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Integrales triples
il-, f7l/4 s2ft:u; rr/4 f
Por tanto (compruébense los límites con el gráfico imagen):
1=
o
=
2 :rr
. o
-
4
o
ip
o
f"'4 f2/o<>., ]"14 8n [31
p (p2 sen <p) dp d<P dO = 2n
1 6 cos.- 4 (<p) · sen <P clrp =
o
o
- cos - 3 (<P)
'1'
o
p 3 sen <P dp dO =
=
8:rr
3
-
(2
fi - J )
Estúdiese el anterior razonamiento (dos recinto�) con el orden ((ppO) o con el (O<pp).
•
Simplificaciones en el cálculo de una integral triple Consideremos la in tegral triple 1 =
ffLv
j(x, y, z) cLrdydz, en donde 2V es una región si
métrica respecto del plano ,;ry. Denotemos por V a cualquiera de sus dos mitades simétricas: Si j(x, y, -z) = f(x, )1, z), entonces l = 2
fff.,
j(x, y, z.) dxdydz.
Si .f(x, y, - z) = -f(x, y. z), entonces 1 = O. Los COlTespondientes enunciados rela6vos a los planos (xz) e (vz.), son evidentes. Supongamos ahora otra integral 1 =
fflJCx,
y, z)dx dy dz,, extendida a una región V simé-
trica respecto, por ejemplo, del eje z. Si se verifil.:a además que .f( - x. -y, z) = entonces 1 = O. Finalmente cuando en 1 =
fft
-
f(x y, <:), ,
.
j(x. y, '(.) dx dy dz, la región V es simétrica respecto del ori
gen (0, O, 0). verificándose por añadidura que /( - x, -y, - z) = -J(x, y. z), entonces también. 1 = o.
Ejemplo Calcular el valor de la integral trip le T extendida a una región V definidos por:
RESOLUCIÓN Al ser la región \1 (el ipsoide) simétrica respecto del plano x::: (Y
f(x, - y, z) = .0' sen ( -xy) cos )i 1y2 + z1
se tendrá 1 = O.
=
= 0). verificándose además:
)') cos ,x3 ( - sen .A-
Jx2y:J + ?.2
=
-.f(x.
y,
1.)