Lógica Matemática

1

LÓGICA MATEMÁTICA Azucena Leiva de Cuyán PEM en Tecnología Educativa Carnet: 9995-21-2468

ÍNDICE 1

¿Qué es la Lógica?

9

Proposiciones Categóricas

2

Principios de la Lógica

10

Estructura de un Silogismo Categórico

3

Operaciones entre Conjuntos

11

Calidad, Cantidad y Distribución de las Proposiciones Categóricas y Cuadro de Oposición

4

Problemas de Aplicación con Conjuntos

12 Leyes de Inferencia

5 Cálculo Proposicional 6

13

Formalización de las Proposiciones

Determinar la Validez de un Argumento utilizando Tablas de Verdad

14

7 8

Aplicación de las Leyes de Inferencia y Equivalencia Lógica para probar la Validez de los Argumentos

Equivalencias Lógicas Razonamientos Deductivo e Inductivo

15 Cuantificadores

2

La Lógica Es la ciencia de las leyes del pensamiento que tiene por objeto estudiar la relación que el pensamiento tiene con la verdad. Existen Varios Tipos de Lógica:

1

Lógica Natural: es la destreza natural para razonar sin apelar a la ciencia.

2

Lógica Difusa: es la que contempla cierta

3

Lógica Matemática: se caracteriza por

incertidumbre al estudiar el carácter verídico o falso de las Proposiciones.

utilizar un lenguaje simbólico artificial y realizar una abstracción de los contenidos.

4 Lógica Binaria: trabaja con las variables Aristóteles es el fundador de la Lógica, para El, la Lógica era un instrumento para la ciencia.

que solo toman dos valores directos: el 0 y el 1. Es muy usada en la Programación, en el Software y el Hardware.

3

4

Principios de la Lógica 1

Principio de Identidad

3

Éste principio nos indica que entre el ser y el no ser, no existe una tercera opción. Una proposición puede ser verdadera o falsa.

Todo concepto, persona o cosa cualquiera, solo puede ser idéntico así mismo y no a otro. Éste principio se expresa con la fórmula A = A y se lee "A es idéntico a A".

Ejemplo: Los niños son seres vivos.

Los niños no son seres vivos

Ejemplo: Vemos dos niños gemelos que son iguales físicamente, pero son distintos, porque cada uno posee su propia Identidad.

2 Principio de No Contradicción Éste principio nos dice que es imposible que algo sea y no sea al mismo tiempo. Se expresa con la fórmula A ≠ no A. y se lee "A es diferente a no A".

Ejemplo: p: En verano el clima es caliente. q: En verano el clima es frío. .

Principio Tercero Excluido

4

Principio Razón Suficiente Con este principio afirmamos que todo cuanto ocurre tiene una causa o razón suficiente. Todo tiene que tener una explicación.

Ejemplo: Cuando tenemos un objeto en la mano y lo soltamos, cae al suelo. ¿Por qué? Por la gravedad.

5

6

OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión de Conjuntos Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.

Intersección de Conjuntos Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.

Conjunto Complemento Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.

7

OPERACIONES CON CONJUNTOS Diferencia de Conjuntos Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

Diferencia Simétrica de Conjuntos Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.

8

Ejercicio

9

Es posible usar los conceptos aprendidos para interpretar y resolver cierto tipo de problemas, aprende cómo hacerlo.

Algoritmo para resolver Problemas con Conjuntos 1

Leer detenidamente el problema, para entenderlo.

2

Organizar la información por medio de la realización de un Diagrama de Venn, dibujando primero un rectángulo, que representará el Conjunto Universo, luego, indicar por medio de círculos los sub-conjuntos del conjunto Universo que tendremos y escribir el número total de elementos representados de la siguiente forma: n=.

3

Organizar la información dentro del diagrama de Venn, indicando con la intersección de 3 conjuntos, luego con la intersección de 2 conjuntos y por último los individuales.

4

Realizar la sumatoria de todos los subconjuntos y el resultado, restarlo al número total de elementos, para obtener los elementos que faltaban y completar el conjunto Universo.

5

Contestar las preguntas que nos están realizando, tomando la información del Diagrama de Venn realizado anteriormente.

10

Observa la siguiente situación: Planteamiento del Problema

En un salón de clases de 50 niños y niñas, a 10 les gusta solo el helado de fresa y a 5 solo el helado de chocolate.

Si a 20 niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿A cuántos niños les gustan los dos helados? R// a 15 niños les gustan los dos helados. ¿A cuántos niños les gusta en total el helado de fresa? R// en total a 25 les gusta el helado de fresa. ¿A cuántos el de chocolate? R// a 20 les gusta el helado de chocolate.

Resolución del Problema

11

Primero representaremos la situación con diagramas de Venn: llamaremos F al conjunto de los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y C al de conjunto de niños que gustan del helado de chocolate.

Estos dos conjuntos deben estar contenidos en un Diagrama de Vennl, que es precisamente el salón de clase completo. Por lo tanto podemos representar toda la situación a través del diagrama.

Las diferentes regiones del diagrama representan diferentes grupos de estudiantes. Por ejemplo, en la Intersección de los conjuntos F y C, se representa la población de estudiantes que gustan de los dos helados, mientras que la región exterior a los conjuntos, representa la parte del curso que no gusta de ninguno. Podemos por lo tanto ubicar las cantidades de estudiantes en las zonas correspondientes.

Problemas con Conjuntos

12

Cálculo Proposicional 13

Denominado también lógica proposicional: se define como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.

Es la más antigua y simple de las formas de lógica, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea, a través del razonamiento, primeramente evaluando sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales. Es diseñada para analizar ciertos tipos de argumentos, en ella las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad.

Proposición Es una frase declarativa o juicio al que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso.

Lógica Es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento es válido.

La Lógica Proposicional estudia las proposiciones, los operadores que permiten construir proposiciones compuestas a 3 de proposiciones simples, la manera de obtener el valor partir verdadero de un juicio compuesto a partir de los valores de las proposiciones que lo forman y de los operadores que vinculan a estos, así como el modo de representar las proposiciones a través de Fórmulas Matemáticas.

Valor de Verdad Es la verdad o falsedad de una proposición.

Alfabeto del Cálculo Proposicional Las variables proposicionales identifican proposiciones de valor desconocido, para representarlas se utilizan letras finales del Alfabeto Latino (p, q, r, s...), con subíndices en los casos que sea necesario. Los símbolos de operaciones del cálculo proposicional son: 1.Negación (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, etc.

2.Conjunción (ᴧ). Representa expresiones como: “y”, “pero”, “aunque”, “sin embargo”, etc.

3.Disyunción (V). Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”, etc.

4.Condicional (⇒). Representa expresiones como: “si A entonces B”, “cuando A, B”, “B, siempre que A”, etc.

5.Bicondicional (⇔). Representa expresiones mas complejas, donde se expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad.

Los símbolos de agrupación tales como paréntesis, llaves, corchetes, también forman parte de este alfabeto.

14

Proposición Es una frase declarativa o juicio al que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso.

Lógica Es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento es válido.

La Lógica Proposicional estudia las proposiciones, los operadores que permiten construir proposiciones compuestas a 3 de proposiciones simples, la manera de obtener el valor partir verdadero de un juicio compuesto a partir de los valores de las proposiciones que lo forman y de los operadores que vinculan a estos, así como el modo de representar las proposiciones a través de Fórmulas Matemáticas.

Valor de Verdad Es la verdad o falsedad de una proposición.

Tablas de Verdad Conjunción

Disyunción Débil

15

Tablas de Verdad Disyunción Fuerte

Condicional

16

Tablas de Verdad Bicondicional

Negación

17

Tablas de Verdad

18

Tautología, Contradicción y Contingencia

19

Construcción de Tablas de Verdad

20

Sabías que…

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russel) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como «objeto» conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

21

Formalización de Proposiciones

Ejemplos 22

Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica, a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos más sencillos, formalizar una proposición, equivale a representarla simbólicamente.

Reglas para la formación de Fórmulas bien formadas: Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las siguientes cláusulas: Regla 1: Toda proposición atómica es una fbf.

Regla 2: Si A es una fbf, entonces, ~A también es una fbf.

Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (A^B), (AvB) y (A B) también son fbf.

3

Ejercicio Formalización de Proposiciones

23

Equivalencias Lógicas

2

Permite asociar los elementos de diferente manera, que el resultado va a ser exactamente el mismo.

Una proposición es lógicamente equivalente a otra cuando cada una de las asignaciones de valores de verdad y las proposiciones simples que las componen genera el mismo valor de verdad en ambas proposiciones. En otras palabras, dos expresiones son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales. La equivalencia lógica se representa con el símbolo ≡ y se lee Equivalente a...

1

EQUIVALENCIAS ASOCIATIVAS

Se conserva el conectivo y los enunciados simples de la proposición, sólo varía el lugar de los signos de agrupación. Se cumple únicamente con conectivos de conjunción, disyunción y con una proposición de tres enunciados.

EQUIVALENCIAS CONMUTATIVAS

Conmutativa: significa que el orden en que coloquemos las proposiciones, no afecta el resultado.

3

EQUIVALENCIAS DISTRIBUTIVAS Significa que un elemento o proposición la podemos distribuir en otras proposiciones que tengamos.

Se conserva el conectivo y se cambia el orden de los enunciados simples de la proposición. Sólo se cumple con conectivos de conjunción y disyunción. Se aplica también con enunciados compuestos por más de dos simples.

El primer enunciado acompañado del conectivo que lo prosigue, se opera con cada enunciado dentro de paréntesis con un respectivo paréntesis, separados por el segundo conectivo de la proposición.

Se cumple con varios conectivos, excepto con la doble implicación.

24

4

EQUIVALENCIAS DE MORGAN

5

EQUIVALENCIAS DE IDEMPOTENCIA Para poder trabajar éstas equivalencias, primero tenemos que explicar qué es simplificar: es transformar una proposición compuesta, en otra proposición equivalente con menor número de proposiciones simples.

Permite la expresión de las conjunciones y disyunciones, puramente en términos de vía negación.

6

OTRAS EQUIVALENCIAS Llamaremos a éstas otras equivalencias, debido a que no se operan las proposiciones iniciales para obtener las resultantes, sino que se consideran equivalencias debido a las tautologías que arrojan sus tablas de verdad.

La negación fuera de los paréntesis afecta a cada enunciado dentro de los paréntesis y así también al conectivo que los une. Se cumple con la conjunción y disyunción, no obstante la implicación y doble implicación podrían estar también afectadas por Morgan.

Sin embargo en ésta proposición podemos sugerir la regla así: Se niega el primer enunciado simple se cambia la implicación por la disyunción y se conserva el segundo enunciado simple, escrito tal cual.

25

26

27

Juegos de Lógica UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO <<Esta frase consta de 7 palabras>>. Esta claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis, Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

TORNEO DE FUTBOL Cuatro equipos participan en un cuadrangular de fútbol, en el que juegan una vez contra cada rival.

Al final del torneo, cada equipo metió exactamente tres goles y cada equipo ganó una cantidad diferente de partidos. ¿Cuáles fueron los resultados de los partidos?

EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud.

La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho a hacer una pregunta y solo una a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cual es el que dice la verdad y cual es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?

28

RAZONAMIENTO LÓGICO Se refiere al uso de entendimiento para pasar de unas proposiciones, a otras, partiendo de lo ya conocido o de lo que creemos conocer a lo desconocido o menos conocido.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Éste razonamiento va de lo general a lo particular. Se utiliza el concepto de validez. Un argumento es valido cuando es imposible que so conclusión sea falsa, siendo sus premisas verdaderas.

EJEMPLOS:

•Todos los perros son mamíferos.

•Todos los mamíferos tienen pulmones.

•Conclusión: Todos los perros tienen pulmones.

•El oro se funde en el calor.

•La plata se funde en el calor.

•Conclusión: Todos los metales se funden en el calor.

•Los metales son conductores de electricidad.

•El cobre es un metal •Conclusión: Entonces el cobre conduce electricidad.

29

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

EJEMPLOS: Observar los perros, los perros mueven la cola, Conclusión: Todos los perros mueven la cola.

Felipe es un hombre honesto y trabajador.

La esposa de Felipe es honesta y trabajadora.

Conclusión: Los hijos de ambos seguramente son honestos y trabajadores.

El supermercado de mi barrio tiene precios muy altos.

La farmacia de mi barrio tiene precios muy altos.

Conclusión: Los comercios de mi barrio son muy caros.

Consiste en obtener conclusiones generales, a partir de premisas que contienen datos particulares. De la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO COMPLETO Se acerca a un razonamiento deductivo, porque la conclusión no aporta mas información que la ya dada por las premisas.

EJEMPLO: Mario y Laura tienen 4 hijos: María, Juan, Pedro y Jorge.

María es rubia, Juan es rubio, Pedro es rubio, Jorge es rubio; Conclusión: Por lo tanto todos los hijos de Mario y Laura son rubios.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO INCOMPLETO

La conclusión va mas allá de los datos que dan las premisas. A mayor cantidad de datos, mayor probabilidad.

3

EJEMPLO: María es rubia, Juan es rubio, Pedro es rubio, Jorge es rubio; Conclusión: Por lo que todas las personas son rubias. .

30

Juegos de Lógica

¿SABÍAS QUÉ?

El Razonamiento matemático forma parte de nuestra manera de comprender, entender, manipular, usar la lógica, los números y el razonamiento para entender cómo funciona algo, o detectar su patrón de comportamiento, o más aún, encontrar la solución a un problema planteado en nuestra vida cotidiana.

31

Proposiciones Categóricas Afirman o niegan que una clase esté incluida en otra, total o parcialmente. Hay cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, que son las ejemplificadas por las cuatro proposiciones siguientes: 1.

2.

3.

4.

Todos los políticos son mentirosos.

Ningún político es mentiroso.

Algunos políticos son mentirosos.

Algunos políticos no son mentirosos.

En éste ejemplo, el término sujeto "políticos" designa la clase de todos los políticos, y el término predicado "mentiroso" designa la clase de todos los mentirosos.

La forma general de toda proposición categórica es la siguiente: cuantificador + sujeto + cópula + predicado

Por ejemplo: Todos los hombres son mortales. (cuantificador) (sujeto) (cópula) (predicado)

• El cuantificador determina si la proposición se refiere a todos los sujetos de un conjunto, a una parte de ellos o sólo a un elemento del conjunto.

• El sujeto es el conjunto o subconjunto de individuos o cosas de los que trata la proposición.

• La cópula (es decir, lazo) es el verbo que une al sujeto con el predicado. Tiene la doble función de llevar a cabo esta relación y de hacer posible el enunciado.

• El predicado es lo que se afirma o niega del sujeto.

32

33

1

UNIVERSAL AFIRMATIVA

Las proposiciones tipo A tienen la siguiente forma: Todo S es P. Donde S se refiere al conjunto o clase sujetos y P se refiere al predicado o a la clase predicados. La denominación universal afirmativa es apropiada, porque la proposición afirma que hay una relación de inclusión entre las dos clases y, además, que la inclusión es completa o universal, es decir, que todos los miembros de S son también miembros de P. Ejemplo: Sea la proposición: Los políticos mienten por costumbre.

Esta proposición es de tipo verbal, pero puede transformarse en la siguiente proposición nominal: Los políticos son mentirosos.

Que se entiende como una proposición universal de tipo A: Todos los políticos son mentirosos.

2

UNIVERSAL NEGATIVA Las proposiciones tipo E son aquellas que siguen la forma: Ningún S es P. El nombre universal negativa es apropiado porque la proposición niega que haya una relación de inclusión entre las dos clases y lo niega universalmente, ya que ninguno de los miembros de S es miembro de P, y viceversa.

Ejemplo: Sea la proposición: Todos los soldados que han desertado no son leales.

Se puede expresar como: Los soldados desertores no son leales.

Vemos que se trata de un sujeto universal: todos los miembros del conjunto soldados desertores. La proposición niega la cualidad de la lealtad a todos los miembros de este conjunto. Por tanto, podemos reescribir esta proposición como: Ningún soldado desertor es leal.

Que se trata de una proposición de la categoría E.

3

PARTICULAR AFIRMATIVA

Las proposiciones tipo I tienen la siguiente forma: Algún S es P. Esta proposición se interpreta afirmando que al menos un miembro de la clase designada por S es también un miembro de la clase designada por P. Su denominación es apropiada porque la proposición afirma la presencia de una relación de inclusión entre las clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente, sino sólo parcialmente, únicamente de algunos miembros de la primera clase, de por lo menos un miembro de la clase S. Ejemplo: Vamos a trabajar con la siguiente proposición: Hay algunos políticos honestos.

Vemos que se trata de una proposición particular, ya que no se refiere a todos los políticos. Esta proposición puede reescribirse como: Algunos políticos son honestos.

Y también como: Al menos un político es honesto.

Se trata pues de una proposición categoría I.

4

PARTICULAR NEGATIVA Las proposiciones categóricas tipo O siguen la forma: Algún S no es P. Este tipo de proposiciones afirma que al menos un miembro de la clase designada por el término S está excluido de la clase designada por el término P. Ejemplo: Sea la proposición: Algunos buenos ciudadanos se abstendrán de votar en estas elecciones.

Vemos que se trata de una proposición particular: algunos ciudadanos.

Esta proposición podemos expresarla como: Algunos buenos ciudadanos no serán votantes en estas elecciones.

Que se trata de una proposición tipo O.

34

Ejercicio de Proposiciones Categóricas

35

SILOGISMOS CATEGÓRICOS Un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión a partir de dos premisas. El silogismo contiene exactamente tres términos, cada uno de los cuales sólo aparece en dos de las proposiciones que lo constituyen. Se dice que un silogismo está en forma estándar cuando sus premisas y conclusión están arregladas en cierto orden específico.

La conclusión de un silogismo de forma estándar es una proposición que contiene dos de los tres términos del silogismo. El término que aparece como predicado de la conclusión se llama el término mayor del silogismo, y el término que aparece como sujeto de la conclusión es el término menor del silogismo.

Los términos mayor y menor de un silogismo en forma estándar aparecen, cada uno, en una premisa diferente. La premisa que contiene el término menor se llama premisa menor y la premisa que contiene el término mayor se llama premisa mayor. Una característica definitoria de un silogismo de forma estándar consiste en que la premisa mayor se enuncia primero, en seguida la premisa menor y al final la conclusión.

Un silogismo, es válido cuando la representación de las premisas contiene necesariamente a la conclusión.

Ejemplo:

36

SILOGISMOS CATEGÓRICOS El modo de un silogismo de forma estándar está determinado por las formas de las proposiciones categóricas de forma estándar que contiene. Es decir, el silogismo se representa por tres letras, la primera de las cuales nombra la forma de la premisa mayor del silogismo, la segunda la de la premisa menor y la tercera la de la conclusión.

Por ejemplo, en el caso del silogismo precedente, puesto que su premisa mayor es una proposición E, su premisa menor es una proposición I y su conclusión una proposición O; el modo del silogismo es EIO. El modo sólo describe parcialmente la forma de un silogismo, pues silogismos con el mismo modo pueden diferir en sus formas, dependiendo de las posiciones relativas de los términos medios.

La forma de un silogismo se puede describir por completo enunciando su modo y su figura, donde la figura indica la posición del término medio en las premisas. Es claro que hay cuatro posibles figuras distintas que pueden tener los silogismos. El término medio puede ser el sujeto de la premisa mayor y el predicado de la premisa menor, o puede ser el predicado de ambas premisas, o puede ser el sujeto de ambas premisas, o puede ser el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premisa menor. Estas diferentes posiciones posibles del término medio constituyen las cuatro figuras del silogismo.

37

Sopa de Letras Silogismos Categóricos Encuentra en la sopa de letras las siguientes palabreas relacionadas con el tema .

    

CONCLUSIÓN MAYOR MENOR PREMISAS SUJETO

    

ESTRUCTURA MEDIO PREDICADO SILOGISMOS TERMINO

38

Calidad, Cantidad y Distribución de las Proposiciones Categóricas En toda proposición categórica de forma típica existe calidad y cantidad. La calidad de una proposición puede ser positiva o negativa; según que la inclusión de clases sea (completa o parcial) sea afirmada o negada por la proposición.

Calidad Se acostumbra utilizar las letras A, E, I, O: para las cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, respectivamente. Universal y particular afirmativa son: afirmativas en calidad (A,I). Universal y particular negativa son: negativas en calidad (E,O).

Cantidad La cantidad de una proposición es universal o particular, dependiendo si la proposición se refiera a todos o solamente a algunos.

A,E, son universales en cantidad.

I,O, son particulares en cantidad.

39

Calidad, Cantidad y Distribución de las Proposiciones Categóricas Las 4 formas típicas de una Proposición Categórica Primero especifican cantidad y luego calidad.

1.

2.

3.

4.

Universal afirmativa Universal negativa Particular afirmativa Particular negativa

Esquema general de una Proposición Categórica 1.

2.

3.

4.

Cuantificador Sujeto Cópula Predicado

Cuantificadores con los que comienzan las Formas Categóricas  todos / universal / afirmativa (A)  ningún / universal / negativa (E)  algunos / particular

Cópula Entre los términos sujeto y predicado de toda proposición categórica, aparece algún tiempo del verbo SER (acompañado por la palabra no en el caso de la proposición O).

EL verbo sirve para conectar el término sujeto con el término predicado

40

Ejemplos

41

Leyes de Inferencia Es un mecanismo formal finito, comúnmente presentado en forma de esquema, que permite obtener una fórmula a partir de una o más fórmulas, a las que llamamos Premisas.

La fórmula que se obtiene de las premisas , por medio de una regla de inferencia, se dice que es una Inferencia, Conclusión o Consecuencia de las premisas, por medio de una regla de Inferencia.

DOBLE NEGACIÓN (DN)

MODUS PONENDO PONENS (PP) Afirmando el Antecedente, afirmo el Consecuente.

EJEMPLO:

Es cuando se niega 2 veces la misma proposición.

EJEMPLO:

3 ADJUNCIÓN O CONJUNCIÓN MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) Negando el Consecuente, niego el Antecedente.

EJEMPLO:

Si disponemos de 2 enunciados afirmados como premisas separadas, entonces puedo unirlas mediante una conjunción.

EJEMPLO:

42

DISYUNCIÓN (D)

SIMPLIFICACIÓN (S) Si tengo 2 proposiciones simples que formarían una proposición compuesta, podemos separarlas.

EJEMPLO:

Si disponemos de 2 enunciados como premisas separadas, entonces, podemos unirlas mediante una disyunción.

EJEMPLO:

MODUS TOLLENDO PONENS (TP) Si disponemos de una proposición compuesta por una disyunción y la negación de una de las proposiciones simples como premisas, entonces, podemos concluir la proposición simple que no ha sido negada.

EJEMPLO:

LEY DE LA ADICIÓN (LA) Si disponemos de un enunciado verdadero, se le puede 3 adicionar mediante la disyunción cualquier otra proposición.

EJEMPLO:

43

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Si disponemos de 2 premisas que son implicaciones y el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, podemos concluir una implicación entre el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda.

EJEMPLO:

44

Para utilizar dicha ley, se requieren 3 premisas, 1 disyunción y 2 condicionales. Donde la disyunción dada está compuesta por los antecedentes de ambas condicionales y la conclusión será la disyunción compuesta por los dos consecuentes de las premisas dadas.

EJEMPLO:

3

Ejercicio Leyes de Inferencia En cada uno de los problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando las reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si es o no válido.

1.Si llueve, entonces iré al cine. Llueve. Luego, iré al cine.

2.Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine.

3.Si me caigo de la bicicleta, me golpeo. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.

4.Si voy al colegio pasaré por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario de sinónimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos.

5.Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación; por tanto, los salarios son bajos.

6.La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es fácil.

Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles.

7.Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas; luego, trabajo.

8.Si el entero 35 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35 244 es divisible entre 66. Si el entero 35 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35 244 es divisible entre 3.

45

Cuantificadores Una proposición singular afirma que alguna cosa individual tiene cierto predicado, así que es la instancia de sustitución de alguna función proposicional.

PREDICADO SIMPLE Función proposicional que tienen algunas instancias de sustitución verdaderas y algunas falsas, cada una de las cuales es una proposición singular afirmativa.

GENERALIZACIÓN El proceso de formación de una proposición a partir de una función proposicional colocando un cuantificador universal o un cuantificador existencial antes de ésta.

INSTANCIACIÓN El proceso de formación de una proposición a partir de una función proposicional, sustituyendo una constante individual por su variable individual.

46

Cuantificadores Una proposición singular afirma que alguna cosa individual tiene cierto predicado, así que es la instancia de sustitución de alguna función proposicional.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

El símbolo (X) utilizado antes de una función proposicional para afirmar que el predicado que sigue es verdadero de cualquier cosa.

El símbolo "(∃x)", que indica que la función proposicional que sigue tiene al menos una instancia de sustitución verdadera.

1. Todos son vegetales 2. Cualquier flor 3. Siempre son animales

1. Algunos son vegetales 2. Hay flores 3. Existen animales

Son referenciales o universales.

Para simbolizarlos lógicamente se determinan los predicados así:

Son existenciales o particulares Para simbolizarlos lógicamente se determinan los predicados así:

V: “ser vegetal” F: “ser flor” A: “ser animal” Simbólicamente los enunciados quedan como sigue:

V: “ser vegetal” F: “ser flor” A: “ser animal” Simbólicamente los enunciados quedan como sigue:

47

48