Cadenas de Markov

GRUPO AYRDRUMS

Ciencia al dﾃｭa VOL 1窶年UM. 1 Aﾃ前 2015

REDES SOCIALES Como han revolucionado el mundo de los negocios

CADENAS DE MARKOV Te traemos un reportaje especial sobre las cadenas de Markov y como ﾃｩstas afectan tu vida.

EDICION LIMITADA

CONTENIDO Editorial Las Cadenas de Markov y su notaci贸n 煤til Tipos de cadenas de Markov Aplicaciones en la vida cotidia Redes Sociales; como han revolucionado los negocios

EDITORIAL

En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Markov.

Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (18561922), que lo introdujo en 1907.

Estos modelos estadísticos cuentan con un gran número de aplicaciones reales.

Ky-olyzki Pérez en su articulo Las Cadenas de Markov y su notación útil nos habla de lo que son estas cadenas y de las propiedades matemáticas que podemos conseguir en los diferentes tipos de cadenas de Markov junto con las formulas que las definen matemáticamente.

Luis Ariza en su artículo Tipos de Cadenas de Markov nos muestra como se pueden clasificar las diferentes cadenas que pueden haber según las condiciones que pueden presentar.

Luisa Marcano en su artículo Aplicaciones en la vida cotidiana nos enseña que las cadenas de Markov no son solo datos de probabilidades matemáticas, sino que, tienen muchas utilidades en la vida cotidiana en situaciones más comunes de lo que imaginamos.

Ayrton Pérez relata como pueden surgir potentes unidades de negocio a través de las redes sociales, un invento que ha causado toda una revolución global siendo capaces de conectar a las diferentes culturas y civilizaciones a lo largo del globo terrestre.

Las cadenas de Markov y su notación útil.

Su definición formal en matemática se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la “propiedad de Markov”, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Una cadena de Markov es una secuencia de variables aleatorias. El dominio de estas variables es llamado “espacio estado” Notación útil: Cadenas homogéneas y no homogéneas Una cadena de Márkov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado i al estado j en un paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena, esto es: para todo n y para cualquier i, j.

Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo n la propiedad antes mencionada no se cumple diremos que la cadena de Márkov es no homogénea.

Probabilidades de transición y matriz de transición La

probabilidad de ir del estado i al estado j en n unidades de tiempo es ,

en la probabilidad de transición en un paso se omite el superíndice de modo que queda Un hecho importante es que las probabilidades de transición en n pasos satisfacen la ecuación de Chapman-Kolmogórov, esto es, para cualquier k tal que 0 < k < n se cumple que

donde E denota el espacio de estados.

Cuando la cadena de Márkov es homogénea, muchas de sus propiedades útiles se pueden obtener a través de su matriz de transición, definida entrada a entrada como esto es, la entrada i, j corresponde a la probabilidad de ir del estado i a j en un paso.

Del mismo modo se puede obtener la matriz de transición en n pasos como: , donde

.

Vector de probabilidad invariante Se define la distribución inicial

.

Diremos que un vector de probabilidad (finito o infinito numerable) es invariante para una cadena de Márkov si ;importante donde P denota la matriz de transición de la cadena de Márkov. Al vector

de

probabilidad

invariante

también

se

le

lla-

ma distribución estacionaria o distribución de equilibrio.

Clases de comunicación Para dos estados i,j en el espacio de estados E, diremos que de i se accede a j (y se denotará ) si para algún n, si y entonces diremos que i comunica con j y se denotará i↔j.

La propiedad "↔" es una relación de equivalencia. Esta relación induce una partición en el espacio de estados. A estas clases de equivalencia las llamaremos clases de comunicación.

Dado un estado x, denotaremos a su clase de comunicación como C (x).

Diremos que un subconjunto C del espacio de estados (al que denotaremos E) es cerrado si ningún estado de E-C puede ser accedido desde un estado de C, es decir, si todo y∈E-C y para todo natural m>0.

para todo x∈C, para

Tiempos de entrada Si

, definimos el primer tiempo de entrada a C como la variable aleatoria

esto es,

denota la primera vez que la cadena entra al conjunto

de estados C.

Recurrencia En una cadena de Márkov con espacio de estados E, si x∈E se define

y diremos que:

x es estado recurrente si

.

x es transitorio si x es absorbente si Una clase de comunicación es clase recurrente si todos sus estados son recurrentes.

Sea

, si x∈Ediremos que:

x es cero-recurrente si x es positivo-recurrente si El real

se interpreta como el tiempo promedio de recurrencia.

Periodicidad El periodo de un estado x∈E se define como: donde

denota el máximo común divisor.

Si d(x)=1 diremos que x es un estado aperiódico.

Una cadena de Márkov se dice aperiódica si todos sus estados son aperiódicos.

Ky-olyzki Pérez

Tipos de cadenas de Márkov Cadenas irreducibles Una cadena de Márkov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí): Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.

Todos los estados se comunican entre sí.

C(x)=E para algún x∈E. C(x)=E para todo x∈E. El único conjunto cerrado es el total.

La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Márkov irreducibles.

Cadenas positivo-recurrentes Una cadena de Márkov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

Cadenas regulares Una cadena de Márkov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que: donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.

Cadenas absorbentes Una cadena de Márkov con espacio de estados finito se dice absor bente si se cumplen las dos condiciones siguientes: La cadena tiene al menos un estado absorbente.

De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.

Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados: Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma

donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz. , esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.

Cadenas de Márkov en tiempo continuo Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i indexado en el conjunto

de números naturales, se

consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto

de números reales, tendremos una

cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera: tal que

Para una cadena de Márkov continua con un número finito de estados puede definirse una matriz estocástica dada por:

La cadena se denomina homogénea si

. Para

una cadena de Márkov en tiempo continuo homogénea y con un número finito de estados puede definirse el llamado generador infinitesimal como:2

Y puede demostrarse que la matriz estocástica viene dada por:

Luis Ariza

Aplicaciones en la vida cotidiana Meteorología Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Márkov para formular modelos climatológicos básicos. Por ejemplo se han desarrollado modelos de recurrencia de las lluvias basados en cadenas de Márkov.

Modelos epidemiológicos Una importante aplicación de las cadenas de Márkov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias).

Internet El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda) se define a través de una cadena de Márkov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena.

Simulación Las cadenas de Márkov son utilizadas para proveer una solución analítica a ciertos problemas de simulación, por ejemplo en teoría de colas el Modelo M/M/14 es de hecho un modelo de cadenas de Márkov.

Juegos de azar Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Márkov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Márkov en este rubro.

Economía y finanzas Las cadenas de Márkov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de los precios. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

Genética Se emplean cadenas de Márkov en teoría de genética de poblaciones, para describir el cambio de frecuencias génicas en una población pequeña con generaciones discretas, sometida a deriva genética. Ha sido empleada en la construcción del modelo de difusión de Motō Kimura.

Música Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Márkov, por ejemplo el software Csound o Max

Operaciones Se emplean cadenas de Márkov en inventarios, mantenimiento, flujo de proceso y en un diverso numero de operaciones utilizadas en trabajos de ingeniería, entre otras áreas de gran aprovechamiento humano.

Redes Neuronales Se utilizan en las máquinas de Boltzmann, las cuales son un tipo de red neuronal recurrente estocástica, estas maquinas son útiles para el reconocimiento de patrones, intentando recuperar información no disponible de un estado.

Luisa Marcano

Las Redes Socieles como potentes unidades de negocio Para nadie es un secreto que hoy en dia las redes sociales se han convertido en dueĂąas de nuestro tiempo, un lugar en donde pasamos demasiadas horas al dia intentando satisfacer el deseo que tiene cada ser humano de relacionarse con sus similares y sin duda alguna estas redes sociales han logrado conectar personas a distancias de cientos de miles de kilĂłmetros, a un nivel en el que podemos tener contacto con una persona que esta al otro lado del mundo con un dispositivo que se guarda fĂĄcilmente en tu bolsillo. Pero que otros beneficios nos traen las redes sociales?

A medida que avanza la tecnología, el ritmo de vida de las personas lo hace también, asi como las costumbres, tradiciones, comportamientos, y hasta patrones de conducta debido al nuevo acondicionamiento que han impuesto la evolución de los medios de comunicacion.

Gracias a estos cambios han surgido nuevos empleos dentro de toda esta extensa red de usuarios que conforman las redes sociales, nace el empleo de los “Community Manager” que se encargan de administrar perfiles de usuario para empresas, celebridades y cualquier otra persona que este dispuesta a pagar para que un profesional en el área se encargue de realizar todas sus publicaciones y crear los contenidos que mostrara en estos medios para conectar con su publico y lograr un mayor rango de audiencia. Como las redes sociales nos permiten conectarnos con cien-

Ayrton Pérez