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QA603 G69 FRANCISCO GRANERO

IIIIJIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIII IIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII IIII 0233000604

CALCULO INTEGRAL Y APLICACIONES

francisco Granero


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Cรกlculo Integral y Aplicaciones


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Cálculo Integral y Aplicaciones

Francisco Granero Doctor Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemática Aplicada

E.T.S. lngenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao Universidad del Pafs Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea

Prentice Hall

---Madrid

México Santafé de Bogotá Buenos Aires Caracas Lima San Juan San José Santiago Sao Paulo White Plains •

Montevideo


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datos 1ic callllnguculn hibliogn1fic;,

GRANERO. F. CÁLCULO INTEGRAL Y AI'UCAClONES I'EARSON EDUCi\CIÓN, S.A.. Madrid,1001 ISBN: l\4-205-3223-1

Mt¡terh¡: Cálculo intcg:rúl: 517

Fvnnnlo llJ5 >:

250

P:iginas: J11

Todos los derechos reservados No e�tá permitkla la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método, ¡;in autorización escrita de In Editorial. DERECHOS RESERVADOS tC'\ 200 1 PEARSON EDUCACIÓN, S. A. Núñez de Balboa. [20 28006 MADRID FRANCISCO GRANERO

CÁLCULO INTEGRAL ISBN:

Y

APLICACIONES

84-205-3223-1

Depósito legal: TO. l l l 2- 2001 PRENTJCE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSO N EDUCACIÓN. S. A. Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Asistente editorial: Sonia Ayerra Equipo de producción: Director: José Antonio Ciares Técnico: José Antonio Hernán Diseño de cubierta: Mario Guinde!, Yann Boix y Lía Sáenz Composición: COPTBOOK Impreso por: GRAFILLES IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED l N SPAIN

Este libro ha sido impre�o con papel y tintas ecvi1Sgicv�


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A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantza


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eontenido

PRÓLOGO

l.

INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

XI

..................... ... ................

l

La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l

Algunas condiciones suficientes de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoremas fundamentales del Cálculo in tegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones al cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalización de la regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 8

Integrales impropias . .. . ... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carácter de una integral impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en el que el intervalo de integración es infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en e l que l a función subintegral f(x) n o es acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................... Convergenc i a y cálculo de la función í(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . Prolongación de la función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función euleriana B(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales eulerianas

Integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propiedades de las integrales paramétJicas . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones de la derivación paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones de la integral definida simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Áreas planas en coordenadas paramétricas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 12 13

14 16 17

17

20 21 25 26 29 29 30 33


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VIII

Contenido Volumen de un sólido de secciones conocidas . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . . . . . . . . . Volumen de un sólido de revolución . . . . .. . . . . .. . . . . .. ... ... .... . . . . .. . . . . . Área lateral de un sólido de revolución . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Centros de gravedad o ceolroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. .. . . . . . . Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicios propuestos

2.

INTEGRALES CURVILÍNEAS

.

..... . .. ... .. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .....

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 .. . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . Resolución de una integral curvilínea en R2..... ............................ . . . . 2.3. Integrales curvilíneas en R3 2.4. Integral curvilínea de una función vectorial en RJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades y cálculo . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . Independencia del camino. Función potencial . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . Independencia del camino con puntos singulares . .. . .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Integral curvilínea de una función vectorial en R3 . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . . . . 2.1.

Introducción

2.2.

Integrales curvilíneas en

. • . . • . . • • • . . . . . . • .

• . .

• .

• . . . . . • . • • • • • • • • • • •

• . • • . . • • • • • • • • • . • • • . . •

• •

• • .

• • • • • • • • • • • • • •

. . . . . . . . • .

Ejercicios propuestos

3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �

INTEGRALES DOBLES

3.1.

.

. . . . . . . . . . . . .

.

. . .

. . . . . . . .. . . . . . . . . . ..

. . .. ....... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. .

99 99 99 1 00 1O 1 105 l 09 109 1 11 1 15 117 1 19 125

127 131 135 139 140 1 43 J 46 149

. . . . . . . .. . .. . ...... . . ... . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .... . .. . .. . .. . . . . .

155 162

. . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

.

Ejercicios propuestos

INTEGRALES TRIPLES

4.1.

58 83

La integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. .. . . .. . . . . . . . . . . . Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo . de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de variables en una integral doble . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . TeoreJTia de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . Simplificaciones en el Cálculo de una integral doble . . .. . . .. . . . . . . . . .. . .. . . Cálculo de áreas de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . Integral de superficie de una función escalar . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . . . .. . . . . . . Integral de superficie de una función vectorial . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . ... ... . ..... . .... . . . . . .. .. . .. . . . . . .

Ejercicios resueltos

4.

38 40 41 44 50

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .... . . Cambio de variables en una integral triple . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. .... . . . . . Límites de integración en cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificaciones en el cálculo de una integral triple .. ... .. . .. . . .. . . . .. . . . . . Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Jmerpretación vectorial de los teoremas de Gauss y Srokes . . . . .. . . . . . . . . . . . Otras aplicaciones de las integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales doble y uiple de Dllichlet . . . . .. . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La integral triple

Ejercicios resueltos

.

Ejercicios propuestos

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 125

165 168 170 175 176 177 184 1 89 193 199


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IX

�MÉTODOS DE INTEGRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

207

La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Integrales inmediatas . . .. . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . Métodos usuales de integración . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .

207 209 21 1 211 212 213 215 217 219 2:23

TEMAS DE REPASO Tt.

Tl.l.

Tl.2. T1.3.

.

Integración inmediata por simple observación

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . f(x) . . . . lnregración por pattes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración mediante cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jntegración por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de funciones racionales . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de integrales racionales por e l método de Hennite . . . . . . . . . .

Integración por descampo ición o transfonnación de la función .

.

T1.4. Tl.S.

.

.

.

Transfot·mación de diversos tipos de integrales en integrales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . ..

225

lmegración de las funciones R(senx, cosx) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

225

.

Integración de las funciones R

Jax'2 + 2bx + e) ................... .

[x. (a.x IJ)P'', (

r ntegración de las !'unciones R (X,

+

ex+ d

Integración de las funciones del tipo

TI.6.

) ] ......

+ b r'·' . ex+ el

ax

xm(LI + bx")q . . . .

. .

.

. .

...

. . .

. . . . .

.

. .. .

Integración de las funciones del tipo R(cr') ............................

Integración apro"X;mada .............................................

.

. . .

ú1troducción .......................................................... . Aproximación mediante desarrollo en serie ............................ Aproximación mediante el método de Simp5on ........................

. .

�jercicios resueltos Ejercicios propuestos .......................................................... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T2.

CURVAS Y SUPERFICIES T2.1. T2.2. T2.3. T2.4. T2.5. T2.6. T2.7. T2.8. T2.9.

232 234 235

237 237

237 238

240 244 249

. . . . . .. .. . . . . . . . . . . ... . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .

255

Introducción . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas en Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma . . . . Superficies en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas sobre una superficie . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de la . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . misma Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255 259

. .

.

R3 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •

. • . . • . . . . . . • . . • .

.. . .

• •

.

.

.

.

.

Superficies cónicas o conos

.

.. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . ... .. . .. . . . . .

262 264 267 270 272 273 276 276

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

279

Superficies cuadráticas o cuáuricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291

lNDJCE

293

Superficies cilíndricas o cilindros

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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Es al mismo Arquímedes a quien hace 2.200 años se debe el primer

enfoque de la verdadera integración: obtuvo que el área de un seg­ mento parabólico es los cuatro tercios de la del triángulo con iguales base y vértice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parábola), los

dos tercios del paralelogramo circunscrito.

Dos son los motivos por los que este libro, Ctílculo fnlegral y Aplicaciones, ha sido publicado. El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deberá explicarse su conte­ nido, exceplulmdo algunas aplicacio11es de la integraL a nuestros alumnos de primer curso de lngeniería. Éstos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o Es­ cuela Superior, constituyen, pues. sus primeros y más directos destinatarios. Sin embargo, no ha sido escrito pensando únicamente en ellos. Hay un segundo motivo de­ bido a 1� existencia de otros destinatarios. a los que me referiré después de comentat· la estructu­ ra de este libro, en la cual b�n tenido tanta influencia como lo� anteriores. Se ha dudado, y mucho, del lugar que dehiera ocupar el tema «Métodos de Integración» que, aunque fmalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el más necesario de todos y es en el que, conjuntamente con el primer tema «Integrales definidas simples», más nos hemos esmerado. Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados. constituyen la herramienta fun­ damental que permitirá manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otra forma, aquellos estudiosos que se enfremen a ambos temas y salgan con pie fmne, poco ha de suponedes vérselas con las integrales curvilíneas, dobles, de superficie, triples, campos vecto­ riales y todas las aplicaciones. De ninguna de las integrales múltiples hemos necesitado sus definiciones. dado que han sido obtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada de un mouo exJ1austivo en nuestro primer tema. Por lo que respecta al cálculo de las integrales múltiples, recuerdo que en mi época de estu­ diante nunca llegué a manejarlas con soltura; ello se debió a los numerosos cambios en el orden de integración que entonces con tanta frecuencia se nos exigía. Esta experiencia y, claro está. la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; en ellos se presentan y discuten las pautas y cRminos a seguir p¡u·a llevar a buen término el cálculo


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XII

Prólogo

de las integrales dobles y triples. Asimismo. se aconseja (en función de las superficies que inter­ vienen) el tipo de coordenadas a utilizar y los órdene má convenientes de integración. Las aplicaciones de la integraL los centJOS de gravedad. momentos de inercia. cálculos apro­ ximados. etc .. se definen y resuelven utilizando. cuando es posible, las tres imegrales: simples, dobles y triples. indicando en cada caso l a conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teoría de Campos (Capítulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y de­ mueslran varios notables teoremas, algunos de los cuaJe::. tuvieron su origen en la Física: El teorema de Green (descubierto en 1828) apareció en relación con la teoría de los potenciales eléctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -también debe señalarse <.:omo autor el matemático ruso Ostrogradski- surgió con relación a la electrostática. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el físico Lord Kel­ vin; Stokes lo utilizó para la concesión de un cierto premio en 1854. Ha llegado el momento de referimos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son anti­ guos ingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o apren­ der otras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aquí varias respuestas de un gran técn.ico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coinci­ dentes con las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes:

En mi trabajo nunca he utilizado inlegrales. En ciertct ocasión las necesité para calcular la superficie exacta de una estructura y me la resolvió oTro prr�fesor.

Fuera del lrabq¡o las he necesitado en ocasio11es y siempre por el mismo motivo. Úlli­ mmnellte con relativa jf'ecu.encia. mi hijo y un compaí1ero suelen «e..\igirm,e» que les re­ suelva cllgwws integrales. lo cual consigo a veces.

Hace unos meses. al entregarle varias integrales resueltas «exigidas)> por algún familiar, le adjunté mis apuntes sobre <<Métodos de integración» (prácticamente iguales que los de este li­ bro) e intenté convencerlo para que los leyera «Como una novela», aunque con un bolígrafo en la mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de la$ derivadas, logró resolver en una semana (veinte horas) todas las integrales que en el tema mencionado aquí se presentan. Actualmente, «j uega)> con los restantes temas del libro y principalmente con las aplicaciones. Estos últimos comentarios, más que ava.Jar las «excelencias didácticas» de nuestro libro, conllevan la esperanza e ilusión (trabajaremos para lograrlo) de que el caso de Pedro no sea único. Finalmente, aunque en esta ocasión he asumido en su totalidad el desarrollo de los temas del texto, quiero agradecer aquí otras ayudas prestadas: A mis compañeros del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad del País Vasco. Al profesor Antonio Galván Díez de la Universidad de Cantabria. A los profesores Guillermo Urquiola Pujm1a y Antonio Cl·ego Corona. A mis otros compañeros, por di:-tintas cuestiones, J. V. Ma1tín Zorraquino, Javier Zubillaga. J . .T. Doria lriarte, Felipe Jiméne1. y J. L. Cano Martín. A Miguel España Martínez. Octavio Ruiz Quintana y Pedro Gómez Sen·anillos. A Isabel Capella y Sonia Ayerra por la gran profesionalidad que han demostrado durante la edición de este libro. También a todos ellos. conjuntamente con mis alumnos, va dedicado. F. GRANERO


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Integrales definidas simples

1.1.

1

LA INTEGRAL DE RIEMANN Previamente a su estudio, recordemos los siguientes conceptos:

Cuando la [unción y = f(x) está acotada en el intervalo cerrado la. b], siempre existen dos valores finitos 111, M E R, tales que V x E [a. b], nz �j(x) �M.

Se llama partición del intervalo cerrado [a, bJ a cualquier conjunto finito de puntos en la forma: P = {x0 x 1 x2 •

P1

,

...•

x,,J /a= x0

< x1 < x1 < ·· · <

X11 =

b

Dadas dos pa1ticiones de un mismo intervalo, se dice que P 2 es más fina que P1 cuando P1. Con relación al intervalo f2, 7] se tendrfa:

e

P1 = {2. 7l

e

P2 = {2, 3, 7)

e:

P3 = {2, 3, S, 7J

Pasemos ahora, sin más, a efectuar el estudio de la integral definida (simple) de Riemann: Consideremos una función y = f(x) acotada en un intervalo [a, b] finito, del que se ha lleva­ do a cabo una partición P1 en 11 subintervalos, es decir:

Suponiendo en principio (véase Figura 1 . 1 donde se ha dibujado la función, continua para fijar ideas) que V x E fa, b] j(x) �O, resultan evidentes las siguientes desigualdades: 111

11

L

i=L

m(x;- X;_1) �

�m;�M;�M,

L tr

i=J

m;(X;- X;_1).::::;

i E { l, 2, 3

L 11

i=l

.

...

, 11)

M;(X;- X;_1) �

11

L:

i=l

M(x;- X;_1)


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2

Cálculo integral y aplicaciones

M

111 --O

u

.rl·

=xn

. . . . • . . . . . .

X;

r

Figura 1 . 1

y haciendo en esta última x ;

- x1 _ 1

= Ll.-t; (L\.x1 > 0), se tiene:

11

11

i= l

i= l

Es chu·o que todos los miembros de las desigualdades. representan áreas de valor posilivo (producto de factores positivos). En el caso de que .f(x) < O. obviamente dichos productos da­ rán lugar a un valor negativo. Las áreas intermedias:

11 s1(P1) = I m¡Cu¡. SI(Pl) = I M¡D..K¡ ¡'=1 i=l 11

reciben respectivamente el nombre de suma il({erior y suma superior. correspondientes a la par­ tición P1• Realizando seguitlamente otra partición P2 más fina que P1 (P1 e: PJ.). es inmediato que se producen las desigualdades:

s�(P2) � s1(P1) 1\ 51(?1) � 51(?1) V P;. P/ s(P;) � S(P) Efectuando inderinidamente particiones PJ• P-+· .... P,,,. cada vez más finas, resultarán dos sucesiones :s,: y {Sml cuyos términos y comportamiento hemos presentado en la Figura 1.2. ideada por nosotros con el fin de dejar bien fijado esle importantísimo concepto. Al ser la sucesión is111) monótona creciente y estando acotada supetiormente por todas las sumas superiores, tendrá extremo superior (límite de esta sucesión). El citado extremo que de­ notaremos por s. se denomina <dntegral por defecto�� de /(x) en el correspondiente intervalo. Igualmente sucederá con la sucesión fSml· cuyo límite (S) se denomina \<Integral por exce­ so)) de .f(x) en el intervalo La. b ]. En el caso de que s =S, o sea si: lim s, = lim

m-•J entonces se dice que

y=

m-

1

S,

f(x) es intetvablc según Riemwv1 en el intervalo la, b].


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A

M(b-a)

(áreas) 's,

'Sa

1 1 1l 1 1 J 11 1

m (b-a)

PI)

3

t S¡ J 1 1 1

PI

T s3 1 1 1 J 1

,s,

1 1

1l

t Sm 1 1 1

r .rJ

+ s2 1

1

11 1 1

l

l 1 1 J 1 1

1 1 J J

1

1

p3 . ........... P,,

p1

Figura

P (particiones}

1.2

Dicho valor común, recibe el nombre de Integral definida simple de Riemann y se repre­ senta por:

s

= S=

JI>

f(x)dx

=

"

Es inmediato deducir que la anterior igualdad lims, limS, implica doblemente (véase Fi­ gura 1 2) que el valor S, - s, puede hacerse tan pequeño como se desee, sin más que elegir una partición lo suficientemente fina. Consecuentemente puede darse también la siguiente definición equivalente, relativa a la integración según Riemann: .

�·

«La condición necesaria y suficiente para que y = f(x) acotada en un intervalo finito sea integrable en el mismo, es que si elegido un e E R+ exista una partición P tal que Sp- sp < e.»

Ejemplo

{2 x y=f(x) = +2 1 x

Supongamos una función y = .f(x) definida en el intervalo

3

a)

b)

Determinar las sumas inferior

(s1 ) y

superior

P1 =

(S1)

[a = O,

b=

Si X

EQ

si

rt Q

3] de la siguiente forma:

correspondientes a la partición:

{a = O. l. 2. b =

3:

Calcular en [0, 3] el valor des (integral por defecto) y el de

ello la existencia o no de la integral simpl e de Riemann.

)

S (integral por ex ceso , deduciendo con


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4

Cálculo integral y aplicaciones

RESOLUCIÓN

S

J = M1 · l

+ M,-

·

1 +

M3 • 1 = 2 · 1

-7 · 1 +

3

Habida cuenta de que

3

Figura 1.3

11

lim ¿

H

22

1 =-

3/2 1

o s=

t�-----------------

J

b)

+

m,.· t':!..r;.

J'; l

• f

l:!..r;-40 'iiEll .'2. ..

..

n}

observando la Figura 1.3 en donde hemo�:o �ombreudo dos elementos de área correspondientes al nnterior sumatorio (s), resulta inmediato lo siguiente:

y

¡ 9

.1 =

Asimi&mu

(área entre 3) 3 (de a 3) ( 3) ( ) 3 de a + - de Oy

S=

O

2 +

2

2 3

15

3

4

-

2

a 3

=4 21

27

= -

4

Cons.ccuentementc. al ser s .,¡:.S. se tendrá que y= .fül no es integrable (sentido Riemann) en el inter­ 1 vulo [0. 3], o lo que es lo mismo, que la integral � implc1 1 de Riemann f(x)dx, no existe.

L3

Algunas condiciones suficientes de integrabilidad La función con�tante y = /(x) = mente

tcuaJguiera

que

sea la

K es integrable en todo intervalo

cerrado

partici6n), se verifica:

\l[o, b]

t

e:

R, s =S=

le R, pües evidente­

e

I K·l1x,. = K(h- Cl)

i= L

111 En 1\1 que sigut: <Je estt: Capí ulo prescíndiremn� de uñaúir el adjetivo «Simple>· para refcrirno� a cst11 imcgral

tlefinida de Riemann.

,


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5

Si y = /(x) es una función monótona (creciente o decreciente) en el intervalo la. bl. enton­ ces es integrable en él. Efectivamente: como ambas demostraciones son análogas. supongamos por ejemplo, que en [a, b] Ja función es monótona creciente (y,por consiguiente, acotada). Eli­ jamos un r- 1 E R +,y efectuemos una p<u1ición P de la, bJ en 11 parte� iguales, de modo que la amplitud tle cada parte (subintervalo) -- sea menor que 11 donos en la Figura 1 .4, esc1ibiremos: b-u

r. 1 •

En estas condiciones y apoyán-

s1• =.f(a)·(x1 -a) +.f(x1) (x1-x1) + . . . + j(x,_1) (b-x,,_1) •

Sp=./'(x1)·(.r1 -a) +.f(x1)·(.r2 -.r1) + ··· +.f<b)·(b-x,_1) Con lo que restando y al ser x; - X;_ 1 =

S1,-

sr

b-a

--,

11

resu Ita:

= U'<x1) + j'(x2) + . . . +f(h)-j(a)-j(x1)- ...-.ftx,,_1)]

=

[f(/)) - j'(a)j

b-a

-- <

11

IJ(h) -f(a)]1�1

Consecuentemente (/acotada) Sr- Sr< f.

O

11 =

r11

b- (/

-- = 11

1·1

.r,

j'(x)

· · · ·

Figura

· · ·

es

integrable.

· · .r, 1

�..

-b

1.4

Toda función continua o continua a trozos en un intervalo fa. bl es integrable en el mismo. En efecto: elijamos un F.1 E R + y efectuemos una partición P de forma que en cualquier suhin­ tervalo se ve1ifique (continuidad) M; - 111; < ll1. En estas condicione!\: Sr- s1, =

I; M1D..r;- ¿ lll;tix; tJ

;�¡

,

;�

1

=

¿ (M1- ll!; )� .. ,

i=l

x;

< 1!1(h

o) = ::

Propiedades de la integral de Riemann Puesto que la mayor parte de las propiedades que aquí presentaremos se desprenden claramente del concepto y detinición de esta integral. prescindiremos cuando sea posible de la<: correspon­ dientes demostracione�.


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6

Cálculo integral y aplicaciones

1.

Sea y = f(x) una función integ,-a bl e y

f(x) l f 1 x= a, x = b.

coo

signo constante en

[a, b].

En estas condicio­

dx es el valor del área encerrada por el eje x, l a curva y = f(x), y Jas rectas

nes

2. f(x) Si

y

g(x) son integrables en

K ·/(.�.:), f

[a. b],

j(x) ) + g(x), .f(x) g(x),g(x)

(x

=K

entonces las funciones:

·

1

g(x) :1:-

O V x E [a. bl

son ta mbién integrables en [a, b], verificándose:

JI• f1 J(x) dx = O f"1 Jb f1' f(.x)dx f" f(x) Kf(x)

n

3.

' f dx f a

(x.l dx:,

J� tr

U'(x) + g(x)l dx =

Jb j(x) Jh g(x) Jx +

o

dx

u

"

4.

5.

f(x) clx =

.

(1

=

a

"

6.

dx =

Si

8.

Si V x E

1 O.

dx +

lb f(x) dx �

J'"' .f(x) J,f" Vx E la, hj, f(x);:: J11f(x)dx;:: O [a, bl. f(x);:::. g(x): J'' .f(x) dx J'' g(x) Jx

7.

9.

j(f) dt

.f(.r) cLr

-

0:

11

1 f dxl r dx f(x)

del valor 111edio 'V·" E L,t,f(x) bj, f(x) M. p E [111, M] la.

imegral

una función i ntegrable en el intervalo ::::;: En estas condiciones:

m ::::;:

Existe un vnlor

Este valor JL

el ínlervalo

11

l.f(x)l

::::;:

Teorema Sea y =

;¿

n

se

hl.

tal que

f, f(x)dx o/

[o, ú],

= ¡t(b

y sean m

ME R

tales que

(/ ).

denomina valor medio o valor medio integra] de la función y =

f(x)

en


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Integrales definidas simples

Si por añadidura, la función y

=f(x)

1

es continua en [a. IJ-1. entonces:

Existe aJ menos un punto e E la, bJ tal que ¡t (propiedad evidenle puesto que por la continuidad, en particular alcanzará eL valor ¡t.)

f

=j'(c) =

ff(x)dx

� �-­ b-a

alcanza todos los valores entre 111 y M:

y

Probemos pues el primer apartado:

Como V x E [a. bj m �j(x) �M. aplicando la Propiedad 8. se tiene:

I¡,

111 dx

,,

=

con lo que dividiendo por b

m(b- a) �

-

a. resulta:

r f(x)dx

111� "

b-a

�M

fll f(x) f¡, M =

dx �

11

dx

11

M (h - a)

f.rcx) tLr

­ .;.;... "existe JI E [m. M]/¡..t = .=... b -a

La Figura 1.5 muestra, utilizando una función y= f(x) continua, la interpretación geométTi­ ca de este teorema. Nótese que en el segundo gráfico, existen dos puntos c1 y c2 para los que ¡.t =/(e:¡) =f(c-2). 1'

JI

=f(t·)

1

: ' --· ·--:·--·-----·-------¡··-.

-----

m

: :

111 ·-----

L--�---�---���T 11 u ('

Figura 1,5

'

l

ti

o

: :1 :

:

l

1

Generalización. Consideremo� dos funciones .f(x), g(x) integrables en el intervalo 1 a, l> ¡. teniendo adcmá� g(x) signo constante en dicho intervalú: Siendo 111, M E

R

de modo que m �j'(x) �M, existe

fh ti

.f(x) · g(x) cLt = p

fb u

un

valor�¡ E lm, Nf] tal que:

g(x) dx

Si por añ.adiJura y= jL<) es continua en [u, bj. entonces existe al menos un punto 1· E lo, hl tal que ¡t La demostración de esta generalización es totalmente análoga a la anterior (se parte de la desigualdad m ::;;J� M, se multiplican sus términos por g, ... ).

= f(c).


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8

Cálculo i nteg ra l y a p l icaciones

Teoremas fundamentales del cálculo integral Definición Sea

y = f(t)

una función integmble sobre el intervalo [a, b]. Apoyándonos en que

Ix

.� f =

f(t)dt

/1

f(x)dx(x

E

[J

[a, b])

es evidentemente función de x (continua en el citado intervalo, como fácilmente se prueba a partir de la re la i n 1), daremos la siguiente definición: Se denomina función primitiva de f a toda función F tal que

Is

f(f) dr = F(x) + e

( l)

11

Visto lo anrerior, enunciemos y probemos ahora e l siguiente teorema: Primer 1eorema fundamental del cálculo integral

"Si y = j(t) es una función continua en el intervalo [a, b], la función F(x) cletlnicla en ( 1 ) es derivable en dicho intervalo, verificándo e que F'(x) f(x).>> Para probarlo, veamos que existe el límite que define a la derivada de F(.r) y que el citado límite es j(.r):

=

F(x) = -- = lim dF(x) dx

lim

F(x + LU) - F(.x)

ll.r.

t. x �o

1 ..

A ox-·0 LU

( 2) J(r) dr = lim

fx�L\." x

(pues como e E [x, x + Lh].

= lim L\." - o

l .

ós ·0 fu

e

1 -

Ó..l

[ "' J

+ t>.x

.{(t)dt - e -

"

(fx o

)J

f(t)dt - e

=

Jtc)Ó..l.· = lim j(c) = f(x)

� x cuando Ó..t: -? 0).

.<l.x-0

f'

Acabamos de obtener <da derivada de una integral respecto de su extremo superior (x),>. Tes J(t) dt = niendo en cuenta que f(t> di, resullan inmediatas las siguientes relaciones que

f

(/

X d�: I

>; .

más adelante se aplicarán:

d -

.f(t) dt

11

=

" f d

j(x)

dx

s

((t) dt = -f(x)

(2)

Segundo teorema fundamental del ctílculo integral Si f es una función continua en el interva.Io ra, bl y la función F es una de sus primitivas, entonces:

I

<l

C oJ

Dud() qtiC

f es continua en 1:1". x + á.r) e {ti. b]. 3c

IJ) El Tema de repaso 1

(regla de Barrow ) 13)

f(x) dx = F(b) - F(a)

(Métodos

E [.\. x

+

óxl

podrá escribirse (T. del

/ I4<.�.v

j(l)dl

=

vnlor medio):

j'(c) · óx

de integración) trata con detnlle del

cúlcuto

de primitivas.


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9

Integrales definidas simples

Este resultado se pone rápidamente de manifiesto, particularizando la relación ( 1 ) para x = a y para x = b. es decir: para X= a:

para x = b:

fa f 11

fU) dt = o = F(a)

+ e -+ e = - F(a)

j(/) dt = F(b) + C = F(b) - F(a)

(3)

Aplicaciones al cálculo de áreas planas Teniendo en cuenta la relación que existe entre el área y la integral de Riemann, habiendo pro­ bado mediante los anteriores teoremas fundamenta les que: A(área) =

fh <1

siendo F'(x) =fLr)

f(x) dx = F(b) - F(a).

(41

y razonando finalmente con elementos diferenciales (tanto en la variable x como en la varia­ ble y). son inmediatos los resultados siguientes (Figura 1 .6): dA 1 = [f(x) - g(x)l dx

dA 2 = f/(y) - g(y) J dy

-+

->

A

1

A2

=

=

f¡, fd "

e

Lf(x)

-

g(x) 1 dx

lf(y) - g(y)]dy

y= g(.v)

o

Figura

.r

1.6

l-1) Supondremos para todo lo que sigue que se domina el cálculo de

primitivas.


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10

Cálculo integral y aplicaciones Ejemplo a)

b)

Calcular el área (A) encerrada por el eje x en el intervalo LO. n/2] y las curvas y = cos x. y = �enx. Hallar el área limitada por las curvas y2 + x - 3 = O. x - y - 1 = O.

RESOLUCIÓN a) Una vez dihujada la Figura 1.7 (primer gráfico), se tiene: ,.

,.

x = g (y)=y+ 1

(-1. 2}

A =A, +A1=

f;t/�

senxdx +

o

ftt/2

Figura 1.7

cos.xdx =

�/+

fi

2

--='J 2

Obtengamos asimismo el área A A3

b)

=

f"'4 (cosx 1)

3:

sen x)dx =

- cosx

] "'� + senx Jnt! ()

=

... +

a úlese nuevamente mediante una única integral en la variable y)

(c lc

[senx co:-x] +

r..�

C)

=

-

-

\1 -

O - 1 = .fi - 1 12 -

-

Efectuemos la integración con relación a la variable y. que evidentemente e� mucho más simple [cual­ quier recta r nol'mal al eje y, t:orta (en la región) primero una curva y luego. siempre a la otm]. a

dA = lf<Y> - g(yll tly = [3

y1

(\' + 1 JJ dy

-7

A

=

fl

-

2

(2

9

-

r1 - r) c/1· = -

.

.

-

2

Para dejar bien fijados estos conceptos. se p opone finalmente comprobm· que el área de la región limipor las t:urvas y =f(.r) = + 3x l. y = f?(r) = x3 - 2..r2 + t . e� A = 37/1 2 (en caso de duda. véu.se el ejemplo Resuelto 2 al final de la sección). tada

.\,2

r

x -


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11

Recomendaciones

Ladichoaplanteri icacióonnnente, no contrqueolasidaladefunción la reglaf dees iBarrow (3), puede darentonces Jugar sua graves errores. Se ha­ n tegrabl e en primitiva Fes conti . ntervalo. emprecasos: debe aplicarse (3) a lo largo de una rama con­ tinuanuaendeesela ifunci ón Consecuentemente, F(x). Veamos algsiunos cálculo: = J 1 +x dx arctgx ] 1 arctg - arctcr(nosecuentemente es correcto, deberá ya que tomarse al ser f(x)la ramaencontinua r- 11dedeberfa resultar (Propi edad Con ello,Con·se F( x ) arctgx (Fi g ura tendría: = arctg 1 -arctg (-1) ¡ - ( - ¡11:) 2: [a., bj

y=

1.

El

1

¡

_

,

--2 1

=

=

_

1

o

1

>O

n

1C

2

7) 1 > O.

1,

=

1

3n

1) = - - - = 4 4

=

1 .8).

=

7L

1L

-"

y

Figura 1.8

3

o

Más escandaloso todavía, sería el cálculo: Ji � dx = - �Jl -[: - (- �)] 3 = 3 pues en (segundo esta ocasigráfi ón sonco detloslalaFis gcausas della enor: F(x) =ntegral -1/x noJ(x)esnocontie¡;t; ánuaacotada en en3. dichoy además ura funci ó n subi intervalo, lo cual fue una de las exigencias que se impusieron a la integral de Riemam1. o de integral eestudi s en laasránquecon detal f(x)lenoen está acotada en alconsi gúndoeramos algunosoportuno puntos delenunciAunque inteiar·vaquí aloeldeltiapintegraci ó n se l a Secci ó n Regla de Barrow generalizada.

2.

_

3 X

X

_

3

=

1

4 --< 0

[-

ll,

1 .8)

y

=

Generalización de la Regla de Barrow

1 .2,

del interval o de inltegración, ti«Coando ela nereglpria demliatBarrow. ivfunci a F(óxn)>>y =f(x)es nocontiesnconti ua ennuadicenho ciertos intervalpuntos o. entonces. es correcta a aplicacióperb n de y

ésta


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Cálculo integral y aplicaciones

'

Esto sucede por ejemplo con la función: /'(x) =

.

El cálculo:

f7-l

3

"" x

l

(cuyo

fl

�ráfico

1

:JG. cLr = 1

- 1 �x-

es con·eclo. pues

1 .2.

la

es J

o

similar al se!!.undo de �

la

-] '

x-213 · dx = 2 · 3 �x

función f(x) tiene primiUva F(x) = 3

¿f;

figura 1.8) �

=6

n

ont inu en [ - l . 1 1.

c a

INTEGRALES IMPROPIAS

.f(x)para centrar ideas

con igual signo (no negativo, j po Consideremos una función subintegral su intervalo int gr ci n. Supongamos que el gráfico de la citada función es el r p r sentado en la Figura 1 .9, y que quieren determinarse las áreas sombreadas A 1 y A 2•

e e de e a ó

por e em l ) en todo

·''

L-------�.---�--�--��- s 11 {/ f1 /¡ ,. o

Figura 1.9 La obtención de A 1 ( intervalo de integración infinito) y A 2 (con runción no ucota<.la en su intervalo de int gr i ón ), im pre cindi l generalizar el con<.:epto de «integral definida de Riemann» Uirea A, correspondiente a una función acotada en un intervalo finito). Cuando la integral al menos unu de la integr:.�l de Riemann (desviaciones que llamaremos sin�illaridocle.,·). se dice que es una impropia especie si tiene intervalo infinito, o Lk ,<;i la fU,n­ ción subinregral no acotada).

e ac hace s b e en cuestión presenta (<.l. eesprimera

integral

de las anteriores desviaciones respecto �egunda especie

Para el dkulo de A 1 , se escribirá (Figura 1 .9): A1 =

que

f' .f(.U (.

es

dx = lim H- ·,

fll.f(x) ..

dx =

[ F(f-1)] l im

u-�

ou

-

F(t')

q e no tiene sentido (en ocasiones se l a integral convergente, divergente. mp l ea también a4uí la denominaci6n <<Oscilante>)). si re.')pet:U vamente e l nntelior límite existe y es finito, es infinito. o finalmente si no xi te.

y se dirá

e

es


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Integrales definidas simples

u

13

En el caso del intervalo ( r:r: , cj o deJ ( - ::t:), rx.. ) que descompondrfamos en ( - a:, cj u t::N ). todos los conceptos son similares.

[e,

¡, f

Para el cálculo de A 2 se utilizan iguales denominaciones. escribiendo ahora:

j•/1

A1 =

p-tl

ti

/1

f(x) (Lt = F(b)

f(x)dx = lim

h f

lim F(¡l)

,,

P •u

o lo que es lo mismo (f. siempre es un número real positivo): A2 =

f

o

.f(x)dx = lim

e.-u

a + F.

.f(x)dx= F(b) - lim F((l + ¡;) ,�-C J

Carácter de una integral impropia Habida cuenta de que en gran número de ocasiones no disponemos de una función prumttva F(x), o porque únicamente interesa el carácter de la integral, es necesario estudiar ciertos méto­ dos para deLermimu· esra convergencia o divergencia. Teniendo presente, además. que cualquier intervalo puede dividirse en subintervalos donde­ la fu ci ón f(x) tiene siempre el mismo signo, y puesto que si f<x) � O en L(l, b] puede tomarse

n

la determinación posi tiva haciendo

f

/1

f(x) dx = -

''

f

-.{(x) d.r. limi taremos todo el estudio a

integrales cuyas funcione� sublntegrales /V<) son no negativas. Asimismo, si la función .f(x) no está acotada en varios pumas de su intervalo ele integración (Figura 1 . 1 0), se escribirá: n

f•

u

f' Id f. fh

j(x) d.� =

11

u

+

r

+

ti

+

t!

y este estudio de las integrales impropias de segunda especie quedará reducido a integrales en las que f(x) no está acotada en el ex.tremo inferior (ya comentado) o en el superior (cuyo con­ cepto, evidentemente, es totalmente análogo al anterior).

=c

l\)1 l .r

1 x-'"

!

:l

1

1

)

o

1 J 1 1

e

l

:

dos singularidades (en x � e· y en x =e)

1

"

(/

Figura

1.10

T


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14

Cálculo integral y aplicaciones

Ejemplo

t

Las res integrales impropias

T =f. J 1

-

"' .x

u

(111 E R • ):

T' = fh 1 x)'" . T2 T� 1 { T 1 m� 1 z

1T, = f' (x---

dx (a > 0)

-

u

dx

a)'"

2

u

rLr

(b -

representantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudjo de dichas integraJes im­

(T

propias. reciben el nombre de integrales tipo

1

de primera especie.

y

de segunda) y se suelen

utilizar para determinar el carácter de otras integrales por comparación con clh1s.

Probar que:

RESOLUCIÓN T1 = f � 1 "

-;; dx = li 111

11-•.o.

x'

f/1 n

T

1

converge

si m >

diverge

si

{

111 =

¡Llxl ll/ ]".

X "' dx =

lim H - '"'

eviJentemente r, =

x- m

+i

-¡¡¡. +

1"

Consecuentemente converge si

1

Probemos ahora que con

m> l y

T2 (y T� del

si

converge

diverge

si

f''

l

. (.t

_

1 [ 1 -m 11

= -Obviamente a

la

.,

a)

'"

i= J

-m<O

-m>O

<.lívcrge en los demás casos.

mismo modo) sucede al revés (hagámuslo con

d.x = ti1.1 fh e

o . 11 f 1

(X - a)-111 dx = lim

{ = J

(b - a) 1 - "' - lim(&) 1 - 111

_

integral tipo

T�

111 �

1/l = 1

claramente también es divergente):

T2 =

111 <

O:.• (divergente).

u • ..

nl =

" ,

1, 1 ( im HL-m si m # 1: T1 =1 -m J

con lo que si

1

, ·o

•-O

i= l . pues para

(x - a ) - "' + ' '' m+ 1

finito (convergente), o:.

]

m

(divergeme),

11

si

-m >0

)i

-m<O

le sucederá lo mismo 15l.

Caso en el que el intervalo de integración es infinito

Consideremos una integral 1 1 f<c mentado) en eJ intervalo =

[a, 'X:').

1"1 El motivo de tomar ( /J si succdiem. por ejemplo. qut:

a

.f(x) dx.

siendo j(J,:) acotada y no negati (por lo ya cov �t

x)"' en lugar de (x - b)"' con l o que T1 = T�, radica e n qu� pnr �er b � r (a :::; x ;;;;; b). 1 2, se tendría (,\· - b\1 2 y consecuentemente In integral T� carecería de sentido.

m =


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Integrales definidas

simples

15

elos,caráct egosr deaestalos integral impropi a deconoce p imeporra especi eo. súniestudi camente utilitodo za­ Parac edeternúnar remos o cri t e ri anál o que al u mno ya haberl a do en tipo de se s dichos criterios presentamos aquí los sig ient s r

el

i rt s 1ie . De

u

e

:

m > l : / 1 converge St .-.;hm-''"" � {k finito,(pudisiendo e ra ser cr.. ) , con /1 diverge x"' Criterio de (equivalente anterior) Apl ica do la propiedad de la integraJ de Riemann se tienen los u entes Si kj"(>;) < - con m > 1 : /1 converge kf(x) > con es divergente

Criterio del límire

. .

.f(x)

-- =

k :1: O

comparación

(8)

n

Vx

al

xm

Si Vx. E [n. •::.ü ),

-;;;

Criterio

1

m� 1

X

íntegra!

:

resultados (k E R 1 ) :

si g i

1

[a, XI),

E

m� 1

:

noe negati vya la el SeaSi f(x), comoc ecsee hat dkho, una funcieóntoacotada n e l a seri l.f( n ) mo ca á te 161. y

y=

f(x) es de r i n e en [b � O, oo). n

en

c s.

r c r

tienen el mis)­

intervalo [a E R, integral /1

cr.. :

Ejemplos

Probar que s i lim f(x) * O. entonces, l a integral impropia de primera especie 1 1 es divergente.

1.

).·-�

Nóte e que este enun�iado resulta equivalente al siguiente: �'Es condición nec�arin para la convergencia de /1 que lün j'(x) (caso ele que este límite exista) = 0» RESOLUCIÓN

Por la hipótesis. si lim .f(x) = k(k E R� al ser f no negati ) # O. entonces podrá determinarse un x0 tal ..... que Vx x0 �e verifique f(x) > K. Consecuentememe: .�

>

11 =

con

va

3 _

f"' .f(x) dx f�o f(x) f" u

lo que 11 Beria divergente.

(61

d:x +

=

a

la

,\u

f(x)

dx > A 1 (finitb) +

Nótese. con relación n convergencia, que si a < b. el íntervalo [a, acotada en intervalo finito) un área finita.

f""

--+o

K d�: =

·JO

• bl

IW

ínlluye por ton·esponderle (función


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16

Calculo integ ra l y aplicaciones Util izando los tres crite1ios est11diados,

2.

especie):

f = I" xz _ 2 (2x2

RESOLUCIÓN mpr a) lm1 -- = /(.Y)

.

l

xz.

.

lun

.- - , 4x4 + 12r2 + 9

lim

x'"•1

1

lim

4 =-

.>-· " 4x

1 : -= X111

dx ( una única singularidad)

4x 4 .r 4

,_,

.\"" +2

lim ------

., - x 4x.; + l 2.x2 + 9

x"' 1 2 = - {finito) con \

.

x1 1 1 b) '<l x E [ - 2, oo ), .f(x) < -4 = - -:z

x

?

+ 3)-

primera

e debe comprobarse previamente la condición necesaria de convergencia )

(sie

"' - "'

determínese el carácter de la inlegral impropia (de

4

m= 2 > 1 (m = 2 >

1

4f(x) < .. \'m

=

1)

1

=

couverge. 1

converge.

e) Puesto que sería muy engorroso precisar todas las exigencia., del critelio in tegral (f decrece a parti r de ./3 /i. ). con las i ntegrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento análogo al siguiente ( - = tiene iguaJ carácter que): ). y necesariamente decrecerá en [b � O, oo ) pue to que f(x) es acotada y no negativa en l - 2, = ..

lin1 f(.r)

x- r

= O. En consecuencia:

s

r

Caso en el que la función subintegral f(x) no es acotada Consideremos l a i ntegral 1

2

infeJior x

=

= a) y no negativa

f(1h

j(x) cLr,

siendo j(x) no acotada (supongamos

por lo rep etidamente me nci on ado

en su extren1o

.

Sin más consideraciones, únicamente apoyándonos en los resultados hasta aquí obtenidos y

trasl adándolos al criterio del límite, por ej em pl o. el carácter de la i ntegral f2 podrá extraerse del sigui ente cuadro: finito, siendo m < 1 : /2 es convergente .f(x) = Si lim =1= O (puede ser co ), con m � 1 : /2 di verge --(x - a)"'

{k k

En

el caso de que la singularidad tuviera l ugar 1

de l a anterior igualdad sería: lim [j(x) x-IJ

Si la

función .f(::r)

integrable en la. bj

:

(b - x)111

no

J.

en el extremo

superior b, el

está definida en e l punto e E la. bl

primer término

pero la disconti­

nuidad en e es evitable. entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral, denominada

por tal motivo <�seudoimpropia»,

es

convergente con relación a dicho punt o c.


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Integrales definidas simples

1 .3 .

17

INTEGRALES EU LERIANAS Estas integrales, llamadas también funciones eulerianas Gamma y Beta. aparecen muy frecuen­ temente en todo tipo de cálculos. y su concurso da lugaJ a la resolución de numerosísimas inte­ grales definidas. B(p. q ) =

I (1 xr 1

-

x)11 - 1 dx

.

con p. q E R

Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda espe­ cie respectivamente.

Convergencia y cálculo de la función euleriana r(p) Veamos e n primer lugar, que esta integral converge Y p > O y diverge en los demás casos. Para ello, descomponemos f(p) en dos integrales con una única singularidad (cuando p < l . en x = O obviamente existe singularidad):

No es difícil observar que la úllima integral (impropia por tener infinito su intervalo de integración) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobémoslo mediante el criterio del límite: lim (xr 1 e-·') : --;,; 1

x-m

A

= lim

x"' + p - L

X -' X

"

e

= O (siempre) finito, con m =

2>

por lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos: lim

x-o

(x11-1

e

x) :

1 --+ ] '1 = 1 (X - 0)111 !e-x

lim -1 x-O X -¡� x"'

y como l a convergencia se da cuando m < 1 y este limite fínito (m ;:: 1 - p), resultará para ello que: 1 -p�m<l

l -p< l

p>O

operando de forma análoga se probaría que. cuando p � O, la integral r(p) es divergente.

Cálculo de f(p) Obtendremos su valor a partir de la función euleriana r(p + 1 ) e integrando por partes (recuér­ dese que p > 0):


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18

Cálculo integral y aplicaciones

í(p

+ 1) =

j�rf 0

-j- fJ

xP e--" dx

{

xP = u

du = pxr - 1 d.x.

e-xcr� = dv

� e XfJ- l e-x dX = 0 + pf(p) Jo

v = -e-x

}

= - x1' e-.�

í(p + 1 ) =

](1)

pJ(p)

+

0

Aplicando -enci-a (para donde la función Gamma es convergente) injciándol a conestaí(p)ley de(p reetm - l)í(p l), escrivalboiresremos: 2)í(p - 2) í(p que da lugar a la forma más conveniente: p l)(p (p - l)(p =

f"(p) = (p - l )í(p - 1 )

'

e

í(p - 1 ) = (p -

3 ) = (p - 3)í(p - 3). ...

r(p) = (p - l ) r(

í(p) = (p í(p) =

í(p) = (p -

E

N.

2)í(p - 2 )

(4)

2)(p - 3)í(p - 3)

de donde resulta finalmente la relación: l)(p - 2)(p Cuando p y puesto que

- J)

ro) =

I:·

3) · · · rr(r)

,

e - X dx = l .

r(a elección) >

O

(5)

se tiene:

f(p) = (p - 1 )(p - 2)(p - 3) . . . 3 . 2 . 1 í( l ) = (p - 1 ) !

lo cual jusrifica. aún cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente: [(p) =

I•XI 0

xr 1 e - "' dx = (p - 1 ) !

4ueNótese sirve asiparamrsmo generali quezar el concepto <<factorial l)! de número>>. elsecálverá.cul, opueden de obtenerse suele llemuy varseaproximados a cabo mediatodos nte unaslos tabl aress (Fidegura con conCuando las que, como val o Obsérvese los valreproresesentada de estaseo tabl de una pequeña porci ón de que la curva Ja Fjasgurason las ordenadas

y

r(l) = 1 = ( 1 -

p rt N.

1'

ER1

=-

un

O! = 1.

r(p)

1 . 1 1) , r(p)

1 . 12.

í(p). p E l l , 2 ).


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Integrales definidas simples

1

p

1,0

o 1

VALORES DE f(p),

2

3

4

1 5 p<2

5

6

7

8

19

9

0,9943 0,9888 0,9835 0,9784 0,9735 0,9687 0,9642 0,9597 0,9555

1,1

0,9514 0,9474 0,9436 0,9399 0,9364 0,9330 0,9298 0.9267 0,9237 0,9209

1,2

0,9182 0,9156 0,9 1 3 1

1,3

0,8975 0,8960 0,8946 0,8934 0,8922 0,8912 0,8902 0,8893 0,8885 0,8879

1,4

0,8873 0,8868 0,8864 0,8860 0,8858 0,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,8859

1,5

0,8862 0,8866 0,8870 0,8876 0,8882 0,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,8924

0,9108 0,9085 0,9064 0,9044 0,9025 0,9007 0,9990

1,6 0,8935 0,8947 0,8959 0,8972 0,8986 0,9001 0,90 1 7 0,9033 0,9050 0,9068 1,7

0,9086 0,9106 0,9126 0,9147 0,9168 0,9191 0,9214 0.9238 0,9262 0.9288

1,8

0,9314 0,9341 0,9368 0,9397 0,9426 0,9456 0,9487 0,95 1 8 0,9551

1,9 0,9618 0,9652 0,9688 0,9724 0,9761

{

0,9584

0,9799 0,9837 0,9877 0,9917

0.958

Figura 1.11

Consecuentemente, para calcular el valor f'(p), se hará: Cuando p E N -+ r(p) = (p - 1 ) !

í(p) p

f/;

N

{

si p E (0, 1 ) si p

>

1

-+

-+

f'(p + l ) (en tablas) = pí(p)

se aplica (5) con r E ( 1 , 2) y tablas

Complementando lo expuesto con la siguiente fórmula, que aquí no demostraremos (método de integración de los residuos):

1C

í(p) - 1( 1 - p) = -senprc

o <p < 1

'

en la mayoría de casos no se necesitará recunir a las tablas.

�v � u r (p)

(\

:

V

l

-4 -3 -2 -1

(\

. ...........

...... ' ·-· ' .

o

1

1 '

1

2

lf\ Figura 1.12

¡ : ''

3

(6)


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20

Cálculo in t egra l y aplicaciones

La apl icación pre posirivo para

para

de (6)

(.r1' - 1 e- x > O. i:/x),

Lodo 11 E N.

Jugar [r(�)T puesto que siem� resulta el valor r(�) .}" con el que se obtienen los r(�)

p=

da

=

a

=

re.

f(p¡

y

es

re.

Ejemplo Calcular el valor r(p) cuando a) fJ = 1 1 , b) J1 = 0,3�. e) p = 4.36. d) p =

9

2

.

RESOLUCIÓN ( véansc previamente valore¡, aprox imados en la Figura 1.12)

a)

Para un valor de p relativamente grande. el C<ílculo de J'(p) ser:i difícil. Si no se requiere exactitud,

puede utilizar¡;e la fórmula aproximada tStirling) p !

f( l l )

bl e) d)

f(0.32 <

:

= 1 O ! = 3.628.800

q 1 .32) =

(�)

r

.2

[tablas', = � ·

() 9

r2

� -�

2 2 2

r(�)= 2

1

.j2¡;;r. · ¡l' ·

(exactamente)

o.32n0,32J

f(4.36) = 3.36 · 2.36· 1 .36T(l,36)

:::::

=

=

rco,32)

- 1'.

En este caso

�e

tendrá:

n 1 1 ) ::::. 3.598.696 (Stirling)

,

=

e

0.8946 0,32

= 2,7956.

10.7842 · 0,8902 = 9.600J .

05 . 0'8862 = 1 1 6 3 1 3 7 5.

8

1

2 2 2 2 (2) ,

7 5 3 1

1

105

r:

l apli cando í<l /2) = ,t7e : = - . - . - . - r - = - ,. rr = 6.5625 · 1.7724 = 1 1 .631375 " 16 '

Prolongación de la función Gamma

el caso de que integral L,_ x ds e.�. como se ha visto. divergente. No obstante, si se define exclusivQmente a parUr de la relación: En

p :::;;:, O, la

f(p) =

['(p)

i:/p E R : f'(p +

1)

= pf(p)

.r1'- 1 e

.

=;.

f(p) =

r( ¡J +

1)

_e, _ _:,_

habremos dado queo si con el realliazadointegraLextrapolaciónresulde tlaa funci un vaólnorGamma, finito. Veámosl

de

n - 5/2).

de

una

y si p < O

(7)

jJ

p>O

su valpororejempl coincio­

calculando,


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Integrales definidas simples

Mediante la fórmula

(7)

se tiene:

1

p=

2 3

p=

( .!.) ( �) r(- �) =

r r -

2

5

p= -2

,

2

2

= =

2

r(I/2) - 1/2 fC l/2)

- 3/2

=

_

2

21

Jn

= � ¡; 3 "'\

r( - 3/2) - 5/2

=

- � Jn 15

resultado al que se puede llegar mucho más rápidamente, escribiendo:

Este método de obtener el valor de f(p) para p < O, recibe el nombre de prolongación analí­

tica de la función Gamma. La con-espondiente prolongación gráfica puede observarse en la Fi­ gura 1 . 1 2 .

La función euleriana 8( p, q} Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie:

converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los demás casos (nótese que existe singularidad en ambos extremos de integración: en x = O cuando p - 1 < O, y en x = 1 cuando

q - 1 < 0).

Nos limitaremos a efectuar dicha demostnción, estudiando únicamente la singularidad en

x= 1

utilizando el criterio del límite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferior

x = O es totalmente análogo: X= 1

:

x��.

xr1(1 - x)q - l

y como la convergencia se da cuando ello, que:

l -q�m<1

1 (1 - x)111

m<1 �

( 1 - x)"'

lim x->1-

(1 - x) 1 - IJ

y este limite fmito

1 -q< l

(m � 1 - q),

resultará para

q>O

de igual forma se probaría la convergencia con p > O en el extremo inferior, y asimismo la di­ vergencia en los demás casos.


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22

Calculo integral y aplicaciones

Cálculo de B(p, q)

val or de B(p. q), suele obtenerse. utilizando su relación con la función r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha relación, que se demuestra con rigor (p. q E R + ) en el Ejercicio resuelto 5 del Tema 3 tlntegrales dobles) y que aquí probaremos parcialmente (en la

El

tercera de las propi edades que siguen) v i ene definida por:

f'(p) . r(q) B(p ) = ,q r(p + q)

(8)

Ejemplo Consideremos

la integral i pr pi

m o a nve en e co

! = f2- 2 �(2 - x)(21 rg

Efectuando el cambio de variable x = na B(p, Hállese su valor.

41

t.J).

t :

+ x) 2

d-�

- 2 (véase propiedad 4)

se transforma en una integral euleria­

RESOLUCIÓN

{X= 2' 1 = 1 } el intervalo [-2. 21 se u·ansforma en el 1 1 consecuentemente en o 2 x = -2, r = O podría cesultu.r una integral B(p, q). Veámoslo: 1 tendremos: Como (2 - x)(2 x?fx = = Haci d

X=

41

ro.

-

+

con lo que al ser

dx = 4 dt,

I= �

4

= 4t

2:

resulta:

f , r l/3 . ( 1

- t)

(4

4t)(4t)2

4 3 · /2(

=a �

t),

f 213( 1 - r) t/3¡/¡{p - 1 - --2/31 /3} =

tJJ . 4 dr = , o

t

(3 ' 3�) = f( 1 /3) r(2/3) = r(�)3 r(�)3 o

-

y

f(l)

q-

1=

2J3 n sen-3 3

l<6>' = _ rr_ = 7f

'

Propiedades de la función B(p, q) 1.

Existe l a

simetría B(p, q) = B(r¡. p).

B(p, q) =

puesto que:

f 1 xP- 1 ( 1 - x/1 1 dx {x = l - r } = - J0 ( l - t)P- 1 · tj1- 1 dt = B(q, p) o

� = -�

l


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Integrales definidas simples

2.

Cálculo de todas las integrales In/2 sen"'x·cos"xdx(m � O, 0

n

23

� 0):

rt/2 sen2v- 1 cos211- 1 J con lo que al ser {2p - . resulta: =2

0

t dt

1 =m

2q - 1 = n

n/2

l (1/Z + 1 + l sen"' x cos"xdx =-8 · - ) I (es conveniente, aplicando ación anterior, comprobar las fórmulas obtenidas resuel to 3 que posteri ormentela relaparece en la Sección 11La integral de Ríemanr b>). en el Ejemplo ¡¡

-- ' -? ')

?

o

(9)

-

entre las funciones B(p, q) y r(p) Enunoestosde momentos, estamos eo disposición de probar la relación cuando, como se ha dicho,Para tos parámetros p o q sea natural y el otro real positivo. lograrl o, integraremos por partes B(p, q) rebajando el exponente q - 1 , y supondremos que p, q E R se realiza en el qE p E R+ (hacemos hincapié en que la demostración tema de Integrales dobles):

3.

Relación

(8)

N.

B(p. q) =

J

1

0

{

( 1 - .r)q - l = u 1 x1'- ( 1 - x)q- t dx xr 1 dx = dt•

du = - ( q - 1)· ( 1 - x)'1 - 2 dx

v = xP/p

(l - x)q- J J 1 + q -p I x11< x)q- l dx.{q con lo que aplicando esta ley de recurrencia, escribiremos: xP p

= -

1

--

o

1

B(p + q -

1

o

q - 1 B(p, q) = -- B(p + p B(p + 1 , q -

....

con

= 1,

-

l , t¡ -

2

l

=

1 p+q-2

,,

1)

B(p

+ l, puesto que q-

1)

=

q. . .. } = -- B(p +

-2 l) = pq-B(p + 2, q - 2 ) + l

2, 2)

}

qEN

l, q - 1 )


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24

Cálculo integral y aplicaciones

habida cuenta además que: B(p + q - l , 1 )

se tiene:

=

J'o

l

xp+q - 1 dx = 1-p+

-

J

- 2) 3. 2. l B(p, l) (p multiplicando el numerador y el denominador del cociente anterior por (p nalmente: q) =

y

B(p.

q) =

(p

(q - l ) (q

p(p +

...

...

+ q - 2)(p + q - l )

(p - 1 ) ! · (q - 1 ) !

- l)![p(p + 1) · · ·

(p

+ q - 1)]

(q - l ) !

p(p + 1 )

· · · (p

(p - 1 ) ! · (q - l ) ! (p + q - 1 ) !

+ q - 1)

=

- 1 )!,

resulta fi­

í(p) · í(q) í(p + q)

Las integrales euleriaoas, en particular B(p, dan lugar al cálculo de numerosas integrales definidas. Este cálculo s e basa generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecua­ do en la inte al que ésta se transforme en una función B(p, es decir:

4.

Cambios de variable

gr

q),

/,

q),

La transformación del intervalo de integración de cualquier integral en el intervalo seciónlleva B(p,a cabo mediante los siguientes cambios de variable. que darán lugar (o no) a una fun­ el intervalo de es x = (b (1 O) Si es [a, ambi n o siendo (a divisor en a bxP = [0, l],

q):

1

Si

[a, b] :

oo) o ( - oo, a] : x = - . T t

Si [0, oo)

( - ::xJ, 0)

Cl

+

bxP)<l

a)t + a

Cl

1 -t

é x = --

f(x) :

+

a l

u(m > cambio que trans­ A veces,el iantleos alocambios anteriores, hayy que añadir el cambio forma en si mismo, que igualmente puede transformar también(véase en funciones B(p, otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integración sea el el cuarto y quinto de los Ejercicios resueltos correspondientes). Puede también suceder. aunque menos frecuentemente, que la integral enmascarada sea una función í(p). Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que dependerán de lobtención a apariencia de son muy numerosos, aunque evidentemente todos ellos deberán conducir a la del asoci ado a dicha función Gamma (véase el plimero de los Ejem­ plos resueltos, y asimismo a:.) el primero de los propuestos). q)

[0, 1 )

rv

t"' =

0),

[0, l J

1

1)

intervalo [0.


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1 .4.

25

INTEGRALES PARAM ÉTRICAS Toda aquella integral (simple) que además de la variable de integración presente cienos pará­ metros situados en su función subimegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral para­ métrica o Integral dependiente de parámetros. Estas integrales, por tanto, son de la forma:

/(/,) =

r

f(x, J.} cfx

J (J.., J-L) =

.

f

j(x,

)., jJ) dx,

...

donde los citados parámetros se consideran constantes durante el proceso de integración, pu­ diendo suceder que los extremos de integración dependan también de estos parámetros.

3

Estudiaremos el caso de la anterior integral /(J..), es decir, el caso de un solo parámetro. La

6

generalización (Ejemplo resuelto

y propuestos

y 4) es inmediata.

Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muy simple. que a parte de justificar la notación /(J.) (aunque resuJta evidente que la integral 1 es función únicamente de

4),

presenta

un resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a la más notable relación de esta sección.

Ejemplo

Consideremos la integral T(J.) =

f3 1

j(.;"· i.) dx

a)

Resolver la integral, obteniendo su valor dl(i.) decir, hállese d/.. .

b) Compruébese que también

di(}.)

d/,

1

RESOLUCIÓN

a) /(i.). f3 (3}.t2 + ;.:o. + b) f3 f3 + =

1

2)dx =

1

f�(x, ).) dx =

1

(3x2

= j'3 1

j(x, ).) =

/(},).

3.h2 + ).2 + 2

Seguidamente derívese este valor respecto de ),,

es

f�.(x, i,) dx.

;c3

]3

3.A - + lh + 2x 3

]3

2J.) dx = x3 + 2Ax

t

l

= 2i.1 +

= 4..1.

+ 26

dl(A.)

26i. + 4 � -- = 4l + 26. dl..

= --;¡¡: . di().)

Hacemos hincapíé en que se ha realizado la siguiente comprobación (que como veremos, en ciertas condic iones, y siendo a y b constantes. siempre se verifica):

Si

1(}.) =

JI> n

df(}.)

4- = f(x, 4) dx , entonces d

fb n

f).(x, A.) d.�·


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Cálculo integral y aplicaciones

Propiedades de las integrales paramétricas Continuidad

J.

f(x, con independientes. en principio. del parConsiáSimetdleremos Ja:ofunciA.. ólna subiintengraltegral/(Á) = J''' (supuest a como una(subconjunto función de dosrectavaringulaablredes) es contientnouan­ ences, eldomi n i o por consi­ guiente:egido un R + podrá lograrse (en que : /(l-)1 1 f r l l Jt> f(.x. 2)1 fb 1 fb de donde resulta que: 2) tlx,

D = {(x, /-) eL E

eJ

'<:/ ;, E

=

u

le, d]

j(x, J.)

E

IJ(J.

R2 / a � x � b,

e

a y b

� J. � c/l

l.f(x, A + �}.) - f(x J..)l < 1:: 1 •

D)

+

�)_) -

Lf(x, J.. + �).) - f(x, A)) dx �

V ,í, E [e, d]

:

.

/(x, ), + t.)) dx -

=

.

f(x, }.) dx =

l.f(.x, J. + ilJ.. ) -

u

dx <

ll(Á + t.J.. ) - [(},)! < e1(b - a) =

[e, dl,

R2),

y

a

P. 1

dx

t:

lo cual imelplie lcaa,funcien elónin/(t}.e)rval o la continuidad continuidad uniforme por ser intervalo cerrado) . . Por otra prute debido a esta continuidad de /(},) podemos escribir: J.0 lim /(J,) J(),0) finito lim fh fh f(x, A.0) con lo que aplicando (continuidad) lim finito, resulta: lim fb f(x, j'b lim f(x, (11) lel límite de ra integra] es igual a la íntegra! del límite). Cuando los extremos[<:, d],de intdeegraciófonna n dependan del parámet ro nuiydsean estlaasfunci funcióonnes!(}.a(.) }.) la conti n uas se probarí a n l a conti ad de anterior igualdad entre de n egr integral del lfmite. SiComencemos, las podrá funcionesescricomobirse:anteriormente.sonsuponicontiendonuasqueen ael mencino odependen nado domidelnioparámetpru·rao todo . f üm = hm (y

y

V

E

[e, d]

:

=

A. --.o J

==

1. - . jn

..<

V A. E

b().)

2.

o

f(x, ),) eLe =

d.x

a

f(x. J.. ) = f(x, ..\0)

},) dx =

,.

igual el lími et la i

., ).

.<o

J..) dx

).,

L

al

y

y

y la

Derivación bajo ef signo integral

a) A

"A()

J.--Ao

E [e, d]

di(}_)

-- = d).

f(x,

A.) y f�.(x. .?..)

.

/(7. + �?.)

A). · O

¡l).

_

y b

!0.)

D,

[f(x, )_ + LlA.) - j(x, i.)] dx

A?.... (\

Ó),

A..


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I nteg rales definidas simples

27

con lo que al ser (teorema de los jucrementos finitos):

J(x, X + �).)

resulta:

., fi>

dl(J...)

. = lim

di.

M .-o

=

f

"

"

- .f<x,

F.lx, 4 + Oll/.)d.x f( l l ) :

J..) = ll2 · J� (x. J. + Oll2)

=

f).(x, A.) dx

f" [

lim .f�(x, 6).--' 0

0

,{ + J

Oll2.) dx1continuidad:

=

Consecuentemente, como habíamos adelantado, cuando los extremos de integración a y b no dependen del parámetro, se tiene:

!(}..) =

bf

f

u

dl('i.)

, = (x. A) d.x -+ dA •

¡f , ¡,(x, a

.f1

( 12)

).) dx

a

Las integrales paramétricas impropias (de uso más frecuente cuando y b n o dependen de 2), heredan, bajo el condicionante convergencia uniforme (que denotaremos abreviadamente por c.u.) todas las propiedades anteriormente estudiadas. Al poderse descomponer en otras con una única singul�u·idad, supondJ·emos que ésta se da en b, bien por que b = co, o bien porque lf(b, ?c)l tiende a infinito(7). Sean por tanto a y b independientes de i.. !(}.) impropia debido al extremo b, y convergente en un conjunto C e;; R, o sea, V J. E C:

- Si J(J..) (c.u.) en [c. d] <;; e, y J(x, ?.) es continua en [a. b) X re, d], entonces f(A) es continua en [e, d] (continuidad uniforme por ser intervalo cerrado). Si J(J..)

=

r

f�. (x. J,) d.x (c.u.) en (e, d) siendo f(x.

J..), f�(x.

[a, IJ) x (e, d), entonces, /(A) admite derivada en (c. el) y ésta es 1(}..).

J..) continuas en

Estudiemos ahora el caso de que uno o los dos extremos de integración a y b dependan del partímetro. Como repetir todo el desarrollo anterior de derivación sería ahora muy laborioso, para sim­ plifícru·. supondremos a la integraJ /(}.,) función de tres variables: de ), (debido a la función .f únicamente). de a = a(A.) y de b = b(i.. ). todo lo cual viene reflejado (recuérdese las funciones compuestas) en el esquema:

b)

!(A.. b, a) =

.?

Íb f(x, J..) dx J(l

,

siendo:

J. (por .f)

).�0 � /) � ). a� "\¡

. l..

(?) A los criterios de suficiencia y del resto R., sobre (.:.u.) de series, que el alumno conoce, corresponden aquí los

siguientes: 1.

2.

Si

Vi. e e (subconjunto de !?),

tonces

l(.i.) =

la

función

Ih f(x, ff

/(},) converge

}.) dx lC.U.)

en

e

J.f(x, ;.JI t5((, p(x) (función positiva en fa, b)) y además uniformememe en el conjunto C. <::>

lim _

p-h

fh Jf

f(x. ) ) dx = .

o V¡._ E c.

f p(x) dx

converge.

en­


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28

Calculo integral y aplicaciones

del que, en lás condiciones dadas, y siendo a'(2). b'(/c) funciones continuas en [e:. d], resulta:

dl 01 a¡ db al da - = - (debido a /) + - . - + - · ­ d). o). ob d). ao dJ... de donde. recordando (2) «primer teorema fundamental del cálculo integral»: aJ

oh

oi

'

= f(b, A)

oa

resulta la fórmula general:

1=

fb(J.l fl\A)

di f(x, .4) dx-+ 1 , = C. A

fb().) n().)

=

-j(a, A.)

.f�_(x, Á) dx

+

f(b, Jc)

db da f(a, --t) --:¡ , dA dA

( 1 3)

Un caso particular de esta fórmula, que aclararemos pues pudiera dar lugar a confusiones, se presenta cuando la función subintegral no depende del parámetro. En este supuesto la fórmu­ l a ( 1 3) se reduce a 1a s iguiente: 1

=

fb(}.) �M

di db da f(x) cil � - = f(b) - - {(a) �

.

( 1 4)

Ejemplo

Hallar la derivada respecto de A de la integral

/(A)

=

RESOLUCIÓN

f;·3 .

i1

to Ax

0 X

dx.

Es aconsejable presentar todas las funciones que intervienen en (13). Así: f(x. 4)

tg í.x

=-

x

�f'.(:r, ,. 2)

Obteniendo ahora el primer sumando de

fh n

resulta fipalmente la

f�(x, },) clr =

siguiente derivada:

f;,l ;. '

(13):

dx

1

x

1

2. =-

COS l.x

1

=-·., . ·x

}.

cos- kt

[

J

tg Ax

;,l J.'

1 = -2

=

cos

?-r

tg ;.4 - tg .z.> . A


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Integrales definidas simples

29

Aplicaciones de la derivación paramétrica

derivmás acióncompl paraméticadasrica.detieobtne como fin otmásrosimmétportodos.ante Consi resolvserte cienertinascorinptegral ehábi s quelmseentecon­el Lasideran e ner por orar parámet Jo siguiernte:o a la integral en cuestión. para simplificar con ello su cál.cu.lo. Este proceso se basa en Pattamos ya de la integral transformada en paraJ'nétiica !(}.) =

r

f(x. ),) dx

(;ciuóyan esresolmuyuciósinmconsi dconsecuentement eramos dificultosae el(frecuentemente, parado)un. cierto valor i.0 dicha resolu­ pl e y val o r conoci 1( ) Imnedi aataquementlae priderimviamos (evidelentloe(ejempl mente loa antinteegralrior)deuna12vezo 13resuelquetaaparezca, deberá ser­ más senci l t i v a) . Con di c ha i n t e gral deri vada. se tendrá: ..

0)

d/( ,) /

di: = /¡(/.. ) � di(}.. ) = !z().) dJ.. � !(J,)

=

f

h(J.) d).

y la elresollo: ución de esta última integral (indefinida) dará por finalizado el proceso de cálculo. Con IO) =

J

h(i.) c1J.. = H(l.. > + e

o deóconocer ciónEnA. el A.comentado 0 en la anterisupuest or ecuaci n. es deci/(},r: 0). el valor de se obtendría de la particulariza­ Enverocasidichaones,intelgraJ a deri, sivacin lóenvarp:rraamétcaborica dedesarr la inotlegral 1(et1ior) marca unalopaut aempla segui (· para­ resol o ant (véanse s �j o s resuel tos 2,Fin3alymsienteguieañadi ntes)r.emos. que la derivación paramétrica es también aplicable (Fórmula 12) a iotegrales indefinidas (véase el Ejemplo propuesto C

=

el

5).

1 .5.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA SIMPLE

aplicacilaosnescurvasde laqueintegral defierrnaindaviconenenelexpresadas cálculo de enáreascoordenadas de regionesparamé­ situa­ dasInitriccasienaremos elo enplcoordenadas aestno,ascuando l a s enci polaasres.correspondientes. a lo largo de toda esta sección, nos basaremos Para deduci r l a s fórmul general mentinercie ena,eletconcept o depresent «elemente (noo diloferenci alr»ardeemos)área,, quelongialtud,suponer voh.1mqueeL1.elmasa, mo­ ment o de c . Téngase demost el e mento ejemplresul o) estaexact amentinfieniuntésirmectángul o (regisuperi ón sombreada en ldea Fidigcuraho di1.13), ferenciel aerror l (dequeárea,seporproduce ser un o orden o r al de] área rectángulo, y por consiguiente, despreciable. ele


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30

Cálculo

integral

y aplicaciones

,.

y =��Y) -'>

{..\' = X(/) )' =)'

(t)

() figura 1.13

Á reas planas en coordenadas paramétricas y polares •

Sean dos funciones x = x(r), y = y(t) que, en un cierlo intervalo 1, admiten dx dv derivadas primeras - = x'(l), _..:... = y'(t) conlinuas. En estas condiciones (Apéndice 2), el sisdt dt tema:

Poramétricas.

x = x(f)} t E /

( 15)

y = y(l)

define a una curva plana (C). que eu la.'> citadas condiciones también es lisa (no tiene esquinas en punta)( 8l. Asf, por ejemplo, si en la ecuación c�utesiana y = j(.x) = x2• parábola por todos conocida, X= 2 (t E R), representa a esa parábola, el cual se hace x = 1, es evidente que el sistema

{ t y=t

y = j'(.x)

anterior. asimismo, da lugar por eliminación del parámetro t a la ecuación Recuérdese igualmente. la unicidad de la ecuación cartesiana, y que existen infinitas ecua­ ciones paramétricas. Nótese que eliminando el parámetro t en los sistemas:

1 jr

= 2t } x = } y = ljt-Jy= .f(x) x

.,

y = 4r

1

(t =F 0)

x =

sen

t} t

y = sen'

(f E R)

se tiene en todos ellos = x1 . Sin embargo, el último no define a dicha parábola pues� LO que - � X � ] , � y � 1. Hecho este repaso. consideremos una curva C definida en cartesianas por = j(x). y en paramétricas por el sistemn ( 15 ) . Razonando, como se ha dicho, con elementos diferenciales de área dA (área sombreada en la Figura 1.13) = [y = f(x)] · d.x, y sin más consideraciones, se lendrá. que el área total (A) limitada por la curva y el eje x entre x1 y x2 vendrá dada por:

J

A=

y

f": {x =x(l) "•

si x = x.,, r = r , � . ydx y = y(t) st x = x1. t = t1

} i1l =

1

y(l) ·.r'(l)dt

( 1 6)

��� St: dice que la curva C e s li$n en el intervalo l. si x'(c\ e y'(!) son continua� en 1 y. adt:nuís. no se tlJJ ulun simultú­

neamenle excepto

a Cl'IS\>

en alguno de

lo� cxtrcn·,o� ele Jicho

intervalo.


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Integrales definidas simples

31

Polares.

Repasemos en estas coordenadas los siguientes conceptos� ares,o: viene definida por la ecuación p Lap(O),curva siendoC. (Fisi gseuraopera en coordenadas fónnulas del pol cambi } � O arctg (yjx)} fl sen O )x2 .l 1 . 14) las

=

x

=

= pcosO

y=

p=

y )'

e

11 1 1

1

1

1 1

1

p =p (O) O (polo)

11

+

O (polo)

,,. (eje polar)

·'

Fig1..1ra

T

(eje polar)

1.14

R

(A)

en cuenta tud Teni O, vieendo ne dada por que el área de un sector circular de radio ángulo o amp y

l i­

asimismo, queuncuando Becirtoma como valor del áreampUtud a diferencidO,al sesombreada enerror la Figdes­ ura el de sector cul a r de radi o comete un preciable (infiJlitésimo de orden supetior al de dicho elemento diferencial), resultará que:

y

1 . 14

R

::írea

=

py

( 1 7)

es el área del sector OP1P2 limitado porquelos pertenecen radios vectores OP1 la encurvadonde O y OP,, C que suponemos continua en un intervalo 0 2• A,

y

1 al

1

Ejemplos 1.

a)

�u

de c i ( ia

Consideremos la elipse

semiejes

ay

b.

Obténganse unas ecuaciones paraméliicas de esta curva plana, y eliminando el paráme1ro, dedúzcase ecuación artes ana canón c ).

b) Calcular el área (A) encerrada

por e p

la li se.


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32

Cálculo integ r al y aplicaciones

RESOLUCIÓN

a)

,.

y (1 X Figura

X 1.15

u

Apl ic ando que cada punto P(x. y) de l a elipse. s e geoera d e l a forma expresada e n l a Fig ra [

tan las relaciones:

x=

a cos t y = b sen t

b)

}

7i.

2 x

tri

a

Aunque. como se observa. Jos ángulos intermedios

O fa {x = a A =4 =

y

dx

1 y ce son distintos, sin embargo el área sombreada

O x = a, 1 = O } = 4 o b { r SI x = O, 1 = n/2 J

cos 1

y = b sen �

sen� 1 d1

o

2.

O�1 � rr/2, �oc �n/2,

-+

si .

= 4ab·-4

rr/Z

=

b)

pudiendo por tamo obtenerse ha­

Dibójese la curva cárdíoide de ecuación

t

sen

t(- a sen 1 di) =

A = nab

El gráfico de toda curva cuya ecuación polar es p corazón y recibe el nombre de carclioide.

a)

b

y n/2. En consecuencia, escribiremos:

2 / tr 4ab f 0

y2

( paramé cas usuales ) -> 2 + � = l (cartesiana)

lA/4) corresponde igualme nte a los valores

ciendo variar 1 entre

. 1 5, res ul­

p = 4(1 +

=

k( 1 ± cos 0), fJ = k ( l ± sen&). tiene forma de

cos 0).

C3lcular el <irea iJnerior a es a cardioide y exterior a la circunferencia x2

+ y2 = 36.

RESOLUC1ÓN

a)

Razonando con la ecuación p

= 4( 1 + cos V). se tiene entre otras cosas que:

- Cuando f) crece de O a n, p decrece de 8 a O. - Al crecer O de

rr

a

2tr, p también lo hace de

st

respecto del eje polar x. pue o que al cambir

OO

s

a 8 (lo cual se de prende de la simetría existente por -0. p no varía_. puntos (p, O¡ y (p.

- 0).


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Integrales definidas simples

33

- Dando asimismo algunos valores a la coordenada O (O � n) resultan los pares de valores:

b)

+p

que la ecuación de la circunferencia en coordenadas polares es p = 6(x2 + y2 = p2 cos2 (J + 2 sen20 = p = 36), la Intersección de ambas corvas se tendrá de la resolución del sistema:

o

P uest 2

}

p = 4(1 + cos 0) p=6 con

--;. 6 =

4(1

+ cos 0) -+ (0, p) =

lo que (segundo gráfico de la Figura l . l 6), escribiremos:

f"'J -

Tr'l (pi J n' 0 / 3 f

A = A 1 (sector correspondiente a la cardioide) - A2 (sector ciJ·cular) =

2

p� dO - ? 1

1

-r./3

fn/':1

-

1rI (3

-ni�

1

p� dO = 2

( ± -, n

3

= f"r3

- p�) dO {simellia: =

-•13

)

6

(p� - p�)

O

dO

Como p7 - p� = 1 6 ( 1 + cos 0)2 - 36 = 4 (4 cos2 8 + 8 eos 8 - 5), resuJta finalmeote: _ A=4

0

(4cos2 8 + 8 cos 0 - 5)d8 = 4

n/2

[2(l + cos20) + 8 cosfl - 5] d0 = 1 8

.j3 - 2n

8 = !!...

3

x (O=O)

3nl2

Figura

1.16

Longitud de un arco de curva Sea una curva plana (C) definida en cartesianas, paramétricas y polares respectivamente, por las ecuaciones:

Y= Consideremos

sa x =

a,

f(x) {xy = x(t) y(t) =

p=

p(O)

un arco (porción de dicha curva) liso. comprendido entre los pumos de absci­

x = b (Figura 1 . 17), cuya longitud (s) se desea calcuJar.


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34

Cálculo integral y aplicaciones

y

1 x·(f1) =o l T(�t=b

e

{ fJ(B)=fJ� IJ (A)=fJl L-------�--�---. � a

o

h

Figura

1.17

Para ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir, partimos del elemento «ctifercncial de arco» (ds), teniendo presente que, si se supone dicho elemento rectilíneo, se comete un error despreciable (por ser este error un infinitésimo de orden superior al de Por todo lo cual podrá escribirse = dx2 + dy2, y en consecuencia:

ds).

J

ds

Fr!! dx r Jt [f'(x)]2 (dy)2 dt � = - Jx'(t)2 y'(t)'2 dt Paramétricas: ds = (dx)2 d1 de fl, Cartesianas: ds

=

-

Polares:

s

+ -

La diferenciación de las fórmulas

} : ds

dx = cos &dp - p senOdO

dy =

+

S =

sen () dp + p cosO dO

y multiplicando y dividiendo por

dO,

dx

{18)

+

( 19)

t,

{x p

cos O da lugar a ,) y = p sen v =

=

Jdx2 + dy2 = j(dp)2 + (p dO)­.,

resulta:

(20)

En el caso de una curva en R3, recordando (repásese si es preciso el Apéndice 2) que toda curva del espacio (plana o alabeada) puede venir definida pot Jos sistemas (enu·e otros ):

{F(x. y, = O {z = f(x, y) {y = f(x) z = g(x, y) z = g(x) <:)

C(x, y, z) = 0

{x = x(t) y = y(t) z = z(l)


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ln1egrales definidas simples

y razonando, como anteJiormente, a cribiremos:

Cartesianas: Paramétricas:

(c/y)2

1 + �

ds =

dx.

ds =

-dt

(dx) 2

+

partir de la diferencial de arco

ds

=

2 (dz )2

J (dy)- 2 (dz)2 - - f' Jx'(r)(dz)2

d.x -T s =

+ dx

+

. dt

fx2 •�J

dx

dt

>

s=

1 +

(dy ) dx

;¡,

.,

11

"/dx1 +

+

-

dx.

dy1

35

+ dz2, es­

dx

+ y'(¡)- + z'(t)2 dl .,

Ejemplos 1.

Consideremos una circunferencia de radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferen­

cia rueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva plana denomjnada ocloide (Figu­

ra 1 . 18).

a)

b)

Determjnar unas ecuaciones paramétricas ele la

u

c icloide y estudiar si es una curva l isa.

C::Uc lar la longitud de un arco compl eto de �::sla curva. .1

o

H

Figura

1.18

brr

RESOLUCIÓN a)

Tomaremos corno parámetro e) áng�IJo 1 (en radianes} que en un tiempo

alrededor del centro de la circunferencia (C).

(T)

De la observ;tción de las Figüras J . J 8 y 1.19, se tiene:

x =OH - = rt MC

y

de donde.:

(1rr t) ( (� (

+ reos

= HC + CN = r + r sen

�11 r) 3271 - )

= rt + r O +

-2

- t) = r + r sen

resultan l;ts sigujcnlc.:s ecuaciones paramétricas de la cicloide:

{x = r{l

y=

r( 1

sen t)

cos f)

ha girado el punto P

sen

· eas 1

· sen

U


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36

Cálculo Integral y aplíéaciones

O=P

11

Figura 1.19

Pará discutir si la curva es lisa, consideremos sus derivadas:

y'(t) = rsen t

x'(t) = r( 1 - cos 1)

Estas tuncioncs derivadas son continuas en todo R. pero sin embargo. se anulan simultáneamente en lo� puntos 1 = 2kn, k E Z (véase Figun1 En consecuencia la cicloide no es lisa en 1 = R. Nótese, no obstante, que la curva es lisa en cada subintervalo Cuando esto sucede, es decir, cuando el intervalo T puede dividirse en subintervalos en los que la curva es lisa, se dice que ésta es lisa a lro�as en el eüado intervalo.

1.18).

b)

(0. 2n), (2n. 4rr),

Aplicando la Fórmula ( J 9), siendo:

se !)ene;

s=

I2;; { � 4rl l ] ' [ r

j2

-

2 cost 1 dr

1

cos 1 = cos2 - - sen2

2

(1

= 4r - cos 2

2.

...

0

=

-( - l -

1 )1

1}

-

2

= 8r

= 2r

J

:3n

o

1 sen - tlt =

2

Considefemos la� curvas e, y C2 t.lcfinidas por las ecuaciones:

C1 es una curva cerraJa que recibe el nombre de Lemniscata de Bernouilli. Obténgase su ecuación en polares. dibújese su gráfica, hállese el área por ella encerrada y finalmente. su longillld.

a) b)

Expresar gráficamente e2. Calcúlese el área encerrada por el eje de ordenadas y la porción de C2 comprendida entre el origen y su primer punto de corte con dicho eje. Obténgase por tíltimo la longitud de dicha porción de esta notable curva denominada Espiral de ArquímeJe�.


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Integrales definidas simples

37

RESOLUCIÓN

a)

Aplicando las fórmulas del cambio (x = pcosiJ. y = p sen 0), resulta:

fLP2P

= O (origen)

= cos20

donde un razonanuemo �málogo al utilizado con la Figura 1 . 1 6, da lugar al primer gráfico de la Figu­ ra 1 .20. )'

\'

()�(i$� 2

Figura

fn/� ,

f"'4

1.20

Habida cuent<J de l a simetría existente, e:-;críbirernos: A =4

·1

2

p- dO = 2

o

dp

Para calcular

s

deberemos obtener lu derivada -1 . Por tanto:

.

=

=2

_

sen 20

[14 ("P)l J f"12 {. 0

->

p

p2+ dO

cos

-- J n/�

sen 20 l

= 1

u

t/(

p- = cos ll1 {derivando respecto de

s=4

cos 20 = 2

(\

-(l)dt

- 1/ '

(1�

sen2 20

=

dO

¡i

d0=4

=

CI1S 20 +

0

2p

l

1/2

2q - 1 =

en d1>nde aplicando que t·(p) =

{f(l/4)

f(p + 1 )

p

.

2p - = - 2 sen 21) -. - = p'(/J) = dO dO

("p)2 ['4 -- j""'4 J - =o } ( ) :

sen2 20 cos 20

sen2 20

COS 20

IJ

1

1

1

2' 4

1

= 2 .- 8 - -

y tablas (Figura

dO

dO= 4

COS

2{)

{20 = 11 =

1(1/2) 1(1 /4)

-'-- ---'=f(3/4)

1 . 1 1 ). re!iulla:

= 41(5/4) = 3.6256

f(3/4) = (4/3 )1(7/4 ) = 1 .2254 -> S =

ft · 2,9585 = 5.2438


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38

Cálculo integral y aplicaciones

b) Puesto que la recta genérica r «barre» el área pedida cuando O varía entre O (se prueba fácilmente al y = tgp·x) y rr/2. tendremos:

ser r :

S=

fo"'� j�L/ft!O{O

= l [ 1,571 1

=

lg/, sen / =

j3,467 + L ( l ,571

+

lli · · · =

�[

� + L(ll + J 1

o,

-

j3,467 )] = 2,079

+

02)j"'1 = 0

Volumen de un sólido de secciones conocidas Consideremos un cuerpo sólido del que se conoce el área de cualquier sección perpendiculm a uno de los ejes coordenados. Sup.ongamos que el eje es el �. que dicha área es una función con­ tinua de la val'i a le <. definida por A = A(<:), y finalmente, para centrar ideas, que el sólido en cuestión es el representado en el primer gráfico de la Figura 1 .2 1 . Si el elemento (di ferencial) de volumen, sombreado en este gráfico, tiene además una altura dz, podrá tomarse como valor de su volumen (error despreciable) el valor dV A(z.) dr.. Conse­ cuentemente. y razonando como en los casos anteriores, resulta:

b

=

dV = A(z) dz -+ V =

f¡, 0

A(z) d�.

(2 1 )

En general:

Las fórmulas correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los otros dos ejes coordenados, son evidentes. La relación ( 2 1 ) se conoce con el nombre de Regla de Cavalicri.

=

A (z)

S

Figura

1.21

X

J'


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Integrales definidas simples

39

Ejemplos

1.

Consideremos uo sólido cuya . base es la elipse _.2

16

25

+ )'2

= l . Obtener su volumen. sabiendo q�te toda

sección normal al eje y es un triángulo isósceles de altura 6 unidades.

RESOLUCIÓN Una vez retlejatlos los datos (segundo gráfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que:

A

escribiremos:

2 = 16

25 - r2

:!5

A(y) (triángulo ABCJ

-

-+

5

1

4 J25

24 f5 ,/25 {>' 5. nf2}

= A(y) dy -> V = 5

realizando el cambio y = 5 sen t

458 f"''2. ()

j?.5 - y2 tcuando x � O)

,

-

V=-

2.

4 -

::>

En consecuencia:

y

=

= 2 · (Area triángulo sombreado) = 2 ·2 = 6.

tlV

.r

- y2

24 j25 -

A(y) = -

=

5

24 f5 j25

- y2- dy {simetría] = 2 ·3

-

-5

=

1 ;=.

v = 0. 1 = O

.

resulta:

J25( J - sen1 r) (5 cost rdt) = 240 xz

yl

Determinar el volumen del elipsoide � + � cr

b-

:2

6x =

f"' z o

()

y2

-

y2 dy

n

cos2 tdt =- 240 -; = 60 rr 4

+ � = l. e

RESOLUCIÓN

x2

� Y!

lntersecando el elipsoide con el plano � = O (por ejemplo), se tiene Ja elipse + = 1, cuya área como a2 b� sabemos, es nab. Como la sección A(z) del elipsoide por un plano paralelo al z = O. y distante :: de él. es una elipse de semi�jes (dibújese el gráfico COITespondiente): (/

--­

a' = - Jc2 - ¿ ('

b -,-, b' = - Je- - .:e

se tendrá que: A(z)

nab , , = na'I/ = � (e- - z-) e-


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Cálculo integral y aplicaciones

Por consiguiente:

dV

=

nab f'. e

A(z;) dz -> V = 2

-r

(r1

-

z?) dz

= 2nab i" ,

e-

0

(e!

-

z2) dz

=-nabe 4 3

Volumen de un sólido de revolución Supongamos una curva e definida por la función y = f(x) continua en un cierto intervalo [a, b]. Al girar esta curva ab-ededor del eje x (por ejemplo) engendra un sólido de revolución (Figu­ ra 1 .22) cuyo volumen, podrá calcularse aplicando (21 ) ya que se conoce el área de cualquier sección nom1al a dicho eje. y

y

y •• R¡

o

y = g (x)

L... .L_ .. _ _ .L_ L. _ .. _ __J_ _ _ ...._ _ _ _ _ _._ _ _ __, �x (/ b (1 Figura 1.22

Aplicando pues la fónnula de Cavalieri, y como A(x) (área circular sombreada) es n[y =f(xW, resultará que el volumen del sólido en cuestión comprendido entre a y b, vendrá dado por:

V= n

J'l> 1 1

y2 dx = n

fb

f2(x) dx

(22)

(1

Las fórmulas conespondientes en paramétricas (obvias) y en polares por giro alrededor del eje polar (pmébese ésta), vienen expresadas por las siguientes relaciones:

(23) En caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuación x = g(y), el volumen del cuerpo de revoluci.ón engendrado por e al girar alrededor del eje y, resulta (22) evidente (véase Figu­ ra 1 .24 y ejemplo correspondiente). Consideremos ahora la región R 1 de la Figura 1 .22 (área limitada por la curva y el eje x entre a y b). Evidentemente eJ volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendrá dado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira la curva y = f(x). Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener el volumen engendrado por la citada re­ gión R 1 al girar alrededor del eje y, utilizando únicamente la ecuación y = j(x). Para ello. razo­ naremos, como siempre, con elementos diferenciales.


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Integrales definidas simples

41

El �<rectángulo» sombreado en R 1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededor de] eje y. una corona cilfndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen diferencial (dV) es:

dV = V1 (cilindro de radio x + dx:) - V2 (cilindro de radio x) = n(x + dx)1y - nx2v = = n[2:r dx + (dx)2]y " 2nx -f(x) dx

Asimismo, el elemento diferencial de volwnen generado por el «rectángulo» de la región R2 al girar alrededor del eje y, vendrá expresado por dV = 21tXl.f(x) - g(x)J dx. Consecuentemente, ·el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R2 (segundo gráfico de la Figura 1.22), generan sólidos de revolución cuyos volúmenes respectivos V(R1) y V(R2) son:

V(R 1) = 2n

fb ll

V(R2) =

xf(x) clx

2n

fb 11

x[f(x) - g(x)] dx

(24)

Á rea lateral de un sólido de revolución Supongamos que la ctu·va anteriormente definida por la función continua y = f(x) (considérese el segundo grMico de la Figura 1.22) gira ahededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revo­ lución cuya área lateral (A) se desea obtener. Habida cuenta de que el elemento diferencial sombreado engendra un «tronco de cono» (r 1 ds). cuya área lateral es, como sabemos: y r2 radios de sus bases, y generatriz rectilínea g "

resulta:

dA =

2ny JI (:)2 +

·

dx

A. = 2n

f

f(x)

Jl + [f'(x)]2 dx

(25)

Ejemplos 1.

a)

Consideremos la circunferencia

e

de centro

(0, 2) y de radio 2.

Determínese el volumen generado por e al girar alrededor del eje x, y compruébese el resultado utili­

zando coordenadas polares.

Traslademos la circunferencia hasta que su centro sea el punto (0, 5). Calcular el área del cuerpo resultante (toro) al gi.ra.r esta última circunferencia alrededor del e_je x.

b)

e

RESOLUCIÓN Observando la. Figura 1 .23, es claro que e l volumen (V) pedido será el generado por la semiciTctmfc­ rencia e1 de trazo continuo (y � 2) menos el correspondjente a la C2(y � 2).

a)


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4-2

Cálculo integral y aplicaciones

y

,

..

i' \\

-

l \ : ·., e, ...... :

'

'

! ".

/.

--... __

¡''

(]

·-

-2

. . • 1

/ :

1

o

2 figura 1.23

Como:

e : )..2 + (y - 2) 2 = 4

'

y-

2

=

- -- {ee2 : y = 22 - j4-- x2 1

+ j4 - )¡z ->

: .V =

+ j4

xl

y operando por la simetría con la regi n sombreada, escribiremos:

ó

En polares: del triángulo rectangulo OPQ se tiene que p = 4 sen O es l a p cosO, y = p sen O en su ecuación ca1tesiana). (compruébese sustiLUyendo

de inmediato

x=

Como para que r ban·a la zona sombreada, O debe variar entre O y

tendrá:

2n V = 2. ·-::,..)

=

'"/2 J o

256n � .2 3

(4sen 0)3 sen ()

256n: f"12 dO= -3

8(� �) = 128n f(S/2)1( '

2 2

3

o

1 /2)

r(3)

=

sen4 O dO

64n J

-n2

, apii cando la fórmula

{2p - 1 } =

?

2 2

)=

n

,

(23 )

se

4

_

_q - J - 0

(� �

ecuación de e

=

J ón:2

b) Razonando como anteriormente se tiene que C1 : 5 + j4 - �. : 5 - j4 - x2: con lo cual, aplicando la fónnula (25) resulta (dibú e se C y analícese el porqué del signo + que aparece en Ja relación que s gue):

e1

j

i

A = 2·

2n: f2 o

--x2

[5 + j4 -

+

--

(5 - )4 - x2)]

2 dx

J4 -

x1

=

80n

f1 o

Jx

J4 - x2

= 40n1


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Integrales definidas simples

2. L<• curva de la Figura 1 .24, e� partt: del grafo de una funci6n ecuación �/ - i1

= O.

x(4 -

y=

43

f<x) defin da implícitamente por la

i

y

Figura 1.24 HaJlar el volumen engendrado por la región sombreada al A partir

de

la fórmula

(22) dV 11.x2 dy. a) (24) dV = 211xj'(x) dx. b) RESOLUCIÓN 1 6x a) + (22). Mediante la relación

=

girar

aJrededor del eje y:

x = g(y) para con ello la ua ón x3 - Kr y2 = O dada, odría apl ar la fórmu l a Sin embargo, como ex ge aplkar dicha f órmula, consideramos que una so�· lución es escr b r lo siguiente:

icDe ec i cii

y

se nos dii fícilmente p despejarse

en consecuencia:

Obtengamos

f'(x) = - :

V (simetría, ,v � O] =

dv

dx

-

Al ser (y � 0) y =

J

(4 -

x),

dv

2 J: · 11

...:... =

dx

con lo que:

1

1J.r

--

x2f'(;c) (['(

(4 - x) -

...¡

4 - 3x

=-

1 jx

En consecuencia:

1 f4 [8 271·4f 5 4f b) \1l(24)} = 2·2n .rf(.r)dx = 4n .A·/.r<4 V=

2

(J

n

(4x311 - 3x5'1) tlx = n

u

-

6 ]4 2.048

x5'1 - - x7 2

7

(l

= --

35

11

(valor absoluto)


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44

Cálculo integral y aplicaciones

Teoremas de Pappus En el segundo gráfico de la Figura 1.22, se muestt·a un elemento diferencial de área dA = f(x) clx, que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de vol umen dV = 2nxf(x) dx. Si l.o anterior se expresa, csc1ibi.endo:

dV = 2rr:c

·

dA

dA

podía este resultado, enunciarse en los siguientes términos: el volumen engendrado por la región sombreada (de área dA} al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de por l a distancia recorrida por dicha región. Lo antet:ior justifica los dos sigui entes teoremas debidos a Pappus (300 a.C.) y que podrán probarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Sección. Consideremos una región A del plano situada a un solo lado de una recta (r) de este plano:

«El volumen del cuerpo engendrado por A al dar Llna vuelta completa alrededor de r. es igual al producto del área de la región A por la distancia que ha recorrido su centro de gravedad».

�<El área de un sólido de revolución, es ig.ual al producto de la l ong itud del arco que lo gene­ ra por la distancia reconida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco�>.

Ejemplo

a)

Aplíquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anelior t (véase la Figu­ ra 1 .23).

b) Obréngansc las f6m1ulas gcucr:llcs del volumen y área del Loro engendrado por una circunterencía de cen�ro (0, a} y radio r (r < a) que gira alrededor del eje x. RESOLUCIÓN a) La ci rcun erenci a de centro C(O. 2) y de radio r = 2. encierra un área de 4n uJ (u = unidades). Al dar una vuelta <\!rededor del eje x, su centro dé gravedad C recorre una distancia de 4n u. En conscc.:uem:ia:

f

V(pedido) = 4n: · 4n = 16n2

En el segundo :1partado nos piden un área: cuando la circunferencia de longitud 1nr= 4Tt, gira alrede­ dor del eje x, su centro de gravedad C(O, 5) er corre 2n · 5 = 1 On. Por tanto: A(pedida)

=

4n · l 0n = 40n2

Teniendo en cuema los siguientes datos del toro: área del círculo m2, l ongitud de su circunferen­ cia = 2nr, distancia recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = 2na, resulta:

bl

=

\/(toro) =

nr2. ·1na = 2cl(nr)1

A (toro)

= 2rrr· 1¡ra

= 4o(rr2r)

Centros de gravedad o centroides Sean dos masas m 1 y m2 sobre las que actúa el campo grav itacional terrestre (para centrar ideas trataremos con fuerzas gravitatoria:-). Consideremos asimüml\J (Figura l.25) una re�·erencia, en


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Integrales definidas simples

111 ¡

o

m lg

111 (C) 9 1 1 -

IX

x2

1 1 1 1

t

o

T

11/2

X

m2g

mg

Figura

O

x m18 m2g, M

45

mg

1.25

m;8. mg = m1g m2g (mm8,= m1 m2)

la que hemos representado el origen (punto arbitrario) y únicamente uno de sus ejes (aunque el resultado que buscamos no depende de la se ha tomado este eje normal a las fuerzas · dirección de dicho eje). Recordando de mecánica elemental que la fuerza resultante para producir el mismo + efecto que las y además de verificar + deberá tener el mismo momento estático (respecto de cualquier punto, por ejemplo 0) que ellas, tendremos (véase el primer gráfico de la Figura l .25):

x = mm1xi= m1 m2x2m2 (m = m¡): Z¡ !: m;Y; ' z- = -Lm¡ ­ = !: mm¡.x¡ , y = -m m ==;.

siendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones

C(x, y, _

_

Z) : x

_

+

_

+

!:

_

Supongamos ahora (segundo gráfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. . Razonando con elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriotmente, y prescindiendo de los límites de integración, escribiremos:

d(M) = (dm 8)x M O) = 8 I xdm 1118 M = mg · x, M= 8 f xdm = mg·x f xdm = m·x ·

-+

y puesto que el momento de la fuerza

(momento respecto de es

resulta:

::::>

En consecuencia:

cc:x,

)i, z) :

dm m Jxdm Jz­ y d I z = x = -­ m , y=-m ' m _

_

_

(26)


http://carlos2524 j mdo com/ .

46

i

.

Cálculo integral y aplicaciones

l cenrroicle cenn·o de gravedad Este punto

C (donde

puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo ) se dMomina

o

del sistema de partículas o del cuerpo por ellas formado. p· p · c/\1) las relaciones

Si el cuerpo es de densidad constante (p). al ser

darán lugar a las:

_

C(x, y, i) _

- Iy dV y = --

JxdV x = -V_

:

m = V(dm = _

JzdV

z = -V

v

(26)

{27)

De igual modo, cuando el cuerpo en cuestión fuese una superficie plana (en este caso p sería

l a masa por unidad de superficie) o una línea plana o alabeada (p sería la masa por unidad de longitud). se tendrían respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones:

JxdA

CCt, y) : i = -­ A _

Jxd.v

C(x, y, i.) x = -­ s _

_

:

,

.Y

fydA

= -A- (A

(28)

es el área de la placa)

It:.ds Iy d.\· ' y =­ i. =

--

s

S

(s = longitud)

(29)

Ejemplos

1. Calcul:=tr el centroide C(.X, ji) de una placa plana homogénea (densidad superficial constante) en fonna de triángulo rectángulo, siendo a y b la dimensión de sus cate.tos. RESOLUCIÓN Para hallar la coordenada .l: operaremos con el pri mer trié\ngulo de la Figura l .26, en uondc dA

=f(x)c/x, A = 21 ah;

2 f11 fa x -bax dx = -2a3 .X=-Al fxdA = Af(x)dx] =ab ab 2

0

0

y

/w y=­ a

b

-----------------------------

y

X

X

Figura

1.26

(1

=

\'dx

=


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47

Integrales definidas simples

ji

=

(a -x) = -1 { = ( - - dy = -ab Ih ( = IJ/3

asimismo, observando el segundo triángulo

A

y dA

dA

IdA

ay) }

Obtengamos nuevamente el resultado diera facilitar los cálculos):

dy], escribiremos:

2

h

v

,)

u

ay - - y-

u

b

tly

b =3

integrando en la variable .1 (que en alguna ocasión pu­

bx dA =(t� -x)dy = (a-x)-t/; lx.} 2 f" bx- (a - x) -b dx = by= 1 f {y=-. a 3 ab . o

a

Veamos otra fom1a de hullar el ceorroide con las fórmulas

(28):

x = x1(x,1 x 1=3,

Consideremos la Figura L

x. 1

el eje

y las tecLas

lnbida cuenta de que

tiene:

Los momentos de

A

C(,r, _v)

y supongamos que

o

la

superfrcie lA J es la límitada por la curva

y

=j(x).

y/2) es el cenLmide del elemento diferencial (de área dA) sombreado, se

respecto de los ejes x e y, son: .•

Lo s momento� de dA

=

f(x) 1.b:

= A ·y

M = A ·x y

respecto de dichos ejes. son:

d(M1) = (tiA ) · = xfCvJ dx _, M)' =

x

e n consecuencia:

(30)

0

de pla�:as phmas que suele.: resultar más simple que

x2•

M

aApliquemos

= -

ydA

A

para obtener de nuevo Ja ordenada

r•2

. �.

y= b/3

:rf<x) dx

(Figura

= A · .i

(30)

1.26):

2.

Consideremos un cuadrante del drculo definido por la ecuación

a) bl

Hallar su eentroide aplicando las fórmulas

(:28), (30)

y

x2 +

2. y2 � R

el Teorema de Pappus.

Este cuadrante al girar alreded�1r de uno de su� ejes, engendm una semiesfera

Obténgase su centro de gravedad.

(x2 +

v2

+ ;:2 �

R2).


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Cálculo integral y aplicaciones RESOLUCIÓN a)

(28).

Puesto que C(x, y = calculemos i (primer gráfico de la Figura i)

.

,

1 R3 4 R3 4R _ ]: = - · - = ·-=. A 3 nR2 3 3�

1 .27):

( ) 4R 4R

e - -

=>

3n

3n

y R

X (30).

y

X

Figura 1 .27

Calculemos y que parece más sencillo: 1

y=2A

fb 11

2

f-(x)dx = , nR-

I

R

0

2 2R3 4R (R2 - x-)dx = ., · - = nR- 3 3n <]

(��;) ::,Y�Ig:::o":,::�;:•:: :• ,::,:::

� ;:P:,":J"'�'d::::":�� ,::,m::::d::�.::� C(2rti). En consecuencia: 2

- rtR3

b) Puesto AL

3

=

nR4

4R ·2rt.r = ¡,: = ­ 4 3n

-

'

escribiremos (segundo gráfico de la Figura ser {(<Cilindro»} aplicando se tiene: que

dV

C(O. O, i),

= na2 • dz = n(R2 - z¡) dt.,

;; = -

1

V

f

z dV = .

3 2nR3

--

IR 0

. R2 nz(

-

(27),

<.2) dz

.

Consideremos alrededor del eje y.una región limitada por la curva 3.

(R)

.

1 .27):

( ) 21?.3 2 4 R4

3

=-

y = f(x)

R4

---

= 2t - x2,

y

3R2 =-

8

el eje Dicha región gira x.


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l 49 revolución engendrado ahora en deberán 1 + }G derecha. Con

Integrales definidas si mp es

eal

Pruébese aplicando Pappus y s V = Sn/3.

bl

la

fórmula

(24), que el volumen del cuerpo de

nx1 = l - ) - y izquierda de x =

Hállese nuevamente V utilizando la fórmula usual dV =

considerarse dos ramas, la x ello, resultará:

1

dy. Nótese

a

que

l , y la x =

y = f(.)()

a

el(0, y, 0),

Compruébese que los centroides de R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas ( 1 , 2/5) siendo:

4.

Repítase

d\1 = rr.x2 dy

-+

V=

y= = n fl ("2n)l - ft ar y n) = 2n2, f(x)

el anterior ejernplo con

dy

0

senx (entre O y

11

0

Lnténtese asimismo obtener V (entre O

n/2), comprobando que: 713

( e sen Y? dy = 4

-

1t

(4n2 - 2) 2rr =

utilizando únicamente la relación dV = n_¿ dy.

Centroides de sólidos de revolución

lasentrecondiciones dadas, En engendrado. tendrá:

y

y eje. dicho C(i,

=

Consideremos nuevamente la Figura 1.13 supongamos que el área (A) encerrada por la curva y f(x). y x1 y x2, gira alrededor de el eje x resulta evidente que O, 0) el cuerpo de revolución Como además dV (generado por la región sombreada)

1

C(,�, O. O) : i = V

Ejemplo

f

=

será el centroide d i do

n:y2 dx, s ust tuyen

esta relación en

l f x·ny2 dx= -n fxl xF(x) dx

x dV = V

V

(27). se (31 )

X�

al po do cuadrante de cú·culo (primer gráfico Figuraes1 .C(.f 27) gira alrededor del , O, ) = b) Aplicando ansfonnada, obténgase el centtoide C(O, O. i) de de revolución (cuyo ejefónnulas es el de(27)altura lTradio de la base Su nien que un de la compruébese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada las

z)

y (31) hy

r.

0 /x

3R 2/8.

eje x.

un cono


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Cálculo integral y aplicaciones

b) Habiendo situado el cono en posición de la

la Figura J .28, /¡

=n

;:

r

V= -

1

i. = -

\1

Adecuación deobvi (31amente:

.rf1(x) dx, será

): la cUl·va hy -

f

1'1: .

=

h

eh

r

1.28

3 h nr2

z. d\1 = , 1rrh

lty rz= O

Figura

lt,

(27).

puesto que:

{r c1} (r-)2

d\1 = ;ra1 dz - = -

siendo 31 rrr2 se tiene:

y

I

0

-7

/¡-

3 1¡-+

3

h� 4

4

z.3dz = - · - = - h

O (del plano )•z:) gira alrededor del �je

z.

El

equivalente ele

Consecuentemente (31 ): que coincide con la expresión integral anteriormente obtenida.

Momentos de inercia Consideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) �rededor del cual gira con velocidad angular w (Figw-a 1.29). Su energía cinética (W) vendrá expresada, como sabe­ mos, por: W

l

= - m v� = - m(cor)- = - (mr2 )w 2 2 2 2 �

1

..,

l


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Integrales definidas simples

51

=

X

.

:

/

•'

,

¿

/E

__

d (y)

r

'1----

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -----------

{

,.- � .t- '"t" y""- • =...

ti2\X) =

v2 + ::2

rJl(J') = xl + =� '

'

,

y

Figura 1.29

=

l núsma para todas.

Si el cuerpo (de masa m) no es punwal, la igualdad anterior resulta válida para cada una de sus partículas de masa m1 (m 1: mí) puesto que w es a Con ello. podremos escribir: l

1

1 , .., 2 2 7 2 W= +l 2 (m l ¡-)w2 (m2 r2 )w + · · = - (:E m.¡-:-)w ' ' ·

2

l

Por definición, los factores mr2, 2: m¡rf se denominan momentos de inercia (de la masa pun­ tual o de cuerpo en cuestión) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los mamemos de inercia suelen representarse por la letra mayúscula /. El momento de inercia respecto de un plnno se define del mismo modo: producto de m (sí es puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano.

por

t

Por otra parte, como el cuerpo, en general, estará formado infini as partículas, el cált:ulo de su momento de inercia deberá llevarse a cabo mediante integración. Razonando con elemen� tos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial conespondientc a una masa dm gue dista r del punto, eje o plano, escribiremos:

di = ;-2 dm --+ 1 =

f

r2 dm

aplicar

(32)

Nótese que para correctamente (32), l a distancia entre �ualq u ier punto de dm (dm puede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, .. . ) y el punto, eje o plano considerado, debe ser constante e igual a

r.

Ejemplo Hallar en función de su masa (M) los momentos de inercia de Jos siguientes cuerpos:

a)

Un cilindro de masa M y radio

R respecto de su eje (E)


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52

Cálculo integral y aplicaciones

b)

Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno de sus extremos.

RESOLUCIÓN

a)

Supongamos que la altura del cilindro

es

y ¡1 su densidad ( V = nR2h. M = pV):

h.

di = 1.2 dm {dm = p dV, dV = 2nrdr · h} = 2nhp · r3 dr : 1 = 2nhp

fR

1

r3dr = - nhp · R4 2 u

Como se pide 1 en función de M, multiplicando y dividiendo por M = pV = p · nR2h, resulta: 1 M l = - nhp R4 · 2 p · nR2h

=

·

1

/(cilindro) = - MR2 2

Si el cilindro fuese hueco de raclio r(interior) y R (exterior), del mismo modo se probarfa que:

7 (cilindro de radios

r

y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R

1

y

l

R) = - M(R 2 + r2)

2

r), se tendría;

(citindro hueco de pared delgada --> tubo o anillo) = MR2

b)

Aunque se simplificará de iguaJ forma que la h anterior, supongamos que la sección transversal de la VaJilla (Figura 1 .30) es A (\1 = A · L, M = pV):

/=

j•

di = r2 dm {dm = pdV = p(A dr)} = pA · 12 dr :

r2dm = pA

fL 0

1

1

M 1 r2dr = - pAL3 = - pAL3· -- = - ML2 3 3 pAL 3

•J= ¡I.·=.- ==-==-==-==-=r=====-�.+�+F ==dr==:L:::J dm

E

Figura 1.30


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Integrales definidas sjmples

53

Relaciones entre momentos de inercia A continuación, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, que facilitarc1n en gran medida el cálculo de éstos. Para fijar idens. las deduciremos utilizando la masa puntnal m (véase Figura 1.2.9), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que tam­ bién son vál idas, se obtienen de fom1a totalmente análogá (operando con dm). Denotemos por 10, l.x, l�,.. . . . los mamemos de inercia de m (o del cuerpo en cuestión) res­ pecto del origen, del eje x. del plano .ty. ... Observando la Figura 1.29. l as distancias expresadas en ella, y aplicando las cle1iniciones dadas, escribiremos:

de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones:

(33 )

Ejemplo Consideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calcúlese: a)

El momento

momento de inercia respecto ue su centro, aplicando

b) RESOLUCIÓN a) EJ

de inercia respecto de un eje que pase por $U cent(ü.

(32).

Tratar de obtener este momento de inercia apli<.:Hndo la fórmula (32) y operando en cartesiana�>, pre­ senta gran dificultad. Mucho más sencillo resulta hallar el momento de inercia U.,1,) respecto de un plano que pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33). Basándonos en el segundo gráfico de la Figura 1 .27 (esfera completa), y t01nando como dm el «cilin­ dro>> diferencial sombreado (todos los puntos de dístan un constante r = ;: del plano horizonta l ). escri­ biremos:

dm

multiplicando y dividiendo por M = f! \1 = p · 3 nR3• se tiene: 4

1

4pnR = --''

-'·''

15


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54

Cálculo integral y aplicaciones y al ser /.n• = l�, =

b)

�,.� = 5 MR2• aplicando J

(33) resulta:

1 l;r = 1:<). + 1"- = 2 · - MR2 Uti li.zando (33) es inmed i ato que:

S

=

1 = '"

3 5 1u = 31.\)1 = - MR2

i

/

1

2 ' = 1_ = - MR• 5

i

Comprobemos este resultado mediante i ntegrac ón (32): para que la d stancia entTe cada punto de dm y el centro O (0, O, 0) de la esfera sea constante e igual a r, el elemento tbn deberá ser la masa de un globo esférico del gado ( radio i terior r, y exl'erior r + dr). Obtengamos pues la masa dm = p dV de dicho globo:

n

r/V=

4 3

4 4 4 n(31.2 + 3rtlr+ dr-)tlr " , n( r + dr) 3 - - nr3 = - n(3r-)dr = 3 3 3

= 4nr2 dr (diferénciese el volumen de la esfera V Con ello se tiene (0 ::;;; r � R): 10 =

i

111 o

1,2 dm =

t6

J''� ()

=

i

nr3

)

R" 3 r2(p· 4m·1dr) = 4pn - = - MR2 5 5

,

Véase tnmb éu el Ejemplo resue l o en donde de nuevo se obtiene el momento l,. de esta esfera de dos Formas relativamente si mples mediante dos artificios: uno, general para todo tipo de cu erpos y el otro, pan cula para cuerpos de ¡•evolución.

i r

Teorema de Steiner. Radio de Giro

el momento dea inercia dedeuncualcuerpo respecto deparunaleloeje,aleste teorema permite cal­ culSi seaLar conoce elfórmul momento de inerci respecto q uier otro eje anteri o r. a de Steiner viene expresada por la siguiente relación: siendo

(34)

Momento dede inercia inercia (que respecto de un respecto eje (e) quede pasa por el centroide (C). Momento se busca) un eje (e) paralelo al Masa del cuerpo y distancia entre dichos ejes. Probemos esraenrelque acjónlos(34) que se obtuvo por pJimera vez en Apoyándonos tres punlos: P (punto cualquiera del cuerpo) (centro de gravedad) yFigura el punto donde masa puntualcartesianadefini un placoinci no, hemos Se haestáelesimada gido unala referencia cuyoránorigen de condibujado por plloanacual,la como se ha plasmado en dicha Figura. f dm = O. 1,. :

1:

c.

M y el :

1783:

e

dm.

e,

1 .3 1 .

x


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Integrales definidas si ples

m

55

,.

<\1 ser C(X: 0,)' = 0):

J

X

t/111

.v = -- = 0 � X

J

x

dm=O

Figura

1.31

Sin más consideraciones. teniendo en cuenta que 1 f y

=

f {teorema del coseno: f f f f r2 dm

1=

=

=

a2 dm + d2

dm - 2d

x

r1 dm,

(n 1 + tF - 2ad

1,. f

cosa.)

=

dm [e:

a2 dm,

cosa

escribiremos:

=

x: =

elm

Radio de giro:

cualquiera quea (k)seadelaunforma de undadocuerpo, sietratarse mpre serátambién posibledeencontrar uno punto si t uado a una distanci eje (e) (puede un punto Q plnespondi ano) eneelntequemomento cabe imdeagiinnerci ar concentrada roda la masa del cuerpo, sin modificar el co­ a lancia k, recibe el nombre de radio de giro del cuerpo respecto del eje En conse­ cuenciDicaha,por/1!disejempl vendrá determinadoo,por:en una esfera maciza, el radio de giro respecto de su eje de revolución (IV!)

fe.

e.

= Me .

Así

2

2

,

! = - MR = Mk5

Ejemplos 1.

El

momento de inercia de un cuerpo de masa M =

cenTOide t (C) es /,. = m de C. es

2.

20 kg · m1. Prob<u· que el momento

1 = 40 kg · m2.

4

(e) situado a 2 m de SLf de otro e:ie paralelo t¡ue dista 3

kg respecto de un eje

de inercia respecto

Consideremos un cuerpo de masa M cuyos momentos de inercia respecto de su centroide (Cl y de un

plano (7t) que pasa por

e, se conocen. relaciones (33) que sus momentos de inercia con relación a otro punto C u otro (paralelo al rr) verifican también la fórmula de Stciner (se prueba de inmediato suponiendo C'

Probar mediante

plano

rr'

las

situado e n la posición

11

de la Figura 1 .29).


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56

Cálculo integral y aplicaciones

3.

yz ;¡:1

b =

Sea el elipsoide 2 + 2 + 2 xz,

a

1,

e

de masa M. Compruébese que sus momentos de inercia respecto

del plano z = c/5, y respecto de su centroide, son respectivamente: 1 , 1 = - M(cr-

6 1 = - Mc'

25

5

+ b� + 1

, t:�)

Momentos de inercia de superficies planas En resistencia de material es, cuando se estudia la flexión, aparece ftccuentemente un concepto denominado «momento de inercia de una sección transversal» (momento. que resulta ser inver­ samente proporcional a la flexión transversal de una viga cargada). Los con·espondientes momentos de inercia de dichas secciones vienen definidos (Figu­ ra 1 .32) por:

/0 = f

,:2 dA

(35)

y

o

o

.l

Figura

X

h

ú

X

1.32

Ejemplo

Los anre1iores momento de ioercia 10, 1 1r se denominan respectivamente momento de ioercia polar ( 10\ y momentos de inercia axiales. Determínense estos momentos cuanJo la superficie en cuestión es la del triángulo esc�tleno de la Figura 1.32. �·

RESOLUCIÓN

Dividiremos este triángulo en dos trilíngulos rectángulos y obtendremos. en principio el /A. del triángulo sombreado (todos los puntos del elemento dA, disran, como siempre, una constante r = y el eje x respecto del cual queremos hallar el momento de inercia):

d

'

'

df., = y - dA = y�(a - x) dy{x =

1 ,\ 'l'fiánouJo sombreado) \

o

1 = -

f"

o

{nh)'1 -

1 ay/h} = ¡, (ahy- -

1

1

3

ay

l

) dy 1

av3) d)' = - ah3 - - a/13 = - ah3 .

3

4

12


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.

Integrales definidas simples

Expresemos este resultado en función del área A 1

1 = X

1

12

Cl

1!3

57

= -l ah del citado triángulo: 2

J

6

A¡ 1

- ah

A L h2

2

Resulta inmediato que en el segundo triángulo, /:

= 61 A2 h2. En consecuencia:

Del mi mo modo se obtendría que:

1 y

= -1 bfl(a2 + b2 + ab) = 1 A(a2 + b2 12

-

6

+

ab)

Este resultado puede lograrse muy rápidamente aplicando, además del resultado anterior, que el /Y de

un rectángulo (tal como el de vértices O, a, P, 1!) viene dado por /J, = Consecuentemente:

3 a 31t = 3 Aa 2 1

1


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58

.

Cálculo integral y aplicaciones

La integral de Riemann 1.

a) b)

Calcular en el intetvalo

[-1,

l j el área (A) limitada por el eje de abs�.:isas y la curva y = f(x) = xlxl.

Determinar el valor de la integral

1=

f1

f(x)dt.

-t

e)puntoHá!Jese en dicho intervalo. grMica y analíticamente. e l valor medio integral ¡t j(c). e igualmente el intermedio RESOLUCIÓN {r2 si. "' se tiene la curva representada en el primer gráfico de la a) Al ser = =

c.

y

j(x) = xlxi = · '

x >- O

,

- x-,

SI X < 0

Figura 1.33; y habida cuenta de la simetría existente, esclibiremos: A=

área sombreada = 2

•i J o

2 x dx =

2 ::;-

..)

x3

J

I

o

2 3 y

X X

Fígura

e)

1.33

Por la simetría resulta evidente que el valor medio integral (valor medio de todas las ordenadas) es asimismo que e = O. Comprobémoslo mediante la fórmula correspondiente:

JI =.f(c) = O, y

1

¡t = f(c) = -b-a

f'' "

2 fl

1 f(x) dx = -

_ 1

xlxl dx =

O

=

e

=O


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Integrales definidas simples

2.

Hallar e l área de

59

la región lüniLada por las curvas: y

- 3 -1 xz + x

=j(x) =

,

3 y = g(x) = x

- 2X"1 - 1 +x

RESOLUCIÓN Después de haber dibujado la frontera de dicha región gráfico de

la rigura

1.33, : d a) fo [g(x) se tiene

A( área pe id

=

=

3.

Efectuando e n las

-1

f-o 1 - (x3

integrales Un. 11 /(!11) =

a)

f(x)J dx +

E

,\2

n

2..:r} dx +

f�,z ()

[j(x)

11

(

N):

1"' 2 sen"'x d.r J 0

de rccurren�.;ia.

b)

f2 12 -

J(m, n) =

una única integración por partes (hágase en ambas Hallar con ella, el valor de

y obtenido los resultados plasmados en el segundo

g(x)] dx = 5

/'1. fn 0

8

37 12

, + 2.Y) dx = - + Y3 + .-1

3

=12

sen"'xcos1'.xdx

' - 1 x = 11). se consigue obtener una sencj)Ja ley

sen "

/(5), /{6) y 1(4, 5) que justificarán la siguiente f6rmula:

sen"'xcos"x tlx

l) ! !

- , -1 -1

(m - l ) ! ! (n

(111 + n)!!

=

n:

2

pares

111 y 11

)! ! (¡¡ )! ! (fll ------- , en los demás casos (117 t 11)!!

e igualmente la relación:

J'lt/2

sen"'x dx =

()

�f)/2 (

(111 - J ) ! 1 m .1 !

cos"'x dx =

(111

-1 m!!

)! !

Tr

-

2.

111 par .

, m 1mpar

(véase e l Ejemplo 4 que sigue).

RESOLUCIÓN /(m)

{

1 Aen"'- x = 11 sen.xd:r: = dv

_,.

du = ( m - ( )�enm-zx-cosxdx

}

v=

co�x

= -sen"'- 1x· cos.x

]"12

+

0

l ) l /(111

-

1)

l(m)�


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60

Cálculo integral y aplicaciones

de donde

J(m)ll - (111 - J )] = (m

l )/(m

Haciendo igualmente en

1

,

-

scn- x,

1(111, 17) el cambio sem"' 111 - 1 resulta J(m. n) = -- J(m - 2. 11). 111 + 11

Consecuentemente:

a)

4 2 4· 2 4 1(5) = � J(Jl = - ·- 1( 1 ) = -:> 5 3 :> · 3 5 5 3 /(6) = - /(4) = - . - /(2) 6 4 6

5 3

Jt4, 5) =

n/Z

I

=0

/(5) =

I

u

l

= - . - .-

6 4 2

t•on lo cual:

b)

- 2)

I

7f} l

J.

sen x dx =

1(0) =

sen5x dx

f}

sen.�xcos5 xdx

1x

411 =7 :> ! !

= u.

y sustituyendo del mismo modo cos2x por

4· 2

-· l

lf/2

5·3

J

5 3 1 ·- ·6 4 2 0

-

m- 1 1(111) = -- !(m - 2) 1/1

-=

eL�

/(6) =

I

n/2

sentíxtlx

0

·

-

4+S

9 ·7

9 2 + :>

Jnp o

sen1x cb: =

I� 2 o

n

6!! 2

3 2- l 4- 1 3 1 = -- .1(2, 5) = . -- J(O, 5) = -

3 . l 4 .2 . 1 (4 - 1 ) ! ! (5 - l ) ! ! .--- = ------. . 1) 7 5 3 (4 + 5)! !

N6lese que

511

= :..:..:. . -

f1!/Z

cos"xdx

=

0

cos2x t!x = � . resultado que es conveniente recordar pues esas t dos 4

integrales aparecen muy frecuentemente.

4.

a)

igualdades :

b)

va

1t

Efectuando los cumbios de variable x = - - t , x =

I

n¡l

o

2

.f(sen:x.)d.l{ =

'n/2 J o

1t 2

+ t, respectivamente, demostrar las siguientes

f(cosx)dx =

]

-

2

f"

f(sen x)dx

o

Aplicando Jo ante1ior calcular el valor del área del recinto limitado por los ejes coordenados y la cur­

y = L(senx) en el intervalo lO. n/2J. Hágase para lograrlo el cambio x = 2t en la

tercera integrat <YI.

Aunqve el estudio en el .:aso c.le 4ue función subintegral f(J,.) no esté acotada en algún punto de la, bl (L sen x no lo está en x = O) yn ha sido reulizudo en lu Sección 1 .2, razónese para resolver este t:jernplo sin tener en cuenta dicha singularid:!d. rql

la


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61

RESOLUCIÓN a)

1f

PuesLo que el cambio x = - - 1. lransforma el intervalo de integración [0, nj2] en el ln/2. 0], e�cri-

fn/1

bi remos:

e•

2

o [ (1f )]

J

j( sen x) dx =

"'1

f sen

2

-r

( - dr) =

fn/2 0

.f(cos t)dl

De igual forma se probaría la segunda relación. b) Como y r E ro. n/2] j(x) = L sen x ::;; o (mismo ígno), para hallar el área pedida deberá resolverse una integral (11) cuyo valor absoluto será c.licha áre:J (A). En t.:onsecuencia: H=

fn/2 fn/2 f.,�

f"'2

rl

=

f"

J Lsenxd.�{ indicación f = -

o

L(2<:enrc:os t)dl =

= L2

d1 + H +

11

11

H

2

0

Consideremos la i n tegral al

=

=

21 } 1,"'2

d.t = 1 dt

0

Lsen (2r)dr =

7t

II = - L2 + 2H 2

impropia 1 =

/1 =

rr

- - L2 2

=

A

rr

= - L2 2

f ' , 1 dx. 3 x- - 4.r + 3

Calcular su valor. obteniendo para ello una función primitiva.

Compruébese el resultado metliante estudio de la convergencia.

bl RESOLUCIÓN f tl.r .r2 a)

{X

<L2 + Lsent + Lcost J) tll =

Integrales impropias

1.

Lsenxtl'<

4x + 3

=

f dx (x -

1 )(.r

3)

1

=?.

.( J

)

lr 1 I

1 1 - J -- - dx = - L - + C. X- 3 X- [ 21 � -

Puesto que 1 rt [3, 'Y - ), dos son las singularic.lades de la integral /: intervalo infinito y nn estar acotaúa en x = J. Para calcular esta integra l a partir de su primitiva. podemos escrihir: 1=

lim (JI.•>�lr.o¡

1[

=2

lim L

11-J

f

11

,

dx

.l + t x - - 4x + 3

(H - 3) -

H- 1

lim L

r •O

=

¡

1im 2 (ll. t;) � ( r ·

( )J t;

--

2 + F.

ll)

1

2

[ l.r - 3I Jif L -x- 1

=- 10- \

Y.:•)) = :x.

Consecuentemente 1 divcrge (el ;írea relativa a x = 3 e!) i11finitn),

bl

Estudiaremos las Llos singuluridades.

Intervalo infinito (criteliu integml ): 1

l:

n- -

1

,

4n + .J

1

� 2 (converge). 11

J+:.


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Cálculo i nteg ral y aplicaciones

- f(3) = a:> (criterio del límite):

lim x - ;¡ ·

2.

(x - l)(x - 3) = -1 1

Jim

2 x-3 -

(x - 3¡m

2 =/; O. con m =

(x - 3 )"' ;r -

J

3

1

1 cliverge.

=-

.

Consideremos la integral impropia:

J<arcrg x)3

(xJ + 2x)2(X + 5) _

a)

b)

dx

Detennfnenseo cuantas singularidades presenta. Estudiar su carácter utilizando siempre el critetío del límite.

RESOLUCIÓN a)

La primera singuJruídad es evidente: intervalo infinito.

Veamos también en qué puntos .f(x) no está acotada (supuestamente serán aquellos donde su denomi­ nador se anule):

{x3x+5=0

+ 2x =

O

{X= 0 x= -5 í

=

ro. ro )

veamos si /(0) = oo . pues pudiera ex.istir en x = O discontinuidad evitable, con lo que la integral (por este motivo) serfa seudoimpropia y consecuentemente ( l.2) convergente:

lim

x-o

f(x) =

g x)311 (arct-

lim

:r-o· (.r6 + 4x-+

+

,

4x- ) (x

_

+ ))

=

x312 Lim , = - lim - = oc 20 n x- 3 • 4x · 5

1

-

ten integrales con una

b)

lntervalo infinito: }i � . •

,

f(x)

=

· _1�12 1-

-

=

.•

.

(xh

(1t)ll2 2

I s· _\J1 ( arctg x) 31 2 5) (it2)3'2 ·

Dos son, por tun!O. las singularidade!>. La¡; discutiremos haciendo 1 = singularidad 1111¡.

1

., _

+ 4x.1 + 4x2)(x +

=

-

t

ltm

.e • .,

Jr

(e> 0) para que resul­

xm

x¡; ·x

=

(finito). si m = 7 > l (convergencia).

11111 Podemos ahorrarnQs e..�te tipo de fomlalidad(;�. pue� d eMuOto cJe. las singularidadeh de/, dcscompongamo::. o t\o esta integral, v�\ u �er idéntico.


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63

Integrales definidas simples

.tw+ l

= o: :

f(x)

lim

= lim --- = - lim - •- O ' 4.\.1 · 5 ::W .,·-o .r 1 2

�-o

(X - 0)"'

1

1

= - ( nnito). si nJ = - < 1 (COllVCI'gCilCÍa). 20 1 Por

con:;iguiente.

gente 1 1 1'.

3.

Consideremos

al

existir convergencia

¡e:'.

la función y = f(x). y la

1 es

n e

integral

,lx .

si

1

=

1 < x .:::;; 2

,

2<x�4

si

..¡. - x.

n

/. definidas por:

cuando x .:::;; 1 1

f<x) =

.

Probar que

rc�pcl'to de todas las "ingularidades, la integ.r:d 1 e� conver­

r . j'(.\ ) dJ.

co v rge te y c<Jlcular su valor.

RESOLUCIÓN Una vez exprcsat.hl la fu nci ón _v = ((x) gn1ficamcnte (Figura 1.3..¡.) es de:,. Comprobemo� que en ambas existe convergt'ncia:

1

1ntervu o 1. 11flllllO; .. .

Al :.er

el lfmite 1

,\

' 1 1111 '

X

f(x)

-- =

1

"' .x

' 1 •m �

1

r 1' ·e·,- = 1

O d (pura lo

m ).

!>iempre nulo 'r/ 111. tomando. por ejemplo 111 = 2. podrá escribirse:

( ( linito). con 111 = 1 >

l = )

./'( 1 1 ) = Y. � li m '•1

o

obvio ql1e apme<.:cn úo� si ngularida­

.f(.r)

i

(.r

1 (<.:onvergcnciu)

1 )111

1

= l m 1-:-c-, = 1 ( fini[()), �1 111 = - < 1 (convergencia).

){ • J

tx - 1 ) -

2

(.\' - 1 )"' Con lo que 1 es convergen te : El árcu limitw.l<l por la curva y = f(x), y el eje x en el intervalo ( Calculemos 1 y. por consiguiente, di<.: h a área:

es lln i ta.

1 J:' =

,/(X)t/.1 =

lim JJ -- - �

f'

�u

J'

.,

e·' tf.\'

e�tb. 1 l i m

' ' '1 Si existiera dívergcm:m con n.:la�:ion divergen te.

;-o ;L

;¡l

J2

r

+

1 .....

(.\'

1

)

1 1 d.r +

(.1' - ) ) - 1 1 - tl.r

meno�

+

J:

l4

·r_

..¡ 1.

- .\ l d.l' =

2

um1 �mg.ui<1riúad. se dir:í.

en

(;Ualquicr �.:a�o. que la i ntc,gral

c�


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Cálculo i nteg ral y aplicaciones

()

2

4

Figura 1.34

Al saber que 1 es convergente, es válido obtener su valor integrando groseramente (prescindiendo de los límites). Con ello, se tendrá:

] +2�]2 -oc 1 1

J = e"

4.

+2=c+2+ 2=4+e

Consideremos las dos integrales impropias 1 y J definidas por: 1

= JrIo"

L(l

+ cos x)d x ,

J

=

f5 x2 3

9

X -p

tlx

(p E R)

Aplicando en la primera (x = n) la equivalencia de infinitésimos l + cos x �

carácter de ambas integrales.

2 (rr - x)2, estúdiese el

1

RESOLUCIÓN 1 presenta singularidad en su extremo :>upeñor. dado que j(7t) = L( 1 - 1) = - a:;. Teniendo preseme en .f(x) = L( l + cosx), además de lo indicado, que cuando A B entonces LA - LB, escribiremos: �

L(l + cosx) � L

[12

'] L 21

(n - x¡- =

+ 1L(n - .t)

en consecuencia: f(n) =

- oc :

= lim

s·•1f

lim

x-"

L ( l + cosx)

l

(n - x)"'

- 2/(n -_ x)_

111(1f - x)

= lim

.<-n

2

- L2 + 2L(n - x) ( iL -

x)- 111

!L' H6piLal� =

)jm (n - .r)"' = O (finito) si m = 2 > , 1=-m .<-r.

1

(convergencia).


http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples

65

=O

Al ser (en J) el intervalo de integración [3, S], la singularidad se presentará si acontece que x - p ¡en dicho intervalo! (para aclarar ideas razónese suponiendo que p sea J, 4 o 5). Con ello, resultará claro que cuando J � p :::; 5, la integral .1 es impropia (y f1 es la singularidad). Estudiemos, pues. estas singularidades mediante el criterio del Hmite: lim

f�r)

x-¡• --

(x - pt'

-

(x - p)"' ·

= lim

x-¡•

(x2

X-p

- 9¡

= p2 - 9 # O, si 111 = 1

{si

lim --' p =F 3\ = (p2 - 9} x�•r X - fJ

(x-

p)"'

(divergencia).

Si p ::: 3, J es seudoimpropia (converge) pues J(3)

x2 - 9

= x-3 Jim -- = 6. X-3

Con todo, J diverge si p E (3 . 51 y converge cuando p e R - (3, 51.

5.

Determinar. cuando _r � 'XJ . el verdadero valor (V) de la función:

j(x) =

are sen

(2r + 5)2 f"' ·

-�2

1

L(3t + e')

c/1

RESOLUCIÓN

Fácilmente se observa (cuando x ..... 'Xl la integral divergc por no verificar la condición necesaria de con­ vergencia) que existe una indetenninación de la forma (0 · �N). Por ell o y aplicando la equivalencia entre infinilésimos:

resulta:

V=

, f ,_"' r lim

4

,.

= 4 lim

-�-"-

.

L(3r + e' ) dt

t

L(3x + e") 2.x

=4

=4

lim ,_,

r 1

L(31 + é'1)

L(e") 2.cr

IL'I lopita)f

xz

l im -- = 4 lim

"--.

dl

x-«

-=

x

2T

=

2

Integrales Eulerianas 1.

Mediante �u conversión en funciones np) determínese el valor de las siguientes integrales convergente:;:

J:·

a)

1=

b)

J = J()Í 1 (Lr)" dx

e-x� dx (integral de Gauss),


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Cálculo integral y aplicaciones RESOLUCIÓN a)

I�

1=

e

<

0

bl J =

J. . H

2.

cLr

{x.l

= 1 (igual intervo.�lo)

2.rdr = d/

1=

-

}

I �}2 � r(�)2 =

11

.

2

dt

2 ,/�

' · --

= '' r.: .

,

= -e

( - 1 / )1'. e dt .

=

( - 1 )11 •

J I , dr t)

,•• e

a)

b

.

RESOLUCIÓN 1: Haciendo [véase ( 1 0)1

1

y puesto que xJ

"'1 + x2

1+

ua

1

/1 1

d.r = -3

1

( di ) -

:,

J=

...- = 7 (ll'd.\

.

x

)

-,

2.xr

=

-1

{p

I

1

=

-

=

2

= = L�: � �� e - ' '} no. l ) - l :c . OJ : = í ' <ü>'trf.� {c/,1' tll J l,

Mediante su transfomwcíón en integrale.s culc1i a integrales:

a)

e

1

=

J

0 ( - n"< - " - ' c/n =

r

= ( - 1 )"

= /!:

.

r(ll

tic primera t:specie Cr -

Js

2)3 - x

dx

8(p, q), calcúle::se t:l vaJor de las H=

e)

- di)

.t {tÚv == 3ttl+t 21 = f '

d.r

I' .rJ � 3

-¡2 . 10. .J: ) ' 1 1. 01

,-3·� _,

2Y

d1

,1 1

2 ( 1 - n-

----, -.,.. tlt.

=

se tiene:

-, {p -

/=

1 ).

1)- dt

(j

1 = 1

1/2 = 2

} -2 8(3-2 - 1 ) =

l

.

Al ser t¡ = 1 < O. IH integral 1 diverge. Es UC(li1Scjable (siempre se debcríu hacer) comprobar previrt­ mente el canícter tle la con-espnndienle integral ímprnpia propuesta. b)

3

. 11

13(

1

= 27 " 3 ·

27/J

, , ( 3 di) = 7 2

f) 1 -

Í(4 )

ít1 '2)

n9

2)

J'-;.

! ' r'( l - 1) .J

-

. � .:... 1

n

= 27 v 3 · 7 -

?.

6r(�) 2

'1

2 2

_

2

r

1 l di

lf

( ) t\3564 l

_

2

1=

{JI - 1

=-

= l

v3

-

- 1/2

}

=


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Integrales definidas simples

e)

H:

X

=

1 (tLv:

=

-3

dr-:) {xX = r = 1 ( =

eo conse.cuencia:

H=

-

1 o

J

---=

9y:;¡3

1

= OO . l

3,

Q

-

t4 3(1

x

-

3=3

67

�) r

1) -t¡J dt 1'cambiando

sio no y e

e tremos 1' x

=

¡ )

1 f 1 14¡J(I - r)-''3 dt p - 1 3 9�/3 p- l = --31

= --

=-

o

4

Con todo lo cual reslllta:

3.

r

Medi anle su transformación en integrales guientes i nteg ales convergentes:

a)

1=

f"'2

v

eulerianas de primera especie, determínese el valor de las si­

jlg:rcLr . b) ./ =

f, dx �

Jx3(x

-

4)

.

e)

H=

RESOLUCIÓN

a)

1

= f"/2 ( ..r)l/ 1 = f sen''z x · cos -to'l xcLr {2p -- 11 == -1 /2l/2} 1 1f J2 1 (3 . ) 1 : -1 4-- [dx 1 - clt] . x -1 -sen

o

cosx

dx

"'z

2q

l 1 í(3/4 ) í( l /4) =- B -. - =-· = - · -- = - re r( ) 2 4 4 2 2 sen n/4 2

b)

J

Haciendo

x=

l

=

4

(

,

1)•

-� =4

'

1

=

f'' J<x - dx , x5

1)4


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Cálculo integral y aplicaciones

y sustituyendo en la funtión subinlegral. se tiene: dx Con lo cuul, resulta: = 4� Jro dt = � [111/122] = � (compruébestambieéesnte resul ado enhaciendo el cambio : x =-1t (dx = dr12) {x=o1c ->1=0} ( - 1 -1 t), con lo cual: e)

1

l-l¡l

J

H

4

-

H=

x = 4/t x

�1= ]

X=

""

--

. r

1

-

� ¡-

=

( J O)).

aconsejado

1 = --

f(l ( 1 - 1)-+/3 ( dt) 1' 1.>'3 (1 1 [4 1 )] [53 · 3 r(2)] ( · () () 3·3 3 3 u

� � r = 2 3" r 3 3 = 2432_. _n_2n = 729 Medidaderaontvule torarnue:sformación de la integral en una función Beta. determinar, 1 tiende i n el ver­ 2

1

4·3 ·

4.

2

0

r

=

+ 1)!!

_

RESOLUCIÓN

1=

"

2

r ( 1 - x2)" dx 1

Jn

=

dr .

ttx =

l l d¡ = _,-

2

=

=

=

1=

,

x1)" tÚ'

r (21 + (21

{x2 1 ¡1P)}

no varía) {, 11 /-1 1/2} Gf

(

+ 1)!

1 ) ! ! = ---2" . /l !

2 .

2" •

a n fi i to

cuando

r.J ol 1 -

(�) ( + �) - (2n l

r

sen3

E = J2rrll

Compruébese que:

10 j3 n

s_

1

=)

r

1

- Jo

/-

1 2( 1 - di (el intervalo t)''

�( . 1) (]) 2 2 + 2 (1 3)

�B

n

=

r -

2

r

r(n + l )

2

.J.. -


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Integrales definidas simples

69

Probemos la relación dada:

=

(211 + 1 ) ! ! 2" + 1

r;

...¡ n

Muliiplicando y dividiendo (2n - ! ) ! ! por (2n)!! = 2n(2n - 2) · · · 4 · 2 = 2"·11!, se tiene que:

(2n + L)!!

=

(2n + l) !

( 3)

r n +- =

__;_

_ _

2" · /1 !

2

(211

+ 1)t

21" • 1 •//!

-

Jn

por consiguiente:

Jn

·

1 22" + 1 · 11 ! / = - (1 1 ! ) · 2 (2n -'- 1 ) ! Jn

=

22"(n ! )2

(2n + 1 ) ! .

=

2 2"(n!)1 -----

(2n + 1 ) · (2Jt) !

l labida cuenta de que el verdadero valor de E es:

y aplicando IH Ct!Uivalencia de Stirling. escribiremos:

(n ')z

=-= = ----= ? -v'/7_rr· 2n · (-n)· e 2,

(2n)!

,u

=

22n -

e ' .J 7C /1 . v

�;on lo cual:

lim E = lim

11 •

<

,_y

� 1[/1 ¡:¡;;; . ---. ,2n + 1 2-" 2-" '

r--

= fi n lim ,._'

11 211 r 1

de donde resulta:

Verdadero vn lot = lim

5.

E = -¡;, ....; 1

Consideremos l a curva C (cerrada y �imétrica respecto de los ecuación: ct>n

a>o

n

uos ejes �;onrdcnauos) •

n '= N

dcllnida por l a


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70

Calculo integral y aplicaciones

Calcúlese el iu·en encen·acla por e y supóngase (en la expresión

RESOLUCIÓN

final

de este cálculo) que:

r e

Habidu cuenta de la simetría exi stente (la circunferencia es un caso parricula de integrar en el cuadrante positivo, donde consecuentemente se verificará (y � 0): y

= f(.r} =

�a2" - x2", que cona al eje x(y = 0) en x = a

con todo lo cual, se tiene: JI.

=4

f" 2.:/t?·" - x2" dx {

··

= 4u2

fl (' 1

.

_

= 4a

11

( a2"

, J ? ' ., i = 4a·0 ( ! - r-") 1 1-" ·dt {r2" = ¡t(r = u 1 1-")

2a2 l = - ·B - - + 1

n

} J1

" = l a

i/.1 - adt

0

2n' 2n

)

=

2n2 11

para 11 = J )

r

.

(1) ( ) ( )

217

l

.

-

2n

j

r -+ 1

J

I

(1

}.. ( l - u) 1 1 2 " · l l l "

-

1

.

podremos

- c/u =

2n

�+ '

como

1

rG + 1) =� rG)

y ustituycndo la relación dada, resulta:

1\

n

11

(1

Integrales paramétricas

1.

Obtener el valor de la integral convergente: /=

f.. --- d.r 0

cosx

x2e�'

sabiendo que el proceso mág sem.:illo para su C<11culo, consiste en efectuar dos derivaciones en la intcgrül

paramétrica:


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.

Integrales definidas

/(A) =

f' (\

cos ¿\"

1

---=-,--

r-e"'

ilx.

simples

71

{/(1) = /

Nótese que

/(0) = o

d ll

y res(llver, integrando por partes. la integral --;-;- resuiL:tnte.

cit.-

RESOLUCIÓN Aunque solemos proponer los ejemplos y ejercicios en el orden de menor a mayor grado de dificultad. esta ocasión comenzaremos con éste (relativamente dillculloso) debido a los t:onceptos que aporta.

' ' d.\ = j' ' f = di. f'

tl!(i.)

sen ( Ú ) · x

x-�:'

t/21

d).-

.re-<

0

Rei>olvamos puel\ e�ta última integral:

l

{

eos i.x = a

e -"

-. dr dt•

=

du = - i. sen).� l' - e- -�

=

f' 0

e ·'o;en J.rdx

. tfZI(Í.) + "J . -- ' ( 1 )'

¡l)_l

1

'

d\

dx =

'

f'

nótese que

d.\.} = -e

!

_

.

-

tll.

J ' Jrni Á

'eos)s

t· = e-"

l'

- c - ·' �en í.�

n

--

c/1(1.) =

-

d).

Ciilc.:uiC;"mos esta constante C1 teniendo en cuenta que

di

�rdx J

= aretg /, + e ,

dl(i. = 01 di,

= O = arctg ( i. = O) +

C,

= O;

�-

=

( 1)

tl�l( ,)i 1 t/¡,2 =

--

(J

.l (i.)

A.cos

e " c/., = t/1'

t//(1_)

=

1! - ''sen

de donde:

Para .i = O,

.= ; 0

e .rcosLrdJ

n

( í. ¡

sen �(

=

[d/(i.)J

0

dl = í -di { =u �dtt = - Jstlx} = =

J (i.) =

w··'

cos ( Ú ) · x

,=

-

/( 1.. ) -d tii. z

sen Lr --

u

en

r,

= ()

+


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72

Cálculo integral y aplicaciones por tanto, escribiremos: tl/( .) } = arctg). · dJ.. -./(J.) = Jarc¡ g J. d),

=

J..arctg J.. J

con lo que al ser: 0

/(0) =

resulta que C2 = O,

y

=

[Á.

/.

_

e{).

__.

tlv - Ju

arctg ..l. -

11 = J.

1

l ) = arctg (

2

� J + X�) + C2] L(

-

1 ) 1 1 + 12) - L(

2

A=O

n

}

du = -1 + J.2

d2 = J.. arctg Á - - L(I + J.l)

por consiguiente� 1 = !(}, =

2.

-l + J.. 2

{

arclg Á = u

=

+ C2

=0

1

= - - - L (2 )

4

2

Calcular el valor de la:; integrales impropias convergentes:

a)

1

Jo

/ (J..) = Í 1

x;.(Lx)5 d,r

,

Jo

b)

/�tJ..) =

í'<·x''e -;."d;c

(J. > 0)

RESOLUCIÓN a) �J.. ) f 1 df 1

(x1Lr) <Lx)5 dx � La integral resultante es aún más complicada (cada derivación aumen= c/) , )( m el exponente de Lx en una unidad), ello nos marca la pauta a seguir:

Partir de la integral imnediata J(}.) = J(/..) =

il n

-- = tf).

j' 1

c/2./(Á) -,- =

i

dl(i,)

dJ..

de dondl! se desprende que:

Í1 J ¡,

(l

l

11

,;. dx

y

derivar cinco veces. Consecuentemente:

I ?. + l J o ), + ! + 1)2 \'l+ l

f

x4 dt = ·-

= --

L

x'Lt:tlx = - ---

().

7

x;.(Lx) - d x =

1 ·2

(A + J) .

3


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--- = f" -xe-J.'. )dx=- f" modo,Se esdacrenibLresemosta im: egral la misma complicación que en el anterior. Por ello, razommdo igual 73

Integrales definidas simples

bl

dT, ( J.. ) &

o

.-\"''(

o

.I(J.) =

dJ(J.)

fo<

x'' � 1e '-"dx.

e-;.., dx •

1

J..o

= - -:- e - -.�.

- IJ.u xe-.L'dx

di..

lle

caso

l.

=

.

1

V > Ol

=

1 J.

=

- -

,{2

de donde resulta evidente que: Se p1•opone comprobar ambos resultados transfonnando e 1 en funciones r(p). Obtener, por 2derivación paramél1ica, el valor de las integrales convergentes: fn/ = lsenJx·cosx(Lsenx)'1rlx = f cos- {C/.�0 La di f i c u t a d de es t a pr i m er a i n t e gr a l . consi s t e en obs e r v ar que l a i l l e gr a l Jsen� x · cos:cdx inme­ � diatCona, que s(sinenAmásx) =consscn,idterxa· Lscioenesnx., escribiremos: •/2 sen;· x · cosxdx (senx)J.+ ]"12 J f'lt/2 sen".r ·cosx(L senx)dx = 1 /

1

3.

a)

11

b)

l,(a.) -

o

.\

- dx

,

0

ax

Cl. =1: tt/2

RESOLUCIÓN a)

y

es

1 tl,.

ello, y

J(,l.) =

0

=

), +

1

1

o

= --

}. + 1

d.J(i,)

-- =

dJ.

---

o

o+

)3


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74

Cálculo integral y aplicaciones I.:OilSCCLICI1fCI11Cnte:

t/�J(),)

---

c/),-1-

=

fn'Z o

de donde

1 = 1 b)

,

,

--

eh

[c/4./(i.)J di �

�= 3

=

4!

mp li cado darse cuenta de que

co

e/

·

Por consiguiente. escribiremos:

1(7.) =

dJ(o:)

-- =

dq_

4.

Conside remQs la.'

clll\') Oblener -- para dy

b)

Hallar en un

la

ft

cos

2

Y.r

cos- xr

sen O'S

--

o

X --

X

f1 (;(1S C'-1'

d..x=

'cnr J

dx

1i

v =-

2

.

Compruébese

punto genérico

(.1.

fundón su bi nlegral no Cl> la variable

lo únit:o no parámetro

y)

que la i ntegral

J

0:

y)

=

-

0

X

f"·', [ fn' it· -

·

como en casos antenores,

f xrd.r tg

lg IJ. + L (;OS "J. '

·-¡_-

r · cotg u tlu

,

_

es inmediata''

L eos !"l.

t

Leos�

csla derivada resolviendo

la derivada segunda

depende

buscarse.

¡

sen 'Y.)

F<x.

7·+� "'"'1' .\ + � t -

128

dx = - - L cos ;n

CúS IX

.1

3

debera ,

,

=� .y

dC>s imeg:rales paramétricas:

a)

a) Como

tg( :t.t)dr =

0

n

/(r) = -

RESOLUCIÓN

f1

dfl.

(tg o-s)

=

45

una integral J(�) que facilite esta resolución. ¡,Es

.

(A + l l�

, eomo 1a ·tntcur;....u t//1('1.} es aun mas e�·ttlcu ·· 1tn�a que r,t� ) �

4!

sen•x•t:osx(Lsenx)4dx = .

/(y).

]

dl'

F�,.

tlel p3r;imeu·n (l]Ut: t:n t:stl.: ejt: mpln ha sido clenot"ado por y:

de integración). e:-c.:ribircm os

( 14):

dtl db di()'} · = ((b = sen \'l - - /'(tt = co:; )'j = . t!y . . dy . cly

y

-,- en;; y · sen � + 2 '>en y � 2

-

,

1

c.:os- y 4- 1 co<;\· + ]

( -sen

rt

·

=

d/ty =

tfv

n i�)

2


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/(.)') =

f,.,

..

,.

<> O

Y

1

. . x2 + 2� f-

? dx = -

f'"'"' L•».V

Integrales definidas simples

1

.

(_x + 1 )2 + 1

dx = arctg (x + 1

= arct.g (seny + l ) - arcrg (cosy + 1 )

) ]" '"

75

_ t'U.!•\'

Derivemos pues este resultado: dllv)

cosy

( - seny)

l + (seny + l )

1 _¡_ (COS y + ] )2

...:._ =_ _ _ _ ....,.2

--

dy

--+

dl(v = n/2)

t/y

2

b) Después de razonar unos momentus con F(x, y). debiera ocurrírsenos empezar resolviendo la integm1 encerrada entre corchetes:

f,.

•';!

v · cotg u du =

expresión que sustituida

F(.x, y) -

5.

en

JQ

v

J

'

cos u

,. 12

--

sen

11

du =

"

F(x, y) da lugar a:

vLsen v · dt'

>

rr2)

[ ]' ( L sen u

n/2

=

t• L sen '' - L sen-

F', . (x, y) 1( 14)} -f(b - A)')

--

fu

= PLsen 11

xy L sen {xy)

Mediante derivación paramétrica resolver la integral convergente:

/(} ,)

RESOLUCIÓN

= I ., 0

dl(i..) di,

arcto J ) "' ( ...x

, dr

(i. � O. i, #- 1 ). Aplíquese que

x(l + .r )

=

'I x( ).lxl · x I "' 1+ ..,.. ,- il.r =

1 + ..r-)

0

/(0) = O.

1

, 2 ) dx ( 1 + x2 ) ( 1 + J..-x

gue es un:1 integral racional relativamente sencilla (Apéndice 1 ). En consecuem.:ia: ,

., , =

( 1 + x-) ( 1 + cr·)

Mx 1

+N

+

, +

.-.:·

1

Px + Q , 2 , ! itlenti ficando. se tiene:

1 + J, J'"

M = P = O' N = -1 - ;_2

.

Q=

1

-

¡_2

·y -


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76

Cálculo integral

y aplicaciones

con elln: dlW

d).

=

i 22 r·-· 1 - l2 (rr rr)

¡ -

1

<

- ).1

0

1

tlx

1 + x2

_ _

- ). = -- 2 Por tanto:

t//(i.) =

con lo

1f.

2( 1 +

},)

relación /(0)

que aplicando la

7r

2

•0

d).

=

a)

Obtener el valor de la integral /(}.,

=

1

1

1!.

-

2

f

f(rt)

=

nrctg.r - ),arctg(h)

_

di().) 1f. -- = 2(1 + }.) d).

di.

--

1 +l

1f.

=-

2

e=o

0

=

u 1 1 ;,) + e

para , i =O

O, y particularizando =

]"

[

=,2 1 - •'

=

1

L ( l + O) + e

1(2,

b)

.

r¡ J.J

=

Consideremos l a integral impropia convergente

a)

dx ·

+ (Ax)

1

n 1 - }, -=l), =F I ' i 2 1 - .1

'2

J(Ol = o = -

6.

__ _ 1 22

el resultado nntenor, se nene:

7t

/(}.) = - L(J + },_) 2

=

(con dos parámetros):

e

1""1 cos (ax) dx

0)

(/. >

0) mediante su transformación en una función Gamma.

Aplicar el valor anterior al cálculo (mediante de1ivación paramétril:a) de la i ntegral

l(í.. a) dada.

RESOLUCIÓN

1 = -

b)

d/(Á, tt) --- {más aconsejable

��

Hnciendo

{

-

xe

du

¡}/( ,. i

A.'- d.y = c/r

el)

--- =

d(/

1

-

··

.

= u cns

11 =

1

21. _

1!

:;-:- q - '"' sen (ux) -'·

2

1

=-

dx}

r: - -v �-

')

que deriv<lr rc�pecto de J.:

sen ax = 11 _,

�}

ux

M·, .

u

-::¡-: _/ o,

2

n1

=

� ¡· 'm

=

" - A-"2

u

1!

[ - .r sen (ux)] tl.r

'···· cos (ax) r/.1 = .

-

Cl

;;-:- /(¿ lt)

-1•

, 0) = vIn 4i

1(/..

')

- , .�.

, rc:-:ulta:

1' f' -

=

r(�) f


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Integrales definidas simples l·lemos obtenido con ello. una ecuación

di

a

= - - 1 que resuelta, conllevará

al cál culo de da 21 la i ntegral J(i., a). Dicha resolución. aunque el alumno no sea lodavfa ducho en el tema. resuiUI muy senci­ lla operando en la relación hallada de la siguiente forma:

di

- =

1

�u =

Por consiguiente.

-

1

--:

lt.

diferencial.:

77

(a tia) fimegrando:

1 (/2 -- - + 2A 2

c

l(),,

=

y puesto que para a

/(},, se tiene finalmente:

0)

J

a) = e

l 1 - di = - --:

2 ;,

1

(l! - - -r e �i.

=e

J

a da

4i.

·

e

e

=

=

k ·e

·�.-.

= O,

=

JI;_

= k · e0 = k

Aplicaciones de la integral definida simple

1.

Determinar el área encerrada las

al b

l

ecuaciones:

.v =

4cos3 t} 3

y = 4sen 1 p=

por cada una de las curva.s de la Figura 1.35. definidas

(astroide)

4 cos30 (rosa de tres pétalos) 1'

)'

Figura 1.35

respectivamente

por


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78

Cálculo integral RESOLUCIÓN Del primer gráfico <.le la Figura .35. se tiene: 2 ) l 2 o 2 n+t e os 4sen3¡ ( -1 2 cos2t s entdt ) = s c tdr= -19 f f4 I," 192 Jí"'lo ·en+rcos.! tdt {2q-2p-l1 = 2} 2 (2 2) C) C) 3 r(�)J = [�. r(�) . 1 6 -n 6 2 2 2 2 2 8 6n Apoyándonos el segundo gráfico •crriafldo, escribiremos: frt/l A= 6·-1 Jn/ú 3 J / !6cos2 (30)d0{30 = 16 cos2 Consideremos las curvas y C2 definidas en cartesianas por las ecuaciones: áreaMediCalquecenciulantareelralaasloyfngiósurmtuulldoangides detluad.pasporocidada:ón de. encurv1.a5,C�obtenéngasel pre iemnerpolcuaadrresalnta eecuaci, comprónedendie,da.enle irgeualelmorentigeen, ely la recta RESOLUCIÓN - O {\' �ceonsO } 2 cosOsen { 0 (pol20o y aplicaciones

1

a)

A=4

o

ydx = 4

=

=

= 96

b)

4 = 1 92 - � 8 � . � .n = 96 r 2 . r f(4)

'*

2

A=

en

2

o

2.

p2(@)d8 =

=

o

t dt =

t!

4rr

o

e,

e, : (x1 + /)� - 2xy = O

e¡ : X:! - y3 = o

a)

b)

y = S.

a)

(x2 -r y 2f�

2xy

=

=

y

p

= f1

O

�p

4-

O=O

p2

l'

o Figura

Poeslo que

al ser r

p=

O)

p2 = sen

.1'

X

1 1 11

=

=

4cosJ r

{si.

r

=4-r

�� .\ =

O

->

1

=O =

n/2

u 1.36

(como sabemos)

.r


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Integrales defihidas simples e,

Después de haber conseguido construir el grMico de

c:uenttt (compruébese) de que las rectas

O

= O.

O

a

partir ue su euuación

= rcf2 �<on tun.gemes

a

p1 =

sen

79

20. y habida

e, en el polo. se tiene:

A = 2· ; fn/2 ¡>2(0}d0 = r sen(20)t/() = 1 ds = Jp� [p'(O)f · dll. cos220 (dp)2 2p dpdV -dO = [fl'{ 0)]2 = 4p1 =-20 l

....

Como

en

�olares.

1)

...· z (1

derivemos respedo de /1 a ecuación p2 = sen

l

+

= 2 cosU

20:

4cos120

.....

sen

siendo: ¡>2

+

[¡/(0)]·,

= sen2lJ

--

sen

y tomando fn/2 (t) dt = 4 fn/4 � !20 ° ] la relación ds = J (y')1 · g

lu

s=

cuarta parte de esta curva

v sen 20

11

b)

Si se toma

inre

ra

l

=

tvdo

lo

{x o}

f5 y't

Ca cu ar

a}

x, y

= y3

2

.l'(v) �

'

+ (x')2 dy = ? 1

-

x2 + y2 = 9 es coreado

El Hallar el l l lla el x 2. RESOLUCIÓN s la

b}

y�O

0

plémo horíz.ontal.

e eje

dx,

l resulta:

c ua

cilindro

a)

f(y)

J

;

surge de inmediato una gran dificultad pará resolver re

3

ac ó n ds =

temente:

+ (x') =

4)1 1dy 1 2 [ -

p

no

(9y

= ;·-

0

por el la

+ (.\')1 · dy:

., 1 2 1

t =,. 1 - - + 2�

(9y +

J1

(n)

27

9y

9y

+ 4

4

4

+ 4)31:!

]5

H

335

27

que pasando por el eje x forma un ángulo rt. con

volumen de La cuña limitada por el plano

n,

e

l l o el ci

indr

y

h = y tg tJ.. Con lo que su área s

e

1.37)

el

plano horizontal.

=

la Figura

la

+ - = --

volumen engendrado al girur nlredeuur del eje y. la región limitada por la curva y1

recta

altura

sen

a 1¡, Figur:l 1 .20).

Lo lados del triángulo sombreado (primer grMico de

siendo

--

= 5,2438 (véase ejemplo correspondiente

l n la l i +

s=

3.

sen - 1 1 2

r: = 2

=

(lemniscnw), es ribi em s:

correspondiente. Apliquemos. por ta to,

x

con

dU

e,

+ cos22020 1 20 c r o

= x3,

tienen por dimensione� y (base).

A(x) (sección normal al eje x)

= 1 y ·y tg 1

-

a.

Consecuen-


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80

Cálculo i nteg ral y aplicaciones

ly

-------..__

,......... -------

.�:_

--·----= "

______ ,._.,. ' ' '

X

X

Figura 1.37

V=

b)

f.\

2

(y � O) y (24), se tiene:

Siendo en la región

ejemplo) la fórmula

V = 2n

4.

1

2

o

o

= f(x) = x312 (segundo gráfico

xj'(x) tlx = 2n

12. o

x5i2 d.t

7 [x712]

2

= 2n · -

[0,

1)

Figura 1.37), y apl.icando (por

32 j2 = -- n

2

7

o

do por la porción de curva co­

ra

Te niendo presente que el elemento diferencial del área de revolucjón engendrado por ds (di ferencial

ue arco) de la curva p = p(O), viene expresado por

(� = O y

fJ

= n, por la curva:

p

RESOLUCIÓN a)

a

de l

y = j(x) = :}x2(x - 4). Calcul!u· el volumen engend 41 al girar qlrcdedor del eje x.

Dada la fu nción rrespondiente al imervalo

a)

b)

1 13 J'2dx {y2 = 9 - x2} = tg e< 13 (9 - x2)dx = l 8 tg�

A(x)t/x{simetría} = 2 · - tg o:

3

V= n

J4 f01 o

= 4n

= 64n . 256�t

81

f2(x) dx = n

= e1112 (espi ral)

,

) 3 n

sen n/3

·\'

4)1dx

64n .

=

al girar alrededor Jet eje polar

014 Ux4(x - {dx =- 4c4dt}

U(41)4(4t - 4f dt = 4n · 42

a(�. �) =

dA = 2np · sen()ds, calcular el área engendrada entre

_

=

f1 t413(! - t)2/3 dt {p

-

o

G)r r)G) = [�. � r(.!.-) . � r(�)J =

r

V=

32n

(4

5 1 2 j3

243

---

3

, rr

3 3

}

= 4/3 q - 1 = 2/3 1

3

.>

3

=


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Integrales definidas simples

b)

Habida cuenta (20) de que ds =

Jp2 + (p') 2 dO. escribiremos (segundo gráfico de la Figura

81

1.38):

y

,; (eje polar)

Fígura 1.38

5.

x(4

La Figura 1 .24 representa la región R encerrada por una porción de la curva definida por l a ecuación - x? - = O. En el ejemplo correspondiente. se obtuvo que el volumen engendrado por R al girar alrededor del eje era V = 2.048tr/35. Compruébese este resultado aplicando el teorema de Pappus, obteniendo previamente, como es necesa­ tio, el área de R y su centtoide.

y2

y,

RESOLUCIÓN

Área {A) de R.-Observando la citada Figura y puesto que y = f(x) = {4

Centroide.-Pueslo que (simetría) C(x,

f xdA

=2

En consecuencia:

(''· Jo

x(4xl/2 -

� fxdA, [ f.¡ (4x3/z -

0), hallemos x =

x312)dx

=

2

x).r1'2 si

y

O,

esclibiremos:

teniendo en cuenta que dA = 2 -f(x) dx:

xs'z) dx

u

-

=

2 � x512 - � S

7

x7'2] 4

24 1_ .0 _ _ =3 5 0


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82

t

Calculo i n eg ra l y aplicaciones

Como l

12

2n · -

a dar una vuelta, C recorre

7

= 2471 -. aplicando el teorema de Pappus. 7

V = A(256 ) · 15

6.

l o siguiente

a)

la

=

2.048n 3

5

una e r maS<I y de sfe a de

Ha lar el momento de inercia de

apl i cand

2 n 4 7

re�ul!a:

M

f6rmulu (véase Figura 1 .27):

ect

radio R resp

o de uno de sus eje�.

1 = f di di: (36) so Este conocitlos: 1 es la n e ellementos diferenciales de s cuyos momento� de ner i (d/) nd f a u o de revolución, a e la fórmula de mom nt de inercia re�lJCCto su eje momento de inercia del cilindro sombreado

método consiste en tomar

n

b)

ma

suma (i t gra ) de aquellos.

Apl itá

e

o la

fórmula 1u1terior 1 =

o

c

(cim )

i

dedú zc

erp

a

.su

s

..,

RESOLUCIÓN

c ad (esfera completa) on se tomado como dm la lindroObservando sombreado,lase tiene (momentos de n r =2 d/(momenlo de (ldll d::.l Figura 1 .27

a)

it

a

en d

1

tlm . a2 (dm =

En consecuenc1:.t: = IR dl. = IR di_ = fll (R4 dra un o o la u y = l Figura !_ .

Sup

end

ni

2

-R

que

-

c

-

O

prr

0

ha

+ z4

-

2R:;.<:¿ )

= r · na 2

e ci­

masa d l

=

de.=- pnR5 =:.. 8

15

')

5

MR�

1.39 gira alrededor del eje x, el área sombreada engen­

.f(x) de a

rva

de

i e cia respecto del eje ::):

inercia del cilindro)

b)

c

de revolució11. Aplíquese ésta para comprobar e l resultado

de

{u) 1 = -:- MR2 . .)

un

di

a

«CilindrO>> cuyo momento de inercia respecto ele dicho eje (de revolución) es:

con lo

df X

=

1

2 f dl, 1 = � fb

' 1 tl111 · v- = 2 . 2

-

que: 1, =

=

' 1 4 2 " =(¡Jn>' dr )r pnJ (x) dx .

X

2

pn

./'4(x) tlr

o

(37)


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83

• e (.r, .ii> •

o

X

a

(.�. �)

X

b

Figura 1.39

cuya aplicación a la esfera (curva circunferencia x2 + = R2 - x2), da lugar a:

J

y2 = R2 que gira alrededor del eje x � y = f(x) =

que es la integral obtenida en el anterior apartado.

.

EJERCICIÓS . PROI!U�$1705

� ... · --:.. -� � (

-

• �

• ·

-

La integral de Riemann

1.

-

-

Comprobar que los valores medíos integrales de las funciones:

y = f(x) = L(x + 2) en [ - 1 , 1 )

y= ( ) = 1 + 3 cos2x en [0, n/21 gx �

cos�x

,

son. respec1ivamen1e:

f(c) = 2.

= -

3L3 - 2 2

,

g(c) = 61 (e = arclg fi>

Comprobar que el área de las regiones limitadas por l as

a)

b) e)

y = X, X = 2

2y, X =

y = x2, x = y2 x2 + 4y2 - 4 = O

1, X = 4

curvas:

son, respec1ivamen1e:

33 4

1 3

y

4n

----

.�

-


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84

Cálculo r l 3. Aplicando la relación:

integ a y aplicaciones

cotgx senx -J2 (

sen - 4 7t

=

f"'� L(cotgx- l)dx = f"'4 L(.j2)dx= - L2

comprobar que:

4.

)+ 1

x.

El cambio variable

l1

1[

8

o

da lugar a relacione.�: In dx = f" j(n - dx 1 f" + fll f"'2. clr Aplicando lo anterior, comprobar: que 1"'1. Lsenxdx -L2 (véase el correspondiente Ejemplo resuello de

a)

()

f(x)

b)

n/2

a)

.r = a - t. x)

(1

f(x) cú =

O

=2

o

lf(x)

X) 1 t!x

f(cl

j'(a - x)

=

1)

Jas

IT

2

4)

11:

b) que S L2 es el valor de las L1·es siguientes integrales: 1 = f"'� L( 1 + tg.x) , Jnl 2 (sen sen+ cosx) , J L(l + Mediante el cambio de variable lineal xSen b una función continua en el intervalo o+b ' Probar que + b - j(x), entonces fl• 11

5.

dx

J

x

L

=

-4

•14

y = .f(x)

=a+

1

11

la. bi.

1:

si J((/

.t) =

n

Aplicando lo anterior obtener:

xj'(.x) tlx =

cos2 x -

f" xsenx

6.

H=

dJ;

0

- cü ---:-

-

l +

=

- f

?-

n

j(x) dx

7il

4

En el ejemplo anterior puede haberse utilizado relación: f• X /(sen.x)t/.t{X = = -1r f" j(SeOX)dx la

u

1l' -

ft

2 .u

x) �

l + x·

dx


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Integrales definidas simples

aplicando ésta conjuntamente con (Ejemplo resuelto 'ff/2 Lsenxtlx f Lcosxdx " Lsenxd:r 2f J compruébense Jos resultados: 2 f'r! / ni 2 L2 . s--,en-x- dr nL2 (por partes) Comprufébes. e. resolviendo la integral correspondiente, siendo O <a < que: 2 J1 ++ x) f1 ll ++ xx)�- dx a +2 1 + 'l.L(a + l)- + L2 4):

=

o

�/ 2

J

=-

o

nl

x L seoxdx = - -

o

7.

o

7?-

0

0

2

(

x d

=

0

=-

,

(

2

=

y

x2

7t

- 1.2

=

l.

a= l

--

=

Integrales impropias

1.

Comprobar los siguientes resultados (C. ::converge, f2diverge): l o:f x'l j•t 3 .4 fJ X ++ 1 tx + 1 r r. cos-x Pruébense siguientes resultados: 3 ( C . ) f f' 1 1 +X f�/2 e (C.) frr¡l (C.) , r (x - 1 )"' sí J < m < 2) Estúdiese carácter de las integrales que siguen, obténganse los valores in-dicados: f>t d 2o j / n + 1 2 f 1-senx f,. f"' + 1) D. =

-;; dx(D. para todo llt)

O

.) � 8 rli: (D X

- oo

2.

x

-.y:

O

J-��4. - X� )

)l dx (D.)

dx (C.) 1

.

• (t

? -

dx (D.)

los

-

1 3 COS 2

<.:OSX

dx (C.) t ----: X :-2-

0

3.

,

Ls

n .x d.x

,

0

X

dx

L_ _ _ x· - fix

Ltgxdx

el

!)

Lx dx (C..)

y :J -

(C.

y

- T.>

3

ex

n

--- x = -

e2x

-;:: :;:= x= = cLt (D.) = oo jx2 - x - 6

COSX = dx = 'J = = -r

L

0

(x2 + 1 l (x

dx

=

1t 4

85


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86

Cálculo integral 4. a) Comprobar la convergencia y resultados siguientes: l= dx ' L, -...,1 -- dr = -l L2 f " -;= = jpx - x2 J x(x3 + l) bl Apü..:ru1tl0 las relaciones: f'· {(senx) dx (f impar en sen = f"'2 /(senx) dx senx f'l.> '---2- par en sen _- f"'2 f(sen, x) d.t. x sen-x 0 y aplicaciones

= 7r.

o

3

·

0

x)

x

j(sen .r.)

. dx (j

,

0

x)

t1

Compruébense la convergencia y �-esultados siguientes: x 3n f., sen4 1'4 sen5 --

5.

16

x

n

1

.

�r

,- c/x = ­

d.x = ­

o

.x-

4

Pruébese la convergencia de la integral con singularidades Jos

/=

j'1 o

� dx Lx

V 1 -X

Recordando que 1 - 2l + 31 - 4J L2, efe.cruando el cambio de variable 1 - x = r, y desarrollando en serie potencial la función subintegral que resulta, compruébese valor = 4(L2 - J ). +

· · ·

?

=

el

6.

T

Asimismo, como gucedía en series, si la integral impropia 1 = r /Ct) (cuyo intervalo puede ser infini­ to) converge y además la integral .J.rb if(xll dx es convergente (di:ergente). entonces se dice que 1 es abso(�>emiconvergente). Sea una función j(x) cuyo gráfico (Figura 1 .40) se ha obtenido situando en eJ centro de cada intervalo [11 - 11] u rectángulo cuya base mide -,1 y su altura es igual a (- 1 " Pruébese: a) Que no existe ��� j(x), y sin embargo 1 = t' convergente. bl Que esta integral impropia es semiconvergentc. ux

/uta/1/e//(e cmwergenre

y=

1.,

o

��-

h

f(x) dx es

)

t

11.


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Integrales definidas simples

1' 3

....-

--- --------------------- - --

6------. r=J(x) ()

-

-------------

3

1

-2 ------------------- -

Figura 1.40

Integrales eulerianas

1.

a)

f�

1=

b)

1

(x -

2

1 ) = r¡

=

r(D

a)

IIL(x -

b)

Partiendo ele r(l.2)

=

=

2

1)

�L(x - l ) d

s

de l:t

o.9Us2 .

.

.! =

f(i

_ .�

1

-- e2'·'dx

.ji?-

funt.:ión r(p) calcúlese í( - 2.8).

J{� -t} � rG) 1.3395 =

=

=

0,2! = 0.2( - 0,8)( - 1.8)( - 2,8) r(-2,8) = 0,9182. se tiene que:

r(-2,8) = - 1, 1 386 (compruébese en la prolongación gráfica ele la Figura 1 . 1 2)

·2 J y4 -

Utilizando los cambios señalados en o

son:

e

r{p) al l a el valor de las sigui ntes integrales:

Medjante prolong:u.:ión analítica

SOLUCIÓN

2.

nes h r

Transformándolas en funcio

64

15

2

-n

fi

� dx

- '' = = _ ,=

7l

2x

hi

( 1 0), co1npruéhese que los valores respectivos de las iotegraJes:

,

fJI

-P

d:X

�(p - x)(x + p) 2

6 ( ac endo. como e ha dicho. x2 = 1).

,

fl �x4 - .r6 d.r

o

87


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88

y aplicaciones

Cálculo Integral 3. Compruébense los siguientes valores: f"' __ dx (función impar) = - o J 0

A _ tú.\ 1 +_ x

f... -

_

1 2 dx - -=L o x3 + 8

4.

lx + 21

J� - 2x + 4

+

1 +

<r

l6x = .!!._16

,1:

4

dx

l)] x (-, -) -..,¡3 arctg (.r3 3 Ji �

=8

2

1

2n =-

0

J3

La notable integral impropia. de múltiples aplicaciones: L[f(x)l

=

L"'

f(x)e -•x d:x

recibUtilizando e el nombrela identeTransformada de L'Apl ace de lalafunci ón gral cul e ri a na obténganse s Transformadas deL'Aplace de las siguientes fun­ o = k , = xP , = ea·• . = b.�

ci nes (r > a, p > 0): .f(;r)

f(x).

r(p),

f(x)

f(x)

f(,r)

kx¡¡eax

f(x)

=

ax3 +

SOLUCIÓN

S\

se calcula en primer lu<>ar L(kxPe""' = k 1

o

k L(k) {p = a = O} = r

y

asimismo de todo lo anterior:

,

p! (r

_

a)1, + 1 ,

L(x11) lk =

l,

resulta:

p! a = O� = .p + 1 t

L(ax3 + bx2 + ex + d) =

5.

- - 6a

,.4

+

2b ,-3

+

e ,.2

d

+ -

r

fnJl /(sen senx. (siendo f impar en senx) fcr.. .:...j(senx -.- , ) f"'1 f(senx) sen x (con par en senx)

Teniendo en cuenta las relaciones: f<X j(sen o

0

x) -'-- dx = . ,\

- dx =

x-

x)

0

0

1

dx

dx

f

+ ex + d


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simples Comprobar, mediante transfom1aci6n de las integrales en funciones Beta, los sigu.ienrcs resultados: feo -sen5 3n f,, -sen4 Integrales definidas

x

xz

0

6.

x

1r

dx = 4

'

Compruébense los resu ta os: l d

j·t o

7.

V{!) y V(J)

SOLUCIÓN a)

r{x =

= � . r4 = u, t

�.

o ún.icamentc sen } 2" · n !

(2n + 1 ){2n - l ) ! !

"� r(�)11 midades de (Figura b)

J{x"

=

tJ

- =� =1

x

p= 1

r

�.

2

ni

(

-

t"'

n -+ r.o.

( ......

1)

2

(2n + l )(2n)!

(111

e-"'' dx

�·B �. n +

(2" · n !)2

l )n · ------,. + 1)"+ 1

=

V(!) = hm 1 = •

n�a.

1 . 12).

, _. oc

r(t �) +

Jl_

= f( l ) = 1

(Compruébese dibujandode laladofunción correspondienteestees laresulde tunadocuadrado unidad.subi) ntegral cuando

n -t 'Xl, y

Integrales paramétricas

Considerando las integrales paramétricas convergentes; ·' �n�r-dx r�' f(rx) J Jo (x2 x: . a)

=

2

"

2

podemos escribir: V(J) = lim

1.

-

.j2 n

( + "�). Teniendo en cuenta la continuidad de lafunción f(p) en las proxi�

=r 1

=

=

.1 =

2 x2"+

J

dx = 16

x'"(Lx)" tLr: =

Con ideremos las integrales impropias convergentes: «> (x2 - l)" d.x . ¡;¡:;;;, J Calcúlense sus verdaderos valores cuando 1=

X

0

89

b)

J(.y) =

dt +

4)2

e)

observando que el área


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90

Cálculo

integral

y aplicacio nes

a)

Compruébese que

b)

Obtener ·

gral ./(y).

e)

2.

cl.J(v)

dl(a) --

dr;.

cos y.

1

dy

8

i. ) =

t.

.

=

':J.

(3 sen

, :�3 - 2 sen 2cc).

,. · unc1011 'fllln1111Va (1e 1� ·mle--

este re.qu 1tac. 1o a parlir de una ·

- -

·

·

H, en función de la inregral H(.l).

Consideremos la función /( . /(1.)

1

-

eomprue'bese

2

-- = -

Hallar la Jerivada

=

fr.o .f(x.

).) d:r

= tg

.y

las integrales:

J(i.J =

r� P<x. J.) dx .Jo

cosx

.

l.

11(}.) =

f"

a)

Pruébese, resolviéndola J1x

b)

ApHquese esta relación para obtener ./ (}.) = --¡:. = :::: ::;= ===;:: , e igualmente,

�}

2

que !(i,) =

J;.� - 1 rr

o

/4(x.

Á) dx

.

'

3.

.J..ñ

j(J.�

Mediante derivación paramétrica comprobar los siguientes resultados:

a)

J

I

u

X -

Lx

b)

1

--

I

dx = 2

1

x" - 1

f• xs u-x3 3 2 o f' ,t' - xb .

l(a, b) =

0

0

Lx

--

dx = L!n - 1 )

dx = L - (la descomposición no es válída: re�ta de dos imegrales divergentes)

clx ( a > O, b > Ú)

Lx

Resuélvase a partir de la obtención de

ejemplo que sigue

(4),

se calcula

de operar para conseguirlo.

4.

H(}.).

1 )3

=

L

( ) a+

1

b + 1

:

d[l(a. fJ)i (diferencial de una función de dos variables). En el

F(a� b) utilizando este

método (se obtiene

f:, y F'h), y s e indica l a forma

Calcular, mediante derivación paramétTica el valur de las integrales: a)

SOLUCIÓN a)

/(.J.) =

f(r;.)

1f _ 2 �3

- .

=

j'"'2

..

11

x2sen (.xx ) dx

, b)

F((l, b) =

Derívese (dos veces) la integral

fnll!t o

f"'' ( :+X:) o

L

a

b + x-

sen (!Yx)d.\.

dx

( a > O,

/J >

0)


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Integrales definidas simples b)

91

Derivando respecto de a y b la integral convergente:

(1)

se tendrá; F',, = Calculemos ahora

f' 0

la � -

a� + x1

Del mismo F'b se desprende que:

dx = n.

F(a. b). De F;,<a. b) =

rr.

mudo

= -n

F(a. b) = a · n + j(b)

!2)

Aplicando que P,. = - n, y derivando (2) re�pecto de b, escribiremo:>: F'0(a. IJ) = O

jl(b) = - n

0) Incorporam.lo el p r m r

=

F(a, b){21 = cm - bn

Indicación.

puede apl rse

=

f

obtener el u e [ + sen

' z ., e x ez"' sen (Jx) dx = 69 (26x 1

Tómese

Consideremos

3x- (39.r - 1 2) cos 3xl + C

5)

la integral:

J().) =

f

eJ..<

n

é' sen (3x) dx lpnrtcs: = . , (Á se 3 x - 3 cos 3x) 9 + ...-

fl'hh " J1�Lydy

la función y = f(x) definida por

f(x) =

la

integral paramétrica:

1

polinomio de Taylor de grado dos. corres ondi nt un entorno del punto x = 1, es:

Comprobar que el

p e e al

l

2

Jlz(X) = - (x -

7.

+C

a á et o hábilmente y recordando, como se ha dicho ( 1 .4), que también i ca si g i nte resultado mediante derivación: a integrales indetlnídas la derivación paramétrica, 1

6.

= f(/J) = -hn + C

= O = e : F(a, b) = (a - b)n:.

con ( J ) y (2), F(O,

5.

+

Sea la integral convergente

J )z

�seudounpropia¡: 1

=

fntl 0

L( 1 +

sen2 x)

sen2 _y

dx

desarrollo

en

serie de j(x.) en


http://carlos2524.jimdo.com/ 92.

Cálculo integ ra l y apl icaciones lntrodúzcase un parámetro (Á) para que medí;.1.11te derivación paraméu·ica se elimine sen2 r de'l denomi­ nador. En estas condiciones resuélvase la jntegral /(i..) COITespondicntc y compruébese qLte l(J. = 1 ) =

� - 1)7!.

=/=(

lndicnci6n.

Pamendo de l(i..) = dl(Á)

-- =

dJ..

f�¡! 0

f"'2 0

L(l + J. sen 1 x) ,

1

dx

{x = tg tJ = � 1 + J.. sen2 x

Nótese, para calcular la integral /(1..), que HO)

8.

dx, se tiene:

sen -x

=

rr -

2

O.

Sean las integrales /1 (J.) e /2(}.) definidas por:

a)

b)

l Mediante derivación parnmétrica, comprobar que 1 1 ( 1 ) = - (3tt + 8). 32 Obtener /,(,{) = -

,

7t

2( 11. + 1 )

. y •

aplicar este restlJ[ado comprobando la relación :

frr/2 0

X

TC

- dx = - L2

tgx

2

9. Consideremos l a integral paramétrica impropia:.

que

converge cuando IX � O (pruébese este punto con

Obtener !(a)

dL(a)

a

= 0).

mediante el cálculo de -- con a > O. Nótese que l(•YJ ) = O. da

Es aconsejab le descomponer previamente !(a) en dos integrales de extremos O y 1 (seudoimpopia) y 1, XJ (una singularidad), probando convergencias uniformes y validez de la derivación (aplfquese lo desano­ llado en 1.4 relativo a integrales paramétricas impropias). Jndicació11.

di

-

drx

(pruébese). se tione:

= -

f"" 0

e-•e'senxdx. Integrando por partes esta integral que converge para Á > O

di da

- ---

1 + Cl.2

/(rx)

=

-

arctg lX ,. e


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Integrales definidas simples al ser:

l('Y.:J) = o = -arclg (o:y :) + e

f(tl.

1 O.

= 0) = I""

sen .r

--

X

o

=

7r

e=-

d

rr

dx = -. De onde lx = 2

=>

2.

ar}

:

j'" o

1 (IX) =

7r

-

2

sen (ttr)

- arClCT IX o

re

dx = 2 (a > 0) -

X

Dadas las integrales paramén·icas convergentes:

Compruébese mediante derivación paramétrica que:

1().)

Indicación.

Partid de J.

"' sen

0

=22

./((J.) = 2 L( 1 + -x-) arctgGC

1

n

dx = -n E

i.x.

--

X

2

( jemplo

]

9 anterior).

Aplicaciones de la integral definida simple 1.

La curva, primer gráfico de la Figura 1 .4 1 , se denomina Astroide como ya dijimos.

(0. 11 )

{

1'

t

t - c 1 oos3 f

)':o scnl

(a, ())

.'(

J' '"' X

-a ¡ 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

Figura 1.41

Compruébese que e l área A encen·ada por ella, y s u l ongi lud total vienen dados por:

A=

3n8a-1 . S = a 6 -

X

93


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94

Cálculo integ ral y aplicaciones

2.

Con¡;icleremos las curvas C1 y C2 definidas respectivamente por:

(1 = 3 cos 30 (véase Figura 1.36) Compruébense lo siguiemes resultados:

?

9n

Área encerrada por c (lazo) = :: 2 3

Área encerrada por C1 (tre!> pétalos) = -

4

3.

Consideremos una circunferencia de radio r = 1 que rueda sobre otra d e rndio R = 4. E l movimiento co� mienza en el punto más elevado de esta última. Comprobar mediante los gráficos de la Figura 1 .42. que:

tr

sen 5t son unas ecuaciones paramétricas de la curva C generada por el punto que en cos 51 ambos gráficos hemos repre entado por P.

a)

b)

= 5 sen 1

y = 5 cos 1

-

-

La distancia recorrida por P al dar una vuelta alrededor de la circunferencia base, es 40.

.•-"

Figura

4.

o

1.42

Sen Lulo curvo C definida implícitamente por la ecuación:

(x

-

a)x:l + (x T a)_r2 = O (estrofoidc recta)

Tnterprétese geon.1étricarncnte (segundo gráfico de La Figura l .4 1 ) y compruébese mediante coordena­ das t:m·tcsianas y seguidamente ulilizanuo coordenauas polares, que el área encerrada por dicha curva puede lograrse razonando del siguiente modo:


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Integrales definidas simples

Mediante la ecuación cartesiuna dada o mediante la polar (1 = a

. 1gualmente:

Area = 2

5.

f,, x(o--- ) -'"

a+x

0

' l

tlx = a-

Compruébense los siguientes resultados:

a)

Que la longitud de la porción de curva

b)

Que en [ l .

mente 9.

"'

f"'.L

cos2(20)

v

{ 1� x=

)' =

t'

cos20 --

cos IJ

dO=

,

cos- O

95

. se tiene el grál'ico citado. e

a1

¡4 - n} 2

entre A(t = 0) y 8(1 = 2) es aproximada­

.J3 1 1a longitud del arco de curva y = Lx es aproximadamente

s

= 0,92.

Que el volumen y el área de revolución generada por la curva «astroide» del primer ejemplo propues­ to, �on:

e)

32 V = - rur1

dl

105

QL¡e el área de revolución de la cardioide p = 5( 1

ra l . l6), es A = 1 60n.

6.

12

A = - rw5

+

cos 01 (véase el gnHico de esta curva en la Pigu­

a)

Comprobar que e l volumen engendrado al girar alrededor del eje y la región limitatla por x = (1. e- l = O' .v = e-xJ,. es V = -- n. x = 1' V .

b)

t!

Probar que el volumen generado por y = f(x) def'initla implkitamcnte por la ecuación (a - x)y2 -

(/3 - a1x = 0, al girar alrededor de su asíntota. viene dado por V = - n2.

e)

2

Que el área engendrada al girar la curva (lemniscata) p2 = cos 20 alrededor del eje polar. es:

A = 2(2 -

7.

8.

a)

J2)n.

Comprobar que el volumen encerrado por el plano

;::

V = 1 . 000.

b)

Obtener que el volumen limitado por los cilindros x�

a)

Co1t1probar que los centroides o cenLros de gravedad tle: Cono ele revolución y pirámide recta de altura h.

' .�-

;::2

=

JO, y el paraboloide

= 16 xz

Ís vl

,

es

= 9, y1 + z2 = 9. viene dado por V = 144.

'

,.-

Superfície limitada por la porción (.r � 0) de elipse - + =- = 25

;::

16

l.

( u).

son respectivamente: (sobre el eje a una distancia h/4 d e l a base), c

20

3n

.


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Cálculo integral

b)

y aplicaciones

Compmébese que los centroides de: Arco de Ja catenaria y = 2Ch

2 en el intervalo f - 2, 2].

X

Mitad superior de la 1ongilud de la cardioide p = 1

son respectivamente:

C1 9.

a)

=

(

O,

2 + Sll2 2Sh1

)

+

cos (J

Obténgase que e l centroide de la superficie limitada por tos ejes coordenados y l a curva

Js, es C( l,

1 ), en donde:

A=

Js

f(x)dx =

o

25 6

=

fs

xdA

o

b) Compruébese que el centroide de la región plana limHada por la circunferencia rábola y = xl. es:

C(,�, ji) / .� = O ' y = -

1 O.

15n

+

+ y2

= 2, y la pa­

lO

3

(

a)

radio de oiro k="'

J3

'

1=

1

12

Ma2

'

I

,

1 = - Ma· 6

Sea un p¡1raleJepípedo rectángulo cuyos lados miden a. b y e metros. Compruébese que el cuadra· do de ¡¡u radio de giro respecto de un eje de simetría paralelo al lado cotTespondiente al valor e, es

1(2 =

1 2.

44

xJ

Considérese una placa cuadrada (delgada) de lado a y densidad superficial p. Compruébese que sus res­ pectivos momentos de inercia respecto de un lado, una diagonal, su centroíde, son: 1 1 1 = - pa4 = - Ma2

11.

j; + JY =

a)

1

l2

( a2 + bl).

Las curvas y = 1 -

x2, y = O, limitan una regi6o plana. Compruébese que:

4

Que 1¡· = ­

15

b)

Sabiendo que el momento de inercia de la línea y = f(x) respecto del eje x, se define por: lx =

f y2 ds

(ds: díferencial de arco)

compruébese que el Tx de la línea astroide (Figura 1 .35) es:

J., = 1 2 · 43

fit/2 0

cos 7 O sen O dO = 96


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Integrales definidas simples

1 3.

97

Cuando una región plana está situada en la zona positiva del eje y, son válidas (Figura L .39) las siguientes relaciones: 1

1 =3 "

f.¡. eL� •

/11(x)

Compruébese mediante la primera, que el momento de inercia de cualquier triángulo (altura h y 1 área A) respecto de un lado es = 6 Alr.

1

Se propone probar esta primera relación, aplicando que el ccntroide del elemento dA sombreado en la

citada Figura. es C(x. Y/2).

1 4.

b

Los gráficos de la Figura 1.43 representan una placa delgada. rectangular (a y son sus lados y M su masa) y un cilindro macizo delgado de radio R y de masa M. El elemento sombreado en éstos. es una varilla delgada cuyo momento de inercia denotaremos por di. Aplicando la fórmula

1=J

di, hállese el momento de inercia de ambos cuerpos respecto de un eje

perpendicular a ellos y que pasa por �us centros.

varilla

e

r

e

(eje)

tt

�-----6--------� Figura 1.43

SOLUCIÓN 1

Como el dl, de la varilla de masa dm es - dm. L2 (ejemplo y Figura 1.30), se tiene: 12

Placa 1

(b� )

dl,. = dfe + dm · r2 = - dm b2 + dm · r2 = pb :- + r2 dr 12

·

12

e


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98

Cรกlculo integral y aplicaciones

4 ( 1,(ยก 1 3

=-

phR4

cos21 cfยก + 2

1

..,2

/(

sen2t cos21 d1

)

-

= ::; pnhR" = 1 MR2 1

-

1


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Integrales eurvilíneas

2. 1 .

INTRODUCCI Ó N Las integrales curvilíneas, también llamadas integrales de línea, son una generalización natural de la integral de Riemann, efectuándose ahora las correspondientes particiones e integraciones sobre curvas que cumplen ciertas condiciones. Como existen varios tipos de integrales curvilíneas, haremos un estudio completo de la que consideramos más intuitiva: la integral curvilínea respecto del arco s (en R2) pues a partir de ella las restantes definiciones tanto en como en R3, resultarán evidentes.

R2

2.2.

INTEGRALES CURVILÍNEAS EN R2

D � R2

Sea una función z = f(x, y) acotada en una región que contiene una curva (C) lisa o lisa a trozos ( 1 .5) de longitud finita L (Figura 2. J ). Denotemos por s (véase Figura 1 . 1 7) la longitud de la curva desde su punto inicial A(s = O) hasta un punto variable P(s). Razonemos de forma análoga que con la integral de Riemann, efectuando una partición de dicha curva en n subarcos de longitudes /:j,s;. tomando en cada subarco un punto intermedio P;(X¡, y¡) y considerando la suma (áreas): A, =

11

L f(x;, Y;) · /:j,s;

i= 1

Reiterando este proceso con particiones cada vez más ftnas. supongamos que se ha Uegado a una partición tal que max (/:j,s¡) __, O (evidentemente n __, co). Pues bien: Si existe y es finito limA,, y su valor no depende de la partición efectuada ni ele la elección de los puntos P; inte1medios, entonces a dicho valor se le denomina integral curvilínea de / sobre C respecto del arco s, Jo cual expresaremos por: Ji m (ós¡- 0 )

,_, �

I J(x;. Y;) · ó.s; =

¡

=

1

f .f(x, e

y) ds

(1)


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100

Cálculo integral y aplicaciones

=

y SubMco lípico

\

'----- X 1)

\B(s�L)

\ P1 (x1,y1) Curva (C) \ Sub:tl'co lípico

S

A (.� = 0)

Figura 2.1

Aun ue

y los puntos in ic al y casos será neces ri o

t ye t r i

qdefinidos, en esta ocasidetermi ón lanados a co a tamente precisar escribiendo: r

en

de

están p Jfe Aqui, podrí m

i otras finalnot'aiciones. ntegración a usar

f

ea osc

­

Í f(x, y) ds = f(¡:,, y) ds = fe f(x., y) ds = JAB f(x, y) ds .le 1t8 AB e donde obviamente las dos últ as son la<> ue puntualiz¡m a rg de l curva C punto A 8). ge t del alor ue es n egr al representa (lo cual se desprend de la rel i n ( 1 ) y Figuta 2.1 ), es el la lámina ele vér t ce AMNB. con l ele Riemann, la entre dicha (1) y l obtenida en J . l . modo (véase segundo gráfico de F u a 2 . 1 ), se definen la integral curvilínea respecto de x, e igualmente respecto de y, en la

im integralhasta es el q más lo laUnao interpretaci a ón desde el omé ricá áreav de q ta i t i s ac ó Nótese de la antelior analogía a integral relaRazonando ción además adel mismo lforma: a ig r lim

¿ j(..-r¡, y¡) · 11.xí ll

u-!<1) i = J

=

f

e

.f(x, y) dx

lim L"

,_m i = l

f(x,. y1) · ó.y¡ =

(integral curvilínea e existente

fe

.f(x. y) dy

Propiedades que tendnín ellas utilizadas frecueDLemenle y que r gen Supondremos en rodos los las pondientes l continuidad de .f i n teg l de Riemann en l . l , condiciones que as g ura de estas t;urvilíneas):

la i­

Por lio mexpuesto, resultalgunas a evidente estas integrales similaressupropiedades dquen veremos ciones dadas.(la monotonia o a casos quea loexilasrgo ten de C,integral ecomo s curvilíneas corres­ son, sucedía ra e n la existencia tres con gral la de R e ann ;

de

ele

las

i nte

e fi

es


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Integrales curvilineas

101

En principio y aunque I f clx = f .f (igual con y), sin embargo, si convenimos en hacer corresponder siempre al extremo inferior de integración el valor O (evidentemente al superior), entonces I ftL� = I fds (concepto que aclararán los y 3 del Ejemplo correspondi emecomunes a la Fiaguraestas integrale& que quí expresaremos respecto de son OLras propi e dades siguientes: 1.

.-W

lJA

dx

,\'

=

Apartados 2

s= L

L IA

AlJ

2.3).

a

2.

f

t

3.

(/ + g)

ds = fe Ids + )eÍ g ds

f ds = k I fds . k -.f

' e

4.

5.

6.

e

í J

(

k

ds = i( ds k

=k

s,

las

rL ds = k . L J ()

f .f ds = Í fds + Í Jd� (Cconsta de C1 y C1) Jc, J c2 Si en C es f entonces t d.\' I ds I J�/ dsl L 1!1 cls e

f

� ¡:,

g

Resolución de una integral curvilínea en R2

de lasexpresarse restantes. consi ste en tTansfonnarla culointegral de indetegralRiemann. curvilíneaConsecuentemente y asimismo eldeberá enElF(ucálotra j'(x, y) ds en la forma )Eldu,ijamolo cualporpuede loograr se de vari distintos modos. Veamo� uno yde ellos: ejempl , x como a bl e de i n tegración. y(x) la ecuación de la cur­ uccderáal (Figura que a l o l a rgo de C, f y) = .f[x, y(x)] = g(x). Igualmente, aplican­ vado C.(diferenci del arco en que: ( 1 ).

la

Al .er

2.1)

1 .5)

se tendrá:

.

dy2

(x

.

=

Lv'(x)] 2 · dx =

h(x)dx {x(A) = o f(x., y) ds = f?(X)h(x) F( x ) dx = f f" I ds

= JfLr2 + = Jl 118

AIJ

+

dx

,

_

;>;(B) - h

(1

Sin más onesplyanas. pararecordando l evar a buendeltérmi no dilochos concepl. cálculoo.sampliaremos to hasta aquíconsi sobrederaci curvas álgebra que siguen: lo expues­ de las ecuaciones de la curva C en el plano (Figura X(l) cualquiera) �)' = )'(.\') XlV) lF(x, y) = O {X == y(l) Además

2.2):

.

{.\' =

J

(t


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102

Calculo integral y apl icaci on es

Curva (C) recta tg en

/1

ds tg a -= [y'(_t )jp "'

( dxdy)

l'(x(t). ¡•(l)l

dx

Figura 2.2

vistas con aoletioridad, en ocasiones también se utilizará

{

x = x(s)

y = y(s) ,

p

siendo s el parámetw defi­

nido en 2.2, que recibe el nombre de parámetro natural de la curva. queda Nótese asimismo, que dada la relación í'(t) = x(f)T + o la r(s) = x(s)T + igualmente definida la curva C. Consecuentemente ambas son tambi'én unas ecuaciones (vecto­ riales) de dicha curva. d.�·2 + dy2• tomando la determinación positiva, se tiene: Por otra parte y puesto que ds2

y(s)],

y(t)],

=

ds =

\d:c) � ( ) · dx

�J

1+

=

(dx)2

-dy

�(dx)

· dy

(dx)2

dt

=

+

(dy)2 -

dt

·di

11 1

Finalmente (Figura 2.2) como también sabemos de] álgebra,

dr

- - L

e/¡

-:(dy)

-

dt

1'

+ } -

dt

p

es un vector en la dirección de la recta tangente a la curva en P, con lo que asimismo lo sed di' = Í(d'C)p + .[(dy)p, e igualmente:

dr ds

=

- ((L")

i

ds

-(dv)

r

+j

(Ís

1'

Resulta inmediato (ldPI = lds!) que este óltimo vector tiene por módulo la unidad. Ejemplo Consideremo::. la función :: = .f(.x, y) 2.\·2 + 2y2 - x + 2. y la curva C 1 = x2 + y2 = 9 situada en el pri­ mer cuadrante, limi tada por los puntos 0), 8(0, 3) (véase Figura 2.1 y analícense exhaustivamente los tres gráficos de la Figura 2.3, comprobando todo lo expues10 en ellos). =

PI

t

A(3,

í ,,

Al haber lomado aquí la determinación positiva, si estas tres relaciones se aplican durante la intcgmtiln s dehe­ x. y, para que el $igoo de j(;x. ylds sea correcto. Si por ejemplo, cuando ,1 trece .\ decrece deherá

ds J

r:i crecer con escribir�e

=

1+

(d-")� el\'

C

d\). Como se ha dicho, k)S A(1i.U1Udo�

2

y

3 del primer ejemplo acltmtn este concepto.


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103

Integrales curvilineas

(

\' ( = 7rl2

B IV. J )

J

¡x

J

-----...._ , y ""

l.r� J SCI1 / X-

COS (

3 cos

.------ 1' = 3 se n �< Y •

CD

':'

1

3

P (x,y)

:

s=O

IJ

;r/2

¡ l' Í 1·=3�os l �O . t=J SCI1

r= O

·' -

3

B

{x

=

� sen /

J' = .>

Cll� l

P (x.y)

s=Jt(i=s/3) A (3, 0)

s=O,t = U

o

Figura 2.3.

1.

Utilizando

a)

b)

e)

2.

el

b)

Gráfico (D hallar l a

rnteg ra ndo respecto de l.

Respecto d e s . Respecto de x.

G). que

f

n tegra.J curvilínea 1 =

f ds = l.

e

4.

Comprobar utilitando cualquiera

que:

.!=

de

.111

f ds:

j'

(]).

los gráfico. e integrando respecto de cualquier variable

J'

fdy=

. 1/1

:1 In largo

f

Intégrese:

Repítase el ap<utado <Ul t rior opet'ando en el Gráfico

Sc<l e (Grático

\'

Hli

Respecto de s.

Respecto de y.

1

3.

5.

,. = Jrr/'2. 1 = n/2

Cada parametrización dicta un sentido de integración.

Probar, en el Gráfico a)

o

S = ]¡rf2, t = 0

o

(t.

.v, x. ) )

f dy = 60 - 9 "!.. 4

Jl¡l

(D) una curva cerrada que consta de las C1 . C

l

y

C3. Calcular la integral fl =

f •

AA

f dv,

e en el sentido indicado (sentido positivo = opuesto al de las agujas del reloj).

de 1::. �:urva

RESOLUCIÓN

1.

Puesto que 1

a)

1

=f

(2.x1 + :2y1 - x + 2)ds i.r + )/ = 91 =

cias del Gr.ifico (D, e�cribiremo:s: An

fr1 ·. = it,;OS/} fntl ls - 3t _

·

·

=

11

( 20

-

3

�:os

l

t) · 3 dt = 60t - 9 sen 1

f

nJ ¡l 0

(20 - x)ds.

All

=

30Tt

-9

utilizando las sugeren-


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104

Cálculo integral y aplicaciones

e)

Veamos dos formas de obtener integrando respecto de 3 dx Como x = 3 cos 3-, s = 3 cos -,3 ds - v� 9 . En consecuencia: x dx fo (20 - j93-dx = 60 foa j9dx-x2 - 3 f3o � = [60arcsen �+ � J: = 30n - 9 = dx2 +deber dy1 á(véase a nota ( de este apartado) puesto que de hasta Si alaplicamos crecer llaa relvariaciablóne x decrece, escriblirse: x.

1

S

X

are

1=

x)

3

=

x2

-

=

2

x

3

dsl.

8

1)

A

y

s

3dx - .y9� - x2 (como tenía que suceder) s} = 3 cos (n- --s') = 3 sen-·s Siendo en 0 x = 3 cos { 3n2 = --2 3 2 3 3' [ f (20 x) ds i3n/2 ( - 3 3) 20s + 9 cos 3-J = 30n - 9 = bl L C20 - x)ds {x = +J9-y2, s= 3arccosn= A = fJo (20 - j9 y2) j9-3dy -y2 = 30rr - 9 en l.c)crece). la relación ds2 = dx2 dy2. Nótese en BA. que al crecerObténgase s la varideablenuevo y decreceaplicando que lacomotambién LA (20 -x)tls{en@x=3sen �} = 1'"12 (20 - 3sen �)ds = 30n - 9 idéolicsutambi a la anténerior, (de Como hastaésta escrecer creceintegraremos respecto de x utilizando la relación d.�1 = dx2 + dy2 =

2.

1 s=

a)

-

B.-L

=

20

O

-

- 3t -t 1

S

sen -

7I

ds =

S

.ln/l

1 121

O

-

ds,

3.

(y

+

x

a)

b)

B

121 Como se

A al

ha

x):

convenidó, no es válido en el gráfico

f

All

frl.� =

Jo

.\af�

fds = - (30rr - 9)

G) el cálculo:

¡el intervalo (con ds) siempre será [O, L >O] 1


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f

(20 - x) ds =

BA

4.

-dxdy)2 i3 (20 �i (20 � - x)

1 +

·

o

dx =

o

Integrales curvitfneas

- x)

3 dx

J9 - x-

105

= 30rr - 9

l.ntegrando respecto de 1 (que es lo más frecuente) y utilizando G), se tiene:

J

=f

ttll

(20 - x)dy{dy = 3cm; t dr} =

I� 0

(20 - 3 cost) · 3 costdc = 60 - 9 ¡ K

Comprobaremos la igualdad integrando respecto de y, por ejemplo:

f

)9 - y2} =

fo (20 - �) tly /y = 3senu! =

n/2 i"'� cos2 (nx)d.x = i Recuérdese que sen 2 {nx)dx = R�

(20 - x)dylx = +

7t

4

o

o

-J

3

5. En adelante. cuando se integre a lo largo de una curva cen·ada C en un sentido determinado, se usarán las siguientes nota(;iones que oo necesitan más comentarios:

r o 20dy = -60 I (20 - x)dylen C3. y = k => dy = 0\ = 0 f

c2

(20 - x)dy{x = Of =

Ca

¡.¡

1l

3

7t

= 60 - 9 - - 60 + o = - 9 4

4

Suponiendo que C fuese la circunferencia completa. se tendt·ía (!:enüdo positivo):

H= 2.3.

Pc. (20

x) dy {gráfico

(D¡ =

J:" (20 -

3 cos 1)3 cos tdt = - 9n

INTEGRALES CURVILÍNEAS EN R3

f(x, y, <:)

3 Consideremos ahora una funcíón u = aco ada en una regíón D s; R que conUene una curva (C) lisa o lisa a trozos (plana o alabeada) de longüud finita L. Puesto que rodas las definiciones. propiedades. resolución, etc., de las integrales curvilíneas correspondientes (y combinaciones de ellas):

Lf ds

t

t fdz Lfdx gdy +


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106

Calculo

ral aplicaciones

i nteg

y

son absolutamente análogas a las ya estudiadas. únicamente nos limitaremos a re::;ol ver u n elegi­ do ejemplo ac.:laratorio(3l . Previamente debe verse la Sección 1 .5 (Figura J . J 7), donde se generaliza lo expuesto sobre Clll-vas y diferencial de arco (ds) en R2 . Asimismo. es imprescindible en este tema y aún más en el síguieote, conocer gráficos y ecuaciones de la� superf'icies llsuales (repásense las Seccio­ nes 2.5 y siguientes del Apéndice 2).

Ejemplo

en el octan e positivo, el contomoocerlaasdotres superfictcies nado por eones sucesPlbtüar i2)vos. (curaprol'ivasObtmadamcme, curvas. ener igaruaslumseinntteerunassec ioeneas o s en ambas coorparadmenétadasrica�. (lo más sencii Bs posible) Una(Fivezgur..1obleni2.4),Jas en cartesriaesnasultaldo:as;ecuaciones de las ternesparcuravmétras iclasa :coordenadas los r4x ,= (2 22COS= 2Icos) +e l 2)- = 4 sen t Como l ( o , 1 se , )] =1 6 sen"2-•:: = 4sen2(1 porser:>OcnC1 1 resultan para ecuac n paramétricas (sencil as): {,r == 22�+en2cosJ1 {x=2= 2l:l+en212cos21 , 11_� { :. = 4sen(1/2) operando de igual forma con m rápidamente), puede obtenerse: {x== 2 {tt((BC)) = rrr//6}2 {r 4cost se t . Pl l ia 1l l s i l l la l i 1,

ABeA dc

e 1 • e2 y e3) de la esfera x2 + ya + z2 = 16 c n (v = 0). c u ci ne cartesianas y (: = de dichas y expres A. B. e t

m1i

(.r2

lu::.

+ l - 4x

=

0).

RESOLUCIÓN

y

veamos los

C

+ :.2

(X -

�2 = 8 ( 1

cos r) = 8 1 -

e 1 lns

io

e1

c

s- 2 -

\'

1

>:•·

:. =

-

x<Bt� 3

4sen 1

I(AJ = O

1(8) - rr. () _

,

ás

2 J3 cost .J3 sen

::: = 2

, T

y

=-

3

y

-+

2

:2 = 1 6

i

)rx Lv = 2

'

·

puntos A. H y

el'

e2 y e (

e2

n-

1 6---. 4

+ \'-

de

s

correspoudientes

e

argn, puede esLribar en

=

e3

ri(C) = Tr:l6

=

.l' = o

;:

=4

ll

,j i( A )

=

0

es iuémíco al ele R2 • unus ccuaciont\� paramétricas sencil as de la� c..:nrv:L� c..:orrc�pondientcs, que logren hacer poco laboriosos o ¡,;{llculos. No ohsnlnfc:. en la mnyor parte uc cusos, st:.rá posih e y h<tsl<l muy simple dichu resolut:ión util zando únic�menl<! coordcnuu s ca11esi:1na�.

Au nque el proceso de

mayor clifículmd, �in cmb

g

reso ul:ión de una me n

curvilínea en !?·'. más que un:ílogo.

net:csidacl de d sponer de

a


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107

Integrales curvilíneas

z

y

X

Figura

2.4

Cal u l ar en el citado contorno. partiendo del punto A(4, O, 0) en sentido positivo y operando exclusi­ vamente en cartesianas, e l val or de la integral:

2.

c

f=

p.

x dx +

y1 dy

-

3xz dz

RESOLUCIÓN

x l dy - 3xz dz = f f + I : f = f x dx f y2 dy r fJ x ffi

Puesto que 1 = rh

J

tiB

dx +

AB

+

111J

-3

.

A ll

=

BC

-

�_ _

=

BC

BC

CA

xzdz =

,

2 { f d�� 0} f

+

4

AB

xdx +

dx +

y2 dy - 3

O

2 16 - 22 f O

4

x2 ] 2j3 + o = -- j3 y2 = dy 2 3 J j3 2 f RC

-

)'3

3

-

3

z c/z =


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108

Cálculo integral y aplicaciones

f { y = O } = f xdx - 3 J = CA

dy

()

f1> j 6 - c.2 · z d: =

x::: dzlx = Ji ó - :2l = �2 J+ _ - 3 CA 2J3

CA

} { J y= O = Jo

J

2

Comprobemos este último resultado razonando en paramétrícas: X = 4 cOS/

i'A

Z=

4 SCI1 /

[sen 2t]0

16 2

�/6

En consecuencia:

3.

Ha.llar J

1=

=f

AB

[

cosJ t] 0

- 3 · 64 - -

411 -

2

-

3

3

J3 + -

+

3 ·4cos t · 4 scn r(4cos tdt)] =

14cosr( - 4 s e n t d/) -

nfó

2

-

-

1t[6

=

( 1) ( j3)

3 - = 66 - 24 - 8 - - + 64 1 - 4

¡;,

y� 3 + 66 - 24

8

.J3

-

)3

/ = 43 - 24...¡¡;3

� ds:

a) Mediante coordenadas paramén·icas. llllcgrando respecto de x.

b)

RESOLUCIÓN

a) Haciendo ( 1 .5}:

·y

{

al ser:

x

ds

( ) (t/)')2 (rt/l::t:)2 ·

= 2 + 2 cos 21. ds = +

d.,r dt

2

+ -=dr

+

-

= v (4sen 2rf + (4 cos 2tf + 16cos2 t · dr = 4 Jt

tlr (t

,-

crece con s)

cos2 t · d_'

Jx + 4 = )2 , 2 cos2 r - 2sen2t + 4 = J4 cos2t + 4 = 2 .J l

./ =

f,,¡c, J + x

o

b)

4 ds

Como (véase la notn

denvemos C 1

=8

(1 )

(x

+ ;:2 =

-

,

2)�

16

,

t 4 + 2;:; = () h

el'(

4

o

de la Sección

d.1· = -

{4x + y=

f"'l\ (l + cos2 t)d/ = 4 f"

J

() ()

11

6

"7'"

_ _

+ cos1 t

(3 + cos11)dt = 1n +

,/J

2.2)):

d" l

d: z

1 + � + - ·dr (x dcc.·recel dx

1!.1.

respecro de x: 2(.\

-

2) +-

2y __:_ = o dv

dx

=

ti:

dx

2

dx dy

=

y

_X-2


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Integrales curvilíneas

dx

(dy)2 (dz)2

1 +

+ -

-

d,t

=J +

(x- 2)2

Por consiguiente:

J=

=

2.4.

J jx(4 - x) ,.,z

-

I

3

x+4

4

n/3

1 + se n2 1 ·

sen 1 cos 1

{

tlx x

=

+

y2

4 sen 2 1

4 -

-::?

= 1+

(x - 2)2

4 - tx- 2)2

1

n}

4-

,

J

r./J

=

--

3 t = -. 1 = <x=4: L=x = 3 : sen-

3

n

�'l

8 s e n L cosrdt = 8

+

_r

ds = J -

4 +x

x(4 - x)

cLr

109

=

2

C i + sen2t)dt = 4

f"'l

(3 - cos 2t)dt = 2n: +

,1�

J3

INTEGRAL CURVÍLINEA DE UNA FUNCI Ó N VECTORIAL EN

R2

La propiedad de mecánica elemental (Figura 2.2) q\.le recordaremos: el trabajo diferencial (dW) producido por un fuerza V cuyo punto de aplicación se desplaza una distancia ldrl a lo largo de una curva e, viene expresado por:

dW = lVI cos e · ldrl

= u· dr (producto escalar)

puede servir como base de la siguiente definición: Consideremos una función vectorial V = P(x, y)T + e lisa o lisa a trozos. de ecuaciones:

e

{ = x(t) x

)' = y(l)

Q(x, y)J definida sobre una curva plana

r(t) = x(t)i

_

<=-

+

.

y(t)j

La integral curvilínea de V sobre e se define por

En consecuencia (véase Figura

f

e

U · dr = _

f

e

t

V· di'

(2)

2.2), como D(P, Q), dr(dx, dy). resulta:

(P, Q) · (dx, dy) =

Propiedades y cálculo

f

e

(P dx + Q dy),

siendo

{

dx = x'(t) dt ,

dy = y (1) dt

Aunque obviamente las propiedades y cálculo de esta integral son idénticas a sus correspon­ dientes en las integrales curvilíneas respecto de x e y, añadiremos aquí las sigúientes y necesa­ rias puntualizaciooes:

fe Pdx AB

+

Q dy

f

=- e

BA

Pd.� + Qdy

(en ésta, no interviene

ds)


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110

Cálculo integral y aplicaciones

�e;'

,

,,··

,

/

1 , , , ,

1 1 1 1 1 1

'

e

�,� ' Figura 2.5

general (Figw-a Icl Ic1 e t nd C la curva cerrada de la l-'1gura 2.5, compuesta por las curvas C1 C2, se tiene que í - <k· En efecto: 2.5)

En

D no a

ttB

t=

.48

t"-l

o por

y

=

rhJc = rh�Ac = fe' + fez Jcl Ic2 = - (fez + Jc1 ) = - rÍJc--. AB

.BA

-

.BA

-

AB

AB

BA

Ejemplo

r

Hallar el t abajo realizado por la fuerza variable 1 ):

B( l , a)

b)

e)

C2 (y = C1 (v = x1'). C

Por el camino Por el x). A lo largo de la curva cerrada

U(xy,

1 ) al desplazarse desde el punto A(O, 0) hasta el

v

compuesla por C1 y C2, en el sentido posit i o

.

RESOLUCIÓN (hágase un gráfico orientativo)

W= L + W(C1) {dyy =- 2..\dx} = fe' x·x2rir + 2rdx = fl (,r-' + 2x)dx = 4�

Como P

a)

= xy. Q = l ,2

_-

t

.xy tL�

tiy. Tntegrando re!;pecto de Á, se tiene:

5

.

MI

ll

141 Aunque en ocasiones omitamos la función subintegrnl, se �obreenteoderú que é.�ta

e:.

siempre P dr + Q dy.


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bl W( { ·': : X .} fe:! X. X el)

e)

fcl fcl

d.' - d.�

rh � = 'fc. ':1-:t ,J

=

,¡u

+

1!1

-

8.1

d-.: + tú =

Integrales curvilíneas

1

í (.�2 1 } dx � Jo + =

(- :) - � 4 3 �

=

+

111

3

12

Independencia del camino. Función potencial

Como acaba de ponerse de .manifiesto, en general (véase Figura fe, fez (el vaJor de la integral depende del camino). También Pc Q dy no depende del camino en un dominio del Se dice que f planoquier camino cuando dados(induidosdpuntos y pase de estepordomini o puntos. el valor de es el mismo a lo largo de cual o en que ambos este . supuesto, de todo camjno enpuntoEvi(Fifidnentemente, galura es deci seráenr,cero Asimismo,el elvalor citadode valaorlosóllargo o dependerá del puntocem1do inicial inclyuideldo estudiaconveniente das: justificarlo haciendo cuestioconsi ne_ dyaeramos Las siAntes guientesde enunci puntualiarzunacioimnesp01tante a algunasteorema, - Cuando f(x) puede escribirse (segundo teorema fundamental del cálculo): 2.5):

r18

=F

e

rl/J

Definición.

f

R2,

=

P dx +

A8

C

D

D

1

B

A

D)

2.5) B,

=1= O.

J

A

1 = /(11, 8).

=

P'(x),

dP(x) = F(x) dx

= f(x) dx->

IIJ

j'(x) d.x =

j'b

dF(x) = F(x)

]¡,

=

F(b) - F(a)

- Para x y)vadas con dicruzadas ferenciaL(cprioncepto mera estudiaQdo),dy. oesexpresado necesario ydesufiotroqueciemodo: nteexisqueta unaseanfunciigualónes lasF(deri z =

tr

u

n

P dx +

- Supongamos fisinmalplmiente, que Q y sus deri vada� además primeras soncitada funciigoualnesdadcontidenuas (en para fi car conceptos) veri f i c ándose deriva­ todo das Encruzadas. úllatfw1ci imasócondi cioy),nesla que aseguran llaasexiotras stencidosa yprimeras diferencicuesti abilidoadnes conjun­ con­ titamente nuidad)estas de n apl i c aci ó n de con (Resolución de una integral curvíli'nea), nos permite escribir: fe Q fe y) J n obviamente si la curva cerrada el vaJor de Tes c;ero. P,

R2

la

( =>

F(x,

2.2

1=

.11 8

P cLr +

dy =

A8

C es

dF(x, y) = F(x,

(B = A)

A

=>

l = l(A, 8) = F(B) - F(A)


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112

Cálculo integral y aplicaciones

Teorema 1. Consideremos un domjnio D f;; R2 cuya frontera (que lo encierra), es una única curva cerrada simpte< s ). Sean P(-�, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales primeras funciones conti­ nuas en dicho dominio. Es condición necesaria y suficiente para que en D la integral 1 no dependa del camino (y sea nuJo por tanto su valor a lo largo de cualquier curva cerrada incluida en D), que exista una función F(x. y), tal que:

dF(x, y) = Pdx + Q dy,

o l o que es lo mismo.

oP

élQ

0)1

ax

(3)

Esta función z = F(x, y). cuyo proceso de cálculo (conocido por el alumno) viene desaJIO­ llado en los ejemplos que siguen, y que aconsejamos inmediatamente repasar, recibe el nombre de Función pote11Cial de U. (En adelante, cuando en un dominio se den las exigencias del teorema (continuidades e igualdad de derivadas cruzadas), lo expresaremos con el sfmbolo �). Únicamente resta t:ratéu· de un importante concepto: ¿cómo cambia el enunciado del teorema caso de existir puntos S P S , E D en Jos que P, Q o sus derivadas no son continuas? Previa­ 2 mente, resolveremos un ejemplo cuyo segu11do apartado adelantará en gran medida dicho con­ cepto. ..•

Ejemplo Consideremos la integral:

=

!=

i

y dx

e

-

xZ +

yz • x dy

donde P

=

y 2 , -

x- + )'

Q=

'

X

- --:;-x- + y2

Es inmediato observar que P, Q y sus delivadas parc iales primeras son continuas en el dominio D R2 - {(0, O). en el que asim ismo se verifica la igu aldad de derivadas cruzadas.

1.

Obtener en el sentido indicado en l a Figura 2.6( 1 ) el valor de 1:

a) b)

e) d)

e)

Entre los puntos A y B a lo largo de la porción L de circunferencia. Entre A y B a través de los dos catetos del uiángulo dibujado

J3

(2 y) del triángulo. Entre A y B a lo largo de la hipotenusa x = A lo largo de la curva cerrada formada por dicho triángulo (sentido posi ti vo)

b)

f1• Jx = {y = f f All

} f"'2 { { y = 1 } l dx: =o} = f

2oost 2 sen t

=

AIJ

-

Razonar los resultados y comprobarlos utilizando la función potencial.

RESOLUCIÓN

a)

.

AC

dy =

=

0

"'6

= o J

2 sen t( - 2 senrdt) - 2 cost(2 cos c dr) x

+

CB

Q

4

=

AC

1 . d..t

--

X1 + 1

_

= are tgx

j)

�.

3

= -

1�1 Curva simple es la que carece de puntos múltiples (nunca se corta a sí misma),

n -

3

.

.


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Integrales curvilíneas

.

+y

h

'

B (0, 2) : _../'

-

,///···e (O, 1) ...: :

'

.

'

.\

· . .

(1)

V

e)

x2 + y2 __

_ __

=4

.., ...

___...,.

_,/

,-'

,

..

' '

'

'

' '

E (2, 1 )

¡seo, Ol

x = -2

¡'

M(-2, 1 )

X

- arctg

X

N(2,-1)

2.6

Figura

y)

=

x=2

y=-l

(2 - } = f - 2 J3 d = 2 fl dy fAB {dx= J3 - J3 dy AB4(yl - 3y + 3) - fi l CY�3r =

e)

...... .

-<

i

F (-2, 1)

� (J3, 1)

-

113

y

Cyj/)I =

- arctg

fl

+ arctg

( fi) -

(impar) = - 2 arctg

fi= -�.

/y� 1/2}

Elijamos, por ejemplo, el dominio D1

nos anteriores. Puesto que en

+ ]

= {(x, y) E R2 donde están incllüdos todos los cami­ él se verifican las exigencias (�) del Teorema expuesto (continuidad e igual­

dad de derivadas cruzadas), los resuJtados obtenidos no necesitan más comentario. Hallemos ahora la función potencial F(x, y ) :

U y P =�= 2 +2=

X Jb 2 (si y =/: 0), se tiene que F = arctg - + y ux x (x y) + y Con lo que derivando F respecto de y, e igualando a Q, resulta:

Al ser

1

/

-x¡y2

1 y en consecuencia, F

feAB

=

+

(x/y)2

arctg

(C incluido en D1)

Como la constante

X -

y

=

+

+

' h. (y) = Q =

.¿

y2

-x

+

=

· =O h't'-y)

=>

k es la función potencial. Con eUa:

F[B(O, 2)] - F[A(j3,

1)] =

arctg

h(y).

�+k-

2

lz(y) = k

( J3] + k) = - �3 arctg

k siempre desaparece, prescindiremos de ella en los cálculos. (Si quieren obtenerse

otros resultados, es aconsejable repasar la función arctgx en la Figura

1.8.)


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Cálculo integral y aplicaciones 2.

a) b)

Hallar 1 entre A y B a lo largo de la circunferencia (c<unioo V de puntos),

curva

Mediante anteriore:, resultados hallar 1 a lo largo de la cunferencia (sentido po�itivo).

Ha l l ar

e) d)

Pce

cerrada con�tituida por toda la

cir­

El rectángulo (Figura 2.6.(2))

siendo C

{• La • •

elipse (x2/4) + lv2/ 1

l=

1

Cu:tlquicr cín.:unferem:ia de centro S

p

­

¿Qué conclusiones pudieran avcnlllrarse de los sorprendentes resollados de este segundo <� ar

tallo?

RESOLUCIÓN a)

l

i

f" {x' = 2i.:OS } 2 sen 1

)

.·11.1

b)

e)

la Figura

Uti zaJemos para simplificar los cálculos

=

/

rh (circunferencia ) = f'- + 11/J ':Y

cp

(re¡;tángulo) =

f f Hl'

=

2"" 4 cos21 + 4 sen2t 4

n/3

J"

fJ

n 3

/Jtl

d1

=f

2"

• n, J

5rr

rr

3

Mi

3

dr =

5rr

-

3

*

-

n

-? 3

l�>l

- 2rr * O '>

I {- 1 } f { X 2} f { = - J } f { X = 2 } V- = Q +

tfy

tF

=

=

J2 · d.- = I'.J· x � l

=

f

2.3(3). Con ella:

r

-

eL'; = Ü

PM

MN

+

)1

c/y = Ü

NE

d,r = Ü

:

f 1 =aJctg(- 2) -arctg2(imrar) = -2arctg2 dx

2

--?

+r

Orerando del mismo modo, se tendrfu inmediatamente:

f =f 1·' \1

=

.\lf:

-

2 �

y en

arctg

arctgA

Aplicando que V A > O,

+ arctg

frecuentemente), de l a relación arctgx +

p P

(rectángulo)

.

(elipse)

(t\i MeJiun�e

{

=

-

( 1 } fh

y

= sen

,

=

la Figum 2.3( 1 ):

0

A

= 2, 1t

x+y

t

�)

1

= -4

� =

2n.

sen 1( - 2 sen 1 di) - 2 cos 1(cos 1 di)

4 cos2 1 + se.n2 t

=

_

• - 2sent

4

rc: g

+ arclg

, resulta:

A)1

j•v t 2cns/} = - f' = - [J2" AB

cp = - (a t 2

�)

Jo que también puede deducirse (aunque no se utilice

c gy = arctg ---

ar

4 arctg 2 + arctg

x = 2 cos r

l

consecuencia

8,1

,12

=

( - di) +

-2

:f " -1 --, di

0

::-

+ 3 cos2 r ·

f"'" ( -rlt) 0

-

J =51i 1


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H:tcLendo un gráfico aproximado de j(l) = 1 justifica lo siguiente:

'0:!n -------=,...- = 4 i"i2 1 + 3 J i"'' dt

1 + 3 cos2 1

Ú l

=4

du

0

--,

4 + cr

11

= 2arctg 2

Finalmente, e l valor d e l a integral

� flx2

d)

punto

S

cerrada

,

+ y·

=

r-

y

{

=

= r sen 1

�·

=

2

de

=

cuyo interior esré

S.

r2

no varía.

- que se dan por - que

regla

rh 'fc

láS

condiciones

e, y e)..

<R. = k

que

}

dt = -

P dx

+ Q d_v a

=

-2rr

r)

izn

vendrá

dt

=

dado

por:

- 2rr

0

se dan las condiciones

('€) excepto en un

lo largo de cualquier curva

general, justifica Lnmediaramente el resultado obteuido

Compruébese d e nuevo dicho resultado con l a Figura

AB

(elipse) =

2 " - ,·2 en 1 t - r1 cos2 t

(al que llamaremos punto singular), el valor de

e en

¡

cualquier circunferencia (radio

0

n),

(período

l + 3 cos- t

= u. dt = --- , cos2 1 = --, 1 + u2 1 + u-

n

2 ·-

0

[

dtt

tg t

Parece (pues se ha verificado con infinitas curvas) que si

fL IV 'f=

-J

o largo

al .r = rcost} i

Lo anterior, que como veremos en una

.111

se tiene el de

., (par en seno y coseno) cos- t

·

0

+ 3 cos2 t,

115

(€) ' exceptuando

2.5. suponiendo:

en un punto singular S interior a la curva

C compuesta

# O.

Independencia del camino con puntos singulares

Sea un dominio que con relación a la integral curvilínea: D

1=

f

P(x:, y) dx + Q(...�;, y) dy

observa enunala Figura 2.7, Jos puntos singulares presenta, como se asimismo 2 m las cuales no in­ Consideremos curva cerrada e que i n cl u ye a l a s e e tersec�m entre sí, pudiendo a su vez cada una de éstas a uno o más puntos singulares (S;). St> S2 , 1,

incluir

17' Llamaremo� aquí Punto� singulares o Agujem� de un derivaJas parciales primecas no son conLinuas.

conunuas. 1

dominio O, u

a

quel los

··· •

,

•••

.

donde las funciones P, Q, o sus

Si D no tiene agujeros. se dice que es simplemente cone:>;o: y obviamente en todo él las menc.:ionatlas funciones son DP ¡)Q . ,� . · o y consecucn¡c· dependlente de1 cumm s· ademas, • se ven o1ca en o que - =-, entonces 1a ·mregra1 ' es m fly ax mente, nulu u lo largo de cualquier curva cerrada ii\Ciuida en D. Cuando O tiene ugujeros, suele decirse que es mtíltiplemente tonexo (doblemente si tiene LlllO. triplernente si tiene dos. cuádruplemente si tie e tres. . . .) ·

n

.


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116

Cálculo integral y aplicaciones

D

Figura 2.7

Si en D - {S1, S2, ...} se verifican las condiciones (�), entonces:

Teorema 2.

<R + � f Pdx

Q dy

.

P dx + Q dy +

f + + , Pdx

Q dy

(4)

···

S

Para probarl oo,nessupondremos en prjncipio que únicamente hay en D un punto singular 1. Sin más consi d eraci (Figura 2.8) y habida cuenta de que los subdominios D1 y D2 sombreados son simplemente conexos (independencia del camino), escribiremos (sentido indicado): En (D1) : fe J (puntos) + fe. + f (puntos) =

En (D2) fe = f (puntos) + fe . f (puntos) :

A.B

AM

BA

BN

MN

NB

+

Nlvf

MA

-

e

Figura 2.8

A


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Integrales curvilfneas

117

con lo que sumando, se tiene:

pues los sumandos encerrados entre paréntesis son nulos. Razonando y operando de modo análogo, la demostración correspondiente a} caso de dos o más puntos singulares, resulta inmediata. (Para dejar perfectamente fijados todos estos conceptos es muy recomendable analizar, en este momento, los resultados del Ejercicio propuesto

2.5.

7.)

INTEGRAL CURVILÍNEA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL EN R3 Consideremos ahora la función vectorial sobre una curva

(C)

de

1=

t

R3,

V = P(x, y, z)T + Q(x y, z)J + H(x, y, z)k, ,

definida

lisa o lisa a trozos y plana o alabeada. La correspondiente integral

curvilínea, generalización de la anterior, vendrá expresada por:

U · cfi' =

L

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + H(x, y, z)dz.

Esta integral, cuando C es cenada, suele denominarse «Circulación del vector de la curva C>? (en 4.J volveremos a tn1tar sobre ello).

D a lo largo

Como todas las definiciones, cálculo, propiedades, etc., son totalmente análogas á las ya es­

tudiadas, nos limitaremos a resolver un ejemplo; y aún cuando en él se repetirán algunos con­ ceptos,

sú1

embargo en otros (condidones de existencia y cálculo de la función potencial), es

muy aconsejable tratar de las generalizaciones correspondientes.

Ejemplo 1.

Hallar entre A(O, 2, O) y

1

=

I

e

B(.j2,

{

1 , l ) a lo largo de la curva e, el valor de:

(yz + y - l ) dx + (xz + x)dy + (�y + 3z2)dz

C:

,

x2 + y2

+

zz = 4

y+z=2

y en el sentido definido o fijado por las ecuaciones pararnétricas que se obtengan. RESOLUCIÓN

1.

e �

;r;2 (y - l)2 x2 + y- + (2 - y)� = 4 -+ - + = 1

{

y+z=2

2

1

'

sustituyendo estas relaciones conjuntamente con las dx = la integral, y oper ndo ordenadamente. resulta:

a

{r(A)

J2 cos t = :: 2 y - 1 = sen t z = 1 sen t t(B) = O

{x

=

-

- J2 sen t dt, dy = cos 1 dt, dz. = - cos 1 d1. en


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Cálcu lo integral y aplicaciones

1=

=

2.

Jo

r</2

(-3

[fi

J2 cos1t sen

cos3 1 - sen3 t

e -

3 sen2 t cos 1 +

+ 2 fi

Demostrar que en el dominio D

( ) -�

4

= R3

-

� -

2 J2 cos21 + 3 sen 2t

cos 2t

3 sen t - J2

-

-

3 cos t -

r]0

= 1 +

rr/2

j2)dt = fi

existe en este caso independencia del camino, y utilizando la

función potencial comprobar el valor anterior.

RESOLUCIÓN Traslademos a este ejemplo, la generalización de las condl<:iones dependa en

D = R3

del camino:

para que el valor de la integral ! no

(�)

Q """' xz + x, H = xy + 3z2• al igual que sus derivadas parciales prime­

a)

Las funciones P

b)

Respecto a la igualdad d e derivadas cruzadas, deberá vetificarse:

= yz + y - l ,

ras son .conliouas en todo R3 (polinomios).

(oP ) ((lp ) ( ay

=

iJQ

ax ,

az

=

(JH

iJQ

ax

()::,

=

)

oH ay

que efectivamente sucede, con lo que queda probada dicha independencia y asimismo l a existencia de una

función P(x. y. : ) / dF = P dx -t- Q dy + H. dz.

Cálculo de la función potencial Como

( o P

F = - = yz + y clx

-

1

F(x, y, z) Q=

,

(J.F

-= OX

Derivando esta expresión de

yz

.

+

�F

i1y = x;: + X

y -

-

1

,

fl

F = ()'Z + .

oF

= az = .ty

\' -

.

<

)

2 3z :

1 )x + " ' '', ::) V

F respecto de y e igualando a Q, se tiene:

(:: + 1 )x + 11;,(y, z) = Q = xz + x

=>

/z�(y, �) = O

h(y,

z) no depende de

y

h(y, z) = g(.::.) + k o simplemenre hlv. ::) = g(z). F�r. y. z) = xyz + xy - x + glz)

Puede escribirse por anto t Consecuenremente

Derivemos finalmente

esrn

nueva expresión respecto de z e igualemos a

xy + g'(::) = H = xy por lo que

1

F(x, y, .::.) = xy::: + z.3 + ,\)'

=

I

AIJ

= F(B) -

+ 3:.1

-x

F(A) = F(.Ji.

+ k es

=

g'(z) = 3z2

=

H:

g(:::) = ::3 + k

la función. potencial. Con ella:

1 ' 1 ) - F(O,

2, 0) = J2 +

1 + 1 - 1

-

(O) = 1 +

Ji


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Integrales curvilíneas

1.

Determinar el valor de la siguiente integ.ral curvilínea:

I=

f

(x3 - x2 + y2 ) tls

.

en doncle e

e

<=>

x2 + y2 - 4y = 0 (x � 0)

(por intervenir tls, no es necesario indicar el sentido de integración).

y

A

y 8

--

_..... .........� ' ' ' '

! :1

.

' 1 1 '

' ' ' ' '

....

'•.

"....._...

8 Figura 2.9

SOLUCIÓN Si elegimos. por

el primer gráfico, resultan para e las ecuaciones:

ejemplo. x=2 t } =2+2 sen

cos r

y

con ellas:

<

s = 2t >

sen (s/2)

{x = 2 = 2 + lc

} A{t = s = n, s = 2rr) 0,

os (s/2)

y

8(1

.

!= fln [8sen3 ;- + 4(cos- ; - sen1 ;) +8cos-+ 4J ds= 64- + 8n S

o

, S

S

-

S

2

-

Obténgase de nuevo mediante el segundo gráfico e integrando respeclO de

2.

Sean 1 =

= 0)

L .t)•dx + (x2

- .l) dy

.

a)

Obtener el va.lor de la integral a lo largo de toda la curva cen·ada C.

b)

Hallar 1 a lo largo de e entre los puntos A(3. 0) y 8(0,

3/2).

3

1 (ds = 2dt).

119


http://carlos2524.jimdo.com/ 120

Cálculo integral y aplicaciones

{ JCOSI} = -2438 f

SOLUCIÓN

= T Xy = 3

-sen t 2

Obsérvese asimismo (entre

f f =

A8

=

3.

Dada T =

xy dy

AR

1

_

6

(9

a)

A

y

f ]3 +

2

AB X

dx

X

y

x

� O,

y

27 f 2

=

+

.x .../9 - xzdx

8 8

63

_

=

IJ/2 0

= 27/8

1=0

b)

1

(9 - 5y2)dy

27

AB l a pord6n

de la elipse

xz. + 4y2 - 4

1 .

Hallar 1 operando en paramétricas (dibújese un gráfico orientativo). Obtener 1 a lo largo de la recta que une

A con R

Justifíquense los resultados calculando la función potencial, si existe.

a) T {xy - 2 } = -3 f"'2 + ., di=-L ( 1 + 3 Jnrl = -L{2) /{x = 2 - 2y } = f • Sy - 4 dy = � L¡Sy2 - 8)1 + 41 t -L(2) + J 2 = -nx F<x. y) =-L(x2 + y2) + k : F[B(O, )] - F(A(2. O] L(2) 2 SOLUCIÓN

-

cos t

sen reos 1

= sen t

b)

e)

clx =

aP

-.:;oy

0

- 2 dy

0

aQ

l

1

3 cos- t

5y2 - 8y

cos2 t

2

4

·

1

·

0

0

=

= -

1

_.

(nótese que existe un punto singular S en el origen de coordenadas.)

4.

Consideremos la integral curvilínea (véase Ejemplo en 2.5):

1

=

f

AB

(yz: + y -

(xz

l ) dx +

Cornprobar nuevamente el valor obtenido

a) b)

=

_

dy, síendo

+y

2

3

4 .8

o

fo �

{a)

cos t dt

e

� O) que:

(xz - yz)dy

+

xl)312

_

B,

,

sen - tcostdt + -

e

x +A +y f 2A(2. O) B(O. )

entre los puntos

b) e)

-

A to largo de la recta r1 que une A con A lo largo de la recla r2 entre A y M(

+ x)dy +

1= 1 +

8.

j2.

(.xy +

...j 2:

1 , 0) y

2, 0) 3z:2)dz: {A(O, ¡;, 8( ..¡ 2, l,

de la

r3

entre

M y !3.

1)

=

O comprendida


http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales

curvilíneas

121

SOLUCIÓN

, 0) x = y) 2{M(v'0.,2 1, O) {z Ov�2 (2 de

r

A(O,

<=>

=

{Xy ==

.fi

;:=0 1

(2 - /)

la variable que en cada caso consid

Integrando respecto

{X

M} x = vh2 == .fi {B {y = 1 z = t er o más conveniente: .

<=>

r

3

'

.>

-

l

am s

a)

d�.: = 0} = j2(3 - 2y)dy + 1 <Jl + 3z2)dz + .ji {dy = 0 J J las circunferencias de centro (0, O) es constante: =Pc (x2 +y2)2 (sentido n at v ) la+recta y= -1, 1) 1 ). ¿Coincide este resultaolaraprobando lo largo delquecami n o x2 y2 = valb) orJustifielcarque anteri existe función potencial. Calcular ésta. b)

f = f (dz = 0) + f u r si a largo .1t8

5.

a)

AM

Est dia

1

'

MB

lo

=1

n

2

de todas

x2ydx - x3 dy

l

eg i o

e

Hallar el valor de

íntegral a lo largo de

2?

con

1

y B(l,

entre A(

lo

e)

SOLUCIÓN

a)

el tercer gráfico de 2.3, a end de B(t = 0): {x = n 1} f2" 4 e 2 co 2 s n2 dt = = depende y= J (l +x2) - 1 { y= l} = l = integración en Apéndice }= , dy =O I + x·)� I 1 1 + x ) - l{x2 + y2 = = f n tdt =-2 [arctg x- l + J = --= n/4 . 0), lo cconexo). dos caminos están un dominio sim(0plemente ) y) = 21 (arctg y ----, x2 +y- + k 0)

Utilizando, por ejemplo,

b)

1

r s

r se

l

reos t

=

0

1

(1

Se verifican la!)

del Apart.ado b

s r+ e

l

X

condiciones (�)

_

1

t)

n

4 ·-

r

1t

4

dx {métodos

22

(

_

-2 X

o)

n r(

-� dx

_1

y p rti

la Figura

2

o

n (no

J

de

se

2}

4

-

ual

excepto en

-

X -

.ry

�/4

1

justitica estos resultados (los

incluidos en

F�t,

de r)

(y ;6


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Cálculo integral y aplicaciones

6.

2.10:

Consideremos Ias seis curvas cen·adas ele la Figura Rectángulo (R), circunferencias ( C1 • C2, C3). el i pse (E) y curva li·ontera (F) del dominio ·embreado. la cual consta de las F1 y F2•

Sea 1 =

f

Figura 2.10

P dx + Q dy una integral curvilínea respecto de la cual. a excepción de cienos puntos sin�

guiares (S1). se veri fican las condiciones (1G J.

a)

Suponiendo que existen los tres puntos singulares de la Figura, detenninaT los valores de la:; integrales

y

= 3, � = 4. r� ':y,. . sabiendo que � 'ft{ = 6, � 'fc� 'Yc.,

b) S upóngase ahora, que existiesen tínlcamente los pllntos singulares S1 y S2 (táchese S3 en la citada Figura). S:\biendo que:

� 1 f f e) e' �. <B.. �. IF, .

=

,

1

y que

AIJ

= -

calcular las i ntegrales

SOLUCIÓN a) b)

1.

rf'i

=

3,

� =� 'ft{ 'ft,

AB

� = l. 't.·

= 4,

AH

� 'f:.

=

3.

ff'¡ l) -

.AIJ -

J

.Jt8

-

-

= 2 (en los sentidos indicados con flecha) y

2'

2.6.

Sea de nuevo l a integral 1 del �jemplo correspondiente a l a Figura Analizando previamente nomen­ claturas (Figura 2.1 1 ), obténganse los siguientes resultados (¿cuáles son Impredecibles?):


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I ntegra les curvilíneas

123

1

: 1 1

x � JJ

[

1=

Je

ydx - xdy

x2+l

' F(:r, y) = arcrg:.... + K )'

(A)=�,

¡ C: x1 a

6

a

(N)=-f!.. (Í

+y' =4

. . ' e, :x· +(y- 1)· = ,.L:

a)

b)

V A, Bja(A) <

Pc {o. e,

=

-

e f rt.('B) :

si r < l

=

=

..w

1

:;-

o:(Al - a(B) �rh =

'ft-

-2n.

(concepto). Si r = 1 tC1 en la Figura 2. 1

fe, "<BI .

2n, SI r > 1

Siempre el sentido positivo.

Figura 2.11.

,111

J

,¡,-�,

( -dr) =

¡

2

En apanado e

lCt.(A) - v.{B)) -+

Pc

e,

=

1 ):

- rr

(impredecibJe)

Siendo L una curva cerrada que consta de la porción de circunferencia C1 con trazo continua y de lu recta r 1, se tiene (resultado predecible):

e)

2n:

= - - (porción de C1¡ + 3 L

j''1 {.

v = ·

MN dy

=

}

l/2 Q

2n h = - -;:;- + � = O .:>

.)

(asimjsmo, el valor de esta imegral a Jo largo de la curva L correspoudietlle a C, será 1 = - ln:). En los dominios D y D1 somb1•eados. se dan las condiciones cg_ Consecuentemente existe en ambos independencia del camino y las correspondientes integrnles a lo largo de las curvas frontera de D y D1 son nulas (compruébese en D). A pesar de ello, veremos seguidamente en D, algún resultado que más que impredecible, será sorprendente:

d)

En D1

En D :

:

fc1 f Nll

..

=

NA

fe.: f·' NA

=

1

NA

6

n

= --=

3

n

P(A) - F(N) = arc!g

- =1 P(A)

F(N)

=

1

- - arctg

.j3 -

arctg J3 - arctg ( -

n6t.ese que F = arctg<.r/yl es continua en D 1 pero ¡no en D!

6 3

)3 = -n - n

- 2n J3¡ = 3 (sorprendente)


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Cálculo i ntegral y aplicaciones

Puntualización Habida cuenta de que F tiene que ser obligatoriamente continua {por ser djferenciable) en los puntos (a, O) donde «SUS derivadasy, P y Q lo so� ¿en qué lugar reside el error? La respuesta surge al recordar (ejemplo correspondiente a la Figura 2.6}, que en el cálculo de la función F se dividió por y, dando por supuesto que y .,¡, O. Por ello, P y Q no son realmente derivadas de F = arclg (x/y), pues por ejemplo: P." = ·

lfy yl·¡y 2 (no continua en y = 0) = P (Si y ,¡, O) 2 +�=x 1 + (x/y)· y

Como esta división o simplificación, aunque raras veces, puede utilizarse en el cálculo de F. considera­ mos convenjeme (agiliza razonamientos) presentar aquí eJ siguiente enunciado: Si en un dominio D (cuya frontera es una úni.ca curva cerrada simple) se dan las condiciones '€, puede escribirse: V A, B, C (puntos y curva en D) :

r8

P dx + Q dy = k -+

<P

fe

Pdx + Qdy = k = F(B) - F(A) 181

len D) = 0

Si además, existe un dominio convexo (D lo es, si V P 1, P1 E D, P 1P¡ E D) donde F (obtenida aún con divisiones o simplificaciones) es continua, y en el que D está incluido. entonces: VA, B, C (puntos y curva en D) :

tlll

es¡ La existencia de este convexo es condición suficiente, pues aún sin ello. obviamente podría suceder que l = F(B) - F(A). Se propone comprob ar con M - 2. -2), B(O, 2) y C ¡cualquJer camino! (cortando o no a la parábola),

que: a}

fe d.t +

ly d)•

x+y

2•

= L2 = P(B) - P(A). Váyase de A a B a través de M(2, - 2) y H(2, 2) (rectas), y directamente.

b} No existe ningún convexo (que contenga a un D simplemente conexo) en el que F = Llx + l1 sea continua. Al<


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Integrales dobles

3.1.

3

LA INTEGRAL DOBLE

(D·

Prescindiendo en esta ocasión de dar definiciones y gran parte de sus propiedades puesto que exclusivamente se utilizará la integral simple de Riemann concepto de inzegral doble

(fD

presentamos a continuación el

resolviendo para ello, las dos siguientes cuestiones (supondre­

mos en todos los casos la existencia de las integrales de Riemann correspondientes).

Cálculo de áreas planas Si considerarnos el recinto R de área A (primer gráfico de la Figura 3.1) en el que entre a y b cualquier recta genérica r normal al eje x (x = siempre corta en primer lugar a la curva el : y = fl (x), y seguidamente a la c2 : y = f2(x), se tiene (Riemann):

k)

= (f2(x) - f1(x)) dx -+ A =

dA (área rayada)

ff2(x)

y puesto que:

J1(x)

podríamos escribir:

A=

fb a

dy = y

J

/2(x)

/¡(x)

fb

[f2(x) - /1 (x)) dx

(l

= f2(x) - /1(x)

[j�(x) - j1(x)]dx =

fb [ ff a

2(X)

J1(x)

J

dy dx


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126

Cálculo i nteg ral y aplicaciones

y

,.

y

y;h. (.r) ...------ -- -...___ ,.,"",; � N \

/z (x) M

!i (x) � -� -� -------._ __ � , X a x=k o b

Figura 3.1

o

g, (y)

X

lo cual abreviadamente expresaremos por cualquiera de las notaciones: A (área de R) =

fb ff2(:0:) • n

f ¡(.<)

dy d.x. =

ff

dy dx

=

R

ff

. dA (dA = dy cL-r)

Razonando de igual forma (segundo gráfico de la Figura 3 .1 ) con otra recta genérica mal aJ eje y (y = k), resulta:

A = Id e

I(l f92C)•)

[g�(y) - g 1(y)) dy =

r

¡¡¡()•)

(1)

R

dxdy =

JI

R

d.x dy =

fJ

R

r

nor­

dA

(2)

Dado que el conecto cálculo de los límites ele integración es el fundamento de cualquier integral doble (o triple), antes de seguir adelante, aconsejamos esludiar la Figura anterior y ana­ lizar el recomdo de las dos rectas genéricas al barrer totalmente ambos recintos, lo cual justifica los resultados de las expresiones ( 1 ) y (2). Cuando por su forma, al recinto R no puedan aplicarse las relaciones ( 1 ) o (2) (culpable la recta genérica), deberá particionarse en otros donde dichas relaciones sean aplicables (concepto que ponemos de manifiesto en el ejemplo que sigue).

Ejemplo Aplicando las relaeiones ( 1 ) y (2) determinar el área del recinto cuya frontera

0(0, 0), A(6, O), 8(4. 2).

es

el Lliángulo de vértices

RESOLUCIÓN

Orden yx(dy dx). r normal al eje x (relativo a lu última integracíón¡: Aplicando lo expuesto es chlro que debe particionarse R en dos recintos, el segundo de lo!\ cuales (R2) hemos sombreado (Figura 3.2): (1)

ft JL, fL1 6 fl> f -x f4 [ JX/2 16 [ l6-x j'4 X ftí J•-i I;,;¡1 A =

=

cly d.;r =

tly dx+

o

o

dy d.x =

4

o

dydx (evidente propiedad aditiva) =

dydx +

y

o

dx +

C]

y

4

. Cl

dx =

o

:._ dx + 2

4

(6-x)dx = 6


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Integrales dobles

127

x = 6 - .''

O (0, O)

(2)

,.

8 (4, 2)

X

(4, O)

r

A

X

(6, O)

o (0)

X

A (6)

Figura 3.2

.\'

r

i

Orden .\y (dx dy).-Segundo gráfico de la F g u a 3.2: A=

ff

dxdy =

JI

f, f() -¡• o

d_rdy =

f' [ ](> -y f2 x

o

1y

dy =

(6 - 3y)dy = 6

o

2¡•

Obviamente. en esta ocasión. es más aconsejable e legi r el orden (2} para el cálculo.

lo

Se propone repetir este ejemp (en los dos órdenes). comprobando que las áreas encerradas por las curvas (y = x2 , y = 4) y por las (Y2 = 32r. y = .r3 ) son 32/3 y 20/3, respectivamente.

Cálculo de volúmenes En general. una integración doble aparecerá expresada por cualquiera de las formas:

ft

f(x, y) dxdy =

ft

f(x, y)dydx

cuyo valor (suponemos f continua y no negativa en el reci nto R) representa el volumen ( V ) del cuerpo cilíndrico de la Figura 3.3(a) con base dkho recinto y comprendido entre la superficie :: = f(x, y) y el plano horizontaJ. Véamoslo: Teniendo en cuenta ( 1 .5), que V = y

como (Riemann):

f¡,

A(x) dx [A(x): área sombreadal

"

t!A(x) (área rayada ) = f(x. y)dy � A(x) =

fj',(x)

f(x, y ) dy

/,(.')

resulta: V=

f¡, a

A(x)dx =

f" ff,(x! a

f(x, y)dydx =

f ,(x!

ff

f(x, y) dydx

R

nótese que f(x, y) dy dx = j(x, y) d:r:dy es el volumen (diferencial) de la columna vertical dibu­ jada en la Figura 3.3(a) cuya base, de área dx dy, está en el plano horizontal, y cuya altura es .f(x, y). Consecuentemente puede escribirse: dV = f(x, y) dxdy � V =

fL

.f(x, y) dxdy


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128

Cálculo integral y aplicaciones

1-t---+-... i y f(x,y)

b

/;

ly t

X

Figura 3.3.(a)

z

,.

z=/1 (x,y)

y

: 1

!' '

:

X

� , ¡ '

j

R

Figura 3.3.(b)

: l

Lo anteriormente expuesto. dará lugar al cálculo del volumen de todo tipo de cuerpos que cumplan ciertas condiciones. Así, el volumen de los dos cuerpos definidos por las relaciones plasmadas en la Figura 3.3.(b) vendrá expresado (resta de volúmenes de dos cuerpos cilfndricos) por: dV = [f2(x,

y)

- .f1 (x.

y)l dx dy � V =

fL

[.f2(x, y) - /1 (x, y)] dxdy

(3)


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Integrales dobles

129

En el Ejemplo de la Figura 3.7, se obtendrá mediante cierto artificio el volumen de w1a esfe­ ra. Aconsejamos, aplicando únicamente Jo visto hasta aqui sobre integrales dobles, tratar de cal­ cular dicho volumen. En caso necesario consúltese esta Uamada ( 1 1.

Ejemplos

Jfl. f2y f 1=

y +y

Consideremos la integral doble � dxdy CalDibcujulaarreslucorvalroesrpiondintegreanndote reencinelto ordediennteigrndiacciado.ón Plantear cuando se invierte el orden de integración. fl/2 [fl¡· l/y dx dy f 112 [-·' y arctg -x] 2y · d J o y y y ) 1 ( x / + y fl/l (arct<> -arct<> 1) dv 1 (ateteo-2 -arctg 1 ) l 1 2 2 resultado este último que se obtiene aplicando la relación: arctgx-arctgy arctg ---( vista en el Ejemplo de 2.4) 1 Razonando rApoyándonos esulta evicondenentrelaectFiqueasgurelanor3.re4cminyaltoteraszalapen<;ledjoiedaoy,horco1Tpuaeresetscoptondeaques norlomstoalldaíemsiltalaeszonaejdee las(dosmbrosegureenacidadnationdesteRglra1ayFil sRgour2nena este caso), escribiremos: fl /2 fx -2--2 dy dx + f ' flf2 �d y y dx x/1. 1 / 2 .< / 2 (compruébese que extraer de aqoí el resultado l arctg -, es ahora más laborioso.) 1.

O

a)

>'

X

b)

(R).

1

e)

(y t= 0)

RESOLUCIÓN

1=

a)

o

=

=

2

>'

e2

O

<>

.

=

=

Y

-

<2 l

e3

= - arc[cr -

x-y

=

+ xy

(r)

b)

x = y,

x = 2y,

R

e)

3.4.

a

x

l = l(R1) + I(R1 ). =

Y

O

.X + Y

1=2

(l )

V

- (Figura 3.7) =

8

t

If [j9 11

(x2 + y2)

- (<. = O)] dxdy =

J<9 - .x2) - y2dy{y = J9 - x2 ·sen/; =

Con todo:

V -

8

=

f3 (9 o

-

x2)

[ .r']3

n n dx - 9x 4 4

-

=

3 ()

- -

J: - {9 ") /

=

X +Y

l

3

f3 JJ9 o

o

_;z

j9 - (x2 + y2)dydx

V = 36rr.

111 Aunque en el Capítulo 1 se han resuelto numerosas integrales de estos tipos (dos o m:ís V<1riables componentes de la función subi.ntegral). recordaremos oo obstante el siguiente concepto:

«Si la expresión subintegral presenta la forma .f(x, y, :, . ..) dx, la variable de iruegración es x, con lo

tes y.

�•

...

permanecerán constante.� (durante esa integración)>>.

que las

restan­


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130

Cálculo integral

y aplicaciones

-+-,� --- r ---r=k 112

()

Figura 3.4

2.

Calcular el valor de la integral f =

RESOLUCIÓN

f 1 J2 o

e"'� · dx tly.

1.1'

Respetando el orden dado. sería necesario obtener

I1 i/.r ex! ·

2)·

que como sabemos (Apéndice 1 ), es

una integral irresoluble. Veamos si invirtiendo el orden de integración puede calcular�c: Una vez dibujado el recinto R corre�pondiente (primer grático de la Figura 3.5) y ra1.onando con la rcl.:ta r normal al eje .r (orden yx), se lienc:

1= En consecuenl.:ia:

•2 j'X/1 J [ n

n

e·'"

·

tly

J f1 [ fx/1 l f1 tlx =

e·.;; ·

o

dy

dx =

o

e·'z · ::; cLr X -

Para concluir con la inversión de los límites de integración (que en ocasiones. como se ha ruesro de manifiesto, es imprc�cindiblc) se propone el ejcrdcio que sigue.

.•'

1'

.\

=1y

v = x/2 )

X

Figura 3.5


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Integrales dobles Cambiar el orden de integración de las integrales:

1=

j'' f� 0

y- 1

f(x, y)dxdy

,

J=

f2 ljlli X3 0

f(x, y)dydx

131

2

La obtención gráfica de los recintos se facilita lanzando varias rectas horizontales entre y = O, y = l en el caso 1 (segundo gráfico de la Figura 3.5) y rectas verticales entre x = O, x = en e.l caso J. Dispo­ niendo de ambos recintos resulta inmediato que:

!=

of fx+t -1

o

f' f

f(x, y)dydx +

o

o�

f(x, y) dyclx

,

J=

f8 f�/). o

f(x, y )dxdy

y2/32

Cambio de variables en una integral doble En numerosas ocasiones se facilita la resolución de una integra] doble, me<li.ante cambios ade­ cuados de las variables x, y de integración. Como ya se ha estudiado, cuando se hacía el cambio (aplicación F de R2 en R2):

x = x(u, v) y - y(u, V) _

}

teniendo el jacobiano 111

=

x'

x'

Y.,

Yv

l

;'

· ;

1

igual signo

(aquí lo deberá tener en el correspondiente recinto de integración), resultaba que los elementos diferenciales de área (dA) en una u otra referencia, venían relacionados por:

dA (en el plano xy) = lll · dA (en el plano uv) � dxdy = llldudv

{

{

Son muy comunes los siguientes cambios en polares:

x - a = pcose

x = p cosO

y = p sen

= p) O (111

y-b

=

p sen e

(111

=

p)

{

x/a = p cose ylb = p sen O

( IJI = pab)

y si consideramos más aconsejable realizar, por ejemplo, el primer cambio, con lo que

Oz P2( 0 ) f01 f

f(x, y) = f(p cose, p sen 8) = g(p, 8), dx dy = p dp eL(), se tendrá (Figura 3.6):

If

f(x, y) dxdy =

R

y

If

g(p, ()) · pdpclO

R'

�--

-,,,

=

p

P P2 (fJ)

.

,

=

' ' ' \ ' 1

\ '

'

,.

F

'

\

(:} ; k

o

g(p, G) · p clpdO (orden usual)

p1(0)

'\ \

1

Figura 3.6

... ...�..,-- --- ...., ...

\


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132

Cálculo i ntegral y aplicaciones En la Figura 3.6 aparece el primitivo recinto de integración R, habiendo en él sustituido las ecuaciones cartesianas de su frontera por las polares. En este primer gráfico, también se han añadido otros conceptos, con el fin de que podamos prescindir del recinto imagen R' para el cálculo de los límites de integración. Aconsejamos, como antetiormente un detenido examen en R y R' de la recta genérica r.

Ejemplos 1.

Comprobar que los dos enunciados que siguen son equivalentes: • •

Hallar mediante integrales dobles el volumen de la esfera x2 + y2 + Hallar el valor

RESOLUCIÓN

V= 8

Jt )9 -

x2 - y2

z2

=

9.

dxdy, R (cuadrante de x2 + y2 = 9) .

La mejor forma de realizar esta comprobación, consiste en observar las Figuras 3.3 y 3.7 planteando poste­ riormente, en cartesianas, el volumen de la esfera. Veámoslo, obteniendo de paso dicho valor V = 4/

3 (nr3) = 36n(r = 3):

Basándonos únicamente en el primer gráfico (los otros se han añadido para fijar ideas) y sin más consi­ deraciones, calculemos el volumen dibujado:

i

=

IL

f(x, y)dxdy =

IL )9 -

x2 - y2dxdy =

F:

IL. g(p,O) . pdpd8

=

y

{x=pcos8 y=psen8

,.

x2 l = 9 (p = 3) \ ..

p=O 8=-0

+

X

F

X

r

Figura 3.7


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Integrales

do

bles

133

Calcular la integral 1 en recinto siendo: JL (x + RESOLUCIÓN Utilizando polares (usuales) {X Sen {X2 ++ y2 2y = = Sen e8 yobtener apoyándonos en la Figura (el segundo gráfico, como siempre, repetitivo), intentemos en principio 1 razonando en cattesianas (dos recintos en orden + 2y-y2 fl flj+JL=Yl fl fl-� + + f2l f.¡¡;::;; (x + operemos pues con polares (usuales) y veamos si simplifican este cálculo: "/4 (cose + sen 8) f7to /4 [f22 """o J fo Cálculo de 2 cos0 ] 3 =(cosO+ sen8)- 3 (cos + sen8)(cos3 8-sen3 8 [cos4 e- sen4 8 + sen Bcos e(cos2 -sen2 8 (cos2 sen2 8)(1 + sen cose) = cos 28 (2 + sen ( cos + seo R,

el

2.

1=

y

y) dxdy

=

p COS e e

=p

:

- 2x = Ü -> p

X2

y2 -

Q -+ p =

2 COS

2

<Jl

3.8

yx):

el

1=

y) dxdy =

(x

o

cosO

1=

o

y)dydx

(x

o

· p dp d8 =

p

y)dydx

o

<4>

[J] dB

1:

8

p

J

3

=-

B

2 sen0

e) =

e)] = -

e

=-

3

2 20) = 3 4

4 =3

28

B-

3

B

48)

y

p

,.

2

r

.... ....

p = 2 sen 8 '

....

'

'

'

p = 2 cos8

8=0

o

C(l, O)

1 1

\ \

J

1 1 1 '

', p = 2 c.os8

Q (2, O)

X

o

8=k

;t/4

8

Figura 3.8

x2 + y2+

es

131 Que al igual que p = 2 sen (), también puede obtenerse relacíonando las p, O del punto genérico P(OP = OQ · cos 0).

berá

<41 Como en

tomarse el signo

2x =

O, x = 1

± �. y puesto que en esa zona del recinto x > 1,

(lo contrario sucede en

x2 +

y2 - 2y = 0).

evidente que de­


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134

.

Cálculo integral y aplicaciones de todo lo cual resulta:

1

3.

= 2 1"'4 (4 28 4()) d() 2 [2 2() - 41 4()]"'4 = x2 y2 = x2 y2 = 2, y =O, y= -

3

+ sen

cos

0

Sea R el recinto limüado por:

+

=

-

3 _

0

3

l.

+

1,

5

- cos

sen

Hallar su área utilizando integrales dobles y coordenadas polares (en los dos órdenes).

RESOLUCIÓN Apoyándonos en el primer gráfico (Figura

3.9)

y sin más consideraciones, se tiene:

y

p

r

p = J2 A' r---'----"""

1

p=l .

F

.. ¡

'-!

1

o

X

¡c/4

n/2

f)

Figura 3.9 Orden

p()

A

(dos recintos):

Jí f = 1tt/4 p dp d8 + f. 11n//42 f1 p dp d8 = 1"/4 21 d8 fn/n/42 21 ( 1 - 1 ) d() = = 8 - 21 [ e + o]"'2 = 81! - 21 [1!2 - ( + 41!)] = 21 (1p) dp. p = ffi. [1arcscn(l/pl d8J pdp = f1fi. 1/•enO

o

o

1

1C

cotg

Orden O

: A

A

=-

1

2

1

-

+

-

() � sen

1

n4 /

p · arcsen

0

pdp = 1 ( -1! 1!) �]ji1 = p- are p1 ]jil + 21 ffi.l � 2 2 4 2 2 ?

·

sen -

-

-

2

·

1 -- +-

l


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135

Integrales dobles

Teorema de Green e

Consideremos una región R del planoíJPcuyat·Qrrontera es una curva cerrada, lisa o lisa a trozos. Sean P(x, Q(x. y sus derivadas funciones continuas en un cierto dominio R2 que incluye a dicha región. En estas condiciones (repáse.<;e previamente y)

y).

D

7 . -;-

I'X

('\'

P(.-c. y) cl.x + Q(x, y) dy

e

ff

=

(rQ ) <P

n

� - -::-i'Y f1X

s;

2.4 ):

dxdy

Para lasprobarl princip.ioAplqueicando R esademás: un recinto �imilar al de la Figura fvéanse condioc. iones exigidasenentonces) fiz<xl dy P[x, .f�(x)] - P[.r. f1 = P(x, dy r,<x) C)' f y observando que (primer gráfico de la Figura consta de C1 y e2, se tiene: supongamos

(lP(x, y)

.

e

·

=

( r) 1 .

3.1 )

ff (¡.p\ R

?P(x, V)

y) + h(x) �

( 'Y

3.1

:)"; dxdy =

(

"f [ JfJ(xl (lp J J¡, -:;-:- dy cLr =

11

=

=

[1(.Y)

(

.\

11

I P{x, fz(x)l -,.P[x, /1 (x)] dx =

f,. P[x. 11 (x) J I" P[x, /2(x)l dx

-

[Jc, P(x. y)

dx

-

"

-

'""'

tLr +

b

fe�

=

J � P<.r,

P(x. y) cl.r

.v.vc

-

=

y)

dx

e

( Figw- 3 . 1 . segundo gráfico)

De idéntico modo sequeprobaría a cumple las condiciones la otraexiiggidas, ualdad.pero puede des­ Supongamos ahora el rednto no componerse en otros recienntosintegrac que .sí:iónlodoblhacen. Tomemos para frontera fijar ideases eel yreciR2ntoconRfronte­ de la cuya Figura pl (dos reci n tos e orden yx: R a d lo prob�:u.lo a cada uno 1 estos do!\ recintos 1(simples) resulta: 3.10

ra

C2). A

ic n o

anteriormente

rh Pd.r + Qdy Jr , rh dx + Q dy �1 p

de

f f f ff f f f JJ' +

=

AN

=

,Vfi

NM

+

.\11l

+

BM

M·'l

R1

=

��)dxdy Q ((� - ��)d.\ dy (r�Q -

=

+

R!

(X

f)'

IX

1)

cuya sumu rniembro miembro nos conduce ns11nismo relnci6n: a la

a

J. + f + I + r· f d IN

.'/ IJ

B.\1

• ,1/.J

=

('

P

r

+

Qdv-

ff ((,º �) 1<

-

(",�:

e·p y

dxd)


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136

Cálculo integral y aplicaciones y y

M

M

B

X

:e

Figura 3.10

Las notables consecuencias que conlleva la igualdad de estas derivadas parciales (derivadas cruzadas), han sido exhaustivamente tratadas en el tema anterior. Consideremos finalmente, en las condiciones dadas de continuidad, un recinto R (los sombreados en la Figura 3. 1 1 lo son, como sabemos, triple y doblemente) cuya frontera consta, además de e, de las curvas cerradas e¡, e2, en el interior de e y que no .intersecan entre sí. En este caso, la relación entre las correspondientes integrales viene dada por:

múltiple­

mente conexo

.•.

cR P dx Qdy - (Pc1 Pdx + Q-dy + ck2 Pdx + Qdy + ) = ft (�� - �;)dx dy +

···

•'

oo Figura 3.11

Como la generalización es obvia, lo probaremos con relación al segundo gráfico. Dividiendo el recinto R (línea de puntos) y aplicando Green en R 1 y R2, resulta: (en R 1 )

(en R2)

:

:

fe

(sentido indicado)

AB

I

AM.

+

f

(puntos)

BN

(puntos)

+

c1 + f + c I J MN

NB

BA

+

J

c1 + f

NA•C

MA

(sentido indicado)

=

=

JI JI

R1

R2


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Integrales dobles

137

cuya suma miembro a núembro da lugar a:

i <R1 +

y cambiando el sentido en

C

1

IL1 Jt1 Jt

(sentido negativo) =

=

+

se tiene la relación buscada.

Ejemplos Consideremos el recinto R del Ejemplo 3 anterior cuya área era

1. a)

1/2.

Aplicando el Teorema de Green y el citado ejemplo, comprobar que:

�.

2+ +2 rh � (x y2 y) dx xy dy = 2

1=

e = Frontera de R (Figura 3.9)

Obténgase de nuevo el resultado resolviendo esta integral curvilínea.

b)

RESOLUCIÓN ( x2 a) rh �P =

+ y2

- y)dx +

(Q

= 2xy)dy =

ff (oQ - )

oP dxdy = Oy

OX

R

ff

R

dxdy = 2�

Particionando la frontera e en Jos tramos AB, Be, CD y DA, escribiremos:

b)

f t ./2¡;:, } In/4 (2 - ./2 .j2 f { } o - f { 0 J =

;tB

=

BC

cos/

v .::. sen t

=

y= ¡

=

dy =

sen t)( -

o

J

X2 dx =

3, 1

CD

sen rdt) + 4 sen Lcost(

Sen t

En consecuencia:

J

=

f + f + f + f - 6 ./2 AJJ

IJC

CD

DA

=5

} = 31 - J { o}0

x = cos r

Y =

4

.¡2 cosrdt) = 5 - 64 ./2 + -4']{

n

¡,

+ �4

DA

y= dy =

� + � - � + 2 ./2

3

3

4

3

-

=

1

2 fi

3

-1

2

Como ha sucedido con la anterior integral /, también resulta que: J=

�2 rh ( -ydx + xdy) �

=

JI

R

dxdy = Área de R

Pruébese, resolviendo las COITespondientes f y J y aplicando Green para recintos múltiplemente cone­ xos, que el área de la corona circular de radios J y 2 es 3n. •


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138

Cálculo i nteg ra l y aplicaciones Aplicando el Teorema de Oreen a la integral

2.

1 hallar

su

= rh't·

x2y2 dx +

nea:

c urv ilí

er2 dy (sentido negativo),

e : x2

+ 4.l

-

8y

=

o

valor mediante el cálculo de la integral doble correspondiente.

RESOLUCIÓN Deberá obtenerse: 1 En la Figura 3 . 1 2

= - If (�� - �� )dxdy = If R

( A

1)

2r2ydx dy

R

se han plasmado las consecuencias de dos cambios adecuados15'. Utilizando por ejemplo la transformación F2 que parece ser la m<1s simple. se tiene: 1{111

= 2p: = ftí 2(2p 16

cos 0)2( 1 +

p

sen 0)

2p dp dO= 16 J:"

cos2 o

[J: (p3 p4 O) dpJ dO= +

sen

fh o(4� + 5� ) dO = 1 6[4 f0n12 4� O c/O 5 f0ln O sen O dO] = 4 = 4n , 0

cos 2

cos 2

sen o

)'

{-'

D {-2. 1 )

,.

y=O(B=O)

8'

F,

p sen O

.r

;r/4

() '

1'

;r;/2

3;r;/4

;r

(j

fl

{

r= l .. .. -·-·-fJ = O

o (0. 0)

16 �

cos 2

= 2 fJ cos ()

x=

o (0. 0)

p

.

8 (0. 2)

+

p=1

F]. x = 2 p cosf)

y-1

=

X

Figura 3.12

p s..:n ()

R2 2;r;

C'IOl

O

f)

151 En la rcferenci:1 Oxy. hemos represcntadt). como siempre 1'· () y la ecuación 1' = ,,(1)¡ de la fromera del rccimo R. con el lin 1k pr.:ci�ar los lími1cs de imcgwción. Evidcntememc en c�ta referencia, ni p ni muestran, en general. su

verdadera magnitud.


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Integrales dobles

{

}

� 2,.. f

Comprobemos el resultado, habida cuema de que

/= -

cR

e

x = 2cost 2 2 x y dx y = 1 + se n l

O � 1 < 2n

= -

f(u) du = 0:

4 cosl t( l + 2 sen t + sen.. ¡){ - 2 sen rtlt)

°

haciendo sen3 r = ( 1 - cos2 t) seo1, 4 sen2 rcos2 1 = (sen 21)1 y operando, resulta: T=8

f¿" ( 0

1 - cos4t

c

c)

fl ¡

+ os4 t s n t d1 = 8 4

4

139

(

)

sen4t

t - 4-

-

]

cos5 1 1"

0

= 4n

Simplificaciones en el cálculo de una integral doble Consideremos lá integral doble 1 =

JLR

f(x, y) cL�dy, siendo 2R un recinto simétrico respecto

del eje x. Denotemos por R a cualquiera de sus mitades simétricas: 1.

S i f(x, -y) = f(x, y) U par e n y), entonces 1 = 2

2.

Si f(x, -y) =

- j(x,

ft

J(x. y) dxdy.

y) (f impar en )1), entonces 1 = O.

El enunciado de esto!' resultados cuando exista simetría respecto deL eje y. siendo a Sil vez f par o impar en x, resulta evidente.

Ejemplo

recintll sombreado de la Figura J .20 (limitado por Ja curva lemniscata, cuya ecuación se vio, p2 a1 cos 20, a > OJ, y por R a su mitad derecha, calcular el valor de las siguientes:

Denotando por 2R al en polores es, como integr:Ues 1 y J

a)

1=

b)

J=

ff!R If

=

Y2 2 dx dy , x- + y

, - tLr dy . + y2 R x- X)'

RESOLUCIÓN a)

eje

/i"2R simétrico respecto del eje y, s1endo f par en x: = 2 .t,

con f par en y} = 2 2

Con todo (Figura 1 .20):

·

IfR¡2 X y+2 )'

ff Y2 2 ;z

R -Y

+y

dx dy lR simétrico respecto del

� dxtly (R/2: porción del recinto. nútad de R, tlonde x � O. y � 0) .


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140

Calculo

(.t

integral y aplicaciones

1=4

1nt4 1c'� 1n/4 -

= a2

o

Pz sen:z O

p dpdO = 2a2 02

cos 28) cos20d8 = - - a2

(1

o

·

2

p

o

2

f"'4 "/4 1 o

o

sen2 8 · cos (20) dO = cos2 (20) d8{20 = t} =

b} J : ¡:>uesto que el recinto R es simétrico respecto del eje x, siendo además f(x, -y) = -j(x. y) (J impar en y), se tendrá que J = O. Comprobémoslo:

J {Figura 1 .20} =

fn/4 11 -�{4 1

Jcos21J

al

2

al = ...:....

8

f"'4

fnj4-

- ,¡4

-n¡4

)

1

p

o

=-

p2 ( sen e . cos e

· p dp dO

az 1

(sen B · cosB)cos28d8 = - . -

2 2

scn(48)d8 = O

=

f"'-n/4 4

(sen20)cos28de =

Se propone finalmente, comprobar que a2 es el área del recinto 2R. •

Cálculo de áreas de superficies Una vez utilizada la integral doble para hallar áreas planas y volúmenes. sólo nos queda aplicar­ la al cálculo del área de una superficie cualquiera: Con lac; integrales hasta aquí estudiadas ¿cómo podría delerminarse el área de una superficie que no fuese cilíndrica (curvi1í11eas) o de revolución? Dicho cálculo se llevará a cabo mediante una nueva integral doble denominada: Integral de superficíe.-Nos basaremos para presentar y definir a esta integral. en un razo­ namiento análogo al empleado en el cálculo de la longitud de una curva mediante el elemento diferencial de arco ( 1 .5). En consecuencia: Expresemos por S (Figura 3 . 1 3 ) tanto a una porción lisa de la supeificie z = f(x, y), como al valor del área de dicha porción. Consideremos un punto cualquier P (a, b, e) de esta porción y el plano tangente (n:) a la superficie en P. Recordando (Apéndice 2), que n

:

z

-

e=

:� (x - a)

+

�: (y

b) -+ v (vector director) =

( :: , -

- ;; . 1 )

y una vez particiooada S en elementos de área (al ser el valor de toda integral de Riemann, iudepeudiente de la partición, supondremos que ésta, con norma que deberá tender a cero, es la de la Figura 3.13 cuya proyección sobre R se ha dibujado), denotemos por da el elemento dife­ rencial de área que contiene al punto P, y por dS stl proyección ortogonal (según v) sobre e l plano n (téngase en cuenta, que si s e toma ciS como valor de da, e l error que se produce e s u n infrnitésimo de orden superior al d e da).


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.

Integrales dobles

o,

k., ,

.

-

r---- - -

:

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 ' 1

-

/ ;;

n=

/1

'

141

1'

l vl

/1

z =ftx,y)

ds ',� s '

'� '

'

'

\

1 1 1 1

y

y ,; = (cos a, cos {3, eos y)

X

Figura 3.13

(3. 1)

Por otra parte y puesto que sabemos resolver cualquier integraJ doble cuyo recinto R t y (o en los otros dos planos coordenados), únicamente res­ de integración esté en el plano .. ta trasladar los cálculos a R , proyectando sobre dicho plano borizontaJ, dando lugar a otro elemento diferencial de área que expresaremos por y taJ que (Figura · cos y. Con todo. y aplicando el producto escalar (concepto sobradamente conocido), escribiremos:

dS

dA = dS

(

� v - o ' - ily ' l x

)

-

· k(O, O,

1) = 1 =

dA (dA = dxdy)

-

]v] · lkl · cosr

1 =

=>

--

COS '}'

lvl =

En consecuencia (véase también(61):

3.13)

(az)2 (az)2

J OX 1 +

-

+

( ) ·dxdy s = JJ ds = JJ ·dA = JJ 1 (az)2 ax ay yz (dx dS dydz dS S � Jt } G�)' (�)' dxdz � JL } (:) (::) dydz , I

+

_

R cosy

s

Si se proyecta sobre xz o

R

· cos {3,

dz =

+

+

-

0- 2

...5:.

-

oy

(4)

· cosa) se tendrá:

=

'

+

+

+

'

(S)

Ejemplo a) La ecuación del cono (ilimitado) circu.lar recto (Figura 3.14) es x2 + y2 - tg ral (sombreada) es S = nrg. Compruébense ambos resultados.

J

2 cp · z 2 = O. Su área late­

61 Como IUI = 1 + (oz/ox)2 + (ozJByf. denotando por ñ (cosa. cos {J, cos y) al correspondiente vector director unitario del plano tangente (Figura 3.14), se tiene: 1

1

(cos ct, cosfi, cosy) = -:-

lvl

(

oz

- -

iJx

,

íJz

- -, l

By

)

1

1

-+ cos)· = -:- -+ -- =

lvl

cosy

J

(�)2 (az)2

1+ - + íJ�

oy


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142

Cálculo integral y aplicaciones

=

F{::2 -�

'�--,_����-----�

+

6y - 3 6 = O

=0

y

)'

X

Figura 3.14

b)

Hallar el área del cilindro

x2 + y2

-

6y = O inte.rior a la esfera x2 + y1 + ::z = 36.

RESOLUCIÓN a}

Para hallar esta ecuación, deberán relacionarse las x ..

---

---

QP

OA

tg rp = --- = --- Lg2 (P = z

Como (<.? 0)

::

;:

.

---,

OA-

--

z

l

7

x-

y, z del

+ v7

=., z-

=

punto genérico P:

.rl + y2

-

tg2 q; . z2 = (J

1 j.Tl + 1 y

=tg cp

Adoptando la notación (se hará n·ecuentemente)

lül2 = 1 + (Dz/o.x)2 + (cz./ay)2:

( ) (g)1

2 _7 cos2 q> 1 1 x2 + y2 - = lvl- = 1 + . -- = L + = r tg2 cp ,� + y2 sen1 tp sen cp ----

--

y puesto que el irea del recinto R es rrr2, resulta:

S= Obviamente

fL

d..xtly

JI

lül dxdy =

/{

� 1

ff

1{

dxdy

= �,. . m·2

=

=

l vl = !

,.

nrg

= Área de R.

3.14)

b} Plantearemos (Figura un �uarto del área pedida (x :.?!;. O, ;: ;?: 0). Se ba elegido como recinto el R,." (rayado en el gráfico) proyección de dicha área sobre yz. pues no es factible una integración doble sobre xy (aunque sí h<lllar el área mectiante una integral curvilínea). La proyección de la cmva intersección de ambas superficies sobre ye (parte de la fromera de Ry)· :;e tendrá eliminando x entre :>us ecuaciones. En consecuencia:

(F)


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x1 +

- -;:-

112 - 6r =

x2 + . , +

)'

=

O}

3

6

.:

(- l

Integrales dobles

-

=>

:

,

+ 6" = 36

F:

=

·

{.:2 . + 6\'

x= O

143

36 = O

Puesto que la porción de área en cuestión pertenece al cilindro. cuya ecuación ::: = f(x. y) deberá expre­ �ar�e en este ca�o por x - ,(((J ) (x ;::. 0). aplicanJo la ndación (5 ), l.e Lienc •

x=

/6y - y2

'\

_,

1 +

(1'x)l- (�'()2 . (j6y ):1 (�\'

=

¡•::;

1

3

¡..

-y

- )'2

9

6J - yZ

de lo que resulta finalmente, sin necesidad de pasar a potare�: S=

4

IfRy: j6y - _y-, th 3

dy

12

=

f6 1,'36-61' O

O

1

)6y - y2

d-:. dy = 1 2

Compruébese que el área de la esfera interior al cilindro es 72(n

-

f'h j6 JY

�O

dy = 1 44

2).

Integral de superficie de una función escalar Denotemos por S como anteriormente (Fignra 3 . 1 3), tanto a una porción lisa de la superficie z = j'(x, y), como al valor de su área. Sea u = F(.Y, y. z) una función e:;cnlar. continua sobre un dominio D s R3 qtJc contiene a dicha porción. La integral de SllpeJ:ficie de F sobre es por definición:

ft

S,

F(x. y, z) dS � ·

fL

.

Ffx, y .{(x.

y)] · lül dxdy

(6)

Las correspondientes integrales con recintos en x:: o y:: (relación (S)) son evidenles.

Ejemplo

y2

+ ::! = 4a 2 en dos porciones. Denotando por S El plano y + ::: = 2a divide a la esfera x2 + menor, hallar el valor de la integral de superficie:

n• En

lo� casos x = x(v.

.

;:)

y = !l(.c

.

a

lo.\ porción

) seguiremos también denotando por li f a lu suma correspondiente.

::


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144

Cálculo integral y aplicaciones RESOLUCIÓN

La Figura 3.15, presenta dos transformaciones que, como muchas otras, facilitan el cálculo de la mtegral. Una vez examinados y comprobados todos los resultados plasmados en dicha Figura, elijamos, por ejem­ plo, la transformación (J).

11

¡

X

(l) J2 a y-a

--

ll

= p cos 1:1 = p senB

(2){x

y

J2 nsenO

p=2 = p cos O

J2 JI= p sen O .\

Figura 3.15 Siendo S una porción

de

escribiremos:

En consecuencia:

AL ser ( l ) x2y = 2a2p2 cos2 O · a(l +

p sen (J), y IJI = j2a2p, se tiene:

Caso de optar por la transformación 2 (IJI

=

J2 p/2), se tendrfa:


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1 = 2a

If

R

x2y d.xdy = 2a

J?. .ji

2 2

f" [ f2fiasen0 o

o

Integrales dobles

e

p4cos2 sen Gdp

J

145

dO =

Observaciones El cálculo de una integral de superficie tiene su fuJldamento en la relación dA = dS · cos y, don­ de hasta ahora se ha supuesto cos y > O ( 1feos y = P JI) y en consecuencia y < n/2. Aunque el área debe expresarse por un valor positivo, sin embargo, tomando por ejemplo el caso del cono (véase el sentido de ñ en las Figuras 3.14 y 3.15), se tiene en toda la superficie cónica dibujada que y > rr./2 (cos r < 0), por lo que deberíamos escribir dA = - dS · cos y. Ello cambiaría el sig­ no de la integral dando lugar a un resultado (área del cono) negativo. ¡Nótese que si se tomara la otra cara del cono, es decir, su cara interior (evidentemente de igual área), la normal a dicha cara tendría sentido opuesto al del ñ dibujado, siendo por tanto en toda ella y < rr./2 (cosy > O)! Una superficie (en general) tiene dos caras, tal es el caso del plano, de la esfera, ... En cier­ tas aplicaciones es necesario precisar qué cara de ta superficie se considera, lo cual puede po­ nerse de manifiesto exigiendo, por ejemplo, que el vector ñ normal a esa cara en un punto, sea perpendicular al plano tangente, sin atravesar a éste ni a dicha cara. Evidentemente en la Figu­ ra 3. 16( 1), la cara que se ve está asociada al vector ñ1 y la oculta al ñ2. Consecuentemente dado ñ (mediante, por ejemplo, sus componentes), queda unívocamente de­ finida la cara de la superficie. Este concepto lo expresaremos mediante la notación dS = ñ · dS, y diremos que la superficie en cuestión es una supe1jicie orientabie<8).

Figura

3.16

18 1

Como se ha dicho, el vector ñ, o lo que es Jo mismo dS = ñ · dS, define a una de la.s caras de la superficie, La caras. Precisaremos aquí este concepto (tan intuitivo ) haciendo la siguiente puntualización: en una superficie orientable, ¡¡: varía de forma continua y sin ambi­ güedades a lo largo de toda La cara asociada a él. E.sto svcede, por ejemplo, con lll cara exterior de u na esfera: si ñ desliza de forma continua, desde un punto P, sobre dicha cara (stn atravesada), cuando regresa a P nada en el vector ha

nueva denominación «ORIENTABLE» está ligada a aquella superficie de dos

'variado.

Vn ejemplo (poco común) de superficie no orümtable (Figura 3. 16.2) es la llamada banda de Mobius: si ñ desl í7.a continuamente desde P a lo largo de la curva C, al pasar de nuevo por P tiene sen!ido opuesto al primitivo. Por tal motivo (ambigüedad) diremos que la citada superficie no es orientable, o que tiene una sola cara (nótese sín embargo, que una pequeña porción de esta banda es orientable: tiene dos caras).


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146

Calculo

integral y aplicaciones

En la integral de superficie que a continuación definiremos, se seguirá tomando como an­ teriormente 1/t.os r = lvl > O, no obstrulte, cum1do debido a la cara seleccionada el ángulo y asociado a fi sea mayor que n./2 (cos ') < 0), la correspondiente integral (como en rigor debe hacei'se), la denotaremos con el signo ( - ) '

.

Integral de superficie de una función vectorial Sea Ü(P, Q, H) = P(x, y, �) { + Q(x. y, z.)./ + H(x, y. z.)k, una función vectorial continua en un dominio D � R3 que conUene a una porción lisa y orientable S (Figur:1 3. 1 3) de una superficie, que supondremos, como eh todos los casos ante1iores. asociada a la ecuación z =f(x, y) <Yl. La integnd de superficie de U sobre S se define por:

I=

ff

V · dS (producto escalar) =

S

ÍI

J,

V . if dS

(7)

S

Expresiones y cálculo de esta integral Sustituyendo en la integral (véanse Figura :t 1 3 y teoría correspondjente) las relaciones: V(P, Q, l-/) · i'i(cos tY., cos /�. cos ¡•)

(dScos ff., dScosfj, dScosy)

= P(dS cos 'Y.) + Q(dS cos /1) + H(dS cos y )

=

(dydz, dxd�. dxdy)

se tienen pura la iJ1tegral ! las dos siguientes expresiones: !=

JL

(Pcosa + Qcos(j + Hcos¡·)dS

=

JL

Pdydz + Qdxd<. + H dxdy

(S)

P�ua calcularla, debemos extenderla, como siempre, a un recinto del plano xy (o de los otros dos planos coordenados). Por ello, expresando los factores (U· i7l y (dS) en las formas (ya obte­ nidas): _

U·ñ = P

( 8zJox) ( az;ay) ( ) -

+Q

+H

1

lvl

dS = lül dxdy

,

y rw.oni;lndo bajo el signo integral de idéntico modo 9ue en {4) o (6), resulta:

1=

ff

S

- . ñ dS = u

±

ff ( R

Bz oc. - P[..\� y,f(x, y)J ax - Q [x y, f(x, y)J () .

y

+

)

Hlx, .v,f(x, y)J dxdy

(9)

dependiendo el signo ( + ) o ( - ), como se ha dicho, ele que en toda la porción considerada sea ')' menor o mayor que n/2 (evidentemente en este recinto del plano xy. si l a tercera componente de fi fuese positiva, '}' sería menor que n/2). 191

Toda superficie que pueda expresarse por una ecuación : "'j(x. y). es oricn<ablc.


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ff

147

En caso de ser otro el recinto, por ejemplo en yz [S : .x = f(y, z)], se tiene (véase también ( 1 1)):

S

u . ñdS = ± _

JJ ( f:

R

ax

P[f(y, z). y, z] - Q[.f(y, z), y, z] ay

dependiendo el signo ( + ) o ( - ), de que el ángulo

ct.

-

ox)

H[f(y, z), y, z] az dy dz ( l O)

(Figura 3.13) sea menor o mayor que rr./2.

Resulta inmediato comprobar, que si U es la velocidad de un fluido (suponer V con módulo y sentido constantes para simplificar los cálculos) que atraviesa el elemento dS (cuya normal Ji forma con V un ángulo 8), entonces, la diferencial de flujo (diferencial de volumen de fluido que atraviesa dS por unidad de tiempo) vendrá expresado por d</> = lVI cos O · dS. Conse­ cuentemente podemos escribir: ct<P = iVi · dScos O = (V · fí) dS

</>(V, S) =

fL

D · ñdS

suele decirse por ello. que esta integral es el .flujo de V a través de S. El ejemplo que sigue puntualiza el concepto de flujo.

Ejemplo Consideremos el vector Ü(P = 2r, Q = 2y, H = z2) y la integral: 1

=

fL

2x dy dz + 2y dx dz. + z2 dxrfv

a) Determinar l cuando S es la cara sombreada en la Figura 3.17( 1 ); o lo que es lo mismo, hallar el flujo del veclor V que atraviesa S saliendo por dicha cara (obsérvese ñ).

2-----------

y

3-x

.1 ' = 3

y

)'

fJ < !!..(+) 2

ñ (+)

Figura 3.17


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148

Cálculo integral y aplicaciones

b) Ht\Jiar 1

cuando S es la superficie cerrada (Figura 3 . 1 7(2)) fonn<\da por las cinéó porciones (caras

4.

2 � = e; = x + i\ V hacia el exterior de S}.

exteriores) ¿: = J . (llujo de

x=

O. y = 0: es decir; hallar el flujo saliente de dicha superficie

RESOLUCIÓN

a)

Al no poder utilizar el recinto

R(x.y), operamos en R"'' (también podría utilizarse R1�). Consecuente­

mente la integral correspondiente vendrá dada por:

l{y = f(x, z) = ± con lo que en este caso resulta:

+Q-

{Y=� x)} Jt.., [ { �) fL..., G -�) dxdz. fL.., dx

/(flujo)

=2

ft.. . ( - P ;�

=+

(3 -

+ 1

-

2.

=2

( 1 1)

J

2y - i · O dxdz =

+

-

dz =

H:)dx dz

2 · área de Rx= = 2(3 · 2)

Veamos otra forma de realizar este cálculo:

=

b)

)w fL

(x +

Denotando los recintos en el plano .t)' por

/{z

=

1} =

-If ( R¡

4 (de otro modo)}

-2x

=

R 1 (sombreado). R 2 (sombreado + rayado) y R3 (rayado).

ih; - 2y ih +

Bx

ff

=

12

3y)dS{sieodo en S. x + 3y = 3} =

escribiremos (Figura 3.1 7(2)):

/(z =

=

?Jy

r)dxdy - ff dxdy ff d 4} = ff (z.2 =

(U · (il = k)) dS

«,

·

= - área R,

l ) dS { z =

= 16

o

Tr

=-

2

l

6

p6

1

� 4

S = l6n

n{2 f2 (4p2 - p4) pdpdO [p-1 - - ]2 J 1

=

9

4

=-n


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Integrales dobl es

n>

1 49

Veamos ahora la.� porciones x = O. y = O (recintos obligados en y.::, y en x::):

(101 /{.r = 0} = 1111

-

( :x =

rc/2)

/{y = Ol = - ({J = n > n(2)

(lx Dx) 2r JI ( fJ ( oy) {' = O } I { =o} J 2.r" -<; -2 dvtl.., :> <. = O

11"

f')'

¡-;_ (

a

/{··=

v -2r � + 2y - .::2 - dx dz = O a:. ox

estos dos últimos resultados también pueden ohtenerse de (8), pues por ejemplo:

1=

ff.

P dy dz + Q dxt!z + H clx dy · = dx = O .s

Por tanto. el valor de la integral /(S) extendida /(S) = /(� = 1 ) +

a

P dy dz

s

P = 2x·

S = R,.=

=O

toua la superficie cerrada, será:

!(� = 4) + /(::. = x2

+ y2) r /(x = 0)

+

I(y = 0)

= 18n •

Teorema de Stokes Sea S una porción orientable y lisa de la superficíe z. = 1 una curva simple, cerrada y lisa1 0'.

f(x, y),

cuya frontera

C

=

(Figura 3 . 1 8 ) es

==f(.\,J')

. � �

y

¡

Figura 3.18

Consideremos la función vectorial D + z)] en u n dominio D � R3 que incluye dicha porción. En estas condiciones:

= P(x, y, z)T Q(x, y, + H(x,

z)k,

y,

diferenciable

((i�H --8Q) dydz+ (éJP -8H) dxdz (aQ ?P) Pdx+Qdy+Hdz= - - - dxcly f ax é1x I Pc e

no¡ La

s

-

C)'

OZ

� -

O<.

+

8y

orientación de S, como muestra la Figura 3.18. está asociada :1 la de C {sacacorchos).

( 12)


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150

Cálculo integral y aplicaciones

Efectuaremos esta demostración, probando la correspondiente igualdad entre las integrales

asoci adas a P, por ej emplo. veremos que:

� .. C

P(x y, z) clr

Para ello, recordando las relaciones:

(1 )

(2)

fT. de Green]:

[(8)

rh P-dx Jc,_,.

=

-

ff � R

= fi (}P

S

4xdy

'Y

y (9) para P = 0]: ff Qdxdz + Hlhdy =

escribiremos (véase Figura

·

S

3.18):

P(x. y, z)dx =

cR

C-*

aP

dxdz - - dxdy az Ó)l

ff

J<

(-Q

oz

(!y

(J' ff

Pr,r, y, z =ftx. y)]dx =

-

y operando ahora con el segundo término, se tiene igualmente:

J.J.

í1P

aP

tz)

- d;r. dz - - d;x tly = s az a y

de forma análoga [x = flJ,

+ ll) dxdy

R

aP (-

ay

J'I ( -- R

-

oP ?Jz

Dz ay

-

BP a y

+

-

oP a?) �

__:

fJz fJy

dx dy

) dx dy

;:;}, y = f(:'l, ;:;)] se probarían las otras dos relaciones.

Ejemplos

yz2 1

·

xy;:;k,

+ y3J + 1 . Consideremos el vector U(P, Q, H) = y asimismo, la superfi'cie cen ada S (0 cuyas tapas superior ( S 1 ) e inferior ( 5 2 ) son porciones respectivamente d e las superficies

� z � 3)

Denotemos por C la circunferencia en el espacio, intersección de S 1 y 52.

a)

Hallar el valor de

b)

EJ teorema

1=

yz2 dx + y3 dy + xy.o dz (sentido positivo).

<.le Stokes relaciona a la anterior integral 1 con una integral de superficie J (1 = J). Obtener

la expresión de esta integral J.

A continuación. efeetúese el cálculo de 1 extendida a la porción S 1• ndíquese p

que debe considerarse (asociada al scnLido dado a

e)

Determinar (sin realizar el cálculo) e l valor

I

rev ame

C), es la exterior o la interior de S1 .

de J

i

extendida a la cara exterior de S2•

n te si la cara


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Integrales dobles

151

==J .::- = 3 - V·� C (S¡)

+ v·

z= 1

X

RESOLUCIÓN C[O

a)

::::;

::: � 3 => z = 1 ) :

{7

r-

·<:

Figura 3.19

, + y- = 4

=

1

= 2 COS 1

{X � � sen � �:

1t

= -4·4- + O 4

b)

Haciendo en

(12) P = F"· Q = y3. H = xy;:,

1 =J =

fL

r

=--

1=

7 = - 4n

se obtiene:

yzc/xd:_ - :.2 dx dy (S

debe tener a frontera) ón deescriblairemos: cara en cuestión es la exterior de (vector de trazo continuo, siendoPuestcoso gue por O enlatooridaentaci la cura), )'

X< dy dz +

e por

e,

a�

i!:.

- P - - Q 7 + H{z = 3 - v x2 + y-J = -(x�) flx

cy

ñ

S1

>

-x

-y

Jx2 + )'2 - (yz) �

'

- �< =


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152

Cálculo integral y aplicaciones

en consecuencia, aplicando (9) y Figura

l s

.1 : po are !

+

=

3.19,

vemos que

1� s: [3p - p2 -

que la cara integral, polares, que resulta).

e)

J=

1=

(3 -

-4n::

p)2]pdpd0 =

que el

extendida

Habida cuenta de de S1 asociada a la orientación de C. es su cara interior (definida por el valor de J a dicha cara (Stoke;;) es vector ñ a trazos, siendo cos y > 0), y asimi:;mo, 1 = J = - 4n:, se tendrá evidentemente (cos ')1 < 0) que 4n es eJ valor pedido (compruébese resolviendo la sencillísima en

que esel interior r l Hállese tres

2 Consideremos vecwr Ü(P = y, Q = - x, H = :;), y asimismo, la porción S del cono x1 + y = = 4z:2 (:; � 0) al áli.nd o x2 + y2 = 4y. relativas a V y S (cara externa del Comprobar la igua dad 1 = J entre la¡; dos integrales de cono). J operando en los recintos (R, R.v"' R").

2.

Stokes

y= 2z

b 1

x=2:;

:

y= 2;:

2

1

y= ?

o

Cono

r

o

Figura 3.20

Siendo el sentido en C el indicado en

C

{

la F u ig

,

·

,

4 2)=4

,

3.20, y puesto que

x = 2 sen

x- + v- = z-

x- + lv -

ra

.V

2

y

RESOLUCIÓN

4

z

{Figura 2.3(3)} �

t}

y = 2 + 2 cosT z

,

X

= )2( 1 ..;... cos t)

P • l Puesto que. en ciertas condiciones. el vulor de la integral doble ( 11) es el mismo V S que tenga a C por frontera. podrfamos tomar la superficie S (de fronteru C) en el plano 2 = 1 leos 1 > U). Con ello:

l=

./{:

=

:= J , ¡¡� = r: Clx O)

olf

=

+

j'f

u

(H = -z.2

=

- l )dxdy = -

j'f

u

dxtly =

-área de R

=

4n


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Integrales dobles escribiremos:

1=

i

ydx - xc/y + :.dz aQ

aH

= J:"

Por otra parte. como - - 7 = O iJy

.!

= JI

oz

.

[(2 + 2cost) 2cost - 2 sen!( -2 sen t) - sen /j lit = Sn aP

aH

---=O

nz

(-2)dxdy{(9)j

ax

= -JL

nP

oQ

- - - = -2� OX oy

.

( - 2)dtdy = 2 · árca deR = 8n

Obtengamos de nuevo este valor, operando. como se pide. en Rr= y R�. 4<;.

, .! =

ff

a:.

(lO)

- 2 dxdy{P = Q = O, H = - 2 , c os � > O} =

+

s

ff

- ( - 2)

n,,

pero dado que el R(.Y::;) (sombreado en In Figura 3.20) es la proyección de

.! = 2 · 8

ff

�«>'='

,

J4z- - y2 '"

14 4 'n/2 J

16 J=-

= 16

dy d: = l 6

o

0

f4 fJY / -

,�

o

.·1 1 1

j y(4 - y)dyty = 4 sen2 /}

"

j4z�, 4z

-, dyd:

y

S/2, se tendn'í:

, dzdy (orden conveniente)

4:- - y-

=4I

n/2

u

32sen 2 rcos2 r d1 =

( 1 - cos4l ) dt = Brr

Operemos flnalmenre en el nada aconsejable recinto Rx= sombreado (proyección de S/2):

= j4z2-x2. 4 JI J í2 [ JI J ( Jo J

J [ P = Q = O,

.V( �0)

=

n=

= 16

2 x2 4z4;:

=

16

frrn/2

2 cos t · r(

-

(1 1)

= +2

ff

4z2 -

o

= 16

2

2 sen tdt) = 32

o

.:: · arc sen

1 sen 21 dt

C:y =

.,� - ( -2) d.r dz oz R

f! fo'··J� J z x1 tlxd;.{x = �) í2 � Jo } f"'2 {11

dxd<. = 1 6

zdt d<. t2= arcsen

0

11 = -2, cos{J > O}

2

-1

sen 2tdl = dtl

2::sen ! l =

d:: {:: = '2 co�r; =

= 32

n :_

4

= 8n

153


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154

Cálculo integral y aplicaciones

} fl

Se propone resolver nuevamente (por partes ) la integral anterior, comprobando que:

f1 · are 4? f O

;:

sen ..:_

_ _

2

d" 11 = are sen �

---

2

->

du = -

dt �

1

2

= -

o

::?

v 4 - ::2

d-'" •


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Integrales dobles

1.

155

Hallar el valor medio de la función l = .f(x, JI) en el recinto R. definido por:

f(x, y) = (x + y)2 Obténgase el área del recinto R (necesaria para resolver este ejercicio), por consideraciones geométri­ cas y compruébese mediante integración doble.

RESOLUCIÓN El recinto R es el representado en el primer gráfico de la Figura 3.8. Calculemos previamente el área A(R) de dicho recinto: Ciñéndonos al cuarto <le círculo (de área cie 1/2. se tiene que:

n [n (n )]

4

A(R) = - +

=

Puesto que (5)

4

f�/-L fl -

4

«"O

2 "'" o

o

JL.r<x,

1

-2 - - 2

n/4) y al u·iángulo (en él contenido) de base OC y de superfi·

= 1 =

¡)·dpdO=

frc/4

JJ

dxdy

11

{x

= p cos

o}

y = p sen O

=

2 (cos2 0 - sen20)d0 = 2

1/4 o

o

cos20d0 = 1

y)tLrdy = f(a. h) (valor medio) ·A(R). únicamente resta hallar la integral doble

ftr/4- f2 [ fl

(volumen V) del primer miembro:

V=

JI "/4 I

(x + y)2 dxdy =

H

R

=

(cosO + sen 0/

o

011!.0

2 «:nO

,n.O

(pcos 0 + p sen0)2 · p dpd0 =

J

p3 dp dO =

2 """ o

4

j"/4 o

( 1 + 2 sen O cos O)( cos� o - sen� 17) cm

y puesto que cos4- O - sen,� O = (cos2 O - sen� 0) (cos2 (1 + sen2 0) = cos 20, resulta: V= 4

r'J 4 0

( 1 + sen 20) cos 20 t!O =

Conseeuenternente el valor medio es

2.

Hal lar el área de

4· 4 1

[

]"/"

(1 + sen 28)2

f( a. b) = 4.

la elipse y el volumen del elipsoide definidos por:

0

=

( 1 + 1 )2 = 4


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156

Cálculo integral y aplicaciones

RESOLUCIÓN

.

m:.'is acertado en ambos casos (véa¡,e Sección 3. 1 )

Observando la ecuación de la curva frontera del recinto

ue variables

F:

{y¡hX/(1 == p ::

f1 COS ()

sen O

_.

{X

R

(elipse), puede resultar evidente que el cambio es:

= p Cl COS 0

y = p b sen O

IJI

= pctb

()clava parte del elipsoide-

b

X

c<>n lo que ap licando

Figura

)'

3.21

los resultados plasmados en la Figura 3.2 L i u¡, escribiremos:

A (área elipse) = 4

2 dxdy = 4 1 ' R J0

JI

f

1

0

['/] 1

(p ttb)t!p d0 = 4ab fn/2 2 (t dO = nuh 0

f V = s fj' f(.r. y)c/xdy = 8 In !2 1 tJI7(pab) dpdO = R O �

r 1 ( 1 - p2)112 p dpdiJ = Sabe fn 2 ( - -) 1 - loj dO = fn¡2 dO = 8 = - abe

= Sabe fn/2 n

l

, o

n

4

3

(l

3

nabt

3

(1

p2f3'2


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3.

157

Cnlt.:ular e l volumen limitatlo por las supúrficies:

RESOLUCIÓN

Figura 3.22 Observando la Figura pnntlicnte a la regi6n

(R)

3.22 es evidente (simetría) que el volumen en cuestión es dl•:-. veces el corres­ sombreada. En consccuen�:ia. y puesto que:

e!-c1ibiremos.

V=1 rr 1:- =.f(x,y)=4 - y)d,rrly {x. =- . } =1 J"'l f1 'n1! ( ) f•/1 f' J p cos/1

= 8

4.

) - 2{1 "-Cil ll_

1<

-n/2

O

<2p - p2 sen {})d¡>d() = 8

n/2

1

.,z

1

(4 - 2¡¡sen 0)(1{1)d¡l dll =

o

- - sen O dO =

3

H ::�l l ar el volum.en ele la reglón encerrada por las superficies:

8n


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158

Cálculo integral y aplicaciones

2b

Figura

y

3.23

RESOLUCIÓN Una vez expresada gráficamente (Figura 3.23) la región sólida, es claro, por la simetTía existente. que el

{x

volumen pedido es el doble que el correspondiente a la región Aplicando el mismo cambio del Ejemplo 2

= pacos R

y = p bsen O·

R

sombreada.

' y puesto que;

(resultado que. t:omo siempre, hemos añadido al gráfico), se tiene:

\1 = 2

l) x2 ff (

.

= 8ob =

5.

4ah

z:

u

ír.'l Jo ·

=2+� a

h

2

fr./2 fl.onU ll

sen 4 U d0 1 L .3.(9)J = 8a b ·

(5- -) = 4ab

B

dxdy =

2, 2'

1(5j2)í( l/2)

Dadns las dos funciones Gamma:

[(3)

o

2

p2 (pab)dpdiJ = 2ab

B(p, q){2p - l = 4, 2q

= 2ab

[3 - ( -1)2] -3 l -· · 2 2

f

2

=

2

1

f"/2 ]1""1 1 1

o

- fl�

4

= O: =

nah

o

dO =


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159

Integrales dobles

haciendo en J(pp)oel cambiprobar o de valaiafórmulle =a: ux(u

gral

r b

r f(q),

que resulta

1

8(p, q) =

(dt = u

> O)

f(p ) . í(q) ("(p + q)

dx), y

(p, q

E

RESOLUCIÓN

seguidamente multiplicando inte­ la

R+ )

multiplicando, como se indica, esta integral por se tiene: f'(q),

Hagamos el

cambio

de

ae

vari bl (x + 1) u = y ->

í(p)· f(q) =

. o

· e- 1'

J,

er

[

1

con lo cual: J

=

1 /p + q r

' _ t_

dx =

1.3.( 1 0)):

1 0}

X = Xl. 1 =

x = O, 1 =

(V)

-?

a

f'(p) · r(q) =

v l umen

t

1

·-

x+l

Jo ( - ')p-t( dt) = f0t t9 -1(1 - 1)1' -1 dr = B(q. p)= B(p, ql

de donde finalmente esult : o

-

x+ l

1

l r

= dy:

im a integral haremos el cambio (véa e - {sisi x + l =- -. x=--

Para calcular la pr

Hal a el

+ l)

dy y + f .t: [ ra. ( )p q-1 J x'' 1

0

6.

(x du

que,

.1· np + q)

=

B(p, q) · f'(p + q)

=

en el primer octante, encieiTan las up

E : x2 + l + ::2

- 4x

s

=O

f(p) f(q) ( , B p q) = f(p + q)

erficies:


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160

Cá lculo integral y aplicaciones

Previ�une.me, para fíjar ide:-�s, utilizando integrales dobles y el cambio de vaJiables más conveniente, obténgase el volumen del cuarto de esfera E incluido en el primer octante. RESOLUCIÓN

3.24.

2)z + y2 + ¿:2 = 4, este cálculo previo podrí:.uesultar muy dificultoso si no se uliliza el Al ser E : cambio F expresado eo la Figura

(x -

F· ·

R:

2

{x-2

:p cos O

y= p sen 8

{E

C

,

-t x" �y2

-

2x = O

X Figura 3.24

(p

Nótese, con dicbo cambio. que el polo u origen de coordenadas polares = 0) se e¡1cuentra en el punto x = 2. y = O (para O, x = 2. y = 0). Una vez obtenidos los resultados plasmados en la citada Figura y hecho un gráfico aproximado en el espacio de ambos volúmenes (que aquí omitiremos), se tiene:

p=

ff

)4 - f" �(p)dpdfJ = f� - - p 312]2 dO = 8- f" dlJ = 3 o o .f2u o 31 o 3 V(cuarto esfera E) =

[z(E) =

(x - 2)2

y.2.] drdy =

R,

=

-

(4

8rr

1)

El cálculo del volumen V pedido. podría suponer otra dificultad aún mayor que la anterior. Comprué­

bese este punto, utilizando cualquier método que no sea el de efectuar dos cambios de variables d.istintos y operar del siguiente modo:

a) Para

V = V1 (volumen debajo de E) - V1 (volumen debajo de

C)

hallar \11 realizaremos el cambio F anterior (en estas condiciones se tiene de inmediato que (1 = - 2 cos O es la ecuaci6n de la circunferencia fronrera de R): V1 =

=

ff

JI

;.(E)d:uly

8 1" 3

ft/2

=

fn f- 2 "'" O j4 - p2 (p)dpd() = f" ) [ � 4n 8 f --

n/1

3

O

( 1 - seo3 O) d(l = - - 3 3

•12

sen3 O dO

rt/2

(4 -

.

p z)312

l- 2 O

"'" O

d(:) =


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Integrales dobles

f"

n/2

de donde:

sen3 0 c/fJ =

f"'

11/l

J ]"

(1 - cos� lJ) sen OdO = - �;os O + - sen3 0 3

3 33 3 9 {

4n.

8 2

161

2 3

rr¡2

16

4n

V = - - --- = - - 1

b)

x

En el cálculo de V2 utilizaremos el cambio usual

circunferencia frontera de R. es:

x2 + y2 v2 =

JI

(¡:(C) =

R

-

= p cos O

v = pscn ()

2x = O .- p2 - 2p cosO =

O

Jx2 + y2] dx dy :polo (0, 0)] =

consecuentemente�

-3 -9 9 {x - 1

4n

V=

32

-

lnténtese obtener V2 realizando el cambio

. En estas condiciones la ecuación de la

·

·

f"/2 j'2 -t

p

= 2 cos O

o

Cflj 11

(l(¡l)dpdO =

o

4

=

- (3n - 8)

= p cosO

(cuando interviene la ecuación z =

y = psen 0

:;iempre se debe elegir un cambio que simplifique lo máximo posible dicha ecuación.

1.

Hallar el valor de la integral de superficie;

extendida a In cara exterior de la semiesfera x2 + y2 +

¡:2

=

RESOLUCIÓN

3

(;:: � 0).

, 1. (oz)z + (oz)z + ( ) ( -y)z = xz + oy

Teniendo en �;uenta que en la esfera (varias veces se ha obtenido):

¡,¡-

=

+

-

ox

e igualmente que:

x2y2z1 dS =

-

= 1

-

-

x <.

xly2¡;2lt"il x2y2z2 .J} dA

=

l

+

-

dx dy =

z

J3

resulta por la simetría existente (recinto R cuarta parte del círculo):

2 + z2 y z2

x2y2 )3 (x2 -

=3

z2

+ .l)

flx. y).


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162

Cálculo integral y aplicaciones

Resolvamos la integral encerrada entre corchetes (.!):

.1

{p

=

2 '2 ,j3 fi j3 } " j3 f"' f = 3 ( 3) -fi r<3>(r()%) - �J3 5 3(%)(3 =-3-.fi5-.-.- r ) r-

J3¡;:;sen t

dp =

.y

9

cost dt

;;:; 1 - 27 v 3 ' 2_ 8 3· 2

1.

cost dt) = 27

cos t (

sen5t cos1 tdt =

o

_

con lo cual:

sen5t ·

o

864 '2 n !=35 f()

_

-

21

-, 2

_

9

27

7

2r

"'2 f 35

864

seo 2 0 cos1 0 d0 = -

1

- cos 48 8

o

.

A

:

2

n 54n 35 2 35

108 d0 = - · - = -

Generalizando la definición de IJalor medio integral ( 1 . 1 ) en la forma: Si f es continua en un recinto R. existe al menos un punto (a, b) de dxdy = f(a, b) · A

-

2 2. 2

2

fL f(x. y)

n

R

tal que:

área del recinto R

= y) = x(x2 y2)

R(x2 +

.f(n, b) recibe el nombre de valor medio integral, o valor promedio de f(x, y) en dicho recinto. + Comprobar que el valor medio integral de la función ;;; f(x, en el recinto ¿ O. y � 0), es b) =

x

2.

f(a, 4r3/5rr.

y2

�?,

Consideremos una región plana (R) de área A. Generalizando las detiniciones sobre cewroides y momentos de inercia (15) de dicha región R, en la forma:

Centroide (,t,

y) -+ ,f

= ±· fL

xdxdy

. ,Y = ±· fL ydxdy


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y aplicándolns a l:l región R cartesianas orden xy

/l

e) lo = Sean V 1

R

y

,

· ,

ola es p r = usuales,

y

(3 - 4cos20

"' 4

(x2 +

O

- 2y � o "'

con y � x � O

1 dxdy+-(n·2J)Lv -l 4

} f"'2 f4seo• U

J2y'-/

56 1 = -.3 8

3.

+

x- +

} = j'12 fY y·A = ff dx dy { '2 [ If y2) dx dy

a) A { b)

{x-.1 1'2 - 4v y�

=

. rt /4

+

2 sen

(1

cos48)d0

comprobar que: 3

= sentf = - (n + 2)

4

Jn/"/42

56 3

p sen O · p dp dO = -

=7

12

(3n +

f"'2 f2hnO p2 · p dpdO n/4

}

sctdl

=

163

8) -. ·v

sen40d0 =

= 9(rr + 2)8) 7(37r +

---

� (3rr + 8) 8

x2 y1 2 y

V2 volúmenes limitados por e l primer octante, estando además:

V1 contenido en los cilindros

+

=

4, x� + z2 = 4.

\12 comprendido entre el cilindro x2 + - 2y = O, y un plano que pasando por el eje y forma ángulo a (en el primer octante) con el plano horizontaL Comprobar ambos gráficos (Figura 3.25) y, con las coordenadas V1 =

V2

J4-x2 l y = dx = x d fJ If zdyd If {z = -x} = f2 fJliYi x · dy = )4 - .x2

R

-::

,t

11

O

tg

lg O! dx

u . o

O

y

órdenes indicados, que:

16

J4 - x2 dydx = J

2 - tg o: (repítase en polares)

3

=

A-------,. ----------

y

y

Figura 3.25

un


http://carlos2524.jimdo.com/ 164

Cálculo

4.

integral

y aplicaciones

El cálculo del volumen \1 ( interior del pm·aboloide P) limitado por

)>l:

facilita con la tru1-lacicín

:

+ 2 = Z que obvimnente deja \1 invariable. En estas condiciones. dibújc�e

aproximadamente dicho volun1en y compruébese que: E

:

X�

+ 1•2

T

· ,

(:: - 2)2 ,

p : :: = y- + y· dV = .f(x. y) dxdy

V=

JI

R

= 4}

recimo R (proyección sobre x1·)

= l:(E) - :(P)j d.\ t/_v =

f(x:, y)dxdy

l2 +

{X= (}} f2" fv 3 p cos

y - p sen _

.

()

=

0

u

:

x2

+ y2

=3

J-+ - (x1 + v1l - (.t1 + :v2)J rLI dy (2 +

37

� - p2)pd¡J tll! = 6

n


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Integrales triples

4.1 .

eapítulo

4

LA INTEGRAL TRIPLE

( Jf.D

Puesto que la integral triple

puede asimismo fundamentarse o definirse utilizando única­

mente la integral simple de Riemann (o ésta y la integral doble). prescindiremos de nuevo aquí de dar definiciones y muchas de sus propiedades, presentando dicha integral múltiple mediante un razonamiento análogo al seguido en 3. 1 con la integral doble. Consecuentemente: Consideremos el cuerpo de la Figura 3.3(b) limitado por las superficies z = f1 (x, y), : = j�(x, y) cuyo volumen como se vio en 3. 1 .(3) es: V=

ff

R

[.f2(x, y) - .f¡ (.r. y)] dyd.r =

teniendo en cuenta que:

f

h<x. .V)

.

J 1(x. y)

d: = :

J

JI [ Jf1h((xx.. ) J

fz(x, y)

.

1 1(x. ¡•)

I¡, If,(x) fl

V=

R

)'

dz dydx =

lo cual abreviadameme expresaremos por: V=

Jt

dx dy dz =

fft

lf2 (x. y ) - .f1 (x, y)j tly dx

= f2(x. y) -/1 (x. y)

también podremos escribir

.1')

{ ¡ (X)

.

J/' Jftfz(!x.�J) fh(x.

f1(x. ¡•)

u

.. cLr. dzdy = . =

,1')

fft

dV

dzdydx

(dV = dx dy dz.)

( 1)

(2)


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166

Cálculo i ntegra l y aplicaciones

Se ha elegido el cálculo de un volumen (V) para presentar, como nos propusimos, una inte­ gral triple, la cual surge en las relaciones ( J ) y (2). Sin embargo, y de un modo general. la inte­ gral triple aparecerá expresada en cualquiera de las formas:

Ift

f(x, y, z.)dxdydz

= Ift f(x, y, z)dxdzdy = ...

(3)

y cuyos lfmites de integración, que obviamente sólo dependen del volumen V, no necesitan más comentario (en coordenadas cartesianas) pues han sido o�tenidos en ( 1 ) a partir de una integral doble sobradamente conocida por el alumno( !'·

Ejemplos 1 . La Figltra 3.25 muestra un volumen V1 cuyo valor fue obtenido en el ejemplo conespondiente (re­ pásese). Para calcular V 1 utilizando integrales triples en el orden Z)'X, se escribirá:

Jf'. j

v1

d<. dy dx =

f:., f� f,¡¡-::? 0

0

.

dz dy dx =

f?: f ¡;¡--;; J40 '

x2 dy dx

resultando (como esperábamos) la integral doble de dicho ejemplo. Hállese de nuevo V1 medi:'lnlc integrales ttiples en el orden xyz (recinto en y.:).

RESOLUCIÓN

En la Figura 4.1 se hn sombreado la proyección (cuadrado) de V1 sobre V'-·

• •

En R1 r va de .\' = O a x = J4 ,

En R1, r va de x : O

ax =

-

?

J4-y1

Figul'a 4.1

( t ) Aunque debiern ser evidente, hacemos hinc apié (como sucedía con la integral doble) en que dentro del recinto R !y parn que exista un solo recinto) cualquier rccra genérica (r en la Pigurn 3.3b) normal al plano horizontal (x = k , . y = k ) debe cortar siempre e n primer lug;¡r :l la superficie : = /1(x, y), y seguidamente a la ¡; = 12(�, y). 1


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Integrales triples

167

Como evidentemente deben considerarse dos recintos, denotando por V 1 (R 1 ) y V 1 (R1) los volúmenes relativos a R 1 y R2• razonando sobre las Figuras 3.25 y 4. 1 . y sin más consideraciones, escribiremos:

8 3 Examinando la Figura 3.25, puede deducirse que V L (R1) = V1 (1?2 ) y en consecuencia que V1 = 2V1(R1) = 1 6/3 (plantéese V t (/?2) en el orden x::y). Efectuemos como jerci i o el engorroso cálculo (por el orden exigido) de V1 (R2):

f f_2 )4 2

V 1 ( 1? 2) =

e c

()

.

-

!{y = 2

y2 d)' dt... Obtengamos 1 =

en tJ = 2

s

fn/2

arcbcnc/2

J-: �

dy: _

( 1 + co:; 21) d1 = n - 2 are sen .: - sen 2(arcsen z/2) 2

recordando que sen (are sen u) = are sen (sen u) = u, se tiene:

1 = 1t - 2 are sen =

2 - 2 sen (are sen <:/2)cos tare sen z/2) = z

7

n - 2 are sen .:: - 2 2

-2 · J1 - (<./2? z

en consecuencia:

-2 -.- .,¡� '+ - � l

nm

)

dz = 2n - 2

� Jo

are sen

. 4 .:: d" - 2 " 3

i nteg do por partes en esta tílrima i ntegral (are sen z/2 = u, d;;. = du) resulta el valor Con todo:

2.

16 8 8 V1 = - + - = 3 3 3

Calcular el valor de la integral 1 =

f2 Jn f..,¡; f-l (x2)

RESOLUCIÓN

� o

o

)'/2

2

-

2.

sen - dz.rfxdy 2

Re pela do el orden dado, aparecería tras u na integración

o

re

f

2 sen

xl d 2 x. gue como sabemo!> (Apéndice l )

es una i ntegral irresoluble. Veamos si i ntegrando e n e l orden zyx. (x variable exteroa) puede lograrse. Puesto que el recin t R (órdenes zxy, zyx) debe expres;m;e en el plano xy, jugando con los HmiLes de la integral 1 es inmediato dibujar dicho recinto, que es lo único necesario para la inversión de límites (la � � 4). posición de la variable z no cambia: 2


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168

Cálculo integral y aplicaciones

x : y/2

y

2¡;¡

-----·-·--·-

R ..

o

�---· ---��-/

.-

y

/

X

Figura 4.2

En los dos gráficos de la Figura 4.2 se han representado R y el sólido (de volumen V) cuya aportación,

Jn lx f.<�.sen (x2)' f f 2 2 Iff (�) [ (;r2) Jn = - e (xl)]Jn 4 dx 4 2 f

com o se ha dicho, no es necesaria. Con lodo:

l=

=

/en

0

'2

dc,dy dx =

2 · 2x sen

•2

0

0

os

dzdydx =

0

=

f'¡; f2x (�..2) 0

0

2 sen '

2

dydx =

Cambio de variables en una integral triple Trasladando aquí todo lo expuesto en 3.1 (cambio de variables en una integral doble), y susti­ tuyendo únicamente las denominaciones integral doble por triple, aplicación de en R2 por 3 y área por volumen conjuntamente con las relaciones: aplicación de R en

R2

R3,

dV(en xyz) = IJJ · dV(en uvw) -+ dxdydz = IJI · du dv ct...v

Cambiaremos las coordenadas cartesianas (x, y, z) variables de la integral triple (cuando así lo aconseje la complejidad de ésta) por cualquiera de los siguientes sistemas de coordenadas:

Coordenadas cilíndricas o polares en el espacio (p, 8, z) Son semejantes a las polares en el p lano (3.1), efectuándose idéntica transformación (general­ mente con x, y), permaneciendo z constante. En la Figura 4.3 se han recogido los resultados más notables (véase previamente la Figura 3.6). La obtención de la ecuación de cualquier superficie en cartesianas o en cilíndricas se llevará a cabo mediante las fórmulas de cambio. Veamos algunas que aparecerán frecuentemente: • • •

p = k+--> x2 + y2 = e (cilindro de generatrices paralelas al eje z)

o = k (tg (:) = m) <4 y = m.x (semiplano limitado por el ej e

z = k (evidentemente es un plano horizontal) ,.2 z2 = Esfera: x2 + -"2 + <:2 = ,.2 � p 2 +

.?. :

(:) = o =1= e =

n)


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Integrales triples

;:

f' �

(T,y,z) (p.Q.z)

1 1

-1rl >( 1 ' O�.,.. (J < "> IJI -- D(p,IJ,::) - p ( fJD (x. y, =)

7

1

1

: : � - - - - ----- )'---- ---�,'" p

()

X

1

169

'

,

x'

.1'

'

)'

dV=cl:r:civ<lz = p · d:dfJti(J (orden usual)

,'

Figura 4.3 •

Cono (Figura 3 .14): x2 + y2 - e · z2 = O <=> p2 fl·z2 Paraboloide (Figura 3.17): z = k(x2 + y1 ) �z = kp2

-

= O,

p

=

lklz (si z > 0)

Compruébese que: p2cos20 + z2 + 1

= 0+-+r - y2 + z1 +

1 = O

p = cosec O · cotg O +-+ x

= y1

Coordenadas esféricas ( p, (), �) La Figura 4.4 muestra gráfica

y analíticamente las relaciones correspondientes. Estas coorde­ nadas, como se verá, son útiles preferentemente en aquellas superficies con centro de simetría (esfera, cono, ... ).

z

z

x ;:; p sen tp cosO

12 � 2 P = vx t ),. t- z

y = p sen tp sen El -t tg O = y 1 .x

(r, y,z)

= = p cos 1{1

(p, o, 1(1)

y

CO$ 1{1 = z 1

Jrx-:2-+-y-:2-+:- -¿. -=-

1 !JI = p sen 1p (O� 1f1 � "• O :S ()< 21T) dV-= dx Jyrlz = p2 sen •P dprltpdO (usual) •

X

r

Figura

4.4

aJ) Cualquiera de los otros dos cambios en R2 presentados conjuntamente con éste en 3.1. pueden tamb1én utili?arse­ .. nquí. siempr-e que ello facilite o agilice la integ ación (vél1se la Figura 4.6).


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170

Cálculo integral y aplicaciones

= k (k � 0)

x2 + y2 + z2 = k2

,

x2 + y2 + z1 - k;:. =

p

cp = k (evidentemente, cono de semiángulo cp = k) � x2

H

O = k (tg O = m ) +-7 y = mx (senliplano limitado por el eje �)

tg'l'="'

+

O

+-7

p = kcos cp

y2 - m2z2 = O

Finalmente añadir (repetición de lo visto eo 3 . 1 y ejemplos correspondientes) que si dada la integral triple general (3) consideramos que su resolución se facilita utilizando, por ejemplo. coordenadas esféricas, efectuando el cambio se tendría f(x, y, z) = g(p. O, cp), dx cly dz = 2 = p sen cp clp dcp d8. En consecuencia:

IIL .f(x.

y, z)dxdydz

=

IIL.

g(p, O, cp) · p 2 sen (pdpdq)(/0 (orden usual)

Límites de integración en cilíndricas y esféricas Una vez estudiado (y sabido) el cálculo de los límites de integración en coordenadas cartesia­ nas, nos basaremos en éste y otros conceptos para lograr obtener los correspondientes límites en cilíndricas y esféricas. Con el fin de facilitar dicho logro, resolveremos varios ejemplos cuyo orden y desarrollos han sido minuciosamente elegidos.

Ejemplos 1.

3.7

x2 + y2 + z2

La Figura correspondía al cálculo del volumen de la esfera = 9 mediante inte­ grales dobles y coordenadas polares en el orden usual . .Hállese este volumen ulilizamlo integrales triples y coordenadas cilíndricas (véase previamente dicho cálculo). a)

b)

(pO)

Probar (cilíndricas) que el volumen del cilindro 2x2 + y2

2 ..ji n (nab ·h).

RESOLUCIÓN a)

limiado t por

:

lx�pc �=:seonOsO F

----------- � V

\. {8 = 0)

=2

(8= ;rr;/2)

Figura 4.5

.:: =

l . ;:

=3

es


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lntegrales triples

t

171

Del mismo modo que con las i n egrales dobles representábamos (en los primeros ejemplo¡¡ para fijar ideas) la imagen del recinto en cuestión. en la Figura 4.5 se ha dibujado en el espacio (p, O, ;:) la i magen (V') del octante de esfera (V). De dicha imagen surgen inmediatamente (razonando en c tesi nas) los límites de i ntegr ión en cilín­ dricas y en cualquier orden. En el orden usual (zpO), se tendrá:

V = fft = fft. f"'2 f3 � : i

p tk. dp dO

dx: dydz

=

o

o

ar a

dp dO

p

= I'2 r .c·9-p2 p dz dp dO

ac

=

2

9

Idéntica integral que la obtenida en polares � \1 = - 1[.

a

El orden zpO por tanto. es equivalente al orden usual pO (polares en el plano: sólo se necesita el recinto sombi·eado en el prmer gráfico). seguido por la i ntegradón en la variable z (evidentemente igu l que en cartesianas y que asimismo únicamente precisa del pri mer gráfico¡<3>.

b) El segundo gráfico de la Figura 4.6 muestra en el espacio (el eje :; normal al plano del papel) lu vista en planta de dos cilindros imágenes de V, o lo que es lo mismo. su¡, proyecciones R'1 y R�: El primer recinto R'1 es imagen del R mediante la tJansfonnación usual F1• El segundo, que muy probablemente sim­ plificará aún más la integración, corresponde a la transformación F2 de fini d<l en dicha Figura.

fJ

Fl R -------�

1 1 1

. . ' ) 1

,

R'l

'

' ,1----1----------

:

1 1

t

Qz= l

p

1

y

----¡yi�:;scnO

R --:-

X

Figura

F2

X = fJ CUS ()

2

PI =

-

n/2

f)

7r/2

(;)

R'2 =

4.6

c

Obtendremos eJ volumen V de la Figura 4.6 (4V es el volumen pedido), utíJizando exclusivamente el primer gráfico (con las añadidurus en i líndricas) y medi ante ambos cambios:

a a convenientemente el

131 Se aconsejo antes de seguir adelante, sin utili7..ar el segundo gráfico y m tratar de obtener los límites de integración en los órdenes zOp, pl!z, Opz..

nipu l ndo

primero,


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172

Cálculo integral

y aplicaciones

2 j'PI f3 y in/ = J'ff { •n/ = 21 J

V(F1 ) ""

,

dx d d-:, 'l

0

o

,

-

+ cos- U

dO

= J2 = 2 ÍJ � J, 2 + ¡.j2 = 4 2 = 2 .)l

J•r.,l ip,= 1 f' ()

) (

Compruébese en

V=

arctg

(IJI =

(l

1)

-1.fi.- J

,_

o

=

fi n 1

=

-

.1

()

}

1 + cos u_

1}

-,

1 + ¡-

=

=

Volumen cilindro =

12 ¡(. pd(l = y_ f n: l

.fi p) • d:. dp d0 = . j 2 ( 3 - l ) �2

2

o

rwclen �Op con el cambio usual (F1 ). que:

I J f"'l f-� ()

t

{

'2pd¡¡t!O p r =

par en seno y coseno: tg O = L, cos 2 0 =

1

d

p d':.dpc/0=

')

n.

- rr

V(Pl ) =

o

n/2 i/11 r

p duWtlp +

l

1

f.J?. f�1 JJ _

1

1)

pdz dOd¡1

O

= are cos J2 P

1

p1

. _..:. �

El ejemplo que �ig,ue muestra. cómo estos últimos limltes de integración, y los relativos a cualquier orden. también pueden obtencr�e sin nct:c�idnd de represenlnr l<t imagen de V. •

2.

Ejemplo 1ipo Hallar

el vulur de 1u

imegral

1 extendida al volumen \1. siendo:

RESOLUCIÓN 1�1

y1 +

La imegracióu en cartesianas es evidentemente dcsaconsejablc.

a)

En cilíndricas se tiene

J.v2 +

::::2 dx dy 1!-:. =

í2" 2 Jo f o

::2 · p d:. drutlJ:

[ 2 .jp2 + f J

Integrar con el orden usual (;:.¡¡0) tampoco e&

= 1

)r/

fl

aconsej ahle,

''

ya que úe:

:.l d:: dpdO

surge en primer lugóu· la engorrosa integral entre t:On.:heLcs (Ejercicio propuesto 5, Apénúice t.:iríi.\, una vez resuella. a otra integral más complicada.

1)

que condu­

14' El tb.arrollo de c�le ejemplo pre�cnUt una pauta a seguir cu:�ndo debtunos resolver integrales dobles o triples. En él , se aconseja el ti po de coorden�dtt� y orden de íntegradón con\'enientes para re�ol ver la intcgml /. Asimismo, se efecuía dicha rc�()lución, determinundo los límite� de integració n en función del orden elegido. y también se dan las inuicacionc¡; nccc�arins pant que pued;t preseindirse del gr:ífico imagen correspondiente.


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Integrales triples

173

¡ x = p cosO

�·:;sen O

;

o

Cilindricas

p

¡x

!P

/) COStp = 2 =

p sen <f1 cos 8

y = p sen <f1 sen O

: = p COS<fl

Esf éricas Plano = ; = 2 <) (p cos 1fJ =2)

X

Cono :z =

Jx2 +l

<-> z =

p(tp =:rr/4)

(esféricas entre paréntesis)

o

Figura 4.7

;

e

(2) Sección T

(3) Sección T

o

o

Figura 4.8

b)

El orden (Opz) parece acertado. Con el fin de hallar los límites utilizando únicamente el primer gráfi­ co V (y la sección S), presentamos aquí el siguiente razonamiento: z

= k 1 da lugar (en V) a la sección circular S [Figuras 4.7 y 4.8(l)J:

p=

«La sección S barre todo V. si O � z � 2».

k 2 (cilindro) da lugar (en S) a la circunferencia C !Figura 4.8(1)1:

«C barre todo S, si su radio p varía entre O y el radio ele S =>

O�p�

OP =

p

(cono)

=

::».

=>


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174

Cálculo integra l y aplicaciones

l ugar (en C)

l punto H 1 Figuras 4. 7 y 4.8( 1 )]:

k3 (semip'lano) da a barre en consecuencia ( b é estos m ()

=

v..H

o t

nganse

todo C, si

O � O < 27m.

límites con la i agen V'):

(Purrda odejaplaircafijada<: ideas, sucede varía en gacoordenadas: m de b parece apropiado. Hallemos l m e da len a se ban·e k2 da segmento [Figuras bnrre c (recuérdese lugar (en a barre todo segmento a r anterior:

_Si se este razonamiento al orden tpOz) sólo OP a i de S). Los límites son (0. 2). (0, 2n), (0, ¡}. las

e)

veamos qué

/.;1

lugar

V) a l

cci

toda Ja se ción T. si

el

O ::::; :: � 2)>.

MN) l punto H:

que e� un cilindro) da

(,¡.¡

todo V. si O ::::; O < 2n•1.

4.7 y 4.8.(2JJ:

MN

«El segmt.:nto !v!N

3

ento

ón triá ngulo isósceles T:

sección T (Figura 4.7)

lugar (en T) al

p =k

seg

os L í i t s :

<<La

:: =

r se tiene el

con otros 6rdene� y

El orden (pzO) tam i én

U=

u lu

C:

MN, si p(M) =

O � p ::::; p(N) = p(cono) = l.»

d<.: lo que resulta la misma (en este c so) integ al

sucede en esféricas (semi (en m sección T (Figura barre T) ra ban·e todo T. si da ·e ra p o bane

Veamos finalmente que O

=

k1

con

plano) da lugar

V) al m i� o triángulo anterior T:

4.7)

«La

¡p =

k1 (cono)

da lugar (en

al segmento OP [ Figu

«El segmento OP

¡1 = k3 (esfera) «El

151

unt

el orden usual (fHpfJ):

todo

V. si O � O < 2n>).

4.8.(3 )1:

O � cp � n/4�.

lugar ( n OP) al punto H [ Figu s 4.7 y 4.8.(3)]:

H

todo OP. si

O ::::; p � p(P) = p (plano 2 =

p cos ¡p) = 2/cos¡p>,.

Puesto que ni l:t rum:ión subintegr:il ni los l ímiles dependen de 11 (ya se aplicó en inlegración doble).

puntos


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175

Integrales triples

il-, f7l/4 s2ft:u; rr/4 f

Por tanto (compruébense los límites con el gráfico imagen):

1=

o

=

2 :rr

. o

-

4

o

ip

o

f"'4 f2/o<>., ]"14 8n [31

p (p2 sen <p) dp d<P dO = 2n

1 6 cos.- 4 (<p) · sen <P clrp =

o

o

- cos - 3 (<P)

'1'

o

p 3 sen <P dp dO =

=

8:rr

3

-

(2

fi - J )

Estúdiese el anterior razonamiento (dos recinto�) con el orden ((ppO) o con el (O<pp).

Simplificaciones en el cálculo de una integral triple Consideremos la in tegral triple 1 =

ffLv

j(x, y, z) cLrdydz, en donde 2V es una región si­

métrica respecto del plano ,;ry. Denotemos por V a cualquiera de sus dos mitades simétricas: Si j(x, y, -z) = f(x, )1, z), entonces l = 2

fff.,

j(x, y, z.) dxdydz.

Si .f(x, y, - z) = -f(x, y. z), entonces 1 = O. Los COlTespondientes enunciados rela6vos a los planos (xz) e (vz.), son evidentes. Supongamos ahora otra integral 1 =

fflJCx,

y, z)dx dy dz,, extendida a una región V simé-

trica respecto, por ejemplo, del eje z. Si se verifil.:a además que .f( - x. -y, z) = entonces 1 = O. Finalmente cuando en 1 =

fft

-

f(x y, <:), ,

.

j(x. y, '(.) dx dy dz, la región V es simétrica respecto del ori­

gen (0, O, 0). verificándose por añadidura que /( - x, -y, - z) = -J(x, y. z), entonces también. 1 = o.

Ejemplo Calcular el valor de la integral trip le T extendida a una región V definidos por:

RESOLUCIÓN Al ser la región \1 (el ipsoide) simétrica respecto del plano x::: (Y

f(x, - y, z) = .0' sen ( -xy) cos )i 1y2 + z1

se tendrá 1 = O.

=

= 0). verificándose además:

)') cos ,x3 ( - sen .A-

Jx2y:J + ?.2

=

-.f(x.

y,

1.)


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176

Cálculo integral y aplicaciones

g este resultado puede l egarse. tquee d cuenta que;:) = región

A también eni n o en ori e n de coorden::tdas. verificándose además /(- x. -y.

la

-

V es simétrica respecto del

-f(x. y. ;:).

Teorema de Gauss-Ostrogradski Sea V el volumen de una región acotada y cerrada cuya frontera es una superficie S lisa o lisa a trozos [Figuras 3.3.(b)]. Consideremos asimismo la función vectorial :

Ü(P. Q, = P(x, y, z)i+ Q(x, y. z)J + H(x, y, z)k f{)

diferenciable en un domini o D s;

R3

que incluye dicha región. En estas condiciones:

JL Pdydz Qdxdz Hdxdy = fft (�: �� ��)dxdydz +

+

+

+

(4)

(Recuérdese que la integral del primer miembro, es el flujo saliente del vector V a través de S.) Efectuaremos la demostración probando la CO!Tespondknte igualdad entre, por ejemplo, las dos integrales asociadas a /-1, es decir:

ff

S

H(x,

y, z)dxdy = ff,JÍv Bl-l(x,az dxdydz y,

z)

(5)

Para ello, operaremos en el segundo gráfico (del que el primero es un caso particular cuando S3 cuya superficie S coosta de las S 1 , S2 y S3, siendo esta S3 una porción cilíndtica de genera!rices paralelas al eje z -t cos /' 0)<6>. Recordando asimismo que:

= O)

a)

b)

(y = n/2

=

fis H d = fL Hcl.xrly= fLH[x, y,J(x, y)]cL\·dy c/H(.x�z.y' dz = H(x, + C. C f cos ¡, S

±

y,

7)

z.)

[Tema 3: (8) y (9) con

no depende de z rpodría ser

veamos pues que los dos miembros de (5.) son i gual es:

C = h.(x. y)]

y= ff. H dy = JI HcL•dy + JI H +JI Hdrdy ( = - fL Hrx, y,f1(x, y)]dxcly + ft H[x., y,Ji.(.x, y)]cL• dy = s

dx

dx dy

S1

S2

S3

P=Q=OI

=0, puesto que cos

O en S3)

=

= fL (H[x, y.Ji.tx, y)j - Hlx, y,f1(x, y)j)dxdy.

• tfl

u

Aunque S3 se ha repre�entado en el gráfico por una única porción cilíndrica. puede suponerse q e

exi sten varíns de esta s porciones. Denotaremos por S3 al conjunto de todas ellas.

entre S1

y S!


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Integrales triples

Por otTa parte:

III ff [ v

=

R

D; dx dydz = oH

JJI � aH

v

dz dx dy [( 1 )} =

JJ'2(.�.y)

H(x, y, z) + C

Ejemplo

. dxdy = j¡l.\, y)

ff

R

JJ [Jf2(.x. .

R

(HL.x, y,j2(x, y)J

J

,., oH

.r,tx .vl

177

oz dz dxdy =

- Hlx, y, f, (x, y)]) cb; dy.

c.q.d.

La Figura 3.17.(2) que muestra una superficie cerrada (S) compuesta por cinco superficies lisas, cotTespon­ de a la obtención del t1ujo saliente, a través de toda ella, del vector V(2x. 2y, ::�). Los extensos cálculos para cada una de las cínco porciones de S dieron lugar al resultado:

Comprobar este valor aplicaudo el Teorema de Gauss.

RESOLUCIÓN Denotemos por 1 y V la integ(al segundo miembro de (4) y el volumen encerrado por S. Veamos si es posible calcular 1 en canesiaoas mediante una sola integración (en cru1esianas o cilíndricas y orden usual, dicho cálculo precisa de dos recintos): !(orden yxz:) =

=2

f4 JJ� 1

0

fff

1 1

(2 + ::)

J·-x2

f4 f�- J f1* [ f"¡¿ __

(2 + 2 + 2z)tlydxdz = 2

1

)z - x� dxd: Jx= Jz sent} = 2

0

0 •.

(2 + z)z

(2 + z)dydxdz. =

0

El cálculo de l mediante (zpO) y a pesar de los dos recintos, es JÚn más simple.

J

cos1 t dr dz = 18n

Interpretación vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes Veamos previamente varios conceptos y definiciones en R3 que constituirán una hemunienta vectorial imprescindibl e en el desarrollo de esta sección. Frecuentemente, como sabemos, se utiliza el símbolo V para representar el gn-1diente de la función (por ejemplo) u = f(x, y, z), y lo haremos, sin más comentalio, en la forma:

�f lÍ¡: = v grad J. = " 'J. enabl a de ;·> qr 7z + - J7 + · ox

fJy

{!¿

añadiremos aquí que V es ·un vector operacional (en adelante lo representaremos por V y deno­ minaremos vector nabla), que aparece en infinidad de aplicaciones para simplificar nomenclatu­ ras, y que expresaremos por cualqniera de las notaciones: -

él

.

(t _

() _

V =- i +-j + - k ox oy {}z

_ ( a a) fl

V -, -, ox. Cty oz


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178

Cálculo

integral y aplicaciones

Daremos ahora algunas definiciones, en las que como se verá, este vector es pieza funda­ mental. Consideremos la función vectorial también llamada campo vectorial m:

U( P, Q, H) = P(x, y, z)T + Q(x, y, z)] + H(x, y, z)k Divergencia de V. .

Se define por el siguiente producto escalar:

_

d1v U =

Rotacional de V.

(V· _

_

U) =

a a a ox oy oz

aP aQ as (P, Q, H) = - + - + ax Oy oz

(6)

Se define por el siguiente producto vectorial:

i rot V =

(-, -, -) ·

v A V=

j o

k

a o ax ay oz

p

Q

=

eH oy

-

) cp ) (

oQ az

H.

T+

az

)

oH � aº aP - ] + --- k ox ox Oy

(7)

Propiedades de la divergencia y del rotacional 1.

Además de l a linealidad verificada por la divergencia y e l rotacional: div (J..V + JlY) = ), div U + ftdiv V

rot (A.Ü + J1V) = J.. rot V + fL rOt V

que se prueban fácilmente, demostraremos la siguiente propiedad:

2. Si las funciones P, Q y H componentes de V son continuas con derivadas parciales primeras continuas en un dominio D, y existe una función F(x, y, z) tal que en D se verifique F�) = (P, Q, H), entonces en dicho dominio:

(F'_._, 1<�., a)

b)

V = V F (gradjente

de F).

rot D = O.

la primera relación es evidente, ya que por la hipótesis: V=

·

·

PT + QJ..,_ + Ffk = F T + F'J' -,. + F' k = grad F = VF X

:

·

respecto de la segunda, en las condiciones dadas se tiene:

PI Si P 1 , P2, .... P, son fnnciones tk� 11 variables (x1 • x2, ..., x,) definidas en D � R", la función vectorial V definida en la forma Ü(P1, P2, ... , P11) = P1e1 + P2é2 + P,e,, se llama campo vectorial sobre R". Que esta denominación <<campo vectorial>> es apropiada, se aprecia inmediatamente dibujando en cuatro puntos de 2 2 las circunferencias x + y2 = 1 , x + y2 = 4 cuatro vectores del campo vectorial U(P. Q) = yT- x]. Ejemplos nota­ bles de campos vectoriales son los campos gravitatorios y los campos eléctricos.


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Integrales triples

3.

179

El recíproco de b ) también es cierto, ya que si (en D) rot V(P, Q, H) = O, entonces (7): aH -

aQ =

aP

-

O

l.

oH

oQ

�P

oz ax

ax

oy

y en consecuencia (2.5) existe una función F(x, y, z) (que se denominó función potencial de V) tal que (P, Q, H) = Asimismo por ello, D = VF.

CF'_,, �., F'J.

Aprovechando lo expuesto, presentaremos una ólüma definición de la que se tratará en cur­ sos posteriores:

Laplaciana de u11a función. Considerando la función u = F(x, y, z), se tiene que div (grad F = VF) ((6)J = ( V · V F) = (V· V)F. Expresión esta última que recibe el nombre de «Laplaciana de F», y se denota por \t2 o por L\. Con todo: (8) visto l o cual, estamos ahora en disposición de iniciar esta sección:

Teorema de Gauss

o

de la diuergencia

En las condiciones impuestas inicialmente, aplicando la relación (4), y asimismo los conceptos vectoriales anteriores, el teorema de Gauus también puede expresarse y enunciarse en los si­ guientes términos:

CD(D, S) =

fL

( U · n ) dS =

fft

div V · dxdyd<.

(9)

«El flujo saliente del vector Ü(P, Q, H) a través de una superficie S (que enciena un volu­ men V). es igual a la integral Lriple (extendida a dicho volumen) de la divergencia de D.>> Estudiemos aquí el caso pa1ticular de que existiese función potencial F(x, y, z). es decir, de que D = VF. En este supuesto se tendría:

a) rección

b)

cV · ñ) = (V F · ñ) = ¡v Fl · líil cos O = IV' Fl cos O {proyección ñ (repásese) i = Fn(x, y, z) (derivada direccional). _

div U =

oP

:1 ••+ u...¡

8Q 8H 0 + 0

y

z

{(P,

. = Q, H)

32F

= (F�,. �., F:)¡ 0 2 -

menle, si U = VF. e l teorema de Gauss podría expresarse por:

:X

del gradiente sobre la di­

+

o1F

T2 (y

+

?PF

7? . Consecuenteuz-

( 1 0) (para resolver la inregral doble deberá obtenerse F;1 en un punto genérico. y aplicar (6) (Tema 3), con el signo correspondiente por tratarse de la integral de una función vectorial. (Véase el pri­ mero de los ejemplos que siguen a esta sección.).


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180

Cálculo

integral y aplicaciones

Teorema de Stvkes o del

rotacional

Aplicando (3.1) condiciones. enunciado y expresión del teorema. los conceptos rotacional y cir­ culación (2.5), y recordando por último que:

fL (U(P. Q, H)·n)dS = Jl Pdydz + QlLtdz. + Hd.xdy U(P, Q, H)

representa el flujo del vector a través de expresarse y enunciarse en los siguientes términos:

S;

cf; P dx Q dy Hd-:. fL +

+

=

el teorema de Stoke:;; también podrá

( 1 1)

(rol U · ñ) dS

S.»

<<La circulación del vector V a lo largo de l a curva cerrada C (frontera de S) e s igual al flujo del rotacional de U a través de Veamos otra nueva forma de expresar este teorema. Generalizando a R3 lo repasado (2.2 y Figura 2.2) sobre curvas en el plano, se tiene: e :

í'(s) =

_

con lo que podremos escribir

P d�� + Q dy y por consiguiente:

s

.r(s) í + y( )j +

(

=

_

di - dy + -dz k -= ds ds ds ds

ds)k .

dx

_

_

_

_

i +-j

dr ds dx Q dv H-dz ds = - · dr ds P ( ds ds ds) ( ds)

)

recuérdese que - es el vector tangente unitario a la curva e

H eh,

=

-+

d s ds = Pc ( r(ds >) If e

U -

�+

U · --

-

(rot U · 1i)dS

s

( 12)

_

(véase el apartado b) del primero de los ejemplos que siguen). Ejemplos 1.

a)

·

Cuando existe función potencial F. se tendrá, como sabemos, ( U ñ) =

cuentemente el tlujo a través de

</J(U,

S (cet:rada o no) podrá calcularse ap.bc:mdo:

S) = JL

·

(U 1i ) dS

= JL

F',,(x, y,

(VF · i'i) = F',,. y conse­

z)dS

Utilícese esta última integral doble para comprobar el resultado ifJ = 9rr/4 ( FigLtra 3 . 1 7 y ejemplo co­ _v1• rrespondiente) del nujo que atraviesa la porción del paraboloide

¡; = x2 +

b) Consideremos la curva cerrada C (Figura 3 . 1 9 y ejemplo correspondiente). Utilizando la integral curvilínea de ( 12) compruébese el resultado obtenido en el ejemplo citado.

1 = -4n


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Integrales triples

RESOLUCIÓN

Puesto que en U ( P = 2r. Q = 2y. H = z1) se da l a igualdad d e derivadas cruzadas potencial F = x1 + y� ... :3/3 + !. (inmediata. aunque en este caso puede prescindirse

a)

(0).

existe

uc cJI¡\).

, , ...., j. I J

se tiene:

F;, y por

=

consiguiente:

< VF· Iil = W · ii l = (2'<'. :!y. :-1·

</> =

II

-4x2

lr -2v. ' 1)

(

.

- 4.r2

4_vl

.

::2

'/l + 4x2 + 4v2

' 1 + 4,yl + 4y-

F',,(x. y, :JdS =

- ...

4\'2 + :?

, d/:i

:

1 + 4x- .J.. 4y-

�·

aplicando (6} (Temn 3\. sustituyendo :: por x2 + y2, y tenienJo prese11te e l signo (Ct)S }' < 0}:

. .r

que coincide con la integral ya calculada (9n:/4) del ejemplo.

b)

Mediante la Figura 4.9 y expresando

i/.1'

-=

:-;en

(.1')

U<y-:.2, y�

(.\')

2 i + cos 2 j + Ok _

_

_

y::)

en funció11 de s.

. -(.2 U

sen

¡ ,.

2. S

2 cos 1

•' = O

s = 4n

e,_, .\ =

J¡r

Figura 4.9

tiene:

2,

3 S

8 :-.en·

C : y � l scnt

=; 1

se

2 sen

s

)

¡ .: :

1

2

cos

(.r 1 2 )

;.< = 2ti C : y ; l sc n ( � / 2 ) =

1

C : r(s) = 2 cns(N / 2 ) l + 2 sen (.,/2)} , /,

181

función


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182

Cálculo Integral y aplicaciones

consecuentemente:

1=

.

'

= ( - 2) · 8

2.

3

y:-dx + y dy + xyJ. dz =

p (- 'Jr)

U·1 ds

t�

r

f,.,z (s) [ ('')]4� 0

sen1

2 d$ +

4 sen�

0

=

=

n

-16 ¡ + 0 =

-4;r

+ y2 + �2 = 4, z > 0) s e cie11·a con l a Sltperricic plana S2 (z = 0) fonmw­ S. Consideremos el vecwr:

La supe1ficie esférica S 1(x1

do una superficie cerrada

Ú(P. Q, 1-1) = (x + ;¿ - yz)l + (x� + y) ] + (2

x)k

div U, rol U y div (rot U). ¿Se da siempre este último resultado'?

a)

Hallar

b)

Obtener mediante integrales dobles los flujos

e)

Sea

aplicando

-

el

teorema de Gauss.

tvf = rJ + y · 1.

tD( D. S 1 ) ({>(V. S2 ) y <l>(V, S).

Compruébese este úllimo

.

Calcular <D(roi M. S1) de lu rcmna más simple.

RESOLUCIÓN

a}

divll(P = x + �

_

J'()l U =

oP

?JQ

JH

x) = - .,... - ...,.. - = .::! . ax cy o;;

y;:,. Q = x::. + y. H = '2

(tiH ?;: ) ( o: r·.t ) (rx ) ti Q "" . -- 1 +

oy

div{rot V) = di v [

x· f + (2

iJP -

íl Q (P _ "" -- - . k = - X • 1 + (2

i'H ""'

- �

-

-

J +

íJ

,,

y)j + 2z · k] = r'x (

t

x) + n/'2

y ) + 7 (2:) =

(1;:.

Veamos que cuando las componentes P, Q. H del campo vectorial

primeras y segundas también lo son, entonces

. _ iJ d J v { rot U) = -

�'x

cliv (rOl U) = 0:

( - ) {1y ( (!H -

(ly

oQ -

fl:.

y)] + 2r. · k

oy

f!

oP

(l:

cW

f'.r

+ - ---

V son

) ( iJ

él:.

+-

[ly

(¡2¡..¡ (12 p (2 p c12Q c2 Q el.I/ -- -- + -- - -- -r- -- =0 = h0

��

��

��

h�

��

--

1

-

1

+ 1= o

continuas y sus derivadas

)

aQ ?IP ---

é'x

-

=


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Integrales triples

En

similares condiciones resulta también

sencillo probar que:

rot lgrad F(x. y. ,::)j

b)

(lJID.

2

S1(.� + y +

Cumu -P�

rot {VF)

-

Q

e�'

+H=

-

(.r +

.: - y::)

(

-

)

=-

z "

-

(x.:

dibujtUJdo un sencillo gráfico, y teniendo en cuenta que cos}' >

en donde haciendo

.

=O

z1 = 4)]:

8-

=

As1mismo:

f"'2 1)

(. ) - :... :: ,.

+ (2

-

,\} =

escribiremo'i:

O,

?. sen 1, resulta:

el cambio p =

CD(U, S 1 ) = 2n:

+ y)

8 sen-1 /d/ [sen- 1 = 1 - cos1 ti + Sn: �

32n:

= - ,.. 8rr 3

56rr =3

x) tL\ dy =

=

Gauss ( 2 1 ): <f>(U. S) =

e)

JfL

-

f,�(> flo

(2 - p cos O)p · tlp · dO =

div D · cLrdyd:: = '2

llallemos rol M apl icando (4. 1 ) que rol (M = rolMl(7)1 =

rP

f!P

fff

-

ti)'

8rr

d�dydz = 1 · V =

V -r y · 1 )

= rot

rot U + 7 · j - � · k{P = )'i = - x · ¡_;::

-

J�rr

·

V + rol (y · T ): -

i t-

-

-

(2 - y)j + (2.: - l )k

Estudiemos uhorn la forma má." sencilla de obtener <D(rotM, S). Al ser <D(rot M. S) = <J)(rot M, S 1 ) + <l>(rotM, S1) y puesto que: <D(rOLM. S) {Gauss

(9)} =

JfL

div(rotM)d.rdy d.:{div(rolM)

= Ol = O

183


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184

Cálculo integral y aplicaciones

Evidentemente el modo más simpJe !81, será calcular <l>(rotM, S1 : :: = O)

hacer <t>(rot M, S 1 )

= - <D(rot M, S2). Por tanto:

__ {

<D(rot M. S2)

8:.

()z

c�r

r•y

:. = 0, 7 = .,

En consecuencia <D(rot !vl,

)

= O, cos �• < O > = J

S1) = - 4rr

It (2: -

J1

(véase comprobación en

mediante

integral e:; dobles y

l ) clxdy ::: = O: = área de R = 4n

tlj1).

Otras aplicaciones de las integrales múltiples En los Ejemplos propuestos 1 y 2 del Capítulo 3, ya se estudiaron algunas aplicaciones de la

integral doble (valor medio integral o valor promedio, cemroides y momentos de inercia). Trata­ remos aquí de estas y otras aplicaciones utilizando ahora la jn legral triple. vjendo como enton­ ces . que las fórmulas que aparecen son generalizaciones evidentes de sus con·espondientes del Tema 1 << Aplicaciones de la integral definida simple»-; y por con$iguiente totalmente amilogas a ellas y a las presen tadas en los e:jemplos propuestos citados.

Conceptos y formulaciones

b

Consideremos un cuerpo o reg i ón sólida de masa M, vol umen V ( tam i é n utilizaremos V para

denotar a dicha región) y densidad f> (x, y. z) variable (cuando ésta sea constante l a representare­ mos simplememe por b).

1.

Al ser dM = o (x, y. ::) · cW, la masa total del cuerpo vendrá dada por: M =

2.

fft

6 (x. y. z)cl\l{si 15 = kl = 6 ·

fff,.

dV = o · V (dV =

d.r dytlz)

Si la función f(x, y, z) es continua en una región V. entonces: 3 (o,

b, e)

E \1

/f(a. h, e)

=

-& fflJ(x.

y, -:.,) c/V

el número real f(a, b, e) recibe el nombre de uolor medio inlegml o valor promedio de la fun­ ción .f en la región V. (SJ El cálculo directo Jc (j) (rol 1:;

tvf, S¡. mediante ltt fórmula

( x)

Como

e;;.

(9) (Tema 3), es mtl� engorroso. Veámoslo:

P - - Q - + H =x - ,�x cy ;:

y utilizando l'OOrdenadtl� polares en el orden (llfl) que resulta 111:ís simple. se tiene:

ID =

fl f2< (2¡1 o

u

sen O -

8-

.-e; J 4 - p-

3p2

)

- 1 p · dO·dp = - - - = 2¡¡

f2 o

8¡1

- 3{13

' , 4 - fll

· dp - 4n = 2Jl( l 6 - l ó) - 4¡ r = - 4 ¡¡


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t l

185

Integrales rip es

3. Centroíde C(.�. y, i). Denotando por X; a �:ualquiera de las tres coordenadas de C, se tiene (véase el correspondiente concepto de 1 .5 ):

_¡:¡ =

� IIL

;1 JJt

X¡· dM =

X; · 8t x, y , z) d V { s i

s

(� = k} = � JJt

x; . dV

4. Momentos de inerc;ia. Como se estudió en 1 .5, i r es l a distam;ia entre el elemento de masa dM y el pw1t0, eje o plano respecto del que se desea calcular el momento de inercia (f), resulta. en todos los casos. la siguiente fórmula gener l (en la Figura 1 .29, sustitúyase 111 por dM):

a

di = r2 • dM � 1

=

fJL

r2 dM

=

JJL

r2, · c5 (x, y, z) dV

Utilizando, como siempre, 10, 1... 1_,>.. .. . para representar los momentos de inercia respecto del punto O, del eje x, del plano xy, . . . se desprenden . de l a fórmula anterjor, los siguientes resultados y relaciones (por su obviednd omitimos algunos de ellos):

lo =

lx =

lx;· =

IIL JJ1. fft :¡:2

(x2 +

(y2

)'2 + � ) . c)(x, y, z)dV

IX = IX)! + 1,:

10 = f....v + l.," + l,,�

+ Z2) 6(x, y, z)dV ·

D(x, y, �)dV

Ejemplos

da1. por su vénit:e unael plano;;=sólida(similaencerrada r a la Figurapor 3. cono de ecuación n/3CF + /· limita­ es igual a la eje :.. sabiendo que la densidad en t:ada uoo de sus puntos distanciObtener a entrela masael cónica, b) Hallar densidad promedio del t:ono (valor medio integral correspondiente). centroide el momento de inerciSupongamos a /=, ahora que suresuldensitadosdad fuera e doo t eTemadeterminar l: á)

e)

Considetemos y

región

(V)

eJ

h

= 3:2 ).

cp =

14).

P(x. y. ;;)

Py

ht

obt 11í

comprobando los

c

n s ant (c5):

s

el'l

su

el

1 =

(C)

y

3

= - Mr2 10

Nóte e que (radio de la se fi tado.Calcúlese función de el momento de inercia /. cuando la densidad es del p me apar­ d)

r

en

bn

)=

M y r.

Ir.

la

ri

r


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186

Cálculo integ ra l y aplicaciones RESOLUCIÓN (Como referencias, se utilizarán los 1, 2. 3 y 4 de las anteriores fórmulas)

JfJ.

L/i(x. y. :::) =

a)

M( 1 )

b)

Expresando (2)

=

en

la forma m<h. intuitiva M = c5(promedio) · V, resu l ta:

J3 2

e)

1

rr/1-l. = o · - n(r 3

Por �imelría. C(O, O, z), !iieodo 7.(3)

ff.f

-:.i/V =

2J rr f"f:\ f/1/<l"'P Jn/3 [ h"'""' J o

o

o

3rrh4

=

4

= 2n8

1./31 (

p4

-

o

=

,

=

,_/3 hr · h

� ffJ,

= J3

c5(promedío)

-

2

h

( V = nh3 ):

z dV

·Sencpco¡;q ulq>

3nh.¡

3

4V

4

=2 nf14

f"/3 1)

J 3-

cos <P

(scn <pd ip) =

;: -=-- = - h.

p J3)

h - --= p 3 dp

o

=

JI cos q> ([12 sen ({1) dp d<p dO =

11

1

= 2rr·-

4

d)

Jx2 + J'21 t!V jesféricas} =

9r.fJh 3 = --

10

{

M = nh3 · ti /l = rf

J3 �

}

3

= - Mr2. JO

Integrando nuev�unente en cilíndricas, se tiene:

= 2n

f()" ( f-pi) Jh

11 -

p4 dp =

3 ,j3 nf{'

5

{M "

=

}312 nh.l.

= ,.¡j3

}=

2

-

5

Mr,� •


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Integrales tri ples 2. a)

Sea la región sólida de densidad c5 definida por x2 + y2

1.5 se

187

r2 •

+ ::2 .:::;;;

Comprobar el resultado C{O, O. 3r/8) del cemroide de la semiesfera (; � 0).

indicó (integrales simples) 4ue t')btener el momento de inercia de la esfera respecto de un b) En eje (/;, por ejemplo) enu·añaba gran dificultad. Calcúlese ahora directamente utilizando coordenada1. c!Sféri­ cas, comprobando que '= = (2/5)Mr2•

e) Aplicando las relaciones (4) entre los corre¡;pondientes momentos de inercia. hállese nuevamente este 1=: 1 ) Obteniendo 10. 2) Obteniendo /x,•· RESOLUCIÓN (di bújese previamente la semiesfera definida en esféricas por p = a)

P()r simetría

.

C(O, O, :) siendo : =

ffi

v :. · (dV = dxdydz) =

=

= i)

. J'2n I" f' ()

o

1)

f2n fr./2 f' 2n f•/1 A ,

(1

2

p2 sen

( � trr3} \1 =

::. dV

1 0 p cos cp(p sen q>)dpdqH10 =

0

0

�- fft

r)

-

<P (p

4

2

nr�

sen (p (cos q u/cp) = -

=

4

sen ffJ J dp d(p

1

nrA 3r

-. - = .,i. = -

-3 nr3 -

4

8

dO =

Con Jo que multiplicando y divit.liendo por M = c5

Snr5

4

3

3 nr • se tiene:

·-

M

?

l = J. -- . --- = = Mr1 :

el

/1 1

1 .5

(respecto del cenb·o de la esfera){4l

=

6

·

J2" rn J,. 1 + t}

1)

de donde al ser /11 = - (1, 2 .

o

=

Jft

p2 (p� sen <p)dpchpdO

-

4

3

t5 . -

nr

(x2

S

3

+

= ó ·2n

_v2

T

f"

z1) · ,5 · dxdyclz.

s r

--;- sen cp chp

(l .)

2 2 � 3/:. /), + /.) = , rc�ulta que l. = - !<, = - Mr-. 5 2 - 3

=

=

-

4nr5

3

)

)

rl

_- = :: M


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188

Cálculo integral y aplicaciones

Obtengamos ahora

1_,1

(momento de inercia n:specto del plano xy):

. f,..

= o · 2n

Al ser (simetría)

l,,.

=

(1

/'

-: J

,

cos- cp (Stn tpdcp)

=b

4m·:i · -

1)

1 _ ,

= - Nfr5

1.<: = 1,, de (4) se tiene que: •

x2 y2

3. Integrando co cilíndricas. obte11er el ccntroide de la región sólida con den)>idad constante, que es - 2y = O. y que está limitado superiormente por el paraboloide z = .r2 + y2• e interior al cilindro + infe1iormente por el plano z = O. RESOLUCIÓN

Figura 4.10

En la Figura 4.10. se ha sombreado el recinto circular proyección ele la región cuyo volumen V. en est:t Ol:asión, necesitamos calcular. Debido a la simetrfa, se tendrá que C(O. .ii. Zl. Asimismo. pat·l'l hallar V, podrá operarse en el recinto :;emit:ircular donde x � O (0 � (1 � n/2). Con todo, apoyándonos en dit:ha Figura y en las ecuaciones cilín­ urica:; en ella indicadas. escribiremos: V= 2

=

f�n f2 �• f¡¡! f"' ]. o

o

1

8·-

4

o

(1

(1

o

(p)d;,dpdO = 'l

[,12 f2 (l

u

'"'"

1/ p3 dpd/J = 8 sen2U

J

r.l� ()

r�/2

+2

f."'

(l

•o

sen�OdO = l

o

Tr

31t

cos� 2V d0 = n + - = -:¡

2

-


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Integrales triples

5aunque puede hacerse corno anteriormente, U ntegraremos en tot.lo el cinto O � O �

fff Z.'-1111 n II f" r2·..:J'nf''' d (7 ) f f" n/l ¡zo P� n/l fff I J I I rdV

1•

,

=

C1

re

psenO(p) d:. d¡,dO

o

32

o

)

0

sen" O dO = - · 2 ·

, :. clll = 2

1

5

'""

0

0

64 1 1 st:nr' /1 dD = B -;; , ·-

:.(p) d:.d¡, dO =

=

p4 sen t) drd0 =

u

11

0

}

7[

:o

f)

32

= -;:-

:

189

= 2n.

5 2

� 2

32

cos"' Ot!0 =

3

0

Sn

3

En consecuencia. aplicando las fórmulas (3) del centroide. se tiene: 2n

C(O, §. .:). siendo .v = n/' = 3 J 2

4

5n/3

.

1O

= )n/2 = 9 :

Integrales doble y triple de Dirichlet Se denomina integral doble de Dirichlet a la i n tegral D2 definida por: T( triingulo) :

{X

>

U.

-� · > ()

x + y< l

Su valor se obtiene ftkilmente efectuando la rransfonnación expresada Cll la Figura 4 . 1 l . Observando ésta y sin más consideraciones, escribiremos:

=

1 c)1'- tlt• = B(p + e¡. r) · 8(¡7. q) =

f( p + q) r(r) r( p ) r(q) f(p + q + r)

1''1 Evidentemente cuando la� varinb)c� pueden scparar�e. "�

f.,. f." il

flx) · J;( \') dx tly

=

J'h [f.'' u

g(y)

'

f(p + q )

tendd:

J f.''

j'(xl t/.1· tly =

- f'

f'(x) rlx

·

r.¡,

u

¡:(y¡ ily


http://carlos2524.jimdo.com/ 190

Cálculo integral y aplicaciones

y

}

�t =- U - U F

J'"" ll\1

�· = u

11=x+

��

y]

,,

y ··= -.X + r

IJI =- u

u=)

R

u=O

v:O

o

"

Figura 4.11

en consecuencia: ( 1 3)

Igualmente la integral triple de Dirichlet (D3) se define por: > Ü. )1 > Ü, > Ü T(tetraedro) {Xx+y+z< l asimismo, mediante la transformación: u=x+y+z ·

:

X = U - UV y = UV · Z

= UIJIV

UVW

}

Z

·

+z

· _ _ -+ D = ___:,_ )1

x + .v + z

... w = -y+

z se transforma en elque cubocon D2•<resul< ta: < u < l. O < w < 1 ). con lo que utili­ zandoLa iregi déntióncoTproceso de cálculo R (0

D3 =

Iff xtlV

l . yq- l . zr- 1 ( J - X

-

u

y

-

l.O

q_ )_ f (_ s) ( r) _ _ r_ (_ _ _ r )_ r _ (p :?.Y-1 dx dy eh = _ r(p

+ q + 1'

+ S)

Ejemplos 1.

Denotemos por

X > o, )' >

a)

a

O.

Efecrúese una transformación

de la integral

b)

-� S e l recinto COITcspondientc a l a cuarta parte del área d e l a elipse ¡

{x = x(u,

r)

y = y(u, v)

D2 de Dirichlel.

Aplicando lo anterior véase, mediante

de modo que la imagen de

+�= ,,1

b

l . donde

S sea el triángulo T recinto

D2, que el área de la elipse es A = 1r11b.


http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales

RESOLUCIÓN a) {�:__, S

b)

A

= u, --, = o (11 + v ab-

=4

=

1)

s

dxdy

ff.,.

u

r

1 12

·

v

-

112 du

----> -

(wY 1

dt'

4 = 4 If

ab

r 4

T ._______,_ . ___ ,

-

(uv)-

112. i/11

dv =

dv = ab D2 {p = q - = - �, - O} ·

1 =

r

1

1

-

consecuencia:

A = ab D2(¡¡ = q = ·

2.

1'

} 1.11--=··: :-ab�:: �:}

JI = 4 If 1.11tlu

= ah

en

yl

triples 191

J /2

r

=

l ) = ab

Hl/2.) r(I/2)J'( I) 1'(2)

= nab

es Compruébese el volumen del recinto T(ten·aedro) asociado a Ja integral 03 de Dirichlet Razonando como en el anterior ( ) comprobar volumen del elipsoide 4 es 3 rwbc. e) Determinar, utilizando una integral D3 . el momento respecto centro (O, O, 0). a)

que

1/6.

V

b)

ejemplo 1

que el

,

de semiejes

a, b y c.

de su

de inercia de este elipsoide

RESOLUCIÓN

a) b)

r(l) 1) = 6 . =0}= 1 =s l r= J q = i p z=D3{ l dxdyc r r(4) Iff Denotando por V la octava pmie del x > O. y > O, z >O. 8V = 8 ffÍJ v drdydz {·� = u, y2 = z2 = w, ..., 1.11 = g: crbt: (umv) - 11-' } = ro> n

11 =

elipsoide donde

02

escribiremos:

1

b2

v, c2

= 8 � abe ffI. · v-112 w- 1 12 du {p = q �. = n� 4 r(l/2)r(L/2)r(L/2)r(l) = abe--=--= abe - nabc: r(S/2) �2 - �2 Jn ·

11- t / 2

n 1)

dv dw

=r=

3

s

1

}

=

1


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192

Cálculo integral y aplicaciones

/ =8 1

JJl,

x1lL\:dydz ltransformación anterior! = 8

4rr

3 Evidente¡nente l., - = - ab c,

15

4rr

/0 = - abc(a + 15

2

/3 ,

b-

4n:

·i

be

a

= - abc3. En consecuencia.:

15

,{

+ e-) masa(M)

4

=-

3

ffl.

} 1

alu ( tww)- 1 1 2 dudvdw =

nabc·p = - M(a 2 S

.,

+ b2 + e-)


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Integrales triples 1.

El

cálculo del

a)

b)

volumen de un sólido da lugar a la integral triple:

Expesar V mediante otra integral triple cuyo orden de integración sea el y, x, ::. Calcúlese V resolviendo la

clricas.

integral dada.

RESOLUCIÓN

a)

Razonando sobre las desigualdades

{o

Compruébese el resultado utilizando coordenadas cilin­

�x�3

j9 - x1 + l � ;: � 9

O �y �

x2

p

tad, que el sólido en cuestión es el re resentado en la

-+

x2 + y2 = 9(y � 0), se Liene, sin dificul­

Figura 4.12. ;::

=

9 �-------, (==p2).

==xz+ 1.2

o

y

X

Figura 4.12

De la que. conjuntamente con el recinto R.,:• resulta:

f9 f,j� fJ�-x2 f3 f� f"i 1

V=

b)

193

\1 =

fJ f,j9-r [::]9 2 f3 (9 •

o

= -

3

o

o

,,l ._y>

dydx =

- x2)3'2 dx {x = 3 sen tJ

o

o

o

o

(9 - x2 - yz) t(vdx =

1)

= 54

dydxdz

o

cos" t dt

(1 S) 8ln 22 8

= 278 - , - = - .


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194

Cálculo

nteg ral y aplicaciones

i

Cilíndricas: V=

1"'1 o

1.3 f<) o

p dulpdO = �

2

pl

1:¡ o

81

(9p - p3)dp = �

8

2. Utilizaudo coordenadas cilíndricos, comprobar que el volun1en del ortoedro (paralelepípedo

rectángulo)

cuyos bdos miden l, 1 y 3 m, es V = 6 m3.

RESOLUCIÓN .r = 2

:'

' '

o...�1 \

,/ ,/ /

,..,.

\

R,

1p cos e = l)

------�---'l� y

Figura 4.13

De la Figura 4.13, 0), se tieue:

datos

plasmados en ella. y razonando en

:. (1,

(arctg2 1l'Osl-l 13 1

V = V1 (arriba de R 1 ) + V2 (arriba de R2) =

segundo gráfico (orden de integración

2

o

. o

su

o

1

(p)dzdpd(j +

Comprobemos el valor V t = 3, puesto que evidentemente V� = V2 = 3: V1 = 3

3.

r

1 tg� f 0 ac

0

1

2

C\lS

( p ) dpd0 = 6

u

arctg. 1 0

1

2

l ,- dH cos- O

= 6 tg (J

V = 2V1 = 6

=

J

1 arctg 2

f"/2. 1sen0 13 1

;u-ctg ?

o

(p)d::,dpdO

o

( ) 1 1

= 6 tg arctg - = 6 · - = 3 2

0

2

=

Se propone intentar, dibujando ordenadamente (con regla y compás), obtener de nuevo este vohrmen, inte­ grando en cilíndricas y en el orden .¡;, e. p. Consideremos

la esfera (E) y el cono ( C) definidos por las ecuaciones: E: p=3

a)

e

:

lp

=3

1l

(coordenadas

esféri cas)

Se::. V el volumen, en el primer octante y en el interior del cono, limitado por ambas superficies.

Pluntear, en las tres coordenadas, los Jfmites de las in egrales t que dan b) Resuélvanse éstas en los casos cilíndricas y esféricas.

l ugar

al cálculo de

V.


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RESOLUCIÓN

X

a)

Figura 4.14

Una vez conseguidos los resultados de la Figura 4.14, se tiene:

Cartesianas.

V=

-2- 2J27-4x1 J9-.r J" Jo J fn/Z 1-, fv 9 -r2 3.j3

1

i

fi dzd_ydx -J-� +j•l . __

3

Cilíndricas.

V=

J /3

Esféricas.

o o

...

V(cilíndricas) =

-;:

J.)

(p)d-¿dpdO

-p 3

\1 = j ,2 J"'3 Jr�o

(p2 sen <p ) dp dqHI0

0

0

bl

-

� fn2 p(� - �3 p)dp 3 "' 3

n

V (esféricas) = -

f"'3

2 0

-

"'3

[p3]" = f 3 0 2 0

sen <p -

dcp

9n

-

=

9n

sen cp dcp = -

4

195


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196

Cálculo integral y aplicaciones

4.

4.14) y �u pongamo�

Consideremos de nuevo el sólido anterior (figura

a)

Cal cu lar 1:� coordenada

b)

Oetenninar su momento de inercia respecto del eje

RESOLUCIÓN a)

Corno ( 4 . 1 )

i=

� JI M

fff., fn¡l 4

1 =�

i de

f'

x

x dM ! 6 conslante�

=

dV :Figura 4.14}

1 cos (lt/0 · -

2

u

de donde:

t=

.

su centro de gravedad

V

f"'J

fff

f'

=�

V

Jfl

=

(c5 )

er, conslante.

C(.r. f ;3). ;:..

j'ff

, ,

x rlV, escribiremos (esféricas):

p �;en Cfl COs ll(p:o. sen <p)tl¡Jtf<pdO

81 1 4rr ( 1 - cosl;p)d<p = - · 1 · 4 2

xdV

que su den¡;idad

.::. .27 (4n - 3 9n 32

/ JI =

'

- 3 ..j3 12

� Hn 8n

=

27

= - (4n - 3 y'r:: 3) 32

'3)

3,

se ricne: =

� . -')..,.'.1 2

5

fr.l3 )

(

E n consecuencia (M = c5 · V =

'

=

1

=

7....'3. n ·.;;' -- . 1o 24 �

81 n =-

16

9 /= = 4 M (el radio de giro es 3/21

Consideremos (octante po�ilivo) la ocrava pat1c del elipsoide E remos por 11.

'

- cos- <{!'

�� · 9n/4):

81n Sin M / . = c) · - = i5· - · . · ló ló c) · 9n/4

5.

,

�en- <¡> U({I 11 '�en··p = 1

:

..,�

v1

::.!

-; + :.-, - -, = l . cuyo volumen denota­ a·

/J•

e


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Integrales triples

a)

Compruéhese el valor

V = 8·3 1 4

rrahc (sin resolver ninguna integral) definiendo un� i.lplico-

ción lineal (F) que transforme E en un octante de la esfera E' rr · l 3 =

b)

n

197

)

:

11::.

+ r2

+

w2 = 1

(

de volumen V' =

1 4

-·­

H

3

Aplicando el anterior apartado, hállese el centroide C(.Y. )-:, .:) de la t:ilada porción E. Obténgase igual­

mente

�u

momento

de inercia 10.

RESOLUCIÓN

¡1"= 1 1

F: y = l>r

� .:: Ch'

E ------- E'

)'

·'

11

Figura 4.15

a) En el segundo de los ejemplos propuestos nos volveremos a encontrar con otra transformación �;imi· lar. de la que inmediatamente F y todo� lo� resultados indicado� en la Figura 4.15. Con ello, cscri· biremos:

surgen

V=

JJJ

..

d.rdyd::F!

=

fff. (llh,·)dudl'dw = l JJt tltult•r!lt• = n

1 1 = abe · V' = abe·- = - rwhc 6

b)

Obtengamos, por ejemplo. .: =

= r¡/u·1 = uhr�

f"'l Jrrrn l l j' l fn 2 f l o

·

11

tr

-

2

11

f)

n.

6

� ffL ::. dV : ( 1 1'

= pt:us cp) · (p1 sencp) d[l(/rpc/() =

JIJ sen (/) co�> <P

d¡�tlcp =

1

-

8

rwlw1

f("! )

�c.:n cp co�

q ulcp =

nulwz 1 ()

--


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198

Cálculo integral y aplicaciones

En consecuencia: i=

.!_V

fj'f,. {v � nabe} _naúc6_ . na1bc26 z

dV

=

=

6

=

3c 8

-->

C

(3a ' 3b . 3c) 8 8 8

obtengamos, por ejemplo. !,)'; lx� =

ó

fft ::2dV{F} ffL, =

{J

(abc) (cw)2dudvdw{esféricas} =

de donde:

1

X.l' -

M -- -J D(abc3)n -(abc)n 30

=

1

-D 6

5

Mc2

1 = Q

-1 M(a2 b2 +

5

+

c2)

(resultado que ya obtuvimos como aplicación de la integral de Dirichlet.)

6.

Operando en la forma más aconsejable, calcular el volumen (V) encerrado en el cilindro y2 limitado por los planos = O, z = O, x + z = 3.

x

+ z2

- 6y

RESOLUCIÓN =

X +: = 3 (x +

p sen 8

= 3) o

\1

F:

3 X

Figura

4.16

3 y 6 r=3+p :x=x= p cose sen e

)1

= O,


http://carlos2524.jimdo.com/ 199

Integrales triples

es elporvollosumenplanos interior alO. ci:: l=indro, está por debajo del plano 3, además (FiEviueJ gOperando uraltemente,lüniVcartesi tado O. avolnas,umen aún eldeligipolendoiedroel onlen (recido�ntoveces el voluenmenel entre plano caly elculcilando V por resta de vol ú menes: (2 ) menos i ndro, resulIgual taríasucedería complicadfsimciolí.ndricas si se toma la transformaci 7 óeln habirual con aún más,ensiel platoma no como su Lo más apropi a do util i z ar cil í ndricns con reci n to en pl a no origen el 3, Con todo transformación r + :: =

que

4.16)

x

en

.

=

triangular

y�

.rz) y y=O

en

y=

:::

ry.

recinto

es

V=

=

�e

yz: y

(Figura 4. 16)

= O.

fr. f3 fJ-¡>!Mlll o

u

o

)'

(p)dxdpd(J =

fr. (77 sen ) 27 o

-

,., -

O dO = ) O +

-9

F:

In f3 o

(3p

o

9 cos O

y

¡/ sen 8)

]" = ;9 (3n o

-

dpdO =

4)

-

Límites de integración en cilíndricas y esféricas 1.

Denotando porel sigui el volenteumenresuJencemt compruébese tado: do entre dos esferas de centro el origen de coordenadas a os l 3, ln 3 n J + l + 1 f I Io P fff ( ) Consideremos el elipsoide de ecuación 02 1 + + 2)2 a) Defínase transformaci J llOdel. forma que este cambio, la imagen sea en luna a referenci a ón lineal la F1 y r di

\1

dxdydz ., .x-, + y2 + �2

2.

p2

=

b) w)

t

o

- sen <p dlp dpdU = hr 2 - arctg 22

(A - ) 2

E

(u, v, w)

F1(E)

y2

bl. +

(z

= 1.

c2

: (x, y, z) - (u. v, w), esfera u2 + v1 + w2 =

con

Con(8, el fin de hallar coordenadas esféri del elcas.ipsoide, efectúese seguidamente el volumen (V)

) -

1101

<p,

p) utilizando

1=

fff.Jl-t. ,

tiene, como sabemos:

)' <.) dxd ydz.

=

un

fff.,J[X\11,

L',

un nuevo

cambio F2 (11,

n

:

v,

i icial V en otro V' para facilitar la matiz añadido puesto que depende de la habilidad del

Aunque evidentemente esta forma de operar. transformando el volumen

ímegración, es la base del cambio de coordeoad:lS, presenta

que lo realiza. En cualquier caso se

y

w), y( u,

v,

w), z(u,

ll.

w)l · l./1 d11 dutlw


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200

Cálculo

integ ra l y aplicaciones

SoLUCióN x- l --

a

a)

Haciendo en

=u

)'

- = ¡¡ b

E el cambio

� + 2

-- = w e

b)

DenoLando por V' el volumen de la esfera F1 (E), escribiremos (dos pasos):

1.

V=

2.

fff

JJL

dxdyd-:. { F 1 1 =

JJL.

(ohl') r.lu tll.l tlw :F1l = abe

., .

(1.11 = abc)dudP tlw.

J1" Jí"o J' u

u

(p1sen cp)dpdcpdV =< : rrabc.

3

El ejemplo que sigue muestra la forma de oper<lf para facilitar, con un único cambio, el engorroso cálculo (en cartesianas x, y,

3.

;;

) ele

la p1imitiva integral.

Realizando adecuadameme los cambios o transformaciones (si son convenientes):

F1

:

{X/���1 �

= p COS {/

� psenO

F

1

:

"'

{

xfo

p sen cp cos ()

y/b = psen <P sen O =

z/t = pCOb<fl

se proponen las dos siguientes cuestiones:

a) a

Supongamos que la Figura 3.14 representa

a

un cono de altura /t, cuya buse es una elipse de semiejes

y />. Pruébese que su ecuación y el volumen dibujado vienen dados por:

V(F1) =

b)

2.J 1t JJ f' o

()

(pab)d:dpdn =

¡•1>

1

3

(nab) 11

En el Ejemplo 2 de 1.5 (sólido de sec�iones conocidas), se calcula el volun1en

de centro el origen y semiejes a, b y

{

F1. E : p1 +

.1

\1

VlF2, E : p = 1 '' =

Compruébese (integración triple) que:

} J2lr f' ft'"q f2"' )oí " f'

�= 1

c.

o

=2

0

.

o

0

0

(pab)d:,dpdO = 3 naln. 4

(1.11 = p2Cibcsen cp ) dpdtpdO = � nabc. 3

·

(V) de un elipsoide (E)


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Integrales triples

4.

mp ob r que ela

Co

porciónen esféricas),queviene expresadocpor:o evidedentemente } 2" "'f> 1'''"'n sen {e: = V JJ J Obténgase de nuevo e a ex e a al volumen : primer octante e interior fxl ff.L 1,::r a

volumen

la

p = 2rcos 'P (ecu ci ones E

.:z ,

: x-

J.r + 3y2.

-1- y2

(:: - r) 2

del sólido

es interior al on C

=

p-

= r,

,

,1

1)

e valor, integrando en el orden

5.

Consideremos l integral 1 1=

a)

b)

t ndid

zcb.;dydz

<p

= n/6 y

a

s

,

rp dp d1p dl! = - rrr .

tl

st

:

4

((ppll).

V. �iendo:

,

V

a

·

,

+ v2 + z2 = 4(E)

· , = 3x� +

,

y•(C)

Hall&r 1 uliliz:mdo coordenadas cartesianas en el orden (yz.x).

Obténgase de nuevo

SOLUCIÓN

mediante unm, coordenadas cilíndricas debidamente tran¡,formadus.

J fJ.,1-2 1

a)

/1 ( R 1 ) =

b)

1 y=

o

j3x

::dydzdr

=

3

lj2

1

r Jo

{x = pcosOse } f"'2 f1 J•J4-¡l(l .fi p

Z=l

n () =

!l

(1

-

x2)312dx{x =

... �n211)

z

o ¡¡)2+cosZIJ

{y:x) l = l¡IR¡) + l1(R1)

..

=

J'2 n 8

.j2 <.fi. p ) dz dp dO = 4

{orden

J2

sen 1:

y

Figura 4.17

1r.

:

201

la esfera E :


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202

Calculo integral y aplicaciones

Aplicaciones de la integral triple

1.

Considérense las supetiicies C y

Hallar el volumen V que

E

definidas por:

E : x1 + y1 +

a la vez interior a

Ey

=

óy + 5

:�

exterior a C.

O

SOLUCIÓN � (tubo de extremos esféricos) = V = V1 (esfera) - V-

2.

a)

Hallar los volúmenes V1 (Figura similar

a

la 4 . 1 4 J

y

n · 2J 3

4

-

37

(i

9rc

n= l

V2 definidos por:

..

v2 : lumtado por

{x1 +/ - 2::: = U + 1

4x-

4y

2

(z + 2)

l

=o

Obtener el centro de gravedad del sóJido homogéneo corresponclit!nte a V1 • Opérese con esféricas en el orden Up, ¡1 ).

b)

O,

SOLUCIÓN a)

b)

V1 = 9(2 -

V2 =

l j' ln f f (p)d�dpdO = 41r

.p� l ¡':!

o

o

1n

r. V d

(l

o

sen

cos q>

3

-2

fff = f3 Jr-•u fw/4 p (p2 cp)dcpdO • v,

3.

fi> n

dfl =

8�

rr

Consideremos los volúmenes V1 y V2 delinidos por: V1 : En el primer octante y limitado por tp V2 : Cuña, limitada por y

a)

b)

=x2, :::

1l

3

= O, y + ::: =

Calcular el valor de la integral

1

=

¡¡;

= - cp =-. p = 3 _

4

l.

ffr, � 1

\1

d

.

Hallar el momento de inercia de la cuña con respecto del eje ::;.

SOLUCIÓN

a)

(Figura 4.1 8).

! ==

1 ' fn/2 f"'·' f3 - (¡r·cncp)dpd(('dO= o

rt/4

o p

9(

j2 - J ) ¡r. 8


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203

lntefjrales triples

b)

De la observación de la Figura

denotado por

4. 1 8 se desprende la conveniencia de operar con cartesjanas (hemos

D la densidad de la cuña que se supone �.:onstante):

y

J

1' X Figura 4.18

4.

UtiJjzando las coordenadas más apropiadas obtener el valor de las siguientes integrales:

/1 = ffL (x2+ yz + z2)dV. = ffL Jx2 + y2 +

V

:

o � X � l. 1 � y �

zz dV.

12

V

:

SOLUCIÚN

12

5.

a)

2, 3 � ¡: � 4

= f2n fn/4 fj2 o

u

o

_¿ + v2

p3 sen cp dp cl<p d(-) =

+

-:! =

4 (Z � Ú)

(2 - ji)n

Hallar el volumen (operando e n cartesianas) del sólido limitado por las superficies: y2 +

Z

-4

=

Ü

,

X

+

;:

=

4

.

X= Ü

,

:= Ü


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204

Cálculo int eg ra l

bl

y aplicaciones

Operando en cilindril:as calcular el valor de la siguiente integmJ:

SOLUCION

y

a)

Primer gráfico:

1=

b)

6.

V=

f 2" J'l J'l-,• •

(1

11

I

2 f-1-¡•l 14-: .l

(\

11

Figura 4.19

1"8

tl.-.:dzdy = � o .)

f l .¡ d;.tl(lt!O = �; ( imprescindible

¡¡2

el segundo gráfico ).

Ohténgase lo� siguientes re�uhados: •

Que el volumen encerrado por el ptu·aboloidc x2 + y1 -

V = - cr1

2

• • •

Q ue

el

Que si

= O.

o

Vtllumen común a los cilindro:;

1 x

+ y2 =

1 Que el volumen l imitado por .r2 + y - 4o�

= O.

a 2, .r� - :::1 = ct�o es y

16

V=-

9

(dcs<llojudo) �n la esfera x1 .... 1°2 + ::2

(3n - 4)0

Que el volum�n comú11 al paraholoide :

=

2r1 +

y el plano hori7.onwl. e<;

V = 1 6 tr�.

3

e l plano x + _�. + �::: = 4a, c:o; V = �na.�.

\1 es el volumen del primer octante limitado por x + )' +

Que d vol u men cortado e:;

o:: - a2

n

:::

= 1 , C111C'I1ccs:

= 4 por e l

jl indm _,.z

1·2• y ul loilintlro : = 4 - y1. es

+ y2 - :!.y = O.

\1 = 4r.:


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Integrales triples

7.

Que el volu11ten comprendido entre x2 + y� = o:..

\'2

.

-

y1 =

ax,

:.

= O. e� V =

Que V = a 3/6 es el volumen limitado por las superlicies:

Que el centro de gTavedad del sólido limitado por las superficies : = es C(O, O,

3

�) /� = g (2 .,.. j2¡.

205

;2 na·'. �

Jx2 + y�\ :: = .j4 - x2 - y2•

7+

Apl icando e l teorema de Gauss. obtener e l flujo del vec tor V = 3x2 4y::. · .T + 2/ · k a través ue la el primer octante conjuntarneme con las supertlcies x = J , y = 1, :. = 1, ,r + y:l. z2 = o. ·

superl'kie cerrada limitada ror -

SoLUCióN (razónese como si dijera <tfl ujo encerrado») c/11 (cubo) = r/>(pedido)

+ f/J1

(COno)

(f'¡gu ra 4.20)

1'

Figura 4.20

c/J,

L f L 4:.)d.tdyd� = 5 [/2 f 1 f (6p 4-:)¡Hblp dO = -=

=

(6x

+

l

cP2

. o

<J>

8.

=5

7{

cos 0 +

p

n

+ 2

--

4

=

18

+ 2 4

-

rr

---

4

a) Utilizando una integral de Dirichlet determínese el valor del volumen encerrado, en el primer octonte. por lu superficie:

b)

Compruébese e l resultado transformando

el sólido dado e n u n a esfera.


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206

Cálculo integral y aplicaciones

SOLUCIÓN a)

Expres�mdo

la superficie por

(�Y13 = u � = 2

x

(�Y'J -'- (�Y'3 (�)213 +

=

1. y efectuando la transformaci6n

· u 312, . 1.11 = :!7(11t'111) 112 • resuhu una integral de Dirichlet. Con rodo: .

..

47t 35

b)

Expresando la superf'icie por

x1'3 � x = u3, =u

...

, IJI =

(x 113)2 +

21(uvwf,

(v1'3)2 -r (:;:1'3)2 = (21f 3)1• y

efectuando la lnmsformación F :

resulta (véase Figura 4.15 y ejercicio con·espondiente) ur¡ octante

de esfera por imagen. En consecuencia:

V=

f'rJ.f,. = 17 fff f�/2 f"'� f2' dxdydzlFJ

'

=

27

J

()

o

o

..

1'' (cslcrnl

(m>w) 2 dudtJdw·: esféricas: =

(p sen <{1 cos U · p sen <p sen O · p cos <p) 2 (p2 sen <(1) dp d<p dO

=


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Métodos de integración T1 . 1 .

Temas

de repaso

1

LA INTEGRAL INDEFINIDA A lo largo de este apéndice se tratará sobre la resolución, también llamada integración, de la ecuación diferencial:

dy = f(x) dx

--7

dy = f(x) rlT

problema que puede enunciarse de la forma siguiente: «Dada una función f(x), obtener todas aquellas funciones F(x) tales que F(x)

= f(x).»

Debe decirse por tanto, que este proceso (integración) es inverso al proceso de derivación con el que los alumnos están tan familiarizados. Derivación: Dada F(x) obtener su derivada F'(x). lnlegración: Dada f(x) = F'(x) obtener su «antiderivacla» F(x). Así por ejemplo, con .f(x) 21: [F(x) 2x], se tiene fácilmente en este caso, que F(x) = x2 + C. siendo e cualquier número real. Toda función F(x) que verifica la relación F(x) f(x) se denon1jna función. primitiva o antiderivada de la función J(x) ( 1 1. 2x, constituyendo En el anterior e:iemplo, F(x) = x2 será una primitiva de la función f(x) lx2 + C� el conjunto de todas sus primitivas (dos primitivas de una misma función, difieren en una constante). En general: Si F'(x) f(x), entonces {F(x) + q es el conjunto de todas las primüivas de la función Dicho conjunto recibe el nombre de integral indefinida de la función .f(x). Esta circuns­ rancia suele expresarse mediante la siguiente nomenclatura:

=

f(x).

=

=

=

=

{F(x) + C} =

J.r(x)

1 1 1 Más adelante se pondrá de manifiesto que toda función y = .f(x) continua en

en dicho intervalo.

un intervalo, siempre tiene primitivas


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208

Cálculo

imegral y aplicaciones

o abrevíadamente (como siempre haremos) por:

J.f(

..r) dx

= F(x) + C

( l)

Ejemplo

Dada la función

2 sen x f(xJ = 3- , estudiar ::.i las funciones: cos

.X

F1 (.r) =

-1

, cos-x

'

F2(X)

�on primitivas de ella. En caso afirmativo. compruébese que

= tg2X

F1(x) y F2(x) difieren en

una constante.

RESOLUCIÓN Pueslo que F't (x)

F 1 (x)

y

F)(x) son

=

2 -scn .r

cos3 x

F'2(x) = 2tg x ·

.

--- = -J

2 senx

,

cos- x

cos3 x

coinciden con la función

primitivas de f(x). Consecuentemente:

Asimismo. podrá escribirse:

f1

senx --

cos 3

x

1

d.>.: = -- + e cos2 x

también

f

2 senx 3 -

cos· x

/<:<).

tesulta que

dx = tg2 )( + e

Por otra parte. teniendo en cuenta que la diferencial de una futlción y = g(x) e . como sabemos.

dy = d[g(.r) 1

= ¡((x) tlx, diferenciando ( 1 ) se t1ene:

{f J

f(x) d.t = d[F(x)

e igualmente (dividienJo esta relación por dx):

d dx

,

+ eJ = F(r) dx = j(x) dx

(2)

.

f(x) dx = f(x)

{f }

Del mismo modo, integrando la función j'(x), resulta:

f(x) + e

Íf'(x)dt =

J

d[f(x) l

=

f

d[f(x)] = j(.r)

+e

(3)


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Métodos de integración

(2) y

De

(3J puede decirse que

d (operador

diferencial)

destruye el efecto producido por el otro). Nótese.

no

y

f

(operador integral ) son inversos (cada uno

obstante. que

una const;mte. por ejemplo, con j(x) = 3x� + scnx + k (x3, - cosx,

cuando se aplican en el

debe añadi se r Así

k),

se tendrá:

d

f T1 .2.

f + (3x2

senx -

d(3.>.·2 + senx + k) =

f

k)dr

=

kx prínúli vas

d(x3 - cosx + k..t + C}

<6x + cosx)dx = 1r2

t-

209

orden

f

(d)

respectivamente de 3x1, senx.

= (3.�2 + sen x + k ) dx

sen.Y + C { = 3x2

+

senx + k + C 1 ¡ •

INTEGRALES INMEDIATAS Apoyándonos en el conocimiento de las derivadas de las funciones simples más usuales y apli­ cando lo anteriormente expuesto, puede escribirse, por ejemplo: y

=ü:

l

dy = - dx �

y = sen x : dy

X

=

cosxdx�

I'

- dx = Llxl + C

X

f

cosxdx = senx + e

lo cual da Jugar a sencillas integrales (integrales inmediatas) que presentamos en la tabla adjun­ ta y que es imprescindible saber ele memoria. Previamente, para una mejor comprensión de esta tabla, haremos las siguientes puntualiza­ ciones: • •

De la integral ( 1 5) a la (20), la constante a deberá ser, evidentemente, no nula (a > O en los caso!-: 1 8 y 20). Como las funciones f1 (x) L"K, .f2(x.) L( - x.) admiten la misma derivada ( 1/x). se ten­ drá que las dos igualdades: =

f� •

=

dx = Lx + e (.\'" > 0)

�

X

dr

=

L( - x) + e (X

<

0)

son válidas. Consecuentemente, escribiendo la relación 3 de la tabla �Ulterior queda resuel­ to el problema pues las satisface a ambas. Hacemos hincapié en la existencia de infinitas primitivas. Compruébese, por ejemplo, que para las integrales 16, 1 8 y 20, también son válidas las siguientes relaciones: 16.

1 8.

IJ

du

., = L u +

a2 + u-

1

J a2 + 1r' 1 + e


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21 O

Cálculo integral y aplicaciones

20. f

du = L 1u + Ju-., - a-� 1 + e Ju- - c r "'

7

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

f kf(x) dx = k l.

J/(,r) dx

f k du = ku + e

f lf(x) + g(x)] dx = f.t(x) dx + f g(x) dx 11.

1 I sen -2-u du =

- cotg /l

2.

11m + 1 111 f 11 dll = --1 + 171 +

3.

f � c/11 = L!ul + e

1 3. f Ch u du = Sh u + e

4.

f e"du = e" + e

14.

11

5. f k" du = 6.

e

>

k" (k 0) + e Lk �

f sen 11 du =

os u + e

-e

7. feos 11 dll = sen u + e

9.

+e

1 2. f Sh u du = Ch u + e

f Th u du = L(Ch u) + e du

1

u

15. f 0z + 11 = arctcr - + e 1 n 16.

17.

f tg u du = - L jcos uj + e

18.

f cotg u du = L lsenul + e

19.

o

a

du u -"'7 = - Ara Th - + f -::2 2 a -u a

1

o

Cl

e.

u du f --;= == = are sen -a + e1 (_) ., Jcc - tr J

du f --;=:== = ==' Ja2 + u 2

=:

u g Sh - + e a

Ar

I Ja2 - u2 -

1 .,- du = tgu + e 1 0. f cos- u

20. f

w Las relaciones

ca�o.

du

- - are cos �

a

+e -

1

du u = AraCh - + e ? ? a Jtr - ao

17 y 19 hncen �latente la existencia de infinitas primitivas con aspectos diferentes. aunque cotilo 1t sabemos, todas difieren en una constante. Recuérdese. en este que arccos.t = 2 - are senx.


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Métodos de integración

letra u

Como se observa en la tabla, se ha utiüzado l a como variable de integración. Que­ remo. significar con ello, que en general, u representa cualqu ier función de x (en paJticu­ lar 11 = x = d.r). Para precisar este imporrantísimo concepto. supongamos que se nos pide resolver las integ ral es:

du

/1 =

con

I

6x

d.\· 2 3x + 4

.

- I1

6x

!., =

,

, dx

+ (3.r + 4 )-

No es djffcil darse cuenta de que estas integrales (enmascaradas) son la (3) y l a (15) u = 3x2 + 4 (du = 6x dx). Por consiguiente: 11 = L(3.¿. + 4) + C (pues 3x� + 4 > O)

Nótese asimismo que

T1 .3.

21 1

I

{

sen2 x · cos x dx =

I

} ,

/2 = arctg (3x2 + 4) + C

se n 3 x u2 · du = -- + C. 3

M ÉTODOS USUALES DE INTEGRACI Ó N Al no existir aquí, como en la derivación, reglas fijas de obtención de pri mitivas. el cálculo de éstas. o lo que es lo mismo. l a resol ución de una integral. se lleva a cabo mediante ciertos méto­ dos o artificios. De todos ellos. los más utilizados son los siguientes: J.

2.

3. 4.

Integración lntegración Integración lntegración

5.

Integración

inmediata por simple observación . por descomposición o transformación de la funcióo f(x). por partes. mediante cambios de vari abl e . por recurrenci a.

Integración inmediata por simple observación En principio. siempre debe intentarse mediante �encillas fórmulas obtener primitivas de un modo inmediato. Veamos algunas de dichas fórmulas, que de nuevo justifican la utilización de

la letra u en la tabla presentada:

I

u'. du =

I

.f"(x) -f'(x) dx =

Así por ejemp lo :

¡(r+ l l(x)

I I

t

+

1

+ e

.

,. i= - l .

sen6 x . 6 +e sen01 x · cosxdx = 3

(b:

� tg X

tg x · -,- = -- + e cos-x

4


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2 12

Cálculo integral y aplicacioMs

f rl 1 f (4x3 1 f .., f (}.? f -.-.1 dx

--:= ==== = = ==12 J 4x3 + 5

+

r+

.= J = dx = = � 2 + 6x

r ! . du J 11 =

.f(x)

f--:X2

5)- ¡¡_ . ,

(xL + 6x) -

1

1 2.'L-,

1 3

1

dr = 12

' (2x + 6)dx

( 4x3 + 5) 112

3

=-

4

1/2

+e

13

(x2 + 6xr' + e

f'(x) t:Lr = L IJ(x) j + e:

_ _ r_ +J dx = + 6x + 5 _ _

!_ 1· l 2

X2 + 6.\" + 5

(2r + 6) dx =

!_

2

L jx2 + 6x + 5 1 + e

Para concluir este apartado, se propone obtener los siguientes resuhados:

f ,,10+'2 . x2 f Jx1 -

f

2x.¡ dx =

+ 2) 3 + e

� Jn -

2x2)3 + e

(e-" + 2) 3e" dx =

f.

rcotg (x2)dx =

�j

(x3

dx =

f

3 du =

u

±

(ex + 2)-í. + e

L l senx2j + e

Integración por descomposición o transformación de la función f(x} Esta técnica se basa generalmente en aplicar la linealidad del operador integral. escribiendo:

cuando estas últimas integrales sean de más simple resolución que la dada. Así por ejemplo:

/1

=

. 2x� + 3x2 J x

+

4

dY =

f (2x2 + 3x + 4)�

2r" 3x2 = - + - + 4 L ix! + e 2. 3

dx =

f

2 x1 d.x + 3

f

.x

dx + 4

f�1

dx =


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213

Métodos de integración

-

1.,

=

13 =

I J + 2 d = I I 1

sen2xcos2x

dx =

.,

.,

sen-.rcos-x

cos 2x 3 dx

1

cos x x

2 =2(

sen 2 x + cos x l

dx =

x+

dx + -I I .,) dx

-?

cos- x

l sen 2.r 2

sen-x

+e=

1

¡

= tgx

-

cotgx + e

(2x + sen lt) + C

Es conveniente memorizar esta última relación pues aparece frecueutemente en los cálculos.

14 = f sen2 x dx

fs =

16

=

17

=

18 = =

=

J .,

f . f --.2,(1

eos x

COtg- x rfx =

I

f

J l 9

sen3 xdx=

-,x1

J.

- dx = r+ 1

cos2 r ) dx = f dx -

eu-x

dx = f

.,

1 - sen 2 x sen-x

(x2 + 1 ¡

-

2+ 1 x

1

5

S

(X -1- 4)8 -1- e

cos2 xdx =

1

¡

dx = - (cOtCTX e

sen x d..�; -

dx =

(..r - l )(x + 4) 7 dx = f [(x + 4)

(X -1- 4)9 -

I j' ( -

( 1 - cos - x) senx dx =

f

.,

I

I

(2x - sen 2x) + e -1-

X) -1- e

cos2 x (senxcú:) = - cosx+

1 -) cf.:t 2 x + l

5 ](x + 4)7 dx =

I

-

= :r

--

cos 3 x

3

+e

- arC(CT o X -1- e

(x + 4) 8 dx - 5

S

(x + 4)7 dx =

Integración por partes Previamente recordemos el siguiente concep to: Sean dos funciones u = u(x), v = v(x) que en un cierto intervalo admiten derivadas pri­ meras continuas. Habida cuenta (diferenciación) de que d(u · v) = 11 • dv + v · du, se tendrá u dv = d(uv) - v du. con l o cual. integrando esta última relación (operadores inversos en 1 . 1), resulta:

J u dv = uv - J v du

(4)

Este méwdo resultará eJicaz cuando se elija acertadamente u y dv. es decir, cuando l a des­ composición f(x) eL�; = u(x) · dv(x) se lleve a cabo de tal forma, que la integral del segundo miembro de (4) se a más simple que la integral propuesta del primer miembro.

Ejemplos 1.

Resolver las integr::tl es- 1 y

.1

definidas por:


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214

Cálculo Previamenle compruébense los <>iguientes resultados: f enxJx senxdx - cosx � f LJ..·d-.: = X = xLx - x integral y aplicaciones

X

{u

{u = x

L"<

dv = dx

-+

du = dx

}

d.r}

du =

du =

v=x

v=

= -.u:OSX + 'lenx + e +e

RESOLUCIÓN

J

u {

= L(x2 + 1 ) ! 31

dv =

1.3)

./ = xL(x2 + 1 )

. :r:'f_,x d.x J

+ 1

=

1

1

2

}

1) + e

= xL(r +

1 resulta: - --,

= l

- f (l - : 2

(x-

+ 1

v=x

---

e"

2.x

=

->

dx y como (véase integral 11 en x2x2 2.

- 2 'du x?-- dx ,

:;.

x2 + 1

) x x2 dx = xL(x2 + 1 ) - 2( -

1

Compruébense los sigujentes resultados; '

-

=

sen x fx � are

f

....; •

.

e

x3

9 (3L�tl - 1 )

+e

J1

- x-�

dx = x -

(por partes:

--

(!11-<COS (/IIX)d.du = e""1

=

a-

arcsenx

e''·'

u

+e

= Lx)

+e

+ m- (msen(mX) 1

arctgx)

+ UCO

Pl Elección evidente, pues integrando por panes no se puede hacer Olrtl cosa. itllcgml J Lu/x,

(11/X))

+ C

Lo mismo sucedió anteriormente con la


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de integración

215

Integración mediante cambios de variable Dada x

la integral f .f(x) e t

s e utilísimo método

dx.

dé l g

siste en realizar

la función .f(x), que u ar a una in e ral más La vRlidez del proceso. que expresaremos escrib ie o:

= x(f)

en

.f f(x) {x = .x( t) } f dx. l C'X = X ( t) dt '

eso ver que l a propuesta.

r

J[x(t) ]x'(t) dt

=

funciconti ón f(x) nua en unenle nua en el nconespondi

está asegurada, cuando l a f n i n x(t) deriv ada

más la u c ó

t:ambio de v�u-iable

con un t g nd simple de l

=f

(5)

g(l) dt

cierto intervalo [a, b], a mit i endo

es co t i

d

intervalo fe. d].

ade­

Ejemplos 1.

fe1'-<

Resolver mediante u n cambio d e variable adecuado, las iJltegrales (ya obtenidas e n

/=

RESOLUCIÓN Haciendo en

/, x =

I

sen5 xcosxd..l'

,

J=

J J4x3

xl d.'<

dx

•,

H=

,

L3) siguientes:

x

!- S

.r(l) = are sen r (sen x = r), escribiremos: /{sen.\' =

[ -+

cosxdx

Efectuemos en J el c<unbio 4.x3 +

.f�4x3 + 5 = 1-,

{

H ett.< =

t

:

=

dt

= 6 ¡(> + e =

1

sen6 x

-

6

5 = P (también 4.� + 5 = t):

I } ( dt-¡ I ) l

12

Lr

.

��

1 2'<-, dx = 2r c/fl = -

_.

(� """ ) 1

t f

=d

-+

-

dx

= -¡ = c/1

21 d1 1

,

1

6

6

-- = - + e = -

-

1

=

+ e

�_ v 4x3 + 5 + e

+ e = - e 11·'

-C

A pesar de la facilidad de estos cálculos, las integrales de los tipos anteriores siempre serán resueltas utilizando los razonamientos de

1.3.

es decir, las consideraremos ��integrales inmediatas» (como todas

aquellas análogas a las resueltas en dicho apartado).

• 2.

f

Mediante camhio� de variable, resolver las integrales (inmediatas):

1=

RESOLUCIÓN

I

v 2r + 3 dx �

,

J=

sen x -

co:,x

dx

2 2t dfl f dt

/{2r + 3 = ¡ - ( también L). dx = ->

::;en x + cosx

=

'

r

,

13

H f =

1

= - + e = - (2\

3

r::-:_

sec�x v tg x dx

3

3 '

+ 3) 1- + e


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216

Cálculo i ntegral y aplicaciohes

fd! } f

/ = Lt + e = Ltseox - cosx) +

J:senx - cos x = t, dt = (cosx + senx) d.r} =

H

{

Resuélvanse

]

,- dx = sec 2 x dx tgx = t, llt = -

wmbién

al

f

cos-

/=

2

3/2

3

11'� d, = - + C = - tg312 x 4- C

=

modo 1.3 sin realizar cambios de variable.

Mediante cambios de variable,

3.

x

¡JI].

e

xdx -\A

.

+ 1

f

resolVer las integrales: ·1 =

'

r1x

H=

x2 + 2,.1· + 2

J

J4 - x2 dx

RESOLUCIÓN

11 e = ?

J{.\"2 +

2 J 12 1

' '

t 2-r dx = dt} = -

2.x + 2 = (X + ] )2 +

=

4.

4

J cos21dr(/3 en

Haciendo cambios que los

�<e indican.

+ 1

j

x1 + e = - arcto ( + e = - arcto °

2

2

e

f clx l f j4( sen2 la

JI = '

Hix = 2 sen 1 (destruye

1

Jt

--

1X +

1 + (x + 1 )l '

raí2.)l =

1

= 111

-

= arctg (.\'

J }. + C

t) (2cos 1 tlt) =

1 .3). No desharemos el cambio(.!)

resolver las integrales: ,

J=

f

dx

X�

{

1

x = --

RESOLUCIÓN previamente loscuadrada cambios oseñalados, que (o con en JustiCuando fiquemosaparece uua raíz mediante cambios con funciones trigonomélricas<5>. En la� 1

COS/

=

sec } t

serán estudiados

1.5: tLi2 + bx + e), pued integrales y f haremos:

c n radicando axl + b

.

3

-(1 -

4

e destruirse ésta

.

sen2t) = .yh

3cost a

1"1 Cuando como en este casú, d�hilCo::r el cambio resulta muy dificultoso, pre.�rindirenlC•S de resolvt:r integrales definidas, y en elllts, no es impro::scindible).

r f t.:OS'

151 Si hubiera aparecido

iutl!g al

J3 + 4x2 (11 > O. IJ > 0¡.

dt 1 que re.�ulta, se resuelve en 1 .5. 1

la raíz

2

J3

e tlestruye haciendo x = - tgt->

b cerlo

(nuestro fiiJ

COS/

e�

J3 La J3 + 4x2 = --.


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Métodos de integración

{ cos--t ,

sen1/} = -s-t f cos 1 (.,:/ cos 1 d1) � f cos! 1dt { -scosen� dt} f cos -sceons ( - ) = ídt = t + e = arcsec(x) + e Líltima suele aparecer en tablas de integrales inmediatas. � 1 x=

y .J.. -

y en consecuencia:

1

�x- -

l = fi

./

Esta

dx =

1

,

=

t

1

l

cn t

1 = ,

cos- t

=

217

cos

tconocida)

sen 1 dt

,-

o� t

r

c

integral

Integración por recurrencia Reciben el nombre de fórmulas de reducción o recurrencia, aquellas, que pem1iten el cálculo de una integral cuando a parti r de ella, se obtiene ( general mente integrando por pa1tes) otra inte­ gral ele igual tipo que la propuesta, pero más reducida o simple.

Ejemplos

a fórmula u i

Hallando u n

1.

de

RESOLUCIÓN y

1,,

rcc

rrenc

dx

=

f L"xdx. obténgase t.,. dx

�=� v=x /, = xLnx- ni,. _

·

1

para 11

= 3:

=

/3

2.

para 1,,

{u= L''x -.du = tlL"- 1(x)-; } =xL"x - n ÍL"-1xdx

Apliquemos, por t<mto, puesto que /0 f x. resulta: =

a

Integrando por partes,

= f L3xdx =x((}x-3L2x

compruébense las i ie t s

+ 6Lt - 6) + C

gu n es fórmulas de reducción:


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218

Cálculo integral y aplicaciones

f cos"xdx= � [�.:os"- 1x · senx + (n f = � sen·•- 1x -cosx + =

1,, = 1,. 1,

=

J.

[-

seo" x dx

tg"-1

l

-. rg".rdx = 11 - l

1 --

dx

1 )"

(211

_

Z)(x2

e)

111 _

1 1 1,_

Consideremos las integrales: "

b)

(11 -

11

r

1 -

a)

�·

J' sen"'x·cos"xdx = + [sen"'T1x·cos"-1 x + l) f = 2n - 3 (véase ejemplo que sigue). + = 1 2 (xl + /11

3.

(11 - 1 )/,_

x

/(m, n) =

1 .,

l )/11_2].

11

f dx + (x2

· l(m, n - 2)).

1, _ 1

1 )"

Mediante un cttmbio de variable adecuado, transformar en Calcúlense e obLeniendo previamente una ley de recurrcncia relacione con Deshaciendo el cambio, hállese la expresión la integral /,.

./11

/2

13

!3

que

de

J 2•

1a ·

RESOLUCIÓN a)

Haciendo 11 + a2 = [(';) ]{; a1

"

+ 1

= x. tf¡ =

ndx} se tiene: (6)

b)

Obtengamos pues esta última imegraJ para 1.,

{tt

=x

11

du

=

d.r

(inmediata) = Consecuentemente. la relación peclida viene dada por: = arctg H

dl'

=

,

X

3

(r + 1 )

->

dx

l3

1

11

x+

para n = 2

= 3 (l.l) y

-4 -

,

X

,

J

<x- + 1 ) 2

-

12

}

4 4(x- + 1 ) - �

(/2):

X = - 4(xl

+

1 )2

+ -4 12 [


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219

Métodos de integración

Calculemos finalmente

{u

L

de donde

12:

=x

dv =

X

dx (.r + 1 ) 2

= d,x

du

--

t.' = - - 2 2x + 1 l

l

(11 = arctg x - L), resulta: 1.1 = f3

=

}

= -

X •

2(x- + l )

1 + - arcto + e 2

e

X

1

f dx+ -1 (arctoX + .\"2-)+ +1 1[ 21: 3x + 2 + � I (.e + 1) J+C (.\'2 -,

1i

dx

3

=

=

x

.,

2

3 <lrctg X

8

e

(7)

-2 +-J x

(x + 1)-

(compfuébese este resultado aplicando la última relación 13 = /(11) del Ejemplo 2). Deshaciendo ahora el cam bio (x =

tja, a > 0), se tiene la siguiente integral ./2 (más general que !-¿ ) que

aparece con grao frecuencia en los cálculos:

(8) •

T1.4.

INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES Como sabemos, la función f(x) =

p(x) q(x)

cociente de dos polinomios, recibe el nombre de función

racionaL La correspondiente integral:

f dx f p-(.x) dx q(x) p(x) k· q'(x). fp(x) f -q'-(x) kL!q(x)l q(x q x) q(x), .f(x)

=

se denomina asimismo, integral racional. La integral más simple de este tipo se tiene cuando integral inmediata:

)

dx

=

k

(

dx =

=

(()) lo cual da lugar 1 .3) a l a

(

+ C

En los restantes casos para resolver la integral (9), lo primero que se debe hacer, si e l grado del polinomio es mayor que e l del polinomio es efectuar la división de ambos, Jo cual

p(x)


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Cálculo integral y aplicaciones

da lug�u· a una ata)nador. más otrAsía racional numerador menorintegral que elpolinómica polinomi(inmedi o denomi por j mpcono el grado del polinomio Íx5 +. 9x3 +3 5x2 + 17x + 12 dx = f - 1 ) dx + f6x34 + 5x2 + + 12 dx x + + + 4x , x4 + x + + 4x el grado el grado de q(x), los pasosSuponiendo, que deben pues, darseenparala ilnetegral var a (9)buenqueténni no su deresolp(x)uciesón,menor son losquesiguientes: hallabnlels).as Para raíces del denominador q(x) = que q(x)seesdescompone q(x)deennoveno ractore,gradosim­ plquees vi(iSerereduci un polinomio ne expresado por: del

f=

ee

4x-

central' ideas, supongamos

:

2 l x.

(x

1

l

.

_,y3

4x-

0161• y

y

q(x) = (x - a)(x - + + p2 2 +x2px clecü·restante. , que la" s(véase raícesnota de q(x) =por (,.son = a+(simple), xraíces = (triple) imestando deficonjugadas nidas las cuatro (6)) " q)1 (dos agi n a1 i as dobles). 'f) 2

2px

bf'(x2

b

O,

es

q <O

,

y

a ± bi

Bn el caso de la inregral de nuestro ejemplo, se tiene fácilmente: q(.J.") = x(x3 + x2 + 4.r + 4) x(x + l)(x2 + 4) (simples) La función racional j(x) se de�o>compone (descomposición única) en la forma: j(x) = I'J(x) = A + B + B2 + B3 + Mx + N + Px + Q 1

=

_

__

1

_ _

b)2

---: : "7

q(x) x - a x - (x x2 + 2px + q (x2 + 2px + q)'obteniénuestro ndose Lasejempl constantes A. B . ., Q por método de los o, haríamos: 6.,·3 + 5x2 + 21x + 12 =-+ A 8 + --M.� + N x(x + l)(x2 + x x-+ 1 +4 h

J,

En

(x - b)3

B , 2

coeficientes indetenninados.

el

x2

------

4)

multiplicando los dos miembros por el m.c.m. e identificando: 6x3 + 5x2 + 2lx + 12 = A(x + l)(x2 + 4) + Bx(x2 + 4) + (Mx + N)x(x + 1) = = (A + 8 + M).r3 + (A + M+ N)x2 + (4A + 48 + N)x + 4A ele donde: A+B+M=6 8 + Mx + N =-+ --. + -x+ l A + M + N = S A-+ --

}

3

4A + 4B + N = 4A = 12 21

2

X X + 1 X2 + 4 X X + 1 .t2 + 4

\C·I T�1 da ecuación

polinómica q(.\) = O (polinomio de grado n con coeficientes reales) tiene, en el cuerpo de los núme­ Asimismo, ·y como las raíces imaginarias cuando aparecen, aparecen a pares (o: = n + hi, - bt), podremo� escribir:

ros complejo;;;,

fl = a

n

raíces.

{1)

e

J..J.

+ 2¡1.�

+

q(¡l

-

lJ

<

0}

A,

,

--

X - 'X

A2

+ -- = x

-

{J

(A, + A,J.r + N (x

-

.:<Hx - {J)

Mx + N

;: -=-

x2 +

2px + IJ


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Métodos de integración

Consecuentemente, sólo aparecen los dos si guientes tipos de integrales:

I A a)'" dx I (x2 + + A · I (x - a)-mdx (x - a) - rn+ M.x + N

---= -

_ _ _ _

(x

la primera de las cuales

f

Cálculo de la integral

x2 + 2px + (x2 + + a)

q)"

2px

-

=A·

(x- + 2px + M:x + N

,

t¡)"

1

dx

+ C, es inmediata.

-¡n + 1 ?

dx (¡r - q < 0):

Con sencillas operaciones se coloca en su numerador la derivada (2x q. o sea:

Mx + N

------

q)"

2px

-

(x2 2p.Y

k 1 (2'" + 2p) + k , - = k, + q)" +

2x+ 2p (x- 2px ,

+ q)"

+

+

(x2 2px

(x2 +

s1 11

b)

2p 2px

2x +

=

+ q )"

dx{n

I + 2px +

=F 1 } =

(r

q) - 1'(2x + 2p) dx. =

(x2 +

,

1 , el resultado evidentemente es L(x1 + 2px + q) +

_

Unicamente resta calcular J =

f

!.px 2px

f

J=

(r +

{(x + p)�

2px

+ q)"

+

t¡) " + t

- 11 + 1

+e

C.

+ q)"

mediante un cuadrado perfel:ro, es decir:

dx , lx + p ,

de

---: , : -

Para ello, «absorberemos» el Lénnino

y escribiremos:

dx

+ 2p)

k..,-

+

lo que da lugar a dos i ntegrales. la primera de las cuales inmediata. pues:

I

221

+ nrJ''

=

x dtl I dt

1, d =

=

( 12

+

m2)1'

con lo que la resolución puede darse por finalizada pues esta última integral ya ha �itlo estudia­ da (véanse las fórmulas (6) y (7)). En nuestro ejem pl o:

f(3 2

)

2Lix + + I x + J dx. "" x + + f -f f cLt {x- [(x)2 + ]} .-, +-dx x 4 2 X] l 2 [ x1=

x

-

+ 1

+

--

1 =-

=

1

l

x+ l

.., - dx = 3L!xl + +-

2r dx , -+

x- + 4

L(

?

Il

4

.t�

.r- + 4 ? -

+ 4) + urctg

.,

+4=4

+ C

7 -

x- + 4

-

2

1

=


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222

Cálculo integral y aplicaciones Llegados a este punto final, sería conveniente ahora obtener, y basta memorizar, la primera de las siguientes relaciones =

(q -p2 m2): f Mx + N dx M L(xz ?.px + q) N - Mp (x + p) + e m m + 2px + q 2 (10) M :c + N N - Mp ( x + p x+p) + e + I (x- +M.2px m 2mx+ 2px 2 x+ lpx + q + q)1

7

,

dx =

-

arctg

+

+

=-

x-

--

l

-

7

7

7

+

+ q

'1

m

arctg

--

Nótese que las primilivas de toda función racional, son funciones racionales. logaritmos ne­ perianos y arcos tangentes.

Ejemplos 1.

Resolver las in1egrale� 1 y 1 definidas por:

a)

1=

RESOLUCIÓN a)

1=

f (x

-

2+

1

+ 2.1

5 2r ._ 2.1·

)2

x2 + 2.r + S d.r

=

=

fx3

r

l

+

2+

=

2.x

1=

fx5 ,

X"

-

.t.4 + 4x3 - 4x2 + 8x - 4 dx (x2 + 2) 3

2.x

+ 2.t + (p1

= O no tiene raíces reales

r +5

de donue:

J=

b)

,

dx = .

+

2b.r + e = klf2(x) ... 1 ] •

d.t

) - 2Y f + 5 +5 2 5 5 1 1 + 4 4 [(': ) 1 J 2

X

.r� + 2r + 5 = (.r +

+ Jx - 5

x- + 5 ,

x2 + 2x +

Como

1 a.r

fx3

=

12

-

5

=

-

4 < O)

y

puesto

que

(siempre es m<ís aconsejable realizar la transfmmación

fuera de la integral). se tiene:

f x.l.

(2x ..L

1x + 5

2) + 3

+ 2x + 5

L(x2 +

+ 3x - 5

x2 ....

dx.

2r

+

d.x

5>+

x2 - 4x d.x = --2

,

= L(x-

+ 5) + f 4[e: 1 ) 1 J 2x

¡ · 2 arctg 3

3 d.r

T

(X + [) 2

2

+C

+ + + 5) +-3 ( + 1) L(,.r2

2x

/3

=

+

2

arctg

x

--

2

+

C

b) Cuando existan raíces complejas con grado de multipli<:iuud mayor que uno (en el caso J el grado evidentemente es tres), deberá llegarse a las integrales 12 o de {7) que ya están resueltas.


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223

Métodos de íntegración x5

x

-

x-l-+ 4

..r 3 -

+

(_y2

- x4 + 4x3 - 4x2 +

4x2 2) 3

+ 8,r - 4 Q)(x2

N)(x2 + 2)2 + (Px + + 2) +Sr+ T = (4N .,.. C4M 4. 2P + S)x (4N + 2Q + = M.r5 + Nx-l- (4M =O. S= 4, T = (M = 1 , N = - 1, P f j' 4x dx = -L<x 1 2 1 1 + ,+e J = - - dr + x- + 2 (x2 + 2)3 2 fi (x2 + fi

5

8x - 4 = (Mx +

resolviendo se tiene .t

=

-

Q)x2

..- P)x3 +

+

Q

0) y en consecuencia:

1

2) -

.,

2.

T)

-r

-

arctg

x

-

2)-

Se propone para finalizar esta sección, comprobar los siguientes resultados:

= f (x- x2 + 1 1 = -31 x-, + x + 1 + 9/3 = fx1 4x- 3x +1 clx = 2L�r2 3x + + L 12x f J Sx2 +� 3x cLr =-L�Y + 1 1 + - H3 = x 2.x- 2x + 1 5 5 H1

,

-

H2

-

En la resolución de

x

2 cLr )

1- x -+

- 1

8

'-

ll

-

l

-

+2

4

arctg

fs

YJ 9

2x + 1

J3

--

-

3-

+e

Jsl + C

2x - 3 + J5

H,

H3 es aconsejable aplicar el siguiente concepto:

ct? + bx +3x

Cuando dos rafees del denominador, aunque reales. sean complicadas (sucede así en válido operar como si fuesen complejas (evidentemente podremos no descomponer no interese hacerlo) pues si

a

y

b son dos raíces reales. se tiene como ya se ha visto:

11 -B (A + B)x + N MT + N --+ x = + 2px + q = x- + ?.px + q

x

-a

-h

x1 -

,

.,

x-

(se verifique o no

p2 - q <

<:

-1

1 ) es

cuando

0)

En nuestro caso. podría razon;u·sc, escribiendo:

8x1 + 3x - 1 A lvlx + N --:--:----::----= + - 3x + 1 x3 - 2xl - 2.r -r 1 x+ 1 --

x2

-

=

4 A=5

36 A1 = 5

9 N = -5

Resolución de integrales racionales por el método de Hermite La resolución de la i ntegral (9), pudie ra resultar bastante laboriosa cuando el denominador q(x) tenga raíces múlliples (especial mente sj son complejas). En estos casos es aconsejable apli c.:m· el l l amado método de Hermile. Consideremos pues la integral (9). siendo e l grado de p(x) menor que el de q(xl. Suponga­ mos, como ya se h jzo para fijar ideas . que:

I= I p(-;¡;) cb:: q(x)


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224

Cálculo integral y aplicaciones

en estas condiciones, el método de Herm.ite se basa en la siguiente relación: 1=

Íptr)

· dx =

q(x)

h(x)

+

(x - b)2(x1 + 2px + q)

f (-A 8 + -x-a

x-b

+

Mx + N x2

+

)

2px + q

cLr

( 1 1)

a) f es suma de una función racional (ya integrada) más otra integral racional J cuya composi­ ción es evidente: los denominadores son todas las raíces de q(x) rebajados sus grados de multi­ plicidad hasta la unidad.

p

b) El denominador (x - b)2(x2 + 2 x + q) del p1imer sumando, es lo que resta de q(x) al re­ baja.!" el grado de todos sus factores o na unidad m. Finalmente, h(x) es un polinomio desconocido de grado una unidad menor que el citado de­ nonú.nador (ax3 + bx2 + ex + en este caso particular). El cálculo de la integral 1 pasa por Ja determinación de los coeficientes, Jo cual se lleva a cabo derivando ( 1 1 ) e identificando. Con ello:

d

di

dx

=

p(x) q(x)

=

d[

J

h(x)

che (.x - b)2(x2 + 2px + q)

Ejemplo

con lo que derivando

e

x-b

+

r

Mx + N

x.l + 2px + q

(

+ x + l )2

a

sultado dado para la i n egr l anteriormente propuesta:

re

l

d.x

(r + x +

dx =

b

ax

2 +

-t·

Mx + N

+

+ l

dx

l

x

x

1 ) - (2x + l)(a.x + b)

...,

(x + x + l )

dx

+

,

-

-

= -ax2 -

y por consiguiente (a

B

identificando, se tiene:

di

,t2 + l

1

el

X2

1=

!=

+

+ 1)2 J + x � + x J 2+ + J x2 a(,x2 +x+ Mx+N {M=O 2bx

Aplicando el método ele Hernüte compruébese

RESOLUCIÓN

A +x - a

+ a - b + (Mx + N)(x2 + x +

J)

= l/3, b = 2/3. M = O, N = 4/3): l

[=3

x2

x+2 +x+ l

4

+3

J

dx.

x2 + x

=

+

1

m Este polinomio denominador es el m.c.d. de q(x) y q'(x) (e¡' derív:¡da de q).

.,

x-

+x + l

.

-a + M + N = ! -2b + M + N = O a b+N=I


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Métodos de integración

como x2 +x+ 1. ( resulta: = 31 x2 x x 1

x +-l /2) 2 1 J - 3 [(2x + l )2 , 1 J 1 )2 3 3 [(2 4 4 .fi/2 4 j3

x+ -

=

+

+

--

+

--

T

s /3 + -34 · -34 f (-x2 + l )1 = -3 x2 x + 1 +�arctg--+ /3

+2

-

+-=-

2r + J

+

+ 1

fi

x+2

1

dx

J

225

9

e

'\1

Ejemplo propuesto = x5 � 4,� + 8x3 � 8x2 + 4x compruébese p r Hermite s

Sabi endo que c¡(x) rias conjugadas, 1

=

J=

T1.5.

=O sólesoresultienetados: una rafz reuJ dobles las raíces imagina­ lo siguient f dx [ x2 + 4 r g + 1 >] q(x) 8 f (x2 -1 c12)2 1 (-1 Llx 1 --) + C

=

o

-

J

y

2r

L

x1 + 2x + 2

+

dx = 2a2

2a

a

.x- + 2r ..1. 2 a

x- a

--

ct

e

(.-r

x --

x2 - a 1

TRANSFORMACI Ó N DE DIVERSOS TIPOS DE INTEGRALES EN INTEGRALES RACIONALES

n ,

Puesto que ahora estamos en condiciones de resolver toda clase ele integrales racio al es ha lle­ gado el momento de tratar con otras integrales, muy comunes en los cálculos, que mediante <.;ambios concretos ele variable se transforman en j ntegral es racionales y consecuentemen te fácil­ mente resolubles. En l o que sigue aparecerá con frecuencia para representar a una función ra­ cional (cociente) de cualesquiera variables. AM por ejemplo:

la notación R,

+ R e x, R(x) = ---­ x+6 .�·2 - 3x

4

(s n

cosx) =

2x + 3 ----­ +3 sen

sen x

cosx

Integración de las funciones R(sen x, cos x)

En principio, todas estas i ntegral es que reciben el nombre de integrales lrigonométricas, se transforman en racionales (cociente de polinomios) medjante el cambio general tg = r. rg ::_ = Compruébese previamente que

(

2

sen x ).

<x/2)

1 + cosx

=

Operando con este cmnbio y habida cuenta {entre otras relaciones) de que. por ejemplo: COS X = COS

(.x- x) . 2(x/2) 2

+-

2

=

cos

-

sen 2(x/2) cos-(x/2)

., sen2(x/2) +

1

- ., = --

1 +

tg2(x/2)

tg-(x/2)

1 - r2

1 +

,

r


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226

Calculo

integral

y aplicaciones

pueden obtenerse los siguientes resultados: x

eox

02 j +

ro -

sen x =

=

2t

COS X

--+1

cosx =

2

1

= t -+ dx =

2

+ dt

--1

f

1 - ¡2

--1 + (2

1

to e·..: =

( 1 2)

2t

--­11 l -

Ejemplo

Re¡;oJver las integrales trigonométricas: 1=

RESOLUCIÓN

. senx-1 tgx J

dx

f l senx-1 cosx

.! =

-r

dx

,

sen1x H= f cos3 x

x

-- d

Haciendo en todas el cambio ( 12) aconsejado, escribiremos; l dt ---, = -1+ - /4 sen x - tgx 2 r3 21 , l - -, + 2r ..... ---tú dt -: +senx - cosx= + -1 + +r J + sen r+/ 1 : senx - tgx=

.!

2t

,

2r

1

¡-

J

1

r-

l

r

-

1

y en consecuencia:

4t3

12

dx

-t

=

2.r1

12

f --di

- t"-

l = --

J ·f·

X

f

-

COS X

12

(l Re::tlizadasabemos transformaci ón,cualdebeiquiÍeamos conclracional uir aquí. con la explicación de este ya que ::.u­ pue�tamentc resol v er r i n tegral Enconveni este caso, siutinliembargo, la LTansfom1ada elseoHtransformaci es una integralonesracicomoonalseguidamente muy engorrosa.veremos. Po1· ello, será másCon e nte z ar otros métodos. cambi o relación a J� integrul (la inmediata), se tiene: l A -B - lA = 1, 1: : f (l -1 ) = +1 +1 +1 1 en 1 sen x x } 1 s x { a t L 1 l1 + 1 "' 2 l + cosx l +sen.r + cos.r + C '

.! =

l(f +

'

()

H= 8

, 3

¡-)

la

ejemplo,

J

-- = - + t(t

dr

)

r

=L

1 es

8= -

r

+C r=

=

J=

-

r

-

r

- dt

Lit! - Lit

+

11 + C =

=


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Métodos de integración

227

Aunque el cambio general ( J 2) transforma toda función R (sen x, cosx) en un cocjeme de polinomios, no obstante, en muchos casos particulares otros cambios diferentes hacen más sim­ ple la integración. Veamos éstos:

(1)

Cuando R ( - sen x, - cosx) = R (sen x, cosx) (R es par en seno y coseno), resulta más conveniente el cambio tgx = t. Con él:

dt to x = t - dx = -- : sen x = e 1 +

12

(

j1+ti

= = =

1 cos x = -= = =

j1+ti

( 1 3)

Debe hacerse además, en este caso, una nueva puntualización, lo cual llevaremos a cabo mediante el siguiente ejemplo: Supongamos las funciones racionale : R

sen� x = --

1

cos4 x

Efectuando en ellas el cambio ( 13) pues son pares en seno y coseno, resulta: de R 1 • dx = tg4 x dx = t4 --1 + �� que es inmediata po1· división, dando lugar a:

R� - · dx =

t4 2. ?

( 1 + t )-

1 dt t<l , 4 (laboriosísima) = --- · -, 1 + r 2 1 + r( 1 + r-)

Por consig�tiente, cuando R sea par en seno y coseno; y además, la integral preseme la forma:

f

sen'" x cos" x

es preferible rebajar los exponentes m y

1"1

1 - cos 2.x sen2 x = ---2 En 1 =

J

n

clx

(111 y n pares)

aplicando las conocidas relaciones:

1 + cos2x cos2x = ---2

1g".\ dx (11 par o no) es aún m!is �imple lí<�Cer tg" x = tg"-2(x) ·

sen 2.x sen .rcosx = --

2

1

C()S2X

cos� x

. En

nuestro caso se tendrín:


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228

Cálculo Integral y aplicaciones Compruébese mediante estas fórmulas que una runción pJimitiva de R2 es: 1

3

( 1 2x - 3 sen4x - 4 sen 3 2x)

1 92

4 sen 2x

=

3 sen 2� - sen

(11)

C\x

Cuando R es impar en seno (coseno) suele ser efectivo el cambio cos.r = 1 (sen x = t). Es­ quemáticamente: R(

senx. cosx)

=

- R (senx. cosx) (impar en seno) � co:> x = 1

R(senx, - cosx) = - R (senx. cosx) (impar en coseno) 4

senx = r

}

( 1 4)

Ejemplos 1.

Obtener

lüs integrales

trigonométricas:

RESOLUCIÓN Ambas

son

impares en coseno. En la segunda se

R (senx, - cos.r) =

tiene:

1

( l + sen.Y) ( - cu:-.x)

= -

1

(1

+ senx)cosx

= - R (senx, cnsx)

Como en J. �

1 1 + senx) cosx

( 1 + 1)( 1 - ! 1 )

( 1 + n · cos1.t

(1

- 1)(1

+ 1)1

con raíces reales 1 = 1 y 1 = - 1 (doble¡, escribiremos: l

(1

2

---=- =

1) ( 1 + 1)

-

f[

B

A

e

-- + -- + 1 1 l +t ( 1 + 1 l2

identificación que du lugar al resultado (A, R, Cl = 1

./ = 4

y por consiguielllc:

l

l

-- + -- +

1

1

1 +1

(1

? -

+

T)1

J

1

=

( 1/4.

dt =

1 4

[

=

A ( l + 2r + t2) + /3(1 - 12 ) + e(l - 1)

lf4. 1/2).

Con

- L!l - ti

+

ello:

'1 J

Lll + 11 - -

1 +(

+ e


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Métodos de integración 2.

Calcular las integrales lrigonométricas:

1=

f --.,-

cos3 x sen- x

dx

J=

J-1-3-

cos· x

229

dx

RESOLUCIÓN La primera integral se calcula inmediatamente haciendo el cambio aconsejado (por ser impar en coseno) senx = t. También puede resolverse mediante descomposición. como muchas otras inegrales t trigonomé­ tricas. Con dicha descomposición se tiene:

1=

f (1

sen 2 x) cos x dx , sen- x

f

=

f

sen-2 x(cosxdx) -

cosxdx = -

-l

senx

- senx

Tratemos ahora con las no tan simples integrales .l y H (véase el primer ejemplo de

J=

f

dx

3

COS X

·isenx

= 1, cosxdx = d1} =

f 1 (1

2 - 12)

+C

1.5):

di

Al resultar una integral relativamente laboriosa (�jemplo propuesto en 1.4), conviene hacer transforma­ ciones para. si es factible, simplificar el problema. Hechas estas transformaciones, parece que en este caso no se h a conseguido nada (compruébese pues siempre existen otros caminos), aunque muy probablemente a quien lo haya intentado, le habrá surgido la relación:

J=

f

sen 2 x + cos2 x cos3 x .

dx = H +

obtengamos esta última integral que parece muy sencilla:

f-dx

COS X

jsen X

= t) =

f

dt 1 --, = ) - ¡- 2

dJ

di

consecuentemente:

f -J

, , dt

(1

r-)-

(1

- 12 ) 2

l

--

cosx

(L

f (-- --1 ) - L 11--il

solo resta resolver J o H (expresión similar a la de ejemplo). Calculemos J aplicando el método de 1-lermite:

J=

j' r

l

] +f

+

J aunque

=

[ -1

dt =

2

+

) -t

+e

menos engorrosa que la surgida en el citado

--- f ---,at + b ,+ 1 r

l

Mt + N dt 1 - r-

at2 + 2bT + a MI + N ,... , , ....,. + --, ( 1 - r)1 -r

{

M=O b=O (/ = 1/2 N = 1/2


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230

Cálculo integral y aplicaciones ,

,

1

J = - -- + 1 1 - r2

2

I

di

--, J -r

1

(obtenida) = -

,

-�

2 1 - r-

de donde se tienen los siguientes resulwdos:

1

J=-

4

[

2senx

-eos2 x

L (1 + )] senx

+

1 - sen x

{dx

[

1

+ C

'

4 ¡� 'l

l + + - L -- + C 1 - 1

2senx

--L

H=-

cos 2 x

4

}

(

)1

l

+ senx

1

- sen x

-

+ C

Veamos ahora. integrando por partes, otra forma de calcular J o H:

H=

I

sen1 x

-3

cos x

u = senx

du = cosxdx

sen x dx dv = --cos3 x

_

1

v

l

.,= -- -

2 cos-x

senx

1

2cos x

2

--2 --

=

resultado que no precisa mús coment¡u·io (repítase con .n. Finalmente se pmpone comprobar la siguiente transformación:

.1 =

(111)

I

senx - dx (inmediata) + cos3 x

I

dx l l + senx)cosx

I

dx

--

cosx

(ejemplo anterior)

Cuando la función R (sen x, eos x) a integrar sea de los tipos: sen (ax + b) cos (ex + d)

sen (ax + b) sen (ex + el)

,

cos (ax + b) cos (a + d)

podrá resolvetsc la imegral conespondicnte, aplicando las conocidas relaciones: sen (o: + /3) = sen oc oos f3 + cos rx sen

sen (<X -

as i mi smo:

(3)

(1}

= sen ct cos fi - cos ct sen f3

sen a sen f3 =

cos (o:

sen o: eos (3 =

- J f) - cos (a + /3) ---'---'---''--'-

-

·

_ __:_ cos (<X

-

2

/3) + cos (<X + /3) 2

Ejemplos 1.

C�dcu lar las integrales trigonométricas 1 y J definjdas por:

1=

RESOLUCION Aplicando ( 1 5 )

{x

fJ

I

sen (3x + 4)cos(x + 2¡d.�

= 3x + 4 =x+2

<:.< + fJ = 4x +

6}

a - {:1 = 2x + 2

.

resulta:

J=

f

{J)

_ _ _ _ _ _

cos (X cos f3 =

2

.:...._ :....:.

sen (ct + fJ) + sen (rt -

2

cos(3x

../ 1

+

4)

+ tg (x +

2.)

dx

( 15)


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1= =

Con relnci ón

f

Métodos de integración

J

8

1 1 + rg2 et = �., cos

cos(3x

de donde: J=

=

2.

J 1

R

C05 (3x T 4) COS (X+ 2)

-

1

-- tlx = sen2r

f

f

cos3 x 3- dx = sen x

�· tlx = tg x

.

1

,

J

)sen3 xcosx

1

ll + >en x)3

( 1 + sen.r)1 1(cosxdx) =

f

1 - sen 2 x sen3 x

1

dx = -

2

j' 1

3 12

feos� x tgx

1

dx = - Lltgxl l

3

)1

} f

+ sen3 x +

C.

+ l.

C.

3 seo 4x + 2sen 6xJ + C.

sen3 x - cos4.r = sen3xcosx = cos3 x .

{

4

+ C.

-

48

+ sen3 x)' '1

z

1

1

----- - C = -

1/:!

t- C.

(Co:.xcLr) = - , - Llsen.rl 2 sen- x

senx · sen 2x , t -; = = =.= dx ¡sen .rsen 2x = 2 sen - x cosxl = 2 · 3 3 sen x

(1

1

sen- (2r)cos (2r)dx ! 2.r = l i = 3 sen· (21·)

2 senxcosx

-¡:: = = = = dx

3

cos(4x + 6 ) ] dx =

(cosx)(cos 2x)(cos 3x) tlx = - ( l2x + 6 sen 2t +

2

[cos(2x + 2) +

(x/3) dx = 3Lben (.r/3)1 + C. sen (.r:/ 3> t'OS

J + senxdx=

f )1 +

�J

s igui entes resultados en el orden dado (no mirar las indicaciones):

scn(4x ) S e n ( 2.x)dx = 2

cos.�

f

. escribiremos:

ct

4x

. dx =

.

=

[2 sen (21:' + 2) + sen ( + 6) 1 + C

f l f 1g (x/3) f J J. 1 f ¡· J, . ¡

+ 4)

-

lcos(a = 3.r + 4) · cos(/3 = x + 2)] dx i(l5)� =

Obtener los

f

[sen (4x + 6) + sen ( 2x + 2 ) 1 dx

- - [co-;(4x + 6) + 2cos(2r + 2)] + e

./, y puesto que

11

�f

�enr�.cos{Jdr. =

231

dx 32 ,- = tg - 1 (x) cos- x

j'

1 - --- C. 2�

( l + scn 3 xl - 1 1 ,• ( 3 sen 2 xcosxdx) =


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232

Cálculo integral y aplicaciones

) f �en4x sen x - -seux-,- + - (l1 - senx senx +

.- dx =

cos·l.r

J

3

2 co¡;• x

4

L

+

+

C.

Jax2 + 2bx+ e)

Integración de las funciones R(x,

Una vez sabidas integral es trigonométrmedi icas,apresent amoseséstcambi as (iroracis deonalesa le. que en nte di f erent podremos por Puesto que deldeltrinomio 2bx, es2b.Kdecir: (a será factible extraer un cuadrado pe1fecto las transformar

<<absorcióm>

cuadráticas) v ari b

trigonométricas

término

w.2

+

'

ax- + 2bx + e =

+e

r:.

(y n.r

:/= 0),

+ b/y a)-., r:.

b1

2

'

+ e - - = (j;x + q) · ± In-

a

sialegmpre dicho trinomio (según sean a b2ja positivos o negativos) una depodrá las siexpresarse guientes formas: { ( p x + + m2 (a raices complejas) ax2 2hx (px - (a t·a:íces reaJes) (II) (px raíces reales) (IIl) c os: dada se en una conocida ca, Puc realizando lJoas cambi px + m tcr Jax�1 + 2bx + e = -cosr ---,----J Caso + -- ax2 + 2bx + e = tg - Caso px + = msenr� Jax2 + 2bx+ e= mcost el fin decuando estos el trinomiconsi raíz cuadra da, resuha evidTeni enteequen/2ndo elenlocuenta quesucederá o enste en destruie t rellaevado a exponent es de por

y t' -

+

bien,

Caso

q)

+ qi

+e=

q=

( 1 1 ) : {JX

q

(Bl):

q

=

o

111

(n

>

tr/

O, y

(a < O, y

t -4

COS/

(l)

y

o·ansformará

función lrigonométri­

111

r

111

cambios

también

la forma

> O,

+ q)2

m2

fun ión irracional

(1):

2

( 16)

t

cuestión

E ..Z).

s

é

Ejemplos 1.

Calcular integrales irracionales cuadráticas: bts

l=

1 dx , f - 1 f J.¿ x2

+4

J=

(4x2

,

24x + 27) 3· 2

dx


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Métodos de integración

233

RESOLUCIÓN 1 es el tipo {1):

x

1=

= 2tgt --..r1

f 1 cos J

jxZ + 4 = 4tg2 ¡ . -- = 2

f

2 dt

1 =8 sew 1 cos- 1 4 -

, . -,

cos 1

8 sen2t

---

co�3 1

,

sen--l (cosrc/t) =

realjzaremo::. el cambio:

con lo que:

2x

J=

f 3

cos t

27 sen3 1

3

(

-

2

6=

cos 1

--

cos2t

sen t

--

col\1 1

dt

)

3

--

9

4x2 - 24x + 27 =

y en consecuencia:

2.

-

24x + 27 = (2r

-

1

18

-

6) 2

--

--+

sen

9

sen�

t

--

cos2 t

f ,

(4r

1

sen

cos2 t

-

+ C

di

--

,

--+

4x

9

-

3

r::;---

._,Ir + 4

C= -

4 sen t

( 1) 2d.x = 1)

- Y=

=-

3

1

- -- .,..

Al ser la integral J del tipo (l [) puesto que: 4x!

.

1

24.< + 27) 1 2

sen- - rtcos r dt) =

9

3 sen 1

= --

cos r

J

X

--¡:. = = = =+e =:= )4.r2 - 24x + 27

En (8) se obtuvo la notable integral racional

Compruébese qne, aunque no hay que destrui r ninguna raíz cuadrada, el cambio correspondiente de ( 6) facilita consider&blemente su resolución.

1

1 + 1 COS21 cr f f

RESOLUCIÓN 1-lacienúo x = a t g t --+ 1

=

f

l

, ,

x� + a-

cos4 t a dt --

a�

, -

cos- 1

=,-, escribiremos:

= -;

tr tg2 1 l

=

l cos· t dt = 2a3 ,

-

a3

( l + cos 21)

di

=

1

-

2a3

(

t +

) 2

sen 2t

--

+e

Aunque con esto, el cálculo de 1 puede considerarse finn.lizado, deshagamos el cambio para comprobar el resullado dado en (8): tg t

=­ a

-- = sen 1 cos 1 = tg t · cos2 t = --=-

X

1

=

f

sen 21

'"7"

2

(_y '""" 2 1--: 2-o :- 2 dx , u ) _

tg t

=

13 _

� -

.:.a

(

1 + tg2 t

ax .

2)

arctg � + 2 a x � a

ax

:? + a 2

+e


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234

Cálculo i nteg ra l y aplicaciones

[ ( ) ( ) aX+ b CX+ a

Integración de las funciones R X, Si

111

es el mínimo común múltiplo de los denominadore!) q, ax

+

b d

---

CX +

1111 � X

=

s,

p/q

,

..

ax+ b CX+ d

, entonces, el cambio:

d · l"' - b

-

r!s ,

...

J

---­

=

a

e

·

t)l'

lransfonna la correspondjente integral en una integral racionaJ .

Ejemplo

+

Calcular las siguientes integrales irracionales:

- f <fi

1-

l f!

213

X

llx

+ 1

=

=

I

615 d¡

IJ + t2

-

3t2

./ = 2 F+J - 3

{-- 5X

3x

=

r

·

-1

= 213

de uonde:

H

= t�,;

' X+ 1 + 3

+ f (/3 t 1 )1. t5

RESOLUCIÓN [{x = t"l

, J=f �dx � , fJ -

dx

.r

=

=

dt = 6

6

6

I� 1- + 1

+ 6r

-

{

,

1

=

5

x

3x

dx

dt

=

6

[f(t2 - - - ) 1 -

t+ 1

1+ 1

+e

dr

=

� + �rx+i - 6L( � + l ) + C 5t2

> - .

3t-

+ l

dx =

, 1 ,1 + tg-u = cos- u

L:On lo que puede tlarse por finalizado el c<1lcuJo

i

H=

1

(16 + 2t3 + l)tdt (ínmediuta)

6L 1 1 + 1 1

Apoyándonos nuevamente en el cambio ( 1 6)

H 3r +

f

+

X

5

1=

}

, Ü/ - } ) 1

(3r-

¡; 1

...,¡ 3

= 10

de

+ 1

, dt = 1 O

tgu, se tiene:

j'

4

1

3

1

I , )2 dt 11

(31- + 1

-.j3 1

cos u · - tg u · -

cos2 u

=

H.

Compruébese que el cambio i n ci al x = � sen21. simplifica esta re�olución. _) ,

du


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Métodos de integración

235

Integración de las funciones del tipo xm(a + bxn )q Las integrales irracionales:

1=

f

x"'(a + úx")11 t.f.;r

(a. b E R, m. n, q E Q)

reciben la denominación de integro/es binumlas. El primer paso para su resolución, que finalizará transformando. corno en otras ocasiones, la integral / en una racional, consiste en realizar el cambio .r' = r. Con él:

sólo resta, por tanto. calcular la integral: .! =

f +

bt)a dt

t11(a

(p. q

E

Q)

cálculo gue únicamente puede llevarse a cabo191 en los tres siguientes casos: - p E Z (q = r/s)

:

Se realiza el cambio a + bt = us.

- e¡ E Z (p = rjs) : Haremos el cambio

1 = u8•

- p + q E Z. En este caso escribiremos: .1 =

f

,p-q

t

(a + bt)'t -

dt

(p + q E Z. q = rjs) (/ +

bt

y consecuentemente (apartado anteJior). se hará el cambio -- =

1

u•.

Ejemplo Calcular las integrales binomias:

RESOLUCIÓN

l(t = u 2 ' = � 1

3f

11

( l - u2 )2

Resolveremos esta integral racional de dos formas:

ni

(2udu) = : 3

f

2 11 u2 )2 du

(1 -

l'll Cmmdo fl, ni q. ni f1 + q son enteros, csw integral es irresoluble: no se puede expresar medi ante funciones ele­ - x)x ). mentnles (iméntese integrar la función

Un


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236

Cálculo integral y aplicaciones a)

Al ser dobles las raíces 11 = 1 , u = u2

-

A

B

---= �=-+ ( 112 - 1 ) 2 - 11 - 1 (u y

en consecuencia:

[ 3 4f - l

�-� �

'

-

u

<.:on lo que siendo x3 =

+ ¡

(11

1 )2

- )2 11 ,

del tlenominadt1r, se Liene:

'

-

1

D

C

=

--+� u+ 1 (11 + 1 ) 2

+

= u2 _, u = Jx3,

(u

=R= -e=D=

l"� - 6� (LI� I - --' u+ l

1

...

1

A

+

1 )2

resulta:

11

-

1

_

1

4

1 _

u+ 1

)-e

.Jx3 1=- Llv-'3 - '1 - - --+e 3 1

-

J

"

6 p+ 1

t -

3

1

1/l Haciendo en 3.: (l u-), , el cambio u = sen�. o Jo que es lo mismo haciendo en la primitiva integral ' el camhio x·' = �enl t (recuérdese que x3 = u2 ). escribiremos: 1

b)

- 3

'2 r1 (1

7

x· )-

dx {3x:! dx =

,

2 sen 1 cos cos 1 3.xr1 12

2 sentcos1111: =

-� -

Por consiguiente (véase integral H en el primer ejemplo de

1 .5):

1dt

)l L(l + senr sen r 1 -

que evidentemente coincitle (sen 1 = j;J. cos11 =

ul

-;er esta integral del tipo 3 pues p + q =

1

4

5

3

3

-

2 sen2 1 3 cos

3 dl =- 1

+e

x3) con la anterior.

-3. haremos:

J = �3 f f 3 (4 +1 1 ) - 5 3 dt {-l- +1 t = 1f3_ ¡ = -u3-4-l . lh = - (1/J 1 } ' du = -_!_ J ( - �) 1 - _!_ (�� � ) 2uJ 1

=

y

- 16 1

11 3 - 1

� �3 -

deshaciendo los cambio:-. resulta: 1

.1 = - -

16

2u�

1

16

+

1

,- + C

-

'2u-

11·'

r1 1

=

1

' "

. -

· 1 4 + .r3 1

3.r' + 8

1

3:2

1

-

16

{u = --} = - -

2

\'

2.

t1 = , /1

1 )-

+e

� 1 4 + x3/ +

e •


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Metodos de integración

237

Integración de las funciones del tipo R(ax) Este tipo de integral. se transforma en una racional haciendo el cambio as = 1 (a > 0), pues­ to que:

I R(a=<) ¡a=<= dx

Ejemplo Call:uJar lüs integrales:

1=

r.

cr"La dx ·

1

f 2 Shx - Chx

dx

.

=

1

dtJ = -

R(f)

It

--

La ·

J=

f

dt

dx

c2"

---

9 + é·•

RESOLUCIÓN Aunque cl1tnascuracla, 1 es una integral del tipo anterior puesto que: ----

2

f= 2

f el"e·' {

dr} f � dt t t

. - dlé e-' = 1, tLr = - = 2 -

3

= --- · 2e·'

1 � e�-J31

fi

, -=-L -

3

e·• +

J3

+

e

Aunque a esta altura del tema debiéramos com..iderar a la integraJ 1 como inmediaLa fk arclg (c")l, efectuemos el cambio aconsejado (evidentemente el cambio e1" = 1 sen\ más apropiado):

J {eh

T1.6.

1

d/} f d! L f 1

= 1 {Lt = - '

2

r

l =2

--

9 + r1

=-

J8

l + (I/3)1

L

(t).

= - 3 arctg -

18

3

+ e=

1

-

6

arctg

(e2x) -

3

+e

INTEGRACI Ó N APROXIMADA Introducción

Jas

En este tema �e han desanollado los métodos usuales de integración, con ellos, integrales que puedan encontrarse en textos relativos a técnicas de integración, no deben ser insuperables para quien domine Jo que hasta aquí hemos estudiado. Pueden darse sin embargo dos clases de excepciones:

a) Existencia de integrales (muy poco comunes), que por no ser de los tipos presentados. su cálculo puede entrañar serias dificultades (nuestra experiencia podá indicarnos el método o cambio de va1iable adecuados para la correspondiente resolución). Existencia de integrales irresolubles por no tener primitivas su función subintegral (véase nota (9) anterior).

b)


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238

Cálculo integral y aplicaciones Hecha In introducción, iniciamos aquí el estudio de este apartado:

El objetivo de 1::1 integración aproximada consiste, como su nombre indica, en hallar expre­ siones o valores aproximados para las integrales de los tipos a y b anteriormente citados (tanto indefinidas como definidas), obteniendo además acotaciones de los errores producidos en dicbas aproximaciones. Utilizaremos únicamente los siguientes métodos: l.

Dcsa1T0\lo en serie para integrales indefinidas y definidas.

2.

Método ele Simpson para integrales definidas.

Aproximación mediante desarrollo en serie Consideremos una función y = f(x) indefinidamente derivable, y sea:

f(x) = a0

+ a 1x + a ,r.2 + ayx-3 +

2

· · ·

+ a,,x" +

. . .

su desarrollo en serie de potencias (Mac-Laurin). En estas condiciones, y para todo x dentro del campo de convergencia de la serie, tanto si la integral es indefinida como definida, podrá escribirse:

Cuando la intcgrnl sea definida, el cálculo de dicha integral consistirá en determinar l a suma aproximada de la correspondiente serie numérica, concepto suficientemente conocido por el alumno. En ocasiones, la suma de esta serie es exacta, como sucede con la primera integral del ejemplo que sigue.

Ejemplo

Sean las dos integrales indefinidas: l=

j'

(

1

1 - .\)2

dx

./ = fe

,

2 ·' dx

inmediata la primera para fijar conceptos, y carecíendo la segunda de función primitiva� decir. ineso­ luble. a) Suponiendo que la integral 1 no se supiera resolver o que fuera irresoluble. hállese mediante desarrollo en serie< 1 o¡ una expresión aproximada de /. ! lO)

Aplicando

que corno

a

es

una función y = j(x) el dc��n'Ollo de Taylor en un enlomo oel punto.x = O (de sun·ollo de Mac-Laurin), viene definido por;

se recordará

{'( 0) ("( O) - x + '- x2 + f(x) =/W) + ·? 1· 1 ,. -

···

(fi'1(0)

- .x'' + +·n .,

R.,(x)

s e tienen fácilmente las siguientes relaciones o desalTOIIos (el primero inmediato por ctivisión):

1 , ( 1 - x)-

-- =

1

-

2x + Jr + 4x3

+

···

+ nr''- 1

1

···

>

(lxl < 1) x'

r f = 1 - .,� + 2!

.

'

xll -

- + ... 3!


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a1

239

Integrando los tres primeros términos <.le dicho desarrollo, obténgase un valor aproximado de la cui·re:::­ pondiente integral definida extendida

b)

intervalo 10. 1/2].

Repítase lo amerior con la integral . / e n el intervalo [0. 1 L acotando además el error producido.

RESOLUCIÓN a)

Aplicando el des:.uTol lo mdicaclo en la nota ( J 0), escribiremos:

/=

f dxx)2 f =

11 -

(1

+ 2X + 3x2 + 4.x3 + . . ·) tlx

ti:! f t/l dx [x + x- + x3 J

Asimismo:

,

--- = , ( 1 - x)-

0

+ .. .

0

1 =2

=

X

+ .t2 + X3 + .\.4 +

+ -1 + -1 + . . . = 0,875 4 8

+

..·

+C

"

R (resto)

Veamos con esta integral definida que en ocasion es. como se ha dicho, el desarrollo en serie da lugar

ul resultado exacto:

1 -1 + -J + -1 + + 2

4

8

Í J ¡z

Jo b)

16

···

dx

(1 - x)2

(serie geométr ic a ) · =

1

1 -

x

J

\ 2

11

f

e-"' dx = 2

f(

1/2

1

1 - r (razón)

- 1/2

1 l =2- 1 = l - 1/2. - �

Re pitamos el anterior apartado con la integral ./:

J=

a

--'=-

x4 x6 )

=

x3 xs

1

x7

! - x2 + - - - + . . . dx = x - - + - - - + . . 2

ó

3

10

42

·+C

y si se toman los Lres primeros términos de esta serie, el vafor aproximado pedido es J - 1/3

+

1 / 1 0 = ?.3/30 = 0.7666

Recordando finalmente que «cuando se considera como suma de una serie alternada convergente la suma de sus p primeros términos. el error R, cometido es menor qut: d pri mer término despreciado». pode­ mos escribir:

fj [1

e -sl Glr = 1

-

3 1

+

1 1

O O. =

J

7666 con CITOr (R,) menor que 42 = 0,0237

En lu próx.ima sección se verá que el valor 0.746 para esta integral, tiene al menos sus dos primeras

cifrrts

decimales corrccl<lS .


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240

Cálculo integral y aplicaciones

Aproximación mediante el método de Simpson

Defórmullosanumerosos odosrolquelo enexiserie, sten (suru áreasónrectaproxi angulmaadares, deregllaa indetegrallos trdefapeciinidoa:s, de Poncelemétt, desar . . asindetegraci ) en

1= El

Ib n

f(x) cLr:

métDicohodométde oSidompson, en general, enproporci de Simespsonel que,se fundamenta lo sigouinaentemejores (Figuraaproxi Tl.lm):aciones. y

y=f(x)

()

x�

Figura

T1.1

.. .. . .

. .. x,=b

Se particiona intervalo de integración en un número (par) de subintervalos iguales, cuya longitud evidenlemenle es óbnujado de la curva .f(x) relatseivasustia cada dosporiotra ntervalporcios óconsecuti vos a(e(ln aelsupon­ codremos sólo Ladese hanporci di t u ye n de parábol segundo grado) coincide con la curva en los tres puntos de división. La fórmula correspondiente al método de Simpson se obtiene de forma que sigue: Cálsombreada culo delenáreala Figporma debajo (área T de la primera parábola l.

2.

[a, b]

el

h

a)

= -- .

y= [x0, x2] y [x2, x4])

11

que

3.

S1

como tiene: la parábola

11

b-a

gráfi­

y

y = p 1 (x)

1 . 1 ):

y = p1 (x)

y la curva (

= j(x)

y = f(x)

la

=

Ax2 + B:c + e

se cortan en los puntos P y P se

Yo = f(xo) = f x 1 - h) = A(x1 - h)2 + B(x1 - h) + e y, = f(x 1 ) = A.xf + Bx1 + e

y2 = f(x2). = A(x1 + h)1 + B(x1 + h) + e

0,

P1

2•


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y

Métodos de integración

241

entre a =

x0 y xl,

puesto que:

resulexpr ta queesadael área debajo de la p1imera parábola está por lS1a relporación: b)

y = p 1 (x)

área total S por debajo de las 2 parábolas, que será una aproximación al valor de la integral vendrá definida por: S= 4y3 relación en la que sustituyendo po expondremos en la forma: S=b-a )'3 n

El

/,

h

3 [(Yo + 4y , + YzJ + (>'2 + h.

3

-

n

[(Yo + Y,,) + 4(Y ¡ +

r

+ Y ) t · · · + (Y, - 2 + 4Y, - t + y,)J 4

b-a

-- ,

n

+ · · · + Yn- J )

+

2(y2 + .V.¡. + · · · + Y, z)J

en donde denotando por: (suma de las ordenadas en los extremos a y b) /(suma de las ordenadas impares) = P{suma de las ordenadas pares) = da lugar a la siguiente fórmula denominada y

E

= Yo + y,, Y t + Y3 + · · · + Y,-1 Y1 + Y4 + · · · + Y11 - 2

f6rmu.la de Simpsrm:

fb

f(x)clx ::::: S =

b-

u

Acotación del error y = f\x)

a

--

3n

(E + 4/ + 2P)

(17)

Supongamos que admite enqueLa. bj derivada continua hasta, al menos, de cuarto orden; verifEnicándose además Vx E estasaquí condinociodemostrar nes, lma cota S como or de la inpor tegralla desi defi­­ nigualdadad:(que emosdelporerrlaordjproduci ficultaddoyueal tomar conlleva). vienevalexpresada IR,(error)j (b - a)5 ( J 8) [a, bj

lf"'(x) l � k.

r

k

180

� -·

4

n


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242

Calculo integral y aplicaciones

Ejemplos 1.

Aplicando las fórmuhas (17) y ( 18) de Simpson á I<L integral: J=

a) bl

I

e- ...� dr (recuérdese que

nterio

a

eote J � O, 766)

nn

Obténg ase para n = 4 su valor aproximado y una cota del error producido. Hállese el número mínimo (/1) de subintervalos para que e l error R, producido sea menor que 0,000 1 .

RESOLUCIÓN

a)

Basándonos en la Fi gu T l . l , pues precisamente se han dibujado en ella cuatro subintervalos (11 = 4) y 1 • y2• y3, y4 correspondientes. escribiremos: ra

y las ordenadas Yu·

fy0(x0 = O) = en =

't.v3(x3 = 3/4)

=

E(J•o

1,

e - 'l /l b

+

Y1Cr1 = 1/4) = e - 11 ' 6 = 0,9394, y2(-t2 = 1/2) = e - 114 = 0,7788, 0.5697, y4(.r4 = 1 ) = e - 1 = 0.3678

=

y4) = l ,3678

,

4/(v1 + YJ) = 6,0367

2P(J12) = 1 ,5576

.

coo lotlo lo cual. se tiene:

Error.

J

·t

�·-""1 dx

u

Como f'v(x) =

.1 - o

� S( " = 4) = -- ( 1 ,3678 + 6,0367 + 1,5576) = 0,7468 3·4

4(4x4 - 1 � + 3) xl

e

a

o en

está cotad

máximo absoluto. razonaremo::; de la siguiente forma: , máx. 'r/x e [O, l ] , l l" <x) l �

de l4(4x4 - 12t2 , mm. de e" 2.

+

3)1

[0, 1 ] . y dada la

=

difit.:ultad en obtener

1 - 201 en x = 1

1

en x = O

su

= 20 = k

Por consigujeote; IR,. (eJTor)l que

es

20 {1 - 0)5 = 0,00043 180 · 44

de este

Nótese, a pesar de k = 20 alto, la gran precisión cálculo (el las tres). primeras cift•as decimales conectas, y muy

b}

IR, en·or)l �

k(b - a)5 4

l SO11

� 0.0001 =

probablemente

=

]

¡ � 0.0001 911

n4 � 1 1 1 1 . 1 1

=

=

1

9n4 >- -"?'

0.000 1

valor 0.746 tiene sus dos =

n � 5,77

con lo que tomando 1t = 6, se asegura, en el correspondiente cálculo del valor de la i ntegral , un etTor me­ nor que 0,000 l .


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Métodos de integración 2.

La complicada integral

(elfpticu de segunda especie):

aparece cuando se quiere obtener la longitud de un trozo de elipse. Aplicando que la longitud tL) de la elipse de semiejes a y (el = o 2 - bl) es: L = 4a

a)

·

( �) . /(e �) [ ,1�r ( <=> {x

f

Hállese la lon gitud

e.

243

'

2

2

=� 1 2

.1:'

l 3 ·

·

..

Ú) y excentricidad

- )

1) 1

. · (217

2 4 . . (2n) ·

aproximada de la elipse:

= 5 senr

y = 4cosl

aplicando la fórmula de Simpson (con

h (a >

·

e 2"

2n

-

1

J

e = c¡a

(e = 3/5 )

11 = 4). Igual a partir de la serie sumando sus cuatro primeros térmi­

nos.

b)

,

Determínese un valor aproximado de L, mediante lu sencilla fórmula increíblemen1e precisa, obteniua (con apenas 24 años) por el matemático indio Ramanujan (a y IJ semiejes de la el ipse a > b):

[

L = Jt(a + b) l +

10 +

:r 3PJ . 4-

b a+b

k=a-

SOLUCIONES

a) b)

L = 20

I12 J 1

0,36 sen 2 1 di

28,361 7 (Simpson), 28,3633 (serie)

L == 28.361 6679. El valor exacto es L = 28.361 66788...


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244

Cálculo integ ral y aplicaciones

Resolveremos en p1imer lugar una miscelánea de integrales que t::n su mayor parte. o tienen alguna uesvia­ ción con las resueltas en el tema, o se presenta un método diferente para obtenerlas.

1 . Dadas las integrales /, J (yu resuelta en l=

1.5) y

f senx1 , f J=

-- dv:

H, tales que: 1

-- dx

a)

Obtener 1 utilizando la relación senx = sen

b)

Hallm· J y H

e

X

X

f

cos4

1

x - :,en 4 x X

X

,

X

- + - = 2 �en - cos - = 2 tg-

2

2

2

1

2

dx

( , ,\)

cos - - .

1

presáudolas en función de l.

f dx f -- =

1 --

(

1

'

-

a)

1

b)

La transformación de J en 1 es obvia:

sen x

lg (x/2)

2 cos2 (.x/2)

Mediante el cambio x = 1 -

Si

( )

H=

x

RESOLUCIÓN

=

.

cosx

en la integral H hacemos:

�,

) 1tg x l

dr '

=L

-

2

+C

·

o directamente cosx = sen (x

-

�).

se transforma en la J realizando el cambio 2t = r. 2.

a)

Aplic.nndo los cambios aconsejados en ( 1 6), resolver la integral:

1=

b)

f j3 3 - x- x2 + 2r

dx

Obténgase 1 n uevamente mediante el siguiente método: El denominado MÉTODO ALEMÁN consiste en derivar la función: l(x) =

f Jax2 r�>2bx +

+ e

dx = q(x) · Jax2

+ 2bx +

e+

J Jax:!

k

+ 2bx +

dr e

( 19)


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para obtener k y los 11 coeficientes del polinomjo indeterminado polinomio p). Ello da lugar al cálculo de toda integral del lipo f(x).

q(x)

Métodos de

de grado n

-

1

integración

(siendo n el grado del

RESOLUCIÓN

Haciendo por tanto :r

1

=

-

1 =

2 sen 1 (dx = � cos 1 d1). Be tiene:

f 2 - 2sen r 2cosl

f

(2 cos ult) = 2

Deshagamos el cambio: x- 1 sen r = -2

p(x)

=

cos2r = 1 -

[

are sen

(de grado 11

-•

/{(19)} =

-r 2.x

-=

4

1)2

+

2 +2

3

1

= J3

x = A(l

1· 2x -

1

(x - 1 )

q(x) {de grado

3

1- 2r - x2 = ----

4

0)

x) + k

k

I -x

2.r - x1

+ 2t -

=

{A + k = 3 A=l

x2 f j3 +dx2r -x2 +2

1

1

.

2x - x2

-

+ C

2x

-

identificación que da lugar a:

3.

(x -

j3 + -x2 J = =A: 3 -x = 1) f j3 3 - x x2 dx=A/3 � 2..r -x2 + f j3 + k2r -x2 dx dxcll j3 3 -x ::A j3 x2 + -rj3=+=== 1=2

b)

'

+C

sen t)dr = 2U + cost)

(1

=

=

A

=

J3 + 2r - x2 + 2

de donde inmediatamente se tiene el resultado anterior.

l. k=

f

(x J

Destruyendo las raíces cuadradas, resuélvanse las siguiente.'> integrales:

1

=

f

cos3 ;r J l + sen xdr

,

J=

f JI

dx

2 dx

2

+ fi+l

245

1 -

1)2 2


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246

Cálculo integral y aplicaciones RESOLUCIÓN /j 1 + sen x

=

12, cosx dx = 21 dt} =

f

2 (cos x = 2t2 - L4) · 1(21 dt)

7

35

2 f ,¡'1+(

Sustituyendo 4.

--- { 1 + ( = ¡¡-} = 4 2t di

=

f 2-

43 ' -

5

2 u = 1 + 1= 1 +

Obténgase

4

4 'V¡t= : = (� - 2) + e +----: 1�

b)

f�tLr

,

1 del modo estudiado en el Tema. y

iperbólic que destruya la raíz.

a

J'

J=

de

1

x4 Jx2 -'- 1

l.

t

Medianlc el cambio estudiado en el Tema. Realizando sucesivamente los cambios = lft.

x2

RESOLUCIÓN a)

1

} f

, dt = l x = --, dx = -

l

sen t

cosl

cos- r

l

+

fectu

valor

l(x = Chr,

tb:

= Sh tdfi

LI

2

=-

=

J

la r íz

----, tlt = cos t cos-r sen t seo r

jCh 2 r - l Shrdt =

1

n o un cambio con

t2 = 112•

i11tegral que ya hemos resuelto (integral H en ejemplos de 1 .5). Con rel ción la función hiperbólica. es evidente lo siguiente:

a a

dx

e ad una función su desll'uyendo a cuadrada:

nuevo.

Aunque obv iamen e J es una integral binomia, obléngase

2.

311) + e

.! = 3 u(u2 - 3) + e = 3

f=

h

J ) du = - (ir

� en 113 - Ju = u(u 2 - 3). resulta:

Consideremos las integrales irra(.:ionales:

al

(impar en coseno).

(u

,

(214 - 16) de =

( 9 - 5 sen.t) + e

35

Resuélvase de nuevo. reuüzando el cambio (14) sen x = t .ljx + l = 1 }

2f

2 J( l + senx)

2 . 2 . 4 5 2 , = - t - - t + C = - t' ( l 4 - S r ) + e = -

5

=

1

J

(Ch 2t - 1 ) dt = -Sh 2t - - t + e

4

2

I

sen

l

1

-dt cosJ t

S h 2 c dt

=


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Métodos de integración

Al

ser

Sh 21 = 2 Sh 1 · Ch t = 2r . .p-=1. t = ArgCbx: 1 = - X Jx2

-- 1 -

1

2

b)

l.

t.lr

-, Haciendo x = tg t, dx = cos� t .

cos5 1 •

x-�

dr f cos3 dt f

.1 =

f

-- · -- =

=

f

sen-4 1 (cost t) -

2.

247

sen4t cos2 1

J {x = � , dx

1

--

=

sen4 1

scn4 r

?

l -

sen2 1

sen4 t

(cosrdt) =

sen - ,- / (cos t t/1) = -

dr -:;

= -

t-

(

2

j;2+T = -, se tiene: cos5 1

d f = } f ¡3 {

Deshagamos los cambios

1

- Arg ChX + e 1 1 )

� tlt v 1 + rl

1

3

-

3 sen 1

1 +

1

+ -- + e =

3

sen 1

sen2 t -

1

3

3 •en 1

+ e

/2 = u-, 2tdt = 2uduf =

?

en este caso:

5. Resolver las integrales: 1=

f

RESOLUCIÓN

x3 ·

j1

+

2.x2

dx

.

J=

f1

-

cos (.x/3)

-----

sen (x/2)

clx

: Si en lugar de lo establecido (ji" = tg t), observamos que haciendo 1 + 2x2 = t2 (4,,: eL� = 21 dt) se destruye la raíz, y además que el nume ador es .r3 dx = x2 (sin problemas) ·xdx (parte de tdt), es más aconsejable razonar de la forma observada: 1

r

/' i l + 2x2 = t2, 4xdx = 2tdtf =

1

3 -r

=-1 12

l

4

f 1 [ 2( 7

1

x

?

(

t2 - 1

'

J

+ e = - o- - 3) + e = 12

di) f , 2,

t

= �) �xdx = 2

6

1 1 1 1 Compruébese. si no se ha hecho. la relación Arg Chx = q, +

.J 1

l

u- - l ) clt =

+ 2..\· ex- - 1 ) + e

Jx1 - 1 1.


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248

Cálculo integral y aplicaciones J

:

Haremos en principio el cambio x = 6r. que simplificad la imegral: J{x =

61, dx = 6d/l = 6 f 1 -senco31s2t

d

t

Expresemos ahora todo en función de sen 1 (que parece más simple):

sen 3t = sen (2t + 1) = sen 2t · cos t + cos 2t· sen t = 3 sen t - 4 sen3 1

1

J

sen t 2r = 6 f 3 sen2t sen 3 dt = 1 2 3 - 4. sen 2 1 dt {cos t = ti( impar en seno) l - 4 sen t = -12

=

y

f 3 - 4(1

du - u2)

= 12

J

du

1

{

1 u = c s t = cos -

o

x} 6

6. Considérense las integrales racionales (similares)· 1=

bl

2

1 l

2

f

l

(-¿ + 6x

=

3L

)

1 l = 12·-1 f (-+ -- du =

1 + 2u 6. -1 tLil + 2ul - L I I - 2ui) + e = 3L -1 -�

en consecuencia:

al

4u2

=

1 + 2u

+e

os (x/6) 1 r: + 2 ! ' 2cos 1 -

1 - 2u

(x1ó)

+e

3x

+ IW· út

Resolver la primel'a aplicando el método de Hcrmitc. Obrener la segunda medi anre cambio de variable con la función trigonométrica adecuada.

RESOLUCIÓN

al 1 =

f

(x•, + 6x -l 1

-

3x

ti/

dx

10)2

ax ¡. b

dx = , x- + 6x + I O

+ N dx + f x2 Mx + 6x + J O

- a.x2 - 2bx -1 1 Oa - 6b Mx + N l. - 3x x2 + 6x + IO 6x + 10)2 (x2 + 6x + l0)2 + -::-

(x2 +

en donde multiplicando por el m.c. m. . de los denominadores, se tiene: 1 - 3x = -a_¿ - 2bx

+l

Oa

-

6b + M:x-� + (6M + N)x� + (10M + 6N)x + ION

=


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{

=

y

Métodos de integración

- a + 6M +

- 2b + 1OM + lOa

� �

6N =

{� = �3/2

=

-3

- 6b + lON = 1

M.

=>

=O

N=5

�T

=

l 0x + 33

2(x2 + 6x + 1 0)

f

5 dx

x2 + 6x + 1O

puesto que x2 + 6x + LO = (x + 3)2 + 1 , resulta finalmente que: I=

b)

f -

1 3x (x-, + 6x + 1 0) 2

clx

1 Ox + 33 + 5 arctg (x + 3) + e 2 2 _. - + 6x + 1 {)

1

=-

_

_

Al ser x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 , deberá hacerse x - 1 = tg t, que da lugar a:

dl

dx = 2

cos t

(x - 1 )- + 1 =

,

?

y sustituyendo: .r =

f

-1

,

cos2 t

{

3x - 7 = 3(x - 1 ) - 4 = 3 tgL - 4

- 4) dr = - 3Ljcosrl - 4t + c cos2 t = (3too¡

4 arctg (x - 1 ) + C

3

1 +

1

tg2 t

=

x2 -

Compruébese, integrando por partes preferentemente, que: 1.1.

f

Llcos x l · senxdx = cos x ( l - Llcos x l ) + C.

1 .3.

Jx2

1.4.

f

1.5.

f

arceas X� dx = 6� (2.x3 arc eas X� - Arg Chx - xjx1 - 1

x senxcosxdx

=

i

(sen 2x - 2xcos 2x) + C.

sen xL( l + senx) dx

1 2.x +

2

}

=

= 2 L(x2 - 2x + 2) - 4arctg (.x -

resolución (repítase con la integral f) que es menos laboriosa que la anterior.

1.

+

= x + cos x - cosxL(l + cosx) + C.

)

+ C.

1) + e

249


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250

Cálculo integral 1.6. x2 l)- { 1)e-'". dv l } 1 Véase finalmente que no existe erTor ni en el desar ol o ni en el resultado � { 1/x �} 1 Mediante cambios de preferentemente, comprobar Jos resultados: 1 aretg (directamente o con 2.1. I I sen v-;+4 � aresen / x yx L2x tLr (simplifíguese). I x1 dx{x � I tdt � �)2 tgxl tg2x)) I tgx exicambisteoparx""idad senoJo quecosreesnoultapues: sen cos f(scn cosx). por t:lrtlo hacerse el dt ) - I J( ' I r2) 2 1 1 {2 ga e l 2.6. f e2" � Ch3 C x (impar en seno -+ Chx I y aplicaciones

f

+

(,r +

L

, exdx 11

=

(x� +

=

,

f

eL�

2.4.

xL4x

--

dx = (x +

= Ll

f a__ tg__ r c_ ( x'/-2_) 4+ +

l

2.5.

1

x

(2..x

2.7.

2.8.

2.9.

Sh3 xdx =

f

2

=

f(

y

.

(l

+

2) + e

4

e3x = e).

-

-

x,

+ t)(l +

-

X -

h

x) =

-

x,

..!.. l

s

+

e"

= 11).

=

L

-

tg- x2,

+

r - J -- --- dt

+e

= -

+ C.

+ C.

-

11

3

2 r; + e_

(arctg 2

l ,.. (e·' - 2) + e (há = - v� 2

+ c.

= + f ; d.x

-

- L(l +

1 cosx dx{impar en seno� 1 l tgx

=

v=x

'\ X + 4

+ 2Lil +

¡-

J

4)

= 2 t<> t1 = 0 ,

4

. dx 1 + e·'

du

l - L2 . L I LA + Llxil + e

l dx = -

en tg.t. con

-+

(e3� +

J

2.3.

x+ 1

l)-

dv = dx

e3x --;. =:= = = :=== = dx = 3 e 6x + 4e3" + 5 are

x

sigllientes:

u=

variable

2.

(x +

-

' d.x = -- e"

l

+ C.

t).

Deberá


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Métodos de integración

2.10.

2.1 1 .

2. 1 2.

f 2 senx cLt 2 + senx

f

{tg-x } 2=r

=

R J3 [2tg(,x/2) -x + -3 arctg

j3

+ 1

]

+ C.

l cb: = - 2Arg Th � + e (¿se ha obtenido otra?). xjl - x

J f ..z..._9 X- 4x2 d..t = j9 _ _

4x2 - 3 ArgTh j9 -3 4x + C. 2

3. Obtener los siguientes resultados:

3. 1 . f cos 3x cos 7x dx = _:_ 40 ( 2 scn ! O x - 5 sen 4x) + C.

_!_ (6 cos 2x + 3 cos 4x- 2 cos 6x 3.2. f sen 3xcos 4xcos 5xdx = - 48

3.3. f cotg3 (2x) tL-r = ¡ (2LI sen 2xl - cotg 2 2x) + C. 3.4. f tg5 xdx = ¡ (tg_.

+o c

s

1 2x) +

C.

2tg2 x + 4Lisecxp + C.

x -

3.5. f Sh3xCh 2rdx = _!_ {Ch 5x + 5Chx) + C. lO 3.6. f COS2 (ID') 4.

Compruebénse

x

dx 2

=-+

sen (2nx)

4n

+ e=

f [ J scn2 (nx)] dx.

los siguientes resultados:

(x 2)]

4.1. f 2 x +4x l+ 8 dt" = �2 [L(x2 - 4.. + 8) + 3 arctg -2 f x1 - 16x + 20 2x + 5 4.2 . (.t�, - 2\· + 2 )- dx = , - 2>: + 2 + 3arctg(x - 1 ) + C. r

x

4.3.

f

X

5

-

-

1 5x" + 4x + 1 dx = -X 1 3 - U +X

2x + 2x 4

2x2 + 3 4.4. f tx2 + 1 )

2

4.5.

x-

dx =

1. (-2 - +

-2

x

+ 1

x

S

)

-L

arctg x + C.

(X

+ C.

- 1)2 + L F+! + 3 arctgx + C. l

xl

251


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252

Cálculo integral y aplicaciones

5.

ner los siguientes resultados:

Obte

5.1.

. (3:rdx) dx. = -are sen .x3 + C = f 3 )1 - (x3)2 J� 3 x2

f )::> 53. f J3 _

_

6.

-

3

X+

5.2.

::>.5.

1

1

---c:==

4x - r,

X4

=

-

J5

.x2 dx = � [<.x

2.x -

f�

dr

dr

- 4x

+

1)

are sen (X+3 2) --

J3 - 2t -

= - 2 2x+3 J(l

)

-x 3

.r

- --

]5

.x·, +

X

_

+ C.

x2 + are sen(':: J)J + C, 4

+ c.

la mezcla Se propone cambio que finalmente se considereresolver más conveni ente: de integrales que sigue, utiliz.ando en cada caso, el método o 6. 1 .

6.2.

f sen dx = 2 [sen l

{Lr)

x

(Lr)

-

f xdx = � senx(Jcos4x cos 5

1 :>

cos

(L.r)]

+ 4 cos 2

T

x

C.

+

8) +

C.

6.3. f V1)dx � (x2arcsenx2 + �) + C. J xdx =� (3x - 3senxcosx - 2sen3 xcosx) + C. x dx{impar en seno: = f senxcos. L(l C, - cosx , = Arg Sb (X- ) f Jx2 - ] , =

X<!JCSen

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

Sen4

cosx +

1

---:= = = = = dx{x- 2r +

17

I f�CllXdx = �

'2x + 1 7

(e2"" + 2x) + C.

=

COSX)

(x - 1)· + 1 6 1

+

-'

4

+ C.


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Métodos de integración

6.8.

6.9.

6.10.

6.12.

6.13. 6. 14. 6.15. 6. 1 6. 6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

f

Th 2 (2x) dx = x -

f y i - Á.

� X

Th (2x) + C.

dx = -] arcsen (x2) + C. 2

f x + JxZ+S X T5 y�

x2 + 5 + x + C. dx = v�

1

senx + cosx 1 2 + senx - cosx f ---+ C. dx - - L 4 2 - sen x + cos x l sen 2x + 3 _

+ 1 en_ x_ _ s_ _ dx J COSX - ]

=

cotg (:) - 2L)sen :¡ + C. 2 2

2 dx 4 {impar en Sh} = L[(Chx - 1)(Chx + 1)3] + C. 1 + Chx .. f Shx + Thx 3_ -x +S fx _ _ z_ _ x(x2 + 4)2

f

dx

=

(5 - 4x - x2)312 X

dx

f

3

X

2 x +

) dx = 9

f x J6x2 - 5x. + 1 f

x � -3+ � [2Lixl - L(x2 + 4) + 2 4 4

4x2 + 3x + 3

=

- 3x2 + 7X - 5 x+3

jx2 + 2x + 2 x2

f j2x - x2

dx

- L1

J5 - 4x - x2 5 - 2x

arct a "'

+ C.

2 - 5x + 2 J6x2 - 5x + l l 2x

ó

:] 2

+ C.

2 - 5x ArgCh (--) + C. x

x- 1 1 dx = - [ 1 OLix - l l + 3L(x2 - 2x + 5) + 22 arctg (-4 2

=

2 ArgSh(x + 1 ) + jx2 + 2x + 2 + C.

dx {M. alemán}

2 1

=

-

[3 are sen (x - 1) - (x + 3) j2x - x2] + C.

)]

+ C.

253


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254

Calculo integ ral y

aplicaciones

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

== = - - )4 - x2 f ---= )4 - x2 dr ¡ = dx{x �} - � [ f--:-Jr==xz= f Jx2 dx {x - �} x2

1

x2

1

X

4

-

x+ l

(x - 2)

1

-

4x + 1

=

t

=

+ C.

ArgSh

6

2=

t

=

(2 - x) ..j 3 - 6 x

Jxl - x + x

l]

+

C.

- J3 are sen J3 + C. 3 x- 2

Conclujmos este primer Tema de 1·cpaso haciendo hincapié, pues ya ·s e ha comentado, en lo siguiente: Las numerosas integrales que hac;ta aquí hemos resuelto, otras propuestas con solución y atín todas aquellas que pudieran verse en cualquier texto básico sobre técnicas de integración, no deben presentar serios problemas para quien haya superado la teoría expuesta en este Tema. Recordemos no obstante, como también se ha dicho, la existencia de integrales (pocos alumnos prcd­ sarán de ellas) que no pertenecen a los ti pos aquí estudiados y cuya resolución puede ser muy complicada. En estos (,.'<�SOS, la experiencia y habilidad pudieran lograr un método o cambio de variable para llevar a cabo esa resolución.

Finalmente, debemos recordar asimismo, la existencia de infinidad de integrales que n o pueden resol­ verseP

2' por carecer de función primitiva elemental.

!llJ las funciones el emental es son las algebraicas. exponenciales. trigonométricas, hiperból icas. combinaciones de ellus.

.... sus

inversils. y


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eun?as y superficies T2.1.

Temu

de repaso

2

INTRODUCCI ÓN Continuamenle en el mundo real, nos encontramos con infinidad de curvas y superficies, las cuales, aunque no responden con exactitud a ecuaciones matemáticas, se aproximan a ellas de un modo taJ, que en la mayoría de los c�sos es despreciable el error que se comete al expresar­ las por dichas ecuaciones. Una de las ramas más importantes de la Geometría, es la denominada Geometr[a diferen­ cial. Geometría en donde se estudian las curvas y superficies. Como su nombre indica, la Geometría diferencial trata preferentemente de las propiedades diferenciales de curvas y superficies. es decir. de aquellas propiedades localizadas en un punto o en un pequeño entorno de éL También estudia las propiedades generales de las curvas y de las superficies. aunque esto lo hace de un modo secundario. Comenzaremos recordando algunos conceptos sobre curvas en los cuales consideramos necesarios para abordar con garantía el estudio de curvas y supelficies en R3:

R2•

Frecuentemente, el grafo de y = f(x), en donde f es una función, recibe el nombre de curva plana. Esta definición sin embargo, es demasiado restrictiva, pues excluye entre otras muchas cur­ vas notables, a la mayoría de las secciones cónicas. Por este motivo, daremos la siguiente definición: Se denomina curva plana, a un conjunto e e R2 de pares ordenados (x(t), y(t)), tales que x(t) e y(t) son ftmciones continuas en un cierto intervalo f. (Recuérdese que la continuidad de ambas funciones implica, que a un cambio pequeño del valor del parámetro t, corresponde una pequeña variación de la posición del punto P(x(t), y(t)) sobre la curva C). Una idea muy intuitiva de este concepto, consiste en pensar, que el punto P(t) de coordena­ das (x(t), y(t)) recOITe la curva e (Figura T2. 1 ), cuando r recolTe el intervalo /. x = x(t) Las ecuaciones , reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva C. y = y(t) A veces, entre ambas ecuaciones, puede eliminarse el parámelro, dando lugar a una relación de la forma F(x, y) = O, o y = j(x), denominada ecuación cartesiana de la curva C.

{


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256

Cálculo integral y aplicaciones P(l) e

o

Figura T2.1

{X

x(t)

es una curva ¡·r.sa en e. l mterva . l o f, Sl. x'(1) y'(t) son f · uny = y(t) ciones continuas en el intervalo /; y además no se anulan simultáneamente, excepto acaso en alguno de los extremos de dicho intervalo. (El grafo de una curva lisa no tiene esquinas en punta. ) . Duemos que Ja curva C =

=

Ejemplos

epr sent gráfic{amente corva definida por x x(t) , RESOLUCIÓN

1.

la

R

e

ar

=

el conjunto C = ¡?(t, t2) / t e R}: o lo que es lo mismo, dibujar el grafo =r

de

y = y(t) = 1

y

(x.y)

' O

1 -1

2 -2

(t. r2) (0, O)

( 1' 1 )

( 1 1) -

,

(2,4) (-2, 4 )

-2

-1

o

2

X •

Figura T2.2

resultante, corresponde � :21{ se obtiene eHminru1do entre las ecuaciones paramétricas ,.

Es inmediato observar que la gráfica

es decir

a y = x2; ·ecuación que

t

en cartesianas a la ecuació

y = ¡-

y

= O,


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Curvas y superficies

{x

257

= sen 1 , también se tiene y = sen 2 r la relación y = x2, y sin embargo ahora dichas ecuaciones, dan lugar únicamente a aquella porción de la curva y = x2, en donde - 1 � x � 1 , O � y � l . = Es fácil darse cuenta, d e que existen infinitas ecuaciones paramétricas que representan a la y = y(l) curva y = f(x), pero condicionadas, a que cuando 1 recorra el intervalo /, x tome lodos los valores del dominio de f. Obsérvese igualmente, que eliminando 1 entre las ecuaciones paramétricas

{x x(t)

2.

{

x = (L + l ) 3 Dada la curva e definida por y = (1 + 2) 2

(A modo de repaso):

a) Determinar la ecuación de la tangente en el punto parámetro.

P

de dicha curva, correspondiente al valor t = O del

b) Obtener los puntos de e en los que l a tangente es horizontal o vertical. RESOLUCIÓN a)

Para

t=O

=

P(

dt

dy

3(t + 1 ) 2

dy

x ( t)

y'(l)

dx dx -

resulta:

b)

1, 4): tangente en P = y - 4 =

2(1 + 2)

'

di

tg = y - 4 = -4 (x 3

ely tg horizontal : - = O

dx

dy tg vertical: - = ro

dx

y'(t)

=

=

=

x'(t) = O

O

P(x,

=

=

1)

() dy

dx

(x - 1 ) . Dado que:

P

3

(�)p

=

t

2 2

tg = 3x - 4y + 13 = O

=

t

3( + 1 ) 2 = o

2(t + 2) = O

=

=

t= -]

t = -2

=

P2(

=

- l . 0).

La curva que describe el punto y) de una circunferencia de radio r que rueda, sin deslizar, por el interior de otra circunferencia de radio R = 4r, recibe el nombre de astroide. Véanse las Figuras 1.41 y 1 .42 (circunferencia rodando por el exterior de otra). Obtener unas ecuaciones paramétricas (lo más simples posible) y cartesianas de esta curva, suponiendo = 0). (Figura T2.3), que en el instante inicial el punto P ocupa l a posición

3.

P0(t

Tomando como parámetro el ángulo t (Figura T2.3), deberemos expresar en función de t las coordenadas de la CUTva. (x, y) de un punto genérico RESOLUCIÓN

(P)

-

Al ser (OC= 3r) :

y puesto que n (ángulo llano en C) = 4t -

o:

{a = b

3rcost

= 3rsent

{x

y=

rseno:

b - reos o:

=a -

+ n/2 - t � o: = 3t - n/2, se tiene:

x = 3rcos t - rsen(3t - n/2)

y = 3rsen t - rcos(3t - rr./2)

}

...... x = 3rcost + rcos3t

y = 3rsen t - rsen3t

}


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258

Cálculo integral y aplicaciones

X

Figura T2.3

con lo cual hemos obtenido unas ecuaciones paramétricas de la astroide. os 3z = cos = 3 = cos3 3 os Simplifiquémoslas sustituyendo {esen31 = 3sent-4sen en dichas ecuaciones: {x= rcost(3 + 4 cos21 -3) 14r = R} {x=Rcos3t -x-1, 3 y-'3 = R-13 y= 4seo1 Rsen3 t que Evidentemente son las ecuaciones icasparamétri y cartesiana esta::pararnétr : ecuaciones cas pedidas. son un caso particular de las {X= cos33 /. (astroide generalizada) y= Bsen 1 (2r + r)

rscnt(3 - 3 +

t)

......

· · ·

r

+

y=

A

y 3

E 2

Figura T2.4

4

t

X

,

-

t

e

,


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Curvas y superficies

259

Se propone, aplicando que el radio de curvatura (R) en un pumo P(x, y) de la eUpse E: (;.(lja2) + f.T/b2) = J (Figura T2.4), viene dado por

comprobar que el lugar geométrico de los centros de curvatura (C) de los puntos de la elipse E, es una asuoide generaJizada en la que A = (a2 b2)/a, = (a2 - b2)/b. La astroide generalizada de la Figura T2.4 ha sido dibujada mediante ordenador para una elipse E de semiejes a = 2 y b = 1 (A = 3/2, 8 = 3). • -

T2.2.

B

SECCIONES CÓ NICAS Las deoomiJ1adas secciones cónicas vienen definidas por la ecuación de segundo grado en x e y:

2 Ax2 + By + c..�,y + Dx + Ey

(1 1)

+ F= O

El único o j tivo de este apartado, consiste en identificar (rambién llamadas cónicas simplemente) como intersecciones de un cono un plano, así presentar sus gráficos y dar sus definiciones como lugares geométricos de puntos. d nd odu d , y pl n por el vértice cono) o «no degenerada». En este segundo caso se tienen según la posición del an T2.5), como lar , hipé ol y parábola.

be dichasrectosecciconones cónicas como Del plano dedelcorte epe e la sección pr ci a que ésta sea «degenerada» (el a o pasa plrb oa (Figura las tres cónicas básicas: elipse (circunferencia caso par6cu )

Elipse

Hipérbola

Parábola

Figura T2.5

a) La Elipse (Figura T2.6). Es el J u r geométrico de Jos puntos P(x, y) cuya suma de distan­ cias a fijos F y F' una constante (2a): PF + PF' = 2a. ecuación reducida (ecuación de la elipse de centro el origen y ejes los ejes coordenados) puede fácilmente ap cand mediante dos circunferencias de niendo en cuenta que todo punto P de la l i p e expr d en el segundo gráfico de la Figura T2.6. Con eHo:

puntos Su dos obtenerse forma esa a

ga l amados focos es li o la defin e sición.se Sjn generaembargo es inmediato conseguirla, te­la x acost } x2 y 2 ,

=

y = bsent

a2

b2

�- + - = 1


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260

Cálculo integral y aplicaciones

y

a

-�

Figura T2.6 b) La Hipérbola (Figura T2.7). Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el va­ lor absoluto de JJ!....Qiferencia de las distancias a dos puntos fijos F y F' llamadas focos es una constante (2a): IPF - PF' 1 = 2a. \

V

' \

'

'

'

'

'

......... .....

V

------� ---�· ��-+��--�· %

X

"

Figura

,

......

'

'

'

'

'

'

T2.7

Aplicando esta definición probaremos seguidamente que: x =

± a Ch r

y = bSht

x2

y2

} � -- - - = 1 a2

b2

son respectivamente, unas ecuaciones paramétricas y la ecuación reducida (cartesiana) de l a hipérbola (recuérdese que Ch2 t - Sh2 t 1):

=


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Curvas y superficies

261

elevando al cuadrado (no se añaden soluciones, pues los dos miembros son positivos), se tiene:

de donde despejando la raíz y volviendo a elevar al cuadrado resulta:

- La hipérbola tiene dos ramas (el signo ± del Ch t en las ecuaciones paramétricas dadas, depende de la rama en cuestión). - Se llama rectángulo principal (segundo gráfico de la Figura T2. 7) el que tiene por diago­ nales a las asímotas, y dos de sus lados son tangentes en los vértices (éstos miden 2a y 2b).

- Cuando a = b, se dice que la hipérbola es equilátera. - Se llama hipérbola conjugada de la dada (a trazos en el segundo gráfico). aquella de ecuación y2/b2 x2/a2 = 1 : Ambos tienen iguales ejes, asíntotas y rectángulo principal .

-

La Parábola (Figura T2.8). Es el Jugar geométtico de los puntos P(x, y) queequidisran de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d denominada directriz: PF = PQ (distancia entre P y la recta d). e)

{p

1'

(parám�trn)

\1 (vértice} No tiene cenU'o Carece de asíntota�

- p/2

V

x

Figura

teje de la parítbola)

T2.8

Calculemos aplicando la definición, la ecuación crutesiana de la parábola expresada en la Figura T2.8: PF =

J<x - p/2)2 + y2 = PQ = x + p/2

relación que elevada aJ cuadrado da Jugar p2 px + - + /· 4

a:

1

= ,¿. + px + p4

=

y2 = 2px


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262

T2.3.

Cálculo integral y aplicaciones

CURVAS

EN R3

ComoEn generalizaci ón debidila mde.ensifin.iocinalón compl de curva planase endenomina R2 , es inmediata la siguiente: eldeespaci o afín e tado, curvasonofunci línea,ones a todo conjunro ternas ordenadas tal e s que conti nuas en un ciPorertoconsi interval o guiente, las ecuaciones: C e R3

(x(t),

y(t),

z(t)),

x(f), y{t), z(t).

l.

{xy== y(x(tt)) Z = Z(l)

reciHabi ben eldanombre de ecuaci ones paramétri casentre de laloscurvavectores o línealibres del espacio los puntos cuenta del i s omorfismo exi s tente, deponenteses conveniente en muchas ocasiones definir la cmva por un vector libre ii(t), de com­ En estasrácondici tor desctibi la curvaones es claro (Figura que variar el parámetro el extremo del vec­ C.

y

3 R ,

C,

(x(t), y(t), z(t) .

al

T2.9),

C.

(}

t,

y

j

Figura T2.9

la ecuación: v(t) x(r) T + f se leCuando denonüna, deen unla curva l a curva está conteni d a contrario se dice que la curva es alabeada.plano, ésta recibe el nombre de curva plana. En caso A

=

ecuación vecwrial

y(t)}

+

z(t)

C.

Ejemplos

1.

Dada la curva C definida en paramét:ricas por

{x = r

cartesianas de dicba linea y discutir si es o no plana.

y = 2t2 + 3t, obtener s i es poslble, unas ecuciones z = !2 + t


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Curvas y superficies

263

RESOLUCIÓN Es inmediato en esta ocasión (sustituyendo

t = x en

J2x1

las ecuaciones segunda y tercera) que:

+ 3x - y = O LXz + x

<. = O

:;on unas ecuaciones cartesianas de la curva. Aunque posteriormente se estudiará con rigor; recordaremos, que toda ecuación definida por la rela­ cjón P(x, y, z) = O o z = f(x, y). represeDLa una superficie en el espacio. Por tanto la curva puede expre­ = O con la x2 + x z = O. sarse también como intersección de la superficie 2x2 Es claro que cualquier curva podrá obtenerse por intersección de muy diversas superficies. Si alguna de estas superficies fuese lineal en x. y, z, se tendrá Ja ecuación de un plano; y en consecuencia la curva sería plana, pues pertenecería toda ella a dicho plano. Basándonos en esto, veamos si la curva pertenece a un plano. Para ello deberemos probar que:

- C,

+ 3x -y

C

Ax

+ By + Cz + D =

0V

o sea

P(x, y. ;,:) E C,

Vt

E1=R

por consiguienre:

At + 8(2t2 + 3t) + C{c1 + 1) + 28 + e = 2 (28 + C)t + (A + 38 + C)t + A + 38 + C Ax

+ By + Cz + D = O

=

o

{

=

D=O

=

=O

D=O

D=O

=

A = -8

<>

{C=

- 28

D=O

de donde se ciene:

-Bx + By - 2Bz + O = O

Vt

=

ER

:

x - y + 2<. = O

con lo que la curva es plana, pues todos sus puntos verifican la ecuación x En consecuencia, las ecuaciones (por ejemplo):

C

-y + 2:: =

O de u n plano.

{x2- y + 2¡;=0 x + x - = () z

son otraS ecuaciones cartesianas de la cw·va. Obsérvese finalmente, que cualquier pare:ja de ecuaciones teriores, sirven también para expresar a la curva

F(x, y, z) = O, combinación lineal de las an­

C.

2. Detctminar unas ecuaciones paraméu·icas de l a curva de la Figura LO (helice circular), engendrada por el movimiento de un punto P(x, y, z), gue gira con velocidad angular constante w alrededor de una recta fija: e igualmente se desplaza con velocidad lineal constante h en la dirección de dicha recta (eje de 1:1 hélice). Obtener asimismo si es posible, unas ecuaciones cartesianas de la curva.

T2.


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264

Cálcul

o

integral y aplicaciones

=

y

Figura

RESOLUCIÓN

(Figura T2 . 1 1 }

T2.10

Si al momento t = O, corresponde el punto (r, O, 0) y puesto que después de un liempu 1 (parámetro), el end á que dicho al punt P(r) le las

ángulo girado por el segmemo OH es wt,

coordenadas:

{x

se t r en =

instante,

o

corresponderán

reos wr

y = rsenwt z = hr

que son unas ecuaciones paramétricas la hélice. La eliminación del parámetro f. es muy encilla en este caso; dando lugar a:

{x2 tg -

de

y

+ y2

-=

que T2.4.

=

wz

rl

(cilindro)

h

son unas ecuaciones cartesianas ele la hélice circular. x

RECTA TANGENTE A UNA CURVA ALABEADA EN UN PUNTO DE LA MISMA Sen la curva C =

{x =

x(t.)

y = y(T), en donde x(t), y(t), z(t) son funciones continuas y derivables en el

z = <.(1)

punto P(l0) correspondiente al valor 1 = 10• es decir, en P(x(t0), y(t0). z(t0)).


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Curvas y superficies

265

;

Helice

y

X

Figura T2.11

Sea asimismo otro punto Q E C (Figura que se acerca a P moviéndose sobre dicha curva.Por a P.la recta posición límite de la secante PQ, se denomina recta tangente a la curvaEsCcldefinición, enaroelquepunto enrecta; un pequeño entorno del punto P,los alcurva está más cerca deP sustituimos la tangente que depequei cualquier otr a consecuentemente, si en r ededores del punto unae� l a porci ó n de curva pm la cor r espondi e nte porci ó n de tangente. el error que se comete elguimenor, siendo además con reldicahacióporci n a laón.porción de tangente tomada por consi­ ente, tenderá cero al pequeño tender a cero T2.12),

y

la

y,

a

Figura T2. 12


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266

Cálculo integral y aplicaciones

Poresolradeciparte, consi unla defu1i cseióndespl de tangente, quedala curva fijada laladirdiecci ónóndedelasucurva en cada punto; r , que móvil a zase sobre r ecci movimiento en elObtengamos punto P, sería la misma, que la dedella vector recta tangente a la curva C en dicho puoto. ahora l a s coordenadas t(vector tangente); a partir de él. las ecua­ cionesDe cartesi anas deónladerecta tangente punto P. la observaci la tigura anterienor.eltendremos: C,

y

PQ = v(r0 + t;.t) - Ü(r0)

los dos de esta iag:ualdad por el escalar !;.t, resultará un vector ü de igualDividi direcciendoón que el PQ.miembros En consecuenci _

u =

=

PQ + - = Ü(t0 !;.t) - v(t0) M t;.¡

[x(t0 + !;.t) - x(r0)]T + [y(,t0 + M) -

y(10)J./ +

[z:(t0

-r

Ac) - ztt0)]k

acercarse Q a P sobre la curva, en el caso lí1�te At tiende a cero; con lo que el vector (FiguTa 12) girará, tendiendo al vector tangente Por todo lo cual podremos escribir: ü(t0 + t;.r) - v(10 ) = lim t = lim ü /).f M-O M-O z(t0 + At) - z.(t0)] x(t0 At) - x(L0) ] .,.. [ . y(t0 + Al) - y(t0)}.,.. [ . [ = lim l u n ¿\1-o !;.L at-+O Ar at-o !;.t . de donde: Al

T2.

t

_

+

u

=

+

z+

hm

k

dv(t0) clx(t0) .,.. dy(t0) ..,.. dz(t0) t = -- = -- ¡ + -- } + -- k dt dt dt dt _

dy dz) Dado que -(dx r - , - , - es el vector director de la recra tangente en el punto P(xCtn), y(t0), dr dt dt se tendrá que: P

z(t0)),

x - x0(l0) ) (�

p

Y - YUo) y ) dt p

(el

z - Z(t0)

)

( 1)

(�� p

son Esunasinmedi ecuaciatoonesobservar crutesianas la rectaones:tangente en dicho punto. que lades expresi

son equivalentes a la (

y - y(to)

(dx)p

(dy)p

x - x(t0)

y - y(lo) (dy)

z - z(to)

d.x

d.x

1

1 ).

z-

x - x(t0)

1'

z(t0)

(dz)p

(d�)

/'

(2)

(3)


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Curvas y superficies

{F(x,

267

Las expresiones (2) y (3) de la ecuación de la recta tangente en el ponto P, resultan muy y, l.) = O . das e.n e1 caso de que 1a curva C venga defi101'da en 1a forma aprop1a G(x, y,

)-O

, ..

_

.

Ejemplo

Dados Jos sistemas: {x= = {x3 3x -3y - z O quetangente en el la omisma curva detemunar cada uno de ellos. la ecuación de la recta tElantúnio: co problema será, obtener en cada caso las coor{x'(td)enadas= l del vector (de la recta tangente. Por : 3r· le corresponde valor = resulta quex'(O) = l. pot consComo iguíentale: son unas ecuaciones cartesianas de ladryecta tangente a la curva en el ¡dx 2 ¡(dy)(ddzx) = 0 = 3x 3 = valores Difesuresncitituaindodos enel s{i3st)e.madanselugartienea la r=ectc/za t=O,angentedeantnuevo,erior. la mísma ecuación. e, =

y= (.

=

t+ 1

r2 + 2

.

e3

_

13

-

- .!Y + z + 1

+8=

=O

en

representan (compruébese), punt P(1. 2. 0).

RESOLUCIÓN

director

el

punto P( 1 , 2, 0)

c2

:

rk

que

T2.5.

dy

21�

O,

t

y'(O) = O. dO) = 0: y

C1

_

2

-

dx

=

z'(f) =

el

= 2.x

C3 :

y'(t)

6x

P

,

+

dx

y

punto P.

1,

o

SUPERFICIES EN GENERAL De igual modo que sucedía con las curvas, frecuentemente en el espacio, el grafo de z = f(x, y) en donde f es una función, recibe el nombre de superficie. Esta definición, sin embargo, es también aquí demasiado restrictiva, pues excluye entre ot­ ras muchas superficies notables, a la mayoría de las superiicies cuáclricas (que posteriormente representaremos).


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268

Cálculo integral y aplicaciones

EstEn eelesespac.i el motio vafío ndetridimLaensisigouinalentecompl deJineitado, ción: se denomina superficie, a todo conjunto son fun­ tales que tienrnas cioneslacontdes ecuaci uasoennes:ordenadas un cierto dominio { dar

) ¡.l), z(A., p) x(J., ¡1), y(,,

(x(A, J.l), y(?.. ¡t), z()., �L)),

S e: R 3

D �

A

R2 .

x = x(?.., ¡t) y = yU, J.l)

(4)

z = zO, Ji.)

l amaremos ecuaci ones paramétenrielcasisomorfismo de la superfientciere vectores libres puntos, podemos definir Igual m ent e , apoyándonos a la superficie por un vector libre o vector de posición de componentes as condicliaonessuperfi(Figcuraie variar parámetros y extremo del vector de posiEncióestn recorrerá S.

y

S.

(x(A, J.L).

ú(J., ¡t)

y(A, J.L), z( tt, J.L)).

T2.13), al

2

los

S.

fL, el

P(x(.t. ,u), y(Á,/i ), z(.{,/l))

j y

Figura

T2.13

La ecuación: ¡t)} se denomi naesecuaci óbnlevectori alalsdetresdicecuaci ha superonesficie. eliminar los dos parámetros y dando veces facti entre la f01cime.a o la cual recibe el nombre de ecua­ cilugarón carta unaesiaecuaci na de ólna desuperfi u y: �efini�a por < = haciendo = A. y = �� tien:��:,::::c::�s•:��.::,::: '= � v(J..

A

JI) = x(Á,

J.l) T + y( A,

F(x, y, z) = O,

j(l, � )

(4),

+ z(J., J.L) k

z = j(-�;,

íl

y),

j(x, y);

p;

x

(/


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Curvas y superficies

269

Ejemplo Dada la superficie S definida en paramétricas por:

Obtener si es posible unas ecuaciones cartesianas de la misma. RESOLUCIÓN

Despejando J.. p en función de x e y, entre las dos primeras ecuaciones que son lineales, tendremos y) al sustituir en la tercera. En este caso, sin embargo. puede obtenerse muy fácilmente z =j(x. y), con sólo observar que:

� = j(x,

de donde: En consecuencia; es la ecuación pedida. represent.ación de esta superficie (Figura T2.14), es muy simple de realizar, dado que todas sus intersecciones con planos z = k paralelos al horizontal, son circunferencias cuyos radios van decreciendo uniformemente, hasta anularse en el punto (0. O, 16).

La

P<x,y.tJ •

''

1 ' ' ' 1

: ;=:[6 -:t-- )i� 1 :

, .,.

1

.,

.,

..- : - 1,- - ..... 1 '

o '

1

:

-�·-�-----�---

Figura T2.14

X

___ __.:..._.. y (0, 4. 0)


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270

Cálculo integral y aplicaciones

Obsérvese asimismo, que

{� � :

z = 16 -

más sencillas que las anteriores.

T2.6.

22

- ¡¡2

.

son unas ecuaciones paramétricas de esta superficie y

CURVAS SOBRE UNA SUPERFICIE

{x : x(A., J.L) se da un valor numérico a uno de los parámetros, por =

Si en la superficie ejemplo A.1, resultan las ecuaciones {x: : �(Al' dependientes de un solo parámetro guienteparase otterndrá unaorescurva, A.la2, cualA. obviamente está situada sobre la superficie. Lo miporsmoIgualconsi sucederá os val ente, dando a los delvaloparresámetro A.. . .. se engendrará otro sistema de curvas, que ahoraCualúniqmcuiamente dependerán edelr punto destema la superfiotracidele (Fisegundo, gura las cualpodrá definirse porrespecti interseccivamente ón deadosun curvas; una pri m er si e s corresponden valoObsérvese r de a asiotrmo idesmo, que si se establece una relación cualquiera f(Jl) entre ambos pará­ o dependerá metconsecuentemente ros, el vector de posi descricióbniráü(.unaA, J.L)curva sobre la solsuperfi cie. de uno de dichos parámetros: S= y

y(A., ¡.t ) ,

z - z(J., J.L.)

=

J.. =

'-

y

A

¡,t

P

xOI'

¡J)

¡,t)

¡.t:

- �(J'I• /L)

= A..3 , ... . J.L1, ¡,t2, tt3,

=

T2.15),

y

), y

¡.t.

= v[f(J.L). ¡.t]

y

Figura

T2.15

).

=


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Curvas y superficies

{;. ==

271

De todo lo anterior resulta, que cuando se fije uno de los dos parámetros, o cuando éstos estén

. . ' A, = .f'( ¡1) ; o lo que es 1o m1smo SUJetos a una re1acwn

.

superficie.

J.L

J..( t) , se tendra una curva sobre 1 a

¡.t(t)

'

Ejemplo

Dada la superficie defurida eo paramétricas por

1. 2. 3.

{.\ = 4 sen 1..cos Jt y=

2 se� J. sen��

z = co s A

Expresarla s i es posible en cartesianas.

Detenninar el lugar geométrico de Jos pun1os sobre la superficie. en Jos que Jt = 2

7r

- 2.

Dicho lugar, como sabemos, es una curva: comprobar que esta curva pertenece a la superficie dada.

RESOLUCIÓN 1. Como

x

2.

Curva =

= 4 seni,cos(� - ).

y = 2 sen i. seo � - ). z = cos j,

'

) ( )

.r-2 + 4y2 + 16i- - 1 6 = o

=

e=

{x = 4sen2

, i

y = 2 sen J.. cos /, . z = cos).

Deberemos probar que todos los puntos de la curva pertenecen a la superficie. D olcmos por P(J.) = (4 sen2 Á, 2 sen l eos 2, cos Á) un punto de dicha curva y veamos que P verifica la ecmción de Ja supetficie: /

=

2 A·2 + 4v2 . + 16z1 - 16 = t 6 sen4 .A + 1 6 sen2 ..:t cos A + l 6 cos2 ), - 1 6 =

1 6 sen� }, + 1 6 sen2 J. ( l - sen2

A) + J ó cos2 i. -

16 = 1 6 sen 2 }.

= I6 (sen 2 }. + cos2 2) - 16 = O

V .} E R

+ 1 6 cos2). - 1 6 =

Por consiguiente, V i. E R: es c.lecir para todo punto P de la curva. se veri fica x2 + 4_y2 + + 16?.2 - 1 6 = O y en consecuencia la curvu pertenece a la superficie.


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272

T2.7.

Cálculo integral y aplicaciones

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE EN UN PUNTO DE LA MISMA

/L ) Sea un punto de la superficie al cuaJ corresponde el par plano tangente apuntla superfi caies infiennieltaspunto al lplaasuperfi no (casociedequeexistpasanir) forma­ do porSeDadodenomi lasquerectanunsa tangentes en el o a l cu1 · v as de pordos pl a no queda defi n i d o por dos rect a s que se cort a n, nos bast a rá con t o mar Ja superparaficisie mqueplifpasen pors cálculos, las curvas y (Figu1·a curvasPorcualtanto,esquiseleeraccideonando i c ar l o correspondientes, respectivamente, a Jos valores y se tenrn·á que a:

{

X

P(x0, y0, z0)

= X(A,

S = y = y{}c, ¡.t),

(20, ¡t0).

z = z(A., J.L)

P,

S

P.

P.

P.

¡.;.

= ¡.;.0

2 = 20,

C1

C2

T2.16),

corresponderán asimismo tangentes, cuyos vectores directores son: respecti vamente. a, tomando un punto genérico del plano tangente; y habida cuenta En consecuenci deto nulqueol)o, sresulvectores y pertenecen a dicho plano (producto mix­ ta finalmente que: PQ (x - x0, y - y0, z x - x0

-

z0), t1

Y - Yo

ox

ay

-

-

o..t

ox

-

Q(x, y, z) t2 , z - z0

oz.

oA.

=O

oJ.

ay

Dz

OJ.L OJ.L OJ.L es la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto y puesto que en estas Cuando la sup{e::�i� venga dada en f01ma explícita condiciones, sustituyendo en el anterior determinante, se tiene: (P)

S

S

S = y = ¡.1

y="' (?.., ¡J.)

\

P(x0, y0, z0).

z = j(xr y);

la

;

x - x0 1

o

o

z.

-

Zo

oz ox

=O

oz

-

ay

(1')


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Curvas y superficies

273

Q(,�, y, z) Figura T2.16

cuyo desarrollo da lugar a: z = f(x, y)

que es la ecuación del plano tangente a la superficie EnéJzel caso F'xde que azla ecuaci�'ón de sea de la forma - , se tendrá: que S,

- =

ñx

-

-

F'_

- =

ay

-

en el punto 0, z0). y dado, como sabemos,

F(x, y, z)

P(x0, y

=

O,

F2'

que es la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto La recta perpendi culacriealenplanodichotangent e en un punto de la superficie, recibe el nombre de a l a superfi punto. Puestocomoque elel product vector dio rvectori ector deal esta recta es el del plano tangente, dicho vector podrá ex­ presarse 't;) de los vectores r1 y f;. vistos anteriormente. F(x, y, z)

recta normal

T2.8.

(t1

=

O

P(x0, y0 , z0).

x

SUPERFICIES DE REVOLUCI Ó N

Muchas ficies, están engendradas por una lfnea que se mueve siguiendo una ley de­ termiVamos nada.de laastrsuper atlaasr enengendradas principio deporlaunas superfi c(meri ies dediarevolución, lagis rcual eededor s comodesuunanombre ifinjdia c(ejea, sonde aquel l í n ea na), cuando a al r recta la superfici e ). puntocdeularlaalmerieje.diana por Umto, describirá circunferencias (paralelos) situadas en un planoCadaperpendi


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274

Cálculo integral y aplicaciones

C = L_rzy ==/(X) - O

y

A(r, O, 0)

Figura T2.17

Iniciaremos est, e esrudio, obteni{zendo la ecuación de la superficie de revolución engendrada por una curva !mea plana ( e se encuentra en el plano al g1rar alrededor del Supongamos eje<:. en principio para simplificar los cálculos, toma únicamente valores no negat ivos. ecuacideónunse tuntendrá,o enési logramosde diencont rar relaciLoón es inmediatoent(Fireguralas coordenadas c ha pues como y dado resulta la relación: o

C=

= f(x)

y=O

xz),

qu

que x

Esta

(x, y, z)

rico P

superficie. que z = .f(r),

g

x2 + y2,

r=

T2.17),

la

.

F(x, y, z) = O,

cuaJ

que es lconsi a ecuacigujóentn ede, laelsuperfi ciele buscada. eje es ynlacorrespondi curva estentá eense obtiplaenone, dejando (de ecuaci óinable la coorpl a no), l a c ho up rfi c e de revol u ci ó i n vm· d i -...Ci.._ enada la conespondiente al eje); y sustituyendo la por (raíz cuadrada de la Sl·EsJ1acldearoloques cuadrados de l a s dos coordenadas) . si lsería líaneala ecuaci situadaónendeellaplsuperfici ano evinienecuest se dadaión. por entonces, el plano y ej coordenados seanAsi9ti·üsmo os distresul intos.ta inmediato traslsustiadartuir por presuponemos como habíamos di­ cho, que es no negati v a. En el a o pueda tomar ' t a mbi é n val o res dicha coordenada deberá sustiLuirse por o lo lo por Por

F( x2

z

si

s z (que es y2, z)

e

i

xz.

el

x

restantes

estos resultados cuando x

c s de que x

Jx2 + y2,

± Jx2 + y2;

z

= f(x) en

Jx1 + y2

F(x, 1.) = O,

xz

=O

Óbservemos finaJmente, que al x

C

que es

el

e

negativos, enronces

mismo, x2

x2 + y2.


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Curvas y superficies

275

Veamos ahora dos ejemplos seleccionados, que consideramos suficientes para dejar fijados todos estos conceptos.

Ejemplos

1.

Detem1inar la ecuación de la superficie de revolu(:ión engendrada por la curva (recta) C =

al girar alrededor del e:ie

e =

{

x=O

?y

1= 0 x=O

{

-

y=O

RESOLUCIÓN La línea C que está situada en el plano yz, tiene por ecuación en dicho plano 2y - z = O. Dado además que el eje de revolución es el eje z (z invariable), resulra:

de donde:

Obsérvese que la línea

(Figura T2. 1 8 ) .

{z

= 2x,

y=O

engendra la misma superficie de revolución si no se cambia de eje

y

, {x=O :

e =

-

y- o

Figura T2.18

2.

O

Calcular la ecuación de la superficie de revolución engendrada por la

de la recta

{

x=

z=O

curva {Y=

r.l,

x=O

al girar all-ededor


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276

Cálculo i n teg ral y aplicaciones RESOLUCIÓN

La curva C que Como el eje

esLá en el pl<mo yz (Figw·a T2. 19), tiene por ecuacíón en dicho

de revolución es el �je y (y invari able ). resulta:

Figura T2. 19

T2.9.

plano la dada por y = z2.

SUPERFICIES REGLADAS Se dice que nna superficie es reglada, si está engendrada por w1a recta (generauiz) que se mue­ ve siguiendo una ley deLerminada. Obviamente, esta� superficies esrán formadas totalmente por rectas. Las superficies regladas pueden ser de dos tipos:

a) Desarrollables. Cuando dada una generatriz cualquiera de ellas, el plano tangente es el mismo en todos los puntos de dicha generatriz (razónese con el cono de la Figura T2.18). Evi­ dentemente estas superficies pueden extenderse (des�UTollarse) sobre un plano. b) Alabeadas. Es el caso opuesto: el plano tangente varía a lo largo de la recta gencrau·iz y en consecuencia no pueden extenderse sobre el p1ano. De entre ]as superficies desarrollables estudiaremos las siguientes:

Superficies cónicas o conos Las más importante� superficies desarrollables, son las superficies cónicas y las superficies ci­ líndricas, también denominadas respectivamente conos y cilindros. Las superficies cónicas o conos, son aquellas superficies engendradas por una recta (genera­ triz) que tiene un punto ñjo (vértice del cono) y que se apoya en una curva cerrada o no, que recibe el nombre de directriz. Dados la curva directriz C de la superficie cónica (Figma

=

{xy== x(t)

y(t) y el vértice V(x0, y0, z0), obtengamos la ecuación

z = z(t)

T2.20)

en sus diferentes forma'):


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Figura

Pm·a

277

T2.20 e

ello, tomando como siempre un punto genérico P(x, y, z) d ella, escribiremos: vector de

posición

v = OP =

0\1 + VP

OP = OV + A \lA

que es la ecuación vectorial del cono, la cual podemos expresar en la forma equivalente:

xl + y.J + z.k = x01+ yJ + ?.ok + i.[(x(r) - x0)1 + (y(t) - Yo)./+ (¡;(!) - z0)kJ

x0]}

de donde resultan las ecuaciones paramétricas de la superficie cónica:

+ J..[x(t) Y = Yo + �l11(t) - .Vol z = z0 + A[z(t) z0] x = x0

(5)

en función de los parámerros ). y t. Despejando el anterior sistema el parámetro ),. se tiene:

en

x - x0 y - Yo �=___;:_ -

x(t) - x0

z

-

z(t)

y(t) - Yo

::0

-

(6)

z0

que son también m a o (dos ecuaciones ecuaciel vérones,tice un por unt e

obviamente unas ecuaciones para éuic s del c no con un so­ lo parámetro t). Obsérvese que estas dos son precisamente las de la recta generatriz g definida los p os V y A; o sea por y punto genérico úe la directriz. Si enu·e las tTes ecuaciones de (5) eliminamos ), y t; o ntre las dos de (6) eliminamos t, resultará la relación: f(x,

y,

z)

=

O

que es la ecuación cartesiana de la supertlcie cónica.

En

el caso de que l a curva directriz venga dada por C =

ecuación del

cono

operaremos del modo siguiente:

{F(x

V ") = O

G(x, y, z) = O '

·

'

�.

' para

obtener

la


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278

l Denotando porforma: las coordenadas del punto genérico de dicha directriz, el sistema quedará }

Cálculo i nteg ra y aplicaciones

A(a, b, e)

(5)

en la

x

= x0 + A(a - x0)

Y = Yo + A(b - Yo) <: = Zo + A(c - Zo)

(7)

ademásonesquede lasdicoordenadas car Dado las ecuaci rectriz; es decir: del punto genérico están condicionadas a verifi­ a. b, e

A,

la

F(a, b, e) = O} G(a, b, e) = O

en totalón cjnco eCüacionesbuscada. con cuatro parámetros cuya eliminación dará lseugartLaendrtaforma l1anecuaci más ecuaci senciloanesen delgeneral, gue: en ellas Como las tres sistemade (7)lograrsonestlinaeaJeleins,únaci podránóu, fácies la!mqueentesidespejarse los m o valores que sust1tt1 dos en , daran lugar a dos ecuaciOnes e a forma de 1as que e¡unman · · do ma mente parametro restante resu tará la ecuación <.:artesiana de la superficie. a, b,

j(x, y, z) = O

,

para

J 1

etr

·

s a,

b,

.

e;

{F(a, b, e) = O

.

c.

),

,

G(a, b, e) = O

, = {g(x. y, z, A.) 1) _ 0 h(-\, y, z, JI. - o

fi

el

l

f(x, y, z) = O

'

Ejemplos

e=

y

) ./

{X== =

Determinar la ecuación cartesiana de l a superficie cónica de directriz la curva

1.

de vértice V el origen de coordenatlas.

{.X=

RESOLUCIÓN De (5) se (iene:

y=

y

t+ J

?.

1

t2 + 2r + 2

= -=-- t=-­ {X=

o + ).(t + 1 - O¡

o + J.(t2 + 21 + 2 - 01 =

z = O + A.u - O)

con

A(l

+ 1)

y = J..u 2 + 2r + 2 1 ),t

::

Jo que utiliz<mdo la primera y tercera ecuaciones que son las más sencillas, resuJta:

Como además ),

=

X l

7

: . se l

.

t+l

tiene que A. = x - ;;;.

:0>

Z

:A. - :

ll 1,

1


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Curvas y superficies Valores que llevados a la segunda ecuación dan lugar a:

= - [ zl + � - + 2]

JI

(,t

de donde:

z)

(X - .:)

2

X

=

é':

y

= � + 2z + 2(x X

-

Z

es la ecuación cartesiana de la superficie cónica.

2.

Obte11er la ecuación del cono de direclriz C =

{x2 + v2 = x

. =z

1

y cuyo

vértice es

-

279

z)

• el punto

V(O. O.

1 ).

RESOLUCIÓN Del sistema (7) y ecuaciones de la direcu·iz. se tiene:

a=-

x = l.a

).

y = ),b

+ A(e - 1) (/2 + b2 z= 1

=

a =c Como

a

r

. ;,

.: - l + .i..

A

Sustituyendo finalmente este valor de �

x2-

.,

a- + Ir = 1

-=

(x- :: ..l. 1)?

, i

)'

A.

¡- =

-

T + J.; de donde J. = x

-

en la ecuación restante. resulta:

y2

+ -:: + 1)2 = (.x

b=-

con lo que

1

- •. v =-> x = z

= e · - = ----

r

.

1

=

z + l.

x-+ . = x- + - - + .,

1•2

.,

'

.:

+ 1

2x::

1x - ?.::

y, por tanto: será la ecuación de la superficie cónica.

Superficies cilíndricas o cilindros Las denominadas superficies cilíndricas o cilindros. son aquellas. engendradas por una recta móvil {generaLriz) que manteniéndose paralela a una dirección (J), se apoya en una curva C cerrada o no, la cual recibe el nombre de directriz. Puede decirse. por tanto, que estas superficies cilíndricas son conos cuyo vérüce es un punto del infinilo.


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280

Cálculo integral y aplicaciones

A(.\'(1). )'(1), di))

--------··---.y-

11

\'

-� At,_ 16I --

-------..J. -·� d{d,. t/2. di)

__ __

o

Figura T2.21

Razonando de gu l modo que lo hicimos los conos, dada la directriz la direcc;ión f;c ;). de la observación de la tendremos: vecror de posición que es la ecuación vectorial del cilindro que expresaremos en la forma equivalente: + yJ x(t)i y(l)j ),(dJ de donde resultan las e a on s la i

con

a

d(d 1 • d2,

y

C=

y

Figura T2.21

ü = OP = OA + AP

:::::>

OP

=

OA =

k

{x :

= x(l)

: y(n

<. -

�.:(t)

i.Ci

y

xi

+

co ci

zk

+ z(t)k +

+

=

e para:métricas de x= :V

x(r) = J.d 1

Despejando

+

}

dJ + d3k)

superficie cilíndrica:

= y(t) + Ádz

z = z(t)

+

ld3

(8)

en este sistema el parámerro ),, se tiene: X

-

X(l)

)' - y(t)

=

:?. -

Z(l)

(9)

quesolo obvi amentroe son también unas ecuaciones paramétricas del cilindro (dos ecuaciones con un parámet comopuntanto erinormente, que eslas dosz ecuaci ones, aso�d(d1,las dde, d3)rectcomoa generall izdi­ querectObsérvese pasa por un o de di e q vect o r 2 oFir.nalmente, entre las tres eliminamos o emre las de se elimi­ na resultará la relación: f(.x., y, z.) = o que es ecuación cartesiana de superficie cilíndJica. 1).

ge éric

si

1,

la

1\

la

r ctri

ecuaciones (8)

la

y

u e tiene

A y t:

g

la

dos

(9)


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Curvas y superficies

En el caso de que la curva directriz venga dada por C =

c dr

{F(.x;,

y.

z) = O

G(x, y, z) = O

.

281

para obtener la

ecuación del ilin o haremos lo siguiente: Denotando por A(a, b, e) las coordenadas de un punto gené ic de dicha directriz; el siste­ ma ( 8 ) quedará en la forma.:

ro

( J O)

Como

además las coordenadas a. b, las ecuaciones de la de i

directriz es c r:

e

del punto genérico A, están condicionadas a verificar

F(a. b. e)

=O

G(a b. e) = O .

r

en total cinco ecuaciones

ar me o

),� cuya eliminación

se tend á n con cuatro p á u· s a, h, e, (siguien­ do el proceso recomendado en conos. que en general es el más sencillo) c1an1 1ugar a la ecuación cartesiana j(.r, y, z) O.

=

Ejemplos

Dctennímtr la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica de directriz la curva {;: : y cuyas generatrices paralelas a la recta {y+

1.

=5

·

son

C=

..: =

� 2

4-

¡2

2y -:: 4 = 1

RESOLUCIÓN

Figura T2.22

Utilizando resolver problema las relaciones (9); o sea las ecuacione:< la para

este

de

biremo:;:

g=

pues resulta

x - (t + 2)

inmediato que a( J . o. 0), es

1

el

y-t

-= o =

z - (4 - t1 ¡

vector director de

o

la recta dada.

gener:'llliZ

escri­


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282

Cálculo integral y aplicaciones De ln

pri mera ecuación se tiene que O = y - r

t = y. Sustituyendo este valor en:

=>

X - (/ + 2)

1 se tiene:

x - y- 2

2 y

=

que

+ (. - 4 = o

la ecuación de la superficie cilíndrica. = 4 - )'2 Observando que L = . es la línea de intersección (parábola) de la superficie hallae,

{:::

x=O

du con el plano x = O; y dado que las generatrices de dkha superficie son paralelas al eje x. de vector dí rector d( 1 , O, O) pode.mos también considerar esta supemcie, como l a que Liene por directri;;; la curva L y generatrices paralelas al citado eje. En consecuencia es inmediato que el gráfico de la Figura T2.23 corresponde a la ecuación v2 , � - 4 = O = z = 4 - y2 (ecuación de L en el plano yz). Hacemos nowr (inalmente que en dicha ecuación falla la vatiable x; lo cual nos indica que las genera­ trices del cilindro son paralelas al eje x.

({1. 0.4)

.\

2.

Figura

Detennlnar la proyec<.;iÓn de la \.:urv;l e = Obtener dicha proyección en el

CiiSO

{F(x.

T2.23 .,..

,::) = O

{4x1

G{.t, y. z) = O = ;: =f(x, y)

de que e =

.\:

-r 2r1 -

+�

-

-

. sobre el plano X}'. ·

:: = O r-.

4=o

RESOLUCIÓN un punto cualquiera de la curva !iObre el plnno xy.

Stla P(x, y. ::;) P

C

(Figura T2.24) y sea P'(.t.. y. 0) la proyección ortogonal de


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Curvas y s uperficies

283

(X.)'.:!:¡)

1

.

Figura

T2.24

Es obvio que la� coordenadas x e y del punto P'(x. y, 0), estarán ligadas por la misma relación que las coordenadas x. y del punto P(x. y, �). En consecuencia, si la curva C tiene por ecuaciones:

F(x,

y. <:) =

O} {Ffx,

G(x, y. z) = O = z = f(x, y) entonces, las ecuaciones

{F[x, z=O

f(x. )•)] = O

"· ·

·

·

,

=

y.f(x, y)l

z = f(x, y)

=

0

representarán en el espaciO a la curva L, proyección ortogo· •

n<�l de C sobre el plano xy: e igualmente, la ecuación Flx, y, f(x. y)J = O, representará al ciJindro de gene­ o L. ratrices paralelas al eje ::; y de directriz cualquiera de las curvas En general. por tanto, para determinar l a ecuación de la proyección de umt curva sobre uno de lol: planos coordenados. deberá eliminarse entre sus dos ecuaciones, la v:uiable co1Tespoodiente al eje que se­ ñala la dirección de proyección.

C

{

.r

4x2 + 2r1 :.: = O . . . puede ehmmarse tacllmente ;: entre ambas ecuaEn esta ocasH)n, al ser C = x+z-4=0 cioncs, sumándolas o sus11tuycndo z = 4 -x en la primera. En cualquier caso, resulta que + y2 - 2 = U. 2= 0 . las ecuaciones ue la curva L proyece� la ecuación del cilindro (Figura 1'2.25), siendo :.: ·

-

,

{2r2 + 1•2 =

·

.

,

2Y�

.

U

ción Ortogonal de C SObre e) planO X)'. Obtengamos de nuevo la ecuación de lu superficie cilíndrica, aplicando el método general: Del sistema ( 1 0) y ecuaciones de la directriz. se Lienc: x=n y=b ,: = c + /. " 1 4a2 + 2b2 - 11 a+c-4=0

-

e = (\

Sustituyendo en 1<� cuarta ecuación Jo:; valores

{a

=x

b =y

c· = 4 - x


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284

Cálculo integral y aplicaciones

1 1

1 1

A(a. /J. e)

--- - - - -�,"-¡- - - 1 - ;r_ - ·-------� '

'

1

...

.._

- - - -

(0, V"!.. 0)

y

Figura T2.25 que

de i n mediato

se obtieoen

a

de l s

restantes,

resulta: •

Superficies cuadráticas o cuádricas

Una superfi cciieesmuycomocomún esgeomét la denomi ndeadalos puntos que verifit:an la Defi niróemos di­ chas superfi l u gar r i c o ecuaci n de se­ gundo grado: 2 Ax seccicóasn, ordi comonariseashiozobásiconcas:las Elcóniipsoicas,de,nosHilpimerbolitaremos ay represent aidr es<losl gráfi cos de lment as Enciencoconestacuádri o i d es Parabol o , conjunta­ ivlasa diecuaci onnesdereduddas (correspondieyntesfinalamunaentecuádri caaremos centradaalgenunasel oripropigen,edades consussusderespect ejes en r ecci ó l o s ejes coordenados) estudi cada una de estas notables superficies. Superficie cuadrática o cuúdrica. (x, y, z)

+ By2 + Cz.Z + DA.:y + Ex<. + Fyz +

Gx

+ Hy

+

Mz + N = O

( 1 2)

1 1 1 Aunque algunos conos y cilindros son superficies cuadráticas (tos representados en las Figuras 2.23 y 2.2.5 lo son pues responden a la Ecuación ( 12)), únicamente consideraremos como cuádrícas ordinarias o oo degeneradas a las cinco citadas. Las resmnte�. suelen denominllrse «Cuádricas degeneradas». Ejemplos notables de estas úlrímas soo: 1 2 + y1

,,1 r1

+ y1

4!2 = O (cono de revolución alrededor del eje ;:).

9 = O (ci11ndro circular de eje el eje .:). - 4z = O (cilindro parabólico de generatrices paralelas al eje

x).

Asimismo, «mús degeneradas» aún que lns anteriores. son las siguientes: 1 y 1 = () (la cuádrica degenera en dos planos: y = 1 . y = - 1 ). .� - y1 = O (dos plano�)• .r2 + z1 = O (dos planos imaginarios), x1 = O,

...


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Curvas y superfícíes

285

ip e(y pordeejempl semjejeso) engendra y (primunaer superfi gráficocdeie denomi la FiguranadaT2.�6), girar alre­ dedor decuyaunoecuaci de susLaóelejes n vendrá dada (T2.8) por: E

Elipsoicle.

1.

b

a

al elipsoide de revo­

lución,

Losejeseliigpualsoieds)es, elsone revolcasosuciópartn (dicosulasemi ejes ig a es) del(segundo mjsmográfi modoco quede Fiesfera (lT2.os 2tr6),es semi res del g ura cuya ecuación reducida es la siguiente: u l elipsoide

la la

Estmenor e elipsoiy de estmayor á encerrado entretdosudesesferasycon centro en el origen y cuyos radjos son de l a s magni el -- EviTodasdentsusemente seccionesesporunaplsuperf anos isoncie elreglipses.ada (no contiene ningún segmento). a, b

el

110

c.

,.

-

(

;

-- --

'

- - - -

'

,

,

/

\

- - - - -, , '- - - - - - - - - - .,� " '

.\

Fígura T2.26

a situadaa unaen superfi el a coie que(véaserecisube ecuaci ón endela Figura T2.27), al girar all·ededorLadelhiejepérbol engendr el nombre cuya ecuación (T2.8) será:

2.

Hiperboloide de una hoja.

H

hiperboloide de una hoja de revolución,

pl n yz

z,

del hiivpo)erbol. oide de una hoja de revolución, o no, con·espondc a la variable afectada del (elsignoejenegat generalda .la siguiente: cuyo eje sea eje (Figura T2.17), tiene por ecua­ ciónEnreduci el hiperboloide de

ww

hoja

el

z


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286

Calculo integral y aplicacíones

Figura T2.27

- Este hiperboloide e� también conocido por el nombre de hiperboloide hiperbólico. Es una superficie reglada (segundo gráfico de la Figura T2.27). Las secciones producidas en el hiperboloide de la Figura T2.27 por Jos planos:

x=k }

:: = k L son elipses (su sección con : = O. es la «elipse de garganta»). 2

.v = k 3

son hipérbolas (sí k1 = ±a o k3 = ±b, lu sección son dos rectas).

3. Hiperboloide de dos hojas. La hipérbola H situada (como anteriormente) en el plano y� (Figura T2.28), <.:uando gira alt·ededor del eje y, engendra una superficie que recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas de reoolución. siendo su ecuación (T2.tn:

(nótese que existen dos signos negativos. y que el eje del hiperboloide corresponde a la variable afectada del signo positivo). En general el hiperboloide de dos hojas cuyo eje sea, por ejemplo. el eje y (Figura T2.2S). tiene por ecuación reducida la:

- El hiperboloide de dos hojas también se le conoce con el nombre de hiperboloide elfptico. - Es una superficie no reglada (no contiene ni una sola recta). - Lm; l>el:ciones producida�> en el hiperboloide de la Figura T2. 28 por los planos y = ± k 1 (k1 > 17). son elipses. Por los planos x = k2 o :: = k3• son hipérbolas.


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287

1'

Figura T2.28

= 2pz (Figura T2.29) j plo ]a parábola P sirecituada en el pl a no Al gi r ar esta parábol a al r ededor del eje e ge d una superficie que y cuya ecuación reducida (T2.8) vendrá dadabepor: 4.

Paraboloide elíptico.

Consideremos, por e em

yz.

,

el nombre de paraboloide elíptico de revolucíón,

o o e c rres

z,

n

: y2 n ra

e

(nótese pa abdel ieldiplioco depond ble no elereduci vada aldacuadrado). En quee elal eje del paraboloi eje atileanevarideaecuación la: gen r

,

r

el

z.

sin cenn·o.

El parabol oidfie elípti cregl o esadauna(nocuadráti cnea ni una sola recta). una upe ie no conti e - La� ones producidas ses. secci Por planos paralelos aleneje on parábolelaíptis. co por los

- Es

s

r c

el paraboloide z.

figura T2.29

planos

::

= k 1 > O,

son elip-


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288

uo

Cálc l integral y aplicaciones

5. Paraboloide hiperb6lico. Consideremos las parábolas P 1 y P 2 de la Figura T2.30, defini­ das en sus planos respectivos por las ecuaciones:

P2 (en el plano yz) : y2

P 1 (en el plano xz) : .l:2 = 2pz

=

- 2qz

=

X

Nótese

Figura

el cambio

de ejes

T2.30

Pues bien: el paraboloide hiperbólico, es el lugar geométrico descTilo por la parábola P2 que se desplaza paralelalmente a sí misma, cuando su vértice (0) recon·e la parábola P 1. Dicha su­ perficie liene por ecuación: 2

y2

2p

2q

X

- - -= z

.

- Este paraboloide nunca es de revoluc.:ión. Carece de centro y es simétrico respecto de su eje (z en este caso). Es una superficie reglada. Por cada uno de sus puntos pasan dos generauices rectilíneas (semejante al segundo gráfico de la Figura T2.27). Las secciones del paraboloide hiperbólico (Figura T2.30) por planos z = k, son 1úpérbo­ las. Por pl�mos paralelos a su eje (Z), son parábolas.

Ejemplo

Teniendo en cuenta que el sistema {F(x.. ,', ex e ndo el paraboloide hiperbólico pr sa

·

y.

·

Razónese sobre

l) = 0 _

x2 - 4y2 = 2z

x-, - 4y-, = 2z.

.....

nt

(haz

es un conjll o infinito de rectas de rectas) en la forma:

(x + 2.y) (x - 2y) = l. · -:-k

expresión presentada para

cie está compuesta (claoncepto general). a)

z,

G(_¡;, .) ._, ),) - O

2z

obtener los

(

2:.

)

y

= -·p Ji.

dos ha�.:cs de rectas por

los

que esta superfi­


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289

b) Hallar las dos rectas r" r2 de esta superficie (una de cada haz) que pasnn por el punto (2, 1 , Ol tle ella (también, concepto general como se indicó) .

RESOLUCIÓN a)

Razonando cQmo se aconsej;l.. n o es diffcil obtener los haces (verifican l a ecuación de la superficie):

H¡ :

b)

{2+=2z:2= ,i t ( 2. l. {2+2=2z/¡ 2 2=

H 1 {(2,

H2

1,

O)}-+

Ü)f -

o

=

¡·

/,

tt

2y

}

X + . = J. X - 2)' = 2¡;/1. ,

1. = 4

::;.

JI

=

=o

2y = 2;Jp} tt {X+x - 2y1y == 4::./2

11,- :

'

r

.

1 •

=

,.2

=

X+ .r

- 2_1'

r::. = o -

: �

LX

-

2y = o


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Índiee A

Absolutamente convergente, 80 Absorción. 221 Acotación de en·ores, 239, 241 Allernad<4 239 Aproximación de integrales. 237 Arco tnngentc, 1 1 Área latcrul de revolución. 4 1 Área de una superficie, 1 40 Áreas de cuerpos de revolución, 4 1 en coordeoadas cartesianas, 9 en coordenada.-; paramétricas, 30 en coordenadas polares, 3 1 Arquímedes. 37 Astroide, 77, 258 Astroide generalizada. 259 B

Banda de Mobius, 145 Barrow regla de, 8 regla generalizada de, l l Binomias. 235 e

Cambio de variable. 2 1 5

Cambio de variables en una integral doble, 1 3 1 en ltna integral triple, 1 6 8 Campo vectorial, 1 7 8 Carácter de una integral. 1 3 Cardioide, 33 Cavalieri (Regla), 39 Centroides. 44. 162. 1 8 5 de sólidos de revolución, 49 Cicloide. 35. 257 Cilíndricas. 169 Cilindro. 179 Circulación de un vecror, 1 1 7, 180 Cónica ecuación general de las. 25<) Conjuntos conexos. 1 1 5 convexos. 124 Cono, 142, 276 Continuidad de integrales paramétricas, 26 veclorial, 1 09 Convergencia de integrales. 1 2 . 86 Coordenadas cilíndricas, 169 esféricas, 1 69 panUTiétricas. 1 03. 270 polares. 1 3 1 polares en el espacio. 168 Criterios de convergencia. 1 5 Cuádricas ecuación general de las. 284 degeneradas. 284


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294

indice

Curva. :!55

ccu:-.cinne-. paramétrica..; de una. 256 li�a. 30. 156

Gau�s. 176. 177 Gmdientl'. 177

lisa a trt.IW\. 36 longitud de un arco de. 33 pantmctrit.ación de una. 103 pur:1mctro na1ural de una. 102 plana. 255

recta tungcme a una, 25 8

Lmbajn

;\

lo lurgo de u M. 109

Curv;l en el espacio

ecuaci6n vcct.Mial tle una.

G

262

ecuaciones puramétricns de una, 262 recltl tangente a una, 264 Curvatura. 259

Grcen, IJ5

H Hélice circular, 264 Hcrmitc.. 223 Hipérhola. 260 Hiperboloide de dos hoja�. 2R6 de una hoja, 185

Curvilfnca, 99

D

1

Dc�arrollo en serie de potencia!>. 2JH Dctermin:.nte jacobiano. 1 3 1 Diferencial de ;ll'l:o. 34

1 ndcpendcnda del camino. 1 1 1 . 1 1 5

Oifcrcnct:\1

eJe una

función. 20H

Dirichlct, 1 HlJ

Dívergcndn. 17S

lntcg.rabilidad condiciones suficientes

<.le. 4

Integración uproximada. 237 tle luncione� racionalc�. 2 19 inmediata por observación, 2 1 1

limite:. de. 1 26. 1 óó. 1 70. 199

m6todo� de. 2 1 1

E

por cambio <.le variable. 2 1 5

Elip�e. J l . 15lJ :ire:t de una, :12 ccu�tL·itín rccJuciJa J¡; una, 259 Elip�(IÍUC. 285 Jc rcvuluciiJn, 285 ccuaCtón reducida de un. 21)5 v(llumcn de un. J9 Espir:1l de Arquímedes. 37

Estrofoide rcctu. 93

por dcscompo:-.ición. 2 1 2

por e l método alemán. 244 por el método de Hennile. 223

por partes. 2 1 3 por rcdut.:ción. 2 1 7 Integral delinida simple aplicuciones lle la. 9. 29

de Riemann. 1

propicda<.lc:. de la. S

seudoimpropia. 1 6

Integral de supcrticie. 140 de una función escalar. 1-J.J

F

Jc una función vectorial. l-ió lntcgral doble

1 g�

Factorial de un número real. 1 ti

aplicaciones de un� 125, 1 27,

Fcirmula de Ta)•lor. 238

cálculn de una. 125 cambio de variable� en una, 1 3 1

Función Beta convergencia y cálculo de la. 2 1 prtlpicc.la<.lc� Je la, 22

de Oirichlet. 189 simplificm:ione�> de una. 139

Fundón Gamma. 1 7

Integral elíptica. 2-i3

prolongación tle la. 20 Funcil�n pnH.:ncial. 1 1 1

Integral indefinida, 207

Pum .:ionc� primil i vas, 206 vcctonalcs. 1 7 X

lnlegr�d triple api icacion� de una, 184 dkulo de una, 165 camhJO de vw·tablcs en una, 168


http://carlos2524.jimdo.com/ fndice

Je

Ditichlel, 190

:-.implilicnciones en una. 175 l n tegralt:!:. curvilíneo:-. cálculo ue. J O l . 109 de funciones vectoriales en R1, de funciones vectoriale!. en R3 • propiedade.' de la!., 1 00 rcsoluci1�n en N� de la.;. 99 r�olución en R·' tic lu�. 105 fntcgrulcs eulerianas nplitacione$ tle las. lll de primera especie, 2 1 de segunda e�pecie. 1 7 lmcgrales impropios C<tdtctcr de las. 1 3 d e primera especie. 1 4 de segunda especie.

1 ()

<>ingularidadcc; de In.,, Integrales indefinida� irracionale�. 232. 234 rur:ionale.�. 1 1 9 tabla de las. 2 1 O

12

trigonométricas. 2'25 Integrales inmeuiata�. 209 Integrales pnramétricas aplicaciones de las. 29 impropias. 27 propiedade� de

13c;. 26

.J

de Simpson . Mobius, 1 45

240

Momento

axial. 56 estático. 5 1 polar. 56

1 09 117

Momento' de inercia. 50 de superficies plana!>. 56 relaciones entre los, 53

Pappus, 44 Parábola. 261 Paraboloide elíptico. 287

hiperbólico. 288 Pammctriz.ación de curva�. 103 Parámetro natural de una curva. Plano tan gente u una superficie.

102

140

Polares. 131. 168

Prolongación de lu función Gamma,

20

R Radio de eunatura. 259 Radio de giro. S..t. Ram:mujan. 243

39

Regla

de Cavalieri. geueralizada de Burrow, 1 1

Jucobiano. 1 3 1

Rcl'inlo conexo, 1 15. convexo. 114

L

Rotacional.

L' Apl:u.:e. 88 Lemniscata de Bemouillí. 37. 38 Límites de integracitSn, 1 ::!6, 166 Lisa

S

curva, 30. 33, 256

13<5

178

Longiwd de una curva, 33

Secciones cóni ca!>. 259 Scmiconvergencia de integrules. �(1 Serie alternada, 239

M

Scr,ie potencial, 238 Scudoi mpropia. 1 6 Simplilicm:ione� en el Simpson, 240

¡.uperticie. 143

Muc-Laurin, 231:1 Masa de un cuerpo. Meridiana,

273

;•vtélodo ulcmán, 244 de Hermite. 213

184

dlculo de integrales, 139

Sumas inferior y c;uperior, 2

Superficie. 255 curvas sobre una. 270 ecuación vectorial de una. 168 ecuacione:. paramétrica' de una. li'ia.

143

2()8

295


http://carlos2524.jimdo.com/

296

Índice

orientable. 145 pl::t11o tangente a una, 272 recta normal �1 una. 273 Superfí�.:ies cmu.lr:íticas, 284 de revolución, 7.73 rcgladu.s. 276

T Taylor, 238 Teorema de Gau$:-: o de In divergencia, 179 de Gaus:-:-Oslro,gradski. 176 de Greet1, 1 35 de Pappus, 44 de Sreiner. 54 de SLOkes. 149 de SLokcs o del roraeiOJ13.1. 180

del valor medio integral, 6, 1 62 generalizado del valor medio. 7 Toro, 42 área y volumen del, 44 Transformada de L' Aplace. 88

V Va.lor medio integraL 6. 162. 184 Vector circulación de un. 1 1 7 nabla. 1 7 7 rotacional, 1 7 8 tangente, 266 tangente unitario, 1 4 l Volúmenes de sólidos de revolución, 40 de sólidos de secciones conocidas. 38 mediante integrales doble�. 127


... . ..

e::;:) -= � = S::: C'C -= c:.!:J �

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·

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Cálculo Integral y Aplicaciones, dirigido a estudiantes de Ciencias de

cualquier Facultad o Escuela Superior y dividido en seis temas, guarda un estudiado equilibrio entre las partes teórica y práctica.

Tras el desarrollo d e la teoría, e11 la que se intercala una gran cantidad de

ejemplos acla ratorios, se exponen aplicaciones de los conc eptos en ella presentados, y cada tema se concluye con numerosos ejemplos resueltos y otros propuestos con solución. Se desarrollan con particular atención dos temas, « M étodos de Integración>> (ubicado como tema de repaso) e <dn�egral definida simple de Riemann», pues ambos constituyen la herramienta fundamental que permitirá acceder a los restantes temas del texto: integrales curvilíneas, dobles, de superficie, triples, campos vectoriales, aplicaciones, ... , y superarlos do una forma rápida y

sencilla .

= -

FRANCISCO GRA�ERO es doctor ingeniero industrial y profesor titular de la

-

investigadora, que inició en el año 1975. Asimismo, es autor de numerosas

= e:,.,

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Universidad del País Vasco. Posee una vasta experiencia docente e

publicaciones nacionales e internacionales, y merece especial atención su

descubrimiento de nuevas propiedades de las cónicas, relativas todas ellas a la raíz cúbica del radio de c u rvatura, junto con sus aplicaciones en Ingeniería y Arquitectura.

Pearson Educación

ISBN 84-205-3223-1

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www.pearsoneducacion.com

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Calculo Integral y Aplicaciones  

Materia: Matemáticas/Física Nombre: Calculo Integral y Aplicaciones Autor o Compilador: Francisco Granero Formato: PDF Tamaño 17.2 Mb P...

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