة النسبية. )8يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة (العجلة المنتظمة -وحدات قياس العجلة). 2 2 )9يستنتج قوانين الحركة بعجلة منتظمة :فإن :ع = ع + 0جـ ن ف = ع 0ن 1 +جـ ن 2ع = ع 2 + 0جـ ن 2 )10يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة بعجلة منتظمة. )11يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. )12يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية في حالة صعود الجسم أو هبوطه. )13يتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام -ثابت الجذب العام). )14يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة والزمن ،ومنحنى السرعة والزمن. )15يستخدم اآللة الحاسبة البيانية في تمثيل العالقة بين اإلزاحة والزمن ،والسرعة والزمن في صورة أنشطة. )16يطبق مفاهيم السرعة والسرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل حركة األجسام مثل ( :حركة الصواريخ -حركة الطيران -األقمار الصناعية) في صورة أنشطة. المعيار الرابع :تعرف الهندسة والقياس ،وتطبيقاتهما في مواقف رياضية وحياتية.
المؤشرات: )1يتعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ. )2يتعرف بعض المجسمات (الهرم -الهرم المنتظم -الهرم القائم -المخروط -المخروط القائم). )3يستنتج المساحة الجانبية ،والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم -المخروط القائم. )4يستنتج حجم كل من الهرم القائم -المخروط القائم. )5يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها ،وطول نصف قطرها. )6يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. )7يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة ،وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة. )8يطبق ما درسه بالهندسة والقياس في نمذجة مواقف رياضية وحياتية. المعيار الخامس :استكمال دراسة االحتمال وتطبيقات عليهما.
المؤشرات: )1يتعرف التجربة العشوائية ،ويستنتج بعض التجارب العشوائية الشهيرة مثل :رمي العملة المعدنية مرة واحدة أو مرتين أو ثالث مرات ،رمي حجر النرد مرة واحدة أو مرتين. )2يتعرف العمليات اآلتية على األحداث أو ما يعرف باألحداث المركبة (قوانين دى مورجان) ويعبر عنها لفظ ًّيا ورمز ًّيا ويمثلها
ر
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة
بأشكال فن:
✍✍عدم وقوع أي من الحدثين (عدم وقوع Cأو عدم وقوع ب).
معا (عدم وقوع Cأو عدم وقوع ب). ✍✍عدم وقوع الحدثين ً )3يتعرف تطبيقات رياضية وحياتية بسيطة على اإلحصاء واالحتمال.
االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات هناك عدة اتجاهات حديثة لتعليم وتعلم الرياضات نورد منها ما يلى:
تعليم الرياضيات من أجل تنمية أنماط التفكير وأسلوب حل المشكالت :يعد هذا االتجاه من االتجاهات المفضلة فى تعليم الرياضيات ،وقد نبع هذا االتجاه نتيجة للتغير السريع فى المعارف واألساليب التكنولوجية واستخداماتها ،ولذا أصبحت المعرفة فى حد ذاتها ليست هى الهدف األسمى بل طرق الحصول عليها ،وهو ما يتمثل فى أنماط التفكير المختلفة وأسلوب حل المشكالت والتى يمكن تنميتها من خالل تعليم وتعلم الرياضيات. تعليم الرياضيات من أجل تنمية اإلبداع :للرياضيات دور مهم فى تنمية اإلبداع لدى المتعلمين لما لها من طبيعة تساعد على ذلك، ألن الرياضيات بمضمونها تعتمد على إدراك العالقات للوصول إلى النتائج والنظريات وغيرها من اإلبداعات ،وجوهر اإلبداع هو إدراك عالقات جديدة تؤدى إلى تنوع من الحلول للمشكلة الرياضية المطروحة .لهذا اعتبر التربويون أن تنمية اإلبداع هدف أساسى من أهداف تعليم الرياضيات. تعليم الرياضيات فى ضوء مفهوم العولمة :نتيجة للتقدم الهائل فى تكنولوجيا االتصال ،لم يعد للبعد الجغرافى تأثير فى عزل الدول عن بعضها البعض ،وأصبح العالم كقرية صغيرة متشابكة األطراف ،وأصبح للمشكالت بمختلف مجاالتها صفة العالمية، صالحا للتطبيق في حيث لم تعد دولة واحدة بإمكاناتها قادرة على مواجهة هذه المشكالت ،ومن ثم لم يعد مبدأ االكتفاء الذاتى ً ظل هذه الظروف فحل محله مبدأ االعتماد المتبادل الذى يدعو إلى إنفتاح دول العالم على بعضها البعض ،لنعيش فى سالم عالمى وتعاون مشترك من أجل خير اإلنسان ،وهذا ما يؤدى إلى اتساع بيئة اإلنسان من المحلية إلى العالمية .وهذا ما يدعو إلى أن تكون مناهج الرياضيات التى يدرسها المتعلم تساعد فى إعداده لذلك.
تعلم الرياضيات ذات ًّيا :ادى االنفجار المعرفى إلى ظهور الحاجة إلى التعلم الذاتى وظهرت عدة أساليب للتعلم الذاتى من أهمها التعلم بالمراسلة والموديوالت التعليمية وباستخدام الحاسب اآللى.
خصائص نمو طالب المرحلة الثانوية إن معرفة خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية يساعدنا على معرفة حاجاته ،وتعرف مدى نمو الطالب بالنسبة لمتوسط أقرانه ،ويعيش طالب المرحلة الثانوية فى مرحلة عمرية تُسمى مرحلة المراهقة ،ويقصد بالمراهقة أنها مرحلة النمو الذى يصل نموا جسم ًّيا واجتماع ًّيا ونفس ًّيا ،وتبدأ فيها الطفل إلى مرحلة البلوغ ،وعند استخدام مصطلح المراهقة فإن هذا المصطلح يتضمن ًّ مرحلة المراهقة عند البنين عند شن الثالثة عشرة فأكثر تقري ًبا ،وتبدأ عند البنات فى سن الثانية عشرة فأكثر تقري ًبا ،ويختلف سن بداية المراهقة من مجتمع إلى مجتمع وغال ًبا ما تبدأ مبكرة فى المناطق الحارة عنها فى المناطق الباردة ،ومرحلة المراهقة المبكرة التى تبدأ مع بداية البلوغ وتنتهى عند سن السادسة عشرة أو السابعة عشرة ،وقد تم تحديد هذا السن بطريقة قسرية تختلف من مجتمع آلخر ،وهناك اتفاق على أن تنقسم فترة المراهقة إلى مرحلتين هما ،المراهقة المبكرة ،المراهقة المتأخرة ،وتبدأ مرحلة المراهقة المبكرة مع سن البلوغ وتنتهى فى سن 16أو 17سنة أو عند التحاق المراهق بالصف الثانى أو الثالث الثانوى ،أما مرحلة المراهقة المتأخرة فتبدأ فى نهاية التعليم الثانوى وتمتد إلى مرحلة التعليم الجامعى ،وفى المرحلة األخيرة وهى التى يستعد نضجا وقد تمتد هذه المرحلة إلى 20سنة أو أكثر. فيهاالمراهق لدخول مرحلة الرشد فيستعد لذلك مهن ًّيا ويتعرف بشكل أكثر ً
دليل املعلم -املقدمة
ز
وفيما يلى عرض لخصائص طالب المرحلة الثانوية من حيث: النمو الج�سمى تعد «مرحلة المراهقة» طفرة فى النمو الجسمى ،فهى مرحلة نمو جسمى سريع ،وهذه التغيرات السريعة التى تصاحب النمو الجسمى -ومنها الجنسى -تجعله غير واثق بنفسه وبقدراته واهتماماته ،وتكون لدية مشاعر قوية تعكس شعوره بعدم االستقرار، ومن أهم المشكالت المصاحبة للنمو الجنسى للمراهق ظهور حب الشباب والتهيجات الجلدية للمراهق والمراهقة ،وكذلك المعاناة الجسمية المصاحبة عند المراهقه مثل :الصداع ،وآالم الظهر ونوبات تغير المزاج واالكتئاب.
التطبيقات التربوية لخصائص النمو الجسمى: ✍ ✍االستفادة من مادة الرياضيات والعلوم وتطبيقاتها العملية التى تعمل على تنمية جوانب النمو الجسمى بأبعادها المختلفة . ✍ ✍ االهتمام باألهداف المعرفية فى المواد المختلفة لتعريف الطالب وتبصيرهم ببعض المشكالت كممارسة التدخين واختيار األصدقاء. النمو الحركى ينتج عن النمو الجسمى السريع ميل الطالب إلى الكسل والخمول ،ويكون قليل النشاط والحركة ،والمراهق فى بداية هذه وكثيرا ما يصطدم باألجسام التى تعترضه أو تسقط من المرحلة يكون توافقه الحركى غير دقيق وتتسم حركاته بعدم االتزان ً بين يديه األشياء التى يمسك بها ،ومما يساعده على عدم استقراره الحركى تعرضه لنقد الكبار وتعليقاتهم وتحميله العديد من المسئوليات االجتماعية ،مما قد يسبب له االرتباك وفقدان االتزان.
التطبيقات التر بوية لخصائص النمو الحركي: ✍ ✍تشجيع ورعاية النمو الحركى عن طريق األنشطة المختلفة . ✍ ✍تضمين بعض موضوعات الرياضيات باألنشطة الحركية بالتعاون مع معلم التربية الرياضية . النمو العقلى
القدرات العقلية مثل القدرة اللغوية والقدرة العددية والقدرة المكانية والقدرة الميكانيكية والقدرة الموسيقية تظل فى نموها المضطرد خالل فترة المراهقة ،حيث يميل المراهق إلى القراءة واالطالع والرحالت الخارجية وقراءة القصص والمجالت فى محاولة للبعد عن المناهج الدراسية ،ويحاول المراهق التعبير عن ذاته ونقدها عن طريق مذكراته ،وكتابه المذكرات الخاصة عالمة من عالمات النمو العقلى والنمو االجتماعى ،وقد تكون وسيلة لتفريغ االنفعاالت والهروب من القلق والضيق النفسى. التطبيقات التربوية لخصائص النمو العقلي : ✍ ✍تدريب الطالب على استخدام األسلوب العلمى فى التفكير . ✍ ✍مراعاة الفروق الفردية بين الطالب وإشراكهم فى بعض المهام والتكليفات فى ضوء قدراتهم. القدرات والعمليات المعرفية تختلف القدرات عن العمليات المعرفية ،فالقدرة هى ما يستطيع الفرد عمله أو القيام به ،بينما تتعلق العملية المعرفية بما يحدث فى العقل ذاته أو بما يدور فى العقل وهو يستجيب للمتغيرات المختلفة؛ وعليه فإنه يمكن القول بأن القدرة تشمل على العمليات المعرفية وأنواع مثيراتها واألشكال المختلفة الستجاباتها؛ ولذلك فإن القدرة تؤكد على الناحية العقلية البحته مثل القدرات االستقرائية ،والعمليات المعرفية التى تعتمد على القدرات العقلية هى االنتباه الذى ينمو فى شدته ومستواه وطول مدته، يستطيع المراهق استيعاب مشكالت طويلة معقدة فى سهولة ويسر ،واإلدراك الذى يتأثر بنمو الفرد الجسمى والعقلى واالنفعالى
س
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة
واالجتماعى ،فينمو من المستوى الحسى المباشر عند الطفل إلى المستوى المعنوى المجرد عند المراهق ،وتنمو عملية التذكر وتنمو معها القدرة على الحفظ واالسترجاع والتعرف ،والتذكر عند المراهق يعتمد على الفهم واستنتاج العالقات بين العناصر وأيضا التى يتم تذكرها ويتأثر تذكر الفرد للموضوعات المختلفة بدرجة ميله نحوها واستمتاعه بها وبانفعاالته وخبراته المختلفة ً بنمو القدرة على االنتباه. أما عملية التفكير فإنها تتأثر عند المراهق بالبيئة المحيطة وبما تتضمنه من متغيرات تحفزه إلى ألوان مختلفة من االستدالل وحل المشكالت ،تزداد قدرة المراهق على التخيل المجرد المبنى على الصورة اللفظية ،كما تظهر القدرة المكانية لدى المراهق فى قدرته على فهم األشكال الهندسية المختلفة وإدراك العالقات المكانية فى سهولة تصور حركات األشكال والمجسمات ،أما القدرة العددية فتوضح فى القدرة على إجراء العمليات بسهولة وسرعة ،وتظل القدرات مطردة فى نموها خالل فترة المراهقة وفترة الرشد ،ما عدا قدرة السرعة اإلدراكية فإنها تضعف فى أواخر مرحلة المراهقة . النمو االنفعالى ترتبط انفعاالت الفرد بتغييرات عضوية داخلية يصاحبها مشاعر وجدانية وتغيرات فسيولوجية وكيميائية داخل الجسم ،وتؤثر بيئة الفرد فى تلك االنفعاالت ،فهى بمثابة متغير لها ،وللنمو أثر فى تغير وتطور االستجابات للمثيرات ،ولكن المظاهر الداخلية تكون أقرب للثبات واالستقرار منها إلى التغير ،وتتسم مرحلة المراهقة أنها عنيفة فى حدة االنفعاالت ،حيث نجد المراهق دائم الثورة على األوضاع متمر ًدا على الكبار ،كثير النقد ،ويشعر المراهق بأن األسرة والمدرسة والمجتمع ال تقدر موقفه ،وال تحس بإحساسه الجديد ،لذا فهو يسعى دون قصد ألن يؤكد نفسه بثورته وتمرده وعناده.
التطبيقات التربوية لخصائص النمو االنفعالى: ✍ ✍ تنمية الثقة واالستقاللية لدى الطالب من خالل مشاركة المعلم للطالب فى عرض أفكارهم ومشاركتهم لمشكالتهم الشخصية . ✍ ✍اجتناب المعلم ألساليب العقاب غير التربوية (كالعقاب البدنى أو السخرية أو االستهزاء ...إلخ. النمو االجتماعى مع بداية مرحلة المراهقة تزداد مجاالت النشاط االجتماعى ،ويتنوع االتصال الشخصى بالمعلمين والقادة والرفاق وغيرهم، وباتساع دائرة العالقات والتفاعل االجتماعى يتخلص المراهق من بعض جوانب األنانية التى تطبع سلوكه فى مرحلة الطفولة فيحاول أن يأخذ ويعطى ويتعاون مع اآلخرين ،وأثناء تفاعل المراهق وتعامله مع اآلخرين تتأكد لديه مظاهر الثقة بالنفس وتأكيد الذات ،ومحاولته إشعار اآلخرين بأهميته كفرد له كيان مستقل ،هذا ما يؤكد ميل المراهق للعناية بمظهره ومالبسه وطريقة حديثة كثيرا عن نفسه وعن قدراته وتفوقه وفى مجاالت التحصيل أو فى مجاالت الرياضة. فنجده يتحدث ً التطبيقات التربوية لخصائص النمو االجتماعي: ✍ ✍استثمار ميول الطالب فى تنمية شخصيته. ✍ ✍تنمية التفاعل االجتماعي بين الطالب والمعلمين.
دليل املعلم -املقدمة
ش
إدراة وتنظيم بيئة التعلم النشط تتمثل اإلدارة الجيدة للمعلم لبيئة التعلم والتى تعتمد على مشاركة الطالب فى التخطيط والتنفيذ للعملية التعليمية عام ً مهما ال ًّ مهما فى تحقيق األهداف التعليمية المنشودة. على توفير الجهد واالستغالل األمثل لموقف التعليم، وعنصرا ًّ ً ومع ظهور األساليب التربوية الحديثة التى تؤكد على ضرورة أن يكون الطالب هو محور العملية التعليمية وأن يكون له دور إيجابي فى العملية التعليمية ولهذا من المفضل إشتراكه فى إدارة هذه العملية ،ومع التأكيد على دور التعلم النشط وهو ما أدى فى جملته إلى إدارة بيئة التعلم بتلك التغيرات التربوية ،ومع مراعاة خصائص طالب المرحلة الثانوية ،حيث تختلف إدارة بيئة التعلم التى يتمركز فيها التعليم حول المتعلم ،أو مما يسمح له القيام ببعض األعمال اإلدارية داخل الفصل الدراسى ،ويتطلب ذلك منح الطالب بعض الحرية فى إدارة بيئة التعلم ذات ًّيا تحت توجية وإشراف المعلم ،األمر الذى يتطلب وضع مجموعة من القواعد العامة للتعامل داخل بيئة التعلم يتوفر بها الشروط التالية: ان تكون متوافقة مع قواعد وسياسات المدرسة وداعمة لها (مثل :االهتمام بنظافة المكان -احترام المعلم -احترام اإلدارة المدرسية -احترام الزمالء)..... أن تحدد مجموعة من األسس التى يجب توافرها فى السلوك السوى للطالب ،وأن يدعم كل سلوك بمبررات عقالنية ،بشكل يبين ضرورة هذا السلوك وفائدته لسير العمل فى الفصل بشكل إيجابى. أن تكون مقبولة من المعلم والطالب ،وهذا يستلزم أن يتعاونا فى وضعها. مكونات �إدارة بيئة التعلم حين تكون إدارة بيئة التعلم عملية مشتركة بين المعلم والطالب ،فإن هذا يعنى ضرورة إعادة صياغة المعلم ألدواره ،حيث عضوا فى جماعة أو قائدً ا فى فريق أكثر من كونه المصدر الوحيد للسلطة. يقوم بتعظيم دور المتعلم ،وأن يصبح المعلم ً إن بيئة التعلم قد تكون حجرة الدراسة أو المعمل أو المكتبة أو حجرة الوسائط المتعددة أو غير ذلك ،حيث يوجد الطالب مع معلمهم يخططون وينفذون م ًعا عد ًدا من األنشطة التربوية ،ومن ثم فإن مكونات بيئة التعلم تتمثل فيما يلى: التخطيط الجيد لتحديد خطوات وطريقة تنفيذ العملية التعليمية التنظيم المادى للفصل لمجابهة احتياجات العملية التعليمية تحديد أساليب أو طرق التفاعل بين المعلم والطالب. تهيئة مناخ الفصل لمجابهة احتياجات الطالب لتحقيق األهداف المنشودة ضبط سلوك الطالب. استغالل البيئة المحيطة أفضل استغالل إلحداث عملية التعليم /التعلم الجيد. االستغالل األمثل للوقت لتحقيق اكبر وقت ممكن للتعليم.
تصورا إلدارة فصله بما يضمن له النجاح فى وتحدد هذه المكونات الجوانب التى يجب أن يركز عليها المعلم عند وضعه ً مهمته. ال�سمات والمهارات الالزمة لإدارة بيئة التعلم الن�شط يتطلب نجاح المعلم فى قيادته التربوية لبيئة التعلم إلى توافر مجموعة من السمات والمهارات األساسية ،وهى كلها الزمة لنجاح المعلم بدرجات متفاوته ومنها:
السمات الشخصية :وتشمل المبادأة ،الثقة بالنفس ،والقدرة على االبتكار ،وتحمل المسئولية ،ضبط النفس ،الحزم والسرعة فى اختيار البدائل
المهارات الفنية :وهى المعرفة المتخصصة فى فرع من فروع العلم والكفاءة فى استخدام هذا الفرع بما يحقق الهدف المنشود، وتكتسب هذه المهارات بالدراسة والخبرة والتدريب
ص
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة مهارات اجتماعية وتعنى قدرة المعلم على التعامل مع طالبه وتنسيق جهودهم ،وخلق روح العمل الجماعى بينهم ،وايضا قدرته على االرتفاع والتأيثر ومواجهة المشاكل والتصدى لها بأسلوب ناجح. تنظيم بيئة التعلم الن�شط تحتاج إدارة بيئة التعلم إلى عناية فائقة من المعلم للتنظيم والتخطيط والترتيب ،ويعد الفصل وترتيبه أحد العوامل الرئيسية لنجاح عمل المعلم لتحقيق أهداف التعلم النشط ،ولذلك يجب على المعلم أن يراعى عدد من النقاط المهمة وهى:
(((1المرونة :وتعد حجر الزاوية فى تنظيم الفصل؛ ألنه مهما نظم المعلم فصله فسوف يتم تعديله عند التطبيق ليناسب احتياجات الطالب واستراتيجيات التدريس المستخدمة. (((2نوع األنشطة :يجب أن يضع المعلم فى اعتباره أن النشاط الذى سوف يقوم به الطالب هو الذى يحدد شكل الفصل وترتيب مقاعد الطالب وحركاتهم مثل :التعلم الفردى -التعلم التعاونى -تعلم األقران وهكذا.
(((3تنظيم األثاث والمواد واألدوات :تنظيم الفصل للتعلم النشط يعنى تنظيم المكان حتى يمكن للطالب العمل بمفردهم أو فى مجموعات كبيرة ،و إن أمكن يستخدم أثا ًثا سهل الحركة حتى يمكن إعادة ترتيبه.
(((4المصادر التعليمية :يجب أن يحتوى جزء من الحجرة على المصادر التعليمية ،وتكون مناسبة للطالب من حيث المستوى العمرى وتحدى قدراتهم. (((5مراعاة الفروق الفردية بين الطالب. �إدارة وقت التعلم بفاعلية إن التخطيط إلدارة الوقت بمثل عام ً مهما فى التعليم داخل الفصل وهنا التخطيط يمر بالخطوات التالية: ال ًّ ✍✍دراسة استطالعية للوقوف على كيفية استغالل الوقت ويدخل فيها دراسة السجالت المختلفة الخاصة بالتدريس واألنشطة. ✍✍تحديد األهداف المرجو تحقيقها بدقة. ✍✍تحديد األولويات والمهام الالزم تنفيذها. ✍✍وضع خطة للعمل يحدد فيها الوقت الالزم لكل مهمة من المهام فى ضوء األهداف واألولويات . ✍✍تنفيذ هذه الخطة وفق جدول زمن محدد. ✍✍متابعة تنفيذ الخطة وتقويم األداء. ✍✍تبنى أساليب وحلول لمواجهة مشكالت الوقت. وتشير هنا إلى أن التخطيط لدرس ما ال بد أن يرافقه زمن كل مرحلة من مراحل التدريس ،وعلى المعلم أن ينجز خطته تب ًعا للزمن المحدد ،ولكى يحسن المعلم من إدارة وقته داخل الصف ينبغى عليه أن يقوم باآلتى: ✍✍االلتزام بوقت الحصة من حيث توقيت بدايتها وتوقيت نهايتها. ✍✍تحليل المشكالت التى يمكن أن تواجهه أثناء الحصة وتستنفد وقتها وأسبابها وكيفية عالجها. ✍✍التخطيط الجيد لدرسه حيث يساعده ذلك على إدارة الفصل بفاعلية واستثمار وقت الحصة. بناء جدول موا�صفات االختبار التح�صيلى
يهدف االختبار التحصيلى إلى تحديد مقدار ما اكتسبه أو تعلمه المتعلم ،األمر الذى يسمح بمقارنه مستوى تحصيل الطالب بمستوى تحصيل غيره من الطالب الذين طبق عليهم نفس االختبار ولبناء االختبار التحصيلى عدة خطوات: تحديد األهداف (النواتج) التى يهدف المقرر إلى تحقيقها. تحديد محتوى االختبار (أى الموضوعات التى يغطيها االختبار) فى ضوء األهداف التى يسعى االختبار إلى تحقيقها ،ومن وسائل تحقيق ذلك عمل جدول ثنائى يطلق عليه جدول المواصفات ،وهو جدول ثنائى يتضمن الموضوعات التى يجب ان يغطيها االختبار ،واألهداف التعليمية للمقرر الدراسى (نواتج التعلم) ،واألهمية النسبية (الوزن النسبى للموضوعات واألهداف) .واستخدام جدول المواصفات يزيد من احتمالية تمثيل االختبار للجوانب المهمة للمقرر الدراسى ،ونسب دليل املعلم -املقدمة
ض
موجها للمعلم فى تمثيلها لألهداف المنشودة ،األمر الذى يرفع من صدق هذا االختبار ،كما أن استخدام هذا الجدول يعد ً اختيار األفكار التى يجب ان يتضمنها االختبار. خطوات إعداد جدول المواصفات تحديد نواتج التعلم للمقرر الدراسى واألوزان النسبية لكل منها والتى تعكس االهتمام الذى تحظى به فى عملية التدريس، وتكتب أعلى أعمدة جدول المواصفات. تحديد موضوعات المقرر الدراسى ،ونسبة تمثيل كل منها ،ولكى يتسنى للمعلم أو معد االختبار تحديد األوزان النسبية أو نسبة تمثيل موضوعات المقرر الدراسى يمكنه االستعانة بالموجهات التالية: الزمن المخصص لتدريس كل موضوع من موضوعات المقرر الدراسى. وبعد تحديد الموضوعات التى يتضمنها المقرر الدراسى ،واألوزان النسبية لكل منها تكتب هذه الموضوعات أفق ًّيا على صفوف الجدول ،وينشأ عن تقاطع األعمدة التى تمثل نواتج التعلم ،والصفوف التى تمثل الموضوعات عدد معين من خاليا (الخانات) التى تحدد وتعكس درجة تمثيل كل موضوع من موضوعات المحتوى التى تحدد بدورها نسبة األسئلة أو عدد األسئلة التى يجب أن يتضمنها االختبار بالنسبة لكل موضوع من موضوعات المحتوى ،والوزن النسبى المحدد لكل موضوع من موضوعات المحتوى ،ولتحديد األهمية النسبية لكل خلية من خاليا جدول المواصفات يتم اتباع الخطوات التالية: تحديد وضع الخلية. تحديد (الموضوع) الذى يتقاطع مع الخلية. تحديد النسبة المئوية الكلية للصف. تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود (الهدف) الذى يتقاطع مع الخلية. تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود .
ط
تطبيقات الرياضيات -علمى -الصف الثاني الثانوي
المقدمة
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر وفيما يلى نموذج مقترح لجدول مواصفات اختبار تحصيلى للصف الثانى الثانوى
الدرجة
ي
عدد الأ�سئلة
ديناميكا
استاتيكا
1مفردة
هندسة وقياس
عدد الأ�سئلة
الدرجة
الم
عرف
1مفردة
1
إحصاء
1مفردة
1
المجموع
2مفردة
2
الن�سبة
٪12٫5
1سؤال 2
مقال
1سؤال 2
1
1
عدد الأ�سئلة
مقال
1سؤال 2
1مفردة
مقال
1سؤال 2
مقال
2مفردة ٪12٫5
2
2سؤال
الدرجة
حت وى
معرفه
تطبيق
عدد الأ�سئلة
الدرجة
الم
الم
ست وى
فهم
حل م�شكالت ٪ 25 1مفردة
2
2
2
12سؤال
1سؤال 4
مقال
1سؤال 4
2
2
٪50
1مفردة سؤال مقال
1مفردة سؤال
مقال 1مفردة
1سؤال
2
8
المجموع
2
مقال
1سؤال
٪25
4
4مفردات 3سؤال مقال
1 2 1 4 1 4 1 2
3
5
5
3
16 ٪100
ويالحظ أنه بعد تحديد جدول مواصفات االختبار ،تكتب مفردات االختبار فى ضوء كل من الموضوع والمستوى المعرفى
فى كل خلية من خاليا الجدول مع اختيار أنماط األسئلة المالئمة لقياس هذه المستويات ،وذلك كما هو موضح باالختبارات
المرفقة فى نهاية كل فصل دراسى.
ثان ًيا :االطار التنفيذى للدليل
دليل املعلم -املقدمة
ظ
الميكانيكا
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
مقدمة عن تطور علم الميكانيكا الميكانيكا بالمفهوم العام هو العلم الذى يقوم بدراسة حركة أو اتزان األجسام المادية ،وذلك باستخدام القوانين فمثال هناك قوانين تَسري على دوران األرض حول الشمس وإطالق الصواريخ أو قذيفة المدفع أو الخاصة بها ،اً غير ذلك .ويقصد بها التغير الذى َيحدث بمرور الزمن لمواضع األجسام المادية فى الفراغ ،والتأثير الميكانيكى المتبادل بين األجسام هو التأثير الذى تتغير له حركة هذه األجسام ،طب اًقا لتأثيرات القوى المختلفة عليها ،لذلك فإن المسألة األساسية فى الميكانيكا هى دراسة القوانين العامة لحركة واتزان األجسام المادية تحت تأثير القوى عليها. ويمكن تقسيم الميكانيكا إلى قسمين هما:
مقدمة عن تطور علم الميكانيكا
الإ�ستاتيكا1
(علم توازن األجسام) يبحث فى سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من المؤثرات تُسمى القوى ،وتوصف القوى
مقدمة الوحدة ستتناول هذه المقدمة التعريف بمفهوم علم الميكانيكا و تطوره من النظرية الكالسيكسة مرورا بميكانيكا الكم ثم ميكانيكا أخيرا النظرية النسبية الموائع ثم الميكانيكا الحيوية و ً أيضا بعض األنشطة عن :تطور علم ألينشتاين ،كما تناولت ً الميكانيكا تاريخ ًّيا من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية ،و أنواع اخرى حديثة فى علم الميكانيكا.
التى ال تُغير من حالة الجسم بأنها متزنة ،ويقال للجسم :إنه فى حالة توازن تحت تأثير هذه القوى. وقد بدأت الدراسة العامة التزان األجسام (اإلستاتيكا) فى العصور القديمة نتيجة لمتطلبات اإلنتاج البسيطة فى هذا الوقت (كالرافعة والبوابة والمستوى المائل وغيرها) وكان لمؤلفات أرشميدس دور مهم فى هذا الوقت لترسيخ علم اإلستاتيكا.
الديناميكا 2
Dynamics
(علم حركة األجسام) والتى تتضمن قوانين حركة األجسام المادية تحت تأثير القوى ،وتنقسم الديناميكا إلى:
الكينماتيكا Kinematicsوهى تبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية (وصف الحركة وصفاًا مجر اًدا دون التعرض للقوى المسببة لها) ،والكيناتيكا Kineticsوهى تبحث فى تأثير القوى المسببة أو المغيرة للحركة ،وقد تلت الديناميكا فى دراستها اإلستاتيكا بأمد طويل؛ نتيجة النهضة فى مجاالت النقل والتجارة والصناعة واإلنتاج وصناعة األسلحة واالكتشافات الفلكية.
وهناك:
دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا وقوانينه التى أسهمت فى فهم كثير من الظواهر الحياتية.
ميكانيكا النقطة المادية (أى الجسم الذى يمكن إهمال أبعاده عند بحث حركته أو اتزانه). جدا من الجسيمات المترابطة مع بعضها ميكانيكا الجسم الجاسئ ( Rigid Bodyأى الجسم المكون من عدد كبير ًّ البعض؛ بحيث إن المسافة بين أي جسيمين منها تكون ثابتة وال تتأثر بأي مؤثر خارجي).
كما تناولت هذه المقدمة التعريف بوحدات القياس األساسية
1سوف ندرس فى هذه الوحدة مفهوم القوة وخواصها ووحدات قياسها وتحليل القوة إلى مركبتين ،وإيجاد محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة ،ثم دراسة اتزان نقطة مادية تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة ،وتطبيقات عليها. 2سوف ندرس فى هذه الوحدة (الكينماتيكا) وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها ،وتتناول هذه الدراسة حركة األجسام ،والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ،ومسببات الحركة وقوانينها ،وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة ،وقانون الجذب العام لنيوتن.
والوحدات المشتقة كمقدمة قبلية لدراسة اإلستاتيكا والديناميكا.
مخرجات التعلم
2
بعد دراسة هذه المقدمه ،وتنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: يتعرف تطور علم الميكانيكا تاريخي ًا و تطوره من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية ،و يتعرف أنواع أخرى حديثة من علم الميكانيكا فى صورة أنشطة.
يتعرف أن علم الميكانيكا هو علم دراسة الظواهر المتعلقة بالحركة (الديناميكا) ،والظواهر المتعلقة بالسكون (االستاتيكا).
يتعرف ويقدر دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا، وقوانينة التى أسهمت فى فهم كثير من الظواهر الحياتية ،و حل العديد من مشكالت الرياضية الحياتية.
يتعرف وحدات القياس اآلتية عند دراسة الموضوعات المتعلقة بها:
وحدات قياس المسافة/اإلزاحة التى تستخدم فى قياس األطوال الكبيرة مثل :الكيلومتر ،والتى تستخدم لقياس األطوال المتناهية فى الصغر مثل النانومتر ،و دراسة العالقة بينهما.
وحدات قياس الزمن (-.....الساعة-الدقيقة-الثانية-.....- الفيمتوثانية) ،و دراسة العالقة بينهما.
وحدات قياس الكتلة (طن -كيلوجرام -جرام ،).....- ودراسة العالقة بينهما. وحدات قياس السرعة ،و العجلة ،و القوة.
2
Statics
تطبيقات الرياضيات -علمى
تطبيقات الرياضيات -علمى
مفرادات اساسية: ميكانيكا
Mechanics
استاتيكا
statics
ديناميكا
Dynamics
الكينامتيكا
Kinematics
الكيناتيكا
Kinetics
جسم جاسئ
Rigid bodies
املرونة
Elasticity
اللدونة
Plasticity
امليكانيكا الكالسيكية
Classical mechanics
النظام الدوىل للواحدات
International system of units SI
الكميات املشتقة
Derived quontities
ميكانيكا املوائع
امليكانيكا احليوية الفيتمو ثانية
وحدة قياس الطول الكتلة الزمن
الرسعة العجلة القوة
Fluid mechanics QBiomechanics femtosecon Mesaure units Length Mass Time Velocity Acceleration Force
االدوات و الوسائل آله حاسبة علمية
الشبكة الدولية للمعلومات
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
اكيملكيمل
ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة (توجد لبعض األنظمة واألجسام تَغيرات تَطرأ عليها تتغ َّير فيها الكتلة بتغير الزمن كأن َينفصل عنها أو يتحد بها ُجسيمات تَنقص أو تَزيد من كتلتها فى أثناء الحركة ،ومن هذه األجسام ِ الوقود وغيرها من األنظمة المختلفة). الصواريخ النفاثة وعربات المناجم التى تَتغير كتلتها نتيجة استهالك ميكانيكا األجسام القابلة للتشكيل (المرونة )Elasticityهى خاصية األجسام التى لها القدرة على الرجوع إلى شكلها َعرض األجسام إلى مؤثرات خارجيةتتغير أشكالها و أبعادها األصلية بعد تشكيلها ،أما اللدونة Plasticityوهي عند ت ُّ
وال تعود إلى حالتها الطبيعية عند زوال المؤثِّر الخارجي.
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر زمن التدريس 2حصة
تطور علم الميكانيكا: الميكانيكا الكال�سيكية
Classical machanics
تعد أقدم فروع الميكانيكا حيث تهتم بدراسة القوى التى تؤثر على األجسام ،كما تهتم بتفسير حركة الكواكب وتساعد كذلك فى العديد من التقنيات الحديثة (الهندسة اإلنشائية والهندسة المدنية والمالحظة الفضائية .)...
ميكانيكا الكم
Quantum mechanics
هي مجموعة من النظريات الفيزيائية التي ظهرت فى القرن العشرين ،وذلك لتفسير الظواهر على مستوى الذرة
والجسيمات ،وقد دمجت بين الخاصية الجسيمية والخاصية الموجية ليظهر مصطلح ازدواجية (الموجة – الجسيم) ،وبهذا تُصبح ميكانيكا الكم مسئولة عن التفسير الفيزيائي على المستوى الذري ،لذلك ميكانيكا الكم هي تعميم للفيزياء الكالسيكية إلمكانية تطبيقها على المستويين الذري والعادي ،وسبب تسميتها بميكانيكا الكم يعود إلى أهم ّية الكم فى بنائها (وهو مصطلح فيزيائي يستخدم لوصف أصغر ك ّمية من الطاقة ُيمكن تَبادلها بين الجسيمات، ٍ ٍ بشكل ُمستمر). بشكل متقطعٍ ،وليس و ُيستخدم لإلشارة إلى كميات الطاقة المحددة التي تَنبعث
ميكانيكا الموائع
Fluid Mechanics
أساسا الموائع (السوائل والغازات ) ،ويدرس هذا التخصص السلوك هى أحد فروع ميكانيكا الكم وهي تدرس اً الفيزيائى لهذه المواد ،وتنقسم إلى إستاتيكا الموائع ودراستها فى حالة عدم الحركة وديناميكا الموائع ودراستها فى حالة الحركة
الميكانيكا الحيوية :Biomechanics علم الميكانيكا الحيوية (البيوميكانيك) هو علم دراسة القوانين العامة فى حركة أى كائن حى والتحليل الميكانيكي لحركة األجسام الحية من جميع النواحى ( التشريحية -الفسيولوجية -البدنية -الميكانيكية ،)...والذى يتعامل مع القوة على األجسام الحية سواء كانت فى حالة السكون أو الحركة ،ومن أمثلة ذلك :حركة األمعاء ،وتدفق الدم فى الشرايين ،وانتقال البويضة فى قناة فالوب ،وانتقال السوائل فى الحالب من الكلية إلى المثانة ،وعملية هضم الطعام وحركته ،ومن خالل التحليل الميكانيكي يمكن التوصل إلى حاالت جديدة ومالئمة لتطوير مستوى األداء.
دروس الوحدة
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
3
مكان التدريس: الفصل الدراسي. مصادر التعليم: كتاب الطالب من صفحة ( )2إلى صفحة ()9 الشبكة الدولية للمعلومات.
طرق التدريس المقترحة: العرض المباشر-المناقشة-العصف الذهني-استخدام الشبكة الدولية للمعلومات. التهيئة وضح للطالب المفاهيم التالية :النقطة المادية-الجسم الجاسئ -األجسام ذات الكتل المتغيرة و اطلب اليهم اعطاء أمثلة لكل مفهوم منها. أشر إلى الطالب بإعطاء نبذة مختصرة توضح الفرق بين فرعى الديناميكا (الكينماتيكا ،الكيناتيكا) مع سرد بعض الموضوعات التى سوف نتناولها لدراسة كل منها. إجراءات الدرس اطلب إلى الطالب استخدام الشبكة الدولية للمعلومات فى البحث عن تطور علم الميكانيكا من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية ويمكنك أن تضيف بعض البحوث اآلتية: ÑÑيندرج تحت ميكانيكا الموائع بعض التخصصات األخرى فهناك الديناميكيات الهوائية (أيروديناميك) والدينامكيات المائية(الهيدوديناميك) ،وقد ظهرت تطبيقات حسابية حديثة إليجاد حلول للمسائل المتصلة بمكانيكا الموائع ،ويسمى التخصص المعنى بذلك ديناميكيات الموائع الحسابية (omputatuinal FluidC )Dynamics
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
3
كيناكيملا ملع روطت نع ةمدقم ÑÑفى الميكانيكا الحيوية توجد أبحاث أكثر فى مجال نمو، وإعادة تشكيل األعضاء مثل تأثير ضغط الدم المرتفع على ميكانيكية جدران الشرايين ،وسلوك الخاليا العضلية القلبية مع احتشاء عضلة القلب ،ونمو العظام كاستجابة لممارسات معينة ،و نمو النباتات التأقلمى مع حركة الريح ،و تعتبر كشاهد على أن األنسجة الحية تتشكل من جديد كنتيجة مباشرة لألحمال المطبقة، توظف علوم الرياضيات المختلفة لحل المشاكل الحياتية وتشمل الجبر الخطي ،والمعادالت التفاضلية ،و التكامل، والهندسة ،والميكانيكا والتوبولوجى واإلحصاء وغيرها. نشاط
اطلب إلى الطالب استخدام الشبكة الدولية للمعلومات فى البحث عن دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا ثم ناقشهم فى األبحاث التى توصلوا إليها. أسئلة يمكن للمعلم االستعانة بها: أكمل ما يأتي:
1 2
يسمى علم حركة األجسام الذى يبحث فى تأثير القوى المسببة أو المغيرة للحركة بـ........................................
3
تسمى الميكانيكا التى تتناول السلوك الفيزيائى للسوائل والغازات بـ........................................
4
تعرف الميكانيكا التى تتناول دراسة و تحليل الكائنات الحية بالميكانيكا ........................................
5
الفيمتو ثانية يساوى
6
عرف ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة ،ثم أعط بعض األمثلة على ذلك.
7
اذكر الفرق بين المرونة و اللدونة.
8
اكتب نبذة مختصرة عن كل من: أ -الميكانيكا الكالسيكية .ب -ميكانيكا الكم. د -الميكانيكا الحيوية. ج -ميكانيكا الموائع .
9
عرف الفيمتو ثانية ثم بين أهم المجاالت التى يستخدم فيها.
4
الزمان الكتلة والطاقة؛ حيث أحدثت نقلة نوعية فى الفيزياء النظرية وفيزياء الفضاء فى القرن العشرين. قامت نظرية النسبية بتحويل مفهوم الحركة ،حيث ن ََّصت بأنَّ كل الحركة نسبية .ومفهوم الوقت تَغير من كونه موحدا بعد أن كان يتم التعامل معهما عدا آخر غير مكاني .وجعلت الزمان والمكان شي اًئا اً ثاب اًتا ومحد اًدا ،إلى كونه ُب اً
َمدد الزمن مفهو اًما كشيئين مختلفين .وجعلت مفهوم الوقت يتوقَّف على سرعة األجسام ،وأصبح تقلص البعد وت ُّ أساس ًّيا لفهم الكون.وبذلك تَغيرت كل الفيزياء الكالسيكية النيوتونية.
نشاط - 1استخدم الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت) فى البحث عن دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا وإليك بعض نتائج البحث: كان للعالم اإلنجليزى إسحق نيوتن Isaac Newtonالفضل فى تمهيد الطريق لعلم الميكانيكا الكالسكية عن طريق قوانين الحركة التى فسرت الكثير من الظواهر الطبيعية والفلكية ،كما كان للعالم األلماني يوهانز كيبلر johannes Keplerوجاليليوجاليلي اإليطالى Galileo Galileiدور عظيم فى وضع قوانين تصف حركة الكواكب؛ حيث بينت أيضا حركة الكواكب حول الشمس وفق المنظور الجديد الذي قوانين كيبلر أن هناك قوة تجاذب بينها ،وبينت اً يعتمد على مركزية الشمس بشكل أصبحت فيه الحسابات تطابق األرصاد الفلكية إلى درجة كبيرة ،وقد ظلت هذه القوانين سائدة منذ القرن السابع عشر حتى ظهور النظرية النسبية التى صاغها أينشاتين Einsteinخالل السنوات 1916 - 1905وميكانيكا الكم التى اشترك فى صياغتها ماكس بالنك Max plankوهينزبرج Heyznbergوشرودنجر Schrodingerوديراك Diracفى بداية القرن العشرين. كما ابتكر الدكتور أحمد زويل Dr. Ahmed Zewailنظام تصوير سري اًعا للغاية ،يعمل باستخدام الليزر ،له القدرة على رصد حركة الجزيئات عند نشوئها وعند التحام بعضها ببعض ،وقد سجل أحمد زويل فى قائمة الشرف بالواليات المتحدة األمريكية والتى تضم إلبرت أينشتاين وألكسندر جراهام بيل. http: //ar.wikipedia.org ولمزيد من المعلومات ابحث فى الموسوعة الحرة (ويكبيديا) على الموقع: وحدات القيا�س: عندما يتقدم أحد الطالب إلى الكليات العسكرية فإنه يقوم بإجراء بعض الفحوصات الطبية مثل قياس الطول، والوزن ،وضغط الدم ،ومعدل ضربات القلب ... ،فعملية القياس هى مقارنة مقدار بمقدار آخر من نفس النوع، وذلك لمعرفة عدد مرات احتواء المقدار األول إلى المقدار الثانى ،والنظام المستخدم فى معظم أنحاء العالم هو النظام الدولى للوحداتInternational system of units (SI) .
Measuring Units
4
يسمى علم حركة األجسام الذى يبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية فقط بـ ........................................
الوحدة األولى:
النظرية الن�سبية العامة النظرية النسبية ألينشتاين غ ّيرت الكثير من المفاهيم فيما يتعلق بالمصطلحات األساسية فى الفيزياء :المكان، General relativity theory
........................................
تطبيقات الرياضيات -علمى
تطبيقات الرياضيات -علمى
اكيملكيمل
ويتضمن هذا النظام الدولى للوحدات ) (SIسبع وحدات أساسية ،وقد ُحددت وحدات هذه الكميات األساسية باستخدام القياس المباشر معتمدة على وحدات معيارية لكل من الطول والزمن والكتلة المحفوظة بدائرة األوزان والمقاييس بفرنسا ،أما الوحدات األخرى فيمكن اشتقاقها من الوحدات األساسية ،وسنختص فى دراستنا بالكميات اآلتية:
ا اً أول :الكميات الأ�سا�سية ووحدات قيا�سها فى نظام ()SI الطول
الكمية األساسية
الوحدة األساسية
lengthمتر
massكيلو جرام
الكتلة الزمن
Fundamental quantities
الرمز
meterم
()m
kilogramكجم
timeثانية
()kg ()s
secondث
ومن مميزات استخدام وحدات النظام الدولي هو سهولة التحويل بين الوحدات
اأ�سف اإلى معلوماتك -1الفيمتو ثانية Femtosecond الفيمتو ثانية :هو جزء من مليون مليار جزء من الثانية ،أي (عشرة مرفوعة للقوة ( ))15-من الثانية والنسبة بين الثانية والفيمتو ثانية هي النسبة بين الثانية و 32مليون سنة.
فى عام1990م تَمكَّن العالم المصرى أحمد زويل من تثبيت اختراعه المعروف بكيمياء الفيمتو ،وذلك بعد جهد ٍ مضن مع فريق بحثه القابع فى معهد كاليفورنيا للتقنية امتد منذ عام ،1979وي َتلخَّص اختراعه فى اختراع وحدة وتوصل هذا العالم إلى اكتشافه العلمي باستخدام زمنية تخطَّت حاجز الزمن العادي إلى وحدة زمن الفيمتو ثانية، َّ نبضات ليزر قصيرة المدى وشعاع جزيئي داخل أمبوب مفرغ ،وكاميرا رقمية ذات مواصفات فريدة ،وذلك لتصوير حركة الجزيئات منذ والدتها وقبل التحاقها بباقي الجزيئات األخرى ،وأصبح باإلمكان التدخل السريع ومباغتة التفاعالت الكيميائية عند حدوثها باستخدام نبضات الليزر كتليسكوب للمشاهدة ،ومتابعة عمليات الهدم والبناء مفتوحا الستخدام هذا االكتشاف العلمي فى مجال الطب، فى الخلية ،وقد جعل هذا العالم العربي العمالق الباب اً وس ِّجلت باسمه مدرسة علمية جديدة ُع ِرفَت باسم كيمياء الفيمتو. والفيزياء ،وأبحاث الفضاء وغيرها الكثيرُ ،
-2مضاعفات الوحدات
الرمز
الوحدة tera تيرا giga جيجا mega ميجا kilo كيلو
T G M K
كسور الوحدات
القياس 1210 910 610 310
ديسي سنتي مللي ميكرو نانو بيكو فمتو
الوحدة
deci centi milli micro nano pico femto
القياس 1-10 2-10 3-10 6-10 9-10 12-10 15-10
الرمز d c m u n p f
الوحدة األولى:
وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 2٫75 1كم إلى م.
635 2مم إلى ديسم.
750 3كيلو هرتز إلى ميجا هرتز.
= 2750 = 1000 * 2٫75م
635 2مم
= 635
* 2 - 10
= 6٫35ديسم
= 1970
* 3- 10
= 1٫97كيلو جرام.
750 3كيلو هرتز = 750 1970 4جم
= 0٫75ميجا هرتز
* 3 - 10
تذكر اأن كم = 1000م م = 10ديسم
ديسم = 10سم
سم = 10مم
ثانياًا :الكميات الم�ستقة Derived quantities هل تعلم
1وحدة قيا�س ال�سرعة
تعرف السرعة بأنها معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن. وحدة قياس السرعة = وحدة قياس المسافة ÷ وحدة قياس الزمن فإن السرعة تقاس بوحدة :متر /ثانية (م/ث).
2العجلة
تعرف العجلة بأنها معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن ويكون: مترا /ثانية مربعة (م/ث.)2 وحدة قياس العجلة :اً
وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 1 1كم/س إلى م/ث. 3
1كم /س /ث إلى م /ث2
على النحو التالى: 1 1كم/س
6
=
1000 * 1م 60*60ث
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة ): إجابة تدريب ()1 3
أ 4كيلومتر =
3 7500=10*1000* 4ديسيمتر.
ب 0٫245ميكروجرام = 5-10*24٫5= 3-10*0٫245ميلى جرام ج 1250كيلوهرتز= 5-10*12٫5= 3-10*1250ميجا هرتز د 12مللى أمبير= 310*12ميكرو أمبير
اطلب إلى الطالب استخدام الشبكة الدولية للمعلومات فى البحث عن تعريفات أخرى للطول العيارى ،وناقشهم فى هذه األبحاث ،وضح إلى الطالب أنه يمكن تقدير المسافة بين األرض و الشمس التى تبلغ 8 10*1495كم وكذلك المسافة بين األرض والقمر التى تبلغ 5 10*2844كم وذلك بمعلومية سرعة الضوء التى تبلغ 8 10*2998م/ث وزمن وصوله من الشمس إلى األرض الذى يقدر بـ 500ثانية. أسئلة إثرائية :
1970 4جم إلى كجم. على النحو التالى: 2٫75 1كم
أشر إلى الطالب أن فى النظام الدولى الموحد ( )SIتستخدم الكميات األساسية للقياس ( الطول،الكتلة،الزمن) و ذلك بالضرب فى عشرة أو بالقسمة على عشرة بالنسبة للطول والكتلة ،وبالتالى تستطيع أن تحول من كمية ألخرى بسهولة كما هو موضح بالجداول المرفقة من صفحة (.)5
نشاط
5
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
فى بند وحدات القيا�س:
1 2كم/س إلى سم /ث. 4
كم /س/ث إلى سم/ث2
= 5 18م/ث
الثانية العيارية :هى الفترة الزمنية التى تستغرقها ذرة السيزيوم لتتذبذب بمقدار دورة كاملة.
لحظ اأن وحدات قياس الكميات المتجهة (السرعة ،العجلة، القوة) تعامل من حيث مقاديرها فقط بصرف النظر عن االتجاه.
تذكر اأن اليوم الشمسى المتوسط =
24ساعة .
الساعة = 60دقيقة.
حول كلاًّ من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها : أ 460كيلو هرتز إلى ميجا هرتز. ب 4560سنتيمتر إلى كيلو متر .
ج كم ثانية فى السنة الكبيسة (السنة الكبيسة تساوى 366يو ًما)
إرشادات للدراسة:
تمكن العلماء من قياس المسافة بين القمر واألرض بدقة عن طريق إرسال أشعة الليزر باتجاه القمر من خالل مناظير فلكية بحيث تنعكس حزمة أشعة الليزر عن سطح عاكس ُوضع على سطح القمر ،وترتد عائدة إلى األرض ،مما مكن العلماء من قياس متوسط المسافة بين القمر واألرض وهى 385000كم بضبط يزيد عن واحد بالمليار ،وباستخدام تقنية الليزر هذه اكتشف العلماء أن القمر يبتعد عن األرض سنو ًّيا بمعدل 3٫8سم/سنة تقري ًبا.
الدقيقة = 60ثانية.
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
5
كيناكيملا ملع روطت نع ةمدقم اكيملكيمل
فى بند الكميات المشتقة:
أشر إلى الطالب بأن الكميات المشتقة يمكن التعبير عنها بداللة الكميات األساسية مثل الطول ،الكتلة ،الزمن ،وغيرها ومن الكميات المشتقة :المساحة ،والحجم ،والسرعة، والعجلة والطاقة .......،وغيرها ،وهناك ما يسمى بمعادلة أساسا على كل من (الطول ،الكتلة،الزمن) األبعاد التى تعتمد ً فعلى سبيل المثال ،أبعاد السرعة هى مسافة/زمن ،العجلة هى مسافة/مربع الزمن ،الحجم (مسافة) 3و هكذا .............. التقييم المستمر (الحوار والمناقشة):
�أ�سئلة تدريب �صـ()8 أ
5 72كم/س=18 * 72
ب 1000سم/ث =
ج 36كم/س/ث =
�أ�سئلة �إثرائية:
= 20م/ث
36 = 9 * 1000كم/ث2
250
1000= 510 * 36سم/ث2
60 * 60
1 2كم/س
=
100 * 1000 * 1سم
3كم /س/ث = 4كم/س/ث =
60 * 60ث 1000م
60*60ث * ث 100 * 1000سم
60 * 60ث * ث
250سم/ث = 9 5م/ث2
= 18
250سم/ث2
= 9
تدريب كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 1حول ًّ ب 1000سم/ث إلى كم /س أ 72كم/س إلى م/ث
3القوة
Force
تعرف القوة بأنها حاصل ضرب الكتلة (ك) فى عجلة الحركة (جـ) فإذا رمزنا للقوة بالرمز (ق) فإن ق = ك * جـ
وحدات قيا�س مقدار القوة
الوحدات المطلقة :مثل الداين والنيوتن حيث 1نيوتن = 510داين ويعرف النيوتن والداين على النحو التالي: النيوتن :هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1كيلو جرام أكسبتها عجلة مقدارها 1متر/ث2
الداين :هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1جرام
الوحدات التثاقلية:
مثل :ثقل الجرام (ث جم) ،ثقل الكيلو جرام (ث كجم) حيث ويعرف ثقل الكيلو جرام وثقل الجرام على النحو التالى:
1ث كجم = 310ث.جم
ثقل الجرام :هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1جرام أكسبتها عجلة مقدارها 980سم/ث2
وتربط الوحدات التثاقلية بالوحدات المطلقة بالعالقة1 :ث كجم = 9٫8نيوتن، 1ث جم = 980داين
اأ�سف اإلى معلوماتك جميع األجسام (بغض النظر عن كتلتها) تسقط على سطح األرض بتسارع (عجلة) منتظم يقع بين 9٫82 ،9٫78 م/ث 2اعتما ًدا على دائرة العرض ولكننا سنعتبرها 9٫8 م/ث 2لسهولة االستخدام ما لم تُحدد قيم أخرى لها.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
أ الطول ب الثقل ج الزمن د الكتلة
2
الوحدة الدولية للكتلة هي:
3
الوحدات األقل من الواحد الصحيح هي:
الوحدة األولى:
أ الجرام ب الطن ج الكيلو جرام د الملليجرام
أ هيكتو ب كيلو ج ديسكا د ميكرو
أكسبتها عجلة مقدارها 1سم/ث2
ثقل الكيلو جرام :هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1كيلو جرام أكسبتها عجلة مقدار 9٫8متر/ث2
1اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجايات المعطاة: 1ليس من الكميات األساسية:
ج
36كم/س/ث إلى سم/ث2
2ماذا يقصد بكل من: أ الطول العيارى . ج الزمن العيارى.
وعلى ذلك يمكن تحويل ٍّ كل من الوحدات اآلتية إلى الوحدات المناظرة لها: 3٫14 1نيوتن إلى داين
710 * 6٫75 2داين إلى نيوتن
على النحو التالى:
3٫14 1نيوتن = 314000 = 510 * 3٫14داين
710 * 6٫75 2داين = 675 =510 ÷ 710 * 6٫75نيوتن
تدريب
ب الكتلة العيارية .
كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 2حول ًّ أ 17ث جم إلى داين
ب 1250 * 5٫36داين إلى نيوتن ج 2٫50نيوتن إلى داين
3إذا أعطيت المسافة بوحدة كم و السرعة بوحدة م/ث أى من العمليات اآلتية تعبر عن إيجاد الزمن بالثانية؟
يمكن وضع الكميات المشتقة فى جدول على النحو التالي:
أ ضرب المسافة فى السرعة ثم ضرب الناتج فى 1000
ب قسمة المسافة على السرعة ،ثم ضرب الناتج فى 1000 ج قسمة المسافة على السرعة ثم قسمة الناتج على 1000
الكمية المشتقة
عالقتها بالكميات األخرى
السرعة (ع)()V
المسافة ÷ الزمن
م/ث m/s
العجلة (جـ)()a
السرعة ÷ الزمن
م/ثm/s2 2
القوة (ق)()F
الكتلة * العجلة
نيوتن N
د ضرب المسافة بالسرعة ثم قسمة الناتج على 1000
8
6
تطبيقات الرياضيات -علمى
وحدة القياس
تطبيقات الرياضيات -علمى
7
اكيملكيمل
أخطاء شائعة:
تحقق من فهمك
أشر إلى الطالب أنه يمكن استخدام وحدات القياس للتحقق من صحة إجابة معادلة أو مجموعة معادالت بشكل صحيح فعلى سبيل المثال عند حساب السرعة بوحدة ث/م أو م /ث ،2فاعرف أن هناك خطأ فى حل المسألة ،هذه الطريقة فى التعامل مع الوحدات باعتبارها كميات جبرية تسمى تحليل الوحدات.
اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة: 1تقاس الكتلة بوحدة: أ الداين
ب النيوتن
2من الكميات األساسية فى النظام الدولى: ب السرعة أ الكتلة 3الملليمتر وحدة تعادل: أ 3-10متر
ب 3-10متر مكعب
ج الكيلو جرام
د ثقل الكيلو جرام
ج العجلة
د القوة
ج 2-10سنتيمتر
د 4-10ديسميتر
اأجب عن الأ�سئلة الآتية: 4ماذا يطلق على القيم التالية: أ 2-10متر
ب 3-10متر
ج 1000متر
كال ممايأتى إلى متر: 5حول ًّ أ 63٫4سنتيمتر
ب 512٫6ملليمتر
ج 0٫534ديسيمتير
يستخدم تحليل الوحدات فى إيجاد معامل التحويل (هو معامل ضرب يساوى الواحد الصحيح) فعلى سبيل المثال:
6تفكير ناقد :احسب بوحدة الكيلوجرام كتلة الماء الالزمة لملء وعاء على شكل متوازى مستطيالت طوله علما بأن كثافة الماء تساوى 1جم/سم 3مقر اًبا الناتج ألقرب عدد 1٫6م وعرضه 0٫650م وارتفاعه 36سنتيمتر ,اً صحيح . [إرشاد :الكتلة = الحجم * الكثافة]
1كجم = 1000جم و من هنا نستطيع بناء معامل التحويل التالى: 1كجم
1000جم
1000جم = 1كجم = 1
حيث يمكن اختيار معامل التحويل الذى يجعل الوحدات تشطب ال مع بعضها ،بحيث نحصل على اإلجابة بالوحدة الصحيحة فمث ً لتحويل 3٫42كجم من الحديد إلى الجرامات فإننا نقوم باآلتى: 1000جم 3٫42كجم ( 1كجم ) = 3420جم.
9
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
و قد نحتاج إلى سلسلة من التحويالت كاآلتى:
التقييم المستمر( :تعلم ذاتى)
مثال :لتحويل 72كم/س إلى م/ث فإننا نقوم باآلتي:
�إجابة تدريب ()3 1
أ 7ث جم =
1 140=980* 7داين
* 5٫36 4-10*6٫7 = 1250نيوتن ب 1250 * 5٫36داين = 510 * 2٫5 ج 2٫5نيوتن = 510 * 2٫5داين
�إجابة تحقق من فهمك
جـ 2أ
4 5
3أ
أ السنتيمتر ب الملليمتر ج الكيلومتر أ 63٫4سنتيمتر = 0٫634متر
ب 512٫6ملليمتر = 0٫5126متر ج 0٫534ديسيمتر = 0٫0534كيلومتر
6الكتلة = الحجم * الكثافة = الطول * العرض * االرتفاع = 1 * 36 * 65 * 160 = 374400جم = 374كيلوجرام
(
72كم 1ساعة
) (
1ساعة 1000م ) ( 60دقيقة ) ( 1كم
1دقيقة 60ثانية
) = 20م/ث
نشاط:
اطلب الى الطالب استخدام الشبكة الدولية فى البحث عن أنظمة أخرى للقياس ومنها النظام االنجليزى ثم تحديد وحدات قياس الطول والكتلة والقوة لتلك األنظمة وعالقتها بوحدات القياس مع النظام الدولى ( )SIثم تحديد بعض استخدامات النظام االنجليزى فى مالعب كرة القدم والمالحة البحرية والجوية وبعض االستخدامات فى األراضى الزراعية وغيرها.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
7
الوحدة
الوحدة األولى
األولى
االستــاتيكــا
االستاتيكا ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
Statics
Statics مقدمة الوحدة
مقدمة الوحدة يختص علم االستاتيكا بحل جميع المشاكل الهندسية المتعلقة بدراسة توازن األجسام المادية والتأثير المتبادل الناشئ عنها، وحيث إن تطور التقنية الحديثة يصادف مشاكل عديدة لتحليل المنشآت المختلفة كالمبانى ،والجسور ،والمنازل ،وتصميم اآلالت ،والمحركات ،وهندسة الطيران ،والهندسة المدنية، والميكانيكية ،وذلك لتعدد اختالف هذه المشاكل ،وعلى الرغم جزء من حلها يعتمد على بعض المبادئ العامة التى لها من هذا فإن ً قاعدة علمية مشتركة ،وبالتالى فإن دراسة االستاتيكا يعنى دراسة عمليات تحصيل وتحليل القوى وشروط االتزان. وتنقسم وحدة االستاتيكا إلى أربعة دروس هى: الدرس األول :القوى. الدرس الثانى :تحليل قوة . الدرس الثالث :محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. الدرس الرابع :اتزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة.
يختص علم اإلستاتيكا بحل جميع المشاكل الهندسية المتعلقة بدراسة توازن األجسام المادية ،وعمليات تحليل وتحصيل القوى المؤثرة عليها، والتأثير المتبادل الناشئ عنها ،وتطبيقاته المختلفة فى بناء المنازل والمبانى والجسور وتصميم اآلالت والمحركات .وقد كان لنيوتن أبحاث ومؤلفات فى هذا المجال منها كتاب المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية الذى يتكون من ثالثة أجزاء ،ويعتبر أساس علم الميكانيكا الكالسيكى. ومن أقوال نيوتن المشهورة عن نفسه «لست أعلم كيف أبدو للعالم ،ولكننى أبدو لنفسى ،وكأننى صبى يلعب على شاطئ البحر ،ألهو بين الحين والحين بالعثور على حصاة ملساء أو صدفة أجمل من العادة ،بينما ينبسط محيط الحقيقة العظيم مغلق األسرار أمامى».
مخرجات التعلم فى نهاية الوحدة ،وبعد تنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: يتعرف مفهوم القوة ،والقوة كمتجه ،ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء وحدات القياس السابقة.
مقدارا واتجاهً ا (القوتان تؤثران فى يوجد محصلة قوتين ً نفس النقطة).
يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين. يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.
يبحث اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية:
× إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. × إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. × إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. يوجد محصلة قوتين هندس ًّيا وجبر ًّيا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات فى صورة أنشطة.
يتعرف تطبيقات ما درسه فى اإلستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية.
10
أهداف الوحدة فى نهاية الوحدة ،وتنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن : يتعرف مفهوم القوة ،والقوة كمتجه ،ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء وحدات القياس السابقة.
واتجاها (القوتان تؤثران فى نفس مقدارا يوجد محصلة قوتين ً ً النقطة).
يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين.
يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.
يبحث اتزان نقطة مادية (جسيم) تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية: × ×إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. × ×إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. × ×إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.
8
تطبيقات الرياضيات -علمى
يوجد محصلة قوتين هندس ًّيا وجبر ًّيا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات .
يستخدم تطبيقات ما درسه فى االستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية.
المصطلحات األساسية Ñاستاتيكا
Ñتحليل قوة
Statics
Ñقوة
Ñمركبة قوة
Force
Ñجسم جاسئ
Ñقوة التثاقل
Ñاتزان جسم جاسئ
Newton
Ñداين
Equilibrium of rigid body smooth plane
Ñمستوى مائل أملس
Kilogram weight
Ñثقل جرام
lami's rule
Ñمستوى أملس
Dyne
inclined smooth plane
Ñمركز ثقل
Gram weight
Ñخط عمل قوة
triangle of forces
Ñقاعدة المى
acceleration of gravity
Ñثقل كيلو جرام
equilibrium of a body
Ñقاعدة مثلث القوى
Gravitation force
Ñنيوتن
force Component
Ñاتزان جسم
Rigid body
Ñعجلة السقوط الحر
Resolving force
centre of gravity
Line of action of the force
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
الدرس ( :)1 - 1القوى.
Ñآلة حاسبة علمية
الدرس ( :)2 - 1تحليل قوة إلى مركبتين.
Scientific calculator
Ñبرامج رسومية للحاسوب
الدرس ( :)3 - 1محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة
Graphical computer programs
الدرس ( :)4 - 1اتزان جسم جاسئ تحت تأثير مجموعة من
القوى المستوية المتالقية فى نقطة.
االستاتيكا اتزان جسيم تحت تأثير
القوى خواص
ثالث قوى
قوتين
قاعدة مثلث القوى
مهارات التفكير التى تنميها الوحدة التعبير الشفهى -التفكير اإلبداعى -التفكير الناقد -التفكير التحليلى -حل المشكالت. الوسائل التعليمية المستخدمة السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية -آلة حاسبة رسومية -برامج رسومية للحاسوب -ورق مربعات -أقالم رصاص ملونة.
مخطط تنظيمى للوحدة
مفاهيم
زمن تدريس الوحدة 18حصة.
عدة قوى قاعدة المى
تحليل القوى إلى مركبتين متعامدتين ووضع س = ، 0ص = 0
إيجاد محصلة القوى هندسيًّا
طريقة التدريس المقترحة: العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -الطريقة االستنباطية -التعلم التعاونى -حل المشكالت.
تحليليًّا
مضلع القوى
التحليل فى اتجاهين معلومين
دروس الوحدة
قوتين
ثالث قوى
عدة قوى
التحليل فى اتجاهين متعامدين
تطبيقات فيزيائية وحياتية استخدام التكنولوجيا
11
طرق التقييم المقترحة: تتمثل فى األسئلة الشفهية والتحريرية الفردية والجماعية قبل وبعد وأثناء الدرس ،واألنشطة المقترحة ،وسلم التقييم الخاص بكل منها ،والتكاليف الجماعية والفردية ،واختبار الوحدة واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة. المخطط التنظيمى للوحدة يتناول المخطط التنظيمى المفهوم األساسى لالستاتيكا والمفاهيم المرتبطة بها ،وهى القوى بما يشمله من مفاهيم وخواص ويتناول اتزان الجسم تحت تأثير (قوتين -ثالث قوى -عدة قوى ) وكذلك يوضح إيجاد محصلة القوى بطريقتين (هندس ًّيا -تحليل ًّيا) ثم نتطرق إلى التطبيقات الحياتية والفيزيائية باستخدام التكنولوجيا.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
9
ﻣﻛﺗب ﻣﺳﺗﺷﺎر اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺻر
1-1
القوى Forces
1-1
القــوى Forces
سوف تتعلم
بعض املفاهيم األساسية ىف اإلستاتيكا.
خلفية
أهداف الدرس
إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة حتليل ًّيا.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
قوة
Force
حمصلة
Resultant
جسم جاسئ قوة التثاقل
Gravitation force
عجلة السقوط احلر
Acceleration of gravity
نيوتن
فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:
يتعرف بعض املفاهيم األساسية ىف االستاتيكا. يتعرف خواص القوة.
Newton
داين
Dyne
ثقل كيلو جرام Kilogram weight
ثقل جرام
Gram weight
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
يوجد حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة حتليل ًّيا.
برامج رسومية
Graphical programs
مفردات أساسية
12
قوة -محصلة -جسم جاسئ -قوة التثاقل -عجلة السقوط الحر- نيوتن -داين -ثقل كيلو جرام -ثقل جرام. المواد التعليمية المستخدمة
آلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب -ورق مربعات. طرق التدريس المقترحة
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت- استخدام البرامج الرسومية للحاسب اآللى.
× تعرف القوة بأنها تأثير أحد االجسام على جسم آخر.
خوا�س القوة:
الكمية القياسية Scalor تاما بقيمتها تتحدد تحديدً ا ًّ العددية مثل المسافة ،الكتلة ، الزمن ،المساحة ،الحجم... الكمية المتجهة Vector وتتحدد باتجاهها باإلضافة إلى قيمتها العددية مثل القوة واإلزاحة والسرعة ،والوزن ...إلخ.
اأ�سف اإلى معلوماتك تنقسم األجسام الطبيعية إلى: أجسام جاسئة اليتغير شكلهامهما كانت القوى المؤثرة عليها. أجسام قابلة للتشكيل فيتغيرشكلها تحت تأثير القوى مثل السوائل والغازات والمطاط والصلصال ...إلخ
يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية: أوالً :مقدار القوة. َيتعين مقدار القوة بمقارنتها بوحدة القوى وقد سبق لك دراسة الوحدة األساسية لقياس القوة فى الميكانيكا وهى النيوتن ( )Nأو ثقل الكيلوجرام ( )kg.wtحيث: 1نيوتن = 510داين ، × 1ث كجم = 1000ث جم × 1ث كجم = 9٫8نيوتن
( مالم يذكر خالف ذلك) ()2
،
1ث جم = 980داين
-1الجسم الجاسئ هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية. -2قوة التثاقل (أو الوزن) هى مقدار جذب األرض للجسم ،حيث إن األرض تجذب األجسام الساقطة نحوها ،وتختلف قيمة عجلة السقوط الحر لألجسام من مكان آلخر على سطح األرض والقيمة التقريبية لها تساوى 9٫8م/ث 2ما لم يذكر خالف ذلك ،وسيعرض هذا الموضوع بالتفصيل فى مواضع أخرى فى الميكانيكا.
حيل مسائل عىل إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة بيان ًّيا وحتليل ًّيا.
تطبيقات الرياضيات -علمى
ذكر الطالب بالنظام العالمى الموحد( )Siلقياس الكتلة، والوزن ،والمسافة ،والزمن. إجراءات الدرس أكد على طالبك مفهوم الوزن على أنه قوة وأن قوة التثاقل (الوزن) هى مقدار جذب األرض للجسم ،فإذا كانت كتلة الجسم ك فإن قوة وزنه = ك Eوحيث إن ( )Eتعرف بعجلة السقوط الحر والقيمة التقريبية لها هى 9٫8م/ث 2فتكون قوة الوزن للجسم الذى كتلته ك هى 9٫8ك نيوتن.
وضح للطالب وحدات قياس الوزن المختلفة والعالقة بينها وكيفية التحويل من وحدة إلى أخرى مع إعطاء أمثلة تتطلب فيها عمليات التحويل من وحدة إلى أخرى.
مكان التدريس
الفصل الدراسى. مصادر التعلم
كتاب الطالب من صفحة ( )12إلى صفحة ( )19الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت). استخدام برنامج Geogebra
التهيئة اطلب إلى الطالب إعطاء أمثلة للكميات القياسية ،وأمثلة أخرى للكميات المتجهة.
10
Rigid body
القوةForce : تتوقف حالة اتزان أو حركة الجسم على طبيعة التأثير الميكانيكى المتبادل بينه وبين األجسام األخرى ،أى على حاالت الضغط أو الشد أو التجاذب أو التنافر التى تحدث للجسم نتيجةاً لهذا التأثير.
تعريف1
سبق أن درس الطالب المتجهات وفرق بين الكميات القياسية والكميات المتجهة منها كما درس كيفية تمثيل المتجه جبر ًّيا وهندس ًّيا ،وجمع وطرح المتجهات وغيرها ،وفى هذا الدرس سوف يتم دراسة القوى ،وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤثر عليها.
خواص القوة
حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة.
تمهيد: َعلمت أنَّ اإلستاتيكا هى فرع الميكانيكا الذى يدرس القوى وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤثِّر عليها القوى ,وستكون دراستنا فى هذه الوحدة على اتزان األجسام الجاسئة ( )1فقط. ومن دراستك فى المتجهات علمت الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة.
تذكر اأن
تطبيقات الرياضيات -علمى
اطلب إلى الطالب استخدام الشبكة الدولية للمعلومات للبحث عن المفهوم الفيزيائى للجسم الجاسئ ،وإليك بعض نتائج البحث ،الجسم الجاسئ هو الحالة المثالية لجسم صلب متناهى األبعاد بحيث تكون المسافة بين أى نقط فيه ثابتة عبر الزمن بغض النظر عن القوى الخارجية المطبقة عليه ،ويعتبر الجسم الجاسئ فى الميكانيكا الكالسيكية على أنه توزيع مستمر للكتلة بينما فى ميكانيكا الكم يعتبر مجموعة من كتل النقاط.
ىوقلا 11 -1
اوـققلا 1 1 ثانيا :اتجاه القوة يمثل شكل ( )1المجاور متجه القوة ق و ي ِ مكن ُ ُ تَمثيله بالقطعة المستقيمة الموجهة Cب حيث C نقطة البداية ،ب نقطة النهاية للقطعة المستقيمة الموجهة ،و ُيعبر عن مقدار القوة بمعيار المتجه || Cب || (طوله) (بمقياس رسم مناسب) ويناظر اتجاه السهم اتجاه القوة ق ،وتسمى زاوية i بالزاوية القطبية للمتجه فى مستوى القوة ق وتُكتب على الصورة القطبية كاآلتى (ق .)i ،
اأ�سف اإلى معلوماتك
ق
ص الزاوية القطبية polar angle هى الزاوية الموجبة التى يصنعها المتجه مع االتجاه الموجب لمحور السينات.
ب
س
شكل ()1
i
C
ق
:
ثالثًا :نقطة تأثير القوة وخط عملها فى شكل ( :)1تَنطبق نقطة Cعادة على نقطة تاثير القوة ق ،و ي ِ مك ُن َنقْل نقطة ُ تأثير القوة ق إلى أى نقطة أخرى ،بحيث تقع على خط عمل ق دون أن يغير ذلك من تأثيرها على الجسم كما فى شكل ( )2خط عمل القوة يسمى Cب فى شكل ( )1بخط عمل القوة ق أى أنَّ خط عمل القوة هو الخط المستقيم المار بنقطة تأثيرها والموازى التجاهها. ْ
:
جـ
:
ب
شكل ()2
مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة:
لكل قوتين مؤثرتين على جسم فى نقطة واحدة ،قوة محصلة تؤثر فى نفس النقطة ،تقوم بنفس التأثير الذي تقوم به القوتان وتمثل هندس ًّيا بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه.
ففى الشكل المقابل نجد أنَّ I : أى أنَّ : ُيمثل محصلة القوتين ق ، 1قْ 2
اطلب إلى الطالب تحديد عوامل تأثير قوة على جسم جاسئ ،ووضح لهم معنى اتجاه القوة وتتعين بالزاوية القطبية (أى الزاوية الموجهة التى يصنعها المتجه مع االتجاه الموجب لمحور السينات) ،كما توضح لهم أن متجه القوة يتعين بمعيار (مقدار) المتجه ،واتجاه المتجه الذى تمثله الزاوية القطبية؛ أى يكتب على صورة الزوج المرتب (، X )iحيث Xهى معيار متجه القوة || . || X
I
ب
جـ
C
:
ق2
الممثل لقطر متوازى األضالع و جـ
=
I
ق + 1ق2
C
استخدام برنامج ()GeoGebra ق ، 1ق 2قوتان تُؤثِّران فى نقطة من جسم جاسئ ،حيث ق 300 = 1نيوتن تعمل فى اتجاه الشرق، شمال ق 400 =2نيوتن وتعمل فى اتجاه c60شمال الغرب .أوجد محصلة القوتين. ب جـ 4 × اختر مقياس رسم مناس اًبا (ليكن 1سم لكل 100نيوتن). 3
× ارسم و Cتمثل القوة ق 1حيث || و 3 = || Cسم فى االتجاه الموجب لمحورالسينات. × ارسم C cو ب القطبية حيث C c( Xو ب) = c120
2
شرق
4
C
3
c120
2
آليات تنفيذ النشاط
و
ق1
نشاط
نشاط
1
غرب
0
0 1و 4- 3- 2- 1-
× ثم ارسم وب تمثل القوة ق 2حيث || وب || = 4سم.
× أكمل رسم متوازى األضالع و Cجـ ب.
13
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
درب طالبك على كيفية استخدام برنامج ()Geo Gebra فى رسم قطعة مستقيمة موجهة بمقياس رسم محدد ،وذلك بتعيين طولها باستخدام البرنامج وقياس زاويتها القطبية مع االتجاه الموجب لمحور السينات ،ثم ارسم المتجه اآلخر الذى يمثل القوة الثانية ،ثم أوجد محصلة هاتين القوتين، وذلك بإيجاد طول قطر متوازى األضالع الذى طوال ضلعيه هو معيار هاتين القوتين كما هو موضح بالمثال. إيجاد محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة هندسيًّا:
أكد إلى الطالب أنه إذا ُمثلت القوتان
Cب ،ب جـ وكانت المحصلة ح ممثلة بـ Cجـ ؛ فإن
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
× الحظ أن محصلة القوتين ق ، 1ق 2ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة و جـ .
الزاوية بين 2X ، 1Xهى الزاوية ( - c180ى) كما يوضح
أى أنَّ ح 360 = 100 * 3٫6 -نيوتن. × حدد باستخدام البرنامج || و جـ || 3٫6 -سمْ .
× الحظ أن و جـ يصنع مع و Cزاوية قياسها c73 53 53 أى أنَّ محصلة القوتين ق ، 1ق 2مقدارها 360نيوتن تقري اًبا وتصنع مع ق 1زاوية قياسها .c73 /53 //53 ْ تطبيق عىل النشاط //
/
ذلك الشكل المجاور ،وتكون زاوية هـ هى زاوية ميل
1استخدم برنامج ( )GeoGebraفى إيجاد محصلة القوتين ق ، 1ق 2اللتين تؤثران فى نقطة مادية حيث ق 400 = 1نيوتن وتعمل فى اتجاه الشرق ،ق 500 = 2نيوتن وتعمل فى اتجاه c80شمال الشرق.
اإيجاد مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة تحليل ًّيا: جـ
I
ق1
C
جـ
ب
ى
هـ
ق1
C
هـ
ى
2
2
فى المثلث Cب جـ يكون:
و
C
جـ
ق 2جا ى ق + 1ق 2جتا ى
مثال
ق 1
=
الحل
c45
` 2 3 * 3 * 2 + 2) 2 3( + 2)3( = Iجتا c45 = 5 3 = 45 = 1 * 2 18 + 18 + 9نيوتن ق 2جا ى aظاهـ = ق + 1ق 2جتا ى
14
2
تطبيقات الرياضيات -علمى
3ني
2
2
= I aق + 1ق 2 + 2ق 1ق 2جتا ى
،ى = c45
وتن
بوضع :ق3 = 1
I
ق2
ب
= 2 3نيوتن
` ظاهـ = * 2 3جا 1 = c45 2 3 + 3جتا 2 c45
هـ
ق1
C
معلومات إثرائية:
يمكن استنتاج القانون كاآلتى :
7قوتان مقدارهما 2 3 ، 3نيوتن تؤثران فى نقطة مادية والزاوية بين اتجاهيهما .c45أوجد مقدار محصلتهما وقياس زاوية ميلها مع القوة األولى. ،
- c180ى ى
ب
حيث :ق ، 1ق I ، 2مقادير القوى ق ، 1ق I ، 2على الترتيب فكر :كيف يمكن االستدالل على صحة العالقات السابقة .
ق2 3 = 2
ق2
جـ
قاعدة جيب التمام:
نفرض أنَّ ق ، 1ق 2قوتان متالقيتان فى نقطة (و) وأن قياس الزاوية بين اتجاهى ب جـ C القوتين (ى) فإذا كان و ، Cو ب تمثالن ق ، 1ق 2فإن و جـ تمثل المحصلة 2 2 2 Iوبفرض أن هـ هو قياس الزاوية التى تصنعها Iمع ق 1فإنه كما سبق فى = Cب +جـ 2-ب جـ جتا C دراسة قاعدة جيب التمام يمكن إيجاد مقدار واتجاه محصلة القوتين ق ، 1ق 2من العالقات: = Iق + 1ق 2 + 2ق 1ق 2جتا ى ،ظاهـ =
1X
تذكر اأن
ق2
I
ق2
و
المحصلة مع
The resultant of two force meeting at apoint analytically
ب
1X
،
2X
بالمتجهين
aح =
1X
2X +
|| ح || = || + 1X
( 2 + 22X + 12X = 2I
2|| X 2 1X
بتربيع الطرفين.
⊙ ) 2X
2 + 22X + 12X = 2Iق1ق2جتاى
`=I
2X 1X2 + 22X + 12Xجتاى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
11
الوحدة األولى :اكيتاتسالا
اوـققلا 1 1
فى مثال ( : )2ص ()15
استخدمنا القانون :ظا هـ =
2Xجاى 2X + 1Xجتاى
//
إليجاد زاوية ميل
المحصلة مع 1Xحيث هـ زاوية المحصلة مع ، 1Xويمكن استخدام قانون الجيب إليجاد زاوية ميل المحصلة مع 1Xأو
مع 2Xكما هو موضح فى صفحة ( ،)15وهو أسهل استخدا ًما لحساب قياس زاوية هـ ، 1هـ ، 2وعلى المعلم أن يترك الحرية للطالب فى استخدام أحد القانونين.
التقييم المستمر ( :الحوار والمناقشة):
I
ق2
ى -c180ى C
الحظ أن :جا ( – c180ى) = جاى
ق1
هـ2
و
ح
ق2 ق1 فإن :جا هـ = جا هـ = جا ى حيث ى = هـ + 1هـ 2 2 1
وتستخدم هذه القاعدة إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة على أى من ق ، 1ق2
ق2
ففى المثال السابق :إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة مع ق 1نستخدم العالقة:
` 2 3
جا هـ2
ح = جا ى
جا هـ 2
= 5 3 جا 45
أى أنَّ جا هـ = * 2 3جاc45 ْ 2
/
//
أن تحل حاول ْ
جاهـ1
14
جاc60
3
` جا هـ * 10 = 1جا 14 5 = c60 14 حل آخر :ظاهـ =
ب
هـ1
مالحظة :يمكن استخدام هذه الطريقة فى حل التمارين.
` 6 * 10 * 2 + 36 + 100 = Iجتاc60 ` 14 = 196 = Iنيوتن= 1X a . 10 ` جاهـ 1
حل آخر للجزء الثانى من المثال : الحظ أن :فى الشكل المقابل المثلث و Cب يمثل القوتين ق، 1 حيث cهـ 1هى زاوية ميل خط عمل ق 2مع المحصلة ، I cهـ 2هى زاوية ميل خط عمل ق 1مع المحصلة Iباستخدام قاعدة جيب الزاوية. ق2
5 3
2X 1X2 + 22X + 12Xجتاى
=
/
ومنها فإن قياس زاوية ميل المحصلة مع ق 1تساوى c26 33 54وهو نفس الجواب السابق.
حاول أن تحل ص ()15
=Ia
وباستخدام اآللة الحاسبة فإنc(X :هـ) = c26 33 54
2قوتان مقدارهما 6 ، 10نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ,وقياس الزاوية بين اتجاهيهما يساوي .c60أوجد مقدار محصلتهما ،وزاوية ميلها على القوة األولى.
تفكير ناقد :أوجد مقدار واتجاه محصلة القوتين ق ، 1ق 2فى الحاالت اآلتية:
ح جاى
-2إذا كانت القوتان متساويتين فى المقدار .
-1إذا كانت القوتان متعامدتين. مثال
` (cهـ.c21 47 = )1 /
2Xجاى ` ظاهـ = 6جاc60 6جتا= 60 +10
2X+1Xجتاى
3
` c( Xهـ) = .c21 c47
13
8أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من ق ، 1ق 2فى كل حالة من الحاالت اآلتية: أ ق 5 = 1نيوتن ،ق 12 = 2نيوتن وقياس الزاوية بينهما c90 ب ق = 1ق 16 = 2نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 الحل
لحظ اأن
ق= 1
إذا كانت
2
أ aق ، 1ق 2متعامدتان أى c(Xى) = c90فتكون جا ى = ، 1جتاى = 0فإن = Iق+ 1 ،ظاهـ = ق2 ق1 ` = Iق + 2 1ق ، 2 2لذلك فإن 13 = 2)12( + 2)5( = I :نيوتن
3
ق2 2
ق2
15
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
تفكير ناقد ص()15
- 1إذا كانت 2X ،1X :متعامدتين ، 22X + 12X = Iظاهـ = -2إذا كانت القوتان متساويتين :تكونX = 2X = 1X : ` 2X2 + 2X + 2X = Iجتاى ق 2 2X 2 + 2X 2 = Iجتاى I ى + 1( 2X 2 = Iجتاى) هـ = 2 * 2X 2جتا 2ى ق1 2X 1X
= X2جتا
2 ى ى ، 2هـ = 2
3أ = 2)6( + 2)4٫5( = I 4
15 2
جتا
ى 2
12
=
2
X
//
2 2 ب = I aق + 1ق 2 + 2ق 1ق 2جتا ى
/
وبالتعويض عن ق = 1ق16 = 2
` 16 * 16 * 2 + 2)16( + 2)16( = Iجتا 16 = 120نيوتن ونالحظ من الشكل المرسوم أن :ق = 1ق 16 = I = 2نيوتن ،وأن أى أنَّ قياس المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين المتساويتينْ ، أى من القوتين = c60 زاوية ميل المحصلة على ٍّ
الحظ أن :من هندسة الشكل: ى I 21 aجتا = 2 X أن تحل حاول ْ
ى ` X 2 = Iجتا 2 ق، 1
I
ق
ى
ق
ق 2فى كل حالة من الحاالت اآلتية:
أ ق 4٫5 = 1نيوتن ،ق 6 = 2نيوتن وقياس الزاوية بينهما c90 ب ق = ق = 12نيوتن وقياس الزاوية بينهما c60 1
حاالت خاصة:
نيوتن
aظاهـ = 3 = 4٫5 60 ب 12 * 2 = Iجتا 3 12 = 2نيوتن .c30= c60 هـ = 2 في مثال ( :)8وضح إلى الطالب بأن الشكل المرسوم معين ومن خواصه أن القطران متعامدان وينصف كل منهما اآلخر ومن ذلك نجد أن :
1ح
ق1
` قياس زاوية ميل المحصلة مع ق 1هى c67 22 49
3أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من
حاول أن تحل ص (:)16 6
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
ويكون اتجاه المحصلة مع ق 1هو :ظاهـ =
ق2
أى :ظاهـ = 12 ْ أنَّ 5
` (cهـ) = c53 7 48
،لذلك فإن :ح = X2جتا
//
/
ى 2
تطبيقات الرياضيات -علمى
2
-1إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى نفس االتجاه: × فى هذه الحالة فإن c( Xى) = صفر cو يكون جتاى = 1وبالتعويض فى قانون إيجاد المحصلة نجد أنَّ = I :ق + 1ق 2ويكون اتجاه المحصلة فى نفس اتجاه القوتين ،وتسمى Iفى هذه الحالة بالقيمة العظمى للمحصلة.
-2إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل ،وفى اتجاهين متضادين: × فى هذه الحالةفإن c( Xى) = c180ويكون جتاى = 1 -وبالتعويض فى قانون إيجاد المحصلة نجد أنَّ | = I :ق - 1ق |2ويكون اتجاه المحصلة َيعمل فى اتجاه مقدارا ،وتسمى Iفى هذه الحالة بالقيمة الصغرى للمحصلة. القوة األكبر اً
ق1
ق1
ق2
c180
: C
: C
ق2
مثال :أوجد القيمتين العظمى والصغرى لمحصلة القوتين 7 ، 4نيوتن. وتعمل فى اتجاه القوتين. × القيمة العظمى = 11 = 7 + 4نيوتن وتعمل فى اتجاه القوة 7نيوتن. × القيمة الصغرى = | 3 = |7 – 4نيوتن مثال 9قوتان مقدارهما ق 4 ،نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ،وقياس الزاوية بينهما c120فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى 3 4نيوتن فأوجد :مقدار ق وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع ق .
16
تطبيقات الرياضيات -علمى
ىوقلا 11 -1
اوـققلا 1 1
يمكن تنزيل نسخة من برنامج ( )Geogebraمن الموقع : http://www.geogebra.org وهذا البرنامج يدعم اللغة العربية ويخدم الرياضيات الديناميكية للمتعلم والتعلم ،ويمكن تنزيل نسخة مجانية من البرنامج لكل من أنظمة macintosh ,windowsأو نظام andriodالتابلت أو الموبيل. يمكنك تحميل دليل المساعدة لهذا البرنامج باللغة العربية من نفس الموقع وبه شرح تفصيلى للبرنامج وكيفية استخدامه لجميع أفرع الرياضيات حيث يحتوى على ثالث نوافذ هي: -1نافذة األكسيل -2 .النافذة الرسومية -3 .النافذة الجبرية.
الحل
بالتعويض عن :ق = 1ق ،ق ، 3 4 = I ، 4 = 2ى = c120 2 2 فى القانون = 2I :ق + 1ق 2 + 2ق 1ق 2جتا ى ` ( = 2) 3 4ق * 2 + 2)4( + 2ق * 4جتا c120أى أن = 48 :ق 4 - 16 + 2ق أى أنَّ ( :ق ( )4 +ق – 0 = )8ومنها ق = 8نيوتن ،ق = 4-مرفوض ` ق4 – 2ق – ْ 0 = 32 ق 2جا ى إليجاد قياس الزاوية بين ق I ،نستخدم القانون :ظاهـ = ق + 1ق 2جتا ى = 1 * 4جا 120 ` ظاهـ = * 4 + 8جتا 120 3
أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع قc30 = 1
حل آخر للجزء الثاني: ح إليجاد قياس الزاوية بين ق I ،نستخدم قانون الجيب :ق= 2 جا هـ 2جا ى ` 3 4 = 4 جا 120 جا هـ 2 جا هـ = 1 باالختصار والتبسيط 2 2
أى أنَّ قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع ق تساوى c30 ْ
أن تحل حاول ْ
4قوتان مقدارهما ، 6ق ث كجم تؤثران فى نقطة مادية ،وقياس الزاوية بينهما .c135أوجد مقدار المحصلة إذا كان خط عمل المحصلة يميل بزاوية قياسها c45على خط عمل القوة التى مقدارها ق.
تعبير شفهى :أوجد محصلة قوتين متساويتين فى المقدار ،ولهما نفس خط العمل ويعمالن فى اتجاهين متضادين.
سلم تقييم النشاط (تقييم مهاري): أداء الطالب التقدير
تمــــاريــن ()1 - 1
اأكمل ماياأتى:
1يتحدد تأثير قوة على جسم باآلتى
..................................................................................................................................................................................................
2متجه محصلة القوتين ق ، 1ق 2يساوى
......................................................................................................................................................................
3القيمة العظمى لمحصلة قوتين مقدارهما 6 ، 4نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى
4القيمة الصغرى لمحصلة قوتين مقدارهما 9 ، 5نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى
.............................................................. .............................................................
3 ، 2 5نيوتن قوتان فإذا كان قياس الزاوية بينهما c60فإن مقدار محصلتهما يساوى
.......................................................
اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:
6مقدار محصلة القوتين 5 ، 3نيوتن وقياس الزاوية بينهما c60تساوى. ج 7نيوتن ب 6نيوتن أ 2نيوتن
د 8نيوتن
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
ممتاز
يحل الطالب المسألة ،ويجيب إجابة نموذجية على جميع البنود.
جيد جدًّا
يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة الحل ثم يحل جميع األسئلة.
جيد
يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.
مقبول
يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.
ضعيف
ال يستطيع حل المسألة ،ويحتاج للمساعدة والتوجيه.
17
تمارين إثرائية:
حاول أن تحل ص (:)17
aظا هـ =
2Xجاى 2X + 1Xجتاى
` 1 *6-X= 1 *6 2
ظا = c45
قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما 6نيوتن 6 ،نيوتن وقياس واتجاها . مقدارا الزاوية بينهما 60أوجد محصلتهما ً ً
6جاc135
6 + Xجتا135
الحل
` 2 6 = Xنيوتن
2
تعبير شفهى = X - X = I :صفر استخدام التكنولوجيا :يمكنك إعطاء هذا النشاط اإلثرائى لطالبك . باستخدام برنامج (چيوجبرا) . -1مثل قوتين قدراهما 15 ،15نيوتن بمقياس رسم مناسب ويحصران بينهما زاوية قياسها .c120 -2عين مقدار محصلة القوتين . -3قس زاوية ميل المحصلة على كل من القوتين ،ماذا تالحظ وماذا تستنتج؟ ى
أكد لطالبك أن ح = 2ق جتا 2وأن خط عمل المحصلة ينصف الزاوية بين القوتين.
2X1X 2 + 22X + 12X = 2Iجتاى = 36 * 2 + 36+ 36جتا 60
`6 = 108 = I
= 108
ظا هـ= 1
2جا ى + 2X + Xجتا ى 1
=
= 30
3 *6
3
= 12
2 * 6+ 6
3
ويالحظ أن هـ = 1هـc30 = 2 أى أن المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين فى هذه الحالة كما يالحظ فى حالة تساوى مقدار ى القوتين أن :
ح = 2ق حنا
ى 2
إجابات تمارين ()1-1
10 3نيوتن 4 4نيوتن 5
19نيوتن 6جـ
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
13
الوحدة األولى :اكيتاتسالا 7د 8جـ
4 5 10
6 9
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
7قوتان مقدارهما 4 ، 3نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ومقدار محصلتهما 5نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى د c90 ج c60 ب c45 أ c30
10 * 5 * 2 + 100 + 25 = I 11جتا 3 5 = 120نيوتن تصنع c90مع 1X 2 2 2 2X1X 2 + 2 X + 1 X = I a 12جتاى
كل منهما 6نيوتن ومقدار محصلتهما 6نيوتن فإن قياس الزاوية 8قوتان متساويتان متالقيتان فى نقطة ،مقدار ٍّ بينهما يساوى: د c150 ج c120 ب c60 أ c30 9قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما ، 3ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما ، c120فإذا كانت محصلتهما عمودية على القوة األولى فإن قيمة ق بالنيوتن تساوى: د 6 ب 3 أ 1٫5 ج 3 3
2 3 * 3 * 2 + 18 + 9 = Iجتا 5 3 = 45نيوتن 1 ظا هـ = c(X ، 2هـ) = c26 /33 //54 8 * 15 * 2 + 64 + 225 = 169 ` 13جتاى 1 جتاى = c(X ، 2 -ى) = c120 2X1X 2 + 22X + 12X = 2I 14جتاى X * 8 * 2 + 2X + 64 = 2X3جتا c120 = 32 - X 4 - 2Xصفر ` 4 = Xنيوتن أو 8- = Xمرفوض ناقش مع الطالب هل يمكن حل التمرين السابق عن طريق
10إذا كانت القوتان 8 ، 6نيوتن متعامدتين فإن جيب زاوية ميل محصلتهما على القوة األولى تساوى: د 4 ج 3 ب 4 أ 3 5
اأجب عن الأ�سئلة الآتية:
8
جا هـ = 2 جا هـ2 X
=
12قوتان مقدارهما 2 3 ، 3ث.كجم تُؤثِّران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c45أوجد مقدار واتجاه محصلتهما.
13قوتان مقدارهما 8 ، 15ث .كجم تؤثران فى نقطة مادية ،إذا كان مقدار محصلتهما 13ث .كجم .فأوجد قياس الزاوية بين هاتين القوتين. 14قوتان مقدارهما ، 8ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ، c120فإذا كان مقدار محصلتهما ق 3نيوتن فأوجد مقدار ق. 15قوتان مقدارهما ، 4ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135فإذا كان اتجاه محصلتهما يميل بزاوية c45على ق .أوجد مقدار ق. 16قوتان مقدارهما ، 4ق نيوتن تُؤثِّران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما ، c120إذا كانت محصلتهما عمودية على القوة األولى .أوجد مقدار ق.
17قوتان مقدارهما ق ،ق 3نيوتن تؤثران فى نقطة مادية فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى 2ق نيوتن .فأوجد قياس الزاوية بين هاتين القوتين.
جا c 60
كل منهما ق ث.كجم تَحصران بينهما زاوية قياسها c120وإذا تضاعفت القوتان 19قوتان متساويتان مقدار ٍّ
X
3
` جا هـ 2 = 1هـ ، c30 = 1هـ c90 = 2 8 ` جا 90
=
18قوتان مقدارهما 15 ، 12نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وجيب تمام الزاوية بينهما يساوى 45-أوجد مقدار محصلتهما وقياس زاوية ميلها على القوة األولى.
3
` جا هـ = Xجا c 60 1 1
X
جا 30
هـ1 8نيوتن
وهى نفس النتيجة فى الحل السابق .
15المحصلة تميل بزاوية c45على القوة الثانية ` المحصلة عمودية على القوة األولى ` 2X + 1Xجتاى = صفر I X+ 4جتا = c135صفر
`X
حل آخر
=4
هـ2
c45
a 17
جا 90
` =X
14
4 جا 45
=4
تطبيقات الرياضيات -علمى
2 2 2 2X1X 2 + 2 X + 1 X = I
X *X 2 + 2X3+ 2X = 2X4
جتاى 3
4نيوتن
X
2نيوتن
تطبيقات الرياضيات -علمى
2X 3جتا ى
جتا ى
2 + 2X 4 = 2X4 ` جتا ى = صفر ` القوتان متعامدتان ` ى = 90 ناقش مع طالبك إيجاد طريقة أخرى لحل السؤال هندس ًّيا
من الشكل المقابل نجد أن : 4 = X جا 45
18
X
` 4 = Xنيوتن
2نيوتن
4
11قوتان مقدارهما 10 ، 5نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها .c120أوجد مقدار المحصلة وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع القوة األولى.
باستخدام قانون الجيب فى الشكل المقابل X
5
3
18ناقش مع طالبك فى نوع الزاوية بين القوتين = Iجا نيوتن و عمودية على القوة األولى 15 = Iنيوتن وعمودية على القوة األولى
2+1 = X 19
3نيوتن
اوـققلا 1 1 وأصبح قياس الزاوية بينهما c60زادت محصلتهما بمقدار 11ث.كجم عن الحالة األولى .أوجد مقدار ق.
20قوتان مقدارهما ، 12ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ،تعمل األولى فى اتجاه الشرق ،وتعمل الثانية فى اتجاه c60 جنوب الغرب .أوجد مقدار ق ومقدار المحصلة إذا ُعلِ َم أنَّ خط عمل المحصلة يؤثر فى اتجاه c30جنوب الشرق. 21ق ، 1ق 2قوتان تؤثران فى نقطة مادية ،وتحصران بينهما زاوية قياسها c120ومقدار محصلتهما 19نيوتن. وإذا أصبح قياس الزاوية بينهما c60فإن مقدار المحصلة يساوى 7نيوتن .أوجد قيمة كل من ق ، 1ق.2 22قوتان مقدارهما ق 2 ،ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ما ،إذا ُض ِ وعفَ مقدار الثانية وزيد مقدار األولى 15ث.كجم ال يتغير اتجاه محصلتها .أوجد مقدار ق. تفكير إبداعى:
23قوتان متساويتان فى المقدار ومتالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتهما يساوى 12ث.كجم .وإذا عكس اتجاه إحداهما فإن مقدار المحصلة يساوى 6ث.كجم .أوجد مقدار كل من القوتين.
24قوتان مقدارهما ك ،ق ومقدار محصلتهما 2ك إذا كان قياس الزاوية بينهما هـ ،وإذا تغير قياس الزاوية وأصبحت ( – c180هـ) فإن مقدار محصلتهما ينقص إلى النصف .أوجد النسبة بين ك ،ق. 25ق 2 ،ق قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ى ومقدار محصلتهما يساوى
5ق (م )1 +وإذا أصبح قياس الزاوية بينهما ( – c90ى) فإن مقدار المحصلة يساوى 5ق (م .)1 -
` 2X1X - 34 = 19
15 = 2X1X 15 = 1Xبالتعويض فى ()3
225
2X
22
2X
34 = 22X +
` 9 =22Xأو 25 =22X ` 3 = 2Xنيوتن` 5 = 2X ` 5 = 1Xنيوتن ` 3 = 1Xنيوتن جـ
E
نشاط
َI
2X ، 1Xقوتان متالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتها Iنيوتن ،إذا عكس اتجاه 2Xفإن المحصلة تصبح 3 Iنيوتن وفى اتجاه عمودى على المحصلة األولى .أوجد قياس الزاوية بين القوتين. -1اعتبر أن قياس الزاوية بين القوتين ى وزاوية ميل المحصلة مع 1Xقياسها هـ. -2أوجد ظا هـ ثم أوجد ظا ( - 90هـ) عند عكس اتجاه 2X
-3أثبت أنَّ = 2X = 1Xق من الخطوة السابقة.
-4أوجد باستخدام قانون مقدار المحصلة محصلة القوتين 2X ،1Xقبل وبعد عكس اتجاه .2X
-5هل يمكنك استنتاج أنَّ جتا ى = 12 -إليجاد قياس الزاوية بين القوتين؟ استنتج ذلك من العالقات السابقة.
من الشكل نجد أن:
-6هل لديك طرق أخرى للحل؟ اذكر إحدى هذه الطرق.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
شمال 12 c30
شرق
غرب
جنوب
20
من الشكل نجد أن :
I = 12 = X جا c30جا c90جا c60
21
2X1X 2 + 2 X + 1 X = 19 2
2
2
2
2X1X 2 + 2 X + 1 X = 19
جا ى
جا هـ2
جا هـ1
ن
Iهـ2 هـ1 C 2X
()1 I
جا ى
()3
` 15 +Xجا هـ X 4 = 2جا هـ)4( 1 بحل ( )4( ،)2ينتج أن 15 = X حل آخر:
من هندسة الشكل:
م ن تصل بين منتصفى الضلعين Cب Cجـ ،
`
` 12 = Xحا 3 6 = c30ث.كجم جاc90 2 2 2 2X1X 2 + 2 X + 1 X = I
I
`2جاهـ = 1جاهـ)2( 2 +Xجا = = X 4
c60 c30
I
19
X
جا هـ1
=
X2 هـ جا 2
=
ب
1X
25نيوتن
م2- أثبت أن ظا ى = م2+
ىوقلا 11 -1
جتاى جتا120 ()1
بالمثل : )1( 2X1X - 22X + 12X = 49 بجمع ( )2( ، )1ينتج أن: )3( 34 = 22X + 12X
` `
1 2
م ن = ب جـ ( = Xق )15 + 15 = Xنيوتن
3 = X 23
5ث كجم
24
: 2
3
25إثبات
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
15
2-1
تحليل القوى
2-1
Forces resolution
سوف تتعلم
حتليل قوة ىف اجتاهني معلومني.
خلفية
حتليل قوة ىف اجتاهني متعامدين.
معلومتين2X،1X
سبق أن درس الطالب إيجاد محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة ،وذلك باستخدام قاعدة متوازى أضالع القوى ،ورأينا كذلك أنه ال توجد سوى محصلة واحدة للقوتين؛
تحليل القوى Forces resolution
تمهيد: إنَّ تحليل قوة معلومة إلى ِع َّدة مركبات بوجه عام يعنى إيجاد مجموعة مؤلَّفة من ِع َّدة قوى ،تكون القوة المعلومة هى ُمحصلتها ،وسنقتصر على دراسة تحليل قوة فى اتجاهين معلومين. تحليل قوة فى اتجاهين معلومين Resolution of a force into two components
يبين شكل ( :)1متجه المحصلة Iالمراد تحليلها إلى مركبتين فى االتجاهين و ، Cو ب واللتين تصنعان
حيث إنه ال يمكن رسم سوى متوازى أضالع واحد ،يكون فيه الضلعان المتجاوران ممثلين للقوتين بمقياس رسم مناسب ،وسوف ندرس فى هذا الدرس العملية العكسية لتحليل القوة Iإلى مركبتين ،وهذه العملية يمكن إجراؤها بعدد ال نهائى
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
مركبة قوة
force Component
مثلث قوى مركز ثقل
triangle of forces centre of gravity
ب
جـ I
زاويتين قياسيهما هـ ، 1هـ 2على الترتيب مع I ولتكن المركبتان هما :ق ، 1ق2
يبين شكل ( :)2مثلث القوى مع مالحظة أن
C
Cجـ = وب
هـ2
ق1
هـ1
هـ2
I
ق2
هـ + 1هـ2
وبتطبيق قاعدة الجيب نجد أن:
و
شكل ()1 جـ
(من خواص متوازى األضالع)
ق2
C
ح × جاق1هـ = جاق2هـ = جا (هـ + 1هـ)2 1 2
ق1
هـ1
و
شكل ()2
× (الحظ أن :جا [ ( - c180هـ + 1هـ = ] ) 2جا ( هـ + 1هـ )2
من الطرق؛ حيث إنه يمكن رسم عدد ال نهائى من متوازيات األضالع يكون لها قطر معلوم؛ أى أن عملية تحليل القوة إلى مركبتين ال تعطى نتيجة وحيدة ،ولكن إذا علم اتجاها المركبتين 2X،1Xفإن نتيجة التحليل تكون وحيدة ،وتكون لدينا طريقة
مثال األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية
برامج رسومية للحاسوب
1حلِّل قوة مقدارها 12نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين ، c60 c45فى اتجاهين مختلفين منها مقر اًبا الناتج ألربعة أرقام عشرية. الحل
I
بتطبيق قاعدة الجيب:
12 ق ق = 2 = 1 جا c45جا c60جا c105 ق1 12 ` ق = 1جا * c45 8٫7846 -نيوتن جا c105
تعين المركبتين بيان ًّيا أو تعين المركبتين جبر ًّيا.
20
ق2
c45 c60
تطبيقات الرياضيات -علمى
مخرجات الدرس فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:
حيلل قوة إىل مركبتني ىف اجتاهني معلومني.
حيلل قوة إىل مركبتني ىف اجتاهني متعامدين. مفردات أساسية
مركبة قوة -مثلث قوى -مركز ثقل. المواد التعليمية المستخدمة
السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية. طرق التدريس المقترحة:
التهيئة اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى؛ لتحليل قوة إلى مركبتين فى أوضاع مختلفة مثل القوة المبينة فى األشكال التالية: أ
12
مصادر التعلم
كتاب الطالب من صفحة ( )20إلى ص ( ، )24الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
16
تطبيقات الرياضيات -علمى
6
c30
3 c30
1X
1X
ج
د
18
2X
c60 c45 1X
الفصل الدراسى.
2X
c30
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت. مكان التدريس
ب
2X
c60 c60 1X
10
2X
إجراءات الدرس اطلب إلى طالبك التحقق من صحة تحليل القوة ،وذلك بإيجاد محصلة المركبتين اللتين ،تم تحليلهما جبر ًّيا.
وقيا اوـلا 1 1 ق = 2جا * c60 أن تحل حاول ْ
12
جا c105
10٫7589 -نيوتن
1حلل قوة مقدارها 36نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين قياسيهما c45 ، c30فى اتجاهين مختلفين منها. مثال تطبيقات حياتية 2مصباح وزنه 20نيوتن معلق بحبلين معدنيين Cجـ ، ب جـ يميالن على األفقى بزاويتين متساويتين قياس كل منهما .c5 × حلل وزن المصباح فى االتجاهين Cجـ ،ب جـ مقر اًبا الناتج ألقرب نيوتن.
C
c5
c5
جـ
و2
و
الحل
20
تفكير ناقد :ماذا َيحدث لمقدار مركبة الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين إذا نقص قياس زاويته مع األفقى عن فسر إجابتك. c5؟ وماذا تتوقع لمقدار مركبة الوزن عندما ُيصبح الحبل المعدنى أفق ًّيا؟ ِّ أن تحل حاول ْ
2الشكل المقابل: حلِّل القوة الرأسية 120ث.جم إلى مركبتين إحداهما فى االتجاه األفقي ،واألخرى فى اتجاه يصنع مع خط عمل القوة زاوية قياسها .c48 تحليل قوة فى اتجاهين متعامدين
الرأسي
جـ
C ق2
c48
120
Resolution of a force into two perpendicular components
إذا أثرت القوة Iفى نقطة مادية (و) كما فى الشكل المجاور ،وكانت
جـ
مركبتيهما المتعامدتين ق ، 1ق 2حيث اتجاه ق 1يميل على اتجاه
ب
ب
Iبزاوية قياسها هـ ،فإن متوازى األضالع يؤول فى هذه الحالة إلى
I
المستطيل Cجـ ب و ،وبتطبيق قانون الجيب على المثلث و Cجـ فإن:
C كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى ق1
c90
ق2
-هـ
هـ
و
21
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل ق2
ومن ذلك نسنتنتج أنَّ : × ق( 1مقدار المركبة فى اتجاه معلوم) = Iجتا هـ
× ق( 2مقدار المركبة فى االتجاه العمودى على االتجاه المعلوم) = Iجا هـ مثال
18
3حلل قوة مقدارها 18نيوتن فى اتجاهين متعامدين ،إحداهما يصنع مع القوة زاوية قياسها 60
ق2
ني وتن
الحل
ق 18 = 1جتا 9 = 12 * 18 = c60نيوتن
ق 18 = 2جا * 18 = 60 أن تحل حاول ْ
3 9 = 32نيوتن.
c60
ق1
َ 3حلِّل قوة مقدارها 2 6نيوتن والتى تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى إلى مركبتين إحداهما فى اتجاه الشرق واألخرى فى اتجاه الشمال. الم�ستوى المائل
Inclined Plane
هو سطح يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث < 0هـ <
المستوى المائل العمودى على خط تقاطع هذا المستوى مع المستوى األفقى والموضح بالشكل باللون األزرق ويكون ع
جاهـ = ف حيث:
، r2وخط أكبر ميل للمستوى هو الخط فى C
C
ع
ع تمثل ُبعد النقطة Cعن المستوى األفقى، ف تمثل ُبعد النقطة Cعن خط تقاطع المستوى المائل مع المستوى األفقى.
ع
ف
ف هـ
هـ
مثال
الحل
22
تطبيقات الرياضيات -علمى
إذا نقص قياس الزاوية مع األفقى عن c5فإن مقدار المركبة يزداد حتى تصل إلى قيمتها العظمى عندما تصبح الحبال أفقية. إجابة حاول أن تحل ص (:)21 1X
=
2X
=
36
جا c48جا c90جا c138 * 120 =1Xجا 133٫274 - c48ث جم جا c138 * 120 = 2Xجا 179٫337 - c90ث جم جا c138
c30 c30 ق2
إحدى المركبتين = 6
2جتا 6 = c45نيوتن
المركبة األخرى = 6
2جا 6 = c45نيوتن
فى بند المستوى المائل :تسمى الزاوية المحصورة بين خط أكبر ميل للمستوى ومسقطه على المستوى اآلخر بزاوية ميل مستقيم ٍ مستو حيث إن خط أكبر ميل للمستوى ومسقطه على على المستوى عمودين على خط التقاطع. معلومات إثرائية :إذا كان لنصفى مستويين حد مشترك فإن اتحاد نصفى المستويين مع ذلك الحد يسمى زاوية زوجية، وتعرف الزاوية المستوية لزاوية زوجية بأنها الزاوية الحادثة من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستو عمودى على حرفها. ففى الشكل المرسوم تكون cهـ هى الزاوية المستوية للزاوية الزوجية المحصورة بين المستويين.
4وضع جسم مقدار وزنه 6نيوتن على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها.c30 أوجد مركبتى وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه. الشكل المقابل يبين وزن الجسم 6نيوتن ،ويؤثر رأس ًّيا إلى أسفل ،مركبة وزن الجسم ق 1تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى وألسفل، والمركبة األخرى ق 2وتعمل فى االتجاه العمودى للمستوى وألسفل.
إجابة تفكير ناقد ص (:)21
إجابة حاول أن تحل ص (:)22
ح ق ق1 =ح = أى أنَّ : × = جا 2هـ = جا ْ 90 جا هـ جتا هـ جا ( - 90هـ) ق1
=
2X
=
36 جاc75
* 36 = 1Xجا 26٫354 - 45نيوتن جا c75 جا30 * 36 = X 18٫635نيوتن 2جا c75
أى أن: جا = c85جا = c85جا ْ c170 و = 1و × 20 = 2جا c85ومن ذلك تكون: جا c170 و = 1و 115 - 114٫73713 = 2نيوتن.
ق1
إجابة حاول أن تحل ص ()21
جا c45جاc30
20
و2
التقييم المستمر (المناقشة والحوار) ناقش مع طالبك بنود حاول أن تحل ص( ،)21ص ()22 وتوصل معهم إلى اإلجابة الصحيحة . 1X
و1
c85 c85
نُمثِّل قوة الوزن ( 20نيوتن) بمتجه يعمل رأس ًّيا ألسفل نقطة بدايته هى النقطة جـ. نُحلِّل متجه الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين كما يلى: و1
ب
ىوقلا ليلحت 11 -1
ق1
6
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
17
الوحدة األولى :اكيتاتسالا
وقيا اوـلا 1 1
إجابة :تعبير شفهى ص()23
مركبة وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ( ق.) 1 حيث ق 6 = 1جا هـ = 6جا 3 = 12 * 6 = c30نيوتن مركبة وزن الجسم فى االتجاه العمودى على المستوى ( ق) 2 حيث ق 6 = 2جتا هـ = 6جتا 3 3 = 32 * 6 = c30نيوتن
نعم :مركبتا القوة Xكل منهما أقل من القوة Xنفسها؛ ألن القوةX
مضروبة فى جيب الزاوية أو جيب تمام الزاوية وكالهما. <0جا هـ< <0 ،1جتا هـ <.1 إجابة حاول أن تحل ص ()23
36 = 1Xجا c60
2X
c60 36
2 18 = 1Xنيوتن 18 = 2X ،نيوتن أ 12 ب 12
600 = 1Xجا 439٫231 - 45ث جم جا c75 c 600جا30 310٫583ث جم= 2X جا c75 المركبة فى اتجاه الشرق = 120جتا 2 60 = 45نيوتن المركبة فى اتجاه الشمال = 120جا 2 60= 45نيوتن إحدى المركبتين = 160جتا 80 = 30 المركبة األخرى = 160جا 80 = 30ث جم
3ث جم
13
5000 جا 75
ش 2588٫19 - 1نيوتن ،ش 3535٫53 - 2نيوتن
23
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
5فى شكل (:)3
ق2
أ إذا حلَّلت القوة ق إلى مركبتين متعامدتين ق ، 1ق 2وكان متجه القوة
ق ق1
تطبيقات الرياضيات -علمى
شكل ()3
ق2
× مقدار مركبة القوة فى اتجاه الغرب = ..................................................نيوتن.
2 12نيوتن
c30
× مقدار مركبة القوة فى اتجاه الشمال = ...............................................نيوتن.
شكل ()4
ق1
7قوة مقدارها 600ث جم تؤثِّر فى نقطة مادية .أوجد مركبتيها فى اتجاهين يصنعان معها زاويتين قياسيهما ،c30 .c45 ِ اتجاه الشمال الشرقى .أوجد مركبتيها فى اتجاه الشرق واتجاه الشمال. 8قوة مقدارها 120نيوتن تَعمل فى
9حلِّل قوة أفقية مقدارها 160ث جم فى اتجاهين متعامدين ،أحدهما يميل على األفقى بزاوية قياسها c30إلى أعلى. ِ اتجاه الجنوب .أوجد مركبتيها فى اتجاهى c60شرق الجنوب ،واألخرى فى 10قوة مقدارها 18نيوتن تَعمل فى اتجاه c30غرب الجنوب. 11جسم جاسئ وزنه 42نيوتن موضوع على مستو َيميل على األفقى بزاوية قياسها .c60أوجد مركبتى وزن هذا الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه. تفكير إبداعى:
12مستوى مائل طوله 130سم وارتفاعه 50سم وضع عليه جسم جاسئ وزنه 390ث جم .أوجد مركبتى الوزن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه. ب
الربط بالمالحة البحرية:
13يراد سحب بارجة بواسطة قاطرتين ب ،جـ تتصالن بحبلين مثبتين فى خُطاف فى نقطة Cمن البارجة وقياس الزاوية بينهما ،c75فإذا كان زاوية ميل أحد الحبلين على E Cيساوى c45وكانت محصلة القوى المبذولة لسحب البارجة تساوى 5000نيوتن وتعمل فى اتجاه . E Cأوجد الشد فى كل من الحبلين .
24
18
ق1
c45
شكل ()2
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
3نيوتن
هناك بعض المشكالت المتصلة بالمالحة البحرية ،والنستطيع إيجاد حلها إال عن طريق استخدام محصلة القوة كما بالتمرين التالي:
I
أ قوة مقدارها 2 12نيوتن تعمل فى اتجاه c30شمال الغرب.
بعض القضايا المتضمنة فى الدرس( :الربط بالمالحة) ص24
1
ق2
|| ق ................................................= || 2ث كجم.
1المركبة فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى 5 = 390جا هـ = 150 = 13 * 390ث جم هـ 12 المركبة فى االتجاه العمودى = 390جتا هـ 12 = 360 = 13 * 390ث جم
جا 30
||
I
|| = 18نيوتن ،فإن :ق ............ = 1نيوتن ،ق ............ = 2نيوتن
شكل ()1
ق1
6فى شكل (:)4
5
ش= 1
4فى شكل (:)2 أ إذا حللت القوة Iإلى مركبتين ق ، 1ق 2اللتين تصنعان معها زاويتين قياساهما c90 ، c45من كلتا جهتيها وكان
c45 c30
I
كجم فإن || :ق ................................................= || 1ث كجم ،
1المركبة فى االتجاه العمودى = 12جتا 21 = 60نيوتن
جا 45
ق2
ق ينصف الزاوية بين اتجاهى ق ، 1ق 2وكان || ق || = 2 6ث
1إحدى المركبتين= 18جتا 9 = 60نيوتن
ش= 2
2قوة مقدارها 2 4نيوتن تعمل فى اتجاه الشرق تم تحليلها إلى مركبتين متعامدتين فإن مركبتها فى اتجاه الشمال الشرقى تساوى ...............................نيوتن.
أ إذا حلَّلت القوة Iإلى مركبتين ق ، 1ق 2اللتين تصنعان معها زاويتين قياسيهما c45 ، c30من جهتيها وكان || 12 = || Iنيوتن ، فإن :ق ............................................... = 1نيوتن ،ق ............................................... = 2نيوتن.
6نيوتن. 2نيوتن.
المركبة األخرى = 18جا 9 = 60
1قوة مقدارها 6نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال تم تحليلها إلى مركبتين متعامدتين فإن مركبتها فى اتجاه الشرق تُساوى ...............................نيوتن.
3فى شكل (:)1
6 = 1 * 2ث كجم.
2جتا 6 = 30 2جا 6 = 30
4جسم جاسئ مقدار وزنه 36نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية قياسها .c60أوجد مركبتى الوزن فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألسفل واالتجاه العمودى عليه.
اأكمل ماياأتى:
صفر 6٫212 ، 8٫78 4نيوتن 6 = 2X = 1X
أن تحل حاول ْ
تمــــاريــن ()2 - 1
إجابات تمارين (:)2-1
2
مركز ثقل الجسم الجاسئ دائما هى النقطة التى يمر بها ً الخط الرأسى المار بنقطة التعليق عندما يعلق الجسم من أى نقطة عليه فعلى سبيل المثال. ( )1مركز ثقل جسم كروى منتظم ومتجانس هى النقطة التى يقع فيها المركز الهندسى لهذا الجسم. ( )2مركز ثقل قضيب منتظم السمك والكثافة هو منتصف هذا القضيب.
فسر إجابتك.
c60 1X
= 3 18نيوتن 36 =2Xجتا 18 = c60نيوتن
تعبير شفهى :هل مقدار كل من مركبتى القوة ق أقل من مقدار القوة ق نفسها؟
اأ�سف اإلى معلوماتك
تطبيقات الرياضيات -علمى
5000نيوتن c45 E c30
جـ
C
3-1
مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة The resultant of coplanar forces meeting at a point
فكر و
ناقش
سوف تتعلم
سبق أن درست إيجاد محصلة قوتين مؤثِّرتين على جسم جاسئ فى نقطة واحدة ،حيث ُمثلت هندس ًّيا بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه. فهل يمكنك إيجاد محصلة ِع َّدة قوى مستوية متالقية فى نقطة واحدة هندس ًّيا؟
حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة هندسية. حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة حتليل ًّيا.
تعلم مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة هند�سيًّا: إذا أثرت مجموعة القوى ق ، 1ق ، 2ق، .... ، 3 فى نقطة مادية كما فى شكل ()1 فباستخدام مقياس رسم مناسب نرسم المتجه و Cالذى يمثل ثم نرسم Cب الذى يمثل
ق2
ثم نرسم ب جـ الذى يمثل ق 3وهكذا..... حتى نصل إلى نهاية المتجه
برسم Eهـ .
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
ق2
ق1
قن
قن ق1
ق
شكل ()1
ق3
= Iق + 1ق + 2ق + ... + 3قن ويسمى هذا المضلع بمضلع القوى ومن السهل مالحظة أن تكوين مضلَّع قوى ما هو إال تطبيق لقاعدة مثلث قوى عدة مرات متتالية.
ب
ق3
جـ
متجه وحدة.
ق1 و
E
ق
Unit vector
ق2 C
K
مركبة جربية.
Algebraic component
I
وذلك
المتجه و هـ الذى يعمل فى االتجاه الدورى المضاد ُيمثِّل محصلة القوى المعطاة ،حيث:
K
حمصلة.
Resultant
هـ
I
شكل ()2
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
مح�صلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة The resultion of coplaner forces meeting at point
3-1
خلفية
سبق أن درس الطالب إيجاد محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة و ُمثلت هندس ًّيا بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه ،ثم بعض الحاالت الخاصة إليجاد محصلة هاتين القوتين. وفى هذا الدرس سوف يدرس الطالب إيجاد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة هندس ًّيا (باستخدام الرسم الهندسى)، وتحليل ًّيا باستخدام تحليل كل قوة فى اتجاهين متعامدين ثم إيجاد مقدار واتجاه المحصلة . مخرجات الدرس
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية .
Scientific calculator
برامج رسومية للحاسوب.
فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:
يوجد حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة هندس ًّيا. 25
يوجد حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة حتليل ًّيا.
حيل مسائل عىل إجياد حمصلة عدة قوى متالقية ىف نقطة. مفردات الدرس:
محصلة -مركبة جبرية -متجه وحدة. المواد التعليمية المستخدمة:
آلة حاسبة علمية -برامج رسومية -ورق مربعات. طرق التدريس المقترحة:
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت - استخدام البرامج الرسومية للحاسوب. مكان الدرس:
الفصل الدراسى -معمل الوسائط بالمدرسة . مصادر التعلم:
كتاب الطالب من ص ( )25إلى صفحة ( )30الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
19
الوحدة األولى :اكيتاتسالا التهيئة وضح إلى الطالب أنه إذا أثرت قوتان 2X ، 1Xفى نقطة ب كما فى الشكل المقابل فإن محصلتهما واتجاها مقدارا تمثلها ً ً
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
جـ
هـ
I
2X
نشاط
استخدام برنامج ()GeoGebra ق ، 1ق ، 2ق ، 3ق 4أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة من جسم جاسئ ،حيث ق 400 = 1نيوتن وتعمل فى اتجاه الشرق ،ق 300 = 2نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال ،ق 500 = 3نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال الغربى ، ق 200 = 4نيوتن وتعمل بزاوية قياسها c30جنوب الغرب .أوجد محصلة هذه القوى. 1ارسم القطع المستقيمة الموجهة التى تُمثِّل القوى بمقياس رسم 100 :1
I
2ارسم من نقطة األصل المتجه Cب الذي طوله 4وحدات فى اتجاه الشرق. 3ارسم من نقطة ب المتجه ب جـ الذي طوله 3وحدات فى اتجاه الشمال.
E
1X
ب
1X
C
Cجـ (قاعدة إغالق المثلث فى االتجاه الدورى المضاد
التجاه القوتين) ويتفق هذا مع قاعدة متوازى األضالع ب E
هـ جـ بحيث :ب هـ = ب + Eب جـ = Cب +ب جـ
إجراءات الدرس بين إلى الطالب اآلن الحالة التى تؤثر فيها مجموعة من القوى أيضا يمكن المستوية فى نقطة ،وبين لهم أنه فى هذه الحالة ً االستعاضة عن هذه المجموعة بقوة واحدة تكافئها وتؤثر فى نفس النقطة وتسمى بمحصلة المجموعة . بين إلى الطالب بأن مضلع القوى ماهو إلى تطبيق لقاعدة مثلث قوى عدة مرات متتالية. نشاط :باستخدام برنامج (.)Geo Gebra وضح إلى طالبك أن للمحصلة مركبتين جبريتين متعامدتين س ،ص فى اتجاهى الشعاعين وس ،وص على الترتيب، وتسمى س بالمركبة السينية،ص بالمركبةالصادية حيث = Iس + Mص ، Nوإذا كان Iهو مقدار المحصلة، هـ الزاوية القطبية لمتجه المحصلة ،فإن = Iس + 2ص2 ص ،ظا هـ = س ،ويجب توضيح النقاط اآلتية إلى الطالب: إذا انطبق خط عمل Xعلى محور السينات أو الصادات فإن مركبتها فى هذا االتجاه تساوى مقدار القوة نفسها. (ألن Xجتا )X = c0أو مركبتها فى االتجاه العمودى تساوى صفرا (ألن Xحا)0=c0 ً إذا كان س = 0فإن = Iص وفى اتجاه محور الصادات؛ أى إذا كان مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاه محور السينات صفرا؛ فإن المحصلة تساوى المركبة الصادية لها وفى يساوى ً اتجاه محور الصادات ،وكذلك إذا كان ص = 0فإن = Iس وفى اتجاه محور السينات. التقييم المستمر (المناقشة والحوار) إجابة حاول أن تحل ص (:)27
س = 10جتا 20 + c0جتا30 + c60 1
= 30 - 2 * 20 + 10 س = ، 5- = 20 + 45 - 10 + 10 ص = 10حا20 + c0حا30 + c60
20
* 3
شمال
4ارسم من نقطة جـ المتجه جـ Eالذي طوله 5وحدات فى اتجاه الشمال الغربى.
E
5ارسم من Eالمتجه Eهـ الذي طوله 2وحدة فى اتجاه c30 جنوب الغرب. الحظ المتجه Cهـ بما تسميه؟ من الرسم السابق نجد أن: شرق
هـ جـ c45
ب
|| Cهـ || = 5٫68وحدة طول. مقدار المحصلة = 568 = 100 * 5٫68نيوتن ،وتصنع المحصلة مع الشرق زاوية قياسها c103تقري اًبا.
3 1 2 * 40 + 2
3حا 40 + c150جا c300 تطبيقات الرياضيات -علمى
المحصلة غرب
c102٫89 C
مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة تحليليًّا
The resultant of coplanar forces meeting at apoint analytically
إذا أثرت القوى ق ، 1ق ، 2ق ، .....، 3قن المستوية والمتالقية فى نقطة وفى نظام إحداثى متعامد ،وكانت تصنع الزوايا القطبية التى قياساتها هـ ، 1هـ ، 2هـ ، ......... ، 3هـن وكانت و س ،و ص فإن = I :ق + 1ق + 2ق+ ..... + 3
M
قن
،
N
هما متجها الوحدة فى اتجاه ص
وبتحليل كل قوة فى اتجاهى و س ،و ص المتعامدين فإن: I
= (ق 1جتا هـ ، 1ق 1جا هـ)1
ق1
( +ق 2جتا هـ ، 2ق 2جا هـ) 2
س
( + ................. +قن جتا هـن ،قن جا هـن) I
= (ق 1جتا هـ + 1ق 2جتا هـ + ....... + 2قن جتا هـن) ( +ق 1جا هـ + 1ق 2جا هـ + ....... + 2قن جا هـن)
I
=(
26
ن
1=S
قSجتاهـ)S
M
(+
ن
1=S
هـ
M N
ق Sجا هـ)S
ق2
هـ2
قK
س
هـم
هـK
ق3
ص
N
تطبيقات الرياضيات -علمى
ةطـقم ف ة قلا
ـكلتم كوقيم ع كـحم 1 1
ن
قSجتاهـ Sبالمجموع الجبرى لمركبات القوى × يسمى المقدار: 1=S فى اتجاه و س ويرمز له بالرمز س.
اأ�سف اإلى معلوماتك يسمى الرمز
ن
(سيجما)
برمز التجميع والعبارة
× يسمى المقدار: قSجاهـ Sبالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى 1=S اتجاه و ص ويرمز له بالرمز ص.
ن
1=S
عنصرا بدأ من مجموع ن ً
العنصر األول.
ومن ذلك نكتب = Iس + Mص N وتكون ح معيار المحصلة ،هـ هى قياس الزاوية القطبية لها
ص أى أنَّ = I :س + 2ص ، 2ظا هـ = ْ س
مثال
1أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة مادية ،األولى مقدارها 4نيوتن وتؤثر فى اتجاه الشرق ،والثانية مقدارها 2 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60شمال الشرق ،والثالثة مقدارها 5نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60شمال الغرب والرابعة 3 3نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60غرب الجنوب .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. الحل
القوى 3 3 ، 5 ، 2 ، 4نيوتن قياس زواياها القطبية هى c210 ، c120 ، c60 ، c0على الترتيب نوجد المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س ص 5 2
س = 4جتا 2 + c0جتا 5 + c60جتا 3 3 + c120جتا c210 3
= 2 - = 92 - 52 - 1 + 4 = 2 * 3 3 - 12 * 5 - 12 * 2 + 4
ص = 4جا 2 + c0جا 5 + c60جا 3 3 + c120جاc210
س
= 1 * 3 3 - 3 * 5 + 3 * 2 + 0 2 2 2 = 3 2 = 3 32 - 3 52 + 3
4
c60 c60 و c30
3 3
= 2 -س 3 2 +ص ويكون = Iس + 2ص 4 = 16 = 12 + 4 = 2نيوتن
` I 3 ظا هـ = ص = 3 - = 2- 2 س aس< ،0ص>0
س
ص
ص
I هـ
` هـ = c120
3جتا40 + c150جتاc330
c30
أى أنَّ مقدار محصلة القوى ُيساوى 4نيوتن ،وتصنع زاوية قطبية قياسها c120 ْ
س
و
أن تحل حاول ْ
1تؤثِّر القوى المستوية التى مقاديرها 40 , 3 30 ، 20 ، 10نيوتن فى نقطة ،بحيث كانت الزاوية بين اتجاهى القوتين األولى والثانية c60وبين اتجاهى القوتين الثانية والثالثة c90وبين اتجاهى القوتين الثالثة والرابعة .c150أوجد مقدار واتجاه المحصلة. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
27
ةطقن ىف ةيقالتم ةيوتسم ىوق ةدع ةلصحم 11 -1 الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
3
مثال
الحل
I
باعتبار Cب هو اتجاه القوة األولى فتكون الزوايا القطبية للقوى هى c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 :على ص الترتيب. E هـ ` س = 2جتا 3 4 + c0جتا 8 + c30جتا 3 2 + c60جتا 4 + c90جتا c120 = 1 *4-0* 3 2+ 1 *8+ 3 * 3 4+2 2 2 2 = 10 = 2 - 4 + 6 + 2نيوتن
جـ
3 4
2
10 = I
`
M
س
aس> ،0ص>0
أي أنَّ المحصلة تعمل فى اتجاه ْ
ص
I
` c(Xهـ) = c60
هـ
س
و
EC
تمــــاريــن ()3 - 1
اأكمل ماياأتى: 1إذا كانت القوى ق ، M 2 = 1ق2 - M = 2 مقدار محصلة القوى = .........................................واتجاهها = ......................................... N
2إذا كانت القوى ق2 = 1 فإن , ......................................... = C :ب =
M
2-
.........................................
3إذا كان قN 2 - M 3 = 1 فإن , ......................................... = C :ب =
28
N
،ق4 = 2
M
،قC = 2
M
-
،ق6 = 3
N
،
I
8-
N
،ق4 = 3
N
.........................................
M
فإن: =C2
-ب
3 -ب
M
N
،
I
إجابات تمارين (:)3-1
N
=6
M
4-
5 = Iوحدة قوة ،ظا1-هـ =
N
تطبيقات الرياضيات -علمى
ةطـقم ف ة قلا
ـكلتم كوقيم ع كـحم 1 1
4أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى المبينة فى كل شكل من األشكال اآلتية: ص
2 4
س 4
ص
2
c45
3 4
و
شكل ()1
س
س
c30
و
س
3 2
شكل ()2
ص
س
ص
2
2 3
c45
3 4 c60
1
ص E
جـ
4
3 6
ب
c30
C
5
E 6سم
c60
c120 4
مثلث متساوى الساقين
شكل ()4
جـ
ب
c30
3 3
ص
8سم
جـ
4
س
شكل ()3
3 4
هـ
3 2
و
6
7
10
3
هـ
C
مستطيل بعداه 6سم 8 ،سم
شكل ()5
ب
8
سداسى منتظم شكل ()6
و
C
6ثالث قوى مقاديرها 30 ، 20 ، 10نيوتن تؤثِّر فى نقطة مادية ،األولى نحو الشرق ،والثانية تصنع زاوية c30 غرب الشمال ،والثالثة تصنع c60جنوب الغرب .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
7أربع قوى مقاديرها 40 ، 3 30 ، 20 ، 10ث جم تؤثِّر فى نقطة مادية ،األولى تؤثر فى اتجاه الشرق ،والثانية ٍ اتجاه يصنع c60 تؤثر فى اتجاه c60شمال الشرق ،والثالثة تؤثِّر فى اتجاه c30شمال الغرب ،والرابعة تؤثِّر فى جنوب الشرق .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C 8ب جـ مثلث متساوى األضالع ،م نقطة تَالقى متوسطاته أثرت القوى التى مقاديرها 25 ، 20 ، 15نيوتن فى نقطة مادية فى االتجاهات م جـ ،م ب ،م . Cأوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
C 9ب جـ Eمربع طول ضلعه 12سم ،هـ ∈ ب جـ بحيث ب هـ = 5سم .أثرت قوى مقاديرها ، 2 4 ، 13 ، 2 9ث جم فى االتجاهات Cب C ،هـ ،جـ E C ، Cعلى الترتيب .أوجد محصلة هذه القوى.
29
10 ، 3ب = 3
4 3
=C ، 1- = Cب = 1س = ، 8ص = ، 6ح = ،10 3 شكل 1ظا. 4 1- شكل 2س = ، 1 = 3 - 4ص = 5 = 2 - 3 + 4 ، 26 = 25 + 1 = Iظا5 1-
5أثرت القوى 12 ، 3 9 ، 6 ، 3ث كجم فى نقطة مادية ،وكان قياس الزاوية بين األولى والثانية c60وبين الثانية والثالثة c90وبين الثالثة والرابعة .c150أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
س
م نقطة مادية تؤثر فيها القوى التى مقاديرها ، 11 ، 4 ، 3 ، 6 3 4نيوتن فى اتجاهات c60شمال الشرق ،الشمالc 60 ،شمال الغربc 30 ،جنوب الشرق على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. [اإلجابة 8 = I :نيوتن ،وتعمل فى اتجاه c 60شمال الغرب]
N
10
I
تمارين إثرائية:
C
2
` = Iس + 2ص 20 = 2)3 10( + 2)10( = 2نيوتن ظا هـ = ص = 3 = 3 10
10 = 75 + 25نيوتن
c3
س
= 3 * 4 + 3 2 + 3 * 8 + 1 * 3 4 + 0 2
c30 c30
ب
= 3 10 = 3 2 + 3 2 + 3 4 + 3 2نيوتن 3 10 +
4
c30
=
ص
ظا هـ = = 3 5 5 c( Xهـ) = c120 =c60 -c180
و
0
ص = 2جا 3 4 + c0جا 8 + c30جا c60 3 2 +جا 4 + c90جا c120 2
8
1
ص = 40 - 2 * 3 30 + 2 6 * 20 + 0 2 = 3 5 = 3 20 - 3 15 + 3 10
C 2ب جـ Eهـ و شكل سداسى منتظم تؤثر القوى التى مقاديرها 4 ، 3 2 ، 8 ، 3 4 ، 2ث كجم فى نقطة Cفى االتجاهات Cب C ،جـ C ، E C ،هـ C ،و على الترتيب .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
3 2
3
شكل 3س = ، 1- = 4 - 2 + 1 3
1 2 * 3
3ص = 4+ 2 * 2 = صفر 1 = Iوتعمل فى اتجاه وس 3
/
شكل 4س = ، 3 2ص = 0 المحصلة = 3 2وتعمل فى االتجاه العمودى على ب جـ شكل 5س = ، 7-ص = 3-
I
=
3 158 ،ظا 7
= 9 + 49
شكل 6س = ، 10ص = 3 10
، 20 = I
ظا1-
3
س = 6 + 3جتاc60 3 9جتاc30 12 +جتاc60 3 س=2 *9-3+3 3 2 = 6+ 3
ص=9+ 2 *6 9 =3 3 2 +
ح=
27 9 3= 4 + 4
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
ص
6
س
1 2 * 3
c60 c60
3
12
* 12 -
= 3 6- 3
9
3
c30
3
2 3 2
3
21
الوحدة األولى :اكيتاتسالا
ظا1-
3أى أن المحصلة تعمل فى اتجاه القوة الثانية.
20 + 10 =Mجتا 30 + c120جتا c15- =c 240 20 = Nجا 30 +c 120جا 3 5 - =c 240 =I
3 10 = 75 + 225نيوتن
10 = Nجتا 20 +c 0حا 3 30 +c60جا 40 + c150جا 5 = c300 75 + 25
25 =Mجتا 15 + c90جتا 20 +c 210جتا = c330 15 25 = Nجا 15 +c 90جا 20 +c 210جا 2 = c330
Cجـ = 10سم من فيثاغورث 3 =Mجتا 5 + c0 3 = Nجا 5 +c0
14= I
c35
c35
200نيوتن
c30
11إذا كانت ق ، N 3 + M 5 = 1ق ، N 6 + M C = 2ق + M 14- = 3ب ومتالقية فى نقطة وكانت المحصلة .)c135 ، 2 10( = Iأوجد قيمتي ، Cب.
5 2
3
3
زاوية قياسها c 60
2نيوتن وتصنع زاوية مع Cب
نيوتن ،فأوجد قيمة ق ،قياس الزاوية بين خط عمل المحصلة وخط عمل القوة األولى .
س ق
13فى الشكل المقابل :إذا كانت محصلة القوى تساوى 20ث كجم، وتعمل فى اتجاه E Cأوجد قيمتى ق ،ك .
3
جـ
3 2
ص هـ
ق
و
3 2
س
30
قياسها c45
c45
3 2
c30
E
ك
ب
C ص
X4
14الشكل المقابل :يبين أربع قوى مستوية ومتالقية فى نقطة (و) فى االتجاهات الموضحة حيث جا هـ = ، 45وكانت محصلة هذه القوى تساوى 2 8نيوتن وتصنع زاوية قياسها c135مع و س أوجد قيمتى ، Xك.
2 2جتا 14 =c45نيوتن
2جا 14 =c45نيوتن
12فى الشكل المقابل :إذا كان مقدار محصلة القوى تساوى 2 3
تفكير إبداعى:
3 4 ، 5جا ( cب Cجـ) = 5
ص
2 3
3 I
N
ثالث قوى مستوية
2ك
هـ هـ
3نيوتن واتجاهها يصنع مع و س
جتا (c
c35
150نيوتن
= ث مم ،هـ = c120
ب Cجـ) =
c30
150 نيوتن
ب
100نيوتن
10 =Mجتا 20 + c0جتا1 3 30 +c60جتا 40 +c150جتا 5- = c300
=5
80 نيوتن c40
=I
120 نيوتن
أ
هـ = c210 =c 30 + c180
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
10من بيانات الشكل .أوجد مقدار واتجاه المحصلة .
س ك
هـ
و هـ
س
X2 ص
تطبيقات الرياضيات -علمى
20 = Iaث كجم وتعمل فى اتجاه
EC
)14 - C + 5 ( = I 1س + 6 + 3 ( +ب ) ص =( )9-Cس (+ب )9+ص ()1 2 10 = )135 ، 2 10( = I aجتا 135س 10 + تفكير إبداعي: 2جا 135ص = 10 -س 10 +ص ()2 يطلب من الطالب التفكير فى المسألة وتحديد خطوات من ( ، 1- = C ` )2( ، )1ب = 1 الحل وكيف يمكن إيجاد قيمتى ق،ك؟ = M 1ق جتا 2 3 + c.جتا 3 2 + c45جتا + c150 نجد أن المحصلة معطاة بطرفين غير مباشرة (مقدار زاوية الميل). 3جتا = c270ق اتجاه القوى = Nق جا 2 3 + c.جا 3 2 + c45جا 3 + c150 2 4 2 =M 1ق -ك 5 = N ،ق 5 +ك جا 3 = c270 ` 10 = Iس 3 10 +ص ،ومن ذلك فإن : ق = 10ث كجم ،ك = 4ث كجم
2 4 2( = Iق -ك) س 5 ( +ق 5 +ك) ص ()1 ` = Iق س 3 +ص ` ( = 2) 2 3ق4 + 2 2 8= I aجتا c135س 2 8 +جا 135ص ` ق = 3نيوتن أى أن 3 = Iس 3 +ص ،ظا هـ = 1أى هـ = c45 = 8س 8 +ص ()2 4 =M 1جتا 3 2 + c.جتا + c30ق جتا 3 2 +c60جتا من ()2( ، )1 1 1 + c90ك جتا 2 + 7 = c120ق 2 -ك ، ق = 3نيوتن ،ك = 14نيوتن. 4 = Nجا 3 2 + c.جا + c30ق جا 3 2 + c60جا c90
+ك جا 3 = c 120
22
+3
2
3
ق+
2
3
ك
تطبيقات الرياضيات -علمى
اتزان ج�سيم تحت ت�أثير مجموعة من القوى
4-1
اتزان ج�سيم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point
إذا أثرت قوتان أو أكثر فى جسم جاسئ ،ولم يتغير وضع الجسم قيل إن هاتين القوتين أو هذه القوى متزنة ،وأن الجسم متزن ،ويعد أبسط أنواع االتزان هوالناتج عن تأثير قوتين فى جسم جاسئ.
اتزان جسم حتت تأثري ثالث قوى مستوية ومتالقية ىف نقطة.
اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير قوتين
قاعدة مثلث القوى. قاعدة المى.
نظرية القوى الثالث.
اتزان جمموعة من القوى املستوية املتالقية ىف نقطة.
شكل ()1
عمل تعاونى
وزن الجسم 20ث كجم الشد فى الخيط شكل ()2
جسما وزنه 20ث كجم على كفة ملساء -1ضع اً لميزان ضغط أفقى ،والحظ قراءة الميزان ٍ حينئذ .كما فى الشكل (.)1 -2اطلب من زميلك أن يربط نفس الجسم بخيط خفيف أملس ،ويربط نهاية الخيط فى خُطاف ميزان زنبركى ،ويالحظ قراءة الميزان فى وضع السكون. -3قارن بين النتائج فى كل من التجربتين ،ماذا تالحظ؟ نالحظ أن: × كل من قوتى رد الفعل Sفى التجربة األولى وقوة الشد فى الخيط ش فى التجربة الثانية تساوى 20ث كجم وهو وزن الجسم.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
قاعدة مثلث القوى.
Triangle of forces rule
وزن الجسم 20ث كجم 20 = Sث كجم ش = 20ث كجم
و = 20ث كجم
قاعدة المى.
Lami`s rule
مضلع القوىPolygon of forces .
و = 20ث كجم
يتزن الج�سم الجا�سئ تحت تاأثير قوتين فقط اإذا كانت القوتان: -1متساويتين فى المقدار. -2متضادتين فى االتجاه. -3خطى عملهما على استقامة واحدة.
خلفية
سبق أن درس الطالب إيجاد محصلة قوتين وإيجاد محصلة عدة قوى بطريقتين(الهندسية ،التحليلية) ،وفى هذا الدرس سوف يدرس الطالب اتزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة بالطريقتين الهندسية والتحليلية ،ثم ينتقل إلى اتزان جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة؛ مستخد ًما قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى والتحليل فى اتجاهين متعامدين. أهداف الدرس
تعلم �سروط اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير قوتين
Equilibrium of aparticle under the action of coplanar forces meeting at a point
سوف تتعلم
اتزان جسم حتت تأثري قوتني.
Equilibrium of a rigid body under the action of two forces
رد فعل الميزان
الم�ستوية المتالقية فى نقطة
4-1
فى نهاية هذا الدرس ،وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
برامج رسومية للحاسوب.
يدرس رشوط اتزان جسم حتت تأثري قوتني.
يدرس رشوط اتزان جسم حتت تأثري ثالث قوى مستوية ومتالقية ىف نقطة.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
31
يستخدم قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى حلل مسائل عىل اتزان جسم حتت تأثري ثالث قوى مستوية.
يتعرف عىل نظرية القوى الثالث.
يدرس رشوط اتزان جمموعة من القوى املستوية املتالقية ىف نقطة. مفردات أساسية:
قاعدة مثلث القوى -قاعدة المى -مضلع القوى. المواد التعليمية المستخدمة:
السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية -ورق مربعات -برامج رسومية ( )Geo Gebraللحاسوب. مكان التدريس:
الفصل الدراسى. مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة ( )31إلى ص ( -)42الشبكة الدولية للمعلومات . استراتچيات التدريس
العمل التعاونى -العصف الذهنى -الحوار والمناقشة دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
23
الوحدة األولى :اكيتاتسالا التهيئة ابدأ مع طالبك السؤال التالي :كيف يكون الجسم متزنًا تحت تأثير قوتين؟ ناقش ذلك من خالل نشاط (عمل تعاوني).
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
مثال 3إذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع قوتان مقدارهما 3 ، 5نيوتن واللتان تحصران بينهما زاوية قياسها c60فأوجد قيمة ق؟
X
c60
الحل
نوجد محصلة القوتين 3 ، 5نيوتن من القانون: 2 ق1
2 ق2
=I 2 + +ق 1ق 2جتا ى ` 3 * 5 * 2 + 9 + 25 = Iجتا c60 ` 7 = 49 = 15 + 9 + 25 = Iنيوتن aالقوة (ق) ومحصلة القوتان 3 ، 5نيوتن فى حالة اتزان ` .ق = 7نيوتن
3 نيوتن
5 نيوتن
أن تحل حاول ْ
اجراءات الدرس وضح لطالبك أن الجسم الجاسئ الخاضع لتأثير قوتين يكون اتجاها مقدارا ومتضادتين متز ًنا ،إذا كانت القوتان متساويتين ً ً ولهما فى نفس خط العمل. اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية أخرى يمكن التعبير عنها لتوازن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين مثل :كتاب على منضدة ،مروحة معلقة فى سقف غرفة.
أشر إلى الطالب أنه عندما يكون الجسم الجاسئ متزنًا صفرا ،وهنا يضمن فإن محصلة القوى المؤثرة عليه تساوى ً االتزان االنتقالى للجسم . معلومات إثرائية :توجد لالتزان ثالث حاالت من الثبات وهى :
1إذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع القوتين المتعامدتين التى مقدار كل منها 12 ، 5نيوتن فأوجد قيمة ق.
نقل نقطة تاأثير القوة اإلى اأى نقطة على خط عملها
نشاط
جـ
C
1C
2C
ب 2ب 1ب
E
1أحضر األدوات اآلتية: قرصا رقيقاًا من المعدن -خيطاًا -ميزاناًا مائ ًّيا -مسطرة. ميزاناًا زنبرك ًّيا -اً 2اضبط النضد أفق ًّيا باستخدام الميزان المائى.
3صل القرص بخيطين عند الثقبين ، Cب ثم اربط الطرفين اآلخرين للخيطين بميزان الزنبرك.
4ثبت حلقة أحد الميزانين فى مسمار مثبت فى النضد عند نقطة (جـ) واجذب الميزان اآلخر ثم ثبته عند نقطة ( )Eفى مسمار آخر يبعد عن المسمار األول بحيث يكون الخيطان مشدودين كما بالشكل . 5أوجد مقدار الشد المؤثر فى الخيط وسجل النتائج.
6غير موضع تثبيت طرف الخيط من النقطة ،Cإلى النقاط ... ،2C ،1Cوكذلك تغيير الطرف اآلخر للخيط من النقطة ب إلى النقاط ب ،1ب ... ،2والحظ قراءة ميزان الزنبرك فى كل حالة وسجل النتائج -ماذا تالحظ؟
نالحظ أنه عند حدوث التوازن تتساوى القراءتان تما اًما .
من النشاط السابق نستنتج أن :
إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين ،فإنه يمكن نقل نقطة تأثير أى من القوتين إلى نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم.
32
تطبيقات الرياضيات -علمى
االتزان المستقر :وفيه إذا وضع جسم ألبعاده فإنه يعود إلى وضعه األصلى مرة أخرى ،مثل رفع كتاب من أحد طرفيه على سطح منضدة ،ثم تركه ليعود مرة أخرى إلى حالته األولى.
جهز األدوات الالزمة لعمل النشاط.
االتزان الغير مستقر :وفيه إذا رفع جسم ألبعاده فإنه يبتعد نهائ ًّيا مثل دفع كرسى؛ ليستقر على رجلين فقط فإنه ينقلب عند دفعه.
اطلب من طالبك تسجيل النتائج بعد عرض خطوات النشاط المرفق صفحة . 32
فى بند نشاط ص ()32
قسم طالبك إلى مجموعات مختلفة.
االتزان المحايد :وفيه إذا رفع الجسم ألبعاده عن حالة االتزان فإنه ينتقل لحالة اتزان جديدة ،مثل أسطوانة موضوعة على منضدة.
تسجيل النتائج فى الجدول التالي:
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة)
مناقشة النتائج
إجابة حاول أن تحل ص (:)32
اطلب من الطالب أن يقوموا بالتفكير فى المسألة ،ومحاولة حلها فرد ًّيا ثم مناقشتها جماع ًّيا. نوجد محصلة القوتين 12 ، 5نيوتن من القانون
2X + 2 X = Iأى أن = I 2 1 13 = Iنيوتن. aالقوة ( )Xومحصلة القوتين 12 ، 5نيوتن فى حالة اتزان ` 13 = Xنيوتن. 144 + 25
24
تطبيقات الرياضيات -علمى
قراءة الميزان الزنبركي
تسجيل النتائج ( مقدار الشد)
بين للطالب أنه من النشاط السابق يمكن نقل نقطة تأثير القوة إلى أى نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم.
قن ىف ةيقالتملا ةيوتسملا ىوقلا نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج نازتا 11 -1
اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم 1 1 مثال
3نيوتن
5نيوتن
1القوى 4 ،5 ،3نيوتن متوازنة كما فى الشكل المقابل. أوجد قياس الزاوية بين القوتين 5 ،3نيوتن.
ى
الحل
Öمجموعة القوى متزنة. ` محصلة القوتين 5 ،3نيوتن تتزن مع القوة 4نيوتن ويفرض أن قياس الزاوية بين القوتين 5 ،3نيوتن ى فإن : 2X 1X2 + 22X + 21X = 2 Iجتا ى بالتعويض عن 5 = 2X ، 3 = 1X ، 4 = I : 30جتا ى = 18- 5 *3 * 2 + 25 + 9 = 16جتا ى أى أن جتا ى = 3- 5 c126 َ 52 11 ` ق(cى) = 49 - c180اً = c53 َ7اً
معلومات �إثرائية:
القوتان المتكافئتان
C
E
ب
2X
4نيوتن
إذا أثرت
أن تحل حاول ْ
اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير ثالث قوى م�ستوية ومتالقية فى نقطة
Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint
سبق أن درست شروط اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوتين ،وسوف ندرس توازن ثالث قوى تقع خطوط عملها فى مستوى واحد وتتالقى فى نقطة واحدة ،وهذه القوى إما أن تؤثر فى نقطة مادية (أوجسيم ) أو تؤثر على جسم بحيث تتالقى خطوط عملها فى نقطة واحدة.
تعلم إذا أمكن تمثيل ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة بأضالع مثلث مأخوذة فى ترتيب دورى واحد فإن هذه القوى تكون متزنة. ففى الشكل المقابل : لكى تتزن القوى الثالث يجب أن تكون مقاديرها تصلح ألن تكون أطوال أضالع مثلث .
ق1 ق2
( 8 * 7 * 2 + 2)8( + 2)7( = 2)13جتا ى
ومنها ى = c60
فى بند تعلم ص (( :)33معلومات إثرائية)
33
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل جـ
ب ق
1
تعمالن فى و ، Cو ب
C
القطر و جـ من متوازى األضالع و Cجـ ب.
ق1
ق 3تساوى ( ق + 1ق ) 2فى المقدار وتضادهها فى االتجاه
تحقق من فهمك ق2 = 1
M
-
N
،ق= 2
M
+
ق2
ق
2
شكل ()1
و
ق3
ذكر الطالب بمتباينة المثلث التى تنص بأن مجموع طولى ضلعين فى مثلث أكبر من طول الضلع الثالث ،وعلى ذلك يمكن حل التعبير الشفهى بتمثيل القوى بأطوال واستخدام متباينة المثلث. أ 9 ، 5 ، 3 -ال تكون مثلث ألن 9 < 5 + 3 ب 7 ، 5 ، 3 -تمثل أطوال أضالع فى مثلث حيث أن 7 >5 + 3 : جـ 10 ،6 ،4 -ا تمثل مثلث ألن 10= 6 + 4 : حيث إن القوى فى اتجاهات مختلفة . اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى
Ñق , 1ق , 2ق 3مجموعة متزنة.
بين أن مجموعة القوى ق ، 1ق ، 2ق 3مجموعة متزنة حيث : 3+
N
،ق3 - = 3
M
2-
نقطة.
جـ
N
شكل ( :)2يمثل مثلث القوى للمجموعة المتزنة ق , 1ق , 2ق3
حيث إن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المتناظرة.
أى أنَّ :ق = 1ق = 2ق3 ْ جـ و Cجـ وC
ق2
C
شكل ()2
ق1
ق3
و
أى أن :إذا اتزنت ثالث قوى متالقية فى نقطة ،ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط عمل القوى ،فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة. فكر :استخدم قاعدة الجيب إلثبات قاعدة مثلث القوى. مثال
ُ 2عل َِّق ثُقل مقداره 12نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 130سم ،والطرف اآلخر للخيط مثبت فى نقطة على حائط رأسي ،جذب الجسم بتأثير قوة أفقية حتى اتزن وهو على بعد 50سم من الحائط .أوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط. C الحل
الثقل متزن تحت تاأثير القوى الثالث:
× قوة الوزن ( 12نيوتن) وتعمل رأس ًّيا ألسفل. × القوة األفقية ق. × الشد فى الخيط ش ويعمل فى بC نوجد طول Cجـ من فيثاغورث.
Cجـ = ( 120 = 2)50( - 2)130سم المثلث ب Cجـ مثلث القوى: ق ش = = 12 50 120 130 ش = 13نيوتن ،ق = 5نيوتن
34
ش ش 130سم
ب
C
120سم
12
X
50سم
وكان Cب = جـ Eفإنه يقال إنهما قوتان متكافئتان؛ ألن
إجابة حاول أن تحل ص ()33
تعبير شفهى :
وتكون محصلة هاتين القوتين هي ( ق + 1ق ) 2والتى تعمل فى
1X
،
جـ E
التقييم المستمر (الحوار والمناقشة)
بين أ ًّيا من القوى التى لها المقادير اآلتية يمكن أن تكون متزنة ؟ فسر إجابتك. على اعتبار أن القوى تؤثر فى نقطة واحدة و فى اتجاهات مختلفة. ج 6 ،10 ،4نيوتن. ب 7 ،5 ،3نيوتن أ 9 ،5 ،3نيوتن
قاعدة مثلث القوى شكل ( :)1يمثل القوتان ق ، 1ق 2تؤثران على جسم جاسئ
فى جسم جاسئ وكان خطَّا عملهما على
تمثل تأثيرهما على الجسم واحد. 2X
ق3
Triangle of forces
1X
،
2X
1X
استقامة واحدة وفى اتجاه واحد وكان Cب تمثل
2إذا كانت القوى 13 ،8 ،7نيوتن متوازنة فأوجد قياس الزاوية بين القوتين األولى والثانية.
أى أنَّ :ق + 1ق + 2ق0 = 3 ْ
جـ
ب
C
X
ب
جـ
أشر إلى الطالب بأنه سبق لهم دراسة اتزان جسيم تحت تأثير قوتين ،وعند دراسة اتزان جسيم أو نقطة مادية أو جسم جاسئ (بحيث تتالقى خطوط عمل القوى فى نقطة واحدة) تحت تأثير ثالث قوى؛ فإنه يمكن تمثيل هذه القوى المتزنة بأضالع مثلث مأخوذة فى ترتيب دورى واحد ،ويمكن دراسة هذا االتزان باستخدام: -1قاعدة مثلث القوى.
-2قاعدة المى. -3دراسة شروط االتزان حيث 0 =N ، 0 =M
12
جـ
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
25
الوحدة األولى :اكيتاتسالا
اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم 1 1
-3إجابة حاول أن تحل ص :35
بتطبيق قاعدة مثلث القوى. = Xش = 16 30
50
` 12 = Xنيوتن .
40
أن تحل حاول ْ
3علق ثقل مقداره 16نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 50سم ،مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف الحجرة أُزيح الثقل بقوة أفقية ،حتى اتزن وهو على بعد 40سم من السقف ،أوجد مقدار القوة األفقية والشد فى الخيط.
ومنها
قاعدة لمى
المثلث مأخوذة فى ترتيب دوري واحد كما فى الشكل ()2
ش = 20نيوتن.
ق2
-4إجابة حاول أن تحل ص 35
هـ3
بتطبيق قاعدة المى: X X = 2 = 1 جا c130جا c120جا c110 * 10 = 1Xجا 8٫152 - c130نيوتن جا c110 * 10 = 2Xجا 9٫216 - c120نيوتن. جا c110 10
ب
شكل ()1
3X ق1
أى أنَّ ْ
=
جا هـ1
ق2
=
جا هـ2
ق3
جا هـ3
مثال
الحل
المجموعة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث الآتية:
أشر إلى الطالب أنه يمكن إثبات هذه النظرية على النحو اآلتى: I
نفرض أن، 2X ، 1X : ثالث قوى مستوية تؤثر فى جسم C جاسئ عند 1X النقط ، Cب ،جـ كما هو مبين فى الشكل المرسوم. 3X
نفرض أن خطى عمل القوتين
1X
،
2X
تمر بنفس نقطة (و).
3X ، 2X ، 1X aمتزنة `
I
،
2X
القوة 60نيوتن ،القوة ق نيوتن ،القوة ك نيوتن بتطبيق قاعدة المى: 60
ق
ك
= = جا c90جا c150جا c120 2 = 60ق = 2ك 1
أن تحل حاول ْ
3
X
أى أنَّ :ق = 30نيوتن ،ك = 3 30نيوتن ْ
ب
4فى الشكل المقابل ثقل مقداره 10نيوتن معلق بخيطين يميل األول على األفقى بزاوية قياسها c30ويميل اآلخر على األفقى بزاوية قياسها .c40 أوجد ق ، 1ق 2فى حالة االتزان.
c30
وتن
ني
2X
c40
10نيوتن
35
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
2S
قاعدة:
إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة. مثال توضيحى :إذا اتزن قضيب منتظم السمك والكثافة وزنه (و) على حائط رأسى أملس وأرض أفقية خشنة فإن: × مركز ثقل وزن القضيب يعمل فى منتصفه واتجاهه رأس ًّيا ألسفل.
E
1S
ب
جـ
× رد فعل الحائط الرأسي ( )1Sيكون عمود ًّيا على الحائط ويعمل فى اتجاه ب . E
C
و
× رد فعل األرض األفقية الخشنة ( )2Sغير محدد االتجاه ولتحديد اتجاهه نرسم E Cالذى يمر بالنقطة ( Eنقطة تالقى خطى عمل و ) 1S ،كما فى الشكل.
الحل
مركز ثقل الكرة المتجانسة يقع فى مركزها الهندسي.
الكرة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث:
جـ
1Xني
وتن
ك
4كرة معدنية منتظمة ملساء وزنها 1٫5ث كجم وطول نصف قطرها 25سم ،ربطت من إحدى نقط سطحها ب بخيط طوله 25سم ومربوط طرفه اآلخر Cمن نقطة فى حائط رأسى أملس فاتزنت الكرة وهى مستندة على الحائط .أوجد مقدار الشد فى الخيط ومقدار رد فعل الحائط. تذكر اأن
× وزن الكرة 1٫5ث كجم ويؤثر رأس ًّيا ألسفل.
3X
تالقيا فى نقطة (و) 2X
c120 c150
مثال
متزنتان
` 3X ، Iمتساويتان فى المقدار ومتضادتان فى االتجاه وخط عملهما على استقامة واحدة.
26
جـ
شكل ()2
هـ2
1X
هـ2
3ثالث قوى مقاديرها ، 60ق ،ك نيوتن متزنة ومتالقية فى نقطة فإذا كان قياس الزاوية بين القوتين األولى 60 والثانية c120وبين الثانية والثالثة .c90فأوجد مقدار كل من ق ،ك.
فى بند قاعدة على (نظرية القوى الثالث):
` خط عمل
1X
3X
هـ3
هـ1
إذا أتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين األخرتين.
- 2جسم وزنه 15نيوتن معلق فى خيط مثبت طرفه الخالص فى نقطة على حائط رأسى ،أثرت عليه قوة أفقية جعلت الخيط يميل على الحائط بزاوية .c60أوجد الشد فى الخيط ومقدار القوة. اإلجابة 30 = R [ :نيوتن 3 15 = X ،نيوتن]
3X
C
باستخدام قاعدة الجيب نجد أن:
-1مصباح وزنه 10نيوتن معلق رأس ًّيا من سقف حجرة بواسطة سلك طوله 75سم ،جذب المصباح بقوة أفقية مقدارها X حتى أصبح على بعد 60سم من سقف الحجرة. أوجد مقدار Xوكذلك الشد فى السلك. اإلجابة 7٫5 = X[ :نيوتن 12٫5 =R ،نيوتن]
` محصلتهما
2X
هـ1
ب جـ Cب جـ C = = جا ( - 180هـ )1جا ( - 180هـ )2جا ( - 180هـ)3
تمارين إثرائية:
I
lami' s theorem
إذا أثرت القوى ق , 1ق , 2ق 3فى نقطة مادية كما فى الشكل ( )1وكانت متزنه فإنه ُيمكن تَمثيلُها بأضالع
يمر بنقطة (و).
تطبيقات الرياضيات -علمى
× رد فعل الحائط على الكرة ( )Sويؤثر عند نقطة تماس الكرة مع الحائط ،ويعمل فى اتجاه عمودى على الحائط مارا بالمركز (م). ًّ ش
× الشد فى الخيط (ش) ويعمل فى اتجاه ب Cويمر بالمركز (م) نقطة تالقى قوتي وزن الكرة ورد فعل الحائط(.نظرية) المثلث م Cجـ هو مثلث القوى ،حيث م 50 = 25 + 25 = Cسم ومن نظرية فيثاغورث C :جـ = (2)25( - 2)50 = 3 25سم وبتطبيق قاعدة مثلث القوى: ش = S = 1٫5 25 3 25 50
أى أنَّ :ش = 3ث كجم 32 = S ،ث كجم. ْ
36
تطبيقات الرياضيات -علمى
C
ب ش
C
S
م
50سم
م
S
25سم
جـ
1٫5
1٫5
جـ
قن ىف ةيقالتملا ةيوتسملا ىوقلا نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج نازتا 11 -1
اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم 1 1
` خطوط عمل القوى الثالث تتالقى فى نقطة واحدة.
فكر :هل يمكنك حل المسألة السابقة بطرق أخرى؟ اذكر هذه الطرق ثم حل المسألة بإحدى هذه الطرق. أن تحل حاول ْ
5كرة منتظمة ملساء وزنها 100ث جم وطول نصف قطرها 30سم معلقة من نقطة على سطحها بأحد طرفى كال خيط خفيف طوله 20سم ،ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس .أوجد فى وضع التوازن ًّ من الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.
إرشادات للدراسة يمكن تلخيص قواعد اتزان جسم جاسئ كاآلتى:
مثال
- 1إذا اتزن جسم تحت تأثير قوتين ،فإنهما تكونان متساويتين فى المقدار ،ومتضادتين فى االتجاه وخط عملهما على استقامة واحدة. -2إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى مستوية غير متوازية ،فإن خطوط عملها تتالقى جمي ًعا فى نقطة واحدة.
5علق قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 30نيوتن من طرفيه بحبلين ثبت طرفاهما فى ُخطّاف ،فإذا كان الحبالن متعامدين ،وطول أحدهما 50سم .فأوجد مقدار الشد فى كل من الحبلين عندما يكون القضيب معلقاًا حرا مطلقاًا وفى حالة اتزان. تعليقاًا ًّ ش2 ش1 الحل
وزنه 30نيوتن ،ويعمل رأس ًّيا ألسفل ويؤثر عند منتصفه ،الشد فى الحبلين ش ، 1ش 2ويعمالن فى االتجاهين Cجـ ،ب جـ على الترتيب ويتقاطعان على التعامد عند نقطة جـ.
C
0
الق�سيب متزن تحت تاأثير القوى الثالث:
c60
c3
50
سم
50سم
E
aجـ Eمرسومة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر
30نيوتن
` جـ C 12 = Eب = 50سم
بتطبيق قاعدة لمى: ش
ش
ب
-3إذا اتزن جسم متماسك تحت تأثير عدد محدود من القوى المتالقية فى نقطة ،فإن شروط االتزان هى المجموع الجبرى للمركبات الجبرية لهذه القوى فى أى اتجاه تتالشى.
إذا مر خيط على بكرة ملساء، وكان الخيط مشدو ًدا فإن الشدين على جانبى البكرة متساوى.
` Cc(Xجـ c(X ، c60 = )Eب جـ c30 = )E 30
50سم
اأ�سف اإلى معلوماتك
` Cجـ Eمثلث متساوى األضالع
= 2 = 1 جا c150جا c120جا c90
جـ
ومنها ش 15 = 1نيوتن ،ش 3 15 = 2نيوتن
فكر :استخدم طرق أخرى لحل المسألة السابقة.
ش2
ش
1
مثال 6فى الشكل المقابل :ثقل مقداره ك معلق فى طرف خيط وينتهى طرف الخيط بخيطين يمران على بكرتين ملساوتين عند ب ،جـ ويحمالن ثقلين مقدار كل منهما 20 ، 30ث جم. أوجد مقدار الثقل ك ،قياس زاوية هـ فى وضع االتزان
جـ
ش2
20ث كجم األفقي
هـ
ب
ش1
c60
التقييم المستمر( :المناقشة والحوار)
30ث كجم
ناقش مع طالبك بنود حاول أن تحل ص ( ، )37ص ()38 وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة .
C
ك ث كجم
37
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
S () 5 جا ( + 90هـ) S 100 جتا هـ = جا هـ
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل الحل
لحظ اأن
فى الشكل السابق :نفرض أن ش ، 1ش 2هما الشدان فى الخيطين ويعمالن فى اتجاهى Cب C ،جـ
الجسم الذى ثقله ك متزن تحت تأثير القوى الثالث: وزن الجسم ك ث كجم والشد فى الخيطين ش، 1
بتطبيق قاعدة لمى:
30 20 = جا ( + c90هـ) جا ()c90 + c60 30
جتا هـ = = 40
=
ك
جا [( - c180هـ ])c60 +
وبالتبسيط
تذكر اأن
جا (هـ )c60 +
/
جا ( - c180هـ) = جا هـ
ك = * 40جا ()c60 + c41 24 5 //
جا( + c90هـ) = جتا هـ
أى أنَّ جتا هـ = 34أي أن c( Xهـ) = c41 24 35 ْ //
( )6
ٍ متساو فى طرفي الخيط. الشد
ش2
ك
ش
ش
/
أن تحل حاول ْ
6أزيحت كرة بندول وزنها 600ث جم؛ حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها c30مع الرأس تحت تأثير قوة على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط .أوجد مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط.
اتزان ج�سم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية والمتالقية فى نقطة
نشاط Polygon of forces
با�ستخدام برنامج (:)Geo Gebra
مثل القوى التى مقاديرها 100 ، 300 ، 100 ، 400داين والتى تعمل بزوايا قطبية قياساتها كاآلتى، c120 ، c0 : c240 ، c180على الترتيب .ماذا تالحظ؟
نالحظ ان: × نقطة نهاية خط عمل القوة األخيرة ينطبق على نقطة بداية خط عمل القوة األولى فى مضلع القوى الموضح بالشكل.
تكون مضلع القوى المقفل و Cب جـ. ْ أى أنَّه قد َّ نستنتج من هذا النشاط أنَّ :
c180ب c120
س
ص 300
100
C
جـ c240 100
400
و
ِ ِ مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تُمثِّل هذه القوى بأضالع التزان الشرط الالزم والكافى مضلع مقفل مأخوذة فى اتجاه دورى واحد.
38
تطبيقات الرياضيات -علمى
X
= = R
R جا90
R = 5 *4100 = S5 3 75 = Sث جم
600 جا 90
جا 120 جا 150 1 300 = 2 * 600 = Xث كجم
3
300 = 2 * 600 = R
3ث كجم
استخدام التكنولوجيا
أى أنَّ ك 39٫2107 -ث كجم ْ
م�سلع القوى:
=
100 جا ( -180هـ)
=
= R 125 = Rث جم
بكرة ملساء
البكرتان ملساوتان لذلك فإن :ش 30 = 1ث كجم ،ش20 = 2ث كجم
االجابات:
اطلب إلى الطالب استخدام برنامج ( )Geo Gebraفى تمثيل مجموعات أخرى من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة والمتزنة ،والمالحظ أن هذه المجموعات من القوى عندما تكون مأخوذة فى ترتيب دورى واحد؛ فإنها تكون مضلع قوى مقفلاً ،وإذا استخدمنا الطريقة التحليلية التزان هذه المجموعة نجد أن. -المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه وس = صفر. -المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه وص = صفر.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
27
الوحدة األولى :اكيتاتسالا مالحظة :يمكن تحميل أحدث نسخة مجانية من برنامج الرياضيات لرسم المنحنيات والهندسة ( )geogebraمن الشبكة العنكبوتية ،وهو يدعم اللغة العربية وهو مكتوب بلغة (جافا) ويفيد فى جميع أفرع الرياضيات.
اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم 1 1 الطريقة التحليلية لدرا�سة اتزان مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة. فى النشاط السابق يمكن إيجاد المركبتين السينية والصادية لمجموعة القوى كاآلتى: س = 400جتا 100 + c0جتا 300 + c120جتا 100 + c180جتا c240 = = 12 * 100 - 300 - 12 * 100 - 400صفر ص = 400جا 100 + c0جا 300 + c120جا 100 + c180جا c240 = = 3 50 - 0 + 3 50 + 0صفر
نستنتج من ذلك أنه لكى تكون مجموعة القوى المستوية والمتالقية فى نقطة متزنه يجب أن تكون: × المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س = صفر × المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر
حاول أن تحل ص (:)39 (+ 2X + 1X = I a )7
أى أنَّ س = صفر ،ص = صفر ْ
ويمكن التعبير عن شرط توازن مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة كما يأتى :إذا اتزن جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فإن المجموع الجبرى للمركبات الجبرية لهذه القوى فى كل صفرا. من اتجاهين متعامدين يساوى اً
3X
` )6 - C - 4( = Iس + 2 - 3 -( +ب) ص = 0
مثال
` 0 = 2 - C-أى + 5 - ، 2- = Cب = 0أى ب = 5
N3- M
1إذا كانت ق5 = 1 ق ، 1ق ، 2ق 3متوازنة.
معلومات �إثرائية:
`
ص
ك
10
س 4
10
5حاس +ك 10 6 -حاص = 0
3 ،جا ص = 10
28
C
16
زواياها القطبية هي)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :
` س = 16جتا 20 + c0جتا c90
39
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
180
2 12 +جتا 5 4 + c225جتا ()i + c180 = * 5 4 - 1 * 2 12 - 0 + 16جتا i 2 = = 1 * 5 4 - 12 - 16صفر 5
ص = 16جا 20 + c0جا 2 12 + c90جا c225
ص
هـ
جـ
E
20
5 4 +جا ()i + c180
= 5 4 - 1 * 2 12 - 20 + 0جا i 2 س = = 2 * 5 4 - 12 - 20صفر 5
لحظ اأن جتا ( - = )i + c180جتا i
c225 ب
16
i + c180
i
C
1-
i + c180
2-
5
س
ص
حاول أنْ تحل
C
8الشكل المقابل :يمثل القوى التى مقاديرها ق ، 5 ،ك 10 6 ،
نيوتن والمتزنة ،والتى تؤثر فى المستطيل Cب جـ Eفى االتجاهات جـ ب ،جـ ، Cجـ , Eهـ جـ حيث Cب = 6سم ،ب جـ = 8سم ، Cهـ = 6سم .أوجد قيمة ق ،ك.
6سم 5
هـ
6سم
E
ك 6
ب
10 جـ
8سم
X
تمــــاريــن ()4 - 1
5 + Xجتاى 10 6 -جتاص = 0 1 4 * 10 * 6 - 5 * 5 + X 10 0 = 6 - 4 + X
الحل
3
5
3 6
20
12
X
ب
من الشكل المقابل نجد أن القوى 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16نيوتن
س = صفر ،ص = صفر ` المجموعة متزنة.
1
6سم
س
مثال 2الشكل المقابل :يمثل القوى 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16نيوتن ،والتى توثر فى المربع Cب جـ Eفى االتجاهات Cب ، E C ،جـ ، Cهـ Cعلى الترتيب حيث هـ منتصف جـ .Eأثبت أنَّ مجموعة القوى متزنة.
5 4
ب
E
جـ ص
جـ
12
5
قM 6 - = 3
هـ
E
2
C
7إذا كانت القوى ق4 = 1 ومتزنة فأوجد قيمة كل من ، Cب.
،قC - = 2
M
2-
N
،
+ب
N
متالقية فى نقطة
2
حاول أن تحل ص ( )40رقم ()8 6سم
N3- M
= 0
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
حيث تظل الشروط الكافية والالزمة لتوازن مجموعة القوى صحيحة فى حالة أن يكون متجها الوحدة س ،ص غير متوازيين (ولكن ليس متعامدين بالضرورة). ص
)1 + 2 + 3 - ( +
N
أى أنَّ مجموعة القوى متزنة. ْ
4
كاآلتى ، 0 = N ، 0 = M :ج = 0
هـ 2سم
I
= ()2 + 7 - 5
M
ق3
5
إذا انعدم مجموع القوى ( ) 0 = Iوانعدم عزم المجموعة بالنسبة لكل نقطة ( ج = ) 0قيل إن مجموعة القوى متوازنة ،وإذا أثرت مثل هذه المجموعة من القوى على جسم ما قيل إن هذا الجسم متزن . أى أن الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى هى : -1متجه مجموع القوى = 0 -2ينعدم عزم المجموعة بالنسبة لنقطة واحدة .وتكتب رمز ًّيا
،ق7 - = 2
قN + M 2 = 3
الحل
= I aق + 1ق+ 2
أن تحل حاول ْ
اتزان مجموعة من القوى بوجه عام :
N2+ M
،
فأثبت أن مجموعة القوى
اأكمل ماياأتى:
=0
1الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هندس ًّيا بـ
،2=X
aجا س =
` ك = 15
2شرط اتزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة هى أن تكون ، ...........................
3 5
تطبيقات الرياضيات -علمى
3إذا كانت ق + M 4 = 1ب ، .................................................... = Cب =
N
،ق7 - = 2
M
....................................................
2-
N
،قC = 3
M
3-
N
................
...........................
متزنة فإن:
4إذا كانت القوة التى مقدارها ق متزنة مع قوتين متعامدتين مقدارهما 4 ، 3نيوتن فإن مقدار ق =
...................................
5إذا ُمثلت ثالث قوى مستوية ومتزنة ومأخوذة فى اتجاه دورى واحد بأضالع مثلث فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع ....................................................................................................................................................
40
تطبيقات الرياضيات -علمى
قن ىف ةيقالتملا ةيوتسملا ىوقلا نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج نازتا 11 -1
اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم 1 1 6إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع 7إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل هذه القوى ............................................................................................................................................................. 8ثالث قوى متساوية فى المقدار ومتالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين أى قوتين يساوي .................................................................................................................................................
بفرض أن ، Cب ،جـ نقطتى ارتكاز الكرة على القضيبين.
...................................
رد الفعل عند Cعمودى على القضيب وكذلك عند ب ويلتقيان مع
ش2
ش1
قوة الوزن فى مركز الكرة
c120
9فى الشكل المقابل :مجموعة القوى متزنة ومتالقية فى نقطة ش ................................ = 1نيوتن ،ش................................ = 2نيوتن.
ى1 ` ى= 1 جا 150جا 150 ى = ى = 10جا 150 2 1 جا 60 = 3 3 10نيوتن
6نيوتن
10يمثل كل شكل من األشكال اآلتية مجموعة من القوى المستوية المتزنة والمتالقية فى نقطة .أوجد القيمة المجهولة سواء كانت قوة أو قياس زاوية: ش2
ش1
X
c150
ك 40سم
c120
c150
60نيوتن
شكل ()1
X
12نيوتن
ك
شكل ()2
إجابات بعض تمارين (:)4-1
20سم
شكل ()3
100نيوتن
1مضلع مقفل
150سم ش1
0
12
ش2
90سم
سم
ش
ش
هـ هـ
حلقة ملساء 40ث جم
30نيوتن
ش1
3 8
شكل ()5
شكل ()4
c30
أ أثبت تحليل ًّيا أن مجموعة القوى متزنة .
8
و
5 ،3 3
شكل ()6
11يمثل الشكل المقابل أرب اًعا من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة و. ب نشاط :استخدم برنامج ( )Geo gebraلتمثيل هذه القوى بمضلع قوى مقفل باستخدام مقياس رسم مناسب.
2س = ، 0ص = 0
ش2
هـ
400 300
c120 8
c30
و
3 = 1R 9نيوتن 3 3 = 2R ،نيوتن
c30
173٫2
200
41
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
عمل تعاونى :
شكل ( 18 = 1R :)4نيوتن 24 = 2R ،نيوتن.
اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية أخرى يمكن التعبير عنها لتوازن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين.
تمرين إثرائى :
كرة مصممة ترتكز علي قضيبين متوازيين يقعان فى مستوى أفقى واحد ،البعد بينهما يساوى طول نصف قطر الدائرة .أوجد الضغط على كل من القضيبين إذا كان وزن الكرة 10نيوتن . من الشكل المقابل 1S
شكل ( :)3ك = 50
5نيوتن 50 = X ،نيوتن
شكل ( 2 20 = R :)5ث جم 3 8
شكل ( :)6جا( - 180هـ) =
و = 8 جا c150جا ( + 30هـ)
c( Xهـ)= ، c60و = 16وحدة قوة
400 + 300 = M 11جتا 200 + c120جتا = M 0 + c240صفر، 400 + 0 = Nجا 200 +c120جا 173٫2 - c240
2S
10شكل ( :)1ك = 20
3نيوتن 40 = X ،
3نيوتن
شكل ( 3 6 = 1R :)2نيوتن 6 = 2R ،نيوتن.
فى بند شروط اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوتين:
الحل:
=
10 جا 60
N
-صفر
` المجموعة متزنة.
c30 c30
c60
c60 C
10
ب
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
29
الوحدة األولى :اكيتاتسالا الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
60 جاc90
= X 12ش = جا c120جاc150 ومنها 3 30 = X :ث جم ، س = 30ث جم. 1R
1R
=
X
15
16
S جاc90
=
36 = S
18علق قضيب منتظم طوله 50سم ووزنه 20نيوتن من طرفيه بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى نقطة واحدة .فإذا كان طوال الخيطين 30سم 40 ،سم على الترتيب فأوجد الشد فى كل من الخيطين. 19خمس قوى مستوية مقاديرها ق ، 2 5 ، 2 4 ، 6 ،ك ث كجم متزنة وتؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات الشرق والشمال والشمال الغربى والجنوب الغربى والجنوب على الترتيب .أوجد مقدار كل من ق ،ك.
20أثرت القوى المستوية ، 4 ، 5ق ، 3 ،ك 7 ،ث كجم فى نقطة مادية والزاوية بين كل قوتين متتاليتين منها .c60أوجد مقدار كل من ق ،ك حتى تكون المجموعة فى حالة اتزان. تفكير إبداعى:
c30
42
3ث جم
18
5
3
هـ
4
S هـ 800
S
c30
3نيوتن ،و = 72نيوتن
و
c30
2S ، 1S 17عموديان على الحائط ويمران بمركز الكرة
S جا c120
3 = 1S
30
=
S
2
جا c90
2
3
ثك
S
جم
c30 6ث كجم
تطبيقات الرياضيات -علمى
200
36 جا c150
=
21فى الشكل المقابل جسم وزنه 6ث كجم موضوع على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها 30وحفظ توازنه بواسطة قوة شد ش مقدارها 3 2ث كجم تعمل فى خيط مثبت أحد طرفيه بالجسم واآلخر فى حائط رأسى .أوجد قياس الزاوية التى يصنعها الخيط مع المستوى ومقدار رد فعل المستوى على الجسم.
R
هـ
جا( - c180هـ) 800 = جا( + c90هـ) 800 X S = جا هـ = جتا هـ X 1 X 2 = 800ومنها ظا هـ = 600 = Xث.جم 1000 = S ،ث جم S S = جا c120جا c90
ى
200
X
=
17كرة معدنية ملساء وزنها 3نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس يميل على الحائط الرأسى بزاوية قياسها .c30أوجد الضغط على كل من الحائط الرأسى والمستوى المائل.
= 200
` جا ( +c 30هـ) = 90 هـ = ، c60س = 3 100
16وضع جسم وزنه (و) نيوتن على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30وحفظ الجسم فى حالة توازن بتأثير قوة مقدارها 36نيوتن تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى .احسب مقدار وزن الجسم ومقدار رد فعل المستوى.
هـ 2R
100
R = 100 14 جا c150جا( -c180هـ) 200 = جا( -c30هـ)
هـ
3
=
15وضع جسم وزنه 800ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث جا هـ = 0٫6وحفظ الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم.
100سم
Rى 1
13علق ثقل مقداره 200ث جم بخيطين طوالهما 60سم 80 ،سم من نقطتين على خط أفقى واحد البعد بينهما 100سم .أوجد مقدار الشد فى كل من الخيطين. 14علق جسيم وزنه 200ث جم بواسطة خيطين خفيفين يميل أحدهما على الرأسى بزاوية قياسها هـ ويميل الخيط اآلخر على الرأسى بزاوية قياسها ، c30فإذا كان مقدار الشد فى الخيط األول يساوى 100ث جم. فأوجد هـ ومقدار الشد فى الخيط الثاني.
60
120 = 5 * 200= 2Rث .جم
200 جا( -c30هـ)
14سم
c30
13 جا(-c180س) جا(-c180هـ) 200 = جاc90 4 160 = 5 * 200= 1Rث جم.
28سم
12علق ثقل مقدار وزنه 60ث جم من أحد طرفى خيط طوله 28سم ،مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف حجرة ،أثرت على الجسم قوة فاتزن الجسم وهو على بعد 14سم رأس ًّيا أسفل السقف ،فإذا كانت القوة فى وضع االتزان عمودية على الخيط فأوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط.
3 جا c120
ومنها
3نيوتن ،ر 6 = 2نيوتن تطبيقات الرياضيات -علمى
2R
R R 20 = 2 = 1 جا ( +c90ى) جا ( +c90هـ) جا c90
ومنها: 12= 1Rنيوتن 16= 2R ،نيوتن
30سم ب
هـ 25سم
جـ
هـ ى 25سم
1R
40سم ى 25سم
2جتا 2 5 + c135جتا
X 19جتا 6 + c0جتا 4 + c90 + c225ك جتا 0 = c270 ق = 9ث كجم. 0 = 5 - 4 - X Xجا 6 + 0جا 2 4 + c90جا 2 5 + c135جا c225 +ك جا 0 = c270 ك = 5ث كجم - 5 - 4 + 6ك = 0 5 20جتا 4+ c0جتا +c60ق جتا 3 + c120جتا + c180ك جتا 7 + c240جتا 0 = c300 ()1 ومنها :ك +ق = 15 5جا 4 + c0جا +c 60ق جا 3 + c120جا + c180 ك جا 7 + c 240جا 0 =c 300 ()2 ومنها - X :ك = 3 من ( )2( ، )1ق = 9ث كجم ،ك = 6ث كجم
C
قن ىف ةيقالتملا ةيوتسملا ىوقلا نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج نازتا 11 -1
متلرتا فل م1 1 تمارين عامة (الوحدة األولى)
اأكمل ما ياأتى: 1قوتان مقدارهما ، 4ق داين وقياس الزاوية بينهما ∈ ] ،[r ،0محصلتها تنصف الزاوية بينهما فإن ق = .....داين. 2قوتان تؤثران فى نقطة مادية مقدارهما 8 ، 5نيوتن فإن أكبر قيمة للمحصلة = ...........................................نيوتن ،أصغر قيمة للمحصلة = ..................................نيوتن. 3إذا وضع جسم وزنه (و) على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ فإن مركبة وزنه فى اتجاه المستوى تساوى ..................................................
4إذا اتزنت القوة ق مع قوتين متعامدتين مقدارهما 8 ، 6ث كجم فإن مقدار القوة ق يساوى .....................ث كجم. 5إذا كانت القوى قC = 1
، .............................. = Cب =
M
6-
،ق3 - = 2
N
..............................
M
4+
N
،ق9 = 3
M
+ب
N
متزنة فإن
ك
X
X
X
شكل ()2
شكل ()1
ك 6
ق= ك = ........................
ق= ك = ........................ ........................
........................
........................
C 7ب قضيب متزن تحت تأثير ثالث قوى مستوية كما هو موضح فى كل شكل .أكمل: ب
C
ش
8سم
6سم
S E
ش2
جـ 4ث جم
أ ش ........................... = 1ث جم. د ش ........................... = 2ث جم.
ب
20سم
ش
جـ
20ث جم
ب ش = ...........................ث جم.
ه ............................... = Sث جم.
0
5سم
120سم
30سم 20سم
جـ
65
ش1
C
65
C
سم
سم
39ث جم
1
تفكير إبداعي:
45
1 ى = 3 2 = 2 * 3 4ث كجم
=
39 65
36 = 1Rث جم 15 = 2R ،ث جم
أ 15 * 8 * 2 + 225 + 64 = Iجتا 17 = 90نيوتن.
ب 60 * 2 = Iجتا60 = 30 ج ظا= 90
6جا ى 6 + 3جتا ى
c(Xى) = .c120
60 3داين هـ = c30 = 2 1 6جتا ى = 3-أى جتا ى = 2 -
3 * 6 * 2 + 9 + 36 = Iجتا c120 3 3 = Iنيوتن
3
6جتا ى ،جتا ى = - د ظا= c90 2 6 + 3 3جتا ى c(Xى) = c150 =c 30 - c180
6 * 3 3 * 2 + 36 + 27 = Iجتا c150 3 = Iنيوتن ه 3 12 * X * 2 + 432 + 21X = 144جتا 150 0 = 288 + 1X 36 - 21X 12 =1Xنيوتن 24 = 1X ، 1 ،نيوتن
21بفرض أن الخيط يصنع زاوية قياسها ى مع المستوى ، وبتطبيق قاعدة المى: 6 S = `= 3 2 جا c150جا( - c90ى) جا( + c120ى) 3 ` ى = c30 ` جتا ى = 2
إجابة التمارين العامة على الوحدة
ش2
ب
ج ش ........................... = 1ث جم. و ش = ...........................ث جم.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
شكل ()3
12
........................
جـ
8سم
6سم
2 4
c135
ق= ك=
ش
6كل شكل مما يأتى مكون من ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة .أكمل ما يأتى:
20 2R 1R 30 = 25 = 25 50 3 = 2R = 1Rث جم شكل (2R = 1R :)3 25 60
10شكل ()1
X - 3 6جتا - c30ك جتا 0 =c60 3 1 2 - X 2 - 3 6ك=0 1# + X 3ك = 3 12 Xجا = c30ك جا c60 ( 2 #من )2 ، 1 3 = Xك ك=9=X ، 3 3
aظا هـ = 4جا2هـ ` جاهـ = 2 * 4جاهـ جتاهـ ج 3 4 + Xجتا 12 - 30جتا 2 + 60جتا - 90ك جتاهـ 2(4 + Xجتا2هـ )1 - 4 + Xجتا2هـ جتا0=c60 ` 4 = Xداين 8جتا 2هـ = 8 + Xجتا2هـ 4 - 1# ومنها ك = X 2 و جا هـ 3 ، 13نيوتن 3 4جا 12 - 30جا + 3 2 + 60ك جا 0 = 60 أ = ، 6-ب = 2 10ث كجم ومنها ك = 4وحدة قوة شكل ( ،3 = X :)1ك = 3 3 ومن 2 = X 1وحدة قوة. شكل ( = X :)2ك = 4شكل (16 = X ، 20 = R :)3 12 16 شكل ( 5 = 2R ، 5 = 1R :)1ث جم
شكل ( :)2ب جـ = 50سم من فيثاغورث E C9جـ مثلث القوى.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
31
الوحدة األولى :اكيتاتسالا c25
الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
c45
8إذا كانت Iهى محصلة القوتين ق ، 1ق 2اللذين يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكان قياس زاوية ميل المحصلة على ق 1يساوى هـ فأوجد: أ مقدار ، Iعندما ق 8 = 1نيوتن ،ق 15 = 2نيوتن ،ى = .c90 ب مقدار Iوقياس زاوية هـ عندما ق = 1ق 60 = 2داين ،ى = c60 ج مقدار Iوقياس زاوية هـ عندما ق 6 = 1نيوتن ،ق 3 = 2نيوتن والمحصلة عمودية على ق.2 د مقدار Iوقياس زاوية ى إذا كان ق 3 3 = 1نيوتن ،ق 6 = 2نيوتن والمحصلة عمودية على ق.1
c45 c60
c25
ه قيمة ق 1عندما 12 = Iنيوتن ،ق 3 12 = 2نيوتن ،ى = c150
X
9أوجد مقدار المحصلة وزاوية ميلها مع محور السينات فى كل شكل من األشكال اآلتية:
11بتطبيق قاعدة المى : R R = 2 = 1 جا c105جا c145 * 500 = 1Rجا 514 -c 105نيوتن جا c110 * 500 = 2Rجا 305 - c 145نيوتن جا c110 500 جا c110
2 س
جا c120جا c140 * 500 = 1Rجا 425 -c 120نيوتن جا c100 * 500 = 2Rجا 790 -c 140نيوتن جا c100
1
و
س
س
3
ص
c30
س
س
3
ص
ص
شكل ()3
جـ 2سم
500
c50
جـ 2R
3 6
C
جـ
25
c120
ك ب
شكل ()1
c30 ب
ب المقدار ،االتجاه.
C
ب X
E
2
ك 6سم
جـ
3 4
و
12
ك
C
8سم
ب
شكل ()2
C
X
شكل ()3 ب
11أثرت قوة ق عند نقطة جـ مقدارها 500نيوتن، وتصنع مع األفقى زاوية قياسها c60وربط حبالن عند جـ مثبتان عند ، Cب ويصنعان مع األفقى زاويتين قياسيهما c25 ،c45على الترتيب .أوجد فى وضع االتزان الشد فى أجزاء الخيطين ألقرب نيوتن .
46
هـ
E
6سم 8
س
3 3
شكل ()2
36
X
c25
C
c45
جـ
c60
ق
تطبيقات الرياضيات -علمى
ج نقطة بداية ،نقطة نهاية ،اتجاه.
اخكبلر ـراكا
ه ()c53 7 49 ، 5
و ( 20جتا 20 ،c330حا 10- ،10( = )c330 Cجـ ب Eب
2 3
أ 18ى ب 45ى ج 50ى
4
أ 25نيوتن فى إتجاه الغرب.
د
EC
ب 34 ج
I
ه
مب
ج
)10- ، 3
12أثرت قوة أفقية ق عند جـ مقدارها 500نيوتن من نقطة فى حبل ثبت طرفاه عند النقطتين ،Cب من حائط رأسى ،أوجد الشد فى كل من الحبلين ألقرب نيوتن.
0
أ
5
c60
c30
10أوجد مقدار كل من ق ،ك بحيث تصبح كل مجموعة مما يأتى متزنة.
2فى اتجاه الشمال
13٫1 -داين وتميل بزاوية c52٫5مع الشرق
د 60نيوتن وتعمل فى نفس اتجاه القوتين.
أ 4 = 3 + Cومنها ، 1 = Cب 3- = 5 -ومنها ب = 2
ب 0 = 3 + Cومنها ، 3- = Cب 0 = 5 -ومنها ب = 5 8 = I 6نيوتن ،هـ = c 30 16 * 30 * 2 + 2)16( + 2)30( = 2)26( 7جتاى
c45
c30
c60
c60و
3 2
3 12
د نفس الطول ونفس االتجاه.
3 4
2 3
شكل ()1
إجابات تمارين االختبار التراكمى
أ مقدارها فقط .
16
2
3 2
12
1R
=
2R
=
2 3
1R
500 جا c100
ص
ص
ص
1 1 C
جـ
ق
c50
c30
ب
اختبار تراكمى
اأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرة: 1اكمل مايأتى:
ما معرفة .................................................. أ الكمية القياسية يلزم لتعريفها تعريفاًا تا ًّ ب الكمية المتجهة يلزم لتعريفها تعريفاًا تا ًّما معرفة ، .................................................. .
ج القطعة المستقيمة الموجهة هى قطعة مستقيمة لها
..................................................
،
د تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما
..................................................
ه الصورة القطبية للمتجه م = 3
..................................................
M
4+
N
،
................................................ ................................................ ................................................
هى
و المتجه الذى يعبر عن قوة مقدارها 20ث كجم فى اتجاه c30جنوب الشرق يكتب على الصورة اإلحداثية كاآلتى .................................................
2فى الشكل المقابل C :ب جـ Eمتوازى أضالع م نقطة تالقى قطريه .أكمل: أ Cب +ب ج = .................................................. ب E + CEج =
.................................................
Cم +جم =
.................................................
ج
د Cب 2 +بم=
E
C
م
.................................................
ه Cب C -م = .................................................
ب
جـ
1
ومنها جتا ى = ، 2 -ى = c 120
32
تطبيقات الرياضيات -علمى
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
47
قن ىف ةيقالتملا ةيوتسملا ىوقلا نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج نازتا 11 -1 الوحدة األولى :ااــكققلـيمققل
3اكتب بداللة متجه الوحدة ى محصلة القوى الموضحة بكل شكل: 30نيوتن
ى
12نيوتن
80ث جم
ى
20ث كجم
8
ى
25ث كجم
30ث جم
أ ق 15 =1نيوتن فى اتجاه الشرق ،ق 40 = 2نيوتن فى اتجاه الغرب. ب ق 34 = 1ث جم فى اتجاه الشمال الشرقى ،ق 34 = 2ث جم فى اتجاه الجنوب الغربى.
ج ق = 2نيوتن والمحصلة تنصف الزاوية بين القوتين. ق = 60ومنها ق = 3 20نيوتن
ج ق 50 = 1داين تعمل فى اتجاه غرب الشمال ،ق 50 = 2داين تعمل فى اتجاه c30جنوب الشرق . 5ق5 - M 7 = 1 قيمتى ، Cب إذا كانت:
M
3+
أ محصلة مجموعة القوى تساوى 4
M
N
،قC = 2
N
7-
اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة
،ق4- = 3
M
( +ب )3 -
تؤثر فى نقطة مادية أوجد
ب مجموعة القوى متزنة
N
ق2
ومنها
= جا c120 ق 40 = 1نيوتن ،ق 3 40 = 2نيوتن
11س = 2ق جتا 4 + c0ق جتا 6 + c120ق جتا 3 - =c 240ق ص = 2ق جا 4 + c0ق جا 6 + c120ق جا c 240
6قوتان مقدارهما 8 ، 3 8نيوتن توثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها .c150أوجد مقدار محصلتهما وقياس الزاوية التى تصنعها مع القوة األولى.
7قوتان مقدارهما 16 ، 30نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ،إذا كان مقدار محصلتهما 26نيوتن .أوجد قياس الزاوية بين هاتين القوتين.
8قوتان مقدارهما ، 2ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120أوجد ق عندما: ب اتجاه المحصلة عمودى على القوة الثانية. أ مقدار المحصلة يساوى ق. ج المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين.
=2
َ 9حلِّل قوة مقدارها 60إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما .c60
3ق3-
2=I
10أوجد مقدار المركبتين المتعامدتين ،لوزن جسم موضوع على مستوى أفقي ومقداره 80نيوتن إذا ُعلِ َم أنَّ إحداهما تميل على األفقى بزاوية قياسها c30إلى أسفل.
12
11ثالث قوى مقاديرها 2ق 4 ،ق 6 ،ق نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات موازية ألضالع مثلث متساوى األضالع مأخوذة فى ترتيب دورى واحد ،أوجد مقدار واتجاه المحصلة.
48
9 جا 30 = 80 10 جا c90جا c150 جا 60 ق1
د ق 30 = 1نيوتن تعمل فى اتجاه c20شرق الشمال ،ق 30 = 2نيوتن تعمل فى اتجاه c70شمال الشرق . N
` ق = 2نيوتن
ب ق 2 +جتا 0 = c120ومنها ق = 1نيوتن.
4فى كل ممايأتى القوتان ق ، 1ق 2تؤثران فى نقطة مادية ،وضح مقدار واتجاه محصلة كل قوتين منها .
أ
ق( + 2)2( = 2ق) * 2 * 2 + 2ق جتا c120
3ق=-
3ق نيوتن ،تضع زاوية قطبية c210 و
جـ
E
ى
تطبيقات الرياضيات -علمى
3
2
اخكبلر ـراكا1 1 C 12ب جـ Eمستطيل فيه Cب = 8سم ،ب جـ = 6سم ،و ∈ جـ Eبحيث و 6 = Eسم .أثرت قوى مقاديرها ،20 ، 6 2 ، 3 13نيوتن فى Cب ،جـ C ، Cو E C ،على الترتيب .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
14وضع ثقل قدره 20ث كجم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ى ،حيث جتا ى = 45ومنع من االنزالق بتأثير قوة أفقية مقدارها (ق) أوجد ق وكذلك رد فعل المستوى.
6 = Mجتا 20 + c0جتا ( + c180هـ) 13 +
16الشكل المقابل يبين ثقل مقداره 200نيوتن معلق رأس ًّيا من نقطة جـ ومثبت بواسطة حبلين ب جـ ، Cجـ يصنعان مع األفقى زاويتين قياسيهماc60، c20 فإذا كانت المجموعة متزنة ،أوجد الشد فى كل من الحبلين ألقرب نيوتن.
ب
c20
C
` 3=I
جـ 200
17الربط بالمالحة البحرية :يجرى إنقاذ بحار باستخدام كرسى القبطان وذلك بتعليقه فى بكرة يمر عليها حبالن Cب C ،جـ كما فى الشكل المجاور فإذا كان قياسا زاويتى b ، aمع األفقى c15 ، c25على الترتيب وكان الشد فى الخيط Cب يساوى 80نيوتن . فأوجد وزنى البحار والكرسى م اًعا ،وكذلك الشد فى الخيط Cجـ فى وضع االتزان.
جـ
b
ب
a
C
المتجهات 1ث
المتجهات 1ث
المتجهات 1ث
المتجهات 1ث
الدرس (2 )1ث
الدرس (2 )1ث
الدرس (2 )1ث
الدرس (2 )2ث
الدرس (2 )2ث
الدرس (2 )3ث
الدرس (2 )3ث
الدرس (2 )4ث
الدرس (2 )4ث
الدرس (2 )4ث
المتجهات 1ث
17 16 15 14 13 12 11 10
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
ق جا c150
=
ش جا c120
=
80 جا c90
ومنها
ق = 40ث .جم ،ش = 3 40ث جم =
س = جا c90 1ر =
80 جا ( -c90س) جتا20ى ومنها
= ق = 15ث كجم ،ى = 25ث كجم
الدرس (2 )4ث
ارجع إلى
2
4
8
2نيوتن واتجاهها ينصف Cو
الدرس (2 )4ث
إذا لم تستطع حل السؤال رقم
1
3
5
7
9
13
C
2جا ى 2 +جا 3 = c90
ق 14 جا ( -c180س) ق أى أن :جا ى
إن لم تستطع اإلجابة على هذه األسئلة يمكنك االستعانة بالجدول التالى : 6
= 13
هـ
2جتا ى +جتا 3 =c 90
6 = Nجا 20 +c 0جا (+ c180هـ)
15قضيب منتظم يرتكز بطرفيه على مستويين أملسين مائلين يصنعان مع األفقى زاويتين قياساهما .c30 ، c60 أوجد قياس الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى فى وضع االتزان ،وإذا كان مقدار وزن القضيب يساوى 24نيوتن .عين مقدار رد الفعل لكل من المستويين. c60
2
ى
ب
13علق ثقل مقداره 80ث جم فى طرف خيط مثبت طرفه اآلخر فى حائط رأسى ،أزيح الثقل بقوة عمودية على مائال على الحائط بزاوية قياسها .c30أوجد فى وضع االتزان مقدار القوة ،وكذلك الخيط حتى أصبح الخيط اً الشد فى الخيط.
3ق
49
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
33
الوحدة
الوحدة الثانية
الثانية
الديناميكا
الديناميكا
Dynamics
Dynamics مقدمة الوحدة
مقدمة الوحدة سبق أن درس الطالب علم االستاتيكا ،وهو علم دراسة األجسام الساكنة ،وفى هذه الوحدة سوف ُي ْدرس علم الديناميكا ،وهو العلم الذى يختص بدراسة حركة األجسام؛ حيث ينقسم إلى الكينماتيكا ،Kincmaticsوهى تبحث خصائص الحركة من الوجهة الهندسية والكيناتيكا Kineticsوهى تبحث تأثير القوى المسببة للحركة ،وسوف ندرس فى هذه الوحدة (الكينماتيكا) وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها ،وتتناول حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسببات الحركة وقوانينها وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة وقانون الجذب العام لنيوتن. وذلك من خالل أربعة دروس: الدرس األول :الحركة المستقيمة. الدرس الثانى :الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. الدرس الثالث :السقوط الحر. الدرس الرابع :قانون الجذب العام.
يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematicsذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها ،وجدير بالذكر أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما -إمكانية توجيه قذيفة إلى هدف ما بدقة كافية -تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض -تصميم جميع اآلالت الميكانيكية ،ومن هنا سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: تعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. َي َّ يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.
يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة -وحدات قياس العجلة ع = ع + 0جـ ن ،ف = ع 0ن 12 +جـ ن، 2 ع = 2ع 2 + 20جـ ف
يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.
يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة -متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعة النسبية -وحدات قياس السرعة).
يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.
يميز بين اإلزاحة والمسافة.
يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة ( ،)Average velocityيتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام ) .ثابت ومقدار السرعة المتوسطة( )Average speedفى حالة الحركة الجذب العام. الخطية فى اتجاه متجه ثابت. يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة مع الزمن ،منحنى يطبق مفاهيم السرعة ،السرعة النسبية والعجلة فى نمذجة السرعة مع الزمن. مواقف فيزيائية وحياتية تشمل( :حركة الصواريخ -حركة يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة الطيران -األقمار الصناعية ) فى صورة أنشطة . مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة. يتعرف مفهوم السرعة النسبية.
50
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: تعرف مفهوم الجسيم. َي َّ
يتعرف المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.
يتعرف مفهوم السرعة النسبية.
يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة -وحدات 1 قياس العجلة) ع = ع + 0جـ ن ،ف = ع ن 2 +جـ ن،2 ع = 2ع2 + 2جـ ف
يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.
يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعةالنسبية -وحدات قياس السرعة).
يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.
يميز بين اإلزاحة والمسافة.
يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة (،)Average velocity ومقدار السرعة المتوسطة ( )Average speedفي حالة الحركة الخطية في اتجاه متجه ثابت. يطبق مفاهيم السرعة ،السرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل( :حركة الصواريخ -حركة الطيران - األقمار الصناعية) في صورة أنشطة .
34
تطبيقات الرياضيات -علمى
يوظف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
يتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام ) .ثابت الجذب العام.
يمثل بيان ًّيا منحنى اإلزاحة مع الزمن ،منحنى السرعة مع الزمن.
يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة مع الزمن والسرعة مع الزمن.
المصطلحات األساسية Ñحركة مستقيمة
Rectilinear Motion
Ñمسافة
Distance
Ñمتجه سرعة
Vector Velocity
Ñالسرعة المتوسطة
Average Velocity
Ñمقدار السرعة المتوسطة
Ñالسرعة النسبية Ñجذب عام
Ñسرعة منتظمة
Uniform Velocity
Ñسرعة لحظية
Instantaneous Velocity
Ñمتجه موضع
Average Speed
Ñعجلة منتظمة
Vertical Motion
Ñجاذبية أرضية
Relative Velocity
Ñحركة رأسية
Ñإزاحة
Displacement
Position Vector Uniform Acceleration
Ñسقوط حر
Free fall Gravity
Universal Gravitation
األدوات والوسائل Ñآلة حاسبة علمية
Scientific calculator
Ñآلة حاسبة رسومية
Ñبرامج رسومية للحاسوب
Graphical programs
Graphical calculator
دروس الوحدة الدرس ( :)1 - 2الحركة المستقيمة.
الدرس ( :)3 - 2الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
الدرس ( :)2 - 2الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
الدرس ( :)4 - 2قانون الجذب العام لنيوتن .
زمن تدريس الوحدة 18حصة. مهارات التفكير التى تنميها الوحدة التفكير الناقد -التفكير اإلبداعى -التفكير التحليلى -حل المشكالت.
مخطط تنظيمى للوحدة
الوسائل التعليمية المستخدمة السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية -برامج رسومية مثل جيوجبرا ( )Geo Gebraجهاز حاسب آلى -ورق مربعات ،جهاز عرض فوق رأسى -شفافيات -أقالم ألوان رصاص.
الديناميكا مفا هيم أساسية متجه الموضع
متجه اإلزاحة
تمثيالت بيانية متجه العجلة
متجه السرعة
المسافة
منحنى اإلزاحة -الزمن
وحدات القياس
الزمن
المسافة
الحركة ذات العجلة المنتظمة
السرعة
العجلة
حركة متسارعة
السرعة المتوسطة
حركة تقصيرية قوانين الحركة
الحركة المستقيمة السرعة اللحظية
منحنى السرعة -الزمن
السرعة النسبية
الحركة األفقية
طريقة التدريس المقترحة: العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -الطريقة االستنباطية -التعلم التعاونى -حل المشكالت.
الحركة الرأسية
قانون الجذب العام لنيوتن
مقدار السرعة المتوسطة
ثابت الجذب العام
نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية حركة الصواريخ
حركة الطيران
األقمار الصناعية
51
طريقة التقويم المقترحة: تتمثل فى األسئلة الشفهية والتحريرية الفردية والجماعية قبل وفى أثناء وبعد الدرس ،واألنشطة المقترحة ،وسلم التقييم الخاص بكل منها ،والتكاليف الجماعية والفردية ،وتمارين متنوعة على الوحدة واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة واختبارات عامة للربط بين جميع أجزاء الوحدة فى نهاية الكتاب. حول المخطط التنظيمى للوحدة: يتناول المخطط التنظيمى لهذه الوحدة مفاهيم أساسية :وتتناول التعرف على متجهات الموضع ،اإلزاحة ،السرعة ،العجلة ووحدات قياس كل منها. والتمثيالت البيانية :لكل منها منحنيات (اإلزاحة -الزمن ،السرعة الزمنية) .وكذلك الحركة المستقيمة :حيث تناول مفاهيمالسرعة المتوسطة ،السرعة اللحظية ،السرعة النسبية.والحركة ذات العجلة المنتظمة :الحركة األفقية والحركة الرأسية وقوانينها. ونتطرق إلى قانون الجذب العام لنيوتن :لدراسة تجاذب األجسام فى الكون تحت تأثير القوى وتعريف ثابت للجذب العام. وأيضا نمذجه بعض المواقف الفيزيائية والحياتية :حيث تتناول ً حركة الصواريخ والطيران واألقمار الصناعية.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
35
1-2
الحركة الم�ستقيمة Rectilimear motion
1-2 سوف تتعلم
خلفية
سبق أن درس الطالب الحركة المستقيمة فى الفيزياء ،وتعرف على وحدات النظام المترى لكل من الطول Lengthوالكتلة mass والزمن timeواإلزاحة ،displacementكما تعرف على متجه السرعة بوجه عام ،وسوف يتعرف فى هذا الدرس على الحركة المنتظمة والسرعة المتوسطة ،والسرعة اللحظية ،ثم حساب قيمة السرعة المتوسطة ،ثم يتعرف على مفهوم السرعة النسبية. مخرجات التعلم
العالقة بني متجه املوضع ومتجه اإلزاحة. الرسعة املتوسطة. الرسعة اللحظية. الرسعة النسبية.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
حركة مستقيمة
Rectilinear Motion
نظام مرتى
IS
متجه إزاحة
Displacement Vector
متجه موضع متجه رسعة
حركة منتظمة.
Position Vector Velocity Vector Uniform motion
رسعة حلظية
Instantaneous Velocity
الرسعة النسبية Relative Velocity
يسرتجع وحدات النظام املرتى.
يوجد العالقة بني متجه املوضع ومتجه اإلزاحة.
يتعرف عىل الرسعة املتوسطة -الرسعة اللحظية -الرسعة النسبية.
األدوات والوسائل
ورق مربعات.
آلة حاسبة علمية .
برامج رسومية للحاسوب.
يمثل بيان ًّيا العالقة بني املسافة والزمن.
يفرق بني مقدار الرسعة ومتجه الرسعة. مفردات أساسية
حركة مستقيمة -نظام مترى -متجه إزاحة -متجه موضع - متجه سرعة -حركة منتظمة -سرعة متوسطة -سرعة لحظية - سرعة نسبية. المواد التعليمية المستخدمة
السبورة التعليمية -طباشير ملون -جهاز عرض فوق رأسى -ورق مربعات -شفافيات -آلة حاسبة علمية -أقالم ألوان رصاص. طرق التدريس المقترحة
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت - التفكير الناقد -أنشطة.
مصادر التعلم
كتاب الطالب من صفحة ( )52إلى صفحة (.)63 الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت). التهيئة
وضح لطالبك أن السكون والحركة مفهومان نسبيان.
أشر إلى طالبك األوضاع المختلفة للحركة ،فمثلاً :إذا تأملت من حولك وجدت كل شيء فى حالة حركة ،فالشمس تتحرك فى الفضاء ،األشجار وهى تتحرك بفصل الرياح ،كرة القدم وهى تتأرجح من العب إلى آخر ... ،إلخ.
36
تطبيقات الرياضيات -علمى
Rectilinear motion
تقديم: سبق أن تعرفت على بعض أنظمة القياس إلى أن تم اعتماد النظام العشرى الذي ابتكره الفرنسيون عام 1790م ،واستمر حتى جاء النظام العالمي الموحد SIوهو مشتق من الكلمة International System Of Unitsويتشكل هذا النظام من الكميات األساسية فى علم الميكانيكا ( الكتلة ،الطول ،الزمن ) ،وكذلك من الوحدات المشتقة التى تتشكل كحاصل ضرب قوى الوحدات األساسية وفقًا لبعض العالقات الجبرية (كالسرعة ،العجلة ،القوة). الحركة
رسعة متوسطة Average Velocity
فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
الحركة الم�ستقيمة
Motion
ال�سكون والحركة :
عندما يغير جسم ما موقعه بالنسبة لجسم آخر بمرور الزمن فإنه يقال إن الجسم األول فى حالة حركة بالنسبة للجسم الثانى ،أما إذا كان موقع الجسمين النسبى اليتغير كال منهما يكون فى حالة سكون بالنسبة لآلخر. بمرور الزمن فإن اًّ فالسكون أو الحركة مفهومان نسبيان ،فاألشجار والمنازل ساكنة ولكنها تبدو فى حالة حركة بالنسبة لقطار يتحرك بسرعة ما.
الحركة واأنواعها فمثال :كرة هناك أنواع عديدة للحركة كالحركة االنتقالية ،والدورانية ،واالهتزازيةً ، القدم المقذوفة تنتقل من موضع إلى موضع آخر ،وقد تدور حول نفسها فهى إذن تتحرك حركة انتقالية وأخرى دورانية فى الوقت نفسه ،بينما نجد أن قطرات الماء المتساقط تتحرك حركة انتقالية وفى الوقت نفسه تكون فى حالة حركة اهتزازية وسوف نقوم بدراسة الحركة االنتقالية بصورة منفردة ،ويتم ذلك بافتراض حركة جسم ٍ متناه فى الصغر يسمى الجسيم ،ويعامل الجسيم كنقطة هندسية من دون أبعاد تماش ًيا للتعقيدات النظرية الناتجة عن الحركة الدورانية أو االهتزازية والتى سنسجلها فى هذه الدراسة . Motion and its Types
نقطة النهاية
52
نقطة البداية
تطبيقات الرياضيات -علمى
كثيرا أكد على طالبك أن فى دراستنا لحركة الجسم اليهمنا ً موضع الجسم بقدر ما نهتم بالتغير فى موضعه وهو ما نعبر عنه بمصطلح «اإلزاحة». إجراءات الدرس اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى ألمثلة حياتية ألنواع مختلفة من الحركة االنتقالية والدورانية واالهتزازية.
مثال :إذا وقفت فى مكان ما ودرت حول نفسك (حركة دورانية). حركة المرواح والعجالت والبكرات واألسطوانات (حركة دورانية). ويسارا بسرعة (حركة اهتزازية). حركت رأسك يمي ًنا ً
استخرج األفكار واآلراء من الطالب الصامتين ،ومن ثم تعزيزا إيجاب ًّيا. أعطهم ً
نوعية األفكار أقل أهمية من كميتها ،غير أن ذلك ال يعفى أعضاء المجموعة من التفكير بإبداع.
أكد إلى الطالب أن المتر (م) ،والكيلوجرام (كجم) والثانية (ث) هى الوحدات األساسية المستخدمة فى النظام المترى، ثم دربهم على الوحدات األخرى األكبر واألقل من هذه
ةميقتسملا ةكرحلا
ليقتا لا ةكرحلا 2 2
الوحدات ،وذلك باالسترشاد بجدول التحويالت فى الدروس التمهيدية ،الواردة فى أول الكتاب.
Translational Motion الحركة االنتقالية الحركة االنتقالية يتحرك فيها الجسم بين نقطتين ،تسمى األولى نقطة البداية والثانية نقطة النهاية ومن أمثلتها حركة جسم فى خط مستقيم. Distance الم�سافة إذا تحرك قطار من مدينة القاهرة إلى مدينة المنصورة ،فإنه سوف يقطع مسافة قدرها 126كم ،وتعتبر المسافة كمية قياسية إذ يجب معرفة مقدارها فقط ،فإذا كان مقدار المسافة بين المدينتين 126كم فإن الرقم 126يمثل القيمة العددية ( ،كم) هى وحدة قياس المسافة.
متجه االإزاحة
Displacement vector
هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة Cب
التى نقطة بدايتها ( )Cونقطة نهايتها (ب) ويرمز لمتجه اإلزاحة Cب بالرمز ف ،ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة بالرمز || Cب || وهو ال يساوى بالضرورة طول المسار الذى قطعه الجسيم فى أثناء الحركة.
المسار ب
موضع الجسم
Position vector متجه المو�سع هو المتجه الذى تنطبق نقطة بدايته مع موضع المشاهد (و) ونقطة نهايته مع موضع الجسيم ،ويرمز له بالرمز Sحيث = Sس + Mص N
(س ،ص)
س
N ، Mمتجها وحدة متعامدين .
ص
ص
S س
و س ص
موضع المشاهد
العالقة بين متجه المو�سع ومتجه االإزاحة: Relation between position vector and displacement vector
اللحظة (ن +هـ) بالرمز Sفإن:
ف = – S
0S
ف = ( س + M 2ص( - ) N 2س + M 1ص) N 1
= ( س – 2س( + M )1ص – 2ص || ، N )1ف || =
` ف = || ف || ى ،ى متجه وحدة فى اتجاه ف
وضح إلى الطالب بأن الخط المتصل الذى ترسمه النقطة أثناء حركتها بالنسبة لمجموعة القياس المعطاة يسمى مسار النقطة ،وإذا كان المسار خطًّا مستقي ًما ،فإن الحركة تسمى بالحركة فى خط مستقيم ،وإذا كان منحن ًيا سميت بالحركة فى خط منحنى ،ولتحديد حركة نقطة مادية على مسار معلوم يجب معرفة اآلتى:
C
نقطة النهاية
إذا كانت (و) هى موضع المشاهد(C ،س ،1ص ، )1ب (س ،2ص )2هما موضعا الجسيم عند لحظتين متتاليتين فإن Cب هو متجه اإلزاحة للجسيم وليكن ف . فإذا رمزنا لمتجه الموضع عند اللحظة ن بالرمز ، 0Sمتجه الموضع عند
الحركة وأنواعها:
نقطة البداية
ف
ص
ب S
C 0S
س
و س ص
موضع المشاهد
(س – 2س1
)2
(+ص – 2ص1
أ -مسار النقطة . ج -نقطة نهاية القياس. ويبين الشكل األوسط مفهوم متجه اإلزاحة لحركة النقطة المادية الذى ال يعتمد على المسار الذى يسلكه الجسم ،وعلى ذلك فإن معيار متجه اإلزاحة يكون دائ ًما Hطول المسار الذى ب -نقطة بدء القياس.
يسلكه الجسم فى الحركة. خطأ شائع :قد يخلط الطالب بين مفهومى المسافة واإلزاحة
)2
(اتجاه الحركة)
تأكد من استيعاب الطالب للمفهومين بطريقة سليمة من خالل عرض مثال ص.53
53
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
22 -2
التقييم المستمر (الحوار والمناقشة): اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص ()54
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
مثال
1معيار متجه اإلزاحة
ال .احسب المسافة واإلزاحة التى قطعها العداء . مترا شما ً 1تحرك ّ مترا شرقًا ،ثم تحرك بعد ذلك ً 60 عداء ً 80 ماذا تالحظ ؟ جـ
الحل
المسافة الكلية التى قطعها العداء هو مجموع المسافتين من Cإلى ب ثم من ب إلى جـ. المسافة = Cب +ب جـ = 140 = 60+ 80م اإلزاحة ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة Cجـ من فيثاغورث :
60م
80م
ب
(2)60( + 2)80 60ومنها هـ = c36 52 12 Cجـ = = , 100 = 10000طا هـ = 80 أى أن مقدار اإلزاحة = 100م وتعمل فى اتجاه c36 52 12شمال الشرق. //
//
شرق
هـ
شمال C
غرب
/
/
12 -كم.
المسافة الكلية = 14 = 8 + 6كم.
أن تحل حاول ْ
1تحرك راكب دراجة 6كم غر ًبا ،ثم تحرك بعد ذلك 8كم بزاوية قياسها c 60جنوب الغرب ،احسب المسافة و اإلزاحة التي قطعها راكب الدراجة ...
جدارا ارتفاعه 3أمتار ،ثم تعود إلى نفس نقطة البداية ،أوجد المسافة المقطوعة 2تفكير ناقد :عندما تصعد نملة ً واإلزاحة المقطوعة.
2إذا بدأت النملة تسلق الجدار من النقطة Cإلى النقطة ب
مثال
الحل
، N - M 2 = )0( S
` ف = )0( S - )4( S
c120
8كم
يهدف هذا النوع من التفكير على مدى دقة الطالب فى صفرا عندما التفرقة بين المسافة واإلزاحة واإلزاحة تساوى ً يكون نقطة البداية هى نقطة النهاية.
½ معيار متجه اإلزاحة Hالمسافة المقطوعة.
N 15 + M 14 = N )1- 4 * 4( + M ) 2+ 4 * 3 ( = )4( S
جنوب
6كم
فى بند تفكير ناقد:
نالحظ أن: ½ المسافة المقطوعة كمية قياسية (تتحدد بمعلومية مقدارها فقط) بينما اإلزاحة كمية متجهة (تتحدد بمعلومية المقدار واالتجاه).
2يتحرك جسيم بحيث كان متجه موضعه Sيعطى كدالة فى الزمن بداللة متجهى الوحدة األساسيين N ، Mبالعالقة( S :ن) = (3ن 4( + M )2 +ن N )1-أوجد معيار متجه اإلزاحة حتى اللحظة ن = 4
=
8 * 6 * 2 - 64 + 36جتا 120
�شمال �شرق غرب
حيث Cب = 3م وبأخذ ى فى اتجاه Cب فإن: متجه اإلزاحة = 3ى 3- ( +ى ) = 0
= (N 16 + M 12 = N )1 + 15( + M )2 - 14
|| ،ف || =
54
256 + 144
,ف = 20وحدة طول
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
37
اكيمانيدلا ليقتا لا ةكرحلا 2 2
التقييم المستمر:
اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص ()55 وتابع إجاباتهم: S
()2 + 1 * 3( = )1
(5 = )1
S
M
(11 = )3
S
M
،N 3+ 11 +
` ف = - )3( S = 6
8+
N
نشاط
منحنى (الم�سافة -الزمن):
لعداء الجدول التالى يبين العالقة بين الزمن بالثوانى والمسافة باألمتار َّ صفر صفر
الزمن بالثانية المسافة بالمتر
4 20
2 10
6 30
3استخدم المسطرة فى رسم أفضل خط مستقيم يمر بأغلب النقاط الموقعة فى الرسم.
()1
4باستخدام الخط البياني الذي يبين العالقة بين المسافة والزمن فى األزمنة المبينة بالجدول ،هل يمكنك إيجاد كل من : أ المسافة التى يقطعها العداء بعد مضى 3ثوان؟
ب مترا؟ الزمن الذى يستغرقه العداء فى قطع مسافة ً 45
64 + 36
5هل يمكنك إيجاد ميل الخط البياني المبين لنوع حركة العداء؟ وضح ذلك. 50 40 30
نشاط فردى (آليات تنفيذ النشاط)
20
وضح للطالب الهدف من التمثيل البيانى بين المسافة والزمن ورسم أفضل خط مستقيم يمر بأغلب هذه النقاط وذلك إليجاد مقدار السرعة الممثلة بميل هذا الخط المستقيم.
أعط جداول أخرى تبين العالقة بين الزمن والمسافة ،واطلب إليهم إيجاد السرعة فى كل جدول باستخدام ميل الخط المستقيم.
10
المسافة (ف) بالمتر
50 40 30 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 الزمن (ن) بالثانية
من الشكل البياني نجد أن: بعد 3ثوان يقطع العداء 15م . العداء يقطع 45م في 9ثوان . الخط المستقيم (. )45 ،9( ، )15 ،3 نحدد سرعة العداء ،وذلك بإيجاد ميل الخط المستقيم. ميل الخط المستقيم = سرعة العداء.
38
8 40
َ 2مثِّل بيان اًّيا مواقع إحداثيات النقاط المبينة فى الجدول.
|| ف || = = 10وحدة مسافة.
10 50
1فى ورقة الرسم البيانى حدد الزمن على محور السينات والمسافة على محور الصادات .
N
S
3فى المثال السابق :أوجد معيار متجه اإلزاحة من ن = 1إلى ن = .3
( )15 - 45بالمتر
30م
= ( )3 - 9بالثانية = 6ث = 5م/ث
تطبيقات الرياضيات -علمى
10 10
9
8
7
6
5
4
الزمن (ن) بالثانية
3
2
المسافة (ف) بالمتر
M
M
)1 - 1 * 4( +
N
أن تحل حاول ْ
1
Speed ال�سرعة إذا تسابق عداءان فى فترة زمنية محددة فإن العداء الذى يقطع مسافة أطول يكون أسرع من العداء الذى يقطع مسافة أقل ،ويمكن قياس السرعة بالمسافة المقطوعة خالل فترة زمنية محددة دون تحديد اتجاه حركتها ؛ فالعداد الموجود أمام سائق السيارة يحدد مقدار سرعة السيارة فقط دون تحديد اتجاه مسار هذه السيارة .
تذكر اأن 1كم /س = 5 18م /ث
18كم /س 1م /ث = 5
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
55
نشاط (اليات تنفيذ النشاط) :
وجه طالبك إلى ملعب المدرسة إلجراء سباق للجرى. استعن بساعة إيقاف -شريط لقياس المسافات وحدد المسافة التى يجب أن ينتهى بها السباق؟ دون النتائج كالتالى اسم المتسابق
المسافة المقطوعة (م)
الزمن بالثانية
اعرض على طالبك األسئلة التالية: 1من الفائز فى السباق؟ 2ما الوصف الذى تطلقه على الفائز فى السباق؟ 3ما العالقة بين المسافة والزمن؟ 4إذا قطع أحد المتسابقين مسافة 30م فى زمن قدره ٍ 5 ثوان: فما هى سرعته؟
ةميقتسملا ةكرحلا متجه السرعة ومقدار السرعة:
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل أن تحل حاول ْ
4
أ حول 90كم /س إلى م /ث
5أكمل الجدول اآلتي: 5 * 18
18كم /س 5م/ث
54كم /س ...م /ث
ب حول 15م /ث إلى كم /س 90كم /س ...م /ث
....كم /س 20م /ث
...كم /س 30م /ث
180كم /س ...م /ث
* 18 5
Velocity vector متجه ال�سرعة متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.
تعبير شفهى:
-1قارن بين السرعة ،متجه السرعة من حيث : ب نوع الكمية (قياسية أو متجهة) . أ التعريف.
ال�سرعة المنتظمة :وال�سرعة المتغيرة
Uniform Volocity and variable Velocity
الحركة المنتظمة :هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثاب ًتا وهنا نورد مالحظتين هامتين على الحركة المنتظمة. - 1ثبات اتجاه متجه السرعة :وهذا يعنى ان الجسم يتحرك فى اتجاه ثابت. - 2ثبات معيار متجه السرعة :وهذا يعنى ان الجسم يقطع في اتجاه حركته مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية.
وضح لطالبك بأن قيمة متجه السرعة يخضع لخواص المتجهات من حيث المقدار (قيمة السرعة) واالتجاه ينطبق على اتجاه حركة الجسيم أما السرعة فتتعين بمقدارها فقط لذلك فإن السرعة كمية قياسية موجبة دائ ًما. التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة)
اطلب إلى طالبك حل ما جاء فى بند حاول أن تحل وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
إجابات90 :كم/س = 25م/ث 15 ،م/ث = 54كم/س 18 5
الحركة المتغيرة :إذا لم تكن الحركة منتظمة فإننا نسميها متغيرة .والحركة المتغيرة يتغير فيها متجه سرعة الجسم فى المقدار أو االتجاه أو كليهما من لحظة إلى أخرى. average speed ال�سرعة المتو�سطة إذا قامت سيارة برحلة من مدينة القاهرة إلى مدينة الغردقة فإن المسافة بين المدينتين طبقًا لمسار السيارة يبلغ 510كم ،فإذا كانت السيارة تتحرك بسرعات متفاوتة بين المدينتين ،وكان الزمن الكلى لتلك الرحلة 6ساعات فإنه لحساب السرعة المتوسطة للسيارة خالل هذه الرحلة نجد أن:
المسافة الكلية 85 = 510كم /س السرعة المتوسطة ع م = الزمن الكلى = 6
وعليه فإن : السرعة المتوسطة هى المسافة الكلية المقطوعة خالل الرحلة ،مقسو ًما على الزمن الكلي الذي استغرقته الرحلة.
56
22 -2
54 15
سلم تقييم النشاط: التقدير
72 20
90 25
108 30
180 50
آداء الطالب
ممتاز
ينفذ الطالب جميع بنود النشاط ،ويمثل البيانات،
جيد جدًّا
يمثل الطالب البيانات الموجودة فى الجدول ،ويحتاج
تطبيقات الرياضيات -علمى
ويوجد ميل الخط المستقيم بكل دقة.
إلى مساعدة طفيفة إليجاد ميل الخط المستقيم.
جيد
يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة فى تمثيل البيانات
مقبول
يحتاج الطالب لمساعدة كبيرة فى تمثيل البيانات ورسم
ضعيف
اليستطيع الطالب تنفيذ النشاط ويحتاج إلى مساعدة
وإيجاد ميل الخط المستقيم.
الخط المستقيم وإيجاد ميله. كبيرة وتوجيه.
أخطاء شائعة
الخطأ :عدم قدرة الطالب على التفرقة بين السرعة ومتجه السرعة. دائما العالج :تذكرة الطالب بأن السرعة كمية قياسية موجبة ً
تعتمد على المقدار فقط مثل قراءة عداد سرعة السيارة. متجه السرعة كمية متجهة تعتمد على المقدار واالتجاه وتخضع إلى مفاهيم المتجهات. ذكر طالبك بالفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
39
اكيمانيدلا ليقتا لا ةكرحلا 2 2
متجه السرعة المتوسطة: الجسم األول الجسم الثانى
المواقع (المسافة)
اطلب منهم (فى مجموعات) وصف حركة كل جسم من األجسام الثالثة من حيث السكون أو الحركة أو ثبات السرعة وتغيرها وكذلك اتجاهها. ناقش الطالب فى إجاباتهم.
نجد أن الجسم األول يتحرك لألمام بسرعة ثابتة ،والجسم الثانى
فى حالة سكون ،أما الجسم الثالث فيتحرك للخلف بسرعة ثابتة. أشر إلى طالبك بأن الشكل العلوى المرسوم ص ( )57يوضح مفهوم متجه السرعة المتوسطة عند لحظتين زمنيتين2K ، 1K
ف
1K - 2K
حيث ف متجه اإلزاحة .كما يبين مثال ( )2أن قيمة السرعة المتوسطة هو ميل الخط المستقيم للشكل البيانى المقابل. 0S - S 1K - 2K
أى أن :عم =
كما أن السرعة اللحظية لجسم يتحرك بسرعة متغيرة تساوى ميل المماس عند لحظة زمنية ما.
�إر�شادات للدرا�سة:
السرعة :هى المسافة المقطوعة خالل فترة زمنية محددة ،وهى كمية قياسية ،إشارتها ( ) + متجه السرعة :معيار يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة ،وهو كمية متجهة إشارته +أ 0 - ، اإلشارة الموجبة لمتجه السرعة المتوسطة تعنى أن المسافة تزداد بتزايد الزمن. اتجاه السرعة المتوسطة ( )+إذا كانت المسافة تزداد بالنسبة للزمن ويكون ( )-إذا كانت المسافة تقل بالنسبة للزمن.
40
تطبيقات الرياضيات -علمى
2S
ف
C
ن
1S
1
3يبين الشكل المقابل العالقة بين المسافة والزمن لحركة راكب دراجة ،فى خط مستقيم من نقطة( و) أوجد: ب السرعة المتوسطة. أ متجه السرعة المتوسطة.
أ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
الزمن (ن) بالثانية
نوجد متجه السرعة المتوسطة باستخدام نقطتين على الخط البياني. عم =
40ى
10
و
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
و
= 4ى ومعيارها 4م/ث
60 + 100 ب ع م = 16 = 10م/ث
حاول أنْ تحل
4 3 2 1
6يبين الشكل التالى رس ًما بيان اًّيا لمنحنى (المسافة -الزمن) لفأر يهرب من قط. أعد رسم هذا الشكل إذا هرب الفأر من القط بضعف سرعته. مثال
المسافة (ف) بالمتر
اعرض على طالبك الشكل السابق الذى يوضح حركة ثالثة أجسام.
حيث ع م =
مثال
الحل
الزمن
2
1
2
ب
المسافة (ف) بالمتر
الجسم الثالث
متجه ال�سرعة المتو�سطة إذا تحرك جسيم وتواجد عند لحظتين زمنيتين ن ، 1ن 2عند الموضعين ، Cب على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى الفترة الزمنية (ن - 2ن )1فإن ع م يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون: S - 2S ف = 1 عم = ن -ن ن -ن Vector of the average velocity
ف
1 2 3 4 5 6
حساب الرسعة املتوسطة ومتجه الرسعة املتوسطة
الزمن (ن) بالثانية
4قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 18كم /س ،ثم عاد على نفس الطريق فقطع 20كم فى االتجاه المضاد بسرعة 15كم /س أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها، ثم أوجد سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها. الحل
إذا بدأ راكب الدراجة الحركة من الموضع Cإلى الموضع ب فى المرحلة األولى ،ثم عاد من ب إلى جـ فى المرحلة الثانية وبفرض أنَّ ى هو متجه الوحدة فى اتجاه Cب . ف 53 = 30ساعة، زمن المرحلة األولى = ع أى ن18 = 1
30كم
جـ
ب 20كم
ى
C
1
43 = 20ساعة. زمن المرحلة الثانية ن15 = 2
الزمن الكلى للرحلة = 3 = 93 = 43 + 53ساعات كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
57
ةميقتسملا ةكرحلا التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة)
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
اإلزاحة ف = 30ى 20 -ى = 10ى
أن تحل حاول ْ
7قطع راكب دراجة مسافة 25كم على طريق مستقيم بسرعة 15كم /س ،ثم قطع مسافة 7كم فى نفس االتجاه بسرعة 7كم /س .أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها ،سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها. مثال 5تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 7 ،3ثوان عند الموضعين ، )2 ، 5( Cب ( )10 ، 9على الترتيب ،أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية ،ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة. الحل
ص
ب
الشكل المقابل يمثل: متجه الموضع االبتدائى و ، ) 1S ( C
2S
ف
متجه الموضع النهائى و ب ( ، ) 2S
متجه اإلزاحة Cب ( ف )
س
1S
10 8 6 4 2
C
1S
و
2 4 6 8 10
`
عم
ف
ن - 2ن1
= () N 8 + M 4( )3 1- 7
|| ع م || =
= 5وحدة سرعة
(2)2( + 2)1
وتصنع زاوية قطبية مع و س ظلها 2أي . c63 26 6 /
أن تحل حاول ْ
تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 8 ،3ثوان عند الموضعين ، )2 ،7(Cب ( )6 ،4على الترتيب أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية ،ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة.
5
ليقتا لا ةكرحلا 2 2 aعم =
ف
ن - 2ن1
=
Instantaneous Velocity
- 2S
1S
1C
ف
ن - 2ن1
جدا تتوسطها اللحظة ن فإن متجه وإذا كانت الفترة الزمنية (ن - 2ن )1صغيرة ً السرعة فى هذه الحالة يعرف بمتجه السرعة اللحظية عند اللحظة ن ويرمز لها بالرمز ع
فكر و
2C
1S 2S
و
ناقش
ال�سرعة الن�سبية ماذا تالحظ؟ ½ إذا جلست فى قطار يتحرك وأنت تشاهد من النافذة أعمدة اإلنارة واألشجار على جانب الطريق. ½ إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة فى اتجاه ما ،وأنت تشاهد السيارات األخرى التى تتحرك فى نفس اتجاه سيارتك. ½ إذا كانت السيارات األخرى تتحرك عكس اتجاه سيارتك. Relative velocity
نالحظ مما سبق أن الحركة مفهوم نسبى يختلف من مشاهد آلخر فى موضع آخر ،وفى جميع الحاالت فإن المشاهد يرصد حركات األجسام األخرى باعتباره ساك ًنا حتى ولو كان غير ذلك ،فيرى هذه األجسام تتحرك بسرعات ليست هى السرعات الفعلية لها ،ولكنها سرعات نسبية. مفهوم ال�سرعة الن�سبية: السرعة النسبية لجسيم (ب) بالنسبة لجسيم آخر ( ) Cهى السرعة التى يبدو أن الجسيم (ب ) يتحرك بها لو اعتبرنا الجسيم ( )Cفى حالة سكون. متجه ال�سرعة الن�سبية: باعتبار أن ع ، Cع ب هما متجها سرعة لجسمين ، Cب بالنسبة للمشاهد (و) وأن ع ب Cهو متجه سرعة ب بالنسبة إلى .C
بإضافة ( -ع ) Cإلى كل من المتجهين ع ، Cع ب للجسمين، C
ب حيث يصبح Cساك ًنا ويصبح متجه سرعة ب بالنسبة إلى Cهى (عب
أى أنَّ :ع -عْ ) C
تفكير ناقد :إذا كان ع
العالقة بين ع ب، C
ع Cب
بC
بC
=
عب
-ع
- 6يبين الشكل المقابل الرسم البيانى للفأر يضعف سرعته األولى. a -7راكب الدراجة تحرك إزاحتين متتاليين فى نفس االتجاه.
ع
بC
-ع
عC
عب
C
C
ع
و
C
المشاهد
هو متجه سرعة ب بالنسبة إلى ، Cع Cب متجه سرعة Cبالنسبة إلى سرعة ب فاكتب
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
` عم = 32ى = 12ى 8 3
أى أن متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه ى ومعياره 12كم/س.
،مقدار السرعة المتوسطة = أخطاء شائعة:
تطبيقات الرياضيات -علمى
متجه ال�سرعة اللحظية فى الشكل المقابل
�إجابات:
الزمن (ن) بالثانية
ف aعم = K
ع م = ( N 2 + Mالصورة المتجهة للسرعة المتوسطة) //
1 2 34 56
ف = 25ى 7 +ى = 32ى . 8 7 25 الزمن الكلى للرحلة = 3 = 7 + 15ساعة
ف = ()2 ، 5( - )10 ، 9 ف = ()8 ، 4
aعم =
ناقش مع طالبك ما جاء فى بند حاول أن تحل ص (،)57 ( )58وتوصل معهم إلى اإلجابة الصحيحة.
7 6 5 4 3 2 1
المسافة (ف) بالمتر
aع = ف ` ع م = 10ى = 3 13ى 3 م ن 1 أى أنَّ متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه ى أى فى اتجاه Cب ومعياره يساوى 3 3كم /س. ْ السرعة المتوسطة = المسافة الكلية = 20 + 30 50كم/س = 3 3 الزمن الكلى
حيث :ف = - 2S
22 -2
(3 * )7+25 8
= 12كم/س.
أكد على الطالب على التفرقة بين السرعة المتوسطة (كمية ف الكلية قياسية) حيث عم ن الكلى وبين معيار واتجاه السرعة المتوسطة كما وردت فى مثال ( )5باعتبارها كمية متجهة وعدم الخلط بين الحالتين.
ناقش مع طالبك ما ورد فى نبد حاول أن تحل 9ص ()59 وتوصل معهم إلى اإلجابة الصحيحة. إجابات: aف = )4 ، 3 - ( = 1S - 2S
1 ع م = 3-8 4 3 = N 5 + M 5 - 9 1 = 16وحدة سرعة || عم || = 25 + 25 4 1وتصنع زاوية قطبية ظا () 3 -
() N 4 + M 3-
أى.c126 52 11 : ٍ زمن السرعة اللحظية متناه فى الصغر فإذا اعتبرنا أن السرعة المتوسطة = 9ف فإن السرعة اللحظية نهـــا 9ف K 9 0 !K9 K9 لذلك قراءة عداد السيارة يشير إلى السرعة اللحظية : //
/
59
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
41
اكيمانيدلا حسب خواص المتجهات :ع
ال�سرعة الن�سبية
بC
=-
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
عCب
مثال
وضح إلى الطالب الفرق بين السرعة الفعلية والسرعة النسبية بأمثلة ملموسة من واقع حياة الطالب كاآلتى:
- 1إذا جلست فى قطار بدأ حركته ،ونظرت من نافذته فأنك ترى أعمدة اإلنارة واألشجار على جانب الطريق تبدو وكأنها تتحرك عكس اتجاه حركة القطار ،تسمى هذه بالسرعة النسبية لهذه األجسام بالنسبة للقطار. -2إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة ما فى اتجاه معين ،فإنك تشاهد السيارات التى تتحرك فى االتجاه المضاد ،وكأنها تتحرك بسرعة كبيرة .هذه السرعات سرعة نسبية بالنسبة لسيارتك. -3إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة ما وأمامك سيارة تسير بنفس السرعة وفى نفس االتجاه فتبدو لك هذه السيارة وكأنها ساكنة وهذه هى السرعة النسبية للسيارة التى أمامك بالنسبة لسيارتك. -4اطلب إلى الطالب عمل عصف ذهنى ألمثلة حياتية أخرى. ويمكن القول بأن السرعة اللحظية لجسم ما عند لحظة معينة تساوى جدا حول هذه اللحظة. سرعته المتوسطة خالل فترة صغيرة ًّ
6تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 80كم/س .فإذا تحركت فى نفس اللحظة على نفس الطريق دراجة بخارية بسرعة 50كم /س .أوجد السرعة النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما تكون: أ الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. ب الدراجة تتحرك عكس اتجاه حركة السيارة. ى
الحل
نرمز للسيارة بالرمز Cوللدراجة بالرمز ب وبفرض أن ى
80كم /س
متجه وحدة فى اتجاه حركة السيارة.
السيارة
50كم /س
C
الدراجة ب
أ عندما تتحرك الدراجة فى نفس اتجاه حركة السيارة تكون: عب
= 50ى ،ع 80 = Cى ،سرعة الدراجة بالنسبة للسيارة ع ب = C؟
aع ب = Cع ب
-ع ` Cع ب 50 = Cى 80 -ى = 30 -ى
أى أنَّ الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة مبتعدة عن السيارة بسرعة مقدارها 30كم /س فى ْ عكس اتجاه ى .
ب عندما تتحرك الدراجة فى عكس اتجاه السيارة: ع ب = 50 -ى ،ع 80 = Cى ،
aع ب= C
عب
-ع
الدراجة
C
ب
`ع ب 50 - = Cى 80 -ى = 130 -ى
ى 80كم /س
50كم /س
السيارة C
أى أنَّ الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة نحوه بسرعة 130كم /س. ْ
أن تحل حاول ْ
9تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 72كم /س .فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة 28كم /س .فأوجد السرعه النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما: أ الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. ب الدراجة تتحرك فى عكس اتجاه حركة السيارة. مثال
7تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء ،ولما صارت على مسافة 100كم منه مرت فوقها طائرة حراسة فى االتجاه المضاد بسرعة 250كم /س ،ورصدت حركة الباخرة ،فبدت لها متحركة بسرعة 300كم /س، احسب الزمن الذى يمضى من لحظة الرصد حتى وصول الباخرة إلى الميناء.
60
تطبيقات الرياضيات -علمى
التقييم المستمر ( :الحوار والمناقشة)
ناقش مع طالبك ما جاء بخصوص حاول أن تحل ص(،)61 ص( )62وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة. إجابات: -10بفرض أن متجه سرعة السيارة ع Cومتجه سرعة الدراجة عب ومتجه سرعة الدراجة بالنسبة للسيارة ع
أ -
ع
بC
= عب -ع
C
أى أن ع
بC
بC
فإن.
= 28ى 72 -ى = 44 -ى
أى أن الدراجة تبدو لقائد السيارة وكأنها تتقهقر بسرعة 44كم/س. ب -عندما تتحرك الدراجة عكس اتجاه السيارة: aع
بC
= 28 -ى 72 -ى = 100 -ى
أى أن الدراجة تبدو لقائد السيارة ،وكأنها متحركة نحوه بسرعة 100كم/س
-11نفرض أن سرعة سيارة الرادار = ع ، Cسرعة سيارة النقل = عب ،ع ، M 40 = Cع
aعب = ع + Cع `
عب
42
= 40
M
بC
بC
120 -
N
= 120 - = 80 -
M
ليقتا لا ةكرحلا 2 2 الحل
نرمز للباخرة بالرمز ب وللطائرة بالرمز Cونفرض أن ى متجه وحدة له نفس اتجاه حركة الطائرة. وأن السرعة الفعلية لحركة الطائرة ).
للباخرة ع ب
(فى اتجاه مضاد
` ع 250 = Cى ،ع ب 300 - = Cى
aع ب= C
أى أنَّ ْ
عب
عب
-ع
C
= 50 -ى
` 300 -ى = ع ب
ى الباخرة ب
250كم /س
الطائرة C
عب
250 -ى
أى أنَّ السرعة الفعلية للباخرة مقدارها 50كم /س وتعمل فى االتجاه المضاد لحركة الطائرة. ْ aف = ع ن
أى أنَّ ن = 2ساعة ْ
` 50 = 100ن
أن تحل حاول ْ
10تتحرك سيارة رادار لمراقبة السرعة على الطريق الصحراوى بسرعة 40كم /س ،راقبت هذه السيارة حركة سيارة نقل قادمة فى االتجاه المضاد ،فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 120كم /س فما هى السرعة الفعلية لسيارة النقل؟
تمــــاريــن ()1 - 2
اأكمل ماياأتى:
20 1م /ث = ......................كم /س
90 2كم /س = ......................م /ث
4إذا كان ع ، M 15 = Cع ب = M 22فإن عب= C
......................
3تتحرك سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 72كم /س لمدة ربع ساعة فإن المسافة المقطوعة = ......................كم. 5إذا كان عCب = 65ى ،ع 50 = Cى فإن عب =
......................
6يتحرك راكب دراجة Cعلى طريق مستقيم بسرعة 15كم /س ويتحرك فى نفس االتجاه راكب آخر ب بسرعة 12كم /س فإن سرعة ب بالنسبة إلى Cتساوى ......................كم /س.
اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:
7إذا تحركت سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 75كم /س لمدة 20دقيقة فإن المسافة المقطوعة بـ كم تساوى: د 30 ج 25 ب 20 أ 15
M
تطبيقات الرياضيات -علمى
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
61
ةميقتسملا ةكرحلا الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
تمارين إثرائية - 1تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء ،ولما صارت على بعد 45كم منه مرت فوقها طائرة حراسة تطير فى االتجاه المضاد بسرعة 250كم/س ،ورصدت حركة الباخرة، فبدت لها وكأنها تتحرك بسرعة 265كم/س .احسب الزمن الذى يمضى من لحظة الرصد حتى تصل الباخرة إلى الميناء (اإلجابة 3:ساعات) - 2قامت سيارة Cمتحركة على طريق مستقيم بقياس السرعة النسبية لسيارة ب قادمة فى االتجاه المضاد ،فوجدتها 120كم /س ،ولما خفضت السيارة Cسرعتها إلى النصف وأعادت القياس وجدت أن السرعة النسبية للسيارة ب أصبحت 100كم/س .أوجد السرعة الفعلية لكل من [اإلجابة40 :كم/س80،كم/س] السيارتين؟
الزمن بالساعة الذي تستغرقه سيارة تتحرك بسرعة منتظمة 20متر /ث فى قطع مسافة 180كم يساوى: د 3 ج 2 12 ب 2- أ 1 12
9إذا كان عCب = ، M 15ع M 35 = Cفإن عب تساوى: أ M 50 -
ب M 20 -
ج M 20
د M 50
10إذا كان متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن (ثانية) بالعالقة: 2( = Sن )3 + 2ى فإن معيار متجه اإلزاحة ف بعد 2ثانية حيث معيار Sبالمتر يساوى: ج 8متر ب 6متر أ 4متر د 11متر
11الربط بالفلك :إذا كان الضوء يصل من الشمس إلى األرض فى 8٫3دقيقة ،وكان بعد األرض عن الشمس 1110* 1٫494متر فأوجد سرعة الضوء. 12تحركت سيارتان فى وقت واحد من بنها متجهتان إلى القاهرة بسرعة ثابتة لكل منهما ،فإذا كانت سرعة األولى 70كم/س ،وسرعة الثانية 84كم/س .ما الزمن الذى سينتظره قائد السيارة الثانية حتى يلحق به قائد السيارة األولى فى نهاية الرحلة التى يبلغ طولها 49كم؟ مستقيما طوله ف متر ،فاستغرق عبوره بالكامل من مترا نفقًا ً 13دخل قطار طوله ً 150 النفق فى زمن قدره 15ثانية ،أوجد طول النفق إذا كانت سرعة القطار منتظمة وتساوى 90كم /س.
14قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 15كم /س ثم عاد فقطع 10كم فى االتجاه المعاكس بسرعة 10كم /س ،أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.
15سار رجل على طريق مستقيم فقطع 800متر بسرعة 9كم /س ،وقطع مسافة مساوية لها فى نفس االتجاه بسرعة 4٫5كم /س ،أوجد السرعة المتوسطة للرجل خالل الرحلة كلها.
16مدينتان ، Cب على الطريق الساحلى المسافة بينهما 120كم ،تحركت سيارة من المدينة Cمتجهة إلى المدينة ب بسرعة منتظمة 88كم /س ،وفى نفس اللحظة قامت سيارة أخرى من المدينة ب متجهة إلى المدينة Cبسرعة منتظمة 72كم /س أوجد متى وأين تتقابل السيارتان؟ 17تتحرك سيارة Cعلى طريق مستقيم بسرعة منتظمة 60كم /س وتتحرك سيارة ب على نفس الطريق بسرعة منتظمة 90كم /س .أوجد سرعة السيارة Cبالنسبة للسيارة ب إذا كانت: أ السيارتان تتحركان فى اتجاهين متضادين. ب السيارتان تتحركان فى اتجاه واحد.
التقييم المستمر :إجابات بعض تمارين ()1-2
1قامت سيارة شرطة متحركة بسرعة منتظمة على طريق أفقى بقياس السرعة النسبية لشاحنة تتحرك أمامها وفى نفس االتجاه فوجدتها 60كم /س ،ولما زيدت سرعة سيارة الشرطة إلى الضعف ،وأعادت القياس فبدت الشاحنة وكأنها ساكنة .أوجد السرعة الفعلية لكل من سيارة الشرطة والشاحنة.
62
22 -2
72 1كم/س 25 2م/ث
تطبيقات الرياضيات -علمى
18 3كم
` السرعة الفعلية لسيارة النقل = 80كم /س. مثال (ص :)61 اعرض على طالبك المثال ،ووضح لهم ما يلى: نفرض أن موضع الطائرة ( أ ) وتتحرك بسرعة 250كم/س نفرض موضع الباخرة (ب) على مسافة 100كم أكد على طالبك أن الباخرة تتحرك فى عكس اتجاه حركة الطائرة. ناقش مع طالبك إيجاد السرعة الفعلية للباخرة وفى أى اتجاه.
7 4ى
15- 5ى
3- 6ى
من 7إلى 10جميع البدائل هى جـ.
11ع = 710 * 90.24 = 60 * 8٫3 ÷ 1110 * 1.494م/ث
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
43
اكيمانيدلا
فالتمرين ( )14يركز على متجه السرعة المتوسطة أما تمرين ( )15يركز على مقدار السرعة المتوسطة. 10 30 2 = 15 = 1K 14س1 = 10 = 2K ،س ى
3
8 16 3 = 1K 15دقيقة = 45 = 2K ،دقيقة ن الكلية = 16دقيقة
عم = 100 = 16 ÷ 1600م/ق
ف لألولى = 66كم
K 72 + K 88 = 120 16ومنها 45 = Kدقيقة
يمكن استخدام تمرين ( )18( ،)17لتطبيق مباشر على موضوع السرعة النسبية. 17ع 60 = Cى ،
` `
ع Cب ع Cب
= 90 -ى
= ع - Cع ب = 60ى 90 -( -ى ) = 60ى 90 -ى = 30 -ى
18ع ب -ع 60 = Cى عب 2-ع 0 = C
1 # 2 #
من ` 2 ، 1ع 60 = Cكم/س ،ع ب = 120كم/س. ناقش مع طالبك المطلوب من النشاط. تأكد من فهم طالبك لقراءة الرسم البيانى وداللته.
44
نشاط ()2 21يوضح الشكل المقابل مسار حركة كل من أحمد وعمرو فى قطع المسافة بين قريتين ،أحدهما فى القرية األولى ،واآلخر فى القرية الثانية. فسر إجابتك. أ هل بدأ أحمد وعمرو الحركة فى توقيت واحد؟ ِّ ب بعد كم دقيقة التقى أحمد وعمرو؟ ج ما الزمن الذى استغرقه أحمد فى قطع المسافة؟ د أوجد سرعة عمرو.
10 20 30 40 50 60 70 80
تطبيقات الرياضيات -علمى
9 8 7 6 5 4 3 2 1
صفر
الزمن بالدقيقة
صباحا فمتى يصل إلى القرية األخرى؟ ه إذا بدأ عمرو التحرك الساعة 30ق9:س ً
22إذا كان متجه موضع جسيم Sيتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة: ( = Sن3 + 2ن M )2 -حيث Mمتجه وحدة ثابت .أوجد متجه اإلزاحة بعد 4ثوان.
23تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين مقدارهما 8 ،3ثوان عند الموضعين ، )3 ،4(Cب ( )9 ، 12على الترتيب. أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية ،ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة. 24تفكير إبداعى :يتحرك رجل على كوبرى Cب ،وعندما قطع 38طول الكوبرى من جهة Cسمع صوت صفير قطار يتحرك خلفه بسرعة منتظمة مقدارها 60كم /س نحو نقطة Cفإذا تحرك الرجل نحو القطار فإن القطار سيصدمه عند نقطة Cمباشرة أوجد أقل سرعة منتظمة يتحرك بها الرجل قبل أن يصدمه القطار مباشرة عند نقطة ب. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
تمرين ( )18( ،)17تطبي ًقا على السرعة النسبية والسرعة الفعلية لسيارة.
عب
الزمن بالساعة
مد أح
3
20تحركت دراجة بخارية بسرعة منتظمة فوجد أنها بعد دقيقة واحدة أصبحت على بعد 2كم من نقطة ،Cوبعد 3دقائق شكال بيان اًّيا يمثل العالقة بين المسافة والزمن لهذه الدراجة ومن أصبحت على بعد 5كم من نفس النقطة .ارسم ً الرسم: أ أوجد سرعة الدراجة. ب اكتب العالقة الرياضية بين الزمن (ن) والمسافة (ف). 1 2 3 4 5 6 7 8
صفر
المسافة بالكيلومتر
ع = 20 = 10 - 30ى
المسافة بالكيلومتر
وضح لطالبك أن هناك فرقًا بين مقدار السرعة المتوسطة ومتجه السرعة.
نشاط ()1 19يمثل الشكل المقابل العالقة بين المسافة بالكيلو متر والزمن بالساعة لمسار دراجة بخارية تتحرك بين مدينتين .أجب عما يلى : أ أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء الذهاب؟ ب أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء العودة؟ ج ما داللة القطعة المستقيمة األفقية فى الشكل؟
90 80 70 60 50 40 30 20 10
ع مرو
42 = 1K 12دقيقة 35 = 2K ،دقيقة ،زمن االنتظار = 7دقائق مترا +15150 13ف = 5 *1890 ف = ً 225
ليقتا لا ةكرحلا 2 2
63
ةميقتسملا ةكرحلا
2-2 سوف تتعلم
التسارع.
منحنى الرسعة -الزمن. احلركة منتظمة التغري.
العالقة بني الرسعة -الزمن. العالقة بني املسافة -الزمن.
العالقة بني الرسعة -املسافة.
Rectilinear motion with Uniform accelerated تمهيد: قليال سبق أن درست الحركة المنتظمة فى خط مستقيم ،ومن المالحظ أن عد ًدا ً من األجسام يتحرك بهذه الطريقة لوقت طويل ،فمن المالحظ أن كل سيارة يوجد بها ثالث أدوات تتحكم فى سرعتها ،وهى دواسة الوقود ودواسة الفرامل ،ثم عجلة القيادة التى تتحكم فى اتجاه حركتها ،كذلك نالحظ التغير فى سرعة األجسام فى أثناء سقوطها وفى أثناء قذفها إلى أعلى.
تسارع
حركة منتظمة التغري
Uniform variable motion
عجلة منتظمة
Uniform acceleration
تقصري منتظم
Uniform deceleration
األدوات والوسائل
ورق مربعات
آلة حاسبة علمية
برامج رسومية للحاسوب
الحركةمنتظمةالتغيرفىخطمستقيم (:)Rectilinemvariablemotion-nonvariablemotion هى الحركة التى يحدث فيها تغير مقدار السرعة بانتظام بمرور الزمن، ويسمى بالتسارع (العجلة) حيث:
تفكير إبداعى:
السرعة النهائية -السرعة االبتدائية العجلة (جـ) = الزمن
تحتاج هذه المسألة إلى مهارات عالية من التفكير اإلبداعى حيث تقيس مدى ذكاء الطالب وتخيله أن ينجو من االصطدام بالقطار، وذلك بالسير بسرعة منتظمة فى اتجاه جـ ب وخطوات الحل التفصيلية التالية توضح هذه المفاهيم.
ووحدات قياسه = م /ث 2أو سم /ث 2أو كم /س2
كما يالحظ أن: إذا كان التغير فى السرعة عند لحظة زمنية محددة فيسمى التسارع اللحظي. منحنى (ال�سرعة -الزمن) يرتبط مفهوم التسارع بتغير السرعة فإذا ازدادت قيمة السرعة مع الزمن نقول :إن الحركة متسارعة ،ويكون التسارع (العجلة) موج ًبا (باعتبار السرعة موجبة) كما فى شكل (.)1 وإذا تناقص مقدار السرعة مع الزمن فنقول :إن الحركة تقصيرية ،ويكون التسارع (العجلة) سال ًبا كما فى شكل (.)2 وإذا بقيت السرعة ثابتة مع الزمن نقول :إن الحركة منتظمة. Velocity-Time curve
السرعة م/ث
80 60 40 20
24
السرعة م/ث
80 60 40 20 2 4 6 8
الزمن بالثانية
شكل ()1
شكل ()2
تطبيقات الرياضيات -علمى
ب 45كم/س 19أ 30كم/س ج تحرك بسرعة منتظمة 90كم/س لمدة 3ساعات
نشاط ( ، )1نشاط ( )2صـ 64 سلم تقييم النشاط: التقدير
آداء الطالب
ممتاز
يحل الطالب المسألة ويجيب إجابة كاملة على جميع البنود.
جيد جدًّا
يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة المسألة ثم يحل جميع األسئلة.
جيد
يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.
مقبول
يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.
ضعيف
ال يستطيع حل المسألة ويحتاج للمساعدة والتوجيه.
3 8
ف C
3 8
ف
/
نهاية الكوبرى
جـ
ف
اتجاه القطار 60كم/س C
بداية الكوبرى
نفرض أن طول الكوبرى Cب = ف كم .إذا تحرك الرجل فى اتجاه القطار عند ( Cأى أن الرجل تحركه عكس اتجاه 3 حركة مسافة 8ف). 3
وهذا أمر غير منطقى؛ لذلك فإن الرجل يتحرك 8ف فى اتجاه حركته األصلية حتى يصل إلى نقطة ب.
عند وصول القطار إلى نقطة ،Cيصل الرجل إلى نقطة ' Cعلى 6 بعد 8ف. زمن وصول الرجل إلى نقطة ب = زمن وصول القطار إلى نقطة ب 6 ف 8ف =
ع للرجل =
3 2-5 20ع = 2 = 1 - 3كم/ق = 25م/ث العالقة هى :ف = 25ن
2 8
ب
2 4 6 8
الزمن بالثانية
64
= ( 2 = 2) 65 ( + 2) 85وحدة سرعة 3 1 ،تصنع زاوية ظا 4
تعلم تعريف
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة Acceleration
23ف = ()6 ،8( = )3 ،4( - )9 ،12 1 ع م = ) N 6 + M 8( 3-8 = N 6 + M 8 5 5
الحركة منتظمة التغير فى خط م�ستقيم
1
22 -2
ع للرجل
ع للقطار 2 15 = 60 * 8كم/س
وهى أقل سرعة منتظمة للرجل يتحرك بها؛ حتى يصل إلى ب.
ناقش مع طالبك مسار حركة أحمد وعمرو من على الرسم البيانى وضح لطالبك كيفية قراءة الرسم البيانى ومعرفه المطلوب من الرسم. 22ف
= (3 + 2Kن) M
ف 28 = 4ى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
45
2-2
الحركة الم�ستقيمة ذات العجلة المنتظمة
خلفية
الحركة منتظمة التغير: واتجاها مقدارا يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع (عجلة) منتظم إذا كان متجه العجلة ثاب ًتا ً ً لجميع األزمنة. تعبير شفهى :ماذا تعنى كل من العبارات اآلتية: أ مقدار سرعة جسيم يزداد فى أثناء حركته زيادة منتظمة بمعدل 4م /ث.2 ب مقدار سرعة جسيم يتناقص فى أثناء حركته تناقص منتظم بمعدل 24كم /س.2
Uniformly accelerated motion
مثال
سبق أن درس الطالب الحركة المستقيمة ،وتعرف على كل من المسافة ،ومتجه اإلزاحة ،ومتجه الموضع ،وإيجاد العالقة بينهما ،كذلك تعرف على مقدار السرعة وقيمة السرعة ،السرعة النسبية وفى هذا الدرس سوف يدرس الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة ،ويتعرف على معادالت الحركة منتظمة التغير. مخرجات التعلم فى نهاية هذا الدرس ،وتنفيذًا لألنشطة فيه من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يتعرف احلركة املستقيمة املتغرية ،احلركة منتظمة التغري. يستنتج املعادالت اجلربية للحركة منتظمة التغري. يمثل بيان ًّيا منحنى (الرسعة -الزمن) مفردات أساسية
حركة متغيرة ،تسارع ،عجلة منتظمة ،تقصير منتظم ،حركة منتظمة التغير. المواد التعليمية المستخدمة
ورق مربعات ،آلة حاسبة علمية ،برامج رسومية للحاسوب. طرق التدريس المقترحة:
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت - التفكير الناقد -أنشطة. مكان التدريس
الفصل الدراسى. مصادر التعلم
كتاب الطالب من صفحة ( )65إلى ص (.)74 التهيئة قد تصل سرعة القطار السريع إلى حوالى 300كم/ساعة وقد يتوقف؛ ليحمل أفرا ًدا وقد يضغط السائق على فرامل القطار حين يقترب من المحطة (وفى هذه الحالة تتناقص سرعته) مثلاً من 9.0م/ث إلى صفر م/ث خالل 5ثوان. وفى حاالت أخرى قد يضطر إلى الوقوف مرة واحدة تفاد ًيا ألى تصادم فتكون سرعته من 9م/ث إلى صفر م/ث خالل 1.5ثانية
46
ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا 2 2
تطبيقات الرياضيات -علمى
1إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة تتحرك فى خط مستقيم من 50كم /س إلى 68كم /س خالل عشر ثوان، وتحركت سيارة نقل من السكون؛ حتى أصبحت سرعتها 18كم /س خالل هذه المدة .أيهما يتحرك بتسارع أكبر ؟ فسر إجابتك. الحل
كال من السيارة ،سيارة النقل قد حدث لهما زيادة فى السرعة بمقدار 18كم /س يتضح من بيانات المسألة أن اًّ ( أى 5م /ث) خالل فترة زمنية قدرها 10ثوان؛ لذلك يكون التسارع متساو ًيا لكل منهما . أى أنَّ التسارع الذى تتحرك به كل منهما هو: ْ
التغير فى السرعة aجـ = الفترة الزمنية = 2 10 أن تحل حاول ْ
1 = 5م /ث2
1إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة ( )Cتتحرك فى خط مستقيم من 24كم /س إلى 36كم /س خالل 5ثوان، وتغيرت بانتظام سرعة سيارة (ب) تتحرك فى نفس الخط المستقيم من 12كم /س إلى 30كم /س خالل نفس فسر إجابتك. المدة الزمنية .أيهما يتحرك بتسارع أكبر ؟ ِّ
معادالت الحركة منتظمة التغير في خط م�ستقيم Equations of the uniform variable motion توجد ثالث معادالت أساسية تربط بين القياسات الجبرية لمتجهات االزاحة ،والسرعة ،والعجلة ،والزمن فى حالة الحركة بتسارع منتظم وهى:
ا اً أول :العالقة بين ال�سرعة والزمن:
إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعة ابتدائية ع 0ومتجه عجلة ثابتة جـ وأصبح متجه سرعته ع
بعد فترة زمنية (ن) فإن: جـ =
ع - ن
ع0
أى أنَّ : ْ
بأخذ القياس الجبري تكون.
ع = ع + 0جـ ن ع = ع + 0جـ ن
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
65
وبالرغم من تشابه حركتى الوقوف إال أن الموقفين مختلفان واالختالف يمكن فى الفترة الزمنية للوقوف أو للتباطؤ وبذلك نالحظ أهمية عامل الزمن فى وصف الحركة وهذا يظهر مفهوم العجلة Acceleratioبأنها معدل التغير فى السرعة بالنسبة للقطار. إجراءات الدرس وضح للطالب بأن الحركة المستقيمة المتغيرة هى الحركة التى يحدث فيها تغيير فى قيمة السرعة بمرور الزمن ،بينما فى الحركة المنتظمة يقطع الجسم إزاحات متساوية فى أزمنة متساوية أى أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة وفى اتجاه ثابت.
وضح للطالب الفرق بين وحدات قياس العجلة ووحدات قياس السرعة من خالل المناقشات باستخدام القوانين. درب الطالب على التمثيل البيانى لمنحنى السرعة -الزمن، وذلك الستنتاج متى تكون عجلة الحركة موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر. وضح للطالب بأن الحركة منتظمة التغير هى حالة خاصة من الحركة المستقيمة المتغيرة حيث يكون متجه العجلة ثاب ًتا واتجاها لجميع األزمنة فى الحركة منتظمة التغير. مقدارا ً ً فى بند تعلم:
يبين منحنى السرعة -الزمن مفهوم العجلة حيث تكون متسارعة إذا زادت السرعة مع الزمن ،تقصيرية إذا تناقصت السرعة مع الزمن.
مظتنملا ةلجعلا تاذ ةميقتسملا ةكرحلا الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
التقييم املستمر (الحوار واملناقشة)
الحظ أن: ½ العالقة تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداها بمعلومية الثالثة اآلخرين.
فى بند تعبير شفهى ص (:)66
½ إذا بدأ الجسم حركته من سكون فإن ع 0 = 0وتكون ع = جـ ن
أى أنَّ الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. ½ إذا كان جـ = 0فإن ع = عْ 0 مثال 2بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 9سم /ث وبعجلة منتظمة قدرها 3سم /ث 2تعمل فى نفس اتجاه السرعة االبتدائية .أوجد: أ سرعة الجسيم بعد 5ثوان من بدء الحركة. ب الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 54سم /ث. الحل
أ نفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة الجسيم. من بيانات المسألة :ع9 = 0سم /ث ،جـ = 3سم /ث ، 2ن = 5ثوان. ` ع = 24سم /ث. aع = ع + 0جـ ن `ع = 5 * 3 + 9 ` ن = 15ثانية. ب aع = ع + 0جـ ن ` 3 + 9 = 54ن
أن تحل حاول ْ
2بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 20سم /ث وبعجلة منتظمة 5سم /ث 2تعمل فى نفس اتجاه متجه السرعة االبتدائية .أوجد: أ سرعته فى نهاية دقيقة واحدة من بدء الحركة. ب الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 18كم /س. مثال 3يتحرك جسيم فى خط مستقيم فتغيرت سرعته من 54كم /س الى 3م /ث فى زمن قدره نصف دقيقة .أوجد فسر إجابتك. مقدار عجلة الحركة .هل يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظ اًّيا؟ ِّ الحل
لتحويل سرعة الجسم من كم/س إلى م/ث 54 :كم /س = 5 * 54 15 = 18م /ث "من بيانات المسألة" ع 15 = 0م /ث ،ع = 3م /ث ،ن = 30ثانية . ` 30 + 15 = 3جـ aع = ع + 0جـ ن ` جـ = 0٫4 -م /ث2 أى أنَّ 30 :جـ = 12 - ْ aجـ < 0يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظ اًّيا؛ ألنه يتحرك حركة تقصيرية.
66
تطبيقات الرياضيات -علمى
ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا 2 2 أن تحل حاول ْ
3تتحرك سيارة فى خط مستقيم فتناقصت سرعتها من 63كم /س إلى 36كم /س فى زمن قدره نصف دقيقة. أوجد العجلة التى تتحرك بها السيارة والزمن الذى يمضى بعد ذلك؛ حتى تسكن لحظ اًّيا.
ثانياًا :العالقة بين الم�سافة والزمن
The relation between displacement and time
ف = ع 0ن 12 +ن (ع + 0جـ ن -ع)0 ف = ع ن 1 +جـ ن2 0
ع
ن
0
2
حيث ف ،ع ،جـ هى القياسات الجبرية لإلزاحة والسرعة والعجلة.
تعبير شفهى:
-1اكتب صيغة قانون (المسافة -الزمن) عندما يبدأ الجسم حركته من سكون. -2اكتب صيغة القانون السابق عندما جـ = ، 0وبم تفسر نوع الحركة فى هذه الحالة؟ مثال
الحل
اتجاه الحركة
لحظ اأن
ع0
عندما يقف الجسم فإن ع = 0
أ لتحويل السرعة من كم/س إلى متر /ث 90 :كم /س = 5 * 90 25 = 18م /ث
بالتطبيق فى القانون :ع = ع + 0جـ ن حيث ع 25 = 0م /ث ،ع = ، 0ن = 5ثوان
` 5 + 25 = 0جـ
أى أنَّ ْ
جـ = 5 -م /ث2
أى أنَّ السيارة تتحرك بتقصير منتظم مقداره 5م /ث.2 ْ كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
1جـ= 1
التغير فى السرعة
=
الفترة الزمنية 10 25 1 = 3 3م/ث2 5
= م/ث، 2
جـ= 2 أى أن السيارة (ب) تتحرك بتسارع أكبر من السيارة (.)C أشر إلى الطالب بأن الحركة ذات العجلة المنتظمة فى خط مستقيم نادرة الحدوث فى الحياة العملية ،فيما عدا الحركة الرأسية لألجسام التى تسقط تحت تأثير الجاذبية األرضية (بفرض إهمال مقاومة الهواء لها) .أما حركة الكواكب حول الشمس وحركة األقمار الصناعية حول هذه الكواكب وحركة اإللكترونات حول النواة داخل الذرة فهى جمي ًعا من نوع الحركة المتغيرة. أشر إلى الطالب بأن قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة فى خط مستقيم تربط بين اإلزاحة ،والسرعة، والعجلة ،والزمن ،وأن كل قانون به أربعة مجاهيل من بينهم ع ،0جـ حيث يمكن إيجاد أحد المجاهيل بمعلومية الثالثة اآلخرين ،وإذا علم منه اثنان فقط فالبد من تكوين معادلتين فى المجهولين اآلخرين وبحلهما م ًعا يمكن إيجاد هذين المجهولين.
معالجة بعض القضايا المتضمنة في البيئة:
(وذلك بالتعويض من القانون األول :ع = ع + 0جـ ن)
4سيارة تتحرك بسرعة 90كم /س ،ضغط السائق على دواسة الفرامل ،بحيث تناقصت السرعة بمعدل ثابت حتى توقفت السيارة بعد مرور 5ثوان .احسب: ع أ عجلة السيارة خالل تناقص السرعة. ب المسافة التى قطعتها السيارة؛ حتى توقفت حركتها تما ًما.
إجابة حاول أن تحل ( )1ص (:)66
20 - 10 3 5
2 3
أ ع = ع + 0جـ Kأى أن ع = 320 = 60 * 5 + 20سم/ث، ب K 5 + 20 = 500ومنها 96 = Kثانية.
ع0
الزمن بالثانية
أ الجسيم يتحرك حركة متسارعة (عجلة تزايدية ،أى جـ > )0ألن السرعة تزداد بالنسبة للزمن. ب الجسم يتحرك بتقصير منتظم ،حيث ( جـ <)0
إجابة حاول أن تحل( )2ص ()67
السرعة (م/ث)
المساحة تحت منحنى (السرعة -الزمن) تساوى إزاحة الجسم. فى الشكل المقابل الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مبتد ًئا بسرعة ابتدائية ع 0وبعد زمن ن ثانية أصبحت سرعته النهائية ع المساحة تحت المنحنى يمكن حسابها عن طريق تقسيمها إلى مستطيل ومثلث. المساحة (ف) = مساحة المستطيل +مساحة المثلث = ع0ن 12 +ن (ع -ع)0
22 -2
67
ناقش مع طالبك إجابات األسئلة التالية؛ للتأكد من استيعابهم للمفاهيم الواردة فى الدرس. صفرا فى لحظة معينة فهل إذا كانت سرعة الكرة الطائرة ً يعنى بالضرورة أن عجلتها صفر؟ اشرح على إعطاء أمثلة (ال؛ تنعدم سرعة الكرة والمقذوفه رأس ًّيا إلى أعلى لحظ ًّيا عند أقصى ارتفاع وال تنعدم عجلتها). يسير قطار ركاب بسرعة سالبة وبعجلة موجبة فهل سرعة القطار فى ازدياد أم فى تناقص؟ (تناقص). يخفض محمد سرعته أثناء القياده لسبب ما ،وضح كيف يمكن أن تكون عجلة السيارة موجبة برغم من أن سرعتها سالبة؟ عندما يتحرك محمد تكون سرعته سالبة ،وعندما تتناقص سرعته تكون العجلة موجبة فى اتجاه معاكس.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
47
اكيمانيدلا الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
تمارين إثرائية :
aف = ع ن 1 +جـ ن2 0
ب
تتحرك سيارة بسرعة منتظمة 72كم/س .مرت بسيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 10ثوان من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 100متر حتى بلغت سرعتها 90كم/س ،ثم سارت بهذه السرعة حتى لحقت بالسيارة األولى. أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة الشرطة والمسافة التى قطعتها هذه السيارة. 625 [جـ = 200م/ث 60 = 52 + 8 = K ، 2ثانية ،ف = 1400 = )10 + 60( 20م التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة)
2
بالتعويض عن :ع0
1 مترا. ` ف = ً 62٫5 = 25 * )5 -( 2 + 5 * 25
= 25م/ث ،ن = 5ث ،جـ = 5 -م/ن2
أن تحل حاول ْ
4قذفت كرة صغيرة بسرعة 20م/ث أفق اًّيا ،فتحركت فى خط مستقيم حركة تقصيرية بعجلة منتظمة 12م/ث.2 عين موضع الكرة ،وسرعتها بعد مرور 2ثانية من بدء الحركة.
ثال اًثا :العالقة بين ال�سرعة والإزاحة
The relation between the displacement and velocity
ف = ع ن 1 +جـ ن2 0
()2
نعلم أن :ع = ع + 0جـ ن ()1 2 2 بتربيع المعادلة األولى :ع = ع2 + 0ع0 ` ع = 2ع 2 + 2جـ (ع 0ن 12 +جـ ن )2بالتعويض من المعادلة ( )2عن قيمة ف 0 2
جـ ن +جـ 2ن2
ع = 2ع 2 + 2جـ ف 0
مثال 5أطلقت رصاصة بسرعة 200م/ث فى اتجاه عمودى على حائط رأسى سمكه 14سم ،فخرجت منه بسرعة 150م/ث .أوجد مقدار العجلة التقصيرية ،وإذا أطلقت الرصاصة بنفس السرعة على حائط رأسى آخر له علما بأن العجلة التى تتحرك بها الرصاصة واحدة نفس المقاومة ،فأوجد المسافة التى تغوصها حتى تسكنً ، فى الحالتين. الحل
نفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة الرصاصة. الحالة األولى :ع200 = 0م /ث ،ع = 150م /ث ،ف = 0٫14م aع = 2ع 2 + 2جـ ف ` ( * 2 + 2)200( = 2)150جـ * 0٫14 0 وبالتبسيط :جـ = 62500 -م /ث2 الحالة الثانية: جـ جـ = 62500 -م /ث2 ع200 = 0م /ث ،ع = 0 ف ع=0 ` 62500 * 2 - 2)200( = 0ف aع = 2ع 2 + 2جـ ف 0 أى أنَّ الرصاصة تغوص فى الحائط مسافة 32سم حتى تسكن. ` ف = 0٫32متر ْ ع = 150م/ث
إجابة حاول أن تحل ( )3ص 68 35
aع = ع + 0جـ 30 + 2 = 10 ` Kجـ ` جـ = - 1 35 K 4 - 2 = 0ومنها 70 = Kثانية
1 م/ث،2 4
فى بند تعبير شفهى ص (:)68
اطلب من طالبك اإلجابة على األسئلة وناقش إستجاباتهم وأكد على: أ عندما يبدأ الجسم من سكون تكون ع 0 = 0وتصبح العالقة بين السرعة والزمن فى هذه الحالةهى :ع = جـ K ب عندما جـ = 0فإن ع = ع 0أى أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة.
مترا .أوجد المسافة التى 5نقصت سرعة سيارة بانتظام من 45كم /س إلى 18كم /س بعد أن قطعت مسافة ً 625 تقطعها بعد ذلك حتى تسكن.
6أطلقت رصاصة أفق اًّيا على كتلة خشبية بسرعة 100م /ث فغاصت فيها مسافة 50سم .أوجد العجلة التى تتحرك
6
تطبيقات الرياضيات -علمى
ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا 2 2
أشر إلى الطالب بأنه:
إذا تحرك جسيم بعجلة منتظمة فى خط مستقيم فإن متجه سرعته المتوسطة خالل فترة زمنية معينة يساوى نصف مجموع متجهى سرعته عند بداية ونهاية هذه الفترة ،أى أن:
عم=
وبالتعويض فى القانون ع = ع + 0جـ K
1 تكون:عم = ع2 + 0
جـ K
أى أن :السرعة المتوسطة = السرعة عند لحظة منتصف الفترة الزمنية. التقييم المستمر (الحوار والمناقشة): إذاالحظت صعوبة فى أداء بعض الطالب فى حل تمرين ()4 راجع معهم مثال ص68 1
بها الرصاصة إذا علم أن العجلة منتظمة ،وإذا تم إطالقها على كتلة خشبية أخرى مماثلة لألولى سمكها 18سم. فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الكتلة الخشبية؟ مثال
الرسعة املتوسطة خالل الثانية النونية:
The average velocity within nth second
6بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 10سم/ث وعجلة منتظمة 4سم/ث 2فى اتجاه سرعته .احسب: أوالً :المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانية الخامسة فقط. ثان ًيا :المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة م ًعا. الحل
نعتبر االتجاه ` ع 10 = 0سم/ث
8
9
ع/ م
7
6
5
ع
4
3
2
1
الموجب هو اتجاه السرعة و ،جـ = 4سم/ث2
م المتوسطة عم خالل الثانية أوالً :نوجد السرعة الخامسة = السرعة فى منتصف هذه الفترة الزمنية أى تساوى السرعة بعد 4 12ثانية. ` ع م =28 = 4 12 * 4 + 10سم/ث. aع م = ع + 0جـ ن المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة = السرعة المتوسطة * الزمن = 28 = 1 * 28سم. ثان ًيا :نوجد السرعة المتوسطة ع/م خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة فى منتصف الفترة الزمنية أى تساوى السرعة بعد مضى 8ثوان من بدء الحركة . ` ع/م = 42 = 8 * 4 + 10سم/ث aع/م = ع + 0جـ ن المسافة المقطوعة فى الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة المتوسطة * الزمن = 84 = 2 * 42سم
فكر:
إجابة حاول أن تحل ص (:)69
1
4ف = 39 = 4 * 2 * 2 - 2 * 20متر 1 ع = 19 = 2 * 2 - 20م/ث
حاول حل المثال السابق بطرق أخرى. أن تحل حاول ْ
7بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 30سم /ث ،وعجلة منتظمة 6سم /ث 2فى نفس اتجاه سرعته .احسب: أ المسافة المقطوعة بعد 5ثوان من بدء الحركة. ب المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة فقط.
تحرك جسيم بسرعة ابتدائية ما فى اتجاه ثابت وبعجلة منتظمة ،فإذا قطع فى الثانية الثالثة من حركته مسافة مترا .احسب العجلة التى تحرك بها الجسيم 20مترا ،ثم قطع فى الثانيتين الخامسة والسادسة م ًعا مسافة ً 60 ً وسرعته االبتدائية. 9يتحرك مترو األنفاق فى خط مستقيم بين محطتين ، Cب المسافة بينهما 700متر ،حيث يبدأ من المحطة C من السكون بعجلة منتظمة 2م/ث 2لمدة 10ثوان ،ثم يسير بعد ذلك بسرعة منتظمة فترة من الزمن ،ثم يقطع مترا األخيرة من حركته بتقصير منتظم؛ حتى يقف فى المحطة ب .أوجد الزمن الذى يستغرقه فى مسافة ً 60 قطع المسافة بين المحطتين. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
48
ع 20 = 0م/ث
أن تحل حاول ْ
إرشادات للدراسة:
ع + 0ع 2
جـ
14سم
ع 200 = 0م/ث
تطبيقات الرياضيات -علمى
69
مظتنملا ةلجعلا تاذ ةميقتسملا ةكرحلا الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
مثال
فى بند ثالثا صـ :70العالقة بين السرعة واإلزاحة
تطبيقات عىل قوانني الحركة بعجلة منتظمة
سرعة منتظمة 72كم/س 10ثانية
نعتبر االتجاه الموجب هو اتجاه الحركة ،وأن سيارة الشرطة كانت ساكنة عند نقطة و ،ثم سرعة منتظمة ع 100 0 = 0متر أ ع = 90كم /س قطعت مسافة 100متر ،حتى وصلت إلى Cحيث و Kثانية أصبحت سرعتها 90كم /س ثم سارت بها بانتظام حتى لحقت بالسيارة األولى عند ب. 72كم/س = 20 = 5 * 72متر/ث 90 ،كم/س = 5 * 90 25 = 18متر/ث 18 و
بالنسبة لسيارة الشرطة فى الفترة من و
أ
ع , 0 = 0ع = 25م /ث ،ف = 100متر
25م /ث2
* 2 = 25 * 25حـ * ` 100حـ = 8
ع =ع +حـ ن 0
25ن ` 8 = 25
هـ
ي
وذلك إلثبات القانون :ع = 2ع2 + 20جـ ف
Kثانية
ب
تمرين إثرائى :
ب
مصعد ساكن بقاع منجم أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة منتظمة 8م/ث 2مسافة 36م ثم بسرعة منتظمة مسافة 24م ثم بتقصير منتظم مسافة 12م حتى سكن عند فوهة المنجم .احسب الزمن الكلى الذى استغرقة المصعد فى الصعود من قاع المنجم حتى (الجواب 5 :ثوان) فوهته.
ع= 2ع 2 + 2حـ ف 0
` ن=ٍ 8 ثوان
` المسافة التي تتحركها سيارة الشرطة بسرعة منتظمة = ( 25ن )8 -متر
،تكون السيارة المطاردة قطعت المسافة و ب فى زمن قدره = (ن )10 +ثانية ،تكون سيارة الشرطة قطعت نفس المسافة و ب فى زمن قدره = ن ثانية
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة )
` ( 20ن ( 25 + 100 = )10 +ن )8 -أى أن ن = 60ثانية
ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل ص(،)70 ص( )71وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
المسافة المقطوعة = 1400 = 70 * 20متر
أن تحل حاول ْ
10تتحرك سيارة بسرعة 54كم/س ،مرت على سيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 30ثانية من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 200متر؛ حتى بلغت سرعتها 72كم/س ثم سارت بهذه السرعة حتى لحقت بالسيارة األولى .أوجد الزمن الذي استغرقته عملية المطاردة من لحظة تحرك سيارة الشرطة و المسافة التي قطعتها هذه السيارة.
70
إجابات:
تطبيقات الرياضيات -علمى
a 6ع = 2ع 2 + 20جـ ف 21
ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا 2 2 تمــــاريــن ()2 - 2 1أكمل مايأتى: أ يتحرك جسيم فى خط مستقيم من السكون بعجلة منتظمة مقدارها 4م /ث 2فإن سرعته بعد 6ثوان من بدء الحركة = ..........................م /ث. ب المسافة التى يقطعها جسيم يتحرك فى اتجاه ثابت من السكون بعجلة مقدارها 5سم /ث 2فى زمن قدره ج د ه و
4ثوان = ..........................سم. السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع 0وعجلة منتظمة جـ خالل الثانية السادسة من حركته = السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع 0وعجلة منتظمة جـ خالل الثوانى السابعة والثامنة والتاسعة = .......................... مترا فى الثوانى األربع األولى من يتحرك جسيم من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع ً 24 حركته ،فإن مقدار عجلته = .......................... بدأ جسيم حركته من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها 2سم /ث 2فقطع مسافة 25سم ، فإن سرعته فى نهاية تلك المسافة = ..........................سم /ث. ..........
2انطلقت سيارة من السكون بتسارع مقداره 4م /ث .2ما المسافة التى تقطعها السيارة عندما تصبح سرعتها 24م /ث؟
3تسير سيارة سباق فى الحلبة بسرعة 44م /ث ثم تناقصت سرعتها بمعدل ثابت ،حتى أصبحت 22م /ث خالل 11ثانية .أوجد المسافة التى قطعتها السيارة خالل هذا الزمن. 4يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فزادت سرعته من 15م /ث إلى 25م /ث بعد أن قطع مسافة 125 مترا ،أوجد الزمن الالزم لذلك. ً
5يتحرك راكب دراجة بعجلة منتظمة حتى صارت سرعته 7٫5م /ث خالل 4٫5ثانية .فإذا كانت إزاحة مترا .أوجد السرعة االبتدائية للدراجة. الدراجة خالل فترة التسارع تساوى ً 19 6يتدرب كريم على ركوب الدراجة ،يدفعه والده فيكتسب تسار ًعا ثاب ًتا مقداره 12م /ث 2لمدة 6ثوان ،وبعد ذلك يقود أرضا .أوجد مقدار المسافة التى يقطعها كريم الدراجة بمفرده بالسرعة التى اكتسبها لمدة 6ثوان أخرى قبل أن يسقط ً كريم.
منحدرا بعجلة ثابتة مقدارها 2م /ث 2وعندما وصل إلى قاعدة التل بلغت 7هبط راكب دراجة من قمة تل ً سرعته 18م /ث ثم استخدم الفرامل؛ حتى يحافظ على هذه السرعة لمدة دقيقة واحدة .أوجد المسافة الكلية التى قطعها راكب الدراجة. طفال يمر فى الشارع ،فإذا كان الزمن الالزم قائد سيارة يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 24م /ث ،شاهد فجأة ً الستجابة الفرامل هو 12ثانية ثم تحركت السيارة بتقصير منتظم مقداره 9٫6م /ث 2حتى وقفت .أوجد المسافة الكلية التى تحركتها السيارة قبل أن تقف مباشرة. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
ع -ع0
يمكن إيجاد Kمن القانون ع = ع + 0جـ Kأى أن = Kحـ 1 وبالتعويض بها فى القانون :ف = ع 2 + K0جـ 2Kثم التبسيط
7تتحرك سيارة بسرعة منتظمة 72كم /س .مرت بسيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 10 ثوان من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 100متر حتى بلغت سرعتها 90كم /س ،ثم سارت بهذه السرعة حتى لحقت بالسيارة األولى .أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة الشرطة والمسافة التى قطعتها هذه السيارة. الحل
22 -2
ومنها جـ = 200 -م/ث، .2 625
21
625 ` 2 + 4 = 25جـ * 625
باستخدام نفس القانون
مترا 200 * 2 - 4 = 0ف ومنها ف ً 744 -
1 2 ` 2 + )100( = 0جـ * 2
a 7ع = 2ع2 + 20جـ ف ومنها جـ = 1000 -م /ث2 وباستخدام نفس القانون `ع18 * 10000 * 2 - 10000 = 2 ومنها ع = ! 80م/ث2 aالسرعة مأخوذة فى االتجاه الموجب فتكون سرعة خروج الرصاصة من الكتلة الخشبية الثانية = 80م /ث 1 a 8ف = ع 2 + K0جـ K 1 ` ف = 225 = 25 * 6 * 2 + 5 * 30سم
9
المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة = 57 = 2 * 6 + 30سم. 5
= 20 9ع 2 + 0جـ = 30 ،ع 5 + 0جـ بحل المعادلتين: جـ = 4م/ث10 = 0٫4 ، 2م/ث.
10
اً K أولa :ع = ع + 0جـ 1
ف100 = 100 * 2 * 2 = 1م
` ع = 20 = 10 * 2م/ث ،
71
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
49
اكيمانيدلا
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
ثانيًا :المسافة المقطوعة بسرعة منتظمة = )60 + 100( - 700 مترا = ً 540 ف 540 ` = 2 Kع = 27 = 20ث
ثالثًا :ع = 2ع 2 + 2 -جـ ف
` صفر = 2 + 400جـ' * ف
3
10
3K 3 - 20 = 0
الزمن الكلى = 43 = 6 + 27 + 10ث
مترا خالل الثانية الرابعة من 10يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة على مستوى أفقى أملس فقطع ً 26 مترا خالل الثانية التاسعة ،أوجد سرعته االبتدائية ومقدار عجلته. بدء الحركة ً 56 ،
11س ،ص نقطتان على طريق مستقيم أفقى بدأت سيارة Cالحركة من س نحو ص من السكون وبعجلة منتظمة 10م /ث 2وفى نفس اللحظة كانت تتحرك سيارة أخرى ب من ص نحو س بسرعة منتظمة مقدارها 54كم /س ، فإذا كانت السرعة النسبية للسيارة Cبالنسبة للسيارة ب لحظة التقائهما تساوى 162كم /س .أوجد الزمن الذى تأخذه كل من السيارتين من لحظة تحركهما م ًعا حتى لحظة التقائهما.
نشاط
aع
بالسرعة التى اكتسبها لمدة 40ثانية أخرى فى نفس االتجاه .أوجد مقدار سرعته المتوسطة.
` 3K
= ع + /جـ K
=6
//
12الشكل المقابل يمثل منحنى (السرعة -الزمن) لجسم بدأ التحرك بسرعة ابتدائية مقدارها 10م /ث وحتى سكن بعد زمن قدره 110ثانية .أوجد: أ عجلة التسارع. ب مقدار التقصير المنتظم للجسم حتى يسكن. ج المسافة الكلية التى تحركها الجسم.
70 60 50 40 30
السرعة (م/ث)
` جـ' =
100م/ث 2
9
بدأ جسم حركته من السكون فى خط مستقيم أفقى بعجلة منتظمة مقدارها 4سم /ث 2لمدة 30ثانية ،ثم تحرك
20 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 الزمن بالثانية
تفكير إبداعى:
أخطاء شائعة:
الخطأ :عدم إدراك الطالب الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية. العالج :راجع المفاهيم ص( ،)57ص()59 ناقش مع طالبك تمارين الدرس الثانى وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة ص ( ،)73ص()74
13مصعد ساكن بقاع منجم ،أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة مقدارها 120سم/ث 2مسافة 540سم ،ثم بسرعة منتظمة مسافة 360سم ،ثم بتقصير منتظم مسافة 720سم؛ حتى سكن عند فوهة المنجم .احسب الزمن الذى استغرقه المصعد فى الصعود من قاع المنجم إلى فوهته.
تفكير إبداعى:
السرعة
14الشكل المقابل يمثل منحنى (السرعة -الزمن) لحركة سيارتين س ،ص أوجد الزمن الذى تتقابل فيه السيارتان (فسر إجابتك).
(س)
( الزمن
ص)
40
30
20
10
0
التقييم المستمر :الحوار والمناقشة ص73 72
بعض إجابات تمارين (: )2-2 1
1
تطبيقات الرياضيات -علمى
1
a 6ف = ع 2 + K0جـ ` 2Kف9 = 36 * 2 * 2 = 1م ، ` المسافة الكلية = 27 = 18 + 9م ف18 =6 * 3 = 2م 7ع = 2ع2 + 20جـ ف ` ف 81= 1م aف = ع * K ` ف1080 = 60 * 18 = 2م.
` (2)18
= * 2 * 2ف1 تمهيد
a 8ف = ع K ،ع = 2ع 2 + 20جـ ف مترا ` فً 30 = 2 مترا. ` ف الكلية = ً 42 = 30 + 12 1
1
ع = 120 = 30 * 4م/ث
ف1800 = 900 * 4 * 2 = 1م
6600 مترا. عم = ً 94٫29 - 40 + 30
Free Fall
ما الذى يحدث عندما تسقط برتقالة من شجرة؟
` ف12 = 2 * 24 = 1م. 2 ` 9٫6 * 2 - )24( = 0ف2
a 9ع = ع +جـ K
ال�سقوط الحر
3-2
ف4800 = 40 * 120 = 2م ،ف الكلية = 6600م
سوف تتعلم
½ تتحرك البرتقالة من سكون ،ثم تكتسب سرعة فى أثناء سقوطها سقوطًا حرا نتيجة تأثير جاذبية األرض عليها فبعد 1ثانية ستكون سرعتها 9٫8م/ث اًّ ألسفل ،وبعد ثانية أخرى ستصبح سرعتها 19٫6م/ث ألسفل وهكذا...
الحظ أن :سرعة البرتقالة تتناسب طرد اًّيا مع الزمن.
حرا (مع إهمال مقاومة الهواء) يساوى إن التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطًا اًّ 9٫8م/ث 2تقري ًبا ويرمز له بالرمز ( )Eويختلف باختالف خط العرض فيقل عند قليال كلما اتجهنا نحو القطبين ،ويعتبر التسارع موج ًبا أو سال ًبا خط االستواء ويزداد ً حسب النظام اإلحداثي الذي يتم اتخاذه ،فإذا كان الجسيم ساقطًا أو مقذوفًا نحو سطح األرض فنعتبر ( ، )Eموجبة ،أما إذا كان مقذوفًا إلى أعلى فتعتبر ( )Eسالبة. قوانين الحركة الراأ�سية لالأج�سام: تخضع الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع حرا ً بدال من استخدام الرمز ( )Eالدالة على التسارع الذى تسقط به األجسام سقو ًطا ًّ الرمز (جـ) وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية:
قوانني احلركة الرأسية.
دراسة حركة األجسام الساقطة أو املقذوفة ألسفل. دراسة حركة األجسام املقذوفة ألعىل.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
سقوط حر
Free fall
عجلة اجلاذبية األرضية
Acceleration of gravity
ع = ع E + 0ن ،ف = ع 0ن E 12 +ن ، 2ع = 2عE2 + 2ف حيث ع ، E ،ف هى القياسات الجبرية لمتجهات السرعة والعجلة واالزاحة
ولذلك عند تطبيق القوانين بالصورة السابقة يجب مراعاة ع ،ع ، E ، 0ف تب ًعا لما يأتى.
ا اً أول :اإذا كان الج�سم اً �ساقطا اأو مقذو اًفا نحو �سطح الأر�ض
يعتبر االتجاه الموجب هو االتجاه الرأسى إلى أسفل فتكون كل من ع ، 0ع ، E ،ف موجبة.
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية.
مثال 1أسقط عامل بناء قطعة خرسانية من سقالة (منصة) عالية. أ ما سرعة قطعة البناء بعد نصف ثانية؟ كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
50
تطبيقات الرياضيات -علمى
73
مظتنملا ةلجعلا تاذ ةميقتسملا ةكرحلا
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل ب ما المسافة التى تقطعها كتلة البناء خالل هذا الزمن؟
12نشاط
الحل
أ صيغة القانون :ع = ع E +ن 0 بالتعويض عن ع = 9٫8 = E ، 0م/ث ، 2ن = 12ثانية.
اعرض على طالبك فكره النشاط (عمل تعاونى).
0
ع = 4٫9 = 12 * 9٫8 + 0م/ث
اسأل الطالب عن تفسير الشكل.
ب صيغة القانون :ف = ع ن E 1 +ن2 2 0 بالتعويض عن ع = 9٫8 = E ، 0م/ث ، 2ن = 12ثانية.
ناقش الطالب فى كيفية الحصول على عجلة التسارع.
0
ف = 9 = 1 * 9٫8 * 1 + 0 1 40متر. 4 2
أن تحل حاول ْ
ناقش إجابات الطالب المختلفة للفقرتين (ب)( ،جـ) للوصول إلى الحل الصحيح.
1سقطت تفاحة من شجرة ،وبعد ثانية واحدة ارتطمت باألرض. أ احسب سرعة التفاحة لحظة ارتطامها بسطح األرض ،ثم احسب السرعة المتوسطة خالل زمن سقوطها. ب ما ُبعد التفاحة عن سطح األرض لحظة بداية سقوطها؟
ثانياًا :اإذا كان الج�سم مقذو اًفا اإلى اأعلى
ع=0
نشاط
االتجاه الموجب +
حركة الهبوط
حركة الصعود
قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها 19٫6م/ث،2 باعتبار أن االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه الموجب فتكون السرعة االبتدائية موجبة تب ًعا لذلك ،أما التسارع فيكون سال ًبا - لماذا؟ ½ استخدم برنامج ( )geogebraفى رسم العالقة بين (السرعة- الزمن) حيث ع = 9٫8 - 19٫6ن عندما ن ∈ [ ]4 ، 0 ماذا تالحظ؟
½ استخدم نفس البرنامج فى رسم العالقة بين (المسافة -الزمن): حيث ف = 19٫6ن 4٫9 -ن , 2ماذا تالحظ؟
الزمن بالثانية
4
3
10 5
2
1
5-
101520-
74
منحنى أقصي ارتفاع المسافة -الزمن
شكل ()1 تطبيقات الرياضيات -علمى
19٫6
سلم تقييم النشاط: التقدير
الزمن بالثانية
4
3
2
شكل ()2
1
0
أداء الطالب
ممتاز
يحل الطالب المسألة ويجيب إجابة صحيحة على جميع البنود.
جيد جدًّا
يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة المسألة ثم يحل جميع األسئلة.
جيد
يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.
مقبول
يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.
ضعيف
ال يستطيع حل المسألة ويحتاج للمساعدة والتوجيه.
المسافة بالمتر
منحنى السرعة -الزمن
السرعة (م/ث)
20
15
22 -2
1جـ 2K
13أولاً a :ف = ع2 + K0 1 2 ` 1 K120 * 2 + 0 = 540
` 3 = 1Kثوان a ،ع = ع + 0جـ K
`ع = 360 = 3 * 120 + 0سم/ث 360
ثانيًا1 = 360 = 2K :ث ثالثًا :ع = 2ع 2 + 2.جـ ف ` صفر = ( 2 + 2)360جـ * 720 جـ = 90 -سم/ث2 aع = 0ع + 0جـ K ` 3K )90 -( + 360 = 0 ` 4 = 3Kث الزمن الكلى = 8 = 4 + 1 + 3ث /
/
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
51
3-2
ال�سقوط الحر Free Fall
سحلا طوقسلا 2 2 نالحظ من الشكل البيانى أن: ½ سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة ،وفى أثناء الهبوط تكون سالبة.
ً فمثال :عندما ن ∈ [ [2 ، 0نالحظ أن سرعة ع > ، 0عندما ن ∈ ] ]4 ، 2فان ع < 0
صفرا. ½ سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى ً
½ زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط.
خلفية
عندما يسقط جسم رأس ًّيا نحو األرض فإن سرعته تزداد تدريج ًّيا فى أثناء سقوطه ،وتبلغ أقصاها عندما يصل الجسم إلى سطح األرض .أى أن الجسم يتحرك فى أثناء سقوطه بعجلة تعمل على حرا زيادة سرعته ،وهذه العجلة التى يسقط بها الجسم سقوطًا ً تسمى «عجلة الجاذبية األرضية» أو «عجلة التثاقل» وتعمل دائ ًما نحو األرض وتختلف فى المكان الواحد وتكون ثابتة المعيار لجميع األجسام مهما كان وزنها أو حجمها وتسهيلاً للعمليات الحسابية نعتبر أن 9٫8 = Eم/ث 2ما لم يذكر خالف ذلك فى المسألة. ويتناول هذا الدرس قوانين الحركة الرأسية لألجسام التى تسقط حرا (مع أهمال مقاومة الهواء) فى حالتين: سقوطًا ً األجسام التى تسقط أو تقذف نحو سطح األرض. األجسام التى تقذف رأس ًيا إلى أعلى.
½ مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة.
أقصى ارتفاع =
2 ع 0
E2
½ إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل هذه الفترة. تفكير ناقد:
-1إذا قذف جسم رأس اًّيا ألعلى بسرعة ابتدائية (ع )0فبلغت سرعته النهائية (ع) فى زمن قدره (ن) فأوجد. أ زمن وصول الجسم إلى أقصى ارتفاع. ب مسافة أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم. مثال 2قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة 49م/ث .أوجد زمن وصوله إلى أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها. الحل
باعتبار أن االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه الموجب فإن : ع = 49م/ث 9٫8- = E ،م/ث ، 2ع = ( 0عند أقصى ارتفاع) 0
أ إليجاد زمن أقصى ارتفاع: aع = ع E +ن ` 9٫8 - 49 = 0ن. 0
ب إليجاد مسافة أقصى ارتفاع: فكر:
aع = 2عE 2 + 2ف ` * 9٫8 * 2 - 2)49( = 0ف 0
` ن = 5ثوان. مترا ` ف = ً 122٫5
-1هل يمكنك استخدام قوانين أخرى إليجاد مسافة أقصى ارتفاع؟ ِّ وضح ذلك. أن تحل حاول ْ
2قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة 39٫2م/ث .أوجد زمن أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها. مثال
مترا أسفل 3قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة 16م/ث .أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى ً 330 نقطة القذف. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
75
التهيئة :نشاط تعاونى
مخرجات التعلم فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يتذكر قوانني احلركة الرأسية حتت تأثري عجلة اجلاذبية األرضية. يدرس حركة األجسام الساقطة أو املقذوفة ألسفل. يدرس حركة األجسام املقذوفة إىل أعىل. مفردات أساسية:
سقوط حر ،عجلة الجاذبية األرضية. المواد التعليمية المستخدمة:
السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية -حاسب آلى أو تابلت 0برنامج ( )geogebraالرسومى. مصادر التعلم:
كتاب الطالب من ص ( )73إلى صفحة (.)77
52
لحظ اأن ع0 زمن أقصى ارتفاع = E
تطبيقات الرياضيات -علمى
اطلب من أحد طالبك أن يقف أمام زمالئه وأن يسقط كره معدنية بينما يالحظ زمالئه حركة الكره( .أو برتقالة) اطرح األسئلة التالية: ما سرعة الكرة االبتدائية؟ ما شكل مسار حركة الكرة؟ صف حركة الكرة من حيث سرعتها أثناء الحركة؟ ما القوى المؤثرة فى الكرة أثناء سقوطها؟ تأكد من خالل النقاش أن الطالب توصلوا إلى أن الكرة تتحرك فى خط مستقيم بسرعة تتزايد بمرور الزمن تحت تأثير قوة الجاذبية ومقاومة الهواء.
رحلا طوقسلا
تفكير ناقد :اسأل طالبك السؤال التحفيزى التالى :لو أسقطت كرة معدنية ثقيلة وورقة من ارتفاع نفسه فى نفس اللحظة فإى الجسمين تتوقع وصوله لألرض أولاً :فسر إجابتك؟
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل الحل
ع = 16م/ث ألنها نفس اتجاه القذف.
ع
0
9٫8 - = Eألنها عكس اتجاه عملية الجاذبية األرضية.
0
ف = 330 -ألنها أسفل نقطة القذف.
نقطة القذف
ف = ع ن E 1 +ن2 0
2
16 = 330 -ن 9٫8 * 12 -ن 2بالتبسيط 49ن16 - 2ن 0 = 330 -
بالتحليل المقدار الثالثى( :ن 49( )10 -ن 0 = )330 +
ن = ، 10ن = 330 - 49 فكر:
االتجاه الموجب
نعتبر االتجاه الرأسى إلى أعلى هو االتجاه الموجب
أقصى ارتفاع
أكد على طالبك أنه باحمال مقلوبة الهواء تسقط جميع األجسام بعجلة نفسها دون اعتبار تكلفتها وهذه مفهوم السقوط الحر.
ف سالبة
(مرفوض)
وضح ذلك. -1هل توجد لديك حلول أخرى؟ ِّ
بين إلى طالبك أنه عند سقوط األجسام تحت تأثير وزنها فقط ودون أى مؤثرات (قوى خارجية) فإنها تصل إلى سطح األرض فى نفس اللحظة.
أن تحل حاول ْ
3قذفت كرة صغيرة رأس اًّيا إلى أعلى من نافذة أحد المنازل ،وشوهدت الكرة وهى هابطة أمام النافذة بعد 3ثوان من قذفها ،ثم وصلت إلى سطح األرض بعد 4ثوان من لحظة القذف .أوجد ارتفاع هذه النافذة عن سطح األرض.
تمــــاريــن ()3 - 2 1طفل ُيسقط كرة من نافذة ترتفع 3٫6م عن الرصيف .ما سرعتها لحظة مالمستها الرصيف؟ 2سقطت كرة رأس اًّيا إلى أسفل .ما سرعتها بعد 6ثوان من لحظة سقوطها؟
التقييم المستمر(:الحوار والمناقشة) ناقش مع طالبك ما ورد فى فقرة حاول أن تحل وتابع إجاباتهم.
3سقط جسم رأس اًّيا ألسفل من ارتفاع 490م عن سطح األرض أوجد: أ زمن الوصول إلى سطح األرض. ب سرعته بعد 5ثوان من بدء الحركة.
4سقطت كرة من المطاط من ارتفاع 10أمتار ،فاصطدمت باألرض وارتدت رأس اًّيا إلى أعلى مسافة 2 12متر. احسب سرعة الكرة قبل وبعد اصطدامها باألرض مباشرة.
إجابات
ع = عKE + 0
5يتدرب طالب على ركل كرة القدم رأس اًّيا إلى أعلى فى الهواء ،ثم تعود الكرة أثر كل ركلة فتصدم بقدمه ،فإذا استغرقت الكرة من لحظة ركلها وحتى اصطدامها بقدمه 0٫3ثانية .أوجد : أ السرعة االبتدائية. ب االرتفاع الذى وصلت إليه الكرة بعد أن ركلها الطالب.
76
22 -2
ع = 9٫8 = 1 * 9٫8 + 0م/ث 1
aعم = ( 2ع + 0ع)
تطبيقات الرياضيات -علمى
`ع
اجراءات الدرس وضح للطالب أن مقدار الزيادة فى سرعة الجسم الساقط ال يتوقف على وزنه أو كتلته ،ولكن يتوقف فقط على األرتفاع الذى سقط منه الجسم؛ فكلما زاد االرتفاع زادت سرعة الجسم الساقط. أشر إلى الطالب أنه فى حالة إذا ما كان الجسم ساقطًا أو مقذوفًا تحت سطح األرض فنعتبر الرأسى إلى أسفل موج ًبا، وحيث إن الجاذبية األرضية تعمل دائ ًما نحو مركز األرض فنعتبر Eموجبة ،وكذلك اإلزاحة ف موجبة ،وكذلك تكون كل من ع النهائية ،ع 0موجبة.
بين إلى الطالب أن قوانين الحركة الرأسية لألجسام هى
عالقات بين القياسات الجبرية للمتجهات ع ،ع، 0 ،ف وعند تطبيق هذه القوانين بالصورة السابقة يجب مراعاة إشارة كل من عجلة الجاذبية Eوالسرعتين ع ،ع0 كما هو موضح فى كتاب الطالب. E
aف
`ف
1 = 4٫9 = )9٫8 + 0( 2م. = ع 2KE 1 + K 0 2 1 = = 1 * 9٫8 * 2 + 0
4٫9م.
ً مقذوفا ألعلى: ثانيًا :إذا كان الجسم نشاط (عمل تعاونى)
دع أحد الطالب يقف أمام زمالئه ،واطلب إليه أن يقذف كرة معدنية رأس ًّيا إلى أعلى ،ويالحظ باقى الطالب حركة الكرة. اطرح األسئلة التالية:
ما سرعة الكرة االبتدائية ،وما اتجاهها؟
ما شكل مسار حركة الكرة؟
صف حركة الكرة من حيث سرعتها أثناء حركتها؟
ناقش طالبك وتأكد من أنهم توصلوا إلى أن الكرة تتحرك فى مسار مستقيم بسرعة تتناقص أثناء الصعود حتى تنعدم عند أعلى نقطة فى مسارها ،ثم تتزايد من الصفر أثناء سقوطها.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
53
اكيمانيدلا
سحلا طوقسلا 2 2
فى بند تفكير ناقد :ص ()77
أ العالقة ع = ع KE + 0نالحظ أن عندما يصل الجسم إلى أقصى ارتفاع فإن :ع = ، 0عجلة السقوط الحر = . E - ` = 0ع KE - 0 ع0
ومنها ( Kزمن أقصى ارتفاع) =
وبالتالى تكون مسافة أقصى ارتفاع هى :ف =
E
ب لحساب مسافة أقصى ارتفاع يصل إليها الجسم نضع ع = 0 فى العالقة ع = 2ع E 2 + 02ف ` صفر = ع E 2 - 02ف ع2 0 E2
7قُذف حجر فى بئر بسرعة 4م/ث رأس اًّيا ألسفل فوصل إلى قاع البئر بعد 2ثانية .أوجد: أ عمق البئر. ب سرعة الحجر عند تصادمه بقاع البئر. قذف جسيم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة 14م/ث من نقطة على ارتفاع 350م عن سطح األرض .أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى سطح األرض. 9قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى من نافذة فوصلت إليها بعد 4ثوان من لحظة القذف ووصلت إلى سطح األرض بعد 5ثوان من لحظة القذف .أوجد أ سرعة قذف الكرة. ب أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة من نقطة القذف. ج ارتفاع النافذة عن سطح األرض. مترا قذف جسم رأس اًّيا ألعلى بسرعة 8٫4م/ث .أوجد : 10من قمة برج ارتفاعه ً 80٫5 أ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم من نقطة القذف. ب الزمن الذى يستغرقه الجسم وهو هابط حتى تصبح سرعته 11٫2م/ث. ج زمن وصول الجسم إلى نقطة القذف. د زمن وصول الجسم إلى سطح األرض.
فى بند فكر ص 77
يمكن استخدام العالقات المستنتجة فى تفكير ناقد كاآلتى: زمن أقصى ارتفاع =
6من أعلى تل ارتفاعه 9٫8أمتار قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة 4٫9م/ث أوجد: أ سرعة الجسم عند لحظة وصوله إلى أسفل التل. ب الزمن الذى استغرقه للوصول إلى أسفل التل.
ع0
11من أعلى تل ارتفاعه 140م قذفت كرة رأس اًّيا إلى أعلى ،فوجد أنها قطعت فى الثانية الثالثة مسافة 10٫5أمتار. أوجد: أ السرعة التى قذفت بها الكرة. ب أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة.
ج الزمن الذى استغرقته الكرة فى الوصول إلى سطح األرض.
E
تفكير ابداعى:
49 = 5 = 9٫8ثوان 2 2 ع0 (122٫5 = 9٫8)49م. = مسافة أقصى ارتفاع = *2 E2
مترا من سطح األرض ،وفى نفس اللحظة قذف جسم آخر رأس اًّيا ألعلى من سطح 12سقط جسم من ارتفاع ً 60 األرض بسرعة 20م /ث فتقابل الجسمان بعد فترة زمنية .أوجد هذا الزمن ،ثم أوجد المسافة التى قطعها كل من الجسمين خالل هذه الفترة الزمنية ،ثم اذكر هل الجسمان لحظة التقابل متحركان فى اتجاهين متضادين أم فى نفس االتجاه؟
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
فى بند فكر ص ()78
ناقش طالبك فى الوصول إلى طرق أخرى للحل: نوجد زمن أقصى ارتفاع من القانون ع = عK E + 0 ` صفر = K 9٫8 - 16 160 80 الزمن الكلى حتى يصل الجسم لنقطة القذف = 49 = 49 * 2ث نوجد الزمن الذى استغرقه الجسم فى قطع مسافة 330م من القانون :ف = ع 2KE 1 + K 0 2 ` - K 16 - = 330
2K * 9٫8 * 1
2
` 0 = 330 - K16 + 2K4٫9
ومنها = K
330 49
160 10 = 330ثوان. `الزمن الكلى = 49 + 49 واضح بالطبع أن الحل األول باستخدام مفهوم متجه اإلزاحة
أسهل من هذا الحل.
املقارنة بني عجلتى اجلاذبية عىل سطحى كوكبني.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
جذب عام
Universal gravitation
قوة اجلذب.
Attraction force
3 2ثانية.
تطبيقات الرياضيات -علمى
قانون الجذب العام Universal gravitation law
فكر و
سوف تتعلم
قانون اجلذب لنيوتن.
تعريف ثابت اجلذب العام.
ثابت اجلذب العام
aالكرة صعدت من النافذة إلى أقصى ارتفاع فى زمن قدره 3 `ع14٫7 = 0م/ث ` صفر = ع 2 * 9٫8 - 0 وهى سرعة الكرة عند مرورها بالنافذة وهى هابطة. 1 2KE ` ف = ع2 + K0 1 = 1 * 9٫8 * 2 + 1 * 14٫7 مترا. = ً 19٫6
54
4-2
Gravitational constant
التقييم المستمر :حاول أن تحل ص ()78
77
ناقش
مسارا ماذا يحدث لحركة القمر لو فَقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟ بالتأكيد سيسلك اًّ آخر ً بدال من أن يكون مساره شبه دائرى حول األرض. لقد أدرك نيوتن أن القوى المسئولة عن جاذبية األرض للقمر وجاذبية الشمس للكواكب إنما هى حالة خاصة من الجذب العام بين األجسام. وسوف تتعرف اآلن على قانون الجذب العام لنيوتن الذى نشره فى بحثه الرياضى مبادئ الفلسفة الطبيعية عام 1687م حيث ذكر نيوتن أن: كل األجسام فى الكون تتجاذب مع األجسام األخرى بتأثير قوة مباشرة تتناسب طرد اًّيا مع كتلتها وعكس اًّيا مع مربع المسافة بين مركزيهما. فإذا كان لدينا كتلتان ك ، 1ك 2وتفصل بين مركزيهما مسافة ف فإن مقدار قوة الجذب بينهما تعطى بالعالقة:
=Xث*
ك 1ك2 ف2
حيث
ك ، 1ك 2مقاستان بالكيلوجرام ،ف مقاسة بالمتر ،ث هو ثابت الجذب العام. تعريف ثابت الجذب العام: هو قوة الجذب المتبادلة بين كتلتين ،مقدار كل منهما 1كيلو جرام ،والمسافة بين 2 2 11 مركزيهما 1متر ويساوى تقري ًبا 10 * 6٫67نيوتن .متر /كجم . gravitational constant
تعبير شفهى:
-1اذكر العوامل التى تتوقف عليها قوة التجاذب بين جسمين.
فكر: األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية
Scientific calculator
ماذا يحدث لقوة الجذب المتبادلة بين جسمين إذا ازدادت المسافة بينهما؟
-1 -2لماذا ال تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح؟ مثال
1كرتان كتلة األولى 5٫2كجم وكتلة الثانية 0٫25كجم ،وضعت الكرتان ،بحيث كانت المسافة بين مركزيهما 50سم .احسب قوة التجاذب بينهما ،عل ًما بأن ثابت الجذب العام يساوى 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم.2
7
تطبيقات الرياضيات -علمى
رحلا طوقسلا
االط قسجلاقسحناق 2 2 الحل
ك 5٫2 = 1كجم ،ك 0٫25 = 2كجم ،ف = 12م ، ك 1ك2 ف2
=Xaث*
`=X
أخطاء شائعة:
الخطأ :وضع إشارات ، Eع ،ع ،0ف أثناء تطبيق القوانين
ث = 11 - 10 * 6٫67نيوتن.م / 2كجم2
11 - 10 * 6٫67 * 0٫25 * 5٫2
1 4
العالج:
10 - 10 * 3٫4684 = Xنيوتن (وهى قوة صغيرة جدا). اًّ
أن تحل حاول ْ
إذا كان الجسم ساقطا أو مقذوفا نحو سطح األرض يفضل اتخاذ اتجاها موج ًبا. الرأس ألسفل ً إذا كان الجسم مقذوفًا إلى أعلى نأخذ االتجاه الرأسى ألعلى موج ًبا.
1إذا علمت أن كتلة األرض 24 10 * 6كجم وكتلة القمر 22 10 * 7والمسافة بين مركزيهما 6 10 * 3متر وثابت الجذب العام 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم .2أوجد قوة جذب األرض للقمر. مثال
2قمر صناعى كتلته ك كجم يدور على ارتفاع 440كم من سطح األرض التى كتلتها 24 10 * 6كجم ونصف علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 11 - 10 * 6٫67نيوتن.م / 2كجم،2 قطرها 6360كم أوجد ك ألقرب كجم ً قوة جذب األرض للقمر هى 17310نيوتن. الحل
ك = 1ك ،ك ، 2410 * 6 = 2ف = ( 1000 * )440 + 6360م وبالتعويض فى القانون :ق = ث * 11 - 10 * 6٫67 = 17310
أى أنَّ :ك = ْ ( 1
0
0
×
6
ك * 24 10 * 6
* (2)1000 * 6800
2)1000 * 6800( * 17310
24 10 * 6 * 11 - 10 * 6٫67 0
×
1
1
0
×
1
0
−
χ
=
(
0
قد يخطىء بعض الطالب فى تفسير بعض المسائل كالتالى عند قذف قطعه معدنية رأس ًيا إلى أعلى .أثناء وجودها فى الهواء ماذا يحدث لسرعتها وهل تزاد عجلتها أم تنقص
ك 1ك2 ف2
ك = 2000 - 2000٫035982كجم 8
)
6 1 4
×
2
0
×
7 χ
6
1 .
3 6
7 )
÷
1
)
(
χ2
التفسير الصحيح :تتناقص سرعة قطعة النقود حتى تصبح صفرا فى أعلى ارتفاع .ثم تزداد فى االتجاه السالب إلى أن ً
0
أن تحل حاول ْ
2
22 -2
قمر صناعى كتلته 1500كجم يدور على ارتفاع 540كم من سطح األرض التى كتلتها 24 10 * 6
كجم ونصف قطرها 6360كم. أوجد قوة جذب األرض للقمر بالنيوتن علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم2 ً
تصطدم باألرض وتبقى عجلة القطعة المعدنية ثابتة.
مثال حساب كتلة األرض 3احسب كتلة األرض بوحدة كجم بفرض أن جس ًما كتلته 1كجم وضع فوق سطحها .عل ًما بأن طول نصف قطر األرض 6360كم ،ث = 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم2
إجابة بعض تمارين ()3-2
الحل
قوة جذب األرض للجسم = ك ( Eحيث ك = 1كجم 9٫8 = E ،م /ث)2 9٫8 = 9٫8 * 1 = Xنيوتن. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
8٫4 1م/ث
79
أ 10ث
3
58٫8 2م/ث
ب 49م/ث
14 4م/ث 7 ،م/ث
14٫7 6م/ث2 ،ث 19٫6م/ث 2
أ ب 2 ث أ 3٫6م ث ب 62٫5م أ 35م /
9 10 11
ب 19٫6م
12فى بند تفكير إبداعى صـ 79
10 8ث
ج 24٫5متر د 5ث
ج 10ث
نفرض أن الجسيمين يتقابالن عند نقطة جـ حيث ف + 1ف2
= 60 1
- K20 + 2K 9٫8 * 2 60 = K20 ` 3 = Kثوان
1 60 = 2K 9٫8 * 2
1
ف9 * 9٫8 * 2 = 1 = 44٫1م ف- 3 * 20 = 2 = 15٫9م
1 9 * 9٫8 * 2
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
C
ع0 = 0
0>E 0<E
ف1
جـ
ع20 = 0م/ث
نقطة التقابل ف2
ب
55
4-2
قانون الجذب العام
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل نصف قطر األرض = 1000 * 6360متر ،ث = 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم2
بتطبيق قانون الجذب العام = X :ث *
* 11 -10 * 6٫67 = 9٫8
كتلة األرض (ك) =
خلفية
وضع العالم نيوتن قانون الجذب العام بعد الرواية المشهورة عنه ،وهى سقوط التفاحةعلى رأسه ،بينما كان نائ ًما تحت شجرة ،فتوصل إلى أن القوة التى أثرت على التفاحة؛ لتسقط على األرض هى نفس القوة التى تجذب القمر إلى األرض ،ويتبين أيضا أن قانون الجذب العام لنيوتن ينطبق على القوة المتبادلة بين ً الكواكب واألجسام المادية على حد سواء. مخرجات التعلم
* 1ك لألرض
ك 1ك2 ف2
اأ�سف اإلى معلوماتك
(2)1000 * 6360
2)1000 * 6360( * 9٫8 11 - 10 * 6٫67
2410 * 6 -كجم
قوة جذب األرض لجسم كتلته ك كجم = ك 9٫8 = Eك
تفكير ناقد :هل تتغير كتلة األرض فى المثال السابق إذا كانت كتلة الجسم الموضوع فوق سطحها يساوى فسر ذلك. 1000كجم؟ ِّ أن تحل حاول ْ
علما بأن كتلة األرض تساوى 3احسب نصف قطر األرض بفرض أن جسما كتلته 1كجم وضع فوق سطحها ً ً 24 10 * 6كجم وثابت الجذب العام يساوى 11 - 10 * 6٫67نيوتن .م / 2كجم2 مثال تعيين عجلة الجاذبية األرضية ()E 2 علما بأن كتلة األرض 4احسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م /ث لجسم كتلة 1كجم وضع فوق سطحهاً . تساوى 24 10 * 6كجم ،نصف قطر األرض يساوى 6360كم الحل
`E*1=X aقوة جذب األرض للجسم = ك E 24 10 * 6 * 1 ` 11 - 10 * 6٫67 = E = X aث * ك 1ك2 * (2)1000 * 6360 ف2 أن تحل حاول ْ
-E
أى أنَّ ْ
E=X
9٫89379م /ث2
4فى المثال السابق احسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م/ث 2إذا كانت كتلة الجسم الموضوع على سطحها 100كجم -ماذا تالحظ؟
نشاط
فى نهاية هذا لدرس من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يتعرف قانون اجلذب العام لنيوتن.
المقارنة بين عجلتى الجاذبية على �سطحى كوكبين: إذا كانت 2E ، 1Eعجلتا الجاذبية لكوكبين كتلتيهما بالكجم ،ك ، 1ك 2H ، 1H ، 2نصفى قطريهما بالمتر على الترتيب. فيمكن استنتاج العالقة اآلتية:
ُيعرف ثابت اجلذب العام.
= 1EE 2
ك1 ك2
*
2 H 2 2 H 1
مثال
يقارن بني عجلتى اجلاذبية عىل سطحى كوكبني.
5إذا كانت كتلة األرض قدر كتلة القمر 81مرة وقطراهما 12756كم 3476 ،كم على الترتيب فإذا كانت عجلة الجاذبية األرضية 9٫8م /ث 2فكم يكون تسارع الجاذبية على سطح القمر؟
0
تطبيقات الرياضيات -علمى
مفردات أساسية:
جذب عام -ثابت جذب عام -قوة الجذب. المواد التعليمة المستخدمة:
السبورة التعليمية -طباشير ملون -آلة حاسبة علمية. مكان التدريس:
يسمى أحيانًا قانون الجذب العام لنيوتن قانون التربيع نظرا ألن القوة Xتتناسب عكس ًّيا مع مربع المسافة العكسى ً بين مركزى الكتلتين الثابتتين ك ، 1ك.2
الفصل الدراسى. مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة ( )78إلى ص ( )82الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت). طرق التدريس المقترحة:
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -حل المشكالت. التهيئة : ناقش طالبك فى بداية الحصة عن ماذا يتحدث لحركة القمر لو فقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟ تابع اإلجابات المختلفة ،وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
56
اجراءات الدرس اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية يمكن التعبير عنها عن التغير الطردى والتغير العكسى ،وتعيين الثابت بمعلومية إحدى القيم للمتغيرين ،ثم اطلب إيجاد قيمة إحدى المتغيرين بمعلومية األخرى ،ثم وضح لهم داللة ثابت التغير.
تطبيقات الرياضيات -علمى
2 ثابت الجذب العام يتعين من العالقة ث = Xك*كف وهو 2 1 مقدار ثابت ،ولكن له وحدة قياس كاآلتى:
وحدة قوة * (وحدة مسافة)( / 2وحدة كتلة) 2أى نيوتن .متر/2كجم2 التقييم المستمر فى بند تعبير شفهى ص (:)67
العوامل التى تتوقف عليها قوة التجاذب بين الجسمين هى ك ،1ك ، 2ف. فى بند فكر - 1 :تقل قوة الجذب العام كلما ازدادت المسافة بين الجسمين.
اعلا بذجلا نوناق
االط قسجلاقسحناق 2 2
- 2ال تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح نظرا للبعد الهائل بين هذه األجسام. ً
الحل
نفرض أن كتلة القمر ك كجم فتكون كتلة األرض = 81ك كجم 6378 = 1Hكم 1738 = 2H ،كم 9٫8 = 1E ،م /ث = 2E ، 2؟ a
1E 2E
=
ك1 ك2
وبالتبسيط:
*
2 H 2 2 H 1
` 80 = 9٫8ك * ( 2E
ك
2) 1738
6378
` Eللقمر 1٫63 -م /ث2
التقييم المستمر(:الحوار والمناقشة)
أن تحل حاول ْ
ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل ص()82( ،)81 وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
5إذا علمت أن كتلة األرض 24 10 * 5٫97كجم ونصف قطرها 6 10 * 6٫34م وكتلة القمر 22 10 * 7٫36ونصف قطره 6 10 * 1٫74م فأوجد النسبة بين الجاذبية على سطح القمر إلى سطح األرض.
تمــــاريــن الدرس الرابع تنبيه :اعتبر ثابت الجذب العام لنيوتن :ث = 11 - 10 * 6٫67نيوتن.متر / 2كجم2
إجابات:
1ماذا يحدث لوزنك كلما ابتعدت أكثر عن سطح األرض؟
2لماذا ال تظهر قوة الجاذبية بين األجسام التى نشاهدها يوم اًّيا؟ 3ماذا يحدث لقوة الجذب العام بين جسمين عند مضاعفة المسافة بين مركزيهما؟
مدارا ممك ًنا لكوكب ما؟ أى من المدارات الموضحة بالشكل التالى ُيعتبر ً ٌّ 4
1
5اختيار من متعدد :كوكب لديه قمران متساويا الكتلة ،القمر األول فى مدار دائرى نصف قطره ،Hالقمر الثانى فى مدار دائرى نصف قطره .H2إن مقدار قوة الجاذبية التى يؤثر بها الكوكب على القمر الثانى هى: أ أكبر أربع مرات من القوة المؤثرة على القمر األول. ب أكبر مرتين من القوة المؤثرة على القمر األول .ج تساوى القوة المؤثرة على القمر األول. ه ربع القوة المؤثرة على القمر األول. د نصف القوة المؤثرة على القمر األول. 6فى الشكل المقابل: إذا كان البعد بين مركزى كرتين 2م وكانت كتلة إحداهما 0٫8كجم ،وكتلة األخرى 0٫6كجم فما قوة التجاذب بينهما؟
22 -2
2متر 0٫6كجم
2ك ، 1500 = 1ك، 2410 * 6 = 2 ف = 6900كم ،ث = 11 - 10 * 6٫67 =Xaث*
0٫8كجم
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
ك ، 2410 * 6 = 1ك،2210 * 7 = 2 ف = ، 610 * 3ث = 11- 10 * 6٫67 ك1ك2 = X aث * ف2 2210 * 7 * 2410 * 6 ` * 11 10 * 6٫67 = X (2)610 * 3 ` 2410 * 3٫11267 = Xنيوتن.
1
ك1ك2 ف2
= * 11 - 10 * 6٫67
2410 * 6 * 1500 (2)6900
12609 = Xنيوتن (. 2 )1000 * 6900 فى بند تفكير ناقد:
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل 7كرتان متماثلتان كتلة كل منهما 6٫8كجم والبعد بين مركزيهما 21٫8سم ،ما قوة التجاذب بينهما؟
احسب قوة التجاذب بين جسمين كتلتيهما 10كجم 15 ،كجم والمسافة بينهما 2أمتار.
ال تختلف كتلة األرض؛ ألنه بفرض أن كتلة الجسم ك ،1كتلة األرض = ك ،2المسافة بينهما ف فإن قوة جذب األرض للجسم= ك E1وبتطبيق قانون الجذب العام فإن: ك1ك2 ف2
9قمر صناعى كتلته 2000كجم يدور على ارتفاع 440كم من سطح األرض التى كتلتها 2410 * 6كجم .أوجد قوة جذب األرض للقمر عل ًما بأن نصف قطر األرض 6360كم.
ك = E 1ث *
10إذا كانت عجلة الجاذبية األرضية ( )Eهى 10م /ث 2ونصف قطر األرض يساوى 6 10 * 6٫36متر .احسب كتلة األرض.
أى أن = E :ث *
12إذا علمت أن كتلة األرض تساوى 24 10 * 5٫97كجم ونصف قطرها 6 10 * 6٫34متر وكتلة القمر تساوى
إجابة حاول أن تحل
قيمةك.1
11احسب قوة التجاذب المتبادلة بين الشمس واألرض إذا علمت أن األرض تسير فى مدار شبه دائرى حول الشمس وأن كتلة األرض تساوى 24 10 * 6كجم ،وكتلة الشمس تساوى 29 10 * 9كجم ،والمسافة بين مركزيهما تساوى 11 10 * 1٫5متر. 22 10 * 7٫36كجم فأوجد طول نصف قطر القمر إذا كانت الجاذبية على سطح األرض ستة أمثالها على سطح القمر.
13إذا علمت أن كتلة األرض 24 10 * 6٫06كجم ونصف قطرها 6 10 * 6٫36متر فأوجد شدة مجال الجاذبية األرضية . 14كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض ،وقطره يساوى ثالث مرات قدر قطر األرض .احسب النسبة بين عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب وسطح األرض.
ك ، 1 = 1ك2 ث = = H ، 11 - 10 * 6٫67ف ك1ك2 ف2
` * 11 - 10 * 6٫67 = 9٫8 * 1
مترا وكتلتها ك كجم. متراعن سطح األرض التي طول نصف قطرها نق ً 17جسم كتلته َك كجم يقع على ارتفاع ف ً أوجد مقدار قوة الجاذبية التي تؤثر على هذا الجسم.
1الربط بالفضاء :محطة فضائية دولية وزنها على سطح األرض 421997٫6نيوتن .أوجد وزنها عندما تكون فى المدار الخارجي على ارتفاع 350كم من سطح األرض عل ًما بأن طول نصف قطر األرض يساوي 310*6٫37كم و كتلتها 2410*5٫6كجم( .إرشاد :القوة بالنيوتن = الكتلة بكجم * عجلة الجاذبية األرضية 9٫8م/ث)2
2
= 2410 * 6
=Xaث*
15أوجد قوة الجذب العام بين كوكبين كتلة األول 2 * 2110طن وكتلة الثاني = 4 * 2510طن ،والمسافة بين مركزيهما 2 * 610كم. 16وضعت قطعة من الحديد على بعد 50سم من أخرى من النيكل كتلتها 25كجم فكانت قوى التجاذب بينهما 6 * 8 - 10نيوتن ،فكم تكون كتلة الكرة الحديد مقر ًبا الناتج ألقرب عدد صحيح؟
3
ك2 ف2
أى أن كتلة األرض ك 2ال تتوقف على
1310 * 4٫08367 = 2H
؟
2410 * 6 * 1 2H
مترا. ً 6390363 - H 6390 - Hكم.
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
57
اكيمانيدلا
4
ك1
= 2410 * 6
،ك2
610 * 6 =1H ك
E
= 2210 * 7٫36
610 * 1٫74 = H ، 2 2H
= 1E aك* 12 2 6 2410 * 6 1E * ( 2) 10 * 1٫74 610 * 6 ` 2210 * 7٫36 = E 2 `
1E 2E
=
2H
2523 368
2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
نظرا لزيادة يقل الوزن كلما ابتعدنا عن سطح األرض؛ ً المسافة بين الجسم وبين مركز األرض. لصغر كتلة هذه األجسام . تقل قوة الجذب العام بمقدار الربع. الشكل الثالث من اليمين؛ ألن الشمس تكون فى مركز المسار. االختبار (هـ) 12 - 10 * 8٫112 6٫8 * 6٫8 1110 * 6٫67 = X * (2)0٫218 8 - 10 * 6٫4898 = X 15 * 10 * 11 - 10 * 6٫67 = X 4 9 - 10 * 2٫50125 = X 2410 * 6 * 2000 * 11 - 10 * 6٫76 = X (2)6800 1010 * 1٫7543 - Xنيوتن ك 11 - 10 * 6٫76 = 10 * (2)610 * 6٫36 ك 2410 * 6 - 2910 * 9 * 2410 * 6 * 11 - 10 * 6٫67 = X (2)1110 * 1٫5 2210 * 1٫6008 = Xنيوتن 13
1724 12كم
- 14ك3 = 1ك ،ك = 2ك H=2H ،H3 = 1H
1E 2E
3ك
H
= ك * ( = 2) H3
9 16كجم
= X 17ث *
ملخ�ص الوحدة
9٫99م/ث2
هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة Cب التى نقطة بدايتها ( )Cونقطة نهايتها (ب) ويرمز لمتجه اإلزاحة Cب بالرمز ف ،ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة بالرمز || Cب ||
ب
نقطة البداية
ف نقطة النهاية
متجه الموضع
ف = - S
0S
متجه السرعة
متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.
الحركة المنتظمة
أى أنَّ :الجسيم يتحرك فى اتجاه ثابت ،حيث هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثاب ًتاْ ، يقطع مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية. وتكون العالقة بين القياسيين الجبريين للمتجهين ف ،ع فى الحركة المنتظمة هى :ف = ع ن متجه السرعة المتوسطة
إذا تحرك جسيم عند لحظتين زمنيتين ن ، 1ن 2عند الموضعين ، Cب على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى الفترة الزمنية (ن - 2ن )1فإن ع م يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون: عم =
- 2S
1S
ن - 2ن1
ف
=
ن - 2ن1
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
السرعة اللحظية:
إذا تحرك جسيم بسرعة متغيرة من خالل منحنى المسافة -الزمن فإن ميل المماس عند نقطة ما على المنحنى عند لحظة زمنية يعرف بالسرعة اللحظية.
السرعة النسبية:
السرعة النسبية لجسيم (ب) بالنسبة لجسيم آخر ( )Cهى السرعة التى يبدو أن الجسيم (ب) يتحرك بها لو اعتبرنا الجسيم ( )Cفى حالة سكون ،باعتبار أن ع ، Cع ب هما متجها سرعة لجسمين ،Cب وأن متجه سرعة ب بالنسبة Cهى ع ب Cفإن
ع
بC
= عب -ع
C
الحركة منتظمة التغير:
هى الحركة التى يحدث فيها تغير قيمة السرعة بمرور الزمن و يسمى بالتسارع (العجلة) ووحدة قياسه هى م /ث.2
العجلة (جـ) =
السرعة النهائية -السرعة االبتدائية
الزمن
الحركة منتظمة التغير:
واتجاها مقدارا يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع (عجلة) منتظم إذا كان متجه العجلة ثاب ًتا ً ً لجميع األزمنة.
1 3
إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية (ع) وعجلة ثابتة (جـ) وأصبحت سرعته (ع) بعد فترة زمنية (ن) قطع خاللها مسافة (ف) فإن: ½ العالقة بين السرعة والزمن:
½ العالقة بين المسافة والزمن:
½ العالقة بين السرعة والمسافة:
ك َك
ع = ع + 0جـ ن
ف = ع ن 1 +جـ ن2 0
2
ع = 2ع2 + 2 0جـ ف
ويالحظ أن هذه العالقات تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداهما بمعلومية الثالثة اآلخرين. ½ المساحة تحت منحنى السرعة -الزمن تساوى إزاحة الجسم المتحرك.
(ف 2)H +
½ السرعة المتوسطة لجسيم خالل فترة زمنية ما تساوى سرعته اللحظية فى منتصف هذه الفترة.
4
تطبيقات الرياضيات -علمى
C
هو المتجه الذى تنطبق بدايته مع موضع المشاهد (و) ونقطة نهايته مع موضع الجسيم ويرمز له بالرمز S
1210 * 6٫56 18نيوتن
58
المسار
متجه اإلزاحة
العالقة بين متجه الموضع ومتجه اإلزحة:
إجابات بعض تمارين ()4-2
1
�����قسحط��
تطبيقات الرياضيات -علمى
3
اعلا بذجلا نوناق �����قسحط��
قوانين الحركة الرأسية لألجسام:
تخضع قوانين الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع استخدام الرمز ( )Eالدالة حرا ً بدال من الرمز (جـ) وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية: على التسارع الذى يسقط به األجسام سقو ًطا ًّ ع = ع E + 0ن ،ف = ع 0ن E 12 +ن ، 2ع = 2عE2 + 2ف
إذا قذف جسم رأس اًّيا إلى أعلى تحت تأثير الجاذبية األرضية وعاد إلى نقطة القذف فإن: ½ سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة وفى أثناء الهبوط تكون سالبة.
صفرا. ½ سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى ً
½ زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط. ½ زمن أقصى ارتفاع (ن) =
ع0
E
2 ع 0
لوحا من األلومنيوم أو الخشب محفور من وسطه احضر ً حفرة طولية بحيث يكون طوله طولى 3أمتار ،وكرة صغيرة من الصلب ،وليكن قطرها 2سم أو (بلية) وساعة إيقاف ،قسم اللوح إلى مسافات متساوية طول كل منها 20سم ،ثم هي الجهاز كما فى الشكل
½ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم (ف) = E2
½ مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة.
½ إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل هذه الفترة. قانون الجذب العام لنيوتن
إذا كان المسافة (ف) بين كتلتين ك ،1ك 2فإن مقدار قوة الجذب بينهما ( )Xتعطى بالعالقة = X :ث *
حيث ك ، 1ك 2مقاستان بالكيلو جرام ،ف بالمتر.
ك 1ك2 ف2
ثابت الجذب العام:
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
5
ف4 ف3
ب
اإلجراءات:
اترك الكرة لتبدأ حركتها من نقطة أ ،وباستخدام ساعة اإليقاف احسب الزمن الالزم؛ لتحرك الكرة مسافة ف .1كرر حساب الزمن مرتين أخريتين؛ ليكون لديك القراءات ن،1 ن ،2ن 3لزمن قطع المسافة ف 1واحسب من ذلك متوسط زمن قطع هذه المسافة.
كرر الخطوات السابقة بعد أن تدع الكرة تتحرك مسافات مختلفة أكبر مثل ف ،2ف 3وهكذا مع مراعاة أن تكون الزيادة متساوية في كل حالة. سجل نتائجك في جدول كالتالي:
الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
قراءات المسافة والزمن للنشاط
تمارين عامة (الوحدة الثانية)
اأكمل ما ياأتي: 1إذا كان ع 7 = Cس ،عب = 3-س فإن عCب =
..............................
2إذا كان عحـ 70 = Eى ،عحـ = 50ى فإن ع= E
..............................
الرقم
3إذا تحركت سيارتان ، Cب بالسرعتين 65كم/س 75 ،كم/س فإن أ عCب = ..............................إذا كانتا فى اتجاه واحد.
ف1
4بدأت سيارة الحركة من سكون بعجلة منتظمة 20سم/ث لمدة 10ثوان. أ السرعة النهائية للسيارة = ..............................م/ث. ب المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = ..............................متر.
ف3 ف4
ب عCب = ..............................إذا كانتا فى اتجاهين متضادين.
5بدأ جسم حركته بسرعة 72كم/س بعجلة تقصيرية 2م/ث.2 أ الزمن الذي يستغرقه الجسم حتى يقف = ..............................ثانية. ب المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = ..............................متر.
مترا. 6استخدمت سيارة فراملها فتوقفت خالل 10ثوان بعد أن قطعت ً 25 أ عجلة الحركة فى أثناء استخدام الفرامل = ..............................م/ث.2 ب سرعة السيارة عند بدء استخدام الفرامل = ..............................م/ث. 7سقط جسم من قمة برج رأسي فوصل إلى سطح األرض بعد 5ثوان: أ سرعة الجسم عند وصوله إلى سطح األرض = ..............................م/ث. ب ارتفاع البرج = ..............................متر.
قذف جسم رأس اًّيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 4ثوان: أ سرعة قذف الجسم = ..............................م/ث. ب أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم = ..............................متر.
مترا قذف جسم ألعلى بسرعة 7م/ث: 9من قمة برج ارتفاعه ً 20 أ سرعة الوصول إلى سطح األرض = ..............................م/ث. ب زمن الوصول إلى سطح األرض = ..............................ثانية.
10كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض ،وقطره يساوي ثالث مرات قدر قطر األرض ،فإن النسبة بين عجلة الجاذبية على سطح الكوكب إلى سطح األرض كنسبة .................. : ..................
6
ف2
ف1
C
هو قوة الجذب المتبادلة بين كتلتين مقدار كل منها 1كجم والمسافة بين مركزيها 1متر ويساوى تقري ًبا 11- 10 * 6٫67نيوتن .متر/2كجم2
22 -2
الم�سافة �سم
الزمن (ثانية)
متو�سط الزمن بالثانية
ف2
مستعي ًنا بالنتائج التي حصلت عليها ،مثل بيان ًّيا العالقة بين المسافة والزمن. بعد دراستك لهذه العالقة البيانية: هل العالقة البيانية للمسافة والزمن تمثل بخط مستقيم؟ هل يدل المنحنى البياني الذي حصلت عليه أن الكرة تتحرك بسرعة منتظمة؟ هل تقطع الكرة أثناء حركتها مسافات متساوية في أزمنة متساوية؟ هل تتزايد سرعة الكرة أثناء هبوطها أم تتناقص؟ ولماذا؟
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
59
اكيمانيدلا الوحدة الثانية :لاكيملنحدل
إجابات بعض التمارين العامة
1 4 7 9 11
12
14 15
= 110ع 30 + Cأى أن ع80 = Cكم/س ع = 31 = 6 * 4 + 7م/ث، 1 ف = 114 = 36 * 4 * 2 + 6 * 7م. 2 5 = K ` K20 + 0 = 8ثانية + 8 = 0 ،جـ * 112 ` جـ = 1 -م/ث2 14
13
16
17
/
أ مقدار أكبر محصلة لهما. ب مقدار أصغر محصلة لهما.
ج مقدار واتجاه محصلتهما عندما يكون قياس الزاوية بينهما .c120
2القوى 8 ، 2 2 ، 2 5 ، 12ث جم تؤثر فى نقطة مادية نحو الشرق ،الشمال الغربي والجنوبي الغربي والجنوب على الترتيب .أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
3علق جسم وزنه (و) نيوتن بواسطة خيطين يميالن على الرأس بزاوتين قياسيهما هـ c30 ،cفاتزن الجسم عندما كان مقدار الشد فى الخيط األول 12نيوتن ،مقدار الشد فى الخيط الثاني 3 12نيوتن .أوجد هـ cو مقدار الوزن و.
4جسموزنه90ثكجمموضوععلىمستوىيميلعلىاألفقيبزاويةقياسها.c30حفظالجسمفىحالةتوازنبواسطةقوة ق تؤثر على الجسم إلى أعلى فى اتجاه يميل على المستوى بزاوية قياسها .c30أوجد مقدار ق ورد فعل المستوى.
5قضيب منتظم Cب يتصل طرف Cبمفصل مثبت فى حائط رأسي .اثرت فى الطرف اآلخر ب قوة أفقية فاتزن القضيب عندما كان يميل على الحائط بزاوية قياسها ،c45فإذا كان وزن القضيب 4ث كجم و يؤثر فى منتصفه .أوجد مقدار القوة و رد فعل المفصل على القضيب. 6تتحرك سيارة شرطة ( )Cعلى طريق مستقيم بسرعة 25كم/س .شاهدت سيارة أخرى (ب) تتحرك على نفس الطريق بسرعة 75كم/س .أوجد سرعة السيارة (ب) بالنسبة للسيارة ( )Cعندما: أ السيارتان تتحركان فى نفس االتجاه. ب السيارة (ب) تتحرك فى اتجاه مضاد للسيارة (.)C 7يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها 5سم/ث ، 2وفى نفس اتجاه السرعة االبتدائية لهذا الجسيم وقدرها 40سم/ث .أوجد: أ سرعة الجسم وإزاحته فى نهاية 24ثانية من بدء الحركة. ب مترا من البداية. سرعة الجسم بعد أن قطع مسافة ً 56
تتحرك سيارة فى طريق مستقيم بتقصير منتظم مقداره 14سم/ث ، 2فتوقفت عن الحركة بعد مرور 20ثانية من لحظة البداية .أوجد: أ مقدار سرعتها االبتدائية. ب المسافة التي قطعتها خالل نصف دقيقة.
/
4
8
1
1
ف528 = 2)112( 14 * 2 - 122 * 8 = 2م
بالنسبة للحركة المتسارعة: aع = 2ع 2 + 20جـ ف ، 5 ع = 15 = 18 * 24م/ث ` (2 + 0 = 2)15جـ * 15- ` جـ = 0٫75م/ث2 aع = ع + 0جـ K ` 20 = Kثانية ` 0٫75 + 0 = 15 K بالنسبة للحركة ذات السرعة المنتظمة ف 300 =Kع = 20 = 15ثانية ،
بالنسبة للحركة التقصيرية :ع = 2ع2 + 20جـ ف 3 ` صفر = ( ) 2 ( 2 + 2)15ف ` ف = 75م، aع = ع + 0جـ K 3` 10 =Kثوان. ` صفر = K) 2 ( + 15
اختياربين متعدد
1قوتان مقدارايهما 8٫16نيوتن تؤثران فى نقطة مادية أوجد:
تطبيقات الرياضيات -علمى
ف 5 = 25 * 20 * 2 = 1م،
100 3 1 2ساعة K
1
2ع 20 - = Eى ع Cب = M 10 10 5ث، 2م/ث 10 ،م مترا ع = 49م/ث ،ف = ً 122٫5 20ثانية ع21 = 0م/ث 7 = K ، 20 = 100ث ،ف80 = 10 * 8 = 2م 5 = 1K ` ع = + 100 6 = 80م/ث م 10 + 20
، 1000ف= 2 ف60 = 1 ،ف30 = 1كم ف - 2ف 30000 = 1ومنها = K عCب = = 130ع + Cع ب + C42 = 180 ،ع ب بحل المعادلتين ع50 = Cكم /س ،ع ب = 80كم/س
اختبار تراكمي
السرعة المتوسطة = + 150 10٫5 = 7510++300م/ث. 20 + 20
60
تطبيقات الرياضيات -علمى
سختبارقتاسكمي
ج المسافة التي قطعتها حتى سكنت.
9سقط جسم رأس اًّيا إلى أسفل من ارتفاع ما نحو أرض رخوة فغاص فيها مسافة 14سم قبل أن يسكن فإذا كان الجسم يتحرك داخل األرض بتقصير منتظم مقداره 63م/ث 2فما هو االرتفاع الذي سقط منه الجسيم.
10قذف جسيم من قمة برج رأس اًّيا إلى أعلى بسرعة مقدارها 24٫5م/ث فوصل إلى سطح األرض بعد 8ثوان. أوجد: أ ارتفاع البرج. ب أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم عن سطح األرض. ج المسافة التي يقطعها الجسم خالل هذه المدة.
11أى من األشكال اآلتية تمثل حركة جسم بسرعة منتظمة المسافة
الزمن
المسافة
الزمن
شكل ()1
المسافة
الزمن
شكل ()3
شكل ()2
12تتساقط قطرات الزيت من إحدى السيارات المتحركة من اليسار إلى اليمين كما بالشكل بمالحظة قطرات الزيت فإن السيارة تتحرك: - 2بعجلة موجبة. - 1بسرعة منتظمة.
- 3بعجلة سالبة.
إن لم تستطع اإلجابة على أحد هذه األسئلة يمكنك األستعانة بالجدول التالي :
- 4بعجلة سالبة ثم سرعة منتظمة.
إذا لم تستطع حل السؤال رقم
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ارجع إلى
80
16
26
34
37
37
60
66
70
76
77
56
66
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
9
اعلا بذجلا نوناق
الوحدة
إجابة االختبار التراكمى
الثانية
الديناميكا Dynamics
1أ ب جـ
مقدمة الوحدة يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematicsذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها ،وجدير بالذكر أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما -إمكانية توجيه قذيفة إلى هدف ما بدقة كافية -تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض -تصميم جميع اآلالت الميكانيكية ،ومن هنا سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: تعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. َي َّ يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.
يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة -وحدات قياس العجلة ع = ع + 0جـ ن ،ف = ع 0ن 12 +جـ ن، 2 ع = 2ع 2 + 20جـ ف
يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.
يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة -متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعة النسبية -وحدات قياس السرعة).
يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.
يميز بين اإلزاحة والمسافة.
يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة ( ،)Average velocityيتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام ) .ثابت ومقدار السرعة المتوسطة( )Average speedفى حالة الحركة الجذب العام. الخطية فى اتجاه متجه ثابت. يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة مع الزمن ،منحنى يطبق مفاهيم السرعة ،السرعة النسبية والعجلة فى نمذجة السرعة مع الزمن. مواقف فيزيائية وحياتية تشمل( :حركة الصواريخ -حركة يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة الطيران -األقمار الصناعية ) فى صورة أنشطة . مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة. يتعرف مفهوم السرعة النسبية.
50
أكبر محصلة = 24نيوتن أصغر محصلة = 8نيوتن ج = 8 * 16 * 2 + 64 + 256جتا = 120 = 3 8نيوتن ،وتصنع c30مع القوة 16نيوتن
2 5 + 12 = M 2جتا 2 2 + c135جتا 5 = c225نيوتن،
2 5 Nجا 2 2 + 135جتا 5- = 8 - c225نيوتن ح = 2 5نيوتن ،وتعمل مع القوة األولى زاوية قياسها c315 12
3 12
= 3 جا c150 ومنها ق = 24نيوتن ،هـ = c60 جا ( - 180هـ) X
S
الوحدة
الديناميكا Dynamics
مقدمة الوحدة يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematicsذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها ،وجدير بالذكر أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما -إمكانية توجيه قذيفة إلى هدف ما بدقة كافية -تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض -تصميم جميع اآلالت الميكانيكية ،ومن هنا سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها ،يتوقع من الطالب أن: تعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. َي َّ يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.
يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة -وحدات قياس العجلة ع = ع + 0جـ ن ،ف = ع 0ن 12 +جـ ن، 2 ع = 2ع 2 + 20جـ ف
يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.
يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة -متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعة النسبية -وحدات قياس السرعة).
يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.
يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة ( ،)Average velocityيتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام ) .ثابت ومقدار السرعة المتوسطة( )Average speedفى حالة الحركة الجذب العام. الخطية فى اتجاه متجه ثابت. يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة مع الزمن ،منحنى يطبق مفاهيم السرعة ،السرعة النسبية والعجلة فى نمذجة السرعة مع الزمن. مواقف فيزيائية وحياتية تشمل( :حركة الصواريخ -حركة يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة الطيران -األقمار الصناعية ) فى صورة أنشطة . مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة. يتعرف مفهوم السرعة النسبية.
50
جا ( +c30هـ)
90
5
=
بفرض أن طول القضيب 2ل ورد الفعل ، Sوالقوة X
4 2ل
S
فإن:
X
= = 5ل ومنها 2 = Xف كجم، ل
5 2 = Sف كجم
6أ ع ب 50 = Cكم/س
الثانية
و
= 4 جا c150جا c150جا c60 ومنها 3 30 = X = Sنيوتن
يميز بين اإلزاحة والمسافة.
22 -2
ب ع ب 100 = Cكم/س
7أ ع = 160 = 24 * 5 + 40سم ث، 1 ف = 2400 = )24( * 5 * 2 + 24 * 40سم
ب ع 5600 * 5 * 2 + 2)40( = 2ومنها ع = 240سم/ث
8أ = 0ع 20 * 14 - 0ومنها ع280 = 0سم/ث
1 ب ف = 2100 = 2)30( * 14 * 2 - 30 * 280سم
جـ 14 * 2 - 2)280( = 0ف ومنها ف = 2800سم
9الحركة داخل األرض = 0 :ع14 * 3600 * 2 - 2 ومنها ع176400 = 2 السقوط الحر 980 * 2 + 0 = 17600 :ف ومنها ف = 90سم 1
10أ ف = 117٫6- = 64 * 9٫8 * 2 - 8 * 24٫5م أرتفاع البرج = 117٫6متر
ب K 9٫8 - 24٫5 = 0ومنها 2٫5 = Kثابتة 5 جـ 9٫8 * 2 - 2)24٫5( = 0ف ومنها ف = 30 8متر
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
61
الوحدة
الوحدة الثالثة
الثالثة
الهندسة و القياس
Geometry and Measurement
الهندسة والقياس Geometry and Measurement مقدمة الوحدة
مقدمة الوحدة سبق أن درس الطالب األشكال الهندسية فى بعدين (المضلعات- الدائرة -القطاع الدائرى -القطعة الدائرية) وعرف خواص كل اً أشكال ثالثية البعد (مجسمات) مثل متوازى منها ،كما درس المستطيالت والمكعب ،وسوف يستكمل الطالب دراسته فى هذه الوحدة لمجسمات أخرى مثل الهرم المنتظم ،والمخروط الدائرى القائم ،ويتعرف المساحة الكلية والحجم لكل منهما، كما يدرس معادلة الدائرة ،ويتعرف الصورة العامة لمعادلة الدائرة؛ ليطبق كل مادرسه بالهندسة والقياس فى نمذجة مواقف رياضية وحياتية واستخدامها فى حل المشكالت. وتتضمن هذه الوحدة أربعة دروس هى: الدرس األول :المستقيمات والمستويات فى الفراغ. الدرس الثاني :الهرم والمخروط. الدرس الثالث :المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط. الدرس الرابع :حجم الهرم والمخروط القائم. الدرس الخامس :معادلة الدائرة. أهداف الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: ُيعرف النقطة و المستقيم و المستوى. يتعرف بعض المجسمات (الهرم -الهرم المنتظم -الهرم القائم - المخروط -المخروط القائم) ،وخواص كل منها.
يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم - المخروط القائم.
يستنتج حجم كل من الهرم القائم -المخروط القائم.
يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها ،وطول نصف قطرها. يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة ،وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة
62
تطبيقات الرياضيات -علمى
نشأت الهندسة فى بدايتها مرتبطة بالناحية العملية ،فاستخدمها قدماء المصريين فى تحديد مساحات األراضى وبناء األهرامات والمعابد فأوجدوا مساحات بعض األشكال وحجوم بعض المجسمات .وعندما زار طاليس ( 546 - 640ق.م) اإلسكندرية راقت له طرق المصريين فى قياس األرض وأطلق عليها كلمة Geo-metronالمأخوذة عن اللغة اليونانية والمكونة من كلمتى Geoوتعنى األرض metron ،وتعنى قياس واهتم بدراسة الهندسة على أنها تعبيرات صريحة مجردة خاضعة للبرهان. تطورت الهندسة على يد اإلغريق (طاليس -فيثاغورث -إقليدس) بظهور سلسلة من النظريات المبنية على بضع مسلمات وتعاريف مرتبة فى نظام منطقى دقيق ضمنه إقليدس فى كتابه األصول المكون من 13جزءًا ،واستمرت اإلسكندرية منارة المعرفة إلى أن جاء العرب ،وحفظوا ذلك التراث بترجمته إلى اللغة العربية وأضافوا إليه إضافات كثيرة ونقلوه إلى أوربا فى القرن الثانى عشر. فى القرن السادس عشر بدأ عصر النهضة فى الرياضيات وميالد علوم جديدة فقدم ديكارت ( )1650-1596أسس الهندسة التحليلية وقام
بتمثيل المعادالت بأشكال بيانية وهندسية والتعبير عن األشكال بمعادالت ،واستخلص معادلة الدائرة س + 2ص = 2نق 2كما توصل أويلر Euler إلى وجود عالقة بين عدد األوجه وعدد الرؤوس وعدد األحرف ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعة وهى:
عدد األوجه +عدد الرؤوس = عدد األحرف .2 +
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة وتنفذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: ُيعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ. يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها ،وطول نصف قطرها. يتعرف بعض المجسمات (الهرم -الهرم المنتظم -الهرم القائم -المخروط -المخروط القائم) ،وخواص كل منها. يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم -المخروط القائم.
يستنتج حجم كل من الهرم القائم -المخروط القائم.
90
يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة ،وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة. ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة.
المصطلحات األساسية Ñالنقطة
The point
Ñالمستقيم
Straight line
Ñالمستوى
plane
Ñالفراغ
Space
Ñرأس
Vertex
Ñقاعدة
Base
Ñمحور
Axis
Ñدائرة
Circle
Ñمركز
Center
Ñنصف قطر
Radius
Ñقطر
Diameter
Ñهرم
Pyramid
Ñمخروط
Ñشبكة هرم
Lateral face
Ñحرف جانبى
Lateral edge
Ñارتفاع
Net of a pyramid
Ñمخروط دائرى قائم
Cone
Ñوجه جانبى
Right circular cone
Ñمساحة جانبية
Lateral area
Ñمساحة كلية (سطحية)
Height
Ñارتفاع جانبى Ñهرم منتظم
Ñهرم قائم
Right pyramid
Surface area
Slant height Regular pyramid
مهارات التفكير التى تنميها الوحدة التفكير االستداللى -التفكير الناقد -التفكير المنطقى -حل المشكالت -التفكير اإلبداعى فى الرياضيات.
األدوات والوسائل Ñأدوات هندسية
Ñآلة حاسبة علمية
Ñبرامج رسومية للحاسوب
دروس الوحدة الدرس ( :)4 - 3حجم الهرم والمخروط
الدرس ( :)1 - 3المستقيمات والمستوى
الدرس ( :)5 - 3معادلة الدائرة.
الدرس ( :)2 - 3الهرم والمخروط. الدرس ( :)3 - 3المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط.
مخطط تنظيمى للوحدة المستقيمات والمستويات مفاهيم ومسلمات
أشكال ثالثية األبعاد (المجسمات) المخروط
الهرم
المساحة السطحية (الكلية) المستقيمات والمستويات فى الفراغ عالقة مستقيم بمستقيم عالقة مستقيم بمستوى عالقة مستوى بمستوي أخر
زمن تدريس الوحدة 8حصص
أشكال ثنائية البعد الدائرة
المضلعات القطاع الدائرى
الحجم
تطبيقات حياتية
دروس الوحدة
معادلة الدائرة
91
الوسائل التعليمية المستخدمة: سبورة تعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) -حاسب آلى -جهاز عرض بيانات -برامج رسومية -مجسمات هندسية -آلة حاسبة علمية .أدوات هندسية طرق التدريس المقترحة التعليم التعاونى -المحاضرة -المناقشة -العصف الذهنى - الطريقة االستقرائية -الطريقة االستنتاجية -االكتشاف الموجه حل المشكالت. طرق التقييم المقترحة أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية قبل وفى أثناء وبعد الدرس أو األنشطة المقترحة -تمارين عامة واختبار تراكمى فى نهاية الوحدة. المخطط التنظيمى للوحدة: يتناول المخطط التنظيمى لهذه الوحدة بعض المفاهيم األساسية للمستقيمات والمستويات سواء األشكال ثنائية البعد مثل المضلعات والدائرة أو ثالثية البعد كالهرم والمخروط، ونتناول المستقيمات والمستويات من خالل بعض الموضوعات كالمستقيمات والمستويات فى الفراغ وعالقة مستقيم بمستقيم آخر وعالقة مستوى بمستوى آخر ونختمها بتطبيقات حياتية متنوعة.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
63
الوحدة الثالثة
1
الدرس
الم�ستقيمات و الم�ستويات فى الفراغ The line and the plane in a space
1-3
الم�ستقيمات والم�ستويات فى الفراغ The lines and the planes in a space
فكر و
سوف تتعلم
مفاهيم ومسلامت هندسية
خلفية
العالقة بني مستقيمني ىف الفراغ
سبق أن درس الطالب بعض المفاهيم الرياضية حول كل من النقطة والمستقيم والمستوى ،واآلن سوف يتعلم كيف يمكن أن يتعين المستوى والعالقة بين مستقيين و بين مستقيم و مستوى وبين مستويين فى الفراغ. مخرجات التعلم
ناقش
سبق أن درست بعض المفاهيم الرياضية حول كل من النقطة ،والمستقيم ،والمستوى فهل يمكنك اإلجابة عن األسئلة اآلتية: ½ بِ َم تمثل مدينتك على خريطة جمهورية مصر العربية؟
العالقة بني مستقيم ومستوى ىف الفراغ األوضاع املختلفة ملستويني.
½ كم عدد النقاط التى تكفى لرسم خط مستقيم؟
½ ماذا يمثل لك كل من :أرضية الفصل الدراسى -سطح المنضدة -سطح الحائط.
½ ماذا يمثل لك كل من :سطح الكرة -سطح قبة المسجد -سطح أسطوانة الغاز.
نشاط
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
النقطة
ارسم نقطتين مختلفتين على ورق مقواة مثل ، Cب. استخدم المسطرة؛ لتصل النقطتين ،Cب ومدهما على نفس االستقامة. مستقيما آخر يمر بنفس النقطتين ،Cب هل يمكنك ذلك؟ حاول أن ترسم ً ماذا نستنتج من هذا النشاط؟
Point
املستقيم
Straight line
املستوى
Plane
الفراغ
C
ب
Space
فى نهاية هذا الدرس وتنفيذًا لألنشطة فيه ،من المتوقع أن يكون
نشاط
C
ارسم ثالث نقاط ،Cب ،جـ ليست على استقامة واحدة كما فى الشكل الجانبي جـ ضع قطعة من الورق المقوى على شكل مستطيل بحيث ينطبق أحد أبعادها على Cب حرك مستوى الورقة؛ لتدور حول Cب حتى ينطبق على النقطة جـ. ½ كم وض ًعا تنطبق فيه النقطة جـ على مستوى الورقة خالل دوران الورقة دورة كاملة؟
الطالب قاد ًرا على أن:
ب
يتعرف كيفية تعني املستوى .
يوجد العالقة من مستقيمني ىف الفراغ.
يوجد العالقة بني مستقيم و مستوى ىف الفراغ.
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية
برامج رسومية للحاسوب أدوات هندسية
يوجد العالقة بني مستويني ىف الفراغ.
حيل مسائل متعلقة باملستقيامت و املستويات ىف الفراغ .
92
تطبيقات الرياضيات -علمى
الوسائل التعليمية المستخدمة:
السبورة التعليمية -طباشير ملون -ادوات هندسية -آله حاسبة علمية. مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة 94إلى صفحة ،99الشبكة الدولية للمعلومات (االنترنت). التهيئة
اطرح على طالبك االسئلة اآلتية وناقش إجاباتهم للوصول إلى مفاهيم أساسية: ماذا يمثل لك احد حوائط الغرفة ؟ (مستوى ) ماهو تقاطع حائطين متجاورين (مستقيم) ما هو تقاطع حائطين متجاورين مع سقف الحجرة (نقطة) إجراءات الدرس وضح إلى طالبك بعض المفاهيم األساسية عن النقطة والمستقيم والمستوى من خالل نشاط ( )1و نشاط (.)2 ناقش مع طالبك مثال ( )1الذى يوضح العالقة بين النقطة والمستقيم و المستوى من خالل المفاهيم التى تعرف عليها الطالب (األنشطة السابقة).
64
تطبيقات الرياضيات -علمى
لوتسما ىو الوتسملاو
ام لتسملا 3 3
مسلمات هندسية:
تحديدا تا ًّما إذا علم عليه نقطتان مختلفتان. ½ يتحدد الخط المستقيم ً تحديدا تا ًّما بإحدى الحاالت اآلتية: ½ يتحدد المستوى ً ب
جـ
جـ
د
C
C
M
C
ثالث نقط ليست على استقامة واحدة
ب
M
مستقيم ونقطة التنتمى إليه
جـ
ب
C
ب
جـ
M
مستقيمان متقاطعان
د
M
مستقيمان متوازيان
½ أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد النهائى من المستويات.
E
C
المستوى :Planeهو سطح الحدود له بحيث إن المستقيم المار بأى نقطتين
فيه يقع بأكمله على ذلك السطح .ففى الشكل الجانبي يرمز للمستوى بالرمز M
أو Nأو ع أو ..أو يرمز له بثالثة أحرف على األقل مثل Cب جـ ....،وهو بال حدود من جميع جهاته ويمثل على شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو متوازى أضالع أو دائرة أو...
M ج
ب
الفراغ (الفضاء) :Spaceهو مجموعة غير منتهية من النقاط ،وهو الذى يحتوى جميع األشكال والمستويات والمجسمات محل الدراسة. مثال 1تأمل الشكل المقابل ،ثم أجب عن األسئلة اآلتية:
أ اكتب ثالثة مستقيمات تمر بالنقطة .C ب اكتب المستقيمات التى تمر بالنقطتين ، Cب م ًعا. ج اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطة .C
َ E
/
C
جـ
/
ب
/
E
C
ب
د اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطتين ، Cب م ًعا.
جـ
الحل
أ Cب ، CC ، ب C ،ب جـ C ، EE ج Cب َ
ب
/
EC
َ
Cب
E د Cب َب C ,ب جـ C ،ب ج َـ َ
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
93
اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ()1 صفحة ( )96و ناقش معهم الحلول التى توصلوا إليها.
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و� م
حاول أن تحل
1تأمل الشكل المقابل ثم أجب عن األسئلة اآلتية:
أ كم عدد المستقيمات بالشكل؟ اذكر المستقيمات التى تمر بنقطة.C ب كم عدد المستويات بالشكل؟ اذكر ثالثة منها تمر بالنقطة.C C
ب
تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:
جـ
ل1 ل1 ل2
ل1
ل2
C
M
()1
ل2
()2
إجابات
E
العالقة بين م�ستقيمين فى الفراغ
M
-1المستقيمان المتقاطعان :هما مستقيمان يقعان فى نفس .......................ويشتركان فى -2المستقيمان المتوازيان :هما مستقيمان يقعان فى نفس .......................واليشتركان فى ....................... -3المستقيمان المتخالفان :هما مستقيمان اليمكن أن يحتويهما .......................
أ عدد المستقيمات بالشكل 8 عدد المستقيمات التى تمر بالنقطة 3 C
ب عدد المستويات بالشكل 5 المستويات التى تمر بالنقطة Cهى م Cب ،م C ، E Cج E
M
()3
.......................
تمارين إثرائية :
تفكير ناقد :المستقيمان المتخالفان غير متقاطعين وغير متوازيين .فسر ذلك.
العالقة بين م�ستقيم وم�ستوى فى الفراغ
أكمل ما يأتى:
تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:
ل ل
- 1
ل
C C
ب
()1
M
½ المستقيم مواز للمستوى كما فى شكل
½ المستقيم قاطع للمستوى كما فى شكل
()2
()3
-2
M
-3
.......................
-4
.......................
½ المستقيم محتوى فى المستوى كما فى شكل
94
M
.......................
تطبيقات الرياضيات -علمى
الدرس
غارفلا ىف تايوتسملا و تاميقتسملا
-5
-6
أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد .................من المستقيمات أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد .................من المستويات عدد المستقيمات التى تمر بنقطتين , Cب ................. عدد المستويات التى تمر بنقطتين , Cب ................. عدد المستويات التى تمر بثالث فقط أ -على استقامة واحدة ................. ب -ليست على استقامة واحدة ................. عدد المستويات التى تمر بأربع نقاط ليست فى مستوى واحد ............
العالقة بين مستقيمين فى الفراغ
ناقش مع طالبك الموضوعات التالية من خالل عمل عصف ذهني لديهم. تحديد مستقيمين متقاطعين ويشكالن مستوى. تحديد مستقيمين متوازيين ويشكالن مستوى.
تحديد مستقيمين متخالفين و (ال يجمعهما مستوى واحد). فى بند تفكير ناقد أشر إلى اآلتى:
إن لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين (أى ال يجمعهما مستوى واحد) فهما متخالفان. العالقة بين مستقيم و مستوى فى الفراغ
ناقش مع طالبك اآلتي: -1تحديد مستقيم واقع فى جدار من جدران الحجرة. - 2تحديد مستقيم مواز لجدار الحجرة. - 3تحديد مستقيم قاطع لجدار الحجرة.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
65
���������������� لوتسما ىو الوتسملاو
حدد مع طالبك داخل الحجرة الدراسية:
الأو�ساع المختلفة لم�ستويين
مستويين متوازيين.
تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:
مستويين متطبقين (السبورة ،مستواها)
½ المستويان متوازيان كما فى الشكل
½ المستويان منطبقان كما فى الشكل
ب
َ
()2
()3
....................
....................
½ المستويان متقاطعان كما فى الشكل
....................
مثال م
أ المستوى م Cب ∩ المستوى م ب جـ = ب المستوى م ب جـ ∩ المستوى Cب جـ = ج م ب ∩ المستوى Cب جـ = .......................
z
د
د {ب}
z
م جـ ∩ Cب =
جـ
C
...............
.......................
ب
الحل
ب ب جـ
أ مب
حاول أن تحل
C
ج
=
/
/
Cجـ ∩ Cجـ = /
/
/
/
/
/
/
.......................
ب
/
.......................
.......................
د ب ب ∩ المستوى Cب جـ =
جـ
/
/
أ المستوى Cب ب ∩ Cالمستوى ب جـ جـ ب = ب المستوى Cب جـ ∩ المستوى Cب جـ = /
3إذا كان المستقيم ل // 1المستقيم ل 2فان ل ∩ 1لz = 2 فان N // M
ه {م}
2تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى:
2إذا كان المستقيم ل ⊃ المستوى Mفان ل ∩ = Mالمستقيم ل
N ∩ M
ج { ب}
د zألنهما مستقيمان متخالفان
1إذا كان المستقيم ل //لمستوى Mفان ل ∩ z = M
4إذا كان ،Mص مستويان حيث
...............
ه المستوى م Cب ∩ المستوى م ب جـ ∩ المستوى م Cجـ =
اجابات تمارين ()1-3
جـ
C
.......................
ب
95
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
z
5المستقيمان المتخالفان هما مستقيمان ليسا متقاطعين و ليسا متوازيين وال يجمعهما مستوى واحد
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
تمـــاريــن ()1 - 3 أكمل مايأتى:
1إذا كان المستقيم ل //المستوى ، Mفإن ل∩ ....................... = M 2إذا كان المستقيم ل ⊃ المستوى Mفإن ل ∩ ....................... = M
أ
ج
ه
ب عدد النهائي د مستوى واحد فقط
عدد النهائ ي عدد النهائي أربع مستويات
7أ ⊃ ب ∈ ج ∉ د ⊄ 8أ
9أ د
N
...................
أ ب ب
10
ب
N
()1
N
2تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى:
إجابات:
M
M
ناقش مع طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ( )2و تابع إجابتهم.
6
C
N
مستويين متقاطعين.
ج
ام لتسملا 3 3
Cب
ب
Cجـ
ج {}C
Cب جـ Eب E E C Cج zه {}E َ
َ
َ
َ
َ
َ
4إذا كان N ، Mمستويان حيث z = N ∩Mفإن N ............M
5المستقيمان المتخالفان هما مستقيمان ليسا .......................أو .......................
اذكر عدد المستويات التى تمر بكل من: أ نقطة واحدة معلومة. ج ثالث نقط على استقامة واحدة. ه أربع نقط ليست فى مستوى واحد
ب نقطتين مختلفتين . د ثالث نقط ليست على استقامة واحدة. ل
تأمل الشكل المقابل ثم أكمل باستخدام أحد الرموز ( ∈ أو ∉ أو ⊃ أو ⊄) ب M ............ C أ ل M ............ د ب جـ N ............ ج جـ N ............
ب
جـ
فى الشكل المقابل: N ، Mمستويان متقاطعان فى المستقيم ل ∈ C ،ل ،ب ∈ ، Mب ∉، N جـ∈ ، Nجـ∉ Mأكمل مايأتى:
C
N
M
ل
ب
أ المستوى ∩ Mالمستوى Cب جـ = ب المستوى ∩ Nالمستوى Cب جـ = ........................... ج المستوى ∩ Mالمستوى ∩ Nالمستوى Cب جـ = ........................... ...........................
Cب
أ ✓ ب ✓ ج ✓ د ✗
ه ✓ و ✓
66
3إذا كان المستقيم ل // 1المستقيم ل 2فإن ل ∩ 1ل....................... = 2
M
/
E
/
9
تطبيقات الرياضيات -علمى
جـ N
9تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى: أ المستوى Cب جـ // Eالمستوى ........................... C ب //المستوى ........................... ب المستوى ب جـ ج َـ َ َ ب ∩ Cالمستوى Cب جـ ........................... = E ج المستوى Cب َ C جـ ........................... = َE د المستوى Cب َب ∩ َCالمستوى Eجـ َ َ جـ ∩َEالمستوى Cب جـ ∩ Eالمستوى ............ = C َE E C ه المستوى Eجـ َ
تطبيقات الرياضيات -علمى
C
ب
/
جـ
/
E
ب
جـ
ام لتسملا 3 3
فى بند (التفكير اإلبداعى)
10ضع عالمة (�) أمام العبارة الصحيحة و عالمة (�) أمام العبارات الخاطئةفيما يلي بفرض أن ل ، 1ل 2مستقيمان، N،Mمستويان: أ إذا كان ل ∩ 1ل z =2فإن ل // 1ل 2أو ل ، 1ل 2متخالفان
ج إذا كان ل = M ∩ 2ل 2فإن
ب إذا كان ل z = M ∩ 1فإن لM // 1
د إذا كان ل N ⊃ 2فإن لz = N ∩ 2
و إذا كان N = Mفإن N ، Mمنطبقان
ه إذا كان z = N ∩ Mفإن
16الهدف من التفكير اإلبداعى هو تنمية قدرة الطالب على التخيل بأنه إذا تقاطعت ثالثة مستويات مثنى مثنى ،فإن خطوط تقاطعها أما تتوازى كما فى شكل ( )1أو تتقاطع فى نقطة واحدة و تكون هر ًما كما فى شكل(.)2
لM ⊃ 2
N // M
اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:
11أى أربع نقط ليست فى مستوى واحد تعين لنا: ب ثالث مستويات أ مستويان 12إذا اشترك مستويان فى نقطتين ، Cب فإنهما: أ متطابقان ج متقاطعان فى مستقيم ٍ مواز Cب
ج اربع مستويات
د ال تعين مستو
ب متقاطعان فى Cب
د يشتركان فى نقطة ثالثة ال تقع على Cب
C 13ب توازي المستوى Mإذا كان
أ Cب ∩ z = M ج ، Cب على بعدين مختلفين من المستوى M
ب ، Cب تقعان فى جهتين مختلفتين من M
د
شكل ()1
Cب ∩ z = M
14المستقيمان ل ، 1ل 2متوازيان إذا كان ب ل ∪ 1ل 2يقعان من مستوى واحد أ ل ∩ 1ل z =2 ج إذا كان ل ∩ 1ل ، z =2ل ، 1ل 2يجمعهما مستوى واحد. د إذا كان ل ∩ 1ل ، z =2ل ، 1ل 2ال يجمعهما مستوى واحد. 15يكون المستقيمان متخالفين إذا كانا أ غير متوازيين. ج اليجمعهما مستوى واحد.
ب غير منطبقين. د يقعان فى مستوى واحد.
تفكير ابداعى
1بين بالرسم أنه إذا تقاطعت ثالثة مستويات مثنى مثنى فإن مستقيمات تقاطعها إما أن تتوازى أو تتالقى فى نقطة واحدة:
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
7أ أربعة مستويات
9
ه ال يجمعهما مستوى واحد.
متقاطعان فى Cب
واحد.
شكل ()2
17أ تستقر الطاولة بثالثة أرجل على سطح األرض؛ ألن أطراف األرجل تمثل ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة.
ب الطاولة ذات األربع أرجل ال تستقر على سطح األرض
ب أسئلة إثرائية للطالب.:
بالضرورة ،ألن األربع نقاط ليس بالضرورة أن تكون مستوى (المستوى يتحدد بثالث نقاط فقط).
ضع عالمة (✓) أمام العبارة الصحيحة ،وعالمة (✗) أمام
ب ج Cب ∩ z= M د إذا كان ل ∩ 1ل ، z = 2ل ،1ل 2يجمعهما مستوى
الدرس
لوتسما ىو الوتسملاو
غارفلا ىف تايوتسملا و تاميقتسملا
العبارة الخطأ :
1أى ثالث نقط تعين مستوى .
(✗)
2أى أربع نقاط ليست فى مستوى واحد تحدد أربعة (✓) مستويات . 3إذا كان Cب جـ Eشكل رباعى فيه Cجـ ∩ ب { =Eم } (✓) فإن اضالع الشكل تقع فى مستوى واحد . 4تنطبق المستويات إذا اشتركت فى ثالث نقاط .
(✓)
6جميع المستقيمات الرأسية متوازية .
(✓)
5أى نقطتين يمر بها مستوى واحد فقط . 7جميع المستقيمات األفقية متوازية .
8إذا اشترك مستقيم ومستوى فى نقطتين مختلفين، فإن المستقيم يقع بتمامه فى المستوى .
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
(✗)
(✓) (✓)
67
الوحدة الثالثة
الهرم والمخروط
2
Pyramid and Cone
الدرس
2-3
الهرم والمخروط Pyramid and Cone
سوف تتعلم
خواص بعض املجسامت اهلرم -اهلرم املنتظم -اهلرم القائم -املخروط -املخروط القائم.
خلفية
اً أشكال ثنائية البعد ،منها المستطيل، سبق أن درس الطالب والمربع ،والمثلث المتساوى الساقين ،والدائرة ،وبعض المضلعات المنتظمة ،كما درس بعض األشكال ثالثية البعد مثل متوازى المستطيالت ،وعرف أنه مجسم جميع أوجهه الستة مستطيلة الشكل ،كل وجهين متقابلين منها متطابقان ،ويمكن تعبئة العديد من منتجات المصانع قبل تسويقها فى عبوات على شكل متوازى مستطيالت ،تصنع بطى شكل من ورق الكرتون المسطح يعرف بشبكة المجسم ،وفى هذا الدرس سيتعرف الطالب على مجسمات أخرى ،يمكن صنعها من طى شبكة مجسم تحوى مثلثات متساوية الساقين ومضلع منتظم أو قطاع دائرى ودائرة لتكون هر ًما منتظ ًما أو مخروطًا قائ ًما على الترتيب. مخرجات الدرس
مفهوم شبكة املجسم واستنتاج خواص املجسم من شبكته - رسم شبكة جمسم.
نمذجة و حل مشكالت رياضية و حياتية باستخدام خواص اهلرم و املخروط القائم.
تصنع العديد من العبوات بطى ورق الكرتون المسطح إلى أشكال ثالثية البعد لتعبئة منتجات المصانع قبل تسويقها فتشغل حيزا من الفراغ ،مثل المكعب ،متوازى ً المستطيالت ... ،
رأس
رأسا له؟ ½ كم وج ًها للمكعب؟ وكم ً
½ كم حرفًا لمتوازى المستطيالت؟
وجه
½ هل جميع أوجه المكعب متطابقة؟
فسرإجابتك.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
هرم
Pyramid
خمروط
Cone
وجه جانبى
Lateral face
حرف جانبى
Lateral edge
ارتفاع
Height
ارتفاع جانبى هرم منتظم
Slant hieght Regular pyramid
هرم قائم
Right pyramid
شبكة
Net
خمروط دائرى قائم
Right circular cone
األدوات والوسائل
أدوات هندسية
آلة حاسبة علمية برامج رسومية
9
حرف
نسمى الشكل الذى يمكن طيه لتكوين مجسم بشبكة المجسم ،ومنها نستنتج خواص المجسم. يبين الشكل المقابل شبكة أسطوانة دائرية قائمة ،الحظ:
10سم
- 1قاعدتى األسطوانة متطابقتين ،وكل منهما على شكل دائرة.
44سم
- 2السطح الجانبى لألسطوانة قبل طيه هو مستطيل بعداه 44سم 10 ،سم فيكون ارتفاع األسطوانة 10سم. ما طول نصف قطر قاعدة األسطوانة؟
فكر:
هل يمكنك معرفة اسم المجسم الذى يمكن تكوينه من طى الشبكة المقابلة؟ استنتج بعض خواصه. هل يمكن رسم أكثر من شبكة للمجسم الواحد؟ فسر إجابتك.
تطبيقات الرياضيات -علمى
فى نهاية هذا الدرس وتنفيذًا لألنشطة فيه من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يتعرف بعض املجسامت(اهلرم -اهلرم املنتظم -اهلرم القائم - املخروط القائم )وخواص كل منها.
يتعرف مفهوم شبكة املجسم واستنتاج خواص املجسم من شبكته، ورسم شبكة املجسم.
ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية باستخدام خواص اهلرم املنتظم واملخروط القائم.
التهيئة: اسأل طالبك :هل رأيتم أهرامات الجيزة؟ ما أكبر هذه األهرامات؟ ما األشكال الهندسية التى لقاعدة هرم خوفو وأوجهه الجانبية؟ كم وج ًها جانب ًّيا لهرم خوفو؟ بعض شبكات الهرم الرباعى
مفردات أساسية
هرم -مخروط -وجه جانبى -حرف جانبى -ارتفاع -ارتفاع جانبى -هرم منتظم -هرم قائم -شبكة مجسم -مخروط قائم. المواد التعليمية المستخدمة:
السبورة التعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) -جهاز عرض بيانات -حاسب آلى -مجسمات هندسية ،أدوات هندسية . مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة 98إلى صفحة - 102الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
68
تطبيقات الرياضيات -علمى
إجابة بند فكر ص 100
المجسم الناتج من طي الشبكة هو الهرم الرباعى ،وخواصه قاعدته على شكل مربع وأوجهه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ،يمكن رسم أكثر من شبكة للهرم موجودة بكتاب الطالب ص 102
رخهلال مرهلا 3 3
تمارين إثرائية:
Pyramid الهرم هرما ثالث ًّيا أو رباع ًّيا هو مجسم له قاعدة واحدة ،وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة ويسمى ً م أو خماس ًّيا ...حسب عدد أضالع مضلع قاعدته.
الحظ :فى الشكل المقابل م Cب جـ Eهـ هرم خماسى ،رأسه م وقاعدته المضلع Cب جـ Eهـ ،أوجهه الجانبية Lateral facesسطوح المثلثات م Cب، C م ب جـ ،م جـ ، Eم Eهـ ،م هـ ، Cوأحرفه الجانبية Lateral edgesم ، C س م ب ،م جـ ،م , Eم هـ . ارتفاع الهرم ( heightم ن) هو بعد رأس الهرم عن مستوى قاعدته. االرتفاع الجانبى ( Slant heightم س) هو بعد رأس الهرم عن أحد أضالع قاعدته. تعريف
الهرم المنتظم
-1الشكل المجاور م Cب جـ
جـ
الهرم = 6سم
Regular pyramid
هو الهرم الذى قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها.
خوا�ص الهرم المنتظم
المضلع المنتظم هو مضلع أضالعه متساوية الطول وزواياه متساوية القياس مركزه هو مركز الدائرة المرسومة داخله أو خارجه.
مالحظة هامة:
المستقيم العمودى من رأس الهرم على مستوى قاعدته يكون عمود ًّيا على أى مستقيم فيها. ففى الشكل المقابل إذا كان م ن عمودى على مستوى القاعدة فإن: م ن = Cجـ ،م ن =
بE
،م ن = ن س
C
مثال 1م Cب جـ Eهرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته يساوى 10سم ،وارتفاعه 12سم ،أوجد ارتفاعه الجانبى .
م
الحل
حيث ن نقطة تقاطع قطرى المربعCب جـ ، Eم ن = 12سم
()2
E
ويكون م س ارتفاع جانبى للهرم المنتظم.
ن C
أ ب 6
جـ
aالهرم رباعى منتظم ` م ن = المستوى Cب جـ E
بفرض س منتصف ب جـ ` م س = ب جـ (لماذا؟)
5 6
ن ب
س
ن ب
2
سم سم
الشكل التالى م Cب جـ هرم منتظم طول حرفه 12سم.
جـ
م
ب
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
12
2
جـ
ب ارتفاعه الجانبي. اإلجابة
E
س
C
أ طول حرفه الجانبي.
م
ويكون المثلث م س ن قائم الزاوية فى ن.
6سم
اوجد:
تذكر اأن
- 1أحرفه الجانبية متساوية الطول. - 2أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة . - 3االرتفاعات الجانبية متساوية.
وارتفاع
قاعدته 3 12
E
ب
م
هرم ثالثى منتظم طول ضلع
هـ ن
الدرس
طورخملاو مرهلا
2
99 12سم
إجراءات الدرس نموذجا لهرم خوفو وضح لطالبك أن الهرم هو مستخد ًما ً مجسم له قاعدة واحدة ،وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة تسمى رأس الهرم .ويسمى الهرم ثالث ًّيا او رباع ًّيا أو .....حسب عدد أضالع مضلع قاعدته: استنتج مع طالبك خواص الهرم المنتظم سواء كان ثالث ًّيا أو رباع ًّيا أو ....... اترك لهم الفرصة الستنتاج خواص الهرم المنتظم.
وضح لطالبك أن المستقيم العمودى على مستوى هو عمودى على أى مستقيم واقع على المستوى من خالل األعمدة المقامة داخل الفصل ،وبذلك يكون المستقيم العمودى من رأس الهرم على مستوى قاعدته عمود ًّيا على أى مستقيم فيه.
ناقش مع طالبك حل مثال( )1ص 101إليجاد االرتفاع الجانبى للهرم المنتظم مستخد ًما فى ذلك العصف الذهنى
C
أوجد:
ن
جـ
ب
-1ارتفاع الهرم الجانبى. -2ارتفاع الهرم. اإلجابة ارتفاع الهرم الجانبى = 3 6
ارتفاع الهرم = 6 4
سم
سم
ملحوظة :أن االرتفاع الجانبى للهرم هو أكبر من ارتفاع الهرم.
أخطاء شائعة:
قد يخطئ الطالب فى كلمة هرم منتظم ،وذكرهم بأن الهرم الذى ٍ مستو للتماثل. قاعدته مضلع له فى ضلع متساوية يوجد به ن دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
69
���������������� الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ( )1صفحة ( )102وتابع إجاباتهم:
فى E 9ب جـ :ن منتصف Eب ،س منتصف ب جـ
` ن س = E 12جـ = 5 = 10 * 12سم aم ن = المستوى Cب جـ E ` 9م ن س قائم الزاوية فى ن
بفرض س منتصف Cب
ب
الهرم القائم قائما إذا كان موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزها الهندسى. يكون الهرم ً
ن
فكر:
- 1هل الهرم المنتظم هو هرم قائم؟ فسر إجابتك. - 2هل االرتفاعات الجانبية للهرم القائم متساوية؟
جـ
هرما ثالث ًّيا منتظم الوجوه؛ إذا كانت جميع أوجهه مثلثات متساوية مالحظة هامة :يسمى الهرم الثالثى المنتظمً ، األضالع ،ويكون أى منها قاعدة له. المخروط هو مجسم له قاعدة واحدة على شكل منحنى مغلق ورأس واحدة ، ويتكون سطحه الجانبى من جميع القطع المستقيمة المرسومة من رأسه إلى منحنى قاعدته ،والتى يعرف كل منها براسم المخروط.
ويكون م س = 25سم (ارتفاع جانبى للهرم)
aارتفاع الهرم المنتظم يمر بمركز قاعدته الهندسية؟
م
راسم المخروط
فى 9م س ن القائم فى ن
(س ن)225 = 2)20( - 2)25( = 2
س
ن
محور المخروط جـ
ب
100
نصف قطر دائرة المخروط
تطبيقات الرياضيات -علمى
القطعة المستقيمة التى تصل رأس المخروط بأى نقطة على الدائرة تسمى بإسم المخروط
` ب جـ = 2س ن = 30سم
تمارين إثرائية:
أى أن طول ضلع قاعدة الهرم = 30سم.
30
25
25 30
25
الهرم القائم
وضح لطالبك مفهوم الهرم القائم الوارد فى صفحة 102 إجابات بند فكر ص 102
- 1فى الشكل المقابل :م Cب جـ Eهرم رباعى قائم ،قاعدته C المستطيل Cب جـ ، Eن نقطة 6سم تقاطع قطريه ،م ن = 10سم. ب أوجد: 1ـ أطوال ألحرف الجانبية؟ ماذا تالحظ 2ـ ارتفاعته الجانبية. اإلجابة:
خوا�ص المخروط القائم �ص 102
المخروط مشابه للهرم مع فرق واحد وهو أن قاعدته دائرية. أن المستقيم الذى يمر فى الرأس وفى نقطة مركز الدائرة يسمى محور المخروط. تطبيقات الرياضيات -علمى
1ـ أطوال ألحرف الجانبية = 5 5
2ـ , 116
109
م 10سم
الشكل التالى يوضح إحدى شبكات الهرم م Cب جـ .E
30
راسم المخروط
C -1جـ راسم المخروط C ،رأس المخروط ،النقطة جـ ترسم أثناء الدوران دائرة مركزها نقطة ب وطول نصف قطرها يساوى طول ب جـ وسطح الدائرة هو قاعدة المخروط.
20
aن منتصف Cجـ ،س منتصف Cب
30
C
قاعدة المخروط
` ن س = 15سم
30
رأس المخروط
القائم الزاوية فى ب دورة كاملة حول Cب كمحور فنجد:
م 25
القاعدة
خوا�ص المخروط الدائرى القائم.
يوضح الشكل المقابل مخروطًا دائر ًّيا قائ ًما ،ناشئ من دوران المثلث
حيث ن مركز المربع
رأس المخروط
Right circular cone المخروط الدائرى القائم هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعى القائمة كمحور.
= المستوى Cب جـ E
70
10
13
Right pyramid
Cone
25
13
13
1م Cب جـ Eهرم رباعى منتظم ارتفاعه 20سم ،وارتفاعه الجانبى 25سم .أوجد طول ضلع قاعدة الهرم.
` مس = Cب
` من
10
9م Cب متساوى الساقين.
10 13
حاول أن تحل
E
س
5سم
س
10
` قاعدته مربعة الشكل ،
ن
` االرتفاع الجانبى للهرم = 13سم ويوضح الشكل المقابل إحدى شبكات الهرم م Cب جـ .E
20سم C
12سم
ويكون( :م س)( = 2م ن)( + 2ن س)169 = 2)5( + 2)12( = 2
م
aم Cب جـ Eرباعى منتظم
م
E
ن 8سم
جـ
ناقش مع طالبك خواص المخروط القائم ومثالى ()3( ، )2 موضحا شبكة المخروط القائم. صفحة 103 ً
C -2ب محور المخروط عمودى على مستوى القاعدة ،ارتفاع المخروط يساوى طول Cب . مثال 2مخروط دائرى قائم ،طول راسمه 17سم ،وارتفاعه 15سم ،أوجد طول نصف قطر دائرته. الحل
التقييم المستمر(:الحوار والمناقشة)
باعتبار طول الراسم = ل ،ارتفاع المخروط = ع ، طول نصف قطر دائرة المخروط = H = 2H aل - 2ع2 ` 64 = 2)15( - 2)17( = 2H ` 8 = Hسم
ل
ع
اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ( )2صفحة ( )103وبند حاول أن تحل ( )3ص 104وتابع إجاباتهم.
H
حاول أن تحل
2أوجد بداللة rمحيط ومساحة قاعدة مخروط دائرى قائم ارتفاعه 24سم وطول راسمه 26سم.
فكر C :ب جـ مثلث C ،ب = Cجـ E ،منتصف ب جـ .إذا دار المثلث Cب جـ نصف دورة كاملة حول هل ينشأ مخروط دائرى قائم؟ فسر إجابتك. �شبكة المخروط القائم: يمكن طى شبكة المخروط القائم؛ لتكوين عبوات مخروطية الشكل كما فى الشكل المقابل حيث: C - 1ب = Cجـ = ل (طول راسم المخروط).
EC
كمحور.
2باعتبار طول الراسم = ل ،ارتفاع المخروط = ع ،طول نصف قطر دائرة قاعدته = H aع = 24سم ،ل = 26سم ل ع ` = 2Hل - 2ع2 = (100 = 2)24( - 2)26 H ` 10 = Hسم
راسم المخروط
ب
جـ
السطح الجانبي
C
C E
ب
إجابات حاول أن تحل:
رأس المخروط
C
- 2القطاع الدائرى Cب جـ يمثل السطح الجانبى للمخروط ،طول ب جـ = H r 2 ( Hطول نصف قطر قاعدة المخروط).
ن ب /جـ
جـ
ن
E
مثال 3يوضح الشكل المقابل شبكة مخروط قائم، ) 22 مستع ًينا بالبيانات المعطاة ،أوجد ارتفاعه7 = r( . الحل
من شبكة المخروط نالحظ أن: طول راسم المخروط = طول م 21 = Cسم محيط قاعدة المخروط = طول Cب = 44سم. طول نصف قطر قاعدة المخروط = طول جـ ن = .H
21سم
م
C
جـ
21سم 4سم 4
ب
101
- 2فى الشكل المقابل م Cب جـ هرم رباعى قائم قاعدته المعين Cب جـ Eطوال قطره 12سم16 ،سم ن C 8سم سم نقطة تقاطع قطريه 6 ب م ن = 10سم. أوجد: 1ـ أطوال األحرف الجانبية؟ ماذا تالحظ 2ـ ارتفاعاته الجانبية E
محيط قاعدة المخروط = r20 = Hr2سم مساحة سطح قاعدة المخروط = 2 Hr = r 100سم2 م 3من شبكة المخروط: م = Cل = 21سم ارتفاع المخروط = م ن r18سم ب بفرض أن طول نصف قطر قاعدة المخروط = Hسم
ن
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
م
10سم
اإلجابة:
الدرس
طورخملاو مرهلا
رخهلال مرهلا 3 3
- 3ارتفاع المخروط = طول Cن .
2
1ـ أطوال الحرف الجانبية 41 2 ، 34 2
2ـ أطوال االرتفاعات 11٫1 -سم
6
ن
سم
8سم
E
جـ
41سم
C
جـ
` طول Cب = محيط دائرة قاعدة المخروط ويكون r18 = Hr2 ` 7 = Hسم aع = 2ل2H - 2 ` ع2)7( - 2)21( = 2 ل = 16 * 100 = 32 * 50 ` ع = 40سم H
ن
ع
أخطاء شائعة:
قد يخلط الطالب بين ارتفاع الهرم واالرتفاع الجانبى له ،تأكد من وضوح المفاهيم فى أذهان الطالب.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
71
���������������� الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
إجابات بعض تمارين ()2-3
1
عند طى شبكة المخروط نحصل على الشكل المقابل فيكون: ارتفاع المخروط = طول م ن = ع 44 = H * 22أى أن 7 = Hسم 44 = H r 2 a `7 *2 aع = 2ل2H - 2
أ 5ب 6ج 5
تفكير ناقد :هل العبارة التالية صحيحة" :ارتفاع المخروط القائم
120 120
100
120
100
2فى الهرم المنتظم ،رتب األطوال التالية من األصغر إلى األكبر ب ارتفاع الهرم. أ طول الحرف الجانبى. ج االرتفاع الجانبى.
120
الهرم األكبر هرم رباعى منتظم ` قاعدته مربعة الشكل ويكون C ب جـ = 232متر 1 س س ن = 2ب جـ = 116متر aارتفاع الهرم الجانبى = م س = 186مترا ب ً ` فى 9م س ن القائم الزاوية فى ن يكون:
4الربط بالجوالة :خيمة على شكل مخروط دائرى قائم ارتفاعها 160سم ومحيط قاعدتها 753٫6سم احسب طول راسم مخروط الخيمة.
` م ن = 145٫4
72
تطبيقات الرياضيات -علمى
150سم2
12سم
C
تطبيقات الرياضيات -علمى
معلومات إثرائية م
1فى الشكل المقابل م Cب قطاع دائرى قياس زاويته المركزية هـE
يتولد مخروط دائرى قائم طول راسمه يساوى 12سم 1 aمساحة القطاع = 2طول قوس القطاع * طول نصف قطر دائرته.
` طول ب جـ = 25سم بفرض أن طول نصف قطر دائرة المخروط = Hسم
جـ
` 25 = Hr2ويكون 4 - Hسم aع = 2ل2H - 2 جـ = (2)4( - 2)12 = 8 * 16 ` ع = 11٫3 - 2 8سم أى أن ارتفاع المخروط يساوى 11٫3سم تقري ًبا.
6نمذجة المسألة
1 ` مساحة القطاع Cب جـ = * 2طول ب جـ * 12 = 150
160سم
الربط بالصناعة :تغلف األلبان المثلجة فى مخروط دائرى قائم بطى قطعة من الورق العازل للحرارة على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 12سم 2 ومساحته 150سم بحيث يتالمس نصفا قطرى دائرته Cب C ،جـ .أوجد ارتفاع ب المخروط[ .تذكر :مساحة القطاع = 12طول قوسه * طول نصف قطر دائرته].
مترا تقري ًبا. أى أن ارتفاع الهرم األكبر يساوى ً 145
عند طى القطاع الدائرى Cب جـ بحيث يتالمس Cب C ،جـ
100سم
5الربط بالسياحة :هرم الجيزة األكبر (هرم خوفو) طول ضلع قاعدته مترا ،أوجد ارتفاع الهرم. مترا ،وارتفاعه الجانبى ً 186 ً 232
102
ن
0
3هندسة مدنية :يوضح الشكل المقابل خزان مياه على شكل هرم رباعى منتظم مستعي ًنا كال من ارتفاع الوجه الجانبى وارتفاع الخزان . بالبيانات المعطاة أوجد ًّ
م
E
13
سم
سم 10 0
5نمذجة المسألة
>
طول راسمه"؟ فسر إجابتك.
1فى الهرم الخماسى المنتظم: ب ما عدد األوجه. أ ما عدد أوجهه الجانبية. د ما عدد أحرفه. ج ما عدد أحرف الجانبية. ه للهرم رأس واحدة خالف رؤوس القاعدة .ما عدد جميع رؤوس الهرم الخماسى؟ هل تحقق إجابتك عالقة أويلر ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعه" .عدد األوجه +عدد الرؤوس= عدد األحرف "2 +
األسئلة من ( )4إلى ( )6مرتبطة بالبيئة المحيطة للطالب ويقوم الطالب بنمذجة بعض المسائل لحلها. 4طول راسم مخروط الخيمة = 200سم
H
تمـــاريــن ()2 - 3
معالجة بع�ض الق�ضايا المرتبطة بالبيئة
= (2 )116( - 2)186
جـ
حاول أن تحل
3االرتفاع الجانبى = 120سم ارتفاع الخزان 109 -سم الشكل المقابل يوضح إحدى شبكات الخزان الهرمى الشكل.
ن
3فى الشبكة السابقة للمخروط القائم ،إذا كان م 41 = Cسم ،طول Cب = r 18سم أوجد ارتفاع المخروط.
2ارتفاع الهرم ،االرتفاع الجانبى ،طول الحرف الجانبى
(م ن)( = 2م س)( - 2س ن )2
ع
` ع 28 * 14 = 2)7( - 2)21( = 2أى أن ع = 2 14سم ` ارتفاع المخروط الدائرى القائم = 2 14سم.
د 10هـ نعم تحقق
م
محيط القطاع = + H 2ل مساحة القطاع =
1 = 2ل H
1 2
هـ2H E
هـ E
C
ل
H
ب
الوحدة الثالثة Surface area of pyramids and cones سبق أن تعلمت خواص الهرم والمخروط الدائرى القائم ،وقمت باستنتاج بعضها من خالل شبكة كل منهما .هل يمكنك حساب المساحة الجانبية والمساحة الكلية (السطحية) لكل من الهرم المنتظم والمخروط الدائرى القائم من شبكتيهما؟ فسر إجابتك. الم�شاحة الكلية للهرم المنتظم منتظما ،وإحدى شبكاته. يوضح الشكل التالى هر ًما رباع ًّيا ً
ل
ل
ل
س
س
ل
3-3
Surface area of pyramids and cones
سوف تتعلم
المواد التعليمية المستخدمة:
إجياد املساحة اجلانبية واملساحة الكلية (السطحية( لكل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.
السبورة التعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) -جهاز عرض بيانات -حاسب آلى -مجسمات هندسية.
نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن املساحة السطحية لكل من اهلرم واملخروط القائم.
ل
س
س
س
الحظ أن :األوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة االرتفاعات الجانبية متساوية وكل منها = ل قاعدة الهرم مضلع منتظم طول ضلعه = س ويكون: المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحات أوجهه الجانبية = 1 2 = 1 2 = 12محيط قاعدة الهرم * االرتفاع الجانبى. المساحة الكلية للهرم = المساحة الجانبية له +مساحة قاعدته.
طرق التدريس المقترحة
اكتشاف موجه -مناقشة -عصف ذهنى -حل مشكالت.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
املساحة اجلانبية
(Lateral surface area (L.S.A
املساحة الكلية (السطحية(
(Total surface area (T.S.A
مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة 103إلى صفحة 106
س * ل 12 +س * ل 12 +س * ل 12 +س * ل (س +س +س +س) ل
تعلم المساحة الجانبية للهرم المنتظم = 12محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى.
األدوات والوسائل
التهيئة: اسأل الطالب عن طرق إيجاد مساحة سطح المثلث وراجع معهم المهارات األساسية لحساب مساحة ،ومحيط كل من الدائرة والقطاع الدائرى.
آله حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب
المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية +مساحة قاعدته.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
103
إرشادات للدراسة
خلفية
تبين شبكة المجسم خواص المجسم ،كما أنها توضح جميع أوجه المجسم ،وبذلك تكون مساحة شبكة المجسم مساوية لمساحة جميع أوجهه ،أى مساحته الكلية .وفى هذا الدرس سيتعلم الطالب كيفية حساب المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم المنتظم والمخروط القائم. مخرجات الدرس فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ مافيه من انشطة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يوجد املساحة اجلانبية واملساحة الكلية (السطحية) لكل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.
يمكنك إعطاء بعض الصيغ و العالقات الرياضية التى تفيد فى حل التمارين عند الحاجة إليها و منها على سبيل المثال:
1ـ 2ـ
-3 -4
ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن املساحة السطحية لكل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.
مفردات اساسية:
المساحة الجانبية -المساحة الكلية.
الدرس
الم�شاحة الكلية لكل من الهرم والمخروط
3
الم�ساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط
محيط أى شكل مستو = مجموع أطوال أضالعه محيط الدائرة = Hr2 محيط القطاع الدائرى = + H2ل مساحة أى شكل رباعى = نصف حاصل ضرب قطريه مضرو ًبا فى جيب الزاوية المحصوره بينها مساحة المربع = ل 2حيث ل طول ضلع المربع 1 مساحة المعين = 2حاصل ضرب طوال القطرين C مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه فى الشكل المقابل Cب جـ مثلث قائم الزاوية فيه = E Cب جـ Cب * Cجـ
=E C
Cب=
ب جـ
ب
=
E
جـ
ب E * Eجـ
ب جـ * ب E
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
73
���������������� الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
إجراءات الدرس:
استنتج مع طالبك المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم المنتظم ودع الطالب يالحظوا أن المضلع المنتظم الذى عدد أضالعه ن ،ينقسم إلى ن من المثلثات المتطابقة والمتساوية الساقين ورأس كل منها مركز الدائرة الداخلة أو الدائرة الخارجة للمضلع المنتظم ،كما أن قياس زاوية رأس حيث K
عدد اضالعه المضلع المنتظم = (c180*)2-K K
فى مثال ( )1صفحة ( )106اطلب إلى طالبك استنتاج خواص المجسم من شبكته المعطاة وحساب مساحته الكلية. نشاط:
اطلب إلى طالبك رسم شبكات أخرى لهذا المجسم وتابع رسم كل منها.
مثال 1باستخدام الشبكة التى أمامك .صف المجسم وأوجد مساحته الكلية.
C
حل حاول أن تحل ( )1صفحة ()106
بفرض أن :ب و = ل
E
1
` Eهـ = 2ب جـ = ل 1
Eو = C 2جـ = ل 1 هـ و = C 2ب = ل
ل
ل
ب
18سم ل
18سم
و
هـ ل
ل
جـ
` E 9هـ و متساوى األضالع طول ضلعه ل.
` الشبكة لهرم ثالثى منتظم جميع أوجهه مثلثات متساوية األضالع ارتفاع كل منها 18سم .ويكون
= 18جا 60 ل
` ل = 3 12سم المساحة الكلية للهرم = 4مساحة EC 9هـ 1 = 12 * 3 12 * 2 * 4 = 3 432
الشبكة لهرم رباعى منتظم. قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها 10سم ،طول حرفه الجانبى = 13سم. aالوجه الجانبى م Cب مثلث متساوى الساقين ،م هـ ارتفاع جانبى. ` هـ منتصف Cب أى أن Cهـ = 5سم فى 9م هـ Cالقائم الزاوية فى هـ نجد أن (م هـ)C( = 2م)C( - 2هـ)2 (م هـ)144 = 2)5( - 2)13( = 2 ` م هـ = 12سم aالمساحة الجانبية للهرم المنتظم = 12محيط القاعدة * االرتفاع الجانبى ` المساحة الجانبية = 240 = 12 * )4 * 10( * 1سم2 2 aمساحة قاعدة الهرم = (100 = 2)10سم2 ` المساحة الكلية للهرم = 340 = 100 + 240سم2
م 13سم
E
C
هـ
جـ
ب
18سم
حاول أن تحل
1باستخدام الشبكة التى أمامك صف المجسم وأوجد مساحته الكلية. 18سم
الم�شاحة الكلية للمخروط القائم من شبكة المخروط القائم فى الشكل المقابل
مساحة القطاع Cب جـ = C 12ب * طول ب جـ = 12ل * محيط قاعدة المخروط = 12ل * r = H r 2ل H = المساحة الجانبية للمخروط القائم المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية له +مساحة قاعدته
ب
ل
تعلم
C ل
جـ E
H
H
تذكر اأن rلH
المساحة الكلية للمخروط القائم = rل ( H r = 2H r + Hل )H +
حيث ل طول راسمه H ،طول نصف قطر دائرته.
104
18سم
القطاع الدائرى هـ = Eل نق محيط القطاع = 2نق+ل
مساحة القطاع = 1ل H 2 = 1هـ 2H E 2
تطبيقات الرياضيات -علمى
تعلم� :إيجاد الم�ساحة الكلية للمخروط القائم.
ناقش مع طالبك طرق حساب مساحة القطاع الدائرى بداللة طول نصف قطر دائرته وطول قوسه أو قياس زاويته المركزية ،ثم دعهم يستنتجوا المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمخروط القائم كما ورد فى صفحة (.)106 أخطاء شائعة:
3جا 60
انطالقًا من حل حاول أن تحل ( )1قدم لطالبك تعريف الهرم الثالثى منتظم الوجوه ،ثم اطلب إليهم حساب المساحة الكلية لهرمين منتظمى الوجوه طول حرف األول 10سم وطول حرف اآلخر 20سم وإيجاد النسبة بين مساحتهما.
74
سم2
13
سم
اطلب إليهم حساب النسبة بين مساحتيهما إذا كان طول حرف األول 12سم وطول حرف اآلخر 24سم ،هل تتغير هذه النسبة؟ لماذا؟
ل
18سم
10سم
الحل
المساحة الجانبية للمخروط القائم =
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ()1 صفحة ( )106ومتابعة إجاباتهم.
10سم
تطبيقات الرياضيات -علمى
قد يستخدم الطالب قياس زاوية القطاع الدائرى بالدرجات الستينية عند حساب مساحته ،وضح لهم أنه يجب التحويل من درجات ستينه إلى درجات نصف قطرية ( الراديان) حيث 1 مساحة القطاع = 2H 2هـ.E الحظ ان شبكة المخروط الدائرى القائم هى قطاع دائرى طول قوسه يمثل محيط قاعدة المخروط وطول نصف قطر القطاع هو طول راسم المخروط.
مخملا ا ر لا ار لال ا رخهلال مرهلا 3 3
الحل:
مثال
aالمخروطان متشابهان
2أوجد المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم ،وارتفاعه 20سم. الحل
إليجاد طول راسم المخروط ل aل625 = 2)15( + 2)20( = 2 ` ل = 25سم aالمساحة الجانبية للمخروط القائم = rل 15 = H ، Hسم ` المساحة الجانبية للمخروط القائم = r 375 = r 15 * 25سم2
ل
20سم
15سم
حاول أن تحل
H
=
=3
= ،H3ل =3ل /
80
50
سم
50سم
ل
/
H
/H
=
المساحة الكلية للمخروط اآلخر =
+ H( Hrل) / / / + H( Hrل )
+ H( Hل) + H(3 * H3ل)
` المساحة الكلية للمخروط اآلخر = 450 = 9 * 50سم2
الحل
120سم
ب مخروطان قائمان متشابهان ،المساحة الجانبية لهما 75سم،2 1200سم .2أوجد النسبة بين طوال نصف قطر قاعدة كل منهما بنفس الترتيب. حاول أن تحل ( )3ص 107 محيط دائرة المخروط =88 = Hr 2 ع 22 ل ` 88 = H 7 * 2
المخروط الثانى :ع = 120سم 50 = H،سم ` ل130 = 2)50(+ 2)120( = 2سم ` المساحة الجانبية = r130 * 50 = r 6500سم2 مساحة سطح العالمة اإلرشادية = ( r 10500 = r)6500 + 4000سم2 3٫299 -متر مربع تكاليف الطالء = 989٫7 = 300 * 3٫299جني ًها
حاول أن تحل
3غطاء مصباح على شكل مخروط قائم محيط دائرته 88سم وارتفاعه 20سم، احسب مساحته ألقرب سنتيمتر مربع. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
/
ل ل
/
ل
المساحة الكلية للمخروط األول المساحة الكلية للمخروط اآلخر
مثال
مساحة سطح العالمة اإلرشادية = المساحة الجانبية للمخروط األول +المساحة الجانبية للمخروط الثانى. المخروط األول :ل = 80سم 50 = H ،سم ` المساحة الجانبية = r80 * 50 = r4000سم2
/
H H
2أوجد المساحة الكلية لمخروط قائم طول راسمه 17سم وارتفاعه 15سم. 3مالحة بحرية :يوضح الشكل المقابل عالمة إرشادية (شمندورة) لتحديد المجرى المالحى ،وهى على هيئة مخروطين قائمين لهما قاعدة مشتركة. علما بأن تكاليف المتر المربع أوجد تكاليف طالئه بمادة مقاومة لعوامل التعريةً ، الواحد منها 300جنيه.
الدرس
طورخملاو مرهلا نم لكل ةيلكلا ةحاسملا
3
` 14 = Hسم
105
`ل (طول الراسم) =
220 + 214
H
= 149 2
التقييم المستمر (الحوار والمناقشة) المساحة الكلية للمخروط = ( Hrل )H + 22 = )14 + 149 2( = 14 * 7 اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ( )2صفحة ( )107ومتابعة إجاباتهم. 1690٫2 - إجابات تمارين ()3-3
حل حاول أن تحل ( )2صفحة ()107
بفرض أن طول نصف قطر 17سم دائرة المخروط = Hسم 15سم ` = 2Hل - 2ع2 = (2)15( - 2)17 H = 2 * 32 ` 8 = Hسم المساحة الكلية للمخروط = H r + 2Hrل = 17 * 8 * r + 64 * r = r200سم2
Cجـ
1أ
ب ب جـ ج
د Cب هـ ⊂ ⊂ ،و {جـ}
2المساحة الجانبية 90سم 2
أ ب 360سم 2 ج 960سم 2
3المساحة الجانبية
تمرين إثرائى :
أ مخروط دائرى قائم مساحته الكلية 50سم .2أوجد المساحة الكلية لمخروط آخر مشابه له إذا كان طول نصف قطر دائرة قاعدته مساو ًيا ثالثة أمثال طول نصف قطر دائرة قاعدة المخروط األول.
جـE
r72
أ ب 27 ج 30
المساحة الكلية
3 9 + 90
= 105٫6سم2
504 = 144 + 360سم2
1360 = 400 + 960سم2
المساحة الكلية
r108 = r36 + r72سم2
897٫3= r 80 + r 58 27 r 58
528٫6 = r 56 + r 14 30 r 14
4المساحة الجانبية
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
75
���������������� 1
3 360 = 3 10 * 12 * 6 * 2
* 6 + 3 360مساحة 9م Cب
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
تمـــاريــن ()3 - 3
المساحة الكلية
= 360
= 360
1الشكل المقابل يمثل هرم ثالثى ،N ، M ،ع ثالث مستويات أكمل مايأتى : أ ........................... = N ∩ Mب ∩Mع = ...........................
1 * 12 * 12 * 2 * 6 + 3جا 60
576 = 3
216 + 3
3
ج ∩ Nع =
هـ ب جـ
........................
سم2
6سم
r
1
= c210هـE
م
1
ع 2)21( - 2)36( = 2
ب
*H
aمحيط دائرة المخروط = طول قوس القطاع الدائرى.
` 21 = Hسم
ع = 29٫24 - 95 3سم
76
13سم
طويت قطعة من الورق المقوى على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 36سم وقياس زاويته c210 لتصنع مخروطًا دائر ًّيا قائ ًما .أوجد ارتفاع المخروط. (مساحة القطاع = 2H 12هـ H ، Eطول نصف قطر دائرة القطاع ،هـ Eقياس زاويته المركزية بالراديان). أوجد طول نصف قطر دائرة مخروط قائم ،إذا كان طول راسمه 15سم ،ومساحته الكلية r154سم.2 تطبيقات الرياضيات -علمى
تمرين إثرائى
E
aمساحة القطاع = 2H 2هـ 2 = Eطول E Cب 7 ` طول E Cب = Hهـr42 = r 6 * 36 = E ` r42 = Hr2
10سم
7طول نصف قطر دائرة المخروط = 7سم.
تفسير حل النموذج
36
21سم
9سم
13سم
15سم
أ أوجد مساحة الورق المقوى المستخدم إلنتاج 1000عبوة. ب احسب تكاليف الورق المقوى المستخدم إذا كان تكلفة المتر المربع الواحد منه 15جني ًها.
10
المساحه الجانبية = مساحة القطاع الدائرى من الورق المقوى.
` هـ = E
12سم
20سم
5الربط بالصناعة :تصنع عبوات منتجات أحد المصانع من الورق المقوى بطى شبكة المجسم المقابلة.
6نمذجة المسألة:
7 r6
24سم
4هرم سداسى منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وارتفاعه الجانبى 3 10سم .أوجد: ب مساحته الكلية أ مساحته الجانبية
اختبار الحل
C
15سم
6سم
المشكلة
36
ب
..............................
12سم
اطلب إلى طالبك حل تمارين مختارة من تمارين الدرس الثالث صفحة 108كتاب الطالب وتابع إجاباتهم مستعي ًنا بالمخطط التالى فى حل المشكالت.
aزاوية القطاع = c210 هـ 210 E ` = 180
ع
ع
جـ
E
3أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل مخروط قائم حسب البيانات المعطاة. ج ب أ
تكاليف الورق المقوى = 510 = 15 * 34جني ًها
...........................
10سم
=340 * 1000سم34 * 410 = 2سم34 = 2م2
الرياضى المناسب
........................
M
N
2أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل هرم منتظم حسب البيانات المعطاة. ج ب أ
1
وضع النموذج
..................................
د Cب ∩ =M
، Mب جـ
و ∩ N ∩ Mع =
5المساحة الجانبية = * 10 * 4 * 2االرتفاع الجانبى = 240 = 12 * 20سم2 المساحة الكلية = 340 = 100 + 240 مساحة الورق المقوى المستخدم النتاج 1000عبوة
حل النموذج الرياضى
C
ع 21
= 15* 57
تطبيقات الرياضيات -علمى
يبين الشكل المقابل غطاء مصباح قاعدتاه دائرتان متوازيتان .أوجد مساحة سطحه. اإلجابة :
15سم 36سم 30سم
الشكل المقابل يوضح مساحة سطح غطاء المصباح وتكون المساحة الكلية = م - 2م1
حيث: م = 1المساحة الجانبية للمخروط األكبر. م = 2المساحة الجانبية للمخروط األصغر. ` المساحة المطلوبة = r 1755سم2
15سم 36سم 30سم
الوحدة الثالثة Volumes of pyramids and cones
فكر و
ناقش
سوف تتعلم
سبق أن تعلمت كيفية حساب حجم المنشور القائم وحجم األسطوانة الدائرية القائمة.
إجياد حجم املخروط القائم
رأس -قاعدة -وجه -محور -ارتفاع -ارتفاع جانبى -حجم.
نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن حجم كل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.
المواد التعليمية المستخدمة.
هل تستطيع تقدير حجم المخروط القائم بداللة حجم أسطوانة لها نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟
السبورة التعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) -جهاز عرض بيانات -حاسب آلى -برامج رسومية -آلة حاسبة -مجسمات هندسية -مخبار مدرج -ماء.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
نشاط
رأس
-2اقطع واطو كل شبكة؛ لتصنع نموذجين أحدهما السطح الجانبى لهرم رباعى ،والثانى منشور قائم مفتوح من أعلى. -3امأل الهرم بحبات األرز أو الرمل ،وأفرغه فى المنشور ،كرر ذلك حتى يمتلئ المنشور تما ًما.
4سم
6سم
Base
وجه
Face
حمور
نصف قطر
4سم 6سم
Vertex
قاعدة
المقارنة بين حجمى هرم ومنشور لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع.
-1ارسم على ورق مقوى شبكتى الهرم والمنشور الموضحتين فى الرسم أمامك.
4
مفردات أساسية
إجياد حجم اهلرم املنتظم.
هل تستطيع تقدير حجم الهرم بداللة حجم المنشور القائم الذى له نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟
Volumes of pyramids and cones
الدرس
حجم الهرم والمخروط القائم
4-3
حجم المخروط والمخروط القائم
4سم
حجم
Axis Radius Volume
طرق التدريس المقترحة:
4سم 5سم 5سم
الحظ أن المحتويات (حبات األرز أو الرمل) التى تلزمك لملئ المنشور سوف تمأل تما ًما ثالثة أهرامات.
6سم
6سم
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -التعلم التعاونى - االكتشاف الموجه -حل المشكالت.
األدوات والوسائل
5سم
آلة حاسبة علمية -برامج رسومية للحاسوب
5سم
مصادر التعلم:
أى أن حجم الهرم = 13حجم المنشور الذى له نفس مساحة قاعدة الهرم (ق) ونفس ارتفاع الهرم (ع). كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
كتاب الطالب من صفحة 107إلى صفحة - 111الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
10
خلفية
أهرامات الجيزة من عجائب الدنيا السبع ،وأكبرها هو هرم خوفو ،وقد قام ببنائه 100000عامل ،وتراوحت مدة بنائه من 20إلى 30عا ًما. مترا وارتفاعه قاعدة هرم خوفو على شكل مربع طول ضلعه ً 232 مترا ،هل نستطيع حساب حجمه؟ فى هذا الدرس سوف ً 146 يدرس الطالب إيجاد حجم كل من الهرم والمخروط القائم، ويستخدمهما فى نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية. مخرجات الدرس فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ مافيه من أنشطة من المتوقع أن يكون الطالب قاد ًرا على أن:
يستنتج حجم كل من اهلرم القائم واملخروط القائم.
ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن حساب حجم كل
التهيئة: اسأل طالبك لديك مخبار مدرج وماء كيف يمكنك إيجاد حجم هرم منتظم؟.
اطلب إلى طالبك مقارنة حجم الهرم بحجم منشور قائم، مساحة قاعدته تساوى مساحة قاعدة الهرم ،وارتفاعه هو نفس ارتفاع الهرم وتسجيل مالحظاتهم. إجراءات الدرس:
مستعي ًنا بمالحظات الطالب السابقة وبند نشاط صفحة ()109 كتاب الطالب وضح لطالبك أن: 1 حجم الهرم = 3مساحة قاعدته * ارتفاعه موضحا كيفية ثم ناقش معهم مثال ( )1الوارد فى صفحة 110 ً حساب حجم الهرم.
من اهلرم القائم واملخروط القائم.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
77
���������������� التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ( )1صفحة ( )110كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم . إجابات حاول أن تحل صفحة ()110
1
حجم الهرم = 3 448 = 14 * 3 96 * 3
ارتفاع الهرم =
حجم الهرم =
2)16( * 1
3
161
سم3
ن س 2ظتا r
14سم
10سم
1082٫8 -سم3
ن
4 15سم
17سم
8سم
فكر :عند المقارنة بين حجمى مخروط دائرى قائم وأسطوانة قائمة لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع نجد أن: حجم المخروط = 13حجم األسطوانة.
كيف تفسر ذلك رياض ًّيا؟
10
تطبيقات الرياضيات -علمى
ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح 3 3 حجم المخروط
Volume of a cone
تعلم
2H r 1ع = 1188سم3
ع
حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه أى أن :حجم المخروط = 2H r 13ع حيث (نق) طول نصف قطر دائرة المخروط ( ،ع) ارتفاع المخروط
3
ب 100 = 2)24( - 2)26( = 2H حجم المخروط = 2512سم3
H
حاول أن تحل
9سم
26سم
5سم
مثال 2الربط بالفيزياء :سبيكة من الذهب الخالص على هيئة مخروط قائم ارتفاعه 4٫2سم ،وطول نصف قطر دائرته 1٫5سم .أوجد كثافة الذهب إذا كان كتلة السبيكة 191جم.
a 3محيط دائرة المخروط = r 6سم ` r 6 = Hr 2 ويكون 3 = Hسم
الحل
aحجم المخروط = 2H r 13ع 1٫5 = H ،سم ،ع = 4٫2سم ` حجم الذهب فى السبيكة = = )4٫2( 2)1٫5( r3 الكتلة aالكثافة = الحجم
1 2Hr 3ع = r27
ويكون ارتفاع المخروط = 9سم
24سم
سم
14سم
13
2أوجد حجم المخروط القائم الموضح بالشكل مستخد ًما البيانات المعطاة. ج ب أ
ج ع ` 2)5( - 2)13( = 2ع = 12سم حجم المخروط = 314 = 12 * 2)5( * 3٫14 * 1سم3 3
ع
مساحة سطح مضلع منتظم عدد أضالعه ن ،وطول ضلعه س تساوى
9سم
21سم
إجابات حاول أن تحل صفحة ()111
1 ` 2)3(r 3ع = r27
تذكر اأن
حاول أن تحل
دع طالبك يستنتجوا حجم المخروط الدائرى القائم ،ثم اطلب إليهم حل ماورد فى بند حاول أن تحل ( )2صفحة ( )111من كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
aحجم المخروط =
ثان ًيا :حساب ارتفاع الهرم (ع) aع 2)15( = 2)9( + 2فيثاغورث ` ع ، 144 = 2)9( - 2)15( = 2ع = 12سم aحجم الهرم = 13ق * ع ` حجم الهرم = 1296 = 12 * 324 * 1سم2 3
18سم
1أوجد حجم الهرم المنتظم الموضح بالشكل مستخد ًما البيانات المعطاة. ج ب أ
= 161سم
15سم
ع
أوالً :حساب مساحة قاعدة الهرم (ق) aالهرم رباعى منتظم ` قاعدته مربعة الشكل مساحة قاعدة الهرم (ق) = 324 = 18 * 18سم2
5
3
تعلم :حجم المخروط القائم
أ حجم المخروط =
حيث (ق) مساحة القاعدة ( ،ع) ارتفاع الهرم.
الحل
1 ب مساحة قاعدة الهرم = 8 * 8 * 2 * 6جا 96 = 60
(2)8( - 2)15
أى أن :حجم الهرم = 13ق * ع
ق
مثال
700 = 21 * 100 * 1سم3 3
ج طول ضلع قاعدة الهرم = 16سم
تعلم حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه.
ع
1احسب حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 18سم ،وارتفاعه الجانبى 15سم.
مساحة قاعدة الهرم = 100 = 10 * 10سم2
حجم الهرم =
حجم الهرم
1 سم
أ
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
Volume of a Pyramid
حاول أن تحل
9٫896سم3
` كثافة الذهب = 191 19٫3 - 9٫896
جم/سم3
3قطعة من الشيكوالتة على هيئة مخروط قائم حجمه r 27سم 3ومحيط قاعدته r 6سم أوجد ارتفاعه. مثال
3الربط بالصناعة :هرم خماسى منتظم من النحاس ,طول ضلع قاعدته 10سم ،وارتفاعه 42سم ،صهر وحول إلى مخروط دائرى قائم ،طول نصف قطر قاعدته 15سم .فإذا علم أن ٪10من النحاس ف ُِق َد أثناء عمليتى الصهر والتحويل ،أوجد ارتفاع المخروط ألقرب رقم عشرى واحد. الحل aمساحة الخماسى المنتظم = 5س 2ظتا r 4 5 ` مساحة قاعدة الهرم = 10 * 10 * 5ظتا 172 - 125 = c36سم3 4 ظا c36
حيث س طول ضلعه
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
78
تطبيقات الرياضيات -علمى
109
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و� 1 2408 = 42 * 172سم3 aحجم الهرم = 3مساحة القاعدة * االرتفاع = 3
` حجم النحاس فى المخروط = 2167٫2 = 2408 * 90سم3 100 2)15( rع = 2167٫2حيث ع ارتفاع المخروط القائم 3
3 * 2167٫2 `ع= r225 حاول أن تحل
9٫2 -سم
وح ِّول إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه 21سم ،أوجد طول نصف 4مكعب من الشمع طول حرفه 20سم ُصهر ُ قطر قاعدة المخروط إذا علم أن ٪12من الشمع فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل.
مالحظة هامة :تقدر سعة حاوية بحجم السائل الذى تحتويه ،ولحساب سعتها تستخدم نفس قوانين حساب الحجوم ،ووحدة قياس السعة هى اللتر. 1لتر = 1000ملليلتر = 1000سم =3ديسم3
السعة هى حجم الفراغ الداخلى ألى جسم أجوف
11
ع H
حاول أن تحل
، C 5ب كأسان للشراب .أيهما سعته أكبر؟
11سم
11سم
أوجد الفرق بين سعتيهما.
= 86٫4مل
قد يستخدم الطالب عمليات التقريب فى خطوات متعددة من حل التمرين .ذكر الطالب أن عملية التقريب ُيكْتفى بها فى اإلجابة النهائية فقط حتى نتالشى خطأ التقريب المتعدد.
154سم3
5سم
الفرق بين السعتين =
275 - 605 12
r
األخطاء الشائعة:
مثال
سعة الدورق = حجم المخروط القائم = 49 = 2H ` 154 = 12 * 2H * 22 * 1 4 7 3 ` 3٫5 = Hسم
605
سعة الكأس ب = r 12 = 5 * 2) 2 ( r3مل ` الكأس ب أكبر سعة من الكأس C
تذكر اأن
4الربط بالكيمياء :دورق مخروطى الشكل سعته 154مل .ارتفاعه 12سم . ) 22 أوجد طول نصف قطر قاعدته (7 - r الحل
275 5 5سعة الكأس r 12 = 11 * 2) 2 ( r3 = Cمل
الدرس
ئاقلا طورخملاو طورخملا مجح
4
5سم
تمارين إثرائية:
يبين الشكلين Cب لعبه على شكل كره بداخلها مخروط دائرى قائم أوجد:
110
تطبيقات الرياضيات -علمى
6
يقدم مثال ( )2ومثال ( )3صفحة 111ومثال 4صفحة 112 تطبيقات حياتية الستخدام حجم المخروط فى مواقف جيدا حياتية مختلفة تأكد من أن الطالب تفهموا المشكلة ً ونمذجتها فى صورة رياضية ،ودعهم يتوصلوا إلى الحلول المناسبة بطرق متعددة. التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة)
اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بنود حاول أن تحل ()112 ( )5( ، )4صفحة ( )112كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم. إجابات صفحة .112
شكل (ب)
شكل (أ)
أ حجم الكرة [ ]r 288 ب حجم المخروط فى كل حالة [ .]r 72 ، 146٫57 جـ المساحة الجانبية لكل مخروط [ ] 159٫9 ، 128٫75 إجابة التمارين ص 112
حجم المخروط * عدد المخاريط = حجم الكرة 1
ن * 3مساحة القاعدة * ع =
2Hr 4
3
عندما يزيد عدد المخاريط وتقل مساحة قاعدتها كان عH#
حجم مكعب الشمع = (8000 = 3)20سم3
سم
3.6سم
فى بند مثال (:)2
4 88 حجم المخروط القائم = 8000 * 100 1 = 2Hr 3ع 22 1 21 * 2H * 7 * 3 = 80 * 88
6سم
1 ` ن * * 3مساحة القاعدة = مساحة الكرة = 2Hr 4
2Hr 4 3
` 320 = 80 * 4 = 2H ويكون طول نصف قطر دائرة المخروط 17٫88 -سم دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
79
����������������
ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح 3 3
اطلب إلى طالبك حل تمارين مختارة من تمارين الدرس الثالث ص 113مع متابعة إجاباتهم.
تمـــاريــن ()4 - 3 1أوجد حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 20سم وارتفاعه 36سم.
2احسب ألقرب رقم عشرى واحد ،حجم هرم خماسى منتظم طول ضلع قاعدته 40سم وارتفاعه 10سم. 3هرم رباعى منتظم ارتفاعه 9سم ،وحجمه 300سم .3أوجد طول ضلع قاعدته.
إجابات تمارين ()4-3
1 10 3سم
4هرم رباعى منتظم مساحة قاعدته 700سم ،2وارتفاعه الجانبى 20سم أوجد حجمه.
2 3500 4سم3
4800سم 3
حجما؟ مخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم وارتفاعه 20سم ،أم هرم رباعى منتظم ارتفاعه 5أيهما أكبر ً 40سم ومحيط قاعدته 48سم.
9175٫8سم3
أوجد حجم مخروط قائم ،محيط قاعدته 44سم وارتفاعه 25سم.
أوجد حجم مخروط قائم ،مساحته الجانبية 220سم وطول راسمه 14سم.
4712٫4 5سم1920 ، 3سم 3حجم المخروط > حجم الهرم 342٫3 7سم3 1582٫8 6سم 3 أ 1102٫7سم 3ب 1110٫7سم3 8 ج 565٫5سم3
حجما. حجما إلى األكبر رتب المجسمات التالية من األصغر ً ً ب أ 13سم
أ r12وحدة مكعبة
12
13حجم المخروط =
2H rع = 100سم3
3
أ عند مضاعفة ارتفاعه حجم المخروط =
ب عند مضاعفة طول نصف قطره
حجم المخروط =
2)H 2( r3ع 2H rع * 400 = 4سم3 3
حجم المخروط =
2 * 2)H2( r3ع 2H rع * 800 = 8سم3 3
=
2 * 2H r3ع 200 = 2 * 2H rسم3 3
=
ج عند مضاعفة ارتفاعه وطول نصف قطره
80
=
تطبيقات الرياضيات -علمى
17سم 14سم
9سم
9الربط بالسياحة :صنع نموذج للهرم األكبر من سبيكة معدنية كثافتها 3٫2جم/سم .3إذا كان طول ضلع قاعدة النموذج 11٫5سم وارتفاعه 7سم ،فاحسب كتلته ألقرب رقم عشرى واحد.
1
ب r16وحدة مكعبة
8سم
17سم
9حجم النموذج = 3ق * ع = 308٫58 = 7 * 2)11٫5( 1سم3 3 aالكتلة = الحجم * الكثافة ` الكتلة = 987٫5 - 3٫2 * 308٫58جم
10حجم السائل المزاح = حجم المخروط = r16 = 12 * 2)2( * rسم2 3 2 ` 4 = Hسم r16 = 1 * Hr ويكون طول قطر اإلناء يساوى 8سم. ، 4 = H 11المساحة الكلية للخزان = 140٫9متر مربع
ج
10سم
10الربط بالفيزياء :إناء أسطوانى الشكل به ماء ،غمر فيه جسم معدنى على شكل مخروط قائم ،ارتفاعه 12سم وطول كامال ،فارتفع سطح الماء فى اإلناء بمقدار 1سم .أوجد طول قطر قاعدة اإلناء. غمرا ً نصف قطر قاعدته 2سم ً 11هندسة مدنية :صهريج مياه على شكل مخروط قائم ،حجمه r 32م 3وارتفاعه 6م. أوجد طول نصف قطر قاعدته ومساحته الكلية.
6م
12يوضح الشكل المقابل مستوى إحداثى متعامد ،احسب بداللة r
حجم الجسم الناشئ عند دوران المثلث Cب و ،دورة كاملة حول: أ محور السينات . ب محور الصادات.
C
س
ب
13تفكير إبداعي :مخروط دائرى ،قائم حجمه 100سم .3أوجد حجمه عندما: أ يتضاعف ارتفاعه .ب يتضاعف طول نصف قطره. ج يتضاعف ارتفاعه وطول نصف قطره .ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
4
2
ص 2
و
2-
111
نشاط إثرائى:
يبين الشكل المقابل كأس زجاج َّية به عصير البرتقال أوجد:
6سم
أ طول نصف قطر دائرة سطح عصير البرتقال 15سم بداللة س ب حجم عصير البرتقال
س سم
بداللة س .r، ج
احسب قيمة س التى تجعل عصير البرتقال يشغل نصف سعة الكأس.
2
4
( 5س سم r 75 ،س 3سم11٫9 ،3سم)
الوحدة الثالثة
سوف تتعلم
كتابة معادلة الدائرة بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها. الصورة العامة ملعادلة الدائرة.
تعني إحداثيى مركز دائرة وطول نصف قطرها .من الصورة العامة ملعادلة الدائرة. نمذجة وحل مشكالت حياتية تتضمن معادلة الدائرة.
المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
دائرة
Circle
مركز
Center
نصف قطر
Radius
قطر
Diameter
مستوى إحداثى
Cartesian plane
معادلة
Equation
صورة عامة
General Form
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية ورق مربعات
معادلة الدائرة تمهيد
مفردات أساسية
علمت أن الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى.
دائرة -مركز -نصف قطر -قطر -مستوى إحداثى -معادلة - صورة عامة.
د
S H م
المواد التعليمية المستخدمة
معادلة الدائرة: معادلة الدائرة هى عالقة بين اإلحداثى السينى واإلحداثى الصادى ألى نقطة تنتمى للدائرة ،وكل زوج مرتب (س ،ص) يحقق هذه العالقة (المعادلة) يمثل نقطة تنتمى إلى هذه الدائرة. فى مستوى إحداثى متعامد إذا كانت النقطة ( Sس ،ص) تنتمى لدائرة د طول نصف قطرها يساوى 4وحدات ومركزها النقطة م ( )1 ، 2فإن: م4 = H = S
وبتطبيق قانون البعد بين نقطتين تكون: (س ( + 2)2 -ص 2)4( = 2)1 - ` (س ( + 2)2 -ص 16 = 2 )1 - هى معادلة الدائرة د
السبورة التعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) -جهاز عرض بيانات -حاسب آلى -برامج رسومية -ورق مربعات -آلة حاسبة.
ص
( Sس ،ص)
د
H
طرق التدريس المقترحة:
م ()1 ،2
و
س
العرض المباشر -المناقشة -العصف الذهنى -التعلم التعاونى - االكتشاف الموجه -حل المشكالت.
س
/
ص
/
تذكر اأن البعد بين النقطتين (س ،1ص( ،)1س ،2ص)2 =
112
Equation of a circle
Equation of a circle
تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة ويرمز لها عادة بالرمز م ،كما يسمى البعد الثابت طول نصف قطر الدائرة ويرمز له بالرمز Hكما يرمز للدائرة عادة بالرمز د.
الدرس
5-3
5
معادلة الدائرة
(س-2س1
)2
( +ص - 2ص1
مصادر التعلم:
)2
كتاب الطالب من صفحة ( )112إلى صفحة ( )122الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
تطبيقات الرياضيات -علمى
خلفية
التهيئة: اطلب إلى طالبك إيجاد المسافة بين النقطتين جـ(، )6- ،2 أيضا إيجاد إحداثيى النقطة جـ حيث جـ منتصف ب(ً )2 ،8 Cب وإذا كانت )1 ،1(Cهل النقط ،Cب ،جـ تنتمى لدائرة واحدة.
يراقب علماء الفلك العواصف الجوية باستعمال أجهزة الرادار للتنبؤ باألحوال الجوية التى تسود البالد فى فترة قادمة ،وتستعمل أجهزة الرادار شبكة إحداثيات لقياس المسافات ،مع تقدم العاصفة يكون مركز شاشة الرادار نقطة األصل لدوائر متحدة المركز ،تستخدم لقياس المسافات ،وفى هذا الدرس نتعرف على معادلة الدائرة فى المستوى اإلحداثى ،وتحديد موقع نقطة فى المستوى اإلحداثى بالنسبة لدائرة معطى معادلتها ،كما نستخدم معادلة الدائرة فى نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية.
ب ()2 ،8
مخرجات الدرس
س
فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه من المتوقع أن يكون
ص 4
)1 ،1( C 8
6
4
العامة ملعادلة الدائرة.
22-
يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها. يعني إحداثيى مركز الدائرة وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة
س
/
2
الطالب قاد ًرا على أن:
يستنتج الصورة العامة ملعادلة الدائرة.
2
4جـ ()6- ،2
6-
ص
/
يطبق ما درسه ىف معادلة الدائرة ىف نمذجة مواقف رياضية وحياتية وحل املشكالت.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
81
����������������
لرلار ا رل جهم 3 3
إجراءات الدرس ابدأ بعرض مفهوم معادلة الدائرة ،ثم دع طالبك يستنتجوا معادلة الدائرة التى مركزها النقطة م( , Eهـ) وطول نصف قطرها يساوى Hوحدة.
تعلم معادلة الدائرة (بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها) فى مستوى إحداثى متعامد: إذا كانت النقطة ( Sس ،ص) تنتمى إلى دائرة د مركزها النقطة ( ، Eهـ) وطول نصف قطرها يساوى Hمن الوحدات ،فإن معادلة الدائرة د هى: (س ( + 2)E -ص -هـ)2H = 2 The equation of a circle
موضحا ناقش مع طالبك مثال ( )1ومثال ( )2صفحة 115 ً
ه
2
معادلة د ( :2س ( + 2)6 -ص 4 = 2)2 - معادلة د( :3س ( + 2)1 -ص 1 = 2)5 - معادلة د :4س + 2ص9 = 2 معادلة د( :5س ( + 2)9 +ص 25 = 2)1 -
ب الدائرتان د ،1د 2متطابقتان ،لتساوى طولى نصفى قطريهما. يؤكد مثال ( )3ص 116على موضع نقطة بالنسبة لدائرة ،وأن النقطة التى تنتمى لدائرة تحقق معادلتها ،دع الطالب يتحققوا اإلجابة بطرق مختلفة. إجابة تفكير ناقد ص 116 د ( :س ( + 2)4+ص 2H = 2)3- 2 إجابة فكر ص 116
أ خارج الدائرة
ب داخل الدائرة
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ()3 صفحة ( )116كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
82
تطبيقات الرياضيات -علمى
س سE-
ص
/
بفرض أن النقطة ( Sس ،ص) ∈ الدائرة د aمركز الدائرة م( ، )2 ، 5طول نصف قطر الدائرة = 6وحدات ` ، 5 = Eهـ = 6 = H ، 2 وتكون معادلة الدائرة هى (س ( + 2)5 -ص 2)6( = 2)2 -أى( :س ( + 2)5 -ص 36 = 2)2 -
حاول أن تحل
1اكتب معادلة الدائرة إذا كان مركزها: أ م ( ، )3- ، 4وطول نصف قطرها يساوى 5وحدات. ب م ( ، )1- ، 7وطول قطرها يساوى 8وحدات. ج م ( ، )0 ، 2وطول قطرها يساوى 28من الوحدات.
د م ( ، )5- ، 0وتمر بالنقطة )9- ، 2-(C ه نقطة األصل وطول نصف قطرها يساوى Hمن الوحدات. مثال
د
2يبين الشكل المقابل الدائرتين د ، 1د 2أثبت أن الدائرتين متطابقتان ثم أوجد معادلة كل منهما.
(س ( + 2)4 -ص 25 = 2)3 + ( س( + 2)7 -ص 16 = 2)1 + (س + 2)2 -ص7 = 2 س( + 2ص 20 = 2)5 + س + 2ص2H = 2
أ معادلة د( :1س ( + 2)12 -ص 4 = 2)1 +
و
س
/
الحل
إجابات بند حاول أن تحل:
م ( ،Eهـ)
1اكتب معادلة الدائرة د مركزها النقطة م ( ،)2 ، 5وطول نصف قطرها يساوى 6وحدات.
التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ()1 صفحة ( ،)115حاول أن تحل ( )2صفحة 116من كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
د
H
مثال
لهم متى تكون الدائرتان د ،1د 2متطابقتين مع توظيف شبكة اإلحداثيات فى استنتاج البيانات.
1أ ب ج
د
( Sس ،ص) ص -هـ
ص
الحل
ص
2
3
س 6
تتطابق الدائرتان إذا تساوى طوال نصفى قطريهما. الدائرة د :1مركزها ( )0 ، 0وطول نصف قطرها 2 = 1Hوحدة. الدائرة د :2مركزها ( )2 ، 5وطول نصف قطرها 2 = 2Hوحدة ` الدائرتان متطابقتان 2 = 2H = 1H a
د
1
و
3
س
/
ص
/
113
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
وتكون :معادلة د 1س + 2ص، 4 = 2 الحظ :الدائرة د 2هى صورة الدائرة د 1باالنتقال ()2 ، 5
معادلة د( 2س ( + 2)5 -ص 4 = 2)2 - تذكر اأن
تفكير ناقد :إذا كانت الدائرة د 3هى صورة الدائرة د 1باالنتقال ()3 ، 4-
صورة النقطة ( ، Eهـ) باالنتقال
فاكتب معادلة الدائرة د.3
( م ،ن) هى ( +Eم ،هـ +ن)
حاول أن تحل
2
أ اكتب معادلة كل دائرة فى الشكل التالى -
د
3
د
2
د
4
د
1
س 14
12
10
8
6
4
2
ص
6
د
5
4 2 و
2-
4-
2-
8-
6-
10-
12-
14-س
/
4-ص
/
ب أى الدوائر السابقة متطابقة؟ فسر إجابتك.
فكر :أين تقع النقطة (س ،1ص )1بالنسبة للدائرة د ( :س( + 2)E -ص -هـ) 2H= 2إذا كان: ب (س ( + 2)E -ص -هـ)2 أ ( س ( + 2)E -ص -هـ)2H > 2 1
1
1
1
< 2H
مثال 3بين أن النقطة ( )1- ، 4هى إحدى نقط الدائرة د التى معادلتها( :س ( + 2)3 -ص 37 = 2)5 - الحل
بالتعويض بإحداثيي النقطة ( )1- ، 4فى الطرف األيمن لمعادلة الدائرة. ` ( = 37 = 36 + 1 = 2)5 - 1-( + 2)3 - 4الطرف األيسر ` النقطة ( )1- ، 4تنتمى إلى الدائرة د الحظ أن :للنقطة (س ،1ص )1فى مستوى الدائرة إذا كان (س( + 2)3 - 1ص 37 > 2)5 - 1فإن النقطة (س ، 1ص )1تقع خارج الدائرة د. وإذا كان (س( + 2)3 - 1ص 37 < 2)5 - 1فإن النقطة (س ، 1ص )1تقع داخل الدائرة د.
حاول أن تحل
+ 2)6
3بين أى النقط التالية تنتمى إلى الدائرة د التى معادلتها( :س - األخرى بالنسبة إلى الدائرة د حيث: ، )3 ، 9(Cب( ، )5 ، 7جـ()3- ، 2(E ، )3 ، 3
114
تطبيقات الرياضيات -علمى
(ص
2)1 +
= ،25ثم حدد موضع النقط
` احداثيا م ، 4 = 6 +2 2 = E :هـ = 1- = 5 +2 7- C( = 2H ،م)2])7-( - 1-[ + 2)2 - 4( = 2
4
إحداثى منتصف المسافة بين النقطتين (س ،1ص)1
الحل
بفرض أن النقطة م( ، Eهـ) مركز للدائرة التى قطرها Cب ،فتكون النقطة م منتصف Cب
(س ،2ص( = )2
ص 2+1ص) 2
س + 1س2
2
،
ب ()5 ،6
= (40 = 2)6( + 2)2 وتكون معادلة الدائرة هى( :س [ + 2)4 -ص 40 = 2])1-( - أى (س ( + 2)4 -ص 40 = 2)1 +
فكر:
إجابات حاول أن تحل
تذكر اأن
مثال
م
هل تحقق النقطة ( )5 ، 6معادلة الدائرة؟ لماذا؟ هل تنتمى النقطة ( )7- ، 6للدائرة السابقة فسر إجابتك.
الدرس
ةرئادلا ةلداعم
لرلار ا رل جهم 3 3 4اكتب معادلة الدائرة التى قطرها Cب حيث ، )7- ، 2(Cب()5 ، 6
5
أ
( س ( + 2)2 +ص 25 = 2 )7 -
ب ( س ( + 2)5 -ص 9 = 2)4 -
ص
( ،Eهـ)
م
)7- ،2( C
س=2
حاول أن تحل
4اكتب معادلة الدائرة إذا كان: أ مركزها النقطة م ( ،)7 ، 2-وتمر بالنقطة )10 ، 2( C ب مركزها النقطة م ( ،)4 ، 5وتمس المستقيم س = 2 ج مركزها م يقع فى الربع األول من المستوى اإلحداثى ،وطول نصف قطرها يساوى 3وحدات، والمستقيمان س = ، 1ص = 2مماسان لها.
س
مثال 5أوجد إحداثيى المركز ،وطول نصف قطر كل من الدائرتين: ب (س + 2)1 +ص16 = 2 أ (س ( + 2)2 -ص 17 = 2)3 +
الحل
نعلم أن معادلة الدائرة بداللة إحداثيى المركز ( ، Eهـ) وطول نصف قطرها Hهى: (س ( + 2)E -ص -هـ)2H = 2 بمقارنة كل مقدار جبرى فى المعادلة بنظيره فى المعادالت المعطاة نجد: ` 2 = E أ س = E -س 2 -
ص=2
س
/
6
7
4
5
ن
3
1
2
ج
2- 1-
ص
/
ص
` هـ = 3-
ص -هـ = ص 3 + 17 = 2H فيكون مركز الدائرة النقطة ( )3- ، 2وطول نصف قطرها يساوى 17وحدة. ` 17 = H
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
م
115
ص=2
حل حاول أن تحل صفحة ()116
النقطة ، Cجـ تنتمى للدائرة د النقطة ب تقع خارج الدائرة د. النقطة Eتقع داخل الدائرة د. يهدف مثال ( )4مثال ( )5صفحة ( )117إلى تنمية مهارات الطالب فى تعيين مركز الدائرة وطول نصف قطرها .تقبل أفكار طالبك وعزز الحلول الصحيحة األخرى. التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ما ورد ببند حاول أن تحل ( ،)4صفحة ( )116كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
س
7
6
5
4
ن
3
س=1 2
س
/
1
2- 1-
ص
/
aالدائرة تمس المستقيمين س = ، 1ص = 2 وطول نصف قطرها 3وحدات من الرسم يكون مركزها النقطة م . حيث النقطة م تقع فى الربع األول . ` مركز الدائرة المطلوبة هو م ( )5 ،4وتكون معادلتها (س ( + 2)4 -ص 9 = 2)5 -
تمرين إثرائى:
اطلب إلى طالبك إثبات أن الدائرتين :
د( :1س ( + 2)4 -ص ، 9 = 2)3 - د( : 2س + 2)1 -ص9 = 2
متقاطعتان ،ثم أوجد المساحة المشتركة بينهما.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
9
[ اإلجابة )1 - r( 2 :سم]2
83
���������������� الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
تعلم :ال�صورة العامة لمعادلة الدائرة
` 1- = E ب س =E -س1+ ` هـ = 0 ص -هـ = ص `4=H 16 = 2H ` مركز الدائرة النقطة ( )0 ، 1-وطول نصف قطرها يساوى 4وحدات.
اعرض صورة معادلة الدائرة
(س ( + 2)E -ص -هـ) 2وتدرج حتى تصل إلى
حاول أن تحل
الصورة س + 2ص2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = 0 حيث ل ،ك ،جـ ثوابت (أعداد حقيقية) ،ثم ناقش مع طالبك مثال ( )6صفحة ( ، )118مثال ( )7صفحة ( )119موضحا أن معامل س2 ً = معامل ص = 2الوحدة ،وأن المعادلة خالية من حد يحتوى س ص.
التقويم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ()8( ، )7 صفحة ( )119كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم. إجابات حاول أن تحل صفحة ()118
5جـ 6
أ
جـ
(H ،)5- ،3
(H ،)7- ،1-
15
2
د
إجابات حاول أن تحل صفحة ()119
8-0
2 جـ 0 (- = 4- = )2-ميل = C 3-18-
ميل ب جـ = 2 = 4- = 3 - 1-
1 2
(H ،)0 ،1-
13
باستخدام ميل المستقيم
` Cجـ = ب جـ ويكون Cب قطر فى الدائرة
` إحداثيا المركز ( ) 8 +2 2- ، 3 +2 3 ` ل = ، 3-ك = 3- أى النقطة م ( )3 ،3
aمركز الدائرة هو منتصف Cب
معادلة الدائرة هى :س + 2ص6 - 2س 6 -ص +جـ = 0
وتكون معادلة الدائرة هى:
aالدائرة تمر بالنقطة ( ` ،)0 ،1-فهى تحقق معادلتها ` جـ = 7- أى أن + 6 + 1جـ = 0
الحل
aمركز الدائرة (-ل - ،ك) فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة ،مركز الدائرة ( )3- ، 6معطى ` ل = ، 6-ك = 3 , 5 = H aجـ = ل + 2ك2H - 2 ` جـ = (20 = 2)5( - 2)3( + 2)6-
11
تطبيقات الرياضيات -علمى
لرلار ا رل جهم 3 3 س + 2ص12 - 2س 6 +ص = 20 +صفر.
وتكون الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى: يمكن التحقق من صحة الحل باستخدام معادلة الدائرة( :س ( + 2)6 -ص 25 = 2)3 +ثم تبسيطها ومقارنة النتائج حاول أن تحل
اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة إذا كان: أ مركزها النقطة م ( ،)5 ، 2-وطول نصف قطرها يساوى 57وحدة. ب مركزها النقطة ن ( ،)3- ، 5وتمر بالنقطة ب (.)1 ، 2 مثال
1 aميل Cجـ * ميل ب جـ = 1- = 2 * 2 -
تصبح المعادلة ( )1على الصورة
س + 2ص2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = 0
أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها ( )3- ، 6وطول نصف قطرها يساوى 5وحدات.
8إلثبات أن Cب قطر يلزم إثبات أن: C c(Xجـ ب) = c90 أى Cجـ = ب جـ
تعلم ال�شورة العامة لمعادلة الدائرة علمت أن معادلة الدائرة التى مركزها ( ، Eهـ) وطول نصف قطرها يساوى Hمن الوحدات: هى( :س ( + 2)E -ص -هـ)2H = 2 بفك األقواس ()1 ` س + 2ص E 2 - 2س 2 -هـ ص + 2E +هـ = 2H - 2صفر ثوابت ` المقدار + 2Eهـ = 2H - 2جـ حيث (جـ مقدار ثابت) ، E aهـ H ، بوضع ل = ، E -ك = -هـ ،جـ = + 2Eهـ2H - 2
General form of the equation of a circle
مثال
7أ س + 2ص4 + 2س 10 -ص 0 = 28 - ب س + 2ص10- 2س 6 +ص 0 = 9 +
أوجد إحداثى المركز وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية-: ب س( + 2ص 9 = 2)4 + أ (س ( + 2)3 -ص 15 = 2)5 + ج (س ( + 2)1 +ص 3 = 2)7 + د (س - 13 = 2)1 +ص2 4
وتسمى بالصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها (-ل - ،ك) وطول نصف قطرها يساوى Hحيث = Hل + 2ك- 2جـ ،ل + 2ك - 2جـ > 0
ب (3 H ،)4- ،0
3
5أى من الدوائر المعطاة يمثل دائرة مركزها ( )4- ، 3وطول نصف قطرها 3وحدات. ب (س ( + 2)3 +ص 9 = 2)4 - أ (س ( + 2)3 -ص 9 = 2)4 - د (س ( + 2)3 +ص 9 = 2)4 + ج (س ( + 2)3 -ص 9 = 2)4 +
س + 2ص6 - 2س 6 -ص 0 = 7 -
اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة إذا كانت النقطتان , )2 ، 4(Cب( )3- ، 1-طرفى قطر فيه. الحل
بفرض ان النقطة م (-ل - ،ك) مركز للدائرة التى قطرها Cب
` م منتصف Cب ويكون إحداثيا النقطة م هما ( ) 3 2- 2 ، 1 2- 4 أى ل = 3- ` -ل = 3 2 2 )2 ،4( C أى ك = 1 -ك = 1- 2 2 بالتعويض عن ل ،ك فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة س م (-ل- ،ك) س + 2ص2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = 0 ()1 ` س + 2ص3 - 2س +ص +جـ = 0 aالدائرة تمر بالنقطة )2 ، 4(Cفهى تحقق معادلتها ` ( + 2 + )4(3 - 2)2( + 2)4جـ = 0أى جـ = 10- بالتعويض فى المعادلة ()1 ` الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى :س + 2ص3 - 2س +ص = 10 -صفر
84
و
س
/
ص
/
ب ()3- ،1-
حاول أن تحل
إذا كانت النقط ، )2- ، 3(Cب ( ، )8 ، 3جـ ( )0 ، 1-تنتمى إلى دائرة واحدة .فأثبت أن Cب قطر فيها ،ثم اكتب الصورة العامة لمعادلتها.
مالحظة هامة
نستنتج أن
من الصورة العامة لمعادلة الدائرة س + 2ص2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = 0 ً أوال :المعادلة من الدرجة الثانية فى س ،ص ثان ًيا :معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة ثالثًا :خالية من الحد الذى يحتوى س ص أى معامل س ص = 0 ولكى تمثل معادلة من الدرجة الثانية فى س ،ص دائرة يلزم تحقق الشروط الثالثة السابقة وأن يكون ل + 2ك - 2جـ > 0 كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
تطبيقات الرياضيات -علمى
ص
11
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
فى بند تعلم �ص :120
تعلم
لتعيين إحداثيى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها ،استخلص منها كيفية إعادتها على الصورة (س ( + 2)E -ص -هـ) ، 2H = 2وإيجاد مركز الدائرة وطول نصف قطرها بداللة الثوابت ل ،ك ،جـ .راجع مع طالبك مهارة إكمال المربع لمقدار جبرى على صورة Cس + 2ب س +ع C،س + 2ب س
تعيين اإحداثيي مركز دائرة وطول ن�شف قطرها لتعيين إحداثيى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها: -1تحقق ً أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث -2احداثيا المركز (-ل - ،ك)
معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة
أى - jمعامل س - ،معامل ص ` 2
2
-3طول نصف قطر الدائرة يساوى Hحيث = Hل + 2ك - 2جـ ،ل + 2ك - 2جـ > 0 مثال أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ وإذا كانت معادلة دائرة أوجد مركزها وطول نصف قطرها. ب س + 2ص4 + 2س 0 = 25 + أ 3س2 + 2ص6 + 2س 8 -ص 0 = 10 - د 4س4 + 2ص49 = 2 ج 2س2 + 2ص12 - 2س 8 +ص 0 = 30 - هـ س + 2ص 2 +2س ص = 3 +صفر الحل
أ ب
ج
د
هـ
أيضا متى تكون المعادلة: ناقش ً س + 2ص 2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = صفر لدائرة ،واستنتج ضرورة أن يكون ل + 2ك - 2جـ > 0مع توضيح ذلك بمناقشة مثال ( )8صفحة .100
معامل س ! 2معامل ص2 ` المعادلة ليست لدائرة معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة ،المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص ل = ، 2 = 42ك = ، 0 = 02جـ = 25 ` المعادلة ليست لدائرة ` ل + 2ك - 2جـ = (0 < 25 - 2)0( + 2)2 بقسمة طرفى المعادلة على ` 2س + 2ص6 - 2س 4 +ص 0 = 15 - ` معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة ،المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص ل = ، 3-ك = ، 2جـ = 15- ` ل + 2ك - 2جـ = (0 > 28 = )15-( - 2)2( + 2)3- ` المعادلة لدائرة مركزها ( 7 2 = 28 = H ، )2- ، 3وحدة ` س + 2ص49 = 2 بقسمة طرفى المعادلة على 4 4 ` معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة ،المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص ل = ، 0ك = ، 0جـ = 49 4 2 2 72 = 49وحدة ` المعادلة لدائرة مركزها نقطة األصل = H ، 0 > 49 ` ل +ك -جـ = 4 4 المعادلة تحتوى على س ص ` المعادلة ليست دائرة
التقويم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب من طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ()9 صفحة ( )120كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
حاول أن تحل
9أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ وإذا كانت معادلة دائرة ،أوجد مركزها وطول نصف قطرها. ب س + 2ص4 + 2س 2 -ص = 0 أ س + 2ص6 - 2س 4 +ص 0 = 17 + د س + 2ص2 - 2س ص 0 = 6 - ج 2س2 + 2ص4 - 2س 0 = 39 +
11
حل حاول أن تحل ( )9صفحة ()120
أ المعادلة ليست لدائرة (ل + 2ك - 2جـ < )0 ب المعادلة لدائرة مركزها النقطة ( )1 ،2-وطول نصف قطرها
تطبيقات الرياضيات -علمى
يساوى 5من الوحدات. ج المعادلة ليست لدائرة (ل + 2ك - 2جـ < )0 د المعادلة ليست لدائرة (المعادلة تحوى الحد 2 -س ص)
لرلار ا رل جهم 3 3 تفكير ناقد :هل الدائرتان د :1س + 2ص10 - 2س 8 -ص 0 = 16 + د :2س + 2ص14 + 2س 10 +ص 0 = 26 -متماستان من الخارج؟ فسر إجابتك. مثال نمذجة مواقف رياضية وحياتية 9الربط بالصناعة :يوضح الشكل المقابل بكرة Cفى آلة تمس محورى اإلحداثيات ،تدور بواسطة سير ،يمر على بكرة صغيرة ب معادلة دائرتها :س + 2ص14 + 2س 0 = 45 +أوجد: أ معادلة دائرة البكرة Cإذا كان طول نصف قطرها يساوى 5وحدات. ب البعد بين مركزى البكرتين إذا كان كل وحدة من المستوى اإلحداثى تمثل 6سم.
تفكير ناقد:
ص
C س
و
س
/
ب
ص
/
الحل
اسأل طالبك ما عالقة دائرة بأخرى؟ متى تكون الدائرتان متماستين من الداخل؟ ومتى تكون الدائرتان متماستين من الخارج؟ ودعهم يالحظوا أن:
أ aالبكرة Cتمس محورى اإلحداثيات ،وطول نصف قطرها يساوى 5وحدات. أى ل = ، 5-ك = 5- ` مركز دائرتها النقطة م()5 ، 5 aجـ = ل + 2ك2H - 2 ` جـ = (25 = 2)5( - 2)5-( + 2)5- وتكون معادلتها :س + 2ص10 - 2س 10 -ص = 25 +صفر
م ،)4 ،5( 1م )5- ،7- ( 2فيكون م1م15 = 2
10 = 2H ،5 = 1H ` 15 = 2 H + 1H aم 1م2H + 1H = 2 ` الدائرتان متماستان من الخارج.
ب aمعادلة دائرة البكرة ب :س + 2ص14 + 2س 0 = 45 + ` ل = 7ك = 0جـ = 2 = 45 - 49 = H 45 ويكون مركزها النقطة ن ( )0 ، 7-وطول نصف قطرها يساوى 2وحدة ` البعد بين مركزى البكرتين = م ن = ( 13 = 2)5( + 2)7 + 5وحدة aكل وحدة فى المستوى اإلحداثى ثمثل 6سم ` البعد بين البكرتين = 78 = 6 * 13سم حاول أن تحل
10الربط بالطرق :يوضح الشكل المقابل مقط ًعا رأس ًّيا فى أحد األنفاق الدائرية لمرور السيارات معادلة دائرته: س + 2ص4 - 2س 6 -ص C ، 0 = 12 -ب قطر فيها. أوجد أقصى ارتفاع للنفق إذا كانت وحدة األطوال فى المستوى اإلحداثى تمثل 70سم.
الدرس
ةرئادلا ةلداعم
5
تطبيقات حياتية: C
ب
مثال 10الربط بالهندسة :أوجد ألقرب سنتيمتر مربع مساحة سطح شكل خماسى منتظم تمر برؤوسه الدائرة: س + 2ص6 + 2س 12 -ص 0 = 5 +عل ًما بأن كل وحدة فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم. كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
119
يقدم مثال ( )9ومثال( )10صفحة ( )121تطبيقات حياتية الستخدام معادلة الدائرة فى نمذجة مواقف حياتية وحل مشكالت ناقش مع طالبك ما ورد بهذه األمثلة ،ودعهم يتوصلوا إلى الحلول المناسبة. دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
85
���������������� التقييم المستمر( :الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل ()10 صفحة ( )121مع متابعة إجاباتهم.
مركز الدائرة م (-ل - ،ك) = ( ، )3،2جـ = 5 = H ` 12-
` طول العمود = طول نصف قطر الدائرة.
` أقصى ارتفاع للنفق = 350 = 70 * 5سم.
أقصى ارتفاع هو طول العمود المقام من مركز الدائرة على قطرها.
aوحدة األطوال فى المستوى اإلحداثى تمثل 70سم. األخطاء الشائعة
كثيرا ما يخلط الطالب بين قانونى مساحة المضلع المنتظم م ً ن ن r2حيث س تمثل = 4س 2ظتا ن ، rم = 2H 2جا ن طول ضلع المضلع ،تمثل طول نصف قطر الدائرة الخارجة.
تمرين إثرائى
اطلب إلى طالبك تعيين قيمة Cالتى تجعل المعادلة
س + 2ص C2 + 2س 0 = 1 +تمثل دائرة
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و� الحل
بفرض أن م مركز الدائرة المارة برؤوس الخماسى المنتظم Cب جـ Eهـ فيكون: Cب = ب جـ = جـ E = Eهـ = Cهـ (وهى أوتار فى الدائرة م) c72 = c360 جـ م هـ ` Cc(Xم ب) = c(Xب م جـ) = 5 = ....... ويالحظ تقسيم الشكل Cب جـ Eهـ إلى 5مثلثات متطابقة أى أن مساحة الخماسى المنتظم = * 5مساحة 9م Cب = 12 * 5م * Cم ب جا c72 ب C ()1 = 2H 52جا c72 من معادلة الدائرة :ل = 3ك = 6-جـ = 5 ` 40 = 5 - 36 + 9 = 2Hوبالتعويض فى ()1 = 2H aل + 2ك - 2جـ تذكر اأن ` مساحة الخماسى المنتظم = )40( 52جا 95٫10565 = c72وحد مربعة مساحة اي مضلع منتظم = aكل وحدة طول فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم 2H Kجا 360 K 2 ` الوحدة المربعة فى المستوى اإلحداثى تمثل مساحة قدرها (25 = 2)5سم2 حيث Hنصف قطر الدائرة وتكون مساحة الخماسى المنتظم = 2378 - 25 * 95٫10565سم2 المار برؤوسه K ،عدد أضالع E
المضلع.
تمـــاريـــن ()5 - 3 اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة: 1النقطة ( )0 ، 2تقع على أ محور السينات
3المسافة بين النقطتين ( )2- ، 10( ، )4 ، 2تساوى ب 10 أ 9
د 6
4الدائرة س + 2ص 25 = 2مركزها ( )0 ، 0وتمر بالنقطة ب ()0 ، 5 أ ()4 ، 1
ج ()0 ، 25
د ()1 ، 5
5معادلة الدائرة التى مركزها ( )5- ، 3وطول نصف قطرها يساوى 7وحدات هى-: ب (س ( + 2)3 +ص 49 = 2)5 - أ (س ( + 2)3 -ص 49 = 2)5 - د (س ( + 2)3 -ص 49 = 2)5 + ج (س ( + 2)3 +ص 49 = 2)5 -
120
7
لرلار ا رل جهم 3 3 محيط الدائرة التى معادلتها س + 2ص8 = 2 ب r 64 أ r8
أ (س ( + 2)2 -ص 25 = 2)3 -
ب س + 2ص 16 = 2
8
اكتب معادلة الدائرة التى يمثلها الرسم المعطى
أ
س
9
4
6
س8
4
4
2-
3
س
3-
2 6
4
ص
د
4
ه
6
2
2
ج
س
2
ص
4-
و
8-
4-
3 6
8-
ه س( + 2ص 16 = 2)6 +
أ (س ( + 2)7 -ص 65 = 2)5 +
ب ( س ( + 2)3 -ص 18 = 2)1 +
86
س
ص
4-
ص
8
ب (س ( + 2)4 -ص 9 = 2)2 +
و (س + 2)6 +ص36 = 2
ب
2
ج (س + 2)3 -ص36 = 2
أ (س ( + 2)3 -ص 4 = 2)3 -
د س + 2ص 36 = 2
ص
د r2 4
2
4
9 2 و 2 (س ( + )4 +ص 4 = )3 +
ج (س ( + 2)4 -ص 9 = 2)3 -
ج r2 2
اكتب معادلة الدائرة التى مركزها م وطول نصف قطرها Hإذا كان: ب م(4 = H ، ) 0 ، 0 أ م ( 5 = H ، )3 ،2 ج م (6 = H ، )0 ،3 د م(7 = H ، )5- ، 4 و م(3 = H ، )3- ، 4- ه م (3 2 = H ، )1- ،0
د (س ( + 2)4 -ص 7 = 2)5 +ه س( + 2ص 12 = 2)1 +
تطبيقات الرياضيات -علمى
اإلجابة ()[∞ ،1]∪[1- ،∞- ] ∈C
د ()0 ، 1-
ج 10 3
إجابات تمارين ()5-3 1أ 2ج 3ب 4ب 5د 6د
ب محور الصادات
2إذا كانت ، )7- ، 3(Cب( )5 ، 3-فإن إحداثيى النقطة التى تنصف Cب هما ج ()1- ، 0 ب ()0 ، 1 أ ()1 ، 0
التدريب والتقييم (الحوار والمناقشة) اطلب إلى طالبك حل تمارين مختارة من تمارين الدرس الرابع صفحة ( )122كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.
ج المستقيم ص = 2س
د الدائرة س + 2ص9 = 2
تطبيقات الرياضيات -علمى
9أوجد معادلة الدائرة إذا كان:
أ مركزها النقطة م ( ،)5- ، 7وتمر بالنقطة .)2 ، 3(C ب Cب قطر فى الدائرة حيث ، )4- ، 6(Cب(.)2 ، 0 ج مركزها النقطة ( ،)3- ، 5وتمس محور السينات.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
121
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
10أوجد إحداثيى المركز ،وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية: ب (س ( + 2)3 +ص 49 = 2)5 - أ س + 2ص27 = 2 د س( + 2ص 24 = 2)7 + ج (س + 2)2 -ص16 = 2
11اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة فى الحاالت اآلتية: ب مركزها م ( ،)0 ، 0وتمر بالنقطة )3 ، 1-( C أ مركزها م( ،)1 ، 3وطول قطرها يساوى .8 د Cب قطر فيها حيث ، )7- ، 3(Cب()1 ، 5 ج مركزها م ( ،)0 ، 5-وتمر بالنقطة ب ()4 ، 3 12أوجد إحداثيى المركز ،وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية ب س + 2ص2 + 2س = 8 أ س + 2ص4 - 2س 6 +ص 0 = 12 - د س + 2ص8 - 2س = 12 ج س + 2ص6 - 2س 10 +ص = 0 13بين أى دائرتين مما يلى متطابقتان أ س + 2ص2 - 2س 4 +ص 0 = 3 - ب س + 2ص14 - 2س 0 = 37 +
، ،
14بين أى المعادالت اآلتية لدائرة ،ثم أوجد مركزها وطول نصف قطرها: ب س2 + 2ص6 + 2س 5 -ص = 0 أ س+ 2ص8 + 2س 16 -ص 0 = 1- د س + 2ص2 + 2س ص 0 = 12 - ج 14س 14 + 2ص + 2س 0 = 8 - و 2س2 + 2ص3 + 2ص 0 = 8 - ه س + 2ص2 - 2س 4 +ص 0 = 7 +
15المالحة البحرية :يقع رادار عند الموقع )9- ، 7(Cويغطى منطقة دائرية طول نصف قطرها يساوى 30وحدة طول .اكتب معادلة الدائرة التى تحدد مجال عمل الرادار فى المستوى اإلحداثى .هل يمكن للرادار رصد سفينة فى الموقع ب ()30- ، 25؟ فسر إجابتك.
1التصميم المعمارى :صمم مهندس معمارى مبنى قاعدته على شكل ثمانى منتظم ،تمر رؤوسه بالدائرة س + 2ص4 - 2س 12 +ص 0 = 60 -احسب مساحة قاعدة المبنى ألقرب وحدة مربعة. ص
10
س
1تفكير ابداعى :أوجد معادلة الدائرة التى تمر بالنقطتين ، )3 ، 1(Cب( )4- ، 2ويقع مركزها على محور السينات.
122
10
11
أ م (3 3 = 27 = H، )0 ،0
ب م (7 = 49 = H ، )5 ،3- ج م (4 = 16 = H ، )0 ،2
أ س + 2ص6 - 2س 2 -ص 0 = 6 -
ب س + 2ص0 = 10 - 2
ج س + 2ص10 + 2س 0 = 55 -
د س + 2ص8 - 2س 6 +ص 0 = 8 +
12
أ م (5 = H ، )3- ،2
د م (2 = H ، )0 ،4
13
أ م2 = 1H ، )2- ،1( 1
م2 = 2H ، )0 ،3-( 2
5
معامل س ! 2معامل ص2
` المعادلة ليست لدائرة
ج المعادلة لدائرة مركزها النقطة ( )0 ،2-وطول نصف قطرها 6وحدات.
د المعادلة بها حد يحوى س ص ` المعادلة ليست لدائرة .
ه المعادلة لدائرة مركزها النقطة ( )2- ،1وطول نصف قطرها 3 2من الوحدات.
3
15 16
2
ب
7
ب م (3 = H ، )0 ،1-
ب
ج م (34 = H ، )5- ،3
ج (س ( + 2)5 -ص 9 = 2)3 +
د م (6 2 = 24 = H ، )7- ،0
تطبيقات الرياضيات -علمى
م2 = 1H، )0 ،7( 1 م3 2 = 2H، )0 ،5-( 2 2H = 1H a ` الدائرتان متطابقتان. 3
14أ المعادلة لدائرة مركزها النقطة ( )8 ،4-وطول نصف قطرها يساوى 101من الوحدات.
س + 2ص6 + 2س 0 = 11 - س + 2ص10 + 2س 0 = 13 +
1الصناعة :يبين الشكل المقابل ترسين فى آلة مركزيهما يقعا على مستقيم يوازى محور الصادات وأقصى بعد بين حافتيهما 10وحدات .أوجد معادلة الترس األصغر عل ًما بأن معادلة الترس األكبر هى :س + 2ص10 - 2س 8 -ص 0 = 32 +
الدائرتان غير متطابقتين
الدرس
ةرئادلا ةلداعم
5
17
و المعادلة لدائرة مركزها النقطة () 4 - ،0وطول نصف 1 قطرها 73 2من الوحدات. س + 2ص 14 - 2س 18 +ص 0 = 770 - النقطة ب تقع داخل الدائرة التى تحدد عمل الرادار. 10 = Hوحدات 1 مساحة الثمانى المنتظم = 2H 2 * 8جا c45 282٫84وحدة مربعةأقصى بعد بين الحافتين = 10وحدات ص
10 = 2H2 + 1H 2
م
` )1( 5 = 2H + 1H H + 1H
2
م)4 ،5(1
م)9 ،5( 2
= 12Hل + 12ك - 12جـ
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
H
م
2
4
2
س
= 9 = 32 - 16 + 25 ويكون 2 = 2Hحدة
1
H 1
مركز القوس األكبر
مركز القوس األصغر
9
5
و
` 3 = 1Hوحدات
معادلة الترس األصغر هى:
87
���������������� (س ( - 2)5 -ص 4 = 2)9 -
الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.
أى :س + 2ص10 - 2س 18 -ص 0 = 102 +
a 18م مركز الدائرة يقع على محور السينات ` إحداثيا م ()0 ،E
ويكون م = Cم ب
(= 2)3 - 0( + 2)1 - E
الدائرة :هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى.
C
()3 ،1
معادلة الدائرة :معادلة الدائرة التى مركزها النقطة ( ،Eهـ) وطول نصف قطرها يساوى Hهى ( :س ( + 2)E-ص -هـ)2H= 2
ص
الصورة العامة لمعادلة الدائرة :الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها النقطة (-ل - ،ك) وطول نصف قطرها يساوى H
هى :س+ 2ص 2 + 2ل س 2 +ك ص +جـ = صفر
حيث= H
س
م
س
و
½ طول نصف قطر الدائرة يتعين من العالقة = Hل + 2ك - 2جـ ،حيث ل + 2ك - 2جـ > 0
أكمل كل ممايأتى:
ب ()4- ،2
25 = 2)3- 0( + 2)1- 5( = 2H
6-
2
ص
/
3 4 5
`5=H
9
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة مستعينًا بالشكل المقابل:
أى س + 2ص10- 2س = 0
10المستقيمان المتخالفان: أ اليتقاطعان. ج اليتوازيان.
إجابات التمارين العامة صفحتى ()127( ،)126
11
1نقطتان 2مستوى واحد 3ثالث نقاط على األقل 4متطابقة 5متساوية فى الطول 6اقل من 1 3 7مساحة القاعدة * االرتفاع ( 9 18 8س ( + 2)2-ص 16 = 2)3-
r 60 11سم 384 12 2سم13 2
21
تحديدا تا ًّما إذا علم عليه ....................................................................................................................................................... يتحدد المستقيم ً المستقيمان المتخالفان اليمكن أن يحتويهما .............................................................................................................................................. يكون المستويان منطبقان إذا اشتركا فى .......................................................................................................................................................... األوجه الجانبية فى الهرم المنتظم ............................................................................................................................................................................... االرتفاعات الجانبية فى الهرم المنتظم ................................................................................................................................................................... ارتفاع المخروط القائم .................................................طول راسمه حجم الهرم = .................................................... * .................................................. طول نصف قطر الدائرة س + 2ص 0 = 18 - 2يساوى ........................................................................................................................ معادلة الدائرة التى مركزها النقطة ( )3 ، 2وطول نصف قطرها 4وحدات هى .............................................
1
وتكون معادلة الدائرة هى( :س + 2)5 -ص25 = 2
14 16 17 18 20
معامل س -معامل ص ) ، ½ إحداثيا المركز (-ل - ،ك) أى ( 2 2
تمارين عامة (الوحدة الثالثة)
` 5 = Eويكون مركز الدائرة ()0 ،5
ال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث :معامل س = 2معامل ص = 2الوحدة ½ تحقق أو ً
/
(2)4 + 0( + 2)2 - E
ل + 2ك -2جـ
،ل + 2ك - 2جـ >0
لتعيين إحداثى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها
(أنصاف أقطار)
حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.
15 r : 4االرتفاع = 9سم المساحة الجانبية = 260سم2 المساحة الكلية للمخروط 282٫7 -سم2 19 ،حاول مع طالبك 2 أ (س ( + 2)3 -ص 16 = )5 - 81 2 ب 2 (س + )2 +ص = 4 ج س ( + 2ص 25 = 2)9 - د (س ( + 2)3 -ص 40 = 2)4 - س + 2ص10 - 2س 24 +ص = 0
ب اليتعامدان. د اليتقاطعان واليتوازيان.
6سم
المساحة الجانبية للمخروط القائم تساوى ............................سم2
أ 60
124
384سم3
8سم
ج 48
ب r 60
د r48
تطبيقات الرياضيات -علمى
متلري اعلل ا( ر�الما رثلرث )
12
المساحة الكلية للهرم المنتظم تساوى ......................................سم2
13
حجم الهرم يساوى ......................................سم3
أ 360
ب 240
أ 64
ب 96
14النسبة بين حجم الهرم إلى حجم المخروط تساوى: ب r :4 أ 3 :r
ج 384
د 432
ج 480
د 384
......................................
أجب عن األسئلة اآلتية:
ج 4:r
15هرم منتظم حجمه 12سم 3ومساحة قاعدته 4سم .2احسب ارتفاعه.
1هرم رباعى منتظم حجمه 400سم 3وارتفاعه 12سم .احسب مساحته الجانبية.
1مخروط دائرى قائم حجمه r 96سم .3أوجد طول نصف قطر قاعدته إذا كان ارتفاعه 8سم.
1أوجد ألقرب رقم عشرى واحد المساحة الكلية لمخروط قائم طول قطر قاعدته 10سم وارتفاعه 12سم.
19هرم رباعى قائم قاعدته معين طوال قطريه 12سم8 ،سم وارتفاعه 10سم .أوجد حجمه. 20اكتب معادلة الدائرة إذا كان:
أ مركزها م( )5 ، 3وطول نصف قطرها 4وحدات. ب مركزها م ( )0 ، 2-وطول قطرها 9وحدات.
22أ م ( 3 3 = H ، )5- ،3ب م ( 3 = H ، )0 ،4- 5 د م (= H ، ) 2 ،0 ج م ( 4 = H ، )3- ، 1 2 23مساحة الميدان = r 14وحدة مربعة aوحدة األطوال تمثل 5أمتار. ` وحدة المساحات تمثل 25متر مربع ويكون: 22 مساحة الميدان في الخريطة = 1100 = 25 * 7 * 14متر مربع. 39
ج مركزها م ( )9 ، 0وتمر بالنقطة ()6 ، 4 د Cب قطر فى الدائرة حيث ، )2- ، 5( Cب ()10 ، 1
21اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها ( )12- ،5وتمر بنقطة األصل. 22أوجد مركز وطول نصف قطر كل دائرة ممايلى: أ (س ( + 2)3 -ص 27 = 2)5 + ج س + 2ص 2 - 2س 6 +ص 0 = 6 -
ب (س + 2)4 +ص9 = 2 د 2س2 + 2ص10 - 2ص 0 = 7 -
23تخطيط المدن :فى رسم إلحدى المدن على مستوى إحداثى متعامد كل وحدة فيه تمثل 5أمتار ،وجد أن الدائرة :س + 2ص6 - 2س 8 +ص 0 = 11 +تحدد أحد ميادينها ،أوجد ألقرب متر مربع مساحة هذا الميدان.
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
88
د r:3
تطبيقات الرياضيات -علمى
125
الدرس
5
ةرئادلا ةلداعم الوحدة الثالثة :لت����س� ا لتا و�
11
6سم
24الصناعة :تقوم خطوط إنتاج مصنع آيس كريم بإنتاج نوعين حجما .هل ، Cب الموضحين بالشكل المقابل ،أى النوعين أكبر ً يتغير حجم النموذج Cبتغير ارتفاعى المخروطين المتالصقين على أن يظل مجموع االرتفاعين ثاب ًتا؟ فسر إجابتك.
4.3سم 5.5سم
C
15سم
ب
12سم
25السياحة :اهتمت فرنسا باآلثار المصرية القديمة فنقلت بعضها إلى باريس؛ لتعرض فى متاحفها .كما أنشأت ال رئيس ًّيا لمتحف اللوفر بباريس .إذا علمت أن هر ًما من الزجاج الشفاف مشاب ًها للهرم األكبر؛ ليكون مدخ ً مترا ،فأوجد مساحة الزجاج المستخدم فى بنائه ألقرب متر مربع. ارتفاعه 21٫6متر وطول ضلع قاعدته ً 35
اختبار تراكمي
.
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة: 1جميع الحاالت اآلتية تعين مستوى ماعدا: أ مستقيم ونقطة التنتمى إليه. ج مستقيمين متقاطعين.
2المساحة الكلية (السطحية) للمخروط القائم تساوى: ب 2H rع أ Hrل
ع
3
ج + H( Hrل)
د H( H rع 3 +ل) 3
4الدائرة (س + 2)2 +ص2 + 2ص = 0مركزها النقطة: ب ()1- ، 2- أ ()2 ، 2
ل
H
ج ()1- ، 2
د ()2 ، 4-
5أى الشبكات التالية التصنع هر ًما رباع ًّيا منتظ ًما عند طيها. ج ب أ
د
اأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرة
اذكر عدد المستويات التى يمكن أن تمر بكل ممايأتى: ج ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة. ب نقطتين معلومتين. أ نقطة معلومة. أوجد حجم كل مجسم ممايأتى ألقرب سنتيمتر مكعب. ج ب أ 2 سم 0
18سم
12سم
16 سم
16سم
6سم
9أوجد معادلة دائرة مركزها النقطة ( )7- ،2وتمر بالنقطة (.)3 ،1
10أى الدائرتين اآلتيتين متطابقتان؟ فسر إجابتك. أ س + 2ص4 + 2س 2 -ص ، 0 = 5 -س + 2ص6 + 2س 0 = 4 - ب س + 2ص4 - 2س 8 +ص = ، 0س + 2ص12 + 2ص 0 = +
اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة:
11احسب ألقرب رقم عشرى واحد حجم هرم خماسى منتظم ،طول ضلع مضلع قاعدته 16سم ،وارتفاعه 12سم. 12قطاع دائرى م Cب طول نصف قطر دائرته 18سم وقياس زاويته المركزية c 60طوى ولصق نصفا قطره؛ ليكون أكبر مساحة جانبية لمخروط قائم .أوجد حجم هذا المخروط. ص
13فى الشكل المقابل :النقط م ،ن ،ع تقع على محور السينات لمستوى إحداثى متعامد ،ن نقطة األصل .إذا كان م ،ن ،ع مراكز ثالث دوائر أطوال أنصاف أقطارها هى 6 ،9 ،5من الوحدات على الترتيب ،جـ 2 = Eم 4 = Cوحدات .أوجد الصورة العامة لمعادلة كل من الدوائر الثالث.
س
م
ب
C
ن
جـ
E
ع
14رصد طيار فى لحظة ما واديين يلتقيان فى نقطة ،ويمر فوقهما شارع اليمر بنقطة تالقيها .مثِّل هذا المشهد بالرسم ،ثم حدد عدد المستويات المتكونة. هل تحتاج إلى مساعدة إضافية: إذا لم تستطع حل السؤال رقم ارجع إلى
1
aل = 2ع + 2س2
` ل= 2
(2)17٫5( + 2)21٫6
ل
ع
21٫6متر
35متر 2
= 772٫81
مترا ` االرتفاع الجانبى = ً 27٫8 بالتعويض فى ()1
1
ج مستقيم وحيد د 6مستقيمات 7أ عدد النهائى ب عدد النهائى ج مستوى واحد أ 1280سم 3ب 1433سم 3ج 62سم3 8 س + 2ص4 - 2س 14 +ص 0 = 48 - 9 10أ م10 2 = 1H ، )1 ،2-( 1 م13 = 2H ، )0 ،3-( 2 ` الدائرتان غير متطابقتان. 2H ! 1H a ب م20 = 1H ، )4- ،2(1 م20 = 2H ، )6- ،0(2 ` 2H = 1H aالدائرتان متطابقتين.
كم مستقي ًما يمكن رسمه فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ب ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة. أ نقطتان مختلفتان. ج مستويان متقاطعان .د أربع نقاط فى الفراغ ،التقع أى ثالث منها على استقامة واحدة .
2
محيط القاعدة * االرتفاع الجانبى
()1
إجابات االختبار التراكمى صفحة ()128 د د د ب ب 6أ مستقيم وحيد ب اليوجد
ختبلراته كمي
3
=
1 2
مساحة الزجاج المستخدم = 27٫8 * 35 * 4 * 2 مترا مرب ًعا. ً 1946 -
تطبيقات الرياضيات -علمى
17سم
حجم النموذج ب = r 180سم3
= المساحة الجانبية للهرم الرباعى المنتظم .
3هرم رباعى منتظم محيط قاعدته 36سم ،وارتفاعه 10سم فإن حجمه يساوي.....سم2 د 270 ج 360 ب 180 أ 810
12
النموذج ب أكبر حج ًما ال يتغير حجم النموذج Cبتغير ارتفاعى المخروطين المتالصقين 12مساحة الزجاج المستخدم
ب مستقيمين متوازيين وغير منطبقين. د مستقيمين متخالفين.
حجم النموذج r 164٫35 = Cسم3
4
5
6
7
8
3 -3 4 - 3 4 - 3 3 - 3 1- 3 4 - 3 3 - 3 2- 3 كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
9
10
مهارات عامة
4-3
1761٫8سم3
11 12محيط دائرة المخروط = طول Cب r * c60 * 18 = Hr 2 c180 ` 3 = Hسم ع = 2ل2)3( - 2)18( = 2H - 2 ` ع = 17٫75سم ع 15 * 21 = 2 r * (167٫3 - 17٫75 * 2)3سم3 حجم المخروط = 3
12
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
89
الوحدة
الوحدة الرابعة
الرابعة
االحتمال
االحتمال
Probability
Probability
مقدمة الوحدة مما الشك فيه أن علمى االحتمال واإلحصاء هما فرع أساسى من فروع الرياضيات التطبيقية ،فهما يرتبطان ارتباطا وثي ًقا بمواد العلوم األساسية من جهة وبين العلوم التطبيقية من جهة أخرى؛ لذا يعتبران جوهر وأساس من أساسيات العلم الحديث لدى ارتباطهما الوثيق بالحاسب اآللى ،واالتصاالت ،والمال واألعمال، النشرة الجوية وحتى مباريات كرة القدم. إن االحتماالت هو علم رياضى يحاول تقنين األمور الكيفية التى ترتبط بالتجارب العشوائية واالختبارات التى اليمكن التنبؤ بنتيجتها بشكل مؤكد قبل إجرائها (مثل إلقاء حجر نرد أو قطعة نقود ،أى يمكننا القول إن علم التنبو بالنتيجة عند دراسة علم كثيرا ما نتعرض لمفاهيم كثيرة ،تبدأ بمفاهيم علم االحتماالت ً المجموعات (التقاطع واالتحاد والفرق واإلكمال) ومن ثم يأتى مفهوم االحتمال وحساب االحتمال وسوف يستكمل الطالب دراسته لهذه المفاهيم فى هذه الوحدة من خالل أمثلة وتطبيقات حياتية متنوعة وذلك من خالل هذه الوحدة.
مقدمة الوحدة تمتد جذور علم االحتمال إلى عصر النهضة من خالل دراسة العلماء لعلم الفلك وألعاب الحظ ومحاوالت فهم وتحليل ظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر األخرى والتى قام بها جيروالمو كاردانو( )Gerolamo Cardanoفى القرن السادس عشر ،و بيير دي فيرما،)Pierr de Fermat( ، وبليز باسكال ( )Blaise Pascalواللذان عاشا خالل القرن السابع عشر. وفى سياق تطور علم االحتمال وتقدمه ،وإنطالقا من القرن التاسع عشر ظهرت تعاريف عدة لالحتمال ،منها ما هو بسيط ،ويعتمد على اإلدراك الحسى ،ومنها ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبى للحدث المراد اختياره من خالل تكرار التجربة عددا كبيرا من المرات تحت شروط ثابته .فاالحتمال مقياس إلمكانية وقوع حادث ( )Eventمعين ً انطالقا من القرن التاسع عشر اكتشفت نظرية االحتماالت التى تعتبر المساعد األكبر للعمل اإلحصائى ،ويعتبر العالم لبالس( )Laplaceأحد و
مؤسسيها ،كذلك العالم أدولف كوتيليت ( )Adolph Quteeletالذي قدم أول عمل احصائى بطريقة علمية سنة 1853وابتدا ًء من ذلك الوقت بدأ اإلحصاء واالحتمال يبرز كعلم له فائدته ،وقيمته الكبيرة فى مختلف المجاالت ،كذلك فى البحوث العلمية فى كافة المجاالت ،بل تعدى ذلك إلى إعطاء حسابات صحيحة يعتمد عليها فى التنبؤ فى قضايا مستقبلية .وفى هذه الوحدة نتناول بعض المفاهيم والتعاريف األساسية فى االحتمال وكيفية حسابه.
مخرجات التعلم بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: يتعرف مفهوم التجربة العشوائية.
يتعرف مفهوم فضاء العينة.
يتعرف العمليات على األحداث مثل (االتحاد -التقاطع - الفرق -اإلكمال).
يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية.
يتعرف مفهوم االحتمال.
يتعرف مفهوم األحداث المتنافية.
يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال.
يتعرف مفهوم الحدث -الحدث البسيط -الحدث المؤكد يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد. الحدث المستحيل. يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال.
128
مخرجات الوحدة بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن: يتعرف مفهوم التجربة العشوائية.
يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال. يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال. يتعرف مفهوم فضاء العينة.
يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية.
يتعرف مفهوم الحدث -الحدث البسيط -الحدث المؤكد - الحدث المستحيل.
يتعرف مفهوم األحداث المتنافية.
يتعرف العمليات على األحداث مثل (االتحاد -التقاطع -الفرق -اإلكمال).
90
تطبيقات الرياضيات -علمى
يتعرف مفهوم االحتمال.
يستخدم مسلمات االحتمال.
يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حدث.
المصطلحات األساسية Ñإحصاء
Statistics
Ñاحتمال
Probability
Ñتجربة عشوائية
Random Experiment
Ñفضاء العينة -فضاء النواتج
Sample space
Ñقطعة نقود
Coin
Ñحجر نرد
Die
Ñحدث
Ñحدث بسيط (أولى)
Ñحدث مركب
Simple Event Compound Event
Ñحدث مؤكد
Certain Event
Ñحدث مستحيل
Impossible Event
Ñالعمليات على األحداث Ñأحداث متنافية
Operation on the Events Mutually Exclusive Events
Event
دروس الوحدة
مهارات التفكير التى تنميها الوحدة التفكير الناقد -التفكير اإلبداعى -التفكير التحليلى -حل المشكالت.
األدوات والوسائل Ñآلة حاسبة علمية
الدرس ( :)1 - 4حساب االحتمال.
Scientific calculator
Ñآلة حاسبة رسومية
Graphical calculator
Ñبرامج رسومية للحاسوب
Graphical programs
مخطط تنظيمى للوحدة
االحتمال مسلمات االحتمال
تجارب عشوائية
قوانين االحتمال
فضاء العينة الحدث مؤكد مستحيل محتمل
العمليات على األحداث أحداث متنافية
تقاطع
اتحاد
اكمال
فرق
الزمن المناسب لتدريس الوحدة 5حصص.
الوسائل التعليمية المستخدمة سبورة تعليمية -طباشير ملون (أقالم ملونة) حاسب آلى -جهاز عرض بيانات -برامج رسومية -آلة حاسبة. طرق التدريس المقترحة التعليم التعاونى -االكتشاف الموجه -الطريقة االستنباطية - العصف الذهنى -المناقشة -حل المشكالت.
قانونا ري مورجان
تطبيقات حياتية وحل مشكالت
129
طرق التقييم المقترحة أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية قبل وأثناء وبعد الدرس أو األنشطة المقترحة -تمارين عامة واختبار تراكمى فى نهاية الوحدة. المخطط التنظيمى للوحدة: يتناول المخطط التنظيمى لهذه الوحدة المفاهيم الخاصة باالحتمال ،وبخاصة التجارب العشوائية ،والتى تشمل فضاء العينة والحدث والعمليات على األحداث ،ونتعرض لمسلمات االحتمال وقوانينها.
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
91
الوحدة الرابعة
1
الدرس
ح�ساب االحتمال Calculating Probability
1-4 سوف تتعلم
مفهوم التجربة العشوائية وفضاء العينة.
خلفية
سبق أن درس الطالب بعض المصطلحات والمفاهيم األساسية فى األحتمال فى مراحل سابقة وسوف يستكمل تعميق هذه المفاهيم كل مشكالت حياتية تتطلب استخدام قوانين األحتمال والتعرف على العمليات على األحداث مثل (األتحاد -التقاطع -الفرق - اإلكمال) ،وسوف يستخدم مسلمات األحتمال فى حساب احتمال وقوع حدث ما.
مفهوم احلدث -احلدث البسيط احلدث املؤكد -احلدثاملستحيل . العمليات عىل األحداث: االحتاد -التقاطع -الفرق - اإلكامل. األحداث املتنافية .
قانونا دي مورجان. مفهوم االحتامل
حساب االحتامل
مسلامت االحتامل وتطبيقات حياتية عىل االحتامل المصطلحات األساسي ُ ُ ّة
جتربة عشوائية
random experiment
فضاء العينة
sample space
حدث
event
حدث بسيط
simple event
حدث مؤكد
مخرجات الدرس
ح�ساب �الحتمال Calculating Probability مقدمة : سبق أن درست المفاهيم األساسية لالحتمال بصورة مبسطة ،وفى هذا الدرس سوف تستكمل دراسة هذه المفاهيم والعمليات على األحداث فى حساب إحتمال وقوع حدث ما من خالل أمثلة وتطبيقات حياتية متنوعة. م�سطلحات ومفاهيم �أ�سا�سية
تعلم التجربة العشوائية xperimentE Random : هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها ،ولكن النستطيع أن نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها. مثال
1ب ِّين أ ًّيا من التجارب التالية تجربة عشوائية ؟ أ إلقاء حجر نرد منتظم ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى. ب سحبت كرة ملونة من كيس به مجموعة من الكرات الملونة( دون أن نعرف ألوانها ) ومالحظة لون الكرة المسحوبة. ج إلقاء قطعة نقود معدنية ومالحظة ما يظهر على الوجه العلوى. د سحب كرة من كيس به أربع كرات متماثلة فى الحجم والوزن ،األولى
بيضاء ،الثانية سوداء ،الثالثة حمراء ،الرابعة خضراء ،ومالحظة لون الكرة المسحوبة.
certain event
حدث مستحيل
impossible event
بعد دراسة هذا الدرس ،وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:
يتعرف مفهوم التجربة العشوائية وفضاء العينة.
يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية الشهرية (إلقاء قطعة نقود -إلقاء حجر نرد).
يعرف مفهوم احلدث -احلدث البسيط -احلدث املؤكد -احلدث
الحل
أحداث متنافية
التجارب (أ) ( ،جـ)( ،د) هى تجارب عشوائية؛ ألنه يمكن معرفة جميع نواتج كل منها قبل إجرائها ولكن النستطيع أن نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يقع عند إجراء التجربة. بينما تجربة (ب) هى تجربة غير عشوائية؛ ألنه اليمكن تحديد ناتج التجربة قبل إجرائها.
mutually exclusive events
االحتامل
probability
مسلامت االحتامل
probability axioms
األدوات والوسائل
آلة حاسبة.
Basic terms and concepts
حاول أن تحل
1ب ِّين أ ًّيا من التجارب اآلتية هى تجربة عشوائية :
130
تطبيقات الرياضيات -علمى
املستحيل -األحداث املتنافية.
زمن تدريس الدرس: 5حصص. مفردات اساسية
تجربة عشوائية -فضاء العينة (فضاء النواتج) -حدث بسيط (أولى) -حدث مركب -حدث مؤكد -حدث مستحيل -أحداث متنافية -تقاطع -اتحاد -فرق -اكمال -احتمال حدث -مسلمات األحتمال. المواد التعليمية المستخدمة سبورة تعليمية -طباشري ملون -قطع نقود -حجر نرد -جهاز عرض بيانات -حاسب آىل مزود باالنرتنت -برامج رسومية -
آلة حاسبة.
طرق التدريس المقترحة:
العرض المباشر -المناقشة الشفهية -حل مشكالت. مصادر التعلم:
كتاب الطالب من صفحة 130إلى صفحة 153 الشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).
92
تطبيقات الرياضيات -علمى
التهيئة: يبدأ المعلم بطرح مواقف تتضمن اجراء تجربة من حياتنا العملية والتي تتسم بعدم اليقين مثل :ما فرص الفوز فى مباراة ما؟ ما احتمال أن تكون اآللة الحاسبة الجديدة التى يتم تصنيعها على خط االنتاج بها عيب؟ استنبط مع طالبك أمثلة من الحياة العملية تتضمن إجراء تجارب تتسم بعدم اليقينية ؟ ثم ابدأ معهم نشاط ( )1مفهوم التجربة العشوائية . ناقش طالبك فى األسئلة المطروحة من خالل التجارب الثالثة والتى لها عدد من النواتج الممكنة ،والتى اليمكن التأكيد مسب ًقا بنتيجة التجربة. تأمل مع طالبك األمثلة المعروضة ص 130عن التجارب العشوائية ،وناقش الطالب حولها. في بند تعلم ص (:)130
اكد إلى طالبك على مفهوم التجربة العشوائية وذلك من خالل بعض األمثلة األخرى التى تبين أى من التجارب عشوائية وأيها غير عشوائية وذلك باستخدام العصف الذهنى لدى الطالب.
4 4
امسح لا باسح
أ إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ومالحظة تتابع الصور والكتابات. ب سحب بطاقة مرقمة من حقيبة تحتوى على مجموعة من البطاقات المرقمة (دون أن نعرف أرقامها) ومالحظة رقم البطاقة المسحوبة. ج سحب بطاقة واحدة من حقيبة بها 20بطاقة متماثلة مرقمة من 1إلى 20ومالحظة العدد الذى يظهر على البطاقة المسحوبة.
تعلم تعريف
ف�ساء �لعينة (ف�ساء �لنو�تج) : ½ فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ،ويرمز له بالرمز (ف)
(Sample space (outcomes space
½ يرمز لعدد عناصر فضاء العينة ف بالرمز ن (ف) . ½ يكون فضاء العينة منتهيا إذا كان عدد عناصره محدودا ،أو غير ٍ منته إذا كان عدد ً ً عناصره غير محدود ،وسندرس فقط فضاء النواتج المنتهي.
مالحظة:
ف�شاء العينة لبع�ض التجارب الع�شوائية ال�شهيرة : ص
ك
�أو ً ال� :إلقاء قطعة نقود Tossing a coin : -1فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة ومالحظة الوجه الظاهر هو :ف = { ص ،ك} نواتج الرمية األولى حيث ص ترمز للصورة ،ك ترمز للكتابة ك ص ويكون :ن(ف) = 2 ص ك ص -2فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ك ومالحظة تتابع الصور والكتابات هو: ف = { (ص ،ص)( ،ص ،ك)( ،ك ،ص)( ،ك ،ك)} نواتج الرمية الثانية نواتج الرمية األولى ويكون :ن (ف) = 22 = 4 = 2 * 2 ص ك ص ك -3فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات ص ص متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات (يمكن ك ك الحصول عليه من الشجرة البيانية المقابلة هو: ك ص ص ك ك ص ف = { (ص ،ص ،ص) ( ،ك ،ك ،ك ) ، (ص ،ص ،ك ) ( ،ك ،ك ،ص ) ، نواتج نواتج نواتج (ص ،ك ،ص ) ( ،ك ،ص ،ك ) ، الرمية الرمية الرمية (ص ،ك ،ص ) ( ،ك ،ص ،ص)} الثانية الثالثة األولى ويكون :ن(ف) = 32 = 8 = 2 * 2 * 2 الحظ من األمثلة السابقة م ( -2ص ،ك) ! ( ك ،ص) لماذا؟ -1عند رمى قطعة نقود م من المرات المتتالية يكون ن (ف) = 2
131
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
-3فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعتى نقود متمايزتين (مختلفتين فى الشكل أو الحجم) م ًعا هو نفس فضاء العينة عند إلقاء قطعة نقود واحدة مرتين متتاليتين ،ويكون كل ناتج من نواتج التجربة على الشكل الزوج المرتب: ( وجه القطعة األولى ،وجه القطعة الثانية ). ثانيًا � :إلقاء حجر نرد : -1فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى هو : ف = { } 6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1ويكون :ن (ف) = 6
5
1 3
ب صورة هندسية :
الرمية الثانية
األولى 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
()1 ،1 ()1 ،2 ()1 ،3 ()1 ،4 ()1 ،5 ()1 ،6
()2 ،1 ()2 ،2 ()2 ،3 ()2 ،4 ()2 ،5 ()2 ،6
()3 ،1 ()3 ،2 ()3 ،3 ()3 ،4 ()3 ،5 ()3 ،6
()4 ،1 ()4 ،2 ()4 ،3 ()4 ،4 ()4 ،5 ()4 ،6
()5 ،1 ()5 ،2 ()5 ،3 ()5 ،4 ()5 ،5 ()5 ،6
()6 ،1 ()6 ،2 ()6 ،3 ()6 ،4 ()6 ،5 ()6 ،6
65
ج الشجرة البيانية
تطبيقات الرياضيات -علمى
1
نواتج الرمية األولى
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
الرمية األولى
65
321
3
4
654
1
5 6
32
4 65 654 3 21
132
321
-2ف = { } ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { * }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 -3فضاء العينة لتجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين فى آن واحد (م ًعا) ,هو نفس فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد واحد مرتين متتاليتين.
2
654
-1ن (ف) = 26 = 36 = 6 * 6
21
43
الحظ أن:
21
43
سحب كرة من كيس يحتوى على كرات جميعها ملون باللون األزرق. جمع العدد 3مع العدد 6وتسجيل ناتج الجمع. ضرب العدد 4بالعدد 12وتسجيل ناتج الضرب. التقييم المستمر (الحوار والمناقشة):
اطلب إلى طالبك حل بند حاول أن تحل ( )1صفحة ()131 وتابع وعزز إجاباتهم. إجابات
Tossing a die
الرمية الثانية
5
�أمثلة على تجارب غير ع�شوائية:
في بند تعلم :ص ()131
-2فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر فى كل مرة على الوجه العلوى هو مجموعة األزواج المرتبة التى مسقطها األول هو ناتج الرمية األولى ،ومسقطها الثانى هو ناتج الرمية الثانية أى أن: ف = { (س ،ص) :س∈ { ,}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1ص∈ { }}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1واألشكال التالية توضح ذلك .
6
سحب بطاقة عشوائ ًيا من بين 10بطاقات تحمل األرقام ،2 ،1 10 ،.... ،3ومالحظة العدد المكتوب على البطاقة. اختيار نقطة داخل دائرة طول نصف قطرها 4سم وقياس بعدها عن مركز الدائرة. اختيار وسيلة مواصالت لالنتقال بين ثالث وسائل مواصالت متاحة.
التجربتان (أ) ( ،جـ) عشوائيتان ألنه يمكن معرفة جميع نواتج كل منهما قبل اجرائهما ولكن النستطيع تحديد أياً من هذه النواتج سوف يقع عند اجراء التجربة ،بينما التجربة (ب) ،غير عشوائية ألنه ال يمكن تحديد ناتج التجربة قبل اجرائها.
الوحدة الرابعة :لا باسح
أ صورة جدولية :
�أمثلة �أخرى لتجارب ع�شوائية:
الدرس
لامتحالا باسح
1
نواتج الرمية الثانية
ناقش طالبك مفهوم فضاء العينة (فضاء النواتج) لتجربة عشوائية على أنه مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ويرمز لها بالرمز ف كما يرمز لعدد عناصر فضاء العينة بالرمز ن(ف) حيث ف مجموعة منتهية. أكد على مفهوم فضاء العينة (فضاء النواتج) لبعض التجارب العشوائية الشهيرة ص 132
وضح لطالبك كيفية رسم الشجرة البيانية والصورة الهندسية والصورة الجدولية أو القائمة لتحديد عناصر فضاء العينة فى صفحة (. )132
موضحا إليهم أن جميع هذه الطرق توضح عناصر فضاء النواتج ً إللقاء حجر نرد مرتين متتاليتين وعلى الطالب اختيار الطريقة تناسبه فى معرفة ذلك. دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
93
امتحالا فى بند تعلم :
امسح لا باسح
وضح لطالبك مفهوم الحدث كمجموعة جزئية من فضاء العينة ف ،فإذا كان Cحدثًا من فضاء العينة ف فإن ⊃ C :ف ويمكن تمثيله بشكل ڤن ،ونقول إن الحدث Cقد وقع إذا كان عنصرا من عناصر .Cكذلك وضح إلى ناتج التجربة العشوائية ً الطالب مفهوم كل من الحدث البسيط ،المؤكد ،المستحيل مع التأكيد على مفهوم المجموعة وخصائصها.
مثال 2كيس به ثالث كرات متماثلة األولى حمراء ،والثانية بيضاء ،والثالثة صفراء .اكتب فضاء العينة إذا سحبت كرتان الواحدة بعد اآلخرى مع إعادة الكرة المسحوبة قبل سحب الكرة الثانية ( مع اإلحالل ) ومالحظة تتابع األلوان. الحل
نرمز إلى الكرة الحمراء بالرمز (ح) والكرة البيضاء بالرمز (ب) والكرة الصفراء بالرمز (ص):
السحبة األولى السحبة الثانية
أوالً :عندما تعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس قبل السحبة الثانية تصبح كل كرة من الكرات الثالث لها فرصة الظهور فى السحبة الثانية ،ويصبح من الممكن أن تسحب نفس الكرة مرة ثانية ،ويوضح الشكل المقابل الشجرة البيانية لفضاء العينة حيث ن (ف) = 9 = 23 ف = { (ح ،ح) ( ،ح ،ب) ( ،ح ،ص) ( ،ب ،ح) ( ،ب ،ب) ( ،ب ،ص) ، (ص ،ح) ( ،ص ،ب) ( ،ص ،ص) }
ب
(ب ،ح)
( ب ،ب) (ب ،ص) (ص ،ح)
(ص ،ب)
(ص ،ص)
حاول أن تحل
إذا سحبت الكرة دون إحالل، فهذا يعنى عدم إعادة الكرة إلى الكيس بعد سحبها ،وبذلك لن يكون هناك فرص لظهورها فى السحبة الثانية.
تعريف
2صندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من 1إلى ُ 3س ِح َبت كرتان الواحدة بعد األخرى مع اإلحالل ومالحظة رقم الكرة .اكتب فضاء العينة وبين عدد عناصره.
التقييم المستمر( :المناقشة والحوار)
�لحدث �لب�سيط (�لحدث �الأولى ) واحدا فقط. عنصرا ½ هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحتوى ً ً
تعلم
The event
The simple event
تعريف
�لحدث �لموؤكد : هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف وهو حدث مؤكد الوقوع في كل مرة تجرى فيها التجربة
The certain event
�لحدث �لم�ستحيل
The impossible event
هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز z
ص
` ف = { ( ص ،ص) ( ،ص ،ك ،ص)، ( ص ،ك ،ك )( ،ك ،ص، ك ص ص)( ،ك ،ص ،ك)( ،ك ،ك)} ص ك ( { = Cص ،ص) ( ،ص ،ك ،ص) ك ك ( ،ص ،ك ،ك) ( ،ك ،ص، ص) ( ،ك ،ص ،ك)( ،ك ،ك) } = ف ج = {(ص ،ص) ( ،ص ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ص)} باستخدام برنامج جيوجبرا مثل الحدث أ بسطح دائرة ملونة باألزرق ،كذلك الحدث ب باللون األصفر بينما مثل ف سطح مستطيل شفاف وبالتالى يمكنك تحريك الحدثين ، Cب ،داخل ف واجراء العمليات المذكورة فى بند تعلم ص ، 142ص 143 كما يمكنك تغيير لون األسطح الممثلة لألحداث حسب العملية وتناقش مع طالبك واطلب اليهم التعبير بلغة المجموعات عن كل من األحداث التالية: وقوع Cأو ب أو كليهما م ًعا. عدم وقوع .C وقوع Cفقط. وقوع ب فقط. وقوع Cفقط أو وقوع ب فقط. كذلك اطلب اليهم تمثيل المجموعات السابقة بأشكال ڤن وتناقش معهم واستخرج منهم االجابات وعزز موقفهم بالتشجيع والثناء عليهم.
94
(ح ،ص)
اأ�شف اإلى معلوماتك
ويؤكد على مفهوم وقوع الحدث كما فى فقرات هذا المثال
إجابات
ف
(ح ،ح)
( ح ،ب)
ح ب ص
ص
�لحدث ½ الحدث هو أى مجموعة جزئية من فضاء العينة .
اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ( )3صفحة 134كتاب الطالب وتابع إجاباتهم.
ح ب ص ح ب ص
ح
تعريف
ناقش مع طالبك حل مثال ( )3صفحة ( )134والذى يهدف إلى إتقان الطالب التعبير عن األحداث بلغة المجموعات.
4 4
ص
ك
وهو حدث مستحيل أى يقع في أى مرة تجرى فيها التجربة
ص
تطبيقات الرياضيات -علمى
133
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة الرابعة :لا باسح
مثال 3عند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورة أو 3كتابات . اكتب فضاء النواتج ف ،ثم عين األحداث اآلتية: ج "حدث ظهور كتابتين على األقل" " Cحدث ظهور صورة على األكثر" د "حدث ظهور صورتين على األقل" ب "حدث ظهور صورة على األقل" الحل
من الرسم نجد أن ف = {ص ( ،ك ،ص)(،ك ،ك ،ص)(،ك ،ك ،ك)} { = Cص(،ك ،ص)(،ك ،ك ،ص)(،ك ،ك ،ك)} = ف ب = {ص(،ك ،ص)(،ك ،ك ،ص)} ج = {(ك ،ك ،ص) ( ،ك ،ك ،ك)} د = { } = zالحدث المستحيل
ص ك
ص
ص
ك
ك
حاول أن تحل
3عند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورتين أو كتابتين. اكتب فضاء النواتج ثم عين األحداث اآلتية: ج "حدث ظهور كتابة على األكثر" " Cحدث ظهور صورة على األقل" ب "حدث ظهور كتابتين على األكثر" �لعمليات على �الأحد�ث
Operation of the events
تعلم
اأوالً :التقاطع
ف
Intersection
تقاطع الحدثين ، Cب هو الحدث ∩ Cب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى تنتمى إلى ،Cب م ًعا ويعنى وقوع Cو ب (وقوع الحدثين م ًعا)
C
اتحاد الحدثين ،Cب هو الحدث ∪ Cب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى تنتمى إلى Cأو ب أو كليهما م ًعا ويعنى وقوع Cأو ب (وقوع أحدهما على األقل)
C
ثانيًا :االتحاد:
134
Union
تطبيقات الرياضيات -علمى
∩Cب
∪Cب
ب ف
ب
امسح لا باسح
ثالثًا :االإكمال
4 4
Completion
/
/
/
C
/
رابعًا :الفرق
اطلب إلى طالبك تمثيل الحدث( :عدم وقوع أى من الحدثين أ أو ب) كتابته بلغة المجموعات كذلك تمثيل الحدث (عدم وقوع أ وعدم وقوع ب) وكتابته إلى لغة المجموعات واطلب اليهم تدوين مالحظاتهم من الشكلين؟ وماذا يستنتجون؟ كذلك اطلب اليهم نفس الشئ في القاعدة الثانية لدى مرجان وأكد على صحة كتابة الحدث من التعبير اللفظى إلى لغة المجموعات وتناقش مع طالبك فى حل السؤال وشجعهم على االجابة وتابع اجاباتهم.
ف
الحدث Cيسمى الحدث المكمل للحدث ، Cلذلك Cيحوى كل عناصر فضاء العينة التى التنتمى إلى الحدث ، Cويعنى عدم وقوع الحدث . C الحظ = C ∪ C :ف z = C ∩ C ،
C
Difference
ف
أيضا الحدث - Cب يحوى كل عناصر الفضاء التى تنتمى إلى ،Cوال تنتمى إلى ب وهى ً نفس عناصر ∩ Cب ويعنى وقوع Cوعدم وقوع ب (وقوع Cفقط) -Cب=∩Cب =∩C(-Cب) /
/
C
ب
خام�شً ا :قانونا دى مورجان
ف
إذا كان ، Cب حدثين من ف فإن :
ً (أوال) ∩ Cب = ( ∪ Cب ) وتعنى حدث (عدم وقوع أى من الحدثين) أو (عدم وقوع Cوعدم وقوع ب) /
/
ب
/
C
(ثان ًيا ) ∪ Cب = ( ∩ Cب ) و تعني حدث "عدم وقوع الحدثين م ًعا" أو حدث "وقوع أحد الحدثين على األكثر". /
/
/
ف ب
C
في بند تعلم ص(:)135
تعلم
أشر إلى الطالب بأن الحدثين أ ،ب يكونان متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى وقوع األخر ثم أعط لهم بعض األمثلة التى توضح ذلك واطلب إليهم ذكر أمثلة أخرى كعصف ذهنى لدى الطالب. استخدم بعض األمثلة من المجموعات التى سبق أن درسها الطالب لتوضيح هذا المفهوم.
�الأحد�ث �لمتنافية يقال لحدثين ، Cب أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى (يمنع) وقوع اآلخر. فمثالً-1 :إذا كان "Cحدث النجاح فى امتحان ما" ،ب" حدث الرسوب فى نفس االمتحان" فإن وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر. -2فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن ف = { }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 أى }5 ،3 ،1 { = C : إذا كان Cحدث ظهور عدد فردى أى :ب = { }6 ،4 ،3 ب حدث ظهور عدد زوجى فإن ∩ Cب = zأى وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر . Mutually exclusive events
تعريف
½ يقال :إن الحدثين , Cب متنافيان إذا كان ∩ Cب =z
½ يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذًا وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى.
ناقش مع طالبك حل مثال ( )4واكد على أن إذا كان ∩ Cب = z
135
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الدرس
لامتحالا باسح
1
كما يتضح من الشكل الهندسى فإن أ ،ب حدثان متنافيان واطلب اليهم حل ماورد في بند حاول أن تحل ( )4وتابع إجاباتهم.
التقييم المستمر( :المناقشة والحوار)
الوحدة الرابعة :لا باسح
ناقش مع طالبك إجابات بند حاول أن تحل ص ( )136وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
الحظ : -1إذا كان ∩ Cب = zفإن ، Cب حدثان متنافيان. وإذا كانت ، Cب ،ج ثالثة أحداث من ف وكان ∩ C :ب = ، zب ∩ ج = ، zج ∩ z = C فإن ، C :ب ،ج أحداث متنافية والعكس صحيح. -2األحداث البسيطة (األولية) فى أى تجربة عشوائية تكون متنافية. -3أى حدث Cومكمله Cهما حدثان متنافيان. /
مثال 4فى تجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين ومالحظة العددين الظاهرين على الوجهين العلويين لها. كال من الحدثين اآلتيين. أوالً :مثل فضاء العينة هندس ًّيا واكتب ًّ
الحدث ب " ظهور عددين مجموعهما ."7
الحدث " Cظهور نفس العدد على الوجهين" ثان ًيا :هل الحدثان ، Cب متنافيان ؟ فسر إجابتك .
الحل
أوالً :عناصر فضاء العينة لهذه التجربة هى أزواج مرتبة عددها = 36 = 26 الشكل المقابل هو التمثيل الهندسى لفضاء العينة؛ حيث كل عنصر من عناصر فضاء العينة يمثل بنقطة كما فى الشكل . } )6 ،6( ، )5 ،5( ، )4 ،4( ،)3 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،1({ = C ب = { ( } )6 ،1( ، )5 ،2( ، )4 ،3( ، )3 ،4( ،)2 ،5( ، )1 ،6 ثان ًيا ∩ C a:ب =z
` ، Cب حدثان متنافيان
C
ب
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
إجابة حاول أن تحل ()4
ج = {(})1، 4( ،)2 ،3( ،)3 ،2( ،)4 ،1 د = {(})4 ،2( ،)3، 6( ،)2، 4( ،)6، 3( ،)1، 2( ،)2، 1
ج ∩ د =z
ج ،د متنافيان أكد على أنه إذا كان ∩ Cب = zفإن ، Cب متنافيان وبالعكس: إذا كان ، Cب حدثين متنافيين فإن ∩ Cب = z
حاول أن تحل
كال من الحدثين اآلتيين : 4فى المثال السابق اكتب ًّ ج حدث " ظهور عددين مجموعهما يساوى "5 هل الحدثان ج ،د متنافيان ؟ فسر إجابتك. �الحتمال
د حدث " ظهور عددين أحدهما ضعف اآلخر"
Propability
تعلم ح�ساب �الحتمال : إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما ،جميع نواتجها (األحداث األولية) متساوية اإلمكانات ،فإن احتمال وقوع أى حدث ⊃ Cف يرمز له بالرمز ل ( )Cحيث : ل ( = )Cن (= ) C ن (ف)
136
عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث C
عدد جميع النواتج الممكنة
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
95
امتحالا في بند فكر ص(:)137
امسح لا باسح
وضح إلى الطالب بأن يمكن إيجاد احتمال حدث أن تكون الكرة ليست خضراء بمفهوم الحدث المكمل كاآلتى: ل (ليست خضراء) = - 1ل (الكرة خضراء) 3
= 0.7 = 10 = 10 - 1
حلول كاملة :
5ص137 ل(د) =
عدد الكرات الحمراء +عدد الكرات الخضراء عدد جميع النواتج الممكنة
احتمال أن تكون الكرة ليست خضراء = ل(ج) = احتمال أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء = + 2 0٫7 = 510 فكر :هل يمكن الحصول على ل (ج) بطريقة أخرى؟ وضح ذلك. حاول أن تحل
5فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية : د حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء. هـ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء أو خضراء .
تعلم م�سلمات �الحتمال
+2 ، 0٫7 = 510ل(هـ) = ل(ف) = 1
يمكنك استخدم المثال السابق( أو أى مثال آخر) فى توضيح مسلمات االحتمال وأن ل( = )zصفر ،ل(ف) = 1لذلك فإن احتمال أن حدث ⊃ Cف يكون H 0 :ل (1 H )C
وإذا كان ⊃ Cف ،ب ⊃ ف حيث ، Cب حدثين متنافيين فإن ل( ∪ Cب) = ل( + )Cل(ب) ومن هذه المسلمة إلى تعميمها مؤكدا على المالحظات ص 151 ً
ل ( ∪ Cب) =ل( + )Cل(ب) -ل( ∩ Cب) ،
وضح أنه ألى حدثين ، Cب من ف يكون:
3 4
/
1 4
/
-1لكل حدث ⊃ Cف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث Cيرمز له بالرمز ل()C H 0ل (1 H )C حيث :
3
ف
-2ل (ف) = 1
-3إذا كان ⊃ Cف ،ب ⊃ ف وكان ، Cب حدثين متنافيين فإن :ل ( ∪ Cب) = ل( + )Cل (ب)
ب
C
من المسلمات السابقة نالحظ : المسلمة األولى تعنى احتمال وقوع أى حدث هو عدد حقيقى ينتمى للفترة []1 ،0
137
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
المسلمة الثانية تعنى أن احتمال وقوع الحدث المؤكد = 1 يمكن تعميم المسلمة الثالثة إلى أى عدد محدود من األحداث المتنافية ل(C ∪ ... ∪ 3C ∪ 2C ∪ 1Cن) = ل( + )1Cل(+)2Cل( +... + )3Cل(Cن) حيث C، ... ، 3C ،2C ،1Cن أحداث متنافية نتائج هامة ( )1ل (0 = ) z ( )2ل ( - 1 = ) Cل()C ( )3ل ( - Cب) = ل( - )Cل ( ∩ Cب ) ( )4ل(∪ Cب) = ل( + )Cل (ب) -ل ( ∩ Cب)
اأ�شف اإلى معلوماتك
/
إذ كان ⊃ Cب
فإن ل( H )Cل(ب)
مثال 6إذا كان ، Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث : ل( ، 38 = )Cل(ب) = ، 34ل ( ∩ Cب) = 14احسب : ج ل ( - Cب) ب ل( ) C أ ل ( ∪ Cب)
د ل ( ∩ Cب )
/
1
1 2
ل( ب = ) C -ل(ب) = ل ( ∩ Cب ) = = 4 - 4 3 1 ل ( ∪ Cب ) = ل ( ∩ Cب ) = - 1ل ( ∩ Cب) = 4 = 4 - 1 /
Axioms of probability
الوحدة الرابعة :لا باسح
ل( - Cب) = ل( - )Cل ( ∩ Cب) وليس بالضرورة ،Cب متنافيان ناقش طالبك فى حل مثال ( )2واكد على العمليات الحسابية لحساب االحتمال وأن االحتمال ألى حدث Cيكون ل(]1 ، 0[ ∈ )C
6ص138 ل(ب ) = - 1ل (ب) = = - 1
= 2 0٫2 = 10
= 5 = 3+2 0٫5 = 10 10
ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
5سحبت كرة عشوائ ًّيا من صندوق به 10كرات متماثلة منها 5كرات بيضاء ،كرتان لونهما أحمر ،الباقى باللون األخضر ،احسب احتمال األحداث اآلتية: أ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء. ب حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء. ج حدث أن تكون الكرة ليست خضراء.
احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء =
التقييم المستمر (المناقشة والحوار)
/
مثال
الحل عدد الكرات الحمراء احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = ل (= )C عدد جميع الكرات
7
4 4
الحل
= 3 8
أ ل ( ∪ Cب) = ل( + )Cل (ب) -ل ( ∩ Cب) ب ل ( - 1 = ) Cل ()C /
ج ل ( - Cب) = ل ( - )Cل ( ∩ Cب) د ل ( ∩ Cب ) = ل ( ∪ Cب ) = - 1ل ( ∪ Cب) /
/
/
حاول أن تحل
=1
= 3 8
=1
/
/
7 = 1 - 3 + 8 4 4 5 = 38 8 1 = 18 4 1 = 78 8
6فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية : ب ل(ب )C - أ ل (ب )
ج ل ( ∪ Cب ) /
/
/
مثال 7إذا كان ، Cب حدثين من فضاء تجربة عشوائية ف وكان ل( ، 58 = )Cل (ب) = ، 12ل ( - Cب) = 38فأوجد : د ل ( ∪ Cب) ج ل ( ∩ Cب) ب ل( ∪ Cب) أ ل ( ∩ Cب) /
الحل أ ل ( ∩ Cب) = ل ( - ) Cل ( - Cب) = 1 = 2 = 3 - 5 4 8 8 8 ب ل( ∪ Cب) = ل ( + )Cل(ب) -ل ( ∩ Cب) = 7 = 1 - 1 + 5 8 4 2 8 ج ل ( ∩ Cب ) = ل ( ∪ Cب) = - 1ل( ∪ Cب) = 1 = 7 - 1 8 8 /
/
/
د ل ( ∪ Cب) = ل ( ∩ Cب ) = - 1ل ( ∩ Cب ) = - 1ل ( - Cب) =5 = 3 -1 8 8 /
138
96
تطبيقات الرياضيات -علمى
/
/
/
تطبيقات الرياضيات -علمى
/
/
4 4
امسح لا باسح
فكر :هل يمكنك إيجاد ل ( ∪ Cب) بطريقة أخرى ؟ وضح ذلك
في بند فكر:
/
( )1من شكل ڤن المقابل نجد أن: ل ( ∪ Cب) = - 1ل(ب )C -
حاول أن تحل
7فى المثال السابق أوجد : أ ل () C /
مثال
ب ل ( ∪ Cب) /
/
ج ل ( ب ∩ )C /
/
8إذا كان ، Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف ،وكان ل( 1 = ) Cل( ، )Cل(ب) = 1 2 3 ،ل ( ∪ Cب ) = 58فأوجد : /
/
C
/
ب احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر. د احتمال وقوع أحد الحدثين فقط.
أ احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل. ج احتمال وقوع الحدث ب فقط.
الحل ` ل ( ∩ Cب) = 3 ` ل ( ∩ Cب) = - 1ل ( ∩ Cب) = 5 aل ( ∪ Cب) = 5 8 8 8 ` ل( 3 = )C ` - 1ل ( 13 = )Cل( 43 ` )Cل( 1 = ) C aل ( 13 = ) Cل( )C 4 أ احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل = ل ( ∪ Cب) = ل ( + )Cل(ب) -ل ( ∩ Cب) = 7 = 3 - 1 + 3 8 8 2 4 ب احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر=ل ( ∩ Cب) = ل ( ∪ Cب ) = 5 8 ج احتمال وقوع الحدث ب فقط= ل (ب = )C -ل(ب) -ل ( ∩ Cب) = 1 = 3 - 1 8 8 2 د احتمال وقوع أحد الحدثين فقط = ل ( ∪ Cب) -ل ( ∩ Cب) = 1 = 3 - 7 2 8 8 /
/
/
/
/
/
الدرس
لامتحالا باسح
1
/
( ) 2احتمال وقوع أحد الحدثين فقط بطريقة أخرى = ل( - Cب) +ل( ب )C - وشكل ڤن المقابل يوضح ذلك. C
ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.
حاول أن تحل
8إذا كان ، Cب حدثين من فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل ( ، 0٫8 = )Cل(ب) = ، 0٫6ل ( ∪ Cب) = 0٫1 فاحسب احتمال األحداث اآلتية : ب حدث" وقوع Cفقط" أ حدث "وقوع أحد الحدثين على األقل" د حدث " وقوع أحد الحدثين على األكثر" ج حدث " وقوع أحد الحدثين فقط" /
إجابات :
7
مثال
ثان ًيا:إذا كان ⊃ Cب
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
5
3 8
أ ل(= 8 -1 = ) C ب ل( ∪ Cب ) = ل( ∩ Cب) قانون دى مورجان 3 1 = - 1ل ( ∩ Cب) = 4 = 4 - 1 / /
139
ب
التقييم المستمر (المناقشة والحوار)
فكر :هل يمكنك إيجاد احتمال وقوع أحد الحدثين فقط بطريقة أخرى؟ وضح ذلك.
، C 9ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ،حيث : ل (ب) = 3ل ( ، )Cل ( ∪ Cب )= 0٫72أوجد ل ( ، )Cل (ب) ً أوال :إذا كان ، Cب حدثين متنافيين .
ب
/
/
جـ ل(ب ∩ = )Cل(ب) -ل( ∩ Cب) 1 1 1 =4=4-2 /
الوحدة الرابعة :لا باسح
ف
الحل
` ل (ب) = 3س بفرض أن ل ( = )Cس ً أوال ، C a :ب حدثان متنافيان. ` ل ( ∪ Cب ) = ل ( + )Cل (ب) فيكون 3 = 0٫72 :س +س ` س = ،0٫18ل ( ، 0٫18 = )Cل (ب) = 0٫54
C
ف
ثان ًيا ⊃ C a :ب ` ∪ Cب = ب ل ( ∪ Cب ) = ل (ب) = 3س = 0٫72 ` ل ( ، 0٫24 = )Cل (ب) = 0٫72
C
ب
حاول أن تحل
، C 9ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ،حيث : ل(ب) = ، 15ل ( ∪ Cب) = 13أوجد ل ()C أ إذا كان ، Cب حدثين متنافيين.
ب
ب إذا كان ب ⊃ C
تفكير ناقد: بين كيف يمكن حساب ل ( )Cإذا كان ⊃ Cف ،ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،إذا كان :ل (3 = ) C ِّ ل (7 )C حاول أن تحل ل ( 2 ) Cل (ب ) = , 52 =، 3 10إذا كان ف فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث ف = { ، Cب ،ج} ،وكان ل (ب ) ل ()C /
/
/
أوجد ل(ج) مثال
10الربط بالبيئة المدرسية :إذا كان احتمال نجاح طالب فى امتحان الفيزياء يساوى ،0٫85واحتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات 0٫9واحتمال نجاحه فى االمتحانين م ًعا 0٫8أوجد احتمال : ب نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط. أ نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل. ج عدم نجاح الطالب فى االمتحانين م ًعا. الحل
ليكن Cحدث نجاح الطالب فى امتحان الفيزياء ،ب حدث نجاح الطالب فى الرياضيات فيكون :ل ( ، 0٫85 = )Cل (ب) = ، 0٫9ل ( ∩ Cب ) = 0٫8 أ احتمال نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل = ل ( ∪ Cب ) ` ل ( ∪ Cب)= ل ( + )Cل (ب) -ل ( ∩ Cب) = 0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85
ب احتمال نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط يعنى احتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات وعدم نجاحه فى امتحان الفيزياء أى ل ( ب ) C -
140
8ل( ∪ Cب ) = - 1ل( ∪ Cب) ` - 1 = 0٫1ل( ∪ Cب) ` ل( ∪ Cب) = 0٫9 أ ل( ∪ Cب) = 0٫9 ب ل( - Cب) = 0٫3 جـ ل( ∪ Cب) -ل( ∩ Cب) = 0٫5 = 0٫5 - 1 /
9
أ ب
عندما ، Cب متنافيان ل(= )C عندما ب ⊂ C 1 ل(3 = )C
2 5
التفكير الناقد:
ناقش طالبك فيما ورد فى التفكير الناقد واكد على أن ل(]1 ،0[ ∈ )C
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
97
امتحالا التقييم المستمر (المناقشة والحوار)
امسح لا باسح
ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتفكير ناقد وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة. 11حاول أن تحل ص: 141
أ ل( - Cب) = ل( - )Cل( ∩ Cب) = 0٫25 = 0٫5 - 0٫75 ب ل( ∪ Cب) = 0٫85 = 0٫5 - 0٫6 + 0٫75
تفكير ناقد:
خطأ :ألن حسب تصريحاته فإن: ل( ∪ Cب) = ]1 ،0[ ∈ 1٫1 = 0٫5 - 0٫9 + 0٫7 1 9 1 12ل( ، 6 = )Cل(ب) = 4 = 36
صمم حجر نرد بحيث يكون وجهان متقابالن يحمالن العدد 1 ووجهان متقابالن يحمالن العدد 2ووجهان متقابالن يحمالن العدد ،3ألقى هذا الحجر مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى المرتين أحسب احتمال:
جـ -أن يكون المجموع على األكثر .4
�إر�شادات للدرا�سة
5 9 1 9 2 3
اطلب إلى طالبك حل التمرين السابق في حالة إذا ألقى هذا الحجر مرتين متتاليتين ولوحظ مجموع العددين على الوجه العلوى فى المرتين اكتب فضاء النواتج ثم أوجد االحتمال فى ، C ب ،جـ مع متابعة إجاباتهم والتأكيد على اختالف فضاء النواتج فى الحالتين كذلك فى عددها وقيم االحتمال.
�أخطاء �شائعة:
- 1في تجربة سحب كرة من كيس به 10كرات متماثلة الوزن والحجم منها 5حمراء 3 ،بيضاء 2 ،سوداء من الخطأ اعتبار أن: ف = {ح ،ب ،س} ،ن (ف) = 3 حيث ح تعنى أحمر ،ب أبيض ،س أسود ولكن الصحيح: ف = { ح ح ح ح ح ،ب ب ب ،س س } ،ن (ف) = 10 - 2الخلط فى بعض مفاهيم األحداث عند كتابتها من الصورة اللفظية إلى الصورة الجبرية 0باستخدام رموز العمليات على األحداث) وهنا يفضل استخدام أشكال ڤن كوسيلة
98
/
/
تطبيقات حياتية: حاول أن تحل
11للحصول على وظيفة فى إحدى الشركات يتقدم الشخص الختبارين ،أحدهما نظرى ،واآلخر عملى ،إذا كان احتمال النجاح فى االختبار النظرى 0٫75واحتمال نجاحه فى االختبار العملى 0٫6واحتمال النجاح فى االختبارين م ًعا 0٫5فإذا تقدم شخص ما للحصول على هذه الوظيفة ألول مرة أوجد احتمال : ب نجاحه فى أحد االختبارين على األقل . أ نجاحه فى االختبار النظرى فقط.
تفكير ناقد:
الربط بالرياضة :صرح مدرب أحد الفرق الرياضية أثناء لقاء صحفى معه بأن احتمال فوز فريقه فى مباراة الذهاب ، 0٫7واحتمال فوز فريقه فى مباراة اإلياب ، 0٫9وأن احتمال فوزه فى المبارتين م ًعا 0٫5هل يتفق ما صرح به مدرب الفريق مع مفهوم االحتمال ؟ فسر إجابتك.
الحل
تمارين إثرائية :
ب -أن يكون مجموع العددين أقل من 3
ج حدث عدم نجاح الطالب فى االمتحانين م ًعا = ( ∩ Cب ) وهو حدث مكمل للحدث ( ∩ Cب ) ` ل( ∩ Cب) = - 1ل ( ∩ Cب ) = 0٫2 = 0٫8 - 1
مثال
إجابات
` ل ( ب = ) C -ل (ب) -ل (ب ∩ 0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C
11ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ،ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى كل مرة ،احسب احتمال: أوالً :أ حدث أن يكون "مجموع العددين الظاهرين أقل من أو يساوى "4 ثان ًيا :ب حدث أن يكون " أحد العددين ضعف اآلخر" ثالثًا :ج حدث أن يكون "الفرق المطلق للعددين يساوى "2 راب ًعا :د حدث أن يكون " مجموع العددين أكبر من " 12
7 1 1 1 ( 13أ ) ( 4ب) ( 2جـ) ( 2د ) ( 8هـ) صفر 2 7 5 (جـ) 40 (ب) صفر ( 14أ ) 8 (د) 5
أ -أن يكون مجموع العددين عد ًدا أول ًيا
4 4
تطبيقات الرياضيات -علمى
ن(ف) = 36
أوالً ` } )1 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،2( ،)3 ،1( ، )2 ، 1( ،)1 ،1({ = C :ن (،6 = )C ثان ًيا :ب = { (})3 ،6( ، )6 ،3( ،)2 ،4( ،)4 ،2( ،)1 ،2( ،)2 ،1
` ن (ب) = 6
ثالثًا :ج = {(})4 ،6( ، )6 ،4( ، )3 ،5( ،)5 ،3( ،)2 ،4( ،)4 ،2( ،)1 ،3( ،)3 ،1 راب ًعا :حيث إنه اليمكن أن يظهر عددان مجموعهما أكبر من ،12
` ل ( 1 = 6 = )C 6 36 `ل (ب) = 1 = 6 6 36 ` ل(ج) = 2 = 8 9 36
` د = ، zل (د) = صفر
حاول أن تحل
12فى المثال السابق احسب احتمال األحداث اآلتية : أوالً :أ حدث " العددان الظاهران متساويان " ثان ًيا :ب حدث " العدد فى الرمية األولى فردي وفى الرمية الثانية زوجي"
141
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة الرابعة :لا باسح
مثال 12ألقيت قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية ،ولوحظ تتابع الصور والكتابات احسب احتماالت األحداث اآلتية : ص أوالً C :حدث ظهور صورة واحدة فقط. ص ثان ًيا :ب حدث ظهور صورتين على األقل. ك ص ثالثًا :ج حدث ظهور صورتين بالضبط. ص ك
الحل
ف = { ( ص ،ص ،ص)( ،ص ،ص ،ك)( ،ص ،ك ،ص)( ،ص ،ك ،ك) ، (ك ،ص ،ص)( ،ك ،ص ،ك) ( ،ك ،ك ،ص)( ،ك ،ك ،ك)}، ن (ف) = 8 أوالً C a :حدث ظهور صورة واحدة فقط . ` ( { = Cص ،ك ،ك) ( ،ك ،ص ،ك)( ،ك ،ك ،ص)} ، aن( ` 3 = )Cل (3 = )C 8
ص ك
ك
ك ص ك ص ك
ثان ًيا a :ب حدث ظهور صورتين على األقل ،أى إما صورتان أو ثالث صور ` ب = { ( ص ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ص)( ،ص ،ص ،ص)} ` ل (ب) = 1 = 4 aن (ب) = 4 2 8
ثالثًا a :ج حدث ظهور صورتين بالضبط
` ج = { (ص ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ص)} aن (ج) = 3
حاول أن تحل
` ل (ج) = 3 8
13فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية : أوالً C :حدث ظهورنفس الوجه في الرميات الثالث ثان ًيا :ب حدث ظهور صورة على األكثر. راب ًعا :د حدث ظهور كتابة على األقل. ثالثًا :ج حدث ظهور عدد فردى من الصور خامسا :هـ حدث ظهور عدد من الصور يساوى نفس العدد من الكتابات. ً مثال 13االرتباط بالمجتمع :فى أحد المؤتمرات حضر 200شخص من جنسيات مختلفة ،وبياناتهم موضحة بالجدول التالى : رجل
امرأة
المجموع
142
يتحدث العربية
يتحدث اإلنجليزية
يتحدث الفرنسية
المجموع
45
30
5
80
50
95
45
75 تطبيقات الرياضيات -علمى
25
30
120 200
امسح لا باسح
4 4
إذا اختير أحد الحاضرين عشوائ ًّيا فأوجد احتمال أن يكون هذا الشخص المختار: ب رجل يتحدث اإلنجليزية. أ امرأة تتحدث العربية. د يتحدث العربية واإلنجليزية. ج يتحدث العربية أو الفرنسية. ه امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال يتحدث العربية. الحل
أ ب ج د ه
احتمال أن يكون المختار " امرأة تتحدث العربية " = 45 0٫225 = 200 احتمال أن يكون المختار "رجل يتحدث اإلنجليزية" = 45 0٫225 = 200 احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية أو الفرنسية" = + 95 0٫625 = 30200 احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية واإلنجليزية" = ل ( = )zصفر احتمال أن يكون المختار "امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال تتحدث العربية" = 5 0٫025 = 200
حاول أن تحل
14فى المثال السابق احسب احتمال أن يكون الشخص المختار: ب يتحدث األلمانية. أ ال يتحدث اإلنجليزية. د رجل يتحدث العربية أو امرأة تتحدث اإلنجليزية. ج إمرأة تتحدث الفرنسية أو اإلنجليزية.
تمــــاريــن ()1 - 4 1يرغب طالب فى شراء حقيبة ويمكنه اختيارها من ثالثة أنواع بأحد حجمين ،وقد يكون لون الحقيبة أسود أو ُبن ًّيا ،مثِّل فضاء العينة فى هذا الموقف بالشجرة البيانية. 2فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة ما يظهر على وجهيهما العلويين. كال من األحداث اآلتية. أ اكتب فضاء العينة المرتبطة بهذه التجربة ثم عين ًّ ½ الحدث « Cظهور صورة وعدد فردى». ½ الحدث ج «ظهور عدد أولى أكبر من .»2
½ الحدث ب «ظهور كتابة وعدد زوجى». ½ الحدث د «ظهور عدد يقبل القسمة على .»3
3فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى. كال من األحداث التالية: عين ًّ ½ الحدث « Cظهور عددين متساويين». ½ الحدث ج «ظهور عددين مجموعهما .»13
½ الحدث ب «ظهور عددين مجموعهما .»9 ½ الحدث د «ظهور العدد 3مرة واحدة على األقل».
4من مجموعة األرقام { }4 ،3 ،2 ،1كون عد ًدا من رقمين مختلفين .مثل فضاء النواتج ف بشكل شجرة ،ثم اكتب ف وع ِّين منها األحداث اآلتية : ½ ب حدث أن يكون رقم العشرات فرد ًّيا. ½ أ حدث أن يكون رقم اآلحاد فرد ًّيا .
½ د حدث أن يكون رقم اآلحاد أو رقم العشرات فرد ًّيا.
½ ج حدث أن يكون كال الرقمين فرد ًّيا.
143
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
الوحدة الرابعة :لا باسح
5حقيبة بها 2بطاقة متماثلة ومرقمة من 1إلى 20سحبت بطاقة واحدة عشوائ ًّيا ولوحظ العدد المسجل على البطاقة المسحوبة اكتب األحداث اآلتية : ب حدث " العدد المسجل عامل من عوامل "12 أ حدث " العدد المسجل زوجى وأكبر من "10 ج حدث " العدد المسجل فردى ويقبل القسمة على "3د حدث " العدد المسجل مضاعف للعددين " 5 ،2 هـ حدث " العدد المسجل أولى" و حدث " العدد المسجل يحقق المتباينة 5س " 17 H 3 - 6سحبت بطاقتان الواحدة بعد األخرى من بين 8بطاقات متماثلة ومرقمة من 1إلى 8مع إعادة البطاقة المسحوبة ال قبل سحب البطاقة الثانية ،ما عدد عناصر فضاء العينة ؟ وإذا كان : أو ً أ حدث " العدد فى السحبة الثانية ثالثة أمثال العدد فى السحبة األولى" ب حدث " مجموع العددين أكبر من "13 كال من ، Cب هل ، Cب حدثان متنافيان ؟ فسر ذلك. اكتب ًّ
7فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات مثِّل فضاء النواتج بشكل شجرى ،ثم ع ِّين األحداث اآلتية : ب حدث " ظهور كتابتين على األكثر" أ حدث " ظهور كتابتين على األقل" د حدث " عدم ظهور صورة فى الرميات الثالث " ج حدث " ظهور صورة فى الرمية األولى"
8ألقيت قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة الوجه العلوى لقطعة النقود والعدد الظاهر على الوجه العلوى لحجر النرد ،مثِّل فضاء العينة بشكل شجرى ثم أوجد األحداث اآلتية : ب حدث " ظهور صورة وعدد فردى" أ حدث " ظهور كتابة وعدد زوجى" د حدث " وقوع الحدث أ فقط " ج حدث " عدم وقوع أ أو عدم وقوع ب" هـ حدث " وقوع الحدث أ ووقوع الحدث ب" اختر اإلجابة الصحيحة من اإلجابات المعطاة : 9إذا ألقى حجر نرد منتظم مرة واحدة ،فإن احتمال الحصول على عدد فردى أقل من 5هو: د 1 ج 1 ب 1 أ 2 5
2
3
6
3
6
9
4
5
3
15
2
10فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ،فإن احتمال الحصول على عدد زوجى فى الرمية األولى وعدد أولى فى الرمية الثانية هو : د 1 ج 1 ب 1 أ 1 11إذا سحبت كرة عشوائ ًّيا من صندوق به 3كرات بيضاء 5 ،كرات حمراء 7 ،كرات خضراء فإن: احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو خضراء هو : د 1 ج 7 ب 2 أ 1
144
الدرس
لامتحالا باسح
1
إجابات تمارين ()1 - 4
2ف = { (ص( ، )1 ،ص( ، )2 ،ص( ، 39 ،ص( ، )4 ،ص،)5 ، (ص( ،)6 ،ك( ، )1 ،ك( ، )2 ،ك( ، )3 ،ك( ، )4 ،ك، ( ،)5ك} )6 ، أ = { (ص( ، )1 ،ص( ، )3 ،ص})5 ، ب = { (ك( ، )2 ،ك( ، ) 4 ،ك} )6 ، ج = { (ص( ، )3 ،ص( ، )5 ،ك( ،)3 ،ك} )5 ، د = {(ص( ، )3 ،ك( ، )3 ،ص( ، )6 ،ك} )6 ، 3أ = { ( } )6،6( ، )5،5( ، )4 ،4( ، )3 ،3( ، )2 ،2( ، )1 ،1 ب = { (} )3 ،6( ،)5،4( ،)4،5( ، )6 ،3 ج=z د = { (،)1،3( ، )3،6( ،)3 ،5( ،)3،4( ،)3،3( ،)3 ،2( ،)3،1 (} )6،3( ،)5،3( ،)4،3(، )2،3 4أ = { } 43 ،23 ،13 ،41 ،31 ،21 ب = { }34 ،14 ،13 ،32 ،12 ، 31 ج = { } 13 ، 31 د = { }34 ،14 ،43 ،23 ،13 ،32 ،12 ،41 ،31 ،21
5أ = { ، }20 ،18 ،16 ،14 ،12ب = { }12 ، 6 ،4 ،3 ،2 ،1
ج = { ، }15 ،9 ،3د = { ، }20، 10و = { }4 ،3 ،2 ، 1 6ن(ف) = ، 64أ = { (} )6 ،2( ، )3 ،1 ب = { (} )8 ، 8( ، )7 ،8( ، )6 ،8( ، )8 ،7( ، )7 ،7( ، )8 ،6 ، Cب حدثان متنافيان ∩ Cب 7ف = {(ص ،ص ،ص) ( ،ص ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ص) ( ،ك ،ص، ص) ( ،ك ،ك ،ص) ( ،ك ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ك ) ( ،ك ،ك ،ك) } أ = {(ك ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ك)( ،ص ،ك ،ك)( ،ك ،ك ،ك)} ب = { ( ك ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ك) ( ،ص ،ص، ك) ( ،ص ،ك ،ص)( ،ك ،ص ،ص)( ،ص ،ص ،ص)} ج = { (ص ،ص ،ص) ( ،ص ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ص) ( ،ص، ك ،ك) } د = { (ك ،ك ،ك) } 1 8أ أ = { ( ك( ، )2 ،ك( ، )4 ،ك})6 ، 2 3 ب ب = { (ص( ، )1 ،ص( ، )2 ،ص })5 ،ص 4 5 ج حدث " وقوع أ أو عدم وقوع ب" 6 1 = ∪ Cب =(∩Cب) 2 3 ك = ف ألن ∩ Cب = z 4 /
/
/
5 6
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
99
امتحالا 9
رقم السؤال
10
جـ
االجابة
د
1
14أ ل ( ، 2 = ) Cل(ب) = 1 1 ، 2ل(د) = 6 1 2 ، 3ل(و) = 3
11
1 3
12
ب
13
د
ل ( ∪ Cج ) = 1ل (هـ ∪ و) = 1ل ( ب∩ د) =
ل(هـ) =
1
3
1
ج ل ( - Cب) = 12
1 6
5 ، 5 ، 15 ، 15 19
، 6 ، 3 20
4
3
7
1 1 1
13 1 30 ، 15
21ل( 4 = )Cل(ب) = 8ل(ج) = 2ل(د) = 5 5 1 18 36 6 22 13
25
أ
1 ج ل(ج) = 50
/
19صندوق به كرات متماثلة وملونه منها 4حمراء 6 ،زرقاء 5 ،صفراء ،سحبت منه كرة واحدة عشوائ ًّيا .احسب احتمال أن تكون الكرة المسحوبة: ج ليست زرقاء .د ليست حمراء وال صفراء. ب زرقاء أو صفراء. أ حمراء.
3 8
د 7 12
7 ب ل(ب) = 50 37 د ل(د) = 50
ل ( ، 0٫45 )Cل(ب) = ، 0٫36ل( ∪Cب) = 0٫6 ل ( ∪ Cب ) = 0٫79 /
/
/
18إذا كان ،Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ،حيث: ل( ، 0٫4 = )Cل(ب ) = 3ل(ب) ،ل( ∩ Cب) = 0٫2احسب احتمال: ج وقوع Cوعدم وقوع ب. ب وقوع Cأو ب. أ وقوع Cفقط.
a 26ل ( ∪ Cب ) = ل( + )Cل(ب) -ل ( ∩ Cب) = [ ل ( - )Cل ( ∩ Cب) ] +ل (ب) = ل( - Cب) +ل (ب) ()1 أيضا ` ل ( ∪ Cب) = ل ( ب + )C -ل ( )2( )C ً من ( )2( ، )1ينتج أن ل ( - Cب) +ل(ب) = ل (ب + )C -ل( )3( )C بالتعويض فى ( )3ينتج أن:
15إذا كان ف = { ، Cب ،ج ،د} فضاء عينة لتجربة عشوائية ،أوجد: 7 ل( ، )Cل(ب) ،إذا كان ل ( 3 = )Cل(ب) ،ل(ج) = ل(د) = 18
20مجموعة بطاقات متماثلة ومرقمة من 1إلى 30سحبت منها بطاقة واحدة عشوائ ًّيا ولوحظ العدد المدون عليها. احسب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل: ب عد ًدا يقبل القسمة على 5 أ عد ًدا يقبل القسمة على 3 د عد ًدا يقبل القسمة على 3أو 5 ج عد ًدا يقبل القسمة على 3و 5 كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
145
الوحدة الرابعة :لا باسح
5 1 2 24أ 3ب 12ج 12
ل (أ) = 507
ب احسب :ل( ∪ Cج) ،ل(هـ ∪ و) ، ،ل(ب ∩ د).
/
4
0٫6 ، 0٫4 ، 15 ، 15 23
½ هـ "حدث ظهور عدد مكون من رقمين".
½ و "حدث ظهور عدد مكون من رقم واحد".
17إذا كان ،Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ،وكان ل( ، 13 = )Cل(ب) = ، 38ل( ∩ Cب) = 14أوجد: د ل( ∩ Cب ) ج ل( - Cب) ب ل( ∪ Cب) أ ل() C
11 ب ل ( ∪Cب ) = 24 / 13 / د ل ( ∩ Cب ) = 24
18أ 0.2ب 0٫45 2
½ ج"حدث ظهور عدد زوجى".
½ د "حدث ظهور عدد أكبر من ".12
16إذا كان ،Cب حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ،وكان: ل ( ∪ Cب) = ،0٫6ل ( - Cب) = 0٫25أحسب ل( ،)Cل(ب).
ج 0٫95
3 11
½ ب "حدث ظهور عدد أولى".
½ " Cحدث ظهور عدد فردى".
2
2
أ احسب احتمال كل من األحداث التالية:
16ل ( ، 0٫25 = )Cل (ب) = 0٫35 17أ ل ( 3 = )/C
9
9
13إذا كان ، Cب حدثين من ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ،وكان ب⊃ ، Cل (2 = )Cل(ب) = 0٫6فإن ل (- Cب) يساوى: د 0٫2 ج 0٫4 ب 0٫3 أ 0٫6 14ألقى حجر نرد منتظم كتب على أوجهه األعداد 13 ،12 ،11 ،10 ،9 ،8ولوحظ العدد على الوجه العلوي:
1 ل (ب) = 18
15ل(, 6 = )C
امسح لا باسح
12يحتوى صندوق على تسع بطاقات متماثلة تحمل األرقام من 1إلى 9اختيرت بطاقة عشوائ ًّيا ،فإن احتمال أن رقما فرد ًّيا هو : تحمل البطاقة المسحوبة رقم يقسم العدد 9أو ً د 5 ج 1 ب 7 أ 1
د
ل (ج) =
4 4
/
21ألقيت ثالث قطع نقود متمايزة مرة واحدة .احسب احتمال كل من األحداث التالية: ½ Cحدث ظهور صورة واحدة أو صورتين.
½ ج حدث ظهور صورة على األكثر.
½ ب حدث ظهور صورة واحدة على األقل.
½ د حدث ظهور كتابتين متتاليتين على األقل.
22فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى فى كل مرة ،احسب احتمال كل من األحداث التالية: ½ حدث ظهور العدد 4فى الرمية األولى.
½ حدث مجموع العددين فى الرميتين يساوى 8
½ حدث مجموع العددين فى الرميتين أقل من أو يساوي 5
شخصا ،منهم يشجع شخصا شملهم استطالع للرأى ،وجد أن 40 23الربط بالر ياضة :عينة عشوائية تتكون من 60 ً ً شخصا يشجع نادى النجمة ،وأن 8أشخاص اليشجعون أ ًّيا من الناديين. نادى الهالل ،و28 ً إذا اختير شخص عشوائ ًّيا من أفراد العينة ،فما احتمال أن يكون الشخص المختار من مشجعى: ب الناديين م ًعا. أ أحد الناديين على األقل. د أحد الناديين فقط. ج نادى الهالل فقط.
24فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد منتظم ومالحظة الوجه الظاهر لقطعة النقود والعدد الظاهر على الوجه العلوى لحجر النرد ،إذا كان Cهو حدث ظهور صورة وعدد أولى ،ب حدث ظهور عدد زوجى .احسب كال من األحداث اآلتية : كل من الحدثين ، Cب ثم احسب احتمال ًّ احتمال وقوع ٍّ ب وقوع الحدثين م ًعا أ وقوع أحد الحدثين على األقل د وقوع أحد من الحدثين فقط ج وقوع ب فقط
25سحبت بطاقة واحدة عشوائ ًّيا من 50بطاقة متماثلة ،ومرقمة من 1إلى ،50احسب احتمال أن يكون العدد على البطاقة المسحوبة: ب مرب ًعا كامال أ مضاعفًا للعدد 7 د كامال ،وليس مضاعفًا للعدد 7 ليس مرب ًعا ال ً ج مضاعف للعدد 7ومرب ًعا كام ً 26إذا كان ،Cب حدثين من فضاء نواتج لتجربة عشوائية ف ،ل(ب) = 45ل ( ، )Cل (- Cب) = 0٫24 ل (ب∩ 0٫15 = ) Cأوجد :ل ( ،) Cل (ب) ،ل ( ∪ Cب) ،ل ( ∪ Cب ) /
/
/
27كتب طارق 75خطا ًبا على اآللة الكاتبة ،فوجد أن ٪60منها بال أخطاء ،وكتب زياد 25خطا ًبا أخرى ،فوجد أن ٪80منها بال أخطاء ،فإذا اختير خطاب عشوائ ًّيا مما تم كتابته بواسطة طارق وزياد ،فأوجد احتمال أن يكون هذا الخطاب : ب زياد هو الذى كتب الخطاب. أ بال أخطاء . د طارق قد أخطأ فى كتابته . ج زياد لم يخطئ فى كتابته. 28إذا كان ،Cب حدثين من فضاء عينة ف ،ل( ، 0٫6 = ) Cل(ب) = ،0٫8ل ( ∪َ Cبَ) = 0٫5فاحسب ل( ∩َ Cب)
146
100
تطبيقات الرياضيات -علمى
تطبيقات الرياضيات -علمى
4 4
27
ملخ�ص �لوحدة 1التجربة العشوائية :هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها ،ولكن النستطيع أن نحدد أ ًّيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها.
طارق زياد المجموع
2فضاء العينة (فضاء النواتج) :فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ويرمز له بالرمز ف. 3الحدث :هو مجموعة جزئية من فضاء العينة.
واحدا فقط. عنصرا 4الحدث بسيط (أولى) :هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحوى ً ً 5الحدث المؤكد :هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف.
6الحدث المستحيل :هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز .z 7العمليات على األحداث :التقاطع -االتحاد -اإلكمال -الفرق. 8األحداث المتنافية
يقال إن الحدثين ،Cب متنافيان إذا كان ∩ Cب = .z ½ يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا كانت وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى.
9حساب االحتمال
½ إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما ،واألحداث األولية التى تحويها متساوية اإلمكانات. ½ فإن احتمال وقوع أى حدث ⊃ Cف يرمز له بالرمز ل( )Cحيث ل( = )Cن()C ن(ف)
10مسلمات االحتمال
½ ل(ف) = 1
فإن ل( + )1Cل( + )2Cل( + ... + )3Cل(Cن) =1
12ل(0 = )z
12إذا كان ⊃ Cف حيث ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن ل( - 1 = ) Cل()C /
13ألى حدثين أ ،ب من ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن ب ل(- Cب) = ل( - )Cل ( ∩ Cب ) أ ل ( ∪ Cب ) = ل( + )Cل(ب) -ل ( ∩ Cب )
147
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
75 25 100
65
احتمال أن يكون الخطاب بال أخطاء = 0٫65 = 100 احتمال أن يكون زياد هو الذي كتب الخطاب = 0٫25 20 احتمال أن يكون زياد لم يخطئ في كتابته = 0٫2 = 100 30
احتمال أن يكون طارق قد أخطأ كتابته = 0٫3 = 100
- 1إذا كان ،Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف ،ل
ل( ∪ Cب) = ل( + )Cل(ب)
11إذا كان C ∪.... ∪3C∪2C∪1Cن=ف حيث C ، ...،2C ،2C ،1Cن جميعها أحداث متنافية
45 20 65
30 5 35
المجموع
تمارين إثرائية :
½ لكل حدث ⊃ Cف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث Cيرمز له بالرمز ل حيث H 0 :ل(1 H )C
½ إذا كان ⊃ Cف ،ب ⊃ ف وكان ،Cب حدثين متنافيين فإن:
بال اخطاء
باألخطاء
الدرس
����� ل�� �
لامتحالا باسح
1
2 1 ( ، 4 = )Cل(∩ Cب) = 3
أوجد ل(ب) فى الحالتين اآلتيتين : ثان ًيا ،C :ب حدثين متنافيين. أوال :إذا كان ⊂ Cب
- 2إذا كان ، Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف ،ل 5 1 ( ∩ Cب )= ، 12ل ( ∩ Cب) = ، 12 1
ل( ∪ Cب) = 4أوجد كال من :ل( ،)Cل(ب) ،ل( ∩ Cب)
الوحدة الرابعة :لا باسح
14األحداث بالصورة اللفظية وتمثيلها بشكل ڤن ،واحتماالتها: الحدث فى صورة لفظية
احتمال وقوع الحدث
تمثيل الحدث بشكل ڤن ف
عدم وقوع الحدث C
ل( - 1 = ) Cل()C /
C
C
ف
وقوع Cأو ب (وقوع أحدهما
على األقل)
C ∪Cب
وقوع Cو ب (وقوعهما م ًعا)
C ∩Cب
وقوع الحدث Cفقط
ل( ∪ Cب) = ل( + )Cل(ب) -ل( ∩ Cب)
ب ف
ل( ∩ Cب) = ل( + )Cل(ب) -ل( ∪ Cب)
ب ف
ل( - Cب) = ل( - )Cل( ∩ Cب) = ل( ∩ Cب ) /
(وقوع Cوعدم وقوع ب)
C
ب
- Cب = ∩Cب = ∩ C ( - Cب ) /
ف
وقوع أحدهما فقط
(وقوع Cفقط أو وقوع ب فقط)
ل(( - Cب) ∪ (ب ))C -
= ل( - Cب) +ل( ب ) C -
ب
C ( - Cب) ∪ (ب )C -
= ل( ∪ Cب) -ل( ∩ Cب)
ف
عدم وقوع أى من الحدثين
ل( ∪ Cب) = ل( ∩ Cب ) = - 1ل ( ∪ Cب) /
(عدم وقوع Cوعدم وقوع ب)
عدم وقوع الحدثين م ًعا (عدم وقوع Cأو عدم وقوع ب)
أو (وقوع أحدهما على األكثر)
ب
C ( ∪ Cب) = ∩ Cب /
/
/
/
/
ف
ل( ∩ Cب) = ل( ∪ Cب ) = - 1ل( ∩ Cب) /
ب C ( ∩ Cب) = ∪ Cب /
/
/
/
/
ف
عدم وقوع Cفقط
(وقوع ب أو عدم وقوع )C
148
ل( - Cب) = - 1ل( - Cب) = ل (ب ∪ ) C /
/
C
ب
( - Cب) = ب ∪ C /
= ل ( + ) Cل ( ∩ Cب) /
/
تطبيقات الرياضيات -علمى
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
101
امتحالا إجابات التمارين العامة على الوحدة الرابعة:
رقم السؤال
2
1
جـ
االجابة
3
د
4
أ
جـ
8أ = {}43 ،23 ،13 ،41 ،31 ب = {}24 ،42 ،12 ،21 ج=z د = {}24 ،12 ب 2 1 9أ 3 2
10 C
����� ل�� �
5
د
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3
ج 1 6
-Cب=C
∩Cب=z
تمارين عامة (الوحدة الرابعة)
جـ
4
ب ∩Cب=ب
ب= C-ب
∪Cب=أ
بz=C-
جـ ل ( ∪ Cب) = 0٫7ل(ب 0٫4 = )C -
د
6
أ
7
ل ( ∩ Cب) = 0٫3
ل ( ∪ Cب) = 0٫9ل ( ∩ Cب) = صفر ل ( - Cب) 0٫3
11ل (ب ) = 0٫3 12أ أوال س = 1 ب 12 /
1 6
ثان ًيا س = ف
13أ
2 3
اختر االإجابة ال�شحيحة من االإجابات المعطاة:
فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين فإن :
1احتمال الحصول على العدد 5فى الرمية األولى والعدد 6فى الرمية الثانية هو: ج 1 ب 1 أ 1 36 30 24
2احتمال الحصول على العدد 5فى إحدى الرميتين والعدد 6فى الرمية األخرى هو: د 1 ج 5 ب 1 أ 1 12
6
36
5
36
6
د 1 18
، Cب حدثان من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،اختر الحدث الذى يعبر عن الجزء المظلل بشكل ڤن المقابل: ف ب ∪ Cب 4أ ف ∪ C ( -ب) ب C د ( ∩ Cب ) ج ف ∪ C( -ب ) /
/
/
/
5أ ∩ Cب ج ( ∪ Cب)
/
ب ∪ Cب
ف
/
د ∪ Cب /
/
/
C
ب ف ∩ C(-ب )
6أ ( ∪ Cب) ∩ C(-ب) ج ف ∪ C( -ب)
/
د ف ∩ C( -ب )
/
ب ∩ Cب
7أ ف ∩ C( -ب) ج ( - Cب) ∪(ب ) C -
/
ج
ه
C
ف
C
ب ∩ C( -ب)
ب
C /
( ∩ Cب) = ∪ Cب 3
و
14ل ( 8 = )Cل (ب) =
7 8ل(ج) =
ب ف
C ف
/
د ف ∪ C( -ب )
/
C
ب
9فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ،ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى ،احسب احتمال أن يكون العدد الظاهر : ج فرد ًّيا يقبل القسمة على 3 ب من عوامل 6 أ أول ًّيا
149
ب
متسرين عس�ة (ل�� � ل�رلبعة)
10إذا كان ،Cب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية. أكمل لتكون العبارة صحيحة فيما يأتى: أ إذا كان ،Cب حدثين متنافيين: ½ ∩Cب=
½ -Cب=
.............................................
ب إذا كان ب ⊃ Cفإن:
............................................
½ ∪Cب=
.................................
........................................
ج إذا كان ل( ، 0٫3 = )Cل(ب) = ، 0٫5ل ( ∩ Cب) = 0٫1فإن:
∪ Cب = (ب )C -
/
½ ل(ب = )C -
................................
.................................
د إذا كان ∩ Cب = ، zل( ،0٫7 = ) Cل(ب ) = 0٫4فإن: /
.................................
½ ب=C- ½ ب=C-
......................................................
.....................................................
½ ل( ∩ Cب ) = /
/
.................................
/
½ ل( ∩ Cب) =
.................................
½ ل( - Cب) =
.................................
11إذا كان ،Cب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ،وكان ⊃ Cب ،ل( ، 12 = )Cاحتمال وقوع ب فقط يساوي .0٫2احسب احتمال عدم وقوع ب.
12إذا كان ،Cب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ،ل دالة احتمال معرفة على ف ،وكان ل( ، ، 1 = )Cل(ب) = س ،ل( ∪ Cب)1 = / 3 2
ب
( - Cب) ∪ (ب )C - 1 2ل (د) =
½ ل( ∪ Cب) = ½ ل( ∪ Cب) =
ف
C
/
ب
8كون من أرقام العدد 4321أعداد ،كل منها يتكون من رقمين مختلفين .مثل فضاء النواتج بشكل شجرة بيانية، ثم اكتب فضاء النواتج واألحداث اآلتية : أ حدث " مجموعة األعداد األولية ". ب حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على ."3 ج حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على 3و ."5 د حدث" مجموعة األعداد التى بها اآلحاد ضعف العشرات".
½ ( ∩ Cب) =
/
ف
/
∪Cب C
ب
ب ف
ف
C
د
18
3احتمال الحصول على عددين متساويين فى الرميتين هو: ج 1 ب 1 أ 1
الوحدة الرابعة :لا باسح
C
د 1 6
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
ب
/
4 4
1 4
أ أوجد قيمة س إذا كان:
½ ،Cب حدثان متنافيان.
ب إذا كانت س = 14فأوجد ل( ∩ Cب).
½ ⊃ Cب.
تعبيرا رمز ًّيا لكل من األحداث اآلتية ،ومثلها 13إذا كان ،Cب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ،أعط ً بشكل ڤن: أ عدم وقوع الحدث .C ج وقوع الحدث ب فقط.
ه عدم وقوع الحدثين م ًعا.
ب وقوع أى الحدثين Cأو ب. د وقوع Cأو عدم وقوع ب. و وقوع أحدهما فقط.
14فى تجربة إلقاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية ،ومالحظة تتابع الصور والكتابات ،مثِّل فضاء العينة لهذه التجربة بالشجرة البيانية ،ثم احسب احتمال كل من األحداث التالية: أ الحدث « Cظهور صورتين فقط».
ج الحدث ج «ظهور كتابة واحدة على األكثر». الثالث».
150
102
تطبيقات الرياضيات -علمى
تطبيقات الرياضيات -علمى
ب الحدث ب «ظهور صورتين على األكثر».
د الحدث د «ظهور نفس الوجه فى الرميات
����� ل�� �
4 4
15أ
15فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى. كال من األحداث اآلتية: شكال هندس ًّيا يمثل فضاء العينة ف أ ارسم موضحا عليه ًّ ً ً
الرمية الثانية
C
ج
½ الحدث « Cالحصول على عددين مجموعهم فردى وأكبر من .»6
الدرس
لامتحالا باسح
1
6 5 4 3 2 1
½ الحدث ب «الحصول على عددين أحدهما 2ومجموعها .»5 H
½ الحدث ج «الحصول على عددين متساويين». ب أى األحداث ،Cب ،ج متنافية مثنى مثنى؟
ج احسب كل من :ل( ∪ Cب) ،ل(ب ∩ ج) ،ل( ∪ Cج) ،ل(ب -ج). /
16خمس بطاقات متماثلة مرقمة من 2إلى 6سحبت بطاقتان الواحدة بعد اآلخرى مع اإلحالل ،ومالحظة الرقم المسجل عليها لتكوين جميع األعداد الممكنة ذات الرقمين .أوجد احتمال:
ب
ب أن يكون رقم العشرات عد ًدا فرد ًّيا.
أ أن يكون رقم األحاد عد ًدا أول ًّيا.
ج أن يكون رقم األحاد عد ًدا أول ًّيا أو رقم العشرات عد ًدا فرد ًّيا.
صحف:
شخصا يقرؤن الصحيفة 24 ،Cيقرؤن الصحيفة ب 9 ،أشخاص يقرؤن شخصا ،وجد أن 27 17فى عينة من 50 ً ً الصحيفتين م ًعا .اختير شخص واحد من هذه العينة عشوائ ًّيا .أوجد احتمال أن يقرأ الشخص المختار. ب إحدى الصحيفتين على األقل.
أ الصحيفة Cفقط.
سياحة:
18فى أحد عروض مشروع الصوت والضوء بالهرم حضر 200شخص من جنسيات مختلفة بيانهم موضح بالجدول اآلتى ،فإذا اختير أحد الحاضرين عشوائ ًّيا عن طريق بطاقات الدخول الخاصة بهم لمنحه جائزة تذكارية. أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار أ رجال أوروب ًّيا. ً ج سيدة.
عربى
أوروبى
أمريكى
المجموع
23
63
20
106
رجل
32
المجموع
55
سيدة
15
47
110
94
200
35
ب سيدة أمريكية.
د ذو جنسية عربية أو أوروبية.
َ
151
الوحدة الرابعة :لا باسح
4 5 6
عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة ،ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن فضاء النواتج ف = عند إلقاء قطعة نقود معدنية مرتين متتاليتين ،ومالحظة الوجه العلوى ،فإن حدث ظهور صورة على األكثر = ...................... عند إلقاء حجر نرد منتظم ثم قطعة نقود ومالحظة الوجه العلوى لكل منهما فإن حدث ظهور عدد أولى = .......................... عند إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ومالحظة الوجه العلوى فى كل مرة ،فإن حدث " مجموع العددين الظاهرين يساوى .......................... = "5 عند سحب بطاقة من 20بطاقة متماثلة ومرقمة من 1إلى 20ومالحظة العدد الظاهر على البطاقة فإن حدث « العدد الظاهر يقبل القسمة على ..........................= " 3 عند إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتاليات ومالحظة تتابع الصور والكتابات ،فإن حدث "ظهور صورتين بالضبط" = ........................................
7إذا كان ⊃Cف حيث ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ،وكان ل( 3 = ) Cل( )Cفأوجد ل(. ) C /
/
8صندوق به 20بطاقة متماثلة ،ومرقمة من 1إلى 20سحبت منه بطاقة واحدة عشوائ ًّيا ،أوجد احتمال أن يكون العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة : أ يقبل القسمة على 6
ب أول ًّيا أكبر من 10
ج من عوامل العدد 12
أ ل ( ∩ Cب)
ب ل ( ∩ Cب)
ج ل ( ∪ Cب)
9إذا كان ، Cب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،ل ( ∪ Cب) = ، 0٫85ل( ، 0٫75 = )Cل( ب ) = 0٫6 أوجد: /
/
/
10إذا كان ، Cب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،فإذا كان ل ( 23 = ) Cل(ب) ،واحتمال حدث وقوع
أحدهما على األكثر يساوى ، 0٫75احتمال حدث "وقوع أحدهما على األقل" يساوى 0٫6فأوجد احتمال األحداث اآلتية: ج وقوع ب أو عدم وقوع .C ب وقوع أحد الحدثين فقط. أ احتمال وقوعهما م ًعا.
11إذا كان ، Cب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،فإذا كان ل ( 35 = ) Cل( ∪ Cب)= 0٫45فأوجد ل (ب) فى الحاالت االتية : /
أ ،Cب حدثان متنافيان
ب ⊃Cب
ج ل(ب 0٫2 = )C -
سائحا من فرنسا، سائحا من إيطاليا14 ، سائحا من روسيا17 ، 12الربط بالسياحة :فوج سياحى مكون من 19 ً ً ً اختير أحدهم عشوائ ًّيا ،احسب احتمال أن يكون السائح:
152
تطبيقات الرياضيات -علمى
ل (ب -ج) = ج 19 25
1 9
18أ 0٫36ب 0٫48 19
ج 0٫53د 0٫825 1 أ ل(أ) = 4
3 4
..........................
/
ل (ب ∩ ج) =
1 36
1 ب ل(ب) = 3
5 ج ل(ج) = 12
ف = { }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 ف = {(ص ،ك) ( ،ك ،ص) ( ،ك ،ك)} ف = {( ،2ص) ،2( ،ك) ،3( ،ص) ،3( ،ك) ،5( ،ص)( ،ق ،ك)} ف = {(})4 ،1( ،)3 ،3( ،)3 ،2( ، )4 ،1 ف = {}18،15،12،9،6،3 {(ص ،ص ،ك) ( ،ص ،ك ،ص) ( ،ك ،ص ،ص)}
اأكمل ما ياأتى:
3
17 ج ل ( ∪ Cب) = 36
` ،Cب حدثان متنافيان ` ، Cج حدثان متنافيان
إجابات اختبار تراكمي
اختبار تراكمى
2
z ∩Cج=
17أ 0٫36ب 0٫48
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
1
z ب ∩ Cب =
1 / ل ( ∪ Cج) = 2 2 3 ب 5 16أ 5
19إذا كان ف = { ،Cب ،ج} ،فضاء عينة لتجربة عشوائية ما ،وكان: ل( ، ) Cل(ب) ،ل (ج) 20ل( 15 = ) Cل(ب) = 12ل(ج) فأوجد: َ
الرمية األولى 1 2 3 4 5 6
أ احتمال أن يقبل العدد القسمة على = 6
3 20
= 0٫15
1 ب احتمال أن يكون أول ًيا أكبر من 0٫2 = 5 = 10
6 ج احتمال أن يكون من عوامل العدد 0٫3 = 20 = 12
أ 0٫3ب 0٫45ج 0٫7
1أ 0٫25ب 0٫35ج 91 1ل (0٫55 = )C 0٫45 * 5 = 0٫75 ل ( ∪ Cب) = 3 دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
103
امتحالا أ إذا كان ، Cب حدثين متنافيين. ل ( ∩ Cب) = صفر ` ∩ Cب = z ل ( ∪ Cب) = ل ( + )Cل (ب) ` ل (ب) = 0٫2 + 0٫55 = 0٫75ل (ب)
����� ل�� �
13الربط بالبيئة المدرسية :فى احتفال المدرسة بتكريم أوائل طالبها ،إذا كان احتمال حضور المحافظ ،0٫8 واحتمال حضور مدير عام التعليم 0٫9واحتمال حضورهما م ًعا 0٫75أوجد: ب احتمال حضور أحدهما على األقل. أ احتمال حضور المحافظ فقط. ج احتمال عدم حضورهما م ًعا. ،C 14ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ف. فإذا كان ل( ،0٫6 = )Cل(ب ) = ، 0٫3ل( ∪ Cب) = ،0٫9أوجد احتمال كل من األحداث اآلتية: ج وقوع Cفقط أو ب فقط ب وقوع Cوعدم وقوع ب أ وقوع Cو ب /
` ل (ب) = ل ( ∪ Cب) = 0٫75
15إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية حيث ف= { ،Cب ،جـ} / ل(جـ ) وكان ل( 2 ، 73 = ) Cل (ب) = 3ل(ب ) فأوجد ل(جـ ) ل()C
ج إذا كان ل ( ب 0٫2 = )C -
/
/
ثالثًا :وقوع أحد الحدثين على األقل
ً أوال :أنثى.
= 0٫66
ثان ًيا :من ذوى المؤهالت المتوسطة.
ثالثًا :ذكر من المؤهالت العليا.
17 + 19 50
ب احتمال أن يكون السائح ليس من فرنسا =
ج احتمال أن يكون السائح من أوربا = ل (ف) =1
د احتمال أن يكون السائح من هولندا = ل( = )zصفر
راب ًعا :أنثى أو من ذوى المؤهالت العليا.
= 0٫72
1يفرض أن احتمال حضور المحافظ = ل ( ، )Cاحتمال حضور المدير العام = ل (ب) ` ل ( ، 0٫8 = )Cل (ب) = ، 0٫9ل ( ∩ Cب) = 0٫75 أ -احتمال حضور المحافظ فقط = ل( - Cب) = ل (- )Cل ( ∩ Cب) = 0٫05 ب -احتمال حضور أحدهما على األقل = ل ( ∪Cب) = 0٫95 = 0٫75 - 0٫9 + 0٫8 جـ -احتمال عدم حضورهما معا = ل ( ∩ Cب) = 0٫25 = 0٫75 - 1 1أ ل ( ∩ Cب) = ل ( + )Cل (ب) -ل ( ∪ Cب) = 0٫4 = 0٫9 - 0٫7 + 0٫6 ب -ل ( ∩ Cب ) = ل ( - Cب) = ل ( - )Cل ( ∩ Cب ) = 0٫2 = 0٫4 - 0٫6 جـ -ل ( -Cب) +ل ( ب = )C -ل ( ∪ Cب) -ل ( ∩Cب) = 0٫5 = 0٫4 - 0٫9 -1ل(7 )C ل(7 ) C = 3 1 ل( ) = 3 ل ()C C ` ل (0٫3 = )C ` 2ل(ب) = 3 - 3ل(ب) 2 aل (ب) = 3ل (ب) /
تطبيقات الرياضيات -علمى
/
راب ًعا :وقوع أحد الحدثين فقط
شخصا موزعين كما هو موضح بالجدول التالي ،اختير أحد المتقدمين عشوائ ًّيا، 17تقدم لوظيفة بأحد البنوك 50 ً أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار:
14 + 19 أ احتمال أن يكون السائح من روسيا أو فرنسا = 50
104
/
16إذا كان ،Cب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان: ل( ، 0٫6 = )Cل(ب) = ، 0٫5ل ( ∪ Cب ) = 0٫7فأوجد احتمال كل مما يأتي: ً ثان ًيا :وقوع حدث Cفقط أوال :وقوع الحدثين ،Cم ًعا
` ل (ب) -ل ( ∩ Cب ) = 0٫2 ل (ب) = 0٫45 = 0٫25 + 0٫2
ب ليس من فرنسا. د من هولندا.
أ من روسيا أو من فرنسا. ج من أوروبا.
ب إذا كان ⊂ Cب فإن ∪ Cب = ب
1
4 4
الجنس
مؤهالت عليا
مؤهالت متوسطة
المجموع
ذكر
16
14
30
أنثى
12
8
20
المجموع
28
22
50
كتاب الطالب -الصف الثانى الثانوى
153
` ل (ب) = 0٫6 ` ل(جـ) = 0٫1 = )0٫6 + 0٫3 ( - 1 `ل (جـ) = 0٫9 ل(جـ ) 9 ` ل (جـ) = 1 ( ∩ Cب) = 0٫3 1ل ( ∪ Cب) = 0٫7 اً أول :احتمال وقوع الحدثين م ًعا = ل ( ∩ Cب) = 0٫3 ثانيًا :احتمال وقوع Cفقط = ل ( - Cب) = ل ( - )Cل ( ∩ Cب) = 0٫3 = 0٫3 - 0٫6 ثالثًا :احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل -ل( ∪ Cب) = ل ( + ) Cل (ب) -ل ( ∩ Cب) = 0٫8 = 0٫3 - 0٫5 + 0٫6 /
رابعً ا :احتمال وقوع احد الحدثين فقط = ل ( ∪ Cب) -ل ( ∩ Cب) = 0٫5 = 0٫3 - 0٫8 ثان ًيا0٫44 : ال 0٫4 : 1أو ً
ثال ًثا 0٫32 :
راب ًعا0٫72 :
ملحقات دليل المعلم
دليل املعلم -الصف الثانى الثانوى
105
قائمة المراجع والمواقع الإلكترونية :المراجع 28 - 7 ص ص،2005 ، االنجلو المصرية، القاهرة، تربويات الرياضيات،●●وليم عبيد وآخرون
17 - 15 ص ص،2001 ، الطبقة األولى، المكتبة األكاديمية، القاهرة، قصة الرياضيات،●●وليم عبيد
،" ورقة مقدمة للمواتمر العلمى السنوى بعنوان "الرياضيات المدرسية معايير ومستويات، االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات،●●محمد أمين المفتى 2001 ، القاهرة،الجمعية المصرية لتربويات الرياضيات
❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❍❍
2008 ، االنجلو المصرية، القاهرة، الطبعة السابعة، القياس والتقويم فى العلوم النفسية والتربوية واالجتماعية،●●على ماهر خطاب . دار الفالح: االردن،3 ط، ) أساسيات الرياضيات2004( ●●سعدون العبيدى . دار الفكر العربى: مصر، ) استراتيجيات التدريس والتعلم1999( ●●جابر عبد الحميد جابر . مكتبة االنجلوا المصرية: مصر،4 ط.) علم النفس التربوى1988(●●فؤاد أبو حطب؛ آمال صادق . عمان األردن، دار المسيرة، تعلم الرياضيات لجميع األطفال فى سباق ثقافة الجودة:)2004( ●●وليم عبيد . مكتبة الدار العربية للكتاب: مصر،) تعليم الرياضيات بين النظرية والتطبيق2000( ●●محبات أبو عميرة . دار القلم: دبي- اإلمارات العربية المتحدة، مقدمة عربية فى مهارات التفكير- ) تربية التفكير2005( وآخرون، ●●شاكر عبد الحميد . مركز الكتاب: مصر، ) سلوك التدريس1996( ●●محمد أمين المفتى Daire, S. and other, Geometry U.S.A, prentice Hall Edward D. Gaughan and others, (1982) Algebra, Second course 1982, Scott Foresman. Eleanor Beoher and other, Advanced Algebra, U.S.A Prentice Hall Ernest, H. Richard, P.,(2010). (2005), Introductory mathematical Analysis, Eleventh Edition, pearson, prentice Hall. G.N YAkovlEv, (1982) Problem Book in High school mathematics, Mir Publishers, moscow. George, B., Maurice, D., Joet, R(2011). thomas’ colulus, twelfth Edition. J.F Talgert and H.H.Heng, (1992) Additional Mathematics, FiFth Edition, Longman ingapore publishers (Ptc) limited. John J . Bradiy and other, Algebra, U.S.A, prentice Hall, Zolo Larson, R.(2013). Precalculus, q the Edition, Brooks cole. McGraw-Hill, (2005). Advanced Mathematical calconcepts: Precalculus with Applications, 1st Edition. Randall I . Charles and others, (2010) Math Corse 3 . U.S.A, prentice Hall Rayner, General D.(1984) Mathematics, Revision and Practice, Second edition, oxford university press. Stewart, J (2012) calculus: Early transcendentals Sullivan, M.(1996). Mathematics: An Applied Apprach, 8th Edition, John wileyand sone, inc. Sullivan, M., (2015) Trigonometry: A unit circle Approach, pearson education, Canda. Vernon, C, Richard, A (2012) college Algebra and trigonometry . Japan Society of Mathematics Education (2000): mathematics program in Japan, JSME Tokyo, japan. MOE (2005) : The Ontario Curriculum mathematics "Ontarion, Canada, ISBN 0-7794-8122-4 (Internet) Ebeid , William (2005): "Professional Development for Mathematics, Teacher, Unpublished Lectures, cairo. Ebeid , William (2008): The paradigm shift in mathematics education, in Math and 21st century, world scientific pub. Co. London.
المواقع اإللكترونية:ثان ًيا (http://geogebra.org/com) (http://www.pedowan.dk) (http:// www. phschool.com) www.NCTM.org
http://www.keycurriculum.com/products/ sketchpad علمى- تطبيقات الرياضيات
112
قامو�س الم�صطلحات التربوية والعلمية Net of a pyramid acceleration of gravity Uniform Acceleration Sample space Base lami's rule triangle of forces Diameter Coin Force Gravitation force Vector Velocity Position Vector Axis Cone Right circular cone force Component Center centre of gravity Lateral area Surface area Distance smooth plane inclined smooth plane Average Speed Radius Newton Pyramid Right pyramid Regular pyramid Lateral face
شبكة هرمÑ Ñ
عجلة السقوط الحرÑ Ñ عجلة منتظمةÑ Ñ
فضاء النواتج- فضاء العينةÑ Ñ
قاعدةÑ Ñ
قاعدة المىÑ Ñ
قاعدة مثلث القوىÑ Ñ قطرÑ Ñ
قطعة نقودÑ Ñ
قوةÑ Ñ
قوة التثاقلÑ Ñ
متجه سرعةÑ Ñ
متجه موضعÑ Ñ محورÑ Ñ
مخروطÑ Ñ
مخروط دائرى قائمÑ Ñ مركبة قوةÑ Ñ
مركزÑ Ñ
مركز ثقلÑ Ñ
مساحة جانبيةÑ Ñ
)مساحة كلية (سطحيةÑ Ñ مسافةÑ Ñ
مستوى أملسÑ Ñ
مستوى مائل أملسÑ Ñ
مقدار السرعة المتوسطةÑ Ñ
نصف قطرÑ Ñ نيوتنÑ Ñ
هرمÑ Ñ
هرم قائمÑ Ñ
هرم منتظمÑ Ñ
وجه جانبىÑ Ñ
Mutually Exclusive Events Statistics Displacement equilibrium of a body Equilibrium of rigid body Probability Height Slant height Statics Average Velocity Relative Velocity Operation on the Events Space Straight line plane The point Random Experiment Resolving force Gram weight Kilogram weight Gravity Universal Gravitation Rigid body Die Event Simple Event Certain Event Compound Event Impossible Event Lateral edge Vertical Motion Rectilinear Motion Line of action of the force Circle Dyne Vertex Instantaneous Velocity Uniform Velocity Free fall
113
املقدمة- دليل املعلم
أحداث متنافيةÑ Ñ
إحصاءÑ Ñ إزاحةÑ Ñ
اتزان جسمÑ Ñ
اتزان جسم جاسئÑ Ñ احتمالÑ Ñ
ارتفاعÑ Ñ
ارتفاع جانبىÑ Ñ استاتيكاÑ Ñ
السرعة المتوسطةÑ Ñ
السرعة النسبيةÑ Ñ
العمليات على األحداثÑ Ñ الفراغÑ Ñ
المستقيمÑ Ñ
المستوىÑ Ñ
النقطةÑ Ñ
تجربة عشوائيةÑ Ñ تحليل قوةÑ Ñ ثقل جرامÑ Ñ
ثقل كيلو جرامÑ Ñ جاذبية أرضيةÑ Ñ
جذب عامÑ Ñ
جسم جاسئÑ Ñ حجر نردÑ Ñ حدثÑ Ñ
)حدث بسيط (أولىÑ Ñ حدث مؤكدÑ Ñ
حدث مركبÑ Ñ
حدث مستحيلÑ Ñ حرف جانبىÑ Ñ حركة رأسيةÑ Ñ
حركة مستقيمةÑ Ñ خط عمل قوةÑ Ñ دائرةÑ Ñ
داينÑ Ñ
رأسÑ Ñ
سرعة لحظيةÑ Ñ
سرعة منتظمةÑ Ñ سقوط حرÑ Ñ
خريطة المنهج الوحدة
مخرجات التعلم
املوضوعات
●●يتعرف مفهوم القوة ،والقوة كمتجه ،ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء وحدات الدرس ( :)1 - 1مقدمة عن تطور القياس السابقة. علم الميكانيكا.
االستــاتيكــا
واتجاها (القوتان تؤثران فى نفس النقطة). مقدارا ●●يوجد محصلة قوتين ً ً ●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين. ●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. ●●يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. ●●يبحث اتزان نقطة مادية (جسيم) تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية: إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. ●●يوجد محصلة قوتين هندس ًّيا وجبر ًّيا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات فى صورة أنشطة. ●●يستخدم تطبيقات ما درسه فى االستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية.
الديناميكا
تعرف مفهوم الجسيم. ●● َي َّ ●●يتعرف المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. ●●يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة. ●●يميز بين اإلزاحة والمسافة. ●●يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة -متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعة النسبية -وحدات قياس السرعة). ●●يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة ( ،)Average velocityومقدار السرعة المتوسطة ( )Average speedفي حالة الحركة الخطية في اتجاه متجه ثابت. ●●يطبق مفاهيم السرعة ،السرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل: (حركة الصواريخ -حركة الطيران -األقمار الصناعية) في صورة أنشطة . ●●يتعرف مفهوم السرعة النسبية. ●●يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة -وحدات قياس العجلة) ع = ع + 0جـ ن، ف = ع ن 12 +جـ ن ،2ع = 2ع2 + 2جـ ف
●●يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. ●●يوظف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. ●●يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه. ●●يتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام ) .ثابت الجذب العام. ●●يمثل بيان ًّيا منحنى اإلزاحة مع الزمن ،منحنى السرعة مع الزمن. ●●يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة مع الزمن والسرعة مع الزمن.
114
تطبيقات الرياضيات -علمى
الدرس ( :)2 - 1القــوى. الدرس ( :)3 - 1تحليل القوى. الدرس ( :)4 - 1محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. الدرس ( :)5 - 1اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة.
الدرس ( :)1 - 2الحركة المستقيمة.
الدرس ( :)2 - 2الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.
الدرس ( :)3 - 2الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.
الدرس ( :)4 - 2قانون الجذب العام لنيوتن
خريطة المنهج املفاهيم
اسرتاتيجيات التدريس
أساليب التقويم
استاتيكا -قوة -جسم جاسئ - -قوة التثاقل -عجلة السقوط الحر -نيوتن داين -ثقل كيلو جرام -ثقل جرام خط عمل قوة -تحليل قوة -مركبةقوة -اتزان جسم -قاعدة مثلث القوى قاعدة المى -اتزان جسم جاسئ -مستوى أملس -مستوى مائل أملس - مركز ثقل
العرض المباشر -المناقشة -العصف تتمثل فى األسئلة الشفهية والتحريرية الذهنى -الطريقة االستنباطية -التعلم الفردية والجماعية قبل وبعد وأثناء الدرس ،واألنشطة المقترحة ،وسلم التعاونى -حل المشكالت. التقييم الخاص بكل منها ،والتكاليف الجماعية والفردية ،واختبار الوحدة واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة.
حركة مستقيمة -مسافة -متجه سرعة السرعة المتوسطة -مقدار السرعةالمتوسطة -السرعة النسبية -حركة رأسية -جذب عام -إزاحة -سرعة منتظمة -سرعة لحظية -متجه موضع عجلة منتظمة -سقوط حر -جاذبيةأرضية
العرض المباشر -المناقشة -العصف تتمثل فى األسئلة الشفهية والتحريرية الذهنى -الطريقة االستنباطية -التعلم الفردية والجماعية قبل وفى أثناء وبعد الدرس ،واألنشطة المقترحة ،وسلم التعاونى -حل المشكالت. التقييم الخاص بكل منها ،والتكاليف الجماعية والفردية ،وتمارين متنوعة على الوحدة واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة واختبارات عامة للربط بين جميع أجزاء الوحدة فى نهاية الكتاب.
دليل املعلم -املقدمة
115
خريطة المنهج
الوحدة
املوضوعات
مخرجات التعلم
●● ُيعرف النقطة و المستقيم و المستوى. الدرس ( :)1 - 3المستقيمات ●●يتعرف بعض المجسمات (الهرم -الهرم المنتظم -الهرم القائم -والمستوى. الهندسة و القياس
المخروط -المخروط القائم) ،وخواص كل منها. الدرس ( :)2 - 3الهرم ●●يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم -المخروط والمخروط. القائم.
الدرس ( :)3 - 3المساحة ●●يستنتج حجم كل من الهرم القائم -المخروط القائم. الجانبية والمساحة الكلية للهرم ●●يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها ،وطول نصف قطرها. والمخروط. ●●يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
الدرس ( :)4 - 3حجم الهرم ●●يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة ،وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة والمخروط. العامة لمعادلة الدائرة.
●●ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة.
●●يتعرف مفهوم التجربة العشوائية.
●●يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال. ●●يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال.
●●يتعرف مفهوم فضاء العينة.
●●يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية.
●●يتعرف مفهوم الحدث -الحدث البسيط -الحدث المؤكد -الحدث المستحيل.
●●يتعرف مفهوم األحداث المتنافية.
●●يتعرف العمليات على األحداث مثل (االتحاد -التقاطع -الفرق - االكمال).
االحتمال
116
●●يتعرف مفهوم االحتمال.
●●يستخدم مسلمات االحتمال.
●●يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد.
تطبيقات الرياضيات -علمى
الدرس ( :)5 - 3معادلة الدائرة.
الدرس ( :)1 - 4بعض المصطلحات والمفاهيم األساسية. الدرس ( :)2 - 4العمليات على األحداث. الدرس ( :)3 - 4االحتمال.
خريطة المنهج
املفاهيم
اسرتاتيجيات التدريس
أساليب التقويم
النقطة -المستقيم -المستوى -الفراغ رأس -قاعدة -محور -دائرة -مركز نصف قطر -قطر -هرم -مخروط وجه جانبى -حرف جانبى -ارتفاع ارتفاع جانبى -هرم منتظم -هرم قائم شبكة هرم -مخروط دائرى قائم -مساحة جانبية -مساحة كلية (سطحية)
التعليم التعاونى -المحاضرة -المناقشة أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية العصف الذهنى -الطريقة االستقرائية قبل وفى أثناء وبعد الدرس أو األنشطة الطريقة االستنتاجية -االكتشاف المقترحة -تمارين عامة واختبارالموجه -حل المشكالت. تراكمى فى نهاية الوحدة
إحصاء -احتمال -تجربة عشوائية - فضاء العينة -فضاء النواتج -قطعة نقود -حجر نرد -حدث -حدث بسيط (أولى) -حدث مركب -حدث مؤكد حدث مستحيل -العمليات علىاألحداث -أحداث متنافية
التعليم التعاونى -االكتشاف الموجه -أسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية الطريقة االستنباطية -العصف الذهنى قبل وأثناء وبعد الدرس أو األنشطة المناقشة -حل المشكالتالمقترحة -تمارين عامة واختبار تراكمى فى نهاية الوحدة.
دليل املعلم -املقدمة
117
نماذج من �أ�ساليب التقويم
تطبيقات الرياضية
اختبار �أجب عن الأ�سئلة الآتية: ال�س�ؤال الأول :اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة.
إذا كان ل ( ∪ Cب) = 0٫6حيث ، Cب حدثين متنافيين فى فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان ل ( : ) Cل(ب) = 3 : 2
فإن ل ( = ) C
أ 0٫36
ب 0٫24
قذف جسم رأس ًّيا إلى أعلى بسرعة 42كم/س فإن أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم يساوى: أ 90كم
ب 84كم
المساحة الجانبية للمخروط القائم =
ج 0٫2د 0٫3
أ rل H
ج 98كم د 65كم
حيث ل طول راسمه ،نق طول نصف قطر قاعدته :
2 ب H r2
ج ل Hد
(H rل )H +
قوتان متساويتان فى المقدار ومقدار محصلتهما يساوى 8نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120فإن مقدار كل منهما يساوى: أ 4نيوتن
ال�س�ؤال الثانى:
ب 2 4نيوتن
ج 3 4نيوتن د 8نيوتن
أثرت القوى ، 6 ، 3 ، 9 ، X ، 5ك نيوتن فى نقطة واحدة بحيث كان قياس الزاوية بين كل قوتين متتاليتين ،c60فإذا كانت المجموعة متزنه فأوجد قيمتى ،Xك. تعطل محرك سيارة فنقصت سرعتها من 72كم/س إلى 36كم/س خالل نصف دقيقة .احسب المسافة التى قطعتها فى هذه الفترة الزمنية ،ثم احسب متى تسكن السيارة؟ ال�س�ؤال الثالث: قذفت كرة صغيرة رأس ًّيا ألعلى بسرعة 70م/ث .احسب سرعتها وهى على ارتفاع 90م من نقطة القذف ثم احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة. مكعب من الشمع طول حرفه 30سم حول باالنصهار إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه 45سم .أوجد طول نصف قطر قاعدة المخروط إذا علم أن ٪8من الشمع قد فقد أثناء الصهر والتحويل. ال�س�ؤال الرابع: كرة ملساء منتظمة وزنها 20نيوتن وطول نصف قطرها 30سم علقت من نقطة على سطحها بخيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر عند نقطة من حائط رأسى أملس .أوجد فى وضع التوازن كل من الشد فى الخيط ورد فعل الحائط . صندوق به 20كرة متماثلة ومرقمة من 1إلى 20سحبت كرة عشوائ ًّيا من هذا الصندوق .احسب احتمال أن تكون الكرة مرقمة.
أ عدد أولى
118
تطبيقات الرياضيات -علمى
ب عدد فردى يقبل القسمة على 5
نماذج من �أ�ساليب التقويم تقييم أداء الطالب فى الرياضيات توجيهات لإن�شاء وتطوير نظام تقييم موثوق به: إن إنشاء وتطوير نظام تقييم موثوق به هو عملية مستمرة، تظهر بعض أدوات التقييم ،منذ الوهلة األولى ،مناسبة جدًّ ا للمعلم ولطالبه ،وتظهر أدوات أخرى جودة وفعالية بعد أن تتاح للمعلم فرصة تجريبها وتحسينها ،وفى الوقت نفسه هناك أدوات غير صالحة لمستوى ما ولموقف تعليمى معين. وهنا نضع بين أيدى زمالئنا المعلمين بعض التوجيهات التى قد تكون مفيدة عند اختيار نماذج التقييم لبرنامج ما. ا�ستخدام نموذج التقييم الذى يحقق �أهدافك بحيث:
●●يؤمن مراجعة لطرق التعليم التى استخدمتها ،ويعطيك الدالئل التى تستفيد منها فى إعادة النظر وتعديل محتوى وسرعة عملية التعليم. ●●يؤمن للطالب تأكيدً ا لنجاحة في مجال ما ،باإلضافة إلى تحديد التحسين المطلوب في مجاالت أخرى. ●●تؤمن نظم التقييم المتعارف عليها نتائج واقعية ملموسة.
اجعل من عملية التقييم خبرة �إيجابية للطالب وذلك من خالل: منوعة للتقييم. ●●استخدام أساليب َّ ●●توفير فرص للطالب يعرضون فيها إمكاناتهم الرياضية في جو يسمح باألداء األفضل.
●●التركيز على ما يعرفه الطالب ويتقنونه ،ال على ما ال يعرفونه أو يتقنونه. ●●حفز الطالب على التحصيل بوضعهم أمام مهام تعكس قيمة جهودهم. ا�ستخدام تقييم الأداء في التركيز على مهارات التفكير العليا ،وذلك من خالل: مفكرا ناقدً ا ●●التركيز على تقييم األداء الذى يصور الطالب ً وحالاًّ للمسائل. ●●تحديد كيفية تعامل الطالب مع الرياضيات ،ال كيفية حل المسائل فقط. قدم الأن�شطة التقويمية التى ت�شبه المهام اليومية ،وذلك من خالل: ●●استخدام أنشطة متشابهة لألنشطة التدريسية فى عمل التقييم. ●●استخدام األنشطة التقويمية في تأكيد التعليم. ●●تقديم التغذية الراجعة التفصيلية الفورية التى يحتاج إليها الطالب لتأكيد عمليات التعلم. �أ�شرك كل طالب في عمليات التقييم ،وذلك من خالل:
●●تشجيع الطالب على عرض أعمالهم. ●●تشجيع الطالب على المشاركة في تحقيق األهداف.
استطالع رأى الطالب لكل عبارة من العبارات التالية ضع عالمة (�) أسفل الخانة التى تصف إحساسك. العبارة
أتقدم بشكل ملحوظ فى مادة الرياضيات.
معظم الوقت
بعض الوقت
نادرا ما يحدث ً
أحتاج إلى المساعدة فى حل كثير من المسائل.
الرياضيات لها فائدة في جميع المواقف الحياتية.
أفهم المسائل اللفظية.
أستطيع حل معظم المسائل.
أفضل تجريب استراتيجيات جديدة في حل المسائل. ِّ أصاب باإلحباط بسهولة من دراسة الرياضيات. لدى دفتر منظم لمادة الرياضيات.
أعتقد أن الرياضيات ممتعة.
ما نوع الرياضيات المفضلة لديك؟ ولماذا؟ تفضل أن يعمل به الفصل . صف مشرو ًعا ِّ اكتب قائمة ببعض األنشطة التى مارستها خارج المدرسة ،واستخدمت فيها الرياضيات. دليل املعلم -املقدمة
119
نماذج من �أ�ساليب التقويم تقييم ذاتى لعمل الفريق:
أسماء الفريق...................................................................................................................................................... :
اقرأ جيدً ا كل عبارة من العبارات التالية ،ثم أعط التقدير ( )4لمجموعتك إذا كنت توافق على العبارة ،والتقدير ( )3إذا كنت توافق إلى حدٍّ ما ،والتقدير ( )2إذا كنت ال توافق إلى حدًّ ما ،والتقدير ( )1إذا كنت ال توفق ،واستخدم (غ م) وتعنى غير مالئم إذا حوط استجابة واحدة لكل وصف لمجموعتك. كانت العبارة ال تنطبق على هذا الموقفِّ . موافق موافق إلى غير موافق غير موافق غير مالئم العبارات إلى حد ما حد ما أعضاء المجموعة ......
4
أنجزوا المهام المكلفين بها.
3
2
1
غم
فهموا جيدً ا الغرض من المهمة.
4
3
2
1
غم
استمعوا جيدً ا إلى كل من األفكار األخرى.
4
3
2
1
غم
فهموا جيدً ا حل المهمة.
4
قدموا تغذية راجعة لذوى األفكار المشوشة.
4
استقوا تكليفاتهم من اليوم السابق.
تعاونوا في تجهيز العمل الذى تم تجميعه. عرضوا أفكارهم على المجموعة.
تفاهموا مع بعضهم البعض عند الحاجة.
4
3 3
3
2 2
2
1 1
1
غم غم
غم
4
3
2
1
غم
4
3
2
1
غم
4
3
2
1
غم
من خالل العمل مع فريق ،تعلمت ...............................................................................................................................
سجل عمل الفريق أسماء الفريق:
سجل التاريخ ،والمهمة التى كلفوا بها ،وأرقام الصفحات ،ثم صف عمل أعضاء الفريق م ًعا للوصول إلى حل لكل فريق عمل ِّ جماعى للمهمة التى كلفوا بها .اذكر أى طرق أو أساليب وجدتها مفيدة إلنجاز المهمة. التاريخ
المهمة
وصف عمل الفريق
التقييم الذاتى للطالب
المهمة:
عما قمت بإنجازه. اكتب ّ ما الذى حاولت تع ُّلمه؟ كيف بدأت عملك؟ ما األدوات التى كنت في حاجة إليها؟ ما الذى تعلمته؟
ضع عالمة (�) أمام العبارات التى تصف طريقة عملك: قادرا على إجراء هذا العمل. خ َّططت قبل البدء في العمل. كنت ً أتبعت التعليمات ،ولكننى حصلت على إجابة خاطئة. لم أفهم التعليمات.
120
تطبيقات الرياضيات -علمى
نماذج من �أ�ساليب التقويم
توصلت إلى طريقة أخرى إلنجاز المهمة .أستطيع شرح كيفية إنجاز هذه المهمة لشخص آخر. كان العمل أسهل مما توقعت .كان العمل أصعب مما توقعت .إضافات أخرى:
خبراتى في الرياضيات أفضلها: الرياضيات التى ِّ
مهارات الرياضيات التى أتقنها وأستطيع استخدامها : المكافآت التى حصلت عليها في الرياضيات:
األهداف التى أريد تحقيقها في مجال دراسة الرياضيات:
مهارات الرياضيات التى أحتاج إلى مزيد من التمرين عليها:
تقييم األداء في حل المسائل ضع عالمة (�) أسفل العمود المناسب والذى يصف بدقة عمل الطالب: فى معظم األحيان
بعض األحيان
أبدً ا
........................
........................
........................
يستطيع أن يصوغ المسألة من جديد وبطريقته وعباراته الخاصة.
........................
........................
........................
يستطيع فهم وإدراك السؤال الذى يجب اإلجابة عنه.
........................
يختار الخطة األنسب لحل المسألة.
........................
افهم
يقرأ المسألة بعناية.
يدرس أى جدول أو أي رسم بيانى.
يستطيع فهم وإدراك المعلومات المعطاة. خطط
يقدر اإلجابة الصحيحة.
حل
يعمل وفق منهجية معينة.
........................
........................
........................
........................
........................
يتحقق من معقولية اإلجابة.
........................
يجرب طر ًقا أخرى لحل المسألة.
........................
يظهر استعدا ًدا لمحاولة حل المسألة.
........................
محاوالت خاطئة لحل المسألة.
........................
تعليقات أخرى
........................
........................
........................
يعطى اإلجابة بجملة كاملة صحيحة ،مراع ًيا الوحدات.
يظهر ثقة بالنفس.
........................
........................
........................
........................
اتجاه
........................
........................
........................
يعرض الحل بطريقة منظمة ومنطقية.
تحقق
........................
........................
........................
........................
يحسب بطريقة صحيحة.
........................
........................
........................
دليل املعلم -املقدمة
........................
........................ ........................
........................ ........................
........................
........................
........................
........................ ........................
........................ ........................
........................
........................
121
نماذج من �أ�ساليب التقويم التقييم الم�ستمر :حل المسائل
التاريخ................................................................ :
ممتازا ++ ً
-بحاجة إلى التطوير
� مقبول
+
يحة. صح
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28
جيدً ا.
تطبيقات الرياضيات -علمى
122
حل. ى لل يتها. أخر عقول طرقًا بة وم جرى ت ال ا ج حة اإل وحدا ي كر ال ص مع ذ ن قق م كامله يتح جملة ي دقة. جابة ف ابية ب ب اإل لحس يكت ات ا ي ل م ى الع ظمة. يجر قة من بطري لحل تب ا يك ظام. جابة. ت ن مل با يه اإل يع ن عل و عنها. ستك در ما جابة سبة. ب اإل يق ا ن م طة ال تتطل ر الخ التى سئلة يختا د األ ي د ع تح ص. ات. الخا ستطي علوم سلوبه ي د الم تحدي ألة بأ يانية. المس ع ستطي ت الب صياغة ي مثيال ة د ع إعا ل والت ستطي جداو ي ر وال لصو رس ا يد عناية. سألة ب رأ الم يق
قدر كل بند إذا كان:
غ .ت .غير قابل للتطبيق.
نماذج من �أ�ساليب التقويم التقييم الم�ستمر :المالحظة التاريخ................................................................ :
ممتازا ++ ً +
جيدً ا.
� مقبول
حل. ى لل أخر طرقًا جية. جرى ت بإنتا ي ق اجة. م الو ستخد د الح دة عن ي مساع ب ال يطل ابرة. ا ومث دمها. ر هر صب ً ستخ يظ ير وي ر الغ أفكا حترم جابية. ي ف إي ق ا و رين. ظهر م اآلخ ي ح مع بنجا عمل ظام. ي ب ون بترتي عمل ي هيم. المفا رات. درك ي المها رفة ب هر مع يظ
قدر كل بند إذا كان:
-بحاجة إلى التطوير
غ .ت .غير قابل للتطبيق. -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28
دليل املعلم -املقدمة
123
نماذج من �أ�ساليب التقويم التقييم الم�ستمر :التعلم التعاونى التاريخ................................................................ :
� مقبول
-بحاجة إلى التطوير
غ .ت .غير قابل للتطبيق. -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28
124
تطبيقات الرياضيات -علمى
ئزاز. شم
+
جيدً ا.
دون ا
ممتازا ++ ً
وافقة دم م هر ع يظ ابرة. ا ومث صب ًر يظهر جابية. ولاً إي هر مي يظ سئلة. رح أ يط دمها. دوء. ستخ ل م به ن وي يتك آلخري آراء ا حترم رين. ي د آخ يساع ريق. و وجه ي الف ي رين ف ع آخ مل م يع ظام. سائل. ت ن مل با ل الم يع يح رة عل هر قد يظ
قدر كل بند إذا كان:
نماذج من �أ�ساليب التقويم التقييم الفردى من خالل المالحظة
دائما ً
أحيانًا
أبدً ا
الفهم يظهر معرفة بالمهارات.
........................ ........................ ........................
يختار الخطة المناسبة للحل.
........................ ........................ ........................
يدرك المفاهيم.
يحل المسائل بدقة.
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
عادات العمل يعمل بطريقة منظمة.
........................ ........................ ........................
يقدم العمل في الوقت المحدد.
........................ ........................ ........................
يستخدم الوقت بفاعلية وإنتاجية.
........................ ........................ ........................
الثقة بالنفس
........................ ........................ ........................
يبادر بتوجيه األسئلة.
........................ ........................ ........................
يعمل بنظافة.
يعمل مع اآلخرين بتناغم.
يطلب المساعدة عند الحاجة.
إيجابى التوجيه والسلوك.
يساعد اآلخرين.
........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
المرونة يجرب طر ًقا أخرى.
يحترم ويستخدم أفكار اآلخرين.
يستخدم الرياضيات الذهنية والتقدير.
يستخدم اآلالت الحاسبة والتقنيات األخرى.
........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................
المثابرة صبرا ومثابرة. يظهر ً
يعمل وفق منهجية معينة.
يظهر استعدا ًدا للمحاولة والتجربة.
يتأكد من صحة عمله دون أن يطلب منه.
........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................
........................ ........................ ........................
دليل املعلم -املقدمة
125
نماذج من �أ�ساليب التقويم التقييم العام للطالب: التاريخ................................................................ :
ممتازا ++ ً
� مقبول
-بحاجة إلى التطوير
غ .ت .غير قابل للتطبيق. -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28
126
تطبيقات الرياضيات -علمى
يرة .
+
جيدً ا.
ات. متحان ت اال القص درجا رات الختبا ات ا قشة. درج المنا ة في شارك الم زلية. ت المن واجبا صل. ال فة الف ر غ شاط ات. ن ياضي ي الر تابة ف الك ونى. التعا تع ل م ال سائل. ل الم ح
قدر كل بند إذا كان:
نماذج من �أ�ساليب التقويم قائمة المراجعة/عر�ض الم�شروع
يمكن أن يستخدم هذا النموذج لتقييم مشروع ما مقدم من قبل طالب واحد أو من مجموعة الطالب شفه ًّيا أو كتابة ،كما أنه من الممكن أن يستخدم لمناقشة طرق ناجحة لتقديم أى مادة ،ومن المفيد أن يقدم للطالب إلرشادهم فى التخطيط ألى مشروع في فن الرياضيات أو التجارب العلمية ،أو تجميع البيانات لعمل الجداول والرسوم البيانية ،أو عروض حاسوبية ،أو مسرحيات هزلية قصيرة ،أو أى مشروع بحثى سواء أكان شفه ًّيا أم مكتو ًبا. الطالب /الطالب............................................................................................................................................... :
المشروع............................................................................................................................................... : المشروع
يعرض مفهو ًما رياض ًيا بشكل جيد.
يربط بمواد أخرى.
قدر كل بند إذا كان:
ممتازا ++ ً
يتواصل مع األفكار الرياضية بوضوح.
+
وتحضيرا. يظهر الوقت الذى انقضى عليه تخطي ًطا ً هو أصيل و /أو مبدع.
� مقبول
-بحاجة إلى التطوير
غ .ت .غير قابل للتطبيق.
هو نابض بالحياة ونظيف.
يثير المزيد من االستقصاءات حول الموضوع.
تقريرا مكتو ًبا. يتضمن ً
يذكر المواد المستخدمة.
يظهر توزيع المهام التى كلفت بها مجموعة الطالب. التقويم الشفهى
يظهر معرفة بالمفهوم الرياضى.
يستخدم الوسائل السمعية /البصرية عند الحاجة وفى الوقت المناسب.
جيدً ا.
منظم :يتضمن مقدمة ومضمونًا وخاتمة.
يتكلم بوضوح ويضبط التقويم بما يناسبه من سرعات.
يجيب عن األسئلة ويثير مزيدً ا من االهتمام بالموضوع.
يظهر ميلاً وتوجها إيجابيين لحل المسائل. ً يذكر الموارد المستخدمة.
دليل املعلم -املقدمة
127
مخطط معايير تطبيقات الريا�ضيات المعيار
المعيار األول
تعرف تطور علم الميكانيكا ودور علماء الرياضيات فى تطوير فهم الظواهر الفيزيائية
المعيار الثانى تعرف علم السكون (األستاتيكا) وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة، وتطبيقاته فى مواقف حياتية.
المؤشرات
الصفحات
تاريخيا ،وتطوره من النظرية 1 1نشاط :يتعرف تطور علم الميكانيكا ًّ أنواعا أخرى حديثة من علم الكالسيكية إلى النظرية النسبية ،ويتعرف ً الميكانيكا فى صورة أنشطة.
3
2 2نشاط :يتعرف أن علم الميكانيكا علم دراسة الظواهر المتعلقة بالحركة (الديناميكا) ،والظواهر المتعلقة بالكون (االستاتيكا). 3 3يتعرف ،ويقدر دور علماء الرياضيات فى تطوير علم الميكانيكا، وقوانينه التى أسهمت فى فهم كثير من الظواهر الحياتية ،وحل العديد من المشكالت الرياضية والحياتية.
4 4يتعرف وحدات القياس اآلتية ،عند دراسة الموضوعات المتعلقة بها : ✍ ✍وحدات قياس المسافة /اإلزاحة التى تستخدم فى قياس األطوال الكبيرة مثل :الكيلو متر والميل ،والتى تستخدم لقياس األطوال المتناهية فى الصفر مثل النانومتر ،ودراسة العالقة بينهما. ✍ ✍وحدات قياس الزمن من ( - ...الساعة-الدقيقة-الثانية - .... الفيمتو ثانية) ،دراسة العالقة بينهما. ✍ ✍وحدات قياس الكتلة ( - ...ثقل كيلو جرام -ثقل جرام )... - ودراسة العالقة بينهما ✍ ✍وحدات قياس السرعة والعجلة ،والقوة. 1 1يتعرف مفهوم القوة ،والقوة كمتجه ،ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء وحدات القياس السابقة. واتجاها (القوتان تؤثران فى نفس النقطة). مقدارا 2 2يوجد محصلة قوتين ً ً 3 3يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين.
4 4يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين.
5 5يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة .
6 6يبحث اتزان نقطة مادية (جسيم) تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية. ✍ ✍إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. تابع المعيار الثانى ✍ ✍إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. ✍ ✍إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. تعرف علم السكون
(األستاتيكا) وجبريا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات هندسيا 7 7يوجد محصلة قوتين ًّ ًّ فى صورة أنشطة. وقوانينه ،ومفاهيمه المختلفة ،وتطبيقاته 8 8يتعرف تطبيقات ما درسة فى اإلستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية. فى مواقف حياتية.
هندسيا وجبر ًيا مستخد ًما تكنولوجيا المعلومات. 9 9نشاط :محصلة قوتين ً
10
128
1نشاط :تطبيقات القوى المتالقية فىنقطة فى مواقف فيزيائية وحياتية
تطبيقات الرياضيات -علمى
2 4
5
6 6 7 12 14 20 21 25
31 33 38 13 21 13 39 ،38
مخطط معايير تطبيقات الريا�ضيات المعيار
المؤشرات
1 1يتعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية.
2 2يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.
52 53
3 3يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها أثناء الحركة.
53
4 4يميز بين اإلزاحة والمسافة.
53
5 5يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة (متجه السرعة -الحركة المنتظمة- متجه السرعة المتوسطة -متجه السرعة اللحظية -السرعة النسبية- وحدات قياس السرعة).
المعيار الثالث
الصفحات
6 6يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة Velocity Averageومقدار السرعة المتوسط Average speedفي حالة الحركة الخطية في اتجاه متجه وحدة ثابت. 7 7يتعرف مفهوم السرعة النسبية
8 8يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة (العجلة المنتظمة- وحدات قياس العجلة). تعرف علم الحركة
(الديناميكا) وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة، 1 10يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة بعجلة منتظمة. وتطبيقاته فى مواقف فيزيائية 1 11يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. وحياتية. 9 9يستنتج قوانين الحركة بعجلة منتظمة : ✍ ✍ ع +ع + 0جـ ن 2 ✍ ✍ ف = ع0ن +جـ ن ✍ ✍ ع = 2ع 12 2 + 20جـ ف
59 ،56
58
60 65 66 68 70 72 75
12
1يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.
75
13
1يتعرف الجاذبية األرضية (قانون نيوتن للجذب العام -ثابت الجذب العام).
80
14
1يتعرف التمثيل البيانى لمنحنى اإلزاحة والزمن ،ومنحنى السرعة والزمن.
15
1نشاط :يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة والزمن ،والسرعة والزمن فى صورة أنشطة
55
16
1نشاط :يطبق مفاهيم السرعة ،والسرعة النسبية ،والعجلة فى نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل حركة األجسام مثل( :حركة الصواريخ- حركة الطيران -األقمار الصناعية) فى صورة أنشطة
82 ،64
دليل املعلم -املقدمة
129
مخطط معايير تطبيقات الريا�ضيات المعيار
المعيار الرابع:
المؤشرات
1 1يتعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ.
2 2يتعرف بعض المجسمات (الهرم -الهرم المنتظم -الهرم القائم- المخروط -المخروط القائم) 3 3يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم- المخروط القائم.
105
4 4يستنتج حجم كل من الهرم القائم والمخروط القائم.
109
الصورة العامة المعادلة.
8 8نشاط :يطبق ما درسه فى الهندسة والقياس فى نمذجة مواقف رياضية وحياتية
استكمال دراسة االحتمال وتطبيقات عليه.
130
94 100
تعرف الهندسة والقياس 5 5يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها وطول نصف قطرها. وتطبيقاتهما فى 6 6يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. مواقف رياضية 7 7يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة ،وطول نصف قطرها بمعلومية وحياتية.
المعيار الخامس:
الصفحات
1 1يتعرف التجربة العشوائية ،ويستنتج بعض التجارب العشوائية الشهيرة مثل :رمى العملة المعدنية مرة واحدة أو مرتين أو ثالث مرات ،رمى حجر النرد مرة واحدة أو مرتين 2 2يتعرف العمليات اآلتية على األح��داث (أو ما يعرف باألحداث ورمزيا ويمثلها بأشكال لفظيا ًّ المركبة)،قوانين دى مرجان ويعبر عنها ًّ ڤن( :بمعلومية فضاء ونواتج تجربة عشوائية ،C ،ب حديثين فى ف) ✍ ✍عدم وقوع أى من الحدثين (عدم وقوع Cوعدم وقوع ب) 3 3نشاط :يتعرف تطبيقات رياضية وحياتية بسيطة على اإلحصاء واالحتمال
تطبيقات الرياضيات -علمى
114 118 120 121 133
150 ،142
154